OGÓLNOPOLSKA OLIMPIADA
O DIAMENTOWY INDEKS AGH
rozwiązania zadań z lat 2009/10—2023/24
Recenzent: prof. dr hab. inż. Wojciech Łużny
© Copyright by Janusz Wolny, Łucjan Pytlik, Paweł Armatys, Radosław Strzałka
Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie
Projekt okładki:
Studio Kozak
Zdjęcie na okładce:
© iStockphoto.com/derrrek
ISBN 978-83-67115-17-9
Wydanie XI
www.wydawnictwojak.pl Kraków 2024
OD AUTORÓW
Ogólnopolska Olimpiada „O Diamentowy Indeks AGH” jest to trzystopniowy konkurs realizowany w zakresie pięciu przedmiotów: matematyki, informatyki, fizyki, chemii i geografii z elementami geologii. Szczegółowy regulamin konkursu znajduje się na stronie http://www. diament.agh.edu.pl/. Olimpiada objęta jest patronatem Ministerstwa Edukacji i Nauki. Jej organizatorem jest Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Laureaci Olimpiady przyjmowani są na studia w AGH z pominięciem procedury rekrutacyjnej (pełny wykaz kierunków studiów podany jest w stosownej corocznej uchwale Senatu AGH w sprawie zasad przyjmowania na studia laureatów oraz finalistów olimpiad stopnia centralnego). Jest ona organizowana od roku akademickiego 2007/2008 i cieszy się ogromnym zainteresowaniem młodzieży. Startuje w niej corocznie kilka tysięcy uczniów szkół ponadgimnazjalnych z całej Polski. Zdecydowana większość uczestników i laureatów Olimpiady mieszka poza Krakowem, nierzadko w małych miejscowościach rozsianych po całym kraju.
Główną ideą Olimpiady „O Diamentowy Indeks AGH” jest merytoryczne przygotowanie kandydatów do studiów przyrodniczo-technicznych, co zasadniczo odróżnia ten konkurs od innych olimpiad przedmiotowych. W myśl powyższej idei premiowani są wszyscy uczestnicy dobrze przygotowani z wybranego przedmiotu. Laureatami są osoby, które przekroczyły pułap 70% możliwych do zdobycia punktów. Największą wartością, jaką wynosi się z aktywnego uczestnictwa w Olimpiadzie „O Diamentowy Indeks AGH”, jest dobre przygotowanie do studiów na kierunkach przyrodniczo-technicznych prowadzonych w wyższych uczelniach. Studiowanie w uczelni technicznej wymaga sprawnego rozwiązywania zadań, z czym wielu początkujących studentów ma poważny problem, który często powoduje nawet rezygnację ze studiów. Przygotowanie do Olimpiady i sam udział w niej zdecydowanie zwiększają szanse na pokonanie trudnej drogi prowadzącej do uzyskania stopnia inżyniera.
Oddajemy w ręce czytelników podręcznik zawierający rozwiązania zadań z fizyki, jakie pojawiły się w 15 ostatnich edycjach Olimpiady w latach 2008–2023. Rozwiązania uzupełnione są stosownymi komentarzami pozwalającymi na pełne zrozumienie rozważanego problemu fizycznego. Praca z tym podręcznikiem stanowi doskonałe przygotowanie do kolejnych olimpiad. Zawiera on obszerny materiał z mechaniki, termodynamiki, elektromagnetyzmu, optyki wraz z elementami fizyki współczesnej, pozwalający na samodzielne powtórzenie całego zakresu materiału szkoły średniej. Spora część materiału może też być
wykorzystywana na zajęciach przygotowujących do matury z fizyki, kursach wyrównawczych i początkowych zajęciach na studiach technicznych. Wiadomości potrzebne do rozwiązania zadań można znaleźć w ogólnodostępnych podręcznikach, w tym podręcznikach, które powstały na AGH: J. Wolny, Podstawyfizykiwzadaniach, wyd. 6, Wydawnictwo JAK, Kraków 2023, https://www.wydawnictwojak.pl/podstawy-fizyki-w-zadaniach; oraz Z. Kąkol, Fizyka, https:// open.agh.edu.pl/zasob/fizyka-podrecznik/.
JanuszWolny ŁucjanPytlik PawełArmatys RadosławStrzałka
J. Wolny Z. Kąkol PodstawyfizykiwzadaniachFizyka
SPIS TREŚCI
zadania z lat 2019/2020
etap
zadania z lat 2020/2021
zadania z lat 2021/2022
2009/2010-III-1
Do pionowego pręta stanowiącego oś obrotu układu przywiązano dwie identyczne nitki o takich samych długościach L = 25 cm. Nitki są przywiązane do pręta na dwóch różnych wysokościach, odległych od siebie również o L. Drugie końce nitek przymocowano do wspólnego ciężarka o masie m = 0,1 kg. Następnie układ wprawiono w ruch obrotowy z częstotliwością f obrotów na sekundę wokół pionowej osi. Nitka ulega zerwaniu, gdy jej naciąg przekroczy krytyczną wartość siły Nmax = 10 N. Oblicz, przy jakiej częstotliwości wirowania ciężarka nastąpi zerwanie. Która z nitek zerwie się pierwsza? Przyspieszenie grawitacyjne g = 10 m/s2.
ROZWIĄZANIE
Dane: L = 25 cm, m = 0,1 kg, Nmax = 10 N, a = 30°
Szukane: f
Siła dośrodkowa:
2009/2010-III-2
Rozpędzony wagon o masie m1 = 30 t uderza w drugi wagon o masie m2 = 10 t, stojący na torach prowadzących na wzniesienie o wysokości h = 5 m. Opory ruchu obu wagonów są pomijalnie małe. Rozpatrzmy dwa warianty:
A. Zakładamy zderzenie doskonale sprężyste wagonów. Jaka musi być prędkość uderzającego wagonu, aby co najmniej jeden z wagonów pokonał wzniesienie? Dla jakiej prędkości uderzającego wagonu obydwa wagony pokonają wzniesienie?
B. Zakładamy całkowicie niesprężyste zderzenie wagonów, tj. po zderzeniu oba wagony pozostają połączone. Dla jakiej minimalnej prędkości wagonu uderzającego powstający skład dwóch wagonów może pokonać wzniesienie?
ROZWIĄZANIE
Dane: m1 = 30 t, m2 = 10 t, h = 5 m
Szukane: v ' 0, v " 0, v "' 0
A. Zderzenie sprężyste
(7)
Rozwiązaniem powyższego układu równań jest:
Aby drugi wagon pokonał wzniesienie, musi być spełniony warunek: (9)
Aby również pierwszy wagon pokonał wzniesienie: (10)
B. Zderzenie całkowicie niesprężyste
Obowiązuje tylko zasada zachowania pędu:
(11)
Aby połączone wagony pokonały wzniesienie:
(12)
2009/2010-III-3
Mamy do dyspozycji dwa różne kondensatory. Pierwszy z nich, o pojemności C1 = 10 µF, został naładowany do napięcia U1 = 90 V. Drugi kondensator, o pojemności C2 = 5 µF, naładowano do napięcia U2 = 120 V. Po odłączeniu kondensatorów od źródeł napięcia ich ujemne okładki połączono bezpośrednio ze sobą, natomiast dodatnie okładki połączono poprzez opornik o wartości R = 10 Ω
Jakie napięcie ustali się na okładkach kondensatorów po ustaniu przepływu prądu? Oblicz energię całkowitą układu kondensatorów przed połączeniem oraz po połączeniu i ustaniu przepływu prądu. Jaka ilość ciepła wydzieli się na oporniku? Naszkicuj wykres zależności wartości płynącego prądu od czasu i podaj na nim wartość prądu w początkowej chwili zamykania obwodu łączącego kondensatory przez opór.
