Olimpiada DI AGH Matematyka

CMYK

3.

Rafał Kalinowski Monika Pilśniak

2007/08 – 2019/20

pięciu przedmiotów: matematyki, informatyki, fizyki, chemii i geografii z elementami geologii.

Laureaci Olimpiady przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej.

Szczegółowy regulamin konkursu znajduje się na stronie http:/www.diament.agh.edu.pl/.

OGÓLNOPOLSKA

Olimpiada objęta jest patronatem: • Ministerstwa Edukacji Narodowej, • Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego,

Kolejny tom zawiera rozwiązania wszystkich zadań z matematyki z lat 2007/2008 – 2019/2020. Rozwiązania uzupełnione są komentarzami, które wyjaśniają sposób rozumowania. W wielu zadaniach właśnie sposób rozumowania jest ważniejszy niż rachunki. Mamy nadzieję, że ten zbiór zadań z matematyki pomoże uzdolnionym uczniom w przygotowaniu do kolejnych edycji Olimpiady i do studiów na kierunkach ścisłych i technicznych, nie tylko w AGH.

ISBN 978-83-64506-72-7

9 788364 506727

OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH

• Europejskiej Organizacji Badań Nuklearnych (CERN) w Genewie.

CMYK

matematyka

Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” jest trzystopniowym konkursem w zakresie

OLIMPIADA O DIAMENTOWY INDEKS AGH OGÓLNOPOLSKA

matematyka rozwiązania zadań z lat 2007/08 – 2019/20

Wydanie 3.

Recenzent: prof. dr hab. Mariusz Woźniak © Copyright by Rafał Kalinowski, Monika Pilśniak Wydział Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie

Projekt okładki: Studio Kozak Zdjęcie na okładce: © iStockphoto.com/derrrek Wydanie trzecie poprawione i uzupełnione ISBN 978-83-64506-72-7

www.wydawnictwojak.pl Kraków 2020

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 2

2020-06-19 14:51:45

OD AUTORÓW

Trzecie wydanie tomu z serii „Ogólnopolska Olimpiada o Diamentowy Indeks AGH” zawiera rozwiązania zadań z matematyki z wszystkich dotychczasowych trzynastu edycji – do roku szkolnego 2019/2020 włącznie. Pragniemy zaznaczyć, że na ogół są to szkice rozwiązań z podaniem sposobu rozumowania, często z pominięciem niektórych szczegółów rachunkowych. Od uczestnika Olimpiady oczekuje się bardziej wyczerpujących uzasadnień. Wiele zadań, zwłaszcza z geometrii, można rozwiązać na kilka rozmaitych sposobów. Mając na uwadze objętość tomu, prezentujemy tylko jeden sposób, zwykle najkrótszy. Czasem analogiczne fragmenty różnych zadań rozwiązujemy różnymi metodami.

W każdym etapie Olimpiady jest siedem zadań, przy czym pierwsze cztery są oceniane w skali do 10 punktów, a pozostałe trzy do 20. Na rozwiązanie zadań I etapu uczestnicy mają około sześciu tygodni, więc niektóre z zadań mogą być pracochłonne. W II i III etapie czas na rozwiązanie zestawu wynosi 120 minut. Przed tematem każdego zadania w tym tomie podany jest rok szkolny, etap Olimpiady i numer zadania w zestawie, np. 2013/2014-II-5 oznacza 5. zadanie II etapu Olimpiady w roku 2013/2014.

Dla wygody użytkowników załączamy spis tematów zadań według tradycyjnych działów szkolnej matematyki. Wiele zadań dotyczy kilku działów i takie zadania umieściliśmy w spisie tylko raz, na ogół w późniejszym dziale. Przeważają zadania, które wymagają umiejętności dedukcyjnych i dotyczą tych działów, które są istotne w kursach matematyki na uczelniach technicznych. Gorąco zachęcamy Czytelników tego podręcznika, aby zaczynali pracę z nim od tego właśnie spisu, bez możliwości spoglądania na podane przez nas rozwiązania, i dopiero później porównywali je ze swoimi.

