Геометрія практика

Д.Ю.ДОВГАНЬ

ГЕОМЕТРІЯ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ВСТУПНИХ ЕКЗАМЕНІВ З МАТЕМАТИКИ НА БАЗІ 9- ти КЛАСІВ для абітурієнтів

Вінниця 2010

Пропонований

посібник

призначений

для

повторення

навчального матеріалу при підготовці до вступних випробувань з математики до вищих навчальних закладів І – ІІ рівнів акредитації на базі основної школи.

Укладач Д.Ю. Довгань

Комп’ютерний набір авторський Комп’ютерна верстка авторський

___________________________________________________________ Вінниця, 2010. – с. 112

2

ЗМІСТ Передмова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Правильний і рівнобедрений трикутник . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Прямокутний трикутник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Різносторонній трикутник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..14 4. Паралелограм і його види . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 5. Трапеція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6. Коло, його елементи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7. Опуклі та правильні многокутники . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 8. Коло і многокутники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 9. Подібність фігур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 10. Площа фігур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 11. Декартові координати . Вектори. . . . . . . . . . . . . . . . 52 12. Додатки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ПЕРЕДМОВА. В даному збірнику пропонуються задачі з геометрії за курс основної школи. В кожному розділі подаються завдання за трьома рівнями складності : а) обв’язковий, б) підвищений , в) поглиблений. Завдання кожного рівня визначаються не лише кількістю логічних кроків, а й рівнем логічного мислення. В останньому розділі запропонована геометрія в таблицях, де в стислій і наглядній формі представлені основні поняття, аксіоми та теореми з курсу планіметрії а також класифікація, властивості та ознаки планіметричних фігур . Може бути запропонований для підготовки до вступних екзаменів з математики (геометрія) на базі основної школи. Використані матеріали збірника для підготовки до екзамену в 9-х класах .

3

1. ПРАВИЛЬНИЙ І РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИКИ. Обов’язковий рівень.

1.(6.) а) Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 70 0. Знайти інші кути трикутника. Розглянути два випадки. б) Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 56 0. Знайти інші кути трикутника. Розглянути два випадки.

2.(8.) а) Зовнішній кут рівнобедреного трикутника при основі дорівнює 110 0. Знайти кути трикутника. б) Зовнішній кут рівнобедреного трикутника при основі дорівнює 140 0. Знайти кути трикутника.

3.(9.) а) Один із зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 110 0. Знайти кути трикутника. Скільки розв’язків має задача ? б) Один із зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 80 0. Знайти кути трикутника. Скільки розв’язків має задача ?

4.(18.) а) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см. Знайти сторони трикутника, якщо бічна сторона відноситься до основи, як 3 : 2. б) Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи як 7 : 10. Знайти сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 60 см.

5.(19.) а) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 35 см. Знайти основу трикутника, якщо вона менша від бічної сторони на 2,5 см. б) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 21 см. Знайти бічну сторону трикутника, якщо вона більша від основи на 1,5 см.

6.(20.) а) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 30 см. Знайти сторони трикутника, якщо його бічна сторона у 2 рази більша від основи. б) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 40 см. Знайти сторони трикутника, якщо його бічна сторона у 2 рази більша від основи.

4

7.(21.) а) Знайти кути трикутника, якщо вони прямо пропорційні числам 5;5;8. Визначити вид трикутника. б) Кути трикутника прямо пропорційні числам 11;11;14. Знайти кути трикутника і визначити вид трикутника.

8.(22.) а) Периметр трикутника дорівнює 108 см. Знайти сторони трикутника, якщо вони прямо пропорційні числам 8; 5 і 5. Визначити вид трикутника. б) Знайти сторони трикутника, якщо вони прямо пропорційні числам 4; 7 і 7, а периметр трикутника дорівнює 45 см. Визначити вид трикутника.

9.(23.) а) Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а висота, проведена до неї, - дорівнює 2 6 см. Знайти бічну сторону трикутника. б) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 13 см, а основа – 10 см. Знайти висоту, проведену до основи. Підвищений рівень.

10.(25.) а) У правильному трикутнику АВС проведені медіани AD і BE. Точка О – точка їх перетину. Обчислити периметр трикутника і кут АОЕ, якщо ОВ=20 см. б) У правильному трикутнику MNK проведені бісектриси ML і MP. Точка О – точка їх перетину. Обчислити периметр трикутника і кут MOP, якщо OP = 8 см.

11.(27 .) а) Медіана правильного трикутника дорівнює 10 3 см. Знайти проекцію однієї медіани трикутника на другу. б) Висота правильного трикутника дорівнює 6 3 дм. У трикутнику проведено дві бісектриси. Знайти проекцію однієї бісектриси на другу.

12.(28.) а) Бічна сторона рівнобедреного трикутника відноситься до основи, як 5 : 7. Периметр цього трикутника дорівнює 91,8 см. Знайти сторони трикутника. б) Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см. Обчислити периметр трикутника, якщо основа трикутника відноситься до бічної сторони як 4 : 3.

5

13.(29.) а) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см. Обчислити периметр трикутника, якщо проекція основи на бічну сторону дорівнює 18 см. б) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см, а її проекція на другу бічну сторону - 7 см. Обчислити периметр трикутника.

14.(30.) а) У рівнобедреному трикутнику висота, опущена на основу, дорівнює 16 см. Обчислити периметр трикутника, якщо проекція цієї висоти на бічну сторону дорівнює 12,8 см. б) Перпендикуляр, опущений із середини основи рівнобедреного трикутника на бічну сторону, ділить її на відрізки 7,2 см і 12,8 см від основи. Обчислити периметр трикутника.

15.(33.) а) бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 30 см. Бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, у відношенні 12 : 5, починаючи від вершини. Знайти основу трикутника. б) Центр вписаного у рівнобедрений трикутник кола ділить медіану, проведену до основи, у відношенні 13 : 5. Знайти бічну сторону трикутника, якщо його основа дорівнює 50 см.

16.(34.) а) З точки, що є серединою основи рівнобедреного трикутника, опущено перпендикуляр на бічну сторону. Обчислити периметр трикутника, якщо довжини перпендикуляра і проекції половини основи на бічну сторону відповідно дорівнюють 12 см і 5 см. б) Перпендикуляр, опущений з точки, що є серединою основи рівнобедреного трикутника на бічну сторону, дорівнює 12 см, а проекція висоти, проведеної до основи трикутника на бічну сторону, дорівнює 28,8 см. Обчислити периметр трикутника.

17.(36.) а) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 80 см, а проекція бічної сторони на основу – 15 см. Знайти сторони трикутника і висоту, проведену до основи трикутника. б) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 64 см, а його висота, проведена до основи, дорівнює 10 см. Знайти сторони трикутника.

18.(40.)

6

а) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а основа – 12 см. Точка, яка лежить на висоті, проведеній до основи, рівновіддалена від кінців бічної сторони. Знайти відстань від точки до кінця бічної сторони трикутника. б) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а основа – 6 см. Точка, яка лежить на бісектрисі, проведеній до основи, рівновіддалена від кінців бічної сторони. Знайти відстань від цієї точки до основи трикутника.

19.(42.) а) Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює 8 см. Бісектриса кута при основі перетинає її в точці, яка віддалена від основи на 3 см. Обчислити периметр трикутника. б) Медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює 8 см. Бісектриса кута при основі перетинає медіану в точці, яка віддалена від вершини, протилежній основі, на 5 см. Обчислити периметр трикутника.

20.(44.) а) Побудувати рівнобедрений трикутник за кутом при основі і бісектрисою цього кута. б) Побудувати рівнобедрений трикутник за кутом при основі і висотою, проведеною до бічної сторони. Поглиблений рівень.

21.(46.) а) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 26 см, висота, опущена на основу, - 10 см. Визначити радіуси кіл, вписаного трикутник та описаного навколо нього. б) Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, медіана, проведена до неї, - 5 см. Визначити радіуси кіл, вписаного трикутник та описаного навколо нього.

а у а у

22.(47.) а) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 50 см . До бічної сторони проведена медіана. Знайти сторони трикутника, якщо периметр трикутника, утвореного медіаною і основою, на 4 см більший від периметра трикутника, утвореного медіаною і більшою стороною. б) Бічна сторона і основа рівнобедреного трикутника відносяться, як 4 : 3. Визначити периметр трикутника, якщо периметр трикутника, утвореного медіаною до бічної сторони та бічною стороною, на 5 см більший від периметра трикутника, утвореного цією медіаною та основою.

7

23.(49.) а) Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 90 см. Бісектриса кута при основі ділить медіану, проведену до основи, на відрізки у відношенні 5 : 4. Знайти сторони трикутника. б) Точка перетину медіан рівнобедреного трикутника віддалена від основи на 5 см, а бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи, на відрізки у відношенні 5 : 4. Обчислити периметр трикутника.

24.(50.) а) Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 2 см, а медіана бічної сторони – 10 см. Знайти бічну сторону. б) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см, а медіана, проведена до неї, - 5 см. Знайти основу трикутника.

25. (55.) а) Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8 дм, а бічна сторона – 12 дм. До бічних сторін проведені бісектриси. Знайти довжину відрізка, кінцями якого є основи бісектрис. б) Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а бічна сторона - 18 см. До бічних сторін проведені висоти. Знайти довжину відрізка, кінцями якого є основи висот.

8

2. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК.

Обов’язковий рівень.

26. (61.) а) Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 4. Знайти катети трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює 50 см. б) Гіпотенуза прямокутного трикутника відноситься до катета як 5 : 4. Знайти сторони трикутника, якщо другий катет дорівнює 30 см.

27.(65.) а) Знайти кути прямокутного трикутника, якщо гострі кути відносяться як 4 : 5. б) Гострі кути прямокутного трикутника відносяться як 1 : 2. Знайти кути трикутника.

28.(67.) а) Катет прямокутного трикутника дорівнює 5 см. Знайти другий катет, якщо один з гострих кутів трикутника дорівнює 45 0. б) Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює 45 0. Знайти катети, якщо гіпотенуза трикутника дорівнює 50 см.

29.(68.) а) Периметр прямокутного трикутника дорівнює 120 см. Знайти сторони трикутника, якщо вони відносяться як 3 : 4 : 5. б) Сторони прямокутного трикутника відносяться як 5 : 12 : 13.Знайти сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 60 см.

30.(69.) а) Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відрізок, який сполучає середини катетів, дорівнює 18 см. б) Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 24,8 см. Знайти довжину відрізка, який сполучає середини катетів.

31.(74.) а) Сторони прямокутника дорівнюють 16 см і 12 см. Знайти діагоналі прямокутника. б) Сторона квадрата дорівнює 3 см. Знайти діагоналі квадрата.

32.(77.) а) З вершини прямого кута прямокутного трикутника проведена висота, яка ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і 9 см. Знайти висоту. б) Проекції катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнюють 9 см і 16 см. Знайти висоту, проведену до гіпотенузи.

