за осми разред основне школе 8 600262 025555
www.zavod.co.rs k.b. 18210
Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић
за осми разред основне школе
Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић
M A за осми разред основне школе
Садржај 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
1
Талесова теорема ................................................................................................................................................. Сличност троуглова .......................................................................................................................................... Ставови сличности троуглова ..................................................................................................................... Примена сличности на правоугли троугао ..............................................................................................
, ,
2
2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.
Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни ........ Односи правих. Мимоилазне праве ............................................................................................................... Односи праве и равни. Права нормална на раван. Растојање тачке од равни ...................... Односи две равни.................................................................................................................................................... Ортогонална пројекција на раван ................................................................................................................. Полиедар .....................................................................................................................................................................
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.
Појам једначине ....................................................................................................................................................... Еквивалентне трансформације једначина ................................................................................................ Примена линеарних једначина .......................................................................................................................... Неједначине ................................................................................................................................................................ Еквивалентне неједначине ................................................................................................................................. Примена линеарних неједначина .....................................................................................................................
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.
5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.
15 19 21 24 27 31
3 34 37 41 45 49 53
4
Призма. Појам, врсте, елементи ................................................................................................................ Мрежа призме ........................................................................................................................................................ Површина призме. Површина усправне четворостране призме.................................................... Површина правилне тростране призме. Површина правилне шестостране призме......... Запремина призме. Запремина усправне четворостране призме. Маса тела. Маса призме ...................................................................................................................................................... 66 4.6. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме ....
7 8 11 14
55 58 61 63
5
Појам, врсте, елементи.................................................................................................................................... Мрежа пирамиде ................................................................................................................................................... Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде .............................................................. Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде .......................................................... Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде
70
72 78 78 81 84 86
6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.
6
Функција y = kx + n .............................................................................................................................................. График линеарне функције ............................................................................................................................... Нуле и знак линеарне функције....................................................................................................................... Ток (рашћење и опадање) линеарне функције ......................................................................................... Имплицитни облик задавања линеарне функције .................................................................................
89 92 94 97 99
7
7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина ................................................................. 102 7.2. Стубични и кружни дијаграми ........................................................................................................................ 104 7.3. Средња вредност и медијана ........................................................................................................................... 107
8.1. 8.2. 8.3. 8.4.
8
Појам система линеарних једначина са две непознате ...................................................................... Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате .............................................. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом смене .......................... Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената ........................................................................................................... 8.5. Графички приказ решења система линеарних једначина са две непознате ............................ 8.6. Примена система линеарних једначина са две непознате ................................................................
9.1. 9.2. 9.3. 9.4.
128 130 132 135
10
Купа и њени елементи ................................................................................................................................... Равни пресеци купе ............................................................................................................................................ Мрежа купе; површина купе .......................................................................................................................... Запремина купе....................................................................................................................................................
119 121 125
9
Ваљак и његови елементи ................................................................................................................................ Равни пресеци ваљка ............................................................................................................................................ Мрежа ваљка; површина ваљка ...................................................................................................................... Запремина ваљка ...................................................................................................................................................
10.1. 10.2. 10.3. 10.4.
111 115 117
137 139 141 144
11
11.1. Појам лопте и сфере ....................................................................................................................................... 148 11.2. Пресеци лопте (сфере) и равни .................................................................................................................. 151 11.3. Површина и запремина лопте ...................................................................................................................... 154
, , ........................................................................................................ 158
1
2.1. Đ˘Đ°ĐťĐľŃ ĐžĐ˛Đ° 1.1. Đ&#x;итагОрина тоОроПа тоОроПа Neke od oblika Talesove teoreme veĂŠ smo koristili u sedmom razredu, na primer kada je trebalo datu duĂŚ da podelimo na n jednakih delova.
Ń ĐťĐ¸ĐşĐ° 1
Na slici je prikazano kako se koriπÊewem Talesove teoreme deli data duÌ a na tri jednaka dela.
a
Objasni konstrukciju na slici 1. Ń ĐťĐ¸ĐşĐ° 2
Podsetimo se da Talesova teorema glasi:
b a
Ako paralelne prave na jednoj pravoj odsecaju duÌi a i b a na drugoj a´ i b´ (sl. 2), onda vaÌi a : b = a´ : b´.
a a'
приПор
1
U popularnoj formulaciji u ovoj teoremi se tvrdi da su senke dve duÌi jedne prave baËene pri paralelnom osvetqewu na drugu pravu proporcionalne tim duÌima.
Ako kroz srediπte M jednog kraka trapeza ABCD konstruiπemo pravu paralelnu osnovicama, onda, ona polovi drugi krak (sl. 3).
a'
D
b b'
b'
Ń ĐťĐ¸ĐşĐ° 3
C
M
Ovde tri paralelne prave (prave koje sadrÌe osnovi- A B ce trapeza i konstruisana prava) seku prave koje sadrÌe krakove. Po Talesovoj teoremi, razmera odseËaka na prvom kraku jednaka je razmeri odseËaka na drugom kraku. Kako je prva razmera jednaka 1, i druga je jednaka 1. Sledi: konstruisana prava polovi drugi krak.
приПор
2
PomoĂŠu Talesove teoreme moĂŚemo podeliti datu duĂŚ u datoj razmeri.
Podeli datu duĂŚ u PQ u razmeri a : b (a i b su date duĂŚ u i).
Ń ĐťĐ¸ĐşĐ° 4
S b
Na polupravu Ëiji je poËetak taËka P a koja sa polupravom PQ gradi neopruÌen ugao nanesemo redom duÌi a = PR i b = RS. TraÌena deoba (na delove m i n) ostvaruje se paralelnim pravama SQ i RT T prema slici 4.
R a m
n
P
T
Q
c
7
3 пример
Kraci ugla pOq preseËeni su sa dve paralelne prave. Duæine dobijenih odseËaka na jednom kraku su 2 i 3, a prvi odseËak na drugom kraku je 1,5. Koliki je drugi odseËak?
слика 5
q x
1,5
1, 5 x Prema Talesovoj teoremi, biÊe = . Odavde 3 2 4, 5 nalazimo x = = 2, 25 . 2
Контролна питања
2
O c
3 a
p b
?
