Live 國中數學 i講義 3 試閱版

3

Ver 1.0

徠富數位學習科技有限公司

Live e-Learning Technology Inc.

9789868837133

前言 數學的學習方法 學好基礎數學的第一步，就是要有正確扎實的基本觀念，良好觀念的建立原 則─先理解再記憶。透過不同題目類型的演練有助於澄清了解基本觀念，為 了靈活應用基本觀念與提昇厚植數學實力，進行一定數量與質量的試題練習 是必要的。所以”基本觀念、題型解析、試題練習”就是學好數學的金字塔！

本書的編寫架構 一、基本觀念 以條列式歸納整理該節的觀念重點，簡潔清楚的文字敘述，輔以圖示、表格、 例題說明，讓讀者能輕易理解觀念內容，迅速掌握複習要點。

二、精選題型 題目類型呼應基本觀念，題型安排由簡易循序漸進至複雜，系統性的精華題 型，鞏固所學的數學概念，培植基本的數學能力。

Live 的數位教學 數學學習困難的本質因素在於─數學本身是抽象思維的產物。 葛倫老師借助數位工具的力量，將抽象的數學概念轉化為具體的多媒體，透 過筆跡、圖片、聲音等動畫影音呈現， 將原本生硬艱澀難懂的數學內容， 詮釋化簡為生動有趣易理解的數學 觀念。 每一題精選題型葛倫老師都親自手 寫板書教學，教學過程充分發揮數 位功能─多彩畫筆、螢光註記、剪貼 縮放、３Ｄ透視、幾何圖形等。 Live 卓越的數位教學，除了擁有高品質的 數位教學內容，透過直覺易用的操 作介面，搭配非線性隨選學習功 能，讓學生以最有效率、最具創 意的未來學習方式來學好數學！

編者 葛 倫

目次 第一章 乘法公式與多項式 1-1 乘法公式

4

1-2 多項式與其加減運算

16

1-3 多項式的乘除運算

26

第二章 平方根與勾股定理 2-1 平方根與近似值

39

2-2 根式的運算

53

2-3 勾股定理

66

第三章 因式分解 3-1 因式、倍式與因式分解

78

3-2 提出公因式與分組分解

85

3-3 利用乘法公式做因式分解

91

3-4 利用十字交乘法做因式分解

98

第四章 一元二次方程式 4-1 因式分解解一元二次方程式

106

4-2 配方法與公式解

120

4-3 一元二次方程式應用問題

133

1 乘法公式與多項式 1-1 乘法公式 1-2 多項式與其加減運算 1-3 多項式的乘除運算

4

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

１－１ 乘法公式 基本觀念 1. 乘法公式的定義與介紹 乘法公式的定義：利用乘法交換律、結合律與分配律，將繁複的計算整理為比較容易 計算的代數式。 常用的乘法公式： ․ 和的平方公式： ( a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 ․ 差的平方公式： ( a − b)2 = a 2 − 2ab + b2 ․ 平方差公式： ( a + b)( a − b) = a 2 − b2 2. (a + b )(c + d ) = ac + ad + bc + bd 之推導與圖解 對於任意數 a、b、c、d， ( a + b)( c + d ) = ac + ad + bc + bd (1) 利用乘法分配律展開： ( a + b)( c + d ) = a ( c + d ) + b( c + d ) = ac + ad + bc + bd (2) 圖解說明： 如圖，一個長為 (a+b)、寬為 (c+d) 的長方形，其面積為 (a+b)(c+d)。 將此長方形的長分成長度為 a 與 b 兩段，寬分成長度為 c 與 d 兩段。 則此長方形可被分成四個小長方形，它們的面積分別為 ac、ad、bc、bd。 由這四個小長方形面積的總和會等於原來的長方形面積，因此得出 ( a + b)( c + d ) = ac + ad + bc + bd a+b c c+d

ac

c

a d a

b

ad a

bc

c

b d

bd b

d

1-1 乘法公式 3. 和的平方公式： (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 對於任意數 a、b， ( a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 (1) 利用乘法分配律展開： ( a + b)2 = ( a + b)( a + b) = a 2 + ab + ba + b2 = a 2 + ab + ab + b2 = a 2 + 2ab + b2 (2) 圖解說明： 如圖，一個邊長為 (a + b) 的正方形，其面積為 (a + b) 2 。 將此正方形的邊長分成長度為 a 與 b 兩段。 則此正方形可被分成一個邊長為 a 的小正方形和一個邊長為 b 的小正方形，及另外兩 個長為 a、寬為 b 的長方形，它們的面積分別為 a2、b2、ab、ab。 由這兩個小正方形與兩個小長方形面積的總和會等於原來的正方形面積，因此得出 ( a + b)2 = a 2 + ab + ab + b2 = a 2 + 2ab + b2 a+b

a a+b

a2

a

a b a

b

ab a

ab

a

b b

b2 b

b

5

6

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 4. 差的平方公式： (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2 對於任意數 a、b， ( a − b)2 = a 2 − 2ab + b2 (1) 利用乘法分配律展開： ( a − b)2 = ( a − b)( a − b) = a 2 − ab − ba + b2 = a 2 − ab − ab + b2 = a 2 − 2ab + b2 (2) 圖解說明： 如圖，一個邊長為 (a − b) 的小正方形，其面積為 (a − b) 2 。 此小正方形的面積恰為邊長為 a 的大正方形面積扣掉兩個長為 a、寬為 b 的長方形面積， 再補回兩長方形所交疊邊長為 b 的小正方形面積，它們的面積分別為 a2、ab、ab、b2。 因此得出 ( a − b)2 = a 2 − ab − ab + b2 = a 2 − 2ab + b2 a

a

a–b a–b a

(a – b)

a 2

a b b

a2

ab

b

a

ab

b

b2 b

b

b

b

1-1 乘法公式 5. 平方差公式： (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 對於任意數 a、b， ( a + b)( a − b) = a 2 − b2 (1) 利用乘法分配律展開： ( a + b)( a − b) = a 2 − ab + ba − b2 = a 2 − ab + ab − b2 = a 2 − b2 (2) 圖解說明： 如圖，一個長為 (a + b) 、寬為 (a − b) 的長方形，其面積為 (a + b)(a − b) 。 此長方形經過如圖中的重新組合後，其面積恰為邊長為 a 的大正方形面積扣掉一個邊 長為 b 的小正方形面積，它們的面積分別為 a2、b2。 因此得出 ( a + b)( a − b) = a 2 − b2 a

a–b

(a + b)(a – b)

a

b

a

a–b a

a2

b2 b

b a–b

b

7

8

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ 展開下列各式： (1)

( 2a − 3b)( 4c + 5d )

1 2 3 4 (2) ( x + y )( x − y ) 2 3 4 5

題型２ 下圖有 A、B、C、D 四個小長方形，則： 8 5

A

3 5

B

2

8 C

3 2 D

(1) 四個小長方形的面積和是多少？ (2) 將這四個小長方形拼成一個大長方形，則大長方形的長、寬各是多少？面積是多少？ (3) 第 (1)、(2) 題求算面積的結果是否相同？

1-1 乘法公式

題型３ 利用 ( a + b)( c + d ) 計算下列各式的值。 (1) 108 × 201 (2) 2003 × 199 (3) 9.9 × 10.2 (4) 8.2 × 5.1

題型 4 利用 ( a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 計算下列各式的值。 (1) 1092 (2) 30.32 1 (3) (30 )2 3

9

10

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 利用 ( a − b)2 = a 2 − 2ab + b2 計算下列各式的值。 (1) 9992 (2) 199.82 4 (3) (399 )2 5

題型 6 利用平方差公式計算下列各式的值。 (1) 98 × 102 3 5 (2) 50 × 49 8 8 (3) 20.8 × 19.2 (4) 1892 − 892

1-1 乘法公式

題型 7 如右圖，大圓的直徑為 298 cm，小圓的直徑為 98 cm，求灰 色部份的面積。

題型 8 利用乘法公式，求下列各式的值。 (1) 2792 + 2 × 279 × 221 + 2212 (2) 1282 − 2 ×128 × 478 + 4782

11

12

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 2852 − 1152 利用乘法公式計算 的值。 2852 + 230 × 285 + 1152

題型 10 若 a − b = 7 ， ab = 1 ，求： (1) a 2 + b2 = ？ (2) ( a + b)2 = ？

1-1 乘法公式

題型 11 利用乘法公式計算 7 × 9 × (82 + 1)(84 + 1) = 8m − 1 ，則 m = ？

題型 12 (69

17 6 ) × (70 ) = a + b ，若 a 為正整數且 0 < b < 1 ，則 a = ？， b = ？ 23 23

13

14

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 13 計算

1 390 × 388 + − 379 之值為何？ 389 389

題型 14 試求 (1 −

1 1 1 1 )(1 − 2 )(1 − 2 ) (1 − )= ？ 2 2 3 4 1002

1-1 乘法公式

題型 15 若 A = 101 × 9996 × 10005 ， B = 10004 × 9997 × 101 ，則 A − B 之值為何？

15

16

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

１－２ 多項式與其加減運算 基本觀念 1. 多項式的定義與判別 定義：由文字符號（通常為 x）和數字進行加法和乘法運算所構成的代數式。 例 5，2x，3x2， ■

2 4 x − 4 ， x2 + 1 ， 3 − x + 6 x2 3 5

★ 若代數式的文字符號（通常為 x）出現在分母、根號裡或絕對值中，則此代數式就 不能定義為「多項式」。 例 ■

1 ， x

2 x −1 ， 3x + 5 都不是 x 的多項式。

2. 多項式的項、係數、次數與常數項 將多項式 2 x 3 − 4 x 2 + 3x − 1 化為 2 x 3 + ( −4 x 2 ) + 3x + ( −1) ，其中 2x3、 −4 x 2 、3x、 −1 都是此多項式的項。2x3 是此多項式的三次項，其係數為 2； −4 x 2 是二次項，其係數 為 −4 ；3x 是一次項，其係數為 3； −1 是常數，又稱為常數項或零次項。 ★ 多項式其係數不為 0 的各項中，以文字符號的最高次數來稱為此多項式的次數。 例 ■

2 x 3 − 4 x 2 + 3x − 1 是 x 的三次多項式。

3. 多項式的類型 零多項式

0

常數多項式 零次多項式

2， −5 ，

3 7 ，− 4 6

一元一次式 3x + 1 ， 4 −

多項式類型 次數多項式

一次多項式

2 x ， 5x 3

二元一次式 x − y ， 3x + 2 y − 1

二次多項式

2 x 2 ， 3 x 2 − 2 ， −1 + 4 x + 5 x 2

1-2 多項式與其加減運算 4. 多項式的排列 升冪排列：將一多項式的各項按某一文字符號的次數由小到大排列，稱為升冪排列。 例 ■

−1 + 2 x 3 + 3x − 4 x 2 + 5 x 4 的升冪排列為 −1 + 3x − 4 x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 。

降冪排列：將一多項式的各項按某一文字符號的次數由大到小排列，稱為降冪排列。 例 ■

−1 + 2 x 3 + 3x − 4 x 2 + 5 x 4 的降冪排列為 5 x 4 + 2 x 3 − 4 x 2 + 3x − 1 。

5. 多項式的加減運算─橫式計算 同類項：在多項式中，文字符號及次數都相同的項，稱為同類項。 −4 x 2 和 5 x 2 是同類項；2x 和 4x 是同類項。

例 ■

兩個多項式進行加減運算時，就是將它們的同類項合併，也就是將兩多項式的同類項 係數相加或相減。 例 ■

(6 + 3 x − 4 x 2 ) + (5 x 2 − 3 x + 1) = 6 + 3x − 4 x 2 + 5 x 2 − 3x + 1 x 2 + x 2 ) + (3 x − 3 x) + (6 + 1) 5 = (− 4 二次項 一次項 常數項 = x2 + 7

