COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Profr. Julio Alfonso Martínez Romero Director Académico Mtro. Víctor Manuel Gámez Blanco Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Mtro. Pedro Hernández Peña
MATEMÁTICAS 2 Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Tercera edición 2012. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
COMISIÓN ELABORADORA: Elaborador: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Revisión Disciplinaria: Guadalupe Borgo Valdez Corrección de Estilo: Flora Inés Cabrera Fregoso Supervisión Académica: Mtra. Luz María Grijalva Díaz Diseño: Joaquín Rivas Samaniego Edición: Ana Isabel Ramírez Vásquez Bernardino Huerta Valdez Francisco Peralta Varela Joaquín Rivas Samaniego Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñuñuri Diana Irene Valenzuela López Coordinación General: Mtro. Víctor Manuel Gámez Blanco
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2011. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 11,241 ejemplares.
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DATOS DEL ALUMNO Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________
Ubicación Curricular
COMPONENTE:
HORAS SEMANALES:
FORMACIÓN BÁSICA
05
CAMPO DE CONOCIMIENTO:
CRÉDITOS:
MATEMÁTICAS
10
PRELIMINARES
3
4
PRELIMINARES
Índice Presentación ..................................................................................................................................................... 7 Mapa de asignatura .......................................................................................................................................... 8 BLOQUE 1: UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS ......................................9 Secuencia didáctica 1. 1 Ángulos en el plano ......................................................................................................10 • Definición de ángulo ....................................................................................................................................11 • Medida de ángulos en el sistema sexagesimal ..........................................................................................13 • Clasificación de ángulos ..............................................................................................................................18 • Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante .......................................................................23 Secuencia didáctica 2. Triángulos......................................................................................................................27 • Definición de triángulo .................................................................................................................................28 • Clasificación de los triángulos .....................................................................................................................30 • Propiedades importantes sobre triángulos .................................................................................................33 BLOQUE 2: RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS ................................................................................................................. 39 Secuencia didáctica 1. 1 Congruencia de triángulos ...........................................................................................40 • Definición de triángulos congruentes ..........................................................................................................42 • Criterios de congruencia ..............................................................................................................................43 Secuencia didáctica 2. 2 Triángulos semejantes ..................................................................................................54 • Definición de semejanza de triángulos .......................................................................................................57 • Criterios de semejanza ................................................................................................................................57 • Teoremas relativos a triángulos semejantes ...............................................................................................59 • Teorema de Thales ......................................................................................................................................66 • Aplicación de triángulos semejantes ...........................................................................................................69 Secuencia didáctica 3. 3 Teorema de Pitágoras ..................................................................................................73 • Teorema de Pitágoras ..................................................................................................................................75 • Aplicación del teorema de Pitágoras ...........................................................................................................81 BLOQUE 3: RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA .......................................................................................................... 87 Secuencia didáctica 1. 1 Polígonos ......................................................................................................................88 • Clasificación de polígonos ...........................................................................................................................89 • Elementos y propiedades de los polígonos ................................................................................................94 • Relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares ......................................................99 Secuencia didáctica 2. 2 Circunferencia .............................................................................................................106 • Elementos asociados a la circunferencia ..................................................................................................109 • Propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia ........................................................114 BLOQUE 4: RESUELVE TRIGONOMETRÍA I ..................................................................................... 123 Secuencia didáctica 1. 1 Conversión de medidas de ángulos ..........................................................................124 • Sistemas de unidades angulares ..............................................................................................................125 Secuencia didáctica 2. 2 Funciones trigonométricas para ángulos agudos .....................................................134 • Funciones trigonométricas ........................................................................................................................135 • Cálculo de valores 30º, 45º y 60º ..............................................................................................................139 • Resolución de triángulos rectángulos .......................................................................................................146 • Problemas de Aplicación ...........................................................................................................................149
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Índice (continuación) BLOQUE 5: RESUELVE TRIGONOMETRÍA II .................................................................................... 155 Secuencia didáctica 1. 1 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano ................................................... 156 • Signos de las funciones trigonométricas ................................................................................................. 157 Secuencia didáctica 2. 2 Funciones trigonométricas y el círculo unitario ......................................................... 171 • Funciones trigonométricas asociadas a la medida de un segmento ...................................................... 172 • Identidades Trigonométricas fundamentales ........................................................................................... 177 BLOQUE 6: RESUELVE TRIGONOMETRÍA III ................................................................................... 183 Secuencia didáctica 1. 1 Ley de Senos ............................................................................................................. 184 • Resolución de triángulos........................................................................................................................... 186 • Aplicación de la Ley de Senos .................................................................................................................. 192 Secuencia didáctica 2. 2 Ley de cosenos .......................................................................................................... 196 • Resolución de triángulos........................................................................................................................... 199 • Aplicación de la Ley de Cosenos ............................................................................................................. 203 BLOQUE 7: APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL ........................................................................ 207 Secuencia didáctica 1. 1 Tablas de frecuencias ................................................................................................ 208 • Conceptos básicos ................................................................................................................................... 209 • Representación de datos .......................................................................................................................... 212 • Medidas descriptivas ................................................................................................................................ 213 • Representación gráfica ............................................................................................................................. 222 • Interpretación de medidas y gráficas ....................................................................................................... 224 Secuencia didáctica 2. Distribución de frecuencias ....................................................................................... 229 • Distribución de frecuencias....................................................................................................................... 230 • Medidas descriptivas para distribuciones de frecuencia ......................................................................... 235 • Representación gráfica ............................................................................................................................. 242 • Interpretación de medidas y gráficas ....................................................................................................... 244 BLOQUE 8: EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD ............................... 249 Secuencia didáctica 1. 1 Conceptos básicos de probabilidad ......................................................................... 250 • Experimento aleatorio y determinista........................................................................................................ 252 • Espacio muestral ....................................................................................................................................... 253 • Evento aleatorio y determinista ................................................................................................................. 256 • Probabilidad clásica de un evento aleatorio ............................................................................................ 261 Secuencia didáctica 2. 2 Ley aditiva de probabilidades .................................................................................... 265 • Ley aditiva de las probabilidades ............................................................................................................. 268 Bibliografía........................................................................................................................................................ 272
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PRELIMINARES
Presentación “Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”. El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un mismo propósito en un determinado contexto. El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Orientación Educativa 2, es una herramienta de suma importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está implementando a nivel nacional. El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo. Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo. En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma individual, binas o equipos. Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de campo, etc. La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa, de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo. Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje. Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e integración del grupo. Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral o en su preparación profesional. Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir juntos.
PRELIMINARES
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MATEMÁTICAS 2 contiene
GEOMETRÍA PLANA
TRIGONOMETERÍA
ESTADÍSTICA ELEMENTAL
TABLAS DE FRECUENCIAS
FIGURAS GEOMÉTRICAS
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y calcular
Para llegar al estudio de
CIRCUNFERENCIA
En particular de
Se dividen en
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
TRIÁNGULOS Que se dividen en
OBLICUÁNGULOS
RECTÁNGULOS Se resuelven mediante
Se resuelven mediante
TEOREMA DE PITÁGORAS
LEY DE SENOS
LEY DE COSENOS
Para llegar a
Para llegar a
RESOLVER PROBLEMAS
CONCEPTOS BÁSICOS Para aplicar
MEDIDAS DESCRIPTIVAS
POLÍGONOS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La cual requiere conocer
Para estudiar
En conjunto conduce al estudio de
PROBABILIDAD
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
LEY ADITIVA DE PROBABILIDAD
Utiliza triángulos: ángulos y relaciones métricas.
Unidad de competencia: • Construye e interpreta modelos geométricos de ángulos y triángulos, al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Cuantifica y representa magnitudes angulares y de longitud de ángulos y triángulos identificados en situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de ángulos y triángulos.
Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 10 horas
Secuencia didáctica 1. Ángulos en el plano. Inicio Actividad: 1 Completa el siguiente esquema. Ángulos en el plano Se define
Se clasifican
Agudo
Recto
Obtuso
Llano
Períogono
Entrante
Se definen
Sus representaciones gráficas son
Actividad: 1 Conceptual Identifica la clasificación de ángulos.
Autoevaluación
10
Evaluación Producto: Esquema Saberes Procedimental Redacta y dibuja las definiciones de los conceptos que pertenecen a la clasificación de ángulos. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Se compromete con actitud propositiva a reflexionar las definiciones que se plantean en el esquema.
Calificación otorgada por el docente UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Desarrollo En el presente módulo desarrollarás habilidades para resolver problemas de Geometría Plana, Trigonometría y de Probabilidad y Estadística. En los primeros bloques se desarrollarán los temas de Geometría Plana y se dará una breve reseña de sus orígenes. La palabra Geometría (γεωμετρία) tiene sus raíces griegas: Geo (γεω) que proviene de tierra y metría (μετρία) la cual significa medida, por tanto, Geometría significa “medida de la tierra”. Los orígenes de la aplicación de la Geometría se remontan al siglo III antes de Cristo, en el antiguo Egipto, en la medición de predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Se dice, que tenían que medir constantemente sus tierras, debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente las fronteras, para así construir diques paralelos que encausaran sus aguas. Euclides fue quien en su famosa obra titulada “Los Elementos”, recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de Geometría, bajo un razonamiento deductivo; además, parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son puntos de partida para sus definiciones, axiomas y postulados, los cuales se utilizan para demostrar teoremas.
Axioma: Proposición que, siendo evidente, no requiere demostración. Postulado: Proposición que no es tan evidente como un axioma pero que también se admite sin demostración. La demostración: demostración: consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. El método propio de las ciencias Matemáticas. Teorema: Toda proposición que puede ser demostrada.
La Geometría Euclideana se divide en Geometría plana y Geometría en el espacio, en esta asignatura se estudiará la Geometría plana, la cual estudia las figuras contenidas en el plano. Para iniciar el camino por la Geometría plana se deben conocer algunos conceptos básicos, los cuales se explican en la siguiente sección.
Definición de ángulo. Un ángulo en el plano se define como la abertura formada por dos semirrectas que tienen en común su origen, éstas se llaman lados del ángulo y el punto en común se denomina vértice. A los lados del ángulo se les conoce como lado inicial y lado final, los cuales se determinan siguiendo el sentido contrario a las manecillas del reloj como se muestra en la figura, en cuyo caso decimos que el sentido es positivo, en caso contrario, el sentido sería negativo.
Lado final
Vértice Lado inicial
BLOQUE 1
11
Los ángulos se pueden nombrar de diferentes formas, tomando en cuenta: los puntos que se unen para formarlo, por la letra que distingue al vértice o bien por algún número asignado. Como se muestra a continuación.
C
O
A
Se escribe como ∠ AOC, teniendo la precaución de escribir los puntos con mayúsculas y la letra que distingue al vértice del ángulo en el centro.
Se escribe como ∠ A, debido a que es la letra que identifica al vértice del ángulo.
Exterior Interior
A
1
Se escribe como ∠ 1, en este caso se puede nombrar con números o letras del alfabeto griego en el interior del ángulo.
El tamaño de un ángulo es independiente de la medida de sus lados, ya que sólo depende de la medida de la abertura que se forma al mover uno de sus lados. El transportador es el instrumento geométrico que se utiliza para obtener la medida de los ángulos.
12
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Medida de ángulos en el sistema sexagesimal. La aplicación del concepto de ángulo, frecuentemente la podemos encontrar en la vida cotidiana: en el diseño arquitectónico, en los cortes de cabello, en fotografía y en la herrería, por citar algunos ejemplos.
Las unidades más conocidas para medir los ángulos son los grados y los radianes. La definición de grado se obtiene a partir del ángulo completo, éste se forma cuando coinciden los lados del ángulo y su medida fue definida como 360º.
360º
Un grado (o ) es
1 360
¿Sabías que… fueron los babilonios quienes dividieron el ángulo completo en 360, porque pensaban que el año duraba 360 días?
parte de un ángulo completo.
Un grado también se descompone en partes más pequeñas, como lo es la unidad de medida del tiempo, hora, que se descompone en minutos y éste a su vez en segundos. Tanto la medida del tiempo como la del ángulo tiene la misma base, el sistema sexagesimal, el cual emplea la base sesenta, esto es, una unidad superior está formada por 60 unidades de orden menor, es decir, un grado ( o ) está formado por 60 minutos ( ’ ) y un minuto está formado por 60 segundos ( ’’ ).
Un grado Un minuto
BLOQUE 1
1º = 60’ 1’ = 60’’
13
Actividad: 2 Utilizando una regla de tres simple, realiza las conversiones de escala decimal a sexagesimal o viceversa.
1.
De 24.30º a grados y minutos.
2.
De 128º 25’ a grados.
3.
De 327.45º a grados y minutos.
4.
De 19º 36’05’’ a grados.
5.
De 90º a grados, minutos y segundos.
Evaluación Actividad: 2 Conceptual Reconoce la regla de tres para la conversión de ángulos. Autoevaluación
14
Producto: Ejercicios
Puntaje:
Saberes Actitudinal Procedimental Aplica la regla de tres simple para Aprecia la facilidad de utilizar calcular la conversión de grados, la regla de tres en las minutos y segundos. conversiones de ángulos. C MC NC Calificación otorgada por el docente
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Es importante realizar sumas y restas de ángulos, para hacerlo se utiliza el sistema sexagesimal si los ángulos que se desean sumar están escritos en diferentes unidades. Ejemplo 1. Para sumar 35º y 57º es sencillo, dado que están expresados en las mismas unidades de medida. 35º 57º 92º
+
Ejemplo 2. Sumar 149º 36’ y 68º, este caso también es sencillo, porque se realiza directamente. 149º 36’ 68º 217º 36’
+
Ejemplo 3. Al sumar 17º 56’ y 289º 28’, se tiene la particularidad de que los minutos sobrepasan la medida del sistema sexagesimal, así que el resultado de la suma se tiene que transformar, como se muestra a continuación. 17º 56’ 289º 28’ 306º 84’
+
306º 60’+24’ 306º 1º+ 24’ 307º 24’ Ejemplo 4. Al sumar 72º 41’ 28’’ y 64º 29’ 56’’, también es necesario transformar el resultado, puesto tanto los minutos como los segundos sobrepasan los 60. 72º 41’ 28’’ + 64º 29’ 56’’ 136º 70’ 84’’ 136º 70’ 60’’+24’’ 136º 71’ 24’’ 136º 60’+11’ 24’’ 137º 11’ 24’’ Ejemplo 5. Restar 234º 41’ y 161º 29’ 234º 41’ 161º 29’ 73º 12’
–
Ejemplo 6. Para obtener la diferencia de 154º 27’ menos 90º 35’ se debe recurrir al proceso inverso, debido a que los minutos del minuendo son menores que los del sustraendo, como se muestra a continuación. Minuendo Sustraendo
BLOQUE 1
154º 27’ 90º 35’
–
153º 60’+27’ 90º 35’ –
153º 87’ 90º 35’ 63º 52’
–
15
La tecnología está muy avanzada y se puede lograr realizar operaciones entre ángulos utilizando la calculadora, sólo deberás preguntarle a tu profesor la manera de utilizarla, porque cada marca puede requerir de un proceso diferente para llevar a cabo las operaciones entre ellos.
Sitios Web recomendados:
Entra a este sitio para que enriquezcas tus conocimientos. http://www.escolar.com/geometr/09medang.htm
Actividad: 3 Realiza el procedimiento correspondiente para llevar a cabo las operaciones entre los ángulos dados, después, comprueba los resultados en la calculadora.
1) 59º 45’ 58’’+ 28º 17’ 56’’ + 21º 15’ 51’’+120º 34’ 46’’=
2) 145º 20’ 35’’ – 107º 16’ 25’’=
3) 246º 30’ 25’’ – 167º 46’ 50’’=
16
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Actividad: 3 (continuación) 4) 53º + 64º 51’ + 102º 45’36’’ – 109º 45’’=
5) 49º + 80º 21’ + 92º 55’ 56’’ – 199º 50’ 39’’=
Evaluación Actividad: 3 Conceptual Conoce la forma de sumar ángulos en sus diferentes formas.
Autoevaluación
BLOQUE 1
Producto: Ejercicios
Puntaje:
Saberes Procedimental Practica la suma de ángulos en sus diferentes formas.
C
MC
NC
Actitudinal Muestra disposición para realizar la actividad. Aprecia el uso adecuado de la calculadora en la verificación de resultados.
Calificación otorgada por el docente
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Clasificación de ángulos. Según la medida de su abertura, los ángulos tienen la siguiente clasificación. Nombre
Característica
Figura A
Agudo
Es menor de 90º O
B
A
Recto
Es igual a 90º O
B
A Obtuso
Mide de mas de 90º y menos de 180º O
Llano ( de lados colineales)
Es igual a 180º
A
B
O Entrante (cóncavo)
B
O
B
Es mayor de 180º y menor de 360º A
Perígono (de una vuelta)
Es igual a 360º
O
B A
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UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Existe una clasificación por parejas de ángulos, dependiendo de la suma de ambos como se muestra a continuación. Nombre
Característica
Figura El segmento OB es el lado común. A
Consecutivos
Son aquellos que tienen un lado y el vértice en común.
B O
Adyacentes
Son aquellos que tiene un lado y el vértice en común, y los lados no comunes son colineales, es decir, se encuentran sobre la misma recta
C
B
C
A O
A
B Opuestos por el vértice
Son los ángulos no adyacentes que se forman al cortarse dos rectas y tienen la misma medida.
O
C
A
D
B
O Ángulos complementarios
Son dos ángulos cuya suma es igual a 90º. Se dice que cada uno de ellos es complemento del otro.
C
A
C D
B
F
E B
C
A Ángulos suplementarios
Son dos ángulos cuya suma es igual a 180º.
O B
F
E
A C BLOQUE 1
D 19
C Son dos ángulos cuya suma es igual a 360º
Ángulos conjugados
E
B A
D
Actividad: 4 Completa la siguiente tabla utilizando solamente ángulos positivos.
ÁNGULO
COMPLEMENTO
SUPLEMENTO
CONJUGADO
58°
97° 39’
166° 17’ 46’’
258° 07’ 15’’
339° 14’ 31’’
Actividad: 4 Conceptual Identifica el complemento, suplemento y conjugado de diferentes ángulos. Autoevaluación
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Evaluación Producto: Complementación de la Puntaje: tabla. Saberes Procedimental Actitudinal Practica la obtención de Muestra una actitud positiva complemento, suplemento y para realizar la actividad. conjugado de diferentes ángulos. C MC NC Calificación otorgada por el docente
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Actividad: 5 Realiza lo que se te pide en cada uno de los reactivos.
1.
Dibuja un รกngulo cรณncavo y determina su medida con el transportador.
2.
Mide cada uno de los siguientes รกngulos y coloca en el cuadro el nombre que corresponde de acuerdo a la medida de su รกngulo.
A
C
B
A
B
C
C
B
A
C
B
A
BLOQUE 1
21
Actividad: 5 (continuación) 3. Identifica los ángulos agudos, rectos, obtusos, adyacentes y opuestos por el vértice que encuentres en las siguientes figuras, coloca el número o números que los determinan y nómbralos, como se muestra en el ejemplo.
∠1 Ángulo agudo
11 12 7 3
1
4
8 9 5
10 6
2
A ∠ BCA Ángulo recto
B
C
Actividad: 5 Conceptual Reconoce la clasificación de ángulos.
Autoevaluación
22
D
Evaluación Producto: Identificación de Puntaje: elementos. Saberes Procedimental Actitudinal Practica la clasificación de Se responsabiliza en el buen diferentes ángulos. desempeño de la actividad. Traza ángulos dependiendo de su clasificación. C MC NC Calificación otorgada por el docente
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante. Cuando se tienen dos rectas en un plano, sólo pueden suceder dos cosas, que se corten en un punto o que no se corten. Si se cortan en un punto, pueden ser perpendiculares u oblicuas. Las rectas perpendiculares son las que se cortan formando ángulos rectos (90º). L2 Si L1 es perpendicular a L2 se escribe: L1
L1 ⊥ L2 Construcción de rectas perpendiculares
Las rectas oblicuas son las que se cortan formando ángulos diferentes. L2
L1 Las rectas paralelas son las que estando en un plano no se cortan. L2 Si L1 es paralela a L2 se escribe:
L1
L1
L2
A una recta que corta a dos o más paralelas se le llama transversal o secante. Dos rectas paralelas cortadas por una secante forman ocho ángulos, como se muestra en la siguiente figura. L3
7 5 3 1
BLOQUE 1
8
L1
L2
L1
6 4
L2
2
23
1.
Ángulos internos. Son aquellos que quedan determinados entre las rectas paralelas, y a su vez se clasifican en: a) Los ángulos alternos internos: son dos ángulos no adyacentes, localizados en lados opuestos a la secante. L3
L1 5 3
6 4
L2
∠3 y ∠6 ∠4 y ∠5 Los ángulos alternos internos tienen la misma medida.
b) Colaterales internos: Se ubican en el mismo lado de la transversal. L3
∠3 y ∠5 ∠4 y ∠6 L1
5 3
2.
6 4
L2
Los ángulos colaterales internos son suplementarios, es decir, suman 180º.
Ángulos externos. Son los que quedan fuera de las paralelas, y se clasifican en: a) Alternos externos. Son los ángulos no adyacentes ubicados en lados opuestos de la secante. L3
7
8
L1
L2 1
2
∠1 y ∠8 ∠2 y ∠7 Los ángulos alternos externos tienen la misma medida.
b) Colaterales externos. Se localizan en el mismo lado de la transversal. L3
7
8
L1
L2 1
24
∠1 y ∠7 ∠2 y ∠8 Los ángulos alternos externos suman 180º.
2
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
3.
Correspondientes. Son aquellos que están situados del mismo lado de la secante y del mismo lado de las paralelas. L3 1 y ∠5 ∠3 y ∠7 ∠2 y ∠6 ∠4 y ∠8 ∠
7 5 3 1
8
L1
6 4
L2
Los ángulos correspondientes tienen la misma medida.
2
Cierre Actividad: 6 Resuelve cada uno de los reactivos.
1. Encuentra el valor de la incógnita y la medida de cada ángulo, sabiendo que
∠
ABC es un ángulo recto.
C D
C
D 3y
8x
4x
2y+30
E A
3x
B
A B
x=___________ ∠ ABE=___________ ∠ EBD=___________ ∠ DBC=___________ 2.
y=___________ ∠ ABD=___________ ∠ DBC=___________
Encuentra los valores que se te piden. µ
135º α
L1 α
δ
Si L1 ∠ ∠ ∠ ∠
φ
β σ
λ
L2 α
∠ ∠ ∠
BLOQUE 1
L2
µ=___________ α=___________ β =___________ σ =___________ φ =___________ λ =___________ δ =___________
25
Actividad: 6 (continuación) G L1
A
Si L1
E
Si B
P Si
C
L2
D
60
L1
Si L1
3.
CPD=a
L2
x=___________
6y + 30
y=___________
L2
x+y
∠
∠ CPF=b y b – a=100, entonces: ∠ DPC=__________ ∠ CPF=__________ ∠ EFG =__________ ∠ BPD =__________ ∠ GFE =__________ ______
•F •
L2,
Encuentra el valor de los ángulos, si L1
L3, además, m ( ∠ 1) = 60o 45’ 20’’ y
L2
m (<10) = 125o 20’ 10’’. ∠ ∠ ∠
L1
1 2 4
5 9 10
11
∠
3
8
∠ ∠
6
∠
L2
∠
7 12
∠
13
∠
L3
∠ ∠ ∠
1=___________ 2=___________ 3 =___________ 4 =___________ 5 =___________ 6 =___________ 7 =___________ 8 =___________ 9 =___________ 10 =__________ 11=___________ 12=___________ 13 =__________
Evaluación Actividad: 6
Producto: Ejercicio.
Conceptual Identifica la clasificación de parejas de ángulos.
Saberes Procedimental Emplea la clasificación de parejas de ángulos, para obtener valores desconocidos.
Autoevaluación
26
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Muestra disposición a utilizar la clasificación de parejas de ángulos, al obtener los valores desconocidos.
Calificación otorgada por el docente
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Secuencia didáctica 2. Triángulos. Inicio Actividad: 1 Completa el siguiente crucigrama. 1
2
3
4
5
6
Completa el siguiente esquema. esquema. Horizontal 1. Es el triángulo que tiene sus tres lados iguales. 2. Es el triángulo que tiene un ángulo obtuso.
Vertical 1. Es el triángulo que tiene sus tres ángulos iguales. 4. Es el triángulo en el que ninguno de sus lados son iguales.
3. Es el triángulo que tiene sus tres ángulos agudos. 5. Es el triángulo que tienes dos lados iguales 6. Es el triángulo que tiene un ángulo de 90º. Evaluación Actividad: 1
Producto: Crucigrama.
Conceptual Identifica la clasificación de triángulos.
Saberes Procedimental Distingue la clasificación de los triángulos en el crucigrama.
Autoevaluación
BLOQUE 1
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Se compromete con actitud propositiva a reflexionar las definiciones y buscar los conceptos.
Calificación otorgada por el docente
27
Desarrollo La aplicación de los triángulos está visible en toda nuestra sociedad, desde la antigüedad se ha utilizado al triángulo en múltiples construcciones, las más conocidas son las pirámides de Egipto, las cuales tienen bases cuadradas y sus caras son triángulos equiláteros orientados a los cuatros puntos cardinales; desde entonces la presencia del triángulo en construcciones arquitectónicas, industriales, comerciales, etc. es básica. En la naturaleza también está presente, en los pétalos de algunas flores, en las aletas de los peses, en algunas piedras, entre otros.
Definición de triángulo. Triángulo: Es la porción del plano limitado por tres rectas que forman entre sí tres ángulos. B
C
A
Los elementos del triángulo son los siguientes: 1.
Tres vértices: los puntos A, B y C B
C
28
A
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
2.
Tres lados: los segmentos AB , BC y AC . Normalmente se nombran los lados con la letra minúscula del vértice opuesto a cada uno de ellos. B a
c
C
3.
A
b
Tres ángulos interiores: los ángulos ∠ABC , ∠BCA y ∠CAB B a
c
C
4.
A
b
Tres ángulos exteriores: los ángulos ∠ α , ∠ β y ∠ γ B β
C
α A
γ 5.
Superficie del plano: la parte del plano limitada por el triángulo.
B
C
BLOQUE 1
A
29
Clasificación de los triángulos. De acuerdo a las medidas de sus lados los triángulos se clasifican en: Nombre
Descripción
Figura B
Isósceles
Sus tres lados miden lo mismo. C
A B
Equilátero
Dos de sus lados tienen la misma medida. C
A B
Escaleno
Todos sus lados tienen diferente media. C
A
De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican de la siguiente forma. Nombre
Acutángulo
Descripción Tiene sus tres ángulos agudos. Un caso particular es el Equiángulo (equilátero), que tiene sus tres ángulos iguales (60º).
Figura B
C
A B
Rectángulo
Posee un ángulo recto (90º). C
A
B Obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso. C
30
A
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Un triángulo puede estar en más de una clase, como se muestra en el siguiente esquema.
Clasificación de triángulos
Acutángulos
Isósceles
Escaleno
Rectángulos
Isósceles
Obtusángulos
Escaleno
Isósceles
Escaleno
Equilátero
Actividad: 2 Realiza lo que se te pide. I. Traza un triángulo uniendo tres puntos, con las siguientes características.
BLOQUE 1
1. Rectángulo y escaleno
2. Acutángulo e isósceles.
3. Rectángulo e isósceles.
4. Obtusángulo e isósceles.
31
Actividad: 2 (continuación) II. Responde las siguientes preguntas. 1. ¿Podrías trazar un triángulo rectángulo equilátero?, justifica tu respuesta.
2.
¿Cómo trazarías un triángulo idéntico a otro, pero con diferente posición?
3.
Realiza el proceso que describiste en la pregunta anterior, utilizando el triángulo que se te da.
Evaluación Actividad: 2 Conceptual Reconoce el vínculo entre diferentes clasificaciones de triángulos. Autoevaluación
32
Producto: Cuestionario y trazos. Saberes Procedimental Distingue la clasificación de diferentes triángulos. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la clasificación para identificar los diferentes tipos de triángulos.
Calificación otorgada por el docente
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Propiedades importantes sobre triángulos. En un triángulo, los ángulos interiores tienen una importante propiedad, al conocer dos de ellos el tercero se obtiene de forma implícita, conociendo de antemano el teorema de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, el cual se enuncia de la siguiente forma. Teorema. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
Actividad: 3 Investiga en libros o sitios de Internet, cómo se demuestra el teorema anterior y escribe la fuente de investigación que utilizaste.
Evaluación Actividad: 3 Conceptual Reconoce la demostración de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Autoevaluación
BLOQUE 1
Producto: Investigación.
Puntaje:
Saberes Actitudinal Procedimental Selecciona la demostración de la Asume una actitud de suma de los ángulos interiores de investigador en la búsqueda un triángulo de diferentes fuentes de la demostración del de información. teorema. C MC NC Calificación otorgada por el docente
33
A raíz del teorema anterior se desprenden varias propiedades importantes en el triángulo. Propiedad
Figura B
En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales, también son iguales. C
A
∠A = ∠C B
En un triángulo equilátero, cada ángulo interno es igual a 60º y se le conoce como Triángulo Equiángulo. C
A
∠A = ∠B = ∠C = 60 o B
Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, es decir, suman 90º. C
A
∠ A + ∠ B = 90
o
B
Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto. C o
∠C = 90 y ∠A + ∠B = 90
34
A o
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Propiedad
Figura B
Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso C
A
∠ C obtuso y ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 o
B
Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos internos, no adyacentes a él.
α
C
A
∠α = ∠B + ∠C
B β
La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360º.
C
α A
γ ∠ α + ∠ β + ∠γ = 360 o
BLOQUE 1
35
Actividad 4: En parejas, observen la imagen y utilicen los materiales que se les piden para construir un inclinómetro. Elijan 10 objetos (edificio, árbol, casas, etc.) y realicen las mediciones que se les piden.
1. a) b) c) d) e)
Consigue los siguientes materiales para construir el inclinómetro. Un popote. Un transportador. Un cordel. Una rondana. Cinta adhesiva o silicón.
Inclinómetro: Instrumento para indicar la inclinación de una nave con respecto a la horizontal.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
Asignen entre ustedes, quién va a observar el objeto y quién va a medir el ángulo. Para utilizar el inclinómetro, se observa por el popote el punto más alto del objeto seleccionado y se registra el ángulo que mide el inclinómetro, determinado por el cordel en el transportador. Registren la distancia del objeto de observación al observador. Registren la distancia del suelo al ojo del observador. Realiza un dibujo de cada una de las mediciones. Determina la inclinación de cada uno de los objetos observados.
Evaluación Actividad: 4
Producto: Práctica.
Conceptual Interpreta la imagen en la construcción del inclinómetro.
Saberes Procedimental Elabora un inclinómetro para tomar medidas de ángulos.
Autoevaluación
36
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad del inclinómetro para la medida de ángulos en su contorno.
Calificación otorgada por el docente
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Cierre Actividad: 5 Ubica en tu entorno los diferentes triángulos que existen, toma fotografías de cada uno de ellos y entrégalas a tu profesor de forma impresa, para posteriormente comentarlas en el salón de clase.
Evaluación Actividad: 5 Conceptual Ubica los diferentes triángulos en su entorno. Autoevaluación
BLOQUE 1
Producto: Fotografías.
Puntaje:
Saberes Actitudinal Procedimental Realiza la toma de fotografías de Aprecia la utilidad de los los diferentes triángulos en su triángulos en construcciones entorno. de objetos en su entorno. C MC NC Calificación otorgada por el docente
37
38
UTILIZA TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Resuelve triángulos: congruencia, semejanza y Teorema de Pitágoras.
Unidad de competencia: • Aplica las propiedades de la congruencia de triángulos para proponer, formular, definir y resolver problemas de situaciones teóricas o prácticas. • Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de la congruencia de triángulos. • Argumenta la pertinencia de la aplicación de los diversos criterios de semejanza, el teorema de Thales o el teorema de Pitágoras, así como la justificación de los elementos necesarios para su utilidad en la resolución de los problemas de su entorno.
Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos median mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para pr probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y co confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista a con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 12 horas
Secuencia didáctica 1. Congruencia de triángulos. Inicio Actividad: 1 Utiliza tiliza regla, compás y transportador para realizar las siguientes construcciones y contesta lo que se te pide. 1. Construye el triángulo PQR utilizando las longitudes de los segmentos PQ, QR y PR, que se te proporcionan a continuación. P Q P
Q R R
2. Describe de forma breve y clara, cómo construiste el triángulo anterior.
40
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 1 (continuación) 1.
Es posible tazar otro triángulo diferente al que construiste, utilizando los mismos segmentos? Justifica tu respuesta.
2.
Dibuja un triángulo utilizando las medidas de los lados y el ángulo que se muestra en la figura, y nombra a los vértices del triángulo construido D, E, y F. A
B
3.
C
Une los extremos A y C de la figura anterior, compara y describe cómo son las medidas de los triángulos ABC y DEF.
Evaluación Actividad: 1
Producto: Construcciones.
Puntaje:
Conceptual Describe la construcción de triángulos y ángulos congruentes a partir de triángulos y ángulos dados.
Saberes Procedimental Realiza la construcción de triángulos y ángulos congruentes a partir de triángulos y ángulos dados.
Actitudinal Se responsabiliza al traer el material necesario para llevar a cabo la actividad. Muestra interés y creatividad al realizar la actividad.
Autoevaluación
BLOQUE 2
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
41
Desarrollo En nuestro entorno se encuentran múltiples figuras geométricas en las que es importante establecer la igualdad, por ejemplo, en la producción en serie de piezas para automóviles, aparatos de intervención quirúrgica, equipos electrónicos especializados, entre otros; en los cuales se requiere que las piezas sean exactamente iguales para el buen funcionamiento de las máquinas. Para mayor facilidad en las comparaciones de las piezas, se necesita establecer elementos importantes de las figuras para evitar las mediciones de todos los elementos de éstas, las cuales son producidas en serie. En particular, los triángulos tienen 6 elementos de medición, como son tres ángulos y tres lados, con sólo medir 3 elementos claves de ellos se puede establecer la igualdad entre dos o más triángulos, de esta manera se ahorra tiempo en el resto de las mediciones entre las figuras. Para ello se requiere desarrollar el concepto de congruencia y sus criterios, para establecer los elementos clave de la igualdad de triángulos. .
