Алгебра практика

Д.Ю.ДОВГАНЬ

АЛГЕБРА

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ВСТУПНИХ ЕКЗАМЕНІВ З МАТЕМАТИКИ НА БАЗІ 9 – ти КЛАСІВ

для абітурієнтів

Вінниця, 2010

Пропонований посібник призначений для повторення навчального матеріалу при підготовці до вступних випробувань з математики до вищих навчальних закладів І – ІІ рівнів акредитації на базі основної школи.

Укладач Д.Ю. Довгань

Комп’ютерний набір авторський Комп’ютерна верстка авторський

___________________________________________________________ Вінниця, 2010. – с. 60

2

Зміст Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Дії над числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4 2. Вирази та їх перетворення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 4. Нерівності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5. Системи рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6. Функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7. Текстові задачі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8. Прогресії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9. Тригонометрія . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 ПЕРЕДМОВА Пропонований посібник призначений для повторення навчального матеріалу при підготовці до вступних випробувань з математики до вищих навчальних закладів І – ІІ рівнів акредитації на базі основної школи. Він містить 615 завдань по два варіанти, розподілених за тематичними розділами та рівнем складності : обов’язковий , підвищений та поглиблений.. Тематика завдань відповідає програмі з математики Міністерства освіти і науки України на базі основної школи і включає 9 розділів. При їх розв’язуванні абітурієнти мають виявити знання , вміння і навики, здобуті ними при вивченні курсу алгебри в основній школі. Це реалізується у повноті пояснень до розв’язування тих чи інших логічних кроків, чіткості і лаконічності математичних записів.

3

Розділ І.

ДІЇ НАД ЧИСЛАМИ

Обов’язковий рівень Виконайте дії: 1. а)  5 2. а) 3. а) 4. а) 5. а) 6. а) 7. а)

8. а)

2 13 1 -5 : 2,2 ) . 1 ; 3 15 3

б) 0,3 (9

3 + 1,2 . (2,3 – 0,06 : 0,2) ; 5 1 3 ( 6 - 4,88): (0,35 + ) ; 5 4 2 1      3,5  2  :  3  2  ; 3  6  13  2  1  5  5 : 2,2   1 ; 15  3  3 8 13 6 8 1  2 : ; 13 42 7 21 1 1 (4  2 )  2  1 3 4 ; 1 2 12 5 1 2,48  3  1 9 8 ; 6,1  3,7

1 2 +3 : 4,4).

6 3

1 2

б) 10 . (0,6 : 3 – 0,05) + 2 ; 2 - 2,5 ) : (1,7 + 0,9); 3 1 5 б) 1,5  1  :  2  1  ; 3  6  2 1 б) 0,3   9  3 : 4,4  ; 3  6  4 11 7 7 б) 1   : ; 11 30 26 13 1 2 1 (2    3  2 3 3 ; б) 1 1 12 5 1 4,28  2  1 8 7 ; б) 7,3  4,5

б) (4

Знайдіть х : 1 2

1 5

1 2

9. а) 4 : (3,5  х)  1  2 ;

2 5

2 3

1 4

б) 2 : (2,4  х)  2  2 ;

5 1 3 - ( х +0,4 ) = 3; б) 1,5 :1   5  х   1 ; 8 4  7  3 5 1 5 1 а) 8  х    5  1    2  1   1 ; 4 7  3 6  3 2 3 1 3 1 б) 10  х    3  1    3  1   2 ; 4 3 4  2  2

10. а) 2,25 : 11.

Знайдіть : 12. а) 24 % від 300;

б) 36 % від 200 ;

13. а) 5,2 % від 25 ;

б) 4,8 % від 75 ;

14. а) 0,8 % від 12,5;

б) 2,5 % від 8,4 ;

4

Знайдіть число, якщо : 15. а) 12 % його становить 60;

б) 24 % його становить 72;

16. а) 0,8 % його становить 1;

б) 2,5 % його становить 6,25;

17.

3 1 2 1 3 а) 25 % його становить 4 3  3 ; 1 1 5 4 1 6 4 3 3  1,5 1 6 ; б) 8 % його становить 5 2 5 4,5  1 3

Підвищений рівень Знайдіть число, якщо : 1 5  2  3  1    2,5 ; а) 25 % його становить  5 2  7 0,01 1  3 13  9   2,4 9  ; б) 0,3 % його становить  4 6  5 11 1,8  9

18.

Скільки відсотків становить : 19. а)

24 3,75  2

20.

1 4

а)

б)

1   5,375  2   0,4 8  ; 0,13

1 2 3 1 від б) 2 3 від 11 24 2 7  1  1  2  3   1,2  4  2   2,4 3  4 від  6 8  ; 8,5  1,4 2,7  3,5 1 1  2  3  3  2   2,1  3  1   2,8 3  7 від  7 4  ; 14,1  2,3 8,3  3,9

Знайдіть х :

21 .

5 2 2   1 х  10,5  2,6   0,9 3  2   2 : 2 3 6 3  2 ; а)   2 1 1 1  2,5 4  2  2 1 3 4 3

5

1 1 3 1 5 4 ; 2 5 1 1 3 12

2   1 14   1  3  х   4  2,5  : 1  2,5  1    3  1  3   3 15   3  8  б) ; 1 2 1  2 2 1 1  2   3,2 2 3 2  3

Скільки відсотків становить : 2  1 2  1  7 1   7 1 2   1 2 22. а) 33 % від  2 3  1   10 ; б) 25 % від  2 3   2 ; 3 1 3 5 31  22 1 2   3 4 3  2  1 7 2 23. а) 2,5 % від  2,8 : 1  3  1   10 ; 5 8 5 

1 2 1 б) 5 % від  3  5  2,5 :  : 0,1 ; 5

 3

4

Виконати дії : 24. а)

2   1 14    2,5  1    3  1  3   3 15   ; 1 2 2 1 2 3

 2   1 5 1  2,5    4  1    3 6 ; б)  3 1 0,75  1 3 1  0,9   6,6 : 3    1,2 5  б) ; 1 3 2  3 14

0,75  (9,9 : 3  1,3)  2,5 ; 1 2,4  6 3 1 18 1 6 а)    2  -   3  2,25  ; 4  13  3 37  3  2 3 24 2 2 б) 3 :  3  2     2  0,25  ; 3  3 4  35  3 

25. а) 26.

0,3 

27.

28.

а)

2  4   2,1  2  1  5  5 ; 3,15 : 22,5

б)

1 3  0,24  4,25 8 ; 3  2  1 :  0,6   0,4  5  5 

1 1 1 1 1 а) 2  0, (3)  1    3  0,5  3  ; 2

3

2

3  2

1 3 2 1 4 б) (0,(5): 0,(2)) .  3      1  :  2,5 ;  3 25   5

6

3 3

29. а)

2,4

б)

8,4

2

2

 



 1,62  4,8  1,6 : 4,52  3,52 ;

 



 2,42  8,4  4,8 : 4,52  1,52 ;

Обчислити : 1

30. а) 0,5 3   0,52  125 3  53 : 52  0,50 ; 1 3

б)  0,3  0,3  27  34  33  0,30 ; 3

2

31.

32.

33.

34.

а) а) а) а)

6  11  6  11 ;

б) 5  17  5  17 ; б) ( 2 -3)2 . (11+6 2 ) ; б) ( 3 -1)2 . (4+2 3 ) ; б) (2 2 -1)2 . (9+4 2 );

(7+4 3 ) . (2- 3 )2 ; (3+2 2 ) . (1- 2 )2 ; (19+8 3 ) . (4- 3 )2 ;

Поглиблений рівень Обчислити раціональним способом : 35.

7,5833  3,417 3 а)  7,583  3,417 ; 4,166

б)

3,8333  1,6333  3,833  1,633 .

5,466

36. а)

28  10 3  28  10 3 ;

б)

12 3  21  21  12 3 .

37. а)

2  7  4 3  13  4 3 ;

б)

17  6 4  9  4 2 .

38. а)

3  3 

39. а)

4  15  4  15 ;

б)

40. а)

19  8 3  7  4 3  3 ; 4 3

б)

2



1  3 

2

;

б)

7



5



 3  1 .

50  5  24  .

2

2

3 5 

3

75  5 2



14  5 3  2 5 3  5 3





.

Розділ ІI. ВИРАЗИ ТА ЇХ ПЕРЕТВОРЕННЯ Розкладіть на множники : 41.

а) 5х2-5у2

9p2-9 ;

;

б) 100ас2-4а ; 42.

43.

3ху2-27у ;

2ах2-2ау2 ;

am2-an2 ;

75-27с2 ;

50my2-2mx2 .

а) mx2-my2;

6а2-24 ;

4b3-b ;

б) аb2-4ac2 ;

7b2-63 ;

a3-ac2 .

а) 4х3-4у3 ;

16х3-2 ;

б) 7а3+7b3 ;

100m+m4 ;

у3+у6 ;

8а4-64а ;

27m2-m5 ;

44. а) х2-2хс+с2-d2 ;

p2-x2+6x-9;

Перетворіть многочлен у вираз:

48.

аm3-an3 ;

x5-x2 .

б) с2+2с+1-а2 ; х2+а2-10а-25.

45. Подайте у вигляді многочлена: 1 (а3b3-1)2 ; а) ( x  9) 2 ; (5ху-0,8у2)2 ; 3 1 (2a  b) 2 ; б) (0,4а+10аb)2 ; (2+х4у2)2 ; 2 46. б) (8ху+3у2)2 . а ) (х6-3ху2)2 ;

47.

16х2-4 ;

а) (0,7х3у-2ху3)2 ;

б) (0,2p3q+0.3 pq3)2 .

3 2 1 8 а) ( a 3b  ab3 ) 2 ; б) ( bc 4  b 2c 3 ) 2 .

4 3 8 9 Подайте у вигляді многочленна:

49. а) (х2-11) (11+х2) ; 50. а) (у2+10) (-10+у2)

б) (b7+3) (-b7+3) . б) (-с6-8) (с6-8) .

8

5 ( y  3) 2 ; 6 (3а2-5аb)2 .

Розкладіть на множники : 51.

52.

53.

54.

55.

56.

а) 5х + 5у; а) 3с + 15d; а) 7ах + 7вx; а) 3а3 – 15 а2b + 5аb2 ; а) –( х + 2у) – 4 (х + 2у)2 ; а) х2+ 2ху + у2;

б) –6m – 9m; б) 12 а + 12 ; б) 3а + 9ав; б) - 3х4у2 - 6 х2у2 + 9 х2у4 ; б) 7 (с + 2) + (с + 2)2 ; б) 64 + 16 в + в2; 1 2 т +4п2-2тп; 4

57. а) 9х2-24ху+16у2;

б)

58. а) х3 +у3+2ху( х + у); 59. а) х3+у3+2х2-2ху+2у2; 60. а) 8в3+6в2+3в+1;

б) х3-у3-5( х2+ху+у2); б) а3-в3+3а2+3ав+3в2; б) а3-4а2+20а-125; Скоротіть дріб :

61.

62.

63.

64.

65.

2 х 2  3х  2 ; х2  2х а 2  в 2  ав а) ; а2  в2

2 х2  5х  2 ; х2  2х х 2  у 2  2 ху б) ; х2  у2

х3  1 ; х2  1  3а  6 а) 2 ; а  4а  4 7 х2  7 у2 а) ; 14 х 4  14 у 4

у3  1 ; у2  1  3т  6 б) 2 ; т  4т  4 16с 4  16d 4 б) ; 8c 2  8d 2

а)

б)

а)

б)

66.

а)

15  6 ; 5  10

б)

67.

а)

1 3 ; 2 6

б)

68.

а)

mn ; m n

б)

18  12 ; 15  10 6 3 ; 2 1

c d ; cd

Спростити вираз : 69.

70.

m2 mn а) 2 2  ; m n m 2x 4x2 а) ; : 2 x  y x  y2

c  d c2  d 2 б) : ; c c3 3 y2 x2  y2 б) ;  x y 6y

9

71.

а)

1 1 ;  x y x y

б)

3 2  ; ав ав

72.

а)

3a 2 в 2 2а 3 ;   в 6а 3 в

б)

5х3 у 3 4 у   ; у 2 10 х 2 х

73.

а)

74.

75.

76.

7с 4 10d 3 2d 2  : 3 ; c 5d c 5 8 5 2 p 9 x хр 4 а)  ; : 6 x 3 p 3 14

а) а)

х  в  4а  3в  2 3

3 2

3 2

2 2

х  ; : в  2а  : 3в 

4т 3 6 п 4 2т 2 п 2  ; : п3 3п 2 2т а 3 8в 4 4в б)  ; : 15в 3 а 4 5а

б)

2 4

б)

3 2

2 3

3 2

;

б)

с    р  .  р  с  а  : а  2в  2в  4 2

2 2

1 2

3 3

3 2

2 3

2 2

3 2

.

