Статистика-збирка задатака - 23775

С ТАТ И С Т И К А

Јасна Солдић Алексић Милан Вукосављевић Бојана Милићевић

СТАТИСТИКА ЗБИРКА ЗАДАТАКА

З БИ Р К А З А Д АТА К А

8 600262 051097

за трећи и четврти разред

КБ 23775 www.zavod.co.rs

за трећи и четврти разред средњих стручних школа

Садржај

општа статистика 1. Увод у статистику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Статистичко посматрање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Сређивање и груписање података . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. Приказивање статистичких података . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5. Дескриптивне статистичке мере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6. Релативни бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 7. Корелациона анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 8. Регресиона анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 9. Индексни бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 10. Анализа временских серија . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ПОСЛОВНА СТАТИСТИКА 12. Статистичко обухватање производње и промета . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Динамика производње и промета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14. Статистичко приказивање основних средстава предузећа . . . . . . . . . .

15. Статистичко обухватање запослених . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16. Статистичко обухватање продуктивности рада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17. Статистика зарада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 66 75 79 86 89

РЕШЕЊА задатака општа статистика 1. Увод у статистику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2. Статистичко посматрање . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3. Сређивање и груписање података . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4. Приказивање статистичких података . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5. Дескриптивне статистичке мере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6. Релативни бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7. Корелациона анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8. Регресиона анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9. Индексни бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10. Анализа временских серија . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4

ПОСЛОВНА СТАТИСТИКА 12. Статистичко обухватање производње и промета . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 13. Динамика производње и промета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 14. Статистичко приказивање основних средстава предузећа . . . . . . . . . 185 15. Статистичко обухватање запослених . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 16. Статистичко обухватање продуктивности рада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 17. Статистика зарада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5

Предговор

Поштовани ученици, наставници и остали читаоци, Пред вама је збирка задатака из статистике намењена превасходно ученицима трећег и четвртог разреда средњих стручних школа. Збирка задатака написана је као додатни материјал уз уџбеник СТАТИСТИКА, те је стога садржај збирке у потпуности конципиран према садржају уџбеника. Збирка се састоји из два дела: у првом делу су дати задаци који се редом односе на сва поглавља из уџбеника, с изузетком једанаестог поглавља под насловом Основни појмови о пословној статистици, за које сматрамо да због природе материје нису потребни посебни задаци, већ су довољна контролна питања и задаци из Уџбеника. Други део збирке садржи решења задатака. Збирка садржи 160 урађених задатака, од чега се првих 88 задатака односе на област опште статистике, а 72 задатка на област пословне статистике. За највећи број задатака, посебно из области опште статистике, која се обрађује у трећем разреду, приказани су комплетни поступци решавања задатака. За задатке из области пословне статистике, која се обрађује у четвртом разреду, када су ученици већ упознати с основним статистичким појмовима и начином њиховог израчунавања, углавном су приказана коначна решења задатака с одговарајућим коментарима и интерпретацијом резултата. У погледу редоследа задатака, за свако поглавље поштован је принцип постепене растуће сложености – најпре су дати једноставнији, а затим следе нешто сложенији задаци. Пожељно је да ученици при решавању задатака за сва рачунања користе Excel програм, чија је примена детаљно објашњена на крају поглавља у Уџбенику и на пратећем CD-у, који је саставни део Уџбеника. Такође, сви графикони у збирци урађени су у Excel програму. Изузетну захвалност дугујемо рецензентима на пажљивом читању предложеног материјала збирке и на многим корисним примедбама и предлозима. Наша је жеља да ова збирка буде корисна ученицима и наставницима у њиховом заједничком раду на часовима статистике, као и у самосталном раду ученика у савладавању предвиђеног програма из статистике. Све добронамерне примедбе, сугестије и питања корисника збирке су добродошли и са захвалношћу ћемо их примити и размотрити. Београд, мај 2017. године

Аутори

7

општа СТАТИСТИКА

9

1. Увод у статистику

Задатак 1. Да ли предмет статистичког посматрања могу да буду: а) становници Београда, б) мушке патике у продавници спортске опреме које имају следеће карактеристике: Произвођач

Adidas

Модел

100–10

Боја

црна

Величина

43

в) учесници манифестације „Радост Европе”? Задатак 2. Предмет статистичког посматрања могу да буду следеће карактеристике ученика: • _ __________________________________________, • _ __________________________________________, • _ __________________________________________. Задатак 3. Попуните дату табелу. Укупан број ученика у одељењу

Број ученика женског пола

Број ученика мушког пола

Број одличних ученика у претходном разреду

Дискутујте о унетим подацима имајући у виду предмет статистичког посматрања.

10

Задатак 4. На примеру кошаркашког тима наведите карактеристике које могу да буду предмет статистичког посматрања. Задатак 5. Зашто предмет статистичког посматрања не могу да буду бордо аутомобили марке BMW X6 произведени у истој серији (претпоставка је да су аутомобили истих перформанси)? Наведите под којим условима би аутомобили из претходног питања могли да постану предмет статистичке анализе. Задатак 6. Претпоставимо да се изводи експеримент бацања новчића. а) Израчунајте теоријску вероватноћу појављивања главе, односно писма. б) Нека је новчић бачен 10, 50, 100 и 500 пута и забележен је следећи број појављивања главе и писма. Табела 1.1. – Реализација експеримента бацања новчића различит број пута Број бацања новчића

Страна новчића

10

50

100

500

глава

6

27

46

246

писмо

4

23

54

254

Извор: вредности симулиране помоћу IBM SPSS статистичког софтвера

Израчунајте емпиријске вероватноће појављивања главе, односно писма. Коментаришите резултат. Задатак 7. Претпоставимо да су вам потребни следећи подаци: а) просечна зарада у Србији, б) курс динара и стопа инфлације у Србији. Посетите одговарајуће веб-сајтове да бисте најлакше дошли до тражених података и пронађите последње објављене вредности. Задатак 8. На ком веб-сајту се могу наћи подаци о глобалном развоју, као и публикација Индикатори развоја земаља света 2016 (World Development Indicators 2016)?