Kako glasi Talesova teorema? Kako se deli duæ na n jednakih delova? Kako se deli duæ u datoj razmeri?
Задаци 1. Podeli datu duæ na: a) pet; b) sedam jednakih delova. 2. Podeli datu duæ u razmeri: a) 3 : 2; b)
3: 2 .
3. Podeli datu duæ na tri dela u razmeri 5 : 3 : 2.
слика 6
4. Date su duæi a, b i c i jediniËna duæ e = 1 cm (sl. 6). Konstruiπi duæ x takvu da je: a) a : x = b : c;
b) x : a = b : c;
v) x =
a ; b
g) x = ab.
1.2. Сличност троуглова Dva trougla istog oblika nazvali smo sliËni trouglovi. Trouglovi istog oblika moraju imati jednake odgovarajuÊe uglove. To svojstvo smo i iskoristili za pravu definiciju sliËnih trouglova: trouglovi koji imaju jednake odgovarajuÊe uglove nazivaju se sliËni.
8
,, ,, 2.1. Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни
2
U prethodnim razredima uËili smo o geometrijskim objektima koji su u jednoj ravni ‡ meusobnom odnosu taËke i prave; meusobnom odnosu pravih; odreenosti prave, figurama... Za taj deo geometrije koristi se naziv planimetrija ‡ reË koja je nastala u sredwem veku, kombinovawem latinske reËi planum (znaËi ravan) i grËke reËi nfxtf~ (koja se Ëita metreo, a znaËi merim). Ove godine razmatraÊemo geometrijske objekte u prostoru. Taj deo geometrije naziva se stereometrija. To je reË koja se javqa u staroj GrËkoj i nastala je od grËkih reËi vxftfqv (Ëita se stereos i znaËi zapremina) i nfxtf~. ZnaËi, uËiÊemo o meusobnom odnosu pravih u prostoru, pravih i ravni, dve i viπe ravni, zatim o nekim geometrijskim telima. Naravno, pri tome koristiÊemo kao modele objekte iz okruæewa, prostora u kojem se nalazimo. Za geometrijski objekat kaæemo da je odreen nekim svojim delom (svojstvom) ako postoji jedan jedini takav слика 1 B objekat koji te delove sadræi (to svojstvo ima). Tako dve razliËite taËke odreuju jednu jedinu pravu. A Podsetimo se da smo ravan list papira koristili α za model ravni i na slikama smo ga predstavqali kao paralelogram. Iz petog razreda znamo da ako je taËka A u ravni a, kaæemo i da taËka A pripada ravni a. Ako je taËka B van ravni a, kaæemo da taËka B ne pripada ravni a (sl. 1). Razmotrimo Ëime je odreena ravan. NasluÊujemo da ravan nije odreena jednom taËkom ili dvema razliËitim taËkama. Uveri se u to koristeÊi svesku kao model ravni i vrh olovke, odnosno olovku kao model taËke, odnosno prave (sl. 2). Birawem taËke A u prostoru poloæaj ravni koja je sadræi nije odreen. Ravan (sveska) moæe se pomerati u bezbroj poloæaja, a da se pri tome ne mewa poloæaj taËke A (sl. 2a). слика 2
a)
б)
в)
15
Birawem joπ jedne taËke B opet se ravan ne moæe „uËvrstiti“. Ona se moæe pomerati, tj. „obrtati“ oko prave AB (sl. 2b). Primetimo da vaæi: Ako dve razliËite taËke A i B pripadaju ravni, tada sve taËke prave AB pripadaju toj ravni. Ako izaberemo joπ jednu taËku C, koja nije na pravoj AB, ravan koja i wu sadræi je odreena, tj. zauzima taËno jedan poloæaj (sl. 2v). Ovo ukazuje na to da za ravan prihvatamo da: Tri taËke koje se ne nalaze na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan. Kaæe se da je ravan odreena taËkama A, B, C (kraÊe se piπe ravan ABC) (sl. 2v). Neka je taËka C van prave p. UoËimo razliËite taËke A i B na pravoj p. Na osnovu prethodnog sledi da taËke A, B, C odreuju taËno jednu ravan i prava p je u toj ravni. Dakle, vaæi i da: Prava i taËka van we odreuju taËno jednu ravan.
Vrata su priËvrπÊena za ram u zidu na dva mesta (πarke). Vrata mogu zauzimati viπe poloæaja. Dakle, dve taËke (i wima odreena prava) ne odreuju ravan. Ako je izabrana joπ jedna taËka, da li je poloæaj ravni (vrata) odreen? Odgovor zavisi od toga gde biramo tu taËku. Ako je treÊa taËka (πarka) na pravoj odreenoj prvim dvema πarkama, postoji viπe poloæaja vrata. A ako je treÊa taËka van te prave, na primer brava, postoji jedan poloæaj vrata.
пример
Na slici 5 prikazane su taËke A, B, C, C D koje nisu u jednoj ravni. Duæ AC C se ne vidi jer je zaklowena trouglovima ABD i BCD.
пример
Ranije su qudi na selu pravili niske stolice sa tri „noge“ tzv. tronoæac. Zaπto tronoæac ne moæe da se „klati“?
3
2
пример
1
Proveri da li prethodna tvrewa o odreenosti ravni vaæe ako kao model ravni koristimo vrata na uËionici. слика 3
16
Tri taËke koje nisu na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan. слика 4
UobiËajeno je da se isprekidanom linijom prikazuju duæi koje su neËim zaklowene. Kaæemo da su nevidqive.
D
слика 5
A
C B
пример
4
Date su Ëetiri razliËite taËke A, B, C, C D. Koliko ravni je odreeno sa bar po tri od ovih taËaka? Ako su taËke A, B, C, C D na jednoj pravoj, tada one ne odreuju nijednu ravan. (Postoji bezbroj ravni koje sadræe tu pravu; sl. 6a) Ako neke tri od ovih taËaka odreuju jednu ravan i ako je Ëetvrta taËka u toj ravni, tada ove Ëetiri taËke odreuju jednu ravan (sl. 6b). Ako ove taËke nisu u jednoj ravni, tada one odreuju Ëetiri ravni (to su ravni ABC, ABD, ACD, BCD; sl. 6v). слика 6
D
D
A
B
C
D
C
A
A
C
B
пример
5
a)
B
б)
в)
Koliko postoji ravni tako da sadræe dve prave p i q koje se seku? TaËno jedna. Neka je A zajedniËka taËka pravih p i q, a taËke B i C redom na pravama p i q. Tada se taËke A, B i C ne nalaze na jednoj pravoj, pa odreuju taËno jednu ravan. Ta ravan sadræi obe prave jer sadræi po dve wihove taËke (sl. 7).
