Ejercicio de una funcion compuesta inversa

FUNCIĂ“N COMPUESTA Estudiaremos ahora un nuevo concepto del anĂĄlisis matemĂĄtico, la funciones compuesta y se determinara su dominio.

DefiniciĂłn: La funciĂłn compuesta, đ?‘“ ∘ đ?‘”, de dos funciones đ?‘“ y đ?‘” se define mediante: (đ?’‡ ∘ đ?’ˆ)(đ?’™) = đ?’‡[đ?’ˆ(đ?’™)] El dominio de la funciĂłn de đ?‘“ ∘ đ?‘” es el conjunto de todos las đ?‘Ľ en el dominio de đ?‘”, tales que đ?‘”(đ?‘Ľ) estĂŠ en el

đ?’ˆ

dominio de đ?‘“. đ?‘Ťđ?’?đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’Šđ?’? đ?’…đ?’† đ?’ˆ

đ?’™

La figura que estĂĄ a continuaciĂłn es un esquema que muestra las relaciones entre đ?‘“, đ?‘” y đ?‘“ ∘ đ?‘” en el dominio de đ?‘“.

đ?’‡ NĂłtese que para đ?‘Ľ en el dominio de đ?‘”, primero

đ?’ˆ đ?’š đ?’‡âˆ˜đ?’ˆ

se determina đ?‘”(đ?‘Ľ) (la cual debe estar en el dominio de đ?‘“) y despuĂŠs se determina đ?‘“ [đ?‘”(đ?‘Ľ )]. đ?‘Ťđ?’?đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’Šđ?’? đ?’…đ?’† đ?’‡ Finalmente, la composiciĂłn de la funciĂłn no es

đ?’‡đ?’ˆ đ?’™

mĂĄs que una funciĂłn de evaluaciĂłn. Lo Ăşnico que estamos haciendo es conectar la segunda funciĂłn listada en la primera funciĂłn listada.

UNAH | Centro universitario Regional de Occidente | Departamento de MatemĂĄtica

EJERCICIO Nº 01 Sean ℎ y 𝑝 dos funciones tal que ℎ(𝑥) = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 3 y 𝑝(𝑥) = 2𝑥 − 1 Determine lo que a continuación se le solicita: • • •

Dominio de la (ℎ ∘ 𝑝)(𝑥): (ℎ ∘ 𝑝)(−2) = (ℎ ∘ 𝑝)(1) =

•

Dominio de la (𝒉 ∘ 𝒑)(𝒙):

ℎ(𝑥) = 3𝑥 2 + 5𝑥 − 3 𝑝(𝑥) = 2𝑥 − 1 (ℎ ∘ 𝑝)(𝑥) = ℎ[𝑝(𝑥)] ℎ[2𝑥 − 1] = 3(2𝑥 − 1)2 + 5(2𝑥 − 1) − 3 ℎ[2𝑥 − 1] = 3(4𝑥 2 − 4𝑥 + 1) + 10𝑥 − 5 − 3 ℎ[2𝑥 − 1] = 12𝑥 2 − 12𝑥 + 3 + 10𝑥 − 8 ℎ[𝑝(𝑥)] = 12𝑥 2 − 2𝑥 − 5 (ℎ ∘ 𝑝)(𝑥) = 12𝑥 2 − 2𝑥 − 5 Dominio de la función (𝒉 ∘ 𝒑)(𝒙): ℝ •

(𝒉 ∘ 𝒑)(−𝟐) = (ℎ ∘ 𝑝)(𝑥) = 12𝑥 2 − 2𝑥 − 5 (ℎ ∘ 𝑝)(−2) = 12(−2)2 − 2(−2) − 5 (ℎ ∘ 𝑝)(−2) = 12(4) + 4 − 5 (𝒉 ∘ 𝒑)(−𝟐) = 𝟒𝟕 •

