Рижій В.В.,
Овчар І.М.
Посібник з математики
для вступників до коледжів та технікумів на базі 9 класів
Вінниця 2010
Рецензенти: В.І. Клочко, завідувач кафедри вищої математики Вінницького державного технічного університету, доктор педагогічних наук, професор; О.І. Матяш, завідувач кафедри алгебри і методики викладання математики Вінницького державного педагогічного університету;
В.В. Рижій, І.М. Овчар Посібник з математики для вступників до технікумів і коледжів. Ч. ІІ. Геометрія. – Вінниця: ВТК. 2005. – 112 с. Посібник містить довідковий матеріал, відповіді на питання вступних іспитів з математики до технікумів та коледжів, теоретичні прийоми розв’язування задач, близько 100 розв’язаних задач та вправ. Розрахований на учнів та вчителів шкіл (9 класів), абітурієнтів, студентів перших курсів технікумів та коледжів та для всіх тих, хто займається самоосвітою
2
Зміст
1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
Передумова. .................................................................................................5 Символіка, використана при доведеннях теорем, записові формул та розв’язуванні задач. ……………………………………………..…….6 §1. Основні поняття планіметрії, їх визначення, взаємозв’язок. Основні поняття планіметрії. .....................................................................7 Кути, їх види та властивості. .....................................................................8 Паралельні прямі та їх властивості. ..........................................................9 Ознаки паралельності прямих. .................................................................11 Перпендикуляр і похилі. ...........................................................................12 Теорема про існування і єдиність перпендикуляра до прямої. Властивості бісектриси кута. ...................................................................13 §2.Трикутник Трикутник, його види, елементи, співвідношення між сторонами і кутами. ..................................................................................14 Нерівність трикутника. .............................................................................15 Сума кутів трикутника. .............................................................................16 Зовнішні кути трикутника та їх властивості. ..........................................17 Ознаки рівності трикутників. ...................................................................17 Ознаки подібності трикутників. ...............................................................19 Теорема косинусів. ....................................................................................23 Теорема синусів. ........................................................................................23 Властивості прямої, паралельної стороні трикутника. ..........................23 Чудові лінії у трикутнику. ........................................................................23 Властивості медіани. .................................................................................24 Властивості бісектриси трикутника. .................................................... ..24 Рівнобедрений трикутник. Властивості рівнобедреного трикутника. .26 Властивості медіани рівнобедреного трикутника. ................................27 Рівносторонній трикутник. ......................................................................27 Прямокутний трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику. ...................................................28 Ознаки тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника. ......................................................................30 Основні тригонометричні тотожності. ....................................................30 Значення тригонометричних функцій кутів 30º, 45º, 60º , 90º. .............31 Теорема Піфагора та її наслідки. .............................................................34 Способи розв’язування трикутників. ......................................................36 Осьова і центральна симетрія. Рух. .........................................................38 Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка. .......................39 Задачі на побудову. ...................................................................................41 Вписане і описане коло для трикутника. Формули площі трикутника. ...............................................................................................44
3
§3. Чотирикутник. 1. Чотирикутники, їх види. Співвідношення між сторонами і кутами. ...45 2. Паралелограм. Властивості сторін, діагоналей та кутів паралелограма. ..........................................................................................46 3. Ромб. Властивості сторін, діагоналей та кутів ромба. ………………...48 4. Прямокутник. Властивості сторін, діагоналей та кутів прямокутника. …………………………………………….. ……………49 5. Квадрат. Властивості сторін, діагоналей та кутів квадрата. .................50 6. Властивості паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата. ...............51 7. Трапеція……………………………………………………………………52 8. Виведення формули площі трапеції, паралелограма, трикутника. ......53 §4. Коло 1. Коло та його елементи. .............................................................................55 2. Кути вписані в коло, їх вимірювання. .....................................................56 3. Кути між хордами, дотичними та січними. ............................................58 4. Властивості хорд. ......................................................................................59 5. Властивості дотичної. ...............................................................................60 6. Коло вписане в трикутник і описане навколо трикутника. ...................62 §5. Многокутники. 1. Многокутники, їх види, основні елементи. ............................................63 2. Співвідношення між сторонами правильного многокутника і радіусами вписаного і описаного кіл. ...................................................64 §6. Декартові координати. 1. Основні означення. ....................................................................................65 2. Відстань між двома точками. ...................................................................65 3. Поділ відрізка у заданому відношенні і пополам. .................................66 4. Рівняння прямої. Взаємне розташування прямих. .................................66 5. Рівняння кола. ............................................................................................68 §7. Вектор. 1. Вектор. Основні означення. Види векторів. ...........................................69 2. Координати вектора. .................................................................................70 3. Дії над векторами в геометричній і координатній формах. ..................71 4. Скалярний добуток векторів та його властивості. .................................73 5. Кут між векторами. Умови перпендикулярності та паралельності векторів. ............................................................................75 6. Розкладання вектора по двом не колінеарним напрямкам. ...................76 §8. Приклади розв’язування задач з планіметрії. §9. Задачі для самостійного розв’язування. 1. Декартові координати. ..............................................................................96 2. Трикутник. .................................................................................................97 3. Многокутник. ...........................................................................................100 4. Коло та його елементи. ...........................................................................102 §10. Основні формули планіметрії, співвідношення між елементами геометричних фігур. Література ...............................................................................................110 4
ПЕРЕДМОВА Посібник призначається для тих, хто бажає поглибити знання з математики. Мета посібника — надати допомогу абітурієнтам під час підготовки до вступних іспитів, учням 9-тих класів при підготовці до державної підсумкової атестації та студентам I-го курсу при повторенні та вивченні нових тем. Посібник написано у відповідності до програми з математики для вступних іспитів на базі 9-ти класів. - розкриті основні математичні поняття і факти; - подані основні формули і теореми; - розв’язано ряд задач та прикладів, що сприяють відпрацюванню основних вмінь і навичок; - після кожної теми запропоновані вправи для самостійної роботи. Порядок викладу матеріалу не завжди відповідає шкільній програмі, що надає можливість розглядати питання, як логічно закінчені теми. Викладення питань ширше ніж у шкільних підручниках, узагальнене і більше звернена увага на їх практичне застосування. В даному посібнику використані матеріали вступних іспитів різних учбових закладів, а також матеріали багаторічної викладацької роботи з першокурсниками. Посібник складається з двох частин: 1. Алгебра. 2. Геометрія. Розділ геометрії складається з 10 параграфів. Кожний з них містить теоретичний матеріал, розв’язані практичні вправи і вправи для самостійної роботи. Радимо учням уважно розбиратись з наведеними розв’язками і переходити до самостійної роботи над вправами. Тільки самостійна робота надає користь в набутті знань і виробляє навички і уміння в розв’язуванні задач, сприяє запам’ятовуванні теоретичного матеріалу. Посібник написано на основі багаторічного досвіду роботи з першокурсниками технікуму і коледжу та роботи на підготовчих курсах. По даному посібнику створено електронний варіант з гіперпосиланнями, відео-анімаціями та комп’ютерними тестами для самоперевірки. Даний комплекс зумовлює комп’ютерно-орієнтовану систему інтенсифікації навчання математики школярів та студентів коледжів та технікумів. Автори вдячні за поради і рекомендації, критичні зауваження і доброзичливі побажання рецензентам посібника: завідувачу кафедри алгебри і методики викладання математики ВДПУ ім.. Михайла Коцюбинського, доценту Матяш О.І., та завідувачу кафедри вищої математики ВНТУ, доктору педагогічних наук, професору Клочко В.І. А також висловлюють велику вдячність за підтримку і сприяння у виданні посібника директору Вінницького технічного коледжу заслуженому працівнику освіти України Домінському О.С. 5
Символіка, використана при означеннях, доведеннях теорем, записові формул, розв’язуванні задач. A, B, C… – точки. a, b, c… або АВ, ВС,… – прямі ab ab – прямі а та b перетинаються a=b – прямі співпадають a║b – прямі паралельні a b прямі перпендикулярні a – вектор а A – кут А α, β, γ, φ… – кути R – радіус описаного кола r – радіус вписаного кола ha – висота до сторони а ma – медіана сторони а la – бісектриса кута А S – площа фігури P – периметр фігури p – півпериметр фігури ~ - фігури подібні – кут прямий – кут малої величини від 0° до 90° – кут тупий від 90° до 180° A(x;y) – точка має координати (x;y)
6
§1. Основні поняття планіметрії, їх визначення, взаємозв’язок. 1. Основні поняття планіметрії.
Геометрія—це наука про властивості геометричних фігур. Приклади геометричних фігур.
трикутник
квадрат
коло
Геометричні фігури досить різноманітні. Частина геометричної фігури є також геометрична фігура. Об’єднання кількох геометричних фігур—також геометрична фігура. Фігура справа складається з трикутника і трьох чотирикутників. Перша
частина
геометрії
є
планіметрія.
Планіметрія—це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури на площині. Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма. Основні властивості належності точок і прямих на площині та їх взаємного розміщення. 1.
Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і
точки, що не належать їй. 2. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну. 3. Дві різні прямі або не перетинаються, або перетинаються тільки в одній точці. 4. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими. 5. Пряма розтинає площину на дві півплощини. Розглядаючи властивості геометричних фігур будемо користуватися:
Аксіомами—твердження, що не викликає сумнівів, приймається без доведення; 7
теоремами—твердження, що виражає властивість геометричних фігур і потребує доведення;
доведеннями—міркування, що встановлює правильність твердження про властивості тієї чи іншої геометричної фігури;
означення чого-небуть означає пояснити, що це таке. Основні поняття: 1. Точка, позначається A, B , C, D, …
а
2.
В
А
,
, пряма, позначається а, b, с, …або
двома точками АВ, ВС, СD, … 3. – площина, позначається α, β, γ, …
α
α 4.
– відрізок
5. – ламана
2. Кути, їх види і властивості.
α
α
тупий 90˚<α<180˚
прямий α=90˚
гострий 0<α<90˚
α
α
.
розгорнутий α=180
δ β
α γ
α
Вертикальні кути α і β та δ і γ, причому α=β, γ=δ.
β
Суміжні кути α і β, α+β=180˚.
8
Кути з відповідно паралельними сторонами
β
β α
α Рівні α=β
В сумі складають 180º α+β=180º
або
Кути з відповідно перпендикулярними сторонами
β
β
α
α
або В сумі складають 180 α+β=180
Рівні α=β
Кути, що утворюються при перетині двох паралельних прямих третьою
7
5 1 4
3
1
3 2
2
4 8
1 і 2; 3 і 4 – внутрішні різносторонні кути; 1 і 4; 3 і 2 – внутрішні односторонні кути
6
8
7 і 8; 5 і 6 – зовнішні різносторонні кути; 5і 8; 7 і 6 – зовнішні односторонні кути
7
5
6
1 і 8; 5 і 4; 7 і 2; 3 і 6 – відповідні кути
3. Паралельні прямі та їх властивості. Це прямі, що лежать в одній площині і не мають спільних точок або співпадають.
9
Для паралельних прямих: 1. Внутрішні різносторонні кути рівні. 2. Зовнішні різносторонні кути рівні. 3. Відповідні кути рівні. 4. Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. 5. Сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°. 6. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній. 7. Через дану точку можна провести лише одну пряму паралельну даній. 8.
Через
дану
точку
можна
провести
лише
одну
пряму
перпендикулярну даній прямій. 9. Дві прямі, перпендикулярні третій, паралельні одна одній. 10.Відрізки паралельних прямих між паралельними прямими рівні між собою. 11. Теорема Фалеса: якщо паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на одній стороні кута рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на другій стороні кута (мал. 1). Справедливе і зворотнє твердження.
b а с
мал. 1
a:c=b:d
d
мал. 2
Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на сторонах кута пропорційні відрізки. (мал. 2)
10
4. Ознаки паралельності прямих. Дві прямі площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
А
а b
Теорема : якщо внутрішні різносторонні кути рівні,
1 4
3
2
або сума внутрішніх різносторонніх кутів дорівнює 180º, то прямі паралельні.
В
Доведення: 1)
Прямі а та b утворюють з січною АВ кути внутрішні
різносторонні 1 і 4 та 2 і 3
Доведення проведемо від супротивного. Допустимо, що а та b перетинаються в точці С. Січна АВ розбиває площину на дві півплощини, в одній із
а С
А
них
b В
С1
лежить
точка
С.
Побудуємо
трикутник АВС1 рівний трикутнику
АВС
з
вершиною
півплощині.
За
С1
в
умовою
другій
внутрішні
різносторонні кути при паралельних а та b і січній АВ рівні. Оскільки ΔАВС
=ΔАВС1 , то кути трикутників збігаються з внутрішніми різносторонніми кутами , АС1 збігається з а, ВС збігається з b. Отримуємо, що через дві різні точки С та С1 проходять дві різні прямі, що неможливо, згідно аксіоми, за якою через дві різні точки можна провести лише одну пряму. Отже а і b паралельні. 2)
Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180º, отже
внутрішні різносторонні кути рівні. Тому ( за першим доведенням), прямі паралельні. Наслідки! 1. Дві прямі перпендикулярні до третьої, паралельні між собою. 2. Прямі паралельні, якщо відповідні кути рівні. 3. Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. 4. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині лише одну пряму, паралельну даній. 11
5. Перпендикуляр і похилі.
A
А
В
C
B
AC—перпендикуляр AB, AE, AD—похилі BC—проекція похилої АВ
C
E
D
1. AC<AB 2. AB=AD BC=CD 3. CD<CE AD<AE
Якщо з однієї точки провести перпендикуляр і похилі, то: 1.
Перпендикуляр коротший за похилу: AC < AB.
2.
Рівні похилі мають рівні проекції і навпаки: AB= AD
3.
Похила та більша, у якої проекція більша і навпаки: CD < CE
BC = CD.
AD < AE. Множина точок рівновіддалених від кінців відрізка називається
серединним перпендикуляром. Множина точок рівновіддалених від сторін кута називається
бісектрисою. Бісектриса ділить кут навпіл. Теорема про існування і єдиність перпендикуляра до прямої. Теорема: з будь – якої точки, що не лежить на даній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр і тільки один. Доведення. Нехай а – дана пряма і А – точка, що не лежить на ній.
b А. . В
Проведемо через довільну точку прямої а перпендикулярну пряму і через точку А паралельну їй
а
пряму b, яка буде перпендикулярна до прямої а, оскільки пряма а, будучи перпендикулярною до
12
однієї з паралельних прямих, перпендикулярна і до другої. Відрізок АВ прямої b і є перпендикуляр, проведений з точки А до прямої а. Доведемо єдиність перпендикуляра АВ. Припустимо існування іншого перпендикуляра АС. Тоді трикутник АВС матиме два прямих кути, а це неможливо. Що і треба було довести. Довжина перпендикуляра, опущеного з даної точки на пряму, називається відстанню від точки до прямої.
Відстанню між паралельними прямими називається відстань від якої– небудь точки однієї прямої до другої прямої. 6. Властивості бісектриси кута. Теорема: Будь – яка точка бісектриси кута рівновіддалена від сторін цього кута. Дано: А, AD – бісектриса.
C
Довести: CD =DB D A
B
Доведення. Щоб знайти відстань від любої точки D бісектриси до сторін кута, опускаємо із точки D на сторони кута перпендикуляри DC та DB. Розглянемо ∆ACD та ∆ABD , вони прямокутні, CD AC , DB AB, гіпотенуза у них спільна і CАD = BАD за визначенням бісектриси. Отже
∆ACD = ∆ABD за гіпотенузою та гострим кутом, тому CD =DB, що і треба було довести. Висновок : 1.
Якщо точка лежить на бісектрисі, то вона рівновіддалена від сторін кута.
2.
Якщо точка рівновіддалена від сторін кута, то вона лежить на бісектрисі.
13
§2.Трикутник 1. Трикутник, його елементи, види, співвідношення між сторонами і кутами.
C γ
a
b α
A
δ
β c
B
ΔABC – трикутник ABC, A, B, C – вершини трикутника. Сторонини трикутника, позначаються, як відрізки,
a, b, c
—
AB, BC, CA
буквами вершин або маленькими буквами протилежних вершин.
α, β, γ—внутрішні кути трикутника. P—периметр. P=a+b+c;
p—півпериметр, p=1/2(a+b+c);
R—радіус описаного кола;
r—радіус вписаного кола;
ha, hb, hc,—висоти відповідних сторін, ha—висота, що проведена до сторони a;
ma, mb, mc—медіани відповідних сторін; la, lb, lc—бісектриси відповідних сторін. C
C b A
α
γ c
a
a
b δ
β B
a≠b≠c— довільний трикутник
A
c
B
C a
b B
a=b≠c— рівнобедрений трикутгик
14
A
c
a B
a=b=c— рівносторонній трикутник
C
c A b C=90°— прямокутний трикутник
Нерівність трикутника: будь—яка сторона трикутника менша за суму двох інших сторін, але більша за модуль їх різниці:
|a- b |<c<a+b Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
α+β+γ=180°. Проти більшої сторони трикутника лежит більший кут і навпаки.
b>a
β>α
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів не суміжних зним.
δ=α+γ 2. Нерівність трикутника. Якщо точки А і В різні, то відстань між ними називається довжина відрізка АВ. Якщо точки збігаються, то вважають відстань між ними рівною нулю. Теорема (нерівність трикутника) Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома з цих точок не більша від суми відстаней від них до третьої точки. Це означає, що кожна з цих відстаней менша або дорівнює сумі двох інших відстаней. Дано: А, В, С. 1. А, В, С збігаються. 2. В лежить між А та С на одній прямій. 3. Точки не лежать на одній прямій. Доведення: 1. Якщо всі точки збігаються або дві з них, то твердження теореми очевидне. 2. Якщо усі точки різні й лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими,
А
В
наприклад В. Тоді АВ + ВС = АС, звідси бачимо, що кожна з трьох відстаней не більша від суми двох інших. 15
С
3. Точки не лежать на одній прямій. Треба
C
довести, що АВ АС + СВ. Опустимо перпендикуляр CD на пряму АВ. За доведеним (2) АВ AD + BD, та AD
AC, BD BC, то з властивостей нерівностей
А
В
D
маємо:
AD AC AD BD AC BC AB AC BC BD BC AD BD AB
У випадку, коли точки не лежать на одній прямій, нерівність строга, отже:
AB AC BC Висновки: 1.
В будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму
двох інших сторін. 2.
Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона, і
навпаки. 3. Сума кутів трикутника. Теорема: Сума кутів трикутника дорівнює
.
K
180°. Дано: ΔАВС Довести: А+В+С=180°.
A
α
C γ
α
.
D β β
B
Доведення: Через вершину С заданого трикутника проводимо пряму КD, паралельну АВ.
КСА=CAB – як внутрішні різносторонні при перетині паралельних прямих АВ та КD січною АС. Аналогічно DСВ=АВС – як внутрішні різносторонні при перетині паралельних прямих АВ та КD січною BС. 16
Ми одержали при вершині С розгорнутий кут 180°, який складається з трьох кутів, що рівні по доведеному кутам трикутника, отже + + = 180°, що і треба було довести. Наслідок! У будь – якому трикутнику принаймні два кути гострі. 4. Зовнішні кути трикутника та їх властивості.
Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний з внутрішнім кутом даної вершини трикутника. Теорема: зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
B
Дано: ΔАВС Довести: ВСD =САВ + СВА
A
C
.
D
Доведення. Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
А+В+С=180°. Звідси А+В=180°- С
180°- С – є зовнішній кут ВСD , отже ВСD = А+В, що і треба було довести. Наслідок! Зовнішній кут трикутника більший від будь – якого внутрішнього кута, не суміжного з ним. 5. Ознаки рівності трикутників. Трикутники рівні, якщо: 1. Дві сторони і кут між ними одного трикутника рівні двом сторонам і куту між ними другого трикутника. 2. Сторона і два прилеглих кута одного трикутника рівні стороні і двом прилеглим кутам другого трикутника. 3. Три сторони одного трикутника рівні трьом сторонам другого. 17
1. Перша ознака рівності трикутників за двома сторонами і кутом між ними. Теорема: Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
C
C1
Дано: ABC, A1B1C1, AC=A1C1,
AB=A1B1, CAB=C1A1B1. B
A
Довести: ABC=A1B1C1.
B1
A1
Доведення: Накладемо A1B1C1 на ABC так, щоб вершина A1 збігалась з A. Внаслідок рівності кутів A та A1 промені A1C1 накладаються на AC і A1B1 на
AB. Точки C1 та C також B1 та B збігаються внаслідок рівності відрізків AC=A1C1, AB=A1B1 (за умовою). Отже A1B1C1 збігається з ABC і A1B1C1=ABC, що і треба було довести. 2. Друга ознака рівності трикутників за стороною і прилеглими до неї кутами. Теорема: Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
C
Дано: ABC, A1B1C1, AB=A1B1,
C1
A=A1, B=B1. A
Довести: ABC=A1B1C1.
B
A1
B1
Доведення: Накладемо A1B1C1 на ABC так, щоб відрізок A1B1 збігався з AB, точка
A1 суміщається з A, точка B1 з B. Промінь B1C1 збігається з BC внаслідок рівності кутів B1=B, аналогічно A1B1 збігається з AB. Промені перетинаються в одній точці, тобто C1 , яка співпадає з C. Трикутники збігаються і тому вони рівні ABC=A1B1C1, що і треба було довести. 18
3. Третя ознака рівності трикутників за трьома сторонами. Теорема: Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні. Дано: ABC, A1B1C1, AB=A1B1,
C2 D C
C1
AC=A1C1, BC=B1C1. Довести: ABC=A1B1C1.
B
A
B1
A1
Доведення: Накладемо A1B1C1 на ABC так, щоб сторона A1B1 збігалась з AB. Необхідно довести, що точка C1збігається C. Промінь B1C1 перетне AC в точці C2. Сполучимо C2 та C і розглянемо BC2C. Він рівнобедрений за рівністю B1C1=BC2 за побудовою, але B1C1=BC за умовою, отже B1C2=BC. Точку D – середина C2C, сполучимо з B. BD є медіана, а за властивістю рівнобедреного трикутника BD є висота, тобто BDAB. Аналогічно розглядаємо AC2C і одержуємо ADAB. Ми з однієї точки D проведемо до прямої AB два перпендикуляри, що неможливо, а це означає, що точка C2 збігається з C і A1B1C1, збігається з ABC, що і треба було довести. 6. Ознаки подібності трикутників Многокутники подібні, якщо їх сторони пропорційні і відповідні кути рівні
C1 C
B
β
α
B1
А
β1
α1
A1
Трикутники подібні: 1. Дві сторони трикутника пропорційні двом сторонам другого, а кути між ними рівні.
19
AC AB ; AC AB 1
1
1
бб . 1
1
2. Два кути одного трикутника рівні двом кутам другого.
бб ,
вв .
1
1
3. Три сторони трикутника пропорційні трьом сторонам другого.
AC AB BC . AC AB BC 1
1
1
1
1
1
Ознаки подібності . Фігури подібні, якщо в них відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. Для трикутників:
А =А 1; В =В 1; С =С 1; АВ ВС АС А1 В1 В1С1 А1С1 Перетворенням фігури F у фігуру F/ називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворені відстані між точками змінюються в одну і ту саму кількість разів і кути не змінюються. 1. Ознака подібності трикутників за двома кутами. Теорема: Якщо два кути одного трикутника рівні двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.
B2 Дано: ∆АВС, ∆А1В1С1
А =А 1; В =В 1;
B1 A2
C2 A1
Довести: ∆АВС ~ ∆А1В1С1
B C
A
20
C1 O
Доведення: Нехай
АВ к . АВ= к А1В1. А1 В1
Зробимо перетворення подібності з коефіцієнтом подібності к трикутника А1В1С1 (гомотетія) і отримаємо ∆А2В2С2,
рівний ∆АВС.
Перетворення подібності зберігає кути, тому А 2=А 1; В 2=В 1;
С2=С1; – кути трикутників рівні, А2В2 = к•А1В1=АВ. Отже ∆АВС = ∆А2В2С2 за стороною і двома прилеглими кутами. ∆А1В1С1 та ∆А2В2С2 – гомотетичні, а отже, подібні, а ∆А2В2С2 = ∆АВС , то і ∆А1В1С1 подібний ∆АВС. ∆АВС ∆А1В1С1 , що і треба було довести. 2. Ознака подібності трикутників за двома сторонами і кутом між ними. Теорема: Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути між ними рівні, то трикутники подібні. Дано: ∆АВС та ∆А1В1С1 так, що С 2=С 1 , АС = к А1С1, ВС= к•В1С1 . Довести: ∆АВС ~ ∆А1В1С1 Доведення: Застосуємо до ∆А1В1С1
перетворення подібності з коефіцієнтом
подібності к (гомотетичне). При цьому дістанемо деякий трикутник ∆А2В2С2
= ∆АВС (С 2=С 1, отже С 2=С . А2С2=к А1С1 =АС, В2С2=к В1С1 = ВС) Отже ∆АВС= ∆А2В2С2 (за двома сторонами та кутом між ними). ∆А1В1С1 гомотетичний ∆А2В2С2 => ∆А1В1С1 ~ ∆А2В2С2, а ∆А2В2С2 = ∆АВС => ∆А2В2С2 ~ ∆А1В1С1 то ∆А1В1С1 ~ ∆АВС , що і треба було довести. 3. Ознака подібності трикутників за трьома сторонами. Теорема:
Якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам
другого трикутника, то такі трикутники подібні.
21
Дано: ∆АВС та ∆А1В1С1 так, що
АВ ВС АС к А1 В1 В1С1 А1С1
Довести: ∆АВС ~ ∆А1В1С1 Доведення: Застосуємо перетворення подібності з коефіцієнтом подібності к для ∆А1В1С1 (гомотетичне). При цьому дістанемо ∆А2В2С2 = ∆АВС, А2В2=к•А1В1
=АВ, В2С2=к•В1С1 = ВС, А2С2=к•А1С1 =АС, отже трикутники рівні за трьома сторонами. ∆А1В1С1 гомотетичний ∆А2В2С2 => ∆А1В1С1 ~ ∆А2В2С2. але ∆А2В2С2 = ∆АВС => ∆А2В2С2 ~ ∆АВС то ∆А1В1С1 ~ ∆АВС , що і треба було довести. Подібність прямокутних трикутників. 1)
Гострий кут одного трикутника рівний
гострому куту другого трикутника. = 1, або = 1 2)
Якщо катети одного трикутника
пропорційні катетам другого трикутника .
ВС АС к В1С1 А1С1 3)
B β α A
C B1 β1
Якщо катет і гіпотенуза одного
C1
α1
A1
трикутника пропорційні катету і гіпотенузі другого.
ВС АС АВ АС к , або к В1С1 А1С1 А1 В1 А1С1 Висновки! 1. В подібних трикутників всі відповідні лінійні елементи пропорційні (периметр, радіуси вписаних і описаних кіл, відповідні висоти, медіани, бісектриси), як довжини відповідних сторін. 2. Площі подібних трикутників відносяться, як квадрати відповідних сторін.
22
7. Теорема косинусів Теорема косинусів: квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус протилежного кута.
a2=b2+c2-2bc•cosα b2=a2+c2-2bc•cosβ
C γ
b
c2=b2+a2-2ab•cosγ
α
A
c
a β
B
8. Теорема синусів Теорема синусів: відношення сторін до синусів протилежних куті є величина стала для даного трикутника і дорівнює діаметру описаного кола.
a b c 2R sinб sinв sinг 9. Властивості прямої, паралельної стороні трикутника: Пряма,
C
що
паралельна
одній
із
сторін
трикутника і перетинає дві інші його сторони,
A1
B1
A
відтинає трикутник, подібний заданому. ABC~ A1B1C.
B
10. Чудові лінії у трикутнику
Медіана CD—відрізок, що з’єднує
C A1
A
вершину
K E
і
середину
протилежної сторони. AD=DB.
B1
D
трикутника
Висота B
CE—перпендикуляр,
опущений з вершини трикутника на протилежну сторону. CE┴AB.
Бісектриса CK—відрізок бісектриси кута трикутника, що з’єднує вершину трикутника з протилежною стороною, ACK= BCK. 23
Бісектриса довільного трикутника лежить між висотою і медіаною, проведеними з цієї ж вершини.
Середня лінія A1B1—відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника. Середня лінія паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
A1B1=1/2AB.
A1B1||AB,
Три середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники, подібних даному з коефіцієнтом подібності 1/2. 11. Властивості медіани Медіани перетинаються в одній точці, що
C
завжди знаходиться всередині трикутника. Медіани точкою перетину діляться у
E
F
відношенні 2:1, рахуючи від вершини.
O A
Медіана ділить трикутник на два рівних за
B
D
площею трикутники.
Три медіани трикутника поділяють його на шість рівновеликих трикутників. 12. Властивості бісектриси трикутника. Теорема. Бісектриса трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Дано: Довільний трикутник ABC
C
CD – бісектриса ∆ABC, BCD =ACD.
Довести:
E B
D
AC BC . AD BD
A F
24
Доведення: Із вершин A та B опустимо перпендикуляри на бісектрису.
AF CD, BE CD. ∆ACF та ∆BCE – трикутники прямокутні, BCE =ACF за умовою – отже трикутники подібні за рівністю кутів, тому відповідні сторони пропорційні.
AC AF (1) BC BE Прямокутні трикутники ∆ADF та ∆BDE подібні, бо кути в них рівні:
E =F – прямі, BDE = ADF – вертикальні. З подібності трикутників слідує пропорційність сторін AD AF (2) BD BE
порівнюючи (1) та (2) бачимо, що у них праві частини рівні, тому записуємо:
AC AD AC BC , або BC BD AD BD (Використано властивість пропорції: якщо поміняти місцями середні , або крайні члени пропорції, то пропорція не зміниться). Отже відрізки AD та BD пропорційні прилеглим сторонам AC та BC, що і треба було довести. 1.
Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці,
яка завжди лежить всередині трикутника і є центром вписаного кола. 2.
Бісектриса зовнішнього кута нерівнобедреного трикутника
перетинає подовження протилежної сторони в точці, відстані від якої до кінців цієї сторони , пропорційні довжинам двох інших сторін. 3.
Бісектриси внутрішнього і суміжного з ним зовнішнього
кутів перпендикулярні.
25
13. Рівнобедрений трикутник Трикутник, у якого дві сторони рівні,
C
називається рівнобедреним. Рівні сторони
г г 22
A
називаються
β
α
D
бічними
сторонами,
третя
сторона—основою.
B
AC=CB—бічні сторони, AB—основа. Теорема:
У
рівнобедреному
трикутнику кути при основі рівні. Дано:
C
∆АВС, АС =ВС
A
B
Довести:
А = В Доведення :
Розглянемо трикутники ∆АВС та ∆ВСА
∆АВС = ∆ВСА за двома сторонами АС = ВС, ВС = АС і куту С між ними. З рівності цих трикутників випливає А = В, що і треба було довести. Обернена теорема: якщо два кути трикутника рівні між собою, то трикутник рівнобедрений. Висота трикутника – перпендикуляр, опущений з вершини на протилежну сторону. Бісектриса трикутника – відрізок, що сполучає вершину з протилежною стороною і ділить кут при вершині навпіл. Медіана трикутника – відрізок, що сполучає вершину з серединою протилежної сторони.
26
14. Властивості медіани рівнобедреного трикутника. Теорема: у рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи є одночасно бісектрисою і висотою.
C
∆АВС,
Дано:
СD - медіана СD - бісектриса
Довести:
A
СD – висота
D
B
Доведення :
∆АВС - рівнобедрений. АС = СВ за визначенням, А = В за властивостями рівнобедреного трикутника. СD – медіана, що проведена до основи. Розглянемо ∆АCD та ∆ВСD – вони будуть рівні за трьома сторонами
АС = ВС, СD – спільна сторона, DВ = АD – медіана ділить сторону навпіл, тому випливає рівність кутів АСD = ВСD , отже СD – бісектриса та
СDА = СDВ – кути суміжні і рівні, тому вони прямі і СD є висотою трикутника 15. Рівносторонній трикутник Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівностороннім або
правильним. Властивості рівностороннього трикутника:
C γ
A
Всі кути рівні. α=β=γ=60°
2.
Кожна
медіана
є
одночасно
висотою
b
a
бісектрисою, проведеними з цієїж вершини. h
α
β
3.
c 4.
1.
B
r
і
a 3 2
Центри вписаного і описаного кіл співпадають.
a 2 3
;
R
a 3
R 2r
Трикутник має поворотну симетрію: він переходить сам в себе при
повороті на 120°. Він має три вісі симетрії. 27
16. Прямокутний трикутник. Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику. Трикутник, у якого кут прямий, називається прямокутним. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, сторона, протилежна до прямого кута—гіпотенуза. B C
β
γ
α
C
a
b
c
a
A
A
b
bc
ac
D
B
AC, BC або a, b—катети AB або c—гіпотенуза α, β—гострі кути, α+β=90° γ=90° ac, bc—проекції катетів на гіпотенузу Для прямокутного трикутника між сторонами і кутами є співвідношення: a b a b 1. sinб cosв ; sinв cosб; tgб ctgв ; tgв ctgб. c c b a 2.
Теорема Піфагора: a2+b2=c2—сума квадратів катетів дорівнює
квадрату гіпотенузи. 2
2
B 2
2
2
2
Звідки: a =c -b , b =c -a . 3.
β
Сторони трикутника
a
a=c sinα, b=c sinβ, a=b tgα, b=a ctgα, a=c cosβ, b=c cosα, b=a tgβ, a=b ctgβ.
C
ac
D
hc
bc b
α
A
Радіус вписаного і описаного кіл: ab abc c ; r r ; R ; R mc abc 2 2 5. Площа прямокутного трикутника: 4.
1 1 1 1 1 1 S ab; S chc ; S a 2 tgв a 2 ctgб ; S c 2 sin2б c 2 sin2в . 2 2 2 4 4 2 6.
Катет, що лежить проти кута 30° дорівнює половині гіпотенузи.
Якщо
1 б 30 , то a c . 2 7.
Медіана з прямого кута дорівнює половині гіпотенузи 28
1 mc c . 2 8. Висота, опущена на гіпотенузу, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу ac hc hc2 ac bc . hc bc Довжина висоти ab ab . hc , hc c ac bc 9. Кожний катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією, цього катета на гіпотенузу ac a 2 ac a bc b 2 2 . a ac c; b bc c; a c b c bc b 2 10.
B
B 45°
c
a C
45° b
11
A
ab 2 c , a c 2 2 c a 2. 1 1 1 S a2 b2 c2 2 2 4
c b , 2 c a c 3 , a 2 60° a b 3, A C b a 3 b 3 2 2 b 3 a 3 c2 3 S . 2 6 8
30°
Прямокутні трикутники рівні:
а) за двома катетами: a=a1, та b=b1;
B1
б) за катетом і гіпотенузою: a=a1, c=c1,
β1 a1
c=c1, b=b1; в) за катетом і прилеглим гострим кутом:
C1
a=a1 та β=β1, або b=b1 та α=α1;
B β c1 α1
b1
a A1 C
c α b A
г) за катетом і протилежним гострим кутом: a=a1 та α=α1 або b=b1 та
β=β1; д) за гіпотенузою і гострим кутом: c=c1 та α=α1 або c=c1 та β=β1. 29
12.
Прямокутні
трикутники
подібні: а) за одним гострим кутом, α=α1 або β=β1;
B B1 a1
б) за пропорційністю двох катетів a a1 ; b b1
β
β1
C1
в) за пропорційністю катета і гіпотенузи:
a
c1 b1
α1
A1
C
c α b
A
a a1 b b або 1 . c c1 c c1
17. Означення тригонометричних функцій гострого кута прямокутного трикутника.
Нехай АВС – прямокутний трикутник з прямим
B
кутом С і гострим .
cosб АВ . Косинусом кута називається відношення АС α
C
прилеглого катета до гіпотенузи. A
sinб ВС . Синусом кута називається відношення ВА
протилежного катета до гіпотенузи. tgб ВС АС
Тангенсом кута називається відношення протилежного
катета до прилеглого. сtgб АС Котангенсом кута називається відношення прилеглого ВС
катета до протилежного. 18. Основні тригонометричні тотожності.
1.
За теоремою Піфагора ВС2 +АС2 = АВ2 2
2
ВС АС Поділимо обидві частини на АВ : 1 АВ АВ 2
30
ВС sinб , АВ
АС cosб . Отже sin2 + cos2 =1 – це основна АВ
тригонометрична тотожність, вона вірна для любого кута . 2.
tgб
ВС Поділимо чисельник та знаменник на АВ. АС
ВС sinб tgб АВ . АС cosб АВ
tgб
sinб . cosб
sin 2 б cos 2 б sin 2 б 1 ; 2 2 cos б cos б cos 2 б
1 tg 2 б 1
4.
АС АС АВ cosб ; сtgб ВС ВС sinб АВ
сtgб
5.
cos 2 б sin 2 б cos 2 б 1 ; 1 ctg б 1 sin 2 б sin 2 б sin 2 б
1 ctg 2 б
6.
tgб ctgб
2
sinб cosб 1; cosб sinб
1 tg 2 б
1 cos 2 б
3.
cosб sinб 1 sin 2 б
tgб ctgб 1
19. Значення синуса, косинуса кутів 0,30, 45, 60, 90.
Два кути, які в сумі складають 90, називаються доповнювальними кутами. Теорема: Для будь-якого гострого кута прямокутного трикутника
справедливо sin(90 б) cosб та cos(90 б) sinб . Дано: АВС, С = 90, А=.
B 90°-α
C
Довести: sin( 90- ) =cos ;
α
cos ( 90- ) = sin . A
31
Доведення:
За означенням: 1) sinб
ВС АВ
сos(90 0 б)
сos(90 0 б) sinб
ВС АВ
2) sin(90 0 б) cosб
АС АВ
sin(90 б) cosб
AС АВ
Використано означення: B a
Синус кута – це є відношення протилежного
катета до гіпотенузи.