例 ■

( x 2 + 2 x − 3) − (3 x 2 − 4 x + 2) = x 2 + 2 x − 3 − 3x 2 + 4 x − 2 2 = ( − 3 + x x 2 ) + (2 x 4 x) + ( − 3 − 2)

二次項 一次項 常數項

= −2 x 2 + 6 x + (−5) = −2 x 2 + 6 x − 5 6. 多項式的加減運算─直式計算 兩個多項式進行直式加減運算時，先將多項式按降冪排列，同類項上下對齊，缺項的 位置補 0，再合併。 例例 例例 ■

(6 + 3 x − 4 x 2 ) + (5 x 2 − 3 x + 1)

= (−4 x 2 + 3 x + 6) + (5 x 2 − 3 x + 1)

例例 例例 ■

( x 2 + 4 x − 6) − (2 − 3 x 2 )

= ( x 2 + 4 x − 6) − (−3 x 2 + 0 x + 2)

例例

例 例

⇒ 4 x2 + 4 x − 8

17

18

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 7. 多項式的加減運算─分離係數法 兩個多項式進行直式加減運算時，先將多項式按降冪排列，省略各項的文字符號，同 類項的係數上下對齊，缺項的位置補 0，再合併。 例例 例例 ■

(6 + 3 x − 4 x 2 ) + (5 x 2 − 3 x + 1)

= (−4 x 2 + 3 x + 6) + (5 x 2 − 3 x + 1) 例 例例 +)

例

x2 項

x項

−4 +5

+3 −3

+6 +1

+1

+0

+7

例例 例例 ■

( x 2 + 4 x − 6) − (2 − 3 x 2 )

= ( x 2 + 4 x − 6) − (−3 x 2 + 0 x + 2)

常數項 −)

x2 項

x項

+1 −3

+4 +0

−6 +2

+4

+4

−8

⇒ 4 x2 + 4 x − 8

常數項

1-2 多項式與其加減運算

精選題型 題型１ 下列各式中，哪些是 x 的多項式？ (1) −4

(4) x + −1

(2) 2 x + 3

(5) 3x 2 − x +

(3)

x −1

(6)

1 2

1 + 2 − 3x x

題型２ 請寫出下列各多項式的次數及各項係數。 多項式 2 x 2 + 3x − 6 4x + 7 1 2

次數

二次項係數

一次項係數

常數項

19

20

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 下列選項 (A) ～ (F) 都是 x 的多項式，請根據下列問題 (1) ～ (5)，填入適當的選項代號。 (A) 0

(D) x 2 + 1

(B) 2

(E) x 2 + 2 x + 1

(C) 2 x + 1

(F) 2x

(1) 哪些是常數多項式？ (2) 哪些是零多項式？

。 。

(3) 哪些是零次多項式？

。

(4) 哪些是一次多項式？

。

(5) 哪些是二次多項式？

。

題型 4 將下列各多項式按照指定的方式排列。 (1) −4 x 2 + 6 − 7 x 3 + 5 x 升冪排列：

。

降冪排列：

。

(2) 8 x 3 − 5 x + 9 x 2 升冪排列：

。

降冪排列：

。

1-2 多項式與其加減運算

題型 5 將下列各式的同類項合併，並按降冪排列表示。 (1) −3 − x 2 + 4 x − 5 + 2 x − 6 x 2 (2) 9 x 2 + 6 − 7 x − 8 x 3 − 4 x 2 + 5 x

題型 6 以橫式計算下列各式（按升冪形式表示）。 (1) (7 x 2 − 3x + 1) + ( − x 2 + x − 5) (2) (3x 2 − 9) − ( x + 2) (3) (1 − 5 x − 7 x 3 ) − ( 2 x 3 − 4 x 2 + x − 7)

21

22

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 以橫式計算下列各式（按降冪形式表示）。 (1) (5 x 2 + 4 x + 3) + ( x 2 + 2 x + 3) (2) (9 x 2 − 8 x − 7) − (3x 2 + 6 x − 9) (3) (3x 3 − 2 x 2 + 1) − ( 4 x + 5 x 2 )

題型 8 以直式計算下列各式。 (1) (9 x 2 + 6 x + 5) + ( 2 x 2 + x + 7) (2) (10 x 2 − 5 x − 4) − (3x 2 + 2 x ) (3) (7 x 3 − 2 x 2 + 1) − ( x 2 + 5)

1-2 多項式與其加減運算

題型 9 計算下列各式。 (1) ( 2 x 3 − 6 x 2 + 7) − [( 4 x 3 + 6 x ) − (5 x 2 − x + 8)] (2) [( x 2 + 8) − ( x 3 + 2 x + 1)] + (3x 3 + 6 x − 5)

題型 10 一多項式與 4 x 2 − 15 x − 6 的和為 −2 x 2 + 8 x − 14 ，求此多項式。

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11 兩個多項式 A、B，若 A + B = 10 x 2 − 4 x + 13 ， A − B = 8 x − 7 ，求多項式 A 與多項式 B。

題型 12 已知多項式 A = 3x 2 + 4 x − 5 、 B = −2 x 2 − x + 3 、 C = − x 2 + 3x − 2 ，求 3 A − 2 B + C = ？

1-2 多項式與其加減運算

題型 13 (1) 設多項式 ax 3 − 12 x 2 + 7 x 3 − ax 2 − 6 x + 5 為 x 的二次多項式，求 a 之值。 (2) 設多項式 ( a − 2) x 2 + (3a − 2b + 4) x − ( 2a − 3b + c ) 為零多項式，求 a + b + c 的值。

題型 14 有一道數學題：「兩多項式 A、B， A = 5 x 2 − 4 x − 3 ，求 A + B 。」小富將 A + B 看成 A − B ，結果算出的答案是 −4 x 2 − 6 x + 2 ，請你幫小富算出此道數學題的正確答案。

25

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

１－３ 多項式的乘除運算 基本觀念 1. 多項式的乘法運算 單項式：由數與文字符號相乘所形成的單一項代數式，稱為單項式。 3x 2 、 4x 、5 都是 x 的單項式。

例 ■

單項式乘以單項式：將各項的係數相乘寫在前面，文字符號相乘寫在後面即可。 例 ■

2 x ⋅ 3x = 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ x = 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x = 6 ⋅ x 2 = 6 x 2

多項式乘以多項式：利用乘法分配律將各項乘開後，再進行同類項合併，有橫式、直式、 分離係數法等三種方法。 (1) 橫式計算 計算 ( 2 x − 3)( 4 x + 5) 的值

例 ■ 解 □

( 2 x − 3)( 4 x + 5) = 2x ⋅ 4x + 2x ⋅ 5 − 3⋅ 4x − 3⋅ 5 = 8 x 2 + 10 x − 12 x − 15 = 8 x 2 − 2 x − 15

(2) 直式計算 例 ■ 解 □

計算 ( 2 x − 3)( 4 x + 5) 的值

⇒ 8 x 2 − 2 x − 15

(3) 分離係數法 例 ■ 解 □

計算 ( 2 x − 3)( 4 x + 5) 的值

⇒ 8 x 2 − 2 x − 15

1-3 多項式的乘除運算 2. 多項式的乘法運算─利用乘法公式 (1) 和的平方公式： ( a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 例 ■

( 2 x + 3)2 = ( 2 x )2 + 2 ⋅ ( 2 x ) ⋅ 3+32 = 4 x 2 + 12 x + 9

(2) 差的平方公式： ( a − b)2 = a 2 − 2ab + b2 例 ■

( 4 x − 5)2 = ( 4 x )2 − 2 ⋅ ( 4 x ) ⋅ 5+52 = 16 x 2 − 40 x + 25

(3) 平方差公式： ( a + b)( a − b) = a 2 − b2 例 ■

(6 x + 7)(6 x − 7) = (6 x )2 − 72 = 36 x 2 − 49

3. 多項式的除法運算 單項式除以單項式：將原式化為分式 (

)，各項係數約分，文字符號以指數律

化簡。 例 x2 ÷ x = ■

x2 x ⋅ x x = = =x x 1 x

4 x2 4 ⋅ x ⋅ x 2x = = −2 x = −1 −2 x −2 ⋅ x −8 ⋅ x 7 = 4 ⋅ x 7−4 = 4 x 3 −8 x 7 ÷ ( −2 x 4 ) = −2 ⋅ x 4

4 x 2 ÷ ( −2 x ) =

多項式除以單項式：將多項式各項分別除以單項式，分別化簡後再合併。 例 ■

(6 x 2 + 4 x) ÷ (−2 x) = (6 x 2 ) ÷ (−2 x) + (4 x) ÷ (−2 x) = −3 x − 2

多項式除以多項式： (1) 直式計算 ( 長除法 )：將被除式和除式 按降冪排列，遇有缺項時須補零。 例 ■

求 ( x 2 + 3x + 5) ÷ ( x + 1) 的商式和餘式

(2) 分離係數法 例 例 ■

求 ( x 2 + 3x + 5) ÷ ( x + 1) 的商式和餘式

⇒ ( x 2 + 3x + 5) ÷ ( x + 1) = x + 2 3

⇒ ( x 2 + 3x + 5) ÷ ( x + 1) = x + 2 3

⇒ 商式＝ x + 2

⇒ 商式＝ x + 2

餘式＝ 3

餘式＝ 3

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 4. 多項式的除法運算─除法關係式 若多項式 A 除以多項式 B，所得的商式為 Q，餘式為 R。 即 A ÷ B = Q  R ，則有下列關係式： A = B ⋅Q + R B = ( A − R) ÷ Q A R =Q+ B B mA mR = mQ + ( m ≠ 0) B B A Q R = + ( n ≠ 0) nB n nB 例 ■

( x 2 + 3x + 5) ÷ ( x + 1) = ( x + 2) 3

⇒ ( x 2 + 3x + 5) = ( x + 1) ⋅ ( x + 2) + 3 ⇒ ( x + 1) = [( x 2 + 3x + 5) − 3] ÷ ( x + 2) 3 ( x 2 + 3x + 5) = ( x + 2) + ⇒ ( x + 1) ( x + 1) ⇒

2⋅3 2( x 2 + 3x + 5) = 2( x + 2) + ( x + 1) ( x + 1)

⇒

( x 2 + 3x + 5) ( x + 2) 3 = + 3( x + 1) 3 3( x + 1)

1-3 多項式的乘除運算

精選題型 題型１ 計算下列各式。 (1) 4 x ⋅ ( −7) (2)

3 8 x ⋅ (− x) 4 9

(3) ( −9 x )2

題型２ 計算下列各式。 (1)

2 x(6 − 9 x ) 3

(2) −2 x 2 ( 4 x − 7) (3) 3x(5 x 2 − 2 x + 1)

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 以橫式計算下列各式。 (1) ( x + 2)( x + 3) (2) (3x + 2)( −2 x + 3) 2 (3) ( −2 x − )(3x + 6) 3 1 4 (4) ( x − )( −6 x − 12) 2 3

題型 4 以直式計算下列各式。 (1) ( −8 x + 3)( −2 x + 1) (2) (3x − 10)( − x − 7)

1-3 多項式的乘除運算

題型 5 利用乘法公式計算下列各式。 (1) ( x + 7)2 (2) (3x − 1)2 (3) (2 x − 1)(2 x + 1)

題型 6 利用乘法公式計算下列各式。 (1) (3x 2 + 2)2 (2) (4 − 5 x 2 ) 2 (3) ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1)

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32

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 以橫式計算下列各式。 (1) 8 x 2 2 (2) −9 x 2 ÷ ( −6 x ) (3) −6 x 3 ÷ ( −3x )2 (4) ( −2 x )4 ÷ ( −4 x )2

