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Matemáticas IV Preparatoria UNAM-SI
Recopilación de Apuntes Ing. Wilfrido Martínez Cruz http://www.wilfridoprofesor.mex.tl
Consejo Editorial: MATEMÁTICAS IV. Recopilación de información relacionada a las matemáticas nivel IV de la Preparatoria UNAM-SI. Referencia general: Vía José López Portillo 346 Edif. D, Planta Baja, 55700, Coacalco, México. http://www.wilfridoprofesor.mex.tl e-mail: wilfrido.profesor@gmail.com Toda la información aquí presentada NO está reservada, ya que su publicación y reproducción no cuenta con derechos de autor debido a que es solamente una recopilación de información (antología).
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Introducción La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los cambios y relaciones, así como la incertidumbre. Si miramos a nuestro alrededor vemos que esos componentes están presentes en todos los aspectos de la vida de las personas, en su trabajo, en su quehacer diario, en los medios de comunicación, etc. Las matemáticas, tanto histórica como socialmente, forman parte de nuestra cultura y los individuos deben ser capaces de apreciarlas y comprenderlas. Es evidente, que en nuestra sociedad, dentro de los distintos ámbitos profesionales, es preciso un mayor dominio de ideas y destrezas matemáticas que las que se manejaban hace tan sólo unos años. La toma de decisiones requiere comprender, modificar y producir mensajes de todo tipo; en la información que se maneja cada vez aparecen con más frecuencia tablas, gráficos y fórmulas que demandan conocimientos matemáticos para su correcta interpretación. Por ello, los ciudadanos deben estar preparados para adaptarse con eficacia a los continuos cambios que se generan. Se pretende configurar el área de matemáticas no sólo como un conjunto de ideas y formas de actuar que conllevan la utilización de cantidades y formas geométricas, sino, y sobre todo, como un área capaz de generar preguntas, obtener modelos e identificar relaciones y estructuras, de modo que, al analizar los fenómenos y situaciones que se presentan en la realidad, se puedan obtener informaciones y conclusiones que inicialmente no estaban explícitas. Presentan unas características que se deben destacar para comprenderlas y saber cómo aplicarlas. Las matemáticas son universales: Los resultados que se obtienen son aceptados por toda la comunidad internacional, lo que no quiere decir que los métodos que se han utilizado históricamente sean iguales: lo que sí son universales son las actividades, muchas entroncadas con la cultura de los pueblos, que han impulsado el conocimiento matemático. De esta manera hablamos de: contar, localizar, medir, explicar, jugar, etc. La Matemática es una ciencia viva. Su conocimiento no está fosilizado, además de una herencia recibida es una ciencia que hay que construir. Un reto interesante es el contextualizar adecuadamente los nuevos contenidos que se presentan. Las matemáticas son útiles. Miremos donde miremos, las matemáticas están ahí, las veamos o no. Se utilizan en la ciencia, en la tecnología, la comunicación, la economía y tantos otros campos. Son útiles porque nos sirven para reconocer, interpretar y resolver los problemas que aparecen en la vida cotidiana. Además de proporcionarnos un poderoso lenguaje con el que podemos comunicarnos con
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precisión. Dentro de estas utilidades es necesario resaltar su importancia en relación con los medios de comunicación en los que los análisis cuantitativos (datos estadísticos, precios, índices diversos, hipotecas, etc.) aparecen continuamente en todo tipo de información Las matemáticas son una ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. A medida que se relacionen ideas matemáticas con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, nos daremos cuenta que esas ideas son verdaderamente útiles y poderosas. Las matemáticas y los problemas. La resolución de problemas es una cuestión de gran importancia para el avance de las matemáticas y también para su comprensión y aprendizaje. El saber hacer, en Matemáticas, tiene mucho que ver con la habilidad de resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos, de usar el lenguaje matemático con cierta fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, de saber aguantar una determinada dosis de ansiedad, pero también de estar dispuesto a disfrutar con el camino emprendido. La capacidad para resolver problemas es una de las habilidades básicas que los estudiantes deben tener a lo largo de su vida, y deberán usarla frecuentemente cuando dejen la escuela. Las matemáticas y las tecnologías de la información y la comunicación. Tanto la investigación como la experiencia apoyan el potencial que