Definición de triángulos congruentes. Son aquellos que tienen la misma forma y tamaño, esto es, sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Entonces, cuando se habla de congruencia de dos triángulos, se considera que los triángulos son iguales. La congruencia se representa mediante el símbolo
≅.
En los siguientes triángulos se observa la igualdad de medidas entre los elementos correspondientes, por lo que se dice que el triángulo ABC es congruente al triángulo RST y se escribe:
∆ABC≅ ∆RST
Los elementos correspondientes en ambos triángulos tienen la misma medida, y se les conoce como homólogos. En cuanto a la correspondencia de lados: “a” es homólogo a “s” “b” es homólogo a “t” “c” es homólogo a “r”
42
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
La correspondencia entre los ángulos es: “ ∠A ” es homólogo a “ ∠S ” “ ∠B ” es homólogo a “ ∠T ” “ ∠C ” es homólogo a “ ∠R ” Como se había mencionado anteriormente, sólo se requiere conocer 3 elementos clave para determinar la congruencia de dos triángulos, pero habrá que tener cuidado con los elementos que se eligen, puesto que no todos dan la congruencia entre los triángulos, por ejemplo, los siguientes triángulos poseen tres elementos homólogos y éstos son los ángulos, pero se observa que sus lados no poseen la misma medida, así que los triángulos STR y DEF, no son congruentes. F
D E Para la demostración de congruencia entre dos triángulos, existen tres teoremas básicos, conocidos como criterios de congruencia de triángulos, cada uno de los cuales distingue tres elementos para demostrar la congruencia.
Criterios de congruencia. 1. 2. 3.
Criterio Lado-Ángulo-Lado (L.A.L.). Si un triángulo tiene dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, de igual medida a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (A.L.A.). Si un triángulo tiene dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, de igual medida a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. Criterio Lado-Lado-Lado (L.L.L.). Si un triángulo tiene sus tres lados iguales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Cuando se establece la igualdad entre elementos homólogos (correspondientes), es conveniente colocar una marca en ambas figuras para poder distinguir el criterio con el cual se establecerá la congruencia entre los triángulos. Por ejemplo, las marcas en los triángulos ABC y DEF, muestran el criterio de congruencia que establece la igualdad entre ellos, en este caso es L.A.L.
BLOQUE 2
43
Actividad: 2 Observa bserva las parejas de triángulos, determina el criterio que establece la congruencia entre ellos y escríbelo en el espacio correspondiente R
C
3.8
∆RPQ ≅ ∆ABC
Q
2.4
2.4
A
P
3.8
Criterio _____________
B
∆MNO ≅ JKL Criterio _____________
∆UVW ≅ ∆ABC Criterio _____________
∆ABC ≅ ∆DEF Criterio _____________
Actividad: 2 Conceptual Reconoce los criterios de congruencia. Autoevaluación
44
Evaluación Producto: Complementación de la Puntaje: tabla. Saberes Procedimental Actitudinal Cataloga los criterios de Realiza la actividad con congruencia. interés. C MC NC Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
En la actividad anterior, observaste los criterios de congruencia entre los triángulos, conocidos los tres elementos claves; el problema se presenta cuando los elementos no se conocen de forma explícita, en este caso, se requiere de otro tipo de datos que proporcione información de los elementos, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Demostrar que el triángulo I y el triángulo II son congruentes.
Datos:
I
∆DEF es isósceles ∆DAE es isósceles
II
Demostración: 1.
Se coloca la primera marca en el segmento EF y DF, puesto que son congruentes debido a que el triángulo DEF es isósceles, esto se escribe:
EF ≅ DF por ser 2.
Se coloca la segunda marca en los segmentos EA y DA, dado que son congruentes por que el triángulo DAE es isósceles.
EA ≅ DA por ser
3.
∆DEF isósceles I
II
∆DAE es isósceles
Y la última marca se coloca en el segmento FA puesto que pertenece a los dos triángulos, se dice que es lado común.
Las marcas en los triángulos indican que el criterio de congruencia con el que cumplen es el de lado-lado-lado, por lo tanto se dice:
∆I ≅ ∆II por el criterio L.L.L. Ejemplo 2. Demostrar que el triángulo I y el triángulo II son congruentes.
I
Datos: E es punto medio AD y BC II
BLOQUE 2
45
Demostración: 1. Colocar la primera marca de congruencia en los segmentos AE y ED, por ser E punto medio del segmento AD, por lo tanto:
I
AE ≅ ED 2. Colocar la segunda marca de congruencia en los segmentos BE y EC, por ser E punto medio del segmento BC, por lo tanto: II
BE ≅ EC 3. Se coloca la última marca en el vértice.
∠AEB y ∠CED, por ser opuestos al
∠AEB ≅ ∠CED
Observando las marcas en los triángulos I y II, se concluye que son congruentes por el criterio L.A.L. Antes de realizar izar ejercicios de congruencia, debes recordar algunos conceptos de las rectas y puntos notables del triángulo que abordaste en las clases de matemáticas de secundaria, para ello, realiza la siguiente actividad.
Actividad: 3 Realiza las siguientes actividades en binas y reporta los resultados de forma individual en los espacios correspondientes.
I.
Investiguen en sitios de Internet o en libros las rectas notables del triángulo:
Bisectriz.:
Mediatriz.:
Altura:
Mediana:
46
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 3 (continuaciรณn) II. En un triรกngulo, tracen las tres bisectrices e investiguen cรณmo se llama el punto donde se intersectan.
III. En un triรกngulo, tracen las tres alturas e investiguen cรณmo se llama el punto donde se intersectan.
BLOQUE 2
47
Actividad: 3 (continuación) IV. En un triángulo, tracen las tres medianas e investiguen cómo se llama el punto donde se intersectan.
V. En un triángulo, tracen las tres mediatrices e investiguen cómo se llama el punto donde se intersectan.
Evaluación Actividad: 3
Producto: Investigación
Puntaje:
Conceptual Ubica las rectas notables en triángulos.
Saberes Procedimental Construye las rectas notables en triángulos.
Actitudinal Posee una actitud positiva en el desarrollo de la actividad. Respeta a su compañero en el proceso de comunicación.
Coevaluación
48
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 4 Demostrar que ∆I ≅ ∆II en cada una de las siguientes figuras.
Datos: El polígono conformado por los puntos ABCD es paralelogramo.
I II
Elementos congruentes
Demostración Justificación
Criterio
Datos:
AD ≅ AC DF ≅ CE B es punto medio de DC I
II
Elementos congruentes
BLOQUE 2
Demostración Justificación
Criterio
49
Actividad: 4 (continuación)
Datos: I
∆DBC es isósceles DE es bisectriz del ∠ADC CF es bisectriz del ∠ACD
II
Elementos congruentes
Demostración Justificación
Criterio
Datos:
RS ≅ RT
RU es mediana del triángulo RST I
II
Elementos congruentes
50
Demostración Justificación
Criterio
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 4 (continuación)
Datos:
∠AFE ≅ ∠DGE E es punto medio de FG
I
II
Demostración Justificación
Elementos congruentes
Actividad: 4 Conceptual Identifica los criterios de congruencia de triángulos.
Criterio
Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Demuestra la congruencia entre triángulos.
Puntaje: Actitudinal Expresa su interés al realizar la actividad. Pregunta las dudas que le surjan referentes a las demostraciones.
Autoevaluación
BLOQUE 2
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
51
Cierre Actividad: 5 Calcula alcula el valor de las incógnitas si ∆I ≅ ∆II en cada una de las figuras.
4x − 1
7 I
II
y
3
E
4y − 4
3y
II
4x − 3
B I
C
2x + 9
D
A
52
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 5 (continuación)
B
E
2y − 6
8
I
II
A
D 3x − 5
10
C
Evaluación Actividad: 5 Conceptual Identifica los elementos congruentes en triángulos congruentes.
Producto: Ejercicios
Puntaje:
Saberes Procedimental Aplica la congruencia de triángulos para encontrar las incógnitas.
Actitudinal Aprecia la utilidad de la congruencia de triángulos en la búsqueda del valor de las incógnitas. Admite la necesidad de manejar el álgebra de forma eficiente en la búsqueda del valor de las incógnitas. incógnit
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
Sitios Web recomendados:
En el siguiente sitio encontrarás m más ejercicios sobre congruencia de triángulos, para que puedas practicar tus conocimientos sobre el tema. http://www.scribd.com/doc/9385501/congruenciatriangulos
BLOQUE 2
53
Secuencia didáctica 2. Triángulos semejantes. Inicio Actividad: 1 Contesta las siguientes preguntas.
1.
Cuando se habla de que dos figuras son semejantes, ¿Cómo las describirías?
2.
Dibuja dos triángulos semejantes.
3.
Describe el procedimiento que conoces para encontrar la altura del edificio, siguiendo los datos que se encuentran en la figura. Los rayos del sol provocan que la sombra del árbol, que es de 6 m y la del edificio, que mide 10 m, coincidan en la punta; además, el árbol tiene una altura de 5 m.
54
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 1 (continuación) 4.
¿Cuál es el valor de “x” que satisface la siguiente ecuación? x+4 6
5.
=
2x − 1 3
Describe lo que conoces del Teorema de Thales.
Evaluación Actividad: 1
Producto: Cuestionario.
Conceptual Reconoce figuras semejantes.
Saberes Procedimental Dibuja figuras semejantes.
Autoevaluación
BLOQUE 2
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia los conocimientos previos sobre figuras semejantes.
Calificación otorgada por el docente
55
Desarrollo Hablar de semejanza en la vida cotidiana tiene connotaciones muy amplias, por lo general cuando se usa el término semejanza entre dos personas u objetos, es para establecer algún parecido entre ambos, ya sea de forma, de color, de tamaño e incluso se habla de semejanza cuando, en realidad hay igualdad, por ejemplo. 1. El color de cabello de Lucía es semejante al color de Ana. 2. El plano de una casa es semejante a la misma. 3. La torre que se encuentra en el hotel París en las Vegas es semejante a la torre Eiffel en París. 4. Los gemelos Santiago y Sebastián son tan semejantes que es difícil distinguirlos. La semejanza en este sentido, hace referencia a características que poseen las personas u objetos implicados. En matemáticas, el término semejanza está íntimamente ligado al concepto de proporcionalidad. Dos objetos son semejantes cuando sus elementos guardan una proporción. Por ejemplo. 1.
2.
Cuando se desea hacer una maqueta de algún edificio, las medidas en ésta son proporcionales a las del objeto real, de tal manera que los espacios diseñados en la maqueta guardan una correspondencia real de los espacios del edificio, se dice que la maqueta es semejante al edificio. Cuando una persona solicita la ampliación de una fotografía, la ampliación guarda una proporcionalidad con la foto original, por ello, ambas son semejantes.
Así como estos ejemplos, se podrían encontrar más, tanto en el entorno como en la aplicación de las matemáticas. En la asignatura anterior, se abordaron temas como razón y proporción, los cuales serán de suma importancia para desarrollar el siguiente tema de esta secuencia. Se entiende por Razón, la comparación de dos cantidades por división w, y Proporción es la igualdad de dos razones, de tal manera que si se hace la comparación de dos triángulos que tienen sus lados proporcionales, la relación se daría de la siguiente forma. C’
C
b=3
A
a’=10
a=5 b’=6
c=4
B A’
56
c’=8
B’
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Los lados de dos triángulos son homólogos si son opuestos a ángulos iguales, como es el caso de a y a’, b y b’, c y c’. En los triángulos se observa que al dividir los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 1/2, al valor obtenido se le conoce como razón y cuando ésta es igual en cada uno de los lados correspondientes, entonces se dice que los lados son proporcionales. a 5 1 = = a ′ 10 2
b 3 1 = = b′ 6 2
c 4 1 = = c′ 8 2
Definición de semejanza de triángulos. Dos triángulos son semejantes si tienen todos sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos son proporcionales. C’
53.13º a’=10
C
b=3
53.13º
b’=6
a=5
36.87º A
c=4
36.87º B A’
c’=8
B’
Criterios de semejanza. 1. 2. 3.
Si dos triángulos tienen dos ángulos respectivamente iguales, entonces son semejantes. Si dos triángulos tienen tres lados correspondientes proporcionales, son triángulos semejantes. Si dos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales, son semejantes.
Sitios Web recomendados:
En el siguiente sitio encontrarás ejercicios interesantes sobre semejanza de triángulos. http://www.educaplus.org/play-185-Semejanza-detri%C3%A1ngulos.html
BLOQUE 2
57
Actividad: 2 Para ara cada uno de los criterios de semejanza anteriores, dibuja dos triángulos en los que visualices que se cumplan los criterios, y anota en cada uno las medidas de todos los elementos.
Evaluación Actividad: 2
Producto: Trazos.
Puntaje:
Conceptual Identifica los criterios de semejanza de triángulos.
Saberes Procedimental Distingue los criterios de semejanza de triángulos.
Actitudinal Realiza la actividad con apertura e interés.
Autoevaluación
58
Traza triángulos semejantes de acuerdo a los criterios de semejanza. C MC NC Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Teoremas relativos a triángulos semejantes. 1.
Si dos triángulos tienen sus lados homólogos paralelos entre sí, entonces son semejantes. O
N′
M′
O′ M 2.
N
Si dos triángulos tienen sus lados homólogos perpendiculares entre sí, entonces son semejantes. D
D′ E′
C
E C′
Por todo lo anterior, la proporcionalidad entre los lados homólogos de dos triángulos semejantes se expresa de la siguiente forma. A′
A
b′
b
C
c′
c
a
B
C′
a′
B′
a b c = = a′ b′ c′
Se pueden establecer varias combinaciones de proporcionalidad, siempre y cuando se respete el sentido de la comparación. A continuación se presenta un ejemplo en el cual se contemplen varias combinaciones.
BLOQUE 2
59
Triángulos semejantes
Proporción Comprobación Proporción entre los lados homólogos 12 6 = a b = 4 2 a ′ b′ 3=3
C
b
a=12
b′
=
c c′
b=6 a a′
A
c=9
a′=4
b′=2
A′
c′=3
B′
c′
=
9
2 3 3=3 12
=
9
4 3 3=3
Proporción entre los lados del triángulo 12 4 = a a′ = 6 2 b b′ 2=2
B
C′
=
c
6
12 4 = a a′ 9 3 = 4 4 c c′ = 3 3 9 3 = c c′ 6 2 = 3 3 b b′ = 2 2 Error de asignación de proporcionalidad por invertir el sentido de una de las razones 12 2 ¿ = ? a b′ 4 6 = 1 a′ b 3≠ 3
Se pueden realizar más combinaciones cambiando los numeradores por los denominadores en cada una de las proporciones. Cuando dos triángulos son semejantes se puede encontrar un lado desconocido, si se conoce su lado homólogo y otros dos lados homólogos restantes. Ejemplo 1. Encontrar el valor de la variable x, la cual representa la longitud del segmento ED. Primero se debe establecer si los triángulos son semejantes, para poder determinar la proporción entre los triángulos. 1. 2. 3.
x
Las flechas en los triángulos determinan que AB y CD son paralelos, por lo tanto, ∠ABE = ∠ECD por ser alternos internos. De igual forma, ∠BAE = ∠EDC por ser alternos internos. ∠AEB = ∠CED por ser opuestos por el vértice.
Ya establecida la igualdad de ángulos entre los dos triángulos, se puede decir que son semejantes, y por ende, llevar a cabo la proporción entre los lados. 60
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Si se acomodan los triángulos de tal manera que se visualice mejor la correspondencia entre los lados, se podrá expresar de forma más clara la proporcionalidad de los lados. B
C 8
E
3 x
10
E
D
A
Recuerda los despejes de ecuaciones lineales de la asignatura de Matemáticas 1, revisa los temas de tu módulo anterior para que no tengas dificultades en los despejes que empezarás a manejar a partir de éste bloque.
8 10 = 3 x
Se obtiene una ecuación de primer grado la cual se resuelve de la siguiente forma
8 10 = 3 x (x )(8) = (10)(3) 30 x= 8 x = 3.75 La longitud de DE es 3.75. El ejercicio no plantea las unidades porque es un ejercicio de práctica, las unidades se harán indispensables en los problemas de aplicación. Ejemplo 2. Para obtener la altura (h) del triángulo rectángulo definido por los puntos ABC, se establece la semejanza entre los triángulos.
3
h
4
5
BLOQUE 2
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En la figura existen tres triángulos semejantes, para descubrirlos se debe establecer la igualdad entre los ángulos, para facilitar el análisis se le asignarán números a los ángulos.
CD determina la altura y es perpendicular a AB , por lo cual, se obtienen dos triángulos rectángulos: ∆ACD y ∆BCD . ∠ACDes complemento del ∠BCD (suman 90º), así como el ∠DBC es complementario del ∠BCD , por lo tanto: ∠ACD = ∠DBC
1. 2.
Por lo anterior se deduce que ∠DAC = ∠DCB
3.
h
Los triángulos por separado se visualizan de la siguiente forma: A C A
5
4
3
h
C
4
B
3
D
B
D
h
C
Observando los triángulos, para obtener la altura se pueden relacionar el primero y segundo triángulo, o el primero y tercer triángulo, debido a que hay información entre los lados homólogos. Para resolver el problema se elegirán los dos primeros triángulos.
5 3 = 4 h (5)(h) = (3)(4) 12 h= 5 h = 2.4
62
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Actividad: 3 Encuentra ncuentra el valor de la variable en cada una de las siguientes proporciones.
5.
2 n = n 2
1.
x 7 = 10 5
6.
2.
8 12 = 5x 7
p−3 4 = 4 p+3
3.
x +2 x −5 = 5 4
7.
4x − 7 x + 1 = 2 3
4.
2y − 3 2 − y = 3 2
8.
x−2 8 = 4 x+2
Evaluación Actividad: 3
Producto: Ejercicios.
Conceptual Reconoce las proporciones.
Saberes Procedimental Realiza despejes de variables en proporciones.
Autoevaluación
BLOQUE 2
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia sus conocimientos del álgebra para encontrar variables en proporciones.
Calificación otorgada por el docente
63
Actividad: 4 Encuentra el valor de la variable en cada uno de los siguientes ejercicios. Primero verifica si son triángulos semejantes para que procedas a establecer las proporciones entre los lados homólogos y así poder resolverlos.
1)
2)
3)
4)
64
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 4 (continuación) 5)
6)
7)
AC // DE
Evaluación Actividad: 4 Conceptual Identifica triángulos semejantes.
Autoevaluación
BLOQUE 2
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes Actitudinal Procedimental Aplica las proporciones de Acepta la semejanza de triángulos semejantes para triángulos para encontrar el encontrar el valor de la incógnita. valor de la incógnita. C MC NC Calificación otorgada por el docente
65
Existe también un teorema que se aplica a la solución de triángulos semejantes, sólo que la información que posean éstos está restringida a cumplir ciertas características. Para poder visualizar lo antes dicho se enunciará y explicará el Teorema de Thales.
Teorema de Thales. Teorema de Thales. Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes proporcionales. Esto es, los segmentos determinados por las letras a, b, c y d, guardan una relación de proporción y se pueden dar las siguientes combinaciones:
a b b a a c d b
= = = =
c
c
d d
d d
c b
c b
d c
d c
a
a
= = = =
a b b a a c d b
Ejemplo 1. En la siguiente figura se puede determinar el valor de la variable, porque cumple con el Teorema de Thales, debido a que se conoce la longitud de los segmentos determinados por las transversales, y además, la incógnita es la longitud de una de las transversales, por lo que se puede establecer la relación de proporcionalidad entre ellas. x 4 = 9 6 Realizando las operaciones necesarias se obtiene que: (4)(9) x= =6 6 Por lo que la longitud de FD = 6
Algunos triángulos se pueden resolver por el Teorema de Thales, sólo hay que verificar que la información sea la adecuada, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 2. El siguiente triángulo sí cumple con el Teorema de Thales, debido a que la información está en las transversales y no en las paralelas. x 28
=
x=
12 14
(12 )(28 ) 14
x = 24
66
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Ejemplo 3. En el siguiente triángulo no se puede utilizar el Teorema de Thales, debido a que parte de la información está en las paralelas, en tal situación, se requerirá resolverlo por semejanza.
Thales de Mileto (640 – 560 A C) Se le atribuyen los cinco teoremas de la Geometría Elemental. Como astrónomo, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor; se cree que descubrió la Osa Menor y creía que el año tenía 365 días, entre otros descubrimientos importantes.
Actividad: 5 Encuentra ncuentra el valor de la incógnita en cada una de las siguientes figuras. 1)
2)
AC// DE
BLOQUE 2
67
Actividad: 5 (continuación) 3)
4)
Evaluación Actividad: 5 Conceptual Identifica las características del teorema de Thales.
Autoevaluación
68
Producto: Ejercicio.
Puntaje:
Saberes Procedimental Aplica el teorema de Thales.
C
MC
NC
Actitudinal Aprecia la facilidad del uso del teorema de Thales en la búsqueda del valor de la incógnita.
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Sitios Web recomendados: En los siguientes sitios encontrarás más información sobre el Teorema de Thales y semejanza de triángulos. http://www.vitutor.com/geo/eso/ss_1.html http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1224 http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ac_thales/index.htm
Aplicación de triángulos semejantes. En la aplicación de triángulos semejantes las unidades son importantes, enl caso de tener diferentes unidades, primero se debe hacer la conversión antes de realizar la proporcionalidad. Ejemplo 1. Gustavo salió a la plaza cívica del plantel donde estudia y sus compañeros midieron al mismo tiempo su sombra y la del asta bandera, las cuales fueron 96 cm y 2.56 m respectivamente, como se muestra en la figura, con esas medidas y la estatura de Gustavo, que es de 1.60 m, pretenden calcular la altura del asta bandera.
h
1.60 m
96 cm = 0.96 m 2.56 m Como las medidas de las sombras se tomaron en el mismo momento, los rayos del sol tienen la misma inclinación y los triángulos formados son rectángulos, por lo tanto son semejantes y se puede establecer la proporcionalidad siempre y cuando la sombra de Gustavo sea cambiada a metros.
2.56 m h = 1.60 m 0.96 m (2.56 m)(1.60 m) h= 0.96 m h = 4.27 m
BLOQUE 2
69
La altura del asta bandera es 4.27 metros. Ejemplo 2. Susana quiere calcular la altura de su casa utilizando un espejo, el proceso que utilizó fue el siguiente: Susana está al pie de su casa y empieza a retirarse de ella, coloca el espejo en el piso cuando se encuentra a una distancia de 4.5 m, después se aleja del espejo siempre con la mirada fija en él, se detiene cuando ve por el espejo el punto más alto de la casa, hace una marca en el piso y mide la distancia del espejo a la marca, la cual fue de 1 m, procede a medir la distancia del piso a sus ojos la cual es de 1.25m y así poder dibujar en su cuaderno los triángulos formados y resolver su problema.
1.25 m 1m
4.5 m
x Ella establece la proporción entre los lados homólogos, la cual se expresa de la siguiente forma:
1.25 m 1m
x 1.25 m
=
4.5 m
4.5 m 1m
Y al despejar la ecuación anterior se obtiene la altura de la casa.
x=
(4.5 m)(1.25 m)
1m x = 5.75 m Susana encuentra que la altura de su casa es de 5.75 m.
70
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Cierre Actividad: 6 Traza el dibujo en los problemas que lo requieran, visualiza en él los triángulos semejantes y determina la proporción que te llevará a calcular lo que se te pide en cada uno.
1) La altura de un alumno de segundo semestre es de 1.86 m y la sombra que proyecta tiene una longitud de 95 cm; en ese mismo instante, un poste de luz eléctrica proyecta una sombra de 3.25 m. Encuentra la altura del poste.
2) Cristina desea medir la altura a la que se encuentra un anuncio de una tienda departamental, para ello recurre a la técnica del espejo. Ella coloca el espejo a 8.25 m del pie de la base que sostiene el anuncio y se retira 1.82 m, a esa distancia ella observa el anuncio por el espejo. Si sus ojos están a una altura de 1.46 m, ¿cuál es la altura del anuncio?
3) Guillermo tiene una estatura de 172 cm y se encuentra a 5 metros de la perpendicular que forma una lámpara de alumbrado público. Si con la lámpara encendida él proyecta una sombra de 120 cm de longitud, ¿qué altura tiene la lámpara?.
BLOQUE 2
71
Actividad: 6 (continuación) 4) Para medir lo ancho de un río un hombr hombre tomó las medidas como se indican en la figura. AC es perpendicular a BD y a CE , si BD mide 5.25 m, CE mide 8.15 m y BC mide 2 m. Calcular la anchura del río.
D
E
A B
C
5) Un poste vertical de 7 pies se halla próximo a un árbol, también vertical y arroja una sombra de 6 pies. Considerando el mismo instante resuelve lo siguiente siguiente: a) Hallar la altura tura del árbol si su sombra midiera 36 pies. b) Hallar la sombra del árbol si su altura fuera de 77 pies.
6) En una mesa se coloca una linterna y frente a ella, a 1.25 m de distancia, se encuentra un objeto de 57 cm de altura. Si la linterna está a 5.15 m de una pared donde se proyecta la imagen del objeto, ¿cuál es la altura de la imagen proyectada?
Actividad: 6 Conceptual Identifica triángulos semejantes.
Autoevaluación
72
Evaluación Producto: Problemas de Puntaje: aplicación. Saberes Procedimental Actitudinal Aplica las proporciones de Aprecia el uso de triángulos triángulos semejantes para semejantes en la solución de resolver problemas cotidianos. problemas cotidianos. C MC NC Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Secuencia didáctica 3. Teorema de Pitágoras. Inicio Actividad: 1 Responde correctamente los siguientes reactivos.
1. Enuncia el Teorema de Pitágoras.
2. ¿Para qué tipo de triángulos se aplica el Teorema de Pitágoras?
A
3. ¿Cómo se llama el lado más grande del siguiente triángulo?
B
BLOQUE 2
C
73
Actividad: 1 (continuación) 4. Encuentra el valor de la variable del siguiente triángulo L
5
x
M
3
N
Evaluación Actividad: 1 Conceptual Identifica el Teorema de Pitágoras.
Autoevaluación
74
Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental Aplica el Teorema de Pitágoras.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Admite la importancia de los conocimientos previos referentes al Teorema de Pitágoras desarrollado en secundaria.
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Desarrollo Uno de los teoremas más importantes en la Geometría es el Teorema de Pitágoras, el cual tiene múltiples aplicaciones en otras áreas como la física, la arquitectura y la ingeniería, entre otras.
Teorema de Pitágoras. Antes de enunciar el teorema es necesario aclarar que este teorema sólo se aplica a triángulos rectángulos y, para comprenderlo bien, debes tener identificados cada uno de sus lados. Al lado opuesto del ángulo recto se le llama hipotenusa y los lados que forman al ángulo recto se les conoce como catetos. A
B
C
Pitágoras de Samos (580 – 500 A C) Fue un metafísico, moral, religioso y científico. El saber geométrico de los pitagóricos estaba en la geometría elemental. .
Teorema: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Para llevar a cabo la demostración, se recurrirá a triángulos semejantes, como se muestra a continuación.
2
2
2
Se tiene que demostrar que AB = AC + BC y para ello, se traza la altura del triángulo que parte del vértice C hacia la hipotenusa.
BLOQUE 2
75
Para visualizar mejor la semejanza entre los triángulos se acomodan y se obtienen las proporciones de los lados homólogos. A C
D
B
C
BC AB
=
B
BD BC
A
A
D
C
C
AC AB
=
B
AD AC
Tomando las dos proporciones se realizan las siguientes operaciones.
BC AB
=
BD
AC
BC
AB
(BC)(BC) = (BD)(AB) BC = (BD)(AB)
=
AD AC
(AC)(AC) = (AD)(AB) AC = (AD)(AB)
2
2
Al sumar las dos ecuaciones que quedaron del desarrollo algebraico anterior se obtiene: 2
2
2
2
2
2
2
2
( )( ) ( )( ) = (AB)( [1BD42 )+ (43 AD)]
BC + AC = BD AB + AD AB BC + AC
AB
( )( )
BC + AC = AB AB 2
BC + AC = AB
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RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Entonces queda demostrado que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. A continuación se explicará la forma en la que se aplica el Teorema de Pitágoras en la búsqueda de los lados de triángulos rectángulos. Un triángulo rectángulo muy conocido es:
En este caso se puede comprobar de forma más directa el teorema.
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 b2 = a 2 + c2 5 2 = 4 2 + 32 25 = 16 + 9 25 = 25 Cuando se desconoce alguno de los lados de un triángulo se aplica el teorema y se despeja la incógnita, como se observa en los siguientes ejemplos.
BLOQUE 2
77
Ejemplo 1. Encontrar la hipotenusa en el siguiente triángulo.
hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2 s2 = t 2 + r 2 s 2 = 10 2 + 15 2 s 2 = 100 + 225 s 2 = 325 s = 325 s ≈ 18.03 Ejemplo 2. Encontrar el valor de la incógnita en el siguiente triángulo.
hipotenusa
2
= cateto 2 + cateto 2
17.6 2 = x 2 + 5.8 2 309.76 = x 2 + 33.64 309.76 − 33.64 = x 2 276.12 = x 2 276.12 = x x ≈ 16.62
78
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 2 Encuentra el valor del lado faltante en cada uno de los siguientes triรกngulos.
1)
2)
3)
4)
5)
BLOQUE 2
79
Actividad: 2 (continuación)
6)
7)
8)
Evaluación Actividad: 2
Producto: Ejercicios.
Conceptual Reconoce los elementos del triángulo rectángulo.
Saberes Procedimental Aplica el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante en un triángulo rectángulo.
Autoevaluación
80
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Acepta al Teorema de Pitágoras como base de la solución de triángulos rectángulos.
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Aplicación del teorema de Pitágoras. Como se había mencionado anteriormente, el Teorema de Pitágoras es sumamente importante en algunas ramas, sobre todo en la construcción. A continuación se ejemplificarán algunas de sus aplicaciones. Ejemplo 1. Calcular la altura de un anuncio, si la escalera para llegar a él mide 10 m y el pie de ésta se encuentra apoyado a 3 m del muro donde está el anuncio. Tomando la información del triángulo rectángulo que se forma al colocar la escalera en la pared y utilizando el Teorema de Pitágoras, se puede encontrar la altura del anuncio.
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 10 2 = h 2 + 3 2 100 = h 2 + 9 100 − 9 = h 2 91 = h 2 91 = h h ≈ 9.53 10 m
La altura del anuncio es de aproximadamente 9.53 m.
h
3 m Ejemplo 2. Un búho se encuentra en la parte más alta de un árbol que mide 8.5 m, éste observa un ratón fuera de su madriguera a una distancia de 13.5 m del pie del árbol, ¿qué distancia tiene que recorrer el búho para cazar al ratón?
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 d 2 = 8.5 2 + 13.5 2 d 2 = 72.25 + 182.25
8.5 m
d
d 2 = 254.5 d = 254.5 d ≈ 15.95
13.5 m El búho tiene que recorrer aproximadamente 15.95 m para poder cazar al ratón. BLOQUE 2
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Actividad: 3 En n equipo de tres personas resuelvan los siguientes problemas, utilizando el Teorema de Pitágoras.
1.
La altura de un árbol es 20.45m y la sombra que proyecta es 13.6m. ¿qué distancia hay de la punta del árbol a la punta de la sombra?
2.
Considera un triángulo ngulo equilátero de 10 cm de lado, y encuentra su altura y su área.
3.
Calcula el área de un triángulo isósceles rectángulo, si la hipotenusa mide 2 5 .
4.
Un cono tiene 10.3 cm de radio y 28.4 cm de altura. ¿cuál es la longitud de su lado?
5.
En un triángulo isósceles el lado desigual es la base y mide 8 cm cm, y los lados iguales miden 12 cm. ¿cuánto mide la altura?, ¿cuál es su área?
82
RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 3 (continuación) 6.
Por una puerta de 85 cm de ancho y 120 cm de largo, se necesita pasar un espejo cuadrado de 2 m de lado, ¿será posible pasar el espejo sin quebrarlo?
7.
Si el lado de un hexágono rectangular mide 12 cm, ¿cuánto mide su apotema?
8.
Un terreno rectangular mide 4825 m de largo y 3216 m de ancho y tiene en el centro una colina, por lo que se dificulta medir la diagonal del terreno. Encontrar la medida de la diagonal.
9.
Para sostener la torre de una antena de comunicaciones de 65 m de altura y darle mayor estabilidad, se requiere la colocación de tirantes de 115 m de longitud, desde el suelo a la parte más alta de la torre, ¿a qué distancia del pie de la torre se deben anclar los tirantes?
10. Una casa tiene techo de dos aguas, las inclinaciones de las caídas son de 30º y 60º, y tiene una longitud de 28.5 m y 17.4 m, ¿cuánto mide el ancho de la casa?
Actividad: 3 Conceptual Identifica los elementos del triángulo rectángulo en problemas cotidianos. Autoevaluación
BLOQUE 2
Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica el Teorema de Pitágoras en la solución de problemas cotidianos. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad del Teorema de Pitágoras en la solución de problemas cotidianos.
Calificación otorgada por el docente
83
Cierre Actividad: 4 En equipo realicen la siguiente práctica.
1.
Elijan una torre de comunicaciones aciones de su localidad que esté estabilizada por medio de tirantes, tirantes y sigan los pasos que se les indican a continuación: ón: a) Utilizando la técnica écnica del espejo encuentren la altura de uno de los tirantes. b) Realiza las mediciones necesarias para que calculen la longitud del tirante por medio del Teorema de Pitágoras. c) Dibuja en el siguiente espacio los pasos anteriores y los cálculos realizados. d) Al final del espacio escribe la dirección en la que se encuentra ubicada la torre.