ROZWIĄZANIE
Dane: C1 = 10 µF, C2 = 5 µF, U1 = 90 V, U2 = 120 V, R = 10 Ω
Szukane: I0, DW
Sumaryczny ładunek: (13)
Po połączeniu kondensatorów:
Energia początkowa kondensatorów:
Energia kondensatorów
Różnica energii (ilość wydzielonego ciepła):
Początkowa wartość prądu:
Stała czasowa dla układu RC:
∆= −=WWW21 15,mJ I UU R 0 21 30 10 3 = == A tm == ⋅= RC Z Fms 10 15 015 W ,
2 R
2009/2010-III-4
Pewna ilość azotu (azot jest traktowany jako gaz doskonały o cząsteczkach dwuatomowych, dla którego stosunek ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu i przy stałej objętości wynosi κ = 1,4) została ogrzana przy stałym ciśnieniu tak, że jego objętość wzrosła dwukrotnie.
Ile razy wzrosłoby ciśnienie, gdyby ten sam gaz (o tych samych parametrach początkowych) został ogrzany w warunkach stałej objętości taką samą ilością ciepła jak poprzednio?
ROZWIĄZANIE
Dane: κ = 1,4, DV = V0
Szukane: p/p0
Ciepło właściwe dla gazu o cząsteczkach dwuatomowych:
Dla stałego ciśnienia:
Dla stałej objętości
Z porównania (21) i (22) po podstawieniu (20) otrzymujemy:
2009/2010-III-5
Dwa prostokątne lustra o szerokości L = 50 cm każde, stojące pionowo na podłodze, połączono wzdłuż wspólnego pionowego boku tak, że płaszczyzny odbijające luster utworzyły ze sobą kąt 90° . Połączony układ luster ustawiono symetrycznie naprzeciwko ściany (powierzchnie odbijające luster zwrócone są do ściany pod kątem 45°). Na ścianie, w płaszczyźnie symetrii całego układu, wisi żarówka, traktowana jako punktowe źródło światła. Odległość między żarówką a wspólnym bokiem luster wynosi d1 = L√2, tak więc rzuty pionowe krawędzi luster i żarówki na podłoże wyznaczają wierzchołki kwadratu o boku L. W wyniku odbicia światła żarówki od luster oświetlony zostaje pewien pas ściany. Oblicz szerokość tego pasa. Narysuj przekrój poziomy układu i zaznacz na nim bieg promieni świetlnych dla krańcowych punktów oświetlonego pasa ściany. Jak wyglądałby rysunek, gdyby wspólna krawędź luster została odsunięta od ściany dwa razy dalej, tj. na odległość d2 = 2d1?
ROZWIĄZANIE
Dane: L = 50 cm, d1 = L√2
Szukane: x
W punkcie A powstaje pozorny obraz żarówki powstający w lustrze prawym. Po lewej stronie powstaje również pozorny obraz żarówki dla drugiego lustra. Z rysunku: (25) (26)
Równanie prostej: y = ax + b. Dla punktów A i B otrzymujemy: (28)
stąd:
miejsca zerowe:
Po odsunięciu luster na odległość 2 d1
Pas boczny Pas środkowy
powstaje pas środkowy i dwa pasy boczne (symetryczne względem środka).
ZADANIA Z LAT 2010/2011
2010/2011-I-1
Klin o masie M = 2 kg leży na poziomym podłożu. Na ukośnej powierzchni bocznej klina, nachylonej do podłoża pod kątem a = 30°, umieszczono klocek o masie m = 0,5 kg, zsuwający się po powierzchni klina. Tarcie między klinem a podłożem oraz klinem a zsuwającym się ciałem jest równe zeru. Oblicz przyspieszenie ruchu klina względem podłoża.
