Álgebra

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´ TEMA 5 - ALGEBRA Antonio Enr´ıquez Padial

21 de enero de 2012

Antonio Enr´ıquez Padial

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´ El Algebra,¿para qu´e sirve?

Definiciones y Aplicaciones

2

Monomios Definiciones Operaciones con Monomios

3

Polinomios Definiciones Operaciones con Polinomios

4

Productos Notables Definiciones-Productos Notables

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Definiciones y Aplicaciones

Definiciones y Aplicaciones ´ Llamamos Algebra a la parte de las matem´aticas en la que se utilizan letras para expresar n´ umeros de valor desconocido o indeterminado. ´ Entre las aplicaciones del Algebra est´an las siguientes: Para expresar propiedades de las operaciones aritm´eticas

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Definiciones y Aplicaciones

Definiciones y Aplicaciones ´ Llamamos Algebra a la parte de las matem´aticas en la que se utilizan letras para expresar n´ umeros de valor desconocido o indeterminado. ´ Entre las aplicaciones del Algebra est´an las siguientes: Para expresar propiedades de las operaciones aritm´eticas Para expresar la relaci´ on entre variables relativas a distintas magnitudes (f´ormulas)

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Definiciones y Aplicaciones

Definiciones y Aplicaciones ´ Llamamos Algebra a la parte de las matem´aticas en la que se utilizan letras para expresar n´ umeros de valor desconocido o indeterminado. ´ Entre las aplicaciones del Algebra est´an las siguientes: Para expresar propiedades de las operaciones aritm´eticas Para expresar la relaci´ on entre variables relativas a distintas magnitudes (f´ormulas) Para manejar n´ umeros de valor indeterminado y sus operaciones (expresiones algebraicas)

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Definiciones y Aplicaciones

Definiciones y Aplicaciones ´ Llamamos Algebra a la parte de las matem´aticas en la que se utilizan letras para expresar n´ umeros de valor desconocido o indeterminado. ´ Entre las aplicaciones del Algebra est´an las siguientes: Para expresar propiedades de las operaciones aritm´eticas Para expresar la relaci´ on entre variables relativas a distintas magnitudes (f´ormulas) Para manejar n´ umeros de valor indeterminado y sus operaciones (expresiones algebraicas) Para expresar relaciones que faciliten la resoluci´on de problemas (ecuaciones)

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Definiciones y Aplicaciones

Definiciones y Aplicaciones Definici´on Llamamos expresi´on algebraica a toda combinaci´ on de n´ umeros y letras unidas por signos de operaci´ on:(suma, resta,...)

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Definiciones y Aplicaciones Definici´on Llamamos expresi´on algebraica a toda combinaci´ on de n´ umeros y letras unidas por signos de operaci´ on:(suma, resta,...)

Ejemplo 3x + 11 2x 2 + 7

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Definiciones y Aplicaciones Definici´on Llamamos expresi´on algebraica a toda combinaci´ on de n´ umeros y letras unidas por signos de operaci´ on:(suma, resta,...)

Ejemplo 3x + 11 2x 2 + 7

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Definiciones y Aplicaciones Definici´on Llamamos expresi´on algebraica a toda combinaci´ on de n´ umeros y letras unidas por signos de operaci´ on:(suma, resta,...)

Ejemplo 3x + 11 2x 2 + 7

Gracias a estas expresiones algebraicas vamos a poder expresar enunciados de nuestro lenguaje habitual en t´erminos matem´aticos.

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Ejemplo El doble de un n´ umero menos tres = 2x-3

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Ejemplo El doble de un n´ umero menos tres = 2x-3 Ejercicios P´agina 109, ejercicio 8 P´agina 119, ejercicios 1, 8

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Definiciones Definici´on de Monomio Un monomio es una expresi´ on algebraica de la forma axn a es el coeficiente

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Definiciones Definici´on de Monomio Un monomio es una expresi´ on algebraica de la forma axn a es el coeficiente x es la variable o inc´ ognita

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Definiciones Definici´on de Monomio Un monomio es una expresi´ on algebraica de la forma axn a es el coeficiente x es la variable o inc´ ognita n es el grado del monomio x n es la parte literal

