第一章
乘法公式與多項式
1-1
乘法公式
1-1
觀念摘要 1. 乘法公式的定義與介紹 2. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + db 之推導與圖解 3. 和的平方公式： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 4. 差的平方公式： (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 5. 平方差公式： (a + b)(a − b) = a2 − b2
2
1-1 乘法公式
1. 乘法公式的定義與介紹 乘法公式的定義：利⽤用乘法交換律、結合律與分配律，將繁複的計算整理為⽐比較容易 計算的代數式。 常⽤用的乘法公式： 2 和的平⽅方公式： (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 • 2 差的平⽅方公式： (a − b) = a 2 − 2ab + b 2 • 2 2 • 平⽅方差公式： (a + b)(a − b) = a − b
3
1-1 乘法公式
2. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd之推導與圖解 對於任意數 a、b、c、d，(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (1) 利⽤用乘法分配律展開： (a + b)(c + d ) = a(c + d ) + b(c + d )
= ac + ad + bc + bd
4
1-1 乘法公式
(2) 圖解說明：※請以橫向觀看圖⽚片
如圖，⼀一個⻑⾧長為 (a + b) 、寬為 (c + d) 的⻑⾧長⽅方形，其⾯面積為 (a + b)(c + d) 。 將此⻑⾧長⽅方形的⻑⾧長分成⻑⾧長度為 a 與 b 兩段，寬分成⻑⾧長度為 c 與 d 兩段。
則此⻑⾧長⽅方形可被分成四個⼩小⻑⾧長⽅方形，它們的⾯面積分別為 ac、ad、bc、bd。 由這四個⼩小⻑⾧長⽅方形⾯面積的總和會等於原來的⻑⾧長⽅方形⾯面積，因此得出 (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
a+b c c+d
ac
c
a
bc
c
b
d a
b
ad a
d
bd
d
b
5
1-1 乘法公式
3. 和的平方公式：(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
對於任意數 a、b，(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 2 (a + b) (1) 利⽤用乘法分配律展開： = (a + b)(a + b)
= a 2 + ab + ba + b2 = a 2 + ab + ab + b2 = a 2 + 2ab + b2
6
1-1 乘法公式
(2) 圖解說明：※請以橫向觀看圖⽚片 如圖，⼀一個邊⻑⾧長為 (a + b) 的正⽅方形，其⾯面積為 (a + b)2。 將此正⽅方形的邊⻑⾧長分成⻑⾧長度為 a 與 b 兩段。
則此正⽅方形可被分成⼀一個邊⻑⾧長為 a 的⼩小正⽅方形和⼀一個邊⻑⾧長為 b 的⼩小正⽅方形，及另 外兩個⻑⾧長為 a、寬為 b 的⻑⾧長⽅方形，它們的⾯面積分別為 a 2、b 2、ab、ab。 由這兩個⼩小正⽅方形與兩個⼩小⻑⾧長⽅方形⾯面積的總和會等於原來的正⽅方形⾯面積，因此得 出 (a + b)2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
a+b a2
a
ab
a
a a+b a b a
b
ab a
b b
b2
b
b 7
1-1 乘法公式
4. 差的平方公式： (a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
對於任意數 a、b，(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 2 (a − b) (1) 利⽤用乘法分配律展開： = (a − b)(a − b)
= a 2 − ab − ba + b2 = a 2 − ab − ab + b2 = a 2 − 2ab + b2
8
1-1 乘法公式
(2) 圖解說明：※請以橫向觀看圖⽚片 如圖，⼀一個邊⻑⾧長為 (a − b) 的正⽅方形，其⾯面積為 (a − b)2。
此⼩小正⽅方形的⾯面積恰為邊⻑⾧長為 a 的⼤大正⽅方形⾯面積扣掉兩個⻑⾧長為 a、寬為 b 的⻑⾧長⽅方 形⾯面積，再補回兩⻑⾧長⽅方形所交疊邊⻑⾧長為 b 的⼩小正⽅方形⾯面積，它們的⾯面積分別為 a 2、ab、ab、b 2。 因此得出 (a − b)2 = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
a
a
a–b a
a–b a
(a – b)2
a
b b
a
2
ab
b
a
ab
b
b2 b
b
b
b
9
1-1 乘法公式
5. 平方差公式： (a + b)(a − b) = a 2 − b 2
對於任意數 a、b，(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 (1) 利⽤用乘法分配律展開： (a + b)(a − b)
= a 2 − ab + ba − b2 = a 2 − ab + ab − b2 = a 2 − b2
10
1-1 乘法公式
(2) 圖解說明：※請以橫向觀看圖⽚片
如圖，⼀一個⻑⾧長為 (a + b)、寬為 (a − b) 的⻑⾧長⽅方形，其⾯面積為 (a + b)(a − b)。
此⻑⾧長⽅方形經過如圖中的重新組合後，其⾯面積恰為邊⻑⾧長為 a 的⼤大正⽅方形⾯面積扣掉⼀一 個邊⻑⾧長為 b 的⼩小正⽅方形⾯面積，它們的⾯面積分別為 a 2、b 2。 因此得出 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 a
a–b
(a + b)(a – b)
a
b
a
a–b a
a2
b2
b
b
b a–b
11
1-2
多項式與其加減運算
1-2
觀念摘要 1. 多項式的定義與判別 2. 多項式的項、係數、次數與常數項 3. 多項式的類型 4. 多項式的排列 5. 多項式的加減運算─橫式計算 6. 多項式的加減運算─直式計算 7. 多項式的加減運算─分離係數法
12
1-2 多項式與其加減運算
1. 多項式的定義與判別
定義：由⽂文字符號（通常為 x ）和數字進⾏行加法和乘法運算所構成的代數式。 2 4 2 2 例 5，2x，3x ， x − 4，x + 1，3 − x + 6x 2 3 5
★ 若代數式的⽂文字符號（通常為 x ）出現在分⺟母、根號裡或絕對值中，則此代數式就 不能定義為「多項式」。 1 ， x − 1， 3x 2 + 5 都不是 x 的多項式。 x
Question 1 of 2
下列何者不是 x 的多項式？ A.
2
B.
2x + 3
x C. x − + 1 2 2
D.
x 2 + 2x = 1
Check Answer
13
1-2 多項式與其加減運算
2. 多項式的項、係數、次數與常數項
將多項式 2x 3 − 4x 2 + 3x − 1 化為 2x 3 + ( − 4x 2) + 3x + ( − 1)，其中 2x 3、−4x 2、3x、
−1 都是此多項式的項。2x 3 是此多項式的三次項，其係數為 2；−4x 2 是⼆二次項，其係 數為 −4；3x 是⼀一次項，其係數為 3；−1 是常數，⼜又稱為常數項或零次項。
★ 多項式其係數不為 0 的各項中，以⽂文字符號的最⾼高次數來稱為此多項式的次數。 例 2x 3 − 4x 2 + 3x − 1 是 x 的三次多項式。 Question 1 of 2 3
多項式 4x − 3x 2 + 2x − 1 的常數項是 多少？ A.
4
B.
−3
C.
2
D.
