Ejercicio de una función no polinomiales

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INTRODUCCIÓN

Se presenta aquí algunos ejercicios realizados en una clase particular para entender los conceptos de Función Valor Absoluto, Función Racional y Función con Radical. Veremos cómo representarlas usando las propiedades. A partir de la definición y de algunas indicaciones, haremos un ejercicio, representando las funciones gráficamente. Todas las imágenes de esta presentación han sido realizadas utilizando el GEOGEBRA. Para más información sobre este programa puede consultarse en https://www.geogebra.org/

UNAH | Centro universitario Regional de Occidente | Departamento de Matemática

FUNCIĂ“N VALOR ABSOLUTO Estudiaremos ahora las funciones cuya caracterĂ­stica es que la variable se encuentra con Valor Absoluto. DefiniciĂłn: Llamaremos funciĂłn Valor Absoluto, a la expresiĂłn de la forma đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž|đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘?| + đ?‘˜, donde đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? es el argumento del valor absoluto y una expresiĂłn algebraica. El dominio de la funciĂłn de đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ž|đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘?| + đ?‘˜, donde đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? es una expresiĂłn algebraica es el conjunto de todos los nĂşmeros reales si đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? es un polinomio. En tĂŠrminos generales el dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ) son todos los reales.

EJERCICIO NÂş 01 Trazar la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 Determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • • •

Dominio de la đ?‘“(đ?‘Ľ): Rango de la đ?‘“(đ?‘Ľ): Cuadrantales: o Intersecto con el eje đ?‘Ľ: o Intersecto con el eje đ?‘Ś:

• • • • • • • •

Corrimiento: o Vertical o Horizontal VĂŠrtice en el punto (â„Ž, đ?‘˜) Tabla NumĂŠrica (Graficar cinco (5) puntos como mĂ­nimo) Eje de simetrĂ­a en đ?‘Ľ = â„Ž Intervalo donde la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) es creciente Intervalo donde la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) es decreciente La funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) abre hacia arriba o hacia abajo Punto mĂĄximo o punto mĂ­nimo en (â„Ž, đ?‘˜)

2 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

DOMINIO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 Para el anĂĄlisis del dominio de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2, debemos recordar la definiciĂłn de valor absoluto tenemos que: đ?‘“(đ?‘Ľ) = |đ?‘Ľ| = {

�� � ≼ 0 �� � < 0

đ?‘’đ?‘™ |đ?‘Ľ| = đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘™ |đ?‘Ľ| = −đ?‘Ľ

Al aplicar la definiciĂłn de valor absoluto, notamos tenemos una funciĂłn con dos reglas de correspondencia. đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ ∈ [0, +∞[ đ?‘“(đ?‘Ľ) = −đ?‘Ľ đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ ∈ [−∞, 0[ Por todo lo anterior el dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): es el conjunto de todos los nĂşmeros reales.

RANGO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 Para el anĂĄlisis del rango esperaremos el comportamiento del grafo.

3 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

que

CUADRANTALES DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 Intercepto con el eje đ?’™: El intercepto con el eje đ?‘Ľ cuando đ?‘Ś = 0 ⊼đ?‘Ľ / đ?‘Ś = 0 đ?‘“(đ?‘Ľ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 đ?‘Ś = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 0 = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 −2 + 0 = −2 + −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 −2 = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 0 1 1 ( ) (−2) = ( ) (−2|3đ?‘Ľ + 4|) −2 −2 −2 −2|3đ?‘Ľ + 4| = −2 −2 1 = |3đ?‘Ľ + 4| Como la igualdad es positivo del valor absoluto tendremos como mĂĄximo dos intercepto con el eje đ?‘Ľ |3đ?‘Ľ + 4| = {