слика 7
C
B
A q
p
Dve prave koje se seku odreuju taËno jednu ravan.
пример
6
Koliko ravni sadræi dve razliËite prave, m i n, koje su paralelne? U petom razredu nauË u ili smo da su dve prave paralelne ukoliko su u istoj ravni i nemaju zajedniËkih taËaka. Ako na jednoj od ovih pravih izaberemo dve taËke, a na drugoj jednu taËku, te tri taËke nisu na jednoj pravoj te odreuju taËno jednu ravan. Ta ravan je jedina koja sadræi date paralelne prave (sl. 8).
слика 8
m
n
Prema tome, dve razliËite paralelne prave odreuju taËno jednu ravan.
17
3
U Ëetvrtom, petom i πestom razredu reπavali smo jednaËine i nejednaËine u skupu prirodnih, a zatim i u skupu celih i racionalnih brojeva koriπÊewem osobina raËunskih operacija. U sedmom razredu upoznali smo osnovna svojstva realnih brojeva i pojam racionalnog algebarskog izraza. SteËena znawa i umewa o jednaËinama i nejednaËinama i racionalnim algebarskim izrazima i iskustva vezana za reπavawe jednaËina i nejednaËina i transformacije racionalnih algebarskih izraza iskoristiÊemo da detaqnije upoznamo pojmove linearne jednaËine i nejednaËine, wihove ekvivalentne transformacije, reπavawe i mnogobrojne primene.
3.1. Појам једначине
пример
1
U prethodnim razredima o jednaËinama smo govorili kao o jednakostima koje sadræe nepoznatu. U redovima koji slede baviÊemo se detaqnijim razmatrawem pojma jednaËine.
U petom i πestom razredu reπavali smo jednaËine 2xx + 5 = 13, 3a ‡ 5 = 16, 95 ‡ 7cc = 36... PrimeÊujemo da su 2xx + 5, 13, 3a ‡ 5, 16, 95 ‡ 7c, 36 ... algebarski racionalni izrazi i da su meusobno povezani znakom jednakosti.
пример
2
Dati su racionalni algebarski izrazi: 3 + 8, 10 + 1 i 2xx + 5. ©ta se dobija ako date racionalne algebarske izraze meusobno poveæemo znakom jednakosti?
34
Ako date racionalne algebarske izraze meusobno poveæemo znakom jednakosti, dobiÊemo matematiËke objekte, tj. jednakosti: 3 + 8 = 10 + 1, 3 + 8 = 2xx + 5 i 10 + 1 = 2xx + 5. Prva jednakost 3 + 8 = 10 + 1 je numeriËka jednakost, jer sadræi samo realne brojeve (konstante) 3, 8, 10 i 1 i ne sadræi nijednu nepoznatu (promenqivu) i taËna je, jer je 3 + 8 = 11 = 10 + 1.
2 пример
Druga i treÊa jednakost sadræe realne brojeve 2 i 5, odnosno 10 i 1 i nepoznatu (promenqivu) x. Za neke vrednosti nepoznate x (npr. za x = 0 i x = 7) dobijene jednakosti su netaËne, a za neke vrednosti nepoznate x (npr. x = 3) taËne, jer je 3 + 8 = 10 + 1 = 11 ! 5, 3 + 8 = 10 + 1 = 11 ! 2 · 7 + 5 = 19, a 3 + 8 = 10 + 1 = 11 = 2 · 3 + 5. Prva jednakost je primer taËne numeriËke (brojevne) jednakosti, a druga i treÊa jednakost su primeri jednaËina.
JednaËina po nepoznatoj (promenqivoj) x je jednakost oblika L = D , gde su L i D algebarski racionalni izrazi od kojih bar jedan sadræi nepoznatu (promenqivu) x. Izraze L i D zvaÊemo leva, odnosno desna strana jednaËine. Reπewe jednaËine L = D je svaki realan broj xo za koji je jednakost L = D taËna. Reπiti jednaËinu L = D znaËi odrediti skup svih wenih reπewa. JednaËinu oblika x = xo smatraÊemo jednaËinom u reπenom obliku.
пример
3
Dati su izrazi: L = 5xx ‡ 6, D1 = 3xx + 4 i D2 = x2. Da li su jednakosti L = D1 i L = D2 jednaËine? Jednakost L = D1, tj. jednakost 5xx ‡ 6 = 3x + 4 jeste jednaËina, jer sadræi promenqivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena jednakost, tj. jednaËina taËna za neke vrednosti nepoznate x (na primer za x = 5) i netaËna takoe za neke vrednosti x (na primer za x = 0). Za realan broj 5 kaæemo da je reπewe jednaËine 5x ‡ 6 = 3x + 4, jer je jednakost 5 · 5 ‡ 6 = 3 · 5 + 4 taËna. Za broj 0 kaæemo da nije reπewe jednaËine, jer jednakost 5 · 0 ‡ 6 = 3 · 0 + 4 nije taËna. Skup S = {5} jeste skup reπewa date jednaËine. Jednakost L = D2, tj. jednakost 5xx ‡ 6 = x2, takoe je jednaËina, jer sadræi i promenqivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena jednakost, tj. jednaËina taËna za neke vrednosti nepoznate x (na primer za x = 2 i x = 3) i netaËna takoe za neke vrednosti x (na primer za x = 0, x = ‡2). Brojevi 2 i 3 su reπewa jednaËine 5x ‡ 6 = x2, jer je 5 · 2 ‡ 6 = 4 = 22 i 5 · 3 ‡ 6 = 9 = 32, a broj 1 nije reπewe date jednaËine, jer je 5 · 1 ‡ 6 = ‡ 1 ! 12. Skup S = {2, 3} je skup reπewa date jednaËine.
x2 - 4 =0? x-2 Data jednaËina definisana je za x ! 2, jer smo ranije (u VII razredu) videli da algebarski racionalan razlomak postoji ako je wegov imenilac razliËit od 0. Oblast u kojoj x2 - 4 postoji algebarski racionalan izraz , tj. domen date jednaËine je skup M = R\{2}. x-2 Prema tome, iako je x2 ‡ 4 = (x ‡ 2)(xx + 2) = 0 za x = 2 i x = ‡2, jednaËina ima samo jedno reπewe x = ‡2, jer drugo „reπewe“ x = 2 ne pripada domenu date jednaËine.