45°
Косинус кута – це є відношення прилеглого 45° b=a
C
A
катета до гіпотенузи.
Знайдемо значення тригонометричних функцій кутів в прямокутному трикутнику: 1.
α=45
Тоді і другий гострий кут =45, трикутник рівнобедрений АС = ВС = а.
За теоремою Піфагора:
АВ 2 АС 2 ВС 2
маємо
АВ 2 а 2 а 2 2а 2
звідки
АВ 2а 2 а 2
За означенням тригонометричних функцій обчислюємо:
32
ВС а 1 2 АВ а 2 2 2 АС а 1 2 cos45 АВ а 2 2 2 sin45
2 2 2 2
2 2
cos45
2 2
tg45 1
ВС а tg45 1 АС а
2.
sin45
сtg45 1
α=30°
Катет, що лежить проти кута 30о, дорівнює
B
половині гіпотенузи. Отже, якщо СВ = а, то АВ = 2а.
a 60°
c
C
30°
b
A
За теоремою Піфагора
АС АВ 2 ВС 2 (2а22 а 2 4а 2 а 2 3а 2 а 3 ВС а 1 АВ 2а 2 АС а 3 3 cos30 АВ 2а 2 ВС а 1 3 3 tg30 АС а 3 3 3 3 АС а 3 ctg30 3 ВC а 3. =60 sin30
1 2 3 cos30 2 3 tg30 3 ctg30 3 sin30
Використовуємо властивість доповнювальних кутів cos(900-) = sin, тому: sin60 cos(90 60 ) cos30 cos60 sin30
1 2
tg60 ctg30 3
3 2
3 2 1 cos60 2 tg60 3
sin60
ctg60
3 ctg60 tg30 3 33
3 3
=0 а = 0, АВ = АС.
4.
sin0 0 cos0 1 tg0 0 ctg0 не існує ( на 0 ділити не можна)
=90, АВ = СВ = а , АС = в = 0
5.
sin90 1 cos90 0 сtg90 0 tg0 не існує
20. Теорема Піфагора та її наслідки. Теорема: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює
сумі квадратів катетів.
C
Дано: АВС, С =90. Довести: АС2 + СВ2 = АВ2
A
D
B
Доведення.
Проведемо висоту прямого кута СD і розглянемо трикутники АСD та АСВ. Вони подібні, як прямокутні трикутники, що мають рівний гострий кут А Отже
АС АD АС 2 АВ АD (за властивістю пропорції). (1) АВ АС
Аналогічно ВСDАСD за рівністю кута В (він спільний і трикутники прямокутні). Отже
СВ DВ СВ 2 АВ DВ (за властивістю пропорції). (2) АВ СВ
Додамо одержані рівності: АС 2 ВС 2 АВ АD АВ DВ АВ(АD DВ ) AB АВ АВ 2 .
Отже АС2+СВ2 =АВ2 , що і треба було довести. 34
Наслідки!
1.
В прямокутному трикутнику катет менший за гіпотенузу.
2.
Висота прямого кута є середнім пропорційним між СD 2 АD DВ
відрізками, на які вона поділяє гіпотенузу. 3.
Катети є середнім пропорційним між гіпотенузою і їх
проекцією на гіпотенузу. АС 2 АВ АD,абоСB 2 АВ ВD Теорему Піфагора можна довести використовуючи тригонометричні функції. Теорема: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює
сумі квадратів катетів.
C
Дано: АВС, С =90. Довести: АС2 + СВ2 = АВ2
A
Доведення.
D
B
За визначенням косинуса, в прямокутному трикутнику відношення прилеглого катета до гіпотенузи, можемо записати для ACD та ACB cosA
АD АС АС 2 АD АВ АС АВ
Аналогічно cosB
DВ СВ СВ 2 DВ АВ СВ АВ
Додамо одержані рівності: АС 2 СВ 2 АD АВ DВ АВ AB( AD DВ ) АВ АВ АВ 2
Отже, АС2 + СВ2 = АВ2, що і треба було довести. Наслідок! cos α < 1 для будь-якого гострого кута.
35
21. Способи розв’язування трикутників
Розв’язування трикутників полягає у визначенні невідомих сторін і кутів трикутника через задані сторони і кути. Використовуємо теореми
C
1. Синусів
γ
A
b
a
α
β c
a b c 2R (1) sinб sinв sinг
2. Косинусів a2=b2+c2-2bc•cosα B
b2=a2+c2-2ac•cosβ
(2)
c2=b2+a2-2ab•cosγ.
3. Сума кутів трикутника дорівнює 180°. α+β+γ=180°
(3)
Задача 1. Дано сторону a і два кути α і γ.
Знайдемо третій кут β за рівністю (3). β=180°-(α+β)
Сторони b і c знаходяться за теоремою синусів. a b a sinв b sinб sinв sinб a c a sinг c sinб sinг sinб
Задача 2. Дано дві сторони a та b і кут γ між ними.
За теоремою косинусів знаходимо сторону c. c a 2 b 2 2ab cosг
За теоремою синусів знаходимо один з кутів a c a sinг , кут знаходимо за таблицями значень sinб sinб sinг c
синусів кутів. Кут β обчислюємо за β=180°-(α+γ). Можна знаходити кут за теоремою косинусів 36
b2 c2 a2 a b c 2bc cosб 2bc cosб b c a cosб 2bc Для знайдених кутів повинно справджуватись: сума кутів трикутника 2
2
2
2
2
2
дорівнює 180° і проти більшої сторони лежить більший кут. Задача 3. Дано дві сторони a і b та кут протилежний одній з них α.
За теоремою синусів знаходимо кут β a b b sinб , це можуть бути два кути β1 і β2 (тупий і sinв sinб sinв a
гострий), вибираємо кут за принципом: проти більшої сторони лежить більший кут. Кут γ=180°-(α+β)= 180°-α-β. Сторону c знаходимо за теоремою синусів a c a sinг c sinб sinг sinб
або теоремою косинусів c a 2 b 2 2ab cosг . Ця задача може мати два розв'язки. Задача 4. Дано три сторони трикутника.
За теоремою косинусів знаходимо один з кутів. a 2 b 2 c 2 2bc cosб 2bc cosб b 2 c 2 a 2 b2 c2 a2 cosб 2bc
За теоремою синусів знаходимо кут β або γ a b b sinб , тоді γ=180°-(α+β) sinв sinб sinв a
або a c c sinб , тоді β=180°-(α+γ). sinг sinб sinг a
37
22. Осьова і центральна симетрії.
Симетрія відносно точки. Нехай точка О фіксована точка, А довільна
.А
F А
1
.О
.О
А1
А F1
мал.2
А
А1
О мал3
мал.1
точка. Проведемо відрізок АО і продовжимо його за точку О на відрізок ОА1 = ОА. Точка А1 називається симетричною точці А відносно точки О (мал.1).
Перетворення фігури F у фігуру F1, при якому кожна її точка А переходить в А1, симетричну відносно даної точки О,
називається
перетворенням симетрії відносно точки О.
Фігури F і F1 називаються симетричними відносно точки О (мал. 2). Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру у себе, то вона називається центральносиметричною, а точка О – центром симетрії (мал. 3). Прикладом центральносиметричних фігур є паралелограм,
ромб, квадрат. Центром симетрії їх є точка перетину діагоналей. Симетрія відносно прямої. Щоб знайти точку А1 симетричну точці А відносно прямої b, з точки А опускаємо перпендикуляр на b і продовжуємо його за межі прямої b на відрізок рівний опущеному перпендикуляру АО. b
А
О
b
АО=А1О A
А1
O
A1
Перетворення фігури F у фігуру F1, при якому довільна точка А фігури F переходить в А1 симетрично прямої b, називається перетворенням симетрії відносно прямої b. Фігури F та F1називають симетричними відносно прямої b. Пряма b називається віссю симетрії. 38
Гомотетія – це перетворення фігури F в фігуру F1, при якому кожна її
точка А переходить в точку А1 за рівністю ОА1 = к ОА, де к > 0. Число к називається коефіцієнтом гомотетії. Фігури F та F1, називаються гомотетичними. F1
F
.A
.
O
.A
1
Рух – це перетворення однієї фігури в іншу,
якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь - які дві точки А і В першої фігури у точки А1 і В1 другої фігури так, що АВ = А1В1.
Перетворення симетрії відносно точки є рух. Перетворення симетрії відносно прямої є рух. Поворотом площини навколо даної точки
.
A1
. A
α
називається такий рух, при якому кожен промінь, що виходить з цієї точки, повертається на один і той самий кут.
Властивості руху: 1. Під час руху точки, які лежать на прямій, переходять у точки, які лежать на прямій і зберігається порядок їх взаємного розміщення. 2. Під час руху прямі переходять у прямі, відрізки – у відрізки 3. Під час руху кути між півпрямими зберігаються. 4. Два рухи, виконані послідовно, дають знову рух. 23. Властивості точок, рівновіддалених від кінців відрізка.
Одним з методів розв’язування задач на
побудову
є метод
геометричних місць. Геометричним місцем точок називається фігура, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість. Наприклад, коло можна означити як геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки.
39
Теорема: Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних
точок, є пряма, яка перпендикулярна до відрізка, що сполучає ці точки і проходить через його середину. Доведення:
.C D.
Нехай А і B – дані точки, а – пряма, що проходить
через
середину
відрізка
О
АВ,
перпендикулярно до нього. Ми повинні довести: 1)
кожна точка прямої а рівновіддалена
від точок А і В; 2)
кожна
точка
D
площини,
що
.
A
O
. .B a
рівновіддалена від точок А і В, лежить на прямій a. Те, що кожна точка С прямої а знаходиться на однаковій відстані від точок А і В. випливає з рівності трикутників АОС та ВОС (кути при вершині О прямі, АО=ВО (за умовою), ОС – спільна).
Покажемо тепер, що кожна точка D площини, рівновіддалена від точок А і В. лежить на прямій а. Розглянемо трикутник АDВ. Він рівнобедрений, бо АD= ВD, у нього DО – медіана. За властивостями рівнобедреного трикутника
медіана, проведена до основи є висотою. Отже, точка D лежить на прямій а. Що і треба було довести.
40
24. ЗАДАЧІ НА ПОБУДОВУ 1. Побудова трикутника за даними сторонами а, в, с. Проведемо за допомогою лінійки довільну пряму і позначимо на ній a
довільну точку B. Розхилом циркуля, що
c
дорівнює a, робимо засічку C на цій же
b
прямій. Тепер розхилом циркуля, що дорівнює c описуємо дугу з центром в
A
точці С, а розхилом циркуля b, описуємо
с
b
дугу з центром в точці В. Точка перетину B
C
a
дуг , є третя вершина трикутника. Сторони трикутника а, b, c.
2. Побудова кута, що дорівнює даному З центром у вершині даного кута C A
A1
проводимо довільне коло, яке на сторонах кута утворило точки перетину B і C. З
B
точки A1 проводимо промінь і дугу
C1
радіусом A1B1 рівним AB. Із точки B1 проводимо дугу радіусом B1C1 , рівним
B1
BC. Точка C1 є точка перетину дуг A1B1
та B1C1. сполучаємо точки A1 і C1 . Одержаний трикутник A1B1C1 та трикутник ABC рівні за трьома сторонами, отже B1A1C1 = BAC
41
3. Побудова бісектриси кута З вершини кута A проводимо
B
довільну дугу, що перетинає сторони кута D
A
в точках B і C. З точок B і C цим же радіусом проводимо дуги, які перетнуться в точці D. Пряма AD ділить кут BAC
C
навпіл, що видно з рівності ∆ABD та ∆ACD за трьома сторонами. BAD =CAD, отже AD є бісектрисою кута.
4. Поділ відрізка пополам. Для поділу відрізка АВ пополам, з точок А
C
та В проводимо радіусом АВ дуги. Точки їх A
O
B
перетину С і С1. відрізок СС1 перетинає пряму АВ в точці О, що є серединою відрізка АВ.
C1
Трикутники САС1 та СВС1 рівні за трьома сторонами, звідси АСО =ВСО Трикутники АСО та ВСО рівні за двома сторонами та кутом між ними, отже відповідні сторони АО і ВО цих трикутників рівні. Таким чином, О – середина відрізка АВ.
5. Побудова прямої, що перпендикулярна даній. Точка О , через яку необхідно провести пряму, перпендикулярну до прямої а, лежить на прямій а.
42
З точки О довільним радіусом проводимо дугу, що перетинає пряму а в
C
точках А і В. З точок А і В проводимо дуги радіусом АВ, які перетнуться в точці С.
A
B
O
Пряма ОС перпендикулярна АВ.
a
Доведення:
∆АОС = ∆ВОС за трьома сторонами,
отже АОС = ВОС . Це кути суміжні і рівні, тому вони прямі. . Пряма ОС перпендикулярна АВ. a)
Точка О, через яку необхідно провести пряму, перпендикулярну
до прямої а , не лежить на прямій а. З точки О довільним радіусом проводимо дугу, що перетинає пряму a в
О
точках А і В. З точок А і В проводимо тим же радіусом дуги, які перетнуться в
А
С
В
точках О і О1. шукана пряма буде ОО1. a
Доведемо, що ОО1 ┴ АВ. ОО1.та АВ перетинаються в точці С.
О1
∆АОВ
=
за
∆АО1В
трьома
сторонами, тому ОАВ = О1АВ і ∆ОАС = ∆О1АС за двома сторонами і кутом між
ними, звідси АОС = АО1С , Отже трикутник АОО1 ,рівнобедрений, АС є бісектриса
ОАО1,
і
за
властивістю
рівнобедреного трикутника є висотою ∆ОАО1,
отже
ОО1
є
перпендикуляр,
опушений з точки О на пряму а.
43
25. Вписане і описане коло для трикутника. Формули площі трикутників.
У довільний трикутник можна вписати
C
коло.
r
r
Центр вписаного кола – точки перетину бісектрис.
O
A S p
B
Радіус вписаного кола r ; Навколо
довільного
B
трикутника
можна описати коло. Центр перетину
описаного серединних
кола
–
R
точка
O
перпендикулярів
R
сторін. Центр прямокутного посередині
описаного
кола
трикутника гіпотенузи.
навколо
R C
A
знаходиться
Гіпотенуза
–
діаметр кола описаного навколо прямокутного трикутника. Радіус описаного кола - R
abc ; 4s
У кожному трикутнику точка перетину медіан і точка перетину висот лежать на одній прямій з центром описаного кола. Площа трикутника.
1. висоту. 2. ними.
Площа трикутника дорівнює півдобутку сторони на відповідну S
1 1 1 aha bhb chc ; 2 2 2
Площа трикутника дорівнює півдобутку сторін на синус кута між S
1 1 1 ab sin bc sin ac sin : 2 2 2 abc ; 2
3.
Формула Герона: S p( p a)( p b)( p c) , де p
4.
Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра на радіус
вписаного кола. S pr ; 44
5.
Площа трикутника дорівнює добутку сторін, поділеному на
почетверенний радіус описаного кола.
S
abc ; 4R
3a 2 3 3 2 ; S 3 3r 2 ; S R ; 4 4
6.
Для рівностороннього трикутника S
7.
Площі трикутників, що мають по рівному куту відносяться як
добутки сторін, що їх утворюють. A A1 , отже
S AC AB ; S1 A1C1 A1 B1
§3. Чотирикутник. 1. Чотирикутники, їх види. Співвідношення між сторонами і кутами.
довільний трапеція
паралелограм прямокутник
рівнобічна
ромб
прямокутна
квадрат
Властивості: 1.
Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360˚. 360
2.
d
Площа чотирикутника дорівнює
півдобутку діагоналей на синус кута між ними 1 S d1 d 2 sin , кут між діагоналями. 2
3.
b
Чотирикутник можна описати навколо
кола, якщо суми протилежних сторін рівні: 45
a+d=c+b,
φ
d1
d2 a
c
Якщо чотирикутник описано навколо кола, то суми протилежних сторін рівні. 4.
Чотирикутник можна вписати в коло, якщо суми протилежних
кутів його дорівнюють 180˚. Якщо чотирикутник вписано в коло, c b d1 d a 2 d
то суми протилежних кутів дорівнюють 180˚, 6.
Теорема Птоломея: Сума добутків протилежних
сторін вписаного чотирикутника дорівнює добутку діагоналей: ab+cd=d1d2.
7. Площа вписаного чотирикутника: S ( p a)( p b)( p c)( p d ) , p – півпериметр 8. Площа описаного S pr , де p
c
чотирикутника
d
abcd , r – радіус вписаного кола. 2
.
O a
b
2. Паралелограм. Властивості сторін, діагоналей та кутів паралелограма. Паралелограм—це чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні. a||c, b||d. c D d1, d2—діагоналі С
ha, hc—висоти.
b
А
ha he
d1 d
d2
a
В
Властивості та ознаки паралелограма: 1.
Протилежні сторони попарно рівні AB=DC та AD=CB
2.
Протилежні кути попарно рівні A=C та B=D
3.
Сума кутів, що прилягають до однієї сторони дорівнює 180
A+D=180 та В+А=180 4.
Діагоналі точкою перетину діляться пополам
4.1. Сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін d21 + d22=a2+b2+c2+d2, враховуючи рівність протилежних сторін: d21 + d22=2(a2+b2) 46
4.2. Кожна діагональ ділить паралелограм на два рівних трикутники: ΔABC=ΔADC або ΔBAD=ΔBCD 4.3. Дві діагоналі ділять паралелограм на чотири рівновеликі трикутники. 4.4. Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма. Площа паралелограма обчислюється за формулами: S= aha, або
5.
1 2
S=bhb, S=absin, s d1d2sin
6.
якщо з’єднати відрізками середини сусідніх сторін довільного C D
C1
D1 A
C B1
A1
B
C1 A A1 D
B1 B
D1
чотирикутника, то отримаємо паралелограм. A1B1C1D1—паралелограм. Властивості паралелограма і його діагоналей
Паралелограм—це чотирикутник, у якого протилежні сторони
паралельні. Теорема: Якщо діагоналі чотирикутника
C
D
точкою перетину діляться пополам, то цей чотирикутник паралелограм.
A
O
B
Дано: ABCD – чотирикутник,AC, BD —
діагоналі перетинаються в точці О. АО=ОС, BO=OD. Довести: ABCD – паралелограм. Доведення:
ΔAOD = ΔCOB за двома сторонами і куту між ними. АО=ОС, DO=OB
за умовою, AOD=BOC, - як вертикальні. Отже OBC та ODA рівні. А вони є внутрішні різносторонні кути для прямих AD і ВС при січній DB. Отже прямі AD i BC паралельні. 47
Аналогічно доведемо паралельність прямих АВ і СD з рівності трикутників АОВ і СОD. Ми одержали протилежні сторони чотирикутника паралельні, то за визначенням він є паралелограм. Теорема: У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути
рівні. Дано: ABCD—паралелограм.
C
D
Довести: 1) AD=BC, AB=DC;
2)DAB=DCB, ADC=ABC.
