Lógica Matemática

PARALELO: M12

AUTORES: 1.

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3.

4.

Andrade Clara Chinga Vicky Delgado Isaac Gómez Luisa

5.

6.

7.

8.

Hernández Lizbeth Izquierdo Tatiana Zambrano Dennisse Guillén Wendy

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ÍNDICE UNIDAD 1 LÓGICA MATEMÁTICA PROPOSICIÓN VALOR DE VERDAD VARIABLE PROPOSICIONAL TABLA DE VERDAD OPERADORES LÓGICOS NEGACIÓN Términos Gramaticales Ejemplos CONJUNCIÓN Términos Gramaticales Ejemplos DISYUNCIÓN Términos Gramaticales Ejemplos DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Términos Gramaticales Ejemplos CONDICIONAL Términos Gramaticales Ejemplos VARIABLES DE LA CONDICIONAL Ejemplos CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE CONCLUSIÓN EJERCICIOS DE TRADUCCIÓN BICONDICIONAL EJEMPLOS PARA DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD ESTRUCTURAS CON VARIABLES PROPOSICIONALES FORMAS PROPOSICIONALES TABLA DE VERDAD DE UNA FORMA PROPOSICIONAL CONTINGENCIA CONTRADICCIÓN TAUTOLOGÍA IMPLICACIÓN LÓGICA Ejemplos EQUIVALENCIA LÓGICA Ejemplos BIBLIOGRAFÍA

2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10 10 10 10 11 11 11 11 11 12 13

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PROPOSICIÓN Es una unidad semántica que, solo es verdadera o solo es falsa. ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Vicente Rocafuerte fue presidente del Ecuador.

2 es un número impar 5 es un número primo 4-3=2 X+2=5 NO ES PROPOSICIÓN ¿Cuántos años tienes?

NO ES PROPOSICIÓN ¡Apúrate! ¡Auxilio!

NO ES PROPOSICIÓN

V→1 F→0 V→1 F→0

NO ES PROPOSICIÓN: Orden, preguntas, preferencias personales, exclamaciones.

VALOR DE VERDAD El valor de verdad es una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso. ✓ Cuando es verdadero (1) ✓ Cuando es falso (0)

VARIABLE PROPOSICIONAL Está representada por letras minúsculas como: r, u, p, q, etc. Y sustituyen a la proposición. p: Vicente Rocafuerte q: 2 es un número impar

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TABLA DE VERDAD Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar que podría tomar una proposición.

21=2 a 0 1

22=4 a 0 0 1 1

23=2.2.2=8 b 0 1 0 1

2.2=4

a 0 0 0 0 1 1 1 1

b 0 0 1 1 0 0 1 1

c 0 1 0 1 0 1 0 1

OPERADORES LÓGICOS Se usan para conectar 2 o más proposiciones.

NEGACIÓN () Es la única que puede trabajar con una sola variable (caso especial).

Sea p una variable proposicional, la negación de p, expresada simbólicamente por p es una nueva variable proposicional representada por la siguiente tabla de verdad. p 0 1

p 1 0

Términos Gramaticales: “No”, “Ni” “No es verdad que” “No es cierto que” “Es falso que”

Ejemplos. Si se tiene la variable proposicional: p: Tengo un billete de $5 p: No tengo un billete de $5 p: Es falso que tengo un billete de $5 p: No es verdad que tengo un billete de $5

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CONJUNCIÓN () Sean p y q variables proposicionales, la conjunción entre ellas, expresada simbólicamente por pq es una nueva variable proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad.

p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

Términos Gramaticales: “Y”, “Pero”, “Mas”, “También” “Sin embargo”, “Además” “Tal como”, “No obstante” “Aunque”, “A la vez” “A pesar que”, coma (,) punto seguido (.), punto y coma (;)

pq 0 0 0 1

Ejemplos. Si se tienen las variables proposicionales: p: Obtengo buenas notas q: Gano una beca pq: Obtengo buenas notas y gano una beca. pq: Obtengo buenas notas además gano una beca. pq: Obtengo buenas notas a la vez gano una beca. p: Trabajo mucho q: Recibo un bajo sueldo pq: Trabajo mucho sin embargo recibo un bajo sueldo. pq: Trabajo mucho aunque recibo un bajo sueldo.