Stosujemy notację używaną w szkołach średnich (nawet tę, która nie jest już powszechnie stosowana w matematyce od lat); wyjątkiem jest oznaczenie przez |A| liczby elementów skończonego zbioru A. W odpowiedziach do niektórych zadań z kombinatoryki podajemy wartość liczbową symbolu Newtona bądź potęg o dużych wykładnikach – nie jest to jednak wymagane na Olimpiadzie.

Dziękujemy za wszystkie nadesłane uwagi, szczególnie panu Hubertowi Dejowi. Będziemy wdzięczni za dalsze, przesłane na adres Rafal.Kalinowski@agh.edu.pl.

Kraków, 30 kwietnia 2020

Rafał Kalinowski Monika Pilśniak

3

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 3

2020-06-19 14:51:45

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 4

2020-06-19 14:51:45

SPIS TREŚCI ZADANIA Z LAT 2007/2008 etap I................................................................................................................................

9

etap II................................................................................................................................ 14 etap III................................................................................................................................ 19

ZADANIA Z LAT 2008/2009 etap I................................................................................................................................ 24 etap II................................................................................................................................ 29 etap III................................................................................................................................ 34

ZADANIA Z LAT 2009/2010 etap I................................................................................................................................ 38 etap II................................................................................................................................ 42 etap III................................................................................................................................ 47

ZADANIA Z LAT 2010/2011 etap I................................................................................................................................ 52 etap II................................................................................................................................ 58 etap III................................................................................................................................ 63

ZADANIA Z LAT 2011/2012 etap I................................................................................................................................ 68 etap II................................................................................................................................ 75 etap III................................................................................................................................ 80

ZADANIA Z LAT 2012/2013 etap I................................................................................................................................ 85 etap II................................................................................................................................ 93 etap III................................................................................................................................ 98 

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 5

5

2020-06-19 14:51:45

ZADANIA Z LAT 2013/2014 etap I................................................................................................................................ 103 etap II................................................................................................................................ 109 etap III................................................................................................................................ 114

ZADANIA Z LAT 2014/2015 etap I................................................................................................................................ 119 etap II................................................................................................................................ 124 etap III................................................................................................................................ 129

ZADANIA Z LAT 2015/2016 etap I................................................................................................................................ 134 etap II................................................................................................................................ 140 etap III................................................................................................................................ 146

ZADANIA Z LAT 2016/2017 etap I................................................................................................................................ 151 etap II................................................................................................................................ 156 etap III................................................................................................................................ 161

ZADANIA Z LAT 2017/2018 etap I................................................................................................................................ 166 etap II................................................................................................................................ 172 etap III................................................................................................................................ 178

ZADANIA Z LAT 2018/2019 etap I................................................................................................................................ 183 etap II................................................................................................................................ 187 etap III................................................................................................................................ 193

ZADANIA Z LAT 2019/2020 etap I................................................................................................................................ 198 etap II................................................................................................................................ 203

6

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 6



2020-06-19 14:51:45

TEMATYCZNY SPIS ZADAŃ Liczby całkowite . .............................................................................................................. 208 Przekształcenia wyrażeń algebraicznych............................................................................ 211 Zadania z „treścią”.............................................................................................................. 212 Wielomiany i funkcje wymierne......................................................................................... 214 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne................................................................................ 219 Funkcje trygonometryczne ................................................................................................ 223 Ciąg arytmetyczny i geometryczny.................................................................................... 225 Granice i pochodna funkcji................................................................................................. 227 Geometria analityczna........................................................................................................ 232 Planimetria.......................................................................................................................... 237 Stereometria........................................................................................................................ 239 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa.............................................................. 243



Olimpiada Matematyka III 2020.indd 7

7

2020-06-19 14:51:45

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 8

2020-06-19 14:51:45

ZADANIA Z L AT 2007/2008

2007/2008-I-1 W trójkącie równoramiennym dane są długości podstawy a i ramienia b. Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczoną na jego ramię.