tiene el uso adecuado e inteligente de las calculadoras y las computadoras. Su uso mejora el desarrollo cognitivo en aspectos que incluyen: sentido numérico, desarrollo conceptual, resolución de problemas y visualización. En definitiva, constituyen una herramienta útil para la enseñanza de las matemáticas. Además, son clave en la creación del pensamiento racional, pues es el área de conocimiento mejor abonada para el desarrollo del razonamiento que siempre está en la base de cualquier actividad matemática. Necesario para el proceso de aprendizaje de los contenidos y estrategias propias de las matemáticas y, además, esencial para adquirir y desarrollar estrategias generales de aprendizaje. Dichas estrategias, referidas a cómo se aprende, son las que garantizarán un aprendizaje a lo largo de toda la vida cuando sea necesario cambiar de actividad profesional o adquirir nuevos conocimientos. Dentro de estas estrategias para toda la vida podemos citar como la más importante las referidas a la Resolución de Problemas. Las matemáticas poseen un papel no solo instrumental o aplicativo, sino también formativo. Instrumental por su relación con otras disciplinas que necesitan de ella para crear, interpretar o analizar los modelos explicativos de los fenómenos que estudian. Se trata por tanto de un instrumento imprescindible con el que acceder a las distintas informaciones (numérica, gráfica, estadística, geométrica, relativa al azar, etc.) presentes en un mundo en permanente evolución y cada vez más
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tecnificado. Formativo, pues contribuye al desarrollo intelectual del alumnado, fomentando capacidades tales como la abstracción, la generalización, el pensamiento reflexivo, el razonamiento lógico, etc. Sin olvidar el necesario dominio algorítmico y la memorización de resultados y procedimientos básicos. El trabajo adecuado en esta línea, contribuye a la creación de estructuras mentales y hábitos de trabajo, cuya utilidad e importancia no se limita al ámbito de las matemáticas. Concretando las matemáticas, interesantes para su desarrollo:
conviene
señalar
algunas
características
Preponderancia de la componente intuitiva frente a la abstracción y formalización, así como el uso de estrategias personales frente a las “más académicas”. Utilización de distintos ámbitos de experiencias del alumnado como fuente de actividades matemáticas. Utilización de materiales manipulables e instrumentos de medida. Uso racional de la calculadora y computadoras. Importancia del trabajo en grupo como base del aprendizaje. Desarrollo de todos los contenidos desde el primer curso, incidiendo especialmente en la Resolución de Problemas y los contenidos geométricos en consonancia con el desarrollo de los sentidos. Fomentar el gusto y la necesidad de un lenguaje claro y adecuado para comunicar sus ideas, razonamientos, argumentos, etc.
Para poder desarrollar el área matemática, de acuerdo a estas características se han elegido los contenidos que se agrupan de una determinada manera, de acuerdo al plan de estudios, dando lugar a las llamadas Unidades de contenido. En todos los ciclos se ha incluido una Unidad de contenidos comunes. Esta Unidad hace referencia expresa, entre otros, a los aspectos relativos al propio lenguaje matemático, a la utilización de las tecnologías de la información y la comunicación, y a los contenidos de tipo actitudinal. Los contenidos se han distribuido en ocho Unidades: Conjuntos, Sistemas de Numeración, El campo de los números reales, Operaciones con monomios y polinomios, Productos notables y factorización, Operaciones con fracciones y radicales, Ecuaciones y desigualdades, Sistemas de ecuaciones y de desigualdades; Resolución de Problemas y Contenidos comunes. Es preciso indicar que es sólo una forma de organizarlos. No se trata de crear conocimiento estático: en todas las unidades se deben utilizan técnicas numéricas y geométricas y en cualquiera de ellos puede ser útil confeccionar una tabla, generar una gráfica o suscitar una situación de incertidumbre. La enseñanza de las Matemáticas atenderá a esta configuración cíclica de los contenidos, de
