Matematika 5 by Zavod za udžbenike

Владимир Мићић Вера Јоцковић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић

Mатематикa за пети разред основне школе

Предговор ПЕТОМ издању У претходне четири године уџбеник и пратеће збирке задатака прошли су проверу у пракси. Уважавајући примедбе и предлоге корисника уџбеника, пре свега наставника математике, извршили смо незнатне редукције теоријских садржаја а неколико примера и задатака пребацили смо у Збирку за оне који желе и могу више. Те промене нису нарушиле нашу концепцију у реализацији програмом прописаних циљева и задатака наставе математике. Извршен је редизајн уџбеничког комплета, усаглашен са редизајном комплета за шести, седми и осми разред основне школе. Да бисмо олакшали коришћење уџбеника: – црвеном бојом су штампане реченице којима се уводе нови појмови (дефиниције); – црном бојом су штампане реченице којима се истичу битна својства (теореме); – у примерима су формулације захтева штампане другим типом слова (фонтом). И овом приликом захваљујемо се корисницима уџбеника који су нам својим примедбама и сугестијама помогли да га учинимо бољим. Очекујемо наставак сарадње. Autori

Садржај

СКУПОВИ

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Скуп, елементи скупа. ............................................................................................................. 9 Операције са скуповима, пресек, унија и разлика........................................................ 14 Осврт на скуп природних бројева N и скуп N0............................................................. 21 Изрази с променљивом ............................................................................................................ 26

ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

Тачка и линија................................................................................................................................ 30 Права, полуправа, дуж................................................................................................................ 32 Раван................................................................................................................................................... 37 Изломљене линије. Области................................................................................................... 38 Фигура. Многоугао......................................................................................................................... 42 Кружница. Круг............................................................................................................................ 45 Кружница и права........................................................................................................................ 47 Кружни лук, тетива................................................................................................................. 49

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.

УГАО

Појам угла........................................................................................................................................ 53 Централни угао. Преношење углова. Упоређивање углова....................................... 56 Врсте углова................................................................................................................................... 60 Сабирање и одузимање углова. Комплементни и суплементни углови........... 64 Мерење углова................................................................................................................................ 67 Паралелне праве и њихова трансверзала и углови које оне одређују................. 71 Углови са паралелним крацима.............................................................................................. 74

ДЕЉИВОСТ БРОЈЕВА

4.1. Дељење у скупу N0 (једнакост a = bq + r, 0 ≤ r < b)................................................ 77 4.2. Појам дељивости; чиниоци и садржaоци природног броја........................................ 79 4.3. Основна својства дељивости.................................................................................................. 81 4.4. Даља својства дељивости; једнакост a = b � q + r поново.................................... 83 4.5. Дељивост декадним јединицама и бројевима 2, 5, 4................................................ 87 4.6. Дељивост са 3 и 9..................................................................................................................... 91 4.7. Прости и сложени бројеви....................................................................................................... 93 4.8. Делиоци природних бројева...................................................................................................... 95 4.9. Заједнички делилац и највећи заједнички делилац......................................................... 99 4.10. Заједнички садржалац и најмањи заједнички садржалац........................................... 103

РАЗЛОМЦИ

ОСНА СИМЕТРИЈА

5.1. Појам разломка облика a (a, b ! N) ................................................................................... 107 b 5.2. Проширивање и скраћивање разломака............................................................................ 112 5.3. Упоређивање разломака............................................................................................................. 117 5.4. Сабирање разломака; запис a ............................................................................................... 120 b 5.5. Својства сабирања разломака............................................................................................... 124 5.6. Одузимање разломака............................................................................................................... 126 5.7. Множење разломака; запис a ............................................................................................... 128 b 5.8. Веза сабирања и множења разломака; запис a ............................................................. 133 b 5.9. Дељење разломака; запис a .................................................................................................. 135 b 5.10. Децимални запис разломака................................................................................................... 137 5.11. Превођење децималног записа разломка у облик m n и обрнуто........................... 140 5.12. Процентни запис разломка..................................................................................................... 146 5.13. Сабирање и одузимање разломака; децимални запис................................................. 148 5.14. Множење и дељење разломака; децимални запис........................................................ 150 5.15 Својства операција сабирања, одузимања, множења и дељења.......................... 151 5.16. Упоређивање разломака; децимални запис....................................................................... 152 5.17. Бројевни изрази.............................................................................................................................. 154 5.18. Придруживање тачака бројевне полуправе разломцима.......................................... 158 5.19. Једначине и неједначине............................................................................................................. 162 5.20. Заокругљивање бројева............................................................................................................... 166 5.21. Аритметичка средина.............................................................................................................. 168 5.22. Размера и њене примене.......................................................................................................... 170 5.23. Мешовити бројеви........................................................................................................................ 172

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

Осна симетрија у равни........................................................................................................... 177 Цртање осносиметричних фигура..................................................................................... 181 Осна симетричност фигуре................................................................................................... 184 Симетрала дужи........................................................................................................................... 188 Примене симетрале дужи........................................................................................................ 191 Симетрала угла............................................................................................................................ 196

РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА....................................................................................... 198

СКУПОВИ 2.1. Питагорина теорема 1.1. Скуп – елементи скупа

пример

O skupovima smo ponešto naučili u mlađim razredima.

Marija je na livadi ubrala nekoliko cvetova i napravila buket. Tako je formirala jedan skup. Ubrani cvetovi su elementi tog skupa.

Izdvajawem i grupisawem nekih objekata formiramo skup. Objekti od kojih je skup formiran su wegovi elementi. Skup zapisujemo stavqawem wegovih elemenata u veliku zagradu. Tako skup neparnih brojeva prve desetice označavamo sa {1, 3, 5, 7, 9}, a skup neparnih dvocifrenih brojeva sa {11, 13, ..., 97, 99}. Ovakav zapis je nepraktičan, a često i neizvodqiv, u slučaju da skup ima mnogo elemenata. U takvim slučajevima uočavamo neko svojstvo s koje imaju elementi tog skupa, i samo oni, i za skup koristimo zapis {x | x ima svojstvo s}

пример

пример 2

(čitamo: skup elemenata x takvih da x ima svojstvo s).