A
O
B
Доведення:
1)
Проведемо у заданому паралелограмі діагоналі АС і DВ та
розглянемо трикутники ΔАОВ і ΔDОС. У них кути при вершині О рівні, АО=ОС, DО=ОВ, за попередньою теоремою ( діагоналі паралелограма
перетинаючись діляться пополам). ΔАОС=ΔDОС за двома сторонами і кутом між ними. Отже, з рівності трикутників випливає АВ=DС. 2)
Доведемо рівність протилежних кутів, розглянувши пари
трикутників ΔABC і ΔADC, ΔDAB та ΔDCB. Трикутники відповідно рівні за трьома сторонами AD=BC, AB=DC—як протилежні сторони паралелограма. Отже, з рівності трикутників випливає: DAB=DCB, ADC=ABC, що треба було й довести. 3. Ромб. Властивості сторін, діагоналей та кутів ромба.
Ромб—паралелограм, у якого всі сторони рівні.
1.
D
Сторони ромба попарно паралельні і всі
h
рівні. 2. точкою
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні; перетину
діляться
навпіл;
внутрішніх кутів і є вісі симетрії ромба.
48
є
бісектриси
А
h
d1 d2
Е
С a В
Площа ромба: S ah , h—висота ромба; S ar , r—радіус
3.
вписаного кола; S a 2 sin , --кут ромба; S
1 d 1 d 2 , d 1 d 2 - діагоналі ромба 2
У довільний ромб можна вписати
4.
D F
коло. Радіус вписаного кола дорівнює: r
d1d 2 h , r , 2 4a
С
O
Якщо E — точка дотику кола до сторони
А
В
E
ромба АВ, тоді r AE BE за властивістю 2
висоти прямого кута трикутника. Для діагоналей ромба можна записати: d 12 2 BE BA , d 22 2 AE AB - за властивістю катетів. 4. Прямокутник. Властивості сторін, діагоналей та кутів прямокутника. Прямокутник—це паралелограм, у якого всі кути прямі. D Властивості прямокутників
d2
1. Сторони протилежні рівні і А
паралельні.
О
d1
а
С b В
2. Діагоналі рівні і точкою перетину діляться пополам. Діагональ ділить прямокутник на два рівних прямокутних трикутники: d1=d2=d. 3.Серединні перпендикуляри сторін є вісі симетрії прямокутника. 4. Навколо довільного прямокутника можна описати коло, його радіус: R
d , d - діагональ прямокутника 2
d a2 b2
Сторони прямокутника будуть попарно рівні і паралельні хорди цього кола. 5. Площа прямокутника: S ab ,
S
49
1 2 d sin . 2
6. Якщо з’єднати середини сусідніх сторін довільного прямокутника відрізками, то отримаємо ромб, а якщо з’єднати середини сторін ромба, то отримаємо прямокутник. D1 D
C1
C
D1 A
B1
D ABCD— A1 прямокутник, A1B1C1D1—ромб.
C1 A
B
A1
C
B B1
5. Квадрат. Властивості сторін, діагоналей та кутів квадрата. Квадрат—це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Властивості квадрата
1. Всі сторони рівні і попарно паралельні. 2. Всі кути рівні по 900 .
D
C d
a
3. Діагоналі рівні, перпендикулярні, точкою перетину діляться пополам, і є бісектрисами кутів.
A
a
4. Квадрат має чотири вісі симетрії: прямі, що проходять через середини протилежних сторін; прямі, що містять діагоналі. Квадрат має поворотну симетрію: він переходить сам в себе при повороті на 900 .
5. Площа квадрата: S a 2 , S
1 2 d . 2
6. Навколо квадрата можна описати коло: a R 2 , R сторона квадрата; R
a 2 , а— 2
d , d - діагональ квадрата. 2
7. У довільний квадрат можна вписати коло: r
50
a , a 2r . 2
B
6. Властивості прямокутника, ромба, квадрата.
Паралелограм—чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні. Прямокутник—паралелограм, у якого всі кути прямі. Теорема:Діагоналі прямокутника рівні
C
D
Дано: АВСD – прямокутник
АС, BD – діагоналі
O
A
Довести: АС=BD
B
Доведення:
Розглянемо трикутник ВАD та трикутник САD. В них кути ВАD та СDA прямі, катет АD спільний, катети АВ та СD рівні за ознакою паралелограма. З рівності трикутників випливає рівність гіпотенуз АС та BD, які є діагоналями прямокутника. Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. Теорема:Діагоналі ромба перитинаються під прямим кутом.
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів Дано: АВСD ромб;
D
АВ=ВС=CD=DA; АС, BD–діагоналі; Довести: АС ┴ ВD,АС, ВD—
бісектриси;
A
D
C О
А
О
B В
Доведення:
Діагоналі ромба перетинаючись діляться пополам за властивостями паралелограма, отже АО=ОС. Розглянемо трикутник АВС. Він рівнобедрений за означенням ромба. ВО—медіана, бо АО=ОС, а для рівнобедреного трикутника вона і висота, і бісектриса. Отже ВD┴АС і діагоналі ділять кути пополам, тобто є бісектрисами. Квадрат—це ромб, у якого всі кути прямі, або прямокутник, у якого
всі сторони рівні. Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба. 51
С B
1. У квадрата всі кути прямі, всі сторони рівні. 2. Діагоналі квадрата рівні. 3. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, являються бісектрисами його кутів, і точкою перетину діляться пополам 7.Трапеція
Трапецією називається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні. D
b
Q
b
D
C
b
D
C
C
P
A
a
B
A
a
B
A
Рівнобічна
Прямокутна
a
B
Різнобічна
АВ|| DС – основи трапеції. QP – середня лінія сполучає, середини бічних сторін. ЕС – висота – перпендикуляр, опущений з верхньої основи на нижню.
У рівнобічної трапеції кути при основі рівні. Теорема: середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ і паралельна до них. D
C
Дано: QP – середня лінія трапеції Q
P
Довести: 1. QP|| АВ, QP|| DС
2. QP A
E
B
1 = (АВ+DС). 2
Доведення
Проведемо DР до перетину з продовженням АВ. Трикутник РВЕ дорівнює трикутнику РDС за стороною і двома прилеглими кутами, тобто РС=РВ за побудовою, DРС= ВРЕ – вертикальні, DСР= ВРЕ, як внутрішні рівносторонні при паралельних прямих АВ і DС, перетнутих прямою СВ. Отже, з рівності цих трикутників випливаю DР=РЕ, DС=ВЕ, середня лінія 52
трапеції QP є середньою лінією трикутника АDЕ і дорівнює половині основи трикутника. QP
1 1 1 AE ( AB BE ) ( AB DC ) , що і треба було довести. 2 2 2
8. Виведення формул площ трапеції, паралелограма, трикутника. Теорема1: Площа трапеції дорівнює F
D
b
півсумі її основ на висоту.
C
h
Дано: АВСD - трапеція A
a
B
E
1 Довести: Sтрап= (АВ+DС)СЕ. 2
Доведення
Проведемо діагональ трапеції АС, яка розбиває трапецію на два трикутники АDС та АВС. Площа трапеції дорівнює сумі площин цих трикутників. AF висота АDС, СЕ висота АВС, AF = СЕ як відстані між паралельними
прямими АВ і СD. Площа трикутника дорівнює половині добутку основи на її висоту. Отже, S ADC
1 1 AF DC , S ABC CE AB , тому 2 2
S трап S ABC S ADC
1 1 1 AB CE DC AF CE ( AB DC ) , що і треба 2 2 2
було довести. AB DC – середня лінія трапеції, нехай АВ = а – нижня основа, DС = b – 2
верхня основа, СЕ = h – висота, тоді S трап
аb h , тобто добуток середньої лінії трапеції на її висоту. 2
Теорема 2: Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, B A проведену до цієї сторони. Дано: ABCD – паралелограм BF – висота 53
E
D
F
C
Довести: Sпаралелогр =CDBF
Доведення:
З вершин A та B опустимо перпендикуляри AE та BF на CD . Розглянемо ∆AED та ∆BFC. Трикутники прямокутні, AD = BC – протилежні сторони паралелограма, ADE = DAB – як внутрішні різносторонні при перетині паралельних прямих січною, але DAB =BCD – протилежні кути паралелограма.. Тому ADE =BCF. Трикутники рівні за гіпотенузою і прилеглим кутом. Звідси випливає, що площа прямокутника EABF дорівнює площі паралелограма ABCD. Площа прямокутника дорівнює BFEF, ED = FC, отже EF = DC. Тоді площа паралелограма дорівнює BFDC.
Теорема 3: Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту до неї. Дано: ∆ABC, BD – висота. 1 2
Довести: S∆= ACBD Доведення: Доповнимо ∆ABC до паралелограма CBEA. BA – діагональ паралелограма, що ділить його на два рівних трикутника (рівні за двома сторонами і кутом між ними). Площа ∆ABC буде рівна половині площі паралелограма 1 2
S∆= ACBD
1)
1 2
S∆ = a ha =
1 1 b hb = c hc 2 2
2) Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними. 54
1 2
1 2
1 2
S∆= ab sin C = b c sin A = a c sin B. §4. Коло. 1. Коло та його елементи. Колом називається множина точок рівновіддалених від однієї, що
називається центром. Круг—це частина площини обмежена колом.
А
сектор
В
Pдотична
О
С
сегмент
O
A M
D
R хорда
C
O
D
R A
АВ=R АОВ=1радіан
C
B
1радіан
N
січна
C R
B
A O
R
A
B O
B
АОВ – центральний кут—це кут
утворений двома радіусами. Кут в один радіан дорівнює АСВ – вписаний кут. центральному куту, що спирається на Кутовою мірою дуги кола є дугу, довжина якої дорівнює радіусу центральний кут, який опирається на кола. цю дугу. Центральний кут вимірюється 1 радіан 571745 дугою, на яку він опирається. Повний радіан 1 = 180 центральний кут дорівнює 360 або радіан=180 2 радіан. 55
2
радіан=90 2. Кути вписані в коло, їх вимірювання.
Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло. Кут, утворений двома радіусами кола, називається центральним.
Центральний кут виміряється дугою, на яку він опирається, при цьому довжина дуги виражається в градусах або радіанах. Коло—це дуга, що опирається на повний центральний кут і дорівнює 360, або 2 радіан. Теорема: вписаний у коло кут дорівнює половині центрального кута,
що опирається на ту ж дугу, що і вписаний кут. Розглянемо три випадки:
1. сторона вписаного кута проходить через центр кола (мал. 1); 2. центр кола знаходиться між сторонами вписаного кута (мал. 2); 3. центр кола знаходиться поза вписаним кутом (мал. 3). Доведення: 1. Трикутник ВОС рівнобедрений, оскільки ОВ і ОС є
радіуси кола. Тому кути В і С рівні. Зовнішній кут АОС трикутника ВОС дорівнює сумі кутів В і С, отже кут В дорівнює половині кута АОС, що і треба було довести. 2. Через центр О проведемо діаметр ВD, який вписаний
кут розбиває на два кути 1 і 2, центральний кут на 3 і 4.За доведенням 1, кут 1 дорівнює половині кута 3, кут 2 1 2
дорівнює половині кута 4. Отже 1 + 2 = ( 3 + 4), але
56
D
1 + 2 = АВС, 3 + 4 = АОС, що означає
АВС =
1 АОС, що і треба було довести. 2
3.Кут АВС дорівнює різниці кутів DВС та DВА, тобто
АВС = DВС - DВА.
(1) 1 2
За доведенням 1: DВС = DОС, DВА =
1 DОА. 2
Знайдені значення кутів підставимо в (1)
АВС =
1 1 1 1 DОС - DОА = (DОС - DОА) = АОС, що і 2 2 2 2
треба було довести. Зауваження: Якщо вписаний кут АВС тупий, то він
доповнює половину кута, утвореного радіусами ОА та ОС до
АВС +
180.
1 АОС = 180. 2
Висновки: властивості вписаних кутів.
1.
Усі вписані в коло кути , що опираються на одну
хорду, рівні між собою.
АВ1С =АВ2С =АВ3С=АВ4С 2.
Вписані кути, що опираються на діаметр, прямі,
тобто дорівнюють 90.
АВ1С =АВ2С =90. 3.
D
Сума двох вписаних кутів, що опираються на
одну хорду з протилежних боків, дорівнює 180.
АВ1С +АВ2С =180.
57
Властивості вписаних кутів.
1.
Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що
опирається на цю ж дугу. АСВ =
1 АОВ (мал. а) 2
Усі кути, що опираються на одну і ту ж дугу, рівні між собою.
2.
ADB = ACB (мал. б) ) С С D О А
А
В
В б)
а)
3. Кути між хордами, дотичними та січними.
Кути між хордами, що перетинаються:
Кут
між
колом:
січними,
що
β α γ
2
перетинаються
поза
γ
О
α β
2
Кут між дотичною і січною:
α
γ
β
2
Кут між дотичними дорівнює піврізниці дуг, на які розбивається коло точками дотику:
2
γ
α
β
Кут між дотичною і хордою, проведеною з точки дотику дорівнює половині дуги, що стягує хорда:
58
2
α γ
4. Властивості хорд.
1.
Якщо хорди рівновіддалені від центра кола, то вони рівні і
навпаки. OC OC1 AB A1 B1 (мал.1) 2.
Більша з хорд знаходиться ближче до центра кола.
A1 B1 AB OC1 OC (мал.2)
3.
Найбільша хорда є діаметром. АВ — діаметр. (мал.3)
4.
Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить її пополам і
навпаки. AB CD CN ND (мал.4)
S
2r sin , AB (мал.5)
5.
Довжина хорди АВ 2r sin
6.
Довжина кола С 2R . Площа круга S R 2 . Площа сектора
R 2 360
2
Хорди точкою перетину поділяється на відрізки, добуток яких
7.
для даної точки є сталий. CN NB AN ND const (мал.6)
В
С
А
А О
С1
А1
С
В1
А1
В1
С1
В
мал.3
мал.2
A
С
D
B N
β
N О
О
А
C
α
O
В
В
мал.4
О
О
мал.1 А
А
В
С
мал.5
59
D
мал.6
5. Властивості дотичної.
Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. Дана точка називається точкою дотику. 1. Дотичні, проведені до кола з однієї точки—рівні.(мал. 7) АВ=АС 2. Якщо з однієї точки провести дотичну і січну, то квадрат дотичної дорівнює добутку січної на її зовнішню частину.(мал. 8) АВ2=АС2+AD2
3. Дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. (мал. 9) OD┴AB В
А
В
А
.О
.
D
D
В
A О
О
С мал.8
С
мал.7
мал.9
Теорема: Дотична до кола не має з ним інших спільних точок, крім
точки дотику. Дано: О – коло, а – дотична. Довести: А – єдина.
O
B A
a
Доведення:
Нехай a є дотична до кола в точці А. Припустимо, що дотична і коло мають ще одну спільну точку ВА. Тоді АОВ буде рівнобедрений з основою АВ. ОА=ОВ – радіуси кола. У рівнобедреному трикутнику кути при основі
рівні, кут ОАВ= 90 тоді кут ОВA теж=90, але це не можливо, отже коло і дотична мають тільки одну спільну точку, що і треба було довести. 60
Теорема: Відрізки дотичних, проведених з однієї точки – рівні. Дано: АВ, АС – дотичні.
A B
Довести: АВ=АС. O C
Доведення:
З точки А проведемо дотичні АВ та АС, і радіуси в точки дотику. Cполучимо точку А з центром кола. Розглянемо трикутники АВО та АСО, вони прямокутні В= С= 90 за визначення дотичної, АО – спільна сторона – гіпотенуза, ОВ=ОС – як радіуси кола. Отже АВО= АСО за гіпотенузою і катетом. З рівності трикутників випливає АВ=АС, що і треба було довести. Теорема: Квадрат дотичної дорівнює добутку січної, проведеної з цієї
ж точки на її зовнішню частину. Дано: коло О,
D
АВ – дотична
.O C
АD – січна. Довести: АВ 2 АD АС
B
A
Доведення:
Проведемо дотичну АВ, січну АD, її зовнішня частина АС, і допоміжні хорди DВ, СВ. Розглянемо трикутники АDВ та АВС. Ці трикутники подібні за двома кутами: А – спільний, АВС та СDВ вимірюються половиною дуги ВС, отже АВС= СDВ. Із подібності АDВ і АВС записуємо пропорційність
61
сторін:
АС АВ , звідси за властивістю пропорції записуємо: АВ 2 АD АС , АВ АD
що і треба було довести. Наслідки: Якщо з точки, що взята за межами кола, проведемо скільки
завгодно січних, то добуток кожної січної на її зовнішню частину є число стале і дорівнює квадрату дотичної з тієї ж точки. 6. Коло, вписане в трикутник, і коло, описане навколо трикутника.
Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через всі його вершини. Перпендикуляр, що проходить через середину відрізка називається серединним. Теорема: Центр кола, описаного
B
навколо трикутника, є точкою перетину перпендикулярів до сторін трикутників,
R
F
проведених через середини цих сторін. Дано: АВС, О – центр описаного
кола.
E R
O R
A D
Довести: О – точка перетину
серединних перпендикулярів сторін.
С
Доведення:
Сполучимо О з вершинами АВС. АОС – рівнобедрений: ОА=ОС – радіуси кола. Медіана його ОD– є одночасно висотою. Отже центр кола лежить на прямій перпендикулярній стороні трикутника АС та проходить через її середину. Аналогічно доводиться для двох інших сторін. Отже точка О лежить на перетині серединних перпендикулярів ОD, ОЕ, ОF, що і треба було довести. Коло називається вписаним в трикутник, якщо воно дотикається до
всіх його сторін. 62
Теорема: Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його
бісектрис.
C
Дано: АВС, О – центр
вписаного кола, D, Е, F – точки
F E
дотику.
R
R
Довести: О – точка перетину
O R
бісектрис. A
D
B
Доведення:
Сполучимо О з вершинами і точками дотику. ОЕ АС, ОD АВ, ОF СВ за властивістю дотичної (пряма, що проходить через точку кола
перпендикулярна до радіуса проведеного в цю точку, називається дотичною). Розглянемо АОЕ та АОD – це прямокутні трикутники рівні за гіпотенузою та катетом: АО – спільна гіпотенуза, ЕО та DО – рівні катети як радіуси кола. З рівності АОЕ та АОD випливає рівність кутів ОАЕ та ОАD, а це означає, що АО бісектриса і центр лежить на бісектрисі кута А. Аналогічно доводиться для кутів В та С.
§5 Многокутники (n-кутники) 1. Многокутники, їх види, основні елементи.
Многокутник—замкнута ламана лінія.
Многокутник опуклий, якщо всі сторони многокутника розташовані по один бік відносно прямої проведеної через любу сторону многокутника. Многокутник правильний, якщо його всі сторони і всі кути рівні між собою. Довільний правильний многокутник можна вписати в коло і описати навколо кола.
63
D
1
D
2
A
A
B
Не опуклий Опуклий многокутник многокутник 1 , 2 n внутрішні кути.