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manera que estén siempre relacionados y se puedan construir unos sobre otros. La resolución de problemas actúa como eje central, que recorre transversalmente todos los bloques y por ello hay que dedicarle una especial atención. En la unidad relativa a conjuntos, se busca que el alumno conozca la noción de conjunto. Comprenda las operaciones entre ellos para que sea capaz de resolver problemas de su entorno y adquiera los conocimientos básicos para temas posteriores. El concepto de conjunto, de singular importancia en la ciencia matemática y objeto de estudio de una de sus disciplinas más recientes, esta presente, aunque de manera informal, desde los primeros años de formación del hombre. Desde el momento que el ser humano tomó entre sus manos un puñado de piedras y observó un grupo de animales, tomó conocimiento del “conjunto”. Sin embargo, por tratarse de conceptos matemáticos debemos fijar con exactitud el significado de cada término para no dar lugar a contradicciones o interpretaciones erróneas. Para la unidad dos, se ha fijado como aprendizaje principal los sistemas de Numeración, se busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica, entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las que intervengan los números y sus relaciones. Es importante resaltar que para lograr este conocimiento no basta con dominar los algoritmos de cálculo escrito; se precisa también desarrollar estrategias de cálculo mental y aproximativo, y actuar con confianza ante los números y las cantidades; utilizarlos siempre que sea pertinente e identificar las relaciones básicas que se dan entre ellos. Los números han de ser usados en diferentes contextos, sabiendo que la comprensión de los procesos desarrollados y el significado de los resultados es un contenido previo y prioritario, que va más allá de la mera destreza de cálculo. Interesa principalmente la habilidad para el cálculo con diferentes procedimientos y la decisión en cada caso sobre el que sea más adecuado. A lo largo de la etapa, se pretende que el alumnado calcule con fluidez y haga estimaciones razonables, tratando de lograr un equilibrio entre comprensión conceptual y cálculos. En la tercera unidad, correspondiente a el Campo de los Números Reales, se busca que el alumno amplié el conocimiento sobre los distintos conjuntos numéricos hasta llegar a los números reales con el fin de mejorar el conocimiento de la realidad y sus posibilidades de comunicación a partir de expresiones numéricas y representaciones gráficas. Interpretando y cuantificando ciertos aspectos de la realidad, empleando los números reales (enteros, fraccionarios, irracionales…) mediante la aplicación de cálculos adecuados a cada situación, y utilizando, si es necesario, aproximaciones cuyo error seremos capaces de determinar. Operaciones con monomios y polinomios es lo que contempla la cuarta unidad y contempla entre otras el uso de monomios, concentrándose especialmente en
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factorización de polinomios utilizando las fórmulas notables y llegando por medio de ellas a la fórmula general para factorizar polinomios de grado dos. Los polinomios son expresiones algebraicas donde se combinan monomios a través de la adición y sustracción. Los productos notables y la factorización son actividades que contemplan el aprendizaje en la quinta unidad, se ha visto que la multiplicación consiste en obtener el producto de dos o más expresiones dadas. Pero se debe ejercitar en el problema inverso, que consiste en obtener los factores de un producto dado. Al proceso de expresar un polinomio como un producto se le da del nombre de factorización. La factorización es el proceso inverso de un producto notable. Aquí consideramos la factorización de cierto tipo de polinomios que serán usados en problemas posteriores. La mayor parte de éstos tipos de factorización tienen su fundamento en las fórmulas de productos notables vistas anteriormente. En la sexta unidad, se realizaran operaciones con fracciones y radicales, en donde el alumno al comprender las operaciones con fracciones algebraicas y radicales será capaz de plantear y resolver problemas de su entorno en términos de una fracción algebraica o de un radical. Aprendiendo entre otras cosas, teoremas del residuo y del factor, operaciones algebraicas con fracciones y radicales, así como los números complejos. Las ecuaciones y las desigualdades, es el tema principal de la séptima unidad, donde se debe lograr que el alumno comprenda que las matemáticas son una herramienta fundamental para la ciencia; es el lenguaje con el que describe y estudia la realidad, se representan y resuelven los problemas, y obtienen y organizan sus resultados. El Álgebra es el lenguaje básico de las matemáticas; es el conocimiento que permite el acceso a otros conocimientos matemáticos y de otras disciplinas. Los conceptos de ecuación, desigualdad y función, que se estudian aquí, son los prerrequisitos indispensables para el estudio de la Trigonometría, Geometría Analítica y Cálculo Diferencial e Integral, que son los temas restantes de la Preparatoria. Por ultimo para la octava unidad, se busca que el alumno sea capaz de plantear problemas de su entorno cuya solución se obtenga a partir de resolver un sistema de ecuaciones o de desigualdades y que interprete el resultado obtenido.
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Sumario
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Presentación Las Matemáticas, en el contexto de la Educación Media Superior, tienen que desempeñar una doble función: la formativa de capacidades intelectuales, y la instrumental. En el aspecto formativo, la finalidad fundamental de las Matemáticas es el desarrollo de la facultad de razonamiento y abstracción. Una sólida formación en Matemáticas contribuye a reflexionar sobre los distintos aspectos de una situación, a afirmar el espíritu de análisis y a reforzar el poder de síntesis. De esta forma los adolescentes adquieren una estructura de pensamiento que les permite distinguir, de forma lógica y razonada, lo esencial de lo accesorio, las consecuencias de las causas, los medios de los objetivos, etc. En el aspecto funcional el objetivo de las Matemáticas ha sido siempre proporcionar un instrumento eficaz para desenvolverse en la vida cotidiana. Actualmente, en nuestra sociedad la información se presenta cada vez con mayor frecuencia en términos matemáticos, por lo que es necesario en multitud de ocasiones tomar decisiones en los mismos términos. Es por ello que se hace necesaria una formación matemática que facilite la correcta comprensión de la información, potencie el sentido crítico constructivo y facilite la toma de decisiones. El hecho de que hoy la Matemática sea una ciencia en sí misma no debe hacernos olvidar que el pensamiento matemático se ha desarrollado, a lo largo de la Historia, debido a las necesidades de otras ciencias para explicar los diferentes fenómenos (tanto físicos como sociales) del medio en el que nos movemos. Por esta razón, las Matemáticas proporcionan la base necesaria para estructurar y comprender otras ramas de la Ciencia y para profundizar en el desarrollo de nuestra Cultura. En la elaboración de una propuesta documental en educación Matemática, además de los anteriores aspectos, debe tenerse en cuenta que para algunos adolescentes finaliza con esta etapa la adquisición de conocimientos, que se presentan bajo la denominación de Matemáticas, mientras que para otros, ésta es una etapa intermedia en su formación. Por ello, en cuarto curso, se configura el área en dos opciones distintas. La diferencia entre ambas no está tanto en el enunciado de los contenidos como en la forma de enfocar la asignatura, que en la primera parte se realizará dando mayor importancia a la aplicación práctica de conceptos y procedimientos mientras que la segunda parte, sin eludir lo anterior, será la base para los ciclos posteriores.
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Los contenidos del currículo se configuran de forma espiral, de manera que en cada curso coexistan nuevos contenidos tratados a modo de introducción, con otros que afiancen y completen los de cursos anteriores, con ampliación del campo de trabajo, del nivel de información y precisión, y a la vez enriquecidos con nuevas relaciones. Metodológicamente, se propone empezar por razonamientos sencillos e intuitivos, y potenciar la utilización de los sentidos. El aprendizaje inductivo y la utilización de esquemas y estrategias personales para la resolución de los problemas planteados llevarán en etapas posteriores a poder realizar razonamientos generales y abstractos. Las Matemáticas en esta etapa de formación no deben ser discriminatorias, sino que deben facilitar la crítica y el trabajo en equipo, y se deben presentar con gran variedad de situaciones, de manera que sean un estímulo para el esfuerzo personal. La resolución de problemas debe ser una práctica educativa habitual, tanto en Matemáticas como en otras disciplinas. En un principio, se tratará de plantear problemas cuya solución pueda ser obtenida mediante un único razonamiento (un cálculo simple, aplicación de una fórmula o aplicación de un resultado teórico), para, posteriormente, mediante combinación de dos o más de estos problemas, se puedan resolver otros problemas más complicados. Es importante que el alumno no se conforme con las soluciones triviales o inmediatas, y que investigue todas las posibilidades que ofrece el enunciado. Al finalizar esta etapa de formación, los alumnos deben operar (necesariamente) con corrección (incluidas operaciones realizadas mentalmente), han de tener seguridad en los razonamientos (necesariamente elementales) que realizan y deberán leer con criterio la información que en términos gráficos y estadísticos aparece en la prensa diaria. El uso de la tecnología informática es, hoy en día, una necesidad en amplios espectros de la sociedad. En un futuro inmediato el desconocimiento de aspectos básicos de esta tecnología será causa de discriminación funcional en la vida cotidiana. De otra parte, dicha tecnología es en la actualidad un recurso didáctico de primer orden, que debe ser puesto a disposición de profesores y alumnos. Algunos contenidos del currículo en Matemáticas son el campo ideal para introducir, de forma motivada, métodos informáticos, pero teniendo en cuenta siempre que estos métodos son un medio y no un fin en sí mismos.
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CONJUNTOS
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
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NÚMEROS REALES
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Monomios y Polinomios
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Productos notables y factorizaci贸n
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Operaciones con fracciones y radicales Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador 1. Se reducen los denominadores a común denominador: 1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores. 2º Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido por el numerador correspondiente. 2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
m.c.m.(4, 6) = 12
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Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene: Por numerador el producto de los numeradores. Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene: Por numerador el producto de los extremos. Por denominador el producto de los medios.
