NUMEROS REALES

AUTORES: 1. Andrade Clara

5. Guillén Wendy

2. Chinga Vicky

6. Izquierdo Tatiana

3. Delgado Isaac

7. Zambrano Dennisse

4. Gómez Luisa

8. Hernández Lizbeth

PARALELO: M12

ÍNDICE UNIDAD # 3 NÚMEROS REALES EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2

TÉRMINOS SEMEJANTES

2

OPERACIONES CON FRACCIONES

3

PROPIEDADES DEL EXPONENTE

4

EJERCICIOS

4 5

PRODUCTOS NOTABLES

6

CUADRADO DE UN BINOMIO

6

CUBO DE UN BINOMIO

6

SUMA POR DIFERENCIA

7

CASOS DE FACTORIZACIÓN

7

FACTOR COMÚN

7

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

7

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

8

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

8

TRINOMIO DE LA FORMA 〖 X〗^2+BX+C

9

TRINOMIO DE LA FORMA AX^2+BX+C

10

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES

11

BIBLIOGRAFÍA

12

1

NÚMEROS REALES EXPRESIONES ALGEBRAICAS Esta constituido en números y letras.

Esto se divide en 3: ➢ Monomio: Un sólo término. ➢ Binomio: Dos términos. ➢ Trinomio: Tres términos.

Términos: Son expresiones separadas por + o –

EJERCICIOS ❖ 9 - 6 + 3• (2) - 4• (3-5) 9 - 6 + 6 - 4 (-2) 9-6+6+8 23 - 6 17 R//

6 (-4) - 4 (3+1) - 6 (5-9) 12-24-12-4-30+54 66 - 70 - 4 R//

TÉRMINOS SEMEJANTES 5 x2 y3 z 4

Factor literal

Coeficiente 6x2 + 2x – 5 x2 X2 + 2 x

4x6 - 5x2 + 2x2 -5x3 - 6x6 + 7x3 4x6 - 6x6 - 5x2 + 2x2- 5x3 + 7x3 -2x6 – 3x2 + 2x3 -3 x2 + 2x3 – 2x6

Ordenado

5 (m - 7) + 4m – 3m2 + 6m2 5m -35 + 4m – 3m2 + 6m2 3m2 + 9m - 35

2

OPERACIONES CON FRACCIONES 𝟏 𝟑

𝟓

𝟕

4−10+21

𝟔

𝟒

12

− + =

1+

𝟐 𝟏 𝟑+ 𝟒

=1+

2 13 4

=

=1+

15 12

=

5 4

R//

8 13

3 1 12 + 1 13 + = = 1 4 4 4 2 1 13 4 1 1

+

8 13

= 8 13

=

13+8 13

=

21 13

R//

𝟏 1 1 = = 𝟐 2 8 𝟑 11 + 1 11 + 1 𝟐+𝟒+𝟏 4 2 3 8 + 3 11 + = = 1 4 4 4 2 1 11 4

=

8 11

8 1 8 + 11 19 + = = 11 1 11 11 1 1 19 11

=

11 19

R//

3

PROPIEDADES DEL EXPONENTE 𝟏. 𝑎𝑚 • 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 2.

𝑎𝑚 𝑏𝑛

❖ Todo número elevado al exponente 0 es igual la unidad.

= 𝑎𝑚−𝑛

3. [ 𝑎m]n =𝑎𝑚•𝑛

❖ Todo número elevado al exponente 1 es igual la misma base.

𝟒. (𝑎 • 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 • 𝑏𝑚 𝑎 𝑚

5. (

6.