DISYUNCIÓN () Sean p y q variables proposicionales, la disyunción entre ellas, expresadas simbólicamente por pq es una nueva variable proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad.

p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

pq 0 1 1 1

Términos Gramaticales: “O”

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Ejemplos. Si se tienen las variables proposicionales: p: Tengo un cuaderno de Lenguaje q: Tengo un cuaderno de Matemáticas pq: Tengo un cuaderno de Lenguaje o un cuaderno de matemáticas.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA () Sean p y q variables proposicionales, la disyunción exclusiva entre ellas, expresadamente simbólicamente por pq, es una nueva variable proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad.

p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

Términos Gramaticales: “O” “O solo” “O solamente” “O…, o…”

pq 0 1 1 0

Ejemplos. Si se tienen las variables proposicionales: p: Estoy en Cuenca q: Estoy en Guayaquil pq: O Estoy en Cuenca, o estoy en Guayaquil. pq: Estoy en Cuenca o estoy en Guayaquil.

CONDICIONAL (→) Sean p y q variables proposicionales, la condicional entre p y q, expresada simbólicamente por p→q, es una nueva variable proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad. p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

p→q 1 1 0 1

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Términos Gramaticales: 1. “Si p, entonces q” 2. “p solo si q” 3. “p solamente si q” 4. “q si p” 5. “Si p, q” 6. “q con la condición de que p” 7. “q cuando p” 8. “q siempre que p” 9. “q cada vez que p” 10. “q ya que p”

11. “q debido a que p” 12. “q dado que p” 13. “q puesto que p” 14. “q porque p” 15. “Si se tiene q si se tiene p” 16. “Solo si q, p” 17. q, pues p” 18. “Cuando p, q” 19. “Los p son q” 20. “p implica que p”

O cualquier expresión que denote causa y efecto.

Ejemplos. p: Obtengo buenas notas q: Gano una beca p→q: Si obtengo buenas notas, entonces gano una beca. p→q: Gano una beca debido a que obtengo buenas notas p→q: Gano una beca dado que obtengo buenas notas. p→q: Gano una beca con la condición que obtenga buenas notas. p→q: Obtengo buenas notas si gano una beca.

VARIABLES DE LA CONDICIONAL p→q (original) ✓ Inversa: ✓ Recíproca: ✓ Contrarrecíproca:

p→q q→p q→p

Ejemplos. p: Obtengo buenas notas q: Gano una beca p→q: p→q: q→p: q→p:

Si Si Si Si

obtengo buenas notas, entonces gano una beca. no obtengo buenas notas, no gano una beca. gano una beca, entonces obtengo buenas notas. no gano una beca, entonces no obtengo buenas notas.

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CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE Si p es suficiente para q, quiere decir que p no puede ocurrir sin que deje de ocurrir q; y se traduce como la condicional p→q Si p es necesaria para q, quiere decir que q no puede ocurrir a menos que p ocurra; y se traduce q→p

CONCLUSIÓN Cuando p→q es verdadera se dice que p es condición suficiente y que q es condición necesaria para p. c.s. p→q1 c.n.

Cuando q→p es verdadera, q es condición suficiente para p y p es condición necesaria para p. c.s. q→p1 c.n.

EJERCICIOS DE TRADUCCIÓN Considere el siguiente enunciado: “No tendré accidentes de tránsito, ya que soy un buen conductor y conozco las leyes de tránsito”, el cual es verdadero. p: Tendré accidentes de tránsito q: Soy un buen conductor r: Conozco las leyes de tránsito No

Original: Inversa: Recíproca: Contrarrecíproca:

p p

ya que ya que

q

y (qr)

r

.

(qr) → p  (qr) → p p → (qr) p →  (qr)

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Identifique una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta.

“Si estudio historia o geografía, entonces estudio matemáticas”. p q r p: Estudio historia q: Estudio geografía r: Estudio matemáticas

Si

p

o

q entonces (pq) → r

r

.