11

2. Статистичко посматрање

Задатак 1. Туристичка агенција „Светски путници” одлучила је да своју понуду туристичких аранжмана од претходне летње сезоне обогати аранжманима за Шпанију. Задужени сте да спроведете статистичко истраживање задовољства путника тим аранжманима. Како бисте спровели то истраживање? Наведите и објасните фазе статистичког истраживања. Задатак 2. Разврстајте следећа обележја на атрибутивна и нумеричка: а) број постигнутих кошева на кошаркашкој утакмици, б) висина ученика, в) пол запослених, г) занимање запослених, д) дужина чекања на каси супермаркета. Задатак 3. Да ли су следећа нумеричка обележја прекидна или непрекидна: а) број одличних оцена на последњем контролном из енглеског језика, б) тежина ученика, в) износ новца на текућем рачуну, г) број одгледаних позоришних представа током године, д) време проведено у чекању на каси супермаркета? Задатак 4. На којој скали се мери свако од следећих обележја: а) стручна спрема запослених, б) температура ваздуха, в) трајање авионског лета између две дестинације, г) брачни статус запослених, д) број продатих производа?

12

Задатак 5. Попуните следећу табелу. Табела 2.1. – Статистичка обележја према врсти и мерној скали на којој су мерена Статистичко обележје

Врста обележја

Мерна скала

боја косе оцена на испиту привредна делатност број исправних производа месечна зарада

Задатак 6. Температура у Београду је 4º C а у Новом Саду је 1º C. На основу тих података, одредите који од наведених закључака је тачан. а) У Новом Саду је четири пута хладније него у Београду. б) Температура у Београду је за 3º C виша од температуре у Новом Саду. Задатак 7. На ком веб-сајту се може пронаћи податак о попису становништва у Србији? Које године је спроведен последњи попис? Пронађите податак о укупном броју становника, као и о броју становника по полу. Задатак 8. Одредите да ли се у наведеним примерима ради о основном скупу или о узорку: а) сви учесници семинара о јавним набавкама, б) 100 ученика из гимназија у Србији, в) 200 радника једног предузећа које укупно има 2.850 запослених, г) свих 2.490 библиотека на територији Републике Србије. Задатак 9. Који метод прикупљања примарних података се примењује уколико треба да се: а) одреди број свих одбојкаша који су на утакмици постигли више од 15 поена, б) испита дејство новог лека за крвни притисак, в) прикупе лични подаци ученика једног одељења? Задатак 10. На основу захтева из 1. задатка осмислите анкету којом се долази до података неопходних за истраживање. Размислите која се питања могу поставили путницима. Питања могу да буду и отвореног и затвореног типа.

13

3. Сређивање и груписање података

Задатак 1. Спроведено је истраживање о физичкој активности младих током летњег распуста. Ученицима је постављено питање којим се спортом најрадије баве током распуста. Анкетирано је 25 ученика и забележени су следећи одговори. Спорт кошарка

пливање

пливање

фудбал

кошарка

пливање

тенис

одбојка

тенис

одбојка

пливање

фудбал

пливање

кошарка

тенис

пливање

фудбал

одбојка

одбојка

пливање

пливање

кошарка

тенис

одбојка

пливање

а) Сређивањем и груписањем података формирајте одговарајућу атрибутивну серију. б) Којим се спортом током распуста анкетирани ученици најчешће баве? в) Одредите релативне фреквенције и учешћа. г) Који спорт је најслабије заступљен током распуста? Који проценат анкетираних ученика се током распуста бави тим спортом? Задатак 2. На основу података о радницима запосленим у једном предузећу закључује се да 7 запослених живи у домаћинству с по 2 члана, 13 запослених у домаћинству с по 3 члана, 21 запослени у домаћинству с по 4 члана, док 9 радника живи у домаћинству које броји 5 чланова. а) Представите расподелу запослених према броју чланова домаћинства. б) Да ли је исправно рећи да највећи број запослених посматраног предузећа живи у четворочланом домаћинству? Задатак 3. Одабран је узорак од 20 радника и забележен број пројеката на којима су одабрани радници били ангажовани у својој каријери. За одабране раднике број пројеката на којима су учествовали приказан је у следећем прегледу.

14 Број пројеката 11

7

20

3

9

7

1

23

10

11

14

8

13

5

14

12

6

17

6

16

а) Формирајте групне интервале на основу података из узорка тако да ширина интервала износи 5, и табеларно прикажите расподелу запослених према броју пројеката. б) Колико радника је било ангажовано на мање од 6 пројеката? Задатак 4. Потребно је да се направи анализа бруто зарада у Србији у 2013. години тако што ће се обухватити различите делатности. Помоћу Статистичког календара Републике Србије дошло се до података о просечним бруто зарадама (у хиљадама динара) у различитим делатностима, што је приказано у следећем прегледу. Просечна бруто зарада 51,9

96,1

51,7

103,7

54,8

49,5

45,7

63,4

33,0

91,7

109,5

67,7

85,8

43,2

75,1

59,8

60,6

57,5

43,8

а) Формирајте групне интервале за просечне бруто зараде тако да доња граница првог интервала износи 25 и да ширина интервала буде 25. Како изгледа формирана расподела делатности према просечној бруто заради у 2013. години? б) У колико делатности се просечна бруто зарада налази у интервалу од 50 до 75 хиљада динара? в) У ком интервалу се креће просечна бруто зарада највише делатности у 2013. години? Задатак 5. Удружење услужних делатности Србије интересује кретање броја запослених у 2010–2014. Подаци, који су им достављени, налазе се у следећој табели.

15 Табела 3.1. – Број запослених у услужним делатностима у Србији Година

2010.

2011.

2012.

2013.

2014.

Услуге смештаја и исхране

20.863

20.392

20.306

19.945

19.791

Остале услужне делатности

13.453

14.387

14.386

11.933

12.225

Извор: Статистички календар Републике Србије 2015.

а) Формирајте одговарајућу серију која се односи на кретање укупног броја запослених у сектору услужних делатности у посматраном периоду. б) Којој врсти серија припада формирана серија? в) Да ли је исправно рећи да је укупан број запослених у услужним делатностима 2010–2014. прешао 100.000? Задатак 6. Пољопривредни стручњаци анализирају податке о производњи воћа у Србији да би дали предлог које би производе од воћа требало производити у наредном периоду. Конкретно, баве се подацима о производњи две сорте јабука 2009–2013. Располажу подацима приказаним у следећој табели. Табела 3.2. – Производња јабука у Србији (у 1.000 тона) Година

2009.

2010.

2011.

2012.

2013.

Јабуке – сорта 1

63

42

87

91

138

Јабуке – сорта 2

182

190

163

79

232

а) Којој врсти серија припада серија производње прве сорте јабука, а којој серија производње друге сорте? б) Формирајте нову серију која показује укупну производњу јабука у периоду посматрања. Задатак 7. Из Центра за издавачку делатност достављени су подаци о броју издатих књига и брошура у области уметности у Србији у траженој години. Стигло је следеће обавештење:

16

број књига и брошура издатих у региону Србија – Север износи 639, док је у региону Србија – Југ издато укупно 144 књиге и брошуре. Детаљније посматрано, од укупно 639 књига и брошура издатих у региону Србија – Север, у Београдском региону издато је 475 књига и брошура, а остатак је издат у региону Војводине. Када је у питању Србија – Југ, 99 књига и брошура издато је у региону Шумадије и Западне Србије, 42 у региону Јужне и Источне Србије, а преостали број у региону Косова и Метохије. а) Ради лакшег сагледавања добијених података, формирајате три одговарајуће серије података. б) Којој врсти серија припадају добијене серије? Задатак 8. На основу задате серије, кумулирајте податке тако да се добије кумулатив „испод” и кумулатив „изнад”. Табела 3.3. – Расподела ученика према висини Висина у cm (x)

Број ученика (f)

130,01–140

6

140,01–150

9

150,01–160

15

160,01–170

12

170,01–180

3

укупно (S)

45

а) Колико ученика не прелази висину од 160 cm? б) Колико ученика је више од 160 cm? в) Да ли је већи број ученика чија је висина мања или једнака 150 cm или број ученика чија је висина већа од 160 cm? г) Како се може протумачити израчуната вредност од 45 ученика у кумулативној серији „испод”, а како у кумулативној серији „изнад”? Задатак 9. На основу података о образовању у Републици Србији у 2013. години, формирана је табела 3.4.

17 Табела 3.4. – Расподела студената факултета и високих школа који су стекли стручна и академска звања у 2013. години Пол

Стечено звање I степена

мушки

дипломирани економиста

женски

300

516

дипломирани инжењер менаџмента

82

139

дипломирани правник

223

342

дипломирани туризмолог

19

71

укупно

624

1.068

Извор: Саопштење Републичког завода за статистику, број 99, год. LXV

а) Наведите која обележја препознајете у датој табели. б) Којој врсти обележја припадају дата обележја? в) Колико се атрибутивних серија о стеченим звањима I степена може формирати на основу дате табеле? Формирајте их. г) Израчунајте учешће дипломираних економиста у укупном броју дипломаца. Задатак 10. У табели у наставку дати су подаци о биљној производњи у Србији. Табела 3.5. – Биљна производња у Србији Година Пшеница (у тонама)

2009.

2010.

2011.

2012.

2013.

2.067,0

1.631,0

2.067,0

1.911,0

2.690,0

Принос пшенице (t/ha)

3,6

3,4

4,2

4,0

4,8

Принос сунцокрета (t/ha)

2,4

2,2

2,5

2,2

2,7

Извор: „Статистички календар Републике Србије”, 2015.

а) Колико временских серија може да се формира на основу датих података? б) Наведите врсте формираних временских серија. в) Да ли се на основу посматраних података може закључити да је 2009–2013. произведено укупно 10.366 тона пшенице? г) Да ли је исправан закључак да је у посматраном периоду укупан принос сунцокрета по хектару 12 тона? д) У којој години/годинама је принос пшенице најприближнији приносу сунцокрета?