Resolvemos: Caso NÂş 1: đ?‘†đ?‘– 3đ?‘Ľ + 4 ≼ 0 |3đ?‘Ľ + 4| = 1 3đ?‘Ľ + 4 − 4 = 1 − 4 3đ?‘Ľ + 0 = −3 3đ?‘Ľ = −3 1 1 (3đ?‘Ľ) ( ) = (−3) ( ) 3 3 3đ?‘Ľ −3 = 3 3 đ?‘Ľ = −1

đ?‘’đ?‘™ |3đ?‘Ľ + 4| = 3đ?‘Ľ + 4 đ?‘’đ?‘™ |3đ?‘Ľ + 4| = −(3đ?‘Ľ + 4)

�� 3� + 4 ≼ 0 �� 3� + 4 < 0

Caso NÂş 2: đ?‘†đ?‘– 3đ?‘Ľ + 4 < 0 |3đ?‘Ľ + 4| = 1 −(3đ?‘Ľ + 4) = 1 (−1)[−(3đ?‘Ľ + 4)] = (−1)(1) 3đ?‘Ľ + 4 = −1 3đ?‘Ľ + 4 − 4 = −1 − 4 3đ?‘Ľ + 0 = −5 3đ?‘Ľ = −5 1 1 (3đ?‘Ľ) ( ) = (−5) ( ) 3 3 3đ?‘Ľ −5 = 3 3 đ?‘Ľ=−

5 3

Por lo tanto, el intercepto con el eje đ?‘Ľ son: 5 đ??źđ?‘Ľ1 : (− 3 ,0) y đ??źđ?‘Ľ2: (−1 ,0)

4 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

Intercepto con el eje đ?’™: El intercepto con el eje đ?‘Ś cuando đ?‘Ľ = 0 ⊼đ?‘Ś / đ?‘Ľ = 0 đ?‘“(đ?‘Ľ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 đ?‘“(0) = −2|3(0) + 4| + 2 đ?‘“(0) = −2|4| + 2 đ?‘“(0) = −2(4) + 2 đ?‘“(0) = −8 + 2 đ?‘“(0) = −6 đ?’š = −đ?&#x;”

Por lo tanto, el punto de intercepciĂłn con el eje đ?‘Ś es ⊼đ?‘Ś = (0, −6)

VÉRTICE DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 EN EL PUNTO đ?‘‰ = (â„Ž, đ?‘˜) Obteniendo el vĂŠrtice en el punto đ?‘˝ = (đ?’‰, đ?’Œ) de la funciĂłn đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚|đ?’Žđ?’™ + đ?’ƒ| + đ?’Œ Determinar el valor de h: â„Ž =====≍ đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? = 0 đ?‘Ľ=−

đ?‘? đ?‘š

Dada la funciĂłn đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2

Entonces el valor de: đ?’‰ = −

đ?&#x;’ đ?&#x;‘

đ?’Œ=đ?&#x;? đ?&#x;’

Por todo lo anterior el vĂŠrtice de la funciĂłn es đ?‘˝ = ( , đ?&#x;?) đ?&#x;‘

5 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

TABLA NUMERICA DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 Los valores que tomemos son a la preferencia de cada estudiante y determinaremos como mĂ­nimo cinco (5) puntos para observar el comportamiento del grĂĄfico.

Ahora trazaremos los puntos para observar el comportamiento del grĂĄfico y asĂ­ trazar nuestra funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2

6 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

TRAZADO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 Una vez que hemos trazado los puntos vamos a trazar con lĂ­neas continuas el grafo.

RANGO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 Una vez que ya tenemos el grĂĄfico de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ), analizaremos su rango.

7 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

INTERVALO DONDE ES CRECIENTE Y DECRECIENTE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 đ?&#x;’

La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) es creciente en el intervalo ]−∞, − đ?&#x;‘]

đ?&#x;’

La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) es decreciente en el intervalo ]− đ?&#x;‘ , +∞]

8 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 ABRE HACIA ARRIBA O HACIA ABAJO La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) abre hacia abajo debido a que đ?’‚ < đ?&#x;Ž

CORRIMIENTO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 Corrimiento vertical:

Corrimiento đ?&#x;’

horizontal en đ?’‰ = − đ?&#x;‘

La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) se traslada đ?&#x;? Corrimiento

unidades hacia arriba.

vertical en đ?’Œ = đ?&#x;?