D
E
C
2 B
C
A
1 2 ... n зовні
Діагоналі – це відрізки, що сполучають всі шні кути. 0 вершини, крім сусідніх 1 2 ... n 360 двох. Число діагоналей сума зовнішніх кутів не залежить N для n-кутника ... n 1 2 n(n 3) від кількості N 180 n 2 2 сторін. 2. Співвідношення між сторонами правильного многокутника і радіусами вписаного та описаного кіл. (позначення: а-сторона, r-радіус вписаного кола, R-радіус описаного кола)
r через a
Трикутник
r
Квадрат Шестикутник n-кутник
r
а через r
а через R
a 3 6
R
a 3 3
a 2r 3
aR 3
a 2
R
a 2 2
a 2r
aR 2
r
r
R через a
a 3 2
Ra
a 180 2tg n
R
a
a 180 2 sin n
2 3 r 3
aR
180 a 2rtg n
180 a 2 R sin n
Площі правильних многокутників
через а Трикутник Квадрат Шестикутник n-кутник
S
через r
3 2 a 4
S 3r2 3
S a2 3 3 2 a 2
S 2r2 3
a2n 180 4tg n
180 S r ntg n
S
S
S 4r 2
2
64
через R S
3 3 2 R 4
S 2R 2 S
3 3 2 R 2
1 2 360 S R n sin n 2
§6 Декартові координати. 1. Основні поняття. Декартова система координат – це дві Y y0
взаємо перпендикулярні прямі з позначенням стрілками в додатньому напрямку і з розмітками у масштабних одиницях.
M(x0;y0)
3 2 1
Вісі координат: вісь х – вісь абсцис,
0 1 2 3
x0
X
вісь у – вісь ординат. Точка О – початок координат. Довільній точці на площині ставиться у відповідність пара чисел, абсциса хо та уо – кординати, які називаються декартовими координатами даної точки і записується М(хо; уо) На нашому малюнку хо=3, уо=4, отже М(3; 4). Щоб знайти точку на площині по координатам треба:
Відзначити задані координати на вісях;
Із знайдених точок поставити перпендикуляр до осей;
Точка буде на перетині перпендикулярів.
Наприклад: Знайти точки А(-1; 2), В(3; -2), С(-3; 0), D(0; -3), М(-2; -3), Р(3; 4). Y
A
3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 X -1 -2 D -3
Y 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 X
M
-1 -2 -3
Y
-3 -2 -1 0
С B
2. Відстань між двома точками.
Відстань між двома точками Ax1 ; y1 та B x 2 ; y 2 AB
x2 x1 2 y 2 y1 2 65
4 P 3 2 1 1 2 3 X -1 -2 -3
Наприклад: Знайти координати точки С, що ділить відстань між точками А(-2; 3) та В(4;-9) навпіл. x
3 ( 9) 3 9 6 24 3 1, y 2 2 2 2
Отже точка С має координати (1; -3) Відповідь. С(1; -3). 3. Координати точки, що ділить відрізок у заданому відношенні .
Нехай Ax1 ; y1 , B x 2 ; y 2 та точка D x; y ділить відрізок АВ у відношенні , тобто
AD або DB
AD m DB n
Координати точки D будуть: x
Якщо
x1 x2 y y2 , y 1 1 1
m , то n
B
D A
x
n m n m x1 x2 ; y y1 y 2 , або mn mn mn mn
x
nx1 mx 2 ny my 2 , y 1 mn mn
4. Рівняння прямої. Взаємне розташування прямих. Загальне рівняння прямої ax by c 0
В даному рівнянні а та b є координати вектора, перпендикулярного до прямої. Цей вектор називається нормальним і позначається n a; b . Частинні випадки:
1. а 0, b 0, c = 0 y
a x, b
ax by 0
a b
- k
y kx − пряма проходить через початок координат. k − кутовий коефіцієнт прямої, k tg , − кут між прямою і додатнім напрямком вісі Ох.
66
2. ( a 0, b 0, c 0 ) by c 0 y
c - пряма паралельна вісі Ох. Мал. 1 b Мал.1
3. ( a 0 ,b 0 ,c 0 ) ax c 0 x
c - пряма паралельна вісі Оу. Мал. 2 a Мал.2
4. ( a 0 ,b 0 ,c 0 ) by 0 y 0 - рівняння вісі Ох. Мал. 3 Мал.3
5. ( a 0 ,b 0 ,c 0 ) ax 0 x 0 - рівняння вісі Оу. Мал.4 Мал.4
Взаємне розташування прямих 1 : a1 x b1 y c1 0
або
2 : a 2 x b2 y c 2 0
1 : k1 x b1 0 2 : k 2 x b2 0
1. Прямі співпадають a1 b1 c1 a 2 b2 c2
l2
або k1 k 2
l1
або
b1 b2 a1 a2 c c 2 1
a1b2 a 2 b1 a1c 2 a 2 c1
2. Прямі перпендикулярні l1 l 2 a1 b 1 , b2 a2 a1b2 a 2 b1 0
або l2
67
l1
1 звідки k2 k1 k 2 1 k1
3. Прямі паралельні l1║l2 a1 b1 c1 a 2 b2 c 2
або l1
a1b2 a 2 b1 a 1 c 2 a 2 c1
k1 k 2
l2
4. Прямі перетинаються l1 l2 a1 b1 a 2 b2
k1 k 2
l1
або
l2
a1b2 a 2 b1
Щоб знайти координати точки перетину двох прямих, необхідно a1 x b1 y c1 0 a2 x b2 y c2 0
y k1 x b1 y k2 x b2
або
розв’язати систему рівнянь. 5. Рівняння кола.
Колом називається множина точок рівновіддалених від однієї точки, що називається центром.
R
M(x , y) R
О1
О
Коло з центром у початку координат має рівняння:
M(x0 , y0)
2. Коло із зміщенним центром O1 ( 0 ; y0 ) має рівняння:
x x
x2 y2 R2
2
0
68
y y0 R 2 2
Рівнянням лінії (фігури) на площині в декартових координатах
називається рівняння з двома невідомими x і y, яке задовольняють координати будь-якої точки лінії. Складемо рівняння кола з центром у точці O1(a;b) і радіусом R. На колі візьмемо довільну точку A(x;y) відстань якої від центра О1 дорівнює R. Відстань між двома точками площини обчислюється за формулою d ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
Для кола d = OA = R, (x;y) – координати A, (x1;y1) – координати О1. Отже 2
2
2
R ( x a ) 2 ( y b) 2 - піднесемо до квадрату, тоді (x - a) +(y - b) =R - це є
рівняння кола. Тому що йому будуть задовольняти координати любої точки кола, і навпаки, будь-яка точка A, координати якої його задовольняють, належить колу, оскільки її відстань від точки О1 дорівнює R.
x a 2 y b 2 R 2 − рівняння кола в даній точці Якщо центр кола співпадає з початком координат, то a=0, b=0 рівняння матиме вигляд:
x2 +y2 =R2.
(x - a)2+y2=R2 – центр кола на вісі OX, О1 (a;o) x2+(y - b)2=R2 – центр кола на вісі OY, О1(o;b) §7. Вектор 1. Вектор. Основні означення. Види векторів. Вектором називається направлений відрізок прямої.
Вектор характеризується числовим значенням і напрямком. Модулем вектора називається довжина вектора.
Вектор позначається:
а
a або АВ , де А—початок вектора, В—кінець.
Модуль вектора позначається | а | або | АВ |. 69
А
В
Нульовим вектором називається вектор, для якого кінець співпадає з
початком. На малюнку це буде точка і позначається О , його напрям невизначений, а модуль дорівнює 0. Одиничний вектор—вектор одиничної довжини а 0.
Два вектора, що лежать на одній прямій або на паралельних прямих називають колінеарними. Види колінеарних векторів
Протилежно напрямлені | a |≠| b |
Спів напрямлені | a |≠| b |
Рівні, a = b , | a |=| b |
Протилежні a =- b , | a |=| b |
2. Координати вектора.
Координати вектора—це проекції вектора на
вісі, вони дорівнюють різниці координат кінця і початку вектора . ах = х2 –х1 абсциса вектора. ау = у2 –у1 ордината вектора.
Записується а ( ах; ау) Якщо вектор задано координатами початку А(х1;у1), та кінця А(х2;у2), то координати вектора АВ записуються АВ ( х2- х1; у2--у1). Координати нульового вектора дорівнюють нулю.
Рівні вектори мають рівні відповідні координати і навпаки—якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні. Координати вектора не змінюються при паралельному переносі. Модуль вектора а а х 2 а у 2 , або | АВ | (х х ) 2 ( у у )
Будь-який вектор можна представити у вигляді добутку одиничного вектора, напрям якого співпадає з вектором, на його модуль а = а ·|а|. 0
70
2
j
i
Прямокутну систему координат задають за допомогою одиничних векторів
(орти) i та j . Вектор a в розкладі по координатним ортам записується a a x i a y j . Якщо a 2i 3 j , то це означає, що вектор має кординати ax=2,
ay=-3 і вектор записується a 2;3 . 3. Дії над векторами в геометричній і координатній формах.
Сума векторів та її властивості Сумою векторів a та b з координатами (a1;a2) та (b1;b2) називається вектор с з координатами ((a1+b1);(a2+b2)), тобто: a (a1;a2) + b (b1;b2) = с ((a1+b1);(a2+b2))
Властивості : Для любих векторів a (a1;a2), b (b1;b2), с (с1;с2) вірно: 1.
a +b =b + a ,
2.
a +( b + с ) = ( a + b )+ с
Теорема: Які б не були точки A,B та C має місце векторна
рівність AB BC AC Доведення:
Нехай A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3 ) – дані
B( x ; y 2
точки. Вектор AB має координати (x2 - x1; y2 – y1), вектор BC - (x3 – x2; y3 – y2). AC (x3-x1;y3-y1)
A( x ; y 1
1
)
2
)
C( x ; y 3
3
)
обчислимо AB BC =(x2 – x1; y2 – y1)+ (x3 – x2; y3 – y2)=(x2 – x1+ x3 – x2 ;y2 – y1+ y3 – y2)= (x3 – x1; y3 – y1 ). Отже вектор AB BC має координати (x3 - x1; y3 – y1),
а це координати вектора AC .виходить AB BC та AC рівні. AB BC AC
71
Додавання векторів геометрично.
1.
Метод трикутника
2.
Метод паралелограма
Дано:
Обираємо точку, в яку паралельним переносом переносимо вектор a . В його кінець паралельним переносом переносимо вектор b , суміщаючи початок вектора b з кінцем вектора a . Вектор, початок якого співпадає з початком вектора a , а кінець з кінцем вектора b буде
Початки векторів a та b суміщаємо з обраною точкою зробивши паралельний перенос векторів a та b . Через кінці кожного вектора проводимо пряму, паралельну другому і відзначаємо точку перетину. Сумарний вектор буде діагоналлю одержаного паралелограма.
сумою a та b .
Віднімання векторів
Виконаємо дії над тими ж заданими векторами a та b . Різниця двох векторів a та b , це
ab
такий вектор с , який в сумі з вектором b дає вектор a .
b a ab
b
b c ac a b Різницю можна замінити сумою,
a
a
ab
b тобто a b a ( b ) , до вектора a необхідно
a
додати протилежний вектор b .
2a
Множення вектора на число
Добуток вектора a на число - це
0,5 a -1,5 a
колінеарний йому вектор лa : 72
лa - співнаправлений з вектором a , якщо >0. лa - протилежний до a , якщо <0.
Модуль вектора змінюється в раз. | a |=||·| a |. Вектори колінеарні, якщо один вектор дорівнює добутку другого
вектора на число. Дії над векторами в координатній формі
Задано вектори aa x ; a y , bbx ; b y 1. Додавання векторів. c a b c a x ; a y bx ; b y (a x bx ; a y b y ) отже ca x bx ; a y b y
Координати суми векторів дорівнюють сумі відповідних координат Наприклад: a2;3 , b3;2 , тоді c a b 2;3 3;2 2 3;3 2 5;1
2. Віднімання векторів
c ab
c a x ; a y bx ; b y a x bx ; a y b y
ca x bx ; a y b y
Координати різниці векторів дорівнюють різниці відповідних координат. Наприклад: a2;3 , b3;2 , тоді c 1;5 3. Множення векторів на число. Щоб помножити вектор на це число, необхідно на число помножити кожну його координату.
ca x ; a y
c a
4. Скалярний добуток векторів та його властивості.
Скалярним добутком векторів a ·b називається число, що дорівнює
добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними: a b | a |·b |·cos, -
^
кут між векторами. Він ще позначається a ;b .
73
Якщо <90, то a · b >0; =90, то a · b =0; >90, то
a · b <0. a b a x bx a y b y Скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат. Скалярний добуток векторів.
Скалярним добутком векторів a (a1 ; a 2 ) та b(b1 ; b2 ) називається число a1b1 a 2 b2 .
Позначається: a b a1b1 a 2 b2 . Для будь-яких векторів a, b, c справедливо ( а b )c a c b c .
Y
Теорема: скалярний добуток векторів дорівнює
добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.
A2 B2
а B φb
β α a b a b cos
B1 A1
Абсолютна величина вектора a - це довжина вектора, позначається a . - кут між векторами.
Визначимо координати векторів a та b . x a OA1 a cos
y a OA2 a sin
a( a cos ; a sin )
xb OB1 b cos
yb OB2 b sin
b( b cos ; b sin )
a b x a xb y a y b Тоді a b a cos b cos a sin b sin a b (cos cos sin sin a b cos( ) a b cos
Отже
a b a b cos 74
Якщо a b то 90 , cos 90 0 , отже a b 0 .
1.
Якщо вектори взаємно перпендикулярні, то їх скалярний добуток рівний 0. 2.
Якщо a b то = 0, cos0 = 1, отже
a b a b .
5. Кут між векторами. Умова перпендикулярності і колінеарності векторів.
Для знаходження кута між векторами використаємо означення скалярного добутку векторів a a x ,a y та b bx ,by
a
a b a b cos a ,b
b
a b a xb x a yb y Ліві частини цих рівностей рівні, отже рівні і праві: a b cos a ,b a x bx a y by
звідки cos a ,b
a x bx a y b y a b
a ,b – кут між векторами,
a a x2 a y2 , b bx2 by2 – модулі векторів.
Отже cos
a x bx a y b y a x2 a y2 bx2 by2
.
Два вектора a та b колінеарні, якщо один із них дорівнює другому, помноженого на число , тобто a =b . Якщо вектори колінеарні, то cos =1 і їх відповідні координати пропорційні: 75
a || b
ax a y = bx b y
Два вектори a та b перпендикулярні, якщо кут між ними 90. cos90=0, отже axbx+ayby=0, тобто скалярний добуток векторів
дорівнює нулю. Вектори перпендикулярні, якщо 90 , але cos 90 0 .
Дріб дорівнює нулю, якщо нулю дорівнює чисельник a x b x a y b y =0 Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. a b 0. Вектори колінеарні (паралельні), якщо їх відповідні координати
пропорційні
ax a y , причому bx 0 , by 0 . bx b y
6. Розкладання вектора по двом не колінеарним напрямкам.
В
B
C
F1
технічних
дисциплінах
досить
часто
розкладається вектор на складові. Наприклад, щоб визначити дію сили на різні опори .
F2
P
1.
На
кронштейні
підвішано
вантаж,
необхідно знайти, як діє вага вантажу на складові кронштейну. Сила F1 розтягає планку СВ, сила F2 стискає опору АВ. P F1 F2
2. Хлопчик тягне вантаж на візку по дорозі, як впливає прикладена ним сила на тиск на дорогу і яка сила тягне візок. Щоб розкласти вектор по заданим напрямкам ми з кінця заданого вектора проведемо відрізки паралельні заданим напрямкам до перетину з ними. Утворився паралелограм.
76
F2
F F1
F F1 F2
Вектори, що задають напрямок розкладання вектора, називаються базисними. a1
e1
a
с1
с
е1
a1 a2 a2
e2
b
b1 c2
е2
a a1 a 2
с с1 с 2
е1
b2
е2
b b1 b2
a a1 e1 a2 e2
§8. Приклади розв’язування задач Задача 1. Дано вершини трикутника A1;1, B4;1, C 4;5. Знайти периметр трикутника, кут , площу трикутника і побудувати трикутник. Дано: A1;1, B4;1, C 4;5. B Знайти: P ABC , , S ABC
A
C
Розв‘язання
Для знаходження цих величин перш за все знайдемо довжини сторін трикутника за формулою BA
xA xB 2 y A yB 2
9 3
BC
4 1 1 1 4 42 5 12
CA
1 4
3
AB
2
2
2
1 5 2
16 4 2
4 9 16 25 5
C
A
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
Сторони трикутника дорівнюють: АВ = 3, ВС = 4, СА = 5. 1. Периметр трикутника P AB BC CA 3 4 5 12 2. Знайдемо кут між векторами BA та BC за формулою cos
x1 x2 y1 y 2 x y x y 2 1
2 1
2 2
2 2
x1 x 2 y1 y 2 BA BC
77
B
Модуль вектора – це його довжина, то BA 3 , BC 4 . Координати цих векторів знаходимо віднявши від координат кінця координати початку. BA4 1;1 1 BA3;0 ; BC 4 4;5 1 BC 0;4
cos
30 0 4 0 0 3 4 12
Косинус кута дорівнює нулю для кута 90о, отже = 90о 3. Трикутник прямокутний і його площа дорівнює половині добутку катетів. S
1 AB BC , 2
S
1 3 4 6, 2
S 6
Відповідь: Р = 12, 90 , S 6 кв. од. Задача
Висота
2.
правильного
трикутника
дорівнює
12 3 см.
Обчислити периметр трикутника та його площу. А
Дано: Трикутник АВС – правильний
СD ┴ AB, CD = 12 3 Знайти: P ABC , S
a h
ABC
С
Розв’язання
B
D
Якщо трикутник правильний, то його всі 1 2
сторони рівні, висота СD є одночасно медіана і бісектриса, тому DB CB . Приймемо DВ за х, тоді СВ = 2х і розглянемо трикутник DАВ. За теоремою Піфагора АB 2 СD 2 DB 2 , звідси
2 x 2 12
2
3 x 2 4 x 2 x 2 144 3 3 x 2 144 3 x 2 144 , отже х = 12.
