6
Ver 1.0
徠富數位學習科技有限公司
Live e-Learning Technology Inc.
9789868837171
前言 數學的學習方法 學好基礎數學的第一步，就是要有正確扎實的基本觀念，良好觀念的建立原 則─先理解再記憶。透過不同題目類型的演練有助於澄清了解基本觀念，為 了靈活應用基本觀念與提昇厚植數學實力，進行一定數量與質量的試題練習 是必要的。所以”基本觀念、題型解析、試題練習”就是學好數學的金字塔！
本書的編寫架構 一、基本觀念 以條列式歸納整理該節的觀念重點，簡潔清楚的文字敘述，輔以圖示、表格、 例題說明，讓讀者能輕易理解觀念內容，迅速掌握複習要點。
二、精選題型 題目類型呼應基本觀念，題型安排由簡易循序漸進至複雜，系統性的精華題 型，鞏固所學的數學概念，培植基本的數學能力。
Live 的數位教學 數學學習困難的本質因素在於─數學本身是抽象思維的產物。 葛倫老師借助數位工具的力量，將抽象的數學概念轉化為具體的多媒體，透 過筆跡、圖片、聲音等動畫影音呈現， 將原本生硬艱澀難懂的數學內容， 詮釋化簡為生動有趣易理解的數學 觀念。 每一題精選題型葛倫老師都親自手 寫板書教學，教學過程充分發揮數 位功能─多彩畫筆、螢光註記、剪貼 縮放、３Ｄ透視、幾何圖形等。 Live 卓越的數位教學，除了擁有高品質的 數位教學內容，透過直覺易用的操 作介面，搭配非線性隨選學習功 能，讓學生以最有效率、最具創 意的未來學習方式來學好數學！
編者 葛 倫
目次 第一章 二次函數 1-1 二次函數的圖形
4
1-2 配方法與二次函數
16
1-3 二次函數的最大值與最小值
35
第二章 生活中的立體圖形 2-1 角柱與圓柱
51
2-2 角錐與圓錐
71
第三章 統計與機率 3-1 資料整理與統計圖表
84
3-2 資料分析與統計量值
111
3-3 機率
136
1 二次函數 1-1 二次函數的圖形 1-2 配方法與二次函數 1-3 二次函數的最大值與最小值
4
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
１－１ 二次函數的圖形 基本觀念 1. 二次函數的定義 (1) 函數的定義 若兩個變數 x、y 之間存在「每個輸入 x 值對應唯一輸出 y 值」的關係，就稱 y 是 x 的 函數，記為 y = f ( x) 。因為輸出 y 值隨著輸入 x 值變動而改變，所以輸入 x 值稱為自 變數，而輸出 y 值稱為應變數。 (2) 一次函數 凡函數式為 y = f ( x) = ax + b(a ≠ 0) ，稱為一次函數，其中 ax 是 x 的一次項，b 稱為常 數項。 (3) 二次函數 凡函數式為 y = f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ，稱為二次函數，其中 ax 2 + bx + c 是 x 的二 次多項式。 例例 ■
1 y = x2 、 y = − x2 + 4 x 、 y = 2 x2 − 5x + 8 2
2. 二次函數圖形的畫圖步驟 (1) 列表找點：至少取 5 個數對，須包含頂點，再以頂點為準，左右各取兩點（或以上）。 (2) 坐標描點：以數對 ( x, y ) 的形式，在坐標平面上描點。 (3) 曲線接點：將坐標平面上描繪的點，以平滑的曲線連接。 例例 畫出二次函數 ■
y = x 2 的圖形。
y 5
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
4
1
0
1
4
…
( −2, 4)
(2, 4)
4 3 2
( −1, 1)
(1, 1)
1
−5 −4 −3 −2 −1 O −1 −2 −3 −4 −5
1
2
3
4
5
x
1-1 二次函數的圖形 3. 二次函數 y=ax2 的圖形性質 函數
y = 2 x2
y = −2 x 2 y
y
圖形
函數
x
O
y = x2
函數
y
x
O
y=
1 2 x 2
O
O
x
1 y = − x2 2 y
y
圖形
x
y = − x2
y
圖形
O
x
O
x
二次函數的圖形為拋物線，函數式為 y = f ( x) = ax 2 (a ≠ 0) 的圖形，有以下性質： (1) 開口方向：若 a > 0 ，則圖形開口向上；若 a < 0 ，則圖形開口向下。 (2) 開口大小：若 | a | 越大，則圖形的開口越小；若 | a | 越小，則圖形的開口越大。 (3) 頂點： (0, 0) 。 (4) 對稱軸：y 軸（即 x = 0 ）。
5
6
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 4. 二次函數 y=ax2+c 的圖形性質 函數
y = 2 x2 + 2
y = −2 x 2 − 2 y
y
圖形
函數
O
x
y = x2 + 1
函數
O
y=
y
x
O
O
x
1 1 y = − x2 − 2 2
1 2 1 x + 2 2
y
y
圖形
x
y = − x2 −1
y
圖形
O
x
O
x
函數式為 y = f ( x) = ax 2 + c(a ≠ 0) 的二次函數圖形為拋物線，有以下性質： (1) 開口方向：若 a > 0 ，則圖形開口向上；若 a < 0 ，則圖形開口向下。 (2) 開口大小：若 | a | 越大，則圖形的開口越小；若 | a | 越小，則圖形的開口越大。 (3) 頂點： (0, c) 。 (4) 對稱軸：y 軸（即 x = 0 ）。
7
1-1 二次函數的圖形 5. y=ax2 圖形的上下平移 若兩個二次函數中， x 2 項的係數相等，則可將其中一個函數圖形，經由移動之後，得 到另一個函數圖形，而這個過程就稱為平移。 若 k > 0 ，則 y = ax 2 + k 的圖形可由 y = ax 2 的圖形向上平移 k 個單位得到； y = ax 2 − k 的圖形可由 y = ax 2 的圖形向下平移 k 個單位得到。 例例 如圖，將二次函數 ■
y = 2 x 2 的圖形向上平移 1 個單位後，可得到二次函數
y = 2 x 2 + 1 的圖形；將 y = 2 x 2 的圖形向下平移 1 個單位後，可得到二次函數 y = 2 x 2 − 1 的圖形。 y
y
x
O
y = 2 x2 + 1
O
y
x
y = 2 x2
O
x
y = 2 x2 −1
6. y=ax2 圖形的左右平移 若 h > 0 ，則 y = a ( x − h) 2 的圖形可由 y = ax 2 的圖形向右平移 h 個單位得到； y = a ( x + h) 2 的圖形可由 y = ax 2 的圖形向左平移 h 個單位得到。 例例 如圖，將二次函數 ■
y = 2 x 2 的圖形向右平移 1 個單位後，可得到二次函數
y = 2( x − 1) 2 的圖形；將 y = 2 x 2 的圖形向左平移 1 個單位後，可得到二次函數 y = 2( x + 1) 2 的圖形。 y
O
y = 2( x + 1) 2
y
x
O
y = 2 x2
y
x
O
y = 2( x − 1) 2
x
8
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ 下列哪些選項中的 y 是 x 的二次函數？ (1) y = 2 x (2) y = x 2 (3) y 2 = x
1 2x 1 (5) y = 2 x (4) y =
(6) y = x 2 + 2 x + 3
題型２ 下列各函數的圖形中，何者為直線？何者為拋物線？ ( 甲 ) y = x −1
(丁)
y = 3x 2 + 5
( 乙 ) y = x2
(戊)
y =8
( 丙 ) y = 3x − 7
(己)
y = − x 2 − 3x
(1) 圖形為直線的函數是 (2) 圖形為拋物線的函數是
。 。
1-1 二次函數的圖形
題型３ 1 設二次函數 y = f ( x) = 3 x 2 − 2 x + 1 ，求 f (− ) = ？ 2
題型 4 已知二次函數 f ( x) = ax 2 + bx + c ，若 f (0) = 3 ， f (1) = 6 ， f (2) = 11 ，求 f (3) = ？
9
10
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 描繪下列各函數圖形，並寫出頂點坐標、對稱軸及開口方向。 (1) y = x 2 (2) y = − x 2
題型 6 描繪下列各函數圖形，並寫出頂點坐標、對稱軸，並比較開口大小。 ( 甲 ) y = 2 x2 (乙) y=
1 2 x 2
( 丙 ) y = 3x 2
1-1 二次函數的圖形
題型 7 寫出下列各二次函數圖形開口的方向，並比較開口的大小。 ( 甲 ) y = − x2 (乙) y=
1 2 x 2
( 丙 ) y = 3x 2 + 1 2 ( 丁 ) y = − x2 − 2 3
題型 8 寫出下列各二次函數的頂點坐標、對稱軸及開口方向（向上或向下）： 函數 頂點坐標 對稱軸 開口方向
y = 2 x2
1 y = − x2 + 1 2
y = 3x 2 − 1
y = − x2 − 3
11
12
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9 描繪函數 y = x 2 與 y = x 2 + 1 的圖形，並比較兩圖形之間的關係（頂點坐標、對稱軸、開 口大小、開口方向）。
題型 10 在下列空格中填入適當的答案。 (1) y = −2 x 2 + 1 的圖形，可由 y = −2 x 2 的圖形向 1 1 (2) y = − x 2 − 3 的圖形，可由 y = − x 2 的圖形向 2 2 (3) 將 y = 4 x 2 的圖形向上移動 1 個單位，可得 y = 1 2 (4) 將 y = − x 的圖形向下移動 5 個單位，可得 y = 2
移動 移動
個單位得到。 個單位得到。 的圖形。 的圖形。
1-1 二次函數的圖形
題型 11 在同一個坐標平面上，畫出 y = −2( x − 3) 2 與 y = −2 x 2 的圖形，並比較兩者之間有什麼關 係（開口方向、開口大小、頂點、對稱軸）？
題型 12 在下列空格中填入適當的答案。 (1) y = ( x − 3) 2 的圖形，可由 y = x 2 的圖形向 (2) y = 2( x + 4) 2 的圖形，可由 y = 2 x 2 的圖形向 (3) 將 y = x 2 的圖形向右移動 2 單位，可得 y = 可得 y =
的圖形。
移動 移動
單位得到。 單位得到。 的圖形；再向下移動 3 單位，
13
14
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 二次函數 y = ax 2 + c 的圖形通過 (0,1) 、 (2, −1) 兩點，則 a ＝？ c ＝？
題型 14 已知二次函數 y = a ( x − h) 2 + 2 圖形的對稱軸為 x − 3 = 0 ，且圖形通過 (5, 6) ，求此二次 函數。
1-1 二次函數的圖形
題型 15 一個二次函數的圖形通過 (2, 5) ，經向下平移某單位長後，會與 y =
1 2 x 的圖形重合，求 2
此二次函數。
題型 16 將某二次函數圖形向右平移 1 個單位，再向下平移 2 個單位後，可得一個新的二次函數 1 y = − ( x − 2) 2 + 3 ，試求原二次函數為何？ 3
15
16
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
１－２ 配方法與二次函數 基本觀念 1. 二次函數一般式配方為頂點形式（配方法） 將二次函數的一般式 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 轉變為頂點式 y = a ( x − h) 2 + k ，這種方法 稱為配方法，過程如下： y = ax 2 + bx + c b x) + c a b b b = a[ x 2 + 2 × × x + ( ) 2 − ( ) 2 ] + c 2a 2a 2a b b b = a[ x 2 + x + ( ) 2 ] − a × ( ) 2 + c a 2a 2a = a( x 2 +
= a( x +
b 2 b2 ) − a× 2 + c 2a 4a
= a( x +
b 2 b 2 − 4ac ) − 2a 4a
與 y = a ( x − h) 2 + k 比較係數 ⇒h=−
例 ■ 解 □
b b 2 − 4ac ， k =− 2a 4a
將 y = 2 x 2 + 4 x + 6 利用配方法改寫成 y = a ( x − h) 2 + k 的形式，並求 a、h、k 的值。 y = 2 x2 + 4 x + 6 = 2( x 2 + 2 x) + 6 = 2( x 2 + 2 ×1× x + 12 ) − 2 + 6 = 2( x + 1) 2 + 4
與 y = a ( x − h) 2 + k 比較係數 ⇒ a = 2 ， h = −1 ， k = 4
1-2 配方法與二次函數 2. y=a(x-h)2+k 的圖形性質 y = 2( x − 2) 2 + 2
函數
y = −2( x + 2) 2 − 2 y
y
圖形
O
x
y = ( x − 1) 2 + 1
函數
函數
O
y
x
1 1 1 y = ( x − )2 + 2 2 2
O
O
x
1 1 1 y = − ( x + )2 − 2 2 2 y
y
圖形
x
y = −( x + 1) 2 − 1
y
圖形
O
x
O
x
函數式為 y = f ( x) = a ( x − h) 2 + k (a ≠ 0) 的二次函數圖形為拋物線，有以下性質： (1) 開口方向：若 a > 0 ，則圖形開口向上；若 a < 0 ，則圖形開口向下。 (2) 開口大小：若 | a | 越大，則圖形的開口越小；若 | a | 越小，則圖形的開口越大。 (3) 頂點： (h, k ) 。 (4) 對稱軸： x = h 。