Corrimiento horizontal: La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) se corriĂł

đ?&#x;’ đ?&#x;‘

unidades hacia la izquierda.

9 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

EL EJE DE SIMETRIA DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) tiene un eje de simetrĂ­a en đ?’™ = đ?’‰ 4

El eje de simetrĂ­a es đ?‘Ľ = − 3

PUNTO MĂ XIMO O PUNTO MĂ?NIMO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = −2|3đ?‘Ľ + 4| + 2 4

La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) tiene un punto mĂĄximo en đ?‘ƒđ?‘€đ?‘Žđ?‘Ľ = (− 3 , 2), debido a que đ?’‚ < đ?&#x;Ž 4

Punto MĂĄximo = (− 3 , 2)

4

Eje de simetrĂ­a đ?‘Ľ = − 3 10 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

FUNCIĂ“N CON RADICAL Estudiaremos ahora las funciones cuya caracterĂ­stica es que la variable se encuentra como radicando. DefiniciĂłn: đ?‘›

Llamaremos funciĂłn con radical, a la expresiĂłn de la forma đ?‘“(đ?‘Ľ) = √đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? + đ?‘˜, donde đ?‘› es un entero mayor o igual a dos y đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? es el argumento del radical y una expresiĂłn algebraica. El dominio de la funciĂłn de đ?‘“ estĂĄ definido por:

Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): {

đ?‘†đ?‘– đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘™ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ đ?‘ đ?‘œđ?‘› đ?‘Ąđ?‘œđ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘†đ?‘– đ?‘› đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘™ đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘œ đ?‘’đ?‘ {đ?‘Ľ ∈ â„?: đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? ≼ 0 }

EJERCICIO NÂş 01 Trazar la grĂĄfica de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 Determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • • •

Dominio de la đ?‘“(đ?‘Ľ): Rango de la đ?‘“(đ?‘Ľ): Cuadrantales: o Intersecto con el eje đ?‘Ľ: o Intersecto con el eje đ?‘Ś:

• • • • •

Corrimiento: o Vertical o Horizontal Punto de Inicio o punto terminal Tabla NumĂŠrica (Graficar cinco (5) puntos como mĂ­nimo) Intervalo donde la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) es creciente o decreciente Concavidad de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ)

11 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

DOMINIO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 Para el anĂĄlisis del dominio de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2, debemos observa que el Ă­ndice del radical đ?‘› es par y la funciĂłn đ?‘“ estĂĄ restringido por el dominio. Debemos buscar el intervalo donde el radicando es no negativo (mayor que cero), tambiĂŠn debemos recordar el concepto de inecuaciones con radicales para realizar el estudio del argumento 7 − 2đ?‘Ľ ≼ 0 y de esta forma encontraremos resolviendo la inecuaciĂłn: 7 − 2đ?‘Ľ ≼ 0 −đ?&#x;• + 7 −2đ?‘Ľ ≼ −đ?&#x;• + 0 0 −2đ?‘Ľ ≼ −7 −2đ?‘Ľ ≼ −7 1

1

(−2) (−2đ?‘Ľ) ≼ (−2) (−7) −2đ?‘Ľ −2

�≤

−7

≤ −2 7 2

RepresentaciĂłn grĂĄfica del conjunto soluciĂłn de la inecuaciĂłn:

đ?&#x;•

Por lo tanto, el dominio de la funciĂłn đ?’‡(đ?’™) serĂĄ: ]−∞, đ?&#x;?]

RANGO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 Para el anĂĄlisis del rango esperaremos el comportamiento del grafo.

