UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA- ÁREA DE ÁLGEBRA MARACAY-EDO ARAGUA
INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
Prof. Yerikson Suárez H. 6/4/13
Abril, 2013
P.A 2013-1
8. Razonamientos l贸gicos. Simbolizaci贸n. Validez. Reglas de Inferencias. Un razonamiento deductivo o inferencia consiste en aseverar o concluir algo a partir de algunas proposiciones iniciales
El razonamiento deductivo se basa en el hecho de poder llegar a una conclusi贸n, la cual se deriva como consecuencia de ciertas proposiciones llamadas premisas
En matem谩tica interesan los razonamientos donde a partir de premisas verdaderas se obtienen conclusiones verdaderas
6/4/13
Como un ejemplo interesante para comprender el razonamiento deductivo, te propongo resolver los siguientes acertijos. 1) ACERTIJO DE LAS DEPORTISTAS. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una? 2) EL ACERTIJO DE EINSTEIN. Tenemos 5 casas de cinco colores diferentes y en cada una de ellas vive una persona |de una nacionalidad diferente. Cada uno de los dueños bebe una bebida diferente, fuma una marca de cigarrillos diferente y tiene una mascota diferente. Tenemos las siguientes claves: •El británico vive en la casa roja. •El sueco tiene un perro. •El danés toma té. •La casa verde esta a la izquierda de la blanca. •El dueño de la casa verde toma café. •La persona que fuma Pall Mall tiene un pájaro. •El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill. •El que vive en la casa del centro toma leche. •El noruego vive en la primera casa. •La persona que fuma Brends vive junto a la que tiene un gato. •La persona que tiene un caballo vive junto a la que fuma Dunhill. •El que fuma Bluemasters bebe cerveza. •El alemán fuma prince. •El noruego vive junto a la casa azul. •El que fuma Brends tiene un vecino que toma agua. Y por último la pregunta: ¿Quién es el dueño del pececito?
RESPUESTA ACERTIJO 1. LAS DEPORTISTAS Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz. RESPUESTA ACERTIJO 2. ACERTIJO DE EINSTEIN CASA 1 Noruego Amarillo Agua Dunhill Gatos
CASA 2 Danés Azul Té Blend Caballos
CASA 3 Inglés Rojo Leche PalMall Pájaros
CASA 4 Alemán Verde Café Prince PECES
CASA 5 Sueco Blanco Cerveza BlueMaster Perro
•En el proceso deductivo progresamos a partir de información conocida, hasta alcanzar cierta información desconocida que nos interesa obtener •La información conocida actúa como las premisas de un argumento, y la desconocida como la conclusión •Lo que caracteriza que una deducción esté bien hecha es que cada paso que demos sea seguro: cada nueva información debe seguirse de las anteriores.
representación SIMBÓLICA DE inferencias Forma vertical
P1 P2 . . .
Premisas
Pn Conclusión
C
¿Cuándo es correcto un razonamiento? CUANDO la conjunción de las premisas IMPLICA A L A CONCLUSIÓN
(P1 ^ P2 ^ … ^ Pn) ⇒ c
Entonces una vía para establecer la validez de un razonamiento o inferencia, es demostrando que la proposición (p1 ∧ p2 ∧…….∧ pn ) → q es una tautología
Veamos el siguiente ejemplo. Simbolizar el siguiente razonamiento (inferencia) y determinar si es correcto. Si apruebo el curso propedéutico, entonces ingreso a la universidad. Aprobé el curso propedéutico___________________________________ Ingreso a la Universidad
Sean p: apruebo el curso propedéutico q: Ingreso a la universidad SIMBOLIZACIÓN Premisas Conclusión
6/4/13
p → q p______ q
Para saber si tal inferencia (razonamiento) es correcto veamos si la conjunción de las premisas implica lógicamente a la conclusión Esto es, verificar si [(p → q) ∧ p ] → q es una TAUTOLOGÍA, lo cual se puede corroborar a través de las tablas de verdad
p
q
p→ q
((p→ q ) ∧ p)
[(p→ q ) ∧ p] → q
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
¿Cuándo un razonamiento es incorrecto o inválido?
Cuando a partir de premisas verdaderas se obtienen conclusiones que no lo son.
Po rejemplo. Simbolizar el siguiente razonamiento (inferencia) y determinar si es correcto. Si José Gregorio Hernández nación en Caracas, entonces es Venezolano. José Gregorio Hernández es Venezolano____________________________ José Gregorio Hernández nació en Caracas
Sean r: JGH nació en Caracas t: JGH es venezolano SIMBOLIZACIÓN r → t t______ r
Al construir la tabla de verdad correspondiente al condicional cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y la conclusión es el consecuente, se comprueba que no se trata de una tautología. Y en por lo tanto el razonamiento es incorrecto. HACER LA TABLA DE VERDAD
6/4/13
8
Cuando una o más premisas son falsas también se pueden hacer inferencias o razonamientos correctos a pesar de obtener una conclusión que es falsa Por ejemplo Si un animal vuela, entonces tiene alas Si un animal tiene alas, entonces es un pájaro Si el animal vuela, entonces es un pájaro.
Este razonamiento es correcto. (VERIFÍQUELO)
Sin embargo, la conclusión es falsa, ya que una abeja vuela pero no es un Esto sucede debido a quepájaro. la segunda premisa es FALSA. Otro ejemplo Todos los humanos son inmortales _______Sócrates es un humano________ Sócrates es inmortal
A pesar de que el razonamiento es correcto, la conclusión es falsa. Esto es debido a que es falsa la primera proposición (premisa)
EN MATEMÁTICA SOLAMENTE NOS INTERESAN RAZONAMIENTOS CORRECTOS DONDE SE OBTIENEN CONCLUSIONES VERDADERAS A PARTIR DE PREMISAS VERDADERAS
6/4/13
9
Reglas de Inferencias Las reglas o leyes de inferencia son razonamientos simples y vรกlidos que son empleados para realizar razonamientos mรกs complejos.