(𝒉 ∘ 𝒑)(𝟏) =

(ℎ ∘ 𝑝)(𝑥) = 12𝑥 2 − 2𝑥 − 5 (ℎ ∘ 𝑝)(1) = 12(1)2 − 2(1) − 5 (ℎ ∘ 𝑝)(1) = 12(1) − 2 − 5 (𝒉 ∘ 𝒑)(𝟏) = 𝟓

2 | Wilfredo Estrada | Métodos Cuantitativos 2

EJERCICIO Nº 02 4𝑥+3

3−5𝑥

Sean 𝑘 y 𝑤 dos funciones tal que 𝑘(𝑥) = 2𝑥+5 y 𝑤(𝑥) = 2𝑥−4 Determine lo que a continuación se le solicita: •

La (𝑘 ∘ 𝑤)(𝑥):

•

La (𝑤 ∘ 𝑘)(𝑥):

Determinar la función compuesta de (𝒌 ∘ 𝒘)(𝒙): 4𝑥 + 3 𝑘(𝑥) = 2𝑥 + 5 𝑤(𝑥) =

3 − 5𝑥 2𝑥 − 4

Determinar la función compuesta de (𝒘 ∘ 𝒌)(𝒙):

𝑘(𝑥) =

4𝑥 + 3 2𝑥 + 5

𝑤(𝑥) =

3 − 5𝑥 2𝑥 − 4

(𝑘 ∘ 𝑤)(𝑥) = 𝑘[𝑤(𝑥)]

(𝑤 ∘ 𝑘)(𝑥) = 𝑤[𝑘(𝑥)]

3 − 5𝑥 4 (2𝑥 − 4) + 3 3 − 5𝑥 𝑘[ = ] 3 − 5𝑥 2𝑥 − 4 2 (2𝑥 − 4) + 5 12 − 20𝑥 +3 3 − 5𝑥 𝑘[ ] = 2𝑥 − 4 6 − 10𝑥 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 + 5 12 − 20𝑥 2𝑥 − 4 + 3 (2𝑥 − 4) 3 − 5𝑥 2𝑥 − 4 𝑘[ ]= 6 − 10𝑥 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 + 5 (2𝑥 − 4) 12 − 20𝑥 6𝑥 − 12 + 2𝑥 − 4 3 − 5𝑥 𝑘[ ] = 2𝑥 − 4 6 − 10𝑥 10𝑥 − 20 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 + 2𝑥 − 4 12 − 20𝑥 + 6𝑥 − 12 3 − 5𝑥 2𝑥 − 4 𝑘[ ]= 6 − 10𝑥 + 10𝑥 − 20 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 0 − 14𝑥 3 − 5𝑥 𝑘[ ] = 2𝑥 − 4 0 − 14 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 −14𝑥 3 − 5𝑥 2𝑥 −4 𝑘[ ]= −14 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 (−14𝑥)(2𝑥 − 4) 3 − 5𝑥 𝑘[ ]= (−14)(2𝑥 − 4) 2𝑥 − 4

4𝑥 + 3 3− 5( ) 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 𝑤[ ]= 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 2( )−4 2𝑥 + 5 −20𝑥 − 15 3+ 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 𝑤[ ]= 8𝑥 + 6 2𝑥 + 5 −4 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 −20𝑥 − 15 3( )+ 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 𝑤[ ]= 8𝑥 + 6 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 −4( ) 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 6𝑥 + 15 −20𝑥 − 15 + 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 𝑤[ ] = 2𝑥 + 5 8𝑥 + 6 8𝑥 + 20 2𝑥 + 5 − 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 6𝑥 + 15 − 20𝑥 − 15 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 𝑤[ ]= 8𝑥 + 6 − 8𝑥 − 20 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 0 − 14𝑥 4𝑥 + 3 𝑤[ ] = 2𝑥 + 5 0 − 14 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 −14𝑥 4𝑥 + 3 2𝑥 +5 𝑤[ ]= −14 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 (−14𝑥)(2𝑥 + 5) 4𝑥 + 3 𝑤[ ]= (−14)(2𝑥 + 5) 2𝑥 + 5

𝟑 − 𝟓𝒙 𝒌[ ]=𝒙 𝟐𝒙 − 𝟒

𝟒𝒙 + 𝟑 𝒘[ ]=𝒙 𝟐𝒙 + 𝟓

3 | Wilfredo Estrada | Métodos Cuantitativos 2

4 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

FUNCIĂ“N INVERSA Estudiaremos ahora un nuevo concepto del anĂĄlisis matemĂĄtico, la funciĂłn inversa y se le determinara su grafo, dominio y rango.