2.
Elijan el edificio más alto de su localidad y realicen los siguientes pasos: a) Utilizando la técnica de la sombra, calculen la altura del edificio. b) Uno de los integrantes del equipo se colocará a 7 m del edificio, calculen la distancia que hay entre el punto más alto del edificio y la cabeza de su compañero. c) Tracen los dibujos y escriban el procedimiento para encontrar las cantidades. d) Al final del espacio escribe la dirección en la que se encuentra ubicada la torre.
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RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Actividad: 4 (continuación)
Evaluación Actividad: 4
Producto: Práctica.
Conceptual Reconoce las técnicas del espejo y la sombra para visualizar triángulos rectángulos semejantes.
Saberes Procedimental Aplica las técnicas de visualización de triángulos semejantes para poder resolverlos mediante el Teorema de Pitágoras.
Identifica el Teorema eorema de Pitágoras. Coevaluación
Puntaje: Actitudinal Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
Sitios Web recomendados: En los siguientes sitio sitios encontrarás más información sobre el teorema de Pitágoras. http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Teorema_de_Pit%C3 %A1goras._Aplicaciones http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trian9.htm pntic.mec.es/clobo/geoweb/trian9.htm http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/acti vities/Pyth2/Index.html
BLOQUE 2
85
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RESUELVE TRIÁNGULOS: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Reconoce las propiedades de los polígonos y emplea la circunferencia.
Unidad de competencia: • Construye e interpreta modelos en los que se identifican los elementos de los polígonos, mediante la aplicación de sus propiedades, en la resolución de problemas que se derivan de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de los polígonos. • Construye e interpreta modelos en los que se identifican los elementos de la circunferencia, mediante la aplicación de las propiedades de la circunferencia a partir de la resolución de problemas que se derivan en situaciones reales, hipotéticas o teóricas. • Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de la circunferencia.
Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 10 horas
Secuencia didáctica 1. Polígonos. Inicio
Actividad: 1 Contesta las siguientes preguntas. 1. ¿Cómo defines un polígono?
2. ¿Qué es para ti un polígono regular?
3. Dibuja un hexágono.
4. ¿Cuántos lados tiene un eneágono?
5. Haz una lista de los polígonos que conoces.
Evaluación Actividad: 1 Conceptual Identifica el concepto de polígono y proporciona ejemplos. Autoevaluación
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Producto: Cuestionario.
Puntaje:
Saberes Procedimental Distingue los nombres de algunos polígonos.
Actitudinal Aprecia los conocimientos previos sobre polígonos.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Desarrollo Los polígonos son muy usados desde la antigüedad, en el diseño de piedras preciosas, en la arquitectura, en símbolos como la estrella de David, entre otros. Los polígonos están presentes en todo lo que nos rodea, toma un tiempo y en tu hogar observa todos los tipos de polinomios que ahí están sin que te percates de ello.
El Polígono significa porción del plano limitado por segmentos de líneas rectas; estas rectas se llaman lados del polígono.
Clasificación de polígonos. Los polígonos se clasifican en Regulares e irregulares. Los polígonos regulares se caracterizan porque las medidas de sus lados son iguales (equilátero) y las medidas de sus ángulos también son iguales (equiángulo).
Por otro lado, los polígonos irregulares no tienen todos sus lados y ángulos iguales, es decir, no son equiláteros ni equiángulos.
Como se observa en las figuras anteriores, los ángulos internos van desde agudos hasta entrantes, y por lo tanto, los polígonos poseen otra clasificación; de acuerdo al tipo de ángulos que contienen se clasifican en cóncavos y convexos.
BLOQUE 3
89
Los polígonos convexos son los que poseen todos sus ángulos internos de una medida menor a 180º.
Los polígonos cóncavos son los que poseen por lo menos un ángulo interno que es mayor de 180º y menor de 360º (entrante).
¿Sabías que… La palabra polígono proviene del griego antiguo, πολύγωνον (polygōnon), de poli (πολύς), "muchos" y gonos (γωνία), "ángulo"?
90
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
El nombre de los polígonos se deriva del número de sus lados, en la siguiente tabla encontrarás los polígonos que tienen hasta 20 lados. El nombre de los polígonos de más de 21 lados se compone de varias partes que más adelante conocerás. Número de lados del polígono
Número de lados del polígono
Nombre
Nombre
3
Triángulo
9
Eneágono
4
Cuadrilátero
10
Decágono
5
Pentágono
11
Undecágono
6
Hexágono
12
Dodecágono
7
Heptágono
15
Pentadecágono
8
Octágono
20
Icoságono
BLOQUE 3
figura
figura
91
Cuando se desea nombrar a los polígonos de 21 a 100 lados, se usa la siguiente tabla. Decenas
y
Unidades
Terminación
20
Icosa
1
hená
30
Triaconta
2
dí
40
Tetraconta
3
trí
50
Pentaconta
4
tetrá
60
Hexaconta
5
pentá
70
Heptaconta
6
hexá
80
Octaconta
7
heptá
90
Eneaconta
8
octá
9
eneá
kai
gono
Por ejemplo, si se desea denominar un polígono de 34 lados, se toman de la sección de las decenas el prefijo Triaconta, seguido de la conjunción “y” (kai), después se añade las unidades con el prefijo tetrá y para todos los polígonos la terminación gono, por lo que el nombre completo es Triacontakaitetrágono. En el caso de un polígono de 100 lados, el nombre es hectágono.
92
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Actividad: 2 Nombra los siguientes polígonos.
Número de lados del polígono
Nombre
85 54 49 78 23 91 62 36 88 60
Actividad: 2 Conceptual Define el concepto de polígono y nombra los diferentes polígonos de acuerdo al número de lados. Autoevaluación
BLOQUE 3
Evaluación Producto: Complementación de la tabla. Saberes Procedimental Distingue los diferentes tipos de polígonos.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la importancia de reconocer los distintos tipos de polígonos.
Calificación otorgada por el docente
93
Elementos y propiedades de los polígonos. Los elementos de los polígonos regulares son:
El radio (r) de un polígono es el segmento de recta que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
El apotema (a) es el segmento de recta que une al centro del polígono con el punto medio de uno de los lados y además tiene la propiedad de ser perpendicular a éste.
El ángulo central ( ∠ BOC ) es el que tiene su vértice en el centro del polígono y los lados del ángulo intersectan dos vértices consecutivos del polígono
La diagonal (d) es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
El ángulo interior es el ángulo formado por dos lados consecutivos del polígono.
El ángulo exterior es el ángulo adyacente a uno de los ángulos interiores del polígono.
94
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Los polígonos regulares tienen la propiedad característica de tener una circunferencia circunscrita y otra inscrita.
Actividad: 3 Utiliza un transportador para que midas los ángulos interiores de los siguientes polígonos. Polígono
Medidas de los ángulos interiores
Suma de los ángulos interiores
m( ∠ A ) = m( ∠ B ) = m( ∠ C ) =
m( ∠ A ) = m( ∠ B ) = m( ∠ C ) =
m( ∠ A ) = m( ∠ B ) = m( ∠ C ) = m( ∠ D ) =
BLOQUE 3
95
Actividad: 3 (continuación) m( ∠ A ) = m( ∠ B ) = m( ∠ C ) = m( ∠ D ) = m( ∠ A ) = m( ∠ B ) = m( ∠ C ) = m( ∠ D ) = m( ∠ E ) =
m( ∠ A ) =
m( ∠ B ) =
m( ∠ C ) =
m( ∠ D ) =
m( ∠ E ) =
m( ∠ F ) =
m( ∠ G ) =
m( ∠ H ) =
m( ∠ I) =
Actividad: 3 Conceptual Reconoce las propiedades y elementos de los polígonos.
Autoevaluación
96
m( ∠ A ) =
m( ∠ B ) =
m( ∠ C ) =
m( ∠ D ) =
m( ∠ E ) =
m( ∠ F ) =
m( ∠ G ) =
m( ∠ H ) =
m( ∠ I) =
m( ∠ J ) =
m( ∠ K ) =
m( ∠ L ) =
Evaluación Producto: Complementación de la Puntaje: tabla. Saberes Procedimental Actitudinal Utiliza las propiedades y relaciones Muestra disposición para de los polígonos para calcular la llevar a cabo la actividad. medida de ángulos o sumas de ángulos. C MC NC Calificación otorgada por el docente
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Actividad: 4 De la actividad anterior, completa la siguiente tabla guiándote por el ejemplo y contesta las preguntas posteriores.
Polígono
Número de lados
Suma de los ángulos interiores
Suma de los ángulos interiores expresado como factor de 180º
5
540º
3(180º )
Triángulo Cuadrilátero Pentágono
Nonágono
Dodecágono
1. ¿Qué relación tiene la suma de los ángulos interiores del polígono con el número de lados?
2. Para un polígono de n lados, ¿cómo expresarías la suma de los ángulos interiores?
BLOQUE 3
97
Actividad: 4 (continuación) 3. Si la suma de los ángulos interiores es 900º, ¿cuántos lados tiene el polígono?
4. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es de 720º, ¿cómo se podría saber cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores?
Actividad: 4 Conceptual Identifica el número de lados del polígono de acuerdo al nombre del mismo.
Autoevaluación
98
Evaluación Producto: Complementación de tabla y cuestionario. Saberes Procedimental Calcula los ángulos interiores de los polígonos.
Puntaje: Actitudinal Actúa de manera propositiva en el análisis del cuestionario.
Deduce la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono. C MC NC Calificación otorgada por el docente
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Relaciones y propiedades de los ángulos en los polígonos regulares. Cualquier polígono se puede triangular trazando todas las diagonales de uno de sus vértices, como se muestra en la siguiente figura; ésta es una forma muy sencilla de visualizar las fórmulas que obtuviste en la actividad anterior y justificar el hecho de que se exprese la suma de los ángulos interiores de un polígono en términos de 180º Por ejemplo, el polígono que observas en la figura es un dodecágono regular: posee 12 lados. Al seccionar el polígono mediante las diagonales de uno de sus vértices, se observa que se forman 10 triángulos y la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es de 180º, al unir las 10 sumas de los ángulos interiores de los 10 triángulos formados, se obtiene es la suma de los ángulos interiores del polígono. Por lo anterior, la fórmula se expresaría: La suma de los ángulos interiores de un polígono = número de lados del polígono – 2 multiplicado por 180º. En este caso sería: 180 o (10 ) = 1800 o
Y como una deducción de las dos actividades anteriores y este ejemplo, se expresa la fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
∑ ∠i = 180
o
(n − 2 )
Donde:
∑
simboliza suma.
∠i simboliza los ángulos interiores.
n
simboliza el número de lados del polígono.
Sólo en el caso de los polígonos regulares, se puede encontrar la medida de los ángulos interiores, dividiendo la suma encontrada entre el número de lados que es equivalente al número de ángulos que posee el polígono. En este caso la medida de los ángulos interiores ( ∠ i ) se obtiene dividiendo 1800º entre 12, porque son el número de ángulos que posee el polígono.
1800 o 12
= 150 o
La fórmula para calcular los ángulos interiores de cualquier polígono regular es:
∠i =
BLOQUE 3
180 o (n − 2) n
99
En el caso de la suma de los ángulos exteriores ( ∠ e ) de un polígono, ésta tendrá que basarse en cada uno de los ángulos interiores del polígono, debido a que es ángulo adyacente de éstos, como se muestra en la figura.
Para encontrar la fórmula que proporcione la suma de los ángulos exteriores de un polígono regular se debe realizar el siguiente análisis. La fórmula para encontrar cada uno de los ángulos interiores es:
∠i =
180 o (n − 2) n
Y como los ángulos exteriores son adyacentes a los interiores, entonces se tiene que cada uno de ellos es:
∠ e = 180 o −
180 o (n − 2) n
Realizando las operaciones pertinentes se tiene: ∠ e = 180 o − ∠e =
180 o (n − 2 )
n 180 o n − 180 o (n − 2 )
n 180 o n − 180 o n + 360 o ∠e = n
∠e =
360o n
El ángulo central de un polígono se obtiene dividiendo 360º entre el número de ángulos centrales que se pueden trazar, y éstos coinciden con el número de lados del polígono.
ángulo central =
100
360 o n
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Por lo que se concluye que la medida de un ángulo central es igual a la medida de un ángulo exterior. En un polígono, el número de diagonales de un sólo vértice se visualiza en la siguiente figura: Como se observa, el número de diagonales son 3 menos que el número de lados, debido a que los vértices A y E son consecutivos al vértice F. Por lo tanto de cada uno de los vértices se obtienen 3 diagonales, pero además, cada diagonal proviene de dos vértices. De todo lo anterior se concluye que el número de diagonales del hexágono son 9, porque 3 son el número de diagonales de un vértice, multiplicado por 6 vértices que posee el hexágono y dividido entre 2 por la duplicidad de cada una de las diagonales.
(6)(3) 2
=9
Para un polígono de n lados, la obtención del número total de diagonales (D) se da mediante la siguiente fórmula:
D=
(n)(n − 3 ) 2
Ejemplo: Encontrar la variable y las medidas de cada uno de los ángulos interiores del siguiente polígono. La suma de los ángulos interiores es: o
∑ ∠ i = 180 (6 − 2) ∑ ∠ i = 720 o
Por lo tanto: 22 24 19 24 x+ x+ x + 9x + 2x + x = 720 o 5 5 5 5 144 x = 720 o 5 720 o (5 ) x= 144 x = 25 o
(
BLOQUE 3
)
101
Por lo que los ángulos interiores quedan de la siguiente forma:
Actividad: 5 Realiza los cálculos necesarios para obtener lo que se te pide en cada uno de los incisos que se te presentan a continuación.
a) Encuentra la medida del ángulo faltante.
b) Encontrar los ángulos faltantes del siguiente romboide.
102
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Actividad: 5 (continuación) c) Encontrar el valor de la variable y cada uno de los ángulos de los polígonos.
Evaluación Actividad: 5 Conceptual Identifica las propiedades de los polígonos. Autoevaluación
BLOQUE 3
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes Actitudinal Procedimental Aplica las propiedades de los Reconoce sus errores en los polígonos para el cálculo de procedimientos algebraicos y ángulos interiores. busca solucionarlos. C MC NC Calificación otorgada por el docente
103
Cierre Actividad: 6 En equipo, realicen las operaciones necesarias para encontrar lo que se les pide en los siguientes ejercicios.
104
1.
Utiliza un transportador para construir un eneágono regular y dibujar los siguientes elementos: a) Radio. b) Apotema. c) Un ángulo central. d) Las diagonales de uno de sus vértices.
2.
En un pentágono regular, calcula lo siguiente: a) La medida de un ángulo central.
b)
El número total de diagonales.
c)
La medida de cada uno de los ángulos internos.
d)
La medida de cada uno de los ángulos exteriores.
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Actividad: 6 (continuación) 3.
Encuentra el número de lados de un polígono regular cuyos ángulos internos suman: a) 4140º b) 1980º c) 7020º d) 1260º
4.
Calcula cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular cuya suma es: a) 1980º b) 6120º c) 1800º d) 3420º
5.
¿Cuántos lados tiene un polígono regular, si cada uno de sus ángulos interiores es de 160º?
6.
Calcular la apotema de un hexágono regular, si el radio del polígono es de 5 cm.
Evaluación Actividad: 6
Producto: Cuestionario.
Conceptual Identifica los conceptos, elementos y propiedades de los polígonos.
Saberes Procedimental Aplica los conocimientos adquiridos para encontrar el valor de elementos y propiedades faltantes.
Coevaluación
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Propone maneras creativas para solucionar los ejercicios. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.
Calificación otorgada por el docente
Sitios Web recomendados:
En los siguientes sitios encontrarás más ejercicios sobre polígonos y su historia. http://www.aplicaciones.info/decimales/geoplana.htm http://poligonos1.blogspot.com/
BLOQUE 3
105
Secuencia didáctica 2. Circunferencia. Inicio Actividad: 1 Realiza la sopa de letras para que contestes el diagrama posterior.
1. Localiza y encierra las palabras que se enlistan a la derecha de la sopa de letras.
A O T I R C S N I O L U G N A
I A A A N U R A L O W E D C I
C R N K N H P I A C E X V P T
N A W G T G D C R R I A E Y N
E D B D U S E C A N T E T B T
R I H Y E L A E N H P Y X A R
E O L O J C O R E A C Y N Z E
F B G R N J R C C X M G A G P
N G U T I L T F E O E F P Q H
U S C N T O E N O N R C I T K
C X U E H E M U T E T T E L W
R M E C G K A E U T D R I H R
I D R C G M I R G Z S Q A C B
C R D W E C D I N O Q J H L C
N C A K S L A C A P D Y F U P
Radio Circunferencia Diámetro Tangente Secante Cuerda Arco Ángulo central Ángulo inscrito Centro
106
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Actividad: 1 (continuación) 2. Analiza los conceptos mencionados en la sopa de letras y coloca, en cada rectángulo de la siguiente figura, el correspondiente al elemento asociado a la circunferencia.
Actividad: 1 Conceptual Identifica elementos asociados a la circunferencia.
Autoevaluación
BLOQUE 3
Evaluación Producto: Sopa de letras y Puntaje: diagrama. Saberes Procedimental Actitudinal Relaciona los nombres de los Posee una actitud positiva en elementos asociados con la el desarrollo de la actividad. circunferencia con su representación gráfica. C MC NC Calificación otorgada por el docente
107
Desarrollo La circunferencia y el círculo son figuras que están presentes en nuestro entorno, en muchos objetos cercanos a nosotros, como por ejemplo: anillos, llantas, empaques, tapones, platos, etc., incluso podemos pensar en la circunferencia que dibuja el cráneo de un niño, cuya medida es utilizada en estudios relacionados con su desarrollo.
A continuación se muestra circunferencia y círculo.
las
definiciones
correspondientes
a
Se llama Circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan (se encuentran a la misma distancia) de otro punto fijo llamado centro.
En la circunferencia anterior, A es el centro, B es un punto cualquiera que pertenece a la circunferencia, r es la distancia del centro A al punto B, la cual siempre es la misma y se le conoce como el radio de la circunferencia. El círculo es el área delimitada por la circunferencia, la definición formal de círculo es: Círculo es el conjunto de puntos interiores de la circunferencia incluyéndola.
También existen elementos asociados a la circunferencia que generan una serie de propiedades, éstos se abordarán en la siguiente sección.
108
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Elementos asociados a la circunferencia. Radio: es cualquier segmento de recta que une al centro de la circunferencia con un punto de la misma.
Cuerda: es el segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia.
Diรกmetro: es la cuerda mayor de la circunferencia, es decir, es el segmento de recta que une a dos puntos de la circunferencia y contiene al centro.
Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
BLOQUE 3
109
Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un punto al cual se le conoce como punto de tangencia.
Punto de tangencia
La recta tangente tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.
Arco: es una parte de la circunferencia.
CD
Ángulo central: es aquel cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
Ángulo interior: es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia.
110
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Ángulo inscrito: es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.
Ángulo semi-inscrito: es aquel cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son una secante y una tangente.
Ángulo exterior: es el que tiene su vértice fuera de la circunferencia y está formado por dos secantes, una secante y una tangente o bien, dos tangentes.
BLOQUE 3
111
Actividad: 2 Observa los segmentos inscritos en la circunferencia y responde lo que se pide a continuación.
1.
¿Cuáles segmentos son cuerdas de la circunferencia?
2.
¿Cuáles segmentos son diámetros de la circunferencia?
3.
Anota, por lo menos, 5 arcos de la circunferencia.
4.
Dibuja una circunferencia con centro en O y de radio 6 unidades. Traza una recta tangente a la circunferencia en el punto que denominarás A, también traza una recta secante y a los puntos por donde pasa nómbralos M y N.
112
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Actividad: 2 (continuación) 5.
Nombra todos los ángulos inscritos que se encuentran en la siguiente figura.
Evaluación Actividad: 2
Producto: Cuestionario.
Conceptual Reconoce los elementos asociados a la circunferencia.
Saberes Procedimental Distingue los diferentes tipos de segmentos, rectas y ángulos asociados con una circunferencia.
Autoevaluación
BLOQUE 3
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la importancia de reconocer las relaciones existentes entre ángulos, arcos, rectas y segmentos en una circunferencia.
Calificación otorgada por el docente
113
Propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia. La medida de los ángulos y arcos en una circunferencia están relacionados, las equivalencias entre ambos se plantearán en el siguiente cuadro de propiedades.
Propiedad
Figura
Un ángulo central de una circunferencia tiene por medida el arco que lo determina.
∠AOB = AB
Un ángulo inscrito en una circunerencia tiene por medida la mitad del arco que lo determina, de igual manera, mide la mitad del ángulo central correspondiente.
∠CAB =
1 2
CB
∠CAB =
1 ∠COB 2
Un ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del arco que determina a su correspondiente ángulo central. 1 ∠DEF = ∠DCE 2
∠DEF =
114
1 DE 2
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Propiedad
Figura
Los ángulos inscritos determinados por el mismo arco tienen igual medida.
∠DAE = ∠DBE =
1 2
DE
Todo ángulo inscrito determinado semicircunferencia es recto.
∠ADB =
1 2 1
una
AB
180 O 2 ∠ADB = 90 O ∠ADB =
por
(
)
Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.
∠EFD + ∠DGE = 180 O
La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.
∠JEH =
BLOQUE 3
1 2
( DI − HJ )
115
En la naturaleza están presentes tanto la circunferencia como las rectas que se relacionan con ella. Por ejemplo, en ilustraciones de eclipses de sol y luna, se pueden observar las rectas tangentes que muestran la región en la que se produjo el eclipse, como en las siguientes figuras.
A continuación se presentan las propiedades de las rectas tangentes a una circunferencia. Propiedad
Figura
Si dos rectas tangentes a una circunferencia se intersectan en un punto (D), la medida de los segmentos BD y CD es la misma.
Si dos rectas tangentes a dos circunferencias se intersectan en un punto (D), la distancia entre los puntos de tangencia es la misma. HB = IC
116
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Ejemplo: para calcular el valor del ∠G en la siguiente figura, se toma como base el valor del ángulo FED, el cual es la mitad del ángulo ECD. 1 ∠ECD 2 Por lo tanto, la medida del ángulo ECD es de 80º. ∠FED =
El ángulo G es ángulo inscrito y equivale a la mitad del ángulo central ECD, por lo que la medida del ángulo G es de 40º.
Actividad: 3 En cada una de las siguientes figuras y de acuerdo con los datos proporcionados, encuentra la medida de los ángulos y arcos que se indica.
∠D =___________
DB // GC
DG =___________ BC =___________
DC biseca a ∠BCE
∠CFB =____________
BC =____________
BLOQUE 3
117
Actividad: 3 (continuación)
DE =_____________
BD =_____________
CE =_____________
Evaluación Actividad: 3 Conceptual Identifica las propiedades de los diversos tipos de ángulos y rectas en la circunferencia.
Autoevaluación
118
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes Actitudinal Procedimental Utiliza las propiedades de Actúa de manera propositiva segmentos, ángulos, arcos y al resolver los ejercicios rectas, ligados a la circunferencia, planteados. para establecer sus relaciones y medidas. C MC NC Calificación otorgada por el docente
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Cierre Actividad: 4 1.
Encontrar la medida del ángulo F, utilizando la información proporcionada en cada figura.
DF y EF son tangentes.
2.
3.
Encontrar la longitud de EG si BH y EH son tangentes a las circunferencias y además AB = 13 . 84 , DC = 10 . 64 , AD = 18 . 8 y DH = 63 . 52 .
Encontrar ∠DCF si BF = 105º y
BLOQUE 3
CHB =154º.
119
Actividad: 4 (continuación) 4. Encontrar que fracción de la tierra cubre la señal de la antena, si el ángulo donde se intersectan las tangentes mide 86º.
5.
Analiza y contesta las preguntas del siguiente problema. “EL ÁNGULO DE TIRO” TIRO”
Frecuentemente, en retransmisiones de fútbol, oímos expresiones como: "... el jugador chutó a puerta sin apenas ángulo de tiro...", expresión poco acertada como podemos ver en el siguiente esquema:
Observa las situaciones de los jugadores P1, P2 y P3.
120
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Actividad: 4 (continuación) Piensa... por su posición respecto de la circunferencia, ¿de qué tipo son estos tres ángulos?; ¿cómo se miden?
Si has respondido a las dos cuestiones anteriores, ya tendrás claras estas otras: ¿cuál de los tres futbolistas dispone de mayor ángulo de tiro?, ¿por qué?
Pero todos sabemos que en la posición P3 es más difícil conseguir gol que en las otras dos. Entonces, esa dificultad ¿se debe al ángulo?, ¿cómo la explicarías geométricamente?
Este problema fue extraído del sitio http://www.bing.com/images/search?q=angulo+de+tiro&FORM=BIFD#focal=866178f561221f32be53f627071 e691f&furl=http%3A%2F%2Fcatedu.es%2Fmatematicas_mundo%2FDEPORTES%2Fangulo_de_tiro.jpg
Evaluación Actividad: 4
Producto: Ejercicios de aplicación.
Conceptual Interpreta las características y propiedades de los diferentes tipos de ángulos en la circunferencia.
Saberes Actitudinal Procedimental Aplica las propiedades y Promueve maneras creativas relaciones de segmentos, ángulos, de solucionar los problemas. arcos y rectas en la resolución de problemas. C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
BLOQUE 3
Puntaje:
docente
121
Sitios Web recomendados:
En los siguientes sitios encontrarรกs mรกs ejercicios sobre la circunferencia. http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/circun1.htm http://www.telefonica.net/web2/luciaag/Principales/Circa/index.htm http://www.aplicaciones.info/decimales/geopla04.htm http://www.geogebra.org/en/upload/files/xuxo/geogebra_cobae m/circunferencia_angulo.html
122
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLร GONOS Y EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Resuelve trigonometría I
Unidad de competencia: • Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas en triángulos rectángulos, en representaciones de dos y tres dimensiones al aplicar las funciones trigonométricas en la resolución de problemas que se derivan en situaciones relacionadas con estas funciones. • Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de las relaciones trigonométricas.
Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 12 horas
Secuencia didáctica 1. Conversión de medidas de ángulos. Inicio Actividad: 1 Basándote en la siguiente tabla, realiza las conversiones que se te indican posteriormente.
Longitud
Peso
1 Milla
=
1,609.3 mts
1 Tonelada
=
1,000 Kgs.
1 mt3
1 Kilómetro
=
1,000 mts
1 Kilo
= =
1,000 grs. 2.2046 Libras
1 dm3
= = = = = = =
100 cms 1.0936 Yardas 3.28 Pies 3,0 Pies 12 Pulgadas 30.48 cms 2.54 cms
1 Libra
= =
453.597 grs. 16 Onzas
1 Galón
1 Gramo
=
1,000 mgs.
1 Onza
=
28.349 grs
1 Metro 1 Yarda 1 Pie 1 Pulgada
Volumen = 1,000 dm3 = 1,000 Litros = 1 Litro = 1,000 cms3 = =
8 Pintas 4.5461 Litros
a) 34 mts a cms.
b) 76 kgs a lbs.
c) 58 millas a mts.
d) 16 grs a kilos.
e) 9.5 lts a mts3.
Evaluación Actividad: 1
Producto: Ejercicios de conversión.
Conceptual Reconoce las conversiones de unidades.
Saberes Procedimental Aplica regla de tres para realizar conversiones.
Autoevaluación
124
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia los conocimientos previos del uso de regla de tres para el cálculo de conversiones de unidades.
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Desarrollo En este bloque se desarrollará la primera parte de la Trigonometría, la cual es la rama de las Matemáticas que tiene como principal objetivo la solución de triángulos. La trigonometría se aplica en múltiples problemas de arquitectura, navegación, agrimensura, astronomía; también en el estudio de movimiento ondulatorio, vibratorio, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, entre otros; para ello se requiere ampliar los conceptos y no sólo limitarlos a la solución de triángulos, sino aplicarlo a funciones trigonométricas. Por ejemplo, en las aplicaciones de la ingeniería y arquitectura se utiliza para el cálculo de alturas y diseño de planos; en la agrimensura se usa en cartas topográficas, medición de áreas, delimitación de objetos territoriales, etc. A continuación se iniciará con los conceptos básicos de la trigonometría y en los dos bloques posteriores se profundizará en su aplicación. Para iniciar se establecen los sistemas de medición angular, en los primeros bloques conociste el sistema sexagesimal, y para el buen desarrollo de las funciones trigonométricas, establecer el sistema circular, que tiene como base el radio de la circunferencia.
Sistemas de unidades angulares. Sistema sexagesimal. La unidad de medida del sistema sexagesimal es el grado (º); y éste se obtiene de dividir la circunferencia en 360 partes iguales, por lo que el grado es 1/360. Un grado se divide también en 60 minutos (60‘) y a su vez, cada minuto se divide en 60 segundos (60‘’), de ahí proviene el nombre sexagesimal.
El significado etimológico de trigonometría es “la medición de triángulos”, éste se deriva del griego τριγωνο (trigóno) “triángulo” y, µετρον metrón “medida”.
Sistema circular. La medida de este sistema es el radian (1 rad), la cual se define como la medida central subtendida por un arco de longitud igual al radio de la circunferencia, es decir, es la medida de un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados intersectan a un arco de longitud igual al radio.
BLOQUE 4
125
Para encontrar la equivalencia entre los dos sistemas, es necesario recordar cómo se generó el número (pi). El número es la relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Como se muestra en las siguientes figuras, se toma como escala el diámetro de la circunferencia y ésta se hace girar sobre él, de tal manera que el diámetro de la circunferencia cabe en el perímetro aproximadamente 3.14159265358979323846…éste es un número irracional, de aquí es donde se deduce la fórmula de perímetro de una circunferencia. P = πd Por lo tanto, la longitud de una circunferencia contiene y por consiguiente, la radianes. La equivalencia de unidades en circunferencia completa contiene ambos sistemas es entonces:
360º =2 rad
90º =
180º = rad
rad
45º =
rad
Estas equivalencias ayudan a convertir a radianes cualquier ángulo medido en grados y viceversa, como se muestra a continuación. Ejemplo 1. Para convertir 130º a radianes se plantea como una regla de tres simple.
180 o → π rad 130 o → ? o
?= ?=
(130 )(π rad) 180 o 13 π rad ≈ 2.2689 rad 18
Con lo anterior se concluye que:
130 o =
126
13 18
π rad
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Ejemplo 2. Para convertir 45 o 30 ′ es necesario primero convertir los minutos a grados. En el primer bloque se realizó este tipo de conversiones, pero para mayor rapidez se puede utilizar la calculadora. o
30 Así que 45 o 30 ′ = 45 o + = 45.5 o 60 180 o → π rad 45.5 o → ? o
?=
(45.5 )(π rad)
180 o ? ≈ 0.7941 rad Con lo anterior se concluye que:
45 o 30′ ≈ 0.7941 rad Ejemplo 3. Convertir 270º a radianes.
180 o → π rad 270 o → ? o
?= ?=
(270 )(π rad) 180 o 3 π rad ≈ 4.7123 rad 2
Por lo tanto:
270 o =
3 π rad 2
Como se vé en el ejemplo anterior, el resultado se puede expresar en fracción y en decimales; el resultado en fracción proporciona la equivalencia exacta, ya que el decimal depende tanto del valor de π, que es un número irracional, como de la fracción la cual en su extensión decimal puede ser infinita. Por lo que se recomienda expresar la equivalencia en fracción, siempre y cuando el resultado lo permita. Ejemplo 4. π Convertir rad a grados. 6
180 o → π rad π ? → rad 6
(180 ) 6π rad o
?=
π rad
? = 30 o
BLOQUE 4
127
Por lo tanto:
π rad = 30o 6
Ejemplo 5. Convertir
3 16
π rad a grados. 180 o → π rad 3 ?→ π rad 16
(180 ) 163 π rad o
?=
π rad
? = 33.75 o = 33 o 45 ′'
Por lo tanto:
3 π rad = 30 o 45 ′ 16
128
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Actividad: 2 Realiza las siguientes conversiones. 1.
2.
Convertir a radianes, los siguientes ángulos medidos en grados. a) 30 o 25 ′
b)
135o 15′
c)
210o10′
d)
315o
e)
346 o
f)
60 o
g)
120 o
h)
135 o
Convertir a grados o grados, minutos y segundos, según sea el caso, los siguientes ángulos medidos en radianes. 2 a) π rad 9 b)
4 π rad 3
c) 1 rad
d)
11 π rad 12
e)
1 π rad 5
f)
7 π rad 4
BLOQUE 4
129
Evaluación Actividad:2
Producto: Ejercicios de conversión.
Conceptual Identifica diferentes unidades de medida de ángulos. Autoevaluación
Puntaje:
Saberes Procedimental Actitudinal Realiza conversiones de medidas Se interesa por realizar la de ángulos, de grados a radianes y actividad, expresar sus dudas y viceversa. corregir sus errores. C MC NC Calificación otorgada por el docente
También es importante conocer cualquier longitud de arco (S) de una circunferencia para poder resolver problemas aplicados, por ello, se deducirá la fórmula para calcular la longitud de arco de la circunferencia en términos del ángulo central (radianes) y el radio.
S
Θ r
Para deducirla, es necesario encontrar qué parte de la circunferencia le corresponde a la longitud de arco, para ello se divide 2π que corresponde al ángulo de la circunferencia completa entre el ángulo Θ , y ésta se obtiene de la siguiente forma: 2π
Θ Por lo que S se obtendría dividiendo la longitud de la circunferencia entre la parte correspondiente de la longitud de arco, obteniéndose así la longitud de arco.
2πr Θ2πr = 2π 2π Θ S = Θr
S=
Ejemplo 1. Encontrar la longitud del arco subtendido por un ángulo central de
π rad , de una circunferencia de 3 m de radio. 2
S = Θr π S = rad (3 m) 2 S = 4.7123 m
130
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Ejemplo 2. Encontrar la longitud del arco subtendido por un ángulo central de 55º, de una circunferencia de 2.5 m de radio. Primero es necesario cambiar 55º a radianes.