9

33.(78.) а) У прямокутному трикутнику АВС з вершини прямого кута с проведено перпендикуляр CD до гіпотенузи АВ. Знайти катет AC, якщо АВ = 16 см, BD = 4 см. б) У прямокутному трикутнику АВС з вершини прямого кута С проведено перпендикуляр CD до гіпотенузи. Знайти DC , якщо АВ = 25 см, BD = 9 см. Підвищений рівень.

34. (79.) а) У рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС із точки, взятої на гіпотенузі АВ, опущені перпендикуляри на його катети. Знайти суму довжин катетів, якщо периметр утвореного чотирикутника дорівнює 30 см. б) У рівнобедреному прямокутному трикутнику з точки, взятої на гіпотенузі, опущені серединні перпендикуляри на його катети. Знайти суму довжин катетів, якщо периметр утвореного чотирикутника дорівнює 40 см.

35.(82.) а) У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 35 см, а катети відносяться як 3 : 4. Знайти проекцію меншого катета на гіпотенузу. б) У прямокутному трикутнику катети відносяться як 5 : 12. Знайти проекцію більшого катета на гіпотенузу, якщо периметр трикутника дорівнює 120 см.

36. (84.) а) Катети прямокутного трикутника відносяться як 5 : 12, а периметр трикутника дорівнює 90 см. Знайти гіпотенузу. б) Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника відносяться як 12 : 13, а периметр трикутнику дорівнює 120 см. Знайти другий катет.

37. (85.) а) Катет прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а медіана , проведена до другого катета, - 61 см. Обчислити периметр трикутника. б) Катет прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а медіана , проведена до другого катета, - 73 см. Обчислити периметр трикутника.

38.(86.) а) Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 10 см, а один з катетів – 12 см. Обчислити периметр трикутника. б) Катет прямокутного трикутника дорівнює 32 см, а медіана , проведена до гіпотенузи, - 20 см. Обчислити периметр трикутника.

10

39.(87.) а) Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 і 24 см. Знайти медіану, проведену до гіпотенузи і периметр трикутника. б) Катети прямокутного трикутника дорівнюють 20 і 48 см. Знайти медіану, проведену до гіпотенузи і периметр трикутника.

40.(89.) а) Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, розбиває його на два трикутники з периметрами 16 см і 18 см. Знайти гіпотенузу трикутника. б) Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, розбиває його на два трикутники з периметрами 8 см і 9 см. Знайти менший катет.

41.(90.) а) Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 45 0. Обчислити периметр трикутника, якщо сума гіпотенузи і висоти, проведеної до неї, дорівнює 15 см. б) Гострий кут прямокутного трикутника дорівнює 45 0. Висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 8 см. Обчислити периметр трикутника.

42.(94.) а) У прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені з вершини прямого кута, відповідно дорівнюють 40 см і 41 см. Знайти довжину бісектриси, проведеної з цієї вершини. б) У прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені з вершини прямого кута, відповідно дорівнюють 24 см і 26 см. Знайти довжину бісектриси, проведеної з цієї вершини.

43.(98.) а) У прямокутному трикутнику знайти відношення катетів, якщо висота і медіана, проведені з вершини прямого кута відносяться як 3 1 : .

13 4

б) У прямокутному трикутнику знайти відношення гіпотенузи і меншого катета, якщо висота і медіана, проведені з вершини прямого кута відносяться як 40 : 41.

11

Поглиблений рівень.

44.(101.) а) Бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки у відношенні 5 : 12. Обчислити периметр трикутника, якщо медіана , проведена до гіпотенузи, дорівнює 17 см. б) У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки у відношенні 12 : 13. Знайти медіану, проведену до гіпотенузи, якщо довжина меншого катета дорівнює 25 см.

45.(103.) а) Різниця проекцій катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини прямого кута, дорівнює 6 см. Обчислити периметр трикутника. б) Сума проекцій катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнює 25 см, а висота, проведена з вершини прямого кута, дорівнює 12 см. Обчислити периметр трикутника.

46.(104.) а) У прямокутний трикутник з катетами 10 см і 24 см вписане коло. Знайти відстань від центра кола до висоти, опущеної на гіпотенузу. б) У прямокутному трикутнику катети дорівнюють 24 см і 7 см. Знайти відстань від центра вписаного кола до висоти, опущеної на гіпотенузу.

47.(106.) а) З вершини прямого кута трикутника проведені висота і медіана, які відповідно дорівнюють 12 см і 15 см. Обчислити периметр трикутника. б) Висота, проведена з вершини прямого кута, дорівнює 4 см, а радіус описаного кола – 5 см. Обчислити периметр трикутника.

48.(107.) а) У прямокутному трикутнику, катети якого дорівнюють 15дм і 20 дм, проведено висоту з вершини прямого кута та бісектриси обох кутів, утворених висотою з катетами. Знайти відрізок гіпотенузи, обмежений бісектрисами. б) У прямокутному трикутнику проведено : висоту, яка ділить гіпотенузу на відрізки 32 см і 18 см, та бісектриси обох кутів, утворених висотою з катетами. Знайти відрізок гіпотенузи, обмежений бісектрисами.

49.(109.) а) Гіпотенуза АВ = 17 см, а катет ВС – 8 см. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до гіпотенузи з її середини до перетину з катетом АС.

12

б) Гіпотенуза і один із катетів прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 34 см і 30 см. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до гіпотенузи з її середини до перетину з більшим катетом.

50.(113.) а) Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 12,5 см і поділяє прямий кут у відношенні 1 : 2. Знайти сторони прямокутного трикутника. б) Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 75 см, а медіана. проведена до гіпотенузи, ділить прямий кут у відношенні 1 : 2. Знайти сторони трикутника.

13

3. РІЗНОСТОРОННІЙ ТРИКУТНИК. Обов’язковий рівень.

51.(118.) а) У трикутнику другий кут менший від першого на 50 і більший від третього на 200. Знайти кути трикутника. б) У трикутнику другий кут менший від першого на 12 0, а від третього - на 100. Знайти кути трикутника.

52.(120.) а) У трикутнику другий кут у 2 рази більший від першого і у 3 рази менший від третього. Знайти кути трикутника. б) У трикутнику другий кут у 3 рази менший від першого 0 і на 5 рази більший від третього. Знайти кути трикутника.

53.(125.) а) Сторони трикутника відносяться як 5:7:9. Знайти сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 105см. б) периметр трикутника дорівнює 210 см. Знайти його сторони, якщо вони відносяться як 1:2:2.

54.(128.) а)Сторони трикутника відносяться як 5:6:7. Обчислити периметр трикутника, якщо сума довжин першої і другої сторін дорівнює 44см. б) Сторони трикутника відносяться як 6:7:8. Обчислити периметр трикутника, якщо різниця довжин третьої і першої сторін дорівнює 10 см.

55 (131.) а) Сторони трикутника відносяться як 7:8:10, а периметр дорівнює 100см. Знайти сторони трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника. б) Сторони трикутника , утвореного середніми лініями даного трикутника відносяться як 5:6:7, а периметр його дорівнює 36см. Знайти сторони даного трикутника.

14

56. (132.) а) Периметр даного трикутника дорівнює 74,8 см. Обчислити периметр трикутника, утвореного середніми лініями трикутника. б) Периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника, дорівнює 42,5 см. Обчислити периметр даного трикутника.

57.(133.) а) Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 10 см. Знайти третю сторону трикутника, якщо кут між ними дорівнює 600. б) Дві сторони трикутника утворюють кут 60 0, а їх довжини дорівнюють 16 см і 6 см. Знайти третю сторону трикутника.

58.(136.) а) У трикутнику АВС проведені бісектриси із вершин В і С. Точка О – точка їх перетину. Знайти кут ВОС, якщо <В=700, <С=600. б) У трикутнику МNP проведені бісектриси кутів М і N. Точка О - точка їх перетину. Знайти кут MON, якщо <М=500, <N=800.

Підвищений рівень.

59.(138.) а) У трикутнику KLM проведені бісектриси KN і LQ. Точка О точка їх перетину . Знайти кут LON, якщо <К=800, <L=700. б) У трикутнику АВС проведені бісектриси АЕ і ВD. Точка О точка їх перетину. Знайти кут DOE, якщо <А=400, <В=1000.

60.(140.) а) Сума внутрішніх кутів трикутника і одного зовнішнього кута дорівнює 2400. Знайти кути трикутника, якщо різниця кутів трикутника, не суміжних із зовнішнім, дорівнює 200. б) Сума зовнішніх кутів трикутника і одного внутрішнього кута дорівнює 4200. Знайти кути трикутника, якщо один із кутів трикутника більший від другого на 60.

61.(144.) а) Сторони трикутника дорівнюють 30 см, 18 см і 40см. Знайти відрізки , на які бісектриса найбільшого кута ділить протилежну сторону.

15

б) Сторони трикутника дорівнюють 20см, 15см і 14 см. Знайти відрізки, на які бісектриса найменшого кута ділить протилежну сторону.

62.(145.) а) У трикутнику із вершини кута, який дорівнює 60 0, проведена бісектриса до перетину з протилежною стороною трикутника. Знайти відрізки, на які бісектриса ділить сторону, якщо відомо, що сторони цього кута трикутника дорівнюють 5 см і 8 см. б) У трикутнику дві сторони дорівнюють 16 см та 10 см і утворюють кут 600. З вершини цього кута проведена бісектриса до перетину з протилежною стороною. Знайти відрізки, на які поділяє бісектриса сторону.

63.(148.) а) Сторони трикутника дорівнюють 51см,85см і 104см. Знайти відрізки, на які бісектриса найбільшого кута трикутника, ділить протилежну сторону. б) Сторони трикутника дорівнюють 20см, 39 см і 45 см. Знайти відрізки, на які бісектриса середнього за величиною кута, ділить протилежну сторону.

64.(149.) а) Сторони трикутника дорівнюють 36 см, 25см і 29 см. Обчислити висоту, проведену до найбільшої сторони. б) Сторони трикутника дорівнюють 29см, 25см і 6 см. Обчислити висоту, проведену до найменшої сторони.

65.(150.) а) Дві сторони трикутника дорівнюють 78см і 75см, а висота, проведена до третьої сторони, дорівнює 72см. Обчислити довжини відрізків, на які ділить третю сторону висота. б) Висота трикутника ділить сторону на відрізки 30 см і 21 см. Знайти сторони трикутника, якщо проведена висота дорівнює 72 см.

66.(153.) а) Різниця двох сторін трикутника дорівнює 5 см. Висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки 9см і 16 см. Обчислити периметр трикутника.

16

б) Сума довжин двох сторін трикутника дорівнює 35 см. Висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки 9 см і 16см. Обчислити периметр трикутника.