Скоротіть дріб : 77.

а)

78.

а)

79.

а)

15а 2в 3 ; 20а 3в 2 3х  3 ; х2  1

б) б)

х2  4 ; 4  2х

б)

36 х 4 у 5 .

24 х5 у 4 5у  5 . у2  1

у2  9 .

2у  6

Спростити вираз : т2 тп . ; 2 2 т п т 4х2 2х : 2 2; х у х у

80.

а)

81.

а)

82.

а)

83.

а)

84.

а)

85.

86.

а) 3 3 - 5 3 - 2 7 ; а) -2 27 + 5 3 - 3 ;

б) б)

х3 х  у  ; . х у х4 1 1 + ; х( х  у ) у( х  у) х2 х2 ; х3 3 х 2

б) б) б)

с2  п2 сп : . п п 3у2 х2  у 2 . . х у 6у

х  у 2 : 5 у

1 у( х  3 у 1 у

х у . у6 1 . у ) х( х  у ) 3 у . у 1

б) 4 5 - 7 5 + 3 7 . б) - 8 + 5 2 -3 2 .

10

Підвищений рівень Спростити вираз :  а а а2  в2  а  в    2 .

2 2   а  в а  в в  а  а  в 

87.

т2 т2 а)    :

88.

а)

89.

 2  у2  2 у  1 2  т 2  2т  1      у  1 а)  т  1  ; б) .   у 1 т 1 т2  1 у2  1   

90.

а)

91.

а)

92.

а)

93.

а)

94.

а) 

95.

т2

т 2

б) 

 3у  1  6 у  6  1 : . у 1  2у  2 

х  2 5 х  10 2 х  1 : ;  х3 9  х2 15

б) 

с у с у с у  1 2  2 3у  х 1    .   : ; б) :   х  у х  у  х  у х  у   с  у с  у  су с  у 2 х у х у ху  с  4 с  4  16  с  : 2    ; б)  .   2  с  4 с  4  16 х у х у у х



1 1  1 х б)  .   1  2



1  1    1  а 2  1 ;  1 а 1 а   х 2 1  ху 2  2     2 ; у х  у  х2 у

1 х 1 х  1 х т п тп б)   2    2 . т  п  т2 п

 х  а х2  у 2 х  х у а2  1 а  1   :       ; б) .

2 2 2   2 х  у  х у у х  а 1 1 а 1 а  а 1 2х 1 х  х3  х а)  2 ;    2  х  2 х  1 х  1   х  1 1  х

б) 96.

а)

97.

а)

98.

а) б)

99.

2т ; т2  4

а) б)

 у  у3  у 2у 1     2  .

2 у 1  у  1 у  2 у  1   у  1 1  4 у2  у 1 х 1 6  : у б)  х  ;  .

2  6 3  1  9х  4   1  1 1 1  1  1 а ; б) 1  .     :  : 2 2 а 1 а 1  1  2а  а  в 1 в  1 в 1 в  с 2   в  в  ; 2с   с  в 2 в 2  с 2  вс в   2  х х   у  х х  2   х  у 2   х  у 2   2 х  х  у .      х у х х у   2   ;   2 2   2 2 2 2 х  ху ху  у х  у х  ху     2 1  ав   в  а  .   2  2  :  3 2 а  в   в  ав а  ав   а  ав

11

Спростити вираз і знайти його значення : 100.

а)

1 1 1 2 1 1 при х = ; б) при х =   2 х  2х 4  2х 8 9  6 х 3х  2 х 3 2

.

101. а)

б) 102. а)

б) 103. а)

б) 104. а)

б) 105. а)

б)

1 1 при а = -0,25 ;  4а  16 4а  а 2 1 1 1 при у = - .  2 у  4 у 4 у  16 4 3 1 1 при с = ;  2 16  12с 4с  3с 20 1 4 1 при р = .  2 4 р  3 р 9  12 р 60 2  2  х  2х  1  х  1   х2  1  х 1   2  у2  2 у  1   у  1  у2  1  у 1 

1 а  а  4а    2 а 1 а 1 1 а 4в  в 1 в    2  1 в 1 в  1 в

106. а)

при у = 6 . при а = - 4 ; при в = 4.

 1  х2  1  2х  х2 2х   2 х  :  1 х х 1  1 х   1  у2  1  2 у  у2 2у   2 у  :  у 1 у 1  1 у  1

при х = 4 ;

1

8а   2ав    в2 4в 4в

при х = 2 ; при у = 2 . при а =

1 , в = 25 ; 2

2

б) 107. а) 108. а) 109. а)

б)

18 у   3 ху 2    х  х 6 х 6 х2  6х  9 при х = - 4 ; б) 3 х 1 х4 при х = 4 ; б) 2 х  8 х  16 6 2 6а   3ах     х2 х 2 18 у   3 ху    6 х 6 х

при х = 2 , у  3 . у2  4 у  4 при у = - 3.

2 у 1 х5 при х = 5 .

2 х  10 х  25 3 1 при а = , х = 5; 3

1

при у =

1 , х = 1.

9

2

110. а)

1 1    5  у 4   10 у 4    

при у = 16 ;

12

2

б)

1 1    6  у 2   12 у 2    

при у = 6.

2

111. а)

1 1  12       х  2    1  2 х 4   1  2 х 4             

при х = 5;

2

б) 112. а) 113. а) 114.

а)

1 1  12       у  3   1  6 у 4   1  6 у 4             

 3  1  4  2 3  ; 7  4 3  2  3  ; 19  8 3  4  3  ; 2

б)

2

б)

2

б)

при у = - 8.

3  2 2  1  2  ; 11  6 2   2  3 . 2 2  1  9  4 2  .

2

2

2

Довести, що числове значення виразу не залежить від числових значень змінних : 115.

а) б)

116. а)

б) 117. а)

б)

т  п 2  

т т  2п   2 ; 2 2   т  п  т  т  п  т  п  р  с 2   с  с   с .  с 2  р 2 с  р 2  с  р 2с  

2  а а  а  в  3а  в   ;    2 2 2  а ав  в  а  а  в  а  х 2   а  а   2а .  а 2  х 2  х  а 2  а  х а  

х  в 2  

у  2х 2у  ;  2 2 2   у  в  х  в  х  в  х в  у 2   2 у  у   3 у .  в 2  у 2  у  в 2  в  у 2у  

Скоротити : 118. а) 119. а) 120. а) 121. а) 122. а)

100  20 х  х 2 ; х 2  100 16  8а  а 2 ; 8  2а  3а  6 ; 2 а  4а  4 7 х2  7 у2 ; 14 х 4  14 у 4

б) б) б) б)

х6  2 х5  х 4 ; х5  2 х 4  х3

б)

13

9  6а  а 2 . а2  9 п 2  10п  25 .  20  4п  3т  6 . т 2  4т  4 16с 4  16 р 4 .

8с 2  8 р 2 4 х3  4 х 4  4 х5 .

4 х 2  4 х3  4 х 4

123. а) 124. а) 125. а) 126. а) 127. а)

х3  6 х 2  9 х ; х 4  6 х3  9 х 2 15  6 ; 5  10 1 3

б) б)

;

2 6

б)

3  х2 ; х 2

б)

тп ; т п

а 4  2а 3  4а 2 . а 3  2а 2  4а 18  12 .

15  10 6 3 .

2 1

х 5 .

5  х2 с р . рс

б) Поглиблений рівень

Спростити вираз : 128.

а) б)

х 2  х  20 2 х 2  5 х  3 4  8 х  5 х 2   ; х4 2х  3 х2

7 х  х



2

2х2  7 х  5  12 + . х 2  8 х  16 х 1 2

Скоротити дріб : 129. а) 130. а)

х 4  х 2  12 ; х 4  8 х 2  15 2  х   2 х 2  5 х  3 х 3  3х 2  4 х  12





б) ;

б)

2х4  7 х2  6 .

3х 4  3х 2  6 х 3  2 х 2  9 х  18 . 3  х   2 х 2  3х  14



Спростити вираз : 131. а)

б) 132. а)

б) 133. а)

 х у   ;    2 2 х  у 2   х  у   х  у    у  2   у ху  2 у  .  2  2у  4  2 у  2 х  ху х  4   х  у   у х 3  ху 2  2 х  у х  у2





4  3а  1 3а  5а  1  3а  1 ;    2 :  3а  3 2а  3а  3  6а 3а 2  11а  9 3а  3  3а  3а  2 4 .  2       2а  2 2  3а  2  6а  6 3а 2

 х 1  х  у   у2  ;   :  3   2 2 2 х  у  х  ху   х  ху  ху  у

14



б)

2в ав а3  в3 : а2  в2  2 2  . ав а в ав а 6  64 а 2  2а  4  а 2  2а  4  а 2  4 : ; а6 т6  1 т2  т  1  т2  т  1  т2  1 : . т6 1 1 2а 4а 3 8а 7     ; 1  а а  1 1  а 2 1  а 4 1  а8 1 2 4  1  1 : .     2 4  8  1  2в 1  2в 1  4в 1  16в  1  256в 1  25  10 х 2х  3х  4  ;    2 5  2х  4 х  25 2 х  5  х  1





134. а)









б)









135. а)

б) 136. а)

б) 137. а)

б) 138. а)

б) 139. а)

б) 140. а)

б) 141. а)

 1 1 2  у 5 1   .  2   2   5 у  25 у  5 у 25  у  у  5 5 у х5  х 4  х3  х 2  х  1 х2 ;  2 6 х 1 х  х2 х6  х5  х 4  х3  х 2  х  1 х 5 .  2 7 х 1 х  6х  5 6 2   1 2     9  6а  а ;  2 3а 3 а 9а 1 1   10 2     25  10в  в .  2 25 5 5 в в в       а 3 в а  3 в  а  в   ;   а в2   а в 2  













1 2

а а2 2 а2 а2  4 4а       , якщо а  2.  а2 а2 а 2  4  2а  4   а 2 а  2  а  1  ;   2  а 1 а  1  а 





  3   3  1 .  1  а  :   2  а 1   1 а   2 а  12 16  2 а  а 1  а  2а  5 а  3       ; б) . 2 а 4а 9а  а  4 а  3 5 а    

Скоротити дріб : 142. а) 143. а)

х 3  6 х 2  12 х  8 ; х2  4х  4 4х2  х  3 ; 4 х2  5х  6 15

б)

у 3  9 у 2  27 у  27 . у  6у  9

б)

3х 2  2 х  8 .

3х 2  7 х  4

144. а)

z 2  yz  x 2  xy ; y 2  yz  x 2  xz

б)

а 2  ас  в 2  вс . а 2  ав  вс  с 2

Спростіть вираз і знайдіть його значення : 145. а)

б) 146. а)

б) 147. а)

б) 148. а)

б)

4а  4т ат 2  а 3 : 3 , при а = 2, т = -2 ; 2 2 а  т3 т  2ат  а 1 16а 2  4ав  в 2 64а 3  в 3 : , при а = - , в = 1 .

2 2 2 в  16а 4 4а  в 





а 1  а а  1  а , при а = 0,3 ; а  а 1

1  в в  в 1 в в 1 

 а  2  8 2  в   8 2

а

2

в

в , при в = 3 .

 а  1  4 а , при а = 0,5 1  в   4 в , при в = 2 .

2

;

2

а  2 а  1  2  а  2 а  1  2 , при а = -0,7 ;

в  2 в  2  3  в  2 в  2  3 , при в = -1,9 .

Спростіть вираз : 149. а) 150. а)

б)

1 1 х 1 х 1 : 2 ; б) : 2 . х х х х х  х х х х х х  х а а в в    : а  в   2 в  ав ;  а в  а в   х ху у  1 2 у   ху    .  х у  х у х у  

16

Розділ III. РІВНЯННЯ Обов’язковий рівень Розв’язати рівняння: 1 x = 3.

3

151. а) 0,2 x + 4 = 6;

б) 1 +

152. а) 5 – 0,3 x = 2;

б) 0,4 x – 3 = 5.

153. а)

1 х : 2 = 0,5; 3

б) 4 :

154. а) 155. а)

(х – 2) (х – 3) = 0; (у – 10) (у – 5,5) = 0;

б) (х – 1) (х – 4) = 0. б) (у – 7,5) (у – 9) = 0.

156. а) 157. а)

х3 = 0; х 2 х  10 = 0; х

1 х = 2.

2

у2 = 0. у 3х  6 б) = 0. х

б)

Знайти х : 1 4 :х=7: ; 4 7 4 х : 0,2 = 5 : ; 3 2 7 2 : = : х; 3 2 7

158. а) 5

б) 1,2 : х = 1,5 : 0,5.