17
18
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 3. 二次函數圖形與 y 軸的交點 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的圖形與 y 軸的交點坐標求法：
y
令 x = 0 代入 y = ax 2 + bx + c ⇒ y = c 例 ■ 解 □
求 y = 3 x 2 + 7 x − 2 的圖形與 y 軸的交點坐標。 令 x = 0 代入 y = 3x 2 + 7 x − 2 ⇒ y = −2
y = ax 2 + bx + c (0, c )
∴ y = 3 x 2 + 7 x − 2 的圖形與 y 軸的交點坐標為 (0, −2) 。
x
O
4. 二次函數圖形與 x 軸的交點 y
y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的圖形與 x 軸的交點坐標求法： 令 y = 0 代入 y = ax 2 + bx + c ⇒ ax 2 + bx + c = 0
y = ax 2 + bx + c
⇒ a ( x − p )( x − q ) = 0 ⇒x= p 或 x=q 例 ■ 解 □
p 0)
O
求 y = 3 x 2 − 7 x − 6 的圖形與 x 軸的交點坐標。 令 y = 0 代入 y = 3 x 2 − 7 x − 6 ⇒ 3x 2 − 7 x − 6 = 0 ⇒ (3 x + 2)( x − 3) = 0 ⇒ 3x + 2 = 0 或 x − 3 = 0 ⇒x=−
2 或 x=3 3
2 ∴ y = 3 x 2 − 7 x − 6 的圖形與 x 軸的交點坐標為 (− , 0) ， (3, 0) 。 3
(q, 0)
x
19
1-2 配方法與二次函數 5. 判別二次函數圖形與 x 軸的交點個數 利用判別式 b 2 − 4ac ，判斷 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的圖形與 x 軸的交點個數 b 2 − 4ac > 0
b 2 − 4ac = 0
b 2 − 4ac < 0
ax 2 + bx + c = 0 解的情形
有兩相異實根
重根
無解
函數圖形與 x 軸 的交點個數
2
1
0
判別式
函數圖形與 x 軸 的交點坐標
(
−b ± b 2 − 4ac , 0) 2a y
(−
b , 0) 2a y
x
x
圖形
y
x
y
y
x
y
x
x
6. 已知拋物線的頂點求二次函數 y
如右圖，已知二次函數圖形的頂點 (h, k ) ，及其圖形 上一點 (m, n) ，求此二次函數，其步驟如下： (1) 由頂點 (h, k ) 為已知
y = a ( x − h) 2 + k
⇒ 設 y = a ( x − h ) 2 + k ( a ≠ 0) 。 (2) 將其圖形上一點 (m, n) 代入 y = a ( x − h) 2 + k ⇒ n = a (m − h) 2 + k ，求出 a。 (3) 將 a 代入 y = a ( x − h) 2 + k ，即可求得二次函數。
O
) (h, k )
x
20
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 例 ■
已知 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的圖形頂點為 (2, 3) ，且圖形通過 (1, 5) ，求 a = ？ b= ？ c= ？
解 □
設 y = a ( x − 2) 2 + 3(a ≠ 0) 將 (1, 5) 代入 y = a ( x − 2) 2 + 3 ⇒ 5 = a(1 − 2) 2 + 3 ⇒ a = 2 將 a = 2 代入 y = a ( x − 2) 2 + 3 ⇒ y = 2( x − 2) 2 + 3 = 2( x 2 − 4 x + 4) + 3 = 2 x2 − 8x + 8 + 3 = 2 x 2 − 8 x + 11 y = 2 x 2 − 8 x + 11 與 y = ax 2 + bx + c 比較係數 ⇒ a = 2 ， b = −8 ， c = 11
7. 已知拋物線與 x 軸的二交點求二次函數 y
如右圖，已知二次函數圖形與 x 軸交於 (α , 0) 、 ( β , 0) ，及其圖形上一點 (m, n) ，求此二次函數，其步驟如下：
)
(1) 由 (α , 0) 、 ( β , 0) 為已知 ⇒ 設 y = a ( x − α )( x − β )
( a ≠ 0) 。
(2) 將其圖形上一點 (m, n) ，
( , )
代入 n = a(m − α )(m − β ) ，求出 a。
β 0)
y = a ( x − α )( x − β )
(3) 將 a 代入 y = a ( x − α )( x − β ) ， 即可求得二次函數。 例 ■
已知 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 的圖形與 x 軸交於 (5, 0) 、 (−3, 0) ，且圖形通過 (1, 8) ，求 a = ？ b = ？ c = ？
解 □
設 y = a ( x − 5)( x + 3)
(a ≠ 0)
將 (1, 8) 代入 y = a ( x − 5)( x + 3) ⇒ 8 = a(1 − 5)(1 + 3) ⇒ a = −
1 2
1 1 代入 y = a ( x − 5)( x + 3) ⇒ y = − ( x − 5)( x + 3) 2 2 1 = − ( x 2 + 3 x − 5 x − 15) 2 1 = − ( x 2 − 2 x − 15) 2 1 15 = − x2 + x + 2 2 1 15 1 15 y = − x2 + x + 與 y = ax 2 + bx + c 比較係數 ⇒ a = − ， b = 1 ， c = 2 2 2 2
將 a=−
x
21
1-2 配方法與二次函數 8. 已知拋物線上任三點求二次函數 y
已知二次函數圖形上的三點坐標分別為 (m, n) 、 ( p, q ) 、 (r , s ) ，求此二次函數，其步驟如下： (1) 設 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ， 並分別將 (m, n) 、 ( p, q ) 、 (r , s ) 代入。
(p, q)
) O
n = am 2 + bm + c y = ax 2 + bx + c (2) 解聯立方程式 q = ap 2 + bp + c ，求出 a、b、c。 s = ar 2 + br + c (3) 將 a、b、c 代入 y = ax 2 + bx + c ，即可求得二次函數。 例 ■
已知二次函數的圖形通過 (0, 3) 、 (1, 4) 、 (3, 9) ，求此函數的最低點坐標為何？
解 □
設 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0)
3 = 0 + 0 + c 將 (0, 3) 、 (1, 4) 、 (3, 9) 代入 y = ax + bx + c ⇒ 4 = a + b + c 9 = 9a + 3b + c 2
由① ⇒ c = 3
1 a = 2 4 = a + b + 3 a + b = 1 將 c = 3 代入②、③ ⇒ ⇒ ⇒ 9 = 9a + 3b + 3 9a + 3b = 6 b = 1 2 1 1 y = ax 2 + bx + c ⇒ y = x 2 + x + 3 2 2 1 2 = ( x + x) + 3 2 1 1 1 = [ x 2 + x + ( )2 ] − + 3 2 2 8 1 1 23 = ( x + )2 + 2 2 8 1 23 當 x = − 時， y = 2 8 1 23 ∴ 此二次函數的最低點坐標為 (− , ) 2 8
x
22
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ 將下列各二次函數利用配方法寫成 y = a ( x − h) 2 + k 的形式，並寫出圖形的頂點與對稱軸。 (1) y = −2 x 2 + 4 x − 7 (2) y = 3 + 2 x − x 2
題型２ 已知二次函數 y = ax 2 + bx − 1 圖形的頂點坐標為 (2, −3) ，則 a + b = ？
1-2 配方法與二次函數
題型３ 寫出下列二次函數圖形最高點或最低點的坐標，並寫出其對稱軸。 (1) y = 2( x − 2) 2 + 3 (2) y = −( x + 1) 2 − 4
題型 4 (1) 將二次函數 y = −2 x 2 + 4 x 利用配方法寫成 y = a ( x − h) 2 + k 的形式（其中 a、h、k 為 常數），求 a、h、k 之值。 (2) 寫出此圖形的對稱軸及頂點坐標。 (3) 畫出 y = −2 x 2 + 4 x 的圖形。
23
24
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 1 二次函數 y = ( x − 2) 2 − 2 的圖形與 x 軸的交點坐標為何？與 y 軸的交點坐標為何？ 2
題型 6 二次函數 y = x 2 − 4 x − 12 的圖形與 x 軸交於 A、B 兩點，與 y 軸交於 C 點，則： (1) AB ＝？ (2) ABC 的面積為何？
1-2 配方法與二次函數
題型 7 若二次函數 y = x 2 − 2 x − 3 的圖形與 x 軸交於 A、B 兩點，且與 y 軸交於 C 點，求： (1) 對稱軸與頂點坐標。 (2) AB 的長。
題型 8 坐標平面上，若拋物線 y = x 2 + 2 x 與直線 y = −3 x + 6 的交點為 P(a, b) ，求 a + b 之值。
25
26
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9 y
如圖，直線 L 與 x 軸交於 C 點，與拋物線 y = ax 交於 2
A、B 兩點，則：
L
(1) a ＝？ p ＝？
A(−6, p )
B (3, 6)
(2) AOC 的面積為何？ O
題型 10
x
C
y 2
若二次函數 y = ax + bx + c 的圖形如右圖所示， 試判別 a、b、c、 b 2 − 4ac 的正負關係。
O
x
1-2 配方法與二次函數
題型 11 試判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。 (1) y = x 2 + 2 x (2) y =
1 2 1 x −x+ 2 2
(3) y = − x 2 + 2 x − 2
題型 12 試判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。 (1) y = 2( x + 1) 2 − 3 (2) y = 3( x − 2) 2 (3) y = −( x + 3) 2 − 2
27
28
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 二次函數 y = (a − 1) x 2 − 2 x + 1 ，若其圖形與 x 軸交於兩點，則 a 的範圍為何？
題型 14 已知二次函數 y = 4 x 2 + 12 x + k 的圖形與 x 軸交於一點，則 k ＝？交點坐標為何？
1-2 配方法與二次函數
題型 15 二次函數 y = 2 x 2 + mx + 2 的圖形全部在 x 軸的上方，試求 m 的範圍為何？
題型 16 一拋物線的頂點坐標為 (1, 3) ，且 (−1, 7) 在拋物線的圖形上，試求此拋物線的方程式為 何？
29
30
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 17 二次函數 y = ax 2 + bx + 1 的最高點坐標為 (−1, 2) ，則 a + b ＝？
題型 18 設二次函數的對稱軸為 x = −1 ，且通過 (2, −3) 、 (−3, 7) 兩點，求此二次函數。
1-2 配方法與二次函數
題型 19 已知二次函數 y = ax 2 + bx + c 圖形的對稱軸為 x − 2 = 0 ，且通過 (0,16) 、 (3, 7) 兩點， 試求 a + b + c ＝？
題型 20 若二次函數 y = 2 x 2 + bx + c 的圖形與 x 軸交於 (−1, 0) 、 (3, 0) 兩點，試求 b + c 之值。
31
32
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 21 設二次函數 y = ax 2 + bx + c ，且 (−2, 0) 、 (3, 5) 、 (4, 0) 三點在此函數圖形上，試求 a、b、 c 之值。
題型 22 二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖形通過 (0, 3) 、 (1, 4) 、 (2, 3) 三點，試求此函數為何？
1-2 配方法與二次函數
題型 23 若二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖形通過 (0, −2) 、 (2, −2) 、 (1,1) 三點，則此函數的頂點 坐標為何？
題型 24 用配方法將 y = −2 x 2 + 4 x + 6 化成 y = a ( x + h) 2 + k 的形式，求 a + h + k 之值為何？
33
34