пример
4
Koliko reπewa ima jednaËina
35
Domen jednaËine L = D po nepoznatoj x je skup M svih realnih brojeva za koje postoje algebarski racionalni izrazi L i D. Takve vrednosti nazivamo dopustivim vrednostima nepoznate (promenqive) x. Skup reπewa date jednaËine L = D Ëine svi realni brojevi iz domena M date jednaËine za koje je jednakost L = D taËna.
пример
5
Odredi skupove reπewa jednaËina: a) 7xx ‡ 13 = 5x + 3 + 2x ‡ 16; b) 6x + 11 = 5x ‡ 7 + x + 2. JednaËina 7xx ‡ 13 = 5x + 3 + 2x ‡ 16 je isto πto i jednaËina 7x ‡ 13 = 7x ‡ 13. Dobijena jednaËina ima beskonaËno mnogo reπewa, jer svaki realan broj zadovoqava dobijenu jednakost 7xx ‡ 13 = 7x ‡ 13. JednaËina 7x ‡ 13 = 7x ‡ 13 naziva se identitet i wen skup reπewa je S = R. JednaËina 6xx + 11 = 5x ‡ 7 + x + 2 je isto πto i jednaËina 6x + 11 = 6x ‡ 5. Dobijena jednaËina 6xx + 11 = 6x ‡ 5 nema reπewa, jer ne postoji nijedan realan broj koji zadovoqava dobijenu jednakost. JednaËina 6xx + 11 = 6x ‡ 5 naziva se nemoguÊa jednaËina i wen skup reπewa je S = Q.
JednaËina po nepoznatoj x oblika L = L, gde je L algebarski racionalni izraz koji sadræi nepoznatu (promenqivu) x, naziva se identitet. Identitet ima beskonaËno mnogo reπewa. Skup reπewa jednaËine koja predstavqa identitet jednak je domenu jednaËine (identiteta). JednaËina koja nema reπewa tj. Ëiji je skup reπewa prazan naziva se nemoguÊa jednaËina.
Контролна питања
?
©ta je numeriËka jednakost? Koju jednakost nazivamo jednaËinom? ©ta je reπewe jednaËine? ©ta je domen date jednaËine? ©ta je skup reπewa jednaËine? Kada data jednakost predstavqa identitet? ©ta je nemoguÊa jednaËina? Koliko reπewa ima nemoguÊa jednaËina?
Задаци 1. Koje od datih jednakosti su numeriËke (brojevne) jednakosti: a) 16 : 2 = 11 ‡ 3;
36
b) 10 ‡ 3a = 1;
v) 81 = 52 + 55;
g) 10 · 8 = 200 : 20 + 70?
2.1. Појам, 4.1. Питагорина врсте,теорема елементи
4
ReË prizma je latinski oblik grËke reËi rtkgna (Ëita se prisma) a znaËi otesan (u smislu otesana greda).
Na slici 1 dati su primeri poliedara koji su prizme.
пример
1
слика 1
слика 2
пример
2
Na slici 2 dati su primeri poliedara koji nisu prizme.
Prizma je poliedar Ëiju povrπ Ëine dva podudarna n-tougla koji se nalaze u paralelnim razliËitim ravnima i n paralelograma. Dve n-tougaone strane prizme, koje su u paralelnim ravnima, nazivaju se osnovama prizme, a paralelogrami se nazivaju boËnim stranama prizme. Sve boËne strane (n paralelograma) Ëine omotaË prizme. (Broj n je prirodan broj koji nije mawi od 3.) Broj stranica mnogouglova koji su osnove prizme odreuju wen naziv. Ako su osnove trouglovi, prizma je trostrana, ako su Ëetvorouglovi, prizma je Ëetvorostrana itd. Na slici 1 prikazane su Ëetvorostrana, trostrana, πestostrana, petostrana i osmostrana prizma. Stranice i temena n-touglova i paralelograma (strana prizme) jesu redom ivice i temena prizme.
55
слика 3
ОСНОВА
N1
Stranice osnova prizme su osnovne ivice prizme, a stranice boËnih strana, koje nisu osnovne, zovu se boËne ivice prizme. Dakle, n-tostrana prizma ima 2n osnovnih ivica i n boËnih ivica.
N
Ako su osnovne i boËne ivice prizme jednake, ta prizma je jednakoiviËna.
ТЕМЕ БОЧНА ИВИЦА ВИСИНА ОСНОВНА ИВИЦА УСПРАВНА ПРИЗМА
БОЧНА СТРАНА
КОСА ПРИЗМА
Rastojawe ravni osnova prizme naziva se visina prizme. Razlikujemo uspravne i kose prizme. Ako su boËne ivice prizme normalne na ravnima osnova, prizma je uspravna (ili prava), a ako boËne ivice nisu normalne na ravnima osnova, prizma je kosa. Ako je prizma uspravna, duæina boËne ivice jedanaka je visini prizme. (Ako je prizma kosa, uoËava se prava normalna na ravnima osnova, koja prodire ravni osnova u taËkama N i N1. Duæina duæi NN1 je u tom sluËaju visina prizme.) Za neke prizme postoje i posebni nazivi. Prizma Ëija je osnova paralelogram zove se paralelepiped. Paralelepiped koji je uspravan i wegova osnova je pravougaonik zove se kvadar. Kvadar Ëije su sve ivice jednake zove se kocka. Ako je prizma uspravna, a osnove su pravilni mnogouglovi, za tu prizmu se kaæe da je pravilna. Mi Êemo se baviti uspravnim prizmama. слика 4
КВАДАР
ПАРАЛЕЛEПИПЕД
КОЦКА
Duæ odreena temenima prizme koja ne pripadaju istoj strani prizme naziva se dijagonala prizme.