ROZWIĄZANIE
Dane: M = 2 kg, m = 0,5 kg, a = 30°
Szukane: ak
k a1 aII
Sposób I:
W układzie klina (nieinercjalnym) na klocek działają siły: ciężkości (Q) i bezwładności (Fb). Różnica składowych prostopadłych do równi jest równoważona siłą reakcji podłoża, a więc siła nacisku klocka na klin wynosi N: (1a)
NQ Fm ga
Ma NN =− =− ⋅= =⋅ 22 1 bk k (cos sin) sin aa a NQ Fm ga
Składowa N1 siły nacisku powoduje ruch klina, zatem: (1b)
Rozwiązując układ równań (1a)(1b), otrzymujemy: (2)
Ma NN =− =− ⋅= =⋅ 22 1 bk k (cos sin) sin aa a a mg Mm g M m k 2 m s = + = + ≈ sincos sin sincos sin aa a aa a 2 2 1
JeżeliJ M m aJ M m ag ⋅→ ∞⇒ →⋅ →⇒ = kk ctg 00 a ; jeżeli J M m aJ M m ag ⋅→ ∞⇒ →⋅ →⇒ = kk ctg 00 a (3)
Sposób II: W układzie LAB z równowagi sił: M·ak = m·aII oraz aII + ak = a1cos a (4)
gdzie: m a1 = Q1 + Fb1
Wyznaczone z powyższych równań ak wyraża wzór (2)
2010/2011-I-2
Drabina stoi oparta o ścianę. Współczynnik tarcia między drabiną a podłożem wynosi f1 = 0,2, zaś współczynnik tarcia między drabiną a ścianą wynosi f2 = 0,1. Oblicz minimalny kąt między drabiną a podłożem, przy którym drabina może jeszcze stać oparta o ścianę.
ROZWIĄZANIE
Dane: f1 = 0,2, f2 = 0,1
Szukane: a
Warunkiem koniecznym, aby układ nie poruszał się, jest równowaga wszystkich sił oraz równowaga momentów sił względem dowolnej osi obrotu. Oś obrotu wybieramy w punkcie O.
Dla sytuacji przedstawionej na rysunku, tuż przed poruszeniem się drabiny, kiedy siły tarcia osiągają maksymalne wartości, możemy zapisać: (5)
+
Q l Tl Rl Tf R Tf Rf f =+ =
=⋅ 12 21 22 11 1 22 21 2 2 coscos sin aa a R1
Rozwiązując powyższy układ równań, otrzymujemy: (6) (7) QR T RT
tg a = 1 2 12 1 ff f a š 67 8 ,
2010/2011-I-3
Silnik, którego elementem roboczym jest dwuatomowy gaz doskonały, pracuje w cyklu składającym się z dwóch izochor i dwóch izobar. W trakcie pracy silnika maksymalne wartości ciśnienia i objętości są dwa razy większe niż ich wartości minimalne. Oblicz sprawność tego silnika.
ROZWIĄZANIE
Dane: dla gazu o cząsteczkach dwuatomowych:
cV = 5/2 R, cp = 7/2 R
Szukane: h
Ciepło pobrane przez układ:
Ciepło oddane przez układ:
Praca wykonana:
Sprawność silnika:
Gdyby był to silnik Carnota pracujący dla zakresu temperatur: T1 = 4T0, T2 = T0, sprawność takiego silnika wynosiłaby aż 75%.
(10)
(11)
2010/2011-I-4
Sześć jednakowych jednowatowych oporników stuomowych (100 Ω/1 W) połączono w obwód elektryczny w kształcie czworościanu foremnego, tak że na każdej krawędzi tego czworościanu znajduje się dokładnie jeden opornik. Do dwóch różnych wierzchołków tego czworościanu podłączono zasilanie o różnicy potencjałów U0 = 6 V. Oblicz wartość całkowitego prądu płynącego w obwodzie. Jakie jest maksymalnie dopuszczalne napięcie zasilania U, aby żaden z oporników się nie przepalił?