BICONDICIONAL () Sean p y q variables proposicionales, la bicondicional entre ellas, expresada simbólicamente por pq, está representada por la siguiente tabla de verdad.

p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

pq 1 0 0 1

Expresiones gramaticales: “p si y solo si q” “p si y solamente si q” “p implica q y q implica p” “p cuando

EJEMPLOS PARA DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones simples a, b, c, d son respectivamente 0, 0, 1, 1; indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas.

a0 b0 c1 d1

 (ab) → (cd)  (00) → (11)  (0) → (1) 1→ 1 1

8

 (ab) → (cd)  (00) → (11)  (0) → (0) 1→ 0 0

a0 b0 c1 d1

Si la proposición es falsa entonces es verdad que: a) b) c) d)

[(ab)→d]   (dc)

(ba)0 (ed)0 (da)0 (a→b)0

1

1

0

01

1

1 0

0 0

Si la proposición [( p→ q)  r] → [r → q] es falso, entonces es verdad que:

a) b) c) d)

[( p→ q)  r] → [r → q)

p1 q1 r0 p0

0

0

1

1 0

1

0 1 0

p0

q0

r1

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ESTRUCTURAS CON VARIABLES PROPOSICIONALES FORMAS PROPOSICIONALES Se denominas formas proposicionales a las estructuras constituidas por valores proposicionales y por los operadores lógicos que la relacionen.

Estas formas proposicionales se suelen representar con letras mayúsculas A, B, C…

TABLA DE VERDAD DE UNA FORMA PROPOSICIONAL Dada la siguiente forma proposicional determine su valor de verdad.

A: [(pq) → (rp)]  r

p1 p 1 1 1 1 0 0 0 0

p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

q1 r 0 1 0 1 0 1 0 1

pq 0 0 0 0 0 0 1 1

r0 rp 1 1 1 1 0 1 0 1

(pq) → (rp) 1 1 1 1 1 1 0 1

A 0 1 0 1 0 1 0 1

CONTINGENCIA Si se tiene al menos una proposición con un valor de verdad que difiere del resto para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

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CONTRADICCIÓN Si se tiene solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

TAUTOLOGÍA Si se tiene solamente proposiciones verdaderas para todas las tablas de verdad de las variables proposicionales.

IMPLICACIÓN LÓGICA Sean A y B dos formas proposicionales, dice que A implica lógicamente a B, denotado por AB, si y solo sí A→ es una tautología.

Ejemplos: Entonces es una implicación lógica p→ (q→p)

p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

q→p 1 0 1 1

p→ (q→p) 1 1 1 1

Si es Tautología, por lo tal hay Implicación lógica.

EQUIVALENCIA LÓGICA () Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B denotado por AB, si y solo sí AB es una tautología.

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Ejemplos: (pq)  (pq) p 1 1 0 0

p 0 0 1 1

q 0 1 0 1

q 1 0 1 0

(pq) pq 1 1 0 0 0 0 0 0

pq 0 1 1 1

(pq)  (pq) 1 1 1 1

Si es Tautología

Si la forma proposicional f (p, q, r, s) es una tautología, entonces es falso que: a) b) c) d) e)

f f f f f

(1, (0, (1, (1, (0,

1, 1, 1, 1, 0,

0, 0, 1, 1, 0,

0) 1) 1) 0) 1)

 f (0, 0, 1, 1) 1  → f (1, 0, 1, 0) 1   f (0, 0, 0, 0) 1 ✓  f (0, 0, 0, 1) 1   f (1, 1, 1, 1) 1 

Si la forma proposicional f (p, q, r, s) es una contradicción entonces es verdad que: 0 0 0 0 0

 →   

0 0 0 0 0

1✓ 0 1 1 1

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BIBLIOGRAFÍA

Material de Apoyo https://drive.google.com/open?id=1ySHtQ6ErOKCaJFDKkvZVEEXCNXTDAXH4 https://drive.google.com/open?id=0B5Lb-Sw0X1-dbmtOa1FsbUdYNUU

Videos https://youtu.be/pwJK-4Op438 https://youtu.be/Cnz-w72E8Js https://youtu.be/ZYiblnqy7Ck

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