República Bolivariana de Venezuela Universidad Pedagógica Experimental Libertador Instituto Pedagógico de Maracay “Rafael Alberto Escobar Lara” Departamento de Matemática.
TALLER: Análisis Combinatorio Facilitador: Prof. Yerikson Suárez H. Objetivo del Taller : Formar al futuro docente de Matemática en lo relativo a los elementos básicos de la teoría combinatoria, haciendo énfasis en el estudio de problemas concretos, y en el desarrollo de técnicas de razonamiento combinatorio y de conteo. Resumen de Contenido : (1) Introducción a la teoría combinatoria. Importancia; (2) Principios de conteo: (a) Principio aditivo, (b) Principio multiplicativo, (3) Permutaciones, Variaciones y Combinaciones. Definiciones, diferencias, ejemplos ilustrativos, deducción de algunas fórmulas básicas. Notación.
Problema A: En una caja de seguridad existen sólo 3 dígitos: 1,6 y 9. (i)¿Cuántas claves secretas será posible construir, respetando el hecho de que no se pueden repetir ningún dígito y deben estar involucrados todos los dígitos?, (ii)¿Cuáles son las posibles claves?. (iii)¿Qué sucede si es posible construir claves con dígitos repetidos?, ¿Cuántas claves es posible crear ahora? Problema B: En una institución educativa a los estudiantes de cada salón se les asigna un número único de identificación para cada alumno. Tal código está formado por un número de 4 cifras que se forman con los dígitos 2,3,5 y7. (i) ¿Cuántos alumnos como máximo debe haber en cada salón y cuáles serían sus códigos si ningún dígito se puede repetir en el mismo?, (ii)¿y si los dígitos se pueden repetir, cuantos códigos se formarían y cómo queda el número de alumnos por aula de clase?
Problema C: Con las primeras 6 letras del abecedario, cuántas placas para carros se pueden armar suponiendo que no se puede repetir ninguna letra? Ahora suponga que si es válido que aparezcan letras repetidas, ¿Cuántas placas se pueden hacer?
Todos los problemas que analizaste anteriormente tratan acerca del ordenamiento de objetos según ciertas restricciones, condiciones o requerimientos. En el caso particular de los problemas anteriores, se trata de arreglos u ordenamientos llamados PERMUTACIONES.
A la hora de estudiar las permutaciones es conveniente introducir un concepto: la hora de de un estudiar las permutaciones es conveniente introducir un concepto: ElAfactorial número. El factorial de un número. Sean n un número entero no negativo, se define el factorial de n, lo cual se Sean n un número entero no negativo, se define el factorial de n, lo cual se denota n!, al número n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1 denota n!, al número n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1 A continuación trataremos de deducir la fórmula para obtener el número de permutaciones de n objetos.
Pero antes veamos el principio de multiplicación para el conteo:
Principio de Multiplicación: Si un proceso A se puede hacer de n a maneras y un proceso B se puede hacer de nb maneras, entonces el número de maneras de ejecutar ambos procesos en conjunto viene dado por na. Nb Observación: este principio se extiende a un número finito de procesos diferentes
Veamos Veamosalgunos algunosejemplos ejemplosde deeste esteprincipio: principio:
Ejemplo Ejemplo1:1:Un Untécnico técnicodesea deseaarmar armaruna unacomputadora computadoraaapetición peticiónde deun uncliente. cliente.En En inventario inventarioexisten existen33microprocesadores microprocesadores(de (demodelos modelosdistintos), distintos),44marcas marcasde dedisco disco duro, duro, 22 tipos tipos de de memoria memoria RAM RAM (con (con igual igual capacidad). capacidad). ¿De ¿De cuántas cuántas maneras maneras diferentes diferentesserá seráposible posibleque queel eltécnico técnicoconstruya construyala lacomputadora? computadora?
Ejemplo 2: En un restaurante se ofrece servicio de almuerzo ejecutivo con una sopa, un plato principal, un jugo y un postre. Todos los días se ofrece a los comensales: 2 tipos de sopa, 3 tipos de plato principal, 5 tipos de jugos y 6 tipos de postre. ¿de cuántas combinaciones de almuerzo ejecutivo se pueden seleccionar un almuerzo?
Permutaciones: consideremos n objetos, los cuales deseamos ordenar o arreglar en n casillas(y por lo tanto no se contempla la repetición de alguno de los objetos), tal y como lo refleja el siguiente esquema:
Nótese que podemos ubicar cualquiera de los n objetos en la primera casilla. En la siguiente casilla se pueden color los n-1 objetos restantes, en la siguientes los n-2 que quedan y así sucesivamente hasta que nos queda un único objeto que ocuparía la última casilla. n objetos
(n-1) objetos
(n-2) objetos
(n-3) objetos
….
…..
….
3 objetos
2 objetos
1 objeto
Luego, siguiendo este razonamiento y por el principio de multiplicación, se deduce que el número de maneras de ordenar los n objetos considerados viene dado precisamente por n.(n-1).(n-2)..3.2.1=n! En conclusión al número de manera de ordenar n objetos se le denomina PERMUTACIONES, se denota por Pn, y viene dado por n!