DefiniciĂłn NÂş 01: Sea đ?‘“ una funciĂłn inyectiva, o uno a uno. Entonces đ?‘“ admite una funciĂłn inversa que se denota como đ?‘“ −1 (lĂŠase "đ?‘“ đ?‘–đ?‘›đ?‘Łđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘Ž"), donde: el dominio de esta funciĂłn es el rango o recorrido de đ?‘“. La funciĂłn inversa de đ?‘“ (o, simplemente, inversa), se define como: đ?‘“ −1 (đ?‘Ś) = đ?‘Ľ â&#x;ş đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ talque đ?‘Ś ∈ â„?đ?’‡ De otra forma; (đ?‘Ś, đ?‘Ľ) ∈ đ?‘“ −1 â&#x;ş (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ?‘“ Notemos que; El dominio de đ?‘“ −1 = rango de đ?‘“ El dominio de đ?‘“ = rango de đ?‘“ −1 DefiniciĂłn NÂş 02: Sea đ?‘“ y đ?‘” funciones tales que: đ?’‡[đ?’ˆ(đ?’™)] = đ?’™ para toda đ?‘Ľ en el dominio de đ?‘” y đ?’ˆ[đ?’‡(đ?’™)] = đ?’™ para toda đ?‘Ľ en el dominio de đ?‘“ Si se cumple ambas condiciones, entonces la funciĂłn g es la funciĂłn inversa de đ?‘“ y đ?‘“ es la funciĂłn inversa de g.

Se denota por đ?’‡ = đ?’ˆâˆ’đ?&#x;? y đ?’ˆ = đ?’‡âˆ’đ?&#x;? .

Por lo tanto; đ?’‡[đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™)] = đ?’™ y đ?’‡âˆ’đ?&#x;? [đ?’‡(đ?’™)] Notemos que; El dominio de đ?‘“ = rango de đ?‘” El dominio de đ?‘” = rango de đ?‘“

5 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

Teorema: Si đ?‘“ es una funciĂłn biunĂ­voca que tiene đ?’‡âˆ’đ?&#x;? como su inversa, entonces đ?’‡âˆ’đ?&#x;? es una funciĂłn uno a uno que tiene a đ?’‡ como su inversa. MĂĄs aĂşn: (đ?’‡ ∘ đ?’‡âˆ’đ?&#x;? )(đ?’™) = đ?’‡[đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™)] = đ?’™,

para toda đ?’™ en el dominio de đ?’‡âˆ’đ?&#x;?

y (đ?’‡âˆ’đ?&#x;? ∘ đ?’‡)(đ?’™) = đ?’‡âˆ’đ?&#x;? [đ?’‡(đ?’™)] = đ?’™,

para toda đ?’™ en el dominio de đ?’‡

El Ăşltimo teorema enunciado, nos permite asegurarnos que f −1 es la inversa de f.

Procedimiento para encontrar algebraicamente la inversa de una funciĂłn en algunos casos especiales:

1. Aseguremos que đ?‘“ es una funciĂłn uno a uno en su dominio o en el dominio dado.

2. Escribir la funciĂłn como đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) 3. Despejar para đ?‘Ľ en la ecuaciĂłn đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) en tĂŠrminos de đ?‘Ś para obtener una ecuaciĂłn de la forma đ?‘Ľ = đ?‘“ −1 (đ?‘Ś) 4. Intercambiar la đ?‘Ľ por đ?‘Ś, y la đ?‘Ś por la đ?‘Ľ en la Ăşltima ecuaciĂłn para obtener una ecuaciĂłn de la forma đ?‘Ś = đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) 5. Comprobar las dos condiciones siguientes (para asegurarnos que la Ăşltima ecuaciĂłn (funciĂłn), si es la inversa (opcional). i. (đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 )(đ?‘Ľ) = đ?‘“[đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)] = đ?‘Ľ,

para toda đ?‘Ľ en el dominio de đ?‘“ −1

ii. (đ?‘“ −1 ∘ đ?‘“)(đ?‘Ľ) = đ?‘“ −1 [đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘Ľ,

para toda đ?‘Ľ en el dominio de đ?‘“

6 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

EJERCICIO NÂş 01 Dada la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ − 3 Determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • • • • • •

Trazar la grĂĄfica de la đ?‘“(đ?‘Ľ): Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): Trazar la grĂĄfica de la đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ): Dominio de đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ): Rango de đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ):

•

Trazar la grĂĄfica de đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ − 3

• •

Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„?

Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„?

7 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

•

Trazar la grĂĄfica de la đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ):

Primeramente, vamos a determinar la inversa de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ − 3 Procedimiento para encontrar algebraicamente la inversa de una funciĂłn en algunos casos especiales:

1. Aseguremos que đ?‘“ es una funciĂłn uno a uno en su dominio o en el dominio dado. Dominio Escribir la funciĂłn como đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„?

Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„?

2. Escribir la funciĂłn como đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ − 3 đ?‘Ś = 5đ?‘Ľ − 3

3. Despejar para x en la ecuaciĂłn đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) en tĂŠrminos de đ?‘Ś para obtener una ecuaciĂłn de la forma đ?‘Ľ = đ?‘“ −1 (đ?‘Ś) đ?‘Ś = 5đ?‘Ľ − 3 đ?‘Ś + 3 = 5đ?‘Ľ − 3 + 3 đ?‘Ś + 3 = 5đ?‘Ľ 1 1 (đ?‘Ś + 3) ( ) = (5đ?‘Ľ) ( ) 5 5 đ?‘Ś + 3 5đ?‘Ľ = 5 5 đ?‘Ś 3 + =đ?‘Ľ 5 5

4. Intercambiar la đ?‘Ľ por đ?‘Ś, y la đ?‘Ś por la đ?‘Ľ en la Ăşltima ecuaciĂłn para obtener una ecuaciĂłn de la forma đ?‘Ś = đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) 1 3 đ?‘Ľ = đ?‘Ś+ 5 5 1 3 đ?‘Ś= đ?‘Ľ+ 5 5 1 3 −1 (đ?‘Ľ) đ?‘“ = đ?‘Ľ+ 5 5

8 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

5. Comprobar las dos condiciones siguientes (para asegurarnos que la Ăşltima ecuaciĂłn (funciĂłn), si es la inversa (opcional).

i.

(đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 )(đ?‘Ľ) = đ?‘“[đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)] = đ?‘Ľ,

para toda x en el dominio de đ?‘“ −1

đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ − 3 1 3 đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 5 5 1 3 1 3 −1 (đ?‘“ ∘ đ?‘“ )(đ?‘Ľ) = đ?‘“[đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)] = đ?‘“ [ đ?‘Ľ + ] = 5 ( đ?‘Ľ + ) − 3 5 5 5 5 1 3 1 3 (đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 )(đ?‘Ľ) = đ?‘“[đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)] = đ?‘“ [ đ?‘Ľ + ] = (5) ( đ?‘Ľ) + (5) ( ) − 3 5 5 5 5 1 3 5 15 (đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 )(đ?‘Ľ) = đ?‘“[đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)] = đ?‘“ [ đ?‘Ľ + ] = đ?‘Ľ + −3 5 5 5 5 1 3 (đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 )(đ?‘Ľ) = đ?‘“[đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)] = đ?‘“ [ đ?‘Ľ + ] = đ?‘Ľ + 3 − 3 5 5 1 3 (đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 )(đ?‘Ľ) = đ?‘“[đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)] = đ?‘“ [ đ?‘Ľ + ] = đ?‘Ľ 5 5

ii.