ROZWIĄZANIE Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy wyso 2

b2 − a4 . Pokość h1 opuszczoną na podstawę: h1 = le trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i opuszczonej nań wysokości. Oznaczywszy przez h szukaną wysokość, stosujemy ten wzór na dwa sposoby i mamy równość 12 bh = 21 ah1 . Stąd h=

ah1 =a b

1−

a2 .

4b2

h1

b ·

h a

ODPOWIEDŹ:

a

a2 1 − 4b 2.

2007/2008-I-2 Rozwiąż nierówność |2x4 − 17| < 15.

ROZWIĄZANIE Powyższa nierówność jest równoważna koniunkcji nierówności −15 < 2x4 − 17 < 15.

Rozwiązaniem lewej nierówności x4 > 1 jest zbiór (−∞; −1)∪(1; +∞). Rozwiązaniem prawej nierówności x4 < 16 jest (−2; 2). Rozwiązaniem zadanej nierówności jest część wspólna tych dwóch zbiorów, tj. suma przedziałów (−2; −1) ∪ (1; 2).

ODPOWIEDŹ:

x ∈ (−2; −1) ∪ (1; 2).

2007/2008 • etap I

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 9

9

2020-06-19 14:51:45

2007/2008-I-3 Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = n 3 −

n6 − 5n3 .

ROZWIĄZANIE Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: √ √ 5n3 5 (n3 − n6 − 5n3 )(n3 + n6 − 5n3 ) √ √

an = = = .

3 6 3 3 6 3 n + n − 5n n + n − 5n 1 + 1 − 53 n

Granicą tego ciągu jest liczba 52 , jako że limn→+∞ n53 = 0.

ODPOWIEDŹ:

5 2.

2007/2008-I-4 Na ile sposobów można rozmieścić k kul (k � 4, każda kula innego koloru) w k ponumerowanych pudełkach, tak aby a) żadne pudełko nie było puste? b) dokładnie jedno pudełko było puste? c) dokładnie k − 2 pudełka były puste?

ROZWIĄZANIE a) Rozmieszczenie, w którym każda spośród k kul jest w innym pudełku, odpowiada permutacji tych kul. Jest ich zatem k!. b) Puste pudełko możemy wybrać na k sposobów. W jednym z pozostałych pudełek, które możemy wybrać na k − 1 sposobów, będą dwie kule, które możemy wybrać

na k2 sposobów. Pozostałe k−2 kule możemy umieścić w pozostałych k−2 pudełkach

na (k−2)! sposobów. Liczba rozmieszczeń jest zatem równa k(k−1) k2 (k−2)! = k! k2 .

c) Dokładnie dwa pudełka mają być niepuste. Możemy je wybrać na k2 sposobów.

Kule dzielimy na dwa niepuste podzbiory, pierwszy z nich umieszczamy w pierwszym wybranym pudełku, a drugi w drugim. Podzbiór do pierwszego pudełka możemy wybrać na 2k − 2 sposobów, albowiem liczba wszystkich podzbiorów zbioru k kul jest 10

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 10

2007/2008 • etap I

2020-06-19 14:51:45

równa 2k , a nie możemy tu wybrać ani zbioru pustego, ani pełnego (pozostałe kule

trafią automatycznie do drugiego pudełka). Z reguły mnożenia mamy k2 (2k − 2).

b) k! k2 ,

a) k!,

ODPOWIEDŹ:

c)

k

2 (2

k

− 2).

2007/2008-I-5 Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi podstawy. Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w ten ostrosłup do objętości kuli opisanej na nim.

ROZWIĄZANIE Oba rysunki przedstawiają przekrój ostrosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i wysokość ostrosłupa. Niech a będzie √ długością krawędzi podstawy.

Wówczas |EB| = a 63 jako 1/3 wysokości podstawy.

C

Obliczamy wysokość hs ściany bocznej

hs = |BC| = |EB|2 + |CE|2 = a

hs

a

F r

S r A

B

E

13 .

12

Z podobieństwa trójkątów BCE i SCF mamy proporcję √ a 63 hs = , a−r r skąd obliczamy promień kuli wpisanej r = a

Do wyznaczenia promienia R kuli opisanej wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta AEO: √ 2 3 (a − R)2 + a = R2 , 3 skąd R = 23 a. Stosunek objętości kul jest równy sześcianowi stosunku długości ich promieni, √ 3 13−1 czyli .