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 25 判斷下列二次函數圖形與 x 軸的交點個數。 (1) y = − x 2 + 2 x − 5 (2) y = −2 x 2 − 8 x − 11 (3) y = 3 x 2 − 6 x + 1 (4) y = 4 x 2 + 24
題型 26 坐標平面上，若移動二次函數 y = 2( x − 175)( x − 176) + 6 的圖形，使其與 x 軸交於兩點， 且此兩點的距離為 1 單位，則需向上或向下移動多少單位？
1-3 二次函數的最大值與最小值
１－３ 二次函數的最大值與最小值 基本觀念 1. 二次函數的極值判斷─圖形法 判斷二次函數 y = a ( x − h) 2 + k 圖形的最大值與最小值： y
y (h, k )
圖形
x
O
O
x
(h, k )
開口方向
開口向上
開口向下
a 值大小
a>0
a<0
頂點坐標
(h, k ) 為最低點
(h, k ) 為最高點
極值
當 x = h 時， y = k 為二次函數的 最小值
當 x = h 時， y = k 為二次函數的 最大值
2. 二次函數的極值判斷─配方法 將二次函數 y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 利用配方法化為 y = a ( x − h) 2 + k 的形式， 不論 x 的值為何， ( x − h) 2 的值恆大於或等於 0， ∴ (1) 若 a > 0 ⇒ a ( x − h) 2 ≥ 0 ⇒ y = a ( x − h) 2 + k ≥ k ⇒ 若 a > 0 ，當 x = h 時，y 有最小值 k。 (2) 若 a < 0 ⇒ a ( x − h) 2 ≤ 0 ⇒ y = a ( x − h) 2 + k ≤ k ⇒ 若 a < 0 ，當 x = h 時，y 有最大值 k。 例 ■ 解 □
已知二次函數 y = −2 x 2 + 8 x − 6 ，請問當 x 的值為多少時，y 有極值，此極值為何？ y = −2 x 2 + 8 x − 6 = −2( x 2 − 4 x) − 6 = −2( x 2 − 4 x + 4) + 8 − 6 = −2( x − 2) 2 + 2 ⇒ y = −2( x − 2) 2 + 2 ≤ 2 ⇒ 當 x = 2 時，y 有最大值 2。
35
36
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 3. 二次函數的極值─應用問題 二次函數應用問題的解題步驟： (1) 設未知數：依題意假設適當的未知數 x、y。 (2) 列關係式：依題意列出 x 和 y 的二次函數關係式。 (3) 配方法求極值：利用配方法求出二次函數的最大值或最小值。 (4) 驗算合理性：檢驗所求的未知數之值是否合理並符合題意。 (5) 寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。 例 ■ 解 □
若二數和為 20，求二數各為多少時，二數積有最大值，最大值又是多少？ 設二數分別為 x， 20 − x ；二數積為 y 依題意列式： y = x(20 − x) = 20 x − x 2 = −( x 2 − 20 x) = −( x 2 − 20 x + 102 ) + 102 = −( x − 10) 2 + 100 ⇒ y = −( x − 10) 2 + 100 ≤ 100 ⇒ 當 x = 10 時，y 有最大值 100； 另一數為 20 − x = 20 − 10 = 10 答：二數皆為 10 時，二數積有最大值 100。
1-3 二次函數的最大值與最小值
精選題型 題型１ 請寫出下列二次函數圖形中，當 x 為多少時，y 有最大值或最小值？其值是多少？ (1)
y
(2)
(0, 2)
x
y
(−2, 0)
(3)
y
y
(4)
(−2, 2)
x
x
x (2, −2)
題型２
y
若二次函數 y = ax + bx + c 的圖形如右圖所示，試問當 x 2
為多少時，y 有極值？其值是多少？
O
x
37
38
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 求下列各二次函數的最大值或最小值。 (1) y = x 2 − 4 (2) y = −2( x − 3) 2 + 1
題型 4 求下列各二次函數的最大值或最小值。 (1) y = 2 x 2 + 4 x + 1 (2) y = 3 + 2 x − x 2
1-3 二次函數的最大值與最小值
題型 5 二次函數 y = x 2 + 3 x + m 的圖形通過 (−2, −2) ，當 x = p 時， f ( x) 有最小值 q，求 m + 2 p + 4q 之值。
題型 6 設二次函數 y = − x 2 + 2bx + c ，當 x = 2 時，y 有最大值 5，求 b、c 之值。
39
40
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 二次函數 y = 2 x 2 + px + 3 ，當 x = 1 時，y 有最小值 m，求 p、m 之值。
題型 8 二次函數 y = x 2 − 2 x + 4 ，當 ≤ x ≤ 時，試求 y 的最大值與最小值。
1-3 二次函數的最大值與最小值
題型 9 求
8 的最大值為何？ x + 2x + 5 2
題型 10 已知 x + 2 y = 20 ，x、y 均為正數。若 k = x 2 + y 2 ，則 k 的最小值為多少？
41
42
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 數線上 A、B、C 三點的坐標為 −5 、9、 −7 ，設 P 為數線上的點，求： 2
2
2
(1) PA + PB + PC 的最小值。 (2) 承 (1)，此時的 P 點坐標。
題型 12 小向有 100 公尺長的鐵絲網，現在小向想用這 100 公尺長的鐵絲網圍出一矩形，試求此矩 形的最大面積？
1-3 二次函數的最大值與最小值
題型 13 果農在固定面積的果園中種 40 棵橘子樹，每棵年產 600 顆橘子，若在此園中，每少種 1 棵， 每棵每年多產 20 顆橘子，則應少種幾棵橘子樹，可使此園的產量達到最大？又最大產量 為多少？
題型 14 青青旅行社招攬旅行團，預定人數 20 人，每人收費 5000 元，但達到 20 人後，若每增加 1 人，每人減收 100 元。則應增加多少人，旅行社才能收到最多的錢？又最多可收到多少 錢？
43
44
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 阿諒向上擲一球，經 t 秒後，球離地面 s 公尺，設 s 與 t 的關係式為 s = 30t − 5t 2 ，求： (1) 球擲出幾秒後，可達最高的高度？此最高的高度為多少公尺？ (2) 此球擲出幾秒後，才落到地面？
題型 16 小羅站在 100 公尺高的塔頂向上拋一球，經 t 秒後其高度為 s 公尺，設 s 與 t 的關係式為 s = 100 + 21t − t 2 ，求： (1) 拋出幾秒後，可達到最高的高度？此最高的高度為多少公尺？ (2) 此球拋出幾秒後，才落到地面？
45
1-3 二次函數的最大值與最小值
題型 17 y
如圖，諒諒在操場試射水火箭，已知水火箭飛行的軌跡 1 2 1 5 x + x + ，其中 x 代表飛行的 200 5 2 水平距離，y 代表水火箭當時的高度。已知發射架的高度 (0, 2.5) O 為 2.5 公尺，請問：
符合二次函數 y = −
x
(1) 在飛行過程中，水火箭離地面的最大高度為何？ (2) 水火箭從發射到落地時，飛行的水平距離為何？
題型 18 如圖，小智在棒球場上打出一支剛好碰到全壘打牆的全
y
壘打，已知打擊棒球時的高度為 1 公尺，全壘打牆的高 (90, 4)
度為 4 公尺，距離本壘板 90 公尺，棒球最後飛行 100 公 尺。若棒球飛行的軌跡符合二次函數的圖形，其中 x 代 表飛行的水平距離，y 代表棒球當時的高度，請問符合棒 球飛行軌跡的二次函數為何？
(0,1) O
(100, 0)
x
46
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 19 一隧道入口造型是取自拋物線的對稱部分，已知入口最 低處的寬為 12 公尺。今因地震暫時封閉且以兩根長度均 為 8 公尺的鋼管支撐以防崩塌，若兩鋼管相距 4 公尺，
8
試求該入口最高處離地面多少公尺？ 12
題型 20 如圖，一河道的截面形狀如拋物線，E 為最低點。當水 深 EF = 20 公尺時，河寬 CD = 48 公尺。某日下大雨積 水，當水深 EG = 45 公尺，試求此時河面寬 MN 為多少 公尺？
47
1-3 二次函數的最大值與最小值
題型 21 如圖，小軒丟垃圾的路徑是一個二次函數 1 y = − x 2 + 2 x + c 的圖形。已知小軒是在此二次函數圖 3
B
形的頂點（即 B 點）將垃圾丟出，且從 A(0,1) 點進入筒 內。若 B 點的坐標為 (a, b) ，則 b = ？ (A) 3
(B) 4
(C) 5
A (D) 6
題型 22
y
右圖是一坐標平面。已知籃框位置 B 點在 y 軸上，今有 B
一選手將球從 A 點的位置投出，球經過的路徑是拋物線， 由 B 點空心進籃。若此拋物線是下列某一函數的圖形， 則此函數為何？
A O
1 (A) y = 6 − ( x + 2) 2 2
1 (B) y = 6 − ( x − 2) 2 2
1 (C) y = 6 + ( x − 2) 2 2
x
1 (D) y = 6 + ( x + 2) 2 2
48
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 23 下列為四個二次函數的圖形，哪一個函數在 x = 2 時有最大值 3 ？ (A)
y
y
(B)
(C)
y
(2,3)
x
O
y
(2,3)
(2,3)
O
(D)
x
O
(2,3)
x
O
題型 24 已知 a、h、k 為三數，且二次函數 y = a ( x − h) 2 + k 在坐標平面上的圖形通過 (0, 5) 、 (10, 8) 兩點。若 a < 0 ， 0 < h < 10 ，則 h 之值可能為下列何者？ (A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 7
x
1-3 二次函數的最大值與最小值
題型 25 有一算式“ 50 ˎ
ˎ
”，其中兩個□內規定皆填入相同的正整數。例如：當□填
入“1”時，“ (50 − 1) × (1 + 10) = 539 ”，即此算式的值為 539。求此算式的最大值為何？
題型 26 如圖（一），在長度為 28 的 AB 上取一點 P。 用 AP 圍成一個長方形 PMNO，其中 PM = 3PO ，再用 BP 圍成一個正方形 PVUT，如圖（二）。已知 PO = t ，長方形與 正方形的面積和有最小值 s，則 s = ？
圖(一)
圖(二)
49
2 生活中的立體圖形 2-1 角柱與圓柱 2-2 角錐與圓錐
2-1 角柱與圓柱
２－１ 角柱與圓柱 基本觀念 1. 立體圖形之介紹 立體圖形的定義：佔據一定三維空間，具有體積的物體。 例 ■
角柱、圓柱、角錐和圓錐都是立體圖形。
角柱
圓柱
角錐
圓錐
2. 多面體之介紹 多面體的定義：在三維空間中，由四個或四個以上多邊形的面所圍成的立體圖形， 稱為多面體。 例 ■
角柱和角錐是多面體，圓柱和圓錐不是多面體。 多面體
角柱
非多面體
角錐
圓柱
圓錐
51
52
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 多面體的面、邊、頂點： 在多面體中，圍成此多面體的各多邊形稱為多面體的 面，其相鄰兩個面的交線稱為邊，邊與邊的交點稱為 頂點。 右圖是一個四面體，其中 ABC 、 ABD 、 ACD 、 BCD 為四面體的面， AB 、 AC 、 AD 、 BC 、 BD 、 CD 稱為邊，A、B、C、D 為 頂點。 正多面體： 一多面體所有的面都是全等的正多邊形且每一個頂點所接的面數都一樣，稱為正多面 體。 例 ■
正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體都是正多面體。
正四面體
正六面體
正八面體
正十二面體
3. 利用長方體來認識空間中直線與平面的關係 長方體：由 6 個長方形的面所圍成的六面體，稱為長方體。 右圖是一個長方體，其中邊與面的關係如下： (1) 每個頂點上有 3 條邊，且兩兩互相垂直。 例 ■
與 A 點連接的邊有 AB 、 AD 、 AE ， 且 AB ⊥ AD 、 AD ⊥ AE 、 AB ⊥ AE 。
(2) 每個頂點上的任一邊，與另兩邊所構成的面互相 垂直。 例 ■
AB 與 B 點連接，且 AB ⊥ 長方形 BCGF。
(3) 相鄰的兩面會互相垂直。 例 ■
長方形 BCGF 分別與長方形 ABCD、長方形 ABFE 相鄰， 且長方形 BCGF ⊥長方形 ABCD，長方形 BCGF ⊥長方形 ABFE。
正二十面體
2-1 角柱與圓柱 利用長方體觀察兩平面的垂直關係： 如圖（一），將一長方體放在相交的兩平面 E1 與 E2 之間，若 E1 、 E2 兩平面與長方 體相鄰的兩面完全密合，則稱此兩平面互相垂直，可記為 E1 ⊥ E2 ；若 E1 、 E2 兩平 面無法與長方體相鄰的兩面密合，如圖（二）或圖（三），則稱此兩平面不互相垂直。
E2
E2
空隙
E2
空隙
E1
E1
圖(一) 兩平面垂直
E1
圖(二) 兩平面不垂直
圖(三) 兩平面不垂直