−1
Check Answer
14
1-2 多項式與其加減運算
3. 多項式的類型 ※請以橫向觀看影⽚片說明
15
1-2 多項式與其加減運算
4. 多項式的排列 升冪排列：將⼀一多項式的各項按某⼀一⽂文字符號的次數由⼩小到⼤大排列，稱為升冪排列。 例 −1 + 2x 3 + 3x − 4x 2 + 5x 4 的升冪排列為 −1 + 3x − 4x 2 + 2x 3 + 5x 4。
降冪排列：將⼀一多項式的各項按某⼀一⽂文字符號的次數由⼤大到⼩小排列，稱為降冪排列。 例 −1 + 2x 3 + 3x − 4x 2 + 5x 4 的降冪排列為 5x 4 + 2x 3 − 4x 2 + 3x − 1。
16
1-2 多項式與其加減運算
5. 多項式的加減運算─橫式計算 同類項：在多項式中，⽂文字符號及次數都相同的項，稱為同類項。 例 −4x 2 和 5x 2 是同類項；2x 和 4x 是同類項。
兩個多項式進⾏行加減運算時，就是將它們的同類項合併，也就是將兩多項式的同類項 係數相加或相減。 例 (6 + 3x − 4x 2) + (5x 2 − 3x + 1) = 6 + 3x − 4x 2 + 5x 2 − 3x + 1 = ( − 4x 2 + 5x 2) + (3x − 3x) + (6 + 1) = x2 + 7
例 (x 2 + 2x − 3) − (3x 2 − 4x + 2) = x 2 + 2x − 3 − 3x 2 + 4x − 2 = (x 2 − 3x 2) + (2x + 4x) + ( − 3 − 2) = − 2x 2 + 6x + ( − 5) = − 2x 2 + 6x − 5
17
1-2 多項式與其加減運算
6. 多項式的加減運算─直式計算 兩個多項式進⾏行直式加減運算時，先將多項式按降冪排列，同類項上下對⿑齊，缺項的 位置補 0，再合併。 例 (6 + 3x − 4x 2) + (5x 2 − 3x + 1) = ( − 4x 2 + 3x + 6) + (5x 2 − 3x + 1)
※請以橫向觀看直式 ⇒ x2 + 7 例 (x 2 + 4x − 6) − (2 − 3x 2) = (x 2 + 4x − 6) − ( − 3x 2 + 0x + 2)
※請以橫向觀看直式 ⇒ 4x 2 + 4x − 8 18
1-2 多項式與其加減運算
7. 多項式的加減運算─分離係數法 兩個多項式進⾏行直式加減運算時，先將多項式按降冪排列，省略各項的⽂文字符號，同 類項的係數上下對⿑齊，缺項的位置補 0，再合併。 例 (6 + 3x − 4x 2) + (5x 2 − 3x + 1) = ( − 4x 2 + 3x + 6) + (5x 2 − 3x + 1)
+)
−4 +5
+3 −3
+6 +1
+1 +0 +7 ※請以橫向觀看直式 ⇒ x2 + 7 例 (x 2 + 4x − 6) − (2 − 3x 2) = (x 2 + 4x − 6) − ( − 3x 2 + 0x + 2)
−)
+1 −3
+4 +0
−6 +2
+4 +4 −8 ※請以橫向觀看直式 ⇒ 4x 2 + 4x − 8 19
1-3
多項式的乘除運算
1-3
觀念摘要 1. 多項式的乘法運算 2. 多項式的乘法運算─利用乘法公式 3. 多項式的除法運算 4. 多項式的除法運算─除法關係式
20
1-3 多項式的乘除運算
1. 多項式的乘法運算 單項式：由數與⽂文字符號相乘所形成的單⼀一項代數式，稱為單項式。 例 3x 2、4x、5 都是 x 的單項式。
單項式乘以單項式：將各項的係數相乘寫在前⾯面，⽂文字符號相乘寫在後⾯面即可。 例 2x ⋅ 3x = 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ x = 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x = 6 ⋅ x 2 = 6x 2
多項式乘以多項式：利⽤用乘法分配律將各項乘開後，再進⾏行同類項合併，有橫式、直 式、分離係數法等三種⽅方法。 (1) 橫式計算 例 計算 (2x − 3)(4x + 5) 的值。 解 (2x − 3)(4x + 5) = 2x⋅4x + 2x⋅5 − 3⋅4x − 3⋅5 = 8x 2 + 10x − 12x − 15 = 8x 2 − 2x − 15
21
1-3 多項式的乘除運算
(2) 直式計算 例 計算 (2x − 3)(4x + 5) 的值。 解
※請以橫向觀看直式 ⇒ 8x 2 − 2x − 15 (3) 分離係數法 例 計算 (2x − 3)(4x + 5) 的值。 解
※請以橫向觀看直式 ⇒ 8x 2 − 2x − 15 22
1-3 多項式的乘除運算
2. 多項式的乘法運算─利用乘法公式 (1) 和的平⽅方公式：(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 例 (2x + 3)2
= (2x)2 + 2⋅(2x)⋅3 + 32 = 4x 2 + 12x + 9
(2) 差的平⽅方公式：(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 例 (4x − 5)2
= (4x)2 − 2⋅(4x)⋅5 + 52 = 16x 2 − 40x + 25
(3) 平⽅方差公式：(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 例 (6x + 7)(6x − 7) = (6x)2 − 72
= 36x 2 − 49
23
1-3 多項式的乘除運算
3. 多項式的除法運算 單項式除以單項式：將原式化為分式(
被除式 除式
)，各項係數約分，⽂文字符號以指數律化
簡。 2 x x⋅x x 2 例 x ÷ x = = = =x x x 1 2 4x 4⋅x⋅x 2x 2 4x ÷ ( − 2x) = = = = − 2x −2x −2 ⋅ x −1 7 −8 ⋅ x 7−4 3 −8x 7 ÷ ( − 2x 4) = = 4 ⋅ x = 4x −2 ⋅ x 4
多項式除以單項式：將多項式各項分別除以 單項式，分別化簡後再合併。 例 (6x 2 + 4x)÷( − 2x) = (6x 2)÷( − 2x) + (4x)÷( − 2x) = − 3x − 2
24
1-3 多項式的乘除運算
多項式除以多項式： (1) 直式計算(⻑⾧長除法)：將被除式和除式 按降冪排列，遇
(2) 分離係數法
例 求 (x 2 + 3x + 5) ÷ (x + 1) 的商式和餘式
有缺項時須補 零。 例 求 (x 2 + 3x + 5) ÷ (x + 1) 的商式和餘式
※請以橫向觀看直式 ⇒ (x 2 + 3x + 5) ÷ (x + 1) = x + 2⋯3 ⇒商式 = x + 2 ※請以橫向觀看直式 ⇒ (x 2 + 3x + 5) ÷ (x + 1) = x + 2⋯3
餘式 = 3
⇒商式 = x + 2 餘式 = 3
25
1-3 多項式的乘除運算
4. 多項式的除法運算─除法關係式 若多項式 A 除以多項式 B，所得的商式為 Q，餘式為 R。 即 A ÷ B = Q⋯R，則有下列關係式：
例 (x 2 + 3x + 5) ÷ (x + 1) = (x + 2)⋯3 ⇒ (x 2 + 3x + 5) = (x + 1) ⋅ (x + 2) + 3
A=B⋅Q+R
⇒ (x + 1) = [(x 2 + 3x + 5) − 3] ÷ (x + 2)
B = (A − R) ÷ Q A R =Q+ B B
(x 2 + 3x + 5) 3 ⇒ = (x + 2) + (x + 1) (x + 1)
mA mR = mQ + (m ≠ 0) B B
A Q R = + (n ≠ 0) nB n nB
2(x 2 + 3x + 5) 2⋅3 ⇒ = 2(x + 2) + (x + 1) (x + 1) (x 2 + 3x + 5) (x + 2) 3 ⇒ = + 3(x + 1) 3(x + 1) 3
26
第二章
平方根與勾股定理
勾股定理是⼈人類早期發現並證明的重要數學定理之⼀一。在中國數學史中，《周髀算經》記載了勾股定理的特例（勾三股四弦五）。 圖⽚片來源：維基百科網站（wikipedia.org）
2-1
平方根與近似值
2-1
觀念摘要 1. 根號與平方根 2. 完全平方數的意義與判別 3. 平方與平方根 4. 平方根法則與去平方根 5. 有理數與無理數 6. 平方根─比較大小 7. 求平方根的近似值─電算器法 8. 求平方根的近似值─十分逼近法 9. 求平方根的近似值─查乘方開方表 法
28
2-1 平方根與近似值
1. 根號與平方根 若已知⼀一邊⻑⾧長為 x 的正⽅方形，⾯面積以 A 表⽰示，則 A = x 2。 反之，x =
A，其中「 A」讀作「根號 A」，即正⽅方形邊⻑⾧長 x 可⽤用
例 ⼀一⾯面積為 2 的正⽅方形，其邊⻑⾧長為 2
★ 由 2 = ( 2) ⇒ 2 是
2，讀作「根號 2」。
A 表⽰示。
2 的平⽅方， 2 是 2 的平⽅方根。
29
2-1 平方根與近似值
2. 完全平方數的意義與判別 完全平⽅方數：若⼀一數 a 是某個整數的平⽅方，就稱 a 為完全平⽅方數。 ★11~30的完全平⽅方數表(※請以橫向觀看) a
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
a2
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
a
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
a2
441
484
529
576
625
676
729
784
841
900
完全平⽅方數之判別：可利⽤用質因數分解法，來判斷⼀一個整數是否為完全平⽅方數。 例 判別 144 是否為完全平⽅方數 解 144 = 24 ×32 = 22 ×22 ×3×3 = (22 ×3)×(22 ×3) 2
2
= (2 ×3)
所以 144 是完全平⽅方數
30
2-1 平方根與近似值
3. 平方與平方根
若 a 的平⽅方等於 b，即 a 2 = b，就稱 a 是 b 的平⽅方根，若 a 為正數，就稱 a 是 b 的正 平⽅方根；若 a 為負數，就稱 a 是 b 的負平⽅方根。 例 ( ± 2)2 = 4 ⇒ 2 是 4 的正平⽅方根，−2 是 4 的負平⽅方根。 ⼀一正數 x 恰有兩個平⽅方根，⼀一為正，⼀一 為負，x 的正平⽅方根，以
x 來表⽰示；x
的負平⽅方根，以 − x 來表⽰示。 說明 x > 0
2
x ⋅ x = ( x) = x (−
x)⋅( −
x) = ( −
2
x) = x
2
⇒( ± x) = x ⇒x 的平⽅方根為 ± x 例 ( ±
2
2) = 2 ⇒
2 是 2 的正平⽅方根，− 2 是 2 的負平⽅方根。
★負數沒有平⽅方根。 ★ 0 的平⽅方根就是 0。 31
2-1 平方根與近似值
4. 平方根法則與去平方根
( x)
x > 0!