18

ђ) Направите кумулатив „испод”. Да ли има смисла кумулирати податке сваке од три наведене серије? е) Из кумулатива „испод” прочитајте колика је производња пшенице закључно с 2012. годином. Задатак 11. Број спортских центара у 25 посматраних градова једне државе приказан је у следећем прегледу. Број спортских центара 7

6

12

17

3

8

3

19

2

14

8

9

11

6

13

5

12

10

5

4

7

18

10

9

5

а) Применом Старџесовог правила групишите податке у облик интервалне нумеричке серије. б) На основу груписаних података попуните празна места у следећој реченици: највећи број градова (____) има од ____ до ____ спортских центара, а најмањи број градова (____) има од ____ до ____ спортских центара. в) Колико градова има најмање 8 спортских центара? Како се назива серија на основу које сте дошли до тог податка?

19

4. Приказивање статистичких података

Задатак 1. У следећој табели приказани су број превезених путника и количина превезене робе и поште на аеродромима скандинавских земаља током 2014. и 2015. године. Табела 4.1. – Број превезених путника (у 1.000) и количина робе и поште (у тонама) Држава Финска Шведска Норвешка укупно (S)

2014. Број превезе- Количина роних путника бе и поште 17.171 190.575 32.765 141.804 37.601 115.765 87.537 448.144

2015. Број превезе- Количина роних путника бе и поште 17.479 181.833 34.010 146.232 37.501 127.298 88.990 455.363

Извор: http://ec.europa.eu/eurostat

а) Којој врсти табела припада табела 4.1? б) Колико простих табела је могуће формирати на основу табеле 4.1? в) Формирајте нову табелу којом се представља број превезених путника у 2014. и 2015. години. Којој врсти табела припада формирана табела? Задатак 2. Прикажите на једном линијском дијаграму кретање ноћења домаћих и страних туриста у Србији 2009–2013. ако се располаже серијама података приказаним у табели 4.2. Табела 4.2. – Број ноћења туриста у Србији (у 1.000) Година 2009.

2010.

2011.

2012.

2013.

Домаћи туристи 5.293 4.961 5.001 4.688 3.925

Извор: „Статистички календар Републике Србије”, 2015.

Коментаришите кретање две посматране серије.

Страни туристи 1.469 1.452 1.644 1.797 2.161

20

Задатак 3. Расподела телефона према цени (у еврима) у једној продавници мобилних телефона дата је у табели 4.3. Табела 4.3. – Расподела мобилних телефона према цени Цена (x)

Учешће (у %)

0,01–100

0

100,01–200

6

200,01–300

24

300,01–400

37

400,01–500

18

500,01–600

15

укупно (S)

100

На основу претходних података направите одговарајући табеларни преглед и графикон. Који проценат телефона кошта мање од 450 евра? Тај податак одредите с графика. Како се назива дијаграм на основу ког се долази до одговора? Задатак 4. Неколико страница месечног магазина „Култура око нас” обично је посвећено извештају о позориштима. Претходног месеца тај извештај пропраћен је табелом 4.4. Табела 4.4. – Број позоришта у Србији Сезона

Професионална

Аматерска

Дечја

Укупно

СРБИЈА – СЕВЕР 2010/2011.

26

10

9

2011/2012.

26

9

9

2012/2013.

23

24

10

45 57

СРБИЈА – ЈУГ 2010/2011.

12

24

3

2011/2012.

12

22

3

2012/2013.

10

23

3

Извор: РЗЗС (http://www.stat.gov.rs) и Завод за проучавање културног развитка

37

21

Попуните табелу подацима који недостају, а потом представите дате податке графички. а) Прикажите једноставним стубићима број позоришта за сезону 2012/2013. региона Србија – Север по категоријама. б) Д воструким стубићима, користећи податке који се односе на сезону 2011/2012, прикажите укупан број позоришта у оба региона по категоријама. в) На једном дијаграму представите троструким стубићима укупан број аматерских позоришта у посматраним сезонама, и то посебно за сваки регион. Задатак 5. Податке из претходног задатка, као и њихову процентуалну расподелу потребно је приказати у виду раздељених стубића. Прво попуните празна места у следећој табели. Табела 4.5. – Позоришта у Србији (%) Сезона

Професионална

2010/2011.

2011/2012.

2012/2013.

57,78% 59,09%

2010/2011.

2011/2012.

2012/2013.

30,77% 32,43%

Аматерска СРБИЈА – СЕВЕР 22,22% 42,11% СРБИЈА – ЈУГ 61,54% 59,46% 63,89%

Дечја

Укупно

20,00% 20,45% 17,54%

100,00% 100,00% 100,00%

7,69% 100,00% 100,00%

Затим на основу података из табеле 4.4 и табеле 4.5: а) прикажите у виду раздељених стубића структуру позоришта у регионима Србија – Север и Србија – Југ у сезони 2010/2011, и то користећи апсолутне показатеље, б) прикажите исту структуру користећи релативне показатеље (%), в) прикажите исту структуру у сезони 2012/2013. користећи релативне показатеље (%).

22

Задатак 6. Број посетилаца позоришта у Србији дат је у следећој табели. Табела 4.6. – Број посетилаца позоришта у Србији (у 1.000) Сезона

Професионална

2010/2011.

2011/2012.

2012/2013.

766 899 796

2010/2011.

2011/2012.

2012/2013.