(đ?‘“ −1 ∘ đ?‘“)(đ?‘Ľ) = đ?‘“ −1 [đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘Ľ ,

para toda x en el dominio de đ?‘“

đ?‘“(đ?‘Ľ) = 5đ?‘Ľ − 3 1 3 đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 5 5

1 3 (đ?‘“ −1 ∘ đ?‘“)(đ?‘Ľ) = đ?‘“ −1 [đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘“ −1 [5đ?‘Ľ − 3] = ( ) (5đ?‘Ľ − 3) + 5 5 1 1 3 −1 −1 −1 (đ?‘“ ∘ đ?‘“)(đ?‘Ľ) = đ?‘“ [đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘“ [5đ?‘Ľ − 3] = ( ) (5đ?‘Ľ) + ( ) (−3) + 5 5 5 5 3 3 −1 −1 −1 (đ?‘“ ∘ đ?‘“)(đ?‘Ľ) = đ?‘“ [đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘“ [5đ?‘Ľ − 3] = đ?‘Ľ − + 5 5 5 (đ?‘“ −1 ∘ đ?‘“)(đ?‘Ľ) = đ?‘“ −1 [đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘“ −1 [5đ?‘Ľ − 3] = đ?‘Ľ

Por todo lo anterior; la inversa de la funciĂłn đ?’‡ es: đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™) =

đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’™+ đ?&#x;“ đ?&#x;“

9 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

đ?&#x;?

đ?&#x;‘

•

Trazar la funciĂłn đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = đ?&#x;“ đ?’™ + đ?&#x;“

• •

Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„?

Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„?

10 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

đ?&#x;?

đ?&#x;‘

Trazando las funciones đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;“đ?’™ − đ?&#x;‘ y đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™) = đ?&#x;“ đ?’™ + đ?&#x;“

UNAH | Centro universitario Regional de Occidente | Departamento de MatemĂĄtica

Dominio đ?‘“ (đ?‘Ľ )

Rango đ?‘“ (đ?‘Ľ )

Dominio đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ )

đ?’™

đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;“đ?’™ − đ?&#x;‘

đ?’™

−đ?&#x;‘

−18

−đ?&#x;? −đ?&#x;?

Rango đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ )

đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™) =

đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’™+ đ?&#x;“ đ?&#x;“

−đ?&#x;?đ?&#x;–

−3

−đ?&#x;?đ?&#x;‘

−2

−đ?&#x;–

−1

−đ?&#x;‘

0

đ?&#x;?

1

đ?&#x;•

2

đ?&#x;?đ?&#x;?

3

−1đ?&#x;‘ −8

đ?&#x;Ž

−đ?&#x;‘

đ?&#x;?

2

đ?&#x;?

7

đ?&#x;‘

12

UNAH | Centro universitario Regional de Occidente | Departamento de MatemĂĄtica

EJERCICIO NÂş 02 4đ?‘Ľ+3

Sean đ?‘˜(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ+5 Determine lo que a continuaciĂłn se le solicita: • • • • • •

Trazar la grĂĄfica de la đ?‘˜(đ?‘Ľ): Dominio de đ?‘˜(đ?‘Ľ): Rango de đ?‘˜(đ?‘Ľ): Trazar la grĂĄfica de la đ?‘˜ −1 (đ?‘Ľ): Dominio de đ?‘˜ −1 (đ?‘Ľ): Rango de đ?‘˜ −1 (đ?‘Ľ): 4đ?‘Ľ+3

đ?&#x;“

AsĂ­ntota Vertical đ?’™ = − đ?&#x;?