x = 0!
2
( 2) = 2
2
( 0) = 0
( −2) = 無意義
(− 2) 2 = 2
(− 0) 2 = 0
(− −2) 2 =無意義
2
(− x )2
x<0! 2
x2 !
22 = 2 !
02 = 0 !
(−2)2 = 2
( − x) 2
(−2)2 = 2
(−0)2 = 0
[−(−2)]2 = 2 !
※請以橫向觀看表格 ★ 當 x ≥ 0 時，( ±
★
a 2 = a
2
x) = x
a>0⇒
a2 = a
a=0⇒
a2 = 0
a<0⇒
a2 = − a
32
2-1 平方根與近似值
※請以橫向觀看例題內容
33
2-1 平方根與近似值
5. 有理數與無理數
a 若⼀一個數可以化為 的形式（其中 a、b 為整數，且 b ≠ 0），則此數就稱為有理 b 數。反之，若⼀一個數無法化為分⼦子、分⺟母都是整數的分數，就稱為無理數。 2 6 例 5、 、− 都是有理數； 2、π 都是無理數。 3 7
34
2-1 平方根與近似值
6. 平方根─比較大小 若 x > y > 0，則
x2 > y2 > 0
{ x>
y>0
例 試⽐比較下列⼆二數的⼤大⼩小。 (1) 11、 111 (2) − 50、−7 2
2
解 (1) 11 = 121，( 111) = 111 2
2
∵ 121 > 111 ⇒ 11 > ( 111) ∴ 11 > (2) [ −
111 2
50] = 50，( − 7)2 = 49
∵ 50 > 49 ⇒ [ − ∴−
2
50] > ( − 7)2
50 < − 7
35
2-1 平方根與近似值
7. 求平方根的近似值─電算器法 使⽤用電算器求
2 的近似值，步驟說明如下：
(1) 按“C”或“AC”歸零 (2) 按數字鍵“2” (3) 按根號鍵“
”，即可在螢幕上顯⽰示
2 的近似值。
動態數學 2.1
試利⽤用 eCalc 計算機求
2 的近似值
Embedded Calculator Gadget powered by eCalc.com
36
2-1 平方根與近似值
8. 求平方根的近似值─十分逼近法 使⽤用⼗十分逼近法求
2 的近似值，過程如下： 2
2
(1) ∵ 1 = 1 ， ( 2) = 2 ， 22 = 4 ∴1<2<4⇒ ⇒1<
12 <
2<
22
2<2 2
2
(2) ∵ 1.4 = 1.96，( 2) = 2，1.52 = 2.25 ∴ 1.96 < 2 < 2.25 ⇒ ⇒ 1.4 <
1.42 <
2<
1.52
2 < 1.5 2
2
(3) ∵ 1.41 = 1.9881，( 2) = 2，1.422 = 2.0164 ∴ 1.9881 < 2 < 2.0164 ⇒ ⇒ 1.41 <
1.412 <
2<
1.422
2 < 1.42
(4) ∵ 1.4152 = 2.002225 > 2 ∴
1.4152 >
故四捨五⼊入得
2 ⇒ 1.415 >
2
2 ≑ 1.414 37
2-1 平方根與近似值
9. 求平方根的近似值─查乘方開方表法 使⽤用乘⽅方開⽅方表法求
2 的近似值，說明如下：
在乘⽅方開⽅方表中，
N N2
第⼀一⾏行是 N，表⽰示這⼀一⾏行所列出的是正整數。
N!
1
1
1
第⼆二⾏行是 N 2，表⽰示這⼀一⾏行所列出的是正整數的平
2
4
1.41421356 4.47213595
⽅方。
3
9
1.73205081 5.47722558
4
16
5
25 2.23606798 7.07106781
6
36 2.44948974 7.74596669
7
49 2.64575131 8.36660027
8
64 2.82842712 8.94427191
9
81
第三⾏行是
N，表⽰示這⼀一⾏行所列出的是正整數的
正平⽅方根。 第四⾏行是
10N，表⽰示這⼀一⾏行所列出的是正整數
的 10 倍的正平⽅方根。 ∴ 當 N = 2 時，
N=
2 = 1.41421356 ≑ 1.414
2
3
10 100 3.16227766
10N
3.16227766
6.32455532
9.48683298 10
38
2-1 平方根與近似值
※請以橫向觀看例題內容
39
2-2
根式的運算
2-2
觀念摘要 1. 根式的介紹與簡記 2. 根式的運算規則─交換律、結合 律、分配律 3. 根式的乘除運算 4. 根式的化簡與最簡根式 5. 分數最簡根式與分母有理化 6. 同類方根與根式的加減運算 7. 利用平方差公式有理化分母 8. 例題─根式的四則運算與化簡
40
2-2 根式的運算
1. 根式的介紹與簡記 根式：含有根號的算式，就稱為根式。 例 1 +
2，4 −
3， 5 ×
6， 7 ÷
8
根式的簡記： 當 a ≥ 0 時， 1× −1 × b×
a=
a
a=−
a
a=b a
b × c a = bc a 例 1 × −1 × 3×
2=
2
2=−
2
2=3 2
2×3 2 =2×3×
2 =6×
2=6 2
41
2-2 根式的運算
2. 根式的運算規則─交換律、結合律、分配律 設 a ≥ 0、b ≥ 0、c ≥ 0，則： (1) 交換律： a+
b=
b+
a
a×
b=
b×
a
(2) 結合律： a+
b+
c=( a+
b) +
c=
a+( b+
c)
a×
b×
c=( a×
b) ×
c=
a×( b×
c)
(3) 分配律： a×( b+
c) =
a×
b+
a×
c
a×( b−
c) =
a×
b−
a×
c
42
2-2 根式的運算
3. 根式的乘除運算 乘法運算： 設 a ≥ 0、b ≥ 0，則： a×
b=
例 2 ×
ab
3=
2×3 =
6
除法運算： 設 a ≥ 0、b > 0，則： a÷
b=
例 2 ÷
a b
3=
a = b
= 2 3
=
a÷b
2 = 3
2÷3
43
2-2 根式的運算
4. 根式的化簡與最簡根式 根式的化簡： 2
若 a、b、c 都是正整數，且 a = b × c，則 a=
b2 × c =
b2 ×
c =b×
c = b c。將
a 化簡為 b c 的過程，就稱為根式
的化簡。在 b c 中，若 c 的因數不含有質數的平⽅方，則稱 b c 為最簡根式。 例 12 =
22 × 3 =
22 ×
3 =2×
3 = 2 3，其中 2 3 為
12 的最簡根式。
44
2-2 根式的運算
5. 分數最簡根式與分母有理化 分數最簡根式： 若根號內為分數或分⺟母含有根號的根式， 2 4 、 ，此時都不是最簡根式。 3 5
如：
將分⺟母化成不帶有根號的根式之過程，就 稱為分⺟母有理化或稱根式有理化。 2 4 、 化為最簡根式。 3 5
例 將
2 = 3
解 4
5
=
2 3 × = 3 3 4 5
×
5 5
=
6
2×3 = 3×3
6 = 2 3
4×
4 5
5×
5 5
=
32 2
( 5)
=
=
6 3
4 5 5
45
2-2 根式的運算
6. 同類方根與根式的加減運算 若將根式化為最簡根式後，含有相同⽅方根，就稱這些根式為同類⽅方根。 4 例 3 2、−4 2、 5
2、−
2
6
、 8( = 2 2) 都是同類⽅方根。
根式的加減運算：同類⽅方根可進⾏行加減運算。 若 a ≥ 0，則： (1) b a + c a = (b + c) a (2) b a − c a = (b − c) a 例 (1) 2 5 + 3 5 = (2 + 3) 5 = 5 5 (2) 3 7 − 2 7 = (3 − 2) 7 =
7
46
2-2 根式的運算
7. 利用平方差公式有理化分母 設 a > 0、b > 0，若要化簡分⺟母為 a±
b、 a ± b 或 a ±
b 的根式時，
可利⽤用平⽅方差公式 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 進⾏行分⺟母有理 化。 例 化簡下列各式 1 (1) 3+ 2 解 = = = =
(2)
1 3+
2
2)
2
( 3) − ( 2) 3−
2
2
2)
= = =
3−2
3−
2)
2)×( 3 −
( 3−
5−
解
1×( 3 − ( 3+
2
2
=
3
2 5−
3