利用長方體觀察直線與平面的垂直關係： 如圖（四），將一長方體放在平面 E 上，若直線 L 會與長方體的一個高密合，則稱直 線 L 與平面 E 垂直，可記為 L ⊥ E ；若直線 L 與長方體的高無法密合，如圖（五）， 則稱直線 L 與平面 E 不垂直。 如圖（六），若直線 L 與平面 E 互相垂直，且交點為 P，則平面 E 上通過 P 點的任一 直線皆與直線 L 垂直。 L
E 圖(四) 直線與平面垂直
L
L
E 圖(五) 直線與平面不垂直
P
E 圖(六)
53
54
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 4. 柱體之介紹 柱體可分為角柱和圓柱，任何柱體，兩個底面之間的距離稱為柱體的高，簡稱柱高， 而底面的面積簡稱為底面積。 底面
柱高
底面
柱高
側面
側面 角柱
圓柱
角柱：由上下兩個平行且全等的多邊形底面，和一些平行四邊形的側面所組成的多面 體稱為角柱。 兩個底面是 n 邊形的角柱稱為 n 角柱，n 角柱有 2n 個頂點，3n 個邊，2 個底面，n 個側面。
三角柱
四角柱
五角柱
圓柱：如右圖，由上下兩個平行且全等的圓形底面， 和一個曲形側面所組成的立體圖形稱為圓柱。
直柱體與斜柱體： 若角柱的每個側面都與底面垂直，稱為直角柱，如圖（七）； 若角柱的側面與底面不垂直，則稱為斜角柱， 如圖（八）。 若圓柱是直立的，且兩個底圓圓心的連線會 與底面垂直，稱為直圓柱，如圖（九）；若 圓柱是傾斜的，則稱為斜圓柱，如圖（十）。 註 ■
國中階段只討論直柱體，若無特別說明， 柱體都是指直柱體。
六角柱
2-1 角柱與圓柱 5. 柱體體積的計算、切割與拼湊 柱體體積＝底面積 × 柱高 由於柱體經切割、拼湊後，其體積不會改變，所以我們可利用此特性來計算柱體的體 積。 例 ■
圖（十一）是底為平行四邊形的四角柱，沿虛線切割得甲、乙兩塊， 再把甲拼到乙的右邊形成底為長方形的四角柱，如圖（十二）。
甲
乙
乙
甲
由圖（十一）與圖（十二）可知，底面為平行四邊形的四角柱，經由切割與重新拼湊後， 其體積等於底面為長方形的長方體體積。 6. 立體圖形的展開圖 將一立體圖形拆開，讓它每一個面都在同一平面上，此時所形成的圖形，就是此立體 圖形的展開圖。
55
56
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 7. 柱體的展開圖與表面積 常見柱體的展開圖 名稱
三角柱
四角柱─正立方體
四角柱─長方體
五角柱
六角柱
圓柱
柱體
展開圖
2-1 角柱與圓柱 柱體的表面積： 角柱的表面積＝側面的面積和＋兩底面積和。 圓柱的表面積＝底圓圓周長 × 高＋兩底圓面積和。 例 ■
右圖是一個三角柱，底面為直角三角形， 其兩股長分別為 3 公分與 4 公分；柱高為
3
4
6 公分，試求此三角柱的表面積。 解 □
底面積＝
3× 4 =6 2
底面直角三角形的斜邊＝
6 32 + 42 = 25 = 5
側面面積和＝ (3 + 4 + 5) × 6 = 12 × 6 = 72 三角柱的表面積＝側面的面積和＋兩底面積和 = 72 + 6 × 2 = 72 + 12 = 84 （平方公分）
5 5
3
4
4 6
例 ■
右圖是一個圓柱，底面為半徑 2 公分的圓形， 柱高為 8 公分，試求此圓柱的表面積。
解 □
底圓面積＝ π × 22 = 4π 底圓圓周長＝ 2 × π × 2 = 4π 圓柱的表面積＝底圓圓周長 × 高＋兩底圓面積和 = 4π × 8 + 4π × 2 = 32π + 8π = 40π （平方公分）
57
58
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
上列立體圖形中， (1) 哪些形體是柱體？ (2) 哪些形體是錐體？ (3) 哪些形體是多面體？ (4) 哪些形體不是多面體？
題型２ 右圖是一個長方體，請回答下列問題： (1) 請寫出與平面 ABCD 垂直的平面。 (2) 請寫出與平面 ABCD 垂直的邊。 (3) 請寫出與 BF 垂直的平面。 (4) 請寫出與 BF 垂直的邊。
2-1 角柱與圓柱
題型３ 右圖是一個長方體，若 AB = 3 、 BF = 4 、 FG = 5 ，則： (1) EG ＝？ (2) AG ＝？
題型 4 如右圖，直線 L 與平面 E 垂直於 P，B、C 兩點在平面 E 上， A 在 L 上，若 AP = 13 ， BC = 5 ， CP = 12 ，且 BC ⊥ CP ，則 AB ＝？
59
60
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 請寫出下列各立體圖形的名稱，以及其形體各有多少個頂點？多少個邊？多少個面？ 立體圖形
形體名稱
頂點數
邊數
題型 6 有一個 n 角柱，其邊數比面的數量多 14，試求此 n 角柱的頂點數量。
面數
2-1 角柱與圓柱
題型 7 如下圖，將一三角柱經切割拼湊後，可拼成一平行四邊形柱體，試問下列敘述，哪些是正 確的？
。
高 柱高
高
底
底
柱高
(A) 三角柱底面的底與平行四邊形柱體底面的底相等 (B) 三角柱底面的底是平行四邊形柱體底面的底 × 2 (C) 三角柱底面的高與平行四邊形柱體底面的高相等 (D) 三角柱底面的高是平行四邊形柱體底面的高 × 2 (E) 三角柱的柱高與平行四邊形柱體的柱高相等
題型 8 3
如右圖，一個底面為三角形的三角柱，已知底面三角形 的底是 6 公分、高是 3 公分，柱體的高是 7 公分，試求 三角柱體的體積是多少？
6 7
61
62
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9 3
如右圖，四角柱的底面為一梯形，已知體積是 21 立方公
2
分，梯形底面的上底為 3 公分，下底為 4 公分，高為 2
4
公分，求柱高。
？
題型 10 有一個三角柱，其邊長如右圖所示，體積為 6 立方公分， 則這個三角柱的底面積為何？
2 4 2 單位：公分
2-1 角柱與圓柱
題型 11 有一五角柱，其邊長如右圖所示，求體積為多少？
2 3 6
4 單位：公尺
題型 12
2
有一長方柱，底面的長為 10，寬為 8，柱高為 2，今在內 部挖掉一個底邊長為 2 的正方形柱，求剩下的體積為何？
8
2 2 10
單位：公分
63
64
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 右圖是一個邊長為 5 公分的正立方體木塊，若分別從上 下、前後、左右各面的中心點挖出一條邊長 1 公分的正 方形孔道，挖空後，剩下的木頭體積是多少立方公分？
題型 14 已知一圓柱的底面半徑為 2 公分，柱高為 3 公分，求這個圓柱的體積。
2-1 角柱與圓柱
題型 15 有一個啞鈴的左、右兩側是底面半徑 10 公分，厚度 5 公 分的圓柱體，中間的握柄是半徑 2 公分，長度 20 公分的 圓柱體，求這個啞鈴的體積為何？ 單位：公分
題型 16 有一個中空的水泥管，其邊長如右圖所示，求水泥管本 身材質的體積為何？
14
10
20 單位：公分
65
66
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 17 如右圖，底圓直徑為 10 公分的圓柱體被斜切一部分，則
14
此部分體積為多少立方公分？
10 16
題型 18 下列哪些不是正方體的展開圖？ (A)
(C)
(B)
(D)
2-1 角柱與圓柱
題型 19 如右圖，一正六角柱的底面積為 120 平方公分，底面邊 長為 7 公分，柱高為 15 公分，求此六角柱的表面積。
120 cm2 7
15
題型 20 有一個圓柱的高為 10 公分，底面是半徑 8 公分的圓，求
8
此圓柱的表面積為多少？ 10
67
68
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 21 右圖為三角柱的展開圖，其底面為等腰三角形，試回答 10
下列問題。 (1) 此三角柱的體積是多少立方公分？
20
(2) 此三角柱的表面積是多少平方公分？ 12
題型 22 5
將一張 L 形紙片黏貼在一根細鐵絲上，如右圖所示。今
5
以細鐵絲為軸旋轉一周，會得到一個立體圖形，試回答 下列問題。（鐵絲不計）
5
10
(1) 此立體圖形的體積為多少立方公分？ (2) 此立體圖形的表面積為多少平方公分？
10
2-1 角柱與圓柱
題型 23 右圖是一個長方體， AB = 3 、 BF = 4 、 FG = 5 ，若有 一隻螞蟻想從 F 點爬到 D 點，請問螞蟻行走的最短距離 為何？
題型 24 如右圖，柱體的兩底面為全等的五邊形，側面均為與兩 底面垂直的長方形。根據右圖的數據及符號，求此柱體 體積為何？
7 5 5
9 4
10
69
70
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 25 如右圖，將 64 塊邊長為 1 公分的小正方體堆砌成邊長為 4 公分的實心正方體。若拿掉圖中 8 塊灰色小正方體，則 新立體圖形的表面積為多少平方公分？
題型 26 如圖（一），有甲、乙、丙三個大小相同的圓柱形杯子，杯深 20 公分，且各裝有 15 公分 高的水。如圖（二），將大小相同的彈珠丟入三個杯中（甲杯 2 顆，乙杯 4 顆，丙杯 6 顆）， 結果甲的水位上升到 18 公分，乙、丙兩杯水滿溢出。求丙溢出的水量是乙溢出的幾倍？ 甲 20 公 分
乙 20 15 公 公 分 分
圖（一）
丙 20 15 公 公 分 分
甲 15 公 分
20 公 分
乙 18 20 公 公 分 分
圖（二）
丙 20 公 分
2-2 角錐與圓錐
２－２ 角錐與圓錐 基本觀念 1. 錐體之介紹 錐體可分為角錐和圓錐。 頂點
頂點
側面
側面
底面
底面
角錐
圓錐
角錐：由一個多邊形各個頂點向它所在的平面外一點依次以線段連接而構成的立體圖 形，稱為角錐，此平面外一點稱為頂點，此多邊形稱為底面，由底面的邊和頂 點所構成的三角形稱為側面。 底面是 n 邊形的角錐稱為 n 角錐，n 角錐有 (n +1) 個頂點，2n 個邊，1 個底面，n 個三 角形側面。
三角錐
四角錐
五角錐
六角錐
71
72
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 圓錐：由一個直角三角形繞其中一條直角邊旋轉一周所得到的立體圖形，稱為圓錐， 而這個直角三角形的斜邊稱為圓錐的母線，所圍繞的圓形稱為底面，頂點到底 面所在平面的距離稱為圓錐的高。 頂點
頂點
母線 錐高
底圓
底面
直錐體與斜錐體： 由角錐的頂點作垂直於底面所在平面的垂線，若此垂線通過底面多邊形的內心或外心， 則此角錐稱為直角錐，如圖（一）；若垂線不通過底面多邊形的內心或外心，則此角 錐稱為斜角錐，如圖（二）。 由圓錐的頂點作垂直於底面所在平面的垂線，若此垂線通過底面圓形的圓心，則此圓 錐稱為直圓錐，如圖（三）；若垂線不通過底面圓形的圓心，則此圓錐稱為斜圓錐， 如圖（四）。 註 ■
國中階段只討論直錐體，若無特別說明，錐體都是指直錐體。
圖（一）
圖（二）
圖（三）
圖（四）
2-2 角錐與圓錐 2. 錐體的展開圖與表面積 常見錐體的展開圖 名稱
三角錐
正三角錐─正四面體
四角錐
五角錐
六角錐
圓錐
錐體
展開圖
73
74
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 錐體的表面積： 角錐的表面積＝底面的面積＋側面三角形的面積和。 圓錐的表面積＝底面的圓面積＋側面扇形的面積。 例 ■
右圖是一個四角錐，底面為邊長 5 公分的正方形， 其側面為等腰三角形，高為 4 公分，試求此四角 4
錐的表面積。 解 □
底面正方形面積＝ 5 × 5 = 25 5× 4 = 40 2 四角錐的表面積＝底面的面積＋側面三角形的面積和 側面三角形的面積和＝ 4 ×
5
5 4
= 25 + 40 = 65 （平方公分）
5 5
例 ■
右圖是一個圓錐，底面為半徑 3 公分的圓形， 錐體高度為 4 公分，試求此圓錐的表面積。
解 □
設側面扇形的圓心角為 x ∘
4
扇形的半徑＝圓錐的母線長＝ 32 + 42 = 25 = 5 由扇形的圓弧長＝底圓的圓周長 ⇒ 2×π × 5×
x = 2×π × 3 360
3
⇒ x = 216
5
底面的圓面積＝ π × 32 = 9π x 216 = π × 52 × = 15π 360 360 圓錐的表面積＝底面的圓面積＋側面扇形的面積 2 側面扇形的面積＝ π × 5 ×
= 9π + 15π = 24π （平方公分）
x˚ 3
2-2 角錐與圓錐
精選題型 題型１ 請寫出下列各立體圖形的名稱，以及其形體各有多少個頂點？多少個邊？多少個面？ 立體圖形
形體名稱
頂點數
邊數
題型２ 有一個 n 角錐，其邊數比頂點的數量多 8，試求此 n 角錐共有幾個面？
面數
75
76
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 右圖是四角錐的展開圖，底面是邊長為 6 公分的正方形， 試求此四角錐的表面積。
題型 4 右圖是邊長均為 6 公分的正三角錐，求此正三角錐的表 面積。
4 6
2-2 角錐與圓錐
題型 5 如右圖，正四角錐中， AO = 6 ， AC = 10 ，求此正四角 錐的表面積。
題型 6 右圖為正六角錐的展開圖，試回答下列問題。 (1) 此錐體的表面積為何？ (2) 此錐體的高度為何？
9 6
77
78
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 右圖是一個圓錐的展開圖，O 為圓錐的頂點，若 OA = 12 ，底圓半徑為 3，則 ∠AOB 的度數為何？ 3
題型 8 右圖為圓錐的展開圖，底圓半徑為 3 公分，扇形的半徑
5
為 5 公分，試求此圓錐的表面積。 3
2-2 角錐與圓錐
題型 9 右圖為一個圓錐的展開圖，O 為圓錐的頂點，若 OA = 15 ， ∠AOB = 120° ，試回答下列問題。 (1) 此圓錐的表面積為何？ (2) 此圓錐的高度為何？