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Definiciones Definici´on de Monomio Un monomio es una expresi´ on algebraica de la forma axn a es el coeficiente x es la variable o inc´ ognita n es el grado del monomio x n es la parte literal

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Definiciones Definici´on de Monomio Un monomio es una expresi´ on algebraica de la forma axn a es el coeficiente x es la variable o inc´ ognita n es el grado del monomio x n es la parte literal Nota El grado de un monomio es la suma de los exponentes de las inc´ognitas

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Definiciones Ejemplos 5x 2 y 4

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Definiciones Ejemplos 5x 2 y 4 Coeficiente = 5

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Definiciones Ejemplos 5x 2 y 4 Coeficiente = 5 Parte Literal = x2 y 4

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Definiciones Ejemplos 5x 2 y 4 Coeficiente = 5 Parte Literal = x2 y 4 Grado = 2 + 4 = 6

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Definiciones Ejemplos 5x 2 y 4 Coeficiente = 5 Parte Literal = x2 y 4 Grado = 2 + 4 = 6

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Definiciones Ejemplos 5x 2 y 4 Coeficiente = 5 Parte Literal = x2 y 4 Grado = 2 + 4 = 6 Monomios Semejantes Decimos que dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal

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Definiciones

Ejemplo 2x 4 y 7x 4 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal: x 4

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Definiciones

Ejemplo 2x 4 y 7x 4 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal: x 4 Ejercicios P´agina 111, ejercicio 1 P´agina 119, ejercicio 9

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Operaciones con Monomios Suma y Diferencia Para sumar (o restar) dos monomios semejantes, sumamos (o restamos) los coeficientes y conservamos la misma parte literal.

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Operaciones con Monomios Suma y Diferencia Para sumar (o restar) dos monomios semejantes, sumamos (o restamos) los coeficientes y conservamos la misma parte literal.

Nota Observa que para la suma y resta de monomios se exige que los monomios sean semejantes. En caso de que los monomios no sean semejantes, se deja la operaci´ on indicada.

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Operaciones con Monomios Suma y Diferencia Para sumar (o restar) dos monomios semejantes, sumamos (o restamos) los coeficientes y conservamos la misma parte literal.

Nota Observa que para la suma y resta de monomios se exige que los monomios sean semejantes. En caso de que los monomios no sean semejantes, se deja la operaci´ on indicada.

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Definiciones Operaciones con Monomios

Operaciones con Monomios Suma y Diferencia Para sumar (o restar) dos monomios semejantes, sumamos (o restamos) los coeficientes y conservamos la misma parte literal.

Nota Observa que para la suma y resta de monomios se exige que los monomios sean semejantes. En caso de que los monomios no sean semejantes, se deja la operaci´ on indicada.

Ejemplo 8x2 + 3x 2 = (8 + 3)x 2 = 11x 2 Antonio Enr´ıquez Padial

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Operaciones con Monomios

Producto Para multiplicar dos monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de los exponentes de las parte literales.

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Operaciones con Monomios

Producto Para multiplicar dos monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de los exponentes de las parte literales.

Ejemplo (2x3 )(6x 5 ) = (2 ∗ 6)x 3+5 = 12x 8

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Definiciones Operaciones con Monomios

Operaciones con Monomios Divisi´on Para dividir dos monomios, dividimos los coeficientes y restamos los grados de los exponentes de las partes literales.

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Operaciones con Monomios Divisi´on Para dividir dos monomios, dividimos los coeficientes y restamos los grados de los exponentes de las partes literales.

Ejemplo (8x12 ) : (2x 5 ) = (8/2)(x 12−5 ) = 4x 7

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Operaciones con Monomios Divisi´on Para dividir dos monomios, dividimos los coeficientes y restamos los grados de los exponentes de las partes literales.

Ejemplo (8x12 ) : (2x 5 ) = (8/2)(x 12−5 ) = 4x 7

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Operaciones con Monomios Divisi´on Para dividir dos monomios, dividimos los coeficientes y restamos los grados de los exponentes de las partes literales.

Ejemplo (8x12 ) : (2x 5 ) = (8/2)(x 12−5 ) = 4x 7

Ejercicios P´agina 111, P´agina 119, P´agina 120, P´agina 112, P´agina 120,

Ejercicios 3, 5, 7, 9, 10, 12, 13.