2×( 5 + ( 5− 2( 5 +
3)×( 5 +
3)
3)
2
( 5) − ( 3) 2( 5 +
3)
2
3)
5−3
5+
3 47
2-2 根式的運算
8. 例題─根式的四則運算與化簡 計算下列各式的值，並化為最簡根式。 (1)
2−
3( 6 + 2 3 × 3 2)
(2)
2 3− 6−
10 5
(※請以橫向觀看影⾳音解說)
48
2-3
勾股定理
2-3
觀念摘要 1. 直角三角形之斜邊與股 2. 直角三角形之斜邊上的高 3. 勾股定理 4. 勾股定理之推導 5. 常見的直角三角形之三邊長比 6. 利用勾股定理求直角坐標平面上兩 點的距離
49
2-3 勾股定理
1. 直角三角形之斜邊與股 直⾓角三⾓角形：若三⾓角形有⼀一內⾓角是 90° （直⾓角），就是直⾓角三⾓角形。
斜邊、股：直⾓角三⾓角形中，直⾓角所對的邊稱為斜邊（Hypotenuse），其餘的兩個邊都 稱為股（Side）。 註 在中國古書中，直⾓角三⾓角形的斜邊稱為弦，直⾓角兩邊中的短邊稱為勾，⻑⾧長邊稱為 股。
50
2-3 勾股定理
2. 直角三角形之斜邊上的高 直⾓角三⾓角形之斜邊上的⾼高 =
B
兩股乘積 斜邊
說明 ※請以橫向觀看圖⽚片 如圖，ΔABC 中，∠ABC = 90°，且 BD ⊥ AC， 1 A ∵ΔABC 的⾯面積 = ab ， 2
a
b
h D
c
C
1 ΔABC 的⾯面積 = ch 2 1 1 ∴ ab = ch ⇒ ab = ch 2 2 ab 兩股乘積 = ∴h= c 斜邊
51
2-3 勾股定理
3. 勾股定理 任⼀一直⾓角三⾓角形中，兩股平⽅方和等於斜邊的平⽅方。 說明 ※請以橫向觀看圖⽚片 直⾓角三⾓角形中，兩股⻑⾧長分別是 a 和 b，斜邊⻑⾧長是 c，則 a 2 + b 2 = c 2。 ★由勾股定理公式 a 2 + b 2 = c 2，可知任⼀一直⾓角三⾓角形，其兩股上兩 個正⽅方形的⾯面積和，等於斜邊上正⽅方形的⾯面積，如圖所⽰示。 ★勾股定理⼜又稱商⾼高定理，在⻄西⽅方稱為 畢達哥拉斯定理，簡稱畢⽒氏定理。
52
2-3 勾股定理
4. 勾股定理之推導 ※請以橫向觀看圖片 如【圖⼀一】，直⾓角三⾓角形 ABC 兩股⻑⾧長分別為 a 和 b，斜邊⻑⾧長為 c。
C
將四個與直⾓角三⾓角形 ABC 相同的直⾓角三⾓角形，和⼀一個邊⻑⾧長為 c 的⼩小 正⽅方形，拼成⼀一個邊⻑⾧長為 a + b 的⼤大正⽅方形，如【圖⼆二】。 ⼤大正⽅方形⾯面積 = (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 1 四個直⾓角三⾓角形的⾯面積和 = 4 × × a × b = 2ab 2 ⼩小正⽅方形⾯面積 = c
B
2
即 (a + 2ab + b ) − 2ab = c ⇒ a2 + b2 = c2
a
A
【圖⼀一】
2
由⼤大正⽅方形⾯面積−四個直⾓角三⾓角形的⾯面積和＝⼩小正⽅方形⾯面積 2
c
b
b
2
a
b
a
c
c
b
c c a
a
b 【圖⼆二】 53
2-3 勾股定理
5. 常見的直角三角形之三邊長比 (※請以橫向觀看影⾳音解說)
54
2-3 勾股定理
動態數學 2.2 利用 GeoGebra 學習勾股定理
請移動藍點改變直⾓角三⾓角形的三邊⻑⾧長，並觀察三邊⻑⾧長之相互關係。 （試著移動藍點，使邊⻑⾧長 a = 3、b = 12，並觀察 c 是否為13） 55
2-3 勾股定理
6. 利用勾股定理求直角坐標平面上兩點的距離 直⾓角坐標平⾯面上任意兩點 A(x1, y1)、B(x2, y2)， 則 A、B 兩點間的距離 AB =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
說明 ※請以橫向觀看圖⽚片 如圖，A(x1, y1)、B(x2, y2) 是坐標平⾯面上的兩點，過 A 作⽔水平線和過 B 作鉛垂線，交於 C 點， 則： y
AC = x1 − x2 ，BC = y1 − y2 ∵ ΔABC 為直⾓角三⾓角形 2
2
∴ AB = AC + BC 2
B( x2 , y2 )
2
2
2
⇒ AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 2
2
2
O
⇒ AB = (x1 − x2) + (y1 − y2) ⇒ AB =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
A( x1 , y1 )
x
C ( x2 , y1 )
56
第三章
因式分解
3-1
因式、倍式與因式分解
3-1
觀念摘要 1. 因式與倍式 2. 因式與倍式之判別─多項式除法 3. 因式與倍式之判別─因式定理 4. 因式分解
58
3-1 因式、倍式與因式分解
1. 因式與倍式 設 A、B、C 為三個不為零的多項式， 若 A ÷ B = C，此時 B 和 C 為 A 的因式，A 是 B 和 C 的倍式。 例 將 (x 2 + 3x + 2) ÷ (x + 1) = (x + 2) 2
則 (x + 1) 和 (x + 2) 為 (x + 3x + 2) 的因式， (x 2 + 3x + 2) 是 (x + 1) 和 (x + 2) 的倍式。
59
3-1 因式、倍式與因式分解
2. 因式與倍式之判別─多項式除法 判別⼀一多項式是否為另⼀一多項式的因式或倍式，可利⽤用多項式除法。 若多項式 A 能被多項式 B 整除，則 B 為 A 的因式，A 為 B 的倍式。 例 判別 x − 2 是否為 x 2 − x − 2 之因式。 2
解 (x − x − 2) ÷ (x − 2) = (x + 1)⋯0 ∵ 商式為 (x + 1)，餘式為 0 即 x 2 − x − 2 被 x − 2 整除
∴ x − 2 是 x 2 − x − 2 之因式。 例 判別 x 2 + 5x + 6 是否為 x + 2 之倍式。 解 (x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 2) = (x + 3)⋯0 ∵ 商式為 (x + 3)，餘式為 0 即 x 2 + 5x + 6 被 x + 2 整除
∴ x 2 + 5x + 6 是 x + 2 之倍式。
60
3-1 因式、倍式與因式分解
3. 因式與倍式之判別─因式定理 若 ax + b 為⼀一多項式的因式， b 令 ax + b = 0 ⇒ x = − ， a b 將 x = − 代⼊入此多項式中，則其值必為 0。 a 例 判別 x − 2 是否為 x 2 − x − 2 之因式。 解 令 x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ，
將 x = 2 代⼊入 x 2 − x − 2
得 x 2 − x − 2 = 22 − 2 − 2 = 0
所以 x − 2 是 x 2 − x − 2 之因式。 例 判別 x − 1 是否為 99x 2 − 198x + 99 之因式。 解 令 x − 1 = 0 ⇒ x = 1，
將 x = 1 代⼊入 99x 2 − 198x + 99
得 99x 2 − 198x + 99 = 99 × 12 − 198 × 1 + 99 = 99 − 198 + 99 = 0 所以 x − 1 是 99x 2 − 198x + 99 之因式。
61
3-1 因式、倍式與因式分解
4. 因式分解
將⼀一個 x 的⼆二次式寫為兩個 x 的⼀一次式乘積，則稱為將此⼆二次式因式分解。 例 (x + 1)(x + 2)
乘積展開 因式分解
x 2 + 3x + 2 2
上式說明了 (x + 1)(x + 2) 的乘積展開為 x + 3x + 2， 反之，x 2 + 3x + 2 的因式分解為 (x + 1)(x + 2)。
62
3-2
提出公因式與分組分解
3-2
觀念摘要 1. 公因式與提公因式 2. 變號法則與提公因式 3. 分組提公因式與因式分解
63
3-2 提出公因式與分組分解
1. 公因式與提公因式
公因式：若多項式 C 同時是多項式 A 和多項式 B 的因式，則稱多項式 C 為多項式 A 和多項式 B 的公因式。
例 由 x 2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) 得知 (x + 1) 是 x 2 + 3x + 2 的因式。 由 x 2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) 得知 (x + 1) 也是 x 2 − x − 2 的因式。 所以 (x + 1) 就是 x 2 + 3x + 2 和 x 2 − x − 2 的公因式。
提公因式：當⼀一多項式的各項都有公因式時，可利⽤用分配律將公因式提出。 例 在 (x + 1)(x + 2) + (x + 1)(x − 2) 中，因為 (x + 1)(x + 2) 和 (x + 1)(x − 2) 都有公因式 (x + 1)，所以可利⽤用分配律將 (x + 1) 提 出，則式⼦子整理如下： (x + 1)(x + 2) + (x + 1)(x − 2) = (x + 1)[(x + 2) + (x − 2)] = (x + 1)[x + 2 + x − 2] = 2x(x + 1)
64
3-2 提出公因式與分組分解
2. 變號法則與提公因式 變號法則：★ (x − 1) = − (1 − x) ★ (x − 1)2 = (1 − x)2 因式分解下列各式： (1) x(x − 3) − (3 − x)(2 − x) (2) a(x − y) − (y − x)2 解 (1) x(x − 3) − (3 − x)(2 − x) = x(x − 3) − [ − (x − 3)](2 − x) = x(x − 3) + (x − 3)(2 − x) = (x − 3)[x + (2 − x)] = (x − 3)(x + 2 − x) = 2(x − 3) 2
(2) a(x − y) − (y − x)
= a(x − y) − (x − y)2 = (x − y)[a − (x − y)] = (x − y)(a − x + y)
65
3-2 提出公因式與分組分解
3. 分組提公因式與因式分解 ⼀一個多項式的各項，表⾯面上沒有共同的因式，但若將此多項式的各項分組後，且各組 分別提出公因式，可發現組與組之間有共同因式可以提出。 分組分解的步驟：
(1) 先分組：根據項數相等與對應項係數成⽐比例的原則，使每組間都有公因式。 (2) 提出公因式：每組分別提出公因式。 (3) 提各組間的公因式，化簡整理即得因式分解的結果。 例 因式分解解 x 2 − 2x + ax − 2a 解 ⽅方法⼀一 x2 − 2x + ax − 2a = (x 2 − 2x) + (ax − 2a) = x(x − 2) + a(x − 2) = (x − 2)(x + a) ⽅方法⼆二 x2 − 2x + ax − 2a = (x 2 + ax) − (2x + 2a) = x(x + a) − 2(x + a) = (x + a)(x − 2)
66
3-3
利用乘法公式做因式分解
3-3
觀念摘要 1. 利用和的平方公式做因式分解 2. 利用差的平方公式做因式分解 3. 利用平方差公式做因式分解
67
3-3 利用乘法公式做因式分解
1. 利用和的平方公式做因式分解 若⼀一多項式可寫為 a 2 + 2ab + b 2 的形式，可利⽤用和的平⽅方公式 a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 進⾏行因式分解。 例 因式分解下列各式： (1) x 2 + 6x + 9
(2) 16x 2 + 40x + 25 解 (1) x 2 + 6x + 9 = (x)2 + 2⋅(x)⋅(3) + (3)2 = (x + 3)2
(2) 16x 2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2⋅(4x)⋅(5) + (5)2 = (4x + 5)2
68
3-3 利用乘法公式做因式分解
2. 利用差的平方公式做因式分解 若⼀一多項式可寫為 a 2 − 2ab + b 2 的形式，可利⽤用差的平⽅方公式 a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)2 進⾏行因式分解。 例 因式分解下列各式： (1) x 2 − 12x + 36
(2) −49 + 28x − 4x 2 解 (1) x 2 − 12x + 36 = (x)2 − 2⋅(x)⋅(6) + (6)2 = (x − 6)2
2 (2) − 49 + 28x − 4x = − 4x 2 + 28x − 49 = − (4x 2 − 28x + 49)
= − [(2x)2 − 2⋅(2x)⋅(7) + (7)2] = − (2x − 7)2
69
3-3 利用乘法公式做因式分解
3. 利用平方差公式做因式分解 若⼀一多項式可寫為 aa22 − − bb22 的形式，可利 的形式， 若⼀一多項式可寫為 2 2 a − b ⽤用平⽅方差公式 可利⽤用平⽅方差公式 = (a + b)(a − b) 進 ⾏行因式分解。 a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) 進⾏行因式分 解。 例 因式分解下列各式： (1) x 2 − 81
(2) 8 − 2x 2
(3) (2x + 1)2 − (x + 2)2 (4) (x − 3)2 − 1 解 (1) x 2 − 81 = (x)2 − (9)2 = (x + 9)(x − 9) (2) 8 − 2x 2 = 2(4 − x 2) = 2(22 − x 2) = 2(2 + x)(2 − x)
2 2 (2x + 1) − (x + 2) (3) = [(2x + 1) + (x + 2)][(2x + 1) − (x + 2)] = (2x + 1 + x + 2)(2x + 1 − x − 2) = (3x + 3)(x − 1) = 3(x + 1)(x − 1) 2 (x − 3) −1 (4) = (x − 3)2 − 12 = [(x − 3) + 1][(x − 3) − 1] = (x − 3 + 1)(x − 3 − 1) = (x − 2)(x − 4) 70
3-4
利用十字交乘法做因式分解
3-4
觀念摘要 1. 乘法分配律與十字交乘法 2. 二次項係數（x2）為1的十字交乘法 3. 提公因式後二次項係數（x2）為1的 十字交乘法 4. 二次項係數（x2）不為1的十字交乘 法
71
3-4 利用十字交乘法做因式分解
1. 乘法分配律與十字交乘法
利⽤用乘法分配律展開：(x + 2)(x + 3) = x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x + 6 ⇒ x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 就是 x 2 + 5x + 6 的因式分解。
由上述例⼦子，可得知： (x + a)(x + b) = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + (a + b)x + ab 以直式表⽰示：(※請以橫向觀看⼗十字交乘法) x +a b x
+b
+ ax + bx = (a + b) x ⼗十字交乘法：上述直式表⽰示法中，有⼀一個斜斜的⼗十字，⽤用以表⽰示如何交叉相乘得出 x 項的係數，所以這種分解⼀一元⼆二次式的⽅方法就叫作⼗十字交乘法。 例 因式分解 x 2 + 5x + 6 解 (※請以橫向觀看⼗十字交乘法) x +2 x2
6
x +3 2 x + 3x = 5 x ∴ x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 72
3-4 利用十字交乘法做因式分解