Периметр правильного трикутника дорівнює 3 а, a=2x=24 Р = 3 CB , тобто P 3 24 72 1 2
Площа трикутника S aha . Всі висоти правильного трикутника рівні, отже ha 12 3 , тому S
1 24 12 3 144 3 2
Відповідь: P 72cм, S 144 3 см 2 . 78
Задача 3. Точка перетину медіан рівнобедреного трикутника віддалена
від вершини протилежної основі, на 12см. Основа трикутника 16см. Знайти медіану, проведену до бічної сторони. C
Дано: Трикутник АВС , АС = СВ
СD, AE, ВF – медіани
E
F
СК = 12
a
К
АВ = 16
h
Знайти: АЕ
A
B
D
Розв’язання
Для рівнобедреного трикутника медіани бічних граней рівні АЕ = АF. Медіани точкою перетину діляться у відношенні 2:1, тобто СК : КD = 2 : 1, аналогічно АК : КЕ = 2 : 1. Знайдемо з першого відношення КD:
12 2 12 KD 6 KD 1 2
Розглянемо трикутник AKD: CD ┴ AB(за властивістю медіани рівнобедреного трикутника), то за теоремою Піфагора AK 2 KD 2 AD 2 , AD
1 AB 8 (за властивістю медіани), отже 2
AK 2 6 2 8 2 36 64 100 AK 10 10 2 AK 2 KE 5 , отже AE AK KE 10 5 15 KE 1 KE 1
Відповідь: AE ВF 15 см. Задача 4. Дві сторони трикутника 3 і 7 см. Кут, протилежний до
більшої з них, 60о. Знайти периметр і площу трикутника. Дано: Трикутник АВС
C
АС = 3 см ВС = 7 см
a
b
А = 60о
A
Знайти: Р, S - ? 79
c
B
Розв’язання
З умови задачі а = 7, в = 3, тоді с = х, 60 Для знаходження сторони використаємо теорему косинусів для сторони а: a 2 c 2 b 2 2bc cos . Підставимо значення : 7 2 x 2 3 2 2 3 x cos 60 49 x 2 9 6 x
1 x 2 3x 40 0 Розв’язуємо 2
одержане квадратне рівняння за дискримінантом. D 9 4 40 169 13 2 ,
x1
3 13 3 13 8 ; x2 5 - не задовольняє 2 2
умову, отже АВ = 8 Обчислюємо периметр:
P a b c , P 3 7 8 18
1 2
1 2
Знаходимо площу: S bc sin , S 3 8 sin 60 12
3 6 3. 2
Відповідь: Р = 18см, S = 6 3 см2. Задача 5. :Бічні сторони трапеції 6 і 10. Середня лінія ділить трапецію
на частини, площі яких відносяться як 5 :11. Знайти основи трапеції, якщо відомо, що у трапецію можна вписати коло. Дано: АВСD – трапеція
MN – середня лінія
C
D
АD = 6 см CB = 10 см
Е
M
S MDCN : S AMNB 5 : 11 S1 : S 2
A
Знайти: АВ, DC .
К
N B
Розв’язання
З того, що в трапецію можна вписати коло випливає, що AD CB AB DC . Використовуємо властивість, що в чотирикутник можемо
вписати коло, якщо сума протилежних сторін рівна. Проведемо висоту DK, яка перетнеться з середньою лінією в точці Е. МЕ – середня лінія трикутника ADK, звідси DE = EK. Знайдемо площі утворених трапецій:
80
Трапеція MDCN : S1
MN DC DE , 2
трапеція AMNB: S 2
AB MN EK . 2
Розглянемо відношення утворених площ: MN DC MN AB MN DC 5 S1 : S 2 DE : EK 11MN 11DC 5MN 5 AB 2 2 MN AB 11 AB DC 11DC 6 MN 5 AB 0 , але MN - як середня лінія трапеції, тому 2 11DC 6
AB DC 5 AB 0 11DC 3 AB 3DC 5 AB 0 14 DC 2 AB 7 DC AB . 2
Отже у нас є два рівняння з двома невідомими: AB 7 DC AB 7 DC AB 14 AD CB AB DC 16 7 DC DC 16 DC 2
Основи трапецій знайдені. Відповідь: AB 14 - нижня основа, DC 2 - верхня основа. Задача 6. Довести, що вектори a (-2;5) і b (-4;10) однаково напрямлені. Якщо вектори однаково напрямлені, то косинус кута між ними має бути 1, тому що cos 0°=1. 2*( 4) 5*10 8 50 58 58 cos 1 29* 116 29*29*4 29*2 ( 2)2 5 2* ( 4)2 10 2
Відповідь: вектори a та b однаково напрямлені. Задача 7. Знайти радіус та координати кола: x2-10x+y2+6y+30=0 Задане рівняння зводимо до рівняння кола із зміщеним центром (x-a)2+(y-b)2=R2, (a;b) координати центра кола. Виділяємо в заданому рівнянні певні квадрати відносно x та y. (x2-2•5•x+52)-52+(y2+2•3y+32)-32+30=0 (x-5)2+(y+3)2-25-9+30=0 (x-5)2+(y+3)2=4 Ми одержали a=5, b=-3, R2=4. Центр кола має координати О1(5;-3), радіус кола R=2. Відповідь: О1(5;-3), R=2. Задача8.
Чому дорівнює кут, якщо два суміжні з ним в сумі становлять 100? Розв’язання. До шуканого кута суміжними будуть 1 та 2, α тому що +1=180 і +2=180. 1 2 Кути 1 та 2 рівні, бо вони вертикальні., тому 81
1 1=2= 100=50. 2 Кут =180-1=180-50=130. Задача 9. У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС проведено медіану BD. Знайти її довжину, якщо периметр трикутника АВС дорівнює 50м, а трикутника ABD—40м. В
Дано: ΔАВС, АВ=ВС, BD—медіана, РΔАВС=50м, PΔABD=40м. Знайти: BD.
A
C
D
Розв’язання:
Перший спосіб: Медіана поділяє сторону АС пополам AD=DC, тому АС=2AD. Трикутник рівнобедрений. Отже АВ=ВС, тому АВ+ВС=2АВ. Знайдемо периметри, що дані в умові: РΔАВС==АВ+ВС+АС=2АВ+2АD, РΔАВD=AB+BD+AD отже BD=15 Другий спосіб: AB+BD+AD=40 2AB+2AD=50
AB+BD+AD=40 AB+AD=25
25+BD=40 BD=15
За властивістю рівнобедреного трикутника і медіани випливає 1 АB+AD= РΔАВС, тобто АB+AD=25. Периметр ΔABD обчислюється 2 AB+BD+AD=40, звідси 25+ BD=40, BD=40-25, BD=15 Відповідь: медіана BD=15м. Задача10. Медіана рівнобедреного трикутника, що проведена до основи, дорівнює 32см. Бісектриса кута при основі перетинає дану медіану в точці на відстані 20см від вершини. Знайти бічну сторону трикутника та його площу.
B
Дано: ΔABС, АВ=ВС, BD—медіана, BD=32см, АК—бісектриса, ВК=20см.
K A
D
Знайти: АВ, SΔABC.
C 82
Розв’язання: Бісектриса кута трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки AB BK пропорційні прилеглим сторонам. Отже для ΔABD записуємо та AD KD AB 20 AB 2 AD 2 BD 2 . KD BD BK 32 20 12 , отже . AD 12 Нехай AB=x, AD=y, тоді одержуємо систему рівнянь: x 2 y 2 32 2 x 20 y 12
x 2 y 2 1024 x 3 y 5
2
5у 2 y 1024 3 5y x 3
2
25у y 2 1024 9 5y x 3
25у 2 9y 2 1024 5y x 3
25у 2 9y 2 1024*9 5y x 3
16y 2 1024*9 5y x 3
1024*9 16 5y x 3
y2=
5*24 40 . 3 Отже, АВ=40см, AD=24см. Знайдемо площу трикутника ΔАВС. 1 1 SΔABC AC*BD *2*AD*BD AD*BD 24*32 768 . 2 2 y2=64•9 y=24, тоді x
83
Відповідь: бічні сторони АВ=ВС=40см, площа трикутника SΔABC=769см2. Задача 11. Медіана рівнобедреного трикутника дорівнює 4 3 . Знайти сторону трикутника і його площу. В
Дано: ΔАВС, АВ=ВС=СА, BD—медіана, BD= 4 3 Знайти: АВ, SΔABC
A
C
D
Розв’язання: В рівнобедреному трикутнику медіана одночасно є бісектриса і висота. 1 Всі сторони рівні. Отже, АD= AB і ADB=90. За теоремою Піфагора 2 2 1 1 2 2 2 2 AB AD BD , або AB AB BD 2 AB 2 AB 2 BD 2 4 2 3 3 3 AB 2 BD 2 AB BD . Підставимо значення BD: AB BD 4 2 2 АВ=8; АВ=АС=ВС=8. Знайдемо площу трикутника. 1 1 SΔABC= AC*BD *8*4 3 16 3 . 2 2 Відповідь: сторона трикутника АВ=8см, площа його S=16 3 см2. Задача 12. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 21см. Знайти основу та площу трикутника, якщо основа більша від бічної сторони на 1,5см.
В
Дано: ΔАВС, a+b+c=21см, b-a=1,5см.
a
c
Знайти: b, SΔABC
h A
D b
Розв’язання: По умові задачі можна скласти систему рівнянь:
C
а=с a+b+c=21 b-a=1,5
3b-3=21 a=b-1,5
b=6 a=4,5
(b-1,5)+b+(b-1,5)=21 a=b-1,5
Отже, основа b=6, бічні сторони а=с=4,5, тобто АС=6, АВ=ВС=4,5. 84
Площу трикутника знаходять за формулою: 1 S bhb 2 З вершини В опускаємо висоту hb до основи b. З ΔBDC за теоремою Піфагора знаходимо висоту. hb=DB= BC 2 DС 2 1 DC= АС за властивістю висоти рівнобедреного трикутника. 2 hb= 4,5 2 32 20,25 9 11,25 3,35 . 1 Тоді SΔABC= ·6·3,35=3·3,35 10. 2 Відповідь: основа АС=6см, площа трикутника S=10см2. Задача 13. Проекції катетів прямокутного трикутника на гіпотенузу дорівнюють 9см і 16см. Знайти висоту, проведену до гіпотенузи, катети і площу трикутника.
В
Дано: ΔАВС, С=90, BD=9см, DА=16см.
D
Знайти: АВ, SΔABC, BC, AC.
C
A
Розв’язання: 1) Висота, що проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між відрізками, на які вона поділяє гіпотенузу. CD BD CD 2 AD * BD AD CD CD2=9•16=144CD= 144 =12 Висота дорівнює 12см. Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його 2) проекцією на гіпотенузу. AB=AD+BD=9+16=25 BC2=AB•BDBC2=25•9BC= 25 * 9 =5•3=15 AC2=AB•ADAC2=25•16AC= 25 * 16 =5•4=20 Катети дорівнюють 15см і 20см. 3) Площа прямокутного трикутника дорівнює півдобутку катетів. 1 1 SΔABC= АВ•ВС= •20•15=150 2 2 2 Площа трикутника 150см . Відповідь: гіпотенуза АВ=12см, катети АС=20см, ВС=15см, площа трикутника S=150см2. 85
Задача 14. Знайти відрізки, на які бісектриса більшого кута ділить сторону трикутника та висоту, проведену до меншої сторони для трикутника зі сторонами 16, 12, і 20см.
C
Дано: ΔABС, CB= a=16см, АС= b =12см, AВ=c =20см; CD- бісектриса, AK-висота,
K
b
Знайти: AD; DB; AK.
a A
c
D
B
Розв’язання: 1. Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона, отже проводимо бісектрису кута C. Нехай AD=x, тодіBD= 20 – x. Бісектриса поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам: AC AD 12 x 12(20 x) 16x (за властивістю пропорції). BC BD 16 20 x 240 60 4 240 12x 16x 28x 240 x 8 28 7 7 3 4 4 AD 8 , BD 20 8 11 . 7 7 7 2. Висоту AK знаходимо з площі трикутника. Площу трикутника обчислимо за формулою Герона: abc S ДABC p(p a)(p b)(p c), p 2 1 S ДABC CB AK (площа дорівнює пів добутку сторони на її висоту). 2 16 12 20 p 24 2 S 24(24 16)(24 12)(24 20) 24 8 12 4 12 4 2 96 1 96 2 отже 96 12 AK AK 16 2 12 4 Відповідь: Сторона AB поділилась бісектрисою на відрізки 8 см і 7 3 11 см. Висота АК =16 см. 7
86
Задача 15 Периметр ромба 80см, гострий кут –60. Обчислити діагоналі та площу ромба. D C Дано: ABСD - ромб, P = 80см. DAB= 60.
O A
a
Знайти: DB; AC, SABCD.
B
Розв’язання: Ромб – це чотирикутник, у якого всі сторони рівні. Якщо периметр ромба 80см, то сторона його: а 80:4 20 З DAB знаходимо діагональ DB Трикутник рівнобедрений і кут при вершині 60, то виходить що і два інших кути, що рівні між собою і дорівнюють по 60,отже трикутник рівносторонній. DB= AB = 20. Діагоналі ромба взаємо перпендикулярні, точкою перетину діляться пополам і є бісектрисами кутів. Для знаходження другої діагоналі розглянемо трикутник AOB: 1 1 1. A DAB 60 30, O 90 за властивостями діагоналей 2 2 ромба. 1 2
1 2
2. OB DB 20 10, AB 20 за властивісю катета кута 30 За теоремою Піфагора знаходимо AO AO 2 AB 2 OB 2 AO 20 2 10 2 300 10 3 AC 2AO 2 10 3 20 3.
Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей. 1 1 S AC DB 20 20 3 200 3. 2 2 Відповідь: Діагоналі ромба d 1 20см;d 2 20 3см . Площа ромба: S 200 3 см 2 . Задача16 Різниця сторін прямокутника 4см. Обчислити периметр і площу прямокутника, якщо довжина кола, описаного навколо прямокутника дорівнює 20см, а також знайти площу круга. Дано: ABСD - прямокутник, a-b=4, c=20 см.
C
D
Знайти: PABCD., SABCD ,Sкута 0.
b
O
Розв’язання:
Точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника 87
A
a
B
є центром описаного кола. AC є діагональ чотирикутника, і одночасно діаметром кола. AC=2R, R – радіус описаного кола. Довжина кола 2R=20 - за умовою, отже 2R=20, R=10, тому AC=20. Для ∆ADC можна записати за теоремою Піфагора
AC 2 AD 2 DC 2 За умовою
20 2 b 2 a 2 a 2 b 2 400 (4 b)2 b 2 400 4ab ab4 a4b 16 8b b 2 b 2 400 2b 2 8b 384 0 a 4 b a4b b 2 _4b 192 0
D 16 4 192 748 28 2 4 28 12 b1 2 4 28 16 не задовольняє умову. b2 2 b 12 b 12 a 4 12 a 16 Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін S a b 12 6 192 Площа круга S рR 2 р 10 2 100р Відповідь: Сторони прямокутника a=16см, b=12 см, площа прямокутника S=192см2, площа круга S=100 см2. Задача 17 Діагоналі паралелограма дорівнюють 17см і 29см, а периметр 62см. Знайти сторони паралелограма.
D d1 A
C d2
a
B
b
Дано: ABСD - паралелограм, d1 =17см ; d2 =29см P = 62см. Знайти: a; b.
Розв’язання: Для паралелограма сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів 2 2 діагоналей, тобто 2(a 2 b 2 ) d 1 d 2 2(a 2 b 2 ) 17 2 29 2 З умови задачі відомо 2(a+b)=62 Ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:
88
a 31 b 2(a 2 b 2 ) 1130 a b 31 2 2 2 2 a b 565 (31 b) b 565 2(a b) 62 a 31 b a 31 b 2 2 2 961 62b b b 565 2b 62b 396 0 2b 2 62b 396 0 b 2 31b 198 0 D 312 4 198 169 13 2 31 13 18 b1 9 2 2 31 13 44 b2 22 2 2 b1 9 b2 22 a1 31 9 22 a2 31 22 9 Відповідь: сторони паралелограма 22см і 9см. Задача 18. Висота і діагональ рівнобічної трапеції відповідно дорівнюють 24см і 40см. Обчислити площу трапеції і площу кола, описаного навколо трапеції, якщо діагональ її перпендикулярна до бічної сторони.
A
Знайти: SABCD, Sкруга.
C
D
Дано: ABCD—трапеція, AD=BC, CK=24cм, CKAB, AC=40см, АСВС.
E
.
O
K
B
Розв’язання: Хорди АС і СВ утворюють прямий вписаний кут, отже він опирається на діаметр. АВ нижня основа трапеції є діаметр описаного кола. З прямокутного ΔAСК за теоремою Піфагора знайдемо АК2=АС2-СК2 АК2=402-242=1600-576=1024 АК 1024 =32. Висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між відрізками, на які вона поділяє гіпотенузу. СК КВ СК 2 24 2 2 СК АК * КВ КВ 18 . 32 АК АК СК Знаючи АК=32, КВ=18 одержуємо АВ=АК+КВ=32+18=50. Діаметр кола 2R=50, R=25. Площа описаного круга S=2R=252=625.
89
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту аb S тр * h , щоб її обчислити знайдемо верхню основу. З малюнка видно, 2 що АВ=АЕ+ЕК+КВ, але АЕ=КВ=18, ЕК=DC, тому АВ=2КВ+DC, звідки DC=АВ-2КВ=50-2•18=14. DC AB 14 50 S тр *CK * 24 64 * 12 768 2 2 Відповідь: площа трапеції S=768см2, площа круга S=625см2. Задача 19 Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути при вершинах, Протилежних основам. Основа першого трикутника 12см, а медіана, проведена до неї—8см. Знайти бічну сторону і площу другого трикутника, якщо його периметр 128см.
С
Дано: ΔАВС, ΔА1В1С1, С=С1, АВ=12см, СК—медіана, СК=8см, РΔА1В1С1=128см.
С1
Знайти: S ΔА1В1С1, А1 С1.
A
К
В A1
К1
В1
Розв’язання: Якщо трикутники рівнобедрені, то їх медіани СК і С1К1 є одночасно і висотою, за властивістю медіани, проведеної до основи. 1 Розглянемо ΔАСК: К=90, АК= АВ за визначенням медіани, СК=8 за 2 умовою. Отже, за теоремою Піфагора АС СК 2 АК 2 8 2 6 2 100 10 . Для трикутника ΔАСК і ΔА1С1К1 із рівності С=С1 випливає А=А1=В=В1 за рівністю кутів при основі рівнобедреного трикутника. Ці трикутники подібні за рівністю їх відповідних кутів, а тому їх сторони пропорційні. АС А1С1 . АВ А1 В1 10 х Нехай А1С1=х, А1В1=у, тоді і за умовою периметр 12 у РΔА1В1С1=2х+у=128. Ми одержали систему двох рівнянь з двома невідомими.
90
10 х 12 у 2х+у=128 640=16х у=128-2х
5(128-2х)=6х
5 х 6 128 2 х у=128-2х
у=128-2х
х=40 у=48
А1С1=40, А1В1=48. С1К1= А1С1 А1 К1 40 2 24 2 =32 1 1 Площа S ΔА1В1С1: S= А1 В1 * С1 К 1 * 48 * 32 768 . 2 2 Примітка: задачу можна було розв’язати і наступними методами: а) Сторони ΔА1В1С1 можна було знайти з пропорційності сторін і периметра. РΔАВС=Р=АВ+ВС+СА=12+10+10=32. Р=32 РΔА1В1С1=Р1=128 за умовою. Р=128 АС * Р1 10 * 128 АВ Р АС , звідки АВ =40. Отже А1 В1 Р1 А1С1 32 Р АВ Р АВ Р 12 128 48 А1 В Р Р Р 2
2
АС А1 В1 12 48 АВ АС ; 40 А1С1 А1С1 АВ 12 Сторони А1С1=40см, А1В1=48см. Р 128 4 , отже усі лінійні елементи б) Коефіцієнт пропорційності к 1 Р 32 ΔА1В1С1 більші за лінійні елементи ΔАВС в 4 рази. А1С1=4АС=4•10=40, С1К1=4СК=4•8=32, А1В1=4•12=48 Найзручнішим є третій. Задача 20. Кути трикутника 28, 72, 80. Знайти градусну міру дуг, на які точки А, В, С поділили коло.