172 155 192

Аматерска СРБИЈА – СЕВЕР 49 32 56 СРБИЈА – ЈУГ 134 104 97

Дечја

Укупно

213 212 212

1.028 1.143 1.064

63 48 58

369 307 347

Извор: РЗЗС (http://www.stat.gov.rs) и Завод за проучавање културног развитка

а) Прикажите помоћу хоризонталних стубића (гредица) број посетилаца сваке од три категорије позоришта у региону Србија – Север, и то по сезонама. б) Прикажите симетричним стубићима број посетилаца по регионима и категоријама у сезони 2012/2013. Задатак 7. На основу података из претходног задатка представите раздељеним стубићима: а) број посетилаца позоришта у оба региона у сезонама 2010/2011. и 2011/2012, и то користећи апсолутне показатеље, б) број посетилаца позоришта у оба региона у сезонама 2011/2012. и 2012/2013, и то користећи релативне показатеље (%). Задатак 8. На основу података о броју посетилаца позоришта: а) упоредите помоћу дијаграма квадрата укупан број посетилаца позоришта у региону Србија – Север у све три сезоне, б) упоредите помоћу дијаграма круга укупан број посетилаца позоришта у региону Србија – Југ у све три сезоне, в) упоредите помоћу дијаграма круга укупан број посетилаца позоришта региона Србија – Југ у сезони 2012/2013, г) структурним кругом прикажите број посетилаца позоришта у Србији у сезони 2011/2012.

23

Задатак 9. Расподела важнијих планинских врхова према надморској висини у Србији дата је у следећој табели. Табела 4.7. – Важнији планински врхови у Србији према надморској висини, у метрима

Висина (2.013–2.121) (2.121–2.228) (2.228–2.335) (2.335–2.442) (2.442–2.549) (2.549–2.656) укупно (S)

Број врхова 7 4 2 6 7 5 31

Извор: РЗЗС (http://www.stat.gov.rs) и Војногеографски институт, Београд, „Статистички календар Републике Србије”, 2015.

Дату расподелу прикажите једноставним стубићима. Задатак 10. Кретање средње максималне температуре по месецима 1981–2010. у Новом Саду дато је у следећој табели. Табела 4.8. – Средња максимална температура у Новом Саду (º C) Месец јан. Темп.

3,7

феб. март апр.

6,1

12,0

17,7

мај

јун

јул

авг.

сеп.

окт. нов. дец.

23,0

25,8

28,1

28,3

23,6

18,0

10,5

4,8

Извор: РХМЗ

а) Поларним дијаграмом прикажите кретање средње максималне температуре. б) Поларним дијаграмом, користећи се кварталним приказом (I квартал се односи на јануар, фебруар и март, II квартал на април, мај и јун, III квартал на јул, август и септембар, док IV обухвата октобар, новембар и децембар), прикажите кретање средње максималне температуре.

24

Задатак 11. Број ведрих дана у Новом Саду у 2010. години приказан је у табели 4.9. Табела 4.9. – Број ведрих дана у Новом Саду Месец Број ведрих дана

јан. феб. март апр.

3

5

5

6

мај

јун

јул

авг.

7

6

12

13

сеп. окт. нов. дец.

8

8

4

3

а) Поларним дијаграмом прикажите кретање броја ведрих дана. б) Поларним дијаграмом, користећи се кварталним приказом (I квартал се односи на јануар, фебруар и март, II квартал на април, мај и јун, III квартал на јул, август и септембар, док IV обухвата октобар, новембар и децембар), прикажите кретање броја ведрих дана.

25

5. Дескриптивне статистичке мере

Задатак 1. Дате су две серије података које представљају број поена остварених на тениском турниру. Прва серија односи се на поене 8 тенисера који су учествовали на турниру, а друга серија на поене 12 тенисерки. Тенисери

40

23

72

96

31

66

10

55

Тенисерке

30

24

95

61

46

25

100

61

80

25

51

78

а) Одредите аритметичку и геометријску средину за обе серије података. б) Одредите хармонијску средину времена (у минутима) које је потребно тенисерима, односно тенисеркама да освоје поен, уз претпоставку да је свако од играча играо 2 часа. в) Одредите модус и медијану посматраних серија података. г) Одредите интервал варијацијa посматраних серија података. д) Одредите варијансу и стандардну девијацију посматраних серија података. ђ) Која мера се користи за поређење варијабилитета података у посматране две серије? Израчунајте је. Задатак 2. Цвећара „Латица руже” специјализовала се за израду великих цветних аранжмана. Цвећара запошљава 20 радника будући да је за неке захтевније аранжмане потребно више сати за израду. Резултат су веома задовољни купци, а у табели 5.1 дата је расподела броја цветних аранжмана које су цвећари направили током једног радног дана. Табела 5.1. – Расподела цветних аранжмана Број аранжмана (x)

Број радника (f)

1

2

2

4

3

7

4

6

5

1

укупно (S)

20

26

а) Израчунајте средњу вредност направљених цветних аранжмана. Да ли се добија иста вредност ако се средња вредност израчуна на основу аритметичке и на основу геометријске средине? б) Израчунајте хармонијску средину броја часова потребних да се направи један аранжман ако радни дан траје 8 часова. в) Одредите модус и медијану броја цветних аранжмана. г) Одредите интервал варијације. д) Одредите варијансу и стандардну девијацију. ђ) Одредите коефицијент варијације и објасните његово значење. Задатак 3. Неколико година пошто је продата серија од 50 аутомобила исте марке у једном салону, власници возила анкетирани су о пређеној километражи. Њихови одговори сумирани су у табели 5.2. Табела 5.2. – Расподела аутомобила према броју пређених километара, у хиљадама Пређена километража (x)

Број возила (f)

до 50

3

50–100

6

100–150

19

150–200

14

више од 200

8

укупно (S)

50

а) Израчунајте просечну вредност пређене километраже. б) Која је најчешћа пређена километража? Колико износи медијана пређених километара? в) Одредите интервал варијације пређених километара ако је познато да је највише пређено 236.250 километара, а најмање 33.830 километара. г) Одредите варијансу и стандардну девијацију пређених километара. д) Одредите коефицијент варијације пређене километраже.