題型 10 右圖是一個底圓半徑 10 公分，母線為 20 公分的圓錐， 試求此圓錐的表面積。
20
10
79
80
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 如右圖，圓錐頂點到底面的距離為 12 公分，底面半徑為 5 公分，試求此圓錐的表面積。
12
5
題型 12 將一張兩股長分別為 15 公分、20 公分的直角三角形紙片 黏貼在一根細鐵絲上，如右圖所示。今以細鐵絲為軸旋
15
轉一周，會得到一個立體圖形，試求此立體圖形的表面 積為何？（鐵絲不計）
20
2-2 角錐與圓錐
題型 13
O
右圖為一底圓半徑為 5 的圓錐，已知母線 OA = 15 ，若 一隻螞蟻從 A 點出發沿著圓錐的側面繞行一周，又回到
15
A 點，試求此螞蟻所行走的最短距離。
A
5
題型 14 5
如右圖，一立體圖形的上半部是一個邊長為 5 公分的正 四角錐，下半部是邊長為 5 公分的正方體，試求此立體 圖形的表面積。
5
5
5
81
82
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 如右圖，一立體圖形的上半部是一個圓錐，下半部是高 4 公分，底圓半徑為 3 公分的圓柱，整個立體圖形的高為 8 公分，試求此立體圖形的表面積。 4 3
題型 16 右圖為一底圓半徑為 5，錐高為 15 的圓錐，其內接圓柱 的底圓半徑為 x 時，圓柱有最大的側面積（直圓柱的側 面展開圖為一矩形），則：
15
x
(1) x 的值為多少？ (2) 最大的內接圓柱側面積為多少平方單位？
5
3 統計與機率 3-1 資料整理與統計圖表 3-2 資料分析與統計量值 3-3 機率
84
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
３－１ 資料整理與統計圖表 基本觀念 1. 資料整理與統計的簡介 統計的定義：將收集的資料或實驗的數據變為有效使用的過程，稱為統計。 將收集的原始資料利用統計方法加以整理歸納為資訊，再經由研究、分析、解釋後， 進而建立可有效應用的知識。 統計方法的介紹： (1) 統計圖表 常用的統計圖表：次數分配表、長條圖、直方圖、折線圖、圓餅圖、盒狀圖等。 (2) 統計量值 常用的統計量值：算術平均數、中位數、眾數、百分位數、四分位數等。 2. 統計圖形的類別與使用時機─長條圖 長條圖：圖（一）為 2007 年世界前十大國家人口排名的長條圖，橫軸代表國別，縱軸 代表單一國家人口占世界人口的比率（以百分比表示），而每個長條的高度 即代表該國人口占世界人口的比率，本圖的資料來源是中華民國內政部統計 處。 占世界人口比率︵
25.00 20.00
19.94 17.05
15.00
︶
％ 10.00 4.54
5.00 0.00
中國
印度
美國
3.54
2.93
印尼
巴西 巴基斯坦 孟加拉 奈及利亞 俄羅斯
2.56
2.16
2.13
2.27
1.92 日本
圖（一）2007年世界前十大國家人口排名直方圖 長條圖的使用時機：當統計資料為不連續的數據時，若統計目的為比較各類量的大小， 則以長條圖表示。
3-1 資料整理與統計圖表 3. 統計圖形的類別與使用時機─直方圖 直方圖：圖（二）為 98 學年度台灣地區大學學科能力測驗總級分人數分布的直方圖， 橫軸代表級分，縱軸代表考生人數（單位為人），而每個長方形的高度即代 表該組級分的人數，本圖的資料來源是中華民國教育部統計處。 人數︵ ︶
人
5000 4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 圖（二）98學年度台灣地區大學學科能力測驗總級分人數分布直方圖
直方圖的使用時機：當統計資料為連續的數據時，若統計目的為比較各類量的大小， 則以直方圖表示。 4. 統計圖形的類別與使用時機─折線圖 折線圖：圖（三）為 1897 ～ 2008 年台灣台南地區每年平均溫度折線圖，橫軸代表年分， 縱軸代表溫度（單位為 ℃），根據每一年的溫度在相對應的位置標出，再將 上面所標的各點依次以線段連接，即可得折線圖，本圖的資料來源是中華民國 中央氣象局。 溫度︵ ︶
°C
25.5 25 24.5 24 23.5 23 22.5 22 21.5
圖（三）1897~2008年台灣台南每年平均溫度折線圖 折線圖的使用時機：若統計目的為觀察統計資料的變化趨勢，則以折線圖表示。
2007
2002
1997
1992
1987
1982
1977
1972
1967
1962
1957
1952
1947
1942
1937
1932
1927
1922
1917
1912
1907
1897
20.5
1902
21
85
86
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 5. 統計圖形的類別與使用時機─圓餅圖 圓餅圖：圖（四）為 2008 年台灣機動車輛
大客車 0.1%
登記數的圓餅圖，各個扇形面積
大貨車 0.8% 小客車 26.9%
分別代表各種登記車輛佔車輛總 數的百分比，本圖的資料來源是 中華民國交通部統計處。 圓餅圖的使用時機：若統計目的為觀察統
小貨車 3.9%
機車 68.1%
計資料各分量佔總量
特種車 0.2%
的比例，則以圓餅圖 表示。
圖（四）2008年台灣機動車輛登記數圓餅圖
6. 次數分配表的製作與重點 表（一）為甲班數學學期成績資料 座號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
分數
53
78
76
89
62
89
68
76
32
46
座號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分數
85
59
86
77
100
65
69
92
84
75
座號
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
分數
72
85
60
98
55
79
82
52
38
64
座號
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
分數
73
66
81
48
60
88
57
75
70
49
表（一）為甲班數學學期成績資料，其中最低分為 32 分，最高分為 100 分，可以將 分數從 30 分開始，每 10 分為一組（或稱組距為 10 分），分成 30 ～ 40、40 ～ 50、 50 ～ 60、60 ～ 70、70 ～ 80、80 ～ 90、90 ～ 100 等七組。 次數分配表的製作要點： (1) 組距的大小與組數的多寡視問題而定，但每一組的組距需相同。 (2) 每一組的組界包含下界，但不含上界，例如 30 ～ 40 分這一組，包含 30 分但不含 40 分。 (3) 最後一組的組界包含上下界，例如 90 ～ 100 分這一組，包含 90 分也包含 100 分。
3-1 資料整理與統計圖表 根據表（一），依次視每位同學的數學分數歸組並在計數符號欄畫記，再計算每一組 的次數，可得出表（二），若將計數符號欄去掉，可得表（三）。表（三）稱為次數 分配表。 表（二）為甲班數學學期成績畫記表 成績 ( 分 )
計數符號欄
表（三）為甲班數學學期成績次數分配表
次數 ( 人 )
成績 ( 分 )
次數 ( 人 )
30 ～ 40
||
2
30 ～ 40
2
40 ～ 50
|||
3
40 ～ 50
3
50 ～ 60
||||
5
50 ～ 60
5
60 ～ 70
|||| |||
8
60 ～ 70
8
70 ～ 80
|||| ||||
10
70 ～ 80
10
80 ～ 90
|||| ||||
9
80 ～ 90
9
90 ～ 100
|||
3
90 ～ 100
3
40
合計
40
合計
7. 次數分配表之累積次數與累積相對次數 累積次數分配表：若想了解某個範圍內的次數分配狀況，會根據次數分配表，將各組 次數依序累加，所得到的統計表稱為累積次數分配表。 例 ■
根據表（三）製作成累積次數分配表，如表（四）。 表（四）為甲班數學學期成績累積次數分配表 成績 ( 分 )
次數 ( 人 )
累積次數 ( 人 )
30 ～ 40
2
2
40 ～ 50
3
5
50 ～ 60
5
10
60 ～ 70
8
18
70 ～ 80
10
28
80 ～ 90
9
37
90 ～ 100
3
40
合計
40
40
30 ～ 40 分有 2 人，所以 未滿 40 分有 2 人。 40 ～ 50 分有 3 人，所以 未滿 50 分有 2 ＋ 3 ＝ 5 人。
87
88
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
相對次數：各組的次數占全體資料數的百分率即稱為相對次數。 ⎬䳬㫉㔠 ×100% ䷥㫉㔠 相對次數分配表：將各組資料的次數占全體資料的百分率求出，所製成的表格稱為相 䚠⮵㫉㔠炷炴炸ľ
對次數分配表。 表（五）為甲班數學學期成績相對次數分配表 成績 ( 分 )
次數 ( 人 )
累積次數 ( 人 )
相對次數 (％ )
30 ～ 40
2
2
5
40 ～ 50
3
5
7.5
50 ～ 60
5
10
12.5
60 ～ 70
8
18
20
70 ～ 80
10
28
25
80 ～ 90
9
37
22.5
90 ～ 100
3
40
7.5
合計
40
40
100
累積相對次數分配表：若想了解某個範圍內的相對次數分配狀況，會根據相對次數分 配表，將各組相對次數依序累加，所得到的統計表稱為累積相 對次數分配表。 表（六）為甲班數學學期成績累積相對次數分配表 成績 ( 分 )
次數 ( 人 )
累積次數 ( 人 )
相對次數 (％ )
累積相對次數 (％ )
30 ～ 40
2
2
5
5
40 ～ 50
3
5
7.5
12.5
50 ～ 60
5
10
12.5
25
60 ～ 70
8
18
20
45
70 ～ 80
10
28
25
70
80 ～ 90
9
37
22.5
92.5
90 ～ 100
3
40
7.5
100
合計
40
40
100
100
3-1 資料整理與統計圖表 8. 次數分配折線圖 次數分配折線圖：以表（七）次數分配表中的各組分數為橫軸，次數為縱軸，再以各 組的組中點（以 35 分代表 30 ～ 40 分這組）與該組的次數之數對為 坐標畫點，再依次以線段連接各點，所得的折線圖稱為次數分配折 線圖，如圖（五）。 表（七）為甲班數學學期成績
成績 ( 分 )
次數 ( 人 )
30 ～ 40
2
40 ～ 50
3
50 ～ 60
5
60 ～ 70
8
70 ～ 80
10
80 ～ 90
9
90 ～ 100
3
合計
40
人數︵
次數分配表
︶
人
12
10
10 8
8
6
5
4 2 0
9
3
3
2 35
45
55
65
75
85
95
分數（分） 圖（五）為甲班數學學期成績次數分配折線圖
9. 相對次數分配折線圖 相對次數分配折線圖：以表（八）相對次數分配表中的各組分數為橫軸，相對次數為 縱軸，再以各組的組中點（以 35 分代表 30 ～ 40 分這組）與該 組的相對次數之數對為坐標畫點，再依次以線段連接各點，所 得的折線圖稱為相對次數分配折線圖，如圖（六）。 表（八）為甲班數學學期成績 相對次數分配表 相對次數︵
成績 ( 分 )
相對次數 (％ )
30 ～ 40
5
40 ～ 50
7.5
50 ～ 60
12.5
60 ～ 70
20
70 ～ 80
25
5%
80 ～ 90
22.5
0%
90 ～ 100
7.5
合計
100
︶
％
30%
25%
25% 20%
20%
15%
22.5%
12.5%
10% 5% 35
7.5%
7.5% 45
55
65
75
85
95
分數（分） 圖（六）為甲班數學學期成績相對次數分配折線圖
89
90
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 10. 累積次數分配折線圖 累積次數分配折線圖：以表（八）累積次數分配表中的各組分數為橫軸，累積次數為 縱軸，再以各組的組上界（以 40 分代表 30 ～ 40 分這組）與該 組的累積次數之數對為坐標畫點，再依次以線段連接各點，所 得的折線圖稱為累積次數分配折線圖，如圖（七）。 表（八）為甲班數學學期成績 人數︵
累積次數分配表
40
成績 ( 分 )
累積次數 ( 人 )
30 ～ 40
2
40 ～ 50
5
50 ～ 60
10
20
60 ～ 70
18
70 ～ 80
28
10
80 ～ 90
37
90 ～ 100
40
合計
40
︶
人
37
30
0
40
28 18 2
5
40
50
0 30
10 60
70
80
90 100
分數（分） 圖（七）為甲班數學學期成績累積次數分配折線圖
11. 累積相對次數分配折線圖 累積相對次數分配折線圖：以表（九）累積相對次數分配表中的各組分數為橫軸，累 積相對次數為縱軸，再以各組的組上界（以 40 分代表 30 ～ 40 分這組）與該組的累積相對次數之數對為坐標畫 點，再依次以線段連接各點，所得的折線圖稱為累積相對 次數分配折線圖，如圖（八）。 表（九）為甲班數學學期成績 相對次數︵
累積相對次數分配表
100%
成績 ( 分 )
累積相對次數 (％ )
30 ～ 40
5
40 ～ 50
12.5
50 ～ 60
25
60 ～ 70
45
25%
70 ～ 80
70
80 ～ 90
92.5
0%
90 ～ 100
100
合計
100
︶
％
100% 92.5%
75%
70%
50%
45% 25% 5% 12.5% 0% 30
40
50
60
70
80
90 100
分數（分） 圖（八）為甲班數學學期成績累積相對次數分配折線圖
3-1 資料整理與統計圖表