Ejercicios 10 y 11.

Ejercicio 12.

Ejercicios 17, 18, 19.

Ejercicio 13.; P´agina 121, Ejercicio 27 Antonio Enr´ıquez Padial

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Definiciones Definici´on de Polinomio Llamamos polinomio a una expresi´ on algebraica formada por la suma o diferencia de dos o m´as monomios no semejantes.

Ejemplo

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Definiciones Definici´on de Polinomio Llamamos polinomio a una expresi´ on algebraica formada por la suma o diferencia de dos o m´as monomios no semejantes.

Ejemplo 5x 4 es un monomio.

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Definiciones Definici´on de Polinomio Llamamos polinomio a una expresi´ on algebraica formada por la suma o diferencia de dos o m´as monomios no semejantes.

Ejemplo 5x 4 es un monomio.

3x 2 es otro monomio.

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Definiciones Definici´on de Polinomio Llamamos polinomio a una expresi´ on algebraica formada por la suma o diferencia de dos o m´as monomios no semejantes.

Ejemplo 5x 4 es un monomio.

3x 2 es otro monomio.

Esos monomios no son semejantes.

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Definiciones Definici´on de Polinomio Llamamos polinomio a una expresi´ on algebraica formada por la suma o diferencia de dos o m´as monomios no semejantes.

Ejemplo 5x 4 es un monomio.

3x 2 es otro monomio.

Esos monomios no son semejantes.

La suma o resta de esos monomios es un polinomio.

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Definiciones Definici´on de Polinomio Llamamos polinomio a una expresi´ on algebraica formada por la suma o diferencia de dos o m´as monomios no semejantes.

Ejemplo 5x 4 es un monomio.

3x 2 es otro monomio.

Esos monomios no son semejantes.

La suma o resta de esos monomios es un polinomio.

5x 4 + 3x 2 es un polinomio

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Definiciones Nota El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado El t´ermino independiente es el valor que no lleva inc´ognita Ejemplo

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Definiciones Nota El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado El t´ermino independiente es el valor que no lleva inc´ognita Ejemplo Dado el polinomio P(x) = 5x 4 + 6x 3 − x 2 + 8x − 18 su grado es el grado del monomio de mayor grado, es decir, el grado de 5x 4 que es 4

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Definiciones Nota El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado El t´ermino independiente es el valor que no lleva inc´ognita Ejemplo Dado el polinomio P(x) = 5x 4 + 6x 3 − x 2 + 8x − 18 su grado es el grado del monomio de mayor grado, es decir, el grado de 5x 4 que es 4 El t´ermino independiente de ese polinomio es el t´ermino que no tiene inc´ ognita, es decir, -18

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Definiciones Definici´on de Valor num´erico de un polinomio Llamamos valor num´erico de un polinomio al valor que toma el polinomio cuando sustituimos la inc´ ognita X por un valor determinado Ejemplo

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Definiciones Definici´on de Valor num´erico de un polinomio Llamamos valor num´erico de un polinomio al valor que toma el polinomio cuando sustituimos la inc´ ognita X por un valor determinado Ejemplo Dado el polinomio P(x) = 2x 3 + 3x 2 − 4x + 5. ¿Calcula el valor num´erico para x=2?

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Definiciones Definici´on de Valor num´erico de un polinomio Llamamos valor num´erico de un polinomio al valor que toma el polinomio cuando sustituimos la inc´ ognita X por un valor determinado Ejemplo Dado el polinomio P(x) = 2x 3 + 3x 2 − 4x + 5. ¿Calcula el valor num´erico para x=2?

Sustituimos la inc´ ognita x por el valor que nos dan, en este caso 2.

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Definiciones Definici´on de Valor num´erico de un polinomio Llamamos valor num´erico de un polinomio al valor que toma el polinomio cuando sustituimos la inc´ ognita X por un valor determinado Ejemplo Dado el polinomio P(x) = 2x 3 + 3x 2 − 4x + 5. ¿Calcula el valor num´erico para x=2?

Sustituimos la inc´ ognita x por el valor que nos dan, en este caso 2.