12 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

CUADRANTALES DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“ (đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 Intercepto con el eje đ?’™: El intercepto con el eje đ?‘Ľ cuando đ?‘Ś = 0 ⊼đ?‘Ľ / đ?‘Ś = 0 đ?‘“(đ?‘Ľ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 đ?‘Ś = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 0 = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 −2 + 0 = −2 + √7 − 2đ?‘Ľ + 2 −2 = √7 − 2đ?‘Ľ + 0 −2 = √7 − 2đ?‘Ľ Como la igualdad del radical es negativo; por lo tanto, no existe intercepto con el eje đ?’™ Intercepto con el eje đ?’™: El intercepto con el eje đ?‘Ś cuando đ?‘Ľ = 0 ⊼đ?‘Ś / đ?‘Ľ = 0 đ?‘“(đ?‘Ľ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 đ?‘“(0) = √7 − 2(0) + 2 đ?‘“(0) = √7 + 2 đ?’š = √đ?&#x;• + đ?&#x;? đ?‘Ś ≈ 4.65 valor aproximado Por lo tanto, el punto de intercepciĂłn con el eje đ?’š es ⊼đ?’š = (đ?&#x;Ž, √đ?&#x;• + đ?&#x;?)

13 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

PUNTO INICIAL O PUNTO TERMINAL DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2

đ?&#x;•

Como đ?’Ž < đ?&#x;Ž y observamos el dominio de la funciĂłn đ?’‡(đ?’™) es ]−∞, đ?&#x;?], obteniendo un punto terminal en đ?‘ˇđ?‘ť = (đ?’‰, đ?’Œ) de la funciĂłn đ?’‡(đ?’™) = đ?’‚√đ?’Žđ?’™ + đ?’ƒ + đ?’Œ Determinar el valor de h: â„Ž =====≍ đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? = 0 đ?‘Ľ=−

đ?‘? đ?‘š

Dada la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = √đ?&#x;• − đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;?

Entonces el valor de: đ?’‰ =

đ?&#x;• đ?&#x;?

đ?’Œ=đ?&#x;? đ?&#x;•

Por todo lo anterior el punto terminal es đ?‘ˇđ?‘ť = ( , đ?&#x;?) đ?&#x;?

14 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

CORRIMIENTO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2

Corrimiento vertical: La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) se traslada đ?&#x;? unidades hacia arriba

Corrimiento horizontal: La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) se corriĂł

đ?&#x;• đ?&#x;?

unidades hacia la derecha.

Corrimiento vertical en đ?’Œ = đ?&#x;? Corrimiento

horizontal en đ?’‰ =

15 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

đ?&#x;• đ?&#x;?

TABLA NUMERICA DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 Los valores que tomemos son a la preferencia de cada estudiante y determinaremos como mĂ­nimo cinco (5) puntos para observar el comportamiento del grĂĄfico.

Ahora trazaremos los puntos para observar el comportamiento del grĂĄfico y asĂ­ trazar nuestra funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2

16 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

TRAZADO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 Una vez que hemos trazado los puntos vamos a trazar con lĂ­neas continuas el grafo.

RANGO DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 Una vez que ya tenemos el grĂĄfico de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ), analizaremos su rango.

17 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

INTERVALO DONDE ES CRECIENTE O DECRECIENTE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 đ?&#x;•

La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) es decreciente en el intervalo ]−∞, đ?&#x;?], debido a que đ?’‚ > đ?&#x;Ž y đ?’Ž < đ?&#x;Ž Donde: đ?’‚=đ?&#x;? đ?’Ž = −đ?&#x;?

CONCAVIDAD DE LA FUNCIĂ“N đ?‘“(đ?‘Ľ ) = √7 − 2đ?‘Ľ + 2 La funciĂłn đ?’‡(đ?’™) es cĂłncava hacia abajo debido a que đ?’‚ > đ?&#x;Ž

18 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

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