67.(155.) а) Сума довжин двох сторін трикутника дорівнює 28 см. З вершини кута, утвореного цими сторонами, проведено висоту, яка ділить третю сторону на відрізки 9 см і 5 см. Знайти периметр трикутника. б) Різниця довжин двох сторін трикутника дорівнює 2 см. Висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки 9см і 5 см. Знайти висоту.

68.(159.) а) Дві сторони трикутника, які утворюють кут 600, відносяться як 3:8. Обчислити периметр трикутника, якщо третя сторона дорівнює 28см. б) Сторони трикутника, які утворюють кут 1200, відносяться 3:5. Обчислити периметр трикутника, якщо третя сторона дорівнює 21 см.

69.(161.) а) У трикутника одна сторона дорівнює 24 см, медіана, проведена до неї, - 14 см, а різниця двох інших сторін дорівнює 8 см. Обчислити периметр трикутника. б) У трикутнику дві сторони і медіана, проведена з вершини кута, утвореного ними, відповідно дорівнюють 14 см, 22 см і 14 см. Обчислити периметр трикутника.

70.(162.) а) Бісектриса кута трикутника, проведена з вершини до протилежної сторони, ділить її на два відрізки у відношенні 8:5. Знайти другу сторону кута, якщо перша дорівнює 16см. б) BD- бісектриса кута В трикутника АВС. Знайти сторону АС, якщо АВ: ВС=2:7 і DC-AD= 1 см. (Точка D - точка перетину бісектриси з третьою стороною трикутника).

17

71.(164.) а) Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 5 см, а медіана, проведена до третьої сторони трикутника, - 3,5 см. Знайти кут трикутника, обмеженого даними сторонами. б) Дві сторони трикутника дорівнюють 10 см і 42 см, кут між ними дорівнює середньому арифметичному інших кутів. Знайти довжину третьої сторони.

72.(169.) а) У трикутнику дві сторони і бісектриса кута між ними відповідно дорівнюють 45 см, 20 см і 24 см. Знайти відрізки третьої сторони, на які її ділить бісектриса. б) У трикутнику дві сторони дорівнюють 6 см і 12 см, а кут між ними – 1200. Знайти бісектрису даного кута.

73.(170.) а) У трикутнику із сторонами 12см, 15 см і 18 см знайти бісектрису найбільшого кута. б) У трикутнику із сторонами 7 см, 6 см і 8 см знайти бісектрису середнього за величиною кута.

74.(172.) а) З однієї точки до заданої прямої проведено перпендикуляр та дві похилі. Знайти довжину перпендикуляра, якщо проекції похилих відносяться як 3:10, а похилі дорівнюють 41 см і 50 см. б) З однієї точки до заданої прямої проведено перпендикуляр та дві похилі. Знайти довжину перпендикуляра, якщо похилі дорівнюють 92 см і 100 см, а різниця їх проекцій - 14 см.

75.(175.) а) У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 12 см, а кут при вершині - 1200. Серединні перпендикуляри до бічних сторін перетинаються в точці М. Знайти відстань від точки М до середини основи. б) У гострокутному трикутнику з основою 16см проведені серединні перпендикуляри до бічних сторін, які перетинаються у точці К. Знайти відстань від точки К до основи, якщо відстань від точки К до вершини трикутника дорівнює 10 см.

18

4. ПАРАЛЕЛОГРАМ І ЙОГО ВИДИ. Обов’язковий рівень.

76. (182.) а) Різниця двох сторін паралелограма дорівнює 4 см. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 40 см. б) Сума двох сторін паралелограма дорівнює 20 см. Знайти сторони паралелограма, якщо вони відносяться як 2 : 3.

77. (183.) а) Периметр паралелограма дорівнює 60 см. Знайти сторони паралелограма, якщо вони відносяться як 2 : 3. б) Одна сторона паралелограма у 2 рази більша від другої. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 36 см.

78. (186.) а) Периметр паралелограма дорівнює 70 см. Одна сторона більша від другої на 5 см. Знайти сторони паралелограма. б) Периметр паралелограма дорівнює 70 см. Одна сторона дорівнює 15 см. Знайти другу сторону паралелограма.

79. (189.) а) Сторони прямокутника дорівнюють 20 і 15 см. Знайти діагональ прямокутника. б) Одна сторона прямокутника більша від другої на 5 см. Знайти сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 25 см.

80. (190.) а) Менша сторона прямокутника дорівнює 12 см. Знайти діагональ прямокутника, якщо кут, який вона утворює з більшою основою, дорівнює 30 0. б) Менша сторона прямокутника дорівнює 24 см, а кут, який вона утворює з діагоналлю, дорівнює 60 0. Знайти діагональ прямокутника.

19

81. (193.) а) Менша діагональ ромба утворює з його сторонами рівносторонній трикутник. Знайти кути ромба. б) Більша діагональ ромба з його стороною утворює кут 0 30 .Знайти кути ромба.

82. (195.) а) Один з кутів ромба дорівнює 60 0, а менша діагональ – 8 см. Обчислити периметр ромба. б) Периметр ромба дорівнює 80 см, а гострий кут – 600. Обчислити меншу діагональ ромба.

83. (198.) а) З точки перетину діагоналей квадрата проведено перпендикуляр на його сторону. Знайти довжину перпендикуляра, якщо периметр квадрата дорівнює 24 см. б) Довжина перпендикуляра, опущеного з точки перетину його діагоналей на сторону, дорівнює 3 см . Обчислити периметр квадрата. Підвищений рівень.

84. (199.) а) Сторони паралелограма дорівнюють 7,5 см і 10 см. Знайти відрізки більшої сторони паралелограма, на які ділить її бісектриса гострого кута. б) Бісектриса гострого кута паралелограма ділить більшу його сторону на два відрізки довжиною 4 і 1,5 см. Обчислити периметр паралелограма.

85. (201.) а) Діагональ паралелограма перпендикулярна до однієї сторони паралелограма, а з другою стороною паралелограма утворює кут 45 0. Знайти кути паралелограма. б) Діагональ паралелограма перпендикулярна до однієї сторони паралелограма, а з другою стороною паралелограма утворює кут 30 0. Знайти кути паралелограма.

86. (202.) а) Діагоналі паралелограма дорівнюють 12 і 14 см, а різниця його сторін – 4 см. Знайти сторони паралелограма. б) Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а різниця його діагоналей – 2 см. Знайти діагоналі паралелограма.

20

87. (203.) а) Діагоналі паралелограма дорівнюють 16 см і 28 см. Одна сторона паралелограма – 18 см. Обчислити периметр паралелограма. б) Сторона паралелограма дорівнює 14 см. Обчислити периметр паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 16см і 28 см.

88. (205.) а) Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см, а діагоналі відносяться як 4 : 7.Знайти діагоналі паралелограма. б) Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 14 см, а сторони відносяться як 7 : 9. Обчислити периметр паралелограма.

89. (206.) а) Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см, а сума діагоналей – 22 см. Знайти діагоналі паралелограма. б) Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 14 см, а периметр - 32 см. Знайти сторони паралелограма.

90. (208.) а) Сторони прямокутника відносяться як 3 : 4. Обчислити периметр прямокутника, якщо довжина кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює 30  см. б) Різниця сторін прямокутника дорівнює 4 см. Обчислити периметр прямокутника , якщо довжина кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює 20  см.

91. (209.) а) У прямокутнику діагоналі перетинаються під кутом 120 0. Знайти сторони прямокутника , якщо сума довжин діагоналей дорівнює 24 см. б) Діагоналі прямокутника перетинаються під кутом 60 0, а сума довжин діагоналей і його менших сторін дорівнює 24 см. Знайти сторони прямокутника.

92. (210.) а) Перпендикуляр, опущений з вершини прямокутника на його діагональ, ділить її на частини , довжини яких відносяться як 1 : 3 . Знайти кут між діагоналями. б) Точка М ділить сторону AD прямокутника ABCD у відношенні 1 : 2 , причому MB = MD. Знайти кут між діагоналями.

21

93. (212.) а) Перпендикуляр, опущений з однієї вершини прямокутника на його діагональ, ділить її на відрізки 2 см і 18 см. Знайти сторони прямокутника. б) Перпендикуляр, опущений з однієї вершини прямокутника на його діагональ, ділить її на відрізки у відношенні 1 : 9 . Знайти сторони прямокутника, якщо довжина перпендикуляра – 36 см.

94. (214.) а) З вершини кута прямокутника проведено бісектрису, яка ділить діагональ на два відрізки, різниця яких дорівнює 10 см. Обчислити периметр прямокутника, якщо його сторони відносяться як 4 : 3. б) З вершини кута прямокутника проведено бісектрису, яка ділить діагональ на два відрізки у відношенні 5 : 12. Обчислити периметр прямокутника, якщо різниця сторін прямокутника дорівнює 7 см.

95. (217.) а) Діагоналі ромба відносяться як 3 : 4. Знайти діагоналі ромба, якщо його периметр дорівнює 100 см. б) Периметр ромба дорівнює 32 см. Висота, проведена з вершини тупого кута, ділить протилежну сторону пополам. Знайти діагональ, проведену з цієї ж вершини і кути ромба.

96. (219.) а) Висота ромба дорівнює 12 см, а його менша діагональ – 15 см. Знайти периметр ромба. б) Периметр ромба дорівнює 50 см, а його менша діагональ – 15 см. Знайти периметр ромба.

97. (226.) а) Сторони паралелограма дорівнюють 16 см і 6 см. Бісектриси двох кутів, прилеглих до більшої основи, ділять протилежну сторону на три частини. Знайти кожну з них. б) Сторони паралелограма дорівнюють 16 см і 6 см. Бісектриси двох кутів, прилеглих до меншої сторони, перетинаються з продовженням протилежної сторони у точках К і М. Знайти КМ.

98. (231.)

22

а) Сторони паралелограма дорівнюють 23 см і 11 см, а діагоналі відносяться як 2 : 3. Знайти діагоналі. б) Діагоналі паралелограма дорівнюють 17 см і 19 см, а сторони відносяться як 2 : 3. Знайти сторони.

99. (232.) а) Знайти сторони і діагоналі паралелограма, якщо більша сторона дорівнює меншій діагоналі; різниця сторін дорівнює 3 см, а різниця діагоналей – 2 см. б) Знайти сторони і діагоналі паралелограма, якщо більша сторона менша від більшої діагоналі на 8 см і різниця сторін дорівнює 2 см, а різниця діагоналей – 4 см.

100. (235.) а) Одна з діагоналей паралелограма, що дорівнює 3 6 см, утворює із стороною паралелограма кут 60 0. Знайти другу діагональ, якщо вона утворює з тією ж стороною кут 45 0. б) Одна з діагоналей паралелограма, що дорівнює 5 6 см, утворює із стороною паралелограма кут 45 0. Знайти другу діагональ, якщо вона утворює з тією ж стороною кут 60 0.