P(2) = 2 ∗ 23 + 3 ∗ 22 − 4 ∗ 2 + 5 ; Calculamos t´ermino a t´ermino

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Definiciones Continuaci´on del Ejemplo

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Definiciones Continuaci´on del Ejemplo P(2)=2*8+3*4-8+5

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Definiciones Continuaci´on del Ejemplo P(2)=2*8+3*4-8+5 P(2) = 16 + 12 − 8 + 5; De donde tenemos que P(2)=25

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Definiciones Continuaci´on del Ejemplo P(2)=2*8+3*4-8+5 P(2) = 16 + 12 − 8 + 5; De donde tenemos que P(2)=25 Por tanto el valor num´erico de ese polinomio para x=2 es 25.

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Definiciones Continuaci´on del Ejemplo P(2)=2*8+3*4-8+5 P(2) = 16 + 12 − 8 + 5; De donde tenemos que P(2)=25 Por tanto el valor num´erico de ese polinomio para x=2 es 25.

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Definiciones Continuaci´on del Ejemplo P(2)=2*8+3*4-8+5 P(2) = 16 + 12 − 8 + 5; De donde tenemos que P(2)=25 Por tanto el valor num´erico de ese polinomio para x=2 es 25.

Ejercicios P´agina 113, ejercicios 1,2,3,4 P´agina 120, ejercicio 14

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Operaciones con Polinomios Suma y resta de Polinomios Para sumar o restar dos polinomios sumamos o restamos los t´erminos semejantes entre s´ı, y le sumamos los no semejantes.

Ejemplo

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Operaciones con Polinomios Suma y resta de Polinomios Para sumar o restar dos polinomios sumamos o restamos los t´erminos semejantes entre s´ı, y le sumamos los no semejantes.

Ejemplo Calcula la suma de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3

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Operaciones con Polinomios Suma y resta de Polinomios Para sumar o restar dos polinomios sumamos o restamos los t´erminos semejantes entre s´ı, y le sumamos los no semejantes.

Ejemplo Calcula la suma de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la suma, P(x)+Q(x)=

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Operaciones con Polinomios Suma y resta de Polinomios Para sumar o restar dos polinomios sumamos o restamos los t´erminos semejantes entre s´ı, y le sumamos los no semejantes.

Ejemplo Calcula la suma de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la suma, P(x)+Q(x)= 3x2 + 7x + 5 + 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3

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Continuaci´on del Ejemplo Agrupamos los t´erminos semejantes entre s´ı, empezando por los de mayor grado

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Continuaci´on del Ejemplo Agrupamos los t´erminos semejantes entre s´ı, empezando por los de mayor grado 3x 3 + (3x 2 + 4x 2 ) + (7x + 2x) + (5 + 3)

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Continuaci´on del Ejemplo Agrupamos los t´erminos semejantes entre s´ı, empezando por los de mayor grado 3x 3 + (3x 2 + 4x 2 ) + (7x + 2x) + (5 + 3) 3x 3 + 7x 2 + 9x + 8

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Continuaci´on del Ejemplo Agrupamos los t´erminos semejantes entre s´ı, empezando por los de mayor grado 3x 3 + (3x 2 + 4x 2 ) + (7x + 2x) + (5 + 3) 3x 3 + 7x 2 + 9x + 8 Luego la suma de P(x) y Q(x) es 3x 3 + 7x 2 + 9x + 8

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Definiciones Operaciones con Polinomios

Operaciones con Polinomios Veamos otro ejemplo Calcula la resta de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3

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Operaciones con Polinomios Veamos otro ejemplo Calcula la resta de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la resta, P(x)-Q(x)=

Antonio Enr´ıquez Padial

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Operaciones con Polinomios Veamos otro ejemplo Calcula la resta de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la resta, P(x)-Q(x)= (3x 2 + 7x + 5) - (3x 3 + 4x 2 + 2x + 3)

Antonio Enr´ıquez Padial

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Operaciones con Polinomios Veamos otro ejemplo Calcula la resta de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la resta, P(x)-Q(x)= (3x 2 + 7x + 5) - (3x 3 + 4x 2 + 2x + 3) ¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante, entonces tenemos que cambiar los signos.