159. а)

б) 3 : х =

160. а)

б)

2 1 : .

5 3

1 1 : = х : 12.

6 4

Вказати, яких значень не може набувати змінна у знаменнику і знайти корені рівняння : х4 1  2х = .

7х 7х у 8 1 2у б) = .

2 9 у 9  у2

3х  2 2х  1 = ; х 5 х 5 7  3х х 1 162. а) 2 = 2 ; х 4 х 4

161. а)

б)

Розв’язати рівняння : 2

у2 6у = 0.

3 у 6 у у2 у б) + = 0. у 1 у 1

х 3х = 0; 3 х 3 х х х2 164. а) = 0; 1 х 1 х 2х х2 165. а) = 0; 2х х2

163. а)

б)

у2 3у б) = 0. у 3 3 у

17

166. а) 167. а)

1 х х  х2 = ; 2х х2 7х  х 2 7 х  81 = ; 9х 9х

б)

у  у2 16  у = .

3 у у3

х  х2 х  49 б) = . х7 х7

Знайти дискримінант квадратного рівняння : 168. а) х2 – 3х + 2 = 0; 169. а) х2 – 7х + 10 = 0; 170. а) х2 – 2х – 3 = 0; 171. а) х2 + 7х + 12 = 0; 172. а) 2у2 + 5у – 3 = 0; 173. а) 2х2 – 9х + 4 = 0; 174. а) 2у2 + 7у – 4 = 0;

б) х2 – 4х + 3 = 0. б) х2 – 6х + 8 = 0. б) х2 – х – 2 = 0. б) х2 + 8х + 15 = 0. б) 5х2 – 6х + 1 = 0. б) 3у2 + 8у – 3 = 0. б) 3х2 – 10х + 3 = 0. Розв'язати рівняння :

175. а) х2 – 8х + 15 = 0; 176. а) х2 – 11х + 30 = 0; 177. а) х2 – 4х – 5 = 0; 178. а) х2 + 2х – 8 = 0 ; 179. а) х2 + 10х + 24 = 0; 180. а) 4х2 – 11х – 3 = 0; 181. а) (2 – х) (5 – х) = 0; 182. а) (х – 1) (х – 3) (х – 5) = 0 ; 183. а)

б) у2 – 7у + 12 = 0. б) х2 – 12х + 32 = 0. б) х2 – 2х – 15 = 0. б) х2 + 2х – 3 = 0. б) х2 + 12х + 27 = 0. б) 3х2 – 5х + 2 = 0. б) (7 – у) (5 – у) = 0. б) (у – 7) (у – 5) (у – 3) = 0.

х2 х6 = ; х2 х2

б)

184. а) х2 – 9 = 0; 185. а) х = 2; 186. а) х2 + 2х – 3 = 0;

у2 3у  2 = . у2 у2

б) х2 – 0,04 = 0. б) х - 3 = 0. б) х2 + 5х + 6 = 0. Підвищений рівень

Розв'язати рівняння : 187. а) х4 – 20х2 + 64 = 0; б) х4 – 13х2 + 36 = 0.

188. а) х4 – 8х2 + 7 = 0; б) х4 – 7х2 + 6 = 0.

189. а) х4 + 5х2 – 36 = 0; б) х4 – 5х2 – 36 = 0.

190. а) (х – 1) (х + 2) = (х – 1) (2х + 3); б) (х + 1) (х – 2) = (х + 1) (2х – 3).

191. а) (х + 3) (х2 + 5) = (х + 3) (7х – 1); б) (х + 1) (х2 – 9) = (х + 1) (3х + 1).

18

192. а) х4 – х3 – 8х + 8 = 0; б) х4 – х3 – 27х + 27 = 0; 193. а) х3 – 2х2 – х + 2 = 0; б) х3 + 4х2 – х – 4 = 0.

194. а) (х2 – 5х + 4)2 – (х2 – 5х + 4) = 6; б) (х2 + х + 1)2 + (х2 + х + 1) – 12 = 0.

195. а)

х2  х  2 = 0; х 2  3х  2

196. а)

х 3  27  27; х3

б)

х3  8  12. х2 х2  9  0. б) х 3  2 х 2  45

б)

х 2  25 197. а) 3  0; х  4 х 2  25

х2 1 198. а) 3  0; 3х  4 х 2  1 1 1 6 199. а)   ; 5 х  3 5 х  3 25 х 2  9 х 5 1 8 200. а) ;  2  х  4 х  16 х  4 х 8 2  2  ; 201. а) 2 х  2 х  1 х  1 ( х  1) 2 ( х  1) 1 1 4 б)  2  .

2 х  2 х  4 ( х  2)( х  4 х  4) 3 2 1 202. а) ;  2  2 х  2х  1 х  1 х  1 2х 2  х  1 203. а) 2  0; 4х  4х  1 3 3 204. а) х2 – х + 2 ; 2х х2 2х 2  х  1 205. а) 2  1; х  х2 1 2 1 206. а)   2  0; 2 2 ( х  1) ( х  1) х 1 1 2 1   2  0. б) 2 2 ( х  2) ( х  2) х 4

207. а) 208. а) б)

х2  х  6  0. х 2  5х  6

х 2  2х  6 3х  2  2; х х  2х  6

х2  4 б) 3  0.

2 х  3х 2  4 1 1 6х  2 б)  .

3х  2 3х  2 9 х  4 х3 1 10 б)  .  2 5 х х 5х  х

3 2 1 .  2  х 1 х  2х  1 х  1 2х 2  х  1 б) 2  0; 4х  4х  1 2 2 б) х2 + х – . 2 1 х х 1 3х 2  2 х  1 б) 2  1. х  2х  3

б)

б)

(х2 – 2х – 8) 3  2 х  х 2 = 0; (х2 + 2х – 8) 3  2 х  х 2 = 0.

3 3  8х  ; х(2  х) х( 2  х) 4 4 б) х3 – 2х2 +  8х  . х(2  х) х ( х  2)

209. а) х3 + 2х2 +

19

2

х 2  2х  6 3х  2  2. х х  2х  6

210. а)

х 3  х 2  2х  1; х 2  5х  6

б)

х 3  х 2  2х  1. х 2  5х  6

211. а) (х2 – 3х – 4)2 – 2(х2 – 3х – 4) (х – 1) – 8(х – 1)2 = 0; б) (х2 + 3х – 4)2 – 2(х2 + 3х – 4) (х + 1) – 8(х + 1)2 = 0. ( х  5)( х  6)( х  7)  0; х 2  7 х  10 213. а) х 2  7 х  10;

( х  2)( х  3)( х  8)  0. х 2  4 х  12 б) 3х 2  5 х  3 = 5.

212. а)

б)

214. а) х2 – 10 = 3 х ; 215. а) х  2 = 3х;

б) х2 – 5 = 4 х . б) 2  х = 2х + 1.

18 = х – 3; х х 1  3 217. а) 2  0; х  5х  6 х 1  2 218. а) 2  0; х  х  12 х 6( х 2  2) 219. а) 2   7; х х 2

б) х – 3 =

16 . х3 х  2 1 б) 2  0. х  3х  2 х2 3 б) 2  0. х  5х  6 15 2  2 б) 1 – 2 .

2 х  4х ( х  4 х)

216. а)

220. а) (х2 – 4) х 2  х  12  0;

б) (х2 – 9)  х 2  х  2  0.

221 . При якому значенні m рівняння: а) 2x2 + mx – 1 = 0 має корінь х = 2; б) х2 + (m – 2) х – 11 = 0 має корінь х = - 2.

222. При якому значенні параметра м сума коренів рівняння: а) (m + 1) х2 + mх – 1 = 0 дорівнює 1; б) (2m + 1) х2 + 2mх – 1 = 0 дорівнює 1.

223. При яких значеннях а існує розв’язок рівняння: а) (а – 1) х2 + 4(а + 1) х + а – 4 = 0; б) (а + 1) х2 – (4а + 6) х + а + 9 = 0. Поглиблений рівень

Розв'язати рівняння: 224. а) (х2 + 3х)2 – 2х2 – 6х = 8 б) (х2 – 5х)2 – 2х2 + 10х = 24.

225. а) (х2 + 2х)2 – 2(х + 1)2 = 1; б) (х2 – 6х)2 – 2(х – 3)2 = 81.

226. а) (2х – 1)6 – 9(2х – 1)3 + 8 = 0; б) (3х + 1)6 – 28(3х + 1)3 + 27 = 0.

1 1   13 х    12  0; 2  х  х   1 1 б) 4  х 2  2   12 х   - 47 = 0. х х   

227. а) 6  х 2 

20

228. а) 3  х 2  

2

1   1  7 х    0; 2  х х  

1 1 б) 7  х    2 х 2  2   9. 

2

х



х 

229. а) (х – 6х + 3) (х – 6х + 5) = 15; б) (х2 – х – 2) (х2 – х – 12) = 144.

230. а) (х + 2)4 – (х2 + 4х) – 6 = 0; б) (х – 3)4 + (х2 – 6х) + 7 = 0.

231. а) х(х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24; б) (х + 1) (х + 3) (х + 5) (х + 7) = 9.

232. а) х2 – 3х + 1 =

2 ; х  3х

б) х2 – 2х – 1 =

2

6 . х  2х 2

а) х2 + 11 + х 2  11  42; б) х2 + 13 – 2 х 2  13  35. а) х2 + 3х – х 2  3х  2  0; б) х2 – 2х – 2 х 2  2 х  1  0. а) х2 – 2х + 3х 2  6 х  7  7; б) 3х2 + 2 х 2  5 х  1  2  15 х . а) х3 – 4х2 + х + 6 = 0; б) х3 + 4х2 + х – 6 = 0. а) х4 – 3х3 + х2 + 3х – 2 = 0; б) х4 – 3х3 – 8х2 + 12х + 16 = 0.

238. а) 4х4 + 3х3 – 8х2 – 3х + 4 = 0; б) 2х4 – 5х3 – х2 + 5х + 2 = 0.

239. Не розв’язуючи рівняння, знайти х31 + х23 , де х1 і х2 – корені рівняння: б) х2 – 3х – 2 = 0. а) х2 – 4х – 1 = 0; 240. При яких значеннях а рівняння має один корінь: а) (а – 1) х2 + 4(а + 1) х + а – 4 = 0; б) (а + 1) х2 – (4а + 6) х + а + 9 = 0.

233.

234.

235.

236.

237.

21

Розділ IV.

Нерівності

Обов’язковий рівень Розв’язати нерівності: 241.

242.

243.

244.

245.

246.

247.

а) 2 x  3  x  1 ; а) 10 x  1  6 x  11 ; а) 5  6 x  15  x ; а) 5 y  1  4 ; а) 3x  2 x  5 ; а) 4,2 y  5,4 y  3,6 ; а)  0,1x  2  4,5 ;

248. а) 249. а) 250. а) 251. а) 252. а) 253. а) 254. а) 255.

256.

257.

257.

258.

259.

260.

261.

262.

263.

264.

а) а) а) а) а) а) а) а) а) а) а)

б) 3x  1  2 x  3 . б) 8 x  3  5 x  6 . б) 10  5 x  18  3x . б) 2 y  1  4 . б) 2 x  52 x  7  . б) 1,8 y  3,6 y  5,4 . б)  0,25 x  4  1,8 .

2  у у _3  1 ; 3 6 2 x  2 3x  7  ; 3 2 5x  1 x  1  ; 5 2 5x  1 x  1  ; 5 2 5 x  0; 7 x x3  0; 5 x 2y  1; 3 y

3 x x  2  1 .

2 4 3y  5 2 y  7  б) ; 2 5 2 y 1 3y  3  б) ; 2 5 2 y  12 3 y  3  б) ; 2 5 3 x б)  0; 5 x x7 б)  0; 3 x 3x б)  1; 6 x

x 2  4;

б) x 2  9 ; б) x 2  1; б) x  2x  4  0; б) 9  3 x 4 x  8  0 ; б) x 2  6 x  8  0 ; б) x 2  6 x  5  0 ; б) x 2  2 x  15  0 ; б) 4 x 2  x ; б) 5 x 2  10 x ; б) 0.1x 2  3x ; б)  5 y 2  11y  6  0 ;

б)

x 2  16; x  2x  5  0 ;

4  2 y 3 y  9  0;

x 2  8 x  15  0 ; x2  4x  3  0 ; x 2  5 x  14  0 ; 3x 2  х ; 2 x 2  4 x; 0.5 x  2 x ;  y 2  2 y  15  0 ;  3x  3, 265. а)   5 x  10;

1.5 x  3,  6 x  12;

б) 

 1 б)  4 x  2,  5 x  60;

 0.5 x  2, 266. а)   3 x  9;

22

 5 x  3x  1, 0.6 x  5.2  2 x; 3x  2  1.5 x  1, 268. а)   4  2 x  x  2;

 6 x  7  x,  x  5.3  11.3; 4 x  5  2.5 x  2, б)   3  5 x  4 x  1;

267. а) 

б) 

2 y  3   y  8  4, б)   6 y  3 y  1  1 ;

  x  2  3 x  1  2 x,  5 x  4  12   x  3;

269. а)  270.