23

5. ТРАПЕЦІЯ. Обов’язковий рівень.

101. (241.) а) Середня лінія трапеції дорівнює 25 см. Знайти основи трапеції, якщо їх різниця дорівнює 10 см. б) Середня лінія трапеції дорівнює 30 см. Знайти основи трапеції, якщо менша основа дорівнює половині більшої.

102. (243.) а) У рівнобічній трапеції кути, що прилягають до бічної сторони відносяться як 1 : 2. Знайти кути трапеції. б) У рівнобічній трапеції різниця кутів, що прилягають до бічної сторони, дорівнює 60 0. Знайти кути трапеції.

103. (245.) а) Менша основа трапеції дорівнює 10 см. Знайти середню лінію трапеції, якщо більша основа в 2,5 рази більша від меншої основи трапеції. б) більша основа трапеції дорівнює 24 см. Знайти середню лінію трапеції, якщо менша основа становить

3 від більшої основи трапеції.

8

104. (246.) а) У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 10 см і 16 см, а висота – 4 см. Знайти бічну сторону трапеції. б) У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 12 см і 18 см, а висота – 4 см. Знайти бічну сторону трапеції.

105. (250.) а) У рівнобічній трапеції кут при основі дорівнює 30 0. Знайти висоту трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 21 см. б) У рівнобічній трапеції кут при основі дорівнює 30 0. Знайти бічну сторону трапеції, якщо її висота дорівнює 7,5 см.

106. (253.) а) Основи трапеції дорівнюють 5 см і 12 см. Знайти відрізки середньої лінії, на які поділила її діагональ. б) Діагональ трапеції поділила середню лінію на відрізки 2,5 см і 6,5 см. Знайти основи трапеції.

24

107. (254.) а) У прямокутній трапеції кут при основі 45 0. Знайти висоту трапеції, якщо основи дорівнюють 8 см і 13 см. б) У прямокутній трапеції бічна сторона дорівнює 6 2 см. Знайти висоту трапеції, якщо кут при основі дорівнює 45 0.

108. (255.) а) У прямокутній трапеції кут при основі дорівнює 30 0. Знайти висоту трапеції, якщо бічна сторона дорівнює 24 см. б) У прямокутній трапеції кут при основі дорівнює 60 0. Знайти висоту трапеції, якщо бічна сторона дорівнює 12 см.

109. (257.) а) Периметр рівнобічної трапеції дорівнює 40 см, а середня лінія – 10 см. Знайти бічну сторону трапеції. б) Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює середній лінії. Знайти бічну сторону трапеції, якщо її периметр дорівнює 60 см. Підвищений рівень.

110. (260.) а) У рівнобічній трапеції основи відносяться як 4 : 9, бічна сторона дорівнює 13 см, а висота – 12 см. Обчислити периметр трапеції. б) У рівнобічній трапеції кути при основі дорівнюють 30 0, а висота – 5 см. Обчислити периметр трапеції, якщо середня лінія дорівнює 12,5 см.

111.(261.) а) Основи трапеції дорівнюють 24 см і 36 см, а її діагоналі – 20 см і 35 см. Знайти відрізки, на які діляться діагоналі в точці їх перетину. б) Середня лінія трапеції дорівнює 25 см, а її діагоналі в точці перетину діляться у відношенні 7 : 3. Знайти основи трапеції.

112. (263.) а) У рівнобічній трапеції діагональ ділить кут при більшій основі пополам. Бічна сторона дорівнює 20 см, а основи відносяться як 2 : 5 . Обчислити периметр трапеції.

113. (264.) а) Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 20 см. Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони і з більшою основою утворює кут 30 0. Обчислити периметр трапеції. б) У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 11 см і 21 см, а діагональ – 20 см. Обчислити периметр трапеції.

25

114.(265.) а) У рівнобічній трапеції бічна сторона і менша основа відносяться як 5 : 3. Через вершину тупого кута проведена пряма, паралельна бічній стороні, яка ділить більшу основу на відрізки 24 см і 18 см. Обчислити периметр трапеції. б) Бічна сторона трапеції дорівнює середній лінії. Периметр трапеції – 80 см. Пряма, проведена з вершини тупого кута, паралельна бічній стороні, ділить основу у відношенні 2 : 3. Знайти основи трапеції.

115.(266.) а) Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює 5 см. Діагональ ділить середню лінію на відрізки 5 см і 2 см. Знайти висоту трапеції. б) Основи і висота рівнобічної трапеції відносяться як 2 : 5 : 2. Обчислити периметр трапеції, якщо середня лінія дорівнює 7 см.

116.(268.) а) У рівнобічній трапеції висота, проведена із вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки 10 см і 20 см. Знайти відношення основ трапеції. б) Периметр трапеції дорівнює 40 см, менша основа – 10 см. З вершини тупого кута проведена пряма, паралельна бічній стороні. Обчислити периметр утвореного трикутника.

117. (270.) а) Середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює 18 см, основи відносяться як 1 : 5 . Знайти висоту трапеції , якщо бічна сторона дорівнює 15 см. б) Середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює 20 см, а висота – 15 см. Знайти діагональ і бічну сторону трапеції, якщо основи відносяться як 3 : 7.

118.(273.) а) Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні. Висота трапеції дорівнює 10 см. Знайти середню лінію трапеції. б) Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні. Середня лінія трапеції дорівнює 8 см. Знайти висоту трапеції.

119.(276.) а) У прямокутній трапеції бічні сторони дорівнюють 20 см і 25 см. Обчислити периметр трапеції, якщо більша діагональ є бісектрисою меншого кута трапеції.

26

б) У прямокутній трапеції менша діагональ є бісектрисою прямого кута. Основи відносяться як 4 : 7 . Обчислити периметр трапеції, якщо менша бічна сторона дорівнює 20 см.

120.(277.) а) У прямокутній трапеції більша діагональ є бісектрисою прямого кута. Обчислити периметр трапеції, якщо основи дорівнюють 7 см і 12 см. б) У прямокутній трапеції більша діагональ є бісектрисою прямого кута. Основи відносяться як 7 : 12. Обчислити периметр трапеції, якщо її середня лінія дорівнює 19 см.

121.(278.) а) Діагональ трапеції ділить середню лінію на два відрізки у відношенні 4 : 7 . Знайти основи трапеції якщо різниця відрізків дорівнює 6 см. б) Основи трапеції відносяться як 4 : 7 , а їх різниця дорівнює 12 см. Знайти середню лінію трапеції.

122.(280.) а) У рівнобічній трапеції бічна сторона дорівнює 20 см, а висота – 16 см. Обчислити периметр трапеції, якщо діагональ є бісектрисою гострого кута. б) У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою тупого кута. Бічна сторона дорівнює 13 см , а висота – 12 см. Обчислити периметр трапеції. Поглиблений рівень.

123.(285.) а) Периметр трапеції дорівнює 66 см, кути при більшій основі – по 60 0. Діагональ ділить середню лінію на частини, одна з яких на 7 см менша від другої. Знайти сторони трапеції. б) Периметр трапеції дорівнює 74 см, кути при меншій основі – по 120 0. Діагональ ділить середню лінію на частини, одна з яких на 5 см довша від другої. Знайти сторони трапеції.

124.(289.) а) Середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює 30 см, верхня основа – 17 см, а бічна сторона 26 см. Знайти кути трапеції. б) Середня лінія рівнобічної трапеції дорівнює 22 см, нижня основа – 27 см, а бічна сторона 10 см. Знайти кути трапеції.

27

125.(292.) а) У прямокутній трапеції менша діагональ дорівнює 30 см і перпендикулярна до більшої бічної сторони. Знайти більшу основу трапеції, якщо менша дорівнює 24 см. б) У прямокутній трапеції менша діагональ дорівнює 15 см і перпендикулярна до більшої бічної сторони. Знайти меншу основу трапеції, якщо більша дорівнює 18,75 см.

28

6. КОЛО, ЙОГО ЕЛЕМЕНТИ. Обов’язковий рівень.

126.(299.) а) Центральний кут опирається на хорду, яка стягує дугу в 120 0 . Знайти кути трикутника, утвореного сторонами центрального кута і хордою. б) У трикутнику, утвореному двома радіусами і хордою, яка сполучає кінці радіусів, кут при хорді дорівнює 70 0. Знайти градусну міру дуги, яку стягує хорда.

127.(302.) а) Три точки кола А, В і С ділять його на дуги, градусна міра яких дорівнює 60 0, 140 0, 160 0. Знайти кути трикутника АВС. б) Кути трикутника дорівнюють 28 0, 72 0, 80 0. Знайти градусну міру дуг, на які точки А, В і С поділили коло.

128.(305.) а) У колі проведено хорду довжиною 12 см. Знайти відстань від центра кола хорди, якщо його радіус дорівнює 10 см. б) У колі проведено хорду довжиною 12 см. Знайти радіус кола, якщо відстань від центра кола до хорди дорівнює 8 см.

129.(309.) а) У колі проведено хорду, кінці якої сполучено з центром. Кут, утворений хордою і радіусом, дорівнює 30 0. Знайти радіус кола, якщо відстань від центра кола до хорди дорівнює 4,5 см. б) К колі проведено хорду АВ довжиною 16 см, кінці якої сполучено з центром кола. Знайти радіус кола, якщо центральний кут АОВ дорівнює 60 0 .

130.(312.) а) У колі проведено дві паралельні хорди АВ і CD рівні за довжиною і віддалені від центра на 5 см. Якщо точки А і С; В і D попарно сполучити, то відстань від хорди АС до центра дорівнює 8 см. Обчислити периметр утвореного чотирикутника ABDC. б) У колі проведено дві паралельні хорди довжиною 8 см і 12 см. Кінці хорд попарно сполучено. Знайти довжини отриманих хорд, якщо периметр чотирикутника дорівнює 40 см.

131.(313.) а) Знайти радіус кола, якщо найбільша відстань від точки, взятої поза колом до нього дорівнює 30 см, а найменша – 12 см. б) Знайти діаметр кола, якщо найбільша відстань від точки, взятої поза колом до нього дорівнює 25 см, а найменша – 5 см.

29

132.(317.) а) Відстань від точки, взятої на колі до кінців діаметра дорівнює 10 см і 24 см. Знайти радіус кола. б) Відстань від точки кола до кінців діаметра дорівнює 30 см і 40 см. Знайти діаметр кола. Підвищений рівень.

133.(319.) а) Хорда довжиною 16 см віддалена від центра кола на 4 см. Знайти радіус кола та його довжину. б) Хорда довжиною 18 см віддалена від центра кола на 12 см. Знайти радіус кола та його довжину.