ROZWIĄZANIE
Dane: R = 100 Ω, P = 1 W, U0 = 6 V
Szukane: U
Opór zastępczy między dowolną parą wierzchołków wynosi:
Całkowity prąd płynący w obwodzie wynosi:
(12)
Icałk (13)
Maksymalna moc wydzielona na oporniku R włączonym bezpośrednio pomiędzy punktami A i B wynosi:
Stąd dopuszczalne napięcie zasilające:
(15) 11 2 1 2 1 2 RR RR R R AB AB =+ +⇒ = I U R U R calk AB A == = 00 2 012 , P U R URP =⇒ == 2 10 V P U R URP =⇒ == 2 10 V
(14)
2010/2011-I-5
Na ławie optycznej ustawiono w kolejności jeden za drugim następujące obiekty: zwierciadło płaskie, przedmiot świecący, soczewkę skupiającą o ogniskowej f oraz ekran. Przedmiot świecący, znajdujący się pomiędzy zwierciadłem a soczewką, umieszczono dokładnie w ognisku soczewki oraz w odległości d od zwierciadła. Ekran służy do obserwacji powstającego obrazu rzeczywistego. Oblicz położenie obrazu oraz jego powiększenie. Zrób wykres zależności powiększenia od stosunku d/f
ROZWIĄZANIE
W zwierciadle powstaje obraz pozorny, którego odległość od soczewki wynosi: (16)
Zatem dla soczewki: (17)
Daje to powiększenie obrazu: (18)
xd f =+ 2 11 1 xy f y fx xf += ⇒= ⋅ p y x f dd f == = 2 1 2/ f d d Z
2023/2024-II-1
Jaką pracę należy wykonać podczas wybijania piłeczki golfowej o masie m = 45 g tak, żeby upadła ona na ten sam poziom, z którego została wybita, po czasie t = 5 s w odległości d = 200 m od miejsca wybicia? Jaką średnią siłą działał na piłeczkę w trakcie uderzenia kij golfowy, jeśli kontakt kija z piłeczką trwał D t = 0,5 ms? Pomiń opór powietrza. Przyjmij g = 10 m/s2
ROZWIĄZANIE
Dane: m = 45 g; t = 5 s; d = 200 m; D t = 0,5 ms; g = 10 m/s2; rzut ukośny
Szukane: praca W; średnia siła Fśr
Równania ruchu w rzucie ukośnym:
Po czasie lotu t piłeczka upada na ten sam poziom (y = 0), pokonując w poziomie dystans x = d, zatem:
początkowa
SPOSÓB II obliczenia prędkości v0
Korzystamy ze wzorów na czas lotu i zasięg w rzucie ukośnym (α – kąt wyrzutu piłeczki względem poziomu):
Praca wykonana przy wybiciu piłeczki jest równa jej energii kinetycznej tuż po wybiciu, zatem:
Średnia siła jest równa zmianie pędu podczas uderzenia kijem, jaka wystąpiła w czasie uderzenia:
2023/2024-II-2
Równia pochyła zakończona jest na dole pętlą kołową o promieniu R (podstawa równi i pętli znajduje się na jednym poziomie). Z wysokości h z równi puszczamy mały klocek, o rozmiarach dużo mniejszych od promienia pętli, nadając mu prędkość v0 w dół równi. Na całej drodze klocka nie występują siły oporu. Wyprowadź zależność prędkości v0 od wysokości h i promienia okręgu R, aby klocek pokonał pętlę, nie odrywając się od niej w najwyższym punkcie. Oblicz, jaką prędkość trzeba nadać klockowi, aby pokonał on pętlę o promieniu R = 1 m, startując z dwóch różnych wysokości: h1 = 2,5 R lub h2 = R. Przyjmij g = 10 m/s2.
ROZWIĄZANIE
Dane: promień pętli R; wysokość początkowa h; g = 10 m/s2
Szukane: Prędkość początkowa w funkcji wysokości, v0(h), wartości v0(h1 =2,5 R) oraz v0(h2 =2 R) dla R = 1 m
Z zasady zachowania energii (dla położenia początkowego i na szczycie pętli):
Aby w najwyższym punkcie pętli klocek nie oderwał się (rozważamy przypadek graniczny): (1) w układzie nieinercjalnym musi wywierać nacisk na pętlę, tzn. siła odśrodkowa musi co najmniej równoważyć ciężar, lub (2) w układzie inercjalnym, ciężar musi pełnić rolę siły dośrodkowej.