精選題型 題型１ 下圖為某市今年 1 ～ 12 月分失業率的統計長條圖，試回答下列問題。
︵
失 業 率
︶
％
4.30
4.24
4.20
4.16 4.09
4.08
4.10
4.03
4.02
4.00
4.08 4.02 3.92
3.91
3.90
3.96
3.85
3.80 3.70 3.60
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 月分（月） (1) 長條圖中，失業率最高的月分為何？最低的月分又為何？兩者相差多少百分比？ (2) 失業率在 4％以下的有幾個月？ (3) 失業率比前一個月下降的有幾個月？ (4) 若 12 月分的勞動人口數有 80 萬人，則失業人口有多少人？ （ ⣙㤕䌯烌
⣙㤕Ṣ⎋ ×100% ） ⊆≽Ṣ⎋
91
92
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型２ 萱萱調查班上同學最喜歡的運動項目的人數，並將各項目人數占全班人數的百分比繪製成 長條圖，如下圖所示，已知全班共有 50 人，試根據此圖回答下列問題。
︵
40 百 分 比 32 ︶
％
24 16 8 0
直排輪
棒球
籃球
羽球
運動項目 (1) 最多人喜歡的項目是什麼？有多少人？ (2) 最喜歡籃球的比最喜歡羽球的多幾個人？ (3) 最喜歡排球的和最喜歡籃球的人數所占全班的比例為何？
足球
排球
3-1 資料整理與統計圖表
題型３ 下圖是某年度綜合所得稅分別在五大國稅局的退稅金額與件數的長條圖，試回答下列問 題： 48.3
退稅金額 退稅件數
22 34.6
︶
︶
25.8 9
20
9
10
14 6.5
10 0
25 件 數 20 萬 件 15
︵
︵
金 50 額 40 億 元 30
6.8
北區
臺北市
中區
南區
2
高雄市
五大國稅局 (1) 此次退稅共約多少件數？總金額為多少？ (2) 平均每件多少元？（四捨五入取至整數位） (3) 平均每件退稅金額以哪一個地區的國稅局為最高？ (4) 南區退稅件數占全部的百分之多少？（四捨五入取至整數位） (5) 北區退稅金額占全部的百分之多少？（四捨五入取至整數位）
5 0
93
94
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 4 下圖為某班學生身高次數分配直方圖，試依此圖回答下列問題。
︵
次 14 數 12 ︶
人 10 8 6 4 2 0
145
150
155
160
165
身高（公分） (1) 身高在 160 ～ 170 公分的同學有多少位？ (2) 身高不滿 155 公分的同學有多少位？ (3) 哪組人數最多？有多少位同學？占全班的百分之多少？
170
175
3-1 資料整理與統計圖表
題型 5 下圖是高老師為班上 40 名學生第二次段考數學科成績所繪製的直方圖，其中縱軸為各組 人數占全班人數的比例，試根據此圖回答下列問題。
︵
百 50 分 比 40 ︶
％
30%
30 20 10 0
20%
17.5%
15% 10%
7.5%
40
50
60
70 分數（分）
(1) 90 分以上的學生有幾人？ (2) 未滿 60 分的人數占全班人數的多少百分比？ (3) 未滿 60 分的人數共有幾人？ (4) 90 分以上的人數比不到 50 分的人數多或少幾人？
80
90
100
95
96
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 6 下表是保健室的護士小姐為 60 名學生測量脈搏跳動次數的紀錄表，試根據此表繪製脈搏 跳動次數分配直方圖。 次數 （次 / 分） 次數 （人）
50
55
60
65
70
75
80
85
90
55
60
65
70
75
80
85
90
95
1
4
6
10
18
9
7
3
2
3-1 資料整理與統計圖表
題型 7 下圖為小富班上 40 位同學某假日上網時間次數分配折線圖，試根據此圖回答下列問題。
︵
次 9 數 8 ︶
人 7 6 5 4 3 2 1 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
上網時間（小時） (1) 上網多少小時的人數最多？有幾人？ (2) 上網 3 小時以下（含 3 小時）共有幾人？占全班人數的多少百分比？ (3) 上網 6 小時以上（含 6 小時）共有幾人？占全班人數的多少百分比？
9
97
98
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 8 下圖是萱萱班上 40 位同學測量壘球擲遠的次數分配折線圖。
︵
次 14 數 12 ︶
人 10 8 6 4 2 0
10
15
20
25
30
35
40
45
距離（公尺） (1) 投球距離最遠的是哪一組？有多少人？ (2) 投球距離超過 30 公尺，但不滿 40 公尺的人數占全班的百分之多少？ (3) 投球距離不滿 20 公尺的人數占全班的幾分之幾？
3-1 資料整理與統計圖表
題型 9 下表是三年三班新生入學時學生身高的次數分配表，試依此表在下面的直方圖上畫出學生 身高的次數分配折線圖。 身高 （公分） 次數 （人）
︵
次 數
︶
人
140
145
150
155
160
165
145
150
155
160
165
170
4
7
11
5
6
2
160
165
170
12 10 8 6 4 2 0
140
145
150
155
身高（公分）
99
100
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 10 下圖為五種海鮮食物，每百公克的膽固醇與脂肪含量，試根據此圖回答下列問題。 160.9
160
膽固醇 脂肪
140 120
101.8
100
86.1
80 60 40 20 0
11.9
51.1
37.9
1.6 0.2 牡蠣
14 每 百 12 公 10 克 脂 8 肪 含 6 量 4 公 2 克
花枝
1.0 九孔
︶
︶
毫 克
180
︵
︵
每 百 公 克 膽 固 醇 含 量
0.1 龍蝦
虱目魚
0
海鮮食物 (1) 五種海鮮中，哪一種海鮮的膽固醇含量最低？每百公克含膽固醇多少毫克？ (2) 五種海鮮中，哪一種海鮮的脂肪含量最高？每百公克含脂肪多少公克？ (3) 每百公克的九孔與龍蝦，其膽固醇含量相差多少毫克？ (4) 五種海鮮中，當脂肪含量相同時，何者所含的膽固醇最為豐富？ (5) 營養師建議小富每攝取 1 公克脂肪，膽固醇含量不宜超過 100 毫克，請問上述五種海 鮮食物，哪些不適宜小富食用？
3-1 資料整理與統計圖表
題型 11 右圖是小富每天作息時間分配的圓餅圖，其中閱讀時間
休息
所占的比值遺漏了，試問小富每天閱讀的時間為多少小 時？
1 6
睡眠
閱讀
上課
1 4
1 吃飯 12
題型 12 右圖是某商店一個月所賣出的各種飲料數量的圓餅圖，
1 3
咖啡
若紅茶共賣出 650 杯，請問咖啡共賣出多少杯？
烏龍茶 6% 奶茶 11%
紅茶 26%
綠茶 32%
101
102
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 下表為小富班上同學上學方式的人數統計表，今欲將其畫成圓餅圖，試求各種上學方式之 扇形區域的圓心角各是多少度？ 上學方式 家長接送 12
人數
搭公車
步行
騎自行車
9
11
8
題型 14 下表為三年四班學生體重表（單位：公斤），請以 10 公斤為組距製作體重次數分配表。 座號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
體重
56
43
47
68
55
60
42
71
84
51
座號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
體重
63
39
50
56
44
70
66
59
48
55
座號
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
體重
46
53
66
50
48
56
81
75
64
49
體重（公斤）
合計
計數符號欄
次數（人）
3-1 資料整理與統計圖表
題型 15 下表為 50 名學生數學科成績的次數分配表： 成績（分）
次數（人）
40 ～ 50
3
50 ～ 60
x
60 ～ 70
10
70 ～ 80
16
80 ～ 90
y
90 ～ 100
5
(1) 若 y 是 x 的 3 倍，試求 x、y 之值。 (2) 80 分以上的有幾人？ (3) 未滿 60 分的有幾人？ (4) 70 分以上的人數占全班人數的百分之多少？
103
104
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 16 下表為 50 名學生的體重累積次數分配表： 體重（公斤）
次數（人）
累積次數（人）
35 ～ 40
1
1
40 ～ 45
6
x
45 ～ 50
9
y
50 ～ 55
13
29
55 ～ 60
z
41
60 ～ 65
u
50
(1) 試求 x、y、z、u 之值。 (2) 體重在 45 公斤以上的人數占全班人數的百分之多少？
3-1 資料整理與統計圖表
題型 17 下表為 40 名學生的身高統計資料表： 身高（公分）
次數（人）
累積次數（人） 累積相對次數（％）
145 ～ 150
1
1
2.5
150 ～ 155
4
5
12.5
155 ～ 160
a
10
e
160 ～ 165
8
b
f
165 ～ 170
9
27
67.5
170 ～ 175
c
35
87.5
175 ～ 180
5
d
g
總計
40
(1) 試求 a、b、c、d、e、f、g 之值。 (2) 身高在 160 公分以上的人數占全班人數的百分之多少？
105
106
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 18 下圖為三年三班全班身高的次數分配直方圖，試根據此圖依序完成下面的問題。 10
︵
次 數
︶
人
8 6 4 2 0
140
145
150
155
160
165
170
身高（公分） (1) 在空格中填入適當的答案，完成下表。 身高（公分） 次數（人） 累積次數（人） 相對次數（％） 累積相對次數（％） 140 ～ 145
2
145 ～ 150
7
150 ～ 155
9
155 ～ 160
10
160 ～ 165
8
165 ～ 170
4
總計
40
(2) 根據上表，在下圖中繪製全班身高的相對次數分配折線圖、累積相對次數分配折線 圖。 累積相對次數︵
相對次數︵
25
100
20 15
︶
％ 10 0
60 40
％ 20 ︶
5
80
140 145 150 155 160 165 170 身高（公分）
0
140 145 150 155 160 165 170 身高（公分）
3-1 資料整理與統計圖表
題型 19 下圖為三年二班第三次段考數學科成績的累積次數分配折線圖，請根據此圖回答下列問 題。 40 累 積 次 30 數
40 32
︵ ︶
人
36
24
20 14 10
6 2
0
30
40
50
60
70
80
成績（分） (1) 全班共有多少人？ (2) 80 分以上的有多少人？占全班的多少％？ (3) 未滿 60 分的有多少人？占全班的多少％？ (4) 哪一組的人數最少？占全班的多少％？
90
100
107
108
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 20 下圖為正修國中一年級部分同學參加數學科競試的相對次數分配折線圖，其中右上角被撕 毀，試依序回答下列問題。
︵
30 相 對 25 次 數 20 ︶
％
15 10 5 0
40
50
60
70
80
90
成績（分） (1) 80 ～ 90 分的人數占全部競試人數的多少％？ (2) 已知 50 ～ 60 分有 9 人，則共有幾位同學參加這次的數學競試？ (3) 80 分以上的有多少人？
100
3-1 資料整理與統計圖表
題型 21
獎金分配方式
已知某種彩券其各獎項獎金的分配方式依右表的比例分
獎項
分配比例
配，若某一期的頭獎獎金為 9000 萬元，則該期貳獎獎金
頭獎
38％
貳獎
12％
參獎
15％
肆獎
35％
總額約為多少萬元？（用四捨五入法取到萬元）
題型 22 阿曜將班上同學的基測數學成績分成 1 ～ 15、16 ～ 30、31 ～ 45、46 ～ 60 等四組，並將 資料紀錄於下表。試求 x、y、z、u 的值分別為何？ 成績（分）
1 ～ 15
16 ～ 30
31 ～ 45
46 ～ 60
次數（人）
1
6
4
x
相對次數（％）
5
30
20
y
累積相對次數（％）
5
z
u
100
109
110
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 23 阿丁將班上 50 個同學身高的資料，自 130 公分開始，每 10 公分為一組，製作身高折線圖， 如右圖所示。根據此圖，回答下列問題：
占全班的百分比為何？ (2) 在 130 ～ 150 公分之間的人數 占全班的百分比為何？ (3) 在 130 ～ 160 公分之間的人數 占全班的百分比為何？
30 人 數 25 人 20
25
︵ ︶
(1) 在 150 ～ 160 公分之間的人數
15
13
10 5 0
(4) 在 140 ～ 160 公分之間的人數
8 2 130
2 140
150 160 170 身高（公分）
180
占全班的百分比為何？
題型 24 下表為某公司 200 名職員年齡的次數分配表，其中 36 ～ 42 歲及 50 ～ 56 歲的次數因污損 而無法看出。若 36 ～ 42 歲及 50 ～ 56 歲職員人數的相對次數分別為 a％、b％，則 a+b = ？ 年齡（歲）