180 o → π rad 55 o → ? o
?=
(55 )(π rad) = 11 π rad 180 o
55 o =
36
11 π rad 36
Ahora se aplicará la fórmula para obtener la longitud de arco. S = Θr
11 S= πrad (2.5 m) 36 S = 2.3998 m Sitios Web recomendados:
En los siguientes sitios encontrarás aspectos interesantes de la conversión de ángulos. http://www.amschool.edu.sv/paes/t1.htm http://www.matematicas.cc/programacion/geometria/conversion _grados_radianes.html
BLOQUE 4
131
Cierre Actividad: 3 En equipo, resuelve los siguientes problemas. 1. Una carretera tiene que describir un arco de circunferencia. ¿Qué radio se debe emplear si la carretera debe cambiar su dirección en 15º en una distancia de 120 m?
2. La distancia entre dos puntos A y B en el mundo, se mide en un círculo con centro C en el centro de la tierra, y radio igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro de la tierra es de 12,756 km aproximadamente, encuentra la distancia entre A y B cuando el ángulo ACB mide 75º.
3. Un auto transita sobre una curva de 450 m de radio a la velocidad de 65 m/seg. Calcular en grados, el ángulo que recorre en 15 seg.
4. El radio de una rueda de bicicleta es de 35 cm. ¿Qué ángulo gira la rueda cuando la bicicleta recorre una distancia de 8 m?
132
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Actividad: 3 (continuación) 5. Si un rodillo tiene un radio de 3 plg, y realiza 9 vueltas al pintar una línea continua, ¿cuál será la longitud de la línea pintada?
6. Un tren se mueve a una velocidad promedio de 15 km/h a lo largo de una vía circular de 762 m. ¿Qué ángulo habrá recorrido en un minuto?
Evaluación Actividad:3 Conceptual Identifica las conversiones de ángulos que debe realizar para resolver problemas de la vida cotidiana. Coevaluación
BLOQUE 4
Producto: Problemas de aplicación.
Puntaje:
Saberes Procedimental Resuelve problemas utilizando conversiones de ángulos y longitudes de arco.
Actitudinal Aprecia el uso de conversiones de ángulos, para resolver problemas aplicados.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
133
Secuencia didáctica 2. Funciones trigonométricas para ángulos agudos. Inicio Actividad: 1 En los siguientes triángulos resuelve lo que se te pide. 1.
Calcula la altura (h) del triángulo equilátero, además encuentra la medida del y
2. Calcula la hipotenusa (b) del triángulo isósceles rectángulo y encuentra la medida del y .
3. Encuentra el valor de la Tangente del ángulo A.
134
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Actividad: 1 Conceptual Recuerda el teorema de Pitágoras, para calcular los lados faltantes de un triángulo rectángulo. Autoevaluación
Evaluación Producto: Resolución de problemas. Saberes Procedimental Aplica el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia los conocimientos previos en la solución de triángulos rectángulos.
Calificación otorgada por el docente
Desarrollo Funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas nacen al efectuar comparaciones de los lados de un triángulo rectángulo, éstas se utilizan para resolver problemas geométricos en donde se requiere encontrar el valor de algunos elementos del triángulo. Como se ha visto, el triángulo rectángulo es aquel que posee un ángulo recto (90º); y como ya aprendiste en el Teorema de Pitágoras, se denominan de la siguiente manera:
Los catetos adquieren el nombre de adyacente y opuesto, dependiendo del ángulo con el que se les asocie, como se muestra a continuación.
•
Si se elige el ángulo A para realizar las comparaciones, entonces los catetos se nombran de la siguiente forma.
BLOQUE 4
135
•
Si se elige el ángulo B, los catetos se nombran de la siguiente forma.
En el siguiente triángulo se elige el ángulo α para definir las funciones trigonométricas.
α
136
Función
Abreviatura
Definición cateto opuesto sen α = hipotenusa
Seno de α
sen α
Coseno de α
cos α
cos α =
Tangente de α
tan α
tan α =
Cotangente de α
cot α
cot α =
Secante α
sec α
sec α =
Cosecante α
csc α
cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente cateto adyacente cateto opuesto hipotenusa cateto adyacente
csc α =
hipotenusa cateto opuesto
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Actividad: 2 Define las funciones trigonométricas tomando como referencia el ángulo A, observa el ejemplo que se te proporciona.
sen A =
a c
cos A =
tan A=
sec A=
cot A=
csc A=
Actividad: 2 Conceptual Define las funciones trigonométricas de ángulos agudos. Autoevaluación
BLOQUE 4
Evaluación Producto: Definición de funciones. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Practica las definiciones de las Muestra interés al realizar la funciones trigonométricas de actividad. ángulos agudos. C MC NC Calificación otorgada por el docente
137
Como habrás notado, las definiciones de las primeras tres funciones son recíprocas a las últimas tres, esto lo puedes notar en el siguiente acomodo.
sen B =
cateto opuesto
=
b
hipotenusa c cateto adyacente a cos B = = hipotenusa c cateto opuesto b tan B = = cateto adyacente a
csc B = sec B = cot B =
hipotenusa cateto opuesto
=
hipotenusa cateto adyacente cateto adyacente cateto opuesto
c b
= =
c a a b
Por consecuencia, cuando multiplicamos las funciones recíprocas se obtiene la unidad.
(sen B )(csc B) = 1 (cos B )(sec B ) = 1 (tan B )(cot B) = 1 Actividad:3 Calcula las funciones trigonométricas del ángulo R del siguiente triángulo.
sen R =
8 10
=
4 5
= 0.8
cos R =
tan R=
sec R=
cot R=
csc R=
Evaluación Actividad: 3
Producto: Ejercicios.
Conceptual Reconoce las funciones trigonométricas de ángulos agudos.
Saberes Actitudinal Procedimental Calcula las funciones Muestra disposición al resolver la trigonométricas de ángulos actividad. agudos. C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
138
Puntaje:
docente
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Cuando se desconoce algún lado del triángulo, se utiliza primero el Teorema de Pitágoras para obtenerlo y posteriormente se calculan las funciones trigonométricas. Ejemplo 1. Calcular las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del siguiente triángulo. En este caso no se conoce el valor de la hipotenusa, así que utilizando el Teorema de Pitágoras se obtiene:
c2 = a 2 + b2 c2 = 32 + 7 2
Para mayor facilidad en los cálculos, se utilizará la aproximación en los resultados, debido a que por la naturaleza de los procesos se obtienen, en su mayoría, números irracionales
c = 9 + 49 c = 58 c = 7.62
Ahora se obtienen las funciones trigonométricas.
sen A =
3
= 0.3937
sen B =
= 0.9186 7.62 3 tan A = = 0.4286 7 7 cot A = = 2.3333 3 7.62 sec A = = 1.0886 7 7.62 csc A = = 2.54 3 7.62 csc B = = 1.0886 7
cos B =
cos A =
7.62 7
7 7.62 3
= 0.9186
= 0.3937 7.62 7 tan B = = 2.3333 3 3 cot B = = 0.4286 7 7.62 sec B = = 2.54 3
Cálculo de valores 30o, 45o y 60o. Cuando se conocen los ángulos del triángulo, se pueden obtener las funciones trigonométricas utilizando la calculadora, para comprobar su veracidad se desarrollarán las funciones trigonométricas tanto de forma manual como con la calculadora.
Ejemplo 1. Encontrar las funciones trigonométricas del siguiente triángulo.
sen 45 o = cos 45 o =
BLOQUE 4
1 2 1 2
=
2 = 0.7071 2
=
2 = 0.7071 2
45 o 2
Como habrás notado, en los resultados de las funciones sen 45º y cos 45º se racionalizó , es decir, se eliminó la raíz del denominador, para que recuerdes este proceso entra al sitio http://www.disfrutala smatematicas.com/a lgebra/racionalizardenominador.html
45 o
139
1 tan 45 o = = 1 1 1 o cot 45 = = 1 1
sec 45 o =
2 = 2 = 1.4142 1
csc 45 o =
2 = 2 = 1.4142 1
Ahora se tiene que verificar el resultado en la calculadora, para ello debes de conocer algunas de sus funciones. 1.
La calculadora debe estar en modo DEG, que significa degree pantalla de la calculadora se visualizará mediante una D.
2.
En la calculadora se pueden obtener de forma directa las funciones seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan); para calcular las funciones cotangente, secante y cosecante, es necesario utilizar las correspondientes funciones recíprocas, como se muestra a continuación.
(sen B)(csc B) = 1
→ csc B =
(cos B)(sec B) = 1
→ sec B =
(tan B)(cot B) = 1
→ cot B =
(grado), en la
1 sen B 1 cos B 1 tan B
A continuación comprueba los resultados obtenidos para el cálculo de las funciones trigonométricas de 45º y obtendrás los siguientes resultados.
sen 45 o = 0.7071 cos 45 o = 0.7071 tan 45 o = 1
45 o
cot 45 o =
45 o
sec 45 o =
1
1 = =1 1 tan 45 o
1 cos 45
csc 45 o =
140
o
1 sen 45
o
= =
1 0.7071
= 1.4142
1 0.7071
= 1.4142
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Actividad: 4 Aplica las definiciones para calcular las funciones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º, expresa los resultados como fracciones y posteriormente comprueba el resultado con la calculadora.
sen 30 o =
sen 60 o =
cos 30 o =
cos 60 o =
tan 30 o =
tan 60 o =
cot 30 o =
cot 60 o =
sec 30 o =
sec 60 o =
csc 30 o =
csc 60 o =
Evaluación Actividad: 4 Conceptual Caracteriza los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º y 60º. Autoevaluación
BLOQUE 4
Producto: Problemas de aplicación.
Puntaje:
Saberes Actitudinal Procedimental Obtiene los valores de funciones Actúa de manera propositiva al trigonométricas para ángulos de resolver los ejercicios. 30º y 60º, sin ayuda de la calculadora. C MC NC Calificación otorgada por el docente
141
Actividad: 5 Calcula el valor de las siguientes expresiones, utilizando los valores aprendidos, expresa los resultados en términos de fracciones y compruébalos con la calculadora. 1. sen 30 o + cos 45 o − tan 60 o =
2.
sen 60 o + tan 45 o =
3.
sen2 45 + cos 2 45 o =
4.
5.
tan 60 o sen 60 o
=
1 − tan 30 o sec 30 o
( )= 1 + sec 60 (cot 60 ) o
o
Actividad: 5 Conceptual Identifica las funciones trigonométricas de ángulos de 30º, 45º y 60º, para resolver operaciones fundamentales sin usar la calculadora. Autoevaluación
142
Evaluación Producto: Resolución de problemas. Saberes Procedimental Realiza operaciones fundamentales con funciones trigonométricas ángulos de 30º, 45º y 60º.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia el uso de la calculadora en la comprobación de resultados.
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Cuando el ángulo proporcionado está en radianes, la calculadora debe estar en modo RAD, que significa radianes, en pantalla de la calculadora se visualizará mediante una R. Ejemplo 2. En este ejemplo, se comprobará con la calculadora los resultados de las funciones trigonométricas en los dos sistemas de medición angular. Radianes
sen cos
1 9 1
π = 0.3420
sen 20 o = 0.3420
π = 0.9396
cos 20 o = 0.9396
9 1 tan π = 0.3639 9 1 1 1 cot π = = = 2.7480 1 9 0.3639 tan π 9 1 1 1 sec π = = = 1.0643 1 9 0.9396 cos π 9 1 1 1 = = 2.9239 csc π = 1 9 0.3420 sen π 9
BLOQUE 4
Grados
tan 20 o = 0.3639
cot 20 o =
sec 20 o =
csc 20 o =
1 tan 20
o
1 o
=
o
=
cos 20 1 sen 20
=
1 0.3639 1 0.9396 1 0.3420
= 2.7480
= 1.0643
= 2.9239
143
Actividad:6 Utilizando la calculadora, encuentra el valor de cada una de las siguientes funciones trigonométricas. 1) sen 50 o = 2) tan 73 o 20′ = 3) cos 4) tan 5) cot
π 3 π
=
= 5 2π
= 7 6) csc 38 o = 7) sen 83 o = 8) sec 18 o = 9) cos 35 o =
Evaluación Actividad: 6
Producto: Calculadora.
Conceptual Conoce el uso de la calculadora para obtener funciones trigonométricas de ángulos agudos.
Saberes Actitudinal Procedimental Utiliza la calculadora para Aprecia la utilidad de la encontrar funciones calculadora para el cálculo de trigonométricas en los diferentes funciones trigonométricas. ángulos agudos. C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
Puntaje:
docente
Es sencillo calcular las funciones trigonométricas cuando se conoce el ángulo, y una pregunta interesante es, ¿cómo encontrar el ángulo cuando se conoce la función trigonométrica?, para dar respuesta a ella, se tomará la siguiente función trigonométrica. Se sabe que sen 30 o =
1
, la cual puedes comprobar en tu calculadora. Ahora se supondrá desconocido el ángulo, 2 de tal forma que la función trigonométrica queda de la siguiente forma. 1 sen A = 2 Para encontrar el ángulo se tiene que aplicar la función de seno inverso, es algo así como despejar una variable, recuerda que en Matemáticas 1 aprendiste a despejar: si está El -1 en la función seno sumando, aplicas la resta; si multiplicas, divides; si tienes potencia, aplicas raíz; en este no representa un caso, si se tienen funciones trigonométricas, se aplican las funciones trigonométricas exponente, solamente se inversas. Esto se muestra a continuación. usa como notación para distinguir las funciones 1 inversas. A = sen −1 2
A = 30 o 144
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
sen−1 se localiza en la calculadora en la inversa de la tecla sin; para accionar la inversa, en algunas calculadoras, se hace con una tecla que indica 2nd o Shift, como se visualiza en las siguientes imágenes, de esta forma puedes encontrar el valor del ángulo A.
Actividad:7 Utilizando la calculadora, encuentra el valor del ángulo agudo indicado en cada una de los incisos. 1) sen B =
3 5
2) tan C = 1.46 = 3) cos A = 0.9786 4) tan X = 6.5135 5) sen β = 0.8540 6) cos θ = 0.3569
Evaluación Actividad: 7
Producto: Uso de la calculadora.
Conceptual Conoce el uso de la calculadora para obtener ángulos.
Saberes Procedimental Utiliza la calculadora para encontrar ángulos.
Autoevaluación
BLOQUE 4
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de la calculadora para el cálculo de ángulos agudos.
Calificación otorgada por el docente
145
Resolución de triángulos rectángulos. Todo lo anterior puede combinarse para encontrar los elementos faltantes de triángulos, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Calcular elementos faltantes del siguiente triángulo rectángulo. Los elementos que se desea conocer son el lado “a” y los ángulos A y B. Para encontrar el lado “a”, se utiliza el teorema de Pitágoras.
c2 = a 2 + b2 52 = a 2 + 42 25 = a 2 + 16 a 2 = 25 − 16 a2 = 9 a= 9 a=3 Ahora se puede elegir uno de los dos ángulos para encontrar su valor, en este caso, se elegirá el ángulo A para resolverlo, y como se conocen todos los lados del triángulo, se puede utilizar cualquiera de las tres funciones algebraicas, seno, coseno o tangente. En este caso se elegirá coseno, ya que se utilizarían los datos proporcionados por el problema. Como se eligió el ángulo A, entonces, el lado “b” sería el cateto adyacente y “c” es la hipotenusa, así que la función trigonométrica que relaciona al cateto adyacente y a la hipotenusa es la función coseno.
cos A = cos A =
cateto adyacente hipotenusa 4 5
4 A = cos −1 5 o A = 36.87 = 36 o 52 ′12 ′′ Para encontrar el otro ángulo, no es necesario aplicar funciones trigonométricas, hay que recordar que la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180º, así que el ángulo B se obtiene: A + B + C = 180 o B = 180 o − A − C B = 180 o − 36.87 o − 90 o B = 53.13 o = 53 o 7 ′48 ′′
Ejemplo 2. 146
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Calcular los elementos faltantes del siguiente triángulo rectángulo. En este caso no se puede aplicar el Teorema de Pitágoras como primer paso, se tiene que elegir cuál de los lados faltantes se quiere obtener primero. Se elegirá, en esta ocasión, encontrar primero la hipotenusa; como se conoce el ángulo T y el cateto opuesto a éste, la función que relaciona al cateto opuesto y a la hipotenusa es la función seno, como se muestra a continuación.
sen T = sen 66 o =
(s)(sen 66
o
)
cateto opuesto hipotenusa 12
s = 12
s=
12 sen 66 o
s = 13.14
El cateto “r” se puede encontrar utilizando el teorema de Pitágoras, pero en esta ocasión se obtendrá con una función trigonométrica, para ejemplificar más el uso de las funciones. La función tangente es la que relaciona a los catetos, como se muestra a continuación.
tan T = tan 66 o =
(r )(tan 66
o
)
cateto opuesto cateto adyacente 12
r = 12
r=
12
tan 66 o r = 5.34
Y el ángulo R se calcula de la siguiente forma. R + S + T = 180 o R = 180 o − S − T R = 180 o − 90 o − 66 o R = 24 o
BLOQUE 4
147
Actividad: 8 Calcula los elementos faltantes de cada uno de los triรกngulos rectรกngulos a)
b)
c)
d)
148
RESUELVE TRIGONOMETRร A II
Evaluación Actividad 8
Producto: Resolución de triángulos.
Conceptual Identifica las funciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos.
Saberes Actitudinal Procedimental Aplica las funciones Muestra interés al realizar la trigonométricas para resolver actividad. triángulos rectángulos. C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
Puntaje:
docente
Problemas de Aplicación. A continuación se ejemplificarán algunos problemas que se resuelven con funciones trigonométricas. Ejemplo 1. Una cámara de video está instalada en un edificio a 46 m de altura, la persona que monitorea la cámara está filmando un helicóptero que está a punto de despegar. Si el ángulo de depresión de la cámara es de 53.25º, ¿a qué distancia se encuentra el helicóptero del edificio? El ángulo de depresión medido desde la cámara es igual al ángulo de elevación medido desde el helicóptero, por lo tanto, para encontrar el valor de “x” es necesario establecer la relación entre las medidas involucradas con una función trigonométrica. En el triángulo descrito, la altura de la cámara corresponde a la medida del cateto opuesto, la distancia entre el edificio y el helicóptero es el cateto adyacente, por lo cual, la función trigonométrica que relaciona a los catetos es la tangente.
tan T = tan 53.25 o = Observa que: el ángulo de elevación y el de depresión son ángulos alternos internos y por lo tanto, tienen la misma medida.
(x )(tan 53.25
o
)
cateto opuesto cateto adyacente 46
x = 46
x=
46
tan 53.25 o x = 34.35 m
La distancia entre el edificio y el helicóptero es de 34.35 m.
BLOQUE 4
149
Ejemplo 2. Un paciente está recibiendo radioterapia para el tratamiento de un tumor situado atrás del corazón. Para evitar daños en el corazón, el radiólogo debe dirigir los rayos con cierto ángulo hacia el tumor. Si el tumor está localizado a 8.5 cm debajo de la piel y los rayos penetran en el cuerpo a 15 cm a la derecha de éste, calcular el ángulo con el que los rayos deben de penetrar al cuerpo para atacar directamente al tumor. Visualizando el triángulo que describen los rayos, se tiene: Los lados conocidos del triángulo descrito en el pecho son los catetos, y se relacionan mediante la función tangente.
tan α =
cateto opuesto
cateto adyacente 8.5 tan α = 15 8.5 α = tan −1 15 α = 29.54 o El radiólogo debe dirigir los rayos con un ángulo de 29.54º, para no afectar el corazón.
150
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Cierre Actividad: 9 Resuelve los siguientes problemas. 1.
¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un poste de teléfonos de 12.7 m. de altura, proyecta una sombra de 22.12 m.?
2.
Cuando un avión se presenta para su aterrizaje a una distancia horizontal de 5 Km. de la pista, el ángulo de depresión es de 8º 05’. ¿A qué altura “h” se encuentra el avión en ese preciso momento?
3.
Se dice que Galileo usó la Torre inclinada de Pisa para realizar sus experimentos sobre las leyes de la gravedad. Cuando se lanza un objeto desde el extremo superior de la torre ubicado a 55 m. de altura, éste cae a 4.8 m. de la base de la torre. ¿Cuánto mide el ángulo de inclinación con respecto a la vertical?
BLOQUE 4
151
Actividad: 9 (continuación) 4.
¿Cuál es la medida del lado de un triángulo equilátero que puede inscribirse en un círculo de 16 cm. de diámetro?
5.
Cuando el ángulo de elevación del sol es de 32° 20’, un edificio proyecta una sombra de 11.6 m. ¿Qué altura tiene el edificio?
6. Seis cables están sujetando a una antena de 25 m en dos formas diferentes. Tres están amarrados a la parte más alta de la antena y separados de la base 5.5 m. Los tres restantes están sujetados a la mitad de la antena y separados de la base 4.5 m. ¿Cuánto mide cada clase de cable? ¿En total cuánto cable se necesita para sujetar la antena? ¿Qué ángulo forma cada clase de cable en relación con el piso?
152
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Evaluación Actividad: 9
Producto: Problemas de aplicación.
Puntaje:
Conceptual Identifica las funciones trigonométricas para resolver problemas aplicados.
Saberes Procedimental Aplica las funciones trigonométricas para resolver problemas de la vida cotidiana.
Actitudinal Reconoce sus errores y muestra interés por corregirlos. Aprecia la utilidad de las funciones trigonométricas para resolver problemas aplicados.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
Sitios Web recomendados:
En el siguiente sitio encontrarás aspectos interesantes de las funciones trigonométricas. http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno 7.htm
BLOQUE 4
153
154
RESUELVE TRIGONOMETRÍA II
Resuelve trigonometría II
Unidad de competencia: •
• •
Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas de ángulos de cualquier medida en el plano cartesiano, empleando las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier medida en la resolución de problemas que derivan en situaciones relacionadas con funciones trigonométricas. Cuantifica y representa magnitudes angulares y lineales a partir de la aplicación de funciones trigonométricas. Interpreta y construye gráficas de funciones trigonométricas.
Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 10 horas
Secuencia didáctica 1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Inicio Actividad: 1 En equipo, analiza y desarrolla lo que se te pide.
1. Utiliza la calculadora para obtener las siguientes funciones. a) sen 80 o =
tan 27 o 10′ =
b) c)
cos π =
d)
tan
e)
cot π =
f)
csc 90 o =
g)
sen 180 o =
h)
tan 250 o =
i)
sen 210 o =
j)
cos 135 o =
k)
tan 315 o 30 ′ =
π 2
=
2. ¿Por qué no se obtuvieron resultados en algunas de las funciones?
3. Si te basas en las definiciones de las funciones trigonométricas, justifica el hecho de obtener resultados negativos en algunas de ellas.
Actividad: 1 Conceptual Conoce el uso de la calculadora para encontrar el valor de las funciones trigonométricas.
Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental Utiliza la calculadora para encontrar el valor de funciones trigonométricas.
156
Actitudinal Propone maneras creativas de resolver las preguntas. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.
Identifica la división entre cero y la ley de los signos. Coevaluación
Puntaje:
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Desarrollo En la actividad anterior surgieron algunos resultados negativos o indefinidos, esto sucede por la ubicación del triángulo en el plano rectangular o cartesiano, para comprender mejor, es necesario recordar cómo se grafican puntos en el plano. El plano cartesiano, es el sistema de coordenadas rectangulares, el cual está formado por dos rectas dirigidas perpendicularmente entre sí; la recta horizontal es el eje X o de las abscisas y la vertical es el eje Y o de las ordenadas, al intersectarse los ejes en un punto llamado origen, el plano se divide en cuatro cuadrantes. Al ubicar un punto en el plano, la abscisa es la distancia horizontal del origen al punto y la ordenada es la distancia vertical del origen al punto. Las coordenadas del punto se representan entre paréntesis, separados por una coma, dándole el primer espacio a la abscisa y el segundo a la ordenada. Para distinguir la ubicación en los cuatro cuadrantes, se les asigna el signo positivo cuando las distancias recorridas son a la derecha y hacia arriba, y negativo, si las distancias recorridas son a la izquierda y hacia abajo, como se muestra en el siguiente plano.
Signos de las funciones trigonométricas. A continuación se describen las funciones trigonométricas para ángulos en los diferentes cuadrantes. Para trazar los ángulos en el plano cartesiano, se coloca el lado inicial del ángulo en la parte positiva del eje “x”, vértice es el origen y el lado final es un segmento que varía dependiendo de las coordenadas del punto en el plano.
Un ángulo es positivo si es medido en contra del movimiento de las manecillas del reloj. El ángulo es negativo si es medido con el movimiento de las manecillas del reloj.
BLOQUE 5
157
1.
Funciones trigonométricas de un ángulo en el primer cuadrante.
a : es la abscisa del punto P (cateto adyacente).
b : es la ordenada del punto P (cateto opuesto). d : es la distancia del punto P al origen (hipotenusa). θ : es el ángulo del primer cuadrante. cateto opuesto b = =+ hipotenusa d cateto adyacente a cos θ = = =+ hipotenusa d cateto opuesto b tan θ = = =+ cateto adyacente a cateto adyacente a cot θ = = =+ cateto opuesto b hipotenusa d sec θ = = =+ cateto adyacente a hipotenusa d csc θ = = =+ cateto opuesto b senθ =
2.
Funciones trigonométricas de un ángulo en el segundo cuadrante. Las funciones trigonométricas del segundo cuadrantes son equivalentes a las que se obtienen a partir de su ángulo suplementario ( 180o − θ ), a éste se le conoce como ángulo de referencia.
−a : es el cateto adyacente al ángulo de referencia.
b : es el cateto opuesto al ángulo de referencia. d : es la hipotenusa. θ : es el ángulo del segundo cuadrante. sen θ =
Ángulo de referencia
3.
b
=+ d −a cos θ = =− d b tan θ = =− −a −a cot θ = =− b d sec θ = =− −a d csc θ = = + b
Funciones trigonométricas de un ángulo en el tercer cuadrante. Obtener las funciones trigonométricas para ángulos en el tercer cuadrante es equivalente a obtener las funciones trigonométricas de su ángulo de referencia ( θ − 180o ).
158
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
−a : es el cateto adyacente al ángulo de referencia.
−b: es el cateto opuesto al ángulo de referencia. d : es la hipotenusa. θ : es el ángulo del tercer cuadrante. sen θ = cos θ = tan θ = cot θ = sec θ = csc θ =
4.
−b
=−
d −a
=−
d −b
=+
−a −a
=+
−b d −a d −b
=− =−
Funciones trigonométricas de un ángulo en el cuarto cuadrante. Calcular las funciones trigonométricas para ángulos en el cuarto cuadrante es equivalente a obtener las funciones trigonométricas de su conjugado, el cual es el ángulo de referencia ( 360o − θ ).
a : es el cateto adyacente al ángulo de referencia.
−b: es el cateto opuesto al ángulo de referencia. d : es la hipotenusa. θ : es el ángulo del tercer cuadrante. sen θ = cos θ = tan θ = cot θ =
−b d a d −b a a
=− =+ =−
=− −b d sec θ = = + a d csc θ = =− −b
BLOQUE 5
159
Los signos de las funciones trigonométricas se resumen en la siguiente tabla. Cuadrante I II III IV
Funciones positivas todas sen, csc tan, cot cos, sec
Funciones negativas ninguna cos, tan, cot,sec sen, cos, sec, csc sen, tan, cot, csc
En los siguientes ejemplos se comprobará que las funciones trigonométricas son equivalentes a sus correspondientes ángulos de referencia. Ejemplo 1. Calcular las funciones trigonométricas de 135º. y
2
1
135 o
45 o −1
x
Funciones trigonométricas Utilizando calculadora
160
Utilizando las definiciones 1
2
Utilizando el ángulo de referencia
sen 135 o = 0.7071
sen 135 o =
cos 135 o = −0.7071
cos 135 o =
tan135o = −1
tan 135 o =
cot 135o = −1
cot 135 o =
sec 135 o = −1.4142
sec 135 o =
2 = − 2 = −1.4142 −1
− sec 45 o = −1.4142
csc 135 o = 1.4142
csc 135 o =
2 = 2 = 1.4142 1
csc 45 o = 1.4142
=
2 −1 2 1 −1 1 −1
2
=−
= 0.7071 2
2
= −0.7071
sen 45 o = 0.7071 − cos 45 o = −0.7071
−1
− tan 45 o = −1
= −1
− cot 45 o = −1
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Ejemplo 2. Calcular las funciones trigonométricas de 240º. y
−1
210 o
− 3 30 o
x
2
Funciones trigonométricas Utilizando calculadora
sen 210 o = − 0.5 cos 210 o = − 0.8660
sen 210 o =
−1 = − 0 .5 2
− sen 30 o = −0.5
cos 210o =
− 3 = − 0.8660 2
− cos 30 o = −0.8660
tan 210 o = 0.5774
tan 210 o =
cot 210 o = 1.7320
cot 210 o =
sec 210 o = −1.1547
csc 210 o = −2
Utilizando el ángulo de referencia
Utilizando las definiciones
sec 210 o = csc 210 o =
−1
3
= 0.5774
tan 30 o = 0.5774
− 3 = 3 = 1.7320 −1
cot 30 o = 1.7320
− 3
2 − 3 2 −1
=
3
=−
= −2
2 3 3
= −1.1547
− sec 30 o = −1.1547 − csc 30 o = −2
Sitios Web recomendados: En este sitio encontrarás aspectos importantes de las funciones trigonométricas. http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
BLOQUE 5
161
Actividad: 2 Calcula las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos, sigue el ejemplo para que grafiques y obtengas los resultados como fracción, además verifícalos en tu calculadora. Gráfica
Funciones trigonométricas
y
sen120o =
3 2
cos 120 o = −
2 3
tan 120 o =
120 o
o
60 −1
x
cot 120 o =
1 2
3 =− 3 −1 −1
=−
3
3 3 2 sec 120 o = = −2 −1
csc 120o =
2 3
=
2 3 3
sen 150 o =
y
cos 150 o = tan 150 o = x
cot 150 o = sec 150 o = csc 150 o = sen 225 o =
y
cos 225 o = tan 225 o = x
cot 225 o = sec 225 o = csc 225 o =
162
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Actividad: 2 (continuación) Gráfica
Funciones trigonométricas sen 315 = o
y
cos 315 o = tan 315 o = cot 315 o = x
sec 315 o = csc 315 o =
sen 330 o =
y
cos 330 o = tan 330 o = cot 330 o = x
sec 330 o = csc 330 o =
Evaluación Actividad: 2
Producto: Ejercicio.
Conceptual Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano.
Saberes Procedimental Calcula el valor de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes, utilizando los triángulos básicos.
Autoevaluación
BLOQUE 5
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de los triángulos básicos para la obtención de las funciones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud.
Calificación otorgada por el docente
163
Actividad:3 Responde lo que se te pide en cada uno de los cuestionamientos. 1. Encuentra el ángulo de referencia de los ángulos dados. Medida del ángulo
Ángulo de referencia
Gráfica
Función trigonométrica en término del ángulo de referencia
y
145
sen 145 o = sen 35 o = 0.5736
o
145º
x
35º
cot 145 o = − cot 35 o = −1.4281
y
245º
x
y
348º
x
y
740º
164
x
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Evaluación Actividad: 3
Producto: Ejercicio.
Conceptual Ubica el ángulo de referencia para calcular funciones trigonométricas para ángulos en cualquier cuadrante.
Saberes Actitudinal Procedimental Calcula funciones trigonométricas Muestra interés al realizar la para ángulos en cualquier actividad. cuadrante, a partir del ángulo de referencia. C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
Puntaje:
docente
Si se conoce una de las funciones trigonométricas, se puede obtener el resto utilizando el ángulo de referencia, sólo se tiene que especificar el cuadrante al que pertenece el ángulo. Ejemplo 3. Calcular las funciones restantes del ángulo A, si sen A = − Analizando la definición sen A =
5 12
en el III cuadrante.
cateto opuesto
, por lo tanto, el signo negativo se le asigna al cateto opuesto, ya que hipotenusa la hipotenusa no puede ser negativa; la gráfica queda de la siguiente forma. y
Se utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar el valor del cateto adyacente.
(hipotenusa )2 = (cateto adyacente)2 + (cateto opuesto)2 cateto adyacente = 12 2 − 5 2 = 119
A x
−5
12
y
Al ubicarse el valor del cateto adyacente en el plano se le tiene que colocar el signo negativo por ser la abscisa de un punto que pertenece al tercer cuadrante.
− 119
A x
−5
12
BLOQUE 5
165
Las funciones trigonométricas quedan de la siguiente forma.
cos A = tan A =
cot A = sec A =
− 119 = − 0.9091 12 −5 − 119
=
5 119 119
= 0.4583
− 119 119 = = 2.1817 −5 5 12
12 119
= − 1 .1 119 − 119 12 csc A = = − 2 .4 −5 Si se desea conocer el ángulo, se aplica la función inversa al dato proporcionado. =−
y
5
sen A = −
12 5 A = sen −1 − 12 A = −24.62 o
A
− 119
x
−5
12
En este caso, el ángulo proporcionado es negativo, debido al programa que poseen las calculadoras. Para encontrar el ángulo correcto ubicado en el tercer cuadrante, se tienen que analizar los ángulos. Como te habrás dado cuenta, el ángulo que se obtuvo está indicado en la figura, es negativo porque se midió en sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo tanto, el ángulo correcto sería:
− 24.62 o
A = 180 o + 24.62 o A = 204.62 o En el caso de utilizar otra de las funciones para obtener el ángulo, se tendría que hacer un análisis similar al anterior, debido a que la calculadora, dependiendo de la función, proporciona ángulos diferentes, como por ejemplo: y
Si el ángulo se desea obtener de la función tangente, entonces el resultado sería el siguiente:
cos A = −
− 119
A x
−5
12
155 .38 o
119 12
119 A = cos −1 − 12 A = 155.38o En este caso, el ángulo proporcionado es el que se muestra en la figura. El ángulo quedaría:
A = 360 o − 155.38 o A = 204.62 o 166
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Actividad: 4 Realiza la gráfica en cada uno de los incisos, para que calcules el valor de las funciones faltantes. 8 10 a) sen A = en el I cuadrante. b) tan B = − en el II cuadrante. 17 7
c)
csc α = 2 en el II cuadrante.
e)
tan A =
BLOQUE 5
5 9
en el I cuadrante.
d) sen C = −
f) cos θ =
2 5
3 5
en el III cuadrante
en el I cuadrante.