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Operaciones con Polinomios Veamos otro ejemplo Calcula la resta de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la resta, P(x)-Q(x)= (3x 2 + 7x + 5) - (3x 3 + 4x 2 + 2x + 3) ¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante, entonces tenemos que cambiar los signos.

3x 2 + 7x + 5 −3x 3 − 4x 2 − 2x − 3

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Operaciones con Polinomios Veamos otro ejemplo Calcula la resta de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la resta, P(x)-Q(x)= (3x 2 + 7x + 5) - (3x 3 + 4x 2 + 2x + 3) ¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante, entonces tenemos que cambiar los signos.

3x 2 + 7x + 5 −3x 3 − 4x 2 − 2x − 3 Agrupamos los t´erminos semejantes entre s´ı, empezando por los de mayor grado

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Operaciones con Polinomios Veamos otro ejemplo Calcula la resta de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la resta, P(x)-Q(x)= (3x 2 + 7x + 5) - (3x 3 + 4x 2 + 2x + 3) ¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante, entonces tenemos que cambiar los signos.

3x 2 + 7x + 5 −3x 3 − 4x 2 − 2x − 3 Agrupamos los t´erminos semejantes entre s´ı, empezando por los de mayor grado -3x3 + (3x 2 − 4x 2 ) + (7x − 2x) + (5 − 3) Antonio Enr´ıquez Padial

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Operaciones con Polinomios Veamos otro ejemplo Calcula la resta de P(x) = 3x 2 + 7x + 5 y Q(x) = 3x 3 + 4x 2 + 2x + 3 Escribimos la resta, P(x)-Q(x)= (3x 2 + 7x + 5) - (3x 3 + 4x 2 + 2x + 3) ¡¡Ojo!!- El segundo polinomio lleva un signo - delante, entonces tenemos que cambiar los signos.

3x 2 + 7x + 5 −3x 3 − 4x 2 − 2x − 3 Agrupamos los t´erminos semejantes entre s´ı, empezando por los de mayor grado -3x3 + (3x 2 − 4x 2 ) + (7x − 2x) + (5 − 3) De donde nos queda que P(x)-Q(x)=−3x 3 − x 2 + 5x + 2 Antonio Enr´ıquez Padial

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Operaciones con Polinomios Ejercicios P´agina 114, ejercicios 5,6 y 7 P´agina 120, ejercicios 15,16 y 18

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Operaciones con Polinomios Ejercicios P´agina 114, ejercicios 5,6 y 7 P´agina 120, ejercicios 15,16 y 18 Producto de dos polinomios Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada monomio del primer polinomio por todos y cada uno de los monomios del segundo. Realizadas estas operaciones, agrupamos los monomios semejantes y los operamos entre s´ı.

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Operaciones con Polinomios Ejemplo Sean P(x) = 2x 2 + 3x + 2 y Q(x) = x 2 + x + 1 dos polinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x)

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Operaciones con Polinomios Ejemplo Sean P(x) = 2x 2 + 3x + 2 y Q(x) = x 2 + x + 1 dos polinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x) P(x)*Q(x)=(2x 2 + 3x + 2) ∗ (x 2 + x + 1)

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Operaciones con Polinomios Ejemplo Sean P(x) = 2x 2 + 3x + 2 y Q(x) = x 2 + x + 1 dos polinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x) P(x)*Q(x)=(2x 2 + 3x + 2) ∗ (x 2 + x + 1) Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo

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Operaciones con Polinomios Ejemplo Sean P(x) = 2x 2 + 3x + 2 y Q(x) = x 2 + x + 1 dos polinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x) P(x)*Q(x)=(2x 2 + 3x + 2) ∗ (x 2 + x + 1) Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) +

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Operaciones con Polinomios Ejemplo Sean P(x) = 2x 2 + 3x + 2 y Q(x) = x 2 + x + 1 dos polinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x) P(x)*Q(x)=(2x 2 + 3x + 2) ∗ (x 2 + x + 1) Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) +

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Operaciones con Polinomios Ejemplo Sean P(x) = 2x 2 + 3x + 2 y Q(x) = x 2 + x + 1 dos polinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x) P(x)*Q(x)=(2x 2 + 3x + 2) ∗ (x 2 + x + 1) Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 +