題型 8 求下列各式的商式及餘式。 (1) ( x 2 − 3x + 1) ÷ ( x + 2) (2) ( 4 x 2 + 3) ÷ ( 2 x − 1)

1-3 多項式的乘除運算

題型 9 求下列各式的商式及餘式。 (1) (5 x 2 − 6) ÷ ( x 2 − x − 6) (2) (8 x 3 + 13x 2 − 39) ÷ ( x 2 + 2 x − 6)

題型 10 若多項式 21x 2 + ax + 21 能被 3x − 7 整除，求 a 的值。

33

34

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11 一多項式除以 ( −5 x + 1) ，得商式為 2 x + 5 ，餘式為 ( −12) ，求此多項式。

題型 12 設一多項式 −4 x 3 + 15 x 2 − 14 x + 4 除以多項式 B，得商式為 −4 x + 3 ，餘式為 3 x − 2 ，求 此多項式 B。

1-3 多項式的乘除運算

題型 13 設多項式 A 除以多項式 B，得商式為 2 x + 1 ，餘式為 3，則： (1) 多項式 A 除以多項式 2B 所得的商式與餘式分別為何？ (2) 多項式 2A 除以多項式

1 B 所得的商式與餘式分別為何？ 3

題型 14 x+1

試分別用 x 的多項式表示右圖的面積與周長。

5x−2

1 5

3x+2 7x+1

35

36

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 15 k 4 x 2 − 3x + 7 = 2 x + 3 + ，其中 k 為常數，求多項式 A 與常數 k 之值。 已知 A 為多項式，且 A A

題型 16 試求 [( 2 x 2 + x − 3) − ( − x 2 − 3x + 4)] ÷ ( x − 1) 的商式。

1-3 多項式的乘除運算

題型 17 若一多項式除以 2 x 2 − 3 ，得到的商式為 7 x − 4 ，餘式為 −5 x + 2 ，求此多項式。

37

2 平方根與勾股定理 2-1 平方根與近似值 2-2 根式的運算 2-3 勾股定理

2-1 平方根與近似值

２－１ 平方根與近似值 基本觀念 1. 根號與平方根 若已知一邊長為 x 的正方形，面積以 A 表示，則 A = x 2 。 反之， x = A ，其中「

A 」讀作「根號 A」，即正方形邊長 x 可用

例 一面積為 2 的正方形，其邊長為 ■ ★由 2 = ( 2 )2 ⇒ 2 是

2 的平方，

A 表示。

2 ，讀作「根號 2」。 2 是 2 的平方根。

2. 完全平方數的意義與判別 完全平方數：若一數 a 是某個整數的平方，就稱 a 為完全平方數。 ★ 11~30 的完全平方數表 a

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

a2

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

a

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

a2

441

484

529

576

625

676

729

784

841

900

完全平方數之判別：可利用質因數分解法，來判斷一個整數是否為完全平方數。 例 判別 144 是否為完全平方數 ■ 144 = 24 × 32 解 □ = 22 × 22 × 3 × 3 = ( 22 × 3) × ( 22 × 3) = ( 22 × 3)2 所以 144 是完全平方數

39

40

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 3. 平方與平方根 若 a 的平方等於 b，即 a 2 = b ，就稱 a 是 b 的平方根，若 a 為正數，就稱 a 是 b 的正 平方根；若 a 為負數，就稱 a 是 b 的負平方根。 例 ■

( ±2)2 = 4 ⇒ 2 是 4 的正平方根， −2 是 4 的負平方根。

一正數 x 恰有兩個平方根，一為正，一為負，x 的正平方根，以

x 來表示；x 的負平

方根，以 − x 來表示。 說明 x > 0 x ⋅ x = ( x )2 = x

(− x ) ⋅ (− x ) = (− x ) 2 = x ⇒ (± x )2 = x ⇒ x 的平方根為 ± x 例 ■

( ± 2 )2 = 2 ⇒

2 是 2 的正平方根， − 2 是 2 的負平方根。

★負數沒有平方根。 ★ 0 的平方根就是 0。

4. 平方根法則與去平方根 x>0

x=0

x<0

( x )2

( 2 )2 = 2

( 0 )2 = 0

( −2 ) 2 = 無意義

( − x )2

( − 2 )2 = 2

( − 0 )2 = 0

(− −2 ) 2 = 無意義

x2

22 = 2

02 = 0

( −2 ) 2 = 2

( −x )2

( −2 ) 2 = 2

( −0 ) 2 = 0

[ −( −2)]2 = 2

★ 當 x ≥ 0 時， ( ± x )2 = x

★

a > 0 ⇒ a 2 = a   2 a = a a = 0 ⇒ a 2 = 0  2  a < 0 ⇒ a = −a

2-1 平方根與近似值 5. 有理數與無理數 若一個數可以化為

a 的形式（其中 a、b 為整數，且 b ≠ 0 ），則此數就稱為有理數。 b

反之，若一個數無法化為分子、分母都是整數的分數，就稱為無理數。 例 5、 ■

2 6 、 − 都是有理數； 3 7

2 、π 都是無理數。

6. 平方根─比較大小  x 2 > y 2 > 0 若 x > y > 0 ，則   x > y > 0 例 試比較下列二數的大小。 ■ (1) 11、 111 (2) − 50 、 −7 解 □

(1) 112 = 121 ， ( 111)2 = 111 ， 121 > 111 ⇒ 112 > ( 111)2 ∴11 > 111 (2) [ − 50 ]2 = 50 ， ( −7)2 = 49 50 > 49 ⇒ [ − 50 ]2 > ( −7)2 ∴− 50 < −7

7. 求平方根的近似值─電算器法 使用電算器求

2 的近似值，步驟說明如下：

(1) 按 C 或 AC 歸零 (2) 按數字鍵 2 (3) 按根號鍵

，即可在螢幕上顯示

2 的近似值。

41

42

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 8. 求平方根的近似值─十分逼近法 2 的近似值，過程如下：

使用十分逼近法求

(1) 12 = 1 ， ( 2 )2 = 2 ， 22 = 4 ∴1 < 2 < 4 ⇒ 12 < 2 < 22 ⇒ 1 < 2 < 2 (2) 1.42 = 1.96 ， ( 2 )2 = 2 ， 1.52 = 2.25 ∴1.96 < 2 < 2.25 ⇒ 1.42 < 2 < 1.52 ⇒ 1.4 < 2 < 1.5 (3) 1.412 = 1.9881 ， ( 2 )2 = 2 ， 1.422 = 2.0164 ∴1.9881 < 2 < 2.0164 ⇒ 1.412 < 2 < 1.422 ⇒ 1.41 < 2 < 1.42 (4) 1.4152 = 2.002225 > 2 ∴ 1.4152 > 2 ⇒ 1.415 > 2 故四捨五入得

2 ɼơ 1.41

9. 求平方根的近似值─查乘方開方表法 使用乘方開方表法求

2 的近似值，說明如下：

N

N2

N

10N

1

1

1

3.16227766

2

4

1.41421356

4.47213595

3

9

1.73205081

5.47722558

4

16

2

6.32455532

5

25

2.23606798

7.07106781

6

36

2.44948974

7.74596669

7

49

2.64575131

8.36660027

8

64

2.82842712

8.94427191

9

81

3

9.48683298

10

100

3.16227766

10

在乘方開方表中， 第一行是 N，表示這一行所列出的是正整數。 第二行是 N 2 ，表示這一行所列出的是正整數的平方。 第三行是

N ，表示這一行所列出的是正整數的正平方根。

第四行是 10N ，表示這一行所列出的是正整數的 10 倍的正平方根。 ∴當 N=2 時， N = 2 = 1.41421356 ɼ 1.414

2-1 平方根與近似值 例 ■ N

N2

N

10N

1

1

1

3.16227766

2

4

1.41421356

4.47213595

3

9

1.73205081

5.47722558

4

16

2

6.32455532

5

25

2.23606798

7.07106781

6

36

2.44948974

7.74596669

7

49

2.64575131

8.36660027

8

64

2.82842712

8.94427191

9

81

3

9.48683298

10

100

3.16227766

10

利用上表求出下列各數的近似值。( 四捨五入取到小數第三位 ) (1)

2

(2)

3

(3)

5

(4)

70

(5)

81

解 □

(1) 當 N=2 時，

N = 2 = 1.41421356 ɼ 1.414

(2) 當 N=3 時，

N = 3 = 1.73205081 ɼ 1.732

(3) 當 N=5 時，

N = 5 = 2.23606798 ɼ 2.236

(4) 當 N=7 時， 10 N = 70 = 8.36660027 ɼ 8.367 (5) 當 N=9 時， N 2 = 81 ，可知 = 81

解

= 92 9

43

44

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ (1) 正方形的面積是 9 平方公分，請問它的邊長是多少公分？ (2) 正方形的面積是 3 平方公分，請問它的邊長是多少公分？ (3) 若 a > 0 ，且 a 2 = 16 ，則 a = ？ (4) 若 b > 0 ，且 b2 = 5 ，則 b = ？

題型２ 請判斷下列哪些數是完全平方數。 784、 25 × 36 、 26 × 33 × 72 × 114

2-1 平方根與近似值

題型３ 求下列各數的平方根。 (1) 484

(2) 299

(3) 1000

題型 4 求下列各數的平方根。 (1)

121 64

(2)

289 729

(3) 2.56

(4) 0.0441

45

46

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 求下列各數的值。 (1)

49

(2) − 484

1 9

(3)

75

(4) − 0.0196

(2)

( −4 × 17)2

題型 6 求下列各數的值。 (1)

( −123)2

(3)

( −22 × 32 )2

2-1 平方根與近似值

題型 7 計算下列各式的值。 (1)

49

(7) − 0.49

(2) − 49

(8) ( 250000 )2

(3)

(9) ( − 1.414 )2

−49

(4) 49 的平方根

(10)

(1.732)2

(5)

49 的平方根

(11)

( −2.236)2

(6)

1

24 25

題型 8 (1) 已知 a 是正數，若 −7 是 a 的一個平方根，則 a = ？ (2) 若 2 x + 1 的平方根是 ±9 ，則 x + 9 的平方根為何？

47

48

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 設 x + 2 y 是 16 的正平方根， 4x + y 的負平方根是 −4 ，求 x + y 的平方根。

題型 10 設 x、y 為整數，且 (1)

2x + y

(2) 2x + y 的平方根

( x + y − 5)2 + ( x − y − 3)2 = 0 ，求：

2-1 平方根與近似值

題型 11 設 x 為正整數，且 7 + 3x − 2 = 12 ，求

題型 12 將 3025 質因數分解，再求

3025 的值。

x 的平方根。

49

50

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 13 若甲數＝ 450 × a ，a 為一正整數，且 甲數 為一個正整數，則： (1) a 最小值為多少？ (2) 此時的 甲數 ＝？

題型 14 下列哪些是無理數？ 2 3

(1)

72

(4)

(2)

0

(5) π

(3) − 36

(6)

−5 4

2-1 平方根與近似值

題型 15 試比較 − 5 、 −2 、 −

10 三數的大小。 3

題型 16 試以十分逼近法求出面積為 10 cm2 的正方形邊長的近似值，並用四捨五入法取到小數第 一位。

51

52

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 17 利用乘方開方表，求下列各數的近似值。( 用四捨五入法取到小數第二位 ) (1)

361

(2)

21

(3)