167
Actividad: 4 (continuación)
g)
i)
csc A = −
13 8
j) cot A = −4 en el II cuadrante.
tan φ = 8 en el III cuadrante.
Actividad: 4 Conceptual Ubica el ángulo en el cuadrante correspondiente dependiendo del valor de la función trigonométrica. Autoevaluación
168
h) sec β = 4 en el IV cuadrante.
en el III cuadrante.
Evaluación Producto: Gráficas y ejercicios. Saberes Procedimental Construye la gráfica a partir de funciones trigonométricas y obtiene las funciones faltantes. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Cierre Actividad: 5 Realiza la gráfica de los puntos en el plano cartesiano, para que calcules las funciones trigonométricas y la medida del ángulo relacionado con cada uno de ellos. a)
P( 7,12 )
b)
P( −3, 5 )
c)
P( − 2,−7 )
BLOQUE 5
169
Actividad: 5 (continuación)
d)
P( − 9, 4 )
e)
P( 6, 7 )
f)
P( 8,−7 )
Actividad: 5 Conceptual Ubica el ángulo en el cuadrante correspondiente dependiendo de las coordenadas de un punto. Autoevaluación
170
Evaluación Producto: Gráficas y ejercicios. Saberes Procedimental Construye la gráfica del ángulo a partir de un punto dado, y obtiene las funciones faltantes.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Asume una actitud constructiva; congruente con los conocimientos y destrezas con los que cuenta, en las actividades que le son asignadas..
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Secuencia didáctica 2. Funciones trigonométricas y el círculo unitario. Inicio Actividad: 1 Completa la siguiente tabla, y desarrolla lo que se te pide posteriormente.
A (grado)
0º
20º
45º
30º
60º
90º
180º
270º 3 π 2
A(radián) sen A
−1
cos A
0
360º
Observa el ejemplo y grafica los puntos que obtuviste en la tabla anterior, tomando como abscisa el valor del ángulo en radián y como ordenada el valor de la función correspondiente. sen A 1
A −2π
−3π/2
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
2π
−1
cos A 1
A −2π
−3π/2
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
2π
−1
Actividad: 1 Conceptual Identifica puntos en el plano cartesiano.
Autoevaluación
BLOQUE 5
Evaluación Producto: Complementación de la tabla y graficas. Saberes Procedimental En el plano cartesiano, dibuja puntos de la función seno y coseno. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia los conocimientos previos de graficación de puntos y obtención de valores de la función seno y coseno.
Calificación otorgada por el docente
171
Desarrollo Como ya te habrás percatado, los puntos que graficaste en la actividad anterior tienen un comportamiento similar en la función seno y coseno, para completar su gráfica se requiere conocer la definición de círculo unitario, ya que es una herramienta muy útil en el cálculo de los valores de las funciones trigonométricas. El círculo unitario es aquel cuyo centro coincide con el origen de un sistema de coordenadas y tiene radio igual a uno. y
x
Funciones trigonométricas asociadas a la medida de un segmento. A continuación, se explicará la correspondencia que existe en el valor de las funciones trigonométricas con algunos segmentos ubicados en el círculo unitario. El triángulo que ayuda a calcular las funciones trigonométricas en cualquier cuadrante, que viste en la secuencia anterior, se puede ubicar dentro del círculo unitario, como se muestra a continuación.
y P( x, y )
A
x
Al cambiar el punto P(x, y) de posición sobre el círculo unitario, varía el ángulo y la medidas de los catetos. Por ejemplo, si se desea conocer el sen 0 o , el punto que genera al ángulo es P( 1, 0 ) , en él, la abscisa 1 corresponde al cateto adyacente y la ordenada 0, corresponde al cateto opuesto; la hipotenusa siempre será 1, debido a que es el radio del círculo unitario.
sen 0 o = sen 0 o =
cateto opuesto hipotenusa y
d 0 sen 0 o = = 0 1
172
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Si se obtiene la csc 0 o , ésta queda de la siguiente forma:
csc 0 o = csc 0 o = csc 0 o =
Recuerda que la división entre cero no está definida. Esto lo encuentras en la definición de Números Racionales.
hipotenusa cateto opuesto d y 1 0
= no existe
Actividad: 2 Analiza las coordenadas de los puntos que generan a cada uno de los ángulos, para que calcules las funciones trigonométricas faltantes y completes el siguiente cuadro. Ángulo A (grado)
Ángulo A (radián)
gráfica
sen A
cos A
tan A
cot A
sec A
csc A
y
0º
P( 1, 0 ) •
0
x
y
•
90º
1 π 2
0
no existe
P( 0,1)
x
y
180º
BLOQUE 5
π
P( − 1, 0 ) •
x
173
Actividad: 2 (continuación) Ángulo A (grado)
Ángulo A (radián)
gráfica
sen A
cos A
tan A
cot A
sec A
csc A
y
270º
3 π 2
x
• P( 0, − 1 ) y
360º
P( 1, 0 ) •
2π
x
Actividad: 2 Conceptual Reconoce las funciones trigonométricas en el círculo unitario.
Autoevaluación
Evaluación Producto: Complementación de la tabla y gráficas. Saberes Procedimental Obtiene las funciones trigonométricas utilizando las coordenadas de un punto en el círculo unitario. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Asume una actitud constructiva al realizar la actividad.
Calificación otorgada por el docente
Con el círculo unitario se puede generar la gráfica completa de cada una de las funciones trigonométricas, por ejemplo, la función seno tendrá el valor del cateto opuesto, ya que la hipotenusa es 1. En la siguiente gráfica, se observa cómo los segmentos verticales (ordenadas), corresponden al valor del seno del ángulo A. y
1 sen A
x
0
1 1 π π 6 3
1 π 2
2 π 3
5 π 6
π
7 π 6
4 π 3
3 π 2
5 11 π π 3 6
2π
A
-1 En la función coseno, la longitud de los segmentos horizontales (abscisas) corresponden al valor del cos A, por ello, en la figura se voltea el círculo unitario 90º en sentido contrario a las manecillas del reloj, para que el segmento 174
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
correspondiente a la abscisa de los triángulos rectángulos coincida con la altura del valor de la función, como se muestra en la siguiente figura: x 1 cos A
0
y
1 1 π π 6 3
1 π 2
2 π 3
5 π 6
π
7 π 6
4 π 3
3 π 2
5 11 π π 3 6
2π
A
-1
El comportamiento de las gráficas anteriores es periódico, es decir, conforme avanza la medida del ángulo, la función oscila entre – 1 y 1. Todos estos resultados los puedes verificar con la calculadora; también puedes utilizar algún software de graficación de funciones.
Sitios Web recomendados: En este sitio encontrarás un software gratis para graficar funciones, se llama Winplot. http://math.exceter.edu/rparris
Actividad: 3 En binas, investiga cómo se grafica la función tangente utilizando el círculo unitario y dibújala en el siguiente espacio
BLOQUE 5
175
Evaluación Actividad: 3
Producto: Gráfica.
Conceptual Conoce la gráfica de la función tangente.
Saberes Procedimental Dibuja la gráfica de la función tangente.
Autoevaluación
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Posee una actitud de investigador para realizar la actividad.
Calificación otorgada por el docente
Actividad: 4 Utiliza cualquier graficador para que traces las gráficas de las funciones cotangente, secante y cosecante.
176
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Evaluación Actividad: 4
Producto: Gráfica.
Conceptual Descubre la utilidad de los software de graficación.
Saberes Procedimental Utiliza software de graficación para trazar funciones trigonométricas.
C
Autoevaluación
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Valora la importancia de contar con recursos tecnológicos para la graficación de funciones trigonométricas.
Calificación otorgada por el docente
Identidades Trigonométricas fundamentales. La palabra identidad, en el sentido matemático, significa igualdad algebraica que siempre es verificable, cualquiera que sea el valor de sus variables. En trigonometría las identidades se refieren a las igualdades que se dan a partir de funciones trigonométricas, éstas tienen muchos usos, en particular, en la solución de problemas algebraicos más elevados y sus aplicaciones, ellos los encontrarás en asignaturas como Cálculo Diferencial e Integral I y II, las cuales se ofrecen en quinto y sexto semestre. Para iniciar con las identidades, recordarás la reciprocidad entre algunas de las funciones, como son: Identidades Recíprocas
sen θ ⋅ csc θ = 1 cos θ ⋅ sec θ = 1 tan θ ⋅ cot θ = 1 Éstas se pueden demostrar utilizando las definiciones de cada una de ellas.
sen θ ⋅ csc θ = 1 c. op. hip. ⋅ =1 hip. c. op. (c. op)(hip.) =1 (hip.)(c. op)
cos θ ⋅ sec θ = 1 c. ady. hip. ⋅ =1 hip. c. ady. (c. ady )(hip.) =1 (hip.)(c. ady )
tan θ ⋅ cot θ = 1 c. op. c. ady. ⋅ =1 c. ady. c. op. (c. op)(c. ady.) =1 (c. ady.)(c. op)
1= 1 1= 1 También existen otro tipo de identidades llamadas Identidades Cocientes, las cuales son:
tan θ =
sen θ cos θ
cot θ =
1= 1
cos θ sen θ
Y su demostración es la siguiente:
tan θ =
sen θ
cos θ c. op. hip. tan θ = c. ady. hip. (c. op.)(hip.) tan θ = (hip )(c. ady ) c. op. tan θ = c. ady. tan θ = tan θ BLOQUE 5
cot θ =
cos θ
sen θ c. ady. hip. cot θ = c. op. hip. (c. ady.)(hip.) cot θ = (hip )(c. op.) c. ady. cot θ = c. op. cot θ = cot θ 177
Por último se encuentran las Identidades Pitagóricas y éstas se expresan de la siguiente forma.
sen2 θ + cos 2 θ = 1 tan2 θ + 1 = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ A continuación se demostrará la primera Identidad, para ello se toma el triángulo rectángulo y se aplica el Teorema de Pitágoras.
θ
(cateto opuesto)2 + (cateto adyacente)2 = (hipotenusa )2 2
Se dividen ambos miembros de la ecuación entre (hipotenusa) y como se muestra a continuación:
(cateto opuesto)2 (hipotenusa )2
+
(cateto adyacente)2 (hipotenusa )2
2
=
(hipotenusa )2 (hipotenusa )2
2
cateto opuesto cateto adyacente hipotenusa + = hipotenusa hipotenusa hipotenusa
(sen θ)2 + (cos θ)2 2
2
=1
2
sen θ + cos θ = 1 2
2
Ahora se demostrará la identidad tan θ + 1 = sec θ , para ello se toma como base la identidad sen 2 θ + cos 2 θ = 1 y se divide ambos lados de la ecuación entre cos 2 θ , como se muestra a continuación:
sen2 θ 2
cos θ
+
cos 2 θ 2
cos θ
=
1 cos 2 θ
2
sen θ 1 cos θ + 1 = cos θ 2 2 tan θ + 1 = sec θ
2
Para demostrar 1 + cot 2 θ = csc 2 θ , de igual forma se toma como base la primera identidad pitagórica y se dividen ambos miembros de la ecuación entre sen 2 θ , como sigue:
sen 2 θ 2
sen θ
+
cos 2 θ 2
sen θ 2
=
1 sen 2 θ
cos θ 1 = 1 + sen θ sen θ 2 2 1 + cot θ = csc θ 178
2
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Las identidades trigonométricas fundamentales se utilizan para demostrar otras identidades más complejas, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Demostrar que la identidad (cos θ)(csc θ tan θ) = 1 es verdadera. Para realizar las demostraciones se utilizan las identidades trigonométricas fundamentales y procesos algebraicos básicos, como se mostrará a continuación:
Demostración
Justificación
(cos θ)(csc θ tan θ) = 1
Identidad original
sen θ =1 (cos θ ) 1 ⋅ sen θ cos θ
=1 sen θ cos θ
sen θ
(cos θ)
cos θ senθ senθ cos θ
Se convierte toda la parte izquierda a senos y cosenos, para ello se toman las identidades csc θ =
1 senθ
y tan θ =
senθ cos θ
.
Se realiza la multiplicación de fracciones dentro del paréntesis.
=1
Se eliminan paréntesis llevando a cabo la multiplicación. Como el numerador y el denominador del miembro izquierdo son iguales éste resulta ser 1, por lo tanto, queda demostrada la identidad.
1= 1
Ejemplo 2. Demostrar que la identidad
sen A csc A
+
cos A sec A
= 1 es verdadera.
Demostración
sen A csc A
+
cos A sec A
Justificación
=1
Identidad original Se convierte toda la parte izquierda a senos y cosenos, para ello
sen A cos A + =1 1 1 sen A cos A sen Asen A 1
BLOQUE 5
+
cos A cos A 1
se toman las identidades csc A =
=1
1 sen A
y sec A =
1 cos A
.
Se realiza la división en cada uno de los sumandos, esto es, aplicar la nombrada “ley de la tortilla”.
sen 2 A + cos 2 A = 1
Se lleva a cabo la multiplicación en los numeradores y se eliminan los denominadores 1.
1= 1
En el lado izquierdo quedó la primera Identidad Pitagórica, por lo tanto queda demostrada la igualdad de ambas partes.
179
Ejemplo 3. Demostrar que la identidad tan x + cot x = sec x csc x es verdadera. Demostración
tan x + cot x = sec x csc x
sen x cos x
+
cos x sen x
sen2 x + cos 2 x cos x sen x
1 cos x sen x 1 cos x
⋅
= sec x csc x
= sec x csc x
= sec x csc x
= sec x csc x
1 sen x
Identidad original Se convierte toda la parte izquierda a senos y cosenos, para ello
sen x sen x + cos x cos x cos x sen x
Justificación
= sec x csc x
se toman las identidades tan x =
sen x
y cot x =
cos x
cos x sen x
.
Se realiza la suma de las fracciones.
Se realizan las multiplicaciones en el numerador y se obtiene la primera Identidad Pitagórica.
Se remplaza el valor de la identidad.
Se separa en una multiplicación de fracciones. Por último, se sustituyen las fracciones por las Identidades
sec x csc x = sec x csc x
Recíprocas: sec x =
1 cos x
, csc x =
1 sen x
y se demuestra la
igualdad.
Sitios Web recomendados: En los siguientes sitios encontrarás interesantes aplicaciones de las funciones trigonométricas. http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/seno_coseno__explic acion.html http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/seno_grafico.html http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/FuncTrig/TrigoFunc.h tm
180
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Cierre Actividad: 5 Demostrar que son válidas las siguientes identidades trigonométricas. 1)
3)
5)
sen A 1 + cos A
=
1 − cos A
2)
sen A
sen 2 B + 2 cos 2 B + (cos 2 B)(cot 2 B) = csc 2 B
1 1 − cos X
+
1 1 + cos X
4)
= 2 csc 2 X
6)
cos B 1 + senB
1 1 − senA
csc B senB
+
=
+
1 − senB cosB
1 1 + senA
sec B cos B
= 2 sec 2 A
= sec 2 B csc 2 B
Actividad 2: 2: INSTRUCCIONES:
Evaluación Actividad: 5 Conceptual Expresa identidades trigonométricas en términos de las identidades trigonométricas fundamentales. Autoevaluación
BLOQUE 5
Producto: Demostraciones. Saberes Procedimental Demuestra identidades trigonométricas.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Actúa de manera propositiva al hacer las demostraciones y aprecia sus conocimientos previos de algebra.
Calificación otorgada por el docente
181
182
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Resuelve trigonometría III
Unidades de competencia: •
• •
Construye e interpreta modelos en los que se identifican las relaciones trigonométricas en triángulos oblicuángulos a partir de la aplicación de las leyes de senos y cosenos en la resolución de problemas que se derivan de situaciones relacionadas con la aplicación de estas leyes. Cuantifica y representa magnitudes angulares ngulares y lineales, a partir de la aplicación de las leyes de senos y cosenos. Interpreta diagramas y textos, con símbolos propios de las relaciones trigonométricas trigonométricas.
Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para proba probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confi confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con on apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 6 horas
Secuencia d didáctica 1. Ley de Senos. Inicio Actividad: 1 Realiza lo que se te pide en cada uno de los problemas. I. Lee con cuidado cada uno de los siguientes problemas. Traza el dibujo que se requiera, coloca en él los datos proporcionados y un signo de interrogación en el elemento que debes encontrar. a) Dos motociclistas parten de un mismo punto al mismo tiempo. Uno de ellos viaja directamente al Este, a una velocidad de 50 Km. por hora y el otro viaja al Noroeste con un ángulo de 45° a razón de 60 Km. por hora. Calcula la distancia que hay entre estos motociclistas al cabo de dos horas.
b) Para encontrar la anchura de un rio, un topógrafo establece los puntos A y B que están separados 61 metros en un lado del río; entonces ntonces elige un punto de referencia C opuesto a este lado del río y determina que la medida del ángulo BAC es 82º y la del ángulo ABC es de 52º. Calcula la distancia que hay del punto A al punto C.
II.
Despeja la variable indicada en cada una de las siguientes ecuaciones. a b r s , despejar b , despejar R = = sen A sen B sen R sen S
Actividad: 1 Conceptual Interpreta problemas expresados en lenguaje cotidiano para representarlos de forma icónica.
Evaluación Producto: Dibujos.
Puntaje:
Saberes Procedimental Representa problemas cotidianos, mediante ilustraciones.
Actitudinal Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios.
Realiza despejes de ecuaciones.
Identifica los despejes. C Autoevaluación
184
MC
NC
Calificación otorgada por el docente RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Desarrollo En este ste bloque se desarrollarán la L Ley de Senos y la ley de Cosenos, las cuales ayudan a resolver múltiples problemas de aplicación en los que se resuelven triángulos oblicuángulos (no rectángulos); los cuales se emplean principalmente en la construcción, específicamente en la Topología. Estas leyes se utilizan cuando se desconocen algunos elementos de los triángulos oblicuángulos; debes recordar que estos triángulos pueden ser acutángulos tángulos (sólo ángulos agudos) u obtusángulos (un ángulo obtuso). Ley de los Senos:: en todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Esta ley se describe mediante la siguiente expresión. a sen A
=
b sen B
=
c
La topografía es la ciencia que estudia el conjunto de principios y procedimientos que tienen por objeto la representación gráfica de la superficie de la Tierra, con sus formas y detalles, tanto naturales como artificiales La palabra topografía tiene como raíces topos, que significa "lugar", y grafos que significa "descripción"
sen C
Para demostrarla, se utilizará el siguiente triángulo:
Ahora se traza la altura que parte del vértice C, para establecer las proporciones entre los lados y los senos de los ángulos opuestos.
expresarse los senos de los ángulos A y B como sigue: Como resultaron dos triángulos rectángulos, pueden expresar sen B =
BLOQUE 6
h a
sen A =
h b
185
Se despeja h de ambas ecuaciones.
h = a sen B h = bsen A Ahora, se igualan las dos ecuaciones y se obtiene la primer primera parte de la ley de senos. . a sen B = b sen A a b = sen A sen B Se realiza el mismo proceso trazando ndo la altura que parte del vértice B
sen C =
f
sen A =
a
f = a sen C
f c
f = c sen A a sen C = c sen A a sen A
=
c sen C
Al igualarse los términos, se obtiene la expresión que define a la Ley de Senos. a b c = = sen A sen B sen C
Resolución de triángulos. Dependiendo de los datos proporcionados, para aplicar la Ley de Senos se debe elegir una igualdad, la cual puede ser: a sen A
=
b sen B
ó
b sen B
=
c sen C
ó
a sen A
=
c sen C
Para utilizar las proporciones ones anteriores es necesario tener una sola incógnita, de ahí que para aplicar la Ley de Senos se requiere conocer: • •
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Dos ángulos y un lado.
A continuación se ejemplificará la resolución ión de triángulos oblicuángulos, la cual consiste en obtener las medid medidas de los elementos faltantes del triángulo.
186
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Ejemplo 1. Encontrar el valor de los elementos faltantes del siguiente triángulo. Los datos que proporciona el triángulo son:
A = 77 o
55º
C = 55 o c = 80 cm Por lo tanto se elige la siguiente igualdad:
77º 80 cm
a
=
sen A
c
Recuerda que si estás trabajando con grados, debes tener tu calculadora en el modo DEG; si estás trabajando con radianes, en el modo RAD.
sen C
Con ella se puede encontrar la longitud del lado “a”, sustituyendo los datos conocidos y despejando la incógnita.
a sen 77
o
=
a=
80 cm sen 55 o
(80 cm)(sen 77 o ) sen 55 o
a = 95.16 cm Para encontrar el valor de “b”, primero se tiene que obtener la medida del ángulo B, para ello debes recordar que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º, por lo tanto:
A + B + C = 180 o B = 180 o − A − C B = 180 o − 77 o − 55 o B = 48 o De la misma forma se encuentra el valor de “b”, utilizando otra de las igualdades de la Ley de Senos.
b sen B b sen 48 o
= =
b=
c sen C 80 cm sen 55 o
(80 cm)(sen 48 o ) sen 55 o
b = 72.58 cm Por lo tanto el triángulo queda como sigue:
55º 95.16 cm
72.58 cm
77º
48º 80 cm
BLOQUE 6
187
Ejemplo 2. Calcular los elementos restantes del siguiente triángulo: Los datos que proporciona el triángulo son:
N = 108 o 28.3 km
n = 28.3 km m = 13.5 km
108º La expresión que describe a la Ley de Senos, se debe adecuar a las letras que describen el triángulo, en este caso queda de la siguiente forma:
13.5 km
l m n = = sen L sen M sen N Considerando los datos proporcionados en el triángulo, se elige la siguiente igualdad: m sen M
=
n sen N
Debes de tener cuidado al resolver los triángulos, asegúrate que las medidas estén en las mismas unidades, si no, haz las conversiones correspondientes.
Con ella se puede encontrar el valor del ángulo M
13.5 km sen M
28.3 km
=
sen M =
sen 108 o
(13.5 km)(sen108 o ) 28.3 km
sen M = 0.4537 M = sen −1 (0.4537) M = 26.98 o Como ya se tienen dos ángulos, se calculará el tercero con la diferencia a 180º. L + M + N = 180 o
L = 180 o − M − N L = 180 o − 26.98 o − 108 o L = 45.02 o Ahora se aplicará la igualdad
l sen L
=
n sen N
, para encontrar el valor del lado “l”. l sen L l
sen 45.02 o
= =
l=
n sen N 28.3 km sen 108 o
(28.3 km)(sen 45.02 o ) sen 108 o
l = 21.04 km 26.98º
Por lo tanto, los valores encontrados en el triángulo quedan como sigue:
28.3 km
21.04 km 108º
45.02º
13.5 km 188
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Ejemplo 3. Resolver el triángulo oblicuángulo cuyos datos son: R = 41o 31′ 48 ′′ , S = 105 o 22 ′48 ′′ y t = 5 p lg . La Ley de Senos para este triángulo se expresa de la siguiente forma: r s t = = sen R sen S sen T Al ver los datos proporcionados, se deduce que se debe obtener el ángulo T, porque en cualquiera de las opciones de igualdad quedan dos incógnitas. Así que el ángulo T queda:
R + S + T = 180 o T = 180 o − R − S T = 180 o − 41o 31′ 48 ′′ − 105 o 22 ′48 ′′ T = 33 o 5 ′24 ′′ Ahora se encontrará el valor de “r”. r sen R r o
sen 41 31′ 48 ′′
= =
r=
t sen T 5 p lg . sen 33 o 5 ′24 ′′
(5 p lg .)(sen 41o 31′ 48 ′′) sen 33 o 5 ′24 ′′
r = 6.07 p lg . Para hallar la longitud de “s”, se sustituye la siguiente igualdad. s sen S s sen 105 o 22 ′48 ′′
= =
s=
t sen T 5 p lg . sen 33 o 5 ′24 ′′
(5 p lg .)(sen 105 o 22 ′48′′) sen 33 o 5 ′24 ′′
s = 8.83 p lg . El triángulo con las medidas de todos sus elementos se visualiza en la siguiente figura.
6.07 p lg . 33o 5′24′′ 105 o 22′48′′
5 p lg . 41o 31′ 48′′
8.83 p lg .
. BLOQUE 6
189
Actividad: 2 Resuelve los siguientes tri triángulos para encontrar los elementos ementos faltantes, una vez resuelto, haz un bosquejo del triángulo con las medidas de todos los elementos. 1)
190
a = 15 m , B = 45° y C = 60 °
2)
d = 65 cm , E = 50° y F = 73°
3)
p = 7 ft , Q = 30 ° y R = 110°
4)
a = 4 cm , A = 35 ° y C = 44°25 ′
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Actividad: 2 (continuación) 5) b = 70 m , B = 42°10 ′ y C = 59°30 ′
6) p = 31.5 m , q = 24.4 m y P = 57 .22 °
7) b = 96 km , c = 62 km y C = 37 °15'
8) f = 325 m , g = 445 m y G = 110.45°
BLOQUE 6
191
Actividad: 2 Conceptual Identifica la Ley de Senos, así como los elementos necesarios para la resolución de triángulos oblicuángulos. Autoevaluación
Evaluación Producto: Resolución de triángulos Puntaje: y sus trazos. Saberes Procedimental Actitudinal Distingue los elementos Aprecia la utilidad de la Ley de necesarios para aplicar la Ley de Senos para la resolución de Senos en la resolución de triángulos oblicuángulos. triángulos oblicuángulos. C MC NC Calificación otorgada por el docente
Aplicación de la Ley de Senos. Ejemplo 1. Un corral de ganado tiene forma triangular, dos de sus lados miden 80 y 45 m respectivamente. Si el ángulo opuesto al lado de 80 m es de 56º15’, ¿cuál es el perímetro del corral? B
80 m
45 m 56º 15’ A
C
Para resolver el problema se dibuja el triángulo y se asignan letras mayúsculas a los vértices, las cuales corresponden también a los ángulos. Para calcular el perímetro se requiere conocer la longitud del lado “b”. Debido a los datos proporcionados, sólo se puede obtener el ángulo C y posteriormente obtener el ángulo B. Los datos son: A = 56 o 15 ′ , a = 80 m y c = 45 m . Para obtener el ángulo C, la igualdad que se utiliza es la siguiente:
a c = sen A sen C 80 m o
sen 56 15 ′
=
sen C =
45 m sen C
(45 m)(sen 56 o15′) 80 m
sen C = 0.4677 C = sen −1 0.4677 C = 27 o 53 ′6 ′′ El ángulo B se obtiene:
A + B + C = 180 o B = 180 o − A − C B = 180 o − 56 o15′ − 27 o 53 ′6 ′′ B = 95 o 51′ 54 ′′ Ahora se aplica la siguiente igualdad para encontrar “b“. a b = sen A senB
80 m o
sen 56 15′
=
b=
b sen 95 o 51′ 54′′
(80 m)(sen 95 o 51′ 54′′)
sen 56 o15′ b = 95.71 m
192
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Por lo tanto, el perímetro del terreno queda:
P = 80 m + 45 m + 95.71m P = 220.71m Ejemplo 2. Desde lo alto de un faro, una persona observa dos barcos y mide los ángulos de depresión de ambos, los cuales son de 54 o 5 8 ′48 ′′ y 30 o 6 ′36 ′′ , respectivamente; si los barcos están separados 46 m, ¿a qué altura se encuentra la persona? 30 o 6′36′′
Para calcular la altura a la que se encuentra la persona, se tiene que obtener primero la distancia entre ella y el primer barco, para formar un triángulo rectángulo que se resolverá mediante funciones trigonométricas.
54 o 58′48′′
46 m
Para empezar a hacer los cálculos, se nombran los vértices, como se observa en la siguiente figura:
A
La medida del ángulo A se obtiene de restar los dos ángulos de depresión; por otro lado, la medida del ángulo C es igual al ángulo de depresión del barco más lejano, puesto que son alternos internos. Por lo que los datos obtenidos para aplicar la ley de Senos es: A = 24 o 52 ′12 ′′ C = 30 o 6 ′36 ′′ a = 46 m
24 o 52′12′′
h
30 o 6′36′′
B
46 m
C
Al aplicar la Ley de Senos se obtiene:
a c = sen A sen C 46 m c = o sen 24 52 ′12 ′′ sen 30 o 6 ′36 ′′ c=
(46 m)(sen 30 o 6 ′36 ′′)
sen 24 o 52 ′12 ′′ c = 54.87 m La distancia obtenida es la hipotenusa del siguiente triángulo, en el cual se encontrará la altura a la que está la persona. A
sen 54 o 58′ 48 ′′ =
h 54.87 m
h = (54.87 m) sen 54 o 58′ 48 ′′
(
)
h
54.87 m
h = 44.94 m 54 o 58′48′′
Por lo tanto la altura a la que se encuentra la persona a nivel del mar es de 44.94 m. BLOQUE 6
B 193
Cierre Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. 1. Desde un punto A se observa un avión en pleno vuelo con un ángulo de 50º20’, 50º20 mientras que desde un punto B, separado 10 km del primero, se observa el mismo avión con un ángulo de 78º35’.’. ¿A qué distancia se encuentra el avión de ambos puntos?
194
2.
La diagonal nal de un paralelogramo mide 8 m y forma con los lados,, ángulos de 25° y 73°. Calcula las dimensiones de los lados.
3.
Un teleférico transporta pasajeros desde lo alto de un cerro a la base, ésta se encuentra separada 625 m del pie del cerro; si el ángulo de elevación del teleférico es de 25º y la colina tiene un ángulo de inclinación con respecto a la horizontal de 65º, calcula la altura del cerro.
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Actividad: 3 (continuación) 4.
Alfredo inicia su viaje en automóvil y se desplaza a 68 km por una carretera, con dirección de 45º al Noreste; luego, decide dar vuelta en una carretera que forma un ángulo de 85º con la primera dirección al Sureste y avanza 156 km más, para detenerse a comer en un restaurante. ¿A qué distancia se encuentra de su casa casa?
5.
Un avión viaja de la ciudad de Hermosillo a México. En su trayectoria se encuentra una fuerte tormenta que lo hace virar 35º hacia el norte y recorrer 125 km. Luego hace otro giro de 113º y se dirige hacia el curso original. Calcula la distancia que el avión recorrió de más y el ángulo que debe girar para continuar su trayectoria original.
Actividad: 3 Conceptual Identifica los elementos necesarios para aplicar la Ley de Senos en problemas cotidianos.
Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la Ley de Senos en la resolución de problemas.
C Autoevaluación
BLOQUE 6
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Valora la importancia de la Ley de Senos para solucionar problemas teóricos o prácticos que involucren triángulos no rectángulos.
Calificación otorgada por el docente
195
Secuencia didáctica 2 2. Ley de cosenos cosenos. Inicio Actividad: 1 problemas.. Lee con cuidado cada uno de los siguientes problemas I. Traza el dibujo correspondiente, colocando en él los datos proporcionados y un signo de interrogación en el elemento que debes. 1. Un poste forma un ángulo de 82° con el piso y está sostenido por una viga de 20 mts. de longitud. La viga va desde el borde del poste e hasta el piso, formando un ángulo de 55° con éste. Calcula la distancia que hay entre el poste y la base de la viga.
2. Un árbol se encuentra sobre una colina que forma un ángulo de 16° respecto a la horizontal y proyecta una sombra de 18m de largo hacia arriba de la colina. Si el ángulo de elevación del sol mide 68°, ¿cuál es la altura del árbol?
2
2
2
II. Despeja T de la ecuación: t = r + s − 2rs cosT
III. Desarrolla el siguiente binomio: (x − 2y)
Actividad: 1 Conceptual Identifica puntos en el plano cartesiano.
Evaluación Producto: Complementación de la tabla y graficas. graficas.. Saberes Procedimental Dibuja puntos en el plano cartesiano de la función seno y coseno. C
Autoevaluación
196
2
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia los conocimientos previos de graficación de puntos y obtención de valores de la función seno y coseno.
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Desarrollo En la secuencia anterior se describió la utilidad de la Ley de Senos y Cosenos en diversas situaciones de la vida cotidiana. Como habrás observado, el uso de la Ley de Senos está restringido a aquellas situaciones en las que se conocen: • •
Dos lados y el ángulo opuesto a alguno de ellos. Dos ángulos y un lado.
Si los elementos conocidos del triángulo son otros, entonces se debe aplicar la Ley de Cosenos, la cual establece lo siguiente: Ley de Cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman. Y se describe mediante la siguiente fórmula.
a 2 = b2 + c 2 − 2bc cosA Para su demostración se utilizará el siguiente triángulo.
Ahora se trazan las proyecciones con los ejes a partir del vértice B, como se muestra a continuación:
y
-x
Si se visualiza el triángulo rectángulo ADB, se pueden establecer las siguientes relaciones: sen A =
y
cos A =
c
−x c
Al despejar “x” y “y”, se obtiene:
y = c senA
x = −c cosA
Así que se puede expresar la figura sustituyendo sus valores, como sigue: c sen A
–c cos A
BLOQUE 6
197
Ahora se aplica el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo CDB y se realiza el proceso algebraico correspondiente para eliminar los paréntesis. 2
a 2 = (c senA) + (− c cosA + b)
2
2
a 2 = c 2 sen2 A + (− c cosA) + 2(− c cosA)(b) + (b)
2
a 2 = c 2 sen2 A + c 2 cos2 A − 2cbcosA + b2 Posteriormente se factorizan los primeros términos del lado derecho, puesto que tiene en común a c2.
a 2 = c 2 sen2 A + cos2 A − 2cbcosA + b2
(
2
)
2
Como sen A + cos A = 1, se tiene:
a 2 = c 2 − 2cbcosA + b2 Y acomodando los términos se obtiene la Ley de Cosenos.
a 2 = b2 + c 2 − 2cbcosA Recuerda que el resultado que estás obteniendo es la longitud del lado al cuadrado, ya que para encontrar el resultado correcto tienes que aplicar la raíz cuadrada.