134.(321.) а) З точки до кола проведено дві дотичні, які утворюють кут 0 120 . Знайти довжину дотичної, якщо відстань від точки до центра кола дорівнює 18 см. б) ) З точки до кола проведено дві дотичні, які утворюють кут 60 0. Знайти довжину дотичної, якщо відстань від точки до центра кола дорівнює 9 см.

135.(322.) а) З точки кола проведено діаметр і хорду. Знайти проекцію хорди на діаметр, якщо радіус кола дорівнює 9 см, а довжина хорди – 12 см. б) З точки кола проведено діаметр і хорду. Проекція хорди на діаметр дорівнює 4 см, а довжина хорди – 12 см. Знайти радіус кола.

136.(323.) а) У кут АВС вписано коло. Точки дотику ділять коло на дві частини, які відносяться як 7 : 2. Визначити кут АВС. б) Коло поділене точками А, В і С на дуги, які відносяться як 2 : 3 : 4.Через точки А, В і С проведені дотичні до їх взаємного перетину. Знайти кути утвореного трикутника.

137.(324.) а) З точки кола опущено перпендикуляр на діаметр. Знайти його довжину, якщо відрізки діаметра дорівнюють 16 см і 9 см. б) З точки кола опущено перпендикуляр на діаметр. Знайти його довжину, якщо відрізки діаметра дорівнюють 3 см і 12 см.

138.(325.) а) З точки кола опущено перпендикуляр на діаметр. Знайти радіус кола, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 30 см і його основа ділить діаметр на відрізки у відношенні 4 : 9.

30

б) З точки кола опущено перпендикуляр на діаметр. Знайти його довжину, якщо відрізки діаметра дорівнюють 3 см і 12 см.

139.(326.) а) Коло поділене у відношенні 7 : 11 : 6. Точки поділу сполучені між собою. Знайти кути отриманого трикутника. б) Коло поділене у відношенні 11 : 15 : 10 Точки поділу сполучені між собою. Знайти кути отриманого трикутника.

140.(327.) а) Через кінці хорди АВ, яка ділить коло у відношенні 1 : 8, проведені дві дотичні. Визначити кути утвореного трикутника. б) Через кінець хорди АВ, яка ділить коло у відношенні 2 : 7, проведена дотична. Знайти кут, утворений хордою і дотичною та кути трикутника АОВ, де т. О – центр кола.

141.(329.) а) З двох хорд, що перетинаються, одна поділилась на частини довжиною 48 см і 3 см, а друга – навпіл. Знайти довжину другої хорди. б) З двох хорд, що перетинаються, одна поділилась на частини довжиною 12 см і 18 см, а друга – у відношенні 3 : 8. Знайти довжину другої хорди.

142.(331.) а) На дотичній від кола від точки дотику по обидві сторони відмічено точки, відстань між якими – 32 см. Знайти радіус кола, якщо ці точки віддалені від центра на 20 см. б) На дотичній від кола від точки дотику по обидві сторони відмічено точки, відстань між якими – 48 см. Знайти радіус кола, якщо ці точки віддалені від центра на 30 см.

143.(335.) а) Дотична і січна, що проведені з однієї точки поза колом до нього, відповідно дорівнюють 5 см і 10 см. Відстань від центра кола до січної – 2 см. Знайти радіус кола. б) Дотична і січна, що проведені з однієї точки поза колом до нього, відповідно дорівнюють 4 см і 8 см. Відстань від центра кола до січної – 12 см. Знайти радіус кола.

144.(336.) а) З точки поза колом проведено січну і дотичну. Знайти довжину дотичної, якщо вона на 5 см більша від зовнішньої частини та на стільки ж менша від внутрішньої частини січної.

31

б) З точки поза колом проведено січну і дотичну. Знайти дотичну, якщо січна дорівнює 10 см, а її внутрішня частина більша від зовнішньої на довжину дотичної.

145.(337.) а) З точки поза колом проведено січну і дотичну, сума яких дорівнює 30 см, а внутрішня частина січної на 2 см менша від дотичної. Знайти січну і дотичну. б) ) З точки поза колом проведено січну і дотичну, сума яких дорівнює 15 см, а зовнішня частина січної на 2 см менша від дотичної. Знайти січну і дотичну.

146.(340.) а) З точки до кола проведено дві дотичні, які утворюють собою кут 60 0 . Радіус кола дорівнює 4 3 см. Знайти відстань точками дотику та довжину дотичної. б) З точки до кола проведено дві дотичні, які утворюють собою кут 120 0 . Радіус кола дорівнює 12 см. Знайти відстань точками дотику та довжину дотичної.

між між між між

147.(341.) а) Вершини трикутника АВС лежать на колі, АВ : ВС = “ : 3. Точка F ділить дугу АС навпіл. BF перетинає АС у точці D. Через точку D проведена хорда MN так, що MD = 4 см, DN = 6 см. Знайти АС. б) Вершина трикутника АВС лежить на колі, АВ : ВС = 4 : 9. Точка D ділить дугу АС навпіл. BD перетинає АС у точці К. Через точку К проведена хорда MF так, що МК = 9 см, KF = 8 см. Знайти АС.

148.(342.) а) Коло задано рівнянням : х 2 + у 2 – 6х + 2у – 6 = 0. Знайти центр кола, радіус кола та довжину хорди, яка знаходиться між точками перетину кола з віссю ОХ. б) Коло задано рівнянням : х 2 + у 2 – 4х + 4у – 1 = 0. Знайти центр кола, радіус кола та довжину хорди, яка знаходиться між точками перетину кола з віссю ОУ.

149.(343.) а) Довжина перпендикуляра з точки кола на радіус дорівнює 22,5 см і ділить його у відношенні 3 : 2 ( починаючи від центра). Знайти довжину радіуса.

32

б) Довжина перпендикуляра з точки кола на радіус дорівнює 34 см і ділить його у відношенні 8 : 9 ( починаючи від центра). Знайти довжину радіуса.

150.(345.) а) На діаметрі CD вибрана точка М. Через цю точку проведена хорда АВ. Знайти СМ і MD , якщо АМ = 4 см, ВМ = 3 см, AD = 6,5 см,  АВС = 60 0. б) На діаметрі АВ вибрана точка F. Через цю точку проведена хорда CD. Знайти AF і FD, якщо CF = 8 см, FB = 6 см, ВС = 13 см,  CDB = 60 0.

33

7. ОПУКЛІ ТА ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ. Обов’язковий рівень.

151.(350.) а) Радіус кола , вписаного в правильний трикутник, дорівнює 2 3 см. Знайти сторону трикутника. б) Сторона правильного трикутника дорівнює 6 3 см. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник.

152.(352.) а) Сторона правильного чотирикутника дорівнює 4 см. Знайти радіус кола, описаного навколо правильного чотирикутника. б) Радіус кола, описаного навколо правильного чотирикутника, дорівнює 6 2 см. Знайти сторону чотирикутника.

153.(354.) а) Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює 4 2 см. Знайти відношення сторони квадрата до радіуса. б) Сторона квадрата дорівнює 3 2 см. Знайти відношення сторони квадрата до радіуса кола, описаного навколо квадрата.

154.(357.) а) Радіус кола, вписаного в квадрат, дорівнює 5 см. Знайти діагональ квадрата. б) Діагональ квадрата дорівнює 4 2 см. Знайти радіус кола, вписаного в квадрат.

155.(360.) а) Сторона правильного шестикутника дорівнює 8 3 см. Знайти радіус кола, вписаного в шестикутник. б) Радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює 5 3 см. Знайти сторону шестикутника. Підвищений рівень.

156.(364.) а) Дано опуклий дев’ятикутник з рівними кутами. Знайти ці кути. б) Сума кутів опуклого многокутника дорівнює 540 0. Знайти кількість його сторін.

157.(365.) а) Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника на 540 більша від суми його зовнішніх кутів. Знайти кількість його сторін.

34

0

б) Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника на 1440 більша від суми його зовнішніх кутів. Знайти кількість його сторін.

0

158.(366.) а) Три кута опуклого многокутника дорівнюють по 80 0, всі інші – по 150 0. Знайти кількість вершин цього многокутника. б) П’ять кутів опуклого многокутника дорівнюють по 140 0, всі інші – по 100 0. Знайти кількість вершин цього многокутника.

159.(367.) а) Опуклий чотирикутник вписано у коло. Два його кути дорівнюють по 78 0. Знайти інші кути. б) Опуклий чотирикутник вписано у коло. Два його кути дорівнюють 39 0 і 112 0 . Знайти інші кути.

160.(368.) а) Внутрішній кут правильного многокутника на 144 0 більший від зовнішнього. Знайти кількість його сторін. б) Внутрішній кут правильного многокутника на 90 0 більший від зовнішнього. Знайти кількість його сторін.

161.(370.) а) Зовнішній кут правильного многокутника на 108 0 менший від внутрішнього. Знайти кількість його вершин. б) Зовнішній кут правильного многокутника на 120 0 менший від внутрішнього. Знайти кількість його вершин.

162.(370.) а) Внутрішній кут правильного многокутника у 8 разів більший від зовнішнього. Знайти кількість його вершин. б) Внутрішній кут правильного многокутника у 5 разів більший від зовнішнього. Знайти кількість його вершин.

163.(371.) а) Число діагоналей опуклого многокутника дорівнює 54. Знайти кількість його сторін. б) Число діагоналей опуклого многокутника дорівнює 90. Знайти кількість його сторін.

164.(374.) а) Знайти сторону правильного восьмикутника, якщо його апофема дорівнює 2 (1 + 2 ) см.

35

б) Знайти сторону правильного дванадцятикутника , якщо його апофема дорівнює 3 (2 + 3 ) см. Поглиблений рівень.

165.(379.) а) Периметр правильного многокутника дорівнює 60 см, а сума внутрішніх кутів – 1800 0. Знайти його сторону. б) Сума внутрішніх кутів правильного многокутника дорівнює 900 0, а його периметр – 56 см. Знайти його сторону.

36

8. КОЛО І МНОГОКУТНИКИ. Обов’язковий рівень.

166.(385.) а) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см, а основа – 24 см. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника. б) Радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, дорівнює 25 см. Площа трикутника – 192 см 2 . Знайти бічну сторону трикутника, якщо його основа дорівнює 24 см.

167.(388.) а) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 192 см 2, а його бічна сторона – 20 см. Знайти основу трикутника, якщо радіус кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює 6 см. б) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 20 см, а основа – 24 см. Знайти площу трикутника, якщо радіус кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює 6 см.

168.(389.) а) Площа трикутника дорівнює 96 см 2. Знайти радіус кола, вписаного в цей трикутник, якщо периметр трикутника дорівнює 64 см. б) Площа трикутника дорівнює 96 см 2.Обчислити периметр трикутника, якщо радіус кола, вписаного в цей трикутник дорівнює 3 см.