180

N

N2

N

10N

17

289

4.123106

13.03840

18

324

4.242641

13.41641

19

361

4.358899

13.78406

20

400

4.472136

14.14214

21

441

4.582576

14.49138

2-2 根式的運算

２－２ 根式的運算 基本觀念 1. 根式的介紹與簡記 根式：含有根號的算式，就稱為根式。 例 ■

1+ 2 ， 4 − 3 ，

5× 6 ， 7 ÷ 8

根式的簡記： 當 a ≥ 0 時， 1× a = a −1 × a = − a b× a = b a b × c a = bc a 例 1× ■

2= 2

−1 × 2 = − 2 3× 2 = 3 2 2 × 3 2 = 2 × 3× 2 = 6 × 2 = 6 2 2. 根式的運算規則─交換律、結合律、分配律 設 a ≥ 0 、 b ≥ 0 、 c ≥ 0 ，則： (1) 交換律：

a+ b= b+ a a× b = b× a

(2) 結合律：

a + b + c = ( a + b) + c = a + ( b + c) a × b × c = ( a × b) × c = a ×( b × c)

(3) 分配律：

a ×( b + c) = a × b + a × c a ×( b − c) = a × b − a × c

53

54

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 3. 根式的乘除運算 乘法運算： 設 a ≥ 0 、 b ≥ 0 ，則： 例 ■

a × b = ab

2 × 3 = 2×3 = 6 ( 2 × 3 )2

說明

= ( 2 × 3) × ( 2 × 3) = ( 2 × 2 ) × ( 3 × 3) = ( 2 )2 × ( 3 )2 = 2×3 =6 ⇒

2 × 3 是 6 的正平方根

⇒

2 × 3 = 2×3 = 6

除法運算： 設 a ≥ 0 、 b > 0 ，則： 例 ■

a÷ b=

a a = = a ÷b b b

2 2 = = 2÷3 3 3

2÷ 3=

( 2 ÷ 3 )2

說明

=(

2 2 ) 3

=

2 2 × 3 3

=

2× 2 3× 3

( 2 )2 ( 3 )2 2 = 3 =

⇒ ⇒

÷

是

2÷ 3=

2 的正平方根 3 2 2 = = 2÷3 3 3

2-2 根式的運算 4. 根式的化簡與最簡根式 根式的化簡：若 a、b、c 都是正整數，且 a = b2 × c ，則

a = b2 × c = b2 × c = b c

a 化簡為 b c 的過程，就稱為根式的化簡。在 b c 中，若 c 的因數不含有質

。將

數的平方，則稱 b c 為最簡根式。 例 ■

12 = 22 × 3 = 22 × 3 = 2 × 3 = 2 3 ，其中 2 3 為 12 的最簡根式。

5. 分數最簡根式與分母有理化 分數最簡根式：若根號內為分數或分母含有根號的根式，如：

2 4 、 ，此時都不 3 5

是最簡根式。將分母化成不帶有根號的根式之過程，就稱為分母有理化或稱根式有理 化。 例 ■

將

2 4 、 化為最簡根式。 3 5

2 2 3 2×3 6 6 6 = × = = 2 = = 3 3 3 3× 3 3 3 32

解 □

4 4 5 4× 5 4 5 4 5 = × = = = 2 5 5 5 5 5 × 5 ( 5) 6. 同類方根與根式的加減運算 若將根式化為最簡根式後，含有相同方根，就稱這些根式為同類方根。 例 ■

3 2 、 −4 2 、

2 4 2 、− 、 5 6

8 ( = 2 2 ) 都是同類方根。

根式的加減運算：同類方根可進行加減運算。 若 a ≥ 0 ，則：(1) b a + c a = (b + c ) a (2) b a − c a = (b − c ) a 例 (1) ■

2 5 + 3 5 = ( 2 + 3) 5 = 5 5

(2) 3 7 − 2 7 = (3 − 2) 7 = 7

55

56

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 7. 利用平方差公式有理化分母 設 a > 0 、 b > 0 ，若要化簡分母為

a± b 、

a ± b 或 a ± b 的根式時，可利用平

方差公式 ( a + b)( a − b) = a 2 − b2 進行分母有理化。 例 化簡下列各式 ■ 1 3+ 2 2 5− 3

(1) (2)

1 3+ 2

解 (1) □ =

1× ( 3 − 2 ) ( 3 + 2 )( 3 − 2 )

=

3− 2 ( 3 )2 − ( 2 )2

=

3− 2 3− 2

= 3− 2 (2)

2 5− 3 =

2 × ( 5 + 3) ( 5 − 3 )( 5 + 3 )

=

2( 5 + 3 ) ( 5 )2 − ( 3 )2

2( 5 + 3 ) 5−3 2( 5 + 3 ) = 2 = 5+ 3

=

解

2-2 根式的運算

精選題型 題型１ 計算下列各式的值。 (1) −5 × 5 (2) 7 × ( − 3 )

3 (3) 4 2 × ( − ) 8 4 9 5 (4) × (− 7 ) × (− ) 3 20 6

題型２ 將下列各根式化簡成最簡根式。 (1)

48

(2)

22 × 34 × 5

(3) − (4)

3 8 27 32

57

58

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 計算下列各式的值，並化為最簡根式。 (1) ( − 8 ) × 12 (2) ( −4 3 ) × ( −3 6 )

(3) ( − 12 ) × ( − (4)

2 3 3 × ( − 15 ) 3 4

題型 4 計算下列各式的值，並化為最簡根式。 (1)

15 65

3 (2) ( − 6 ) ÷ 2

(3) 3 5 ÷ ( − 6 ) (4)

5 ) 3

1 2 ÷ 8 9

2-2 根式的運算

題型 5 計算下列各式的值，並化為最簡根式。 (1) (2) (3)

7 12 6 ÷ × 3 5 35 8 5 2 × ÷ 6 3 15 10 21 14 × ÷ 12 6 3

題型 6 在下列各根式中，找出 6 的同類方根。 2 3 1 、− 、 12 、 − 24 、 3 6 2

59

60

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 計算下列各式的值。 (1) 5 5 + 5 5

(3)

(2) 3 6 − 6 6

(4)

11 − ( −10 11) 3 5 15 2 15 − 15 + 3 2 6

題型 8 將下列各式化為最簡根式。 (1) 4 + 2 5 − 3 5 − 2

(3)

45 − 4 20

(2) 3 8 + 18

(4)

2 3 + 3 3

2-2 根式的運算

題型 9 計算下列式子的值，並化為最簡根式。 2 − 3( 6 + 2 3 × 3 2 )

題型 10 計算下列各式的值，並化為最簡根式。 (1) −2 2 × ( 14 − 7 ) (2) ( 15 − 3 3 + 5 ) ÷ 10 (3) (3 2 − 2 3 )( 6 + 2)

61

62

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11 利用乘法公式計算下列各式的值。 (1) ( 6 − 10 )( 6 + 10 ) (2) ( 2 5 + 3 )2 (3) (3 2 − 6 )2

題型 12 計算下列式子的值，並化為最簡根式。 2 3 − 10 6− 5

2-2 根式的運算

題型 13 將下列各式化為最簡根式。 (1)

8 7+ 5

(2)

6 2 3−3 2

題型 14 若 a = 3 + 2 ， b = 6 + 1 ，比較 a、b 的大小。

63

64

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 15 利用乘方開方表，求下列各數的近似值。

(1)

31.36

N

N2

N

10N

55

3025

7.416

23.452

56

3136

7.483

23.664

57

3249

7.549

23.874

(2)

2.2

(3) 2 14

題型 16 已知甲、乙、丙三數，甲 = 5 + 15 ，乙 = 3 + 17 ，丙 = 1 + 19 ，試比較甲、乙、丙三 數的大小。

2-2 根式的運算

題型 17 k、m、n 為三整數，若 135 = k 15 ，

450 = 15 m ， 180 = 6 n ，求 k、m、n 之值。

題型 18 已知 a、b 為連續整數，且 a < 15 × 40 < b ，求 a、b 之值。

65

66

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

2 － 3 勾股定理 基本觀念 1. 直角三角形之斜邊與股 直角三角形：若三角形有一內角是 90 ∘（直角），就是直角三角形。 斜邊、股：直角三角形中，直角所對的邊稱為斜邊（Hypotenuse）， 其餘的兩個邊都稱為股（Side）。

斜邊

股

註 在中國古書中，直角三角形的斜邊稱為弦，直角兩邊中的短邊稱為 ■ 勾，長邊稱為股。 股 2. 直角三角形之斜邊上的高 直角三角形之斜邊上的高 =

兩股乘積 斜邊

B

說明

a

b

h

如右圖，△ABC 中， ∠ABC = 90° ，且 BD ⊥ AC ， 1 1 ∵ △ABC 的面積 = ab ， △ABC 的面積 = ch 2 2 1 1 ∴ ab = ch ⇒ ab = ch 2 2 ab 兩股乘積 = ∴ h= c 斜邊

A

D

C

c

3. 勾股定理 任一直角三角形中，兩股平方和等於斜邊的平方。 說明

直角三角形中，兩股長分別是 a 和 b，斜邊長是 c， 則 a 2 + b2 = c 2 。

b

c

★由勾股定理公式 a 2 + b2 = c 2 ，可知任一直角三角 形，其兩股上兩個正方形的面積和，等於斜邊上 正方形的面積，如圖所示。 ★勾股定理又稱商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯 定理，簡稱畢氏定理。

a

67

2-3 勾股定理 4. 勾股定理之推導

C

如右圖一，直角三角形 ABC 兩股長分別為 a 和 b，斜邊長為 c。 將四個與直角三角形 ABC 相同的直角三角形，

c

和一個邊長為 c 的小正方形，拼成一個邊長為 a + b 的大正方形， b 如右圖二。 大正方形面積 = ( a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 1 四個直角三角形的面積和 = 4 × × a × b = 2ab 2 小正方形面積 = c

a 圖一

B

A

b

2

a

c

由大正方形面積—四個直角三角形的面積和＝小正方形面積 即 ( a 2 + 2ab + b2 ) − 2ab = c 2

c

c

b

⇒ a 2 + b2 = c 2

a

a

c

圖二

b

5. 常見的直角三角形之三邊長比

1: 3 : 2

1:1: 2 45˚

60˚

2

1

1

2

45˚ 1

勾股數

30˚

3

3：4：5 5：12：13 7：24：25 8：15：17 20：21：29

b

a

68

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 6. 利用勾股定理求直角坐標平面上兩點的距離 直角坐標平面上任意兩點 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，

y

則 A、B 兩點間的距離 AB = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

B( x2 , y2 )

說明

如右圖， A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 是坐標平面上的兩點， 過 A 作水平線和過 B 作鉛垂線，交於 C 點， O

則： AC = x1 − x2 ， BC = y1 − y2 ∵ △ABC 為直角三角形 2

2

∴ AB = AC + BC

2

2

⇒ AB = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 2

⇒ AB = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 ⇒ AB = ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2

A( x1 , y1 )

x

C ( x2 , y1 )

2-3 勾股定理

精選題型 題型１ 已知下列各直角三角形的兩股，求斜邊的長度。 (1)

(2) a

3

b

4

8

題型２ 已知下列各直角三角形的一股和斜邊，求另一股的長度。 (1)

(2) 17

8 a

b

12

6

7

69

70

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 已知一正方形的周長為 40 公分，求此正方形對角的距離為多少公分？

題型 4 如右圖，直角三角形 ABC 中， AC 垂直 AB ， AD 是斜邊上的高，若 AB = 8cm ， A

AC = 6cm ，求： (1) 三角形 ABC 的面積。

8

(2) AD = ？ B

6 D

C

2-3 勾股定理

題型 5

A

如右圖，△ABC 中， ∠BAC = 90° ，且 AD ⊥ BC ， 若 AB = 20 ， AC = 15 ，求 AD 、 BD 、 CD 的長。 B

D

C

題型 6 D

如右圖，若 BC = 10 ， AD = 15 ， DC = 13 ， DE = 12 ，求：

A

(1) AC = ？ (2) AB = ？ E B

C

71

72

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7

F

如右圖，三角形 ABC 為直角三角形，四邊形 ACDE、 BCIH、ABGF 均為正方形，若正方形 ACDE 的面積為

G

A

E

B

C

D

H

I

64cm2，正方形 ABGF 的面積為 289cm2，求： (1) 正方形 BCIH 的面積。 (2) 三角形 ABC 的面積。 (3) 三角形 ABC 的周長。

題型 8

A

如右圖，三角形 ABC 中， AB = AC = 13cm ， BC = 10cm ， 若 AD 是 BC 上的高，且 D 點是 BC 的中點，求： (1) AD = ？ (2) 三角形 ABC 的面積＝？ B

D

C

2-3 勾股定理

題型 9 甲車由 A 地等速向南行駛，乙車由 A 地等速向西行駛，已知甲車時速為 90 公里，乙車時 速為 120 公里，當經過 5 小時後，甲車行駛到 B 地，乙車行駛到 C 地，則 B、C 兩地的 距離為多少公里？

題型 10 5m

一梯長 25 公尺，斜靠在一垂直牆上，梯腳距離牆底 15 公 尺，如果梯頂下滑了 5 公尺，則梯腳會向外移動多少公尺？

15m

73

74

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11

30

右圖是一個長為 30cm，寬為 20cm，高為 10cm 的長方體，

B 20

試求 AB 的長度。 10 A

題型 12

y A(1,3)

如右圖，過 A 點作鉛垂線和過 B 點作水平線交於 C 點， 求： (1) AC = ？

1

(2) BC = ？

O

(3) AB = ？

B( −2,−1)

1 C

x

75

2-3 勾股定理

題型 13 坐標平面上三點 A( −2, 3) 、 B(1, −1) 、 C( −3, −4) ，求三角形 ABC 的周長。

題型 14

y

右圖是直線方程式 −3x + 4 y = 12 在直角坐標平面上的 B

圖形，試求： (1) A、B 兩點的坐標。 (2) AB = ？ (3) 原點 O 到 AB 的垂直距離。

A

O

−3x + 4 y = 12

x

76

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 15

S

A

D

如右圖，正方形 ABCD 的邊長為 10 公分，且 AP = BQ = CR = DS = 3 公分，求正方形 PQRS

P

的面積為多少平方公分？ R

B

C

Q

題型 16 A

如右圖，三角形 ABC 中， AB = 13 ， BC = 14 ， AC = 15 ， 求三角形 ABC 的面積。

B

C

3 因式分解 3-1 因式、倍式與因式分解 3-2 提出公因式與分組分解 3-3 利用乘法公式做因式分解 3-4 利用十字交乘法做因式分解

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

３－１ 因式、倍式與因式分解 基本觀念 1. 因式與倍式 設 A、B、C 為三個不為零的多項式， 若 A ÷ B = C ，此時 B 和 C 為 A 的因式，A 是 B 和 C 的倍式。 例 ■

( x 2 + 3x + 2) ÷ ( x + 1) = ( x + 2) 則 ( x + 1) 和 ( x + 2) 為 ( x 2 + 3x + 2) 的因式， ( x 2 + 3x + 2) 是 ( x + 1) 和 ( x + 2) 的倍式。

2. 因式與倍式之判別─多項式除法 判別一多項式是否為另一多項式的因式或倍式，可利用多項式除法。 若多項式 A 能被多項式 B 整除，則 B 為 A 的因式，A 為 B 的倍式。 例 判別 ■

x − 2 是否為 x 2 − x − 2 之因式。

( x 2 − x − 2) ÷ ( x − 2) −2

得商式為 ( x + 1) ，餘式為 0 即 x 2 − x − 2 被 x − 2 整除 0

例 判別 ■

所以 x − 2 是 x 2 − x − 2 之因式。

x + 2 是否為 x 2 + 5 x + 6 之因式。

( x 2 + 5 x + 6) ÷ ( x + 2) 得商式為 ( x + 3) ，餘式為 0 即 x 2 + 5 x + 6 被 x + 2 整除 0

所以 x + 2 是 x 2 + 5 x + 6 之因式。

3-1 因式、倍式與因式分解 3. 因式與倍式之判別─因式定理 若 ax + b 為一多項式的因式，令 ax + b = 0 ⇒ x = − 將 x=−

b 代入此多項式中，則其值必為 0。 a

例 判別 ■

x − 2 是否為 x 2 − x − 2 之因式。

b ， a

令 x − 2 = 0 ⇒ x = 2 ，將 x = 2 代入 x 2 − x − 2 得 x 2 − x − 2 = 22 − 2 − 2 = 0 所以 x − 2 是 x 2 − x − 2 之因式。

例 判別 ■

x −1 是否為 99 x 2 − 198 x + 99 之因式。

令 x − 1 = 0 ⇒ x = 1 ，將 x = 1 代入 99 x 2 − 198 x + 99 得 99 x 2 − 198 x + 99 = 99 × 12 − 198 × 1 + 99 = 99 − 198 + 99 = 0 所以 x −1 是 99 x 2 − 198 x + 99 之因式。 4. 因式分解 將一個 x 的二次式寫為兩個 x 的一次式乘積，則稱為將此二次式因式分解。 例 ■

乘積展開 因式分解 上式說明了 ( x + 1)( x + 2) 的乘積展開為 x 2 + 3x + 2 ， 反之， x 2 + 3x + 2 的因式分解為 ( x + 1)( x + 2) 。

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80

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ 試用除法判別 x − 4 是否為 x 2 − 7 x + 12 的因式。

題型２ 由 x 2 − 4 x − 12 = ( x − 6)( x + 2) 可知下列哪些是 x 2 − 4 x − 12 的因式？ (1) x − 6 (2) x + 2 (3) x 2 − 4 x − 12

3-1 因式、倍式與因式分解

題型３ 試用除法判別 15 x 2 + 2 x − 8 是否為 3x + 4 的倍式？

題型 4 利用因式定理判別下列各式是否為 10 x 2 − x − 2 的因式。 (1) 2 x + 1 (2) 2 x − 1

81

82

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 設 4 x + 5 是 8 x 2 + nx − 20 的因式，求 n 的值。

題型 6 設 6 x 2 + ax + b 為 3x + 2 與 2 x − 3 的倍式，試求 a、b 的值。

3-1 因式、倍式與因式分解

題型 7 下列哪些多項式的因式分解是正確的？ (A) x 2 + 3 x + 2 = ( x + 3)( x − 1) (B) 2 x 2 + 5 x + 3 = ( 2 x + 3)( x + 1) (C) 3x 2 − 11x − 6 = (3x + 2)( x − 3) (D) 8 x 2 + 6 x − 2 = 2( 4 x − 1)( x + 1)

題型 8 試判別 2 x + 1 是否為 4 x 2 + 8 x + 3 的因式，如果是，請因式分解 4 x 2 + 8 x + 3 。

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84

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 (1) 已知 3x 2 − 5 x − 2 是 3x + 1 的倍式，則 3x 2 − 5 x − 2 可因式分解成 (2) 已知 5 x 2 + 4 x 是 x 的倍式，則 5 x 2 + 4 x 可因式分解成

。

(3) 已知 6 x 2 + 5 x − 6 是 2 x + 3 的倍式，則 12 x 2 + 10 x − 12 可因式分解成

題型 10 (1) 已知 6 x 2 + ax + 5 是 2 x + 5 的倍式，則 a = (2) 承 (1)， 6 x 2 + ax + 5 可因式分解成

。 。

。

。

3-2 提出公因式與分組分解

３－２ 提出公因式與分組分解 基本觀念 1. 公因式與提公因式 公因式：若多項式 C 同時是多項式 A 和多項式 B 的因式，則稱多項式 C 為多項式 A 和 多項式 B 的公因式。 例 由 ■

x 2 + 3x + 2 = ( x + 1)( x + 2) 得知 ( x + 1) 是 x 2 + 3x + 2 的因式。

由 x 2 − x − 2 = ( x + 1)( x − 2) 得知 ( x + 1) 也是 x 2 − x − 2 的因式。 所以 ( x + 1) 就是 x 2 + 3x + 2 和 x 2 − x − 2 的公因式。 提公因式：當一多項式的各項都有公因式時，可利用分配律將公因式提出。 例 在 ( x + 1)( x + 2) + ( x + 1)( x − 2) ■

中，因為 ( x + 1)( x + 2) 和 ( x + 1)( x − 2) 都有公因式

( x + 1) ，所以可利用分配律將 ( x + 1) 提出，則式子整理如下： ( x + 1)( x + 2) + ( x + 1)( x − 2) = ( x + 1)[( x + 2) + ( x − 2)] = ( x + 1)[ x + 2 + x − 2] = 2 x( x + 1)

2. 變號法則與提公因式 變號法則：★ ( x − 1) = −(1 − x ) ★ ( x − 1)2 = (1 − x )2 例 ■

因式分解下列各式： (1) x( x − 3) − (3 − x )( 2 − x )

解 □

(1)

x( x − 3) − (3 − x)(2 − x) = x( x − 3) − [−( x − 3)](2 − x) = x( x − 3) + ( x − 3)(2 − x) = ( x − 3)[ x + (2 − x)] = ( x − 3)( x + 2 − x) = 2( x − 3)

(2) a ( x − y ) − ( y − x )2 (2)

a ( x − y ) − ( y − x )2 = a ( x − y ) − ( x − y )2 = ( x − y )[ a − ( x − y )] = ( x − y )( a − x + y )

85

86

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 3. 分組提公因式與因式分解 一個多項式的各項，表面上沒有共同的因式，但若將此多項式的各項分組，且各組分 別提出公因式後，可發現組與組之間有共同因式可以提出。 分組分解的步驟： (1) 先分組：根據項數相等與對應項係數成比例的原則，使每組間都有公因式 (2) 提出公因式：每組分別提出公因式。 (3) 提各組間的公因式，化簡整理即得因式分解的結果。 例 ■ 解 □

因式分解 x 2 − 2 x + ax − 2a 方法一 x 2 − 2 x + ax − 2a = ( x 2 − 2 x ) + ( ax − 2a ) = x( x − 2) + a ( x − 2) = ( x − 2)( x + a )

方法二 x 2 − 2 x + ax − 2a = ( x 2 + ax ) − ( 2 x + 2a ) = x( x + a ) − 2( x + a ) = ( x + a )( x − 2)

3-2 提出公因式與分組分解

精選題型 題型１ 判別 x + 3 是否為 x 2 + 8 x + 15 與 x 2 − 2 x − 15 的公因式？

題型２ 利用提出公因式的方法，在下列空格中填入適當的答案。 (1) 4 x 2 + 5 x = x( ________ + ________) (2) 6 y + 8 y 2 = ________(3 + 4 y ) (3) 3ax − 6bx = ________( a − 2b) (4) 2ax − 4ax 2 = −2ax(________ + ________)

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88

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 因式分解下列各式。 (1) 7 x 2 − 3x (2) ( x − 4)(3x + 2) − ( x − 4) (3) ( x − 2)2 ( x + 5) − ( x − 2)( x + 5)2 (4) ( x − 7)2 (5 x + 2) + ( x − 7)(5 x + 2)2

題型 4 因式分解下列各式。 (1) ( 2 x − 3)2 − 4 x(3 − 2 x ) (2) ( x − 1)( 2 x + 3) − (1 − x )2

3-2 提出公因式與分組分解

題型 5 利用分組分解，因式分解下列各式。 (1) x 2 − 3x + x − 3 (2) 2 x 2 + 3x + 6 x + 9 (3) 3x 3 − 6 x − 2 x 2 + 4

題型 6 因式分解下列各式。 (1) 2a + ( a 2 − 4) x − 2ax 2 (2) a ( ax − x 2 + 1) − x

89

90

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 已知 8x 可拆解成 4 x + 4 x ，請利用分組，因式分解 x 2 − 8 x + 16 。

題型 8 已知 x − 2 是多項式 A = 5 x 2 − 11x + 2 與多項式 B = x 2 − x − 2 的公因式，試將 A − 2 B 的 結果做因式分解。

3-3 利用乘法公式做因式分解

３－３ 利用乘法公式做因式分解 基本觀念 1. 利用和的平方公式做因式分解 若一多項式可寫為 a 2 + 2ab + b2 的形式，可利用和的平方公式 a 2 + 2ab + b2 = ( a + b)2 進行因式分解。 因式分解下列各式： 例 (1) ■ 解 (1) □

x2 + 6 x + 9

(2) 16 x 2 + 40 x + 25

x2 + 6 x + 9

(2) 16 x 2 + 40 x + 25

= ( x )2 + 2 ⋅ ( x ) ⋅ (3) + (3)2

= ( 4 x )2 + 2 ⋅ ( 4 x ) ⋅ (5) + (5)2

= ( x + 3)2

= ( 4 x + 5)2

2. 利用差的平方公式做因式分解 若一多項式可寫為 a 2 − 2ab + b2 的形式，可利用差的平方公式 a 2 − 2ab + b2 = ( a − b)2 進行因式分解。 因式分解下列各式： 例 (1) ■ 解 (1) □

x 2 − 12 x + 36 x 2 − 12 x + 36

(2) −49 + 28 x − 4 x 2 (2) −49 + 28 x − 4 x 2

= ( x )2 − 2 ⋅ ( x ) ⋅ (6) + (6 )2

= −4 x 2 + 28 x − 49

= ( x − 6)2

= −[ 4 x 2 − 28 + 49] = −[( 2 x )2 − 2 ⋅ ( 2 x ) ⋅ (7) + (7)2 ] = −( 2 x − 7 )2

91

92

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 3. 利用平方差公式做因式分解 若一多項式可寫為 a 2 − b2 的形式，可利用平方差公式 a 2 − b2 = ( a + b)( a − b) 進行因式 分解。 因式分解下列各式： 例 (1) ■

x 2 − 81

(2) 8 − 2 x 2 (3) ( 2 x + 1)2 − ( x + 2)2 (4) ( x − 3)2 − 1 解 (1) □

x 2 − 81 = ( x) 2 − (9) 2 = ( x + 9)( x − 9)

(2) 8 − 2 x 2 = 2( 4 − x 2 ) = 2( 22 − x 2 ) = 2( 2 + x )( 2 − x ) (3) ( 2 x + 1)2 − ( x + 2)2 = [( 2 x + 1) + ( x + 2)][(2 x + 1) − ( x + 2)] = ( 2 x + 1 + x + 2)( 2 x + 1 − x − 2) = (3x + 3)( x − 1) = 3( x + 1)( x − 1) (4) ( x − 3)2 − 1 = ( x − 3)2 − 12 = [( x − 3) + 1][( x − 3) − 1] = ( x − 3 + 1)( x − 3 − 1) = ( x − 2)( x − 4)

3-3 利用乘法公式做因式分解

精選題型 題型１ 利用和的平方公式，因式分解下列各式。 (1) x 2 + 18 x + 81 (2) 25 x 2 + 40 x + 16 (3) 64 x 2 + 12 x +

9 16

題型２ 利用差的平方公式，因式分解下列各式。 (1) x 2 − 24 x + 144 (2) 16 x 2 − 40 x + 25 (3) 121x 2 − 11x +

1 4

93

94

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 利用平方差公式，因式分解下列各式。 (1) x 2 − 1

(3) 4 x 2 − 9

(2) 64 − y 2

(4) 49 x 2 − 81 y 2

題型 4 利用平方差公式，因式分解下列各式。 (1) 24 x 2 − 96 (2) −54 y 2 + 150

(3) 50 x 2 − (4) −

9 2

49 2 98 2 x + y 6 3

3-3 利用乘法公式做因式分解

題型 5 因式分解下列各式。 (1) −27 x 2 − 72 x − 48 1 4 16 (3) −5 + 8 x − x 2 5 (2) 4 x 2 − 2 x +

題型 6 因式分解下列各式。 (1) ( x + 3)2 − 49 (2) ( 2 x + 5)2 + 4( 2 x + 5) + 4 (3) 4( x − 6)2 − 12( x − 6) + 9

95

96

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 因式分解下列各式。 (1) x 2 − 4 x + 4 − 9 y 2 (2) (1 − ab)2 − ( a − b)2

題型 8 因式分解下列各式。 (1) x 4 − 1 (2) x 4 − 2 x 2 + 1

3-3 利用乘法公式做因式分解

題型 9 因式分解下列各式。 (1) x 2 − y 2 − 2 x + 4 y − 3 (2) ( x − 1)3 − x + 1

題型 10 利用完全平方公式因式分解 a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 。

97

98

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

３－４ 利用十字交乘法做因式分解 基本觀念 1. 乘法分配律與十字交乘法 利用乘法分配律展開： ( x + 2)( x + 3) = x 2 + 3x + 2 x + 6 = x 2 + 5 x + 6 ⇒ x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3) 就是 x 2 + 5 x + 6 的因式分解。 由上述例子，可得知： ( x + a )( x + b) = x 2 + ax + bx + ab = x 2 + ( a + b) x + ab x

以直式表示：

+a b

x

+b

+ ax + bx = (a + b) x 十字交乘法：上述直式表示法中，有一個斜斜的十字，用以表示如何交叉相乘得出 x 項的係數，所以這種分解一元二次式的方法就叫作十字交乘法。 例 因式分解 ■ x 解 □

x2 + 5x + 6 +2

x2

6 +3 x 2 x + 3x = 5 x

∴ x 2 + 5 x + 6 = ( x + 2)( x + 3) 2. 二次項係數（x2）為 1 的十字交乘法 例 因式分解 x 2 − 5 x + 6 ■ 解 解 分解步驟如下： □ (1) 分解常數項 6：列出所有相乘的組合。 6 = 1 × 6 = 2 × 3 = ( −1) × ( −6) = ( −2) × ( −3) (2) 十字交乘法：比對一次項 (x) 的係數。 x

+1

x

+2

x

−1

x

−2

x

+6

x

+3

x

−6

x

−3

+ x + 6 x = +7 x ĩᶵ⎰Ī

+2 x + 3x = +5 x ĩᶵ⎰Ī

(3) 因式分解：以橫式表示因式分解的結果。 ∴ x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3)

− x − 6 x = −7 x ĩᶵ⎰Ī

−2 x − 3 x = −5 x ĩ⎰Ī

3-4 利用十字交乘法做因式分解 3. 提公因式後二次項係數（x2）為 1 的十字交乘法 例 因式分解 −2 x 2 + 12 x − 10 ■ 解 解 分解步驟如下： □ (1) 提公因式：提出各項係數的公因式。 −2 x 2 + 12 x − 10 = −2( x 2 − 6 x + 5) (2) 分解常數項：列出所有相乘的組合。 5 = 1 × 5 = ( −1) × ( −5) (3) 十字交乘法：比對一次項 (x) 的係數。 x

+1

x

−1

x

+5

x

−5

+ x + 5 x = +6 x ĩᶵ⎰Ī

− x − 5 x = −6 x ĩ⎰Ī

(4) 因式分解：以橫式表示因式分解的結果。 ∴−2 x 2 + 12 x − 10 = −2( x 2 − 6 x + 5) = −2( x − 1)( x − 5) 4. 二次項係數（x2）不為 1 的十字交乘法 例 因式分解 −2 x 2 − x + 3 ■ 解 解 分解步驟如下： □ (1) 提公因式：提出各項係數的公因式。 −2 x 2 − x + 3 = −( 2 x 2 + x − 3) (2) 分解二次項 (x2)：列出所有相乘的組合，若 x2 係數為正數，習慣上只考慮其正因數。 2 x2 = 2 x ⋅ x (3) 分解常數項：列出所有相乘的組合。 −3 = 1 × ( −3) = ( −1) × 3 = 3 × ( −1) = ( −3) × 1 (4) 十字交乘法：比對一次項 (x) 的係數。 x

+

x

−

x

−3

x

+3

+ x − 6 x = −5 x ĩᶵ⎰Ī

− x + 6 x = +5 x ĩᶵ⎰Ī

(5) 因式分解：以橫式表示因式分解的結果。 ∴−2 x 2 − x + 3 = −( 2 x 2 + x − 3) = −( 2 x + 3)( x − 1)

+ x

−1

+3 x − 2 x = + x ĩ⎰Ī

99

100

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ 因式分解下列各式。 (1) x 2 + 4 x − 21 (2) x 2 − 3x − 18

題型２ 因式分解下列各式。 (1) 5 x 2 + 16 x + 12 (2) 6 x 2 − 23x + 15

3-4 利用十字交乘法做因式分解

題型３ 因式分解下列各式。 (1) − x 2 − 4 x + 45 (2) 21 − 2 x − 3x 2

題型 4 因式分解下列各式。 (1) 36 x 2 + 39 x + 9 (2) 4 x 2 − 5 x −

3 2

101

102

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 因式分解下列各式。 (1) ( x − 4)( x + 2) − 7 (2) (3 x − 1)(2 x + 3) − (5 x + 1)

題型 6 因式分解下列各式。 (1) ( x − 2)2 − 4( x − 2) + 3 (2) ( 2 x + 3)2 − 4( 2 x + 3) − 32

3-4 利用十字交乘法做因式分解

題型 7 因式分解下列各式。 (1) ( x − y )( x − y + 7) + 10 (2) 7( x − 1)2 + 4( x − 1)( y + 2) − 20( y + 2)2

題型 8 因式分解 ( x 2 + 5 x )2 − 10( x 2 + 5 x ) + 24 。

103

104

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 求

992 + 4 × 99 + 3 之值。 9 − 992

題型 10 因式分解 ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 120 。

４ 一元二次方程式 4-1 因式分解解一元二次方程式 4-2 配方法與公式解 4-3 一元二次方程式應用問題

106

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

４－１ 因式分解解一元二次方程式 基本觀念 1. 一元二次方程式 一個等式中，含有一個未知數（一元），且未知數的最高次方是二次，這樣的等式就 稱為一元二次方程式。 例 ■

2 x 2 − 3x + 4 = 5

2. 一元二次方程式的解 將一個未知數（如：x）所代表的數代入一元二次方程式中，能使方程式的等號成立， 則這個數就是此一元二次方程式的解或根，而找出一元二次方程式的解或根的過程， 稱為解一元二次方程式。 例 判斷 x = 1 、 ■ 解 將 x = 1 代入 □

x = 2 、 x = −1 是否為 x 2 − x − 2 = 0 的解？ x 2 − x − 2 = 12 − 1 − 2 = −2 ≠ 0 ，等式不成立。

將 x = 2 代入 x 2 − x − 2 = 22 − 2 − 2 = 0 ，等式成立。 將 x = −1 代入 x 2 − x − 2 = ( −1)2 − ( −1) − 2 = 1 + 1 − 2 = 0 ，等式成立。 3. 因式分解與一元二次方程式的解 當 a = 0 或 b = 0 時， a ⋅ b = 0 。 若 a ⋅ b = 0 ，則 a = 0 或 b = 0 。利用此法則，將一元二次方程式分解成兩個一次式的 乘積等於 0 時，即可求出此方程式的解。 若 ( ax + b)( cx + d ) = 0 ，則 ax + b = 0 或 cx + d = 0 ，即 x =