Observa que si se considera el ángulo con una medida de 90° la fórmula de la Ley de Cosenos se reduce al Teorema de Pitágoras debido a que cos 90°= 0.
Dependiendo del elemento que se desea encontrar, la Ley de Cosenos puede variar en su forma; para encontrar los lados del triángulo se encuentran estas tres opciones:
a 2 = b2 + c 2 − 2cbcosA b2 = a 2 + c2 − 2accosB c2 = a 2 + b2 − 2abcosC
Para encontrar los ángulos, se despeja el coseno en cada una de ellas, por ejemplo, para conocer el ángulo A se despeja la primera opción. a 2 = b 2 + c 2 − 2cb cos A
2cb cos A = b 2 + c 2 − a 2 b2 + c2 − a 2 2cb Por último se aplica el inverso de coseno para encontrar el ángulo A. cos A =
b2 + c2 − a 2 A = cos−1 2cb Y para hallar los ángulos restantes se tendrían las opciones: a 2 + c 2 − b2 B = cos −1 2ac
a 2 + b2 − c 2 C = cos−1 2ab
Las condiciones para utilizar la Ley de Cosenos son conocer: • •
198
Dos lados y el ángulo entre ellos. Los tres lados.
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Resolución de triángulos. Para encontrar elementos faltantes en triángulos oblicuángulos, a continuación se utilizará la Ley de Cosenos. Ejemplo 1. Para encontrar los elementos faltantes del siguiente triángulo, se debe elegir la fórmula de la Ley de Cosenos, dependiendo de los datos proporcionados. 2
2
2
Se elige c = a + b − 2abcosC , debido a que los elementos conocidos son: a =4 b = 3
C = 60 o
60º
Se sustituyen los valores conocidos en la fórmula y se realizan los cálculos correspondientes. c 2 = 4 2 + 3 2 − 2(4)(3) cos 60 o
c 2 = 16 + 9 − 12 c 2 = 13
c = 13 c ≈ 3.6 Para encontrar el valor de cualquiera de los ángulos restantes se podría aplicar la Ley de Senos, ya que se tiene los lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, pero se seguirá resolviendo con las fórmulas de la Ley de Cosenos, para ejemplificar mejor su uso. Ahora, se encontrará el valor del ángulo A, utilizando la siguiente fórmula. b2 + c 2 − a 2 A = cos −1 2cb 3 2 + 3 .6 2 − 4 2 A = cos −1 2(3 )(3.6 ) A = cos −1 [0.2759 ] A = 73.98 o = 73 o 58′48′′ El ángulo B se obtiene de la diferencia de los ángulos A y C con 180º.
A + B + C = 180 o B = 180 o − A − C B = 180 o − 73 o 58′48′′ − 60 o B = 46 o 1′ 12′′ El triángulo queda de la siguiente forma:
46º 1’12’’
3.6
73º58’48’’
BLOQUE 6
60º
199
Ejemplo 2. Dados los tres lados del triángulo, encontrar sus ángulos. Se puede empezar obteniendo cualquiera de los tres ángulos, así que se elige P para iniciar. q2 + r 2 − p2 P = cos −1 2qr 24.2 2 + 16.5 2 − 9.512 P = cos −1 2(24.2 )(16.5 ) −1 P = cos [0.9610] P = 16.05 o = 16 o 3′
Ahora se aplica la siguiente fórmula para encontrar el valor de R. p 2 + q2 − r 2 R = cos −1 2pq La mayoría de los resultados obtenidos en estas dos leyes, son aproximados, así que dependiendo del número de decimales que aproximes es el resultado que obtienes.
9.512 + 24.2 2 − 16.5 2 R = cos −1 2(9.51)(24.2 ) −1 R = cos [0.8773 ] R = 28.68 o = 28 o 40 ′48 ′′ Para encontrar el último ángulo se aplica la diferencia de los ángulos obtenidos con 180º.
P + Q + R = 180 o Q = 180 o − P − R Q = 180 o − 16 o 3′ − 28 o 40′48′′ Q = 135 o 16 ′12′′
Sitios Web recomendados: Ingresa al siguiente sitio para que practiques tus conocimientos sobre las leyes de Senos y Cosenos. http://www.scribd.com/doc/6973282/Ley-de-Senos-y-Cosenos Navega por internet para que encuentres páginas interesantes de estos temas y los compartas con tus compañeros.
200
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Actividad: 2 Bosqueja la gráfica de cada uno de los triángulos con los elementos dados y encuentra los elementos faltantes. 1)
b = 10, c = 13 y A = 135°
2)
d = 22, e = 12 y F = 47°
3)
k = 45, m = 23 y N = 95°
4)
b = 143, c = 75 y A = 56°
BLOQUE 6
201
Actividad: 2 (continuación) 5) a = 9.6, b = 16.1 y c = 12.2
6)
r = 3, s = 4 y t = 5
7)
u = 5.6, v = 9.2 y w = 7.1
8)
h = 53.7, i = 34.5 y j = 22.7
Actividad: 2 Conceptual Identifica la Ley de Cosenos, así como los elementos necesarios para la resolución de triángulos oblicuángulos. Autoevaluación
202
Evaluación Produc Producto: Resolución de triángulos Puntaje: y sus trazos. Saberes Procedimental Actitudinal Distingue los elementos Aprecia la utilidad de la Ley de necesarios para aplicar la Ley de Cosenos para la resolución de Cosenos en la resolución de triángulos oblicuángulos. triángulos oblicuángulos. C MC NC Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Aplicación de la Ley de Cosenos. Es muy importante que aprendas a visualizar los triángulos de un problema aplicado, que analices con detenimiento la información y que al trazar el dibujo seas congruente con la información proporcionada en los problemas. A continuación se ejemplifican varios problemas para que vayas visualizando los dibujos y aplicando la Ley de Cosenos. Ejemplo 1. Un barco navega 600 millas hacia el Noreste y luego 1100 millas hacia el Este. Calcula la distancia desde su punto de partida hasta el punto final. N 1100 millas
B 45º
Cuando un problema use Puntos Cardinales y se refiera a dos de ellos, como es Noreste, sin proporcionar ángulo, se toma el ángulo a la mitad de ellos, es decir, 45º del Norte hacia el Este.
600 millas Para facilitar el manejo de los datos en la fórmula, se abrevia millas (mi). Los datos son:
O
E
a = 1100 mi c = 600 mi B = 135 o
S
Se elige la fórmula sustituyen los valores conocidos y se realizan los cálculos correspondientes. 2
b2 = a 2 + c2 − 2accosB , se
2
b 2 = (1100 mi) + (600 mi) − 2(1100 mi)(600 mi) cos 135 o b 2 = 1210000 mi2 + 360000 mi2 − − 933380.95 mi2
(
2
b = 2503380.95 mi
)
2
b = 2503380.95 mi2 b = 1582.21 mi Por lo tanto, la distancia entre el punto donde inició el barco y donde terminó, es de aproximadamente 1582.21 millas.
Ejemplo 2. Alfonso se encuentra en un globo aerostático a 2500 m de altura (punto A). Beatriz lo observa desde un punto B, y a 4254 m de ella, se encuentra Carlos observando el globo en el punto C; si el ángulo de elevación de Beatriz al globo es de 39°,¿cuál es la distancia entre Alfonso y Carlos? Como los datos proporcionados no son suficientes para resolver el triángulo oblicuángulo, primero se procederá a aplicar la función seno al triángulo rectángulo que se forma con Alfonso y Beatriz, para luego calcular la distancia que hay entre ellos.
A
2500 m 39º BLOQUE 6
B
4254 m
C
203
sen 39 o = c=
2500 m c 2500 m
sen 39 o c = 3972.54 m Ahora sí se puede aplicar la Ley de Cosenos para encontrar la distancia entre Alfonso y Carlos, puesto que los valores conocidos son: a = 4254 m c = 3972 .54 m B = 39 o
Se sustituye en la fórmula, se realizan las operaciones correspondientes y se despeja.
b2 = a 2 + c2 − 2accosB 2
2
b 2 = (4254 m) + (3972.54 m) − 2(4254 m)(3972.54 m) cos 39 o b 2 = 7611323.05 m2 b = 7611323.05 m2 b = 2758.86 m La distancia entre Alfonso y Carlos es de aproximadamente 2758.86 m.
Ejemplo 3. Un futbolista se prepara para meter un gol a la portería; si la portería mide 7.32 m y el futbolista se encuentra a 5.53 m del primer poste y a 7.85 m del segundo poste, ¿cuál es su ángulo de tiro?
De acuerdo a los datos, el ángulo que se busca es el B, por lo que la fórmula a utilizar es:
a 2 + c2 − b2 B = cos −1 2ac (5.53 m)2 + (7.85 m)2 − (7.32 m)2 B = cos −1 2(5.53 m)(7.85 m) B = cos −1 [0.4448]
7.32 m
B = 63.58 o = 63 o 35 ′14 ′′ 7.85 m
5.53 m Por lo tanto, el ángulo de tiro del futbolista es de 63 o 35 ′14 ′′ .
204
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Cierre Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. 1.
Dos personas caminan desde las esquinas opuestas de una cuadra hacia un punto en la banqueta de enfrente. El ángulo que forman sus trayectorias es de 37°. Una de las personas recorre 30 m. y la otra recorre 45m. Obtén la longitud de la cuadra de donde part partieron ieron.
2.
Dos motociclistas parten de un mismo punto al mismo tiempo. Uno de ellos viaja directamente al Este, a una velocidad de 50 Km. por hora y el otro viaja hacia al Noroeste con un ángulo de 45° a razón de 60 Km. por hora. Calcula la distancia que hay entre los motociclistas motociclistas, al cabo de dos horas.
3.
Dos lados adyacentes de un paralelogramo miden 34 y 48 cm respectivamente, y el ángulo comprendido entre ellos mide 72°. Encuentra la longitud de la diagonal mayor.
4.
Los lados adyacentes de un paralelogramo miden 13.5 y 15.5 cm. Si la mayor de las diagonales mide 23.5 cm. ¿Cuál es la longitud de la diagonal menor?
BLOQUE 6
205
Actividad: 3 (continuación) 5. En una circunferencia de radio 8.3 cm. ¿Cuánto mide el ángulo del centro que sostiene una cuerda de 3.9 cm?
6.
Tres circunferencias, cuyos radios respectivos miden 110, 160 y 223 pies pies, son tangentes exteriores entre sí, ¿qué ángulos se forman al unirse los centros de las circunferencias?
7.
Un grupo de aves al migrar avanzan 800 km al sur, se desvían en un ángulo de 60º al sureste para recorrer otros 460 km. ¿A qué distancia se e encuentran de su punto de partida?
Actividad: 3 Conceptual Identifica los elementos necesarios para aplicar la Ley de Cosenos en problemas cotidianos.
Evaluación Produc Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la Ley de Cosenos en la resolución de problemas.
C Autoevaluación
206
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Valora la importancia de la Ley de Cosenos para solucionar problemas teóricos o prácticos que involucren triángulos no rectángulos.
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE TRIGONOMETRÍA III
Aplica la estadística elemental
Unidad de competencia: • • •
Construye e interpreta modelos que representan fenómenos o experimentos de manera estadística, aplicando las medidas de tendencia central y de dispersión. Cuantifica y representa magnitudes mediante tablas y gráficas de información proveniente de diversas fuentes. Interpreta y comunica la información contenida en tablas y gráficas.
Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 10 horas
Secuencia didáctica 1. Tablas de frecuencias. Inicio Actividad: 1 Realiza lo que se te indica en cada uno de los siguientes cuestionamientos. 1. Los siguientes datos representan las edades de los niños que acuden a primer grado de Catecismo en la Iglesia del Sagrado Corazón de Jesús. Calcula el promedio de las edades del grupo de niños. 7, 9, 8, 9, 10, 8, 7, 9 2. Analiza la siguiente gráfica y responde los cuestionamientos posteriores.
Utilidades del puesto de raspados de la familia Martínez en el 2004
Utilidaes (pesos)
1200 1000 800 600 400 200
En e Fe r o br er M o ar zo Ab ri M l ay o Ju nio Ju A lio S e gos t pt ie o m b O c re No tu br vi e e Di m b ci re em br e
0
Mes
a)
¿En qué mes se presentó la mayor utilidad?
b)
¿Durante qué mes se presentó el mayor crecimiento en la utilidad?
c)
¿Durante qué mes se presentó la mayor disminución en la utilidad?
d)
¿Qué sucedió en el mes de Noviembre?
e)
¿Durante qué mes parece no haber cambio en las utilidades?
Actividad: 1 Conceptual Identifica el promedio de un conjunto de datos y reconoce el comportamiento de una gráfica.
Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental Obtiene el promedio de un conjunto de datos y analiza el comportamiento de una gráfica.
Puntaje: Actitudinal Aprecia sus conocimientos sobre el cálculo de promedios. Muestra interés en la realización de la actividad.
Autoevaluación
208
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Desarrollo Conceptos básicos. En la vida diaria se presentan, en ocasiones, algunas situaciones en las que es necesario obtener información mediante encuestas o investigaciones y analizarla mediante la utilización de gráficas, porcentajes, promedios, etc., con el fin de tomar la decisión más acertada respecto a un problema que se presente. La herramienta que ayuda a lograr lo anterior, es la Estadística; se puede decir entonces que la Estadística es el conjunto de técnicas que se utilizan para la recopilación, organización y análisis de datos, con el fin de obtener conclusiones acerca de ellos. La Estadística se puede utilizar en una gama muy amplia de disciplinas, algunos ejemplos de sus aplicaciones son los siguientes:
Ejemplo 1. Una empresa muy importante que fabrica productos para la limpieza del hogar, tiene en mente la elaboración de un limpiador en crema para el baño, cuyo costo es elevado, por lo que el precio al público sería muy alto. La compañía desea saber si las amas de casa estarían dispuestas a pagarlo, a cambio de los beneficios que les daría. El responsable de la decisión aplica una encuesta en la localidad que le ayuda a decidir, con previo análisis de las respuestas, si es conveniente o no lanzar al mercado el producto nuevo.
Ejemplo 2. Un médico especialista en enfermedades neurológicas tiene un paciente diagnosticado con una enfermedad que puede ser atacada con un medicamento administrado de tres formas diferentes; esto obliga al médico a investigar otros casos similares reportados por sus colegas. Después de analizar las respuestas obtenidas con los diferentes tratamientos, decide cuál utilizar con su paciente.
Ejemplo 3. Un biólogo realiza varios experimentos bajo diferentes condiciones, con el fin de observar el comportamiento en el crecimiento de una colonia de bacterias. Para esto se auxilia de gráficas y porcentajes con el fin de analizar y presentar los resultados obtenidos.
Ejemplo 4. Las autoridades del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora planean semestralmente el número de grupos que habrá en los distintos planteles, analizando los datos obtenidos en semestres anteriores, revisando el número total de alumnos, las materias reprobadas, la deserción escolar, etc.
Ejemplo 5. El dueño de una gran cadena de tiendas, para ofrecer una promoción a sus clientes, consulta algunas efectuadas con anterioridad, y analizando los resultados, puede decidir cuál sería la más conveniente.
BLOQUE 7
209
La Estadística se puede utilizar en dos formas, principalmente. Una de ellas, se encarga de obtener un conjunto de datos, de organizarlos, de analizarlos y de presentarlos en forma de gráficas, porcentajes, etc. En este caso, se está aplicando la Estadística Descriptiva que, como su nombre lo indica, ayuda a describir los datos obtenidos para analizarlos y obtener resultados de nuestro interés. En otras ocasiones, el objeto de estudio es tan numeroso, que es prácticamente imposible recolectar la totalidad de los datos, es por ello que se toma sólo una parte, y se obtienen conclusiones que son válidas para todos, auxiliándose de la probabilidad. Esta estrategia es llamada Estadística Inferencial. En este bloque se abordarán temas elementales de la Estadística Descriptiva. Cuando se dice cuál será el objeto de estudio, se refiere a que las personas, animales o cosas que se analizan, constituyen la población física, y los datos que se obtienen de ella, forman la población estadística. Si la población es muy grande, el estudio generalmente se lleva a cabo con una parte de ella, y es cuando se toma una muestra, la cual debe ser representativa para obtener resultados confiables, y para ello, sus elementos deben ser elegidos al azar. La característica de la población física que se requiere analizar, recibe el nombre de variable. Las variables se dividen en dos, según el tipo de datos que se obtengan: numéricas y categóricas. Las variables numéricas son aquéllas que arrojan datos numéricos, como pueden ser: mediciones de cualquier tipo y conteos, entre otros. Una variable numérica puede ser discreta o continua. En la variable discreta se obtienen sólo valores puntuales, como el número de integrantes de las familias de los alumnos de primer semestre del Cobach “Profr. Ernesto López Riesgo”; otro ejemplo puede ser el número de calzado que utilizan las alumnas del mismo plantel, la cual es una variable discreta, pues sólo toma los valores 2, 2.5, 3, 3.5, 4, etc. En cambio, si la variable puede tomar teóricamente cualquier valor, se dice que es una variable continua; un ejemplo de este tipo de variable es cuando se llega a un récord de las temperaturas registradas en Puerto Peñasco diariamente durante un año, se pueden obtener 32.7°C y 32.8°C, pero teóricamente, podría obtenerse 32.75°C utilizando un termómetro más preciso; se puede además preguntar su peso en kilos a los integrantes del equipo de básquetbol, y según la balanza que se utilice, los pesos pueden ser tan exactos como se desee. Si los datos que se obtienen son cualitativos, entonces la variable es una variable categórica, nombre que recibe debido a que se pueden agrupar en categorías. Como ejemplo podemos mencionar el tipo de música favorita de cada uno de los alumnos del grupo 503 Matutino del Cobach “San Luis Río Colorado”: POP, ROCK, BALADAS, RAP, etc. Otro ejemplo puede ser la complexión física de los profesores del Cobach “Huatabampo”: Delgada, Mediana, Gruesa.
210
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Actividad: 2 Escribe en la línea el tipo de variable de que se trata en cada uno de los siguientes enunciados. 1. La altura de los árboles de la calle principal de una ciudad.______________________________.
2. El partido político por el cual votaron los sonorenses en la última elección a Gobernador del Estado.__________________________________.
3. La talla de blusa (CH, M, G, XG) de las madres de familia de la Escuela Primaria “Francisco I. Madero”.________________________________________________.
4. El número de exámenes de regularización que han presentado los alumnos de Estadística Inferencial desde el primer semestre.______________ _____________________.
5. La hemoglobina medida a los enfermos internados en un hospital.______________________________.
6. El nivel del agua de la Presa Abelardo L. Rodríguez. __________ ____________________
7. El tipo de sangre de los alumnos del Plantel Nuevo Hermosillo del Colegio de Bachilleres. ___________________________
8. Los modelos de autos de la empresa Ford. _______________ ___________________
9. Los tipos de tornillos fabricados por una industria. ___________ _________________
10. La temperatura registrada durante Peñasco.___________________________.
Actividad: 2 Conceptual Identifica los tipos de variables en problemas comunes.
Autoevaluación
BLOQUE 7
el
año
pasado
Evaluación Producto: Problemas prácticos. Saberes Procedimental Ubica el tipo de variable en problemas de la vida cotidiana.
C
MC
NC
en
la
Ciudad
de
Puerto
Puntaje: Actitudinal Atiende las instrucciones con interés y realiza la actividad con entusiasmo.
Calificación otorgada por el docente
211
Representación de datos. Una vez obtenida la información, es necesario elegir la forma de ordenar los datos para su análisis e interpretación; una de ellas es organizarlos en tablas o cuadros que permitan conocer la información más relevante para su estudio. Para que una tabla sea un buen instrumento de información, es necesario que se indique claramente cuál es el objeto de estudio, incluyendo las unidades en las cuales se mide la variable. Las categorías en las que se agrupen los datos deben ser excluyentes, es decir, un elemento de la población física no puede estar ubicado en dos o más categorías a la vez. Para ejemplificar lo anterior, a continuación se muestra un estudio sobre la matrícula de estudiantes en las diferentes carreras del Área de Ciencias e Ingeniería de la Universidad de Sonora. Los datos se muestran en la siguiente tabla.
Matrícula en las diferentes carreras del Área de Ciencias e Ingeniería de la Universidad de Sonora. Carrera
Número de alumnos
Ingeniero Civil
40
Ingeniero Minero
76
Licenciado en Matemáticas
54
Licenciado en Física
43
Ingeniero Químico
89
Ciencias de la Computación
127
Geólogo
79
Ingeniero en Electrónica
53
Como se puede observar, en esta tabla se indica, mediante un título y de manera clara, cuál es el objeto de estudio; así mismo, la primera columna contiene las categorías, que en este caso, son las carreras que ofrece la Universidad de Sonora; la segunda presenta la cantidad de alumnos que están inscritos en cada una de las carreras. Cuando se tienen datos provenientes de una variable numérica, se pueden presentar de manera individual y separados por comas, o utilizando lo que se conoce como frecuencia. La frecuencia representa el número de veces que se presenta el mismo dato, por ejemplo, si se estudia la medida de los tallos de cierta planta, y el dato 6 centímetros tiene frecuencia 4, esto quiere decir que hubo 4 tallos que midieron 6 centímetros. La manera de presentar los datos dependerá principalmente de la cantidad de ellos, ya que si es un grupo muy numeroso, prácticamente es imposible su manejo de manera individual. Se pueden manejar dos maneras de presentar los datos: de forma individual y mediante tablas de frecuencias. A continuación se proporcionan dos ejemplos en donde se puede visualizar esto. Ejemplo 1. Los datos presentados corresponden a la estatura de los siete hijos de un matrimonio, medida en centímetros: 128 132 136 136 139 143 147 Como se puede observar, es una cantidad pequeña de datos y sólo un dato es el que se repite, por lo que es conveniente manejarlos tal y como se presentaron.
212
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Ejemplo 2. El grupo 502 vespertino del Plantel Magdalena del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, cuenta con 50 alumnos, a cada uno de ellos se le preguntó el número de hermanos, obteniéndose los siguientes datos: 1 4 2 2
6 1 1 3
2 2 7 0
4 6 0 1
6 2 6 4
5 5 3 1
8 1 1 0
3 8 5 2
0 1 2 3
1 0 0 1
5 2 1 2
2 1 4
1 4 1
Debido a que es una gran cantidad de datos, es recomendable resumirlos, especificando qué datos y cuántos de ellos se presentaron, utilizando la frecuencia. Así, se forma la siguiente tabla: Número de hermanos de los alumnos del grupo 504 vesp. Plantel Magdalena del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Número de hermanos
Frecuencia ( f )
0 1 2 3 4 5 6 7 8
6 14 10 4 5 4 4 1 2
Total
50
Con esta tabla, se pueden visualizar mejor los datos, observando fácilmente qué datos se obtuvieron y cuáles se presentaron con mayor o menor frecuencia. También se pueden analizar los datos en forma numérica, mediante las medidas descriptivas.
Medidas descriptivas. Las medidas descriptivas son números que se utilizan, tal como su nombre lo indica, para describir el conjunto de datos con el que se cuenta y se obtienen a partir de ellos mismos, llevando a cabo ciertos cálculos. Las medidas descriptivas son de dos tipos: de tendencia central y de dispersión. •
Medidas de tendencia central. Están dadas por un dato representativo de todos los datos, con él se puede indicar hacia donde se concentran la mayoría de los valores. Las más utilizadas son la media aritmética (o promedio), la mediana y la moda.
•
Medidas de dispersión. Aunque éstas también son números, no representan a los datos, sino que indican qué tan separados o dispersos se encuentran. Mientras más grande sea este número, más dispersos estarán los datos, concluyendo con ello, que hay una variación más grande conforme el número sea mayor. Las más comunes son el rango, la varianza y la desviación estándar o típica, estas dos últimas, proporcionan la variación de los datos respecto a la media aritmética.
BLOQUE 7
213
Las medidas descriptivas descriptivas para datos individuales. Medidas de tendencia central. I. La media aritmética ( x ). Representa lo que comúnmente se conoce como promedio. Su fórmula está dada por: ∑x x= n Donde: x : representa a cada uno de los datos. ∑ : significa “suma de” los datos. n : es el número total de datos. Ejemplo 1. Obtener la media aritmética de los siguientes datos: 128, 132, 136, 136, 139, 143, 147
x=
128 + 132 + 136 + 136 + 139 + 143 + 147 961 = 7 7
x = 137.29 II.
La mediana ( ~ x ). Es el dato que se encuentra exactamente en la posición de en medio, cuando los datos están ordenados. Si se tiene una cantidad par de datos, entonces habrá dos datos que compartan la posición media; en este caso, se obtendrá el promedio de ellos. A continuación se ejemplificará la obtención de la mediana de dos conjuntos de datos. Ejemplo 1. Número impar de datos. 128, 132, 136, 136 , 139, 143, 147 Posición media
~ x = 136 Ejemplo 2. Número par de datos: 10, 13, 14, 15 , 16 , 18, 20, 21 Posición media
15 + 16 ~ x= 2 ~ x = 15.5 III. La moda ( ˆx ). Es el dato más frecuente, es decir, es el que más se repite. En un mismo conjunto de datos, puede suceder que no exista moda, que exista una moda (unimodal) o que existan varias modas (multimodal). A continuación se ejemplifica la obtención de la moda para dos conjuntos de datos. Ejemplo 1. Datos: 128, 132, 136, 136, 139, 143, 147
ˆx = 136 Datos: 10, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21 ˆx no existe
214
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Medidas de dispersión. I. Rango. Es el número que resulta de la resta entre el dato mayor y el menor, e indica la distancia que hay entre ellos. Ejemplo 1. Obtener el rango para el conjunto de datos: 128, 132, 136, 136, 139, 143 y 147 128 132 136 136 139 143 1471 Rango = Dato mayor – Dato menor Rango = 147 – 128
Rango = 19 II.
Varianza ( s 2 ). Es el número que se obtiene a partir del promedio de los cuadrados de las distancias entre cada dato y la media aritmética. 2 ∑( x − x ) s2 = n Ejemplo 1. Obtener la varianza del conjunto de datos: 128, 132, 136, 136, 139, 143 y 147
(128 - 137.29)2 + (132 - 137.29)2 + (136 - 137.29)2 + (136 - 137.29)2 + (139 - 137.29)2 + (143 - 137.29)2 + (147 - 137.29)2
s2 = 2
=
7 86.30 + 27.98 + 1.66 + 1.66 + 2.92 + 32.60 + 94.28 7
247.43 s2 = 7
s2 = 35.35 III. Desviación estándar ( s ). Es la raíz cuadrada de la varianza. 2
s=
∑(x − x) n
Ejemplo 1. Continuando con el conjunto del ejemplo anterior, la desviación estándar queda: s = 35 .35 s = 5.95
Para mostrar la importancia de las medidas de dispersión, se analizará el caso de un estudiante cuyo promedio en Matemáticas en los cuatro semestres fue 80; esta información no es suficiente, pues no se sabe cuál fue el comportamiento de sus calificaciones en cada semestre, este mismo promedio pudo obtenerse de diferentes grupos de calificaciones, como por ejemplo, 80, 80, 80, 80, o también, 60, 70, 90, 100. Entonces se puede decir que las medidas de dispersión complementan la información dada por las medidas de tendencia central.
BLOQUE 7
215
Actividad: 3 Pide a tus padres los recibos de la luz del periodo de la tarifa de verano del año pasado y del periodo sin tarifa de verano, forma dos conjuntos de datos, y obtén de cada uno de ellos las medidas descriptivas. Analiza la información obtenida y comenta los resultados en clase.
Actividad: 3 Conceptual Identifica las medidas descriptivas para datos individuales provenientes de su hogar. Autoevaluación
216
Evaluación Producto: Investigación Saberes Procedimental Realiza la investigación para obtener medidas descriptivas, y éstas lo llevan a realizar un análisis e interpretación de la problemática. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Valora las medidas descriptivas como una herramienta de análisis de una problemática de su hogar.
Calificación otorgada por el docente
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Las medidas descriptivas para datos en tablas de frecuencias. Medidas de tendencia central. I. Para calcular la media aritmética ( x ) se puede adecuar la fórmula de la media de datos individuales, para utilizarla con frecuencias ya que, si se tiene una gran cantidad de datos en los que algunos se repiten, la suma se vuelve tediosa de manejar. Por ejemplo, si el dato 4 tiene frecuencia 7, la suma correspondiente es 4+4+4+4+4+4+4; esta operación se puede resumir como (4)(7), haciendo más sencillo el trabajo. De esta manera, la fórmula queda: ∑f x x= ∑f Donde: x : representa a cada uno de los datos distintos. f : es la frecuencia de cada dato distinto. ∑ : representa “la suma de” los datos.
II.
La mediana ( ~ x ) se debe encontrar en medio de todos los datos, hay que recordar que los datos presentados en tabla de frecuencias no se presentaron sólo una vez, y ésta se utiliza para resumirlos. Por ello, se debe localizar la mediana tomando en cuenta las frecuencias, ya que éstas dan la posición de los datos como realmente se presentaron, por lo que se debe localizar la posición media, dividiendo entre dos la cantidad total de datos. Si se tiene una cantidad impar de datos, al dividir entre dos, se obtiene exactamente la posición de la mediana (no la 75 = 37.5 ≈ 38 , entonces la mediana se encuentra en la posición número mediana), por ejemplo, para 75 datos: 2 38. Si se tiene una cantidad par de datos, se obtienen dos de ellos en medio, por ejemplo, para 80 datos: 80 = 40 , entonces la mediana se obtiene considerando los datos que están en las posiciones número 40 y 41. 2
III. Para localizar la moda ( ˆx ), primero se busca la frecuencia mayor, pues esto significa que el dato correspondiente fue el que más se repitió. Hay que recordar que se pueden presentar varias modas. Ejemplo 1. Obtener las medidas de tendencia central de la siguiente información: Número de hermanos de los alumnos del grupo 504 vesp. Plantel Magdalena del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
BLOQUE 7
Número de hermanos (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Frecuencia (f) 6 14 10 4 5 4 4 1 2
Total
50
217
Ahora x representa a cada uno de los datos distintos que se presentaron. De esta manera, la media es: x= x= x=
(6 )(0) + (14)(1) + (10)( 2) + ( 4)(3) + (5)( 4) + ( 4)(5) + (4)(6) + (1)(7) + ( 2)( 8) 6 + 14 + 10 + 4 + 5 + 4 + 4 + 1+ 2 0 + 14 + 20 + 12 + 20 + 20 + 24 + 7 + 16 50 133 50
x = 2.66 50
= 25 , 2 y como es un número par de datos, se requiere elegir los dos datos intermedios, así que se toman los datos que se encuentren en la posición número 25 y 26, esto se hace sumando las frecuencias hasta alcanzar el dato que se busca. Para obtener la mediana se debe localizar el dato intermedio, para ello se divide el total de datos entre dos
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Número de alumnos ( f ) 6 14 10 4 5 4 4 1 2
Total
50
Número de hermanos
6+14+10=30
Por lo tanto, la mediana es:
2+2 ~ x= 2 ~ x =2 Dado que los dos datos que se encuentran en la posición 25 y 26 son el mismo, 2. La moda es:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Número de alumnos ( f ) 6 14 10 4 5 4 4 1 2
Total
50
Número de hermanos
Frecuencia mayor
ˆx = 1 218
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Medidas de dispersión. I. Al igual que en el caso anterior, el rango se obtiene mediante la diferencia entre el dato mayor y el dato menor, en el rango las frecuencias no intervienen, pues sólo se trata de encontrar la distancia existente entre el dato mayor y el menor, sin importar el número de veces que se hayan presentado. En la varianza ( s 2 ), para utilizar las frecuencias de cada uno de los datos distintos que se presentaron, la fórmula se adecua de la siguiente manera:
II.
2
s2 =
III.
∑ f( x − x ) ∑f
La desviación estándar ( s ) se obtiene mediante la raíz cuadrada de la varianza: 2
∑ f( x − x ) ∑f
s=
Ejemplo 1. Utilizando la misma tabla de frecuencias del ejemplo anterior, las medidas de dispersión quedan de la siguiente forma. El rango es: Rango = 8 – 0
Rango = 8 La fórmula de la varianza se desarrolla de la siguiente manera: 2
s2 =
∑ f( x − x ) ∑f
6(0 − 2.66)2 + 14(1 − 2.66)2 + 10(2 − 2.66)2 + 4(3 − 2.66)2 + 5(4 − 2.66)2 s2 = 2
s =
+ 4(5 − 2.66)2 + 4(6 − 2.66)2 + 1(7 − 2.66 )2 + 2(8 − 2.66 )2 6 + 14 + 10 + 4 + 5 + 4 + 4 + 1 + 2 42.45 + 38.58 + 4.36 + 0.46 + 8.98 + 21.90 + 44.62 + 18.84 + 57.03 50
237.22 s = 50 2
s 2 = 4.74
Y por último la desviación estándar resulta: s=
4 .74
s = 2.18
Una forma muy rápida y sencilla de encontrar los valores de la media y la desviación estándar de un conjunto de datos, ya sean individuales o en distribución de frecuencia, es mediante el uso del estadístico de la calculadora, pero, debido a la diversidad de marcas, sería complicado exponerlo en el presente módulo de aprendizaje. Si tienes interés en utilizarlo, coméntalo con tu profesor.
BLOQUE 7
219
Actividad: 4 Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos. 1. Del siguiente conjunto de datos 6, 9, 3, 12, 10, 9, 7; calcula: a) La media aritmética.
b) La moda.
c) La mediana.
d) El rango.
e) La varianza.
f)
La desviación estándar.
2. Calcula la desviación estándar de los datos 42, 41, 38, 37, 35, 33, 30, 29, 27 y 24, los cuales representan las edades de los hermanos Valenzuela.