пример
3
Kolika je dijagonala kvadra Ëije su ivice a, b, c? Neka je ABCDEFGH H kvadar Ëije su ivice a, b, c. Vidi sliku! UoËimo dijagonalu AG. Iz pravouglog trougla ACG sledi da je AG2 = AC C2 + CG2, odnosno AG2 = AB2 + BC C2 + CG2, jer je trougao ABC pravougli. Dakle,
56
слика 5
AG2 =
a2 +
b2 + c2,
odnosno AG =
a
2
2
2
b +c .
H
G
E
F D
A
C B
2.1. Појам, 5.1. Питагорина врсте, теорема елементи
5
ReË piramida je latinski oblik grËke reËi rytankv (Ëita se piramis) kojom su Grci nazivali egipatske piramide.
слика 1
пример
1
Na slici 1 dati su primeri poliedara koji su piramide.
пример
2
Na slici 2 dati su primeri poliedara koji nisu piramide. слика 2
Piramida SA1A2A3...An je poliedar Ëiju povrπ Ëine mnogougao A1A2A3...An i n trouglova SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1. Mnogougao A1A2A3...An naziva se osnova piramide, a trouglovi SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1 se nazivaju boËnim stranama piramide. Sve boËne strane (n trouglova) Ëine omotaË piramide. (Broj n je prirodan broj ne mawi od 3.) Broj stranica mnogougla osnove odreuje naziv piramide. Ako je osnova trougao, piramida je trostrana, ako je Ëetvorougao, piramida je Ëetvorostrana itd. Na slici 1 prikazane su Ëetvorostrana, trostrana, osmostrana i πestostrana piramida.
72
6
2.1. Функција 6.1. Питагорина y = kx теорема +n
U prethodnom razredu upoznali smo neke oblike zavisnosti veliËina (na primer direktnu proporcionalnost). Zavisnost smo zadavali na razne naËine: tabelom odgovarajuÊih vrednosti, formulom (zakonom veze) ili grafikom. Sada Êemo upoznati neπto sloæeniju zavisnost.
пример
1
Zavisnost veliËine y od veliËine x data je u tabeli x
‡2
0
1
3
y
‡3
1
3
7
Proveri da li se ova zavisnost moæe zadati formulom y = 2x + 1. Proveravamo da li po formuli dobijamo odgovarajuÊe vrednosti: y(‡2) = 2 (‡2) + 1 = ‡3, y(0) = 2 · 0 +1 = 1, y(1) = 2 · 1 + 1 = 3, y(3) = 2 · 3 + 1 = 7. Dobijene vrednosti su iste kao u tabeli. Zavisnost se moæe zadati ovom formulom.
Zavisnost veliËine y od promenqive veliËine x oblika y = kx + n za zadate brojeve k i n naziva se linearna funkcija.
пример
2
Pretpostavimo da kofa ima zapreminu 12 l i da se u woj nalazi 2 l vode. Neka se iz Ëesme u kofu uliva 5 l vode u minuti. Koliko Êe vode biti u kofi za: a) jedan; b) dva; v) t, t t d [ , 2] minuta ? Za jedan minut uliÊe se 5 l vode pa Êe u kofi biti V V(1) = 5 · 1 + 2 = 7 l vode. Za dva minuta biÊe V V(2) = 5 · 2 + 2 = 12 l. Dakle, kofa Êe se napuniti za dva minuta. Za t, t d [ , 2] minuta iz Ëesme je isteklo 5tt litara vode pa je ukupna koliËina vode u kofi V = 5t + 2 l. KoliËina V vode u kofi u primeru 2 je, dakle, sve dok se kofa ne napuni, linearna funkcija vremena t sa konstantama k = 5 i n = 2.
89
3
Koliko Êe vode biti u kofi za t, t t H 2 minuta?
пример
Kofa ostaje puna i posle drugog minuta, jer Êe se viπak preliti. Dakle, V( V t) = 2 za sve t H 2 . KoliËina vode u kofi za t H 2 je ponovo linearna funkcija, ali sada konstantna linearna funkcija sa k = 0 i n = 2.
Kod linearne funkcije y = kx + n, nezavisno promenqiva x moæe uzimati vrednosti iz bilo kojeg podskupa D skupa realnih brojeva R, jer je za sve x iz D jedinstveno odreen odgovarajuÊi realni broj y = kx + n (vrednost funkcije). Skup D dopustivih vrednosti nezavisno promenqive naziva se domen ili oblast definisanosti funkcije. U primeru 1, domen je {‡2, 0 1, 3}, a skup vrednosti je {‡3, 1, 3, 7}. U primeru 2 oblast definisanosti je D = {t | 0 G t G 2} (jer takva vremena posmatramo). Skup vrednosti je interval [2, 12] (jer u kofi moæe biti od 2 do 12 l vode). U primeru 3 oblast definisanosti je D = {t | t H 2} a skup vrednosti {2}. Ukoliko domen linearne funkcije nije unapred zadan, uzimamo da je domen ceo skup R.
©ta je domen a πta skup vrednosti funkcija: a) y = 3; b) y = 3xx ‡ 4? a) Kako domen nije naveden, uzimamo za domen skup svih realnih brojeva. Za bilo koji realan broj x odgovarajuÊa vrednost funkcije je 3. Dakle, skup svih vrednosti je {3}.
пример
4
b) I ovde domen nije naveden pa uzimamo D = R. Broj y je vrednost funkcije ako postoji broj x takav da je y = 3xx ‡ 4. Za koje y postoji ovakvo x?
90
Potraæimo ga reπavajuÊi datu vezu kao jednaËinu po x. To je linearna jednaËina, a wih smo veÊ nauËili da reπavamo. Ekvivalentnim transformacijama dobijamo: y 3x 4 y + 4 3x y+4 =x 3 y+4 x= 3 y+4 Kako je za bilo koje realno y broj realan, jednaËina ima reπewe za svako y. Da3 kle, vrednost y moæe biti bilo koji realan broj. Skup vrednosti date linearne funkcije je zbog toga skup svih realnih brojeva.
пример
2
слика 14
y 5 =0 4 +6 y –3 3 2x 2 x=2 1
Nacrtaj pravu Ëija je jednaËina: a) x = 2; b) y = ‡1; v) 2x ‡ 3y + 6 = 0. a) Prava je paralelna y-osi i seËe x-osu u taËki (2, 0). b) Prava je paralelna x-osi i seËe y-osu u taËki (0, ‡1). v) Dve taËke prave su na primer (0, 2) i (‡3, 0), jer je 2 · 0 ‡ 3 · 2 + 6 = 0, 2 · (‡3) ‡ 3 · 0 + 6 = 0.
Контролна питања
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3
3
x
y=–1
?
©ta je implicitni oblik linearne funkcije? Kako izgleda jednaËina vertikalne prave? Kako izgleda jednaËina horizontalne prave? Kako izgleda jednaËina kose prave? Kako izgleda jednaËina rastuÊe (opadajuÊe) prave?
Задаци 1. Nacrtaj prave: a) 2x ‡ y + 3 = 0; b) 5x ‡ 4y + 3 = 0; v) 4x ‡ 2 = 0. 2. TaËka (8, ‡3) pripada pravoj ax ‡ y + 5 = 0. Odredi a. 3. Nacrtaj pravu x = 2y ‡ 5. 4. Koliko je koordinatni poËetak udaqen od prave 3x + 4y = ‡12? 5. Napiπi jednaËinu prave koja sadræi koordinatni poËetak i paralelna je pravoj 3x ‡ 4y + 5 = 0. y x 6. Prava odseca na x-osi odseËak 5 a na y-osi 3. Proveri da je wena jednaËina + = 1 . 5 3 7. Dokaæi da su prave ‡x + 2y + 5 = 0, 2x ‡ 4y + 5 = 0 paralelne. IzraËunaj wihovo rastojawe.
100
7
Jedna od odlika savremenog Ĺživota je ogroman broj informacija koje do nas svakodnevno stiĂŚu. Te informacije Ä?esto su sakrivene u moru numeriĂ‹kih podataka iz kojih ih treba izvući. Krupni problemi qudske civilizacije (zagaenost planete, prenaseqenost, natalitet, pandemije, migracije...), kao i problemi iz svakodnevnog Ĺživota (kretawe cena, vozni red, vremenska prognoza, sportski i kulturni dogaaji...) izraĹžavaju se Ä?esto u formi numeriĂ‹kih podataka. Da bi se iz wih lakĹĄe izvukla neka informacija, ti se podaci prikazuju slikovito na razne naÄ?ine. Sigurno ste na televiziji ili u novinama već viali ovakve slike. Ń ĐťĐ¸ĐşĐ° 1
5 6 5 4 3 2 1 0
4 3
ћо О ОНо Нот р п
он Ń˜ĐľŃ
СиП
Đ°
ципоНо Ń€ŃƒĐąŃ™Đľ ĐşĐ°ĐżŃƒŃ‚Đ¸
2
ципоНо Ń€ŃƒĐąŃ™Đľ ĐşĐ°ĐżŃƒŃ‚Đ¸
1 0
Đż
Н рО
оћо НотО
Ń˜ĐľŃ
он
СиП
Đ°
Đ&#x;РОДĐ?ĐˆĐ? прОНоћо НотО Ń˜ĐľŃ ĐľĐ˝ СиПа
Prva predstavqa linijski grafikon, druga stubiÄ?ni, a treća kruĹžni dijagram prodaje navedene robe u hiqadama komada. Poseban deo matematike statistika bavi se obradom masovnih podataka. U ovoj lekciji nauÄ?ićete da Ä?itate i sami sastavqate grafiÄ?ke prikaze numeriĂ‹kih podataka.
101
7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина Podatke sa kojima raspolažemo najpre na neki način sredimo, a zatim, u zavisnosti od toga kakvu informaciju želimo da izvučemo, biramo pogodan način za wihovo predstavqawe. Ako želimo da predstavimo zavisnost nekih podataka od drugih podataka, služimo se tabelama (pravougaonim šemama podeqenim na pravougaona poqa).
пример
1
Školski dnevnik je tipična tabela. U prvoj koloni (stupcu) ispisana su po nekom redu prezimena i imena učenika. Ostale kolone odgovaraju predmetima koje aci slušaju. Svakom aku odgovara vrsta (red) dnevnika. Wegove ocene iz pojedinog predmeta upisane su u poqe koje se nalazi u preseku wemu odgovarajuće vrste i kolone koja odgovara predmetu. Deo dnevnika
слика 2
Istorija
Geografija
Matematika
Hemija
Fizika
Srpski jezik
Fizičko
Adamović Petar
3
4
2
3
3
3
5
Marjanović Bogoqub
3
2
5
4
4
3
Petrović Dušan
5
3
5
5
5
4
Prezime ime
4
4
слика 3
Data je tabela:
пример
2
Učenik
102
Pliva (Da, Ne)
Vozi bicikl (Da, Ne)
Vozi rolere (Da, Ne)
Adamović Petar
Da
Ne
Ne
Marjanović Bogoqub
Da
Da
Ne
Petrović Dušan
Ne
Da
Da
Živković Milena
Da
Da
Da
Uskok Dušica
Ne
Da
Ne
Mihajlović Senka
Da
Ne
Da
–urović Bogdanka
Ne
Da
Da
Kron Diana
Da
Da
Da
ProËitajte iz we informacije: a) Koliko učenika ne ume da pliva? b) Koliki procenat učenika vozi bicikl? v) Da li više dečaka ili devojčica vozi rolere? 6 Odgovori: a) 3; b) = 75%; v) više devojčica vozi rolere. 8
8
U treÊem poglavqu govorili smo o linearnim jednaËinama sa jednom nepoznatom. Ciq ovog poglavqa je da se upoznamo sa sistemima linearnih jednaËina sa dve nepoznate, wihovim reπavawem ekvivalentnim transformacijama i wihovim primenama na mnogobrojne probleme u nauci i svakodnevnom Ìivotu.