{x | x je neparan dvocifreni broj} = {11, 13, ..., 99}.

Skup crvenih cvetova sa livade zapisali bismo u obliku {x | x je crveni cvet na livadi}.

Skupovi obično imaju ime. Tako, na primer, skup đaka jedne škole koji uče isto gradivo nazivamo razred.

U matematici skupove označavamo najčešće velikim slovima. Na primer, skup prirodnih brojeva {1, 2, 3, ..., n, ...} označavamo sa N. Ako želimo da istaknemo da je a element skupa A (ili da a pripada A), pišemo a ! A. Ako neko b nije element skupa A (odnosno b ne pripada A), pišemo:

пример

b " A.

U mlađim razredima upoznali smo i skup N0 = {0, 1, 2, 3, ...}. Vidimo da 0 ! N0, ali 0 " N.

Podskup. Jednakost skupova Posmatrajući skupove N i N0 uočavamo da svaki element skupa N pripada skupu N0. Zato kažemo da je N podskup skupa N0. Ako svaki element skupa P pripada skupu S, kaže se da je skup P podskup skupa S i piše se P 1 S. Dakle, N 1 N0.

пример

Kako 0 ! N0 i 0 " N, skup N0 nije podskup skupa N.

Neka je A = {2, 32, 4, 16, 8} a B = {2, 4, 8, 16, 32}. Uočavamo da je svaki element skupa A element skupa B i obratno, svaki element skupa B je element skupa A. Dakle, skupovi A i B sastavqeni su od istih elemenata pa kažemo da su jednaki. Pišemo A = B.

Vidimo da redosled kojim nabrajamo elemente skupa nije bitan. Skupovi A i B su jednaki ako se sastoje od istih elemenata tj. ako je svaki element skupa A element skupa B i svaki element skupa B element skupa A. Pišemo A = B. U stvari, A = B je zamena za A 1 B i B 1 A.

10 пример

Dati su skupovi: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, F = {1, 3, 5, 7, 9}, G = {1, 4, 9}. Nađimo skupove L = F + (E \ G) i M = G , (E \ F). Nalazimo, redom E \ G = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}, L = F + (E \ G) = {3, 5, 7}, E \ F = {2, 4, 6, 8, 10}, M = G , (E \ F) = {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10}.

слика 13

Skupovi A i B prikazani su Venovim dijagramima (sl. 13). Nađimo Venove dijagrame skupova (A \ B) , (B \ A) i (A , B) \ (A + B).

Senčewem smo označili skup A \ B na prvoj, skup B \ A na drugoj i skup (A \ B) , (B \ A) na trećoj slici (slika 14):

пример

слика 14

A\B

(A \ B) , (B \ A)

B\A

Daqe smo (sl. 15) senčewem označili skup A , B na prvoj, skup A + B na drugoj i skup (A , B) \ (A + B) na trećoj slici: слика 15

A,B

A+B

(A , B) \ (A + B)

Vidimo na slikama 14 i 15 (kažemo i „čitamo“ sa slika) da su skupovi (A \ B) , (B \ A) i (A , B) \ (A + B) jednaki.

Задаци 1. Skupovi su dati Venovim dijagramima. Odredi presek tih skupova i navedi ele mente koji im pripadaju. слика 16

t s

e o l

B p

3 D 2 7 15 10 b)

r b d a c p t v)

F e E

G 4

3 5

6 g)

2. Navedene skupove predstavi Venovim dijagramima. Odredi wihov presek i navedi elemente tih preseka.

a) A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {3, 5, 7}

b) A = {5, 10, 15, 20, 25}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}

v) A = {23, 32, 33}, B = {2, 3}. 3. Koristeći se Venovim dijagramom (sl. 17) odgovori na sledeća pitawa:

слика 17

a) Koji brojevi pripadaju samo skupu A? b) Koji brojevi pripadaju samo skupu B? v) Koji brojevi pripadaju i skupu A i skupu B? g) Koji brojevi pripadaju skupu A ili skupu B?

2 A

4 10 8

6 12

3 9

15 B

4. Nađi presek skupova:

a) A = {2, 7, 72, 227}, B = {14, 9, 7, 2};

b) A = {123, 234, 345}, B = {321, 432, 543};

v) A = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, c, d}. 5. Skupovi su dati Venovim dijagramima (sl. 18). Osenči unije skupova i navedi elemente koji im pripadaju. слика 18

a A

a b

4 6

e f g

6. Navođewem elemenata odredi skup A , B ako je:

a) A = {5, 10, 15, 20}, B = {15, 20, 25};

b) A = {1, 2, 3}, B = {11, 12, 13, 21, 31};

v) A = {a, b, c, d, e}, B = {a, b, c}. 7. Označimo sa A skup slova pomoću kojih se zapisuje reč matematika a sa B skup slova pomoću kojih se zapisuje reč tetka.

a) Uveri se da je B 1 A.

b) Nađi skup A , B i skup A + B.

Uveri se da je u ovom slučaju A , B = A i da je A + B = B. 8. Dati su skupovi:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {3, 6, 9}.

Odredi skupove A \ B, B \ A, A \ C, C \ A, B \ C, C \ B i među narednim rečenicama izdvoj tačne:

a) 3 ! A \ B;

b) 8 " A \ B;

v) 5 ! B \ C;

g) 1 " B \ A;

d) 9 ! C \ B.

ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ ОБЈЕКТИ

Dešava se da i na početku 21. veka svi qudi nisu pismeni. Ali, gotovo svi na neki način koriste crtež kojim predstavqaju svet oko sebe. U dalekoj prošlosti qudi su ograđivali baštu oblika pravougaonika. Odvajali su je ogradom (linijom), procewivali površinu. To su počeci geometrije.

U prethodnim razredima ste učili o duži, pravoj, ..., kvadratu, pravougaoniku, ... za koje se jednim imenom kaže da su geometrijski objekti. U petom razredu ćemo proširiti znawa o ovim i učiti o još nekim geometrijskim objektima. Ta znawa ćemo i daqe, u narednim razredima, dopuwavati i proširivati.

2.1. Тачка и линија Kada posmatramo avion koji je daleko odleteo, ali ga još naziremo, kažemo da ga vidimo kao tačku. Slično tome, kada neke predmete koje našim čulima opažamo, vidimo kao vrlo sitne, kažemo da ih vidimo kao tačke. Znači, kada u prostoru oko nas vidimo neke objekte (predmete) koji su ili vrlo daleko ili su sitni, kažemo da ih vidimo kao tačke. Tada tim objektima ne pri слика 1 R pisujemo nikakav oblik, niti veličinu, već koristeći reč tačka izra A žavamo samo wihovo postojawe. Zato i u geometriji kada označavamo B tačke, koristimo vrh olovke (u svesci) ili vrh krede (na tabli) i obele X žavamo ih velikim štampanim slovima latinice, kao na slici 1. Pri tom nikada ne razmišqamo o obliku tačke, niti dve tačke upoređujemo po veličini. Često imamo potrebu da objekte iz okoline (koje predstavqamo tačkama) povežemo na neki način. Recimo, da prikažemo put između dva mesta označena tačkama A i B, konopac između držača C i D itd. Tada koristimo linije kao na slici 2. Sada slikom 2 izražavamo osim postojawa i druge osobine tog puta ili konopca. U prvom slučaju kažemo da je put krivudav, a konopac nezategnut, a u drugom da je put prav, a konopac zategnut. U oba slučaja wihove krajwe tačke se ne poklapaju. Linije pod a) nazivaju se слика 2 krive a pod b) prave linije. a) A B C D Zajednički naziv za linije na slici 2 je otvorene linije. b) A

8. Nacrtaj u svesci linije kao na slici 46, pa osenči unutrašwu oblast određenu svakom od datih linija.

слика 46

9. Nacrtaj mnogougaonu liniju A1A2A3A4A5, pa označi i obeleži dve tačke u unutrašwoj oblasti, dve tačke u spoqašwoj oblasti i dve tačke na liniji. 10. Ako sa n označimo broj stranica neke mnogougaone linije, a sa m broj temena te linije, tada važi: a) n 2 m; b) n 1 m; v) n = m. Koji odgovor je tačan?

2.5. Фигура. Многоугао Reč „figura“ koristimo u svakodnevnom razgovoru da bismo označili u jeziku stilsku figuru, stas neke osobe, određenu grupu koraka u umetničkom klizawu,... Figuru u geometriji čini prosta zatvorena linija u ravni i unutrašwa oblast određena tom linijom. Figura određena mnogougaonom linijom zove se mnogougao.

слика

Duži koje čine mnogougaonu liniju nazivaju se stranice mnogougla. Zajedni čke tačke stranica nazivaju se temena mnogougla. Prema broju temena mnogougao može biti trougao, četvorougao, petougao... Kaže se trougao ABC, četvorougao ABCD, ..., desetougao A1A2A3...A10 ... (može imati n stranica, pa je n-tougao A1A2A3...An). Kada nije bitan broj stranica, govorimo 47 samo mnogougao. Ponekad mnogougao (ali i ostale figure) senčimo ili bojimo ističući na taj način tačke koje joj pripadaju. Najčešće se to ne radi, nego se crta samo granica figure i smatra se da su tu ukqučene i tačke unutrašwe oblasti.

пример

слика 48

Na slici 48 je predstavqeno nekoliko mnogouglova. Nacrtaj jedan šestougao i obeleži ga.

УГАО 3.1. Појам угла

Pojam ugla smo upoznali ranije. Učili smo da trougao ima tri stranice i tri ugla, kvadrat četiri stranice i četiri ugla itd.

Na slici 1a nacrtan je trougao ABC. Uoči jedan wegov ugao, na primer, kod temena A. слика 1

b) C

C1 C2

слика 2

B2 B

слика 3

Stranicama AB i AC određene su poluprave sa zajedničkom početnom tačkom A. Jasno je da se uočeni ugao ne mewa ako tačke B i C mewaju svoj položaj na polupravim AB, AC (sl. 1b), odnosno uočeni ugao ne zavisi od stranice BC, pa ga možeš predstaviti kao na slici 2. Kaže se da poluprave AB i AC čine ugaonu liniju. Neke ugaone linije su prikazane na slici 3. Svaka od ugaonih linija deli ravan kojoj pripada na dva dela. Na slici 4 ti delovi su različito osenčeni. Tačke koje pripadaju istom delu mogu se među sobom povezati linijom koja ne seče ugaonu liniju. Za te tačke kažemo da se nalaze sa iste strane ugaone linije.

слика 4

Y /

Isto tako, tačke koje ne pripadaju istom delu ravni, određenom ugaonom linijom xOy, ne mogu da se povežu linijom koja ne seče ugaonu liniju. Za wih kažemo da su sa različitih strana ugaone linije. Sve tačke koje su sa iste strane ugaone linije čine jednu oblast. Znači, ugaona linija određuje dve oblasti u ravni kojoj pripada.

1 пример

слика 5

Koristeći sliku 5 proveri da li tačke A i M pripadaju jednoj oblasti, a tačke Q, R i P drugoj oblasti određenoj ugaonom linijom BOC. Tačke B, C, O pripadaju ugaonoj liniji.

C M

Q O

Ugaona linija i jedna od oblasti koju ta linija određuje u ravni naziva se ugao. Poluprave koje čine ugaonu liniju su kraci ugla, wihova zajednička početna tačka je teme ugla, a uočena oblast (misli se uvek na jednu od onih koje su određene ugaonom linijom) je oblast ugla. Uvek se mora na neki način naglasiti koja od oblasti pripada uglu. Može se bojiti ili senčiti, kao na slici 6. слика 6

Na slici 6 su predstavqena četiri ugla. Pokušaj da uočiš šta je zajedničko za uglove 1 i 2, a šta za 3 i 4. Na slici 7 su nacrtane i duži, pa to može da te podseti da su u primerima 1 i 2 uglovi konveksni, a u primerima 3 i 4 nekonveksni. слика 7

пример

Precrtaj u svesku ugaone linije prikazane na slici 8 pa osenči oblast ugla u skladu sa nazivom datim ispod slike. слика 8

konveksni

nekonveksni

konveksni

nekonveksni

konveksni

слика 9

Oblast ugla se obično ne senči ili boji, već se obeleži lukom, npr., kao na slici 9. Postoje uglovi koji s ra zlogom imaju posebne nazive. Ako poluprave ugaone linije obrazuju pravu, ugao se naziva opružen. Ako se poluprave ugao ne linije poklapaju, a oblast ugla je ravan, bez te poluprave, ugao se naziva pun (sl. 10).