271.

 x   5, а)  2 2x   0; 5 x x    7, а)  3 4 x  1   0; 5 

2 y  3   y  8  4,

б)   6 y  3 y  1  1 ; y 1   y  2  1, б)  y   5; 3

Підвищений рівень

Розв’язати нерівності: x2  7 x  6  0; x6 273. а) x  2x  3  x  2(2 x  5);

x2  5x  4  0; x4 б) x  2x  3  x  2(2 x  5);

272. а) 274.

275.

276.

277.

278.

279.

280.

а) б) а) б)

б)

x  1x 2  2 x  4  x  1( x 2  x  1); x  1x 2  4 x  3  x  1( x 2  3x  1); x  2x 2  5 x   x  2( x  12); x  3x 2  4  x  3( x  18);

x

 9( x  2)  0; ( x  1) 2

x3  3x 2  2 x а)  0; x 2  25

б)

а) x  3x 2  2 x  8  0; а) x  42  x 2  8 x  15  0;

б) x  22 x 2  x  12  0; б) x  32  x 2  7 x  10  0;

x2  9x  8  0; x2  x  2 2x2  x  1 а)  0; 2 x а) x 2  4 x  3  0;

x2  8x  7  0; x2  x  1 3x 2  x  2 б)  0; 3 x б) x 2  5 x  4  0;

а)

2

б)

281.

282. а) 3x 2  14 x  17 2 x  1  0 ;

б) 3x 2  16 x  52 x  3  0 .

23

Знайти область визначення функцій, заданих формулою: 283. а) y   3x 2  4 x  4  284. а) y 

x2  2x  8  x2  x  2

1 ; x 1

б) y   4 x 2  5 x  6 

;

x 2  2 x  15

б) y 

 x 2  2 x  24

1 . x 1

.

Розв’язати нерівності: 285. а) x 4  13x 2  36  0 ;

б) x 4  26 x 2  100 .

286. а)

б)

287.

x 1 x  2  . x2 x 4x  3 б) 3 . x2

x x5  ; x2 x2 5x  3 а) 2 ; x2

Знайти кількість цілих розв’язків нерівності у проміжку (-6,6): 288. а) ( x  3) 2 ( x  4)  0 ;

б) ( x  2) 2 ( x  3)  0 . ( x  1) 2  0.

3x  5 ( x  1) 4 б)  0.

3 x

( x  5) 2  0; 2x  3 ( x  3) 4 а)  0; 2 x

289. а) 290.

б)

Розв’язати системи нерівностей: 

291. а)  292.

293.

x 1  3



;

б) 

x 1  2

.

x  2x  3  0  x 2 а)  2 ;  x  x  12  0

 x  3x  2  0  x 3 б)  2 .  x  x  20  0

 x 2  2 x  15  0 а)  2 ;  x  2x  8  0

 х 2  2 х  24  0, б)  2  х  3х  18  0.

2

2

Знайти всі значення параметра, при яких нерівність виконується для всіх дійсних х: 294. а) x 2  3x  a  0 ; 295. а) ax 2  12 x  5  0 ; 296. а) ax 2  4 x  a  3  0 ;

б) x 2  4 x  2a  0 . б) (a  3) x 2  5 x  4  0 . б) ax 2  4ax  3  0 .

24

Довести, що для будь-яких значень а правильна нерівність: 2

2

a  1   a;  2 

297. а) 

a  3 б)    3a .  2 

Довести, що для будь-яких значень х і у правильна нерівність: 298. а) б) 299. а) б)

2 x 2  2 xy  2 y 2  4 x  2 y  5 ; 2 x 2  4 xy  5 y 2  4 x  2 y  5 .

x 2  6 x  y 2  4 y  15  0 ; x 2  4 x  y 2  12 y  40  0 .

Довести, що при будь-якому значенні змінних справджується нерівність: 300. а) 28a  32  7a 2  4 ; 301. а) 3a  2a  10a  8 ;

б) a 2  5a  7a  47 . б) 4a  3a  4  a .

Поглиблений рівень

Розв’язати нерівності : 302. а) ( x 2  4 x  3)(2 x 2  3x  1)  0 ; б) ( x 2  5 x  6)(3x 2  5 x  2)  0 .

303. а) ( x 2  2 x  3)( x3  6 x 2  11x  6)  0 ; б) ( x 2  6 x  5)( x3  6 x  11x  6)  0 .

304. а) ( x  1)3 ( x  2) 2 x  3  0 ; б) ( x  2)5 ( x  1) 2 x  2  0 .

2 2  х  2   х  1   х  3 305. а)

х

306. а ) 307.

308.

0 ;

х

2 x  2  x2  4x  4 ; x 1 2

б)

0 .

2 x  5  x 2  10 x  25 . x 1 2

5  x   18  5 x   0 .

4 x  1  2 x  5 а)  0; б) 3 5 x  3  x  9 x 4  x  2 а) x 2  3x  3x 2  3x  1  x 2  3x  x 2  2 x  1 ; 3

4

    б) 4 x  1  3x  2 x  1  4 x x  1 x  5  0 ; а) 2

309.

2 3  х  2   х  1   х  3 б)

2

2

3

2

  1  2



 2x  4x2  .

2  x  5   x  6  б)  0.

2

x  25

x2  2x  1

310. а) x  2  x  3  5  x   0 ; б) x  5  x  4  2  x 3  0 .

2

2

2

2x  1 2  .

2 x  5x x  2 3 б) x  2 x 2  9 x  18  0 .

4 x 1  0 ; x  5 1 x 3 а) x  3x 2  4 x  12  0 ;

311. а) 312.

4

б)

25

3

313.

x  x5x

а)

x  5  x  3  x 2  5 x  x 2  5 x  14

3

 0;

314.

а)

315.

а) x 2  2 x  15  2 x  15 ;

316.

а)

317.

а)

318.

319.

320.

а) x 2  17 x  4 ; а) x 2  4 4 x 2  5 x  6  0 ; а) 2 x  3  6  x  x 2  0 ;

321.

а) x 2  x 2  1 

322.

323.

324.

а) x 2  1  x 2  4 x  3  0 ; а) x  x  1  1 ; а) 3 x  x 2  4  х ;

325.

а)

x3

0 ;

x  x5x

б)

x  4  x  2  x 2  4 x 

б)

x 2  7 x  18 x4

 0.

0 .

б) x 2  6 x  7  6 x  7 .

x2  4x  3 1 ; x 1

x2  8x  7 1 . x 1

б)

 x  5    x  3 0 ; x  2x  6

 x  4    x  5 0 . x  2x  1

б)

3 ; 4

б) x 2  24 x  5 . б) x 2  9 3x 2  7 x  6  0 . б) 5 x  7   x 2  9  14  0 . б) x 2  3 x 2  3 

3 .

4

б) x 2  9  x 2  3x  10  0 . б) 2  x  18  x . б) x 2  x  12  х .

x2  4x  3 0 ; x2  6x  5

б)

x2  4x  3 0 . x2  6x  5

Розв’язати системи нерівностей 326.

а)

327.

а)

 x 2  3x  2  0  ; x3 0  x  4  x 1  2   x3 x2 ; 2    x  2 x 1 

x2  7 x  6  0 б)  x  2 . 0  x 5  x 1  5 б)  2 x  17 x  5 .  3  x5 x2 

Знайти всі значення параметра, при яких нерівність виконується для всіх дійсних Х:

329.

а) 4a  3x 2  3a  1x  2a  1  0 ; б) 6a  5x 2  5a  1x  2a  3  0 а) x 2  a  2x  8a  1  0 ; б) x 2  2a  1x  9a  5  0 .

330.

а)

328.

x 2  ax  1 1 ; 2x2  2x  3

б)

26

x 2  ax  2  1 . x 2  3x  4

Розділ V. СИСТЕМИ РІВНЯНЬ Обов'язковий рівень

Розв’язати системи рівнянь:  x  y  8,  x  y  2;

б) 

 x  y  6,  x  y  2;

 x  y  6,  x  y  4;

б) 

 x  y  11,  x  y  1;

б) 

4 x  y  11, 3x  2 y  0;

б) 

 х  2 у  16, 2 х  5 у  5;

б)

 x  2 y  15, 2 x  3 y  2;

б) 

331. а) 

 x  y  9,  x  y  3;

332. а) 

 x  y  9,  x  y  5;

333. а) 

 x  3 y  6, 2 x  5 y  10;

334. а) 

335. а) 

2 х  у  28,  3х  2 у  14.  x  2 y  15, 2 x  3 y  5;

336. а) 

2 x  y  4,  x  2 y  7;

2 x  y  7,  x  3 y  14;

337. а) 

б) 

5 x  2 y  9, 3 x  4 y  5;

б) 

4 x  3 y  23, 3 x  2 y  6;

 x  2 y  9,  y  4 x;

б) 

10 x  2 y  0,  y  5 x;

б) 

338. а) 

2 x  y  10,  y  3x;

339. а) 

8 x  2 y  0,  y  4 x;

340. а) 

 x  y  9,

341. а) 

 x  y  8,

б) 

 x  y  45; 2

2 2  x  y  16;

2

 x  y  16,

342. а) 

 x  y  14,

б) 

 x  y  64; 2

2 2  x  y  28;

2

 x  y  4,

 x  y  7,

343. а) 

б) 

2 2  x  y  8;

2 2  x  y  21;

27

 x  y  3,

344. а) 

 x  y  1,

б) 

 x  y  15; 2

2 2  x  y  7;

2

 x  y  1,

 x  y  2,

345. а) 

б) 

2 2  x  y  11;

2 2  x  y  20;

Розв’язати графічно системи рівнянь:  x  y  3,  y  2 x;

б) 

 x  y  2,  y  3x;

3x  y  10,  y  2 x;

б) 

5 x  y  7,  y  2 x;

б) 

346.

а) 

347.

а) 

348.

а) 

349.

а) 

350.

а) 

351.

а) 

б) 

352.

y  x2, а)   x  0;

 y  x 2 , б)   y  0;

353.

а) 

4 x  y  9,  y  5 x; 2 x  y  8,  y  6 x;

y  x2 ,

y  x2,

б) 

 y  2 x;

 y  3 x;

 y  x3 ,

 y  x3 ,

б) 

 y   x;

 y  x;

 y  x  0,  x  3;

2 x  y ,  x  0;

y  x,  y  x;

y   x,  y   x;

б) 

Підвищений рівень

Розв’язати системи рівнянь: 354.

 x  y  2,

а) 

 x  y  4,

б) 

 x  y  xy  31; 2

2 2  x  2 xy  y  56;

2

28

 x  y  6,

355.

а) 

356.

а) 

357.

 x  y  6,

б) 

 x  y  3xy  27; 2

2 2 3x  y  10 x  40 y  28;

2

2 x  y  9,  x  y  7;

б) 

 x  2 y  13,  x  y  6;

а) 

 x  y  1,  xy  12;

б) 

358.

x y   2,5, а)  y x  x  y  6; 

 x y 13   , б)  y x 6  x  y  5; 

359.

10 x y    , 3 а)  y x  x  y  6; 

10 x y    , 3 б)  y x  x  y  4; 

360.

 x  y 2  7, а)  2  xy  12;

3x  5 y 2  20, б)  2  xy  5;

361.

2  x  а)  x   2

2  x  б)  x   2

362.

5  4  x  1  y  1  1, а)   3  2;  x  3 y

363.

 y 2  xy  12, а)  2  x  xy  28;

364.

а) 

б) 

365.

x5  4, а)  y  2 ( x  5)( y  2)  16; 

 x 1 1  , б)  y  2 3 ( x  1)( y  2)  12; 

 x  y  2,  xy  15;

y  3, 3 3 3  ; y 2

y 4  , 3 3 3  3; y

2  3  x  5  y  3  2,  б)  4 1  ;  x  2 y  6  x 2  xy  24, б)  2  y  xy  40;

 x  xy  y  27,

 x  xy  y  11,

2 2 2  x y  xy  16 ;

2 2  x y  xy  30;

29

366.

 2x  5  3, а)  y  4 ( 2 x  5)( y  4)  27; 

367.

x  y  12, а)  x  y ( x  y )( x  y )  3; 

368.