−b −d 或 x= a c

例 解一元二次方程式 x 2 + 3x + 2 = 0 ■ 解 x 2 + 3x + 2 = 0 ⇒ ( x + 1)( x + 2) = 0 □ ⇒ ( x + 1) = 0 或 ( x + 2) = 0 ⇒ x = −1 或 x = −2 所以 x 2 + 3x + 2 = 0 的解為 x = −1 與 x = −2 例 解一元二次方程式 ■ 解 □

x2 + 2 x + 1 = 0

x2 + 2 x + 1 = 0

⇒ ( x + 1)2 = 0 ⇒ ( x + 1)( x + 1) = 0

⇒ ( x + 1) = 0 或 ( x + 1) = 0 ⇒ x = −1 或 x = −1 所以 x 2 + 2 x + 1 = 0 的解為 x = −1 （重根） ★當一元二次方程式有兩個相同的解，就稱這兩個解為一元二次方程式的重根或等根。

4-1 因式分解解一元二次方程式 4. 提公因式法解一元二次方程式 例 解下列各一元二次方程式 ■ (1) 2 x 2 − 6 x = 0 (2) ( x + 2)(3x − 2) − ( 2 x − 3)( x + 2) = 0 解 (1) □

2 x2 − 6 x = 0 ⇒ 2( x 2 − 3x ) = 0 ⇒ 2 x( x − 3) = 0 ⇒ 2 x = 0 或 ( x − 3) = 0 ⇒x=0 或 x=3 所以 2 x 2 − 6 x = 0 的解為 x = 0 與 x = 3

(2)

( x + 2)(3x − 2) − ( 2 x − 3)( x + 2) = 0 ⇒ ( x + 2)[(3x − 2) − ( 2 x − 3)] = 0 ⇒ ( x + 2)(3x − 2 − 2 x + 3) = 0 ⇒ ( x + 2)( x + 1) = 0 ⇒ x + 2 = 0 或 x +1 = 0 ⇒ x = −2 或 x = −1 所以 ( x + 2)(3x − 2) − ( 2 x − 3)( x + 2) = 0 的解為 x = −2 與 x = −1

5. 利用乘法公式解一元二次方程式 (1) 和的平方公式： a 2 + 2ab + b2 = ( a + b)2 例 解一元二次方程式 9 x 2 + 24 x + 16 = 0 ■ 解 □ 9 x 2 + 24 x + 16 = 0 ⇒ (3x )2 + 2 ⋅ (3x ) ⋅ 4 + 42 = 0 ⇒ (3x + 4 )2 = 0 ⇒ 3x + 4 = 0 ⇒x=−

4 （重根） 3

所以 9 x 2 + 24 x + 16 = 0 的解為 x = −

4 （重根）。 3

107

108

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 (2) 差的平方公式： a 2 − 2ab + b2 = ( a − b)2 例 解一元二次方程式 −36 + 60 x − 25 x 2 = 0 ■ 解 −36 + 60 x − 25 x 2 = 0 □ ⇒ 36 − 60 x + 25 x 2 = 0 ⇒ 25 x 2 − 60 x + 36 = 0

⇒ (5 x) 2 − 2 ⋅ (5 x) ⋅ 6 + 62 = 0 ⇒ (5 x − 6 ) 2 = 0 ⇒ 5x − 6 = 0 ⇒x=

6 （重根） 5

所以 −36 + 60 x − 25 x 2 = 0 的解為 x =

6 （重根）。 5

(3) 平方差公式： a 2 − b2 = ( a + b)( a − b) 例 ■ 解 □

解一元二次方程式 1 − ( x − 2)2 = 0 1 − ( x − 2)2 = 0 ⇒ 12 − ( x − 2)2 = 0 ⇒ [1 + ( x − 2)][1 − ( x − 2)] = 0 ⇒ (1 + x − 2)(1 − x + 2) = 0 ⇒ ( x − 1)( − x + 3) = 0 ⇒ x −1 = 0 或 −x + 3 = 0 ⇒ x =1 或 x = 3 所以 1 − ( x − 2)2 = 0 的解為 x = 1 與 x = 3 。

6. 十字交乘法解一元二次方程式─二次項（x2）係數為 1 例 解一元二次方程式 ■ 解 □ x2 + x − 6 = 0

x2 + x − 6 = 0

⇒ ( x + 3)( x − 2) = 0 ⇒ ( x + 3) = 0 或 ( x − 2) = 0 ⇒ x = −3 或 x = 2 所以 x 2 + x − 6 = 0 的解為 x = −3 與 x = 2

x

+3

x

−2

+3 x − 2 x = + x

4-1 因式分解解一元二次方程式 7. 十字交乘法解一元二次方程式─提公因式後二次項（x2）係數為 1 例 解一元二次方程式 −3x 2 + 18 x + 21 = 0 ■ 解 □ −3x 2 + 18 x + 21 = 0 ⇒ 3( − x 2 + 6 x + 7) = 0 2

⇒ −3( x − 6 x − 7) = 0

x

+1

x

−7

+ x − 7 x = −6 x

⇒ x2 − 6 x − 7 = 0 ⇒ ( x + 1)( x − 7) = 0 ⇒ ( x + 1) = 0 或 ( x − 7) = 0 ⇒ x = −1 或 x = 7 所以 −3x 2 + 18 x + 21 = 0 的解為 x = −1 與 x = 7 8. 十字交乘法解一元二次方程式─二次項（x2）係數不為 1 例 解一元二次方程式 5 x 2 − 2 x − 7 = 0 ■ 解 □ 5x2 − 2 x − 7 = 0 ⇒ (5 x − 7)( x + 1) = 0 7 或 x = −1 5

所以 5 x 2 − 2 x − 7 = 0 的解為 x =

−

x +1 −7 x + 5 x = −2 x

⇒ (5 x − 7) = 0 或 ( x + 1) = 0 ⇒x=

x

7 與 x = −1 5

9. 十字交乘法解一元二次方程式─提公因式後二次項（x2）係數不為 1 例 解一元二次方程式 −6 x 2 − 8 x + 8 = 0 ■ 解 □ −6 x 2 − 8 x + 8 = 0 ⇒ −2(3x 2 + 4 x − 4) = 0 2

⇒ 3x + 4 x − 4 = 0

x

−

x

+2

−2 x + 6 x = +4 x

⇒ (3x − 2)( x + 2) = 0 ⇒ (3x − 2) = 0 或 ( x + 2) = 0 ⇒x=

2 或 x = −2 3

所以 −6 x 2 − 8 x + 8 = 0 的解為 x =

2 與 x = −2 3

109

110

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 10.

利用代數法解一元二次方程式

例 解一元二次方程式 (3x − 4)2 − 4(3x − 4) − 5 = 0 ■ 解 (3x − 4)2 − 4(3x − 4) − 5 = 0 □ 設 A = 3x − 4 ⇒ A2 − 4 A − 5 = 0 ⇒ ( A + 1)( A − 5) = 0 ⇒ [(3x − 4) + 1][(3x − 4) − 5] = 0

A

+1

A

−5

A − 5 A = −4 A

⇒ (3x − 4 + 1)(3x − 4 − 5) = 0 ⇒ (3x − 3)(3x − 9) = 0 ⇒ 3x − 3 = 0 或 3x − 9 = 0 ⇒ x =1 或 x = 3 所以 (3x − 4)2 − 4(3x − 4) − 5 = 0 的解為 x = 1 與 x = 3

4-1 因式分解解一元二次方程式

精選題型 題型１ 下列哪些是一元二次方程式？ (1) x 2 + 2 (2) x 2 + 2 = x (3) ( x − 1)( x − 2) = x 2 (4) ( 4 x + 3)( 2 x − 1) = 0

題型２ 2、 −2 、

5 中，哪些是 2 x 2 − 9 x + 10 = 0 的解？ 2

111

112

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 試求出方程式 ( x − 6)( 2 x + 5) = 0 的解。

題型 4 解下列各方程式 (1) 6 x 2 = 3x (2) −4 x 2 + 8 x = 0 (3) ( x − 3)2 − (5 x − 4)( x − 3) = 0

4-1 因式分解解一元二次方程式

題型 5 利用分組提公因式解 x 2 − 4 x + 2 x − 8 = 0 。

題型 6 解下列各一元二次方程式。 (1) x 2 + 16 x + 64 = 0 (2) 9 x 2 + 30 x + 25 = 0

113

114

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 解下列各一元二次方程式。 (1) −16 x 2 + 40 x − 25 = 0 (2)

1 2 2 x − x +1 = 0 49 7

題型 8 解下列各一元二次方程式。 (1) x 2 − 144 = 0 (2) ( x − 5)2 − 36 = 0

4-1 因式分解解一元二次方程式

題型 9 求一元二次方程式 x 2 + 8 x + 12 = 0 的解。

題型 10 求一元二次方程式 −12 x 2 + 24 x − 9 = 0 的解。

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 11 求一元二次方程式 7 x 2 − 19 x − 6 = 0 的解。

題型 12 求下列各一元二次方程式的解。 (1) 1.4 x 2 + 1.7 x − 0.6 = 0 5 1 14 (2) − x 2 + x + = 0 9 3 9

4-1 因式分解解一元二次方程式

題型 13 解一元二次方程式 3( x − 5)2 − 5( x − 5) − 28 = 0 。

題型 14 解一元二次方程式 ( x + 1)( x − 3) +

5 4 x2 − 7 x = 。 2 6

117

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 15 若 1 是 x 的方程式 x 2 − ( 2a + 1) x + a 2 = 0 的一個解，求 a 之值及方程式的另一解。

題型 16 若一元二次方程式 ( k + 2) x 2 − 2kx + k 2 + 3k + 2 = 0 有一根為 0，求 k 之值。

4-1 因式分解解一元二次方程式

題型 17 解方程式 x 2 − 3 x − 10 = 0 。

題型 18 解方程式 ( x 2 + 5 x )2 + 10( x 2 + 5 x ) + 24 = 0 。

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120

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

４－２ 配方法與公式解 基本觀念 1. 利用平方根概念解一元二次方程式 (1)

x 2 = k ( k ≥ 0) ⇒ x = ± k

例 ■

x2 = 5 ⇒ x = ± 5

(2)

( x + b )2 = k ( k ≥ 0 ) ⇒ x = −b ± k

例 ( x + 3)2 = 5 ⇒ x + 3 = ± ■ (3)

5 ⇒ x = −3 ± 5 −b ± k ( ax + b)2 = k ( k ≥ 0) ⇒ x = a

例 ( 2 x + 3)2 = 5 ⇒ 2 x + 3 = ± ■

5 ⇒ 2 x = −3 ± 5 ⇒ x =

−3 ± 5 2

2. 完全平方式與一元二次方程式的解 完全平方式：設 A、B 均為多項式，且 A2 = B ⇒ B 為完全平方式。 和的平方公式： ( a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 ⇒ a 2 + 2ab + b2 為完全平方式。 差的平方公式： ( a − b)2 = a 2 − 2ab + b2 ⇒ a 2 − 2ab + b2 為完全平方式。 若要求出一元二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 的解，先將 ax 2 + bx + c = 0 整理為完全平方式 的形式 ( px + q )2 = r( r ≥ 0) ，化簡可得 x = 說明

( px + q )2 = r( r ≥ 0) ⇒ px + q = ± r ⇒ px = − q ± r ⇒x=

−q ± r p

−q ± r 。 p

4-2 配方法與公式解 3. 將多項式 x 2 + mx 配成完全平方式 m 將 x 2 + mx 配成完成平方式，須加上 ( )2 。 2 m m ★ x 2 + mx + ( )2 = ( x + )2 2 2 說明

x 2 + mx ⇒ x2 + 2 ⋅ x ⋅

m m 2 m + ( ) = ( x + )2 2 2 2

例 將下列各式配成完全平方式。 ■ (1) x 2 + 4 x (2) x 2 + 5 x (3) x 2 + 6 x 解 □

(1) x 2 + 4 x ⇒ x 2 + 4 x + 22 = ( x + 2)2 5 5 (2) x 2 + 5 x ⇒ x 2 + 5 x + ( )2 = ( x + )2 2 2 (3) x 2 + 6 x ⇒ x 2 + 6 x + 32 = ( x + 3)2

4. 利用配方法解一元二次方程式 例 利用配方法解 2 x 2 + 3x − 4 = 0 ■ 求解步驟如下： (1) 移常數項：將常數項移至等號右邊。 2 x 2 + 3x = 4 (2) 將 x2 項係數變為 1：利用等量公理將二次項 (x2) 係數變為 1。 x2 +

3 x=2 2

(3) 配為完全平方式：等號兩邊同時加上一次項係數一半的平方，將等號左邊配為完全 平方式。 x2 +

3 3 3 3 41 x + ( )2 = 2 + ( )2 ⇒ ( x + )2 = 2 4 4 4 16

(4) 等號兩邊開根號：利用平方根法則去除完全平方式的平方。 3 41 3 41 ( x + )2 = ⇒ x+ =± 4 16 4 4 (5) 移項求得 x：利用等量公理求出 x 的值。 3 41 x=− ± 4 4

121

122

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 5. 利用配方法推導一元二次方程式公式解 例 利用配方法解 ax 2 + bx + c = 0 ■ 求解步驟如下： (1) 移常數項：將常數項移至等號右邊。 ax 2 + bx = −c (2) 將 x2 項係數變為 1：利用等量公理將二次項 (x2) 係數變為 1。 x2 +

b c x=− a a

(3) 配為完全平方式：等號兩邊同時加上一次項係數一半的平方，將等號左邊配為完全 平方式。 b b 2 b 2 b2 − 4ac c b 2 x + x + ( ) = − + ( ) ⇒ (x + ) = a 2a a 2a 2a 4a 2 2

(4) 等號兩邊開根號：利用平方根法則去除完全平方式的平方。 (x +

b 2 b b2 − 4ac b2 − 4ac ) = ⇒ x + = ± 2a 4a 2 2a 2a

(5) 移項求得 x：利用等量公理求出 x 的值。 x=

−b ± b2 − 4ac 2a

6. 一元二次方程式公式解之判別式 一元二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 的公式解為 x =

−b ± b2 − 4ac ，其中 b2 − 4ac 為判別 2a

式。 判別式與一元二次方程式的解有以下三種情形： 判別式

一元二次方程式解的情形

b − 4ac > 0

有兩相異實根

b2 − 4ac = 0

重根

b2 − 4ac < 0

無解

2

根的形式 x=

−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac x = 與 2a 2a x=

−b 2a

無

4-2 配方法與公式解 例 利用公式解下列各一元二次方程式 ■ (1) x 2 + x − 1 = 0 (2) 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 (3) x 2 − 2 x + 3 = 0 a = 1  解 (1) x + x − 1 = 0 ⇒ b = 1 □  c = −1  2

b2 − 4ac = 12 − 4 × 1 × ( −1) = 1 − ( −4) = 5 > 0 x=

− 1 ± 5 −1 ± 5 = 2 ×1 2

a = 4 (2) 4 x − 4 x + 1 = 0 ⇒ b = −4 c = 1  2

b2 − 4ac = ( −4)2 − 4 × 4 × 1 = 16 − 16 = 0 x=

− ( −4 ) ± 0 4 1 = = 2×4 8 2

a = 1  (3) x − 2 x + 3 = 0 ⇒ b = −2 c = 3  2

b2 − 4ac = ( −2)2 − 4 × 1 × 3 = 4 − 12 = −8 < 0 ∴無解 7. 一元二次方程式之根與係數的關係 若 α、β 為一元二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 的兩根，則： b 兩根和： α + β = − a c 兩根積： αβ = a 說明

若 α、β 為一元二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 的兩根，則可得知 ( x − α )( x − β ) = 0 ( x − α )( x − β ) = 0 ⇒ x 2 − (α + β ) x + αβ = 0 ……① 且 ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x 2 +

b c x + = 0 ……② a a

比較①、②之後可得： (1) −(α + β ) = (2) αβ =

c a

b b ⇒α + β = − a a

123

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

精選題型 題型１ 解下列各一元二次方程式。 (1) ( x − 3)2 = 81 (2) (3x − 2)2 − 4 = 9

題型２ 分別找出適當的數填入□中，使下列各式變成完全平方式。 (1)

x 2 − 10 x + □

2 (2) x +

3 x+ □ 4

4-2 配方法與公式解

題型３ 利用完全平方公式，解下列各一元二次方程式。 (1) x 2 − 6 x + 9 = 16 (2) 9 x 2 + 9 x +

9 3 = 4 4

題型 4 若 25 x 2 + ( 2 p − 1) x + 4 為一完全平方式，則 p 之值為多少？

125

126

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 5 用配方法解一元二次方程式 x 2 − 6 x + 7 = 0 。

題型 6 用配方法解下列各一元二次方程式。 (1) x( x + 7) = 4 (2) 3x 2 − 7 x − 2 = 0 (3) −2 x 2 − 7 x + 5 = 0

4-2 配方法與公式解

題型 7 用配方法解一元二次方程式 x 2 − 2 x − 9999 = 0 。

題型 8 將 5 x 2 − 3x − 1 = 0 化成 ( x + a )2 = b 的形式，則 a + b 之值為多少？

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 9 2 若 5 x − mx + n = 0 的解為 x =

4 32 ± ，則 m、n 的值分別為多少？ 5 5

題型 10 (1) 請寫出一個 x2 項係數為 1 的一元二次方程式，使其解為 x = 3 與 x = −2 。 (2) 已知某個一元二次方程式的兩根為

−3 ± 5 ，且 x2 項係數為 9，求此一元二次方程式。 3

4-2 配方法與公式解

題型 11 設 a > 0 ，且 b2 − ac > 0 ，試利用配方法解一元二次方程式 ax 2 − 2bx + c = 0 。

題型 12 利用公式解一元二次方程式 2 x 2 + 7 x + 5 = 0 。

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 13 利用公式解一元二次方程式 3( x − 7)( x + 2) = x 2 + x − 30 。

題型 14 試判別下列各一元二次方程式的兩根是相等、相異或是無解。 (1) x 2 − x + 1 = 0 (2) x 2 + 8 x + 2 = 0 (3) −5 x 2 + 7 x − 2 = 0

4-2 配方法與公式解

題型 15 若方程式 x 2 + ( k + 3) x − (3 + k ) = 0 的兩根相等，則 k 的值為多少？

題型 16 k 為整數，且一元二次方程式 x 2 − 3x + k = 0 沒有解，求 k 的最小值。

131

132

﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 17 若 −4 與 2 是方程式 x 2 + ax + b = 0 的兩個根，則 a、b 的值分別為多少？

題型 18 設 α、β 為一元二次方程式 x 2 − 3x − 5 = 0 的兩個根，求下列各式的值： (1) α + β (2) αβ (3) α 2 + β 2 (4)

1 1 + α β

4-3 一元二次方程式應用問題

４－３ 一元二次方程式應用問題 基本觀念 1. 解一元二次方程式之應用問題 一元二次方程式解應用問題的步驟： (1) 設未知數：依題意選定一個適當的未知數，習慣以 x 或 y 表示。 (2) 列方程式：依題意列出一元二次方程式。 (3) 解方程式：利用因式分解法、十字交乘法、配方法或公式解求出一元二次方程式的 解。 (4) 驗算：檢驗所求的未知數之值是否符合題意。 (5) 寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。 例 三個連續整數的平方和為 50，求這三數分別為何？ ■ 解 設三個連續整數之中間數為 x，則其他二數分別為 x + 1 、 □ 依題意列式： ( x + 1)2 + x 2 + ( x − 1)2 = 50 ⇒ x 2 + 2 x + 1 + x 2 + x 2 − 2 x + 1 = 50 ⇒ 3x 2 + 2 = 50 ⇒ 3x 2 = 48 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ±4 當 x = 4 時 ⇒ x +1 = 4 +1 = 5 ⇒ x −1 = 4 −1 = 3 當 x = −4 時 ⇒ x + 1 = −4 + 1 = −3 ⇒ x − 1 = −4 − 1 = −5 答：三數分別為 3、4、5 或 −3 、 −4 、 −5

x −1

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義 2. 一元二次方程式應用問題之合理性 解一元二次方程式的應用問題時，除了驗算計算過程外，也要檢驗所求得未知數的值 是否符合題意與是否合乎常理。 例 ■

一直角三角形之三邊長分別為 x + 1 、x、 x − 7 ，求此直角三角形之三邊長。

解 根據勾股定理列式： □

x 2 + ( x − 7)2 = ( x + 1)2

⇒ x 2 + x 2 − 14 x + 49 = x 2 + 2 x + 1 ⇒ x 2 − 16 x + 48 = 0 ⇒ ( x − 12)( x − 4) = 0 ⇒ x = 12 或 x = 4 當 x = 12 時 ⇒ x + 1 = 12 + 1 = 13 ⇒ x − 7 = 12 − 7 = 5 當 x = 4 時 ⇒ x +1 = 4 +1 = 5 ⇒ x − 7 = 4 − 7 = −3 ∵邊長不可為負數， x = 4 不符合常理 ∴ x = 12 答：三邊長為 5、12、13

4-3 一元二次方程式應用問題

精選題型 題型１ 一梯形面積為 70 平方公分，其下底較上底長 2 公分，高又比下底長 2 公分，求此梯形的 上底。

題型２ 已知兩個正數相差 4，兩數乘積為 117，求此兩數。

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型３ 已知小富三年後的年齡恰好是三年前年齡的平方，請問小富現年幾歲？

題型 4 已知直角三角形的斜邊長為 39 公分，兩股的差為 21 公分，求兩股長。

4-3 一元二次方程式應用問題

題型 5 小富在計算某正數的平方時，誤將其算為該數的 2 倍，所求得的結果比正確答案少 99。 (1) 求原來的正數。 (2) 請替小富算出正確的答案。

題型 6

30

如右圖，在一長為 30 公尺，寬為 20 公尺的矩形土地內

A

部開闢三條與邊平行的道路 A、B、C。若道路 A 與 B 等 寬，道路 C 的寬為道路 A 的兩倍，已知剩下土地的面積 20 為 416 平方公尺，求道路 A 與 C 的寬。

C

B

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﹝三﹞ Live 數位國中數學講義

題型 7 如右圖，有一邊長為 20 公分的正方形，四個角各剪去一個等 腰三角形後，變成一個正八邊形，求此正八邊形的周長。

題型 8 有一最簡分數，分子和分母的乘積為 517，分子比分母的 4 倍還多 3，求此分數。

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題型 9 甲、乙兩生同解一個一元二次方程式，甲將一次項的係數看錯，解得兩根為 2 與 5，乙將 常數項看錯，解得兩根為 3 與 −10 ，求正確的方程式及兩根。

題型 10 如右圖，ABCD 是一個黃金矩形，其中 ABFE 是正方形， A

E

D

F

C

而剩下的 CDEF 仍是黃金矩形，意即 AD : CD = CD : DE ，若已知 CD = 1 ，求 AD 。 B

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ANS

Live 國中數學 i 講義 3 編著者 出版者 公司地址 服務電話 Live 網址 電子信箱 出版日期 ISBN

葛 倫 徠富數位學習科技有限公司 70247 台南市南區三官路 120 號 (06)2658388 Liveism.com Live.study@gmail.com 2013 年 7 月 第一版 978-986-88371-3-3( 平裝附光碟片 )

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