) = 𝑏

1 𝑎

= 𝑚

𝑎𝑚 𝑚

𝑎−𝑚 1𝑛

EJERCICIO ❖ ❖

𝑎6 •𝑏3 𝑎•𝑏2 𝑎6 •𝑏3 𝑎•𝑏2

❖[

= 𝑎6−1 • 𝑏 3−2 = 𝑎5 • 𝑏 •

𝑎2 𝑏3

= 𝑎6−1−3 • 𝑏 3+2−2 = 𝑎2 • 𝑏 3 R// 2

2 3

• 𝑎 •𝑎

𝑎 5] 3

R//

−6

= 𝑎15• 𝑎3

−6

•𝑎

=𝑎

29 3

R//

15 2 6 45 + 2 − 18 29 + − = = 1 3 1 3 3

❖ 𝑎−2 • 𝑎6 • 𝑎 𝑋+2 •[ 𝑎3]2 𝑎−2 • 𝑎6 • 𝑎 𝑋+2 • 𝑎6 = 𝑎 𝑋+12 R//

𝒖 ❖ 𝒖− =𝑢− 𝟏+ 𝒖𝒗

𝑢 1 𝑣+𝑢 𝑣

= 𝑢−

𝑢•𝑣 𝑣+𝑢

1 𝑢 𝑣+𝑢 + = 1 𝑣 𝑣

𝑢−

𝒖𝒗 𝒗+𝒖

=

(𝒗+𝒖)•𝒖−𝟏•𝒖𝒗 𝒗+𝒖

=

𝒖𝒗+𝑢2 −𝑢𝑣 𝒗+𝒖

4

=

𝑢2 𝒗+𝒖

R//

❖

𝒙 𝒙+𝒚

𝒚

−

𝒙−𝒚

𝑥2 −2𝑥𝑦−𝑦2 2

𝑋 −𝑥𝑦+𝑥𝑦−𝑦

❖

❖

𝟏=

= 2

𝒘

𝒘−𝒖

+𝟏

=w-

𝒘(𝒖+𝒗)−𝒗+𝒘 𝒖+𝒗

❖

(6𝑥4 )

𝑋2 −𝑦2

(6) •(𝑥4 ) = 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2

❖ [

𝑎2 𝑐2 𝑏

𝑎𝑏

=

𝑥𝑦+1

𝑥2 −𝑥𝑦−𝑥𝑦−𝑦2 (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)

𝑥𝑦+𝑥 𝑥𝑦+1

=𝑤−

𝒖+𝒗 −2

=

(6)

−2

=

• (𝑥) 𝑥2 𝑦2

𝑎2𝑐2

−8

𝑏

𝑏

𝑎2

𝑎3

• 3) ÷ ( 3) 𝑐 𝑐

𝑎2𝑐3 1 •

𝑐3

=

𝑐3

=

𝑥𝑦+1

1

𝑥

𝑥

𝒘 𝟏 𝒖+𝒗 𝒗

1

𝑦

1

𝑦+1

1

1

1

= + =

𝑢

1

𝑢+𝑣

𝑣

1

𝑣

= + =

= 1

𝒗𝒘 𝒖+𝒗 1

=

𝑤 1

−

𝑢+𝑣

R// 1

𝑎2 𝑏𝑐 𝑐2

(𝑏 𝑐) • ( 3 )= 𝑎𝑏 R// 𝑎

5

R//

𝑣+𝑤

= 2• 8• 2 2= R// 6 𝑥 𝑥 𝑦 36𝑥10 𝑦2

𝑎3

1

1

𝑢+𝑣

( 2 ) ( 𝑏𝑐 ) = 3 𝑐 𝑐 (

(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)

𝑦

= + =

𝑣+𝑤

𝑎𝑏 𝑎2 ÷ 𝑐3 ] ÷ ( 2 ) ( 𝑏𝑐 ) = 𝑐 𝑎2

𝑥2 −2𝑥𝑦−𝑦2

=

R//

𝒘𝒖+𝒘𝒗−𝒗+𝒘

2

−2

𝑥(𝑦+1)

𝑤 1 𝑢+𝑣 𝑣

=

=

𝑥2 −2𝑥𝑦−𝑦2

=

𝑥𝑦+1 𝑥

𝒙

𝒗

(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)

𝑦+1 1

𝒚+𝟏 𝒚+

𝑥(𝑥−𝑦)−𝑦(𝑥+𝑦)

=

=

PRODUCTOS NOTABLES CUADRADO DE UN BINOMIO REGLA 1. El cuadrado del 1er tĂŠrmino.