а) 

369.

 3x  2  1, б)  y  1 (3x  2)( y  1)  16;  x  y  18, б)  x  y ( x  y )( x  y )  2; 

5( x  y )  2 xy  1, 4 xy  x  y  7;

б) 

4( x  y )  xy  2, 2 xy  ( x  y )  3;

а) 

4( x  y )  xy  11, 2 xy  x  y  8;

б) 

370.

 x 2  xy  3 y 2  5, а)  2 2

 x 2  2 xy  y 2  2, б)  2

371.

 x 3  y 3  19, а)  2 2

 x 3  y 3  35, б)  2 2

 x  y  5 xy  29,  xy  3( x  y )  9;

2 x  3 xy  9 y  7;

 xy  y  4;

 x  xy  y  19;

 x  xy  y  7;

При яких значеннях a i b є розв’язком системи: 372.

ax  3 y  3, є числа х = 3, y =2 ; 2 x  ay  5b;

а) 

ax  by  4, є числа х = 2, y =3 . 2ax  by  3b;

б)  373.

ax  by  7, є числа х = - 4, y = 3 ; 2ax  3by  11  a;

а) 

ax  3by  12  a, б)  1 є числа х = 3, y = 2 .

3  2 ax  4 by  5;

30

Розв’язати графічно систему рівнянь:

374.

 x 2  y  1, а)   x  y  5;

 x 2  y  8, б)   y  5  1;

375.

а) 

б) 

376.

 x 2  y 2  16, а)  2

 x 2  y 2  9, б)  2

377.

а) 

б) 

378.

 x 2  y 2  9, а) 

 x 2  y 2  16, б) 

379.

( x  2) 2  ( y  1) 2  9, а) 

( x  2) 2  ( y  2) 2  16, б) 

 xy  12, 3x  2 y  12;

 xy  8,  x  y  4;

 x  y  4;

 x  y  3;

 x 2  y 2  25,

 x 2  y 2  25,

 xy  12;

 xy  12;

 x  2;

 x  3;

 y  1;

 y  2.

Знайти графічно кількість розв’зків системи рівнянь:  y  x 2  5 x  6,

 y  x 2  3x  4,

380.

а) 

б) 

381.

 y  x 2  3x  4 , а)   y  2 x;

 y  x 2  3x  4 , б)   y  2 x.

2 x  y  5;

 x  y  4.

Поглиблений рівень

Розв’язати системи рівнянь: 382.

 x 2 y  xy 2  6, а)   xy  x  y  5;

( x  y )  ( x  y  4)  4,

б) 

2 2 ( x  y )  xy  160.

31

 x  xy  y  1,

 x 2  3xy  y 2  61,

383.

а) 

б) 

384.

2 x 2  xy  2 y 2  12, а)  2 2

 x 2  3 xy  y 2  1, б)  2 2

385.

 x  2 xy  3 y  9, а)  2 2

 x 2  4 xy  2 y 2  14, б)  2 2

386.

x  y x  y 5   ,  а)  x  y x  y 2  x 2  y 2  20; 

x  y x  y   4,8,  б)  x  y x  y  x 2  2 y 2  1. 

387.

 x y 25    , а)  y x 12  x 2  y 2  7; 

 x y 2   1, б)  y x  x 2  y 2  10 y  20. 

2 2  x  3xy  y  11;

 x  xy  y  3; 2

2

 x  4 xy  5 y  5;

 x 3  y 3  72,

388. а) 

 x  y  6;

 xy  12.

3 x  xy  3 y  13.

2 x  3 xy  y  13.

 x 3  y 3  56,

б) 

 x  y  2.

За допомогою графіків визначити кількість розв’язків системи рівнянь: 389.

 y  x 2  5x  4 ,  а)  1  y  x; 2   y  x 2  4,

390. а) 

( x  2) 2  ( y  1) 2  4;

 y  x 2  5x  4 ,  б)  1  y   x.

2   y   x 2  4, б)  2

( y  1)  ( x  2) 2  4.

391. Знайти всі значення параметра, при яких система має безліч

розв’язків: (a  1) x  (a  1) y  2(a 2  1), а)  2 (a  1) x  (a 2  1) y  2(a 3  1);

(a  1) 2 x  (a 2  1) y  (a  1) 2 , б)  (2a  1) x  (a  1) y  a 2  1.

32

392. Знайти всі значення параметра, при яких система має єдиний

розв’язок: (a  1) x  y  a, (a  3) x  ay  9;

а)  393.

(m  1) x  y  3, 2 x  my  2.

б) 

Знайти всі значення параметра, при яких система не має

розв’язків: (a  1) x  y  3, 2 x  (a  2) y  6;

(3  m) x  4 y  5  3m, 2 x  (5  m) y  8.

а) 

б) 

Розв’язати та дослідити системи рівнянь: ax  2 y  1, 8 x  ay  2;

 x  ay  4, ax  4 y  8.

394. а) 

б) 

Розв’язати системи рівнянь:  x  y  z  7,  395. a)  x  y  z  2,  x  y  z  1; 

2 x  y  z  6,  б)  x  2 y  z  7,  x  y  2 z  5. 

33

Розділ VI. ФУНКЦІЇ Обов'язковий рівень Знайти область визначення функцій: 3 ; х2 4 397. а) у = ; 2х  1 1 398. а) у = 2 ; х 1 х4 399. а) у  ; х3 х 400. а) у  ; 4  х2 х 1 401. а) у  2 ; х 9 402. а) у  2 х  6 ;

1 . х3 5 б) у  .

3х  6 3 б) у  .

2  х2 х 5 б) у  . х4 2х б) у  2 . х 4 х 1 б) у  .

9  х2 б) у  3х  9 .

396. а) у 

403. а) 404. а) 405. а) 406. а)

б) у 

б) б) б) б)

у  5 х  1; у   0,3 х  0,6 ;

у у

407. а) у 

х  1х  2; х  1х  5; 1

у  2 х  1. у   0,2 х  0,4 .

х  2х  3. у  х  2х  6.

2

б) у 

;

х  10 1 х 408. а) у  ; х8 3х ; 409. а) у  0,2 х  0,4

х3 х

б) у  б) у 

.

. х7 1 х

0,4 х  1,6

.

Знайти нулі функцій: 7 х  14 ; х 1 1,5  0,3х 411. а) у  ; 3х 412. а) у  х 2  х  12;

5 х  4,5 .

2х 3,2  0,4 х б) у  . х2 б) у  х 2  3х  10.

410. а) у 

б) у 

Знайти проміжки зростання і спадання функцій: 413. а) у  2 х  4; 414. а) у  6  2 х; 415. а) у  2 х  1;

б) у  3х  6. б) у  2  4 х. б) у  2  2 х.

34

416. а) у  х 2  3х; 417. а) у  х 2  1; 418. а) у = 2  х 2 ; 419. а) у  х 2  2 х  3; 420. а) у  х 2  2 х  8;

б) б) б) б) б)

у  х 2  3х. у  х 2  1. у  3  х2. у  х 2  2 х  3. у  х 2  3х  10.

Знайти всі значення х, при яких f (х) набуває додатних значень: 421. а) f  х   0,5х  3; б) f х   0,3х  9.

422. а) f х   0,4  0,8; б) f х   2 х  3,2.

423. а) f х   1  0,2 х; б) f х   0,5х  3.

424. а) f х    х 2  х  6; б) f х    х 2  х  6.

425. а) Функція задана формулою f х   kх  b. Знайти коефіцієнти k і b, якщо f(1) = 1 і f(3) = 5. Чи належить точка А (0; - 1) графіку функції? б) Функція задана формулою f(x) = kx + b. Знайти коефіцієнти k і b, якщо f(2) = 7 i f(3) = 10. Чи належить точка В (1; 4) графіку функції?

Знайти всі значення х, при яких f(х) набуває від’ємних значень: 426. а) f (x)  3  0,5 х;

б) f (x)  2  0,4 х.

0,2 х  0,6 ; х 1 428. а) f (x)  х 2  6 х  7; 429. а) f (x)   х 2  3х  2;

0,1х  10 .

2 х б) f (x)  х 2  6 х  7. б) f (x)   х 2  х  2.

427. а) f (x) 

б) f (x) 

Побудувати графік функції. Знайти за графіком: 1) значення у при х = - 1; 0; 2) значення х при у = 2: 430. а) 431. а) 432. а) 433. а)

б) у  4 х  2. б) у  3х  7. б) у  х  1. б) у= 4-5х .

у  2 х  4; у  5 х  3; у  х  1;

у= -3х+2;

35

Підвищений рівень.

Знайти область визначення функцій: 434. а) у  435. а) у  436. а) у  437. а) у  438. а) у  439. а) у  440. а) у  441. а) у 

4х ; х2

б) у 

2  1; х 1 х4 ; х2 1 х2 ; х2  9 х ; 2 х 9 х6 ; 2 х  х  20 х 2  3х  4 ; х 2  6х  8 2х 2  7х  5

1 . х2 5 х . х2  4 х2 . х2 1 х .

2 х 9 х2 .

2 х  х  12 х 2  2х  3 . х2  х  6 2 х 2  3х  9

б) у  1  б) у  б) у  б) у  б) у  б) у  б) у 

;

3х  2  х 2 1 442. а) у   ; х3 2х  5 1 ; 443. а) у  х  12 2

3 х . х 1

.

3х  8 х  3 3 5 б) у   .

2х  1 3х  4 2 . б) у  х 8 2

Знайти область значень функцій (можна користуватись графіком): 444. а) у  х 2  6 х; б) у  4 х  х 2 .

445. а) у  х 2  2 х  8, де х є [- 5; 3]; б) у  х 2  3х  4, де х є [- 5; 3].

446. а) у  3х 2  10 х  8, де х є [- 1; 5]; б) у  2 х 2  5 х  3, де х є [- 1; 5].

447. а) у  х 2  3х  4; б) у  х 2  7 х  10.

448. а) у  х 2  4 , де х є [- 3; 3]; б) у  х 2  9 , де х є [- 4; 4].

449. а) у   х 2  5 х  6 , де х є [- 4; 4];

б) у   х 2  4 х  4 , де х є [- 3; 3].

450. а) у  х 2  9 х; 451. а) у  4  х 2 , де х є [1; 2];

36

б) у  4  х 2 . б) у  х 2  9 х, де х є [- 3; 0].

Побудувати графік функції і знайти її нулі: 452. а) 453. а) 454. а) 455. а)

б) б) б) б)

у  х 2  х; у  х 2  х  2; у  6 х 2  х  1; у  х 2  2х  3;

у  х  х2. у  х 2  5 х  6. у  8 х 2  2 х  1. у  2 х 2  5х  3 .

Знайти проміжки зростання та спадання функцій: 456. а) у  3х 2  2 х  2; 457. а) у  6 х 2  24 х  1; 458. а) у  х 2  х  6 ;

б) у  4 х 2  2 х  1. б) у  3х 2  9 х  7. б) у  х 2  х  6 .

Знайти найбільше та найменше значення функцій: 459. а) 460. а) 461. а) 462. а) б) 463. а)

б) у  х  4 х 2 . б) у  х  1. б) у  3  х .

у  3  х2; у  х  1; у  4  х;

у  х 2  2 х  2, де х є [-1; 2]; у  1  4 х  х 2 , де х є [0; 3].

б) у   х 2  2 .

у   2х 2  3;

464. а) у  х 2  х  2 ;

б) у   х 2  3х  2 .

465. а) у  2 х  4 ;

б) у  3 х  6 .

Знайти координати точок перетину графіків функцій: 466. а) у  х 2  4 і у  3х; 467. а) у  2 х  1 і у  3  х; 468. а) у  х  1 і у  2 х 2 ;

б) у  х 2  2 і у  3х. б) у  х  2 і у  х  1. б) у  х  1 і у  2 х 2 .

Поглиблений рівень.

Знайти область визначення функцій: 469. а) у  х  1 

1 ; х  4х  3

б) у  2  х 

2

470. а) у  х 2  3 х  2 ;

1 . х х2 2

б) у  х 2  5 х  4 .

37

Розділ VIІ. ТЕКСТОВІ ЗАДАЧІ Обов’язковий рівень 471. а) Відстань між двома містами – 150 км. Першого дня турист

пройшов

1 3

всього шляху. Скільки кілометрів залишилося пройти

туристові? б) У магазин привезли 240 кг помідорів. Першого дня було продано 5 6

всіх помідорів . Скільки кілограмів помідорів залишилося в

магазині?

472. а)У шкільний кіоск привезли 3200 зошитів. Першого дня кіоск продав

1 1 всіх зошитів, а другого – в 1 рази, ніж першого. Скільки 8 4

зошитів продав магазин за два дні разом? б) Площа поля дорівнює 450га . Першого дня тракторист зорав

1 9

1 5

всього поля, а другого – в 1 рази більше ніж першого. Яку площу поля зорав тракторист за два дні разом?