169.(391.) а) Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13 см. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника. б) Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює 6,5 см. Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника.

170.(392.) а) Катети прямокутного трикутника відносяться як 5 : 12. Знайти сторони трикутника, якщо радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює 13 см. б) Сторони прямокутного трикутника відносяться як 3 : 4 : 5 , а його периметр дорівнює 48 см. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника.

171.(394.) а) Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 4, а радіус кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює 4 см. Знайти сторони трикутника.

37

б) Катети прямокутного трикутника відносяться як 5 : 12 а радіус кола, вписаного в цей трикутник, дорівнює 4 см. Знайти сторони трикутника.

172.(395.) а) У чотирикутнику ABCD кути дорівнюють :  А = 100 0,  В = 110 0,  С = 80 0,  D = 130 0. Чи можна описати коло навколо чотирикутника АВСD? б) Чотирикутник АВСD вписано у коло. Знайти кутим С і D , якщо відомо, що  А = 80 0 ,  В = 130 0.

173.(397.) а) Чи можна в чотирикутник АВСD вписати коло, якщо його сторони відповідно дорівнюють АВ – 12 см, ВС = 10 см, СD = 18 см, АD = 20 см ? б) У чотирикутник АВСD вписано коло. Знайти сторону ВС, якщо АВ = 25 см, СD = 15 см, АD = 18 см.

174.(398.) а) Сторони чотирикутника АВСD відносяться як 3 : 5 : 6 : 4. Знайти сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 54 см. Чи можна в цей чотирикутник вписати коло ? б) У чотирикутнику ABCD сума сторін АВ СD дорівнює 60 см, а сторони ВС і АD відносяться як 2 : 3. Знайти сторони ВС і АD, якщо в цей чотирикутник вписано коло.

175.(400.) а) Периметр чотирикутника, описаного навколо кола, дорівнює 84 см. Знайти суму двох протилежних сторін чотирикутника. б) У чотирикутнику різниця двох протилежних сторін, які відносяться як 7 : 3 , дорівнює 20 см. Обчислити периметр чотирикутника, описаного навколо кола.

176.(402.) а) Стороні прямокутника, вписаного в коло, дорівнюють 12 см і 16 см. Знайти радіус кола. б) Сторони прямокутника відносяться як 3 : 4. Знайти сторони прямокутника, якщо радіус кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює 10 см.

177.(405.) а) Основи трапеції, описаної навколо кола, дорівнюють 12 і 20 см. Знайти суму бічних сторін трапеції.

38

б) Сума бічних сторін трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 40 см. Знайти середню лінію трапеції.

178.(406.) а) Периметр трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 80 см. Знайти середню лінію трапеції. б) Середня лінія трапеції , описаної навколо кола, дорівнює 25 см. Обчислити периметр трапеції. Підвищений рівень.

179.(407.) а) Знайти хорду дуги, яка містить 135 0, якщо радіус кола – 4 см. б) Знайти хорду дуги, яка містить 150 0, якщо радіус кола – 5 см.

180.(410.) а) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а висота – 8 см. Знайти радіус описаного кола. б) Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 13 см, а висота – 12 см. Знайти радіус описаного кола.

181.(411.) а) У коло радіуса 8 см вписано прямокутник. Знайти його сторони, якщо менша з них стягує дугу 60 0. б) У коло радіуса 15 см вписано прямокутник. Знайти його сторони, якщо менша з них стягує дугу 120 0.

182.(413.) а) Навколо кола описана рівнобічна трапеція, кут при основі якої дорівнює 30 0. Висота трапеції – 4 см. Знайти середню лінію трапеції. б) Навколо кола описана рівнобічна трапеція, кут при основі якої дорівнює 60 0. Середня лінія трапеції – 4 3 см. Знайти висоту трапеції.

183.(414.) а) У прямокутний трикутник вписано коло. Точка його дотику з гіпотенузою ділить її на частини, що дорівнюють 6 см і 4 см. Знайти радіус кола.

39

б) У прямокутний трикутник вписано коло. Точка його дотику з гіпотенузою ділить її на частини, що дорівнюють 10 см і 3 см. Знайти радіус кола.

184.(415.) а) Знайти радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію, якщо її основи дорівнюють 8 см і 2 см. б) Знайти радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію, якщо її основи дорівнюють 18 см і 8 см.

185.(417.) а) Периметр ромба дорівнює 40 см, а одна з діагоналей – 16 см. Знайти радіус вписаного в ромб кола. б) Периметр ромба дорівнює 52 см, а одна з діагоналей – 24 см. Знайти радіус вписаного в ромб кола.

186.(419.) а) Діаметр СD кола перпендикулярний хорді АВ. АВ і СD перетинаються у точці Е, СЕ = 2 см. Сума АВ і СЕ дорівнює діаметру кола. Знайти радіус кола. б) Діаметр АВ кола з центром у точці О перетинається з хордою СD у точці К, ОК = 5 см. Відстань від центра кола до хорди дорівнює 4 см. Знайти радіус кола і відрізки хорди, якщо довжина хорди – 16 см.

187.(421.) а) З точки М до кола з центром у точці О проведено дотичні МА і МВ. BF  AM , BF перетинає МО у точці К. Знайти кут КАВ, якщо МО = 2 ОВ. б) З точки А до кола з центром у точці О проведено дотичні АВ і АС. З точки В опущено перпендикуляр ВК до АС, який перетинає АО в точці F. Знайти кут АСF, якщо ОВ =

1 АО.

2

188.(422.) а) Бічні сторони трапеції, описаної навколо кола, відносяться як 5 : 7, а середня лінія дорівнює 36 см. Знайти бічні сторони. б) Сума бічних сторін описаної навколо кола трапеції дорівнює 32 см. Знайти основи трапеції, якщо вони відносяться як 3 : 5.

40

Поглиблений рівень.

189.(424.) а) Сторони трикутника дорівнюють 15 см, 13 см і 4 см. Знайти радіуси вписаного та описаного кіл. б) Сторони трикутника дорівнюють 35 см, 29 см і 8 см. Знайти радіуси вписаного та описаного кіл.

190.(426.) а) Знайти катети прямокутного трикутника, якщо вони відносяться як 20 : 21, а різниця між радіусом описаного і вписаного кіл дорівнює 17 см. б) Знайти катети прямокутного трикутника, якщо вони відносяться як 12 : 5, а різниця між радіусом описаного і вписаного кіл дорівнює 9 см.

191.(427.) а) Відстані від центра вписаного у прямокутну трапецію кола до кінців більшої бічної сторони дорівнюють 6 см і 8 см. Обчислити периметр трапеції. б) Навколо кола, радіус якого дорівнює 2 см, описана прямокутна трапеція. Менша основа трапеції дорівнює 3 см. Обчислити периметр трапеції.

192.(428.) а) Трапецію вписано у коло радіуса 4 см. Діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута і утворює з меншою основою кут 30 0. Знайти висоту трапеції. б) Діагональ трапеції утворює з більшою основою кут 30 0, а центр кола, описаного навколо трапеції, належить цій основі. Обчислити периметр трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 2 см.

193.(430.) а) Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайти радіус кола, центр якого – на середній за довжиною стороні і дотикається двох інших сторін . б) Сторони трикутника дорівнюють 29 см, 25 см і 6 см. Знайти радіус кола, центр якого – на меншій стороні і дотикається двох інших сторін або продовження однієї з них.

194.(431.) а) Навколо трапеції, основи якої дорівнюють 40 см і 14 см, а висота – 39 см, описано коло. Знайти його радіус. б) У коло вписано трапецію, довжини основ і відстань між ними відповідно дорівнюють 104 см, 32 см і 24 см. Знайти радіус описаного кола.

41

195.(432.) а) Довжини основ прямокутної трапеції дорівнюють 21 см і 28 см. Знаючи, що в неї можна вписати коло, знайти бічні сторони трапеції. б) Довжини бічних сторін прямокутної трапеції дорівнюють 21 см і 28 см. Знаючи, що в неї можна вписати коло, знайти основи трапеції.

196.(433.) а) Основи трапеції, вписаної в коло, дорівнюють 2 см і 2 2 см, а діагональ з бічною стороною утворює кут 45 0 . Знайти довжини дуг, які стягують основи трапеції. б) Основи трапеції, вписаної в коло, дорівнюють 5 см і 5 3 см, а діагональ з бічною стороною утворює кут 60 0 . Знайти довжини дуг, які стягують основи трапеції.

197.(434.) а) Навколо кола описано трапецію, довжини основ і однієї з бічних сторін якої дорівнюють 27 см, 6 см і 13 см. Знайти радіус цього кола. б) Навколо кола описано трапецію, довжини бічних сторін якої – 26 см, 40 см, а менша основа 12 см. Знайти довжину кола.

198.(435.) а) У рівнобедреному трикутнику з бічною стороною 10 см відстань від центра вписаного кола до вершини дорівнює 5 см. Знайти радіус кола. б) У рівнобедреному трикутнику вершина віддалена від точки перетину бісектрис на 26 см. Обчислити периметр трикутника, якщо довжина вписаного кола дорівнює 20  см.

199.(436.) а) Довжина кола, в яке вписаний правильний шестикутник, дорівнює 3 см. Знайти довжину кола , вписаного в цей шестикутник. б) Знайти радіус кола, яке вписано у правильний шестикутник, менша діагональ якого – 22 см.

200.(437.) а) Бічна сторона рівнобічної трапеції точкою дотику вписаного кола ділиться на відрізки 12 см і 48 см. Знайти висоту трапеції. б) Середня лінія рівнобічної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює 68 см. Знайти відрізки, на які точка дотику вписаного кола ділить бічну сторону, якщо нижня основа трапеції на 64 см більша від верхньої.

42

9. ПОДІБНІСТЬ ФІГУР. Обов’язковий рівень.

201.(440.) а) Трикутники АВС і А1В1С1 подібні, причому АВ = 20 см, ВС = 24 см, АС = 28 см, А1В1 = 10 см. Знайти сторони В1С1 і А1С1. б) Трикутники АВС і А1В1С1 подібні, причому АС = 10 см, А1В1 = 9 см, В1С1 = 7 см, А1С1 = 5 см. Знайти сторони АВ і ВС.

202.(443.) а) Сторони трикутника дорівнюють 2,5 см; 2 см; 3,5 см. Знайти сторони подібного йому трикутника, якщо найменша сторона дорівнює 8 см. б) Сторони трикутника дорівнюють 6 см; 8 см; 12 см. Знайти сторони подібного йому трикутника, якщо найбільша сторона дорівнює 6 см.

203.(445.) а) Сторони трикутника дорівнюють 12см; 15 см; і 18 см. Знайти сторони подібного трикутника, якщо найменша сторона дорівнює 4 см. б) Сторони трикутника дорівнюють 20 см; 24 см; і 30 см. Знайти сторони подібного трикутника, якщо найбільша сторона дорівнює 60 см.