8 ODPOWIEDŹ:

√

13−1 8

3

C

hs

R D b

O R

A

E

B

.

2007/2008 • etap I

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 11

√ 13−1 12 .

11

2020-06-19 14:51:45

2007/2008-I-6 Wyznacz liczbę rozwiązań równania (m − 3)x4 − 3(m − 3)x2 + m + 2 = 0 w zależności od parametru m.

ROZWIĄZANIE Jeżeli m = 3, to mamy sprzeczność 5 = 0. Załóżmy zatem, że m �= 3. Wprowadziwszy niewiadomą pomocniczą t = x2 , otrzymujemy równanie kwadratowe (m − 3)t2 − 3(m − 3)t + m + 2 = 0.

(1)

Wyróżnik tego równania wynosi ∆ = 5(m − 3)(m − 7). Rozważymy trzy przypadki.

1. ∆ < 0, czyli m ∈ (3; 7). Wtedy nie ma rozwiązań.

2. ∆ = 0, czyli m = 7. Wtedy równanie (1) ma jeden pierwiastek dodatni t = 32 , więc dane równanie ma dwa rozwiązania.

3. ∆ > 0, czyli m ∈ (−∞; 3)∪(7; +∞). Do ustalenia liczby dodatnich pierwiastków t1 , t2 równania (1) wykorzystamy wzory Viète’a.

Suma t1 +t2 = 3 > 0, więc przynajmniej jeden z pierwiastków t1 , t2 jest dodatni. m+2 . Jeżeli t1 t2 > 0, czyli m ∈ (−∞; −2) ∪ (7 : +∞), Iloczyn jest równy t1 t2 = m−3 to oba pierwiastki równania (1) są dodatnie i dane równanie ma cztery rozwiązania. Jeżeli t1 t2 < 0, czyli m ∈ (−2; 3), to równanie (1) ma jeden pierwiastek dodatni dający dwa rozwiązania. Gdy natomiast t1 t2 = 0, czyli m = −2, to 0 jest pierwiastkiem równania (1), drugi jest dodatni, więc mamy trzy pierwiastki.   0    2 ODPOWIEDŹ: Liczba rozwiązań:  3    4

12

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 12

dla dla dla dla

m ∈ �3; 7) m ∈ (−2; 3) ∪ {7} . m = −2 m ∈ (−∞; −2) ∪ (7; +∞)

2007/2008 • etap I

2020-06-19 14:51:46

2019/2020-II-1 Niech n będzie dowolną nieparzystą liczbą naturalną. Udowodnij, że suma n kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez n.

ROZWIĄZANIE Ciąg n kolejnych liczb całkowitych p, p + 1, . . . , p + n − 1 jest ciągiem arytmetycznym o różnicy 1, zatem jego suma jest równa 21 n (2p + n − 1) . Iloraz tej sumy przez n jest równy 12 (2p + n − 1) . Jest to liczba całkowita, gdyż n − 1 jest liczbą parzystą.

2019/2020-II-2 Dla jakich liczb k trójmian kwadratowy 2(1 − k 2 )x2 + k(1 + k 2 )x + 2k jest podzielny przez dwumian x + k?

ROZWIĄZANIE Oznaczmy W (x) = 2(1 − k 2 )x2 + k(1 + k 2 )x + 2k. Z twierdzenia Bézouta wynika, że W (−k) = 0. Wystarczy zatem rozwiązać równanie −3k 4 + k 2 + 2k = 0.

W tym celu wyłączamy wspólny czynnik k przed nawias i z twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu, ustalamy drugi pierwiastek k = 1. Korzystając powtórnie z twierdzenia Bézouta, otrzymujemy równanie −k(k − 1)(3k 2 + 3k + 2) = 0. Wyróżnik trzeciego czynnika wynosi ∆ = −15 < 0, więc jedynymi pierwiastkami równania W (−k) = 0 są liczby 0 i 1.