2. 二次項係數（x2）為1的十字交乘法 例 因式分解 x 2 − 5x + 6 解 分解步驟如下： (1) 分解常數項 6：列出所有相乘的組合。 6 = 1×6 = 2×3 = ( − 1)×( − 6) = ( − 2)×( − 3) (2) ⼗十字交乘法：⽐比對⼀一次項(x)的係數。 x +1 x +2 x
+6
+ x + 6 x = +7 x
x
+3
+2 x + 3x = +5 x
x
−1
x
−2
x
−6
x
−3
− x − 6 x = −7 x
−2 x − 3 x = −5 x
(※請以橫向觀看⼗十字交乘法) (3) 因式分解：以橫式表⽰示因式分解的結果。 ∴ x 2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
73
3-4 利用十字交乘法做因式分解
3. 提公因式後二次項係數（x2）為1的十字交乘法 例 因式分解 −2x 2 + 12x − 10 解 分解步驟如下： (1) 提公因式：提出各項係數的公因式。 −2x 2 + 12x − 10 = − 2(x 2 − 6x + 5) (2) 分解常數項：列出所有相乘的組合。 5 = 1 × 5 = ( − 1) × ( − 5) (3) ⼗十字交乘法：⽐比對⼀一次項(x)的係數。 x +1 x −1 x
+5
+ x + 5 x = +6 x
x
−5
− x − 5 x = −6 x
(※請以橫向觀看⼗十字交乘法) (4) 因式分解：以橫式表⽰示因式分解的結果。 ∴ − 2x 2 + 12x − 10 = − 2(x 2 − 6x + 5) = − 2(x − 1)(x − 5) 74
3-4 利用十字交乘法做因式分解
4. 二次項係數（x2）不為1的十字交乘法 例 因式分解 −2x 2 − x + 3 解 分解步驟如下： (1) 提公因式：提出各項係數的公因式。 −2x 2 − x + 3 = − (2x 2 + x − 3)
(2) 分解⼆二次項(x2)：列出所有相乘的組合，若 x2 係數為正數，習慣上只考慮其正 因數。 2x 2 = 2x ⋅ x (3) 分解常數項：列出所有相乘的組合。 −3 = 1×( − 3) = ( − 1)×3 = 3×( − 1) = ( − 3)×1
75
3-4 利用十字交乘法做因式分解
(4) ⼗十字交乘法：⽐比對⼀一次項(x)的係數。 x + x −
x
−3
+ x − 6 x = −5 x
x
+3
− x + 6 x = +5 x
(※請以橫向觀看⼗十字交乘法) (5) 因式分解：以橫式表⽰示因式分解的結果。
+ x
−1
+3 x − 2 x = + x
∴ − 2x 2 − x + 3 = − (2x 2 + x − 3) = − (2x + 3)(x − 1)
76
第四章
一元二次方程式
⿈黃⾦金⽐比例，⼜又稱⿈黃⾦金⽐比，是⼀一種數學上的⽐比例關係，常⽤用希臘字⺟母 φ 表⽰示⿈黃⾦金⽐比值，⽤用代數式表達就是： ⽅方程式可解出 φ =
1+
2
5
≈ 1.618 。圖中矩形的⻑⾧長寬⽐比為⿈黃⾦金⽐比例，故稱為⿈黃⾦金矩形。
a+b a = = φ ，利⽤用⼀一元⼆二次 a b
4-1
因式分解解一元二次方程式
4-1
觀念摘要 1. 一元二次方程式 2. 一元二次方程式的解 3. 因式分解與一元二次方程式的解 4. 提公因式法解一元二次方程式 5. 利用乘法公式解一元二次方程式 6. 十字交乘法解一元二次方程式─ 二次項（x2）係數為1 7. 十字交乘法解一元二次方程式─ 提公因式後二次項（x2）係數為1 8. 十字交乘法解一元二次方程式─ 二次項（x2）係數不為1 9. 十字交乘法解一元二次方程式─ 提公因式後二次項（x2）係數不為1 10.利用代數法解一元二次方程式
78
4-1 因式分解解一元二次方程式
1. 一元二次方程式 ⼀一個等式中，含有⼀一個未知數（⼀一元），且未知數的最⾼高次⽅方是⼆二次，這樣的等式就 稱為⼀一元⼆二次⽅方程式。 例 2x 2 − 3x + 4 = 5
79
4-1 因式分解解一元二次方程式
2. 一元二次方程式的解
將⼀一個未知數（如：x）所代表的數代⼊入⼀一元⼆二次⽅方程式中，能使⽅方程式的等號成
⽴立，則這個數就是此⼀一元⼆二次⽅方程式的解或根，⽽而找出⼀一元⼆二次⽅方程式的解或根的過 程，稱為解⼀一元⼆二次⽅方程式。 例 判斷 x = 1、x = 2、x = − 1 是否為 x 2 − x − 2 = 0 的解？
解 將 x = 1 代⼊入，x 2 − x − 2 = 12 − 1 − 2 = − 2 ≠ 0，等式不成⽴立。 將 x = 2 代⼊入，x 2 − x − 2 = 22 − 2 − 2 = 0，等式成⽴立。
將 x = − 1 代⼊入，x 2 − x − 2 = ( − 1)2 − ( − 1) − 2 = 1 + 1 − 2 = 0，等式成⽴立。 ∴ x = 2、x = − 1 為 x 2 − x − 2 = 0 的解。
80
4-1 因式分解解一元二次方程式
3. 因式分解與一元二次方程式的解 當 a = 0 或 b = 0 時，a ⋅ b = 0。
若 a ⋅ b = 0，則 a = 0 或 b = 0。利⽤用此法則，將⼀一元⼆二次⽅方程式分解成兩個⼀一次式的 乘積等於 0 時，即可求出此⽅方程式的解。
−b −d 若 (ax + b)(cx + d) = 0，則 ax + b = 0 或 cx + d = 0，即 x = 或x= 。 a c 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 x 2 + 3x + 2 = 0 解 x 2 + 3x + 2 = 0
(x + 1)(x + 2) = 0
(x + 1) = 0 或 (x + 2) = 0
x =−1或x =−2
所以 x 2 + 3x + 2 = 0 的解為 x = − 1 與 x = − 2
例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 x 2 + 2x + 1 = 0 解 x 2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)2 = 0
(x + 1) = 0 或 (x + 1) = 0
(x + 1)(x + 1) = 0 x =−1或x =−1
所以 x 2 + 2x + 1 = 0 的解為 x = − 1（重根） ★當⼀一元⼆二次⽅方程式有兩個相同的解，我們就稱這兩個解為⼀一元⼆二次⽅方程式的重根或 等根。 81
4-1 因式分解解一元二次方程式
4. 提公因式法解一元二次方程式 例 解下列各⼀一元⼆二次⽅方程式 (1) 2x 2 − 6x = 0 (2) (x + 2)(3x − 2) − (2x − 3)(x + 2) = 0 解 (1) 2x 2 − 6x = 0
⇒ 2(x 2 − 3x) = 0 ⇒ 2x(x − 3) = 0 ⇒ 2x = 0 或 (x − 3) = 0 ⇒x=0或x=3
所以 2x 2 − 6x = 0 的解為 x = 0 與 x = 3 (2) (x + 2)(3x − 2) − (2x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ (x + 2)[(3x − 2) − (2x − 3)] = 0 ⇒ (x + 2)(3x − 2 − 2x + 3) = 0 ⇒ (x + 2)(x + 1) = 0 ⇒x+2=0或x+1=0 ⇒x =−2或x =−1 所以 (x + 2)(3x − 2) − (2x − 3)(x + 2) = 0 的解為 x = − 2 與 x = − 1 82
4-1 因式分解解一元二次方程式
5. 利用乘法公式解一元二次方程式 (1) 和的平⽅方公式：a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 9x 2 + 24x + 16 = 0 9x 2 + 24x + 16 = 0
解
⇒ (3x)2 + 2 ⋅ (3x) ⋅ 4 + 42 = 0 ⇒ (3x + 4)2 = 0 ⇒ 3x + 4 = 0 4 ⇒ x = − （重根） 3 4 所以 9x + 24x + 16 = 0 的解為 x = − （重根）。 3 2
(2) 差的平⽅方公式：a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)2 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 −36 + 60x − 25x 2 = 0 解
−36 + 60x − 25x 2 = 0
⇒ 36 − 60x + 25x 2 = 0 ⇒ 25x 2 − 60x + 36 = 0
⇒ (5x)2 − 2 ⋅ (5x) ⋅ 6 + 62 = 0 83
4-1 因式分解解一元二次方程式
⇒ (5x − 6)2 = 0 ⇒ 5x − 6 = 0 6 ⇒ x = （重根） 5 6 所以 −36 + 60x − 25x = 0 的解為 x = （重根）。 5 2
(3) 平⽅方差公式：a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 1 − (x − 2)2 = 0 1 − (x − 2)2 = 0
解
⇒ 12 − (x − 2)2 = 0 ⇒ [1 + (x − 2)][1 − (x − 2)] = 0 ⇒ (1 + x − 2)(1 − x + 2) = 0 ⇒ (x − 1)( − x + 3) = 0 ⇒ x − 1 = 0 或 −x + 3 = 0 ⇒x=1或x=3
所以 1 − (x − 2)2 = 0 的解為 x = 1 與 x = 3。
84
4-1 因式分解解一元二次方程式
6. 十字交乘法解一元二次方程式─二次項（x2）係數為1 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 x 2 + x − 6 = 0 x2 + x − 6 = 0
解
x
+3
⇒ (x + 3) = 0 或 (x − 2) = 0
x
−2
⇒x =−3或x =2
+3 x − 2 x = + x
⇒ (x + 3)(x − 2) = 0
所以 x 2 + x − 6 = 0 的解為 x =−3與x =2
85
4-1 因式分解解一元二次方程式
7. 十字交乘法解一元二次方程式─提公因式後二次項（x2）係數為1 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 −3x 2 + 18x + 21 = 0 −3x 2 + 18x + 21 = 0
解
⇒ 3( − x 2 + 6x + 7) = 0 ⇒ − 3(x 2 − 6x − 7) = 0
x
+1
x
−7
⇒ x 2 − 6x − 7 = 0 ⇒ (x + 1)(x − 7) = 0 ⇒ (x + 1) = 0 或 (x − 7) = 0
+ x − 7 x = −6 x
⇒x =−1或x =7
所以 −3x 2 + 18x + 21 = 0 的解為 x =−1與x =7
86
4-1 因式分解解一元二次方程式
8. 十字交乘法解一元二次方程式─二次項（x2）係數不為1 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 5x 2 − 2x − 7 = 0 5x 2 − 2x − 7 = 0
解
⇒ (5x − 7)(x + 1) = 0
x
⇒ (5x − 7) = 0 或 (x + 1) = 0 7 ⇒x = 或x =−1 5
x +1 −7 x + 5 x = −2 x
−
所以 5x 2 − 2x − 7 = 0 的解為 7 x = 與x =−1 5
87
4-1 因式分解解一元二次方程式
9. 十字交乘法解一元二次方程式─提公因式二次項（x2）係數不為1 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 −6x 2 − 8x + 8 = 0 −6x 2 − 8x + 8 = 0
解
⇒ − 2(3x 2 + 4x − 4) = 0 ⇒ 3x 2 + 4x − 4 = 0 ⇒ (3x − 2)(x + 2) = 0 ⇒ (3x − 2) = 0 或 (x + 2) = 0 2 ⇒x = 或x =−2 3
x
−
x
+2
−2 x + 6 x = +4 x
所以 −6x 2 − 8x + 8 = 0 的解為 2 x = 與x =−2 3
88
4-1 因式分解解一元二次方程式
10.利用代數法解一元二次方程式 例 解⼀一元⼆二次⽅方程式 (3x − 4)2 − 4(3x − 4) − 5 = 0 解 (3x − 4)2 − 4(3x − 4) − 5 = 0 設 A = 3x − 4
⇒ A 2 − 4A − 5 = 0 ⇒ (A + 1)(A − 5) = 0
將 A = 3x − 4 代⼊入 ⇒ [(3x − 4) + 1][(3x − 4) − 5] = 0
A
+1
A
−5
A − 5 A = −4 A
⇒ (3x − 4 + 1)(3x − 4 − 5) = 0 ⇒ (3x − 3)(3x − 9) = 0 ⇒ 3x − 3 = 0 或 3x − 9 = 0 ⇒x=1或x=3
所以 (3x − 4)2 − 4(3x − 4) − 5 = 0 的解為 x = 1 與 x = 3
89
4-2
配方法與公式解
4-2
觀念摘要 1. 利用平方根概念解一元二次方程式 2. 完全平方式與一元二次方程式的解 3. 將多項式 x2+mx 配成完全平方式 4. 利用配方法解一元二次方程式 5. 利用配方法推導一元二次方程式公 式解 6. 一元二次方程式公式解之判別式 7. 一元二次方程式之根與係數的關係
90
4-2 配方法與公式解
1. 利用平方根概念解一元二次方程式 (1) x 2 = k(k ≥ 0) ⇒ x = ± 例 x 2 = 5 ⇒ x = ±
k
5
(2) (x + b)2 = k(k ≥ 0) ⇒ x = − b ± 例 (x + 3)2 = 5 ⇒ x + 3 = ± 2
(3) (ax + b) = k(k ≥ 0) ⇒ x = 2
例 (2x + 3) = 5 ⇒ 2x + 3 = ±
k
5 ⇒x =−3± −b ± a
5
k
5 ⇒ 2x = − 3 ±
5⇒x=
−3 ± 2
5
91
4-2 配方法與公式解
2. 完全平方式與一元二次方程式的解 完全平⽅方式：設 A、B 均為多項式，且 A 2 = B ⇒ B 為完全平⽅方式。
和的平⽅方公式：(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 ⇒ a 2 + 2ab + b 2 為完全平⽅方式。 差的平⽅方公式：(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2 ⇒ a 2 − 2ab + b 2 為完全平⽅方式。
若要求出⼀一元⼆二次⽅方程式 ax 2 + bx + c = 0 的解，先將 ax 2 + bx + c = 0 整理為完全平 2
⽅方式的形式 (px + q) = r(r ≥ 0)，化簡可得 x = 說明
−q ± p
r
。
(px + q)2 = r(r ≥ 0)
⇒ px + q = ±
r
⇒ px = − q ±
r
⇒x=
−q ±
r
p
92
4-2 配方法與公式解
3. 將多項式 x 2 + mx 配成完全平方式
2 m 將 x 2 + mx 配成完成平⽅方式，須加上 ( ) 。 2
m 2 m 2 ★ x + mx + ( ) = (x + ) 2 2 2
說明
x 2 + mx
m m 2 m 2 ⇒x + 2⋅x⋅ + ( ) = (x + ) 2 2 2 2
例 將下列各式配成完全平⽅方式。 (1) x 2 + 4x (2) x 2 + 5x
(3) x 2 + 6x
解 (1) x 2 + 4x ⇒ x 2 + 4x + 22 = (x + 2)2 2 2 5 5 (2) x 2 + 5x ⇒ x 2 + 5x + ( ) = (x + ) 2 2
(3) x 2 + 6x ⇒ x 2 + 6x + 32 = (x + 3)2
93
4-2 配方法與公式解
4. 利用配方法解一元二次方程式 例 利⽤用配⽅方法解 2x 2 + 3x − 4 = 0 求解步驟如下： (1) 移常數項：將常數項移⾄至等號右邊。 2x 2 + 3x = 4
(2) 將 x2 項係數變為 1：利⽤用等量公理將⼆二次項(x2)係數變為 1。 3 2 x + x=2 2 (3) 配為完全平⽅方式：等號兩邊同時加上⼀一次項係數⼀一半的平⽅方，將等號左邊配為完 全平⽅方式。 2 2 2 3 3 3 3 41 2 x + x + ( ) = 2 + ( ) ⇒ (x + ) = 2 4 4 4 16 (4) 等號兩邊開根號：利⽤用平⽅方根法則去除完全平⽅方式的平⽅方。
3 2 (x + ) = 4
41 3 ⇒x+ =± 16 4
41
4
(5) 移項求得 x：利⽤用等量公理求出 x 的值。 3 x=− ± 4
41
4
94
4-2 配方法與公式解
5. 利用配方法推導一元二次方程式公式解 例 利⽤用配⽅方法解 ax 2 + bx + c = 0 求解步驟如下： (1) 移常數項：將常數項移⾄至等號右邊。 ax 2 + bx = − c
(2) 將 x2 項係數變為 1：利⽤用等量公理將⼆二次項(x2)係數變為 1。 b c 2 x + x=− a a (3) 配為完全平⽅方式：等號兩邊同時加上⼀一次項係數⼀一半的平⽅方，將等號左邊配為完 全平⽅方式。 2 2 2 2 b b b b c b − 4ac 2 x + x + ( ) = − + ( ) ⇒ (x + ) = a 2a a 2a 2a 4a 2 (4) 等號兩邊開根號：利⽤用平⽅方根法則去除完全平⽅方式的平⽅方。
b 2 (x + ) = 2a
b 2 − 4ac b ± ⇒ x + = 4a 2 2a
b 2 − 4ac 2a
(5) 移項求得 x：利⽤用等量公理求出 x 的值。 x=
−b ±
b 2 − 4ac 2a
95
4-2 配方法與公式解
6. 一元二次方程式公式解之判別式 ⼀一元⼆二次⽅方程式 ax 2 + bx + c = 0 的公式解為 x = 為判別式。 ※請以橫向觀看判別式與解的情形
−b ±
b 2 − 4ac ，其中 b 2 − 4ac 2a
96
4-2 配方法與公式解
例 利⽤用公式解下列各⼀一元⼆二次⽅方程式 (1) x 2 + x − 1 = 0
(2) 4x 2 − 4x + 1 = 0 (3) x 2 − 2x + 3 = 0
a=1 解 (1) x 2 + x − 1 = 0 ⇒ b = 1 {c = − 1 b 2 − 4ac = 12 − 4 × 1 × ( − 1) = 1 − ( − 4) = 5 > 0 x=
−1 ±
2×1
5
=
−1 ± 2
5
a=4 (2) 4x 2 − 4x + 1 = 0 ⇒ b = − 4 {c = 1 b 2 − 4ac = ( − 4)2 − 4 × 4 × 1 = 16 − 16 = 0 x=
−( − 4) ± 2×4
0
4 1 = = （重根） 8 2
97
4-2 配方法與公式解
a=1 (3) x 2 − 2x + 3 = 0 ⇒ b = − 2 {c = 3 2
2
b − 4ac = ( − 2) − 4 × 1 × 3 = 4 − 12 = − 8 < 0 ∴無解
98
4-2 配方法與公式解
7. 一元二次方程式之根與係數的關係 若 α、β 為⼀一元⼆二次⽅方程式 ax 2 + bx + c = 0 的兩根，則： b 兩根和：α + β = − a c 兩根積：αβ = a 說明
若 α、β 為⼀一元⼆二次⽅方程式 ax 2 + bx + c = 0 的兩根，則可得知 (x − α)(x − β) = 0 (x − α)(x − β) = 0 ⇒ x 2 − (α + β)x + αβ = 0⋯⋯① b c 且 ax + bx + c = 0 ⇒ x + x + = 0⋯⋯② a a 2
2
⽐比較①、②之後可得： b b (1) −(α + β) = ⇒ α + β = − a a c (2) αβ = a
99
4-3
一元二次方程式應用問題
4-3
觀念摘要 1. 解一元二次方程式之應用問題 2. 一元二次方程式應用問題之合理性
100
4-3 一元二次方程式應用問題
1. 解一元二次方程式之應用問題 ⼀一元⼆二次⽅方程式解應⽤用問題的步驟：
(1) 設未知數：依題意選定⼀一個適當的未知數，習慣以 x 或 y 表⽰示。 (2) 列⽅方程式：依題意列出⼀一元⼆二次⽅方程式。
(3) 解⽅方程式：利⽤用因式分解法、⼗十字交乘法、配⽅方法或公式解求出⼀一元⼆二次⽅方程式 的解。 (4) 驗算：檢驗所求的未知數之值是否符合題意。 (5) 寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。 例 三個連續整數的平⽅方和為 50，求這三數分別為何？ 解 設三個連續整數之中間數為 x，則其他⼆二數分別為 x + 1、x − 1 依題意列式：(x + 1)2 + x 2 + (x − 1)2 = 50 x 2 + 2x + 1 + x 2 + x 2 − 2x + 1 = 50 3x 2 + 2 = 50 3x 2 = 48 x 2 = 16 x =±4
101
4-3 一元二次方程式應用問題
當x=4時
x+1=4+1=5 x−1=4−1=3
當x =−4時
x+1=−4+1=−3 x−1=−4−1=−5
答：三數分別為 3、4、5 或 −3、−4、−5
102
4-3 一元二次方程式應用問題
2. 一元二次方程式應用問題之合理性 解⼀一元⼆二次⽅方程式的應⽤用問題時，除了驗算計算過程外，也要檢驗所求得未知數的值 是否符合題意與是否合乎常理。
例 ⼀一直⾓角三⾓角形之三邊⻑⾧長分別為 x + 1、x、 x − 7，求此直⾓角三⾓角形之三邊⻑⾧長。 解 根據勾股定理列式：x 2 + (x − 7)2 = (x + 1)2 x 2 + x 2 − 14x + 49 = x 2 + 2x + 1 x 2 − 16x + 48 = 0 (x − 12)(x − 4) = 0 x = 12 或 x = 4 當 x = 12 時
x + 1 = 12 + 1 = 13 x − 7 = 12 − 7 = 5
當x=4時
x+1=4+1=5 x−7=4−7=−3
∵邊⻑⾧長不可為負數，x = 4 不符合常理 ∴ x = 12 答：三邊⻑⾧長為 5、12、13 103
A BOUT
關於
葛倫 葛倫⺫⽬目前是徠富數位學習科技有限公司 的創辦⼈人兼執⾏行⻑⾧長。 葛倫同時創⽴立Live數位國中數學網站 （Liveism.com）， 並經營Live在Youtube的教育頻道 (Youtube.com/Liveism) 以及Live數位國中數學_名師葛倫Facebook 粉絲專⾴頁(Facebook.com/Liveism)。 葛倫⽼老師致⼒力於數位教學，希望透過資訊科技的 ⼒力量，培養孩⼦子具備迎向未來的關鍵能⼒力！
Galen
cv
著作權聲明
Live 國中數學 i觀念 3
Live Middle School Math iConcept 3 by Galen
編著者
葛倫
出版者
徠富數位學習科技有限公司
No.120, Sanguan Rd., South Dist.,
台灣台南市南區三官路120號
Tainan City 702, Taiwan (R. O. C.)
Mar. 2014
1st Edition
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⾸首發版
2014年3⽉月
Published by Live e-Learning Technology Inc.
Copyright © 2014 Live e-Learning Technology Inc.
ISBN: 9789868837140
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教育宗旨
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