22 ～ 28
29 ～ 35
次數（人）
6
40
36 ～ 42
43 ～ 49 42
50 ～ 56
57 ～ 63 2
3-2 資料分析與統計量值
３－２ 資料分析與統計量值 基本觀念 1. 統計量值的簡介 定義：針對一組資料進行統計方法之演算結果，稱為統計量值。統計量值可用來觀察 資料的集中趨勢與分佈狀況，其中我們常用算術平均數、中位數、眾數等集中 量數來觀察資料的集中趨勢；常用百分位數、四分位數、全距、四分位距等分 散量數來觀察資料的分佈狀況。
2. 算術平均數的介紹與算法 一組資料的算術平均數，就是這組資料數值的總和除以資料的個數，算術平均數一般 都簡稱為平均數。 屯㕁䷥ 屯㕁ᾳ㔠 (1) 未分組資料求算術平均數： 䬿埻⸛⛯㔠烌
例 ■ 解 □
試求 1，3，6，8，9 的算術平均數。 資料總和＝ 1 + 3 + 6 + 8 + 9 = 27 資料個數＝ 5 算術平均數＝
27 = 5.4 5
成績（分）
次數（人）
30 ～ 40
2
40 ～ 50
3
50 ～ 60
5
右表為甲班數學成績的次數分配表，試求甲班數
60 ～ 70
8
學成績的算術平均數。
70 ～ 80
10
取各組的組中點代表該組，
80 ～ 90
9
90 ～ 100
3
合計
40
(2) 已分組資料求算術平均數： 例 ■
解 □
30 + 40 = 35 30 ～ 40 這組的組中點＝ 2
資料總分＝ 35 × 2 + 45 × 3 + 55 × 5 + 65 × 8 + 75 ×10 + 85 × 9 + 95 × 3 = 2800 資料個數＝ 40 算術平均數＝
2800 = 70 40
111
112
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 3. 中位數的介紹與算法 將一組數值資料由小到大排列，最中間的數值即為中位數。其中，若有奇數個資料， 則取最中間的數值為中位數；若有偶數個資料，則取最中間兩個數值的算術平均數為 中位數。 (1) 奇數個資料求中位數： 例 ■ 解 □
試求 1，2，3，3，4，6，7，7，9 的中位數。 資料個數＝ 9 最中間的資料是第 5 筆，中位數＝ 4
(2) 偶數個資料求中位數： 例 ■ 解 □
試求 1，2，3，3，4，6，7，7，8，9 的中位數。 資料個數＝ 10 最中間的兩筆資料是第 4 筆和第 5 筆，中位數＝
4+6 =5 2
4. 眾數的介紹與算法 一組資料中出現次數最多的數值，稱為這組資料的眾數。 例 ■
調查甲班 15 位同學每週零用錢的資料如下：
80，200，120，100，130，120，90，100，150，180，100，50，1000，100，250。 （單位：元）求此資料的眾數為何？ 解 □
100 出現的次數最多，共 4 次， 所以 100 是這組資料的眾數。 ※ 一組資料允許兩個以上的眾數。
5. 算術平均數、中位數、眾數之比較 一般而言，當一組資料包含極端值（資料中特別大或特別小的數值）時，算術平均數 易受資料中的極端值的影響，而中位數、眾數不受極端值的影響，可以比較恰當顯示 資料的集中趨勢。
3-2 資料分析與統計量值 例 ■
甲班 15 位同學每週零用錢的資料如下： 座號
1
2
3
4
5
零用錢
80
200
120
100
130
座號
6
7
8
9
10
零用錢
120
90
100
150
180
座號
11
12
13
14
15
零用錢
100
50
2000
100
250
試分別求出這組資料的算術平均數（四捨五入取到整數位）、中位數與眾數， 並討論哪一個集中量數適合描述此組資料的集中趨勢。 資料總分＝ 3770 資料個數＝ 15 算術平均數＝
3770 251 15
將零用錢由小排到大： 50、80、90、100、100、100、100、120、120、130、150、180、200、250、2000 最中間的資料是第 8 筆，中位數＝ 120 100 出現的次數最多，共 4 次，所以 100 是這組資料的眾數。 由算術平均數＝ 251，中位數＝ 120，眾數＝ 100 與原始資料比較，發現若以算術 平均數來代表甲班的零用錢並不恰當，中位數或眾數比較適合用來描述此組資料 的集中趨勢。 6. 百分位數的介紹 將一組資料由小到大排列後，利用 99 個數值將資料區分為 100 個等分，則各個分隔點 的數值即為百分位數。 第 k 百分位數：將一組資料（有 n 個數值）由小到大排列後，至少有 k% 的資料小於 或等於 A，且至少有 (100 − k )% 的資料大於或等於 A，則 A 即為第 k 百 分位數（k 是正整數，且 1 ≤ k ≤ 99 ）。 第 k 百分位數的數值是 A
1 2 3 至少有 k % 的數值資料 小於或等於 A
k
97 98 99 至少有 (100 − k )% 的數值資料 大於或等於 A
(%)
113
114
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 未分組資料求百分位數： 假設這群未分組資料共有 n 個數值，可依下列方法求其第 k 百分位數： (1) 先將這群資料由小到大排列。 (2) 求出 n ×
k 的值，令此值為 m。 100
(3) ① 若 m 是整數，則第 m 位與第 (m +1) 位的資料值之算術平均數，就是這群資料 的第 k 百分位數。 ② 若 m 不是整數，而 p 是大於 m 的最小整數，則第 p 位的資料值，就是這群資料 的第 k 百分位數。 例 ■
右表為甲班 40 位同學數學成績，試求： (1) 第 70 百分位數。 (2) 第 11 百分位數。
解 □
(1) 令 k = 70 ， n = 40 70 = 28 100 ∴ 第 70 百分位數為第 28 位與第 29 位的資料值之 m = 40 ×
算術平均數，第 28 位的成績為 79 分，第 29 位的 成績為 81 分。 ⇒ 第 70 百分位數 =
32
60
73
84
38
60
75
85
46
62
75
85
48
64
76
86
49
65
76
88
52
66
77
89
53
68
78
89
55
69
79
92
57
70
81
98
59
72
82
100
79 + 81 = 80 （分）。 2
(2) 令 k = 11 ， n = 40 11 = 4.4 100 ∴ 第 11 百分位數為第 5 位的資料值，第 5 位的成績為 49 分。
m = 40 ×
⇒ 第 11 百分位數＝ 49 分。
3-2 資料分析與統計量值 已分組資料求百分位數： 利用累積相對次數分配折線圖，找出第 k 百分位數所代表的值。 例 ■
右表為甲班 40 位同學數學成績之次數分配表，試說明： 成績（分） 次數（人） (1) 第 70 百分位數為幾分。
30 ～ 40
2
(2) 成績 60 分的百分位數為何？
40 ～ 50
3
50 ～ 60
5
60 ～ 70
8
70 ～ 80
10
80 ～ 90
9
90 ～ 100
3
合計
40
解 先根據右表製作其累積相對次數分配表，如下表所示， □ 成績（分） 次數（人） 累積相對次數（％） 30 ～ 40
2
5
40 ～ 50
3
12.5
50 ～ 60
5
25
60 ～ 70
8
45
70 ～ 80
10
70
80 ～ 90
9
92.5
90 ～ 100
3
100
合計
40
100
根據上表製作累積相對次數分配折線圖，如下圖所示： 累 100% 積 相 80% 對 次 60% 數
92.5%
100%
70%
︵ ︶
％
45%
40% 25%
20% 12.5%
0%
30
5% 40 50
60
70
80
90
100
分數（分） 由上圖的縱軸觀察資料第 1%、2%、3%、……、98%、99% 的數值，則： (1) 縱軸 70% 所對應的分數數值為 80 分，所以我們可以說「如果成績在 80 分以上 （包含 80 分），則分數至少高過 70% 的人；如果成績在 80 分以下（包含 80 分）， 則分數至少低於 30% 的人。」因此第 70 百分位數為 80 分。 (2) 橫軸 60 分所對應累積相對次數為 25%，表示這 40 位同學中，至少有 40 × 25% = 10 個人的成績小於或等於 60 分；至少有 40 × 75% = 30 個人的成績大於或等於 60 分， 因此稱 60 分是這 40 個成績的「第 25 百分位數」。
115
116
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 7. 四分位數的介紹 將一組資料由小到大排列後，利用 3 個數值將資料區分為 4 個等分，則各個分隔點的 數值即為四分位數。 第 1 四分位數 Q1 ：將一組資料（有 n 個數值）由小到大排列後，至少有 資料小於或等於 Q1 ，且至少有
1 (25%) 的 4
3 (75%) 的資料大於或等於 Q1 ， 4
則 Q1 即為第 1 四分位數，也為第 25 百分位數。 第 2 四分位數 Q2 ：將一組資料（有 n 個數值）由小到大排列後，至少有 資料小於或等於 Q2 ，且至少有
1 (50%) 的 2
1 (50%) 的資料大於或等於 Q2 ， 2
則 Q2 即為第 2 四分位數，也為第 50 百分位數，又為中位數。 3 第 3 四分位數 Q3 ：將一組資料（有 n 個數值）由小到大排列後，至少有 (75%) 的 4 1 資料小於或等於 Q3 ，且至少有 (25%) 的資料大於或等於 Q3 ， 4 則 Q3 即為第 3 四分位數，也為第 75 百分位數。
第 1 四分位數 Q1
中位數 第 2 四分位數 Q2
第 3 四分位數 Q3
25%
50%
75%
0%
100%
四分位數的求法： 假設一群未分組資料共有 n 個數值，可依下列方法求其四分位數： (1) 先將這群資料由小到大排列。 (2) 求出 n ×
k 的值，令此值為 m。 4
(3) ① 若 m 是整數，則第 m 位與第 (m +1) 位的資料值之算術平均數，就是這群資料 的第 k 四分位數。 ② 若 m 不是整數，而 p 是大於 m 的最小整數，則第 p 位的資料值，就是這群資料 的第 k 四分位數。
3-2 資料分析與統計量值 例 ■
右表為丙班 38 位同學數學成績，試求：
32
60
73
84
(1) 第 1 四分位數。
38
60
75
85
(2) 第 2 四分位數。
46
62
75
85
48
64
76
86
49
65
76
88
52
66
77
89
53
68
78
93
55
69
79
97
57
70
81
59
72
82
(3) 第 3 四分位數。 解 □
(1) 令 k = 1 ， n = 38 1 = 9.5 4 ∴ 第 1 四分位數為第 10 位的資料值，
m = 38 ×
第 10 位的成績為 59 分。 ⇒ 第 1 四分位數＝ 59 分。 (2) 令 k = 2 ， n = 38
2 = 19 4 ∴ 第 2 四分位數為第 19 位與第 20 位的資料值之算術平均數， m = 38 ×
第 19 位的成績為 70 分，第 20 位的成績為 72 分。 ⇒ 第 2 四分位數 =
70 + 72 = 71 （分）。 2
(3) 令 k = 3 ， n = 38 3 m = 38 × = 28.5 4 ∴ 第 3 四分位數為第 29 位的資料值，第 29 位的成績為 81 分。 ⇒ 第 3 四分位數＝ 81 分。
8. 全距、四分位距與盒狀圖的介紹 全距：在一群數值資料中，最大的資料值減去最小的資料值所得的差，稱為該群資料 的全距。 全距＝最大值—最小值 四分位距：在一群數值資料中，第 3 四分位數減去第 1 四分位數所得的差，稱為該群 資料的四分位距。 四分位距＝第 3 四分位數（ Q3 ）—第 1 四分位數（ Q1 ）
117
118
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 盒狀圖： 將整體資料中的最小值、第 1 四分位數（ Q1 ）、中位數、第 3 四分位數（ Q3 ）與最 大值繪製成如下的統計圖，稱為盒狀圖。 第 2 四分位數 Q2 第 3 四分位數 Q3
第 1 四分位數 Q1 最小值
中位數
最大值
資料數值
四分位距 全距 盒狀圖的要點： •
由盒狀圖可觀察整個資料的分佈概況，方便觀察資料集中的區塊，避免受極端值影 響。
•
最小值～ Q1 ， Q1 ～中位數，中位數～ Q3 ， Q3 ～最大值，相鄰兩統計量值之間 的資料量為 25% 。
• 例 ■ 解 □
盒狀圖的寬度（高度）與資料內容無關。 右表為甲班 40 位同學數學成績，試製作其盒狀圖。
32
60
73
84
此組資料要製作盒狀圖的主要統計量值如下：
38
60
75
85
46
62
75
85
48
64
76
86
49
65
76
88
52
66
77
89
53
68
78
89
55
69
79
92
57
70
81
98
59
72
82
100
32
最小值 第 1 四分位數（ Q1 ）
59.5
中位數
72.5
第 3 四分位數（ Q3 ）
83
最大值
100
根據上表的統計量值，繪製此組資料的盒狀圖， 如下圖所示： Q1＝59.5
最小值＝32
30
40
50
60
中位數＝72.5 Q3＝83
70
80
最大值＝100
90
100
3-2 資料分析與統計量值 9. 利用盒狀圖比較兩組資料之分布狀況 盒狀圖可以用來分析比較兩群以上資料的分布狀況。 例 ■
下圖為甲、乙兩班數學學期成績的盒狀圖。 Q1＝63
最小值＝25
中位數＝76
Q3＝89 最大值＝98
乙班 Q1＝59.5 中位數＝72.5
最小值＝32
Q3＝83
最大值＝100
甲班 20
30
40
50
60
70
80
90
100