Oba sformułowania prowadzą do wniosku, że klocek w najwyższym punkcie pętli musi mieć prędkość u co najmniej taką, że:
2 2 mumgugR R =⇒=
Zatem: 0 5 2 2 vgRh
(8)
(9)
Dwa przypadki: () () 01 02 2,50 m 235,48 s vhR vhRgR == === (10) 22 0 2 22 mvmumghmgR +=⋅+
2023/2024-II-3
Oblicz najmniejszą objętość komory spalania, Vmin, dla pojedynczego cylindra silnika spalinowego o skoku s = 91,2 mm i średnicy tłoka d = 83,5 mm, jeśli sprawność takiego silnika wynosi h= 67%. Załóż, że gazem roboczym jest powietrze traktowane jak 2-atomowy gaz doskonały, oraz że silnik realizuje cykl termodynamiczny Otta o sprawności wyrażonej wzorem: h= 1 - (Vmin/Vmax)k-1 (k jest wykładnikiem adiabaty, a Vmax jest największą objętością komory spalania w trakcie cyklu). Skok tłoka jest wysokością pokonywaną przez tłok między jego najwyższym i najniższym położeniem w cylindrze, a cylinder ma stały przekrój kołowy. Objętość pobieranego paliwa jest zaniedbywalnie mała w stosunku do objętości gazu roboczego.
ROZWIĄZANIE
Dane: s = 91,2 mm; d = 83,5 mm; h= 0,67; cykl Otta, znany wzór na sprawność; 2-atomowy gaz doskonały
Szukane: najmniejsza objętość komory spalania, Vmin, cylindra w silniku spalinowym
gaz 2-atomowy → k= 1,4
2023/2024-II-4
Amperomierz o oporze wewnętrznym RA, połączony z biegunami ogniwa o sile elektromotorycznej e= 1,6 V i oporze wewnętrznym r = 0,2 Ω, wskazuje natężenie prądu I1 = 4 A. Jakie będzie wskazanie amperomierza, jeżeli nie odłączając go od ogniwa włączymy równolegle do niego opornik o oporze R = 0,1 Ω? Załóż, że siła elektromotoryczna ani opór wewnętrzny baterii nie ulega zmianie. Ile razy wzrosła moc wydzielona na oporze wewnętrznym baterii po włączeniu dodatkowego opornika?
ROZWIĄZANIE
Dane: e= 1,6 V; r = 0,2 Ω; I1 = 4 A; R = 0,1 Ω
Szukane: Nowy prąd przez amperomierz, I2; stosunek mocy na baterii, P2/P1, po i przed dołączeniem oporu R
Opór wewnętrzny amperomierza (na podstawie II prawa Kirchhoffa): (12)
Prąd na amperomierzu po wpięciu dodatkowego opornika: A 2 A U I R = , gdzie napięcie na amperomierzu (równe napięciu na poł. równoległym amperomierza z opornikiem R): UA =e- I ⋅ r.
Prąd całkowity (przez baterię):
Stąd:
(14)
Moc na oporze wewnętrznym baterii: – początkowo: P1 = I1 2 r – po wpięciu dodatkowego opornika: P2 = I 2 r
Stąd:
2023/2024-II-5
Przedmiot świecący ustawiony jest na osi optycznej soczewki rozpraszającej o ogniskowej równej f =-8 cm. Gdzie powstaje obraz, jeżeli przedmiot jest ustawiony w odległości x1 =-2 f od soczewki? Oblicz jego powiększenie. Przedstaw stosowną konstrukcję obrazu. Zapisz ogólny wzór na powiększenie obrazu, jeżeli przedmiot znajduje się w odległości xm =-m ⋅ f, gdzie m jest dowolną liczbą dodatnią. Przedstaw na wykresie zależność powiększenia p(m) dla kolejnych całkowitych liczb m = {0,1,2,3,4}.
ROZWIĄZANIE
Dane: soczewka rozpraszająca; f =-8 cm; x1 =-2 f ; xm =-m ⋅ f
Szukane: y1; powiększenie p; konstrukcja obrazu; ogólny wzór na powiększenie
Ogólne równanie soczewki: 111 += xyf , stąd =xf y xf ; powiększenie obrazu: . ==yf p xxf
Dla x1 =-2 f mamy więc: 1 1 1 216 cm5,33 cm 33 xff y xf ===-=-(16) (obraz powstaje po tej samej stronie, co przedmiot, jest więc pozorny). 1 1 1 1 0,33 3 y p x ==== . (17)
Dla dowolnego m (xm =-m ⋅ f ) ogólny wzór na powiększenie jest: (18) m m m 1 1 yf p xmffm === --+
2023/2024-III-1
Na równi pochyłej o kącie nachylenia α= 15° ustawiamy dwa małe klocki: o masie m1 na dole równi, oraz o masie m2, dokładnie w połowie równi. Między klockami a równią występuje tarcie o współczynniku f = 0,5. Klocek m2 spoczywa. Jaką najmniejszą prędkość v0 w górę równi należy nadać dolnemu klockowi m1, aby oba klocki po złączeniu się (zderzenie całkowicie niesprężyste) dotarły do szczytu równi? Długość równi przyjmij równą s = 2 m, a przyśpieszenie grawitacyjne g = 10 m/s2. Rozważ 2 przypadki: m2 = m1 oraz m2 =2m1.
