O DIAMENTOWY INDEKS AGH
rozwiązania zadań z lat 2013/14–2022/23
Recenzent: prof. dr hab. Mariusz Woźniak
© Copyright by Rafał Kalinowski, Monika Pilśniak
Wydział Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie
Projekt okładki:
Studio Kozak
Zdjęcie na okładce:
© iStockphoto.com/derrrek
Wydanie czwarte poprawione i uzupełnione
ISBN 978-83-67115-15-5
www.wydawnictwojak.pl Kraków 2024
UrządzenieIwykonujepewnąpracęwciągu20godzin,aurządzenieIIwciągu30godzin.Wjakimczasiewykonajątępracęobaurządzenia,pracującjednocześnie?
UrządzenieIwciągugodzinywykonuje 1 20 całejpracy,aurządzenieII 1 30 tejpracy. Jeżeliprzez x oznaczymyszukanąliczbęgodzin,tootrzymamyrównanie x 20 + x 30 =1, któregorozwiązaniemjest x =12. 12godzin.
Kotangenskątarozwartego α jestrówny 3.Obliczwartościfunkcjitrygonometrycznychkąta2α.
Zpodstawowychtożsamościtrygonometrycznychotrzymujemyrówność
Stądcos α = 3√10 10 isin α = √10 10 ,ponieważkosinuskątarozwartegojestujemny, asinusdodatni.Wyliczamyteraz
Rozwiążnierówność |3logx 2 2| > 1.
Zakładamy,że x> 0i x =1.Nierównośćjestrównoważnaalternatywie: 3logx 2 2 < 1lub3logx 2 2 > 1, czylilogx 2 < 1 3 lublog x 2 > 1.
Zewzględunamonotonicznośćfunkcjilogarytmicznejrozważymydwaprzypadki.
1. x ∈ (0;1).Wówczas x< 8lub x> 2,zatemkażdaliczba x ∈ (0;1)spełniadaną nierówność.
2. x ∈ (1;+∞).Wówczas x> 8lub x< 2,zatem x ∈ (1;2) ∪ (8;+∞). x ∈ (0;1) ∪ (1;2) ∪ (8;+∞).
Zbadajmonotonicznośćciągu(an ),którego n-tywyrazjestrówny
Wyznaczgranicęciągu(an ).
Różnicakolejnychwyrazówciągujestliczbąujemnądlakażdego n,ponieważ:
Ciąg(an )jestzatemmalejący.
Dzieląclicznikimianownikprzez4n ibiorącpoduwagę,żelimn→∞ 3 4 n =0,mamy
Ciągjestmalejącyizbieżnydo0.
Okrąg O marównanie x2 + y 2 +6x +4y 12=0.Okrąg O ′ jestobrazemokręgu O przeztranslacjęowektor �v =[7, 1].Znajdźrównaniaosisymetriisumy O ∪ O ′ tych okręgów.Wyznaczpunktywspólneobuokręgów.Znajdźrównaniaprostychstycznych jednocześniedo O i O ′ . Równanieokręgu O sprowadzamydopostaci(x +3)2 +(y +2)2 =25.Środkiem okręgu O jestpunkt S =( 3, 2),apromieniem r =5.Środkiemokręgu O ′ jest punkt S ′ = S + �v =(4, 1)
Jednązdwóchosisymetriifigury O ∪ O ′ jestprosta SS ′ orównaniu x 7y 11=0. Drugąjestprostaprostopadładoniejiprzechodzącaprzezśrodek 1 2 , 3 2 odcinka SS ′ .Maonarównanie7x + y 2=0.
Współrzędnepunktówwspólnychobuokręgównajszybciejwyznaczymy,znajdując rozwiązaniaukładurównań x2 + y 2 +6x +4y 12=0 7x + y 2=0 , którymisądwiepary:(0, 2)i(1, 5).
Prostestycznedoobuokręgówsąrównoległedoprostej SS ′ ,aodległośćśrodka S od każdejznichjestrównapromieniowi.Każdaprostarównoległado SS ′ marównanie postaci x 7y + C =0.Niewiadomą C wyznaczamyzewzorunaodległośćpunktu odprostej: |− 3+14+ C | √ 12 +72 =5. Torównaniemadwarozwiązania: C = 11+25√2oraz C = 11 25√2.