Trazar la grĂĄfica de đ?‘˜(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ+5

• •

5

Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„? − {− 2} Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„? − {2}

13 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

•

Trazar la grĂĄfica de la đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ): 4đ?‘Ľ+3

Primeramente, vamos a determinar la inversa de la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = 2đ?‘Ľ+5 Procedimiento para encontrar algebraicamente la inversa de una funciĂłn en algunos casos especiales:

1. Aseguremos que đ?‘“ es una funciĂłn uno a uno en su dominio o en el dominio dado. Dominio Escribir la funciĂłn como đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) 5 Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„? − {− 2} Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„? − {2}

2. Escribir la funciĂłn como đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) 4đ?‘Ľ + 3 2đ?‘Ľ + 5 4đ?‘Ľ + 3 đ?‘Ś= 2đ?‘Ľ + 5 đ?‘“(đ?‘Ľ) =

3. Despejar para x en la ecuaciĂłn đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) en tĂŠrminos de đ?‘Ś para obtener una ecuaciĂłn de la forma đ?‘Ľ = đ?‘“ −1 (đ?‘Ś) 4đ?‘Ľ + 3 đ?‘Ś= 2đ?‘Ľ + 5 4đ?‘Ľ + 3 (đ?‘Ś)(2đ?‘Ľ + 5) = ( ) (2đ?‘Ľ + 5) 2đ?‘Ľ + 5 (4đ?‘Ľ + 3)(2đ?‘Ľ + 5) 2đ?‘Ľđ?‘Ś + 5đ?‘Ś = (2đ?‘Ľ + 5) 2đ?‘Ľđ?‘Ś + 5đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ + 3 2đ?‘Ľđ?‘Ś + 5đ?‘Ś − 4đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ + 3 − 4đ?‘Ľ 2đ?‘Ľđ?‘Ś + 5đ?‘Ś − 4đ?‘Ľ = 3 2đ?‘Ľđ?‘Ś + 5đ?‘Ś − 4đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś = 3 − 5đ?‘Ś 2đ?‘Ľđ?‘Ś − 4đ?‘Ľ = 3 − 5đ?‘Ś đ?‘Ľ(2đ?‘Ś − 4) = 3 − 5đ?‘Ś 1 1 đ?‘Ľ (2đ?‘Ś − 4) ( ) = (3 − 5đ?‘Ś) ( ) 2đ?‘Ś − 4 2đ?‘Ś − 4 đ?‘Ľ(2đ?‘Ś − 4) 3 − 5đ?‘Ś = (2đ?‘Ś − 4) 2đ?‘Ś − 4 3 − 5đ?‘Ś đ?‘Ľ= 2đ?‘Ś − 4

14 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

4. Intercambiar la đ?‘Ľ por đ?‘Ś, y la đ?‘Ś por la đ?‘Ľ en la Ăşltima ecuaciĂłn para obtener una ecuaciĂłn de la forma đ?‘Ś = đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) 3 − 5đ?‘Ś đ?‘Ľ= 2đ?‘Ś − 4 đ?‘Ś=

3 − 5đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ − 4

đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) =

3 − 5đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ − 4

6. Comprobar las dos condiciones siguientes (para asegurarnos que la Ăşltima ecuaciĂłn (funciĂłn), si es la inversa (opcional).

i.

(đ?‘“ ∘ đ?‘“ −1 )(đ?‘Ľ) = đ?‘“[đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ)] = đ?‘Ľ,

para toda đ?‘Ľ en el dominio de đ?‘“ −1

ii.

(đ?‘“ −1 ∘ đ?‘“)(đ?‘Ľ) = đ?‘“ −1 [đ?‘“(đ?‘Ľ)] = đ?‘Ľ ,

para toda x en el dominio de đ?‘“

15 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2

(𝒇 ∘ 𝒇−𝟏 )(𝒙) = 𝒇[𝒇−𝟏 (𝒙)] = 𝒙, para toda 𝒙 en el dominio de 𝒇−𝟏 𝑘(𝑥) =

(𝒇−𝟏 ∘ 𝒇)(𝒙) = 𝒇−𝟏 [𝒇(𝒙)] = 𝒙, para toda 𝐱 en el dominio de 𝒇

4𝑥 + 3 2𝑥 + 5

3 − 5𝑥 𝑤(𝑥) = 2𝑥 − 4 (𝑘 ∘ 𝑤)(𝑥) = 𝑘[𝑤(𝑥)] 3 − 5𝑥 4 (2𝑥 − 4) + 3 3 − 5𝑥 𝑘[ ]= 3 − 5𝑥 2𝑥 − 4 2 (2𝑥 − 4) + 5 12 − 20𝑥 +3 3 − 5𝑥 𝑘[ ] = 2𝑥 − 4 6 − 10𝑥 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 + 5 12 − 20𝑥 2𝑥 − 4 + 3 (2𝑥 − 4) 3 − 5𝑥 2𝑥 − 4 𝑘[ ]= 6 − 10𝑥 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 + 5( ) 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 12 − 20𝑥 6𝑥 − 12 3 − 5𝑥 2𝑥 − 4 + 2𝑥 − 4 𝑘[ = ] 6 − 10𝑥 10𝑥 − 20 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 + 2𝑥 − 4 12 − 20𝑥 + 6𝑥 − 12 3 − 5𝑥 2𝑥 − 4 𝑘[ ]= 6 − 10𝑥 + 10𝑥 − 20 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 0 − 14𝑥 3 − 5𝑥 𝑘[ ] = 2𝑥 − 4 0 − 14 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 −14𝑥 3 − 5𝑥 2𝑥 −4 𝑘[ ]= −14 2𝑥 − 4 2𝑥 − 4 (−14𝑥)(2𝑥 − 4) 3 − 5𝑥 𝑘[ ]= (−14)(2𝑥 − 4) 2𝑥 − 4 𝟑 − 𝟓𝒙 𝒌[ ]=𝒙 𝟐𝒙 − 𝟒

𝑘(𝑥) =

4𝑥 + 3 2𝑥 + 5

𝑤(𝑥) =

3 − 5𝑥 2𝑥 − 4

(𝑤 ∘ 𝑘)(𝑥) = 𝑤[𝑘(𝑥)] 4𝑥 + 3 3− 5( ) 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 𝑤[ ]= 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 2( )−4 2𝑥 + 5 −20𝑥 − 15 3+ 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 𝑤[ ]= 8𝑥 + 6 2𝑥 + 5 −4 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 −20𝑥 − 15 3( )+ 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 𝑤[ ]= 8𝑥 + 6 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 −4( ) 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 6𝑥 + 15 −20𝑥 − 15 + 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 𝑤[ ] = 2𝑥 + 5 8𝑥 + 6 8𝑥 + 20 2𝑥 + 5 − 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 6𝑥 + 15 − 20𝑥 − 15 4𝑥 + 3 2𝑥 + 5 𝑤[ ]= 8𝑥 + 6 − 8𝑥 − 20 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 0 − 14𝑥 4𝑥 + 3 𝑤[ ] = 2𝑥 + 5 0 − 14 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 −14𝑥 4𝑥 + 3 2𝑥 +5 𝑤[ ]= −14 2𝑥 + 5 2𝑥 + 5 (−14𝑥)(2𝑥 + 5) 4𝑥 + 3 𝑤[ ]= (−14)(2𝑥 + 5) 2𝑥 + 5 𝟒𝒙 + 𝟑 𝒘[ ]=𝒙 𝟐𝒙 + 𝟓

16 | Wilfredo Estrada | Métodos Cuantitativos 2

đ?&#x;‘−đ?&#x;“đ?’™

Trazar la funciĂłn đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) = đ?&#x;?đ?’™âˆ’đ?&#x;’

• •

Dominio de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„? − {2} 5 Rango de đ?‘“(đ?‘Ľ): â„? − {− 2}

AsĂ­ntota Vertical đ?’™ = đ?&#x;?

•

UNAH | Centro universitario Regional de Occidente | Departamento de MatemĂĄtica

đ?&#x;’đ?’™+đ?&#x;‘

Trazando las funciones đ?’Œ(đ?’™) = đ?&#x;?đ?’™+đ?&#x;“ y đ?’Œâˆ’đ?&#x;? (đ?’™) =

−đ?&#x;“đ?’™+đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?’™âˆ’đ?&#x;’

18 | Wilfredo Estrada | MĂŠtodos Cuantitativos 2