слика 10

opružen ugao

pun ugao

Oblast ugla označavamo lukom, kao na slici 9, ali je potrebno i da ugao obeležimo. Na primer, ugao čije je teme A trougla na slici 1 (str. 53) možemo obeležiti kao \A ili \BAC ili \CAB ili $AB, AC) ili samo grčkim slovom a (tada se ne koristi znak za ugao $. Na taj način obeležavawa za ostale uglove trougla na slici 1 (str. 53) su: \B, \ABC, \(BA, BC), b, \C, \ACB, \(CA, CB) , c. Ako uglovi nisu uglovi trougla, obeležavaju se na isti način, pri čemu se tačke na kracima biraju proizvoqno ili se kraci obeležavaju kao poluprave. Pogledaj sliku 11.

O O

слика 11

MON

(Sx, Sy)

APB

Задаци 1. Nacrtaj u svesci uglove kao na slici 12. Oboj oblast svakog od uglova. x

слика 12

O N

2. Koliko konveksnih uglova uoča vaš na slici 13? Navedi ih.

слика 13

слика 14

b y

3. Koliko nekonveksnih uglova uoča vaš na slici 14? Navedi ih.

S O

ДЕЉИВОСТ БРОЈЕВА

Deqivost prirodnih brojeva predstavqa značajnu i zanimqivu temu u okviru izgradwe skupa prirodnih brojeva. Ona predstavqa polazni korak u izgradwi Teorije brojeva, matematičke discipline koja je prisutna kroz vekove i čiji se problemi i rezultati sreću u matematici drevnih civilizacija Kine, Egipta, Vavilona, stare Grčke, ali i u savremenoj matematici. Neka od važnih tvrđewa i postupaka te teorije, koje ćemo sretati tokom daqeg bavqewa matematikom, nose imena poznatih matematičara starog veka (Eratostenovo sito, Pitagorini brojevi, Euklidov algoritam, Diofantove jednačine...). U petom razredu ćemo se baviti samo početnim, elementarnim pojmovima i postupcima vezanim za deqivost prirodnih brojeva.

4.1. Д ељење у скупу N0 ( једнакост а = bq + r, 0 G r 1 b) U drugom razredu smo se sreli s postupkom deqewa brojeva u okvirima bloka brojeva do 100 i vezom između operacija množewa i deqewa. Formirali smo tada i tablicu množewa i naučili kako da pomoću we delimo u woj sadržane brojeve brojevima od 1 do 10. U trećem razredu smo stečena znawa malo proširili i „osvojili“ blok brojeva do 1 000. Naučili smo da delimo brojeve iz tog bloka, u slučajevima kada je to bilo izvodqivo, ali smo se sreli i sa slučajevima kada to nije bilo izvodqivo. Podsetimo se tih postupaka kroz sledeći primer.

пример

Podeli: a) broj 312 brojem 8; b) broj 869 brojem 17. a) Poznatim postupkom (pismenog) deqewa uverićemo se da je 312 : 8 = 39, što znači da je broj 312 deqiv sa 8 i količnik je 39. Koristeći vezu operacija množewa i deqewa, možemo, ravnopravno, pisati (bez daqeg računawa) i sledeće tačne jednakosti: 312 = 8 · 39;

312 = 39 · 8;

312 : 39 = 8.

Posledwa od napisanih jednakosti pokazuje da je broj 312 deqiv sa 39 i da je količnik 8.

4.9. З аједнички делилац и највећи заједнички делилац

пример

Posmatrajmo skupove svih delilaca brojeva 48 i 72. Poznatim postupkom nalazimo:

48 2 24 2 12 2 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 6 2 3 3 1

D48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48},

72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3;

D72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}.

Presek ova dva skupa, označimo ga sa D48,72, D48,72 = D48 k D72 predstavqa skup svih prirodnih brojeva koji su delioci broja 48 i delioci broja 72. Vidimo da je: D48,72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Wegovi elementi su zajednički delioci brojeva 48 i 72, pa je D48,72 skup zajedničkih delilaca brojeva 48 i 72. Najveći od wih je najveći zajednički delilac brojeva 48 i 72. To je broj 24.

пример

Nađi skup zajedničkih delilaca brojeva 105 i 360, a zatim wihov najveći zajednički delilac. 105 3 35 5 105 = 3 · 5 · 7; 7 7 1

360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

D105 = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}, D360 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}. Vidimo da je: D105,360 = {1, 3, 5, 15} i da je najveći zajednički delilac brojeva 105 i 360 broj 15.

Skup prirodnih brojeva kojima su deqivi prirodni brojevi m i n je skup zajedničkih delilaca brojeva m i n, oznaka Dm,n. Najveći od zajedničkih deli laca prirodnih brojeva m i n je wihov najveći zajednički delilac, oznaka NZD(m, n). Dakle, NZD(48, 72) = 24, NZD(105, 360) = 15. Retko će nas interesovati skupovi svih delilaca prirodnih brojeva a često najveći zajednički delilac dva prirodna broja. Izloženi postupak nalažewa najvećeg zajedničkog delioca može biti dosta složen, kao što pokazuje primer 2. Pokazaćemo sada kako se on nalazi neposredno, na osnovu zapisa brojeva u obliku proizvoda prostih brojeva.

пример

U primeru 2 našli smo da je 105 = 3 · 5 · 7, 360 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Vidimo da su neki prosti delioci brojeva 105 i 360 zajednički. Broj 3 je prost delilac i broja 105 i broja 360. On se, doduše, u rastavqawu broja 360 javqa dva puta, ali to nije slučaj s rastavqawem broja 105. Dakle, zajednički delioci mogu, kao prost delilac, sadržati broj 3 najviše jedanput. Broj 5 je prost delilac i broja 105 i broja 360 (u oba rastavqawa javqa se tačno jedanput) i zajednički delioci ga mogu, kao prost delilac, sadržati najviše jedanput. Ostali prosti delioci nisu zajednički (7 nije delilac broja 360, a 2 nije delilac broja 105). Stoga zajednički delioci data dva broja mogu sadržati, kao proste delioce, brojeve 3 i 5, oba najviše jedanput. Najveći od wih biće onaj koji ih sadrži oba kao proste delioce tačno jedanput, dakle, najveći od wih je broj: 3 · 5 = 15. Zapišimo:

105 = 3 · 5 · 7

360 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Brojevi 3 i 5 su prosti delioci za 105 i 360. Znači, najveći delilac je 3 · 5 = 15.

U primeru 1 našli smo da je:

пример

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Zajednički delioci ova dva broja mogu kao svoje proste delioce sadržati broj 2 najviše tri puta (on se u rastavqawu broja 48 javqa čak četiri puta, ali se u rastavqawu broja 72 javqa samo tri puta) i broj 3 najviše jedanput (on se u rastavqawu broja 48 javqa jedanput, a u rastavqawu broja 72 dva puta). Zato će najveći od zajedničkih delilaca biti onaj koji sadrži broj 2, kao prost delilac, tačno tri puta i broj 3, kao prost delilac, tačno jedanput. Dakle, najveći zajednički delilac brojeva 48 i 72 je broj: 2 · 2 · 2 · 3 = 24.

100

Задаци 1. Nađi nekoliko (bar tri) prvih zajedničkih sadržalaca brojeva: a) 12 i 18; b) 16 i 24. Nađi zatim najmawi zajednički sadržalac ta dva broja. 2. Nađi najmawi zajednički sadržalac uzajamno prostih brojeva: a) 4 i 5; b) 7 i 17. 3. Nađi: a) NZS(17, 51); b) NZS(56, 63); v) NZS(16, 28, 35). 4. Kolika je najmawa dužina konopca ako se zna da se on može iseći na delove jednakih dužina od po: a) 3 m i 4 m; b) 4 m i 6 m? 5. Prodavačica je složila jaja u kartonske kutije od po 12 jaja. Domaćica je kupila izvestan broj jaja i složila ih u svoje kartonske kutije u koje stane po 10 jaja. Koliko je najmawe jaja domaćica kupila? 6. Koliko prirodnih brojeva šeste stotine je deqivo sa 8, 12, 18? 7. Količnik brojeva 10 011 001 i NZS(7, 11, 13) je: a) 101; b) 1 001; v) 10 001; g) 100 001. Zaokruži slovo ispred tačnog odogovora. 8. Koliko petocifrenih brojeva je deqivo sa NZS(17, 59)? 9. Nada, Jagoda i Bojana kreću istovremeno sa pozicije P u obilazak jezera „kružnom“ stazom. Nadi za jedan obilazak treba 18 minuta, Jagodi 12 minuta a Bojani 16 minuta. Koliko „krugova“ će preći svaka od wih do trenutka kada se sve tri ponovo nađu u poziciji P?

106

РАЗЛОМЦИ 5.1. П ојам разломка облика a (a ! N , b ! N) 0 b

U drugom razredu smo naučili razlomke 1 , 1 , 1 . Wima označavamo delove 2 4 10 neke izabrane celine, na primer, osenčene delove slike pravougaonika. Sl. 1

слика 1

1 2

1 4

1 10

Znamo da broj ispod crte određuje na koliko Sl. 2 слика je jednakih delova podeqena celina (u ovom slučaju pravougaonik), koja se u tom zadatku ne mewa, i woj dodequjemo broj 1. Jedinica iznad crte označava da smo uočili, senčewem, 1 1 jedan od tih delova. Čitamo: jedna polovina, 10 4 jedna četvrtina, jedna desetina (ili drugi deo, četvrti deo, deseti deo). Pri tome nije bitno koji je od delova senčen (sl. 2). U trećem razredu smo upoznali razlomke 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 8 5 10 100 1000 3 6 9 7 i videli kako se, upoređivawem delova слика celine koje oni označavaju, vrši i wihovo 1 upoređivawe. Ako za celinu izaberemo kružnu 4 ploču, uočićemo da je deo kruga koji smo označili sa 1 (jedna wegova četvrtina) veći od 4 dela kruga koji smo označili sa 1 (jedna wegova 6 šestina). Pa je 1 2 1 . 4 6 слика U četvrtom razredu smo naučili kako da razlomcima označavamo delove celine, podeqene na nekoliko jednakih delića, ako pomenuti 7 3 delovi sadrže izvestan broj tih delića (sl. 4). 10 4 Broj ispod crte određuje na koliko je jedna kih delića podeqena celina i zove se imenilac razlomka. Broj iznad crte označava koliko je tih delića sadržano u uočenom delu celine i zove se brojilac razlomka.

1 6

107

Isto tako je:

6 = 18 = 42 = f = 2 ; 3 9 21

12 = 27 = 48 = f = 3 . 4 9 16

Uočimo da je: 6 : 3 = 2, 48 : 16 = 3,..., pa zakqučujemo: kada je prirodan broj a deqiv prirodnim brojem b, važi: a = a : b. b Mi smo se opredelili za celine (jedinice) oblika pravougaonika ili neke druge poznate geometrijske figure. Jasno je da za celine (jedinice) možemo birati i neke druge objekte, pod uslovom da smo u stawu da uočimo i prebrojavamo wihove jednake ili u nekom smislu ravnopravne delove. Na primer, učenici, naravno, nisu „jednaki delovi“ ali ipak kažemo da je 3 odeqewa išlo na izlet i sl. 4

пример

Marko je imao u kesici 24 bombone. Petru je dao jednu četvrtinu te količine. Koliko je bombona dao Petru i koliko mu je bombona ostalo?

110

Skiciraćemo sliku.