473. а) Робітник за два дні виготовив 360 деталей. Скільки деталей виготовив робітник першого дня, якщо другого дня він виготовив у два рази більше ніж першого? б) Комбайнер за два дні зібрав 120 т пшениці, причому другого дня він зібрав у 3 рази більше, ніж першого дня. Скільки тонн пшениці зібрав комбайнер першого дня?

474. а) У 9 класі є 32 учні. Скільки дівчат у класі якщо хлопців на 8 більше, ніж дівчат? б) За два дні магазин продав 120кг цукру. Скільки кілограмів цукру продав магазин першого дня , якщо другого він продав на 20кг менше, ніж першого?

475. а)Першого дня пішохід пройшов

1 1 шляху, другого шляху, 3 4

третього – решту, 30км. Який шлях пройшов пішохід за три дні?

1 3

б) У магазин завезли борошно. Першого дня було продано , другого -

2 всього борошна, третього – решту, 200кг. Скільки 5

кілограмів борошна завезли в магазин?

38

476. а) Учні 7, 8 і 9 класів разом посадили 95 дерев. Дев’ятикласники посадили на 5 дерев більше, ніж учні 8 класу і у 2 рази більше ніж семикласники. Скільки дерев окремо посадив кожен клас? б) У трьох ящиках разом було 66 кілограмів винограду. У першому ящику було винограду на 6 кг менше, ніж у другому і в 2 рази більше, ніж у третьому. Скільки кілограмів винограду було у кожному ящику?

477. а) На першій полиці у два рази більше книг, ніж на другій. Якщо з першої полиці забрати 12 книг і переставити на другу, то книг на обох полицях стане порівно. Скільки книг було на кожній полиці? б) Тарас і Богдан пішли у ліс за грибами. Тарас знайшов білих грибів у 2 рази більше ніж Богдан. Після того як Тарас дав Богданові 7 штук, грибів у них стало порівно. Скільки білих грибів знайшов кожен хлопчик?

478. а) З двох міст А і В одночасно на зустріч один одному виїхали два автомобілі. Швидкість першого – 40,8км/год, а другого – 59,2 км/год. Через скільки годин автомобілі зустрінуться, якщо відстань між містами – 500 км? б) З одного пункту одночасно в протилежних напрямках виїхали два велосипедисти. Швидкість першого – 10,4 км / год. , другого – 9,6 км /год. Яка відстань буде між велосипедистами через 2,5 години?

479. а) Катер за течією річки пройшов за 9 годин таку відстань, яку він проходить за 11 годин проти течії. Знайти швидкість течії, якщо власна швидкість катера – 20км/год. б) Катер пройшов за течією річки за 7годин таку відстань, яку він проходить за 8 годин проти течії. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії – 2км/год.

480. а) Сума двох додатних чисел дорівнює 6, а їх добуток – 8. Знайти ці числа. б) Сума двох додатних чисел дорівнює 8, а їх добуток – 15. Знайти ці числа.

481. а) Сума двох чисел дорівнює 12, а їх добуток – 20. Знайти ці числа. б) Сума двох чисел дорівнює 10, а їх добуток – 21. Знайти ці числа.

482. а) Різниця двох чисел дорівнює 2, а їх добуток – 15. Знайти ці числа. б) Різниця двох чисел дорівнює 4, а їх добуток – 5. Знайти ці числа.

39

483. а) Одна сторона ділянки, що має форму прямокутника, у два рази більша, ніж друга. Знайти довжину огорожі ділянки, якщо її площа дорівнює 72м2 . б) Площа ділянки, що має форму прямокутника, дорівнює 32м2 . Знайти довжину огорожі ділянки, якщо довжина ділянки у 2 рази більша, ніж ширина.

484. а) Довжина ділянки , що має форму прямокутника, на 5 м більша, ніж ширина. Знайти довжину ділянки, якщо її площа дорівнює 300 м2. б) Площа ділянки, що має форму прямокутника. Дорівнює 150м2.Знайти ширину ділянки, якщо довжина більша від ширини на 5м.

486. а) Ширина ділянки, що має форму прямокутника, на 2 м менша, ніж довжина. Знайти довжину ділянки, якщо її площа дорівнює 48м2 б) Площа ділянки, що має форму прямокутника, дорівнює 54м2. Знайти ширину ділянки, якщо вона на 3 м менша, ніж довжина.

487. а) Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює 210. знайти ці числа. послідовних натуральних чисел дорівнює б) Добуток двох 240.Знайти ці числа.

488. а) Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює 420.Знайти ці числа. б) Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює 132.Знайти ці числа.

489. а) Два робітники, працюючи разом, виконали роботу за 6 годин. Перший робітник цю роботу може виконати за15 годин. Скільки годин на цю роботу затратить другий робітник? б) Дві друкарки, працюючи разом, виконали роботу за 12 годин. Друга друкарка може виконати цю роботу за 20 годин. За скільки годин перша друкарка виконає роботу працюючи окремо? Підвищений рівень 490. а) Сума цифр двозначного числа дорівнює 11, а сума квадратів його цифр – 65. Знайти це число. б) Сума цифр двозначного числа дорівнює 9, а сума квадратів його цифр – 41. Знайти це число.

40

491. а)Знайти двозначне число, цифри якого відносяться як 1:2, а сума їх квадратів дорівнює 45. б) Знайти двозначне число, цифри якого відносяться як 1:3, а сума їх квадратів дорівнює 90.

492. а) Периметр прямокутника дорівнює 68 см, а його діагональ – 26 см. Знайти сторони прямокутника. б)Периметр прямокутника дорівнює 56 см, а його діагональ – 20 см. Знайти сторони прямокутника.

493. а)Знайти діагональ ромба, площа якого дорівнює 30 см2, а сума довжин діагоналей – 17 см. б) Знайти діагональ ромба, площа якого дорівнює 75 см2, а сума довжин діагоналей – 25 см.

497. а)Різниця квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює 53. Знайти ці числа. б) Різниця квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює 69. Знайти ці числа.

498. а) В ощадну касу покладено гроші під 10% річний прибуток. Через рік сума вкладу дорівнювала 132 грн. Який початковий вклад? б) В ощадну касу покладено гроші під 12% річний прибуток. Через рік сума вкладу дорівнювала 132 грн. Який початковий вклад?

499. а) Сума двох чисел дорівнює 3, а сума їх квадратів – 65. Знайти ці числа. б) Сума двох чисел дорівнює 5, а сума їх квадратів – 97. Знайти ці числа.

500. а)Відстань між пристанями А і В – 28 км. Шлях від А до В і назад катер проходить за 5 год. 50 хв. Знайти швидкість течії річки, якщо власна швидкість катера – 10км/год. б) Відстань між пристанями А і В – 36 км. Шлях від А до В і назад катер проходить за 7 год. 30 хв. Знайти власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки – 2 км/год.

501. а) Сума квадратів двох чисел дорівнює 221. Якщо кожне із чисел збільшити на одиницю, то сума їх квадратів буде дорівнювати 265. Знайти ці числа. б) Різниця двох чисел у 6 разів менша від їх суми, а різниця квадратів цих чисел дорівнює 24. Знайти ці числа.

41

502. а) Дві бригади, працюючи разом, можуть виконати роботу за 2 год.

24 хв. За скільки годин може виконати роботу кожна з бригад, працюючи окремо, якщо половину роботи друга бригада виконує на 1 год. швидше, ніж перша? б) Дві бригади, працюючи разом, можуть виконати роботу за 3 год.

36 хв. За скільки годин може виконати роботу кожна з бригад, працюючи окремо, якщо половину роботи перша бригада виконує на 1 год. 30 хв. швидше, ніж друга?

503. а) Знаменник першого дробу на 5 більший від чисельника. Якщо чисельник першого дробу збільшити на 7, а знаменник збільшити у 3 рази, то отримаємо дріб, який у сумі з першим дасть 1. Знайти перший дріб б) Чисельник першого дробу на 3 більший від знаменника. Якщо чисельник першого дробу зменшити на 1, а його знаменник збільшити у 2 рази, то значення другого дробу буде менше від знаменника першого дробу на 1. Знайти перший дріб.

504. а)Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 12. Від перестановки цифр число збільшується на 75%. Знайти це число. б)Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника дробу додати 17, а до знаменника – 2, то отримаємо дріб, обернений до даного. Знайти цей дріб.

505. а) Периметр прямокутника дорівнює 20 см. Знайти його сторони, якщо площа прямокутника – 24 см2. б) Периметр прямокутника дорівнює 36 см. Знайти його сторони, якщо площа прямокутника – 80 см2.

506. а) Периметр прямокутника дорівнює18 см. Знайти сторони прямокутника, якщо його площа – 20 см2. б) Периметр прямокутника дорівнює 26 см. Знайти сторони прямокутника, якщо його площа – 30 см2.

507. а) Катер пройшов12 км проти течії і 5 км за течією річки, затративши час, який потрібний для проходження 18 км озером. Яка власна швидкість катера, якщо швидкість течії – 3 км /год.? б) Катер пройшов5 км проти течії і 14км за течією річки, затративши час, який потрібний для проходження 18 км озером. Яка власна швидкість катера, якщо швидкість течії – 3 км /год.?

42

508. а) Із пункту А до пункту В велосипедист проїхав 27 км, а назад повертався іншою дорогою, яка коротша від першої на 7 км, і затратив часу на 10 хв менше, хоча швидкість зменшив на 3 км/год. З якою швидкістю рухався велосипедист з А до В? б) Із пункту А до пункту В велосипедист проїхав 20 км, а назад повертався іншою дорогою, яка довша від першої на 7 км, і затратив часу на 10 хв менше, хоча швидкість зменшив на 2 км/год. З якою швидкістю рухався велосипедист з А до В?

509. а) Відстань між двома станціями – 200 км. Електропоїзд, пройшовши цю відстань туди й назад, витратив9 год. З якою швидкістю рухався поїзд до другої станції, якщо назад він повертався із швидкістю на 10 км /год. більшою від початкової? б) Відстань між двома містами – 40 км. Турист, збільшивши швидкість на 2 км /год., прибув до міста на 1 годину швидше розкладу. З якою швидкістю рухався турист?

510. а) З двох міст, відстань між якими дорівнює 160 км, назустріч один одному виїхали два велосипедиста і зустрілися на середині дороги. Яка швидкість кожного велосипедиста, якщо перший виїхав на 1 годину пізніше від другого і рухався із швидкістю на 4 км за годину більшою, ніж швидкість другого велосипедиста? б) З двох міст, відстань між якими дорівнює 60 км, назустріч один одному виїхали два велосипедиста і зустрілися на середині дороги. Яка швидкість кожного велосипедиста, якщо перший виїхав на 1 годину раніше від другого і рухався із швидкістю на 5 км за годину меншою, ніж швидкість другого велосипедиста?

511. а) Перша друкарка надрукувала 320 сторінок, а друга – 270 сторінок. Перша друкарка друкувала за 1 день на 2 сторінки менше, ніж друга і працювала на 5 днів довше, ніж друга. Скільки сторінок за 1 день надрукувала перша друкарка? б) Перша друкарка надрукувала 270 сторінок, друкуючи на 2 сторінки за день більше, ніж друга і працюючи на 1 день менше ніж друга. Скільки сторінок за 1 день друкувала друга друкарка, якщо всього вона надрукувала 280 сторінок.

512. а) Робітник за планом повинен був виготовити 250 деталей до назначеного терміну. Виготовлюючи кожного дня на 5 деталей більше норми, робітник вже за 1 день за терміном виготовив 270 деталей. За скільки днів робітник виготовив 270 деталей?

43

б) Два учні повинні були виготовити кожен по 120 деталей за визначений термін. Перший учень виготовлюючи за 1 годину на 2 деталі більше, ніж другий, за 3 години до терміну виготовив 136 деталей. За скільки годин перший учень виготовив 136 деталей?

513. а) Фермер планував закінчити сівбу озимих за 25 днів. Перевиконуючи щоденну норму на 2 га, він закінчив сівбу за 20 днів. Скільки гектарів землі засіяв фермер? б) Трактористи за планом повинні були щодня виорювати 15 га землі. Виорюючи щоденно 18 га, вони закінчили оранку на 1 день швидше. Скільки гектарів землі виорали трактористи?

514. а) Два робітники, працюючи разом, виконали роботу за 6 годин 40 хвилин. Перший робітник може виконати роботу на 3 години швидше, ніж другий. За скільки годин кожен робітник, працюючи окремо, може виконати роботу? б) Два трактористи, працюючи разом, виорали поле за 12 годин. Перший тракторист може виорати поле, затративши на 10 годин більше, ніж другий. За скільки годин кожен тракторист, працюючи окремо, може виорати поле?