由上圖可以觀察到以下現象： (1) 甲班的最大值是 100 分，最小值是 32 分，全距是 100 − 32 = 68 （分）。 乙班的最大值是 98 分，最小值是 25 分，全距是 98 − 25 = 73 （分）。 就全距的觀點而言，甲、乙兩班成績分散狀況相差不大，但可發現乙班的分數 較為分散。 (2) 甲班的 Q1 是 59.5 分， Q3 是 83 分，四分位距是 83 − 59.5 = 23.5 （分）。 乙班的 Q1 是 63 分， Q3 是 89 分，四分位距是 89 − 63 = 26 （分）。 就四分位距的觀點而言，乙班的中間分數群略高於甲班，而且乙班的 Q1 、 中位數、 Q3 都高於甲班。
119
120
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ (1) 康康這一次段考的五科成績分別為 85、91、74、82、78 分，求這一次段考的五科平 均成績是多少？ (2) 強強班上有 24 位男生，16 位女生，其中男生平均體重為 41 公斤，女生平均體重為 35 公斤，則全班的平均體重為多少公斤？
題型２ 下表是保健醫院 40 位病人等候看病的時間次數分配表，請問每人平均約等候多少分鐘？ （四捨五入取至整數位） 時間（分）
0 ～ 10
10 ～ 20
20 ～ 30
30 ～ 40
次數（人）
8
12
13
7
3-2 資料分析與統計量值
題型３ 下圖是一年甲班 50 位同學段考數學成績的相對次數分配折線圖，請算出這 50 位同學數學 成績的算術平均數？
︵
相 30 對 次 24 數 ︶
％ 18 12
4 0
40
50
60
70
80
90
100 成績（分）
題型 4 一棒球隊九位上場球員的平均身高為 185 公分，內、外野七位球員的身高分別為 178 公分、 182 公分、187 公分、190 公分、186 公分、179 公分、182 公分，又投手比捕手高 3 公分， 試問投手的身高為多少公分？
121
122
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 某生數學科第一次段考 70 分，第二次段考 85 分，期末考 80 分，平時成績 75 分。學期總 成績的計算方式為兩次段考各占 20%，期末考和平時成績各占 30%，試問此生的學期總 成績為多少分？
題型 6 (1) 求 23、18、42、37、54、11、29 這組資料的中位數。 (2) 某班 8 位同學的體重如下：（單位：公斤） 56、65、47、82、60、57、78、66 試求其體重的中位數是多少公斤？
3-2 資料分析與統計量值
題型 7 下表是保健室的護士小姐為 60 名學生測量脈搏跳動次數的紀錄表，請問這 60 名學生的中 位數在哪一組中？ 次數 （次 / 分） 次數 （人）
50
55
60
65
70
75
80
85
90
55
60
65
70
75
80
85
90
95
1
4
6
10
18
9
7
3
2
題型 8 某電視臺舉辦金頭腦大賽，分初賽和決賽兩階段進行，已知初賽成績如下： 參賽者號碼
1
2
3
4
5
6
7
8
答對題數
7
6
6
5
5
8
8
7
參賽者號碼
9
10
11
12
13
14
15
16
答對題數
4
6
9
8
6
5
5
6
若成績大於或等於中位數，則可進入決賽，其餘的都要淘汰。請問淘汰率是多少？
123
124
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9 有 15 位遊客，他們年齡的次數分配表如下： 年齡（歲）
7
15
27
38
40
62
人數（人）
2
x
1
y
2
1
已知這群遊客年齡的中位數是 27 歲，試求 x、y 之值。
題型 10
︵ ︶
次 14 右圖是某班學生的體重次數分配直方圖， 數 12 人 10 請問： (1) 該班學生體重的眾數是哪一組？ (2) 該班學生體重的中位數在哪一組中？ (3) 試求出該班學生體重的算術平均數。 （不足 1 公斤者四捨五入）
8 6 4 2 0
30 35 40 45 50 55 60 65 體重（公斤）
3-2 資料分析與統計量值
題型 11 有一組資料由小至大依序排列如下： 1、2、2、a、a、a、b、b、6、c、10、12 若此組的中位數為 4，眾數為 3，算術平均數為 5，試求 a、b、c 的值分別為何？
題型 12 下表是甲班 50 位學生數學測驗的成績次數分配表： 成績（分）
0 ～ 20
20 ～ 40
40 ～ 60
60 ～ 80
80 ～ 100
次數（人）
2
x
10
y
18
已知此次測驗的算術平均數為 66 分，請問： (1) x、y 之值為何？ (2) 中位數在哪一組？ (3) 眾數在哪一組？
125
126
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 甲班 30 位學生英文成績（單位：分）如下表所示： 序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成績
72
15
89
65
77
54
49
92
23
75
序號
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
成績
82
66
64
68
68
43
52
79
32
48
序號
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
成績
62
85
71
65
50
77
35
98
72
54
試求這組資料的： (1) 第 10 百分位數。 (2) 第 25 百分位數。 (3) 中位數。 (4) 第 75 百分位數。 (5) 第 90 百分位數。
3-2 資料分析與統計量值
題型 14
成績（分） 次數（人）
右表為某校一年級數學競賽成績次數分配表，
20 ～ 30
50
試求下列百分位數分別在哪一組：
30 ～ 40
70
40 ～ 50
60
50 ～ 60
120
60 ～ 70
140
70 ～ 80
130
80 ～ 90
80
90 ～ 100
50
合計
700
(1) 第 30 百分位數 (2) 第 60 百分位數 (3) 第 90 百分位數
題型 15
200 180 160 140 人 120 100 80 60 40 20 0
(1) 成績 60 分的百分位數。 (2) 成績 90 分的百分位數。 (3) 第 80 百分位數。
︵ ︶
累 右圖是三年一班數學科成績的累積次數 積 次 分配折線圖，試求： 數
40
50
60 70 80 成績（分）
90 100
127
128
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 16
100 90 80 70 60 50 40 (2) 第 70 百分位數是多少？ ％ 30 20 (3) 約有多少人的成績小於或等於 60 分？ 10 0 (4) 約有多少人的成績大於或等於 90 分？ 累 積 相 定測驗的累積相對次數分配折線圖，請問：對 次 (1) 第 20 百分位數是多少？ 數 右圖是大安中學 1200 位同學數學能力檢
70
︵ ︶
題型 17 右圖是新興國中全校同學身高的累積相 對次數分配折線圖，請問全校同學身高
32 25 30
100
48
5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 分數（分）
累 100 積 相 80 對 次 60 數 40 ％ 20 ︵
的中位數約為多少公分？
20
40
82
︶
0
145 150 155 160 165 170 175 180 185 身高（公分）
3-2 資料分析與統計量值
題型 18 小富參加 12000 人的英文能力檢定，他的成績為 70 分，百分位數為 75，請問： (1) 至少有幾位考生成績小於或等於 70 分？ (2) 至少有幾位考生成績大於或等於 70 分？ (3) 若小明也參加這次檢定，他的排名為第 600 名（沒有人和他同名次），則他成績的百 分位數為多少？
題型 19 全家速食店內共有 26 位顧客，其年齡依序排列如下： 3、3、3、5、5、6、6、10、10、12、13、13、13、15、31、35、41、44、48、56、58、 61、62、65、65、68（單位：歲） 試求顧客年齡的 3 個四分位數。
129
130
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 20 全家速食店共有 30 位員工，員工的薪資次數分配表如下： 薪資（元）
12500
15000
17500
20000
25000
員工數（人）
10
5
5
6
4
請問： (1) 全部員工薪資的第 25 百分位數為多少元？ (2) 全部員工薪資的第 50 百分位數為多少元？ (3) 全部員工薪資的第 75 百分位數為多少元？
題型 21 右圖是一年三班 40 位學生壘球擲遠的累 積相對次數分配折線圖：（單位：公尺）
95
100
75 50
︵ ︶
試求這 40 位學生壘球擲遠的四分位距。
100 90 80 70 60 50 40 ％ 30 20 10 0 0 10 累 積 相 對 次 數
25 5 15
20
25
30 35 40 距離（公尺）
3-2 資料分析與統計量值
題型 22 某次數學小考，老師出 10 題非選擇題，每題 10 分，其成績的累積次數分配折線圖如下圖 所示，試求： 累 30 積 次 25 數 20 人 15
26
30
︵
21
︶
16 13 10
10
7
5 0
28
3 0 10
20
(1) 成績的中位數為何？ (2) 成績的四分位距為何？
30
40
50
60
成績（分）
70
80
90
100
131
132
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 23 下圖是某社團成員的年齡盒狀圖，試問： 6
0
25
10
20
(1) 年齡最小的是幾歲？ (2) 年齡的第 1 四分位數是幾歲？ (3) 年齡的第 2 四分位數是幾歲？ (4) 年齡的第 3 四分位數是幾歲？ (5) 年齡最大的是幾歲？
38
30
47
40
60
50
60
3-2 資料分析與統計量值
題型 24 一年甲班全班共有 26 人，第一次段考數學成績由小至大排列如下： 12、15、18、18、24、25、25、34、36、36、48、56、64、70、70、76、78、78、82、 86、86、86、90、92、95、98 試回答下列問題。 (1) 本次成績的全距為何？ (2) 第 1、2、3 四分位數分別為何？ (3) 求四分位距＝？ (4) 繪製此組資料的盒狀圖。 (5) 由盒狀圖判斷，哪一段成績最分散？
133
134
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 25 甲、乙兩班的人數都是 40 人，下圖是兩班數學成績的盒狀圖：
甲班 22
60
71
82
90
乙班 31 20 30 試回答下列問題：
52 40
50
60 60
(1) 哪一班的全距較大？ (2) 哪一班的四分位距較大？ (3) 哪一班成績較高的前百分之五十較集中？ (4) 兩班及格（60 分以上）人數共有多少人？
73 70
100 80
90
100
3-2 資料分析與統計量值
題型 26 某社團有 60 人，下表為此社團成員年齡的次數分配表。求此社團成員年齡的四分位距為 何？ 年齡 （歲）
36
38
39
43
46
48
50
55
58
60
62
65
次數 （人）
4
5
7
5
5
2
1
10
7
8
3
3
135
136
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
３－３ 機率 基本觀念 1. 機率之介紹 定義：利用一個 0 ～ 1 的數值來表示一件事情發生的可能性，此數值稱為機率。 機率的求法：如果一個實驗可能的結果有 n 個，且每一個結果發生的機會都相同， 則我們稱每一種結果發生的機率為 例 ■
1 。 n
投擲一顆均勻的骰子，可能出現的點數為 1 點、2 點、3 點、4 點、5 點、6 點， 共有 6 種結果，每種結果發生的機會都相等，則出現每一種點數的機率都是
1 。 6
2. 機率之事件 定義：一個實驗會出現多種結果，其中部分結果的組合就稱為事件。 㝸ḳẞ䘤䓇䘬㨇䌯 =
例 ■ 解 □
㝸ḳẞ⏓䳸㝄䘬ᾳ㔠 ⮎槿ᷕ㚱⎗傥䳸㝄䘬ᾳ㔠
投擲一顆公正的骰子一次，試求出現偶數點的機率。 投擲一顆公正的骰子一次，可能出現的點數為 1、2、3、4、5、6，共有 6 種結果， 而擲出偶數點的情形共有 2、4、6 等 3 種，所以擲出偶數點的機率是
※ 一定會發生的事件，其機率是 1。 ※ 一定不會發生的事件，其機率是 0。
3 1 = 。 6 2
3-3 機率 3. 機率之樹狀圖 分析機率試驗的過程中，為了清楚呈現每一種事件發生的可能情形，可以用樹狀圖來 表示，進而求得事件發生的機率。 例 ■
甲、乙兩人猜拳（剪刀、石頭、布），若猜一次決勝負，求： (1) 畫出樹狀圖，列出所有猜拳狀況。 (2) 平手的機率（兩人出相同的拳）。
解 □
(1)
甲
乙
剪刀
剪刀 石頭 布
石頭
剪刀 石頭 布
布
剪刀 石頭 布
(2) 由上圖可知，甲、乙兩人猜拳一次，可能出現的結果有 9 種，將此 9 種結果寫 成數對的形式，即（剪刀，剪刀），（剪刀，石頭），（剪刀，布），（石頭， 剪刀），（石頭，石頭），（石頭，布），（布，剪刀），（布，石頭），（布， 布）。 此時可得知，平手的狀況共有三種，其機率為 例 ■
3 1 = 。 9 3
投擲一枚公正的硬幣兩次，求： (1) 畫出樹狀圖，列出所有投擲狀況。 (2) 出現一個正面、一個反面的機率。
解解 (1) □
第一次投擲
第二次投擲
正面
正面 反面
反面
正面 反面
(2) 由上圖可知，投擲一枚公正的硬幣兩次，可能出現的結果有 