С
Дано:
В А
А=28, В=72, С=80.
кути вписані в коло
Знайти: ВС, АС, АВ. 91
Розв’язання: Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він опирається, отже: ВС=2•А=2•28=56 АС=2•В=2•72=144 АВ=2•С=2•80=160 Відповідь: 56, 144, 160. Задача 21 Дуга, що знаходиться між сторонами кута, утвореного дотичною і хордою, що виходить з точки дотику, дорівнює 120. Знайти кут між дотичною і хордою. С А Дано: коло з центром О, АС—дотична, АВ—хорда, АВ=120.
О
В
Знайти:ВАС.
Розв’язання: АОВ—центральний кут і він вимірюється дугою, на який опирається. АОВ=АВ=120. ΔАОВ—рівнобедрений, тому що АО=ОВ, як радіуси кола. ОАВ=ОВА за властивістю рівнобедреного трикутника. 1 1 ОВА= (180 120) 60 =30. 2 2 Шуканий ВАС=ОАС-ОАВ=90-30=60 Відповідь: 60 Примітка: Можна було використати властивість: кут, утворений дотичною і хордою, проведеного з точки дотику, дорівнює половині дуги, що стягує хорда 1 ВАС= АВ=60. 2 Задача 23 Відстань від точки кола до кінців діаметра 30см і 40см. Знайти діаметр кола і площу утвореного трикутника. С Дано: коло з центром О, АВ—діаметр, АС=40см, ОС=30см. АС=8см—січна. В А . Знайти: АВ О 92
Розв’язання: Вписаний кут С опирається на діаметр, отже він прямий. АСВ=90, АС і ВС катети, АВ—гіпотенуза. За теоремою Піфагора АВ АС 2 ВС 2 40 2 30 2 2500 50 . Площа ΔАВС дорівнює пів добутку катетів. 1 1 S AC * CB 40 * 30 600 . 2 2 Відповідь: діаметр АВ=40см, площа трикутника S=600см2. Задача 23 Дотична і січна, що проведені з однієї точки А поза колом до нього відповідно дорівнюють 4 і 8см. Відстань від центра кола до січної— 12см. Знайти відстань від центра кола до точки А. Дано: О—центр кола, АВ=4см—дотична, А ODАС, ОD=12см. Знайти: ОА Розв’язання: В За властивістю дотичної записуємо АВ2=АК•АС, К АВ 2 4 * 4 звідки АК= 2 , АК=2 тоді АС 2 D О СК=АС-АК=8-2=6. ΔКОС рівнобедрений ОК=ОС—радіуси кола, 1 1 DK = СК , DK = •6=3. отже С 2 2 ΔОКС: ODK=90 за побудовою, OD=12, KD=3, 2 2 2 2 тоді OK R OD DK =153, отже ОВ2=153. Радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної. ОВАВ, ΔАОВ—прямокутний В=90. За теоремою Піфагора ОА АВ 2 ОВ 2 16 153 169 13 . Відповідь: ОА=13см. Другий випадок: Січна і дотична розташовані по один бік від центра. АВ 2 4 2 2 АК 2 АВ =АС•АК А АС 8 КС= АС-АК=8-2=6 К 1 DK = КС. ΔКОС рівнобедрений і ОD є висота та В 2 медіана. D 1 DK= •6=3, отже AD=AK+DK=2+3=5. О 2 С ΔАDK—прямокутний D=90. ОD=12, АD=5, отже ОА АD 2 ОD 2 5 2 12 2 169 13 .
.
.
Відповідь: ОА=13см. 93
Задача 24 Коло задане рівнянням: х2+у2=4х+4у-8=0. Знайти центр кола, радіус кола довжину хорди, яка знаходиться між точками перетину кола з віссю оу. Розв’язання: Зведемо дане рівняння до рівняння кола із заданим центром О1(a0;b0): (х-х0)2+(у-у0)2=R2 Виділимо повні квадрати відносно х та у: х2+4х+у2+4у=8 (х-2•2х+4)-4+(у2+2•2у+4)-4=8 (х-2)2+(у+2)2=16. Центр кола О1(2;-2), радіус R= 16 4 . Щоб знайти довжину хорди, необхідно знати координати точки перетину кола з віссю ОY. Для точок вісі ОY абсциса дорівнює нулю, отже (0-2)2+(y+2)2=16 у 2 2 3 4+(у+2)2=16 (у+2)2 = 12 у+2= 12 у 2 2 3 у 1,4 точки перетину з ОY А(0;1,4), В(0;-5,4). 1 у 5 , 4 2 Знайдемо відстань АВ. Для цього використаємо формулу відстані між точками AB (x B x A )2 (y B y A )2
AB 0 ( 5,4 1,4)2 6,8 2 6,8 Відповідь: Центр кола О1(2;-2), радіус кола R=4, хорда AB=6,8. Задача 25 Дві хорди перетинаються всередині кола. Відрізки однієї хорди 28 і 12см, а один з відрізків другої хорди на 10см менший другого. Знайти довжину другої хорди Дано: коло з центром О; АВ, CD —хорди; C АВCD=K; AK=28см; KB=12см; DK=KC+10 В K А Знайти : СD. Розв’язання: За властивістю хорд: хорди точкою перетину О D діляться на відрізки, добутки яких для даної точки є величина стала. AK KB DK KC 28 12 (KC 10) KC , нехай KC=x, тоді (x 10)x 336 x 2 10x 336 0
D 10 2 4( 336) 100 1344 1444 32 2
94
10 38 48 24 - не задовольняє умову 2 2 10 38 28 x2 14 2 2 KC=14, тоді хорда CD DK KC (14 10) 14 38 Відповідь: CD=38 см. x1
Задача 26 На діаметрі AB вибрана точка K, через яку проведено хорду CD. Знайти AK і KB, якщо CK=8 см, KB=6 см, BС=13 см, CDB=60 C Дано: коло з центром О; АВ —діаметр; АВCD=K; CK=8 см, KB=6 см, BС=13 см, А В CDB=60 K О Знайти : AK;KD.
D Розв’язання: CAB =CDB = 60 -вписані кути, що опираються на одну BC. ΔACB: A = 60 - за попереднім, С = 90 - опирається на діаметр, тоді B = 180-(90+60)=30. Катет, що лежить проти кута в 30 рівний половині гіпотенузи. AB 2 R, AC R , отже BC 2 (2 R 2 ) R 2 3R 2 , 3R 2 132 ,
R2
13 2 13 2 13 13 3 , R . 3 3 3 3
13 3 13 3 26 3 , AB 2 3 3 3 знаходимо відрізки AK та KD, використовуючи 26 3 26 1,7 AK AB KB 6 6 8,7 3 3 AC
За властивістю хорд AK KB CK KD 8,7 6 6,5 8 Відповідь: AK 8,7 см; KD6,5 см. KD
95
3 1,7
KD
AK KB CK
§9. Задачі для самостійного розв’язування
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.
1. Декартові координати. Побудувати чотирикутник ABCD, якщо A(-1;-2), B(2;-5), C(-2;1), D(1;-2). До ведіть. Що чотирикутник ABCD з вершинами в точках A(-1;-2), B(2;-5), C(1;-2), D(-2;1) є паралелограмом. Знайдіть точку перетину діагоналей. Вершинами трикутника ABC є точки A(-3;0), B(3;-1), C(-1;4). Складіть рівняння медіани до сторони AC. Дано три вершини паралелограма ABCD: A(1;3), B(2;0), C(-1;-3). Знайдіть координати четвертої вершини D і точки перетину діагоналей. Вершинами трикутника є точки A(0;4), B(-2;-1), C(4;0). Обчисліть довжину медіани , яку проведено до сторони AC. Дано точки A(0;1), B(1;0), C(1;2), D(2;1). Доведіть рівність векторів AB і CD. Дано чотири точки: A(1;1), B(2;3), C(0;4), D(-1;2). Доведіть. Що чотирикутник ABCD – прямокутник. Дано вершини трикутника A(1;1), B(4;1), C(4;5). Знайдіть косинуси кутів трикутника. Дано вектори а (3;4) і b (x;6). При якому значенні х ці вектори перпендикулярні? Дано вектори а (1;-1) і b (-2;y). При якому значенні y ці вектори ці вектори колінеарні? Дано вектори а (3;-1) та b (-1;1). Знайдіть c=a+b . Дано вектори а (-1;3) та b (2;-1). Знайдіть c=a b . Дано вектори а (-1;2) та b (2;-2). Знайдіть c=2a b . Дано вектори а (2;-2) та b (-2;1). Знайдіть таке число m, щоб вектор a mb був перпендикулярним до вектора а . Написати рівняння кола з центром у точці (-1;2) і радіусом 3. Знайдіть на осі абсцис точку, рівновіддалену від точок (2;3) і (1;-2). Знайдіть точку перетину прямих 2x-y=0 і x+y=3. Знайдіть точку перетину кола x2+y2=1 з прямою y=x-1. Складіть рівняння кола з центром у точці (-1;2), яке проходить через точку (2;-2). Дано вектори а (3;2) і b (0;-1). Знайдіть абсолютну величину вектора: 1) 2a 4b ; 2) 4a 3b ;3) 5a 10b . Абсолютна величина вектора лa дорівнює 5. Знайдіть , якщо: 1) а (6;8); 2) а (3;-4); 3) а (5;12). Дано вектори а (2;-4), b (1;2), c (1;-2), d (-2;-4). Назвіть пари колінеарних векторів. Відомо, що вектори а (1;-1) і b (-2;m) колінеарні. Знайдіть m. 96
3 4 2 2 3 4 24. Серед векторів a( ; ) , b( ; ) , c(0; 1) , d( ; ) знайдіть 5 5 3 3 5 5 одиничні й назвіть, які з них колінеарні. 25. Дано вектори а (1;0) і b (1;1). Знайдіть таке число , щоб вектор a лb був перпендикулярним до вектора а . 26. Одиничні вектори а і b утворюють кут 60°. Доведіть. Що вектор 2b a перпендикулярний до вектора а .
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
2. Трикутник Трикутник, периметр якого 24 см, ділиться висотою на два трикутники, периметри яких 14 см і 18 см. Знайти цю висоту трикутника. Довести, що зовнішні кути при основі рівнобедреного трикутника рівні між собою. Чи можна побудувати трикутник із сторонами 1 см, 2, 3? Побудувати рівнобедрений трикутник, якщо дано: а)основа і кут при основі; б)основа і кут при вершині; в)основа і висота. Кут при вершині рівнобедреного трикутника на 56° більший від кута при основі. Знайти кути трикутника. Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 96°. Знайти інші кути трикутника. Скільки розв’язків має задача? Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 50°. Знайти інші кути трикутника. Розглянути два випадки. Зовнішній кут рівнобедреного трикутника при основі дорівнює 120°. Знайти кути трикутника. У рівносторонньому трикутнику ABC проведена медіана AD.Знайти кути трикутника ADC. Висота рівностороннього трикутника дорівнює 3см. Знайти сторону трикутника. Бісектриса рівностороннього трикутника дорівнює 3 см. Знайти сторону трикутника. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см. Знайти сторони трикутника, якщо бічна сторона відноситься до основи як 2:1. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 34 см. Знайти основу трикутника, якщо вона менша від бічної сторони на 3,5см. Медіана правильного трикутника дорівнює 10 3 см. Знайти проекцію однієї медіани трикутника на другу. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 25 см. Обчислити периметр трикутника, якщо проекція основи на бічну сторону дорівнює 18 см.
97
16. У рівнобедреному трикутнику кут. Який утворює бісектриса кута при основі із висотою, проведеною до основи, дорівнює 70°. Знайти кути трикутника. 17. З точки, що серединою рівнобедреного трикутника, опущено перпендикуляр на бічну сторону. Обчислити периметр трикутника, якщо довжини перпендикуляра і проекції половини основи на бічну сторону відповідно дорівнюють 12 см і 5 см. 18. Різниця між основою і бічною стороною рівнобедреного трикутника дорівнює 6 см. Бісектриса кута при основі ділить висоту, проведену до основи на відрізки у відношенні 5:2. Обчислити периметр трикутника. 19. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 26 см, а висота, опущена, на основу, – 10 см. Визначити радіуси кіл, вписаного у трикутник та описаного навколо нього. 20. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 90 см. Бісектриса кута при основі ділить медіану, проведену до основи на відрізки у відношенні 5:4. Знайти сторони трикутника. 21. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 16 см. Знайти гіпотенузу. 22. Гіпотенуза прямокутного трикутника відноситься до катета як 5:3. Обчислити периметр трикутника, якщо другий катет дорівнює 2 см. 23. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 40 см. Знайти довжину катета, що лежить проти кута 30°. 24. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см. Знайти другий катет, якщо один з гострих кутів трикутника дорівнює 45°. 25. периметр прямокутного трикутника дорівнює 60 см. Знайти сторони трикутника, якщо вони відносяться як 3:4:5. 26. Знайти гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відрізок, який сполучає середини катетів, дорівнює 18 см. 27. З вершини прямого кута прямокутного трикутника проведена висота. Яка ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і 9 см. Знайти висоту і катети. 28. Катет прямокутного трикутника дорівнює 5 см, а медіана проведена до другого катета, – 61 см. Обчислити периметр трикутника. 29. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 24 см. Знайти медіану, проведену до гіпотенузи і периметр трикутника. 30. У прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені з вершини прямого кута, відповідно дорівнюють 40 см і 41 см. Знайти довжину бісектриси, проведеної з цієї вершини. 31. Кути трикутника пропорційні числам1:2:3. Знайти кути трикутника. 32. У трикутнику другий кут менший від першого на 15° і більший від третього на 30°. Знайти кути трикутника. 33. Одна сторона трикутника у 3 рази менша від другої і третьої. Знайти сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 210 см. 34. Периметр даного трикутника дорівнює 54,6 см. Обчислити периметр трикутника, утвореного середніми лініями трикутника. 98
35. Сторони трикутника, які утворюють кут 60°, дорівнюють 25 см і 40 см. Обчислити периметр трикутника. 36. Сторони трикутника дорівнюють 20 см, 10 см і 60 см.Знайти відрізки, на які бісектриса найбільшого кута ділить протилежну сторону. 37. Сума довжин двох сторін трикутника дорівнює 28 см. З вершини кута, утвореного цими сторонами, проведено висоту, яка ділить третю сторону на відрізки 9 см і 5 см. Знайти периметр трикутника. 38. До сторони трикутника, довжиною 40 см проведено висоту довжиною 12 см і медіану довжиною 3 41 см. Обчислити периметр трикутника. 39. Дві сторони трикутника і висота, проведена до третьої сторони, відповідно дорівнюють 13 см, 15 см і 12 см. Знайти медіану трикутника, проведену до третьої сторони. 40. У трикутнику одна сторона дорівнює 24 см, медіана, проведена до неї, – 14 см, а різниця двох інших сторін дорівнює 8 см. Обчислити периметр трикутника. 41. Бісектриса, проведена до бічної сторони рівнобедреного трикутника ділить її на відрізки 25 см і 30 см, починаючи від вершини, яка протилежна основі. Обчисліть периметр трикутника. 42. Різниця між основою і бічною стороною рівнобедреного трикутника дорівнює 3 см, а відстань від точки перетину медіан до вершини, яка протилежна основі, дорівнює 8 см. Обчисліть периметр трикутника. 43. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить медіану, проведену до основи, на відрізки 10 см і 6 см. Обчисліть периметр трикутника. 44. Точка медіани, проведеної до основи рівнобедреного трикутника, однаково віддалена від бічної сторони та основи і ділить цю медіану на відрізки 9 см і 15 см, починаючи від основи. Обчисліть довжини відрізків, на які ділить бічну сторону перпендикуляр, опущений з цієї точки. 45. Сума катетів прямокутного трикутника дорівнює 35 см, а сума гіпотенузи і висоти, опущеної на неї – 37 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника. 46. Точка, що належить катету прямокутного трикутника, віддалена від кінців гіпотенузи на 25 см. Обчисліть периметр трикутника, якщо гіпотенуза дорівнює 40 см. 47. Відрізок, що сполучає середини катетів прямокутного трикутника, дорівнює 25 см, а різниця катетів – 10 см. Обчисліть периметр трикутника. 48. Різниця між медіаною і висотою, проведених до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 1 см, а відстань між серединою гіпотенузи і основою цієї висоти дорівнює 7 см. Обчисліть периметр трикутника. 49. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 45 см і 60 см. Обчисліть відстань між точками перетину його бісектрис і медіан. 99
50. Кути трикутника відносяться, як 5:6:7. Обчисліть кути, на які ділить кут висота, опущена на найбільшу сторону трикутника. 51. Сторони трикутника дорівнюють 7 см і 8 см, а кут, протилежний до меншої із цих сторін, дорівнює 60°. Обчисліть периметр трикутника. 52. різниця між двома сторонами трикутника дорівнює 5 см, а кут між ними – 60°. Обчисліть периметр трикутника, якщо третя сторона дорівнює 7 см. 53. Сторони трикутника дорівнюють 25 см і 40 см. Висота, проведена до третьої сторони, ділить її на відрізки, різниця між якими дорівнює 25 см. Обчисліть довжину відрізків, на які ділить третю сторону бісектриса, та периметр трикутника. 54. Висота трикутника, опущена на сторону, ділить її на відрізки 7 см і 32 см, а бісектриса ділить цю сторону на відрізки у відношенні 5:8. Обчисліть периметр трикутника та дану висоту трикутника. 55. Бісектриса трикутника, опущена на сторону, ділить її на відрізки 15 см і 24 см, а висота проведена до неї, ділить її на відрізки, різниця між якими 25 см. Обчисліть периметр і цю висоту трикутника. 56. У рівнобедреному трикутнику кут між бічною стороною і основою дорівнює 30°, а бічна сторона – 12 см. Знайти основу трикутника, якщо його площа дорівнює 60 см2. 57. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 15 см, катет – 12 см. Знайти площу трикутника. 58. Знати площу рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює 16 см, а бічна сторона – 10 см. 59. Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 112 см і 20 см. Знайти площу трикутника. 60. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 8 2 см, а медіана, проведена до неї, – 5 2 см. Знати площу трикутника. 61. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайти площу трикутника, вершини якого – середина медіани до гіпотенузи та кінці більшого катета. 62. Катети прямокутного трикутника відносяться як 3:2, а висота поділяє гіпотенузу на відрізки, з яких один на 2 дм більший від другого. Обчислити площу трикутника. 63. Знати сторони трикутника, якщо вони пропорційні числам: 9; 10 і 17, а площа дорівнює 144 см2. 64. Сторона правильного трикутника дорівнює 6 3 см. Знайти радіус кола, описаного навколо трикутника. 65. Радіус кола, вписаного в правильний трикутник, дорівнює 2 3 см. Знайти сторону трикутника. 3. Многокутники: паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція. 66. Висота паралелограма, довжина якої 24 см, опущена на бічну сторону і ділить її на відрізки 7 см і 32 см, починаючи від вершини гострого кута. Обчисліть периметр, меншу діагональ паралелограма і площу. 100
67. У рівнобічній трапеції діагональ ділить гострий кут пополам і перпендикулярна до бічної сторони. Обчисліть кути цієї трапеції. 68. Діагоналі рівнобічної трапеції з основами 7 см і 13 см взаємно перпендикулярні. Знайдіть висоту трапеції. 69. Діагональ, бічна сторона і середня лінія рівнобічної трапеції відносяться, як 20:13:16. Обчисліть периметр і площу трапеції, якщо її висота дорівнює 24 см. 70. Бічні сторони і більша діагональ прямокутної трапеції відповідно дорівнюють 12 см, 15 см і 20 см. Знайдіть основи трапеції. 71. Діагональ прямокутної трапеції ділить гострий кут пополам, а висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки 9 см і 15 см. Обчисліть периметр трапеції. 72. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 6 см і 15 см, а діагональ є бісектрисою тупого кута. Обчисліть периметр трапеції. 73. Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює 4 2 см. Знайти відношення сторони квадрата до радіуса. 74. Сторона квадрата дорівнює 16 см. Знати радіус кола, вписаного в цей квадрат. 75. Радіус кола, вписаного в квадрат, дорівнює 5 см. Знайти діагональ квадрата. 76. Один з кутів паралелограма дорівнює 70°. Знайти інші кути паралелограма. 77. Сторони паралелограма відносяться як 3:5. Обчислити периметр паралелограма, якщо менша сторона дорівнює 9 см. 78. периметр паралелограма дорівнює 70 см. Одна сторона більша від другої на 5 см. Знайти сторони паралелограма. 79. Менша сторона прямокутника дорівнює 12 см. Знайти діагональ і площу прямокутника, якщо кут, який вона утворює з більшою основою, дорівнює 30°. 80. Діагоналі ромба дорівнюють 10 см і 24 см. Обчислити периметр і площу ромба. 81. Один з кутів ромба дорівнює 60°, а менша діагональ – 8 см. Обчислити периметр ромба. 82. Діагональ квадрата дорівнює 16 см. Обчислити периметр чотирикутника, утвореного від сполучення середин сторін квадрата. 83. Сторони паралелограма дорівнюють 7,5 см і 10 см. Знайти відрізки більшої сторони паралелограма, на які ділить її бісектриса гострого кута. 84. У паралелограмі з вершини гострого кута проведені дві висоти, які утворюють кут 150°. Знайти кути паралелограма. 85. Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см., а різниця діагоналей – 6 см. Знайти діагоналі паралелограма. 86. Сторони прямокутника відносяться як 3:4. Обчислити периметр прямокутника, якщо довжина кола, описаного навколо прямокутника, дорівнює 30 см. 101
87. У прямокутнику перпендикуляр, проведений з вершини кута до діагоналі, яка дорівнює 25 см, ділить її на відрізки, різниця між якими – 7 см. Обчислити периметр прямокутника. 88. Сума діагоналей ромба дорівнює 42 см. Знайти діагоналі ромба, якщо його сторона дорівнює 15 см. 89. Периметр ромба дорівнює 24 см, а один з його кутів дорівнює 120°. Знайти діагоналі ромба. 90. Периметр квадрата дорівнює 32 2 см. Знайти діагональ квадрата. 91. Сторони паралелограма дорівнюють 23 см і 11 см, а діагоналі відносяться як 2:3. Знайти діагоналі. 92. Одна із сторін паралелограма дорівнює діагоналі. Друга сторона і друга діагональ дорівнюють відповідно 10 см і 27 см. Обчислити периметр паралелограма. 93. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 60 см, а висоти паралелограма відносяться як 2:3. 94. Діагональ квадрата із стороною 8 см є стороною другого квадрата. Знайти діагональ другого квадрата. 95. Одна із сторін паралелограма дорівнює 51 см, а діагоналі – 40 см і 74 см. Знайти висоту, проведену до даної сторони. 96. Периметр правильного шестикутника дорівнює 42 см. Знайти радіус кола, описаного навколо шестикутника. 97. У правильному шестикутнику радіус описаного коло дорівнює 8 см. Знайти радіус кола, вписаного в цей шестикутник. 98. Знати суму внутрішніх кутів правильного шестикутника. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106.