2. El duplo del 1er tĂŠrmino por el 2do.

3. El cuadrado del 2do tĂŠrmino.

➢ (5x + 2y)2 (5x)2 + 2 (5x) (2y) +2y2 25x2 + 20xy +4y2

➢ (3x – 4y)2 (3x)2- 2 (3x) (4y) +(4y)2 9x2 – 24xy + 16y2

1 2 1 1 (2 đ?‘Ľ 3 )2 +2(2 đ?‘Ľ 3 )2 (5x)2 + (5đ?‘Ľ 2 )2 1 6 đ?‘Ľ + 5đ?‘Ľ 5 + 25đ?‘Ľ 4 4

➢ ( � 3 + 5x2)2

➢ (4� 3 - 2� 2 )2 (4� 3 )2 - 2(4� 3 ) (2� 2 ) + (2� 2 )2 16� 4 -16� 3 � 2+4� 4

CUBO DE UN BINOMIO REGLA 1.

2.

3.

4.

El cubo del 1er tĂŠrmino.

El triple del 1er tĂŠrmino por el 2do tĂŠrmino.

El triple del 1er tĂŠrmino por el 2do tĂŠrmino.

El cubo del 2do tĂŠrmino.

6

➢ (X + 2Y)3 (X)3 +3 (X)2 (2Y)+ 3(X) (2Y)2 + (2Y)3 X3+6X2Y+ 12XY2 +8Y3

SUMA POR DIFERENCIA ➢ (X+2Y) (5X – 4Y) 5X2-4XY+10XY- 8Y2 5X2+6XY-8Y2

(X+2Y) (X-6Y) 𝑋 2 − 6𝑋𝑌 + 2𝑋𝑌 − 122 𝑋 2 − 4𝑋𝑌 − 12𝑌 2

➢ (X2-5) (X2+5) X4+5X2-5X2-25 X4-25

CASOS DE FACTORIZACIÓN 1. FACTOR COMÚN ➢ 2a+4b+6c= 2 (a+2b+3c) 2/2a= a 2/4b= 2b 2/6c= 3c

➢ 5x+10xy-15𝑥 2 = 5x (1+2y-3x) 5x/5x= 1

2. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS X2 -ax-bx+ab = (x2 -ax) - (bx+ ab) X (x-a) - b (x- b) (x-a) (x-b)

7

SIMPLIFIQUE LA SIGUIENTE EXPRESIÓN 6𝑚3 +3𝑚2 𝑛 6𝑚𝑛+2𝑛 • 21𝑚𝑛3 +7𝑛2 6𝑚2 +24𝑚𝑛

➢

3𝑚(2𝑚−𝑛) 2𝑛(3𝑚−𝑛) • 7𝑛(3𝑚+𝑛) 6𝑚(𝑚−4𝑛) 𝑚(2𝑚−𝑛) 7(𝑚+4𝑛

3. DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS *Tienen que tener raíz cuadrada exacta. ∗ 𝑋2 − 𝑌2

*36𝑋 8 − 121𝑌10

√𝑋 2 √𝑌 2 = 𝑋 2/2 𝑌 2/2

(6𝑋 4 − 11𝑌 5 ) ∗ (6𝑋 4 + 11𝑌 5 )

(X-Y) (X+Y)