204.(446.) а) Сторони трикутника дорівнюють 12см; 13 см; і 15 см. Знайти сторони подібного трикутника, у якого сума найменшої та найбільшої сторін дорівнює 54 см. б) Сторони трикутника дорівнюють 12см; 13 см; і 15 см. Знайти сторони подібного трикутника, у якого різниця найменшої та найбільшої сторін дорівнює 9 см.

205.(447.) а) Сторони трикутника відносяться як 4 : 4 : ?. Знайти сторони подібного трикутника, периметр якого дорівнює 35 см. б) Трикутники АВС і А1В1С1 подібні, АС = 12 см. Обчислити периметр трикутника АВС, якщо сторони трикутника А1В1С1 дорівнюють : А1В1 = 15 см; В1С1 = 12 см; А1С1 = 18 см.

206.(449.) а) Сторони чотирикутника відносяться як 3 : 5 : 7 : 6. Знайти сторони подібного чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 63 см.

43

б) Сторони п’ятикутника відносяться як 3 : 4 : 5 : 8 : 6. Знайти сторони подібного п’ятикутника , якщо різниця найбільшої та найменшої його сторін дорівнює 10 см.

207.(452.) а) Сторони прямокутного трикутника відносяться як 3 : 4 : 5. Знайти гіпотенузу подібного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 90 см. б) Сторони прямокутного трикутника відносяться як 5 : 12 : 13. Знайти катети подібного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 26 см.

208.(455.) а) Два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника. Сторони першого трикутника відносяться як 2 : 3 : 4. Знайти найменшу сторону другого трикутника, якщо його периметр дорівнює 4,5 см. б) Два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника. Сторони першого трикутника відносяться як 4 : 5 : 6. Знайти сторони другого трикутника, якщо сума найбільшої і найменшої сторін дорівнює 5 см. Підвищений рівень.

209.(458.) а) Основи трапеції дорівнюють 20 см і 30 см, а діагоналі – 41 см і 24 см. Обчислити периметри трикутників, вершинами яких є точка перетину діагоналей і кінці основ. б) Основи трапеції дорівнюють 20 см і 60 см, а діагоналі – 48 см і 36 см. Обчислити периметри трикутників, вершинами яких є точка перетину діагоналей і кінці основ.

210.(459.) а) У трикутниках АВС і KLM :  В =  К, АВ =

4 KL, КМ = 3

0,75 ВС. Знайти АС і LM, якщо їх різниця дорівнює 5 см. б) У трикутниках АВС і А1В1С1  В =  В1. Сторони першого трикутника, що утворюють кут В у 2,5 рази більші від сторін другого трикутника, що утворюють кут В1 Знайти АС і А1С1, якщо їх сума дорівнює 4,2 дм.

211.(461.) а)

Периметр одного трикутника становить

15 17

периметра

подібного йому трикутника. Сума двох відповідних сторін дорівнює 62 см. Знайти ці сторони.

44

б)

Периметр одного трикутника становить

19 периметра 15

подібного йому трикутника. Різниця двох відповідних сторін дорівнює 8 см. Знайти ці сторони.

212.(463.) а) Точка перетину діагоналей трапеції ділить одну з них на відрізки 8 см і 10 см. Знайти відрізки другої діагоналі, якщо її довжина – 27 см. б) Точка перетину діагоналей трапеції ділить одну з них на відрізки у відношенні 0,3 :

2 . Середня лінія трапеції дорівнює 29 см.

3

Знайти основи трапеції.

213.(465.) а) У трикутник, основа якого дорівнює 48 см, а висота 16 см, вписано прямокутник з відношенням сторін 5 : 9. Більша сторона прямокутника лежить на основі трикутника. Знайти сторони прямокутника. б) У трикутник, основа якого дорівнює 12 см, а висота 4 см, вписано прямокутник з відношенням сторін 4 : 3. Менша сторона прямокутника лежить на основі трикутника. Знайти сторони прямокутника.

214.(466.) а) Площі двох подібних трикутників дорівнюють 16 см 2 і 25 см 2. Одна із сторін першого трикутника – 2 см. Знайти відповідну їй сторону другого трикутника. б) Сторони двох подібних трикутників відносяться як 4 : 5, а сума їх площ дорівнює 41 см 2.Знайти площу кожного трикутника.

215.(467.) а) Діагональ трапеції ділить її на два подібні трикутника. Обчислити периметр трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 9 см і 12 см . б) Діагональ АС трапеції АВСD – бісектриса гострого кута А і ділит трапецію на два подібних трикутника. Обчислити периметр трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 9 см і 12 см.

216.(469.) а) Найбільші сторони двох подібних многокутників дорівнюють 35 см і 14 см, а різниця їх периметрів – 60 см. Обчислити периметри многокутників. б) Найменші сторони двох подібних многокутників дорівнюють 5 см і 2 см, а сума їх периметрів – 112 см. Обчислити периметри многокутників.

45

Поглиблений рівень.

217.(470.) а) Висота CD трикутника АВС ділить медіану ВМ у відношенні 3 : 1 , відраховуючи від В. У якому відношенні ця висота ділить сторону АВ ? б) Медіана ВМ ділить висоту АD трикутника АВС у відношенні 3 : 1, відраховуючи від вершини. У якому відношенні ця висота ділить медіану ВМ ?

218.(472.) а) Пряма, паралельна основі трикутника, відтинає від нього трикутник, сторони якого у чотири рази менші від сторін даного трикутника. Знайти площу даного трикутника, якщо площа утвореної трапеції дорівнює 30 см 2. б) Пряма, паралельна основі трикутника, відтинає від нього трикутник, сторони якого у три рази менші від сторін даного трикутника. Знайти площу даної трапеції, якщо площа заданого трикутника дорівнює 27 см 2.

219.(474.) а) У трикутник , основа якого дорівнює 30 см, а висота – 10 см, вписано прямокутний рівнобедрений трикутник так, що гіпотенуза паралельна основі даного трикутника, а вершина прямого кута лежить на цій основі. Знайти гіпотенузу. б) У трикутник , основа якого дорівнює 36 см, а висота – 18 см, вписано прямокутний рівнобедрений трикутник так, що гіпотенуза паралельна основі даного трикутника, а вершина прямого кута лежить на цій основі. Знайти катети.

220.(475.) а) Дано трикутник АВС , у якому ВD – висота, АЕ – бісектриса кута А, EF – перпендикуляр на АС. Знайти EF, якщо BD = 30 см і АВ : АС = 7 : 8. б) Дано трикутник АВС, у якому ВМ – медіана, яка дорівнює 36 см, AF – бісектриса кута А, FN паралельно ВМ. Знайти FN , якщо АВ : АС = 11 : 7.

46

10. ПЛОЩА ФІГУР. Обов’язковий рівень.

221.(478.) а) У трикутнику АВС : АС = 12 см, а висота, проведена до неї – 10 см. Знайти висоту, проведену до сторони ВС, якщо ВС = 15 см. б) У трикутнику АВС : ВС = 18 см, а висота, проведена до неї – 10 см. Знайти сторону АВ, якщо висота, проведена до неї дорівнює 12 см.

222.(488.) а) Сторони паралелограма дорівнюють 20 см і 16 см. Висота, проведена до більшої сторони паралелограма, дорівнює 4 см. Знайти висоту, проведену до меншої сторони паралелограма. б) Висоти паралелограма дорівнюють 4 см і 5 см. Більша сторона паралелограма дорівнює 20 см. Знайти меншу сторону паралелограма.

223.(490.) а) Сторони прямокутника відносяться як 3 : 4, а діагональ дорівнює 10 см. Знайти площу прямокутника. б) Одна сторона прямокутника дорівнює 12 см, а діагональ – 13 см. Знайти площу прямокутника.

224.(491.) а) Сторона ромба дорівнює 10 см, а одна діагональ – 16 см. Знайти площу ромба. б) Сторона ромба дорівнює 8 см, а тупий кут – 150 0. Знайти площу ромба.

225.(493.) а) Діагоналі ромба відносяться як 2 : 3, а площа дорівнює 300 2 см . Знайти діагоналі ромба. б) Діагоналі ромба відносяться як 3 : 4, а площа дорівнює 24 2 см . Знайти сторону ромба.

226.(494.) а) Сторона ромба дорівнює 10 см, а діагоналі відносяться як 3 : 4. Обчислити площу ромба. б) Сторона ромба дорівнює 25 см, а більша діагональ – 40 см. Обчислити площу ромба.

227.(496.) а) Діагональ квадрата дорівнює 5 квадрата.

47

2 см. Обчислити площу

б) Периметр квадрата дорівнює 4 квадрата.

2 см. Обчислити площу

228.(498.) а) Основи трапеції відносяться як 3 : 5, а висота дорівнює 5 см. Знайти основи трапеції, якщо її площа дорівнює 150 см 2. б) Площа трапеції дорівнює 84 см 2, висота – 10 см, а більша основа – 12 см. Знайти меншу основу трапеції.

229.(501.) а) Середня лінія трапеції дорівнює 24 см, а її площа 120 см 2. Знайти висоту трапеції. б) Площа трапеції дорівнює 40 см 2, а її висота – 5 см. Знайти основи трапеції , якщо вони відносяться як 3 : 5.

230.(502.) а) У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 12 см, висота – 4 см, а бічна сторона – 5 см. Обчислити площу трапеції. б) У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює 6 см, бічна сторона – 5 см, а висота – 4 см. Обчислити площу трапеції.

231.(503.) а) Трикутники АВС і А1В1С1 подібні. АВ : А1В1 = 2. Знайти площу трикутника А1В1С1, якщо площа трикутника АВС дорівнює 100 см 2. б) Трикутники АВС і А1В1С1 подібні. АВ : А1В1 =

1 . Знайти 2

площу трикутника АВС, якщо площа трикутника А1В1С1 дорівнює 200 см 2.

232.(505.) а) Довжина кола дорівнює 6  см. Знайти площу круга. б) Площа круга дорівнює 78,5 см 2. Знайти діаметр круга. Підвищений рівень.

233.(506.) а) Знайти кути паралелограма, якщо його площа дорівнює 20 2 см , а висота, що проведена з вершини тупого кута , ділить одну із сторін на відрізки 2 см і 8 см, рахуючи від вершини гострого кута. б) Знайти кути паралелограма, якщо його площа дорівнює 65 3 см 2, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить одну із сторін на відрізки 5 см і 8 см, рахуючи від вершини гострого кута.

48

234.(507.) а) Менша висота паралелограма дорівнює 4 см і ділить більшу сторону на відрізки, кожний з яких дорівнює 3 см. Знайти більшу висоту паралелограма. б) Більша висота паралелограма дорівнює 4,8 см і ділить меншу сторону на відрізки 3,6 см і 1,4 см. Знайти меншу висоту паралелограма.