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Ejercicios de operaciones con fracciones Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2. 1 ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?
2¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos
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Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?
Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua. 4 botes de 1/3 de litro de zumo. 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto.
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Calcula las siguientes operaciones con fracciones:
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EfectĂşa las divisiones de fracciones:
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Realiza las operaciones con fracciones:
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2
EfectĂşa las operaciones con fracciones:
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" Raíz: se llama raíz de un número o de una expresión algebraica a todo número o expresión algebraica que elevada a una potencia "n"; reproduce la expresión dada. " Elementos de la raíz.
- Radical: se llama radical a toda raíz indicada de una cantidad. Si la raíz es exacta tenemos una cantidad racional. Ejemplos:
Si la raíz es inexacta tenemos una cantidad irracional o radical propiamente dicha. Ejemplos:
El grado de un radical lo indica el índice de la raíz. " Extracción de factores fuera del radical. Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical.
Ejercicios de aplicación. Extraer todos los factores posibles de los siguientes radicales:
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- Introducción de factores dentro del radical. Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical; se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.
Ejercicios de aplicación. Introducir dentro del radical todos los factores posibles que se encuentren fuera de él:
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- Reducción de radicales al mínimo común índice. Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice. Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada radical. Ejemplos:
1°) Los índices son 2 , 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices. 2
3
6
2
(1) -
3
3
(1) (1)
El m.c.m. es 6.
2°) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical. 6 (0)
2 3
6 (0)
3 2
6 (0)
6 1
Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los índices.
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3°) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.
Ejercicios de aplicación. Reducir al mínimo común índice los siguientes radicales:
- Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes. Ejemplos:
- Suma y resta de radicales. Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes con su propio signo si los hubiera. Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales son únicamente semejantes.
Ejercicios de aplicación. Sumar los siguientes radicales indicados:
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- Multiplicación de radicales. a) Para multiplicar radicales del mismo índice; se multiplican previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades subradicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.
Ejercicios de aplicación. Multiplicar los siguientes radicales indicados:
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b) Para multiplicar radicales compuestos del mismo 铆ndice; se multiplican como el producto de 1 polinomio por 1 monomio o el producto de 2 polinomios.
Ejercicios de aplicaci贸n. Multiplicar los siguientes radicales indicados:
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c) Para multiplicar radicales compuestos de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo índice.
Ejercicios de aplicación. Multiplicar los siguientes radicales indicados:
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- División de radicales. a) Para dividir radicales del mismo índice; se dividen previamente los signos,luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.
Ejercicios de aplicación. Dividir los siguientes radicales indicados:
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b) Para dividir radicales de distinto índice; primeramente se reducen los radicales al mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.
Ejercicios de aplicación. Dividir los siguientes radicales indicados:
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- Racionalización: es una operación que tiene por objeto hacer desaparecer siempre el radical del denominador. 1er Caso: cuando el radical del denominador es de 2do grado, es decir posee como radical una raíz cuadrada. Ejemplos:
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el factor racionalizante del denominador,en éste caso por sí mismo. 2do Caso: cuando el radical del denominador es mayor al de 2do grado, es decir radicales de 3er,4to, 5to y más grado. Ejemplos:
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Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el exponente de la cantidad sub-radical. 3er Caso: cuando el radical del denominador es un binomio. Ejemplos:
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por la conjugada del denominador. Se llaman cantidades conjugadas a 2 binomios que tienen las mismas cantidades literales, los mismos coeficientes y los mismos exponentes, diferenciando solamente en el signo del 2do término del 2do binomio.
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Ejercicios de aplicaci贸n. Racionalizar el denominador (1er Caso) de los siguientes cocientes:
Racionalizar el denominador (2do Caso) de los siguientes cocientes:
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Racionalizar el denominador (3er Caso) de los siguientes cocientes:
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" Ecuaciones con radicales. Solamente vamos a resolver ecuaciones en las cuales el valor de "x" se encuentra bajo el signo radical; por eso recibe el nombre de ecuaci贸n irracional. Ejemplo:
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Ejercicios de aplicaci贸n. Resolver cada una de las ecuaciones siguientes y comprobar el resultado:
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Ecuaciones y desigualdades
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Sistemas de ecuaciones y desigualdades
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