27

Задатак 4. У табели 5.3 је статистика фудбалског клуба „Партизан” која се односи на 30 одиграних утакмица Јелен суперлиге Србије у сезони 2014–2015. Табела 5.3. – Преглед утакмица фудбалског клуба „Партизан”, Јелен суперлига Србије, 2014–2015. Резултат

Број утакмица

победа на домаћем терену

11

нерешено на домаћем терену

4

пораз на домаћем терену

0

победа у гостима

10

нерешено у гостима

4

пораз у гостима

1

укупно (S)

30

Извор: www.srbijasport.net

а) Одредите модус на основу дате расподеле фреквенција. б) Да ли је на основу датих података могуће одредити медијану? Користећи се табелом 5.3 формирајте нову табелу у којој су приказани резултати без обзира на то да ли је у питању домаћи терен или терен у гостима. Да ли се на основу те табеле може одредити медијана? Задатак 5. Подаци из 3. задатка су допуњени и приказани у табели 5.4, која садржи податке о пређеним километрима аутомобила, као и најчешћој брзини кретања аутомобила за сваки од посматраних интервала. Табела 5.4. – Расподела аутомобила према броју пређених километара (у 1.000) и најчешћој брзини кретања (у km/h) Пређена километража (x)

Број возила (f)

Најчешћа брзина кретања

до 50

3

55

50–100

6

60

100–150

19

80

150–200

14

90

више од 200

8

100

укупно (S)

50

/

28

а) Израчунајте хармонијску средину времена потребног да се пређе један километар. б) Одредите модус и медијану брзине кретања. в) Графички представите модус и медијану пређених километара. г) Хистограмом фреквенција прикажите расподелу пређених километара. На основу графичког приказа и израчунатих и позиционих средњих вредности, објасните да ли је расподела симетрична или асиметрична. д) Да ли је на основу израчунате варијансе исправно рећи да је већи варијабилитет пређених километара од варијабилитета брзине кретања? Одредите показатељ на основу ког се може извести коректан закључак и објасните добијени резултат. (Приликом израчунавања просечне брзине кретања користите претпоставку о једночасовном кретању.) Задатак 6. Анализирана је надморска висина 75 планинских врхова једне земље и добијени резултати су у Excel програму приказани у табели 5.5 (примењена је процедура Data Analysis/Descriptive Statistics). На слици 5.1 приказана је расподела планинских врхова према надморској висини. Табела 5.5. – Анализа надморске висине 75 планинских врхова, у метрима (излазни резултат процедуре из Excel-a, Data Analysis/Descriptive Statistics) Mean Standard Error Median

1.969,36 62,23 1.899,00

Mode

973,00

Standard Deviation

538,96

Sample Variance

290.482,29

Kurtosis

–0,45

Skewness

0,23

Range

2.177,00

Minimum

973,00

Maximum

3.150,00

Sum Count

147.702,00 75,00

29 30 25 број врхова

20 15 10 5

3.1 50 2.7 00 ,1–

2.7 00 2.2 50 ,1–

2.2 50 1.8 00 ,1–

1.8 00 1.3 50 ,1–

90 0,1 –

1.3 50

0

надморска висина (у метрима)

Слика 5.1. – Расподела планинских врхова према надморској висини

а) Колика је просечна надморска висина? б) Колика је најчешћа висина планинских врхова? На основу ког показатеља се то може закључити? в) Да ли се може тврдити да 37 врхова има висину једнаку 1.969,36 метарa или већу од ње? г) Шта на основу хистограма фреквенција можете закључити о симетричности расподеле?

30

6. Релативни бројеви

Задатак 1. Ако је укупна површина Србије 88.499 km2, а Београдског региона 3.234 km2, колико процената површине Србије покрива Београдски регион? Задатак 2. У табели 6.1 приказан је број запослених по годинама у Србији. Дати су подаци о укупном броју запослених и броју запослених у области образовања. Табела 6.1. – Број запослених у Србији 2010–2014. Година

Број запослених укупно

образовање

2010.

1.795.755

136.179

2011.

1.746.138

138.391

2012.

1.727.048

138.959

2013.

1.715.163

140.725

2014.

1.697.686

141.487

Извор: „Статистички календар Републике Србије”, 2015.

а) Одредите релативне показатеље структуре у виду учешћа запослених у образовању у односу на укупан број запослених у Србији у посматраним годинама. б) Протумачите кретање броја запослених у образовању. Да ли је за доношење закључка боље користити апсолутне или релативне бројеве? Задатак 3. Становници једног града анкетирани су о месту на ком најрадије проводе летњи одмор. У анкети је учествовало укупно 500 особа, а њихови одговори приказани су у табели 6.2.