235.(508.) а) Сторона ромба АВСD дорівнює 8 см. Відстань між основами двох його висот, проведених з вершини тупого кута В, дорівнює половині діагоналі АС. Знайти діагоналі ромба і його площу. б) Сторона ромба дорівнює 6 см. Дві висоти ромба, проведені з вершин його тупих кутів, перетинаючись, діляться у відношенні 1 : 2. Знайти діагоналі ромба і його площу.

236.(509.) а) Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайти площу трикутника, вершини якого – середина медіани до гіпотенузи та кінці більшого катета. б) Катети прямокутного трикутника дорівнюють 24 см і 10 см. Знайти площу трикутника, вершини якого – середина медіани до гіпотенузи та кінці меншого катета.

237.(511.) а) Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 2, а висота поділяє гіпотенузу на відрізки, з яких один на 2 дм більший від другого. Обчислити площу трикутника. б) Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 7 , а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 42 см. Знайти площу трикутника.

238.(512.) а) Сторони трикутника дорівнюють 25 см, 29 см і 36 см. Знайти меншу висоту трикутника. б) Знайти більшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 4 см, 13 см і 15 см.

239.(513.) а) Знайти сторони трикутника, якщо вони пропорційні числам 9; 10; 17, а площа дорівнює 144 см 2. б) Знайти сторони трикутника, якщо вони пропорційні числам 26; 25; 3, а площа дорівнює 9 см 2.

49

240.(514.) а) Знайти площу паралелограма, якщо одна з його сторін дорівнює 51 см, а діагоналі – 40 см і 74 см. б) Знайти площу паралелограма, якщо одна з його сторін дорівнює 15 см, а діагоналі – 8 см і 26см.

241.(515.) а) У паралелограмі одна із сторін дорівнює 37 см, а перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей на другу сторону, ділить її на відрізки 26 см і 14 см. Обчислити площу паралелограма. б) У паралелограмі одна із сторін дорівнює 26 см, а перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей на другу сторону, ділить її на відрізки 25 см і 15 см. Обчислити площу паралелограма.

242.(516.) а) Знайти площу рівнобічної трапеції, у якої діагоналі взаємно перпендикулярні. б) Знайти площу рівнобічної трапеції, у якої середня лінія дорівнює 8 см, а діагоналі взаємно перпендикулярні.

243.(518.) а) Основи і бічна сторона рівнобічної трапеції відносяться як 10 : 4 : 5. Площа дорівнює 112 см 2. Обчислити периметр трапеції. б) Бічна сторона і основи рівнобічної трапеції відносяться як 5 : 10 : 4. Периметр трапеції дорівнює 144 см. Знайти її площу.

244.(520.) а) У рівнобічній трапеції діагоналі взаємно перпендикулярні. Висота, що проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, більший з яких дорівнює 24 см. Обчислити площу трапеції. б) У рівнобічній трапеції із взаємно перпендикулярними діагоналями бічна сторона дорівнює 25 см. Висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки, менший з яких дорівнює 7 см. Обчислити площу трапеції.

245.(521.) а) Знайти площу прямокутної трапеції, в яку вписано коло, якщо сума бічних сторін дорівнює 25 см, а різниця основ – 5 см. б) Навколо кола, радіус якого - 6 см, описана рівнобічна трапеція. Бічна сторона ділиться точкою дотику у відношенні 3 : 4. Обчислити площу трапеції.

50

246.(523.) а) Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 20 см і 21 см. Обчислити площу круга, який дотикається всіх сторін трикутника. б) Навколо трикутника, сторони якого дорівнюють 14 см, 30 см і 40 см, описано коло. Обчислити площу круга. Поглиблений рівень.

247.(526.) а) У прямокутнику АВСD бісектриса кута С перетинає сторону АВ у точці М, а продовження DA - у точці N. Знайти площу прямокутника, якщо CM = 6 см, а CN = 9 см. б) У прямокутнику АВСD бісектриса кута В перетинає сторону CD у точці K, а продовження AD - у точці F. Знайти площу прямокутника, якщо BK = 6 см, а BF = 9 см.

248.(528.) а) Знайти площу паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 10 см і 6 см, а гострий кут паралелограма – 60 0. б) Знайти площу паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 9 см і 15 см, а тупий кут паралелограма – 120 0.

249.(529.) а) Гострий кут паралелограма дорівнює 60 0, а його бісектриса ділить сторону на відрізки 2 см і 3 см, починаючи від вершини тупого кута. Обчислити площу паралелограма. б) Тупий кут паралелограма дорівнює 120 0. Його бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки 5 см і 4 см, рахуючи від вершини гострого кута. Обчислити площу паралелограма.

250.(533.) а) У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 8 см. Медіани бічних сторін взаємно перпендикулярні. Обчислити його площу. б) У трикутнику дві медіани взаємно перпендикулярні. Обчислити площу цього трикутника, якщо довжини медіан – 3 см і 4 см.

251.(541.) а) Площа рівнобічної трапеції, описаної навколо круга, 2 дорівнює 8 3 см . Знайти бічну сторону трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60 0. б) Площа рівнобічної трапеції, описаної навколо круга, дорівнює 8 см 2, а гострий кут трапеції – 30 0. Знайти радіус вписаного кола.

51

11.

ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ. ВЕКТОРИ. Обов’язковий рівень.

252.(547.)

Знайти відстань між точками А і В, якщо : а) А(1;2); В(-2;6); б) А(4;-2); В(1;2).

253.(549.)

Знайти відстань від точки А(-3;4): а) до осі ОХ; б) до осі ОУ.

254.(551.)

Скласти рівняння прямої KL, якщо ; а) K (4;-1) ; L (-6; 2); б) K (5; -3); L (-1; -2).

255.(553.) Точки M і N є кінцями діаметра кола. Знайти координати центра кола, якщо : а) M (-4; 7); N (2; 1); б) M (-2; 3); N (2; 3).

256.(555.) Знайти координати точки перетину діагоналей паралелограма, якщо : а) А (-1; -2); В (2; -5); С (1; -2); D (-2; 1) ; б) A (-2; 3 ); B (0; 5); C (2; 3); D (0; 1).

257.(558.) Знайти вектор с , що дорівнює сумі векторів а і в , якщо : а) а (-2; 5); в (4; -3); б) а (10; -4); в (-4; 8).

258.(561.) а) Довести, що вектори а (-2; 5) і в (-4; 10) однаково напрямлені; б) Довести, що вектори m (-1; -3) і n (2; 6) протилежно напрямлені. Підвищений рівень.

259.(565.) точку :

Записати рівняння прямої, що проходить через а) А (-1; 3) і паралельна прямій 2у + х – 4 = 0; б) К (3; -2) і паралельна прямій х –3у + 2 = 0.

260.(566.)

Написати рівняння кола з діаметром АВ, якщо : а) А (0; 2); В (6; -2); б) А (3; -5); В (-3; -1).

261.(567.) а) Написати рівняння кола з центром на бісектрисі першої чверті та радіусом, що дорівнює 5 см, яке проходить через точку А (-1; 6).

52

б) Написати рівняння кола з центром на бісектрисі третьої чверті та радіусом, що дорівнює 3 см, яке проходить через точку В (-2; 1).

262.(568.) а) Знайти радіус та координати центра кола : х 2 – 10х + у 2 + 6у = -30. б) Знайти радіус та координати центра кола : х 2 – 14х + у 2 - 8у = 0.

263.(569.) а) Знайти координати вектора а , колінеарного вектору в (3; -4), якщо довжина вектора а дорівнює 15. б) Знайти координати вектора с , колінеарного вектору d (12; -5), якщо довжина вектора с дорівнює 26.

264.(570.) а) Знайти вектор а , колінеарний вектору в (2; 3), якщо . а в = 26. б) Знайти вектор в , колінеарний вектору с (-1; 5), якщо . в с = 52.

265.(571.) Записати рівняння прямої, що проходить через точку : а) А (-1; 3) та утворює з віссю абсцис гострий кут, тангенс якого дорівнює 3. б) А (-2; 5) та утворює з віссю абсцис гострий кут, тангенс якого дорівнює 2.

266.(572.) а) Рівняння кола (х - 3)2 + (у + 1)2 = 25. Знайти довжину хорд кола, які лежать на осях координат. б) Рівняння кола (х - 2)2 + (у - 1)2 = 20. Знайти довжину хорд кола, які лежать на осях координат.

267.(573.) а) Коло з центром у точці С (3; 5) дотикається осі абсцис. В яких точках воно перетинає вісь ординат ? б) Коло з центром у точці С (5; 3) дотикається осі ординат. В яких точках воно перетинає вісь абсцис ?

268.(575.) а) Середини сторін трикутника знаходяться у точках (1; 5); (3; 10); (7; 2).Знайти координати вершин трикутника. б) Вершини трикутника знаходяться у точках (0; 0); (6; 4); (10; 26). Знайти довжини медіан трикутника.

269.(577.)

53

а) Дано вектори а (2; 3), в (3; 0), с (4; -3). Знайти координати і довжину вектора d = 3 а + в - с . б) Дано вектори а (1; -2), в (-4; 2), с (0; 2). Знайти координати і довжину вектора d = 2 а + в - с .

270.(580.) На колі, заданому рівнянням (х - 3)2 + (у - 5)2 = 25, знайти точки з : а) абсцисою 7; б) з ординатою 8.

271.(581.) Знайти координати точок перетину прямої : а) 3х – 4у + 12 = 0 з осями координат та довжину відрізка, обмеженого цими точками; б) 5х + 2у – 10 = 0 з осями координат та довжину відрізка, обмеженого цими точками. Поглиблений рівень.

272.(585.) Довести, що точки А, В, С, D є вершинами трапеції. Знайти довжину середньої лінії трапеції, якщо : а) А (-2; -3); В (-3; 1); С (7; 7); D (3; 0); б) А (4; 1); В (8; 7); С (11; 8); D (13; 4).

273.(592.) а) Дано координати вершин трикутника АВС : А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Записати рівняння прямої, що містить медіану СМ. б) Дано координати вершин трапеції АВСD : А (-2; -2), В (-3; 1), С (7; 7), D (3; 1). Записати рівняння середньої лінії трапеції.

274.(593.) а) Записати рівняння кола, яке проходить через точки : А (3; 0) і В (-1; 2), якщо його центр лежить на прямій у – х = 2. б) Записати рівняння кола, яке проходить через три дані точки : А (3; -7), В (8; -2), С (6; 2).

275.(599.) За координатами трьох вершин А, В, С паралелограма знайти координати вершини D, якщо : а) А (2; 3), В (1; 4), С (0; -2); б) А (-2; -1), В (3; 0), С (1; -2).

54

ДОДАТКИ

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112