515. а) Два цехи повинні повинні були виготовити за планом 180 станків за рік. Перший цех виконав план на 112%, а другий – 110%, тому разом випустили 200 станків. Скільки станків понад план випустив кожен цех? б) Бак, який вміщує 10 тисяч літрів, заповнили бензином через 2 насоси, другий із яких вливає за хвилину на 10 л менше, ніж перший. За 10 хвилин бак був наповнений на 50%. Скількома літрами бензину наповнив бак кожен насос?

516. а) Два трактористи сільськогосподарського підприємства засіяли 300 га землі на 5 днів швидше даного їм терміну. За скільки днів трактористи засіяли поле, якщо кожного дня перевиконували норму на 3 га? б) Фермер, використавши комбайни нової модифікації, зібрав урожай з поля площею 180 га на 1 день швидше терміну. За скільки днів фермер зібрав врожай, якщо кожного дня перевиконував норму на 2 га?

44

517. а) Басейн наповнюється водою за 2 години, якщо одночасно відкрити 2 труби. Щоб наповнити басейн лише через першу трубу, потрібно затратити часу на 3 години більше, ніж через другу. Через скільки годин басейн наповниться водою через кожну трубу окремо? б) Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу за 4 дні. Перший робітник може виконати цю роботу сам на 6 днів швидше, ніж другий. Скільки днів затратить на цю роботу перший робітник?

518. а) Дві молотарки, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу за 3 дні. Скільки днів потрібно для виконання цієї роботи першій молотарці, якщо вона може виконати цю роботу на 8 днів швидше, ніж друга? б) Два комбайнери, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу за 2 дні. Перший комбайнер на виконання цієї роботи затрачає на 3 дні більше, ніж другий. За скільки днів може виконати роботу перший комбайнер?

519. а) Два робітники, працюючи разом, можуть виконати замовлення за 3 дні. Якщо половину роботи виконає перший робітник, а решту – другий, то все замовлення буде виконане за 8 днів. За скільки днів кожен робітник може виконати замовлення окремо? б) Дві друкарки, працюючи разом, можуть виконати роботу за 24 години. Якщо половину роботи виконає перша друкарка, а решту – друга, то вся робота буде виконана за 50 годин. За скільки годин кожна друкарка може виконати роботу окремо? Поглиблений рівень 520. а) Сума двох чисел дорівнює 24, а різниця їх квадратів – 48. Знайти ці числа. б) Різниця двох чисел дорівнює 5, а сума їх квадратів – 625. Знайти ці числа.

521. а) Різниця двох чисел дорівнює 22. Якщо перше поділити на друге, то в частці отримаємо 2, а в остачі 7. Знайти ці числа. б) Різниця двох чисел дорівнює 19. Якщо перше поділити на друге, то в частці отримаємо 3, а в остачі 5. Знайти ці числа.

45

522. а) Поїзд затримався в дорозі на 12 хв, а потім на відстані 60 км надолужив згаяний час, збільшивши швидкість на 15 км /год. Визначити початкову швидкість поїзду. б) Велосипедист, який виїхав на 30 хв пізніше призначеного терміну, збільшив швидкість на 2 км/год, проїхав 30 км і прибув до пункту призначення без запізнення. Визначити початкову швидкість велосипедиста.

523. а) Довжина трамвайного маршруту дорівнює 15 км. Якби швидкість трамвая збільшилась на 3 км/год, то він витрачав би на кожний маршрут в один кінець на 15 хв менше, ніж за розкладом. Знайти швидкість трамвая за розкладом. б) Через 2 години, як з міста вирушив пішохід, у слід за ним виїхав велосипедист, який наздогнав його на відстані 18 км від міста. Знайти швидкість велосипедиста, якщо вона на 4,5 км/год більша від швидкості пішохода.

524. а) Три тракторні бригади, працюючи разом, виорюють поле за 4 дні. Це саме поле перша і друга бригади можуть разом зорати за 6 днів, а перша і третя разом за 8 днів. У скільки разів площа, яку виорює за день друга бригада більша за площу, яку виорює за день третя бригада? б) Три робітники виконують певну роботу, при чому третій робітник виконує її на 1 год. швидше, ніж перший. Працюючи разом, вони виконають роботу за 1 год. Якщо перший робітник відпрацює 1 год, а потім другий – 4 год, то вони разом виконають всю роботу. За який час зможе виконати всю роботу кожен робітник, працюючи окремо?

525. а) На обробку однієї деталі перший робітник витрачає на 6 хв менше, ніж другий. Скільки деталей обробляє за 7 годин перший робітник, якщо за цей час він обробляє на 8 деталей більше, ніж другий? б) Один робітник має виготовити 120 деталей, а другий за той самий час – 180. Перший закінчив роботу на 2 дні раніше терміну, а другий – на 3 дні, виготовлюючи при цьому кожного дня на 8 деталей більше від першого. Скільки деталей кожного дня виготовляв кожен робітник?

46

526. а) Два велосипедисти стартували один за одним з інтервалом 2 хв. Другий велосипедист наздогнав першого на відстані 1 км від старту. Якби він проїхав від старту 5 км і повернув на зад, то зустрівся з першим велосипедистом через 20 хв після старту першого. Визначити швидкість велосипедистів. б) Зі старту в одному і тому напрямці вийшли два лижники, при чому другий стартував на 6 хв пізніше від першого і наздогнав його на відстані 2 км віл старту. Дійшовши до позначки 5 км, другий лижник повернув назад і зустрів першого на відстані 4 км від старту. Визначити швидкість кожного лижника.

527. а) Басейн заповнюється водою через першу трубу на 10 год швидше, ніж через другу і на 15 год швидше, ніж через третю трубу. Відомо, що пропускна спроможність другої труби в два рази менша, ніж пропускна спроможність першої труби і на 20 м3 /год більша, ніж третьої. Визначити пропускну спроможність кожної труби. б) Басейн заповнюється водою через першу трубу на 6 год швидше, ніж через другу і на 24 год швидше, ніж через третю трубу. Пропускна спроможність третьої труби в 3 рази менша від пропускної спроможності першої труби і на 15 м3/год менше від другої. Визначити пропускну спроможність кожної труби.

528. а) Який многокутник має число діагоналей на 18 більше, ніж число сторін? б) Який многокутник має число діагоналей на 12 більше, ніж число сторін?

529. а) В опуклому многокутнику проведено всі можливі діагоналі, виявилось, що їх разом 14. Скільки сторін в цього многокутника? б) В опуклому многокутнику проведено всі можливі діагоналі, виявилось, що їх разом 27. Скільки сторін у цього многокутника?

530. а) У басейн проведені три труби. Перша наповнює його на 4 год довше, ніж друга, а друга – за 1/3 часу, необхідного для наповнення басейну третьою трубою. За скільки годин кожна труба окремо наповнить басейн, якщо три труби діючи одночасно наповнять його за 4 год? б) У басейн проведені три труби. Перша наповнює його на 6 год довше, ніж друга, а третя – за 3/4 часу, необхідного для наповнення басейну другою трубою. За скільки годин кожна труба окремо наповнить басейн, якщо три труби діючи одночасно наповнять його за 4 год?

47

531. а) Змішали 50% розчин кислоти з 10% і отримали 500 г 20% розчину. Скільки грамів 10% розчину було взято? б) Змішали 35% розчин кислоти з 10% і отримали 300 г 20% розчину. Скільки грамів 35% розчину було взято?

532. а) Сума цифр трицифрового числа дорівнює 13. Якщо поміняти місцями дві крайні справа цифри, то нове число буде на 45 менше початкового. Цифра сотень на 3 більша від цифри десятків. Знайти початкове число. б) Сума цифр трицифрового числа дорівнює 16. Якщо поміняти місцями дві крайні з ліва цифри, то нове число буде на 270 менше початкового. Цифра сотень на 2 більша від цифри одиниць. Знайти початкове число.

533. а) Два трактористи, працюючи разом, можуть виорати поле за 6 год.

1 4

1 6

Після того, як один виорав , а другий – поля за однаковий час, перший трактор вийшов з ладу. За скільки годин другий закінчить роботу? б) Дві бригади, працюючи разом , обробили ділянку землі за 12 год. За який час обробить цю ділянку кожна бригада окремо, якщо продуктивність праці бригад відноситься 3:2?

534. а) Електропоїзд зупинився на 20 хв, а тому щоб цю відстань у 420 км подолати своєчасно, збільшив швидкість на 6 км/год. Яка початкова швидкість електропоїзда? б) Мотоцикліст зупинився на 24 хв . Збільшивши швидкість на 10 км/год, він подолав запізнення на перегоні у 80 км. Знайти швидкість мотоцикліста до запізнення.

535. а) Дві труби, працюючи разом, наповнять басейн за 6 год. За скільки годин наповнить басейн кожна труба, працюючи окремо, якщо перша може його наповнити на 5 год швидше, ніж друга? б) Дві труби, працюючи разом, наповнять басейн за 12 годин. Перша наповнює його на 10 год швидше, ніж друга. За скільки годин наповнить басейн друга труба.

48

Розділ VІІI. ПРОГРЕСІЇ Обов'язковий рівень 536. а) Знайти п'ятий член арифметичної прогресії (аn), якщо а 1 = 3; d=2. б) Знайти одинадцятий член арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 2;d =3.

537. а) Знайти десятий член арифметично прогресії (аn), якщо а1=-6; d = 2. б) Знайти восьмий член арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = -8; d = 3.

538. а) Знайти сто перший член арифметичної прогресії (аn), якщо a1= 2; а4 = 14. б) Знайти сто перший член арифметичної прогресії (аn), якщо a1 = 3; а5 = 15.

539. а) Знайти двадцять перший член арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 1; а6 = 16. б) Знайти тридцять перший член арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 2; а5 = 14.

540. а) Знайти суму членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 2; d = 3; n = 7. б) Знайти суму членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 1; d = 3; n = 6.

541. а) Знайти суму членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 3; d = 4; n = 7. б) Знайти суму членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 2; d = 5; n = 7.

542. а) Знайти cуму членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 100; d = -10; n = 6. б) Знайти суму членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 75; d = -5; n = 8.

49

543. а) Знайти суму членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 =0,5; d = 1,5; n = 7. б) Знайти суму членів арифметичної прогресії (аn), якщо а1 = 1,5; d = 0,5; n = 7.

544. а) Знайти п'ятий член геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 1; q = 2. б) Знайти п'ятий член геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 1; q = 3.

545.

а)

Знайти шостий член геометричної прогресії (аn), якщо

а 1 = 32; q =

1 .

2

б) Знайти п'ятий член геометричної прогресії (аn), якщо а 1 = 81; q=

1 .

3

546.

а) Знайти п'ятий член геометричної прогресії (аn), якщо а = 2; а3 = 18. б) Знайти п'ятий член геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 1; а3 = 16.

547. а) Знайти четвертий член геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 256; а3 = 16. б) Знайти четвертий член геометричної прогресії (аn), якщо а, = 162; а3 = 18.

248. а) Знайти суму членів геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 2; q = 3; n = 4. б) Знайти суму членів геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 1; q = 2; n = 5.

549. а) Знайти суму членів геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 1; q = 3; n = 4. б) Знайти суму членів геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 3; q = 2; n = 5.

50

550. а) Знайти суму п'яти членів геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 2; а3 = 18. б) Знайти суму п'яти членів геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 3; а3 = 27.

551. а) Знайти суму чотирьох членів геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 1; а3 = 16. б) Знайти суму чотирьох членів геометричної прогресії (аn), якщо а1 = 2; а3 = 32.

552. а) Знайти а1 геометричної прогресії (аn), якщо S3 = 18; q = 2. б) Знайти а1 геометричної прогресії (аn), якщо S3 = 39; q = 3.

553. а) Знайти а1 геометричної прогресії (аn), якщо S4 = 80; q = 3. б) Знайти а1 геометричної прогресії (аn), якщо S4 = 170; q = 4. Підвищений рівень 554.

а) Сума другого та четвертого членів арифметичної прогресії дорівнює 6, а п'ятого і сьомого дорівнює 18. Знайти перший член та різницю прогресії. б) Сума другого та п'ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 9, а третього і шостого дорівнює 15. Знайти перший член та різницю прогресії.

555. а) Довести, що сума другого і двадцять третього членів арифметичної прогресії дорівнює сумі дванадцятого і тринадцятого членів. б) Довести, що сума десятого і сімнадцятого членів арифметичної прогресії дорівнює сумі сьомого і двадцятого членів.