3. La siguiente tabla de frecuencias representa la medida de cintura, en pulgadas enteras, de 60 alumnas de una institución. Número de alumnas Cintura (plg) (f) 24 4 25 12 26 14 27 16 28 8 29 4 30 2 a) Calcula la medida promedio, la mediana y la moda.
b) Calcula la varianza y la desviación estándar.
220
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Actividad: 4 (continuación) 4. La siguiente tabla representa la calificación de la materia de Matemáticas 1 de un grupo de alumnos de secundaria.
4
No. de alumnos (f) 3
5
6
Calificación
6
9
7
16
8
12
9
5
10
3
a) Calcula la calificación promedio.
b) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo 8 de promedio?:
c) Calcula el porcentaje de alumnos que aprobaron la materia.
d) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo calificaciones de 8 a 10?
Actividad: 4 Conceptual Identifica las medidas descriptivas de datos numéricos y en tablas de frecuencias. Autoevaluación
BLOQUE 7
Evaluación Producto: Problemas aplicados. Saberes Procedimental Obtiene las medidas descriptivas de datos numéricos individuales y en tablas de frecuencias. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Valora las medidas de tendencia central y de dispersión como herramientas para el análisis de la información.
Calificación otorgada por el docente
221
Representación gráfica. A continuación se describirán las gráficas más usadas para representar datos, para ello, se eligió la tabla de frecuencias que se formó a partir de una encuesta realizada a 100 mujeres embarazadas, a las que se les preguntó el número de veces que asisten al ginecólogo durante el periodo de embarazo, y la información recabada es:
3 4 5 6 7 8 9 10
No. de mujeres ( f) 5 9 11 13 12 25 16 9
Total
100
Número de veces
Las gráficas que se describirán a continuación son: 1. Gráfica de líneas. Número de veces que asisten al médico las mujeres embarazadas. 30
Número de mujeres
25
20
15
10
5
0 3
4
5
6
7
8
9
10
Número de veces que asisten al médico.
Para dibujar la gráfica de líneas, se utiliza un eje horizontal en el cual se marcan los distintos datos que se presentaron y el eje vertical es una escala para las frecuencias. La escala debe hacerse cuidando que exista la misma distancia entre las marcas y los ejes deben contener toda la información necesaria, como se muestra en la gráfica, el eje vertical describe qué tipo de datos son. Para elaborar la gráfica de líneas, se localiza la frecuencia correspondiente al dato presentado y marcamos un punto a esa altura. Una vez dibujados todos los puntos, se unen con segmentos de recta. 222
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
2. Gráfica de barras. Número de veces que asisten al médico las mujeres embarazadas. 30
Número de mujeres
25
20
15
10
5
0 3
4
5
6
7
8
9
10
Número de veces que asisten al médico.
Los ejes se dibujan al igual que la gráfica de líneas, para formar las barras, éstas deben estar centradas sobre la marca del dato y con una altura igual a la frecuencia presentada. Las barras deben estar separadas entre sí y además, tener todas la misma anchura.
3. Gráfica circular. Número de veces que acuden al médico las mujeres embarazadas. 9%
3
5%
9%
16%
4 11%
5 6 7
13% 25%
12%
8 9 10
Para elaborar la gráfica, se considera que el círculo representa el 100 % de los datos, entonces se debe calcular la parte del círculo que corresponde a cada una de las frecuencias que se presentaron, utilizando la regla de tres simple. La gráfica circular debe indicar los datos y sus porcentajes correspondientes.
BLOQUE 7
223
En Estadística también se pueden aprovechar los adelantos tecnológicos, como los paquetes informáticos, en este caso, mediante la Hoja de Cálculo Excel se puede trazar la gráfica. Puedes solicitar asesoría a los profesores de Informática de tu plantel.
Interpretación de medidas y gráficas. De nada sirven las medidas descriptivas si no se interpretan y se obtienen conclusiones a partir de los datos obtenidos, como por ejemplo, las medidas descriptivas del problema del número de hermanos de los alumnos del grupo 504 vespertino del Plantel Magdalena del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora fueron las siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Media: x = 2.66 Mediana: ~ x =2 Moda: ˆx = 1 Rango: 8 Varianza: s 2 = 4.74 Desviación estándar: s = 2.18
Como se había mencionado antes, la media, moda y mediana, son los datos que representan a la población, y por lo general se concentran en medio de todos los datos; ahora bien, el rango, la varianza y la desviación estándar son números qué determinan que tan dispersos están los datos. Por ejemplo, lo que dicen las medidas descriptivas de este problema es que en promedio los alumnos del grupo 504 vespertino en promedio, tienen 2 hermanos, ello se observa con la media aritmética, y se apoya con la mediana, la moda no está muy lejos de ésta, por lo general se usa la media para las interpretaciones. En cuanto a la variabilidad de los datos, el rango no dice mucho en cuanto a cómo están dispersos, pero sí de la separación entre el dato más grande y el más pequeño. La desviación estándar determina en promedio, la distancia entre los datos y la media es de 2.18. La varianza se utiliza sólo para obtener la desviación estándar. Esta información ayuda a imaginarse cómo están los datos cuando no se poseen. Las gráficas ayudan mucho en la visualización, y complementan la información de las medidas descriptivas. La gráfica de barras de este problema es:
Número de alumnos
Número de hermanos de los alumnos del grupo 504 vesp. del Plantel Magdalena del Colegio de Bachilleres
Número de hermanos Si se ubica la media en la gráfica y se dibuja la desviación estándar, se encontrará lo siguiente: 224
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Número de alumnos
Número de hermanos de los alumnos del grupo 504 vesp. del Plantel Magdalena del Colegio de Bachilleres
Número de hermanos s = 2 .18
s = 2 .18
x = 2.66 Como puede verse, la media se ubica de forma que equilibra los datos y la desviación estándar es la distancia a la que se encuentran la mayoría de los datos de la media, así que si se poseen las medidas descriptivas, se tendrá una idea de cómo están distribuidos los datos, aunque no se conozcan. Además, en la gráfica se aprecia mejor el dato de mayor y menor frecuencia, en ella se observa que, el tener un un hermano fue el dato que más se repitió y también, es alta la frecuencia de los alumnos que son hijos únicos; sólo un alumno tiene 7 hermanos. La mayoría de los alumnos tienen menos de 3 hermanos.
Actividad: 5 Localiza información estadística (medidas descriptivas y gráficas) de diversas fuentes, como son: periódicos, revistas, sitios oficiales, etc. y preséntalas en la clase, para hacer un análisis de la misma.
Actividad: 5 Conceptual Identifica información estadística en diferentes fuentes de información.
Autoevaluación
BLOQUE 7
Evaluación Producto: Recortes de información. Saberes Procedimental Analiza e interpreta la información estadística de diferentes fuentes de información.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Formula juicios de la información obtenida. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Calificación otorgada por el docente
225
Cierre Actividad: 6 Resuelve los siguientes ejercicios: 1.
2.
Calcula la media, moda y mediana de las siguientes cantidades: 74, 81, 68, 95, 82, 80, 74, 66, 72.
Las calificaciones finales que obtuvo un alumno (elegido al azar) de primer semestre del Plantel Prof. Ernesto López Riesgo del Colegio de Bachilleres son: MATERIA
CALIFICACIÓN
Geografía
70
Química 1
55
Introducción a las Ciencias Sociales
85
Taller de Lectura y Redacción 1
68
Matemáticas 1
24
Lengua Adicional al Español 1
71
Informática 1
65
Calcula: El promedio general del semestre.
La mediana y la moda.
La desviación media, la desviación estándar y la varianza.
226
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Actividad: 6 (continuación) 3.
La siguiente lista de datos pertenece al coeficiente intelectual de un grupo de 10 personas: 130, 125, 130, 120, 122, 120, 115, 110, 115, 130. Calcula el coeficiente intelectual promedio del grupo.
4.
En la industria Rivermer se producen diferentes artículos eléctricos. En el área de control de calidad se llevó a cabo una prueba con 20 focos de 100 Watts, los cuales tuvieron una vida útil en horas de: 850
980
850
890
830
890
890
880
980
810
880
850
810
890
880
890
890
930
880
980
a) Representa los datos en una tabla de frecuencias.
BLOQUE 7
227
Actividad: 6 (continuación) b) Calcula las medidas de tendencia central y de dispersión, de la tabla de frecuencias anterior.
5.
Con los datos incluidos en el ejercicio anterior, realiza una de las gráficas (barras, líneas o circular) e interpreta las medidas descriptivas y la misma gráfica.
Actividad: 6 Conceptual Identifica las medias de tendencia central y de dispersión, para datos representados en tablas de frecuencia. Autoevaluación
228
Evaluación Producto: Problemas aplicados.. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Elabora tablas de frecuencia para Valora las medidas descriptivas obtener las medidas de tendencia como herramientas central y de dispersión, con el fin indispensables para el análisis de de describir, analizar e interpretar información. información. C MC NC Calificación otorgada por el docente
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Secuencia didáctica 2. Distribución de frecuencias. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se te pide a continuación. 1. ¿En qué situaciones has utilizado la Estadística?
2. ¿Has realizado alguna encuesta anteriormente?, si es así, ¿En qué consistía?
3. Diseña 10 preguntas que se relacionen con alguna problemática de tu colonia, en donde las respuestas sean numéricas. 1)___________________________________________________________________________________ 2)___________________________________________________________________________________ 3)___________________________________________________________________________________ 4)___________________________________________________________________________________ 5)___________________________________________________________________________________ 6)___________________________________________________________________________________ 7)___________________________________________________________________________________ 8)___________________________________________________________________________________ 9)___________________________________________________________________________________ 10)__________________________________________________________________________________
Actividad: 1 Conceptual Identifica las variables numéricas que requieren agruparse en distribuciones de frecuencias. Autoevaluación
BLOQUE 7
Evaluación Producto: Diseño de variables. Saberes Procedimental Analiza la problemática de su entorno para diseñar variables numéricas.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Toma conciencia de las problemáticas de su entorno para proponer preguntas que pueden ser consideradas en una encuesta.
Calificación otorgada por el docente
229
Desarrollo Distribución de frecuencias. Como se observa en la secuencia anterior, en algunos casos es necesario representar los datos de forma individual o en tablas de frecuencias. Si el número de datos es grande y el rango es muy amplio, es recomendable agruparlos de manera diferente. Una forma de agruparlos es ubicándolos en distribuciones de frecuencias, éstas son tablas que tienen datos agrupados en intervalos o clases, a continuación se muestra una distribución de frecuencias para que visualices la forma que tiene; posteriormente, se explicará cómo se elabora. Calificación del examen de admisión de 80 aspirantes a la carrera de Geología de la Universidad de Sonora. Calificación 30 – 39
f 4
40 – 49 50 – 59
9 13
60 – 69 70 – 79
19 15
80 – 89 90 – 99
13 7
Datos agrupados en intervalos también llamados clases.
Número de datos que están dentro del intervalo, conocido como frecuencia.
A continuación se muestra cómo se construye la distribución de frecuencias anterior. Ejemplo 1. Un grupo de 80 estudiantes presentó un examen de admisión para ingresar a la Carrera de Geología en la Universidad de Sonora. En este caso la calificación del examen es la variable. Las calificaciones obtenidas por los estudiantes son las siguientes:
88 60 77 54 74 89 76 45
230
68 57 94 39 53 47 65 65
67 59 74 84 42 85 73 64
77 73 69 55 35 65 66 48
91 50 52 98 55 61 35 85
66 78 41 81 33 94 41 58
80 71 63 72 55 96 68 73
71 57 46 67 82 91 53 83
8 5 6 7 7 8 6 7
6 9 4 4 9 5 4 2
41 82 98 61 80 62 60 43
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Para tener una idea de la variabilidad de los datos es necesario identificar la calificación mayor y la menor, para calcular el rango de la variable; en la información anterior es difícil identificarlos a simple vista, por lo que es recomendable ordenarlos de forma ascendente como se muestra a continuación.
33 35 35 39 41 41 41 42
43 45 46 47 48 50 52 53
53 54 55 55 55 57 57 58
59 59 60 60 61 61 62 63
64 64 64 65 65 65 66 66
67 67 68 68 69 71 71 72
72 73 73 73 74 74 74 76
77 77 78 79 80 80 81 82
8 8 8 8 8 8 8 8
2 3 4 5 5 5 6 8
89 91 91 94 94 96 98 98
Para agrupar los datos en intervalos o clases, es necesario desarrollar el siguiente procedimiento: 1. Calcular el número de intervalos. No existen normas establecidas para determinar el número de intervalos; sin embargo, así que la bibliografía1 sugiere que se tomen de 7 a 15 intervalos. Una de las formas para determinar el número de intervalos consiste en utilizar la regla de Sturges, la cual se enuncia como sigue: No . de int ervalos = 1 + 3 .3 log (n )
“n” es el número de datos, debiéndose aproximar este resultado al número impar más cercano. Aplicando la regla de Sturges en el ejemplo anterior No . de int ervalos = 1 + 3 .3 log ( 80 ) = 7 .28 ≈ 7
Imagina qué tan grande quedaría acomodar cada uno de los datos en una tabla de frecuencias…
Entonces, el número de intervalos más apropiado es de 7.
2. Obtener el rango. Al igual que los datos de la secuencia anterior, el rango es la diferencia entre el dato mayor y menor. Rango= 98 – 33 Rango = 65 3. Encontrar la amplitud del intervalo. Es recomendable que la amplitud (anchura) de los intervalos sea la misma, en este caso tampoco existe alguna regla que determine cuál debe ser la amplitud exacta, pero se tomarán intervalos no muy angostos ni muy amplios, considerando que si aumenta el número de intervalos disminuye la amplitud y viceversa. Para determinar la amplitud (a), se utiliza:
a=
rango No. de intervalos
y así la amplitud es:
a=
65
= 9.28 ≈ 10 7 Como te habrás dado cuenta, se aproximó al siguiente número, si no se hace de esta forma, corremos el riesgo de obtener el último intervalo de una amplitud mayor a la deseada para poder incluir a todos los datos. 4. Hacer la distribución de los datos en cada intervalo, para encontrar la frecuencia de los mismos. 1
Yamane T. BLOQUE 7
231
Se acostumbra iniciar el primer intervalo con el dato menor, pero hay flexibilidad en la elección, ya que ésta depende del origen de los datos. En este caso se mostrarán dos posibles formas de agrupar los datos y notarás cuál es la mejor. PROPUESTA I
PROPUESTA II
Clases
Clases
33 – 42
30 – 39
43 – 52
40 – 49
53 – 62
50 – 59
63 – 72
60 – 69
73 – 82
70 – 79
83 – 92
80 – 89
93 – 102
90 – 99
En el último intervalo de la propuesta I se observa que sobrepasa la calificación de 100, que es la máxima en un examen; además, la interpretación final de los datos sería un poco más complicada en comparación con la elección de la propuesta II, ya que ésta permite determinar cuántos alumnos aprobaron el examen, por lo que resulta ser la más apropiada. Utilizando la propuesta II, y observando los datos ordenados al inicio del ejemplo, se distribuye la información en cada intervalo, de manera que si un dato se incluye en un intervalo, se excluye de los demás y así se obtiene la representación de cada intervalo con su respectiva frecuencia, como se muestra a continuación. Calificación 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
No. de alumnos //// //// //// //// //// /// //// //// //// //// //// //// //// //// //// /// //// //
Frecuencias 4 9 13 19 15 13 7
5. Expresar los datos en la distribución de frecuencias. Distribución de frecuencias para la calificación de los estudiantes Calificación 30 – 39
232
f 4
40 – 49
9
50 – 59 60 – 69 70 – 79
13 19 15
80 – 89
13
90 – 99
7
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Ejemplo 2. Los datos de la tabla representan el número de horas que 100 empleados del Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS) trabajaron por semana.
36 36 32 35 41 32 41 30 22 43
32 28 35 35 10 29 41 45 48 19
30 39 48 33 23 28 43 31 32 24
36 36 28 31 39 29 42 43 31 36
28 33 17 55 36 45 24 37 52 27
26 23 23 38 37 38 42 40 42 28
40 40 42 40 34 37 34 36 40 41
33 40 20 10 23 15 28 28 32 41
28 37 37 44 25 36 26 40 40 38
39 39 41 33 39 40 38 39 16 39
41 41 41 41 41 41 42 42 42 42
43 43 43 44 45 45 48 48 52 55
Se ordenan los datos para facilitar la construcción de la distribución de frecuencias.
10 10 15 16 17 19 20 22 23 23
23 23 24 24 25 26 26 27 28 28
28 28 28 28 28 28 29 29 30 30
31 31 31 32 32 32 32 32 33 33
33 33 34 34 35 35 35 36 36 36
36 36 36 36 36 37 37 37 37 37
38 38 38 38 39 39 39 39 39 39
39 40 40 40 40 40 40 40 40 40
A continuación se presenta el proceso de construcción de la distribución de forma más simplificada. 1. Calcular el número de intervalos. Aplicando la regla de Sturges se tiene: No . de int ervalos = 1 + 3 .3 log ( 100 ) = 7 .6 ≈ 7
2. Obtener el rango. El rango de la variable es 55 – 10 = 45
3. Encontrar la amplitud del intervalo.
a=
45 7
= 6.42 ≈ 7
4. Construir la distribución de frecuencias. Jornada semanal 10 – 16 17 – 23 24 – 30 31 – 37 38 – 44 45 – 51 52 – 58
BLOQUE 7
f 4 8 18 30 34 4 2
233
¿Recuerdas la importancia de las medidas descriptivas en el estudio de un problema? Sin ellas, es difícil entender el comportamiento de los datos y lo es aún más cuando los datos se presentan en una gran cantidad y de manera muy variada. En esta secuencia, como en la anterior, se calculará únicamente la media, mediana y moda. Para hacer los cálculos, se requiere establecer otras definiciones, como son: Límites del intervalo. Son los números que determinan al intervalo y éstos se componen de límites inferiores, que son los números con los que empieza cada intervalo, y límites superiores, o aquellos números con los que termina cada intervalo. Límites reales (LR). Son los puntos mínimos y máximos que puede tener, en forma teórica, un intervalo o clase. Éstos se obtienen mediante un promedio del límite superior de un intervalo y el límite inferior del intervalo siguiente. El límite real de un intervalo es al mismo tiempo límite superior real del intervalo anterior. Marca de clase (mc): Es el dato que representa a todos aquéllos que están dentro de un mismo intervalo. Este dato se obtiene mediante un promedio de los límites inferior y superior de cada intervalo, y queda ubicado en el punto medio del mismo. Frecuencia acumulada (fa). Indica la cantidad de datos que se han presentado hasta ese momento y se obtiene sumando o acumulando las frecuencias anteriores a la frecuencia de intervalo presente. A continuación se ejemplificarán las definiciones anteriores. Ejemplo 1. Se tomará la distribución de frecuencias de las calificaciones del examen de admisión de 80 aspirantes a la carrera de Geología de la Universidad de Sonora. Distribución de frecuencias para la calificación de los estudiantes Calificación 30 – 39 40 – 49 50 – 59
f 4 9 13
60 – 69
19
70 – 79
15
80 – 89
13
90 – 99
7
Cada intervalo está delimitado por los límites inferior y superior, los límites inferiores correspondientes a esta distribución de frecuencias son los números 30, 40, 50, 60, 70, 80 y 90, por otra parte, los límites superiores son 39, 49, 59, 69, 79, 89 y 99. Como se había mencionado con anterioridad, la marca de clase es el dato intermedio de cada intervalo, por lo que se obtiene sumando los límites inferior y superior de cada clase y dividiendo por 2. Por ejemplo la marca de clase del intervalo 80 – 89 es: 80 + 89 mc = = 84.5 2 También los límites reales se obtienen a partir de los promedios de los límites superior de la clase anterior y el límite superior de la clase, como por ejemplo, la clase 60 – 69 tiene límite real inferior 59.5, puesto que se toma el límite superior anterior y el límite inferior de la clase para obtener el promedio.
LR inf =
234
59 + 60 2
= 59.5
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
El límite real superior es 69.5, debido a que se toma el límite superior de la clase y el límite inferior de la clase siguiente. 69 + 70 LR sup = = 69.5 2 Por lo que los límites reales de la clase 60 – 69 son 59.5 – 69.5. Por lo tanto, la distribución de frecuencias queda de la siguiente forma: Intervalo 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
f 4 9 13 19 15 13 7 f ∑ = 80
mc 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
LR 29.5 – 39.5 39.5 – 49.5 49.5 – 59.5 59.5 – 69.5 69.5 – 79.5 79.5 – 89.5 89.5 – 99.5
fa 4 13 26 45 60 73 80
Como notarás, la última columna está formada por la frecuencia acumulada. A cada clase se le suman las frecuencias anteriores, como por ejemplo, en la tercera clase la frecuencia acumulada es 26, la cual está formada por la suma de 4 + 9 + 13: todas las frecuencias anteriores. Al final de la columna de la frecuencia encontrarás expresada la suma de todas las frecuencias, la cual debe coincidir con el total de calificaciones proporcionadas por el problema.
Puedes utilizar tus conocimientos de Excel para que los cálculos sean más rápidos.
A continuación se proporcionarán las fórmulas para calcular las medidas descriptivas, las cuales se obtienen a partir de la distribución de frecuencias en la cual se incluyen la marca de clase y la frecuencia acumulada.
Medidas descriptivas para distribuciones de frecuencia. Medidas de tendencia central. I.
Para obtener la media aritmética se toman como datos las marcas de clase, las cuales, como se había mencionado con anterioridad, son los datos representativos de cada clase y, para calcularla se utiliza la siguiente fórmula: ∑ f mc x= ∑f
II.
La mediana de una distribución de frecuencias es el valor numérico que divide a la distribución en dos partes iguales; para encontrar este valor es necesario recurrir al método de interpolación lineal, y se expresa mediante la siguiente fórmula: ∑ f − fa ant ~ Pregunta a tu x = LR inf + 2 (a ) f profesor en qué consiste el método donde: LRinf: es el límite real inferior del intervalo de la mediana. faant: es la frecuencia acumulada anterior al intervalo de la mediana. a: es la amplitud del intervalo.
de interpolación lineal, para que entiendas la estructura de la fórmula.
f: es la frecuencia del intervalo de la mediana.
∑ f : es la sumatoria de las frecuencias de la distribución. BLOQUE 7
235
III.
Es difícil determinar el valor de la moda de forma visual, porque en la distribución de frecuencias se puede ver cuál es el intervalo más frecuente, sin embargo, no se puede establecer cuál es el dato más frecuente. Para determinar el valor de la moda, es necesario primero localizar el intervalo donde se encuentra, de tal forma, que se considera aquélla que tiene mayor frecuencia. Una vez localizado el intervalo, la moda en una distribución de frecuencias se obtiene mediante el método de interpolación lineal, de manera que la fórmula para obtener este valor está dada por: da ˆx = LR inf + (a ) da + dp donde: LRinf: es el límite real inferior del intervalo de la moda. da: es la diferencia de la frecuencia del intervalo de la moda y la frecuencia anterior. dp: es la diferencia de la frecuencia del intervalo de la moda y la frecuencia posterior. a: es la amplitud del intervalo o clase.
Ejemplo 1. Tomando la distribución de frecuencia de las calificaciones del examen de admisión de los 80 alumnos aspirantes a la carrera de Geología de la Universidad de Sonora. Intervalo 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
f 4 9 13 19 15 13 7
mc 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
LR 29.5 – 39.5 39.5 – 49.5 49.5 – 59.5 59.5 – 69.5 69.5 – 79.5 79.5 – 89.5 89.5 – 99.5
fa 4 13 26 45 60 73 80
∑ f = 80 La media aritmética es:
x=
(4)(34.5) + (9)(44.5) + (13)(54.5) + (19)(64.5) + (15)(74.5) + (13)(84.5) + (7)(94.5) 80
x = 66.88 Para determinar cuál es el valor de la mediana, se tiene que localizar el lugar en el que se sitúa, en medio de los datos, para ello, se divide el total de datos entre dos, por lo que sería ubicar el 40vo. dato, éste se localiza mediante la frecuencia acumulada, así que sería dentro del intervalo 60 – 69, porque aquí están acumulados del 27vo. al 45vo. dato, como se muestra en la tabla.
~ x
Intervalo 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69
f 4 9 13
mc 34.5 44.5 54.5
LR 29.5 – 39.5 39.5 – 49.5 49.5 – 59.5
fa 4 13 26
19
64.5
59.5 – 69.5
45
70 – 79 80 – 89 90 – 99
15 13 7
74.5 84.5 94.5
69.5 – 79.5 79.5 – 89.5 89.5 – 99.5
60 73 80
∑ f = 80 236
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Por lo tanto, se toman los datos provenientes de esta clase o intervalo, para desarrollar la fórmula. 80 − 26 ~ x = 59 .5 + 2 (10 ) 19 ~ x = 66.87 Para calcular la moda en la distribución de frecuencias de las calificaciones, primero se tiene que ubicar el intervalo donde estaría, para ello se elige el intervalo más frecuente y con base en la información que posea esa clase, se eligen los datos para desarrollar la fórmula.
ˆx
Intervalo 30 – 39 40 – 49 50 – 59
f 4 9 13
mc 34.5 44.5 54.5
LR 29.5 – 39.5 39.5 – 49.5 49.5 – 59.5
fa 4 13 26
60 – 69
19
64.5
59.5 – 69.5
45
70 – 79
15
74.5
69.5 – 79.5
60
80 – 89
13
84.5
79.5 – 89.5
73
90 – 99
7
94.5
89.5 – 99.5
80
∑ f = 80 La moda queda determinada de la siguiente forma:
ˆx = LR inf + da = 19 – 13 = 6 dp = 19 – 15 = 4
da (a ) da + dp
ˆx = 59.5 +
6 6+4
(10)
ˆx = 65.5
Ejemplo 2. Ahora se obtendrán las medidas de tendencia central para la distribución de frecuencias de las horas laboradas semanalmente por los empleados del IMSS.
BLOQUE 7
Jornada semanal
f
10 – 16
4
17 – 23
8
24 – 30
18
31 – 37
30
38 – 44
34
45 – 51
4
52 – 58
2
237
La distribución de frecuencias aumentada con las columnas de marca de clase, límites reales y frecuencia acumulada, se visualiza de la siguiente forma: Jornada semanal
f
mc
LR
fa
10 – 16
4
13
9.5 – 16.5
4
17 – 23
8
20
16.5 – 23.5
12
24 – 30 31 – 37 38 – 44
18 30 34
27 34 41
23.5 – 30.5 30.5 – 37.5 37.5 – 44.5
30 60 94
45 – 51
4
48
44.5 – 51.5
98
52 – 58
2
55
51.5 – 58.5
100
∑ f =100 La media aritmética queda:
x=
(4)(13) + (8)(20) + (18)(27) + (30)(34) + (34)(41) + (4)(48) + (2)(55) 100
x = 34.14
Como son 100 datos, la mediana se localiza en la cuarta clase, puesto que en ella se concentran del 31vo. dato al 60vo. dato, como se muestra a continuación.
Jornada semanal 10 – 16 17 – 23 24 – 30
f 4 8 18
mc 13 20 27
LR 9.5 – 16.5 16.5 – 23.5 23.5 – 30.5
fa 4 12 30
31 – 37
30
34
30.5 – 37.5
60
38 – 44
34
41
37.5 – 44.5
94
45 – 51
4
48
44.5 – 51.5
98
52 – 58
2
55
51.5 – 58.5
100
~ x
∑ f =100 El valor de la mediana es: ~ x = LR inf +
∑ f − fa 2
f
ant
(a )
100 − 30 2 ~ x = 30.5 + (7 ) 30
~ x = 35.17
238
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
La ubicación de la moda es la quinta. clase, ya que es la más frecuente.
ˆx
Jornada semanal 10 – 16 17 – 23 24 – 30 31 – 37 38 – 44
f 4 8 18 30
mc 13.5 20.5 27.5 34.5
LR 9.5 – 16.5 16.5 – 23.5 23.5 – 30.5 30.5 – 37.5
fa 4 12 30 60
34
41.5
37.5 – 44.5
94
45 – 51
4
48.5
44.5 – 51.5
98
52 – 58
2
55.5
51.5 – 58.5
100
∑ f =100 da = 34 – 30 = 4 dp = 34 – 4 = 30
ˆx = 37.5 +
4 4 + 30
(7)
ˆx = 38.32
Medidas de dispersión. De forma similar a los datos representados por medio de tablas de frecuencias, se pueden calcular las medidas de dispersión de datos agrupados. Al igual que las medidas de tendencia central, se debe representar a cada intervalo mediante la marca de clase correspondiente, de manera que las fórmulas utilizadas en el capítulo anterior se transforman en: I.
Rango= Límite superior del último intervalo – límite inferior del primer intervalo.
II.
Varianza:
s2 =
∑ f(mc − x )2 ∑f
s=
∑ f(m − x ) ∑f
Donde: mc: es la marca de clase de cada intervalo. f: es la frecuencia. x : es la media aritmética de los datos.
III.
Desviación estándar:
BLOQUE 7
2
c
239
Ejemplo 1. Para encontrar las medidas de dispersión de los datos del examen de admisión, se utilizará la distribución de frecuencias con marcas de clase, ya que se requieren para sustituir las fórmulas. Intervalo 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99
f 4 9 13 19 15 13 7
mc 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5
LR 29.5 – 39.5 39.5 – 49.5 49.5 – 59.5 59.5 – 69.5 69.5 – 79.5 79.5 – 89.5 89.5 – 99.5
fa 4 13 26 45 60 73 80
∑ f = 80 Como ya se había mencionado antes, las marcas de clase son los datos que representan a cada intervalo, por ello, el rango se obtiene a partir de éstos. Rango = 99 – 30 Rango = 69
Para obtener la varianza, hay que retomar el valor de la media aritmética obtenida con anterioridad, cuyo valor es x = 66.88, así que la fórmula se sustituye de la siguiente forma:
s
2
f(mc − x )2 ∑ = ∑f
4( 34.5 − 66.88) 2 + 9( 44.5 − 66.88 ) 2 + 13( 54.5 − 66.88 ) 2 + 19( 64.5 − 66.88 ) 2 + s2 =
15( 74.5 − 66.88 ) 2 + 13( 84.5 − 66.88 ) 2 + 7( 94.5 − 66.88 ) 2 80 4( 32.38) + 9(22.38) + 13(12.38 ) + 19( 2.38) + 15(7.62) 2 + 13(17.62) 2 + 7( 27.62) 2 2
s2 =
2
2
2
80
21048.752 s = 80 2
s 2 = 263 .11
Y para obtener la desviación estándar, sólo es necesario obtener la raíz cuadrada del resultado anterior, como se muestra a continuación: s=
∑ f(m − x ) ∑f
2
c
s=
s=
s2
263 .11
s = 16.22 240
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Ejemplo 2. Obtener las medidas de dispersión de la distribución de frecuencias de las horas laboradas semanalmente por los empleados del IMSS. Jornada semanal 10 – 16 17 – 23 24 – 30 31 – 37 38 – 44 45 – 51 52 – 58
f 4 8 18 30 34 4 2
mc 13 20 27 34 41 48 55
LR 9.5 – 16.5 16.5 – 23.5 23.5 – 30.5 30.5 – 37.5 37.5 – 44.5 44.5 – 51.5 51.5 – 58.5
fa 4 12 30 60 94 98 100
∑ f =100 Rango = 58 – 10 Rango = 48
La media aritmética obtenida con anterioridad fue x = 34.14 , así que la varianza es:
s2 =
∑ f(mc − x )2 ∑f
4( 13 − 34.14) 2 + 8( 20 − 34.14) 2 + 18( 27 − 34.14) 2 + 30( 34 − 34.14) 2 s2 =
+ 34( 41 − 34.14) 2 + 4( 48 − 34.14) 2 + 2( 55 − 34.14) 2 100 4( −21.14) + 9( −14.14) + 13( −7.14 ) + 19( −0.14) + 15(7.62) 2 + 13(6.86) 2 + 7( 20.86) 2 2
s2 =
2
2
2
100
7544.04 s2 = 100 s 2 = 75.44
Por lo tanto la desviación estándar es: s=
∑ f(m − x ) ∑f
2
c
s=
s2
s = 75 .44
s = 8.69
BLOQUE 7
241
Representación gráfica. En los periódicos se pueden observar tablas de información numérica, en las cuales, algunas personas desconocen el significado de los valores que presentan, o bien resulta ser información bastante engorrosa; por esto, algunos investigadores prefieren dar a conocer la información mediante gráficas, pues es una forma más atractiva y sencilla de comparación, en la secuencia anterior se realizaron las gráficas de barras, circulares y de líneas. Las gráficas más utilizadas para la representación de datos agrupados en distribuciones de frecuencia, son: histograma de frecuencias, polígono de frecuencias y gráfica circular. Para elaborar dichas gráficas es necesario seguir algunas reglas.
Histograma de frecuencias. El histograma es una gráfica de barras en la cual el eje horizontal corresponde a las marcas de clase de cada intervalo y el eje vertical contiene una escala en la que se localizan las frecuencias de cada clase. Las barras se dibujan centradas en la marca de clase y con una altura igual a la frecuencia del intervalo. Para indicar que los datos están agrupados en una distribución de frecuencias por medio de intervalos, las barras deben quedar sin espacio entre ellas. En el eje horizontal se pueden indicar los intervalos mediante los límites reales de cada uno de ellos. El histograma de frecuencias para el ejemplo de las calificaciones de los estudiantes de Geología, se muestra en la siguiente gráfica.