8.1. Đ&#x;ĐžŃ˜Đ°Đź Ń Đ¸Ń Ń‚ĐľĐźĐ° Ниноарних Ń˜ĐľĐ´Đ˝Đ°Ń‡Đ¸Đ˝Đ° Ń Đ° дво нопОСнато
приПор
2
приПор
1
Pojam linearne jednaËine sa dve nepoznate upoznaÊemo kroz primere, kao πto smo upoznali i druge matematiËke pojmove.
Ako je za 15 jednakih svezaka i 7 jednakih kwiga plaÊeno 2550 dinara, onda se to matematiËkim jezikom moÌe zapisati kao 15xx + 7y 7y = 2550, gde je x nepoznata cena sveske, a y nepoznata cena kwige. Jednakost 15xx + 7y = 2550 je linearna jednaËina sa dve nepoznate x i y. Primetimo da je za x = 1 i y = 2 dobijena jednakost netaËna, jer je 15 + 14 = 29 ! 2550, a za x = 100 i y = 150 dobijena jednakost taËna, jer je 15 ¡ 100 + 7 ¡ 150 = 1500 + 1050 = 2550. Za ureeni par (x, y) = (1, 2) kaÌemo da nije reπewe dobijene jednaËine 15xx + 7y = 2550, a za ureeni par (x, y) = (100, 150) kaÌemo da jeste reπewe date jednaËine.
iwenica da jedna kwiga vredi 10 puta viπe od sveske moÌe se zapisati matematiËkim jezikom kao y = 10 x ili kao y ‥ 10 x = 0, gde je x cena sveske, a y cena kwige. I jednakost y = 10 x je linearna jednaËina sa dve nepoznate. Ureeni par (4, 40) je jedno reπewe ove jednaËine. PrimeÊujemo da ova jednaËina ima beskonaËno mnogo reπewa, jer za svaki realan broj a ureeni par (a, 10a) je weno reπewe.
111
3
Sva reπewa ove jednaËine dobijamo ako proizvoqno izaberemo x. Neka je x = t. Odgo-
пример
Jednakost 2xx + y = 7 je linearna jednaËina sa dve nepoznate x i y.
varajuÊe y izraËunamo iz date jednakosti: y = 7 ‡ 2x = 7 ‡ 2t. Skup svih reπewa je {(t,, 7
2 )|
}.
Ranije smo videli da u koordinatnom sistemu ovaj skup predstavqa pravu liniju Ëija je jednaËina y = 7 ‡ 2x.
Na osnovu prethodnih primera, moæe se zakquËiti: JednaËina oblika ax + by = c, gde su a, b i c dati realni brojevi, a x i y nepoznate naziva se linearna jednaËina sa dve nepoznate. Ureeni par realnih brojeva (x0, y0) je reπewe ove linearne jednaËine ako je taËna jednakost ax0 + by0 = c. Sva reπewa jednaËine Ëine skup wenih reπewa.
пример
4
Za 15 jednakih svezaka i 10 jednakih kwiga plaÊeno je 2550 dinara. Koliko koπta sveska, a koliko kwiga ako je kwiga 10 puta skupqa od sveske? Ako cenu sveske oznaËimo sa x, a cenu kwige sa y, istovremeno vaæe sledeÊe jednakosti: 15x + 7y = 2550 . ' y 10x Kaæemo da smo dobili sistem od dve jednaËine sa dve nepoznate. Primetimo da je ureeni par (30, 300) reπewe i jedne i druge jednaËine, tj. reπewe dobijenog sistema, jer je 15 · 30 + 7 · 300 = 2550 i 300 = 10 · 30. Kako smo dobili ovo reπewe? Da li je to i jedino reπewe sistema?
пример
5
Ako umesto y u prvu jednaËinu uvrstimo 10x, dobija se jednakost 15 x + 7 · 10 x = 2550 ili 85 x = 2550, pa je x = 2550 : 85 = 30. Tada je y = 10 x = 10 · 30 = 300. Dakle, cena jedne sveske je 30 dinara, a kwige 300 dinara.
112
Miπa i Neπa zajedno imaju 127 DVD-a sa filmovima, pri Ëemu Miπa ima 35 DVD-a viπe od Neπe. Koliko DVD-a ima Miπa, a koliko Neπa? Neka Miπa ima m, a Neπa n DVD-a. Tada se uslovi zadatka izraæavaju jednaËinama:
1
, , 1. Сличност троуглова 1.1. 1.
4. Koristi osobine proporcije. a)
б)
a) a x
c b
б) x
a
c
c
b
2. Vidi slike а)
в)
б)
1
C
B
e x
1 √2 √3 1
A
a x
x
b c a
b a
c
b
x
e
√2
√3 A
c
b
C
B
г) x a
3. 2
a
b e b
3
e a
5
x
c
1.2. 1. a) Jednaki su unakrsni i transverzalni uglovi. b) Dva trougla na slici su otuda sliËni. y x 4 6 v) = i = , x = 6,4; y = 4,8. 8 5 4 5 2. JednakostraniËni trouglovi su sliËni. Jednakokraki pravougli trouglovi su sliËni. Ne, nisu bilo koja dva jednakoraka trougla sliËna. 3. Jesu. x+5 5 y+8 8 4. = , = , x = 7,5; y = 12. 10 4 10 4 1 5. a) k; b) . k | AC | 24 | Al Bl | 12 6. , = , = 15 40 40 15 |AC| = 9 cm, |A´B´| = 32 cm. 7. AB + BC + CA = 27; k =
158
18 . 27
KL 18 2 2 = = , KL = 6 $ = 4, AB 27 3 3 2 2 LM = BC $ = 6; KM = AC $ = 8. 3 3 8. DABC je pravougli zbog AB2 + AC2 = BC2, pa 1 mu je povrπina P = $ AB $ AC = 30 . Koefici2 Pl 120 jent sliËnosti je k = = = 4 =2. P 30 Odatle, KL = 2 · AB = 10, LM = 2 · BC = 26; KM = 24. 9. Naspram najduæe stranice nalazi se najkraÊa 2 $ 36 visina. Osnovica DA1B1C1 je = 12 . Koe6 18 3 = . Iz P : P1 ficijent sliËnosti je k = 12 2 = (3 : 2)2 dobijamo P = 81.