Osiesymetriifigury O ∪ O ′ : x 7y 11=0i7x + y 2=0; stycznedo O i O ′ : x 7y 11+25√2=0, x 7y 11 25√2=0; punktywspólne O i O ′ :(0, 2), (1, 5).
Podstawąostrosłupaowysokości H jesttrójkątprostokątny ABC oprzyprostokątnych |AB | = a i |AC | = b.Krawędźbocznawychodzącazwierzchołka A jestprostopadładopodstawy.Ostrosłuptenpodzielonopłaszczyznąrównoległądopodstawy nadwiebryłyorównychobjętościach.Obliczpolepowierzchnicałkowitejtejbryły, któraniejestostrosłupem.
Niech D będzieczwartymwierzchołkiemostrosłupa.Zatem H = |DA|.Danapłaszczyznadzieliostrosłup ABCD naostrosłup PQRD podobnydoostrosłupa ABCD iostrosłupścięty.Ztwierdzeniaostosunkuobjętościbrył podobnychwnosimy,żeskalapodobieństwatychostrosłupówwynosi k = 3 √2.
Poletrójkąta ABC wynosi ab 2 ,zatempoletrójkąta PQR jestrówne ab 2 3 √4 ,gdyżstosunekpólfigurpodobnychjest równykwadratowi k 2 = 3 √4skalipodobieństwa.Znamy jużwięcpolaobydwupodstawostrosłupaściętego.
Polaścianbocznychostrosłupa ABCD prostopadłych dopodstawywynoszą aH 2 i bH 2 .Doobliczeniapolatrzeciejściany BCD potrzebnajestjejwysokośćopuszczona nabok BC .Oznaczmyprzez K rzutprostokątnywierzchołka A naprzeciwprostokątną BC podstawy ABC . Niech c = |BC |, d = |AK |, w = |DK |.Oczywiście c = √ a2 + b2 .Trójkąty ABC i AKC sąpodobne,więc a : d = c : b,skąd d = ab c = ab √a2 +b2 .ZtwierdzeniaPitagorasadlatrójkąta AKD otrzymujemy w = H 2 + d2 = H 2
AB C K a b c d
Poleściany BCD wynosizatem 1 2 cw = 1 2 H 2 (a2 + b2 )+ a2 b2 . Polepowierzchni bocznejostrosłupa ABCD jestrówne Pb = 1 2 aH + bH + H 2 (a2 + b2 )+ a2 b2 .
Polepowierzchnibocznejostrosłupa PQRD wynosi Pb 3 √4 ,zatempolepowierzchnibocznejostrosłupaściętegojestrówne 1 1 3 √4 Pb .Terazwystarczydotegododaćpola podstaw. ab 2 1+ 3 √2 2 + 1 2 1 3 √2 2 aH + bH + H 2 (a2 + b2 )+ a2 b2 .
Dowindynaparterzebudynkuczteropiętrowegowsiadaosiem osób.Obliczprawdopodobieństwazdarzeń:
A:wszyscywysiądąnatymsamympiętrze, B :naczwartympiętrzewysiądąconajmniejdwieosoby, C :nakażdympiętrzewysiądąpodwieosoby.
Zdarzeniemelementarnymjest8-elementowawariacjazpowtórzeniami4-elementowego zbiorupięter.Jestich48
Zdarzeniu A sprzyjają4zdarzeniaelementarne,więc P (A)= 1 47
Zdarzenie B ′ przeciwnedo B poleganatym,żenaczwartympiętrzeniewysiądzie niktlubwysiądzietylkojednaosoba.Liczbazdarzeńelementarnychsprzyjających B ′ wynosiwięc38 +8 · 37 ,zatem P (B )=1 P (B ′ )=1 3 4 8 2 3 4 7 .
Zdarzeniu C sprzyja 8 2 6 2 4 2 zdarzeńelementarnych,ponieważdwieosoby,które wysiądąnapierwszympiętrze,możnawybraćna 8 2 sposobów,kolejnedwie,które wysiądąnadrugimpiętrze,na 6 2 sposobów,dwienastępne,którewysiądąnatrzecim piętrze,na 4 2 ,apozostałedwieosobywysiądąnaczwartympiętrze.Zatem P (C )= 8 2 6 2 4
Rozwiążrównanie x 2 + 1 2
x x 2 + 1 2 sin2x =1.