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Operaciones con Polinomios Ejemplo Sean P(x) = 2x 2 + 3x + 2 y Q(x) = x 2 + x + 1 dos polinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x) P(x)*Q(x)=(2x 2 + 3x + 2) ∗ (x 2 + x + 1) Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) +

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Operaciones con Polinomios Ejemplo Sean P(x) = 2x 2 + 3x + 2 y Q(x) = x 2 + x + 1 dos polinomios, y queremos calcular su producto, P(x)*Q(x) P(x)*Q(x)=(2x 2 + 3x + 2) ∗ (x 2 + x + 1) Multiplico cada monomio del primer polinomio por todos los monomios del segundo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + Antonio Enr´ıquez Padial

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 +

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) +

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x +

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 =

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 = Desarrollamos esos productos de monomios y tenemos:

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 =

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 = 2x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 2 + 3x + 2x 2 + 2x + 2 =

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 = 2x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 2 + 3x + 2x 2 + 2x + 2 = Agrupamos los monomios semejantes:

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 = 2x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 2 + 3x + 2x 2 + 2x + 2 = Agrupamos los monomios semejantes: 2x 4 + (2x 3 + 3x 3 ) + (2x 2 + 3x 2 + 2x 2 ) + (3x + 2x) + 2 =

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 = 2x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 2 + 3x + 2x 2 + 2x + 2 = Agrupamos los monomios semejantes: 2x 4 + (2x 3 + 3x 3 ) + (2x 2 + 3x 2 + 2x 2 ) + (3x + 2x) + 2 = 2x 4 + (5x 3 ) + (7x 2 ) + (5x) + 2

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Operaciones con Polinomios Continuaci´on del Ejemplo (2x 2 ) ∗ (x 2 ) + (2x 2 ) ∗ (x) + (2x 2 ) ∗ 1 + (3x) ∗ (x 2 ) + (3x) ∗ (x) + (3x) ∗ 1 + 2 ∗ (x 2 ) + 2 ∗ x + 2 ∗ 1 = 2x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 3x 3 + 3x 2 + 3x + 2x 2 + 2x + 2 = Agrupamos los monomios semejantes: 2x 4 + (2x 3 + 3x 3 ) + (2x 2 + 3x 2 + 2x 2 ) + (3x + 2x) + 2 = 2x 4 + (5x 3 ) + (7x 2 ) + (5x) + 2 Ejercicios P´agina 115, ejercicios 8,9 y 10 P´agina 121, ejercicio 21 P´agina 122, ejercicio 25 Antonio Enr´ıquez Padial

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Definiciones Definici´on de Productos Notables Llamamos productos notables a ciertos productos de binomios cuya memorizaci´on resulta u ´til para abreviar los c´alculos con expresiones algebraicas Cuadrado de una suma

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Definiciones Definici´on de Productos Notables Llamamos productos notables a ciertos productos de binomios cuya memorizaci´on resulta u ´til para abreviar los c´alculos con expresiones algebraicas Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual... ... al cuadrado del primer sumando... ... m´as el cuadrado del segundo sumando... ... m´as el doble del primero por el segundo.

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Definiciones Definici´on de Productos Notables Llamamos productos notables a ciertos productos de binomios cuya memorizaci´on resulta u ´til para abreviar los c´alculos con expresiones algebraicas Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual... ... al cuadrado del primer sumando... ... m´as el cuadrado del segundo sumando... ... m´as el doble del primero por el segundo. (a + b)2 = a2 + b 2 + 2ab Antonio Enr´ıquez Padial

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Ejemplo del Cuadrado de una Suma Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2

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Ejemplo del Cuadrado de una Suma Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2 (x + 5)2 =...

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Ejemplo del Cuadrado de una Suma Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2 (x + 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2

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Ejemplo del Cuadrado de una Suma Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2 (x + 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2 ...m´as cuadrado del segundo...52

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Ejemplo del Cuadrado de una Suma Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2 (x + 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2 ...m´as cuadrado del segundo...52 ...m´as el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5

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Ejemplo del Cuadrado de una Suma Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2 (x + 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2 ...m´as cuadrado del segundo...52 ...m´as el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5 De donde se tiene que: (x + 5)2 = x 2 + 25 + 10x

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Ejemplo del Cuadrado de una Suma Se nos pide calcular el valor de (x + 5)2 (x + 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2 ...m´as cuadrado del segundo...52 ...m´as el doble del primero por el segundo: 2 ∗ x ∗ 5 De donde se tiene que: (x + 5)2 = x 2 + 25 + 10x Y ordenando tenemos que: (x + 5)2 = x 2 + 10x + 25

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Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia de dos t´erminos es igual...

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Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia de dos t´erminos es igual... ... al cuadrado del primer t´ermino...

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Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia de dos t´erminos es igual... ... al cuadrado del primer t´ermino... ... m´as el cuadrado del segundo t´ermino...

Antonio Enr´ıquez Padial

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Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia de dos t´erminos es igual... ... al cuadrado del primer t´ermino... ... m´as el cuadrado del segundo t´ermino... ... menos el doble del primero por el segundo.

Antonio Enr´ıquez Padial

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Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia de dos t´erminos es igual... ... al cuadrado del primer t´ermino... ... m´as el cuadrado del segundo t´ermino... ... menos el doble del primero por el segundo. (a − b)2 = a2 + b 2 − 2ab

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Productos Notables Ejemplo del Cuadrado de una Diferencia

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Productos Notables Ejemplo del Cuadrado de una Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2

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Productos Notables Ejemplo del Cuadrado de una Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2 (x − 5)2 =...

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Productos Notables Ejemplo del Cuadrado de una Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2 (x − 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2

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Productos Notables Ejemplo del Cuadrado de una Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2 (x − 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2 ...m´as cuadrado del segundo...52

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Productos Notables Ejemplo del Cuadrado de una Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2 (x − 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2 ...m´as cuadrado del segundo...52 ...menos el doble del primero por el segundo: −2 ∗ x ∗ 5

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Productos Notables Ejemplo del Cuadrado de una Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2 (x − 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2 ...m´as cuadrado del segundo...52 ...menos el doble del primero por el segundo: −2 ∗ x ∗ 5 De donde se tiene que: (x − 5)2 = x 2 + 25 − 10x

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Productos Notables Ejemplo del Cuadrado de una Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x − 5)2 (x − 5)2 =...

Cuadrado del primero... x 2 ...m´as cuadrado del segundo...52 ...menos el doble del primero por el segundo: −2 ∗ x ∗ 5 De donde se tiene que: (x − 5)2 = x 2 + 25 − 10x Y ordenando tenemos que: (x − 5)2 = x 2 − 10x + 25

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Productos Notables Suma por diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados

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Productos Notables Suma por diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados (a + b) ∗ (a − b) = a2 − b 2

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Productos Notables Suma por diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados (a + b) ∗ (a − b) = a2 − b 2 Ejemplo de Suma por Diferencia

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Productos Notables Suma por diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados (a + b) ∗ (a − b) = a2 − b 2 Ejemplo de Suma por Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5)

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Productos Notables Suma por diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados (a + b) ∗ (a − b) = a2 − b 2 Ejemplo de Suma por Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5) Cuadrado del primero....x 2

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Productos Notables Suma por diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados (a + b) ∗ (a − b) = a2 − b 2 Ejemplo de Suma por Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5) Cuadrado del primero....x 2 ...menos cuadrado del segundo...−52

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Productos Notables Suma por diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados (a + b) ∗ (a − b) = a2 − b 2 Ejemplo de Suma por Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5) Cuadrado del primero....x 2 ...menos cuadrado del segundo...−52 De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x 2 − 52

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Productos Notables Suma por diferencia La suma de dos monomios por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados (a + b) ∗ (a − b) = a2 − b 2 Ejemplo de Suma por Diferencia Se nos pide calcular el valor de (x + 5) ∗ (x − 5) Cuadrado del primero....x 2 ...menos cuadrado del segundo...−52 De donde se tiene que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x 2 − 52 De donde tenemos que: (x + 5) ∗ (x − 5) = x 2 − 25 Antonio Enr´ıquez Padial

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Ejercicios P´agina 117, ejercicios 1,2,4,5

Antonio Enr´ıquez Padial

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