Roger Strandqvist och Peter Hyltberg Banberäkningsprogram med Runge-Kuttas metod

Roger Strandqvist Peter Hyltberg

Kapten Roger Strandqvist, P 7, t v, och Peter Hyltberg, Artilleriregementet, t h var elever vid Artilleriets taktiska program vid Artilleriets stridsskola 2001/02 (TAP 01/02)

Banberäkningsprogram med Runge-Kuttas metod

Inledning

Bakgrunden till vår TTÖ var att det inte fanns något hjälpmedel i undervisningen som enkelt visar förändringar i projektilbanan med hänsyn till förändringar av inflytelser. Det fanns inte heller något program tillgängligt som kunde beräkna inflytelsefaktorer, exempelvis Cp, vid icke normerade värden. Med detta som bakgrund och med möjligheten att öka vår egen kompetens i numerisk banberäkning erhöll vi följande uppgift:

Utarbeta ett underlag där banberäkning med Runge-Kuttas lösningsmetod y’=f(x,y), visas i ett diagram. Projektilens koordinater och hastighet skall kunna presenteras för aktuella tidsenheter. Vindkomposant i skjutriktningen skall kunna varieras i presentationen.

De avgränsningar som gavs var att • projektiler med banmotor, • projektiler med basflöde, • sidhastighet och • lyftkraft ej behövde avhandlas.

Runge-Kutta lösningsmetod

En stor del av uppgiften bestod i att sätta sig in i Runge-Kuttas lösningsmetod1 för integrering. Runge-Kutta skulle användas eftersom den minskar antalet beräkningssteg och därvid ger adekvata resultat vid iterationen 0,5 sek. För att erhålla ett motsvarande resultat med den enklaste formen av integrering krävs ett tidsintervall på 0,01 sek. Runge-Kuttas lösningsmetod bygger på att man beräknar fyra olika värden för höjden av stapeln i det aktuella intervallet. Därefter beräknas ett viktat medelvärde av dessa, varvid stapelns area stämmer mycket väl överens med arean under kurvan (se figur 1).

1 Runge-Kuttas lösningsmetod för differentialekvationer är en ofta använd metod för banberäkning. Metoden togs fram 1901 av de tyska matematikerna, doktor CDT Runge (1856-1927) och professor MW Kutta (1867-1944).

Fig 1. Vänstra stapeln visar den enklaste formen av numerisk integrering och den högra numerisk integrering med RungeKuttas lösningsmetod – båda med iterationsintervall 0,5 sek.

Rörelseekvationer

De rörelseekvationer vi använt är samma som anges i specifikationen till SKER (figur 2). I dessa har vi avgränsat både den första delen, banmotorns drivkraft, och den andra delen, lyftkraften. Detta bedöms vara en TTÖ-uppgift i sig själv.

Att applicera Runge-Kutta görs genom att integrera accelerationen för att erhålla hastigheten, och sedan integrera hastigheten för att erhålla sträcka i längd, höjd och sida.

Programmet

Runge-Kutta och hastighetsekvationerna används sedan i programmet (figur 3) för att beräkna projektilbanor där man utgår från bäring, elevation och inflytelser. Dessa presenteras i diagramform där man även kan se projektilens läge och hastighet i två dimensioner för varje aktuell tidsenhet. Dessutom beräknar programmet läget i sida, vilket inte är relevant att presentera så länge lyftkraften är avgränsad.

Slutsatser

Programmet är tillräckligt noggrant för ändamålet, felet blir som störst 150 m i förhållande till SKER (FH77, lng 6). Detta är fullt tillräckligt för att användas vid utbildning och för att se hur projektilbanan ändras i förhållande till inflytelser.

En annan slutsats är att vid fortsatt utveckling av programmet krävs det att man integrerar Visual-Basic®-programmering med Excel® för att programmet inte skall bli långsamt på grund av för många kolumner.

Det finns i huvudsak tre utvecklingsmöjligheter av programmet. •Den viktigaste är att beräkna alla inflytelser vid de fyra olika beräkningspunkterna i Runge-Kutta, detta skulle troligtvis minska felet i förhållande till

SKER med minst 75 %. •Den andra utvecklingsmöjligheten är att även beräkna lyftkraften, vilket skulle leda till ett ännu exaktare resultat och även ett presenterbart läge i sida.

Rörelseekvation i längd.

x = F xg - .

Accelerationerna enligt ekvationen ovan beror på: Banmotorns Lyftkraft Luftmotståndskraft Tyngdkraft Coriolis kraft drivkraft (CNα - CD0) · q · S · α g · y - CD · q · S · x - W x - m V r . g0 · x m V r Rj - 2· ωj · cosλ · sinβ · y .

•Den tredje utvecklingsmöjligheten är att lägga till banmotor/basflöde till beräkningsmodellen vilket den i nuläget inte på något sätt är förberedd för.

Avslutning

Det finns nu ett lättanvänt hjälpmedel för att åskådliggöra grundläggande ballistik vid militär teknikutbildning. Med vissa avgränsningar används samma rörelseekvationer som i SKER.

Vi vill passa på att tacka Övlt Hans Åhman för hans outtröttlighet och Professor Anders Lundberg för att han löste problemet med att omvandla rörelseekvationerna till sex differentialekvationer av första ordningen.

Användarfönstret i banberäkningsprogrammet.

1. lärare teknik, kommentar.

På TaP-Art görs beräkningar med enklare ekvationer i två beräkningssteg. Normalt tidsintervall är då 0,5 och 1 sek. Detta brukar ta ca en timme att utföra och svaret är inte alltid rätt. Det är också svårt att få en överblick över projektilbanans utseende, när den är endast ungefär 300 m lång efter en timmes beräkningar med en startpunkt och en slutpunkt.

Det nu framtagna programmet redovisar det mesta som krävs för att man skall få se hur en projektil rör sig i en bana från pjäsmynning till nedslag. Programmet är också vänligt att laborera med. Genom att variera t ex lufttrycket kan man direkt se den förändring banan får.

Eleverna har i rapporten tagit upp en fortsatt hantering av genomförd TTÖ, genom att föreslå programmering i annan miljö. Två av årets TaP-Art-elever har fått uppgiften att programmera ett banberäkningsprogram i C++ (motsv) med tillägg att lyftkraft och sidhastighet skall ingå. Övlt Hans Åhman