Równaniesprowadzamydopostaci x 2 + 1 2 cos2x+sin2x =1
Lewastronarównaniajestrówna1,jeżelipodstawapotęgijestrówna1lubwykładnik jestrówny0.Rozwiązaniemrównania x2 + 1 2 =1jest x = √2 2 lub x = √2 2 . Równaniecos2x +sin2x =0jestrównoważnecos2x =cos( π 2 +2x). Zatem 2x = π 2 +2x +2kπ lub2x
gdzie k jestdowolnąliczbącałkowitą.Pierwszerównaniejestsprzeczne,arozwiązaniemdrugiegojest x = π 8 + k 2 π. x = √2 2 lub
gdzie k jestdowolną liczbącałkowitą.
Rzuconotrzyrazysześciennąkostkądogry.Obliczprawdopo dobieństwo,żesuma wyrzuconychoczekjestmniejszaniższeść.
Zdarzeniemelementarnymjestciąg(a,b,c),gdzie a,b,c ∈{1,..., 6} Wszystkich zdarzeńelementarnychjest63 =216.Sumawyrzuconychoczekbędziemniejszaniż 6,jeżelibędziewynosiła3,4lub5.Niech Ai ,dla i =3, 4, 5,oznaczazdarzenie: sumawyrzuconychoczekjestrówna i.Zdarzeniu A3 sprzyjatylkojednozdarzenie elementarne(1, 1, 1),zdarzeniu A4 trzy(2najednymzmiejsc),azdarzeniu A5 sześć zdarzeńelementarnych:(3, 1, 1), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2). 5 108 .
Pozmieszaniuroztworówsoliostężeniach8%oraz20%otrzymano12litrówroztworu ostężeniu16%.Obliczobjętościzmieszanychroztworów.
Oznaczmyprzez x objętośćroztworuostężeniu8%.Objętośćdrugiegoroztworuwynosi12 x.Układamyrównanie
0, 08 x +0, 2(12 x)=0, 16 · 12.
Jegorozwiązaniemjest x =4.
4loraz8l.
Rozwiążnierówność 3x 2 +6x 3 +12x 4 + ... � 1.
Lewastronarównaniajestsumąszeregugeometrycznegoopierwszymwyrazie3x2 iilorazie2x.Szeregtenjestzbieżny,gdy |2x| < 1,czyli x ∈ 1 2 ; 1 2 .Korzystającze wzorunasumęszeregugeometrycznego,otrzymujemynierówność 3x2 1 2x � 1, apoprzekształceniu(3x2 +2x 1)(1 2x) � 0. Jejrozwiązaniemjestsumaprzedziałów 1; 1 3 ∪ 1 2 ;+∞ . Pouwzględnieniuzałożeniadostajemyrozwiązanie x ∈ 1 2 ; 1 3 . x ∈ 1 2 ; 1 3 .
Wyznaczzbiórwszystkichliczbrzeczywistych p,dlaktórychpierwiastki x1 i x2 równania x +1= px p 1 + p +1 x spełniająnierówność 1 x1 + 1 x2 � 2p +1.
Zakładamy,że p =1i x =0.Pomnożywszyrównaniestronamiprzezwspólnymianownik,otrzymujemyrównaniekwadratowe x 2 +(1 p)x + p 2 1=0.
Obliczamy∆=(1 p)2 4(p2 1)=(1 p)(3p +5) Powyższerównaniekwadratowe marozwiązanie,gdy∆ � 0,czylidla p ∈ 5 3 ;1 .Torównaniemawykluczony pierwiastek x =0dla p ∈{−1, 1},musimywięczałożyćtakże,że p = 1.
Przekształcamysumęodwrotnościpierwiastków,abyskorzystaćzewzorówVi`ete’a: 1 x1 + 1 x2 = x1 +
Rozwiązaniemostatniejnierównościjest p ∈ 3 2 ; 1 ∪�0;+∞). Uwzględniającwszystkiewarunki,otrzymujemyrozwiązanie p ∈ 3 2 ; 1 ∪�0;1). p ∈ 3 2 ; 1 ∪�0;1)
Dwieścianyostrosłupatrójkątnegosątrójkątamirównobocznymiobokudługości a idwiesątrójkątamiprostokątnymi.Obliczpolepowierzchniiobjętośćostrosłupa. Ostrosłuptenmaczteryściany,więckażdedwiemająwspólną krawędź–takżete, któresątrójkątamirównobocznymi.Zatemtrójkątyprostokątnesąrównoramienne
ikątprostyjestmiędzykrawędziamidługości a.Sąwięcprzystające,aichprzeciwprostokątnamadługość b = a√2.Polepowierzchniczterechścianostrosłupawynosi
Wysokościtrójkątówprostokątnychopuszczonena przeciwprostokątnąsąrówne H = a √2 2 .Sązatemprostopadłedosiebie,cowynikaztwierdzeniaodwrotnegodotwierdzeniaPitagorasa.Mamy bowiem H 2 + H 2 = a2 .Jeżeliwięczapodstawę ostrosłupaprzyjmiemytrójkątprostokątny,to H będziewysokościąostrosłupa.Jegoobjętośćjest zatemrówna
Obliczpromieńmniejszegozdwóchokręgówstycznychwpunkcie M (2, 1)doprostej x 7y +5=0ijednocześniestycznychdoprostej x + y +13=0.Napiszrównania wszystkichokręgówotympromieniustycznychjednocześnie doobydwuprostych.
Środek S (x,y )każdegookręgustycznegododwóchdanychprostychjestjednakowo odległyodtychprostych,zatem |x 7y +5|
50 = |x + y +13|
Wobectego S leżynajednejzdwóchprostych:
l1 : x +3y +15=0lub l2 :3x y +35=0.
Środekkażdegookręgustycznegowpunkcie M doprostej x 7y +5=0leżynaprostej l prostopadłejdotejprostejiprzechodzącejprzez M .Prosta l mazatemrównanie 7x + y 15=0.
Znajdujemypunktyprzecięciaprostej l zkażdązeznalezionychpowyżejprostych, rozwiązującdwaukładyrównań:
7x + y 15=0 x +3y +15=0
7x + y 15=0 3x y +35=0 .
Otrzymujemydwapunkty S1 (3, 6)i S ′ ( 2, 29).Promieniestycznychokręgówośrodkachwtychpunktachsąodpowiedniorówne r1 = |S1 M | =5√2, r ′ = |S ′ M | =20√2. Szukanymniejszypromieńto r1 =5√2,gdyż r1 <r ′ Środkiokręgówstycznychjednocześniedoobydwudanychprostychleżąnaprostych l1 lub l2 .Sązatemczterytakieokręgiopromieniu r1 .Rozwiązującodpowiedniukład równań,znajdujemypunktwspólny O ( 12, 1)prostych l1 i l2 .Wektor −−→ S1 O ma współrzędne[ 15, 5].Środekdrugiegoztychokręgówtopunkt S2 = S1 +2 −−→ S1 O = =( 27, 4).Środki S3 i S4 pozostałychdwóchokręgówleżąnaprostej l2 orównaniu y =3x +35iichodległośćodprostej x + y +13=0wynosi r1 ,czyli |x +3x +35+13| √2 =5√2
Stąd S3 19 2 , 13 2 , S4 29 2 , 17 2 .
Promień:5√2. Równaniaokręgów:(x 3)2 +(y +6)2 =50, (x +27)2 +(y 4)2 =50,(x + 19 2 )2 +(y 13 2 )2 =50,(x + 29 2 )2 +(y + 17 2 )2 =50.
LICZBYCAŁKOWITE
LICZBY CAŁKOWITE
Rozłóżnaczynnikiwielomian
W (x)= x 4 +6x 3 +11x 2 +6x.
Udowodnij,żewartość W (n)tegowielomianudladowolnejliczbynaturalnej n jest podzielnaprzez12.Dlajakichnaturalnych n liczba W (n)niejestpodzielnaprzez60?
Ilejestczwórek(x,y,z,t)liczbcałkowitychdodatnichspełniającychrównanie xy + yz + zt + tx =2008?
Ilejestczterocyfrowychliczbnaturalnych,któreniesąpo dzielneaniprzez9,ani przez12?
Sumakwadratówtrzechdodatnichliczbcałkowitych a,b,c jestrówna2010.Ilejest wśródnichliczbparzystych?
Pary(x,y )liczbcałkowitychspełniającerównanie
xy 2 y 3 xy + x 2 +5=0
sąwspółrzędnymiwierzchołkówpewnegowielokąta.Obliczjegopole.
Udowodnij,żezbiór S = {6n +3: n ∈ N}, gdzie N jestzbioremwszystkichliczb naturalnych,zawieranieskończeniewielekwadratówliczb całkowitych.
Udowodnij,żeżadenelementzbioru S = {6n +2: n ∈ N} niejestkwadratemliczby całkowitej.
Niech p będziedowolnąliczbąpierwszą.Udowodnij,żeresztazdzielenialiczby p przez30niejestliczbązłożoną. 33
Znajdźwszystkieliczbynaturalnemniejszeniż7,przezktórepodzielnajestliczba
L =32016 +4.
Znajdźwszystkierosnąceciągi(an )owyrazachcałkowitych,takieże a2 =2oraz amn = am an dlawszystkichliczbnaturalnych m,n. 44
Wyznacznajwiększąliczbęnaturalną k ,takążeliczba2016!jestwielokrotnościąliczby10k 50
Znajdźwszystkieparyliczbcałkowitych(x,y )spełniającychrównanie (x 2y 1)(x +2y +1)=3
55
Udowodnij,żejedynąliczbąpierwszą p,takążeliczba p2 +2teżjestpierwsza,jest p =3.
Udowodnij,żespośróddowolnychpięciuliczbnaturalnychmożnawybraćtrzy,których sumajestpodzielnaprzez3.
70
Ilejesttrójek(x1 ,x2 ,x3 )liczbcałkowitychniedodatnichspełniającychrównanie x1 + x2 + x3 +37=0?
88
Znajdźwszystkieliczbynaturalne n,dlaktórychliczba Sn =1!+2!+ ... + n! jestkwadratemliczbycałkowitej.
97
Zezbiorudziesięciukolejnychliczbnaturalnychusunięto jednąznich.Sumapozostałychliczbwynosi2019.Znajdźsumęwszystkichdziesięciuliczb.
106
Zbiór S jestzbioremwszystkichdodatnichliczbcałkowitych n,dlaktórychistnieje permutacja(a1 ,a2 ,...,an )liczb1, 2,...,n,takaże a1 + a2 + ... + ak jestwielokrotnościąliczby k dlakażdego k =1, 2,...,n.Wykaż,żekażdaliczbanależącadozbioru S jestnieparzysta.Znajdźdwieliczbytegozbioru.Zbadaj,czyliczba2019należydo zbioru S .
107
Niech n będziedowolnąnieparzystąliczbąnaturalną.Udowodnij,żesuma n kolejnych liczbcałkowitychjestpodzielnaprzez n.
112
Znajdźwszystkieelementyzbioru {cos (n 7 n)π 12 : n ∈ N}. Odpowiedźwyczerpująco uzasadnij.
128
Czterykolejneliczbyparzystesąpierwiastkamiwielomianuowspółczynnikachcałkowitych.Udowodnij,żewartośćtegowielomianudladowolnejliczbyparzystejjest podzielnaprzez384.
Danesątrzykolejneliczbycałkowite.Udowodnij,żekwadratydokładniedwóchznich dająresztę1zdzieleniaprzez3.
Obliczsumęwszystkichliczbdwucyfrowychpodzielnychprzez6lubprzez8.
147
Udowodnij,żeistniejetylkojednatrójkaliczbpierwszych,któresątrzemakolejnymi wyrazamiciąguarytmetycznegooróżnicy2.
PRZEKSZTAŁCENIAWYRAŻEŃALGEBRAICZNYCH
PRZEKSZTAŁCENIA WYRAŻEŃ ALGEBRAICZNYCH
Sprowadźdonajprostszejpostaci(niezawierającejujemnychwykładnikówaniułamkówpiętrowych)wyrażenie (1 x 1 ) 2 (1+ x 1 ) 2 .
Sprowadźdonajprostszejpostaciwyrażenie (a3 + b3 )(a 1 b 1 ) (a 1 + b 1 )[(a b)2 + ab] .
Wykaż,żeliczba a = 9 4√5 9+4√5jestcałkowita.
Niech a i b będądwiemaliczbamirzeczywistymi,przyczym a>b.Udowodnij,że a3 b3 � ab2 a 2 b.