ODPOWIEDŹ:

k ∈ {0, 1}.

2019/2020 • etap II

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 203

203

2020-06-19 14:52:48

2019/2020-II-3 Rozwiąż równanie

cos2 3x − sin2 x = 0.

ROZWIĄZANIE Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymujemy równanie (cos 3x − sin x)(cos 3x + sin x) = 0. Jest ono równoważne alternatywie cos 3x = sin x

lub

Korzystając ze wzorów redukcyjnych, mamy

π −x lub cos 3x = cos 2

cos 3x = − sin x.

cos 3x = cos

π 2

+x .

Dla pierwszego równania 3x = π2 − x + 2kπ lub 3x = − π2 + x + 2kπ, skąd otrzymujemy dwie serie rozwiązań: x = π8 + k π2 i x = − π4 + kπ. Dla drugiego składnika alternatywy otrzymujemy kolejne dwie serie rozwiązań: x = π4 + kπ i x = − π8 + k π2 . Te cztery serie można zapisać jako dwie.

ODPOWIEDŹ:

x = π4 + k π2 lub x = π8 + k π4 , gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

2019/2020-II-4 Do klasy, w której co czwarty uczeń jest jedynakiem, przyłączono drugą klasę o dwukrotnie mniejszej liczbie uczniów, wśród których jest 40% jedynaków. Jaki procent uczniów w nowo utworzonej klasie ma rodzeństwo?

ROZWIĄZANIE Oznaczmy przez k liczbę uczniów dawnej klasy, a przez x odsetek tych uczniów w nowej klasie, którzy mają rodzeństwo. Z warunków zadania wynika równanie 4 1 3 1 k+ · k = (1 − x) k.

4 10 2 2 7 Stąd x = 10 .

ODPOWIEDŹ:

204

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 204

70%.

2019/2020 • etap II

2020-06-19 14:52:49

2019/2020-II-5 Ze zbioru {1, 2, . . . , 9} losujemy jednocześnie dwie liczby. Czynność tę powtarzamy (zwróciwszy wylosowane liczby) dotąd, aż wylosujmy dwie liczby dające tę samą resztę z dzielenia przez 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba losowań będzie A : mniejsza niż 10, B : równa 6, C : nieparzysta.

ROZWIĄZANIE Zbiór {1, 2, . . . , 9} dzieli się na trzy trójelementowe podzbiory liczb dających tę samą resztę z dzielenia przez 3: {1, 4, 7}, {2, 5, 8} i {3, 6, 9}. Prawdopodobieństwo, że obydwie wylosowane liczby będą należały do tego samego podzbioru wynosi zatem

3 · 32 1 9 = .

4 2

Zdarzenie A′ przeciwne do A polega na tym, że 9 razy wylosujemy dwie liczby dające 9 różne reszty z dzielenia przez 3. Zatem P (A) = 1 − P (A′ ) = 1 − 34 . Łatwo widzieć, że P (B) =

3 5 4

· 41 .

Niech k = 1, 3, 5, . . . i zdarzenie Ck polega na wylosowaniu k − 1 razy dwóch liczb dających różne reszty z dzielenia przez 3, a następnie dwóch liczb z tą samą resz k−1 1 tą. Zatem P (Ck ) = 34 · 4 . Zdarzenie C jest sumą nieskończenie wielu parami rozłącznych zdarzeń Ck , stąd P (C) =

1 + 4

2 4 1 1 4 1 1 3 3 = . · + · + ... = · 4 4 4 4 4 1 − ( 34 )2 7

Przedostatnia równość wynika ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.

9 5 ODPOWIEDŹ: P (A) = 1 − 34 , P (B) = 43 · 14 , P (C) = 74 .

2019/2020 • etap II

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 205

205

2020-06-19 14:52:50

2019/2020-II-6 Funkcja f dla każdego jej argumentu x spełnia równość f (x) + (f (x))2 + . . . = x3 , której lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. Wyznacz dziedzinę funkcji f oraz jej ekstrema lokalne.