Veamos a continuación cada una de esas reglas de inferencia Modus Ponendo Ponens (MPP)
Modus Tollendo Tollens (MTT)
Modus Tollendo Ponens (MTP)
Simplificación (S)
Método de Afirmar afirmando
Método de Negar negando
Si llueve, entonces me voy al cine Llueve________ Voy al cine
Si pagan hoy, entonces hago el mercado No hice mercado ________ No pagaron
p → q p______ q p → q ∼q____ _ ∼p p∨ q
Método de Afirmar negando
Presento el examen o hago la exposición No presento el examen ________ Hago la exposición
Si la premisa es una conjunción, por ser esta verdadera, son verdaderas cada una de las proposiciones que la componen
Estudio Álgebra y Estudio Geometría Estudio Álgebra
∼p____ q
p∧ q p
Adición (A)
Conjunción (C)
A una premisa cualquiera, por ser verdadera, se le puede adicionar otra premisa a través de la disyunción, la cual será también verdadera
Dadas dos premisas, por ser estas verdaderas, también lo será su conjunción
El hombre llegó a la Luna El hombre llegó a la Luna o llegó al Sol
El hombre llegó a Marte El hombre llegó a la Luna El hombre llegó a la Marte y llegó a la Luna
Silogismo Hipotético (SH)
Entrelaza dos condicionales a través de una proposición en común
Si voy al juego, voy a comer pizza Si como pizza, tengo pesadillas Si voy al juego, tendré pesadillas
Silogismo Disyuntivo (SD)
Entrelaza dos condicionales y la disyunción de los antecedentes
Si voy al juego, voy a comer pizza Si hago ejercicio, adelgazaré Voy al juego o hago ejercicio Comeré pizza o adelgazaré
p___ p∨ q
p q___ p∧ q
p→q q→ r p→ r
p→ r q→ s __p ∨ q__ r∨s
TABLA RESUMEN DE LAS REGLAS DE INFERENCIA Modus p → q Ponendo p______ Ponens q (MPP)
Modus Tollendo Tollens (MPP)
p → q ∼q_____
Modus Tollendo Ponens (MTP)
Simplificación (S)
∼p
p∨ q ∼p____ q
p∧ q p
Adición (A)
Conjunción (C)
p___ p∨ q
p q___ p∧ q
Silogismo p → q q→r Hipotético p→ r (SH)
Silogismo p → r q→s Disyuntivo __p ∨ q__ (SD) r∨s
Se recomienda verificar que los razonamientos o inferencias anteriores son válidos. Para esto, basta con hacer uso de las tablas de verdad y la definición de implicación lógica, para comprobar que el condicional entre conjunción de las premisas y la conclusión es una tautología.
En la demostración de las validez de razonamientos más complejos, el uso de las tablas de verdad es sumamente engorroso y tedioso, por lo que haremos uso de las reglas de inferencia, que nos permitirán: a) Considerar únicamente los casos en que todas las premisas sean verdaderas (sin construir la tabla de verdad) b) Justificar cada paso que se da en el razonamiento, para demostrar que la conclusión verdadera se deriva de premisas verdaderas y de esta manera establecer la validez del argumento NO OLVIDAR que las leyes de equivalencia lógicas pueden ser utilizadas en el proceso de inferencia, puesto que nos permitirán hacer sustituciones equivalentes de manera conveniente.
6/4/13
A continuación, se presentarán una serie de razonamientos, cuya validez se deberá comprobar a través de la aplicación de las reglas de inferencia. Ejemplo 1. Si me gradúo y encuentro un trabajo, entonces ganaré dinero. Si gano dinero, podré ayudar a mi familia. No he podido ayudar a mi familia. Por lo tanto, no me he graduado o no he encontrado trabajo. Simbolización del razonamiento (g ∧ t) → d d→a ∼ a________ ∼g∨∼t
Demostración de la validez del razonamiento 1) (g ∧ t) → d, premisa 2) d → a, premisa 3) ∼ a, premisa 4) ∼d, MTT 2) y 3) 5) ∼(g ∧ t), MTT 1) y 4) 6) ∼ g ∨ ∼ t, De Morgan 5) Como se observa, llegamos a la conclusión; con lo cual el razonamiento es válido.
Ejemplo 2. Demostrar que los siguientes razonamientos son válido
p → r, r → s, t ∨ ~ s, ~ t ∨ u, ~ u ∴ ~p1) Premisa p→ r
p → (q→ r), p ∨ s, t→q, ~ s ∴ ~ r → ~ t 1)
p → (q→ r)
Premisa
2)
r→ s
Premisa
2)
Premisa
3)
t∨ ~s
Premisa
p∨ s
3)
t→q
Premisa
4)
∼t ∨ u
Premisa
4)
~s
Premisa
5)
∼u
Premisa
5)
p
MTP 2) y 4)
6)
p→ s
SH 1) y 2)
6)
q→ r
MPP 1) y 5)
7)
~s∨ t
Conmutativa 3)
7)
t→r
SH 3) y 6)
8)
s→ t
Ley Condicional 7)
8)
Ley Contrarecíproco
9)
p→ t
~r→ ~t
SH 6) y 8)
10)
t→ u
Ley Condicional 4)
11)
p→ u
SH 9) y 10)
12)
~p
MTT 5) y 12)