31 Табела 6.2. – Расподела анкетираних особа према омиљеном месту за одмор Одредиште море планина бања језеро посета другом граду укупно (S)

мушког пола 93 61 33 6

Број особа женског пола 103 30 42 7

укупно 196 91 75 13

67

58

125

260

240

500

На основу података из табелe 6.2: а) прикажите хоризонталну процентуалну структуру, б) прикажите вертикалну процентуалну структуру, в) прикажите структуру анкетираних особа тако што се истовремено посматрају оба обележја (пол и одредиште). г) Које је омиљено одредиште мушкараца, а које жена? Коју процентуалну структуру треба користити да би се дао одговор на постављено питање? д) Да ли бање радије посећују особе мушког или женског пола? Који проценти потврђују тај одговор? Која процентуална структура даје одговор на питање? ђ) Колико је процената жена, а колико је процената мушкараца учествовало у анкети? е) Колико процената особа женског пола најрадије посећује други град? Да ли је тај проценат виши од процента мушкараца који најрадије посећују планину? Задатак 4. У табели 6.3 су подаци о броју становника европских земаља који се односе на 2014. годину. Табела 6.3. – Природно кретање становништва европских земаља (у 1.000) Држава

Становништво

Живорођени

Умрли

Бугарска Италија Словенија Француска Шведска

7.245,7 60.782,7 2.061,1 65.835,6 9.644,9

67,6 502,6 21,2 820,8 114,9

109,0 598,4 18,9 556,1 89,0

Извор: http://ec.europa.eu/eurostat

Природни прираштај –41,4 –95,8 2,3 264,7 25,9

32

а) Израчунајте стопе природног кретања становништва и протумачите добијене резултате. б) Које од посматраних земаља имају негативну стопу природног прираштаја и шта она показује? в) Која земља има највишу стопу живорођених и шта она показује? Задатак 5. Ради анализе густине насељености региона у некој земљи, дати су подаци у следећој табели. Табела 6.4. – Становништво и површина региона, фебруар 2015. Регион северни регион централни регион јужни регион

Број становника (у 1.000) 2.823 3.126 2.628

Површина (km2) 22.325 35.823 61.424

а) Одредите и протумачите коефицијенте густине насељености у посматраним регионима у фебруару 2015. године. б) Који регион је најгушће насељен? в) Да ли се на основу података из табеле 6.4 може одредити густина насељености целе земље? Задатак 6. Према Годишњем извештају о пословању компаније „Swisslion – Takovo”, у том предузећу остварени су следећи резултати у 2014. години. Табела 6.5. – Годишњи извештај о пословању компаније „Swisslion – Takovo” у 2014. години Показатељи пословања укупан приход (у 1.000 дин.) укупан расход (у 1.000 дин.) бруто добит (у 1.000 дин.) број запослених Извор: http://www.swisslion-takovo.com

Одредите следеће статистичке коефицијенте: а) укупан приход по запосленом, б) укупан расход по запосленом, в) бруто добит по запосленом, г) коефицијент економичности пословања.

2.860.615 2.587.913 272.702 321

33

Задатак 7. Производња сира у неколико земаља Европе у 2013. години дата је у табели 6.6. Табела 6.6. – Производња сира у 2013. години Држава

Произведена количина (у 1.000 тона)

Немачка

2.182

Шпанија

315

Француска

1.936

Мађарска

68

Финска

102

Велика Британија

349

Швајцарска

183

Извор: http://ec.europa.eu/eurostat

а) Одредите индексе структуре производње сира ако се за базни ниво производње узме земља с најмањом произведеном количином. б) Одредите индексе структуре производње сира ако се за базни ниво производње узме земља с највећом произведеном количином. в) За колико процената је производња сира у Швајцарској мања од производње сира у Шпанији? г) За колико процената је производња сира у Великој Британији већа од производње сира у Финској? Задатак 8. Ланац продавница техничке робе има продавнице на више локација у граду. На основу евиденције продаје робе и рекламација купаца, прошлог месеца су забележени подаци приказани у табели 6.7. Табела 6.7. – Продаја малих кућних апарата по локацијама Локација

Продата роба укупно (у комадима)

рекламације (у %)

локација 1

104

12,50

локација 2

52

11,54

локација 3

87

9,20

локација 4

268

8,21

34

а) Колико је процената исправне робе продато на локацији 1? б) Колико је рекламација било у продавници која се налази на локацији 3? в) На којој локацији је продат најмањи проценат исправне робе у односу на укупну исправну робу? г) На којој локацији је примљен највећи број рекламација? О колико комада малих кућних апарата је реч? д) За колико процената је већи број исправних производа продатих на локацији 4 у односу на локацију 1? ђ) Колико износи проценат исправних производа продатих на локацији 2 у односу на све продате производе? Задатак 9. Бруто домаћи производ неке земље износи 350 милијарди евра, а број становника је 10 милиона. Старосна структура је следећа: 16% старих до 14 година, 70% старих 15–65 година, 14% старијих од 65 година. Процене су да ће следеће године бруто домаћи производ порасти за 3,5%. Када је у питању старосна структура становништва, процењује се да ће се број становника до 14 година старости повећати за 5%, број становника 16–65 година старости остаће непромењен, а број становника старијих од 65 година смањиће се за 2%. Колико се очекује да ће износити бруто домаћи производ по становнику следеће године?

35

7. Корелациона анализа

Задатак 1. На сликама 7.1, 7.2, 7.3 и 7.4 дијаграмима распршености приказане су одређене везе између две променљиве.

12

Y-променљива

10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

12

X -променљива

Слика 7.1. – Дијаграм распршености – веза између две променљиве 14

Y-променљива

12 10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

12

X -променљива

Слика 7.2. – Дијаграм распршености – веза између две променљиве

36

12

Y-променљива

10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

12

X -променљива

Y-променљива

Слика 7.3. – Дијаграм распршености – веза између две променљиве

16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

12

X -променљива

Слика 7.4. – Дијаграм распршености – веза између две променљиве

Наведите о којем типу везе између променљивих се ради.

37

Y-променљива

Задатак 2. Посматрањем варијација две појаве добијени су следећи дијаграми распршености.

X -променљива

Y-променљива

Слика 7.5. – Дијаграм распршености 1

X -променљива

Слика 7.6. – Дијаграм распршености 2

Y-променљива

38

X -променљива

Слика 7.7. – Дијаграм распршености 3

На основу датих дијаграма распршености одредите: а) да ли између варијација две појаве постоји квантитативно слагање, б) ако слагање постоји, да ли је облик слагања линеаран или нелинеаран, в) ако слагање постоји, да ли је смер слагања директан или инверзан. г) Упоредите дијаграме са слика 7.5 и 7.6. На којем дијаграму је приказана јача веза између X и Y променљиве? Задатак 3. Који дијаграм из 2. задатка би могао да представља тражњу за неким производом на тржишту, а који би могао да представља понуду уколико је на x-оси представљена цена производа? Задатак 4. У табели 7.1 су подаци о величини станова (у m2) и висини месечног закупа (у 1.000 динара) за 10 случајно одабраних станова. Табела 7.1. – Величина стана и висина месечног закупа Стан

Величина стана (у m2)

Висина месечног закупа (у 1.000 динара)

1

47

36,90

2

26

18,45

3

35

26,20

4

40

27,00

39 Величина стана (у m2)

Висина месечног закупа (у 1.000 динара)

5

45

32,00

6

90

49,35

7

105

50,00

8

110

51,20

9

63

40,00

10

30

21,00

Стан

а) Нацртајте дијаграм распршености за дате променљиве. б) Укажите на степен квантитативног слагања посматраних променљивих на основу дијаграма распршности. в) Израчунајте коефицијент просте линеарне корелације. г) Изведите одговарајуће закључке о облику, смеру и јачини квантитативног слагања између величине станова и висине месечних закупа. Задатак 5. У табели 7.2 су подаци о цени производа А (у динарима) и тражњи за производом А (у комадима) у 8 случајно изабраних продавница. Табела 7.2. – Цена производа А и тражња за њим Продавница

Цена (у динарима)

Тражња (у комадима)

1

74

21

2

77

34

3

61

67

4

78

17

5

69

55

6

59

70

7

64

58

8

57

75

а) Нацртајте дијаграм распршености за дате променљиве. б) Укажите на степен квантитативног слагања посматраних променљивих на основу дијаграма распршености. в) Израчунајте коефицијент просте линеарне корелације. г) Изведите одговарајуће закључке о облику, смеру и јачини квантитативног слагања између тражње и ценe производа А.

40

Задатак 6. На основу података о висини температуре у степенима Целзијуса и броја позива хитној помоћи за 16 дана у августу месецу, коришћењем Еxcel програма добијени су следећи дијаграм растурања и вредност коефицијента просте линеране корелације r = 0,95.

100

број позива хитној помоћи

80 60 40 20 0 0

5

10

15

20

25

30

35

40

температура

Слика 7.8. – Дијаграм распршености – веза између висине температуре и броја позива хитној помоћи

а) Коментаришите однос дијаграма распршености и вредности коефицијента просте линеарне корелације. б) Формулишите неколико примера и утврдите однос између различитих променљивих цртањем дијаграма распршености и рачунањем коефицијента просте линеарне корелације применом Еxcel програма. Коментаришите резултате. Задатак 7. На основу података о броју страних туриста у Србији у регионима Србија – Север и Србија – Југ, проверите с дијаграма распршености да ли између две наведене променљиве постоји квантитативно слагање. Израчунајте и коментаришите вредност коефицијента просте линеарне корелације.

41 Табела 7.3. – Број страних туриста у Републици Србији Година

Србија – Север

Србија – Југ

2008.

481.377

165.117

2009.

467.854

177.168

2010.

497.865

184.816

2011.

560.344

203.823

2012.

594.194

215.773

2013.

688.794

232.974

2014.

766.347

262.385

2015.

836.403

295.818

Извор: Републички завод за статистику (http://www.stat.gov.rs)

Задатак 8. На основу података датих у табели 7.4, коментаришите да ли је вредност израчунатог коефицијента просте линеарне корелације могућа или је у питању грешка. Табела 7.4. – Променљиве и вредност коефицијента корелације Вредност коефицијента корелације r

Променљива X

Променљива Y

број година стажа

висина месечне зараде

0,81

цена производа

тражена количина

–1,20

време за израду једне ружице од папира

број направљених ружица

–0,74

потрошња електричне енергије

издаци за електричну енергију

0,93

пређени број километара

потрошња бензина

–0,87

Задатак 9. Уколико је вредност коефицијента просте линеарне корелације једнака 0, који је од наведених закључака тачан? а) Између две променљиве не постоји веза. б) Између две променљиве не постоји линеарна веза, али може да постоји нелинеарна веза.