4. Коло та його елементи Центральний кут опирається на хорду, яка стягує дугу в 120°. Знайти кути трикутника, утвореного сторонами центрального кута і хордою. Три точки кола А, В і С ділять його на дуги, градусна міра яких дорівнює 60°, 140°, 160°.Знайти кути трикутника АВС. Кут АВС, утворений дотичною до кола АВ та хордою ВС, дорівнює 54°30. Знайти градусну міру дуги, що знаходиться між його сторонами. Відстань від точки, взятої на колі до кінців діаметра дорівнює 10 см і 24 см. Знайти радіус кола. З точки кола проведено дві хорди, що утворюють кут 45°. Знайти радіус кола, якщо відрізок, що сполучає кінці хорд, дорівнює 3 2 см. З точки до кола проведено дві дотичні, які утворюють кут 120°. Знайти довжину дотичної, якщо відстань від точки до центра кола дорівнює 18 см. З точки кола проведено діаметр і хорду. Знайти проекцію хорди на діаметр, якщо радіус кола дорівнює 9 см, а довжина хорди – 12 см. Коло поділене у відношенні 7:11:6. Точки поділу сполучені між собою. Знайти кути отриманого трикутника. 102
107. Радіус кола дорівнює 7 см. З точки, віддаленої від центра на 9 см, проведена січна, яка колом ділиться навпіл. Знайти січну. 108. На дотичній до кола від точки дотику по обидві сторони відмічено дві точки, відстань між якими – 32 см. Знати радіус кола, якщо ці точки віддалені від центра на 20 см. 109. Дотична і січна, що проведені з однієї точки поза колом до нього, відповідно дорівнюють 5 см і 10 см. Відстань від центра кола до січної – 2 см. Знайти радіус кола. 110. Два кола, радіуси яких – 8 см і 2 см, дотикаються зовні. Знайти довжину їх спільної дотичної. 111. З точки до кола проведено дві дотичні, які утворюють між собою кут 60°. Радіус кола дорівнює 4 3 см. Знайти відстань між точками дотику та довжину дотичної. 112. Вершини трикутника АВС лежать на колі, АВ:ВС=2:3. Точка F ділить дугу АС навпіл. BF перетинає АС у точці D. Через точку D проведена хорда MN так, що MD=4 см, DN=6 см. Знайти AC. 113. Коло задане рівнянням: x2+y2-6x+2y-6=0 Знайти центр кола, радіус кола та довжину хорди, яка знаходиться між точками перетину кола з віссю OY. 114. Довжина перпендикуляра з точки кола на радіус дорівнює 22,5 см і ділить його у відношенні 3:2 (починаючи з центра). Знайти довжину радіуса. 115. Два кола перетинаються у двох точках. На продовженні їх спільної хорди взято точку. З цієї точки до кіл проведені дотичні. Довести, що відрізки дотичних від їх спільної точки до точок дотику відповідно рівні. 116. На діаметрі CD вибрана точка M. Крез цю точку проведена хорда АВ. Знайти CM і MD, якщо АМ=4 см, ВМ=3 см, AD=6,5 см, АВС=60°. 117. Дві хорди перетинаються всередині круга. Відрізки однієї хорди дорівнюють 14 см і 24 см, а один з відрізків другої хорди на 16 см більший ніж другий. Знайти довжину другої хорди. 118. З точки кола проведені дві взаємно перпендикулярні хорди довжиною 15 см і 20 см. Обчисліть відстань від цієї точки до прямої , яка проходить через кінці цих хорд. 119. З токи кола проведено дві рівні хорди довжиною 12 2 см кожна. Одна з хорд стягує дугу, що дорівнює 90°.Обчисліть радіус кола. 120. З точки кола проведено хорди довжиною 5 см і 8 см. Кінці цих хорд сполучено відрізком, що стягує дугу 120°. Обчисліть довжину цього відрізка, якщо він і точка лежать по різні боки від центра кола. 121. Різниця внутрішньої і зовнішньої частини січної, проведеної з точки поза колом, дорівнює 2 см, а відстань від точки до кола – 4 см. Обчисліть довжину січної, якщо діаметр кола дорівнює 32 см.
103
122. Відстані від точки кола до кінців хорди, яку видно під кутом 90°, дорівнюють 15 см і 20 см. Обчисліть відстань від цієї точки до хорди. 123. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см, а радіус кола, описаного навколо нього, – 25 см. Обчисліть периметр трикутника. 124. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 24 см. Обчисліть радіус описаного кола. 125. Радіус описаного кола навколо прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а катет – 16 см. Обчисліть радіус вписаного кола. 126. Точка дотику вписаного у прямокутний трикутник кола ділить гіпотенузу на відрізки 8 см і 12 см. Обчисліть радіус вписаного кола. 127. Діагоналі ромба дорівнюють 40 см і 30 см. Обчисліть радіус вписаного кола. 128. Точка дотику вписаного у ромб кола ділить сторону на відрізки 16 см і 9 см. Обчисліть радіус вписаного кола. 129. Висота і бічна сторона рівнобічної трапеції відповідно дорівнюють 24 см і 30 см. Обчисліть радіус описаного навколо трапеції кола, якщо діагональ її перпендикулярна до бічної сторони. 130. Основи прямокутної трапеції кола дорівнюють 21 см і 28 см. Обчисліть радіус вписаного у неї кола. 131. Сторони трикутника дорівнюють 5 см, 6 см і 7 см. Знайдіть сторони подібного трикутника, периметр якого дорівнює 72 см. 132. Сторони трикутника відносяться, як 5:4:2. Знайдіть сторони подібного трикутника, сума найбільшої і найменшої сторін якого дорівнює 21 см. 133. Два рівнобедрені трикутники мають рівні кути при вершинах, які протилежні основам. Бічна сторона першого трикутника дорівнює 5 см, основа – 6 см. Знайдіть висоту проведену до основи другого трикутника, якщо його периметр 80 см. 134. кути між бічними сторонами двох рівнобедрених трикутників рівні. Бічна сторона і основа одного трикутника відповідно дорівнюють 13 см і 10 см. Знайдіть бічну сторону і основу другого трикутника, якщо його висота, яка проведена до основи, дорівнює 36 см. 135. Катети одного прямокутного трикутника дорівнюють 15 см і 20 см, а гіпотенуза і висота, проведена до неї, другого прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 75 см і 36 см. Чи подібні трикутники? 136. Основа і медіана, проведена до неї, одного рівнобедреного трикутника, відносяться, як 3:2, а бічна сторона і висота, проведена до основи, другого рівнобедреного трикутника дорівнюють 35 см і 28 см. Чи подібні трикутники? 137. Сторона одного прямокутника дорівнює половині діагоналі, а в другого прямокутника діагональ ділить кут на два кути, один з яких дорівнює половині другого. Чи подібні ці прямокутники?
104
§10. Основні формули планіметрії. Співвідношення між елементами геометричних фігур.
(Узагальнення) Трикутник
Теорема косинусів α+β+γ=180°. Теорема синусів Квадрат сторони ∆=сумі Відношення сторін до квадратів двох інших сторін синусів протилеглих без подвоєного добутку цих a b кутів є величина стала, сторін на косинус кута між що рівна діаметру, ними β описаного кола. a2=b2+c2-2bc•cosα α B c b2=a2+c2-2ac•cosβ a b c 2R c2=a2+b2-2ab•cosγ sinб sinв sinг Площа трикутника. S p r , 1 1 1 r – радіус вписаного кола a ha b hb c hc a bc 2 2 2 S , 1 1 1 4 R a b sin b c sin a c sin 2 2 2 R – радіус описаного кола abc p( p a )( p b )( p c ) , p 2 Центр вписаного кола лежить на перетині C бісектрис. Сторони трикутника дотичні до кола і r перпендикулярні до радіуса, проведеного в r точку дотику. O Цент описаного кола лежить на перетині r серединних перпендикулярів. Якщо сторона трикутника, вписаного в коло, B проходить через центр (С=2R), то ∆ прямокутний. Властивості медіан: Медіана поділяє сторону навпіл. 2 BO 2 ; BO BD ; B 3 OD 1 1 AO 2 CO 2 ; OD BD ; ; K L 3 OL 1 OK 1
Трикутник. C γ
A
S S S
A
.
O A
D
C
105
Властивості бісектрис: C D A
B
Прямокутний трикутник. B a
β c D
C
α
b
A
1. Бісектриса кута ∆ поділяє сторону на відрізки пропорційні прилеглим CD AC сторонам. DB AB 2. Бісектриса поділяє кут навпіл. 3. AD 2 AC AB CD DB 1. α+β=90° 2. Теорема Піфагора: c2=a2+b2, c a 2 b 2 a2=c2-b2, b2=c2-a2 a b 3. sin , sin c c b a b a cos , cos , tg tg b c c a
4. Властивості катетів: BC 2 AB BD AC 2 AB AD Катет є середнє пропорційне між гіпотенузою та його проекцією на гіпотенузу. 5. Властивість висоти, проведеної з вершини прямого кута, hc. Вона є середнім пропорційним між відрізками, на які вона поділяє гіпотенузу CD 2 BD DA . 6. c 2 R – гіпотенуза = діаметру описаного кола. Рівносторонній трикутник. AB=BC=CA=a α=β=γ=60° C R=2r γ a R 3 2r 3 1 a2 3 K N S a 2 sin 60 2 4 O α β OK=OD=ON=r, AO=BО=CO=R=2r A B AN=BK=CD – медіани, висоти, бісектриси. D Рівнобедрений трикутник AC=BC C
A α
D
1. Кути при основі рівні α=β. 2. Висота основи є одночасно бісектриса і CD AB , AD DB , медіана ACD BCD ADC BDC 90
β B
106
Середня лінія трикутника паралельна стороні і дорівнює її половині. Середня лінія – це відрізок, що MN AB C сполучає середини двох сторін 1 MN AB . N M 2 К
A
B
Паралелограм a C D α β b b φ K O β α A B E a Прямокутник a D C φ
b
A
AB=DC=a, AD=BC=b; DAB DCB ; ADC ABC 180 ; d 12 d 22 2( a 2 b 2 ); S aha bhb 1 S=ab·sinα; P=2(a+b); S d 1 d 2 sin 2 Висоти: DK=hb; DE=ha Діагоналі: AC=d1; DB=d2 1 2 d sin 2 α=β=90º ; d1=d2=d Центр описаного кола навколо прямокутника знаходиться на перетині діагоналей. d=2R. S=a·b ; S
B
Ромб D a β A α a
β B
α+β=180º P=4a a α C a
Квадрат a
D a A
d
C a
1 S aha ; S a 2 sin ; S d 1 d 2 2 2 2 2 d1 d 2 ; d1 d 2 4a Діаметр вписаного кола дорівнює висоті ромба h=2r.
a R 2 ; a=2r 1 S=a2; S d 2 2 P=4a; d1=d2=d;
O a
B
107
Трапеція b
D
β c h M α A E
C d N B
a
D
O
C
R α
A
B
E
ab ab ;S h 2 2 α+β=180º P=a+b+c+d MN – середня лінія Якщо навколо кола описаний чотирикутник, то сума протилежних сторін рівна. MN
Коло, круг Довжина кола c 2r ; площа круга S R 2 R Довжина дуги l AB 180 R 2 1 S Площа сектора S ; R AB 2 360 Кут AOB – центральний, вимірюється дугою, на яку
опирається AOB AB , кут CDE – вписаний, 1 вимірюється половиною дуги, на яку опирається CDE CE 2 Вектори і координати на площині. Направлений т=1кг м 2 відрізок називають S=1м V 1 с вектором. A хліб l=1м B – лат. (vector ведучий) Скалярні величини F=14H Позначається характеризуються тільки Векторні величини числовим значенням. a a , b , c … характеризуються A B AB , BC … . числовим значенням і напрямком. Абсолютна величина (модуль) вектора – довжина вектора позначається: a , AB
Одиничний вектор – вектор одичної довжини. a Рівні вектори, якщо вони суміщаються паралельним переносом. Колінеарні вектори, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. a b i 1 ya j 1 a j i та j – орти прямокутної системи координат. xa i a xa i y a j , xa, ya – координати вектора a .
.
.
108
Координати вектора – це проекції вектора на осі. a( x; y ). a x 2 y 2 – модуль вектора.
Якщо вектор задано координатами кінця B(x2;y2) та початку А(x1,y1), то знаходимо координати АВ : від координат кінця відняти координати початку. AB( x2 x1 ; y 2 y1 ) ; AB ( x2 x1 )2 ( y 2 y1 )2 Сума векторів a ab
a
ab b правило паралелограма
Дано b
a
b
ab
c
правило трикутника
a( x4 , y 4 )
a b ( x a xb ; y a y b )
b( xb , yb )
Множення вектора на число
Різниця векторів b
ab
a b
ab
ab
2а
a
a b ( xa xb ; ya yb )
1 а 2
2а
а х а ; y a
Скалярний добуток векторів a b xa xb y a yb
a b a b cos( a b ) x a xb y a y b Кут між векторами cos a b ; cos 2 2 2 2 ab x a y a xb y b Умова колінеарності векторів Умова перпендикулярності векторів a b ab xa xb ya yb 0 1. a b x y 2. a a xb y b Поділ відрізка у даному відношенні: A(x1;y1) x x2 y y 2 AC B yс 1 xc 1 B(x2;y2) CB 1 1 A C(x;y) C Якщо AC CB то 1 x x1 x2
. .
c
yс
y1 y 2 2
точка С ділить АВ пополам.
Віддаль між точками А та В AB ( x B x A )2 ( y B y A )2 . 109
2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Література: О.В. Погорєлов. Геометрія. Підручник 7—9 кл. Освіта Київ. 1998. В.С. Шевчук. Геометрія. Навчальний посібник. 7—9 кл. Тернопіль. 2003. Л.Е. Гундентейн, А.П. Єршова. “Наочний посібник з геометрії”. Харків. 1997р. П.П. Андрєєв, З.З. Шувалов. Геометрія. Москва. 1975р. А.Б. Василевський. “Усні вправи з геометрії”. Мінськ. 1983р. В.С. Абрамчук, Л.А. Тютюн, Н.М. Шунда. Посібник з математики для вступників до вищих навчальних закладів. Вінниця. 2003р. М.І. Сканаві. Збірник задач з математики для вступників до вузів. Київ. Вища школа. 1996р. Л.А. Контратьев, В.С. Соломоник. Сборник вопросов и задач для поступающих в техникумы. Москва. 1983г. О.Д. Дуда, В.Я. Романюк, Л.А. Балінська. Геометрія. Завдання для підготовки до екзамену в 9—их класах. Львів. ВНТЛ. 1999р. М.С. Собко, В.Я. Романюк. Геометрія. Завдання для письмового екзамену в 9—их класах. Львів. ВНТЛ. 1998р. Р.С. Черкасов. Сборник задач и вопросов по геометрии. 1989г.
110
111
112