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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 1
Página 126 En una comarca hay una cierta especie de vegetal que se encuentra con frecuencia. Se ha estudiado la cantidad media de ejemplares por hectárea que hay a distintas alturas. El resultado se da en la gráfica adjunta. A la vista de ella, responde a las siguientes preguntas: 300
NÚMERO DE EJEMPLARES
200 100 ALTURA (m) 500
1000
1500
¿Cuál es el número medio de ejemplares a 500 m? ¿Y a 1200 m? A 500 metros de altura, el número medio de ejemplares es de 225, y a 1 200 metros es de 100. ¿A qué altura hay mayor número de ejemplares? El mayor número de ejemplares se encuentra a 700 m de altura. La comarca estudiada, ¿entre qué alturas se encuentra? La comarca estudiada se encuentra entre los 400 m y los 1 700 m de altura. En otra comarca de características similares hay alturas de 2 000 m. ¿Cuántos ejemplares de esas plantas crees que se encontrarán en esas cotas? En una altura de 2 000 m no habrá ningún ejemplar. Haz una descripción global de la función, de modo que se diga con brevedad cómo evoluciona el número de ejemplares por hectárea con la altura. El número de ejemplares aumenta hasta que la altura es de 700 m, momento en el que el número de ejemplares comienza a disminuir, tendiendo a no existir prácticamente ninguno por encima de los 1 600 m de altura. Página 128
1 Describe la gráfica del precio de la miel que aparece a continuación. Intenta explicar las variaciones que sufre el precio de la miel en función de la época del año. El precio de la miel se mantiene alrededor de los 3 € durante los dos primeros meses del año, y a partir de aquí comienza a bajar hasta llegar a 2,5 € a mediados de mayo. Durante el resto de mayo y junio se produce un ligero aumento del precio, que nuevamente vuelve a descender durante el periodo estival hasta Unidad 9. Características de las funciones
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valer poco más de 2 €. Desde comienzos de septiembre y hasta finales de año, el precio va aumentando progresivamente hasta llegar nuevamente a los 3 €. Los periodos del año en los que el precio de la miel desciende, se deben a que el consumo es menor en esas épocas; sin embargo, en otoño e invierno el consumo es mayor y el precio aumenta paulatinamente o se mantiene constante.
PRECIO DE LA MIEL A LO LARGO DE UN AÑO PRECIO (€)
3
2
1
E F M A M Jn Jl A S O N D
2 Dibuja un posible “perfil de la etapa” (subidas, bajadas, llanos) que explique la velocidad del ciclista representada en la gráfica de la derecha.
VELOCIDAD DE UN CICLISTA EN CADA PUNTO DE UN RECORRIDO 40
VELOCIDAD (km/h)
35
¿Por qué crees que hay tramos en esta gráfica prácticamente verticales? En el perfil de una etapa ciclista se relaciona la distancia recorrida y la altitud que corresponde a cada kilómetro del recorrido. En nuestro caso, un posible perfil es el siguiente:
30 25 20 15 10 5 POSICIÓN (km)
10
20
30
40
50
60
70
ALTITUD
Los tramos verticales de la gráfica “posición-velocidad” indican que hay una subida con bastante pendiente o bien una gran bajada.
10
20
30
40
50
60
70
DISTANCIA RECORRIDA
(km)
3 Haz una gráfica en la que se vea representado el recorrido de Alberto, desde su casa hasta el colegio, en función del tiempo: De casa salió a las 8:30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Iker. Lo esperó un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco; volvió corriendo, la recogió y llegó al colegio a las 9 en punto. Unidad 9. Características de las funciones
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RECORRIDO COLEGIO
IKER
CASA
8:45
9:00
8:30
TIEMPO
(h)
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4
TABLA DE PRECIOS: APARCAMIENTO “LA TRANQUERA” PRIMERA HORA:
Gratis 0,5 € 1€ 2 € más por cada hora 10 horas
SEGUNDA HORA: TERCERA HORA: CUARTA HORA EN ADELANTE: ESTANCIA MÁXIMA:
• Di cuánto cuesta dejar el coche: a) 0,5 hora
b) 1,5 horas
c) 2,5 horas
d) 5 ,5 horas
• Representa gráficamente la variación del coste en función del tiempo. a) 0,5 h es gratis.
b) 1,5 h cuesta 0,5 €.
c) 2,5 h cuesta 0,5 + 1 = 1,5 €.
d) 5,5 h cuesta 0,5 + 1 + 2 + 2 + 2 = 7,5 €.
La variación del coste en función del tiempo viene dada por la gráfica: € 2 1,5 1 0,5 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
HORAS
5 Representa la función: y = 24x , x ≥ 0. (Dale a x los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, x +2
6, 7, 8, 9 y 10). x y
0 0
Unidad 9. Características de las funciones
1 2
2 1,6
3 1,2
4 0,94
10 0,396
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Pág. 4
2 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6 Representa y = √x 2 + 9 , x ≥ 0 dándole a x valores de 0 a 10. x y
0 3
1 2 3 3,16 3,61 4,24
4 5
5 6 7 8 9 10 5,83 6,71 7,62 8,54 9,49 10,44
10 8 6 4 2 2
4
6
8
10
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1 Halla el dominio de definición de: a) y = a) y =
1 x 2 + 2x – 8 x2
b) y = √x – 5
1 + 2x – 8
x 2 + 2x – 8 = 0 → x =
–2 ± √ 4 + 32 –2 ± 6 = 2 2
2 –4
Los valores x = 2 y x = – 4 anulan el denominador, luego no pertenecen al dominio de definición. Por tanto, Dom f = (– ∞, –4) U (– 4, 2) U (2, +∞). b) y = √x – 5 x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5. El dominio de definición es Dom f = [5, +∞). Página 132
1 De la función de la derecha di: a) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente. b) Cuáles son sus máximos y mínimos relativos. Unidad 9. Características de las funciones
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SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. 5
a) Creciente: (–5, –3) U (5, +∞) Decreciente: (–∞, –5) U (–3, 5) b) Máximos: (–3, 4) Mínimos: (–5, 3), (5, –2) Página 134 RADIACTIVIDAD
1 La cantidad de radiactividad de una sustancia se reduce a la mitad cada año. La gráfica adjunta describe la cantidad de radiactividad en un cierto cuerpo de la sustancia. ¿A cuánto tiende la radiactividad con el paso del tiempo?
1 TIEMPO (años)
1 2
Con el paso del tiempo, la radiactividad tiende a 0, ya que cada año se reduce la mitad.
2 La cisterna de unos servicios públicos se llena y se vacía, automáticamente, cada dos minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica adjunta.
30
b) ¿Cuánta agua habrá en la cisterna en los siguientes instantes?:
a) 30
II) 40 min 30 s VOLUMEN
(l )
20
a) Dibuja la gráfica correspondiente a 10 min.
I) 17 min
VOLUMEN
10 TIEMPO
III) 1 h 9 min 30 s
1
(l )
20 10 TIEMPO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b) I) Como 17 = 2 · 8 + 1, f (17) = f (1) = 20. A los 17 minutos habrá 20 l de agua. II) 40 min 30 s = 40,5 min → 40,5 = 2 · 20 + 0,5 → → f (40,5) = f (0,5) = 10 → A los 40 min 30 s habrá 10 l. III)1 h 9 min 30 s = 69,5 min → 69,5 = 2 · 34 + 1,5 → → f (69,5) = f (1,5) = 20 → En 1 h 9 min 30 s habrá 20 l .
Unidad 9. Características de las funciones
(min) 10
2
(min)