Sl. 16

слика 11

Markove 24 bombone možemo podeliti na 4 jednaka dela od po 6 bombona. Onda jednu četvrtinu bombona predstavqa jedan od tih delova. Dakle, Marko je Petru dao 6 bombona. Ostalo mu je 18 bombona (tri dela od po 6 bombona).

Ako je Ana pojela tri „kockice“ čokolade, ��a� �� Bojanu je zaboleo zub pa nije smela da jede čokoladu, onda deo koji je Ana pojela označavamo sa 3 , �� a�� deo koji je �� Bojana 24 pojela možemo označiti sa 0 (sl. 12). Jasno je da će taj deo biti isti (nema ga) bez 24 obzira na to da li je čokolada bila u fabrici podeqena na 24 ili 32 „kockice“. Dakle, 0 = 0 . 24 32 Zakqučujemo da svi razlomci oblika 0 , b b ! N0 imaju istu vrednost – predstavqaju jedan određen broj. Označavamo ga sa 0.

Sl. 23

слика 12

3 24

0 24

4. Prvog dana planinari su prepešačili 3 planiranog puta a drugog dana preostalih 5 12 km. Kolika je dužina planiranog puta? 5. Daktilografkiwa je prekucala jednu trećinu rukopisa a potom još 10 stranica. Ispostavilo se da je to činilo polovinu rukopisa. Koliko stranica sadrži rukopis?

5.7. Множење разломака; запис a b Izaberimo za jedinicu (celinu) pravougaonik. Ako nacrtamo sliku sa tri takva pravougaonika, svaki od wih podelimo na po pet jednakih delova i u svakom od wih osenčimo po dva dela (sl. 24): Sl. 30

пример

слика 24

128

i upitamo se kako bismo označili celokupnu osenčenu površinu, mi ćemo, bez oklevawa, odgovoriti da imamo na 3 mesta po 2 , dakle ukupno 2 + 2 + 2 , i da to ukupno 5 5 5 5 čini 6 delića – dakle 6 . Ako i daqe važi da zbir od 3 jednaka sabirka računamo 5 množeći takav sabirak sa 3, nalazimo 2 + 2 + 2 = 3 $ 2 . 5 5 5 5 S druge strane, videli smo da je to 6 . Zbog toga je 3 $ 2 = 6 = 3 $ 2 . 5 5 5 5 2 Razlomak pomnožili smo sa 3 tako što smo mu brojilac pomnožili sa 3. 5

Odeqewe od 32 učenika je na izletu. U paket-užini svaki učenik ima po 3 table 8 čokolade. Koliko je tabli čokolade bilo potrebno za pripremawe ovih paketa? Svaki učenik je dobio po 3 „štangle“ čokolade (sl. 25), pa je to ukupno 32 · 3 tabli čokolade. Broj štangli je 32 · 3 = 96, 8 što znači da je uzeto 96 tabli čokolade. Opet vidimo da je 8 3 32 $ 3 96 . 32 $ = = 8 8 8 Uočavamo da je 96 = 12 · 8, pa je to 96 = 12 $ 8 = 12 tabli čokolade. 8 8

слика 25

Dakle, razlomak a množimo prirodnim brojem m tako što brojilac b razlomka pomnožimo sa m, a imenilac razlomka prepišemo, m $ a = m $ a . b b

пример

Vratimo se na primer 1 i sliku 24. Ako za celinu izaberemo 3 pravougaonika, onda je osenčeno 2 takve celine. Daqe, jednakost 3 $ 2 = 3 $ 2 istovremeno 5 5 5 2 2 čitamo na dva načina: „ od 3“ i „na 3 mesta po “. 5 5

Koliko je 3 od 24? 16 3 od 24 računamo isto kao „na 24 mesta po 3 “, a to je jednako: 24 $ 3 = 24 $ 3 = 72 . 16 16 16 16 16 Uočimo da se razlomak može skratiti: 72 = 2 $ 2 $ 2 $ 3 $ 3 = 3 $ 3 = 9 , 9 = 2 $ 4 + 1 = 4 + 1 . 2 16 2$2$2$2 2 2 2 2 Dakle, 72 = 4 + 1 . 16 2

U navedenom primeru smo tražili 3 od 24. Jasno je da umesto 3 možemo 16 16 a uzeti bilo koji razlomak a�� umesto 24 bilo koji prirodan broj m. Konačno opet b dolazimo do već pisane jednakosti: m$ a = m$a, b b a koju možemo čitati ovako: „ deo od m jednak je m $ a “. b b Odgovarajuć�� a�� slika izgledala bi ovako:

Sl. 32

слика 26

a b

Na woj imamo m celina (jedinica, pravougaonika), a osenčen je deo a cele figure. b

129

пример

Odredi skup rešewa nejednačine: a) 5 + x 1 3 4 ; b) 2 2 $ x – 1 5 2 3 . 6 5 15 8 4 Rešewe: a) x 1 3 4 – 5 , x 1 49 – 5 , x 1 98 – 25 , x 1 2 13 . 15 6 15 6 30 30 Skup rešewa nejednačine je ' x ! Q+0 | x 1 2 13 1 . 30 b) 2 2 $ x 2 3 + 1 5 , 5 4 8

12 x 2 6 + 13 , 5 8

12 x 2 19 , 5 8

x 2 95 . 96

Zato je skup rešewa ' x ! Q+0 | x 2 95 1 . 96

Задаци 1. Napiši razlomke u obliku mešovitih brojeva (ako se to može): a) 23 ; b) 48 ; v) 25 ; g) 123 . 4 9 28 18 2. Napiši u obliku a razlomke zapisane u obliku mešovitih brojeva: b 7 1 a) 1 ; b) 3 ; v) 2 6 ; g) 8 5 . 8 7 11 12

3. Uporedi razlomke:

a) 2 1 i 3 7 ; b) 1 5 i 1 6 ; v) 1,4 i 2 5 ; g) 3 4 i 18 . 16 19 4 8 9 5 8

4. Izračunaj zbir, odnosno razliku:

a) 1 2 + 2 7 ; b) 1 4 + 3 7 ; v) 3 4 – 1 5 ; g) 2 6 – 1 8 . 15 12 7 7 25 8 16 75

5. Reši jednačine:

a) 4,8 – 5 x = 3 1 ; b) 1, 24x + 3 5 = 35 . 2 8 4 4

6. Reši nejednačine:

176

a) 5,2 – x 2 3 4 ; b) 5 x + 1, 76 1 3 3 . 25 4 8

ОСНА СИМЕТРИЈА 6.1. Осна симетрија у равни

Posmatraj crteže na slici 1 i poku�� š�� aj da �� otkrije�� š�� koju �� zajedničku osobinu imaju sve figure osim jedne. слика 1

Može�� š�� uočiti da �� za �� sve, osim �� za �� treću figuru, postoji �� bar �� po jedna prava po kojoj ako bi se savio papir (savijawe papira se može i zamisliti) svaka tačka figure sa jedne strane te prave bi se poklopila sa odgovarajućom tačkom sa druge strane. Ta prava, ili po jedna od tih pravih, docrtana je na slici 2. Uočena oso� bina se naziva simetričnost. слика 2

Da li tu osobinu imaju i po dve figure nacrtane na slici 3?

слика 3

Ta prava (po kojoj bi mogao da se savija papir ��a� �� da se odgovarajuć�� e�� figure poklope) ne postoji u slučaju b. Može�� š� zapaziti �� da �� pri tom presavijawu (stvarnom ili zami�� š�� qenom) sva� koj tački jednog dela ili jedne figure u ravni odgovara tačno jedna tačka drugog dela ili druge figure u istoj ravni. Takve dve odgovarajuć�� e�� tačke predstavqene su na slici 4.

177

Takvo pridruživawe (dodeqivawe) tačaka je osna simetrija, a�� prava u odnosu na koju postoji to pridruživawe je osa simetrije. Obeležićemo je slovom s. Nacrtaj osu simetrije s i tačke A, van we. Pojačaj tačku A слика 4 mastilom (ili nečim �� š�� to ostavqa trag) i �� zatim savij papir po pravoj s. Dobijeni trag (ili otisak) pojačaj i obeleži sa A1 A1 (jer to je očigledno tačka). Kažemo da je tačka A1 osno simetrična tački A u odnosu S na osu simetrije s. Često se kaže i: tačka A1 je simetrična A tački A u odnosu na osu s. Da li bi se navedeno pridruživawe dogodilo i da smo s tačku A izabrali bilo gde na listu (u ravni)? Svakako! Koja tačka onda odgovara tački A1? Odgovara tačka A. Dakle, tačke A i A1 su uzajamno simetrične. Naravno takvih parova ima bezbroj. Preslikaj (ili pridruži, to isto znači) na ovaj način neku tačku B koja pripada osi s. Ona ć�� e�� se preslikati u samu sebe. Dakle, tada �� je B = B1, pa se kaže da se svaka tačka koja pripada osi simetrije preslikava u samu sebe. Za stvarni ili zami�� š�� qeni trag ili otisak dobijen �� stvarnim ili zami�� š�� qenim savijawem (preslikavawem) kaže se da �� je slika tačke ili figure koja se preslikava. Uoči koje osobine imaju svi parovi odgovarajućih tačaka koje su osno simetrične. Zna�� š� da �� tačke A i A1 (�� a�� i sve ostale odgovarajuć�� e�� ) određuju tačno jednu pravu. Izmeri ugao koji ta prava (AA1) gradi sa osom s. Taj ugao je prav. Znači, parovi, pri osnoj simetriji, odgovarajućih tačaka pripadaju pravoj koja je normalna na osu simetrije. Obeleži sa S tačku preseka prave AA1 sa osom s na slici 4 i uporedi duži AS i SA1. One se presavijawem poklope, pa mora da bude AS = SA1. Dakle, odgovarajuć�� e�� tačke su jednako udaqene od ose simetrije. To što smo zapazili daje nam mogućnost da tačku ili figuru preslikamo i bez savijawa papira (ravni). Koristeći kvadratnu mrežu (i svaka strana tvoje sveske sa „kvadratićima“ je kvadratna mreža) preslikaj tačke predstavqene na slici 5 u odnosu na datu osu s.

пример

слика 5

M Q

P s

K s

178

Koristeći kvadratnu mrežu preslikaj date figure.

слика 6

пример

D s

s A

Q B

N s

Koristeći kvadratnu mrežu na slici 7, preslikaj pravu, polupravu, ugao, krug u odnosu na datu osu s.

пример

слика 7

A s

a s

Задаци 1. Koje od sledećih rečenica su tačne? a) Svaka figura koja pripada ravni može se preslikati osnom simetrijom u odnosu na neku pravu te ravni. b) Samo neke figure ravni mogu se preslikati osnom simetrijom. v) Svaka prava koja pripada nekoj ravni može biti osa simetrije u toj ravni. g) Samo horizontalne prave koje pripadaju ravni mogu biti ose simetrije. d) Samo vertikalne prave koje pripadaju ravni mogu biti ose simetrije. 2. Odredi reči koje nedostaju tako da rečenice budu tačne.

a) Svaka tačka koja pri osnoj simetriji pripada __________ preslikava se u samu sebe.

b) Parovi osnosimetričnih tačaka pripadaju __________ na osu simetrije. 3. Na slici 8 predstavqene su po dve figure. Utvrdi koje od wih su osno simetrične.

179

Резултати, упутства, решења

1. Скупови 1.1.

1. a) tačna ; b) netačna; v) tačna; g) tačna; d) ne tačna. 2. a) 5 ! {3, 4, 5, 6}; b) 7 " {3, 4, 5, 6}. 3. a) 5 ! {2, 3, 5, 7}; b) 1 " {2, 3, 5, 7}. 4. a) 4, 6, 8, 9; b) 1, 2, 3, 5, 7; v) 4. 5. a) 9; b) 90. 6. a) {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30} b) To je skup prirodnih brojeva koji pripadaju samoj desetici.