EJERCICIO DE REPASO 5𝑋 4 − 80𝑌 4 = 5(𝑋 4 − 16𝑌 4 ) 5(𝑋 2 − 4𝑌 2 )*(𝑋 2 +4𝑌 2 ) 5(X-2Y)*(X+2Y)*(𝑋 2 + 4𝑌 2 ) 3 1+

1 1+1/X

1 1

1

𝑋+1

1𝑋

𝑋

𝑋

1

+ =

=

1

1𝑋

1

𝑋

= +

=

𝑋+𝑋 𝑋

=

3 1 2𝑋

𝑋

=

3𝑋 2𝑋

4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ➢ 𝑿𝟐 + 2𝑋𝑌 + 𝒀𝟐 √𝑋 2 X

2*X*Y

√𝑌 2 Y

(𝑋 + 𝑌)2

8

➢

𝟏 𝟏𝟔 1 4

5

𝑿𝟔 + 𝑋 3 𝑌 4 + 𝟐𝟓𝒀𝟖 2

𝑥3

5𝑦 4 1

2* 𝑥 3 ∗ 5𝑦 4 1

10 4

𝑥 3𝑦4 =

5 2

1

𝑥 3 𝑦 4 = ( 𝑥 3 + 5𝑦 4 )2 4

5. TRINOMIO DE LA FORMA 𝑋 2 + 𝐵𝑋 + 𝐶 𝑋 2 - 7X+ 12= (X-4) (X-3) 12

2

6

2

3

3

1

➢

𝑋 2 − 𝟔𝑋 + 5 (X+2) (X-8) +2-8= -6

➢

t 2 + 𝟑t + 2 (t+1) (t+2) +1+2= +3

9

4*3= 12 −4-3= -7

6. TRINOMIO DE LA FORMA 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (Reemplazamos) 𝟐 18𝒙 − 𝟏𝟑𝒙 − 𝟓 18*18𝑥 2 − 18 ∗ 13𝑥 − 5 ∗ 18 (18𝑥)2 − 13(18𝑥) − 90

a = 18 b = -13 c = -5

(18𝑥−18) ∗ (18𝑥+5) 18

=

18(𝑥−1) ∗ (18𝑥+5) 18

= (x-1) * (18x+5)

➢ 2𝑥 2 − 5𝑥 − 3 2*2𝑥 2 − 2 ∗ 5𝑥 − 3 ∗ 2 (2𝑥)2 − 2(5𝑥) − 6 (2𝑥−3) ∗ (2𝑥+1) 2

➢(

=

2𝑥 2 −5𝑥−3 𝑥 2 −9

2 (𝑥−1)∗(2𝑥+1) 2

𝑥 2 +6𝑥+9

) / [(

(𝑥−3) (2𝑥+1)

( (𝑥+3)

= (𝒙 − 𝟑) (𝟐𝒙 + 𝟏)

(𝑥−3)

1+2𝑥

)/ [

)(

𝑥 2 +4𝑥+3

(𝑥+3) (𝑥+3) (1+2𝑥)

(𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝟑) (𝒙 − 𝟑)

➢ 𝒙𝟑 + 3𝑥 2 𝑦 + 3𝑥𝑦 2 +𝒚𝟑 x

y 3(𝑥)2(y) 3𝑥 2 𝑦

𝑥 2 −9

3(x)(𝑦)2 3x𝑦 2

(𝑥 + 𝑦)3

10

)]

(𝑥+1) (𝑥+3)

∗ (𝑥−3)

(𝑥+3)

]

➢ 𝒙𝟗 − 18𝑥 6 𝑦 5 + 108𝑥 3 𝑦10 − 𝟐𝟏𝟔𝒚𝟏𝟓 𝑥3

= (𝒙𝟑 − 𝟔𝒚𝟓 )𝟑

6𝑦15 3(𝑥 3 )2 (𝑦)

7. SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES ➢ 𝑥 5 − 1 = 𝒙 𝟓 − 𝟏𝟓 X

1

(x-1) * (𝑥 4 10 + 𝑥 3 11 + 𝑥 2 12 + 𝑥 1 13 + 𝑥 0 14 ) Se simplifica (X-1) (𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)

➢ 𝑥3 + 𝑦3 (𝑥 + 𝑦) (𝑥 2 + 𝑦 0 − 𝑥 1 𝑦1 + 𝑥 0 𝑦 2 ) Se simplifica (𝒙 + 𝒚) (𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 ) (𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏)

11

BIBLIOGRAFÍA Material de Apoyo https://www.lifeder.com/productos-notables/ http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraProductosnotables.htm http://www.profesorenlinea.cl/matematica/AlgebraFactorizacion.htm

Videos https://youtu.be/fDAvbIYS87I https://youtu.be/R3UoCe-r6aM https://youtu.be/tABhBMtBmSY

Textos Álgebra de Baldor

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