Регистар појмова Сличност троуглова
– једнакост 34 – једначина у решеном облику 35 – линеарне једначине 39 – линеарне неједначине 49 – неједнакост 45 – неједначине 45 – немогућа једначина 36 – нумеричка једнакост 34 – нумеричка неједнакост 46 – примена линеарних једначина 42 – примена линеарних неједначина 53 – решен облик једначине – решен облик неједначине 46 – решење једначине 35 – решење неједначине 46 – скуп решења једначине 36 – скуп решења неједначине 47 – скуп решења неједначине као интервал 47 – својства рационалних алгебар. израза 51
– други став сличности 11 – коефицијент сличности 9 – површина сличних троуглова 10 – први став сличности 11 – слични троулови 8 – сличност и правоугли троугао 14 – Талесова теорема 7 – трећи став сличности 12 Тачка, права, раван – геометријско тело 31 – диедар 25 – дијагонала полиедра 31 – две равни 24 – ивица полиедра 31 – конвексан полиедар 32 – мимоилазне праве 19 – мрежа полиедра 32 – однос тачке и праве 15 – однос тачке и равни 15 – одређеност праве 15 – одређеност равни 16 – однос правих 19 – односи праве и равни 21 – ортогонална пројекција тачке на раван – паралелне равни 24 – полиедар 31 – прав диедар 25 – права паралелна равни 21 – права коса према равни 23 – права нормална на раван 21 – права продире раван 21 – права у равни 16 – пројекција дужи 28 – пројекција праве 28 – равни које се секу 24 – растојање тачке од равни 23 – симетрална раван дужи 24 – страна полиедра 31 – теме полиедра 31 – угао диедра 25 – угао између праве и равни 28 – узајамно нормалне равни 26
Призма
27
Линеарне једначине и неједначине – домен једначине 36 – домен неједначине 47 – еквивалентне једначине 37 – еквивалентне неједначине 49 – еквивалентне трансформације једначина – еквивалентне трансформације неједнач. – знаци неједнакости 45 – идентитет 36 – интервал 47
178
40
– бочна ивица призме 56 – бочна страна призме 55 – висина призме 56 – дијагонала квадра 56 – дијагонала призме 56 – дијагонални пресек призме 57 – запремина квадра 67 – запремина коцке 67 – запремина правилне тростране призме 70 – запремина правилне шестостр. призме 71 – запремина тела 66 – запремина усправне призме 70 – запремина четворостране призме 68 – ивица призме 55 – једнакоивична призма 56 – Кавалијеријев принцип 68 – квадар 56 – коса призма 56 – коцка 56 – маса тела 69 – мрежа призме 61 – омотач призме 55 – основа призме 55 – основна ивица призме 56 – паралелепипед 56 – површина квадра 61 – површина коцке 61 – површина правилне тростране призме 63 – површина правилне четворостр. призме 62 – површина правилне шестостране призме 65 – правилна призма 56 – пресек призме и равни 57 – призма 55 – страна призме 55 – теме призме 55 – усправна призма 56
a
Пирамида – апотема пирамиде 73 – бочна ивица пирамиде 73 – бочне стране пирамиде 72 – висина пирамиде 73 – врх пирамиде 73 – запремина пирамиде 85 – запремина правилне тростр. пирамиде 86 – запремина правилне четворос.пирамиде 85 – запремина правилне шестост. пирамиде 87 – ивица пирамиде 73 – једнакоивична пирамида 73 – мрежа пирамиде 76 – основа пирамиде 72 – основна ивица пирамиде 73 – пирамида 72 – површина пирамиде 78 – површина правилне тростране пирамиде 81 – површина правилне четворост.пирамиде 79 – површина правилне шестостр.пирамиде 81 – правилна пирамида 73 – пресек равни и пирамиде 73 – теме пирамиде 73 – тетраедар 73 Линеарна функција – вредност линеарне функције за х=0 92 – график линеарне функције 92 – домен функције 90 – имплицитни облик линеарне функције 99 – једначина праве 93 – коефицијент правца праве 93 – константна линеарна функција 97 – линеарна функција 89 – нагибни угао праве 97 – нула функције 94 – опадајућа линеарна функција 97 – растућа линеарна функција 97 – скуп вредности линеарне функције 91 Графичко представљање података – кружни дијаграм 105 – линијски графикон 103 – медијана 109 – популација 108 – средња вредност бројева 107 – статистика 101 – стубични дијаграм 104 – табеларно представљање података – узорак 108
102
Систем од две линеарне једначине са две непознате – еквивалентни системи 115 – еквивалентне трансформације система
115
– линеарне једначине са две непознате 112 – противречан систем 113 – решени облик система 113 – решење линеарне једначине са две неп. 112 – скуп решења лин.једн.са две непознате 112 – скуп решења система 113 Ваљак – ваљак 128 – висина ваљка 128 – запремина ваљка 135 – изводнице ваљка 128 – мрежа ваљка 133 – омотач ваљка 128 – оса ваљка 128 – осни пресеци ваљка 131 – основе ваљка 128 – површина ваљка 133 – полупречник ваљка 128 – пресеци ваљка равнима 130 – цилиндар 128 Купа – висина купе 137 – запремина купе 145 – изводнице купе 137 – конусна површ 137 – купа 137 – мрежа купе 141 – омотач купе 137 – описана купа 146 – оса купе 137 – осни пресеци купе 139 – површина купе 142 – пресеци купе равнима 139 – уписана купа 146 Лопта – антиподалне тачке сфере 149 – велика кружница сфере 152 – географске координате 153 – екватор 153 – запремина лопте 156 – лопта 148 – меридијани 153 – описана лопта и сфера 155 – паралеле 153 – површина лопте 154 – полулопта и полусфера 157 – полупречник лопте и сфере 148 – пресеци лопте и сфере равнима 152 – пречник лопте и сфере 149 – сфера 148 – тангентна раван сфере 152 – уписана лопта и сфера 155 – центар лопте и сфере 148
179
за осми разред основне школе 8 600262 025555
www.zavod.co.rs k.b. 18210
Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић
за осми разред основне школе