ROZWIĄZANIE Lewa strona równości jest sumą szeregu geometrycznego o ilorazie f (x). Suma tego f (x) f (x) 3 szeregu jest równa 1−f (x) , o ile |f (x)| < 1. Rozwiązawszy równanie 1−f (x) = x względem f (x), otrzymujemy x3 . f (x) = 1 + x3 Dziedziną funkcji f jest zbiór wszystkich x, dla których powyższy szereg geometryczny

x3 jest zbieżny, czyli 1+x < 1.

Ta nierówność jest równoważna koniunkcji nierówności

3

3 x 1 −1 < 1+x −√ 3 ; +∞ .

3 < 1, a jej rozwiązaniem jest przedział 2 Dla wyznaczenia ekstremów lokalnych funkcji f obliczamy jej pochodną: f ′ (x) =

3x2 .

(1 + x2 )2

Funkcja f jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie, a jedynym punktem, który spełnia warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego, f ′ (x) = 0, jest x = 0.

Jednakże w tym punkcie nie ma ekstremum lokalnego, gdyż f ′ (x) > 0 dla x �= 0.

Funkcja f jest zatem rosnąca w całej dziedzinie.

ODPOWIEDŹ:

1 Dziedziną funkcji f jest przedział − √ ; +∞ . Nie ma ekstremów lokalnych.

3 2

206

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 206

2019/2020 • etap II

2020-06-19 14:52:50

2019/2020-II-7 W równoległobok ABCD, w którym kolejność wierzchołków ABCD jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara, można wpisać okrąg. Mając dane współrzędne wierzchołków √ A = (0, 1) i B = ( 3, 0) oraz miarę 120o kąta wewnętrznego przy wierzchołku D, oblicz pole powierzchni równoległoboku i napisz równanie okręgu weń wpisanego.

ROZWIĄZANIE W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są sobie równe. To znaczy, że 2|AB| = 2|BC|, czyli równoległobok ABCD √ √ jest rombem. Obliczamy |AB| = 3 + 1 = 2 i pole rombu 2 · 2 · sin 120o = 2 3.

Romb ABCD jest sumą dwóch przystających trójkątów równobocznych ABD i BCD, ponieważ kąt wewnętrzny przy wierzcholłku A ma miarę 60o . ŚroA O C dek O okręgu wpisanego pokrywa się zatem ze środkiem boku BD. Aby go wyznaczyć, obliczamy współS √ 3 1 rzędne ( Prosta SD jest B 2 , 2 ) środka S boku AB. √ −− → prostopadła do wektora AB = [ 3, −1] i przechodzi √ √

przez punkt S, ma więc równanie 3 x − 23 − y − 12 = 0, a po uproszczeniu √ y = 3x − 1. Odległość punktu D od punktu A jest równa 2, zatem współrzędne (x, y) punktu D spełniają układ równań

√ y = 3x − 1

. x2 + (y − 1)2 = 2 D

√ Układ ten ma dwa rozwiązania D = (0, −1) i D = ( 3, 2). Łatwo zauważyć, że to pierwsze rozwiązanie jest niezgodne z orientacją wierzchołków A, D, C, D na płasz√ √ czyźnie. Zatem D = ( 3, 2) i punkt O = ( 3, 1) jest środkiem szukanego okręgu.

Długość r promienia tego okręgu jest równa odległości punktu O od √boku AB, czyli √ 1 3 połowie wysokości |DS| trójkąta ABD. Zatem r = 2 · 2 |AB| = 23 . Równaniem √ okręgu wpisanego w równoległobok ABCD jest (x − 3)2 + (y − 1)2 = 34 . √ ODPOWIEDŹ: Pole równoległoboku wynosi 2 3, a równanie okręgu wpisanego: √ (x − 3)2 + (y − 1)2 = 34 .

W roku szkolnym 19/20 III etap Olimpiady nie odbył się z powodu stanu epidemicznego.

2019/2020 • etap II

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 207

207

2020-06-19 14:52:51

TEMATYCZNY SPIS ZADAŃ

LICZBY CAŁKOWITE LICZBY CAŁKOWITE

2007/2008-I-7

13

Rozłóż na czynniki wielomian W (x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x.

Udowodnij, że wartość W (n) tego wielomianu dla dowolnej liczby naturalnej n jest podzielna przez 12. Dla jakich naturalnych n liczba W (n) nie jest podzielna przez 60?

2008/2009-I-1

24

Ile jest czwórek (x, y, z, t) liczb całkowitych dodatnich spełniających równanie xy + yz + zt + tx = 2008?

2008/2009-I-4

25

Ile jest czterocyfrowych liczb naturalnych, które nie są podzielne ani przez 9, ani przez 12?

2010/2011-I-2

52

Suma kwadratów trzech dodatnich liczb całkowitych a, b, c jest równa 2010. Ile jest wśród nich liczb parzystych?

2011/2012-I-1

68

Pary (x, y) liczb całkowitych spełniające równanie xy 2 − y 3 − xy + x2 + 5 = 0 są współrzędnymi wierzchołków pewnego wielokąta. Oblicz jego pole.

208

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 208

• LICZBY CAŁKOWITE •

2020-06-19 14:52:52

2012/2013-III-1

98

Udowodnij, że zbiór S = {6n + 3 : n ∈ N}, gdzie N jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, zawiera nieskończenie wiele kwadratów liczb całkowitych.

2013/2014-I-1

103

Udowodnij, że żaden element zbioru S = {6n + 2 : n ∈ N} nie jest kwadratem liczby całkowitej.

2014/2015-I-1

119

Niech p będzie dowolną liczbą pierwszą. Udowodnij, że reszta z dzielenia liczby p przez 30 nie jest liczbą złożoną.

2014/2015-III-1

129

Znajdź wszystkie liczby naturalne mniejsze niż 7, przez które podzielna jest liczba L = 32016 + 4.

2015/2016-I-1

134

Znajdź wszystkie rosnące ciągi (an ) o wyrazach całkowitych, takie że a2 = 2 oraz amn = am an dla wszystkich liczb naturalnych m, n.

2015/2016-II-1

140

Wyznacz największą liczbę naturalną k, taką że liczba 2016! jest wielokrotnością liczby 10k .

2015/2016-III-1

146

Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniających równanie (x − 2y − 1)(x + 2y + 1) = 3.

2016/2017-I-1

151

Udowodnij, że jedyną liczbą pierwszą p, taką że liczba p2 + 2 też jest pierwsza, jest p = 3.

• LICZBY CAŁKOWITE •

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 209

209

2020-06-19 14:52:52

2016/2017-II-1

156

Udowodnij, że spośród dowolnych pięciu liczb naturalnych można wybrać trzy, których suma jest podzielna przez 3.

2017/2018-I-2

166

Ile jest trójek (x1 , x2 , x3 ) liczb całkowitych niedodatnich spełniających równanie x1 + x2 + x3 + 37 = 0 ?

2018/2019-I-3

184

Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba Sn = 1! + 2! + . . . + n! jest kwadratem liczby całkowitej.

2018/2019-III-1

193

Ze zbioru dziesięciu kolejnych liczb naturalnych usunięto jedną z nich. Suma pozostałych liczb wynosi 2019. Znajdź sumę wszystkich dziesięciu liczb.

2019/2020-I-7

202

Zbiór S jest zbiorem wszystkich dodatnich liczb całkowitych n, dla których istnieje permutacja (a1 , a2 , . . . , an ) liczb 1, 2, . . . , n, taka że a1 + a2 + . . . + ak jest wielokrotnością liczby k dla każdego k = 1, 2, . . . , n. Wykaż, że każda liczba należąca do zbioru S jest nieparzysta. Znajdź dwie liczby tego zbioru. Zbadaj, czy liczba 2019 należy do zbioru S.

2019/2020-II-1

203

Niech n będzie dowolną nieparzystą liczbą naturalną. Udowodnij, że suma n kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez n.

210

Olimpiada Matematyka III 2020.indd 210

• LICZBY CAŁKOWITE •

2020-06-19 14:52:53