Calificaciones del examen de admisión dedela carrera de Geología Calificaciones del examen de admisión de la carrera Geología 20 18
Frecuencia (número de alumnos)
16 14 12 10 8 6 4 2 0 34.5
44.5
54.5
64.5
74.5
84.5
94.5
Calificación
Polígono de frecuencias. El polígono es una gráfica de líneas en donde el eje horizontal representa los datos mediante las marcas de clase, y el eje vertical, las frecuencias de cada uno de los intervalos. Para dibujarlo, primero se localiza un punto en cada una de las marcas de clase, tomando en cuenta la frecuencia para determinar la altura de este punto. Una vez delimitados todos los puntos, éstos se unen con segmentos de líneas rectas. Una característica importante en esta gráfica, es que se debe considerar un intervalo imaginario con frecuencia cero en cada uno de los extremos de la gráfica, logrando de esta manera cerrar la figura para formar un polígono. El polígono de frecuencias para el ejemplo se muestra en la siguiente gráfica.
242
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Calificaciones del examen de la carrera de Geología Calificaciones del examen deadmisión admisión dede la carrera de Geología 20
18
16
Frecuencia (número de alumnos)
14
12
10
8
6
4
2
0 34.5
44.5
54.5
64.5
74.5
84.5
94.5
Calificación
Gráfica circular. Esta gráfica se elabora de la misma manera que cuando los datos están en una tabla de frecuencias, pero ahora cada porción del círculo representa a un intervalo, indicando proporcionalmente la cantidad de datos que se presentaron dentro de la misma clase, como se ve en la siguiente gráfica. Calificaciones admisión la carrera de Geología Calificacionesdel del examen examen dede admisión de lade carrera de Geología 30 – 39 8.75%
5%
11.25%
40 – 49
16.25% 16.25%
50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89
18.75% 23.75%
90 – 99
Sitios Web recomendados: Ingresa a la siguiente página para que amplíes tus conocimientos de estadística. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/m ateriales/3eso/estadistica/problemasestadistica/problemasdeesta distica.htm http://www.inegi.org.mx/inegi/default.aspx BLOQUE 7
243
Interpretación de medidas y gráficas. En los datos proporcionados por las calificaciones del examen de admisión de los alumnos aspirantes a la carrera de Geología de la Universidad de Sonora, se obtuvieron las siguientes medidas. Media: x = 66.88 Mediana: ~ x = 66.87 Moda: ˆx = 65.5 Rango = 60
Varianza: s 2 = 263 .11 Desviación estándar: s = 16.22 Las medidas de tendencia central son muy cercanas, en promedio los alumnos aspirantes obtuvieron 66.88 de calificación, con una desviación de 16.22, esto se visualiza en la gráfica. Calificaciones del examen dedeadmisión la carrera de Geología Calificaciones del examen admisión dede la carrera de Geología 20
18
16
Frecuencia (número de alumnos)
14
12
10
8
6
4
2
0 34.5
44.5
54.5
64.5
74.5
84.5
94.5
Calificación
s = 16.22
s = 16.22
x = 66.88 La mayoría de los datos varían entre 50.66 y 83.1, calificaciones bajas en sí, el promedio es aprobatorio, pero bajo. De las 80 calificaciones, sólo 7 se aproximaron al 95 y alrededor del 67.5 % fueron calificaciones aprobatorias.
244
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Actividad: 2 Realiza los cálculos necesarios para obtener lo que se te pide. 1.
Representa, en una distribución de frecuencias, los siguientes datos que pertenecen a la calificación del segundo parcial de Matemáticas 3, de 96 alumnos del Plantel Prof. Ernesto López Riesgo del Colegio de Bachilleres. 76 78 55 54 0 56 57 74 76 65 26 49
2.
23 49 36 100 13 28 0 86 87 66 77 50
62 90 72 60 56 33 35 34 0 67 0 23
100 30 64 100 45 67 54 68 60 100 78 80
49 88 80 83 73 62 76 63 64 65 37 100
98 90 76 76 64 80 62 85 0 91 62 80
54 78 94 95 83 85 80 76 0 70 96 82
100 81 83 83 76 76 75 78 60 72 74 75
En la siguiente tabla se presenta la distribución del salario por hora de los trabajadores de una fábrica. Salario (por hora)
f
30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64
3 8 16 14 12 5 2
Calcula las medidas descriptivas.
BLOQUE 7
245
Actividad: 2 (continuación) 3. Los siguientes datos corresponden al saldo promedio (en miles de pesos) de clientes de cuenta maestra de una empresa bancaria, sólo se consideran aquéllos que tienen saldo promedio entre $10,000 y $100,000: Saldo promedio
f
11 – 22 23 – 34 35 – 46 47 – 58 59 – 70 71 – 82 83 – 94
17 20 24 26 4 5 4
a) Calcula las medidas descriptivas.
b) Traza el polígono de frecuencias.
c) Interpreta la información obtenida y la gráfica.
Actividad: 2 Conceptual Identifica las distribuciones de frecuencia y las medidas descriptivas. Autoevaluación
246
Evaluación Producto: Problemas de aplicación Saberes Procedimental Obtiene las medidas descriptivas de datos agrupados en distribuciones de frecuencias. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Valora las medidas de tendencia central y de dispersión como herramientas para el análisis de la información.
Calificación otorgada por el docente
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Cierre Actividad: 3 En equipo de dos personas investiga una problemática en tu colonia, la cual debe corresponder a una variable numérica de rango mayor a 20. Recolecta 100 datos, aplica todos los conocimientos obtenidos para calcular las medidas descriptivas y traza una gráfica para que hagas la interpretación del problema, comparte tus resultados y conclusiones con el grupo.
BLOQUE 7
247
Actividad: 3 (continuación)
Actividad: 3 Conceptual Identifica las problemáticas de su entorno para realizar una encuesta. Coevaluación
248
Evaluación Producto: Encuesta Saberes Procedimental Realiza una encuesta que le lleve a realizar un análisis e interpretación de la problemática. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Comparte responsabilidades en la realización de la encuesta y formula juicios de la problemática.
Calificación otorgada por el docente
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Emplea los conceptos elementales de probabilidad
Unidad de competencia: Construye e interpreta modelos que representan fenómenos o experimentos de manera probabilística, a través de la aplicación clásica así como de las reglas de la suma y del producto.
Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 5 horas
Secuencia didáctica 1. Conceptos básicos de probabilidad. Inicio Actividad: 1 Analiza y desarrolla lo que se pide a continuación. 1. Explica el concepto de probabilidad.
2. ¿En qué situaciones usas la palabra probabilidad?
3. Menciona tres ejemplos en los que hayas escuchado o leído la palabra probabilidad.
4. En la secundaria, ¿qué tipo de ejemplos abordaron en los temas de probabilidad?
5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener el número 3 en el lanzamiento de un dado?
Actividad: 1 Conceptual Identifica el concepto de probabilidad y su aplicación.
Autoevaluación
250
Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental Aplica el concepto de probabilidad.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia sus conocimientos previos de probabilidad, para obtener probabilidades de eventos.
Calificación otorgada por el docente
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Desarrollo En la vida cotidiana ocurren muchas situaciones en las que se puede predecir lo que sucederá, con cierto nivel de certeza o no, por ejemplo: 1.
Se puede predecir si un día futuro lloverá, se hace con un cierto porcentaje; esto depende de ciertas condiciones de humedad, clima, etc. pero con certeza no se puede predecir, porque sería asignarle el 100 % de posibilidades.
2.
Se puede determinar con seguridad que un alumno que estudia para un examen lo aprobará.
3.
Al tirar dos dados se puede predecir que caerán dos números determinados, pero con cierto porcentaje de posibilidad.
4.
Cuando una empresa tiene que realizar un muestreo de calidad, existe un porcentaje de posibilidad de que el artículo cumpla con todas las especificaciones, pero existe el riesgo de que no lo cumpla al 100 %.
5.
Una docente se destaca en su puntualidad, por lo tanto, con certeza recibirá su bono de puntualidad.
6.
En el lanzamiento de una moneda, no se puede determinar con seguridad qué caerá.
Sucesos como los anteriores distinguen entre hechos que suceden con certeza y otros que tienen un porcentaje de ocurrir. En el lenguaje cotidiano estos sucesos, que posiblemente ocurran, se identifican con los adverbios: normalmente, probablemente, tal vez, etc. El estudio de estos sucesos se hace desde el siglo XVII, donde se origina la teoría de probabilidades. Actualmente la teoría de probabilidad se aplica en varios procesos de mercadotecnia y producción de artículos en general; de la misma forma, se aplica en juegos de azar, en donde los jugadores apuestan a las opciones más probables.
La probabilidad es una rama de las Matemáticas que estudia experimentos llamados aleatorios (al azar), la probabilidad es el estudio de fenómenos que no es seguro de que ocurran. BLOQUE 8
251
A continuación se te proporcionarán algunos de los conceptos esenciales para desarrollar la probabilidad básica.
Experimento aleatorio y determinista. Para definir lo que es un evento aleatorio o determinista, primero se tiene que conocer lo que son los experimentos. Experimento aleatorio. Es el fenómeno que puede dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento, por ejemplo: • • •
Si vacías un recipientes con alfileres en una mesa, se ignora cómo quedarán orientados en ella, o bien si algunos caerán fuera de la mesa. Si en una urna se tienen esferas numeradas y sin ver, se extrae una de ellas, no se sabe qué número puede ser extraído. Al extraer una carta, sin ver, de un mazo de 52 cartas, no se sabe cuál de ellas saldrá.
Experimento determinista. Es aquel que al ocurrir se tiene siempre el mismo resultado, por ejemplo: • • •
Si se lanza una piedra y se conocen las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., entonces con seguridad se sabrá dónde caerá y cuánto tiempo tardará en caer. Un Químico puede determinar que el Dióxido de Carbono siempre estará compuesto por una molécula de Carbono y dos de Oxígeno (CO2). El número de diagonales que tiene un polígono.
Actividad: 2 A continuación se presentan diferentes situaciones, indica si se trata de un experimento aleatorio o determinista. 1.
La respuesta que da un alumno en un examen de opción múltiple sin conocer el tema a evaluar. ______________________________________________________________________________________________
2.
Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos de 24 horas. ______________________________________________________________________________________________
3.
Medir la resistencia a la tensión de una barra de acero.
4.
El número de años que pasan para que febrero posea 29 días.
______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________ 5.
Se lanza una moneda cuatro veces y se observa el número de caras que caen.
6.
La cantidad de niñas y niños que nacen diariamente en el hospital IMES. ______________________________________________________________________________________________
7.
El número de soluciones de una ecuación cuadrática.
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
Actividad: 2 Conceptual Identifica los eventos aleatorios y deterministas. Autoevaluación
252
Evaluación Producto: Identificación de situaciones. Saberes Procedimental Clasifica los eventos en deterministas y aleatorios. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Analiza los cuestionamientos y muestra interés en realizar la actividad Calificación otorgada por el docente EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Espacio muestral. Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio, se le llama espacio muestral (S). De acuerdo a la notación de conjuntos, los elementos se separan mediante comas y se encierran entre llaves. Ejemplo 1. Se lanza un dado y se observa el número que cae en el lado superior. El espacio muestral de este experimento es:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Así que el número de resultados posibles en el lanzamiento de un dado es 6, y se denota de la siguiente forma: n (S ) = 6
Ejemplo 2. En el lanzamiento de dos, dados el espacio muestral es:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6 ) (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6 ) (3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6 ) S= (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6 ) (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6 ) (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6 ) Cada uno de los resultados del experimento tiene dos posibilidades y se expresan entre paréntesis con una coma en medio, porque se puede confundir con un número de dos cifras. Como se observa en la imagen, el resultado (3, 2) indica que en el primer dado cae el número 3, y en el segundo dado cae el número 2. El número de resultados posibles en el lanzamiento de dos dados es 36, y se denota de la siguiente forma: n(S ) = 36
BLOQUE 8
253
Ejemplo 3. El lanzamiento de una moneda dos veces. 1er. lanzamiento 2do. lanzamiento
S = {CC , SC , CS , SS }
No es necesario expresar los resultados de este experimento entre paréntesis, ya que no hay confusión como puede suceder en los lanzamientos del ejemplo anterior. En el espacio muestral, el resultado CS significa que cae Cara en el primer lanzamiento y Sello en el segundo lanzamiento. El número de elementos del espacio muestral es: n (S ) = 4
Ejemplo 4. Una urna contiene 3 esferas de diferente color; se extrae una tras otra sin reemplazamiento (sin introducir de nuevo la que se saca). El espacio muestral es:
Las extracciones se pueden dar de la siguiente forma:
El espacio muestral en forma de conjunto es: S = {ABR , ARB , BAR , BRA , RAB , RBA }
En el espacio muestral el resultado BRA, significa que salió en la primera extracción una esfera blanca, en la segunda una esfera roja y en la última extracción una esfera amarilla. El número de resultados posibles en el experimento anterior es: n (S ) = 6 254
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Actividad: 3 Encuentra el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos, así como el número total de resultados. 1. Se lanzan dos dados y se observa la suma de los números que caen en el lado superior de cada uno de ellos.
2. Se extraen dos bolas de billar, una tras otra, de una urna que contiene a la bola 8 y a la bola 3; la extracción se hace con reemplazamiento, es decir, devolviendo la bola que se sacó en la primera extracción, para hacer luego la segunda extracción.
3. Se lanza una moneda 3 veces.
4. El género de los cuatro hijos que planea tener un matrimonio.
5. Se lanza una moneda y un dado, se observa el lado superior de ambos.
Actividad: 3 Conceptual Identifica el espacio muestral de experimentos aleatorios. Autoevaluación
BLOQUE 8
Evaluación Producto: Ejercicios. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Construye espacios muestrales de Muestra interés y apertura en el experimentos aleatorios. desarrollo de la actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente
255
Evento aleatorio y determinista. Evento. Es el resultado de un experimento, así que un evento aleatorio, es el resultado posible de un experimento aleatorio y el evento determinista es el resultado de un experimento determinista. Evento simple (E). Son cada uno de los posibles resultados de un experimento. Ejemplo 1. E1: Si se lanza un dado, el obtener número impar es: E 1 = {1, 3, 5}
Ejemplo 2. E2: Si se lanza un dado, el obtener un número menor que 5 es: E 2 = {1, 2, 3, 4}
E3: El nacimiento de un bebé, el que nazca una niña es: E 2 = {M}
Si el evento tiene más de uno de los resultados del experimento, se denomina Evento Compuesto. A continuación se ejemplificarán varios eventos compuestos, los cuales son posibles resultados de los espacios muestrales de los ejemplos anteriores. Ejemplo 1. Se lanza una moneda dos veces y se observan cuántos de los posibles resultados tienen un sello exactamente. El espacio muestral del experimento es: S = {CC , SC , CS , SS }
Al evento de obtener exactamente un sello se denominará E1, y sus resultados son: E 1 = { SC , CS ,}
Por lo tanto el número de elementos de E1 es: n(E 1 ) = 2
Ejemplo 2. En el experimento anterior, obtener por lo menos una cara. El término “por lo menos una cara” significa mínimo una cara, es decir una o dos caras, por lo que este evento (E2) tiene los siguientes elementos. E 2 = { SC , CS , CC }
Su número de elementos es: n(E 2 ) = 3
Ejemplo 3. En el lanzamiento de dos dados, obtener igual número en los dos dados. El espacio muestral es el siguiente:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6 ) (2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6 ) (3,1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6 ) S= (4,1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6 ) (5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6 ) (6,1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6 )
256
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Los resultados de este evento (E3) son: E 3 = {(1, 1), (2, 2 ), (3, 3 ), (4, 4 ), (5, 5 ), (6, 6 )}
Y su número de elementos es: n(E 3 ) = 6
Ejemplo 4. Obtener en el lanzamiento de dos dados: un número par en el primer lanzamiento y a lo más el número 4 en el segundo lanzamiento. En el primer lanzamiento debe ser el número 2, 4 ó 6, y en el segundo lanzamiento se debe obtener “a lo más el número 4”, es decir, máximo 4, o sea, el número 1, 2, 3 ó 4; así que los resultados de este evento (E4) son: E 4 = {(2, 1), (2, 2 ), (2, 3 ), (2, 4 ), (4, 1), (4, 2 ), (4, 3 ), (4, 4 ), (6, 1), (6, 2 ), (6, 3 ), (6, 4 )}
Su número de elementos es: n(E 4 ) = 12
Actividad: 4 Encuentra los elementos de cada uno de los eventos siguientes, así como el número de elementos de los mismos. 1.
Se lanzan dos dados y se observan las caras superiores; lo que se debe cumplir es que la suma resulte: a) 9.
b) Por lo menos 7.
c) A lo más 4.
d) 11.
2.
Se lanza una moneda 3 veces y los lanzamientos son: a) Más caras que sellos.
BLOQUE 8
257
Actividad: 4 (continuación) b) El mismo resultado en los tres lanzamientos.
c) Por lo menos un sello.
3. Un matrimonio planea tener cuatro hijos, y piensan en las siguientes opciones: a) Tener igual número de niñas que niños.
b) Tener más niños que niñas.
c) Una niña exactamente.
d) Por lo menos un niño.
Actividad: 4 Conceptual Reconoce los elementos pertenecientes a eventos aleatorios. Autoevaluación
258
Evaluación Producto: Problemas de aplicación Saberes Procedimental Obtiene los elementos de eventos aleatorios. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Muestra su interés por obtener los elementos de eventos aleatorios.
Calificación otorgada por el docente EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Evento seguro: Es el conjunto de resultados que contiene todos los elementos del espacio muestral, es decir, siempre ocurre. Evento nulo: Es el conjunto que no tiene ningún resultado, es decir nunca ocurre. Ejemplos de eventos seguros son: Ejemplo 1. Obtener un número par o impar en el lanzamiento de un dado. Éste da las dos opciones posibles, así que los elementos de este evento son: E 2 = {2, 4, 6, 1, 3, 5}
Son todos los elementos del espacio muestral Ejemplo 2. En el lanzamiento de una moneda, que caiga a lo más dos caras, esto es: A lo más dos caras, significa máximo dos caras, es decir que puede salir 0, 1 ó 2 caras, y son todas las opciones del espacio muestral. E 1 = S = {SS , SC , CS , CC }
Un ejemplo de evento seguro es: Ejemplo 1. Que se obtenga un número impar y par en el lanzamiento de un dado. No pueden caer los dos resultados al mismo tiempo, así que el conjunto se expresa: E2 = { } ó
E2 = φ
Se le conoce como conjunto vacío, y el número de sus elementos se denota: n(E 2 ) = 0
Eventos mutuamente excluyentes. Son los eventos que cuando ocurre uno no puede ocurrir el otro, por ejemplo en el lanzamiento de una moneda, si cae cara no puede caer sello. El complemento de un evento contiene todos los resultados del espacio muestral que no están en el evento, si el evento es A, el complemento se denota como Ac. Por ejemplo, si se lanza un dado y A es el evento donde cae el número 2, Ac es que caiga 1, 3, 4, 5 ó 6.
BLOQUE 8
259
Actividad: 5 Ordena los siguientes eventos desde el menos probable hasta el más probable. Si hubiera eventos imposibles y eventos seguros, señálalos.
a) b) c) d) e) f) g) h)
Don Agustín vivirá 100 años. En el mes de enero lloverá en Puerto Peñasco. Si se lanza una moneda se obtendrá un águila. Si se tira un dado se obtendrá un 4. Margarita obtendrá calificación aprobatoria en Sociales. El próximo bebé que tenga Susana será niña. En 2012 es año bisiesto. Jaime se sacará el primer premio del concurso Melate el lunes 19 de junio de 2010.
1._______________________________________________________________________________ 2._______________________________________________________________________________ 3._______________________________________________________________________________ 4._______________________________________________________________________________ 5._______________________________________________________________________________ 6._______________________________________________________________________________ 7._______________________________________________________________________________ 8._______________________________________________________________________________
Actividad: 5 Conceptual Identifica probabilidades de eventos aleatorios. Autoevaluación
260
Evaluación Producto: Ordenamiento. Saberes Procedimental Ordena los eventos de acuerdo a su probabilidad. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la probabilidad como un indicador de ordenamiento de eventos.
Calificación otorgada por el docente
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Probabilidad clásica de un evento aleatorio. Existen varios enfoques de probabilidad, en este bloque se manejará el enfoque clásico, pero antes se enunciarán cada uno de ellos. La probabilidad clásica se distingue por asignarle la misma probabilidad a los resultados de un experimento, al espacio muestral se le conoce como equiprobable. La probabilidad de que suceda un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables al evento entre el número de resultados posibles, es decir: Sea un espacio muestral equiprobable (S), y A un evento del experimento, la probabilidad del evento A es: P( A ) =
número de casos favorables número de casos posibles P( A ) =
n( A )
Blaise Pascal con Pierre de Fermat elaboraron conjuntamente la teoría de la probabilidad, impulsados por un amigo que quería saber cómo repartirse el resto al interrumpir un juego de dados.
n(S )
Ejemplo 1. Una urna tiene 4 esferas rojas, 5 blancas y 3 verdes. Si se extrae una esfera al azar, la probabilidad de que sea roja se obtiene de la siguiente forma. El experimento es extraer una esfera de 12 que se tienen. El evento A es extraer una esfera roja.
S = {4 rojas , 5 blancas , 3 verdes } A = {4 rojas }
La probabilidad clásica determina que: P( A ) =
número de casos favorables número de casos posibles P( A ) =
n( A ) n(S )
P( A ) = P( A ) =
1 3
4 12 ≈ 0.3
La probabilidad frecuencial es la que se obtiene como una proporción del número de veces en que sucede un evento en una serie prolongada de experimentos repetidos. Como te habrás dado cuenta, el resultado de obtener una probabilidad es un número que tiene valor máximo de uno, ya que ningún evento favorable puede ser mayor a los casos posibles, esto es, ningún evento puede ser mayor al espacio muestral, este resultado se puede expresar como fracción, como decimal o porcentaje, por ejemplo: 1 La probabilidad de obtener un sello en el lanzamiento de una moneda, puede ser expresado como , 0.5 ó 50%. 2 Ejemplo 2. Supóngase que se tienen datos estadísticos acerca de 500 individuos en edades entre 20 y 25 años que ingresaron a la Escuela Básica y se retiraron en alguna etapa de su educación, o continuaron hasta graduarse de bachilleres; se clasifican en los siguientes grupos: 1. 2.
Se retiran de la educación formal antes de aprobar el 6º grado de Educación Básica. Se retiran de la educación formal después de aprobar el 6º grado y antes de aprobar el 3º grado de Educación Media.
BLOQUE 8
261
3. 4.
Se retiran de la Educación después de aprobar el 3º grado de Educación Media y antes de aprobar el 3º año de la Educación Media Superior. Se gradúan de Bachilleres.
Los datos son los siguientes: Grupo 1 105
Grupo 2 250
Grupo 3 100
Grupo 4 45
La probabilidad de elegir un individuo al azar y que sea graduado de bachiller es: P(Grupo 4) =
45
500 P(Grupo 4) = 0.09
=
9 100
El resultado significa que el 9 % de los individuos se graduaron del bachiller. La probabilidad intuitiva es aquella que se obtiene basándose en la experiencia previa, sin la justificación de algún cálculo. Por ejemplo, en épocas de lluvias se puede afirmar a priori que existe una probabilidad de 0.1 de que no llueva en uno de los días de tal temporada. La probabilidad cumple con ciertas propiedades, para ello se considera el espacio muestral (S). 1.
La probabilidad de un evento A es un número no negativo y menor o igual a 1. 0 ≤ P( A ) ≤ 1
2.
La probabilidad de un evento seguro E es 1. P( E ) = 1
Se puede generalizar como: P( S ) = 1
3.
Si A es un evento del espacio muestral S, la probabilidad del complemento es: P( A c ) = 1 − P( A )
4.
Si B es un evento nulo, su probabilidad es: P( B ) = 0
A continuación se ejemplificarán las propiedades con el siguiente experimento. Ejemplo1. Una empresa produce lámparas, las cuales pueden tener dos tipos de defectos. El inspector de calidad tiene que examinar un lote de 20 lámparas y extraer una al azar para valorar su calidad; sabe de antemano que 3 tienen defecto de cableado y 2 tienen defecto de piezas. Encontrar la probabilidad de los siguientes eventos. a) A: la lámpara tiene algún defecto. 5 1 P( A ) = = 20 4 b) B: las tres lámparas carecen de defecto. El evento B es complemento del evento A, por lo tanto: P(B) = P( A c ) = 1− P( A )
= 1−
262
1 3 = 4 4
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Cierre Actividad: 6 Calcula cada una de la probabilidad de los siguientes eventos. 1.
Una urna tiene 5 esferas rojas, 6 amarillas y 4 verdes. Si se extrae una esfera al azar, determina la probabilidad de que sea: a) Roja.
b) Amarilla.
c) Roja o verde.
d) Azul.
e) No sea verde.
2.
Una maestra les est叩 ense単ando a identificar el alfabeto a un grupo de ni単os, utiliza una baraja de 26 cartas, cada carta contiene una letra diferente. Si un ni単o extrae una carta al azar, determina la probabilidad de que sea: a) Una vocal.
b) Una consonante.
BLOQUE 8
263
Actividad: 6 (continuación) c) Una vocal o una consonante.
d) La letra R.
3.
Se lanza un dado y una moneda, encontrar la probabilidad de obtener: a)
Un número par y cara.
b)
Un número impar.
c)
Por lo menos el número 4 ó sol.
d)
Cara.
Actividad:6 Conceptual Conoce la probabilidad de eventos equiprobables. Autoevaluación
264
Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la probabilidad de eventos equiprobables. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia la importancia del cálculo de probabilidades en el análisis de situaciones azarosas.
Calificación otorgada por el docente
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Secuencia didáctica 2. Ley aditiva de probabilidades. Inicio Actividad: 1 Responde los siguientes cuestionamientos. 1. ¿Cuáles son los tipos de eventos probabilísticos que conoces?, proporciona dos ejemplos de cada uno de ellos.
2. ¿Cuál es el espacio muestral en el lanzamiento de una moneda 4 veces?
3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara, en el espacio muestral anterior?
4. Si una moneda está cargada y se lanza dos veces, la probabilidad de que caiga sello es de 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sello en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento?
Actividad: 1 Conceptual Identifica probabilidades de eventos aleatorios.
Autoevaluación
BLOQUE 8
Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental Obtiene probabilidades de eventos aleatorios.
C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Aprecia los conocimientos obtenidos de probabilidad para responder correctamente los cuestionamientos.
Calificación otorgada por el docente
265
Desarrollo En la secuencia anterior se obtuvieron probabilidades de eventos definidos en espacios equiprobables. A continuación se abordará la ley aditiva de las probabilidades, la cual permite calcular de forma más sencilla, probabilidades de eventos compuestos. Antes de iniciar, se deben especificar algunas de las nomenclaturas de conjunto, que son necesarias para comprender la ley. Símbolo A ∪B A ∩B
Se lee A unión B A intersección B
Significa Sucede A ó B Sucede A y B simultáneamente
Como antes se había mencionado, dos eventos mutuamente excluyentes ocurren cuando al suceder uno de ellos, no sucede el otro.
Actividad: 2 Realiza una investigación sobre ejemplos de eventos mutuamente excluyentes y escribe 10 de ellos en el siguiente espacio. 1.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
2.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
3.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
4.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
5.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
266
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
. Actividad: 2 (continuación) 6.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 7.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 8.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 9.
______________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 10. ______________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________
Actividad: 2 Conceptual Identifica eventos mutuamente excluyentes. Autoevaluación
BLOQUE 8
Evaluación Producto: Diseño de ejemplos. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Ejemplifica eventos mutuamente Se interesa en investigar en su excluyentes de situaciones entorno los eventos mutuamente cotidianas. excluyentes. C MC NC Calificación otorgada por el docente
267
Ley aditiva de las probabilidades. Dados dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurra A ó B, es: P( A ∪ B ) = P( A ) + P(B ) − P( A ∩ B )
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, es decir no pueden ocurrir al mismo tiempo, la probabilidad de que ocurra A ó B es: P( A ∪ B ) = P( A ) + P(B )
Porque no hay intersección. Ejemplo1. En la Unidad de Cuidados Intensivos (UCI) de cierto hospital, el 6.9 % de los pacientes que ingresan lo hacen con una infección adquirida en el exterior (infección comunitaria), mientras que el 13.7 % adquieren una infección durante su estancia en el hospital (infección nosocomial), además, el 1.5 % de los enfermos ingresados a dicha unidad presentan una infección de ambos tipos. ¿Cuál será la probabilidad de que un paciente elegido al azar, presente una infección de cualquier tipo en la UCI? Para hacer más sencillo el proceso, se asignan letras a los eventos. IC: infección comunitaria. IN: infección nosocomial. IC ∩ IN : infección comunitaria e infección nosocomial. Y traduciendo a probabilidades los porcentajes anteriores, se obtiene que: P(IC) = 0.069 P(IN) = 0.137 P (IC ∩ IN ) = 0 .015
La probabilidad de que un determinado paciente presente una infección de cualquier tipo, dicho en otras palabras, la probabilidad de que un paciente presente infección comunitaria o infección nosocomial, se traduce a encontrar P (IC ∪ IN ) , y sólo basta sustituir la fórmula:
P(IC ∪ IN) = P(IC) + P(IN) − P(∩B) P(IC ∪ IN) = 0.069 + 0.137 − 0.015 P(IC ∪ IN) = 0.191
268
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Ejemplo 2. En una clase Literatura del departamento de Humanidades de la Universidad de Sonora hay 35 alumnos, de los cuales 10 estudian Filosofía, 12 estudian Lenguas Extranjeras, si 19 alumnos estudian Filosofía o Lenguas Extranjeras, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar estudie las dos asignaturas? La información obtenida es: F: Alumnos que estudian Filosofía. L: Alumnos que estudian Lenguas Extranjeras. F ∪ L : Alumnos que estudian Filosofía o Lenguas Extranjeras. F ∩ L : Alumnos que estudian Filosofía y Lenguas Extranjeras.
P(F) = P(L ) =
10 35 12 35
P(F ∪ L ) =
19 35
Tomando en cuenta la fórmula: P( F ∪ L ) = P( F ) + P( L ) − P( F ∩ L )
Y despejando la intersección, queda: P( F ∩ L ) = P( F ) + P( L ) − P( F ∪ L )
P(F ∩ L ) = P(F ∩ L ) =
10 12 19 + − 35 35 35 3 35
Sitios Web recomendados: Ingresa a las siguientes páginas, encontrarás ejercicios interesantes de probabilidad. http://www.librosmaravillosos.com/matematicalife/capitulo06.html http://actividadesinfor.webcindario.com/probabilidad.htm http://nutriserver.com/Cursos/Bioestadistica/Probabilidad.html
BLOQUE 8
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Cierre Actividad: 3 Resolver los siguientes problemas. 1.
El 55 % de los habitantes en una localidad consume pan integral, el 30 % consume pan de multicereales y el 20 % consume ambos. Encontrar la probabilidad de que un habitante elegido al azar consuma: a) Cualquiera de los dos panes.
b) Ninguno de ellos.
c) Sólo pan integral.
2.
De un total de 100 alumnos, 30 estudian Matemáticas, 20 estudian música y 10 estudian Matemáticas y música. Si se elige aleatoriamente un estudiante. Determina la probabilidad de que: a) Estudie sólo música.
b) Sólo matemáticas.
c) Matemáticas y música.
d) Matemáticas o música.
e) No estudien ninguna de las dos asignaturas.
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EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Actividad: 3 (continuación) 3.
Se saca una esfera de una urna que contiene 4 rojas, 5 son blancas y 6 son negras. Calcula la probabilidad de que la esfera sea: a) Roja o blanca.
b) Que no sea blanca.
4.
La comisión Nacional del Agua (CNA) informa que en la ciudad de Cananea Sonora, durante los 90 días del invierno anterior, llovió 40 días, nevó en 30 días, y además en 12 llovió y nevó. Si se eligiese un día al azar de ese invierno, encontrar la probabilidad de que: a) Haya llovido o nevado.
b) Haya nevado solamente.
c) No haya nevado ni llovido.
Actividad: 3 Conceptual Identifica la propiedad aditiva de probabilidades de eventos aleatorios. Autoevaluación
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Evaluación Producto: Problemas de aplicación Saberes Procedimental Aplica la propiedad de eventos aleatorios. C
MC
NC
Puntaje: Actitudinal Valora la utilidad de la probabilidad en situaciones cotidianas.
Calificación otorgada por el docente
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Bibliografía ARGUDIN, Yolanda. Educación Basada en Competencias, nociones y antecedentes. Editorial Trillas. México, 2006. CATALANO, Ana. Diseño curricular en normas de competencias laboral: conceptos y orientaciones metodológicas. Banco Internacional de Desarrollo. Buenos Aires. Argentina, 2004. CUESTA, Vilvaldo. et. al. Álgebra, con enfoque en Competencias. Book Mart, México, 2008. Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGTI). Compendio de Secuencias Didácticas. Primera Edición. México, 2005. GARCÍA, Miguel. Matemáticas 2 bachillerato. St editorial. México, 2005. GUZMÁN, Abelardo. Geometría y Trigonometría. Publicaciones Cultural. 2005. HERNÁDEZ Lerma Onésimo, Elementos de Probabilidad y Estadística, Fondo de Cultura Económica, México, 1979; 2nd. Printing 1982. HOEL, Paul G., Estadística elemental, Editorial CECSA, México, 1966. IBAÑEZ, Patricia. Matemáticas II, Geometría y trigonometría. Cengage Learning. México, 2009. JOHNSON, Kuby, Estadística elemental. Tercera edición, Editorial Thompson, México, 1999. LINCON, Chao, Introducción a la Estadística, Editorial CECSA, 1992. LIPSCHUTZ Seymour, Probabilidad, Editorial McGraw-Hill, 2da Edición, 2001. MEYER, Paul L. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Fondo Educativo Interamericano S.A. México, México, 1973. MIGUEL, Mario. Modalidades de enseñanza coentradas en el desarrollo de competencias orientaciones para promover el cambio metodológico en el espacio europeo de euducación superior. Ediciones Universidad de Oviedo. España, 2006. SALAZAR, Pedro. Matemáticas 2. Innovación educativa Compañía Nueva Imagen. 2005. YAMANE, Taro. Estadística. Ed. Harla. México. 1979.
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EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD