PROPORCIONAL I DAD PROPORCIONALI DAD SIMPLE DIRECTA 1. Si 6 revistas de automóviles cuestan 18 euros, ¿cuántos costarán 9 revistas? Averiguamos si existe proporcionalidad entre las dos magnitudes: •
Si comparamos el doble de revistas, el precio se duplica
•
Si comparamos la mitad, se reduce a la mitad
Las magnitudes número de revistas-precio son directamente proporcionales Planteamos la regla de tres: si 6 revistas----------------18 euros 9 revistas---------------- x euros X= 27 euros PROPORCIONALI DAD SIMPLE INVERSA 2. Un edificio es pintado por 12 obreros en 15 días. ¿Cuántos días emplearán 20 obreros en pintar el mismo edificio?
El primer paso es averiguar si existe algún tipo de proporcionalidad entre las dos magnitudes: •
Si trabajan el doble de obreros, tardarán la mitad de días
•
Si trabajan la mitad de obreros, el número de días que tardarán será el doble
Las magnitudes son inversamente proporcionales Planteamos la regla de tres 12 obreros--------------------15 días 20 obreros--------------- ------ x días En la resolución debemostener en cuenta que en vez de la segunda fracción consideramos su inversa:
x= 9 días
PROPORCIONALI DAD COMPUESTA 1. Cinco fotocopiadoras tardan 6 minutos en hacer 600 fotocopias. Si tenemos en funcionamiento 7 fotocopiadoras y queremos hacer 1400 fotocopias. ¿cuántos minutos tardarán?
En este caso tenemos tres magnitudes proporcionales, número de fotocopiadoras, número de fotocopias, número de minutos. •
A más fotocopiadoras, menos minutos------proporcionalidad inversa
•
A más fotocopias, más minutos----------------proporcionalidad directa
fotocopiadoras
fotocopias
minutos
5
600
6
7
1400
X
INVERSA 7/5
DIRECTA .
600/1400
=
6/X
X= 10 minutos
PROBLEMAS CON PORCENTAJES Un porcentaje o tanto por ciento expresa la cantidad de una magnitud correspondiente a 100 unidades de la otra. Seescribe con el signo %. Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, basta con multiplicar esa cantidad por el tanto por ciento dividió entre 100: a% de C= C. a/100 EJEMPLOS: 1. En un instituto de 200 alumnos, el 25%de los alumnos llevan gafas. ¿Cuántos alumnos llevan gafas? Si de 100 alumnos----------------------------25 alumnos llevan De 200 alumnos----------------------------------X alumnos 100/200 = 25/X
X= 50 alumnos
2. ¿Quéporcentaje de aciertos tuve si encesté 7 canastasde 32 intentos? Si de 32 intentos --------------------------------7 De 100 intentos ----------------------------------X 32/100 = 7/X
X=21, 88 %
3. Un coche que el año pasado valía 15000 euros ha aumentado su precio este año en un 20%.¿Cuál es su precio actual? Si el precio inicial, el 100%,ha aumentado un 20%, el precio final será el 100+20=120% del precio inicial. Por tanto, el coche costará: 120%de 15000=15000. 120/100=15000.1,2=18000euros
PROBLEMAS DE INTERÉS SIMPLE Al ingresar cierta cantidad de dinero en un banco, la entidad nos da un beneficio que denominamos interés. El interés es directamente proporcional al dinero depositado y al tiempo que lo ingresamos. El INTERÉSSIMPLE,I , es beneficio que origina una cantidad de dinero denominada CAPITAL, C, en un TIEMPO,t, a un RÉDITOanual, r %. Tiempo en años Tiempo en meses Tiempo en días EJEMPLOS: 1. Un granjero ha decidido invertir los beneficios de su cosecha, que son 8500 euros, en un depósito al 3%anual durante 5 años. A) ¿qué interés obtendrá al finalizar los 5 años?B) ¿y en los 6 primeros mesesde la inversión? A) Un rédito del 3%anula significa que, en un año, por cada 100 euros invertidos, obtendrá 3 euros de interés. Por tanto: En 1 año----------3%de 8500=8500.3/100 En 5 años---------(8500.3/100).5=1275euros Aplicando la fórmula obtenemos el mismo resultado:
B)
PROBLEMAS DE REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Para repartir una cantidad, N, en partes directamente proporcionales a a, b, y c, las partes se obtienen multiplicando cada número, a, b y c, por la constante de proporcionalidad,
EJEMPLO: 1. Un agricultor quiere regar con 300 m3 de agua tres parcelas de forma directamente proporcional a sus superficies, que son 2, 3 y 5 hectáreas, respectivamente. ¿Cuántos metros cúbicos destinará al riego de cada parcela?
Llamamos PARTE1,PARTE2y PARTE3a las cantidades de agua que recibirá cada parcela. Al hacer un reparto directamente proporcional, la cantidad de agua que recibe cada parcela: PARTE1,PARTE2y PARTE3,y las dimensiones de cada parcela: 2,3 y 5 hectáreas, mantienen una proporcionalidad directa:
Además, también existe proporcionalidad entre la cantidad total de agua y el número total de hectáreas: 2+3+5.
Esdecir: PARTE1=2. (300/2+3+5)=60m3
PARTE2=3. (300/2+3+5)=90m3
PARTE3=5. (300/2+3+5)=150m3
PROBLEMAS DE REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES Si repartimos una cantidad N, en partes inversamente proporcionales a a, b y c, cada parte se obtiene dividiendo la constante de proporcionalidad entre su cantidad correspondiente: a, b, c.
EJEMPLO: 1. Reparte 70 en partes inversamente proporcionales Dividimos la cantidad a repartir entre la suma de los inversos de las partes:
Multiplicamos ese resultado por cada uno de los inversos de las partes: A 3 le corresponde:
A 4 le corresponde: