Live 國中數學 i講義 4 試閱版

4

Ver 1.0

徠富數位學習科技有限公司

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9789868837157

前言 數學的學習方法 學好基礎數學的第一步，就是要有正確扎實的基本觀念，良好觀念的建立原 則─先理解再記憶。透過不同題目類型的演練有助於澄清了解基本觀念，為 了靈活應用基本觀念與提昇厚植數學實力，進行一定數量與質量的試題練習 是必要的。所以”基本觀念、題型解析、試題練習”就是學好數學的金字塔！

本書的編寫架構 一、基本觀念 以條列式歸納整理該節的觀念重點，簡潔清楚的文字敘述，輔以圖示、表格、 例題說明，讓讀者能輕易理解觀念內容，迅速掌握複習要點。

二、精選題型 題目類型呼應基本觀念，題型安排由簡易循序漸進至複雜，系統性的精華題 型，鞏固所學的數學概念，培植基本的數學能力。

Live 的數位教學 數學學習困難的本質因素在於─數學本身是抽象思維的產物。 葛倫老師借助數位工具的力量，將抽象的數學概念轉化為具體的多媒體，透 過筆跡、圖片、聲音等動畫影音呈現， 將原本生硬艱澀難懂的數學內容， 詮釋化簡為生動有趣易理解的數學 觀念。 每一題精選題型葛倫老師都親自手 寫板書教學，教學過程充分發揮數 位功能─多彩畫筆、螢光註記、剪貼 縮放、３Ｄ透視、幾何圖形等。 Live 卓越的數位教學，除了擁有高品質的 數位教學內容，透過直覺易用的操 作介面，搭配非線性隨選學習功 能，讓學生以最有效率、最具創 意的未來學習方式來學好數學！

編者 葛 倫

目次 第一章 等差數列與等差級數 1-1 等差數列 1-2 等差級數

4 16

第二章 幾何圖形與尺規作圖 2-1 生活中的平面圖形

29

2-2 垂直、平分與線對稱圖形

46

2-3 尺規作圖

55

第三章 三角形的基本性質 3-1 三角形的內角與外角

66

3-2 三角形的全等性質

81

3-3 三角形的邊角關係

97

第四章 平行與四邊形 4-1 平行

105

4-2 平行四邊形

115

4-3 特殊平行四邊形與梯形

124

1 等差數列與等差級數 1-1 等差數列 1-2 等差級數

4

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

１－１ 等差數列 基本觀念 1. 等差數列的介紹 數列：將一些數字排成一列就稱為數列。 項：數列中的每一個數就稱為項。其中，第一個數稱為第一項或首項，第二個數稱為 第二項，…，最後一個數稱為末項。 例 1，2，5，7，13，29 為一數列，第一項或首項是 1，第三項是 5，第五項或末項是 ■ 29。 等差數列：一數列的任意相鄰兩項，其後項減前項的差都一樣，則此數列就稱為等差 數列。 公差：一等差數列中，任意相鄰兩項的差（後項減前項）稱為公差。 例 1，3，5，7，9 為一數列，首項是 1，第三項是 5，末項是 9，公差是 2。 ■ 2. 等差數列第 n 項公式 設一等差數列的首項為 a1 ，公差為 d，第 n 項為 an ，則 an = a1 + (n − 1)d 。 說明

a2 = a1 + d a3 = a2 + d = (a1 + d ) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = a1 + 3d  an = a1 + (n − 1)d

設 d > 0 ，則等差數列 a1 ， a2 ， a3 ，…， an ，在數線上的圖示如下： a1

a2 d

例

a3 d

a4 d

.......

an

(n-1) 個 d

例 已知一等差數列，首項為 5，公差為 3，求此等差數列的第十七項為何？ ■ 解 已知 a1 = 5 □

，公差 d = 3 ， n = 17

則 a17 = a1 + (17 − 1)d = 5 + 16 × 3 = 5 + 48 = 53

1-1 等差數列 3. 等差數列任兩項關係式 設一等差數列的首項為 a1 ，公差為 d，第 k 項為 ak ，第 n 項為 an (k < n) ，則 an = ak + (n − k )d 。 說明  an = a1 + (n − 1)d ……①

ak = a1 + (k − 1)d ……② 由①－② ⇒ an − ak = a1 + (n − 1)d − a1 − (k − 1)d ⇒ an − ak = nd − d − kd + d = (n − k )d ∴ an = ak + (n − k )d 例 已知一等差數列第四項為 5，第十一項為 61，求此等差數列的公差為何？ ■ 解 設公差為 d □ 已知 a4 = 5 ， a11 = 61 由 a11 = a4 + (11 − 4) × d ⇒ 61 = 5 + (11 − 4) × d ⇒ 61 − 5 = 7d ⇒ 56 = 7d ⇒d =8

4. 等差中項 若 a、b、c 三數成等差數列，則中間項 b 稱為 a 和 c 的等差中項，且 b = 說明 a、b、c 三數成等差數列 ⇒ b − a = c − b

⇒ 2b = a + c ⇒b=

a+c 2

例 已知 x 與 15 的等差中項為 9，求 x 的值。 ■ 解由 □

x + 15 =9 2

⇒ x + 15 = 18 ⇒ x=3

a+c 。 2

5

6

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ 觀察數列的規律，在空格中填入適當的數，並維持原有的規律。 (1) 5，6，8，11， (2) 1，4，9，

，20，26。 ，25，36。

(3) 5， −5 ，5， (4) 6，10，14， (5)

，5， −5 。 ，22，26。

1 2 3 ，− ， ， 2 3 4

，

5 6 ，− 。 6 7

題型２ 下列各項是否為等差數列？如果是，請寫出它的公差。 (1) 1，3，5，7，9。 (2) 0，2，4，8，16。 (3) 4，4，4，4，4。 (4) −1 ，2，5，8，11。

1-1 等差數列

題型３ 若等差數列的第三項為 1，公差為 −3 ，試寫出這個等差數列的前五項。

題型 4 在下列空格中填入適當的數，使每個數列成為等差數列。 (1) 8，3，

，

(2)

，3， −3 ，

(3)

，

(4) a ， a + 3 ，

，

，6， 8 ，

。 ，

。

1 ， 2

。 ，

。

7

8

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 如果一等差數列的首項為 7，公差為 6，求此等差數列的第十項。

題型 6 已知一等差數列的首項 a1 = 8 ，第六項 a6 = −27 ，則公差 d =

， a10 =

。

1-1 等差數列

題型 7 如果 38，44，50，……，164 為一等差數列，則此等差數列共有幾項？

題型 8 如果一等差數列的第八項為 −11 ，公差為 −3 ，則此等差數列的首項為多少？

9

10

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 如果一等差數列的 a4 = 2 ， a15 = −

5 ，求此等差數列的公差及 a10 。 3

題型 10 若在 17 與 41 之間插入 m 個數，使其成為等差數列，且公差為 3，則 m = ？

1-1 等差數列

題型 11 (1) 求 3 與 21 的等差中項。 (2) 若 6 與 a 的等差中項為 18，求 a 之值。

題型 12 用相同的吸管拼成正三角形，如圖所示： (1) 若要拼成 15 個相連的正三角形，則需要多少根吸管？ (2) 若用去 99 根吸管，則可拼成多少個相連的正三角形？

11

12

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 13 若 −102 ， −100 ， −98 ，……為等差數列，則此等差數列自第幾項開始出現正數？

題型 14 有三個數成等差數列，其和為 24，其平方和為 210，求此三數的乘積。

1-1 等差數列

題型 15 設 4，8，12，……與 6，12，18，……皆為等差數列。 (1) 寫出這兩個等差數列的第一個共同項。 (2) 寫出這兩個等差數列的第十個共同項。

題型 16 從 320 到 1000 的整數中，9 的倍數共有多少個？

13

14

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 17 小明為了參加運動會的長跑，他計畫第一天跑操場 4 圈，以後每天比前一天增加 2 圈，請 問第幾天才能達到一天跑 16 圈？

題型 18 設兩數的積為 15，且這兩數的等差中項為 8，則此兩數為何？

1-1 等差數列

題型 19 設直角三角形的三邊長成等差數列，且此三角形的面積為 150，求此三邊長為何？

題型 20 如圖，一圓桌周圍有 20 個箱子，依順時針方向編號 1 ～ 20。小明在 1 號箱子中丟入一顆紅球後，沿著圓桌依順時 針方向行走，每經過一個箱子就依下列規則丟入一顆球： 1. 若前一個箱子丟紅球，經過的箱子就丟綠球。 2. 若前一個箱子丟綠球，經過的箱子就丟白球。 3. 若前一個箱子丟白球，經過的箱子就丟紅球。 已知他沿著圓桌走了 100 圈，求 4 號箱內有幾顆紅球？

1

2

15

16

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

１－２ 等差級數 基本觀念 1. 等差級數的介紹 級數：將一個數列的各項依序用「＋」號連接，所形成的式子就稱為級數。 例 1，2，5，7，13，29 為一數列， 1 + 2 + 5 + 7 + 13 + 29 ■

就是一個級數。

等差級數：將一個等差數列的各項依序用「＋」號連接，所形成的式子就稱為等差級數。 例 1，3，5，7，9 為一數列， 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ■

就是一個等差級數。此級數共有五項，首

項為 1，第二項為 3，第三項為 5，第四項為 7，第五項（或末項）為 9，且公差為 2。

2. 等差級數前 n 項和公式的推導 若公差為 d 的等差數列 a1 ， a2 ， a3 ，…， an ，前 n 項的總和為 S n ， 即 S n = a1 + a2 + a3 +  + an ，則： n(a1 + an ) （已知首項、末項及項數） 2 n[2a1 + (n − 1)d ] (2) S n = （已知首項、公差及項數） 2 (1) S n =

說明

S n = a1 + a2 + a3 +  + an −1 + an 也可寫為 S n = an + an −1 +  + a3 + a2 + a1 若以公差 d 表示，則： S n = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) +  + (an − 2d ) + (an − d ) + an ……① 或 S n = an + (an − d ) + (an − 2d ) +  + (a1 + 2d ) + (a1 + d ) + a1 ……② 由①＋②得 2 S n = (a1 + an ) + (a1 + an ) + (a1 + an ) + ť n ℙġġġ枭 n(a1 + an ) ⇒ Sn = 2

+ (a1 + an ) = n(a1 + an )

又  an = a1 + (n − 1)d ∴ Sn =

n(a1 + an ) n[a1 + a1 + (n − 1)d ] n[2a1 + (n − 1)d ] = = 2 2 2

1-2 等差級數 例 一等差級數首項為 2，第二十項為 67，求前二十項的和。 ■ 解 已知 □

a1 = 2 ， a20 = 67 ， n = 20

n(a1 + an ) 求和 2 20 × (2 + 67) = 10 × 69 = 690 即 S 20 = 2

所以可利用 S n =

例 一等差級數首項為 2，公差為 7，求前二十項的和。 ■ 解 已知 □

a1 = 2 ， d = 7 ， n = 20

所以可利用 S n =

n[2a1 + (n − 1)d ] 求和 2

20 × [2 × 2 + (20 − 1) × 7] 2 = 10 × [4 + 19 × 7] = 10 × [4 + 133] = 10 ×137 = 1370

即 S 20 =

17

18

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ 求等差級數 a1 + a2 + a3 + 14 + a5 + a6 + a7 的和。

題型２ 如果一等差級數的首項為 6，第十五項為 −92 ，求前十五項的和。

1-2 等差級數

題型３ 如果一等差級數的首項為 −2 ，公差為 3，求前十項的和。

題型 4 求等差級數 5 + 3 + 1 +  + (−19) 的和。

19

20

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 如果一等差級數的第三項為 −5 ，第七項為 7，求前十項的和。

題型 6 設 S19 = a1 + a2 + a3 +  + a19 為一等差級數，已知 a3 + a17 = 20 ，求 S19 = ？

1-2 等差級數

題型 7 如果一等差級數的首項為 8，末項為 29，和為 148，求此等差級數的公差及項數。

題型 8 如果一等差級數的第五項為 32，第十項為 62，總和為 572，則此等差級數的項數是多少？

21

22

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 3 1 1 如果一等差級數 20 + 18 + 17 + 到第 n 項的和是 162 ，則第 n 項為多少？ 4 2 2

題型 10 一等差級數前 n 項的和 S n = n(3n − 2) ，求： (1) 第八項 a8 的值。 (2) 第 n 項 an 的值。（以 n 表示）

1-2 等差級數

題型 11 若有一等差級數的首項為 100，公差為 −3 ，請問當 n 為多少時，此級數前 n 項的和為最 大？其最大和為多少？

題型 12 求自 1 到 100 之間，所有 2 的倍數總和。

23

24

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 13 求級數 1 + 2 − 3 + 4 + 5 − 6 + 7 + 8 − 9 + ，前 99 項的總和。

題型 14 一飛機在高空中投擲一枚炸彈，此炸彈第一秒落下 4.9m，以後每秒落下的距離增加 9.8m， 若此炸彈 20 秒後會落地爆炸，試求： (1) 此炸彈第 20 秒落下的距離。 (2) 飛機投擲炸彈時，距離地面的高度。

1-2 等差級數

題型 15 在 −80 與 250 之間，插入 n 個數，使其成為等差數列，若插入的第 4 個數為 40，求此數 列的總和。

題型 16 有大小相同的球若干顆，全部的球可以擺成一 個正方形，也可以擺成一個正三角形。如右圖， 若擺成正三角形時，每邊球的顆數比擺成正方 形時每邊球的顆數多兩顆，則球總共有幾顆？

25

26

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 17 某電影院共有 20 排座位，依次每一排比前一排多 2 個座位，若最後一排有 80 個座位，請 問此電影院共有多少個座位？

題型 18 觀察以下圖形的規律，回答下列問題。

圖（一）

圖（二）

(1) 圖 ( 十 ) 有多少個「

圖（三）

」？

(2) 圖 ( 一 ) ～圖 ( 二十 ) 全部共有多少個「

」？

1-2 等差級數

題型 19 計算 12 − 22 + 32 − 42 + 52 − 62 +  + 992 − 1002 的值。

題型 20 將等差數列 1、3、5、7、……，從第一項開始，依序由左

1 3

而右，由上而下排列成三角形的形式，如圖所示，按第一 層 1 個數，第二層 2 個數，第三層 3 個數的規律，請問： (1) 第一層到第十層共有幾個數？ (2) 第一層到第十層的所有數字和是多少？

7 13 15

第一層 5

9

第二層 11

17

第三層 19

第四層

27

2 幾何圖形與尺規作圖 2-1 生活中的平面圖形 2-2 垂直、平分與線對稱圖形 2-3 尺規作圖

29

2-1 生活中的平面圖形

２－１ 生活中的平面圖形 基本觀念 1. 平面圖形─點、直線、線段與射線 點：幾何中，最基本的圖形，「點」只表示其所在位置，而不考慮它的大小。通常會 在點的旁邊標示一個大寫的英文字母，如：「‧A」，稱為點 A（或 A 點）。

直線：幾何中，直線沒有粗細、沒有端點、具有無限的長度。常用英文字母來表示直線， 如：L、M、…或 L1 、 L2 、…等符號來代表

L

直線，如右圖，可記為「直線 L」。

在平面上，相異兩點恰可決定一條直線。若已知 A、B 兩點在直線上，可將該直 線記為「直線 AB」或「 AB 」（讀作「直線 AB」），其中「 ↔ 」符號是表示 直線可向兩邊無限延伸。

線段：若 A、B 兩點在直線 L 上，在 A、B 兩點之間的部分稱為線段，記為「線段 AB」或「 AB 」，其中 A、B 兩點是 AB 的端點，「 AB 」既代表線段，也代 表該線段的長度，且 AB = BA 。

點到直線的距離：線外一點到此直線的垂直線段，其長度稱為此點到這條直線的距離。 說明

A

如右圖，A 點為直線 L 外一點， AB 垂直 L 且交 L 於 B 點， 則 AB 的長即為 A 點到直線 L 的距離。 B

L

射線：以 A 端點為起點，沿著 AB 向 B 端點無限延長的線，稱為射線，記為「射線 AB」或「 AB」。反之，以 B 端點為起點，沿著 AB 向 A 端點無限延長的線， 記為「BA」。

30

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 2. 平面圖形─角 角：如右圖， AB 和 BC 相交於 B 點，形成一個角，

A

記為「 ∠ABC 」（或「 ∠CBA 」），讀作「角 ABC」或簡記為「 ∠B 」，讀作「角 B」，B 點 稱為這個角的頂點， AB 和 BC 都稱為這個角的 邊。 ∠B 除了表示角以外，也可表示它的度數。

B

C

常見的角： (1) 銳角：角度大於 0 ∘而小於 90 ∘的角稱為銳角。 (2) 直角：角度等於 90 ∘的角稱為直角。 (3) 鈍角：角度大於 90 ∘而小於 180 ∘的角稱為鈍角。 (4) 平角：角度等於 180 ∘的角稱為平角。 (5) 周角：角度等於 360 ∘的角稱為周角。

餘角：若兩個角的和是 90 ∘，則稱這兩個角「互餘」， 其中一個角稱為另一個角的「餘角」。

1

2

補角：若兩個角的和是 180 ∘，則稱這兩個角「互補」， 其中一個角稱為另一個角的「補角」。 1

2

對頂角：兩直線相交會形成四個角，其中不相鄰的兩 個角，稱為一組對頂角。如右圖， ∠1 與 ∠3 是對頂角； ∠2 與 ∠4 也是對頂角，且 ∠1 = ∠3 ， ∠2 = ∠4 。

4

1 3

2

2-1 生活中的平面圖形 3. 平面圖形─三角形 三角形：如右圖，將不在同一直線上的 A、B、C 三個

A

點，分別以線段連接，所形成的圖形，稱為 三角形 ABC，記為「 ABC 」。 (1) 頂點：A、B、C 稱為 ABC 的頂點。

B

(2) 邊： AB 、 BC 、 CA 稱為 ABC 的邊。

C

(3) 內角： ∠A 、 ∠B 、 ∠C 稱為 ABC 的內角。

三角形依內角的角度分類： 名稱

特性

圖形 A 銳角

銳角三角形

三個內角都是銳角的三角形 B

銳角

銳角

C

A

直角三角形

有一個內角是直角的三角形 直角 B

C

A 鈍角三角形

鈍角

有一個內角是鈍角的三角形 B

C

31

32

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 三角形依邊長的長度分類： 名稱

特性

圖形 A 60°

三邊都等長的三角形 等邊三角形 （正三角形）

★三內角均為 60˚

B

60°

60°

C

有兩邊等長的三角形 等腰三角形

A

★等長的兩邊稱為腰，另一邊 稱為底邊或底，兩腰所夾的 角稱為頂角，其餘兩個角都 稱為底角。

頂角 B

底角

底角

C

A 不等邊三角形

任意兩邊都不等長的三角形 B

C

4. 平面圖形─四邊形 四邊形：如右圖，四邊形 ABCD 有四個頂點、四個邊和四個角。

A

(1) 頂點：A、B、C、D。 (2) 邊： AB 、 BC 、 CD 、 DA 。 (3) 內角： ∠A 、 ∠B 、 ∠C 、 ∠D 。

D B

(4) 鄰邊：共用一頂點的兩個邊稱為鄰邊。如： AB 與 BC 。 (5) 對邊：不共用一頂點的兩個邊稱為對邊。如： AB 與 CD 。

C

(6) 鄰角：有共用一邊的兩個角稱為鄰角。如： ∠A 與 ∠B 。 (7) 對角：沒有共用一邊的兩個角稱為對角。如： ∠A 與 ∠C 。 (8) 對角線：將不相鄰的兩個頂點，以線段連接，得 AC 與 BD 稱為四邊形的對角線。

2-1 生活中的平面圖形 5. 平面圖形─特殊四邊形 名稱

長方形 （矩形）

正方形

特性

圖形 A

D

B

C

四個角都是直角

A

D

B

C

四個角都是直角且四個邊都等長

A 平行四邊形

D

兩雙對邊分別平行 C

B A 梯形

只有一雙對邊平行，平行的兩邊分別稱 為上底及下底，另一雙不平行的兩邊稱 為腰。

腰

腰

B

C

下底 A

等腰梯形

D

上底

D

一雙對邊平行，另一雙對邊不平行，但 相等。 C

B A 菱形

四邊等長

B

D C A

箏形 ( 鳶形 )

兩組鄰邊等長

B

D C

33

34

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 6. 平面圖形─多邊形 名稱

特性

圖形 A

凸多邊形

(1) 對角線都在圖形內部。 (2) 將各邊延長都不會與其他不相 鄰的邊相交。 (3) 多邊形若沒有特別指明，通常 是指凸多邊形。

B

E

D

C

A

凹多邊形

(1) 任一條對角線部分在圖形外 面。 (2) 將各邊延長，有一邊會與其他 不相鄰的邊相交。

B E D C A

正多邊形

每個邊等長且每個內角都相等。

B

E

C

D C

7. 平面圖形─圓形

半徑

圓形：如右圖，平面上和一定點等距離的所有點所形成 的圖形稱為圓，此定點稱為圓心。若圓心為 O 點，

A

記為「圓 O」。

O 直徑

(1) 圓周：一圓的周界稱為圓周，圓周的長度稱為圓周長。 (2) 半徑：圓心到圓周上任一點的距離稱為半徑，如： OC 。 (3) 直徑：通過圓心且兩端點在圓周上的線段，稱為直徑，如： AB 。 (4) 半圓：直徑將圓周分為等長的兩部分，每一部分都稱為半圓，如：  ACB 。 (5) 等圓：若兩圓半徑相等，則稱這兩個圓為等圓。

B

2-1 生活中的平面圖形 (6) 弦：圓上任意兩點所連接的線段稱為弦，如： EF 。 (7) 弧：一弦會將圓分成兩部分，每一部分都稱為弧。 弓形

 。 (8) 優弧：比半圓大的弧稱為優弧，如： EGF

O

 。 (9) 劣弧：比半圓小的弧稱為劣弧，如： EF (10) 弓形：圓的一弦將圓分成兩弧，此弦與任一弧所圍成的 E

F

弓形

區域稱為弓形。 G

優弧

O E

弦

F 劣弧

8. 平面圖形─圓形與扇形的面積與周長 圓周率：圓周率是圓周長和直徑的比值，習慣用符號 π 來表示，讀作「ㄆㄞ」。 ★ ⚻␐䌯 = ⚻␐攟 = πɼ3.14 䚜⼹ 設圓的半徑為 r，則： ★圓面積 = π r 2

r

A

O

★圓周長 = 2π r

x°

圓心角：如右圖，在一圓中，以圓心為頂點，兩半徑為邊所

B

組成的角，稱為圓心角，如： ∠AOB 。 扇形：圓的兩半徑與其所夾的弧所圍成的區域，稱為扇形。 如右圖，設圓 O 的半徑為 r，圓心角為 ∠AOB = x° ，則： ★  AB 的長度 = 2π r ×

A

x 360

★扇形 AOB 面積 = π r 2 ×

x 360

O

x° 扇形 B

35

36

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ 如下圖，平面上有 A、B、C、D、E 五個點，將這五點所能決定的直線畫出來，再寫出它 們的名稱。

A

E

D

B C

題型２ 如右圖，直線上有相異四點 A、B、C、D，此四點最 多可決定多少條不同的線段？寫出各線段的名稱。

A

B

C

D

2-1 生活中的平面圖形

題型３ A

如右圖，A 點為直線 L 外一點，B、C 兩點在 L 上，已知 AC 與直線 L 垂直，且 AB = 5 ， BC = 3 ，則 A 點到直線 L 的距

5

離是多少？

B

3

L

C

題型 4 寫出下列各圖形的記法： (1)

(2)

(3) D

B A

C

(4) G

E F

H

37

38

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 設 ∠A = (2 x + 36)° ，請問： (1) 若 ∠A 為銳角，求 x 的範圍為何？ (2) 若 ∠A 為直角，則 x 為多少？ (3) 若 ∠A 為鈍角，求 x 的範圍為何？ (4) 若 ∠A 為平角，則 x 為多少？ (5) 若 ∠A 為周角，則 x 為多少？

題型 6 (1) 若 ∠A = (40 + 2a )° ，且 ∠A 的餘角是 30˚ ，則 a = ？ (2) 若 ∠A = (5 x + 45)° ， ∠B = (3 x − 25)° ，且 ∠A 是 ∠B 的補角，則 x = ？

2-1 生活中的平面圖形

題型 7 如右圖，三直線交於一點，且 ∠1 = 2∠2 ， 3∠2 = 2∠3 ，則 ∠6 = ？

1 6

2

3 4

5

題型 8 如右圖，若 ∠A = 50° ， ∠C = 45° ， ∠D = 40° ，則

B A

50°

∠B = ？

E

C

45°

40°

D

39

40

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 D

如右圖， AB ⊥ BC ， DC ⊥ BC ， ∠AEB 為銳角，寫 出下列各三角形的記法： (1) 銳角三角形是

和

。

(2) 直角三角形是

和

。

(3) 鈍角三角形是

。

B

題型 10 (1) 請畫出下列圖形所有的對角線 ①

(2) 承 (1)，它們的對角線各有幾條？

A

②

E C

2-1 生活中的平面圖形

題型 11 若兩個等圓的其中一圓半徑為 20 公分，則另一圓的直徑為多少？

題型 12

A

如右圖，圓上有 A、B、C、D 相異四點。 (1) 將各點兩兩相連接，則共會產生幾條弦？

D

(2) 若此圓最長的弦為 10 公分，則此圓的面積為何？ B

C

41

42

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 13

A

如右圖，圓 O 的直徑為 20 cm，圓心角 ∠AOB = 80° ， 試求：（圓周率以 π 表示） (1)  AB 的長度。

B

O

(2) 扇形 AOB 的周長與面積。

題型 14

A

(1) 如右圖，已知圓 O 的半徑為 6 公分，  AB 的長為

B

2π 公分，求 ∠AOB 的度數為何？ (2) 承上題，扇形 COD 的面積為 4π 平方公分，求 ∠COD 的度數為何？

O

C D

2-1 生活中的平面圖形

題型 15 如右圖，ABCD 是一個正方形的柵欄，每邊長 6 公尺， 它的四周圍都是牧草，現有一條繩子長 9 公尺繫在 D 點

A

D

處，繩子的另一端繫著一頭牛，則這頭牛能吃到牧草的 最大面積是多少平方公尺？

C

B

題型 16

A

如右圖，圓 O 的半徑為 8，  AB 為 4π，求弓形（斜線 區域）的面積及周長。 O

B

43

44

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 17 D

如右圖，四邊形 ABCD 為長方形， BD 為對角線。今分 A 別以 B、D 為圓心， AB 為半徑畫弧，交 BD 於 E、F 兩點。若 AB = 8 ， BC = 5π ，則圖中塗色區域的面積

E

F

B

C

為何？

題型 18 如右圖，圓 O 上依序有 A、B、C、D、E 五點，且扇形 OAB、OBC、OCD、ODE、OEA 的面積恰成為一等差數

C D B

列。若 ∠AOB = 24° ，則 ∠DOE = ？

O

E

A

2-1 生活中的平面圖形

題型 19 O

如圖（一），水平地面上有一面積為 30π 平 方公分的灰色扇形 OAB，其中 OA 的長度為

B

A

6 公分，且與地面垂直。若在沒有滑動的情況

圖（一）

下，將圖（一）的扇形向右滾動至 OB 垂直

O

地面為止，如圖（二）所示，則 O 點移動多

B

少公分？

A

圖（二）

題型 20 如圖（三），扇形 AOB 中， OA = 10 ， ∠AOB = 36° 。若固定 B 點，將此扇形 依順時針方向旋轉，得一新扇形 A′O′B′

O′ A

，其中 A 點在 O′B 上，如圖（四）所示， O B 則 O 點旋轉至 O′ 點所經過的軌跡長度 圖（三） 為何？

A A′ O

B 圖（四）

45

46

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

２－２ 垂直、平分與線對稱圖形 基本觀念 M

1. 平面圖形─垂直 當兩條直線或線段相交成直角時，稱兩直線或線段互相垂直。 例 如圖（一），直線 L 與直線 M 互相垂直， ■

L

O

記為「 L ⊥ M 」，讀作「L 垂直於 M」。 如圖（二）， AB 與 BC 互相垂直，

圖（一）

記為「 AB ⊥ BC 」，讀作「 AB 垂直於 BC 」。 垂線：與一直線或線段垂直的直線稱為該直線或線段的垂線。 A

B

例 如圖（一），直線 L 與直線 M 互為垂線； ■ 如圖（二）， AB 與 BC 互為垂線。 垂足：互相垂直的兩直線或兩線段的交點稱為垂足。 例 如圖（一），直線 L 與直線 M 相交於垂足 O 點； ■

C 圖（二）

如圖（二）， AB 與 BC 相交於垂足 B 點。 2. 平面圖形─平分 中點：如右圖，若 M 是 AB 上的一點，且 AM = BM ，

A

M

B

我們就說 M 把 AB 平分，且稱 M 為 AB 的中點。 L

中垂線：過一線段中點且與此線段垂直的直線， 稱為該線段的中垂線或垂直平分線。 例 如右圖，直線 L 與 ■

AB 交於 M 點，若 M 為 AB 的中點，

即 AM = BM ，且 L ⊥ AB ，則 L 即為 AB 的中垂線或

A

M

B

垂直平分線。 角平分線：若一直線或線段將一角平分成兩個相等的角，則 此直線或線段稱為該角的角平分線或分角線。 例 如右圖，若 ■

D

EG 平分 ∠DEF ，即 ∠DEG = ∠FEG ，

G

則 EG 即為 ∠DEF 的角平分線或分角線。 E

F

47

2-2 垂直、平分與線對稱圖形 3. 平面圖形─線對稱圖形 將一個圖形沿著某一條直線對摺，使在直線兩側的圖形完全重疊，這樣的圖形就稱為 線對稱圖形，而此摺線就稱為這個線對稱圖形的對稱軸。 在線對稱圖形中，沿著對稱軸對摺後，可以疊合的點稱為對稱點，可以疊合的線段稱 為對稱線段，可以疊合的角稱為對稱角。

A

例 右圖是一線對稱圖形，直線 AE 是它的對稱軸。 ■ B 點的對稱點是 H 點，C 點的對稱點是 G 點。

G

C

B

AB 的對稱線段是 AH ， BC 的對稱線段是 HG 。 ∠B 的對稱角是 ∠H ， ∠C 的對稱角是 ∠G 。 ★線對稱圖形之性質

H

E D

F

(1) 兩對稱角相等。 (2) 兩對稱線段等長。 L A

(3) 對稱軸為任兩對稱點連接線段之垂直平分線。 例 右圖是一線對稱圖形，直線 L 是它的對稱軸。 ■ B 點的對稱點是 H 點，C 點的對稱點是 G 點，則：

G

C

B

(1) ∠B = ∠H (2) BC = HG (3) L 是 DF 的中垂線，即 L ⊥ DF ，且 DM = FM 。

H

E D

F

M

4. 線對稱圖形之畫法 在繪製線對稱圖形的過程中，可利用對稱軸為任兩對稱點連接線段之垂直平分線這個 性質，由於正方形對角線的頂點互為對稱點，所以可利用方格來畫出較複雜的線對稱 圖形。 L

例 如右圖，利用方格完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。 ■ 解 以直線 L 為對稱軸，分別找出 B、C 的對稱點 D、E， □

B

連接 AD 、 DE 、 EA ，即完成線對稱圖形。

D A

C

E

48

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ A

如右圖，已知 ABC 為直角三角形，若 AC = 4 公分， BC = 3 公分，O 為 AB 中點，則 AO = ？

O

B

題型２

4

C

3

L1

L2

如右圖，A、B、C 是直線 L 上的相異三點， L1 是 AB 的中垂線，M 點為其垂足； L2 是 BC 的中垂線，N 點 為其垂足。請問 AC 的長度是 MN 的幾倍？

M A

N B

C

L

2-2 垂直、平分與線對稱圖形

題型３

A

如右圖， ∠ABC = 80° ，若 BD 為 ∠ABC 的角平方線， D

則 ∠ABD = ？

C

B

題型 4

A

如右圖，在 ABC 中，若 BD 是 ∠ABC 的角平方線， CD 是 ∠ACB 的角平方線，若 ∠ABC = 80° ， ∠ACB = 50° ，則 ∠BDC = ？

D B

C

49

50

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5

D

E

如右圖，A、B、C 在 一直線上， BD 平分 ∠ABE ，

F

BF 平分 ∠EBC ，且 ∠1 = (2 x + 15)° ， ∠2 = (3 x + 10)°

2

，則 x = ？ A

B

題型 6 若下列有一個圖形為線對稱圖形，則此圖應為何者？ (A)

(B)

(C)

(D)

1 C

2-2 垂直、平分與線對稱圖形

題型 7 下列各圖形中，若甲圖有 a 條對稱軸，乙圖有 b 條對稱軸，丙圖有 c 條對稱軸，丁圖有 d 條對稱軸，則 a + b + c + d = ？ 甲

乙

正三角形

丙

正六邊形

丁

正五邊形

正八邊形

題型 8 A

如右圖，直線 L 是 ABC 的對稱軸，已知 BD = 6 公分， ABC 面積為 48 平方公分，則： (1) AB = ？ (2) ABC 的周長＝？

B

D L

C

51

52

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 在下面的方格上，完成以直線 L 為對稱軸的線對稱圖形。

L

題型 10 在下面的方格上，以直線 L 為對稱軸，完成線對稱圖形後，再以直線 M 為對稱軸，完成 線對稱圖形。

M

L

2-2 垂直、平分與線對稱圖形

題型 11

y

如右圖， A(5, 4) 是坐標平面上一點，B 點是 A 點以直線

L 1: x = 3 A(5,4)

L1 : x = 3 為對稱軸的對稱點，C 點是 B 點以直線 L2 : y = −2 為對稱軸的對稱點，試求 B、C 兩點的坐標。

x

O

L 2: y = 2

題型 12 A

如右圖，直角三角形 ABC 中，已知 ∠C = 90° ， AC = 5 ， AB = 13 ，若 D 為 BC 上任一點，且 M 點平分 BD ，N 點平分 CD ，則： (1) MN = ？ (2) AMN 面積＝？

B

M

D

N C

53

54

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 13 A

如右圖，直線 L 為圖形的對稱軸，已知 AG = 3 ，

3 G 2

BP = 6 ， PF = 4 ， GF = 2 ， ∠1 = 45° ，則塗色區

L

E

1

D

F 4

域的面積為何？ B

6

C

P

題型 14 如右圖，將邊長為 20 公分的正方形 ABCD，以 C 點為圓 1 圓，再將此圖形以直 4 線 L 為對稱軸，完成線對稱圖形後，再以直線 M 為對稱

L A

D

B

C

心，10 公分為半徑，截去一個

軸，完成線對稱圖形，則最後整個圖形的總面積為何？

M

55

2-3 尺規作圖

2 － 3 尺規作圖 基本觀念 1. 尺規作圖 利用直尺和圓規來畫幾何圖形，而且直尺只能用來畫直線，不使用上面的刻度來測量 長短，稱為尺規作圖。 ★ 尺規作圖時，必須保留所有作圖的痕跡，並以文字說明作圖流程，稱為作法。

2. 尺規作圖─等線段作圖 例 如右圖，已知 ■

AB ，利用尺規作圖作出 CD ，使

A

B

得 CD = AB 。

ἄ㱽 (1) 作一直線 L，並在 L 上取一點 C。 (2) 以 C 點為圓心， AB 長為半徑畫弧，交直

L D

C

線 L 於一點 D，則 CD 即為所求。 3. 尺規作圖─等角作圖 例 如右圖，已知 ∠A ，畫一角使其等於 ∠A 。 ■

ἄ㱽 (1) 作一直線 L，並在 L 上取一點 Q。 (2) 以 A 點為圓心，適當長為半徑畫弧，交 ∠A 的兩邊於 B、C 兩點。

A

(3) 以 Q 點為圓心， AB 長為半徑畫弧，交直

P

線 L 於 R 點。 (4) 以 R 點為圓心， BC 長為半徑畫弧，交前 弧於 P 點。 (5) 連接 P、Q 兩點，則 ∠PQR 即為所求。

Q

R

L

56

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 4. 尺規作圖─中垂線作圖 例 如右圖，已知 ■

AB ，利用尺規作圖作出 AB 的中

A

B

垂線與中點。 1 AB 為半徑畫 2 弧，設兩弧交於 C、D 兩點。

ἄ㱽 (1) 分別以 A、B 為圓心，大於

C

(2) 連接 C、D 兩點，則直線 CD 即為所求之 中垂線；而其與 AB 之交點 M，即為所求

M

A

之中點。

B

D

5. 尺規作圖之角平分線作圖 例 如右圖，已知 ∠A ，求作 ∠A 的角平分線。 ■

ἄ㱽 (1) 以 A 點為圓心，適當長為半徑畫弧，交 ∠A 的兩邊於 B、C 兩點。

A

1 (2) 分別以 B、C 為圓心，大於 BC 長為半 2 徑畫弧，設兩弧相交於 D 點。

B

D

(3) 連接 A、D 兩點，直線 AD 即為所求之角平 分線。

A

C

6. 尺規作圖之過線上一點作垂線 例 如右圖，已知一直線 L 及 L 上一點 P，求作過 P 點 ■

L

P

且與 L 垂直之直線。

ἄ㱽 (1) 以 P 點為圓心，適當長為半徑畫弧，交直

Q

線 L 於 A、B 兩點。 1 AB 長為半徑 2 在直線 L 的同側畫弧，設兩弧相交於 Q 點。

(2) 分別以 A、B 為圓心，大於

(3) 連接 P、Q 兩點，直線 PQ 即為所求之垂線。

A

P

B

L

2-3 尺規作圖 7. 尺規作圖之過線外一點作垂線 例 如右圖，已知一直線 L 及 L 外一點 P，求作過 P 點 ■

P

且與 L 垂直之直線。

L

作法 (1) 以 P 點為圓心，適當長為半徑畫弧，交直線 L 於 A、B 兩點。 1 AB 長為半徑 2 在直線 L 的同側畫弧，設兩弧相交於 Q 點。

P

(2) 分別以 A、B 為圓心，大於

A

B

(3) 連接 P、Q 兩點，直線 PQ 即為所求之垂線。 Q

L

57

58

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ a

如右圖，已知兩線段 a、b，試畫出一線段長等於 a + b 。

b

題型２ a

如右圖，已知三線段 a、b、c，試畫出一線段長等於 2a + b − c 。

b c

2-3 尺規作圖

題型３ 如右圖，已知 ∠B ，試畫出一個角，使它等於 ∠B 。

B

題型 4 如右圖，已知兩角 ∠A 與 ∠B ，試畫出一角，使它等於 ∠A + ∠B 。

A

B

59

60

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 如右圖，已知 ∠1 = 100° ， ∠2 = 30° ，試畫出一角，使 它等於 40˚。

1

2

題型 6 如右圖，已知一線段 AB，求作一線段 CD，使得 CD =

3 AB 。 2

A

B

2-3 尺規作圖

題型 7 如右圖，已知一線段 AB，求作一點 C 能將 AB 分成

A

AC 與 BC 兩部分，使得 AC : BC = 3 : 5 。

題型 8

B

A

如右圖，已知 ABC ，求作三內角的角平分線。

B

C

61

62

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 如右圖，若 ∠ABC = 100° ，求作一角等於 25˚ 。

A

B

C

題型 10 如右圖，已知一線段 AB，求作一直線垂直 AB ，且通過 A 點。

A

B

2-3 尺規作圖

題型 11

A

如右圖，已知 ABC ，求作 BC 邊上的高 AD 。

B

題型 12 右圖是一個等腰直角三角形、一個半圓和一個 的圖形，試以尺規作圖複製此圖。

3 圓拼成 4

C

63

64

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 13

A

試利用尺規作圖，以直線 L 為對稱軸，找出 B 的對稱點 D，完成此線對稱圖形。

B

C L

題型 14 A

若直線 L 為右圖的對稱軸，試利用尺規作圖完成線對稱 圖形。 C

D

B

L E

3 三角形的基本性質 3-1 三角形的內角與外角 3-2 三角形的全等性質 3-3 三角形的邊角關係

66

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

３－１ 三角形的內角與外角 基本觀念 1. 三角形的內角與外角 A

三角形：如右圖，連接不在同一直線上三個點 A、B、 C，可形成一個三角形，記為「 ABC 」。 (1) A、B、C 稱為 ABC 的頂點。 (2) AB 、 BC 、 CA 稱為 ABC 的邊。 (3) ∠A 、 ∠B 、 ∠C 稱為 ABC 的內角。 B

C

三角形的外角： 如右圖， ∠1 是由 CA 邊的延長線和 AB 邊所形成的

A

1

角，稱為 ∠A 的一個外角。同理， ∠2 是 ∠B 的一個 外角， ∠3 是 ∠C 的一個外角。

3 B

C

2

一個三角形的內角有兩個外角，它們互為對頂角，如

1

右圖， ∠4 、 ∠5 、 ∠6 也分別是 ∠A 、 ∠B 、 ∠C

A

4

5

的另一組外角。

B

3 2

6

C

★ 三角形的每一個外角與它的內角在頂點處形成一個平角（ 180˚），即一個外角與它 的內角互補。 例 如右圖， ∠1 + ∠A = 180° ， ∠2 + ∠B = 180° ■

，

1

∠3 + ∠C = 180° 。

A 3

B 2

C

67

3-1 三角形的內角與外角 2. 三角形內角和定理之尺規作圖 三角形的內角和定理：任意三角形的三個內角和為 180˚。 例 由右圖，已知 ABC ■

B

，試利用尺規作圖證明

∠A + ∠B + ∠C = 180° 。

ἄ㱽 (1) 作一直線 L，並在 L 上取一點 S。 (2) 作 ∠RST = ∠A 。

A

C

(3) 作 ∠QSR = ∠B ，且 Q 點在 ∠RST 之外。 (4) 作 ∠PSQ = ∠C ，且 P 點在 ∠QSR 之外。

R

(5) ∵ P 點在 L 上。 ∴ ∠PST 為一平角

Q

T

S

P

⇒ ∠A + ∠B + ∠C = 180° 。

3. 三角形外角和定理之推導 三角形的內角和定理：任意三角形的一組外角和為 360˚。 說明

如右圖， ∠1 、 ∠2 、 ∠3 分別是 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 1

的一組外角， 因為三角形的一個外角與它的內角互

A 3

補。 所以 ∠1 + ∠A = 180° …①

B 2

∠2 + ∠B = 180° …② ∠3 + ∠C = 180° …③ 由①＋②＋③得 (∠1 + ∠A) + (∠2 + ∠B) + (∠3 + ∠C ) = 180°× 3 ⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠A + ∠B + ∠C = 540° ⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + 180° = 540° （∵三角形的內角和 = 180° ） ⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 = 360° 所以 ABC 的一組外角和為 360˚。

C

L

68

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 4. 三角形外角定理之推導 三角形的外角定理：在三角形中，任一個角的外角為其兩個內對角之和。 說明

如右圖， ∠1 、 ∠2 、 ∠3 分別是 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 1

的一組外角， 因為三角形的一個外角與它的內角互

A 3

補。 B

所以 ∠1 + ∠A = 180° …①

C

2

∠A + ∠B + ∠C = 180° …② 由①、②得 ∠1 + ∠A = ∠A + ∠B + ∠C ⇒ ∠1 = ∠B + ∠C 同理， ∠2 = ∠C + ∠A ， ∠3 = ∠A + ∠B

所以 ABC 任一個角的外角為其兩個內對角之和。

5. 幾何圖形之輔助線 在解題的過程中，有時為了輔助說明，會在原圖上增加一些直線或線段，這些直線或 線段就稱為這個圖形的輔助線。 例 如右圖，試說明 ∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C ■

。

A

在原圖上作一條輔助線 BC ， 設 ∠DBC = ∠1 ， ∠DCB = ∠2 在 BDC 中， D

∠BDC + ∠1 + ∠2 = 180° …① 在 ABC 中， ∠A + ∠B + ∠1 + ∠2 + ∠C = 180° …②

B

C A

由①、②得 ∠BDC + ∠1 + ∠2 = ∠A + ∠B + ∠1 + ∠2 + ∠C ⇒ ∠BDC = ∠A + ∠B + ∠C

D B

1

2

C

3-1 三角形的內角與外角 6. 多邊形的內角和 n 邊形的內角和為 (n − 2) ×180° 。

…

n

多邊形的邊數

4

5

6

…

n

三角形的個數

2

3

4

…

n-2

內角和的算式

2 ×180°

3 ×180°

4 ×180°

…

(n − 2) ×180°

A 7. 多邊形的外角和

B

任意多邊形的一組外角和為 360˚。

E

說明

如右圖，五邊形 ABCDE 的內角和

C

= ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°× 3 = 540° (∠1 + ∠6) + (∠2 + ∠7) + (∠3 + ∠8) + (∠4 + ∠9) + (∠5 + ∠10) = 180°× 5 = 900° ⇒ 540° + (∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠9 + ∠10) = 900° ⇒ ∠6 + ∠7 + ∠8 + ∠9 + ∠10 = 900° − 540° = 360°

D

69

70

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 8. 正多邊形的內角與外角

…

n

多邊形的邊數

4

5

6

…

n

三角形的個數

2

3

4

…

n-2

內角和的算式

2 ×180°

3 ×180°

4 ×180°

…

(n − 2) ×180°

正多邊形的一 個內角

2 ×180° 4

3 ×180° 5

4 ×180° 6

…

(n − 2) ×180° n

外角和

360°

360°

360°

…

360°

正多邊形的一 個外角

360° 4

360° 5

360° 6

…

360° n

★正 n 邊形的內角和為 (n − 2) ×180° 。 ★正 n 邊形的一個內角為

(n − 2) ×180° 。 n

★正 n 邊形的外角和為 360° 。 ★正 n 邊形的一個外角為

360° 。 n

3-1 三角形的內角與外角

精選題型 題型１ 如右圖，已知 ABC 中， ∠A 和 ∠B 的外角分別是

A

105˚ 及 120˚，試求： (1) ∠A = ？ ∠B = ？ (2) ∠C 的外角是幾度？ (3) ∠C = ？

題型２ 已知 ABC 中， ∠A = 36° ， ∠C = 54° ，請問： (1) ∠B = ？ (2) ABC 為哪種三角形？

B

C

71

72

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ A

已知 ABC 中， ∠ABC = 68° ， ∠ACB = 46° ，若 ∠ABC 與 ∠ACB 的角平分線交於 D 點，則 ∠BDC = ？

D B

題型 4 在 ABC 中，若 ∠A = 2∠B ， ∠B = 3∠C ，求 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 各是幾度？

C

3-1 三角形的內角與外角

題型 5

A

右圖是 D、E、F、G 四點在 ABC 邊上的位置圖。根 據圖中的符號和數據，求 x + y 之值為何？

D

85° F x°

E 75°

B

65°

y°

G

75°

C

題型 6 A

如右圖，在 ABC 中， ∠B = 60° ， ∠C = 40° ，則： (1) 若某人從 A 經過 B、C 到達 P 點，則此人共轉了幾度？

P

(2) 若某人由 P 經過 C → B → A 再回到 P 點，則此人共 轉了幾度？

B

60°

40°

C

73

74

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7

A

如右圖，已知 CAD = 25° ， ∠C = 45° ， ∠DBE = 15°

25°

，求 ∠ABE 的度數。 E B 15°

題型 8

D

45°

65°

B

A

如右圖，若 ∠A = 50° ， ∠B = 65° ， ∠C = 32° ，則

50°

∠D = ？ E

C

32°

D

C

3-1 三角形的內角與外角

題型 9

A

如右圖，求 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ？ D

B

E

C

題型 10 設五邊形的內角分別是 (3 x + 20)° 、 (2 x − 30)° 、 (4 x − 50)° 、 ( x + 40)° 、120˚，則最小 角是多少度？

75

76

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11

D

如右圖，求 ∠DEF = ？

C

55° F

110°

E A

40°

80°

B

題型 12 A

如右圖，在四邊形 ABCD 中， ∠A = 80° ， ∠B = 60° ， ∠D = 120° ，則：

P

(1) 甲由 P 點出發，經由 A → D → C，再到達 Q 點，請 D

問甲共轉了幾度？ (2) 乙由 Q 點出發，經由 C → D → A → B，再回到 Q 點， 請問乙共轉了幾度？

B

Q

C

3-1 三角形的內角與外角

題型 13 已知一五邊形 ABCDE 中， ∠A = 83° ， ∠D 為直角，且 ∠B 和 ∠C 的外角分別為 62˚ 與 95˚，試求出 ∠E 的外角的度數。

題型 14 設一個 n 邊形的內角和與六邊形的內角和的比為 5：4，求 n。

77

78

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 15 如右圖，求 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G + ∠H + ∠I + ∠J = ？

E F

J

D I

A

G

H

C

B

題型 16

C

如右圖，求 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G + ∠H = ？

D

B

E F

A

G H

3-1 三角形的內角與外角

題型 17 1 若一正多邊形的一外角度數為一內角度數的 8 倍，則此多邊形的內角和為幾度？

題型 18 3 已知一正 n 邊形的每一內角度數是一正 3n 邊形每一內角度數的 4 倍，則 n 的值為何？

79

80

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 19 已知小娟家的地板全由同一形狀且大小相同的地磚緊密地鋪成。若此地磚的形狀是一正多 邊形，則下列何者不可能是此地磚的形狀？ (A) 正三角形 (B) 正方形 (C) 正五邊形 (D) 正六邊形

題型 20

K

右圖為兩正方形 ABCD、EFGH 與正三角形 IJK 的位置圖， 其中 D、E、J 三點分別在 IJ 、 CD 、 EH 上。若

A

∠CEF = 55° ，則 ∠IDA 與 ∠KJH 的角度和為何？

H

I

D J

E B

C

G

F

81

3-2 三角形的全等性質

３－２ 三角形的全等性質 基本觀念 1. 全等三角形的意義 全等圖形：將兩個圖形剪下，能夠完全疊合的幾何圖形稱為全等圖形。 三角形的全等：將兩個三角形剪下疊合，若它們所有的頂點、邊、角都完全重合，就 稱這兩個三角形全等。此時重合的頂點稱為對應點，重合的邊稱為對 應邊，重合的角稱為對應角。 例 如右圖，若 ABC ■

A

與 DEF 全等，則：

對應點重合：A 與 D、B 與 E、C 與 F 是三組對應頂點。 對應邊等長： AB = DE ， BC = EF ， CA = FD 。 對應角相等： ∠A = ∠D ， ∠B = ∠E ， ∠C = ∠F 。

B

全等表示法：若 ABC 全等於 DEF ，可記為

C

D

「  ABC ≅DEF 」。 符號的記法：我們用英文字母「S」表示三角形的邊 (Side)；用英文字母「A」表示三角形的角 E

(Angle)。

2. 三角形 SSS 全等性質之尺規作圖 例 如右圖，已知 ABC ■

F

A

，試畫出 DEF ，使其三

邊長滿足 DE = AB ， EF = BC ， FD = CA 。

ἄ㱽 (1) 畫一直線 L，並在 L 上作 EF = BC 。 (2) 分別以 E、F 為圓心， AB 和 CA 長為半徑，

B

C D

在直線 L 的同側各畫一弧，設兩弧相交於 D 點。 (3) 連接 DE 和 DF ，則 DEF 即為所求。 E ★ SSS 全等性質：若兩個三角形的三邊分別對應等長，則這兩個三角形全等。

F

L

82

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 3. 三角形 SAS 全等性質之尺規作圖 例 如右圖，已知 ABC ■

A

，試畫出 DEF ，使其二

邊長與其夾角滿足 DE = AB ， ∠E = ∠B ， EF = BC 。

ἄ㱽

B

(1) 作 ∠E = ∠B 。

C D

(2) 在 ∠E 的一邊上取一點 D，使 DE = AB 。 (3) 在 ∠E 的另一邊上取一點 F，使 EF = BC 。 (4) 連接 DF ，則 DEF 即為所求。 E

F ★ SAS 全等性質：若兩個三角形的兩邊及其夾角分別對應相等，則這兩個三角形全等。

L

4. 三角形 ASA 全等性質之尺規作圖 例 如右圖，已知 ABC ■

，試畫出 DEF ，使兩個角與其夾邊滿足 ∠E = ∠B ， A

EF = BC ， ∠F = ∠C 。

ἄ㱽 (1) 畫一直線 L，並在 L 上作 EF = BC 。 (2) 以 E 為頂點， EF 為一邊，作 ∠E = ∠B 。 (3) 以 F 為頂點， EF 為一邊，作 ∠F = ∠C 。

B

C D

(4) 設 ∠E 與 ∠F 的另一邊相交於 D 點，則 DEF 即為所求。

E

F ★ ASA 全等性質：若兩個三角形的兩角及其夾邊分別對應相等，則這兩個三角形全等。

L

83

3-2 三角形的全等性質 5. 三角形全等性質之整理與討論

A

AAS 全等性質：若兩個三角形的兩角及其中一角的對 邊分別對應相等，則這兩個三角形全 等。 說明

B

D

如右圖，在 ABC 與 DEF 中，若 ∠A = ∠D ，

C

∠B = ∠E ， BC = EF ，由三角形的內角和為 180˚ 性 質得知 ∠C = ∠F ，所以根據 ASA 全等性質得知  ABC ≅DEF 。 E

RHS 全等性質：若兩個直角三角形的斜邊及其中一股

F

A

的對邊分別對應相等，則這兩個直角 三角形全等。其中 R 代表直角（Right angle），H 代表斜邊（Hypotenuse）， S 代表一股（Side）。 說明

B

C

D

如右圖，在 ABC 與 DEF 中，若 ∠B = ∠E = 90° ， AC = DF ， AB = DE ，由勾股定理得知 BC = EF ，所以根據 SAS 全等性質得知  ABC ≅DEF 。

三角形的全等性質有： (1) SSS 全等性質 (2) SAS 全等性質 (3) ASA 全等性質 (4) AAS 全等性質 (5) RHS 全等性質

E

F

84

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 6. 三角形 AAA 與 SSA 不是全等性質之討論 在 ABC 與 DEF 中，若 ∠A = ∠D ， ∠B = ∠E ， ∠C = ∠F ，則 ABC 與 DEF 不一定全等，所以三角形 AAA 不是全等性質。 D

說明

60°

如右圖，在 ABC 與 DEF 中， ∠A = ∠D = 60° ，

A 60°

∠B = ∠E = 90° ， ∠C = ∠F = 30° ，但 ABC 與 DEF 並不全等。

E

30°

B

F C

在 ABC 與 DEF 中，若 AB = DE ， AC = DF ， ∠B = ∠E ，則 ABC 與 DEF 不一定全等，所以三角形 SSA 不是全等性質。 A

說明

如右圖，在 ABC 與 ABD 中， AB = AB ， AC = AD ， ∠B = ∠B ，但 ABC 與 ABD 並不全 等。

B

C

D

7. 垂直平分線 ( 中垂線 ) 的性質 (1) 一線段的中垂線上任一點到此線段兩端點等距離。 說明

如右圖，直線 L 為 AB 的垂直平分線，C 點是直線 L

L

上一點。

C

在 ACM 與 BCM 中， 因為 AM = BM ， ∠AMC = ∠BMC = 90° ， CM = CM ， 所以  ACM ≅BCM （SAS 全等性質）， 得 AC = BC 。 所以 C 點到 AB 的兩端點等距離。

A

M

B

3-2 三角形的全等性質 (2) 若一點到此線段兩端點等距離，則此點必在該線段的中垂線上。 說明

P

如右圖，P 點是 EF 外一點，且 PE = PF 。 過 P 點作垂線 M 交 EF 於 N 點， 在 EPN 與 FPN 中，

E

F

N

因為 PE = PF ， ∠ENP = ∠FNP = 90° ， PN = PN ， 所以 EPN ≅FPN （RHS 全等性質），

M

得 EN = FN ，所以過 P 點垂直於 EF 的直線會平分 EF ， 即 P 點在 EF 的垂直平分線上。 8. 角平分線的性質 A

(1) 角平分線上任一點到角的兩邊等距離。 Q

說明

L

如右圖，直線 L 為 ∠ABC 的角平分線，P 是直線 L 上

P

任一點。分別從 P 點作 PQ ⊥ AB 和 PR ⊥ BC 。 在 PQB 與 PRB 中，

B

R

C

因為 ∠ABP = ∠CBP ， ∠PQB = ∠PRB = 90° ， BP = BP ， 所以 PQB ≅PRB （AAS 全等性質），得 PQ = PR ， 所以 ∠ABC 的角平分線上 P 點到此角的兩邊等距離。 D

(2) 若一點到角的兩邊等距離，則此點必在該角的角平分線上。 說明

H

如右圖，G 點是 ∠DEF 內的一點， GH 、 GK 是 G

G

點到兩邊的距離，且 GH = GK 。 連接 EG ，在 GHE 與 GKE 中， 因為 GH = GK ， ∠GHE = ∠GKE = 90° ， EG = EG ， 所以 GHE ≅GKE （RHS 全等性質）， 得 ∠HEG = ∠KEG ，所以 EG 是 ∠DEF 的角平分線， 即 P 點在 ∠DEF 的角平分線上。

M

E

K

F

85

86

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 9. 等腰三角形的性質 A

(1) 等腰三角形的兩底角相等。 說明

如右圖， ABC 為等腰三角形， 作 ∠A 的角平分線 AM 交 BC 於 M 點， 在 ABM 與 ACM 中， 因為 ∠BAM = ∠CAM ， AB = AC ， AM = AM ，

B

M

C

所以  ABM ≅ ACM （SAS 全等性質），得 ∠B = ∠C 。 (2) 等腰三角形的頂角平分線會垂直平分底邊。

A

說明

如右圖， ABC 為等腰三角形， AD 為 ∠BAC 的角 平分線交 BC 於 D 點。 在 ABD 與 ACD 中， 因為 ∠BAD = ∠CAD ， AB = AC ， AD = AD ，

B

C

D

所以  ABD ≅ ACD （SAS 全等性質）， 得① BD = CD ，所以 AD 平分 BC 。 ② ∠ADB = ∠ADC ，且 ∠ADB + ∠ADC = 180° ， 所以 ∠ADB = ∠ADC = 90° ，即 AD ⊥ BC 。 所以 AD 會垂直平分 BC 。 L

(3) 等腰三角形底邊的中垂線會通過頂點並平分頂角。

A

說明

如右圖， ABC 為等腰三角形， 作 BC 的垂直平分線 L 交 BC 於 M 點，因為 AB = AC ，根據中垂線性質，可得知 A 點在 L 上。 即 BC 的垂直平分線通過頂點 A。

B

在 ABM 與 ACM 中， 因為 AB = AC ， BM = CM ， AM = AM ， 所以  ABM ≅ ACM （SSS 全等性質），得 ∠BAM = ∠CAM 。 所以 AM 會平分頂角 ∠BAC 。 ★等腰三角形的頂角平分線，就是底邊的中垂線與三角形的高。

M

C

87

3-2 三角形的全等性質

精選題型 題型１ A

如右圖，若  ABC ≅DEF ，且 A 與 D、 B 與 E、C 與 F 為對應頂點，則：

55°

6

(1) DE = ？

D 5

(2) AC = ？ (3) ∠D = ？ ∠E = ？

B

C

75°

E

F

題型２ 如右圖，若  ABC ≅DEF ，且 ∠A 與

A

∠D 、 ∠B 與 ∠E 、 ∠C 與 ∠F 為對 應角，試求： (1) x 之值。 (2) DEF 的周長。

2x＋1 B

D 15

3x－2 4x－5

C

E

F

88

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 如右圖，若  ABC ≅DEF ，其中 A 與 D、B

A

D

與 E、C 與 F 為對應頂點，且 ∠A = (5 x + 12)° ， ∠B = (4 x − 7)° ， ∠F = (6 x − 5)° ，求： (1) ∠D = ？

B

C

E

F

(2) ∠E = ？

題型 4 如右圖，已知線段 a 和 b，試利用尺規作圖， 以線段 a 為腰，線段 b 為底，畫一個等腰三角 形。（請寫出作法。）

a

b

3-2 三角形的全等性質

題型 5 如右圖，已知等腰三角形的頂角 ∠1 和兩腰的 長都等於 a，求作一個等腰三角形。 （請寫出作法。）

1

a

1

a

題型 6 已知一等腰三角形的底角等於右圖中的 ∠1 ， 且其底邊長等於右圖中的線段 a，試畫出這個 等腰三角形。（請寫出作法。）

89

90

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 如右圖，已知線段 a、b，試利用尺規作圖畫

a

b

出一個直角三角形，使它的斜邊等於線段 a， 一股長等於線段 b。（請寫出作法。）

題型 8 在 ABC 和 DEF 中，若 AB = 5 ， BC = 6 ， AC = 7 ， DE = 6 ， EF = 5 ， DF = 7 ，則 ABC 和 DEF 是否全等？為什麼？

3-2 三角形的全等性質

題型 9

A

如右圖， AD 為等腰 ABC 的頂角平分線，則 ABD 和 ACD 是否全等？為什麼？

B

D

C

題型 10 A

如右圖， ∠1 = ∠2 ， ∠3 = ∠4 ，則 ABC 和 ADC

1 2

是否全等？為什麼？ B

D 3 4 C

91

92

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11

A

如右圖， ∠1 = ∠2 、 ∠A = ∠D ，則 ABC 和 DBC

D

是否全等？為什麼？

B

1

2

C

題型 12 在 ABC 和 DEF 中，若 AB = DE = 6 公分， AC = DF = 5 公分， ∠B = ∠E = 40° ， ∠C = 55° ，則 ABC 和 DEF 是否全等？ (1) 如果是，試求出 ∠F 的度數。 (2) 如果不是，試求出 ∠F 的度數。

93

3-2 三角形的全等性質

題型 13

L

如右圖，直線 L 為 AB 的中垂線，若 BCE 的周長為

E

C

10 公分， AD = 3 公分，則 ABE 周長是多少？ A

B

D

題型 14

A

如右圖，已知 ABC ，在 AB 上找一點 P，使得 AB = AP + PC 。 （請寫出作法。）

B

C

94

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 15

A

D

如右圖，長方形 ABCD 中，E 點在 BC 上，且 AE 平分 ∠BAC 。若 BE = 4 ， AC = 15 ，則 AEC 面積為何？

B

題型 16 如右圖，在直角坐標上有一直線 L，試在 L 上找一點，

E

C

y

使此點到 x 軸、y 軸距離相等。 （請寫出作法。）

O

x L

3-2 三角形的全等性質

題型 17

A

如右圖，已知 AB = AC ， AD = AE ， ∠BAD = 30° ， 試求 ∠CDE = ？ E B

C

D

題型 18 A

如右圖， ABC 中，若 AB = AC = 26 ， BC = 20 ，試 求： 26

(1) ABC 的面積。

26

(2) 其一腰上的高。 B

20

C

95

96

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 19 甲、乙、丙、丁四位同學分別想依下列的條件作出一個與 ABC 全等的三角形，如右圖 所示。已知四人所用的條件如下：

A

甲： AB = 3 公分， AC = 1 公分， ∠B = 30°

3 公分

乙： AB = 3 公分， BC = 2 公分， ∠B = 30° 丙： AB = 3 公分， AC = 1 公分， BC = 2 公分

B

1 公分

30°

60° 2 公分

C

丁： AB = 3 公分， BC = 2 公分， ∠A = 90° 若發現其中一人作出的三角形沒有與右圖的 ABC 全等，則此人是誰？ (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁

題型 20

C

如右圖， ABC 中， ∠ACB = 102° ， AF = AC ， BE = BC ，求 ∠ECF = ？ A

E

F

B

97

3-3 三角形的邊角關係

３－３ 三角形的邊角關係 基本觀念 1. 三角形的三邊長關係 三角形任意兩邊長的和大於第三邊，任意兩邊長之差的絕對值小於第三邊。 說明 如右圖， ABC 的三邊長分別為 a、b、c，則：

A

b + c > a 1  c + a > b 2 a + b > c 3 

a

c

由②式得 a > b − c …④，由③式得 a > c − b …⑤ 由④、⑤式得 a > b − c …⑥

B

由①、⑥式得 b + c > a > b − c

C

b

同理可得 c + a > b > c − a ， a + b > c > a − b 。 2. 三角形的外角大於任一內對角 如右圖，在 ABC 中， ∠1 是 ∠BAC 的外角，

A

1

根據外角定理得 ∠1 = ∠B + ∠C ⇒ ∠1 > ∠B ， ⇒ ∠1 > ∠C 所以三角形的外角大於其任一內對角。 B

C

3. 三角形的邊角關係─大邊對大角 在一個三角形中，比較長的邊所對的角也會比較大。 A

說明 如右圖 ( 一 ) 在 ABC 中，若 AB > AC ，

試說明 ∠C > ∠B 。 將 ∠BAC 對摺，使 AC 摺到 AB ，摺痕是 AD ，C 點摺到 AB 上一點 E，如右圖 ( 二 )。 B 由圖 ( 二 ) 可發現  ACD ≅ AED （圖形重

C

圖（一） A

合），所以 ∠C = ∠1 （對應角相等）。 在 BDE 中， E

∠1 = ∠B + ∠2 （外角定理） ∴∠1 > ∠B ⇒ ∠C > ∠B 。

B

1 2

D 圖（二）

C

98

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 4. 三角形的邊角關係─大角對大邊 在一個三角形中，比較大的角所對的邊也會比較長。 說明 如右圖 ( 三 ) 在 ABC 中，若 ∠C > ∠B ，

A

試說明 AB > AC 。 將 B 點摺到 C 點上， PQ 是摺痕，如右圖 ( 四 )。 由圖 ( 四 ) 可發現 PBQ ≅PCQ （圖形重 合），所以 PB = PC （對應邊相等）。

B

C

圖（三）

在 APC 中，

A P

 AP + PC > AC （三角形兩邊和大於第三邊） ⇒ AP + PB > AC ⇒ AB > AC

B

Q 圖（四）

C

3-3 三角形的邊角關係

精選題型 題型１ 下列四組數中，哪幾組可以作為三角形的三邊長？ (1) 3、6、9 (2) 1、 10 、2 1 1 1 、 、 (3) 2 3 4 (4) 0.5、1.1、0.7

題型２ 設 a 為一正整數，若 12、8、 (a − 3) 表示三角形的三邊長，試求 a 的值可能有幾個？

99

100

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３

D

如右圖，若 AC = x ，求 x 的範圍。

28

19 x

A 21

16 B

題型 4 一等腰三角形的兩邊長分別為 5 公分與 7 公分，則它的周長為多少公分？

C

3-3 三角形的邊角關係

題型 5 A 如右圖，D 點在 AC 上，E 點在 BD 上，試比較 ∠1 、 ∠2 、 ∠A 之大小。 2

E 1 B

D

C

題型 6

A

如右圖，在 ABC 中，已知 AB = AC ，且 D

AD = DE = EF = CF = BC ，試求 ∠A 的度數。

E F B

C

101

102

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 在 ABC 中，若 AB = 1 ， BC = 3 ， AC = 2 ，則 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的大小關係為 何？

題型 8

L

如右圖，L 為 AB 的中垂線，P 為 L 外一點，請比較 ∠A 和 ∠PBA 的大小關係，並說明原因。

P

Q

A

B

103

3-3 三角形的邊角關係

題型 9 在 ABC 中，若 ∠A = 40° ， ∠B = 60° ，試比較 AB 、 BC 、 AC 的大小關係。

題型 10

A

如右圖，已知 ∠BAC = ∠CAD = 60° ， ∠B = 70° ， ∠ACD = 65° ，試比較 AB 、 BC 、 CD 、 DA

60° 60° B 70°

的大小關係。

D 65° C

４ 平行與四邊形 4-1 平行 4-2 平行四邊形 4-3 特殊平行四邊形與梯形

4-1 平行

４－１ 平行 基本觀念 1. 平行的定義與平行線間的距離 平行的定義：平面上兩條直線，若可以找到一條共同的垂線，就稱這兩條直線為平行線。 L

例 如右圖，L1 與 L2 同時垂直於 L，所以 L1 與 L2 互相 ■

L1

平行，可記為「L1 // L2」，讀作「L1 平行於 L2」。

L2

平行線的性質： ★兩平行線永不相交。 ★給定一條直線 L，在平面上可畫出無限多條與 L 平行的直線。 平行線間的距離： 兩平行線間的垂直線段長度稱為這兩平行線間的距離。 例 如右圖， ■

L1

A

AB 的長度即為兩平行線 L1 與 L2 的距離。

★兩平行線間的距離處處相等。

L2

B 2. 截線與截角

L

如圖（一），若一直線 L 同時和直線 L1 與 L2 相交，

L1

則直線 L 稱為 L1 與 L2 的截線，而所形成的八個角 ∠1 、 ∠2 、… 、 ∠8 ，稱為截角。

截角可分為三類：

L2 圖（一）

(1) 同側內角：如圖（一）， ∠4 和 ∠5 在 L1 與 L2 的內側，且都在截線 L 的同一邊， 像這樣的一組角稱為同側內角； ∠3 和 ∠6 也是同側內角。 (2) 同位角：如圖（一）， ∠1 和 ∠5 分別在 L1 與 L2 的上方，且都在截線 L 的左方， 像這樣對應位置相同的一組角稱為同位角； ∠2 和 ∠6 ， ∠3 和 ∠7 ， ∠4 和 ∠8 也是同位角。 (3) 內錯角：如圖（一）， ∠3 和 ∠5 都在 L1 與 L2 的內側，且交錯在截線 L 的兩邊， 像這樣的一組角稱為內錯角； ∠4 和 ∠6 也是內錯角。

105

106

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 3. 平行線的截線與截角

L

如右圖，若兩平行線被一直線所截，則： L1

(1) 同側內角互補。 例 ∠3 + ∠6 = 180° ， ∠4 + ∠5 = 180° 例 ■ (2) 同位角相等。

L2

例 ∠1 = ∠5 ， ∠2 = ∠6 ， ∠3 = ∠7 ， ∠4 = ∠8 ■ (3) 內錯角相等。 例 ∠3 = ∠5 ， ∠4 = ∠6 ■ 4. 平行線的判別 (1) 兩條直線同時垂直一條直線，則此兩條直線平行。 (2) 若兩條直線被一直線所截， ①若同側內角互補，則此兩條直線平行。 ②若同位角相等，則此兩條直線平行。 ③若內錯角相等，則此兩條直線平行。

5. 尺規作圖─過線外一點作平行線 P

例 如右圖，已知一直線 L 及 L 外一點 P，求作過 P 點 ■ 且與 L 平行之直線。

ἄ㱽

L

(1) 過 P 點作直線 M 交直線 L 於 Q 點。 C M

(2) 以 Q 點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交直線 M 與 L 於 A、B 兩點。 (3) 以 P 點為圓心， QA 長為半徑畫弧，交直線 M 於

A

C 點。 (4) 以 C 點為圓心， AB 長為半徑畫弧，交前弧於 D 點。 (5) 連接 P、D 兩點，直線 PD 即為所求。

Q

P

B

D

L

4-1 平行

精選題型 題型１ 如右圖，請寫出哪兩條直線是平行線？並說明理由。

L2 L1

L4 L3

題型２ M2

如右圖，已知 L1 // L2，若 M 1 ⊥ L1 ， M 2 ⊥ L2 ，

L1

則 M1 與 M2 是否平行？

L2 M1

107

108

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３

A

C

L

如右圖，L // M，且 AB ⊥ M ， AE = 5 cm， BE = 3 cm， BD = 6 cm，試求 BCD 的面積。 E

B

D

M

題型 4 如右圖，直線 L 是 L1 與 L2 的截線，試回答下列問題。

L2 L1

(1) ∠1 的對頂角是 _____，其度數是 _____ 度。 (2) ∠3 的同位角是 _____，其度數是 _____ 度。 (3) ∠3 的內錯角是 _____，其度數是 _____ 度。 (4) ∠6 的同側內角是 _____ 度。 (5) ∠5 的同位角是 _____ 度。

60° 120°

L

109

4-1 平行

題型 5

L

如右圖，已知 L1 // L2，求 ∠1 的度數。

L1

75°

L2

題型 6 A

如右圖， ABC 中， DE // BC ，求 ∠1 的度數。

70° D

B

50°

E

C

110

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 如右圖，已知 L // M，則 x= ？

L

(7x－15)° (5x＋5)°

M

題型 8 如右圖，已知 L // M，求 ∠1 、 ∠2 的度數。

53°

46°

L

M

4-1 平行

題型 9

A

如右圖， AB // DE ， BC // FE ，

D

若 ∠B = (4 x − 15)° ， ∠E = (6 x − 5)° ，求 x 的值。 B

C

F

E

題型 10

A

如右圖，已知 L // M，若 ∠1 = 25° ， ∠ABC = 90° ， 求 ∠2 的度數。

L

B

C

M

111

112

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11 如右圖，已知 L // M，若 ∠1 = 125° ， ∠2 = 80° ，

L

求 ∠3 的度數。

M

題型 12 如右圖，已知 L1 // L2，ABCDE 為正五邊形， 求 x、y 的度數。

4x

A

y

B

L1

E 5x

C D

L2

113

4-1 平行

題型 13 在下列各圖中，求出 ∠1 的度數，並判別直線 L 與 M 是否平行？ (1) 45°

L

(2)

53°

M

L 127°

145°

題型 14

A

如右圖，已知梯形 ABCD，試作出通過 AB 中點且與

M

D

BC 平行的直線。

B

C

114

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 15

A

如右圖， ABC 中， DE // BC ，沿著 DE 將 A 點摺 疊到 BC 上的 A' 點，若 ∠1 = 60° ， ∠2 = 100° ，求 ∠3

E

D

、 ∠A 的度數。 C

B

A′

題型 16

D

D

圖 ( 一 ) 是四邊形紙片 ABCD，其中 ∠B = 120° ， ∠D = 50° 。若將其右下角向內摺出一 PCR ， 恰使 CP // AB ， RC // AD ，如圖 ( 二 ) 所示， 則 ∠C = ？

A

A

R

C B

C

圖（一）

B

P

圖（二）

4-2 平行四邊形

４－２ 平行四邊形 基本觀念 1. 平行四邊形的定義 兩組對邊分別平行的四邊形，稱為平行四邊形。 例 如右圖，四邊形 ABCD 中，若 ■

AB // DC ，

A

B

AD // BC ，則四邊形 ABCD 為平行四邊形， 記為「

ABCD 」，讀作「平行四邊形 ABCD」。

其中 ∠A 與 ∠C ， ∠B 與 ∠D 稱為對角； ∠A 與 ∠B ， ∠A 與 ∠D 稱為鄰角。

D

C

2. 平行四邊形的邊角性質 如右圖，ABCD 為平行四邊形，有以下邊角性質：

A

B

(1) 對邊等長。 AB = DC ， AD = BC 。 (2) 對角相等。 ∠A = ∠C ， ∠B = ∠D 。

D

C

(3) 鄰角互補。 ∠A + ∠D = 180° ， ∠A + ∠B = 180° 。

3. 平行四邊形的對角線性質 A

如右圖，ABCD 為平行四邊形，其對角線 AC 、 BD

B

有以下性質： E

(1) 任一條對角線將平行四邊形分成兩個全等三角形。  ADB ≅CBD ， BAC ≅DCA 。 (2) 兩條對角線互相平分。

D

AE = EC ， DE = EB 。 (3) 兩條對角線將平行四邊形分成四個面積相等的三角形。 ABE 、 BCE 、 CDE 、 DAE 面積都相等。

C

115

116

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 4. 平行四邊形的面積公式與推導 平行四邊形面積＝底 × 高 說明

如右圖，已知 ABCD 為平行四邊形， AC 為其對角線，

A

B

在 ABC 與 CDA 中 因為 AB // DC ，所以 ∠1 = ∠3 ( 內錯角相等 )， AD // BC ，所以 ∠2 = ∠4 ( 內錯角相等 )， 又因為 AC = AC ，

D

所以  ABC ≅CDA (ASA 全等性質 )

A

ABCD 面積＝ 2×ADC 面積 1 = 2× × 底 × 高 2 ＝底 × 高

高 D

5. 平行四邊形的判別 (1) 兩雙對邊分別等長的四邊形，就是平行四邊形。 (2) 兩組對角分別相等的四邊形，就是平行四邊形。 (3) 兩條對角線互相平分的四邊形，就是平行四邊形。 (4) 一組對邊平行且等長的四邊形，就是平行四邊形。

C

底

C

4-2 平行四邊形

精選題型 題型１ 在平行四邊形 ABCD 中，若 AB = 3BC ，且 AB 和 AD 相差 8 cm，求平行四邊形 ABCD 的周長。

題型２ 平行四邊形 ABCD 中，若 ∠B 的外角是 ∠D 的 2 倍，求 ∠A 和 ∠D 的度數。

117

118

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 在平行四邊形 ABCD 中，若 ∠A = 2∠B + 30° ，求 ∠C 和 ∠D 的度數。

題型 4

A

如右圖，在同一平面上，ABCD、BCEF、ADEF 均為平 行四邊形，若 ∠BAD = 62° ， ∠EFB = 108° ， ∠DEC = 25° ，求 ∠CDE = ？

D B C

F E

4-2 平行四邊形

題型 5 若平行四邊形 ABCD 的兩對角線互相垂直且相交於 E 點，且 AE = 6 、 BE = 8 ，求此平 行四邊形的周長。

題型 6 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，O 點為兩對角線的交點， A

D O

若 DH ⊥ AC ，且 DH = 3 、 AO = 4 ，試求： (1) COD 的面積＝？ (2) 平行四邊形 ABCD 的面積＝？

H B

C

119

120

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7

A

如右圖，平行四邊形 ABCD 的周長為 64，若 AE ⊥ BC

D

，且 AB = 14 、 AE = 10 ，求平行四邊形 ABCD 的面積。 B

題型 8

E

C

A

如右圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 點在 BC 上，若

D

AE ⊥ DE ，且 AE = 4 、 DE = 3 ，求平行四邊形 ABCD 的面積。

B

E

C

121

4-2 平行四邊形

題型 9

A

B

如右圖，在四邊形 ABCD 中，若 AD = BC 、 AB = AE = 8 ，且 ACD 的面積為 32，則： (1) CD = ？ (2) 四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？

D

題型 10

E

C

A

如右圖，在四邊形 ABCD 中，已知 ∠A = 120° 、

D

∠1 = 140° 、 ∠2 = 20° ，且 ∠B = ∠D ，則： (1) ∠C = ？ (2) 四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？

B

C

122

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11

A

D

如右圖，在四邊形 ABCD 中，已知 ∠1 = ∠2 = ∠3 ，且 AB + CE = AD ，則四邊形 ABCD 是否為平行四邊形？ B

題型 12 如右圖，已知兩線段長 a、b 及 ∠1 ，求作一

a

平行四邊形，使它相鄰兩邊的長是 a 和 b，所 夾的角為 ∠1 。

b

E

C

4-2 平行四邊形

題型 13

a

已知平行四邊形兩對角線 m、n 及一邊長 a，求作此平行

m

四邊形。

n

題型 14 D

A

如右圖，平行四邊形 ABCD 中， BC = 12 ，M 為 BC 中

E

點，M 到 AD 的距離為 8。若分別以 B、C 為圓心，

F

BM 長為半徑畫弧，交 AB 、 CD 於 E、F 兩點，則圖 中灰色區域面積為何？

B

M

C

123

124

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

４－３ 特殊平行四邊形與梯形 基本觀念 A

1. 菱形 定義：四邊都等長的四邊形，就稱為菱形。 如圖（一）， AB = BC = CD = DA ，則四邊形 ABCD 是 菱形。

D

B

★ 菱形是平行四邊形，但是平行四邊形不一定是菱形。 菱形的邊角性質：

C

如圖（一），四邊形 ABCD 是菱形，則：

圖（一）

(1) 對邊等長。 AB = DC ， AD = BC 。 A

(2) 對角相等。 ∠A = ∠C ， ∠B = ∠D 。 (3) 鄰角互補。 ∠A + ∠D = 180° ， ∠A + ∠B = 180° 。 菱形的對角線性質： 如圖（二），四邊形 ABCD 是菱形，且 AC 、 BD 為其

D

B

E

兩條對角線，則： (1) 對角線互相垂直平分。

C

AC ⊥ DB 且 AE = EC ， DE = EB 。

圖（二）

(2) 兩條對角線分別平分其頂角。 ∠DAC = ∠BAC ， ∠DCA = ∠BCA ； ∠ADB = ∠CDB ， ∠ABD = ∠CBD 。 (3) 兩條對角線將菱形分成四個全等的直角三角形。  ABE ≅CBE ≅CDE ≅ ADE 。 ★ 菱形是線對稱圖形，其對稱軸就是兩條對角線。

A

菱形的判別： (1) 四邊等長的四邊形，就是菱形。 (2) 對角線互相垂直平分的四邊形，就是菱形。

D

B

(3) 兩條對角線分別平分其頂角的四邊形，就是菱形。 菱形的面積： 菱形的面積等於兩條對角線乘積的一半。 1 如圖（三），菱形 ABCD 的面積＝ × AC × BD 。 2

C 圖（三）

4-3 特殊平行四邊形與梯形 2. 長方形 定義：四個角都是直角的四邊形，就稱為長方形，又稱作矩形。 如圖（四）， ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ，則四邊形

A

B

D

C

ABCD 是長方形。 ★ 長方形是平行四邊形，但是平行四邊形不一定是長方形。 長方形的邊角性質： 如圖（四），四邊形 ABCD 是長方形，則：

圖（四）

(1) 對邊等長。 AB = DC ， AD = BC 。 (2) 對角相等。 ∠A = ∠C ， ∠B = ∠D 。 (3) 鄰角互補。 ∠A + ∠D = 180° ， ∠A + ∠B = 180° 。 長方形的對角線性質： 如圖（五），四邊形 ABCD 是長方形，且 AC 、 BD 為

A

B

其兩條對角線，則對角線互相平分且等長。 E

AC = DB 且 AE = EC = DE = EB 。 D

C 圖（五）

3. 正方形 定義：四個邊等長且四個角都是直角的四邊形，就稱為正方形。 如圖（六）， AB = BC = CD = DA 且 ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° ，則四邊形 ABCD 是正方形。

A

B

★ 正方形是平行四邊形，但是平行四邊形不一定是正方形。 正方形的邊角性質： 如圖（六），四邊形 ABCD 是正方形，則： (1) 對邊等長。 AB = DC ， AD = BC 。 (2) 對角相等。 ∠A = ∠C ， ∠B = ∠D 。 (3) 鄰角互補。 ∠A + ∠D = 180° ， ∠A + ∠B = 180° 。

D

圖（六）

C

125

126

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 正方形的對角線性質：

A

B

如圖（七），四邊形 ABCD 是正方形，且 AC 、 BD 為 其兩條對角線，則： (1) 對角線互相垂直平分且等長。

E

AC ⊥ DB 且 AC = DB 、 AE = EC = DE = EB 。 D

(2) 兩條對角線分別平分其頂角。

圖（七） ∠DAC = ∠BAC ， ∠DCA = ∠BCA ； ∠ADB = ∠CDB ， ∠ABD = ∠CBD 。

C

(3) 兩條對角線將正方形分成四個全等的直角三角形。  ABE ≅CBE ≅CDE ≅ ADE 。 ★ 正方形是菱形，也是矩形，所以具有菱形和矩形的所有性質。

4. 梯形 定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形，就稱為梯形。 如圖（八）， AB

DC 且 AD

A

BC ，則四邊

B

形 ABCD 是梯形，其中： (1) 上底、下底：平行的兩邊分別稱為上底和下底。

E

F

AB 是上底， DC 是下底。 (2) 腰：不平行的兩邊分別稱為腰。

D

(3) 中線：兩腰的中點連線稱為梯形的中線。

C

G 圖（八）

AD 、 BC 都是腰。 A

B

EF 是中線。 (4) 高：上底和下底間的距離稱為高。 AG 是高。 等腰梯形：兩腰等長的梯形，稱為等腰梯形。 D

等腰梯形的性質： 如圖（九）， AB

DC 且 AD = BC ，則四邊形 ABCD 是等腰梯形，則：

(1) 底角、頂角相等。 ∠ADC = ∠BCD ， ∠DAB = ∠CBA 。 (2) 兩對角線等長。 AC = BD 。

C 圖（九）

127

4-3 特殊平行四邊形與梯形 梯形的中線性質：

A

B

如圖（十）， EF 為梯形 ABCD 的中線，則： (1) 梯形的中線平行於兩底。

E

EF // AB // DC 。

F

(2) 梯形的中線長等於兩底和的一半。 D

1 EF = ( AB + DC ) 。 2 梯形的面積： 梯形面積＝

C 圖（十） A

1 × （上底＋下底） × 高＝中線長 × 高 2

如圖（十一）， EF 為梯形 ABCD 的中線， AH 為高， 1 則：梯形 ABCD 的面積 = ( AB + DC ) × AH = EF × AH 2

E

D

F

H 圖（十一）

5. 四邊形的包含關係

四邊形

平行四邊形 矩形 正方形

梯形 正方形 等腰梯形 菱形

B

C

128

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１

D

如右圖，在菱形 ABCD 中，已知 AB = 3 x + 3 ， BC = 6 x − 9 ， BD = 4 x + 2 ，求 (1) 菱形 ABCD 的周長。

A

(2) 對角線 AC 的長度。

B

題型２

A

如右圖，在菱形 ABCD 中，已知 ∠1 = 60° ，求此菱形 ABCD 的四個內角度數。

C

O

1 B

D C

4-3 特殊平行四邊形與梯形

題型３

A

如右圖，四邊形 ABCD 為菱形， AC 與 BD 為對角線，

8

已知 AO = 8 ， BO = 6 ，則：

B

(1) 對角線 AC = ？ BD = ？

6

D

O

(2) 菱形 ABCD 的周長＝？ (3) 菱形 ABCD 的面積＝？

題型 4

C

D

A

如右圖，四邊形 ABCD 為矩形，已知 ∠AOB = 60° ， AB = 10 ，求矩形 ABCD 的周長與面積。

10 B

60°

O C

129

130

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5

A

D

如右圖，四邊形 ABCD 為長方形，已知 CD = 3 ， BC = 4 ，則：

O

(1) AOB 的周長＝？ (2) AOB 的面積＝？

B

題型 6

C

A

B

如右圖， AB // DC ，若 ∠A = (3 y − 20)° ， ∠B = (2 y + 20)° ， ∠C = ( x + 20)° ， ∠D = ( x + 10)° ， 試求 ∠B = ？ ∠C = ？

D

C

4-3 特殊平行四邊形與梯形

題型 7

A

D

如右圖， AD // BC ，若 AD = 4 ， BC = 9 ，且 ABD 的面積為 24 平方單位，求： (1) 梯形 ABCD 的高 (2) BCD 的面積。 B

C

題型 8 A

如右圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ， EF 為其中線， 若 AD = 6 cm， BC = 10 cm，梯形的高為 5cm，則：

E

(1) EF ＝？ (2) 梯形面積＝？

B

D F C

131

132

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9

C

如右圖，梯形 ABCD 中， AB // CD ， AC ⊥ BC ，

D

15

AD = BC = 15 ， AB = 25 ，求梯形 ABCD 的面積為何？

15

B

A

25

題型 10 如右圖，梯形 ABCD 中， AB // CD ，且 AB = 5 ，

A

B

BC = 4 ， CD = 10 ， AD = 3 ，求梯形 ABCD 的面積為 何？

D

C

4-3 特殊平行四邊形與梯形

題型 11 A

圖（一）為一梯形 ABCD，其中

D M

∠C = ∠D = 90° ，且 AD = 6 ， BC = 18 ， CD = 12 。若將 AD 疊合在 BC 上，出現摺 線 MN ，如圖（二）所示，則 MN 的長度為

B

C

B

圖（一）

N (A)

C (D)

圖（二）

何？

題型 12

A

D

如右圖，等腰梯形 ABCD 中， AD = 5 ， AB = CD = 7，

L

BC = 13 ，且 CD 之中垂線 L 交 BC 於 P 點，連接 PD 。求四邊形 ABPD 的周長為何？

B

P

C

133

ANS

Live 國中數學 i 講義 4 編著者 出版者 公司地址 服務電話 Live 網址 電子信箱 出版日期 ISBN

葛 倫 徠富數位學習科技有限公司 70247 台南市南區三官路 120 號 (06)2658388 Liveism.com Live.study@gmail.com 2013 年 12 月 第一版 978-986-88371-5-7( 平裝附光碟片 )

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