7. a) Q, {a}; b) Q, {a}, {b}, {a,b}. 8. a) Da; b) ne; v) ne; g) ne; d) ne; đ) da. 9. a) Da; b) da; v) ne; g) da; d) da. 10. ja, jaja, maj, jama, mama. 11. a) 3 ! {1, 2, 3}; b) {1, 3} 1 {1, 2, 3}; v) 0 " {1, 2, 3}; g) {1, 2, 3}={2, 3, 1}. 13. da.

1.2. 1. a) {e, l, o}; b) {7, 10}; v) {a, b, c}; g) Q. 2. a) {3, 5, 7}; b) {15}; v) Q. 3. a) 2, 4, 8, 10; b) 3, 9, 15; v) 6, 12; g) 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15. 4. a) {2, 7}; b) Q ; {a, c, d}. 5. {a, b, c, d, e, f}; b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; v) {a, b, c, d, e, f, g, h}. 6. a) {5, 10, 15, 20, 25}; b) {1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 31}; v) {a, b, c, d, e}. 7. A = {a, e, i, k, m, t}, B = {a, e, k, t}, a) B 1 A; b) A , B = = {a, e, i, k, m, t} = A; A + B = {a, e, k, t} = B. b)5, 7, 8. A\B = {1, 5, 7, 3, 9}, B\A =a) Q , A\C = {1, 2, 4, A 4, 8, 10}, C\BB= A 8, 10}, C\A = Q , B\C = {2, {3, 9} Tačne su rečenice a, b, g, d. 9. a) {10}; b) Q ; v) {2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}; g) {2, 3, 5, 6, C 7, 8}; d) Q ; đ) Q . 10. S = {a, e, i, o, u}; M = {a, e, i, k, m, t}; S\M = {o, u}; M\S = {k, m, t}. 11. a) Skup svih učenika naše škole koji su učestvovali na školskom takmičewu iz matematike. b) Skup svih učenica naše škole, koje nisu učestvovale na školskom takmičewu iz matematike.

1.3. 1. D = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Skup D ima 9 elemenata. 2. M = {1, 2, 3, ... 8, 9} i N = {1, 2, 3, ... , 98, 99}. Očigledno je M 1 N, pa je M , N = N, M + N = M, M \ N = Q i N \ M = {10, 11, 12, ... , 98, 99}. 3. S = {102, 111, 120, 201, 210, 300}. Skup S ima 6 elemenata. 4. A = {2, 4, 6, ...} i B = {1, 3, 5 ... }. Tada je A , B = N, A + B = Q, A \ B = A i B \ A = B.

198

v) Skup svih učenika naše škole koji su devojčice ili su dečaci koji nisu učestvovali na školskom takmičewu iz matematike. g) Skup svih učenika naše škole, koji su učestvovali na školskom takmičewu iz matematike. 12. a) b) v) A B A B A

v) B A

g) B A

C B

C C C A B A {a, c, d, e}. B 13. a) {a, b, d, f, g}; b) {a, b, c, f}; v) a) A B A∩B a) A B A∩B 14. A A BB A B b) A B A∩B b) A∩B B A a) A∩B B A A B A B b) A∩B BB AA v) A B A∩B v) A B A∩B B A A B v) A B A∩B B A 5. 7·104 + 2·103 + 5·102 + 3·10 + 4 = 72 534. 6. Broj 26 2 19, jer postoji broj 7 takav da je 26 = 19 + 7. Slično 52 1 94, jer postoji broj 42 takav da je 52 + 42 = 94. 7. M = {2010, 2012}. 8. B = {11, 33, 55, 77, 89} i C = {1, 13, 35, 57, 79, 91}. Skup B ima 5, a skup C 6 elemenata, pa skup C ima više elemenata. 9. P = Q, jer nula u skupu N0 nema prethodnika.

g) B A

10. Kako je sledbenik broja 78 broj 79, a prethodnik broja 87 broj 86, to je traženi skup S = {80, 81, 82, 83, 84, 85}. 11. Prethodnik broja m + 24 je m + 23, a sledbenik m + 25. 12. Ako je traženi broj n, onda je wegov prethodnik n – 1, a sledbenik n + 1. Zbir prethodnika i sledbenika prirodnog broja n je n – 1 + n + 1 = 2n = 1234. Dakle n = 617.

13. Oba tvrđewa su tačna. 14. a) 72 + 36 = 108, 72 – 36 = 36, 72 · 36 = 2592, 72 : 36 = 2. b) 108 · 36 = 3888; v) 108 : 36 = 3; g) 2952 + 2 = 2954; 2952 – 2 = 2950. 15. a) (66 + 739) + 34 = (739 + 66) + 34 = 739 + +(66 + 34) = 739 + 100 = 839; b) (20 · 37) · 5 = = (37 · 20) · 5 = 37 · (20 · 5) = 37 · 100 = 3700; v) 135 · 9 – 9 · 35 = 135 · 9 – 35 · 9 = (135 – 35) · 9 = = 100 · 9 = 900; g) 77 : 6 + 43 : 6 = (77 + 43) : 6 = = 120 : 6 = 20.

1.4. 1. 2. 3. 4. 5.

a) A = {5, 3, 8, 9, 6}; b) B = {3, 1, 4, 2}; v) C = { a, č, k, c, n}. P = {9, 49, 121, 400}. I = {1, 8, 27, 64, 125}. Y = {18, 63, 123, 158, 243}. B = { 2, 4, 6, ... 198, 200}. C = {1, 3, 5, ... , 197, 199}. Elementi skupa B su parni, a elementi skupa C neparni prirodni brojevi. Trideset peti paran broj je 2 · 35 = 70, a 63 neparan broj je

2 · 63 – 1 = 125. B , C = {1, 2, 3, ... , 199, 200}, B + C = Q, B \ C = B i (B , C) \ A = ={101, 102, 103, ..., 199, 200}. 6. P = 2 · (a·b + b·c + c·a). 7. Pravilo pridruživawa je da se svakom elementu skupa M dodequje 7 puta veći broj. 8. Pravilo priduživawa je da se svakom broju x pridružuje broj 3x – 2. A 1 2 3 6 5 10 B 1 4 7 16 13 28 Rešewe date jednačine je x = 2a.

2. Основни геометријски објекти 2.1. 3.

v) C

A B

4. a)

C D

v) C

A B

C D

199