Nótese que es importante el orden de los objetos, es decir, la manera en la cual se dispone de los objetos es relevante, así como el hecho de que no se contempla la repetición de ningún objeto en el ordenamiento.
AHORA, SERÍAS CAPAZ DE DEDUCIR UNA FÓRMULA PARA EL CASO DE LAS PERMUTACIONES DE N OBJETOS DONDE SE PUEDEN REPETIR LOS MISMO? ?. TE RETO….. Bajo estas condiciones el número de permutaciones viene dado por P n= nn, ya que si queremos ordenar los n objetos en las casillas
Entonces tenemos: n objetos
n objetos
n objetos
n objetos
….
…..
….
n objetos
n objetos
n objeto
En consecuencia podemos distinguir entre permutaciones sin repetición y permutaciones con repetición.
Problema D: Con las letras A, B, C y D se forman las identificaciones de las salas en un hospital utilizando tan sólo dos de tales letras. ¿Cuántas salas es posible identificar siempre y cuando ninguna letra se pueda repetir. Problema E: Con los dígitos del 0 al 9, cuantas combinaciones de 3 dígitos se pueden construir (es claro que se pueden repetir los dígitos en cada combinación) Problema F: En una sala de reuniones hay 10 personas y tan sólo 4 sillas. De cuántas maneras se pueden sentar las personas en las sillas?
FÍJATE QUE LOS PLANTEAMIENTOS SON PARECIDOS A LOS CASOS DE LAS PERMUTACIONES, PERO EN ESTE CASO DE LOS n ELEMENTOS SE CONSIDERAN TAN SÓLO r DE ELLOS.
ESTE TIPO DE ORDENAMIENTOS O ARREGLOS SE DENOMINAN VARIACIONES Y TAMBIÉN CONTEMPLAN LOS CASOS CON REPETICIÓN Y SIN REPETICIÓN.
Ahora intentaremos deducir la fórmula para las variaciones así como hicimos con las permutaciones: Veamos: consideremos n objetos que se desean agrupar y ordenar en grupos de r de tales elementos (es claro que r ≤ n), para lo cual procederemos a introducir los r objetos en r cajas como el siguiente esquema:
Fíjense que podemos seleccionar cualquiera de los n objetos para ocupar la primera casilla, luego seleccionamos cualquiera de los (n-1) objetos para la siguiente, y así sucesivamente hasta completar la casilla r-ésima en la cual colocaremos alguno de los (n-r-1) objetos restantes. n objetos
(n-1) objetos
….
….
(n-r+1) objetos
Por tanto el número de maneras en que se pueden ordenar r objetos tomados de n objetos en total, se domina variación, se denota por nVr, viene dado por nVr = n.(n-1).(n-2)…(n-r+1)
Para entender mejor este argumento veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1: Consideremos un equipo de beisbol con 12 miembros, ¿de cuántas maneras será posible ordenar el orden de bateo considerando un bateador por inning? 12 jugadores
11 jugadores
10 jugadores
9 jugadores
8 jugadores
7 jugadores
6 jugadores
5 jugadores
4 jugadores
Luego, el número de manera de escoger a los 9 miembros para el juego, de los 12 que conforman el equipo, es 12V9=12.11.10…..4=79.833.600 Importante: Se puede deducir que nVr = n!/(n-r)!, la cual es conocida como la fórmula para el cálculo de las variaciones de r objetos dado n de ellos.
PREGUNTA: ¿QUE SUCEDE SI n=r? Nuevamente se ha considerado el caso de las variaciones sin repeticiones. ¿Ahora intenta deducir una fórmula para el caso de las variaciones con repeticiones?.
Es muy sencillo: Si tienes n objetos y deseas ordenar r de ellos, permitiendo la repetición de los mismos, entonces tenemos el siguiente diagrama: n objetos
n objetos
….
….
n objetos
………………………..r veces………………………………..
Por lo que en este caso el número de variaciones viene dado según el razonamiento hecho y el principio de multiplicación por nVr = nr.
PROBLEMA G: Con 5 potes de pintura (de colores diferentes), cuรกntos colores pueden formarse si mezclamos 3 en la misma proporciรณn. PROBLEMA H: Se deben elegir 4 personas entre 7 para formar una comisiรณn de trabajo. ยฟDe cuรกntas maneras puede hacerse esto? Nรณtese que se trata de problemas diferentes al de las permutaciones y/o variaciones ya que en este caso el orden de los arreglos o disposiciones es irrelevante, es decir, no es importante. En este tipo de problemas estamos en presencia de unos arreglos denominados COMBINACIONES. Esto es, de cuantas maneras podemos disponer r objetos tomados de n elementos sin tomar en cuenta el orden de los mismos. La fรณrmula para la combinaciones (sin repeticiรณn) se puede deducir de la fรณrmula de variaciรณn:
nCr
= n!/r!.(n-r)!
Nรณtese que se trata de la misma fรณrmula de las variaciones, sรณlo que dividida por r!, lo cual se corresponde a las permutaciones de los r objetos(que como ya establecimos, nos son indiferentes en este caso)