ROZWIĄZANIE
Dane: α= 15°; f = 0,5; s = 2 m; g = 10 m/s2
Szukane: prędkość klocka m1 na dole równi, aby po połączeniu oba klocki dotarły do szczytu równi, w dwóch przypadkach: m2 = m1 oraz m2 =2m1
→: 22 10 11 1 1 11 2 cos 22 mvmv fmgsmgh -α⋅=+
2023/2024-III-2
Ciężarek o masie m = 2 kg zawieszono na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l = 50 cm, której wytrzymałość na zerwanie wynosi W = 65 N. Drugi koniec nici przytwierdzono do pionowej osi obrotu. Oś zaczyna wirować ze stałą częstością, powodując wychylenie ciężarka od pionu. Załóż, że w trakcie ruchu oś, nić i ciężarek pozostają w jednej płaszczyźnie. Przy jakiej największej częstości w1 nić nie zerwie się aż do osiągnięcia przez ciężarek stanu równowagi? Jeżeli częstość wirowania wyniosłaby w2 =10 rad/s (w2 >w1), to przy jakim kącie odchylenia nici od pionu nić zerwie się, zanim ciężarek osiągnie stan równowagi (jeszcze podczas odchylania)? Przyjmij g = 10 m/s2.
ROZWIĄZANIE
Dane: m = 2 kg; l = 50 cm; W = 65 N; w2 =10 rad/s; g = 10 m/s2
Szukane: Częstość w1, przy której nić zerwie się w stanie równowagi; kąt j odchylenia nici od pionu w momencie zerwania nici przed osiągnięciem stanu równowagi przy częstości w2 >w1
Stan równowagi ciężarka oznacza: god FFN +=
, gdzie Fg = mg, Fod = mw1 2r, N – naciąg nici. Położenie równowagi dane jest przez kąt θ odchylenia nici od pionu. W przypadku granicznym (zerwanie nici w położeniu równowagi): N = W. Mamy zatem:
2 2 22 1 1 sin 8 rad/s cos Wmgmr rlW ml mg W
W przypadku zerwania się nici przed osiągnięciem położenia równowagi (przy kącie odchylenia nici od pionu j < θ dla częstości wirowania w2 >w1), zerwanie nastąpi, gdy:
(równowaga składowych wzdłuż nici)
Po uwzględnieniu: r′ = l sin j, mamy równanie kwadratowe na cos j:
Stąd:
(rozwiązanie z „–” odrzucamy, bo chcemy, aby j< 90°)
Zatem: cos j= 0,7 →j= 45,6°
2023/2024-III-3
Rozważ silnik termodynamiczny pracujący w cyklu złożonym z adiabaty, izobary i izochory (jest to cykl Lenoira). Objętość gazu roboczego w tym cyklu zmienia się między wartością najmniejszą, Vmin, i największą, Vmax. Przemiana izochoryczna zachodzi przy objętości Vmin, rozprężanie zachodzi w przemianie adiabatycznej, a sprężanie w przemianie izobarycznej. Wyprowadź wzór na sprawność tego cyklu dla gazu doskonałego o znanym wykładniku adiabaty k i wyraź go przy pomocy stosunku Vmax /Vmin = r (zwanego stopniem sprężania). Ile wynosi sprawność tego cyklu, jeśli stopień sprężania wynosi r = 10, a gazem roboczym jest 2-atomowy gaz doskonały?
ROZWIĄZANIE
Dane: cykl Lenoira; r = Vmax /Vmin; k
Szukane: wzór na sprawność cyklu Lenoira, h; wynik liczbowy dla r = 10 i gazu doskonałego o 2-at. cząsteczce.
Ciepło wymienione z otoczeniem w cyklu:
pobrane31V13 ) ( QQnCTT → ==- (11)
oddane23p23 ) ( QQnCTT → ==- (12)
Równanie przemiany adiabatycznej: TV k-1 = const., izobarycznej: V/T = const. Stąd:
Sprawność cyklu:
Gaz 2-atomowy: k= 1,4. Wynik liczbowy dla r = 10: h= 47,7%.
2023/2024-III-4
Nierelatywistyczny proton o energii kinetycznej Ek =7,5⋅ 10-15 J krąży w jednorodnym i prostopadłym do wektora prędkości protonu polu magnetycznym po okręgu z okresem T = 6,5 ns. Linie pola magnetycznego ułożone są prostopadle do płaszczyzny kartki i zwrócone za płaszczyznę kartki, a wektor prędkości protonu zwrócony jest w płaszczyźnie kartki w prawo. Jakiego pola elektrycznego należy użyć, aby tor ruchu protonu przeszedł w linię prostą, styczną do obecnej orbity? Oblicz wartość i zaznacz kierunek i zwrot tego pola. Dane: masa i ładunek protonu m =1,67⋅ 10-27 kg, q =+e =1,6⋅ 10-19 C.
ROZWIĄZANIE
Dane: Ek =7,5⋅ 10-15 J; T = 6,5 ns; m =1,67⋅ 10-27 kg; q =+e =1,6⋅ 10-19 C
Szukane: Natężenie pola elektrycznego E → (wartość oraz kierunek i zwrot), przy którym ruch protonu będzie prostoliniowy
Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej w ruchu ładunku q po okręgu o promieniu r z okresem obiegu T w polu magnetycznym B. Zatem: 2 2 2 mv qvB rm B rqT T
(15)
Aby ruch ładunku był prostoliniowy w skrzyżowanych polach E → i B → musi wystąpić równowaga sił: elektrycznej i Lorentza. Zatem: elL FFqEqvBEvB =⇒=⇒= (16)
Prędkość:
2 k k 2 2 mvE Ev m =⇒= (17)
Zatem natężenie pola elektrycznego ma wartość: 7 k k 8 22 V 310 m EmEm E mqTqT ππ =⋅==⋅ (18)
2023/2024-III-5
W odległości d za soczewką skupiającą o ogniskowej f ustawiono na wspólnej osi optycznej zwierciadło wklęsłe o ogniskowej f1. Jakie kryterium musi spełniać położenie przedmiotu x przed soczewką, aby układ soczewka i zwierciadło utworzył ostry obraz rzeczywisty? Przedstaw warunek na x jako funkcję d, f i f1. Podaj wynik liczbowy dla: d = 10 cm, f = 2 cm, f1 = 4 cm oraz przedstaw konstrukcję obrazu dla przykładowego x spełniającego kryterium.
ROZWIĄZANIE
Dane: d = 10 cm, f = 2 cm, f1 = 4 cm
Szukane: Warunek na położenie przedmiotu x jako funkcję d, f i f1, aby powstał obraz rzeczywisty; konstrukcja obrazu
Ogólne równanie soczewki: 111 += xyf , stąd położenie obrazu za soczewką =xf y xf .
Warunek nr 1: x > f, żeby y > 0 (obraz powstaje za soczewką → jest rzeczywisty)
Warunek nr 2: y < d, żeby obraz za soczewką powstał przed zwierciadłem.
Położenie przedmiotu przed zwierciadłem: 1 xf xdyd xf =-=-.
Warunek nr 3: x1 > f1, żeby w zwierciadle powstał obraz rzeczywisty. Zatem:
(19)
Warunek nr 4: y1 < d, aby obraz utworzony w zwierciadle powstał przed soczewką (pomiędzy soczewką i zwierciadłem). Stąd:
(20)
Konstrukcja (dla x = 7 cm):