556. а) В арифметичній прогресії (аn ): а7 = 2,3 і а14 = 7,2. Знайти перший член і різницю прогресії. Скільки від'ємних членів містить прогресія. б) В арифметичній прогресії (аn): а6 = 1,3 і а11 = 5,8. Знайти перший член і різницю прогресії. Скільки від'ємних членів містить прогресія ?

557. а) Різниця арифметичної прогресії дорівнює 4, а її 6-й член – 0. Знайти суму перших дванадцяти членів.

51

б) Різниця арифметичної прогресії дорівнює 2, а її 5-й член – 0. Знайти суму перших п'ятнадцяти членів.

558. а) Шість чисел утворюють арифметичну прогресію. Суми перших трьох дорівнює - 2,7; а сума трьох останніх - 0. Знайти ці числа. б) Шість чисел утворюють арифметичну прогресію. Сума перших трьох дорівнює -6,3; а сума трьох останніх дорівнює -2,7. Знайти ці 559. а) Знайти суму десяти членів арифметичної прогресії (аn) а5; а6; ... ; а14, якщо а1 = -2,2, d = -1,5. б) Знайти суму десяти членів арифметичної прогресії (аn) а7; а8; ... ; а16, якщо а1 = -3,2, d = -1,4.

560.

6 n7

а) Арифметичну прогресію задано формулою n-го члена: а

n

=

4. Знайти різницю прогресії, її перший член. б) Арифметичну прогресію задано формулою n-го члена: u

n

= 3,5 -

5 n Знайти різницю прогресії, її перший член.

7

561.

3найти перші три члени арифметичної прогресії, у якій сумa n членів, виражається формулою: a) S n = 7n2 - 5n; б) S n = 5п2 + 3n.

562. Визначити перший член, різницю і число членів арифметичної прогресії, в якій: a) а n = 55; б) а n = 76; а 2 + а 5 = 32,5; а 2 + а4 = 40; S15 = 412,5 .

S 17 = 646.

563.

Визначити перший член, різницю і суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії, в якій: а) а7 – а3 = 8; б) а10 - а6 = 8; . а2 а7 = 75. а3 . а6 =112.

564. а) а4 : а6 = -1; б) a 8 : а3 = 5; . а2 а8 = -1. а2 . а7 = 21.

565. а) а32+ а72 = 104; б) а42+ aJ22 = 1170, а10 + а4 = 20. а7 + а15=60.

52

566. Визначити перший член та число членів арифметичної прогресії, в якій:

а) d = 2,5; аn = 27; Sn = 157,5;

б) d =

3 3 1 ; аn = 15 ; Sn = 146 .

4 4 4

567. Визначити різницю арифметичної прогресії та кількість її членів, якщо: а) а1 = -38, б) а1=1,5, аn = -10, аn = 54, Sn = -360; Sn = 999.

568. Знайти перший член і кількість членів геометричної прогресії, в якій: a) q = 3, б) q = З, an = 567, аn= 1458, Sn = 847; Sn = 2186.

569. Визначити перший член і знаменник геометричної прогресії, в якій: a 6  a3  468, a)  a 4  a1  52;

a 5  a3  15, б)  a 4  a 2  6;

570. Визначити перший член, кількість членів і знаменник геометричної прогресії, в якій: а) b7 - b5 = 48, б) b6 - b4 =216, bб + b5 = 48, b3 – b1 = 8, Sn = 1023; Sn = 40.

571. Знайти геометричну прогресію, що складається з шести членів, знаючи, що сума перших трьох її членів: а) дорівнює 26, а сума трьох останніх — 702; б) дорівнює 13, а сума трьох останніх — 351.

572. Визначити 4 числа, що становлять спадну геометричну прогресію, знаючи, що: а) сума крайніх членів дорівнює 252, а сума середніх — 108: б) сума крайніх членів дорівнює 27, а сума середніх — 18.

573. а) Знайти три числа, що становлять зростаючу геометричну прогресію, якщо їх сума — 26, а сума квадратів цих чисел — 364.

53

б) Знайти три числа, що становлять зростаючу геометричну прогресію, якщо їх сума — 21, а сума квадратів цих чисел — 273 .

574. Геометричну прогресію задано формулою n-ого члена: а) bn=3  2n-1; б) bn = 2  З n-1. Знайти суму перших семи її членів.

575. Записати геометричну прогресію: а) з шести членів, якщо b2 = -81, bn + l = 3bn;

б)

з чотирьох членів, якщо b2 = -49, bn+1 =

1 bn.

7

576. а) Між числами 4 і 108 впишіть два числа, які б разом з даними числами утворили геометричну прогресію. б) Між числами 150 і 1,2 впишіть два числа, які б разом з даними числами утворили геометричну прогресію.

577. а) Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 35. Якщо до першого і другого додати по 1, а від третього відняти 4, то отримані числа утворять арифметичну прогресію. Знайти ці числа. б) Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 21. Якщо до першого і другого додати по 4, а до третього — 1, то отримані числа утворять арифметичну прогресію. Знайти ці числа. Поглиблений рівень 578.

а) У арифметичній прогресії сума четвертого, восьмого, п'ятнадцятого та дев'ятнадцятого членів дорівнює 58. Знайти суму двадцяти двох перших членів прогресії. б) У арифметичній прогресії сума, другого, шостого, тринадцятого та двадцять першого членів дорівнює 46. Знайти суму двадцяти перших членів прогресії.

579. а) Перший член арифметичної прогресії дорівнює 5, а сума перших 15 членів дорівнює 1335. Знайти п'ятнадцятий член цієї прогресії та її різницю.

54

б) Перший член арифметичної прогресії дорівнює 11, а сума перших двадцяти членів — 600. Знайти двадцятий член та різницю прогресії.

580. а) Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 15, а їх добуток — 80. Знайти ці числа. б) Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 0, а сума їх квадратів — 50. Знайти ці числа.

581. а) Знайти арифметичну прогресію, у якої сума n членів дорівнює потроєному квадрату числа членів. б) Знайти арифметичну прогресію, у якої сума n членів дорівнює почетверенному квадрату числа членів.

582. а) Сума трьох чисел, що становлять арифметичну прогресію, дорівнює 21, а сума їх квадратів дорівнює 179. Знайти ці числа. б) Сума трьох чисел, що становлять арифметичну прогресію, дорівнює 27, a сума їх квадратів дорівнює 293. Знайти ці числа.

583. а) Знайти три числа, що становлять геометричну прогресію, якщо їх добуток дорівнює 729, а середнє арифметичне — 10,5. б) Знайти три числа, що становлять геометричну прогресію, якщо їх добуток дорівнює 64, а середнє арифметичне -

14 .

3

584.

а) Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 10,5, а сума їх квадратів — 68,25 Знайти ці числа. б) Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, 1 3

1 9

дорівнює 14 , а сума їх квадратів 148 .

Знайти ці числа.

585.

а) Кількість деталей, виготовлених за зміну трьома робітниками, утворюють арифметичну прогресію, сума членів якої дорівнює 150. Якби перший робітник виготовив на 15 деталей менше, а третій на 40 більше, то кількість деталей, виготовлених робітниками, утворювала би геометричну прогресію. Скільки деталей виготовив кожен робітник? б) Кількість робітників у трьох бригадах утворює арифметичну прогресію, різниця якої — 2. Кожний робітник першої бригади виготовляв за зміну 24 деталі, 2-ої бригади — 15 деталей, 3-ої бригади — 10 деталей. Скільки робітників було у кожній бригаді, 55

якщо кількість деталей, виготовлених за зміну кожною бригадою, утворює геометричну прогресію?

586. а) У геометричній прогресії відношення суми п'ятого, сьомого та дев'ятого членів до суми четвертого, шостого та восьмого членів дорівнює 3. Знайти суму перших шести членів цієї прогресії, якщо сума квадратів другого та третього членів дорівнює 360. б) У геометричній прогресії відношення суми четвертого, шостого та восьмого членів до суми третього, п'ятого та сьомого членів дорівнює 2. Знайти суму перших шести членів цієї прогресії, якщо сума квадратів третього та четвертого членів дорівнює 720.

587. а) Знайти чотири числа, з яких три перші утворюють арифметичну прогресію, а три останніх — геометричну, причому сума першого і четвертого чисел дорівнює 66, а сума другого і третього — 60. б) Знайти чотири числа, з яких три перші утворюють геометричну прогресію, а три останніх — арифметичну, причому сума першого і четвертого чисел дорівнює 42, а сума другого і третього - 36.

56

Розділ IХ. ТРИГОНОМЕТРІЯ

Спростити вираз: 588. а) ( sin2a + cos2a + ctg2a ) sin2a ; 589. а) cos2ß - cos2ß sin2ß ; 590. а) sin4a + sin2a cos2a - sin2a + 1 ;

б) ( sin2a + cos2a + tg2a ) cos2a.. б) sin2ß - sin2ß cos2ß . б) cos4a + sin2a cos2a - cos2a – 1.

Знайти значення всіх тригонометричних функцій кута а, при виконанні наступних вимог: 591.

а) sin a =

4  , якщо < а <  ; 2 5

б) cos a = -

3 3 , якщо  < а <  .

5 5

592.

а) tg a =

3 3 , якщо  < а <  ; 4 2

4 3

б) ctg a = - , якщо

 2

<а<

.

593. а) Відомо, що sin a + cos a = т. б) Відомо, що sin a – cos a = в.

Знайдіть sin3a +cos3a; Знайдіть sin3a - cos3a;

Знайти значення всіх тригонометричних функцій кута а, при виконанні наступних вимог: 594.

а) sin a = -

12 3 , <а< ; 13 2

595.

а) ctg a = - 0,5,

 2

б) tg a =

<а< ;

5 6

3 2

, <а< .

б) ctg a = 2 ,

 <а<

3 .

2

Спростити вирази: 596. а) sin a . ctg a + cos a;

б) cos a . tg a – sin a .

597.

а)

1  cos 2 а  sin 2 a ; cos a

б)

sin 2   1 . cos 2 

598.

а)

cos 2   1 sin 2 

б) (sin  +cos  )2 + (sin  -cos  )2 .

;

57

599.

а)

tg ; tg  ctg

б) sin2

 2

 sin 2

 2

cos 2

 2

 cos 4

 2

.

600.

а)

1  tg 2   sin 2  ; 1  tg 2 

б) ( 1-cos2 х ) ctg2х-1.

601.

а) cos4х-sin4 х+2sin2 х ;

б)

1  sin 4 2  cos 4 2 1.

2 sin 4 2

602.

а)

сos cos    2ctg 2 ; 1  cos  1  cos 

б) (tg2a – sin2a ) ctg2a+cos2a .

603.

а)

1  4 sin 2  cos 2   2 sin  cos  ; 1  2 sin  cos 

б)

sin 3   cos3   sin  cos  ; cos   sin 

604.

1  sin  (cos   sin  ) ; а) 1  ctg

tg 2  ctg 2 б) . tg 2  1

605.

а)

sin 2  sin   cos   sin   cos  tg 2  1

;

б)

sin  1  cos  sin   cos    .

1  cos  sin  cos 

б)

1  tg tg  1 .

1  ctg

606.

а)

tg  cos 2  ; tg  ctg

607.

1  ctg 2  ctg  1 . б) tg  1

sin 4   cos 4  (1  tg 2 ) 2  ; а) sin 2  cos 2  tg 2

608.

1  cos   (1  cos  ) 2  б)  . 1  sin   sin 2  

2 cos 2   1 cos 2   1  а) ; 1  2 sin 2  1  sin 2 

609.

а)

cos 2   sin 2   ctg 2ctg 2  ; б) tg  ctg 1  cos  1  cos   ;. sin 2  sin 2  1  sin   1  sin   в) 1  1   .  1  sin   1  sin  

58

Доведіть тотожність: 610. а) tg  ctg 2  tg  ctg 2  4 ;

б) sin 4   cos 4   sin 2   cos 2   0 .

611.

а) cos   sin  2  cos   sin  2  2 ;

б)

sin   cos  tg  1  . sin   cos  tg  1

612.

а)

tg  tg  tgtg ; ctg  ctg

б)

1  sin  1  cos 2  sin    .

1  ctg sin  1  ctg  sin   cos 

613. sin 2  cos 2    sin  cos  ; а) 1  1  ctg 1  tg

б) ctg 2  cos 2   cos 2 ctg 2 .

614.

1  sin   cos   tg  1  cos  1  tg  ; а) б) sin 2   sin 2   sin 2  sin 2   cos 2  cos 2   1 .

615. а) sin 2  cos 2   cos 2  sin 2   sin 2   sin 2  ; sin 2  cos 2   cos 2  sin 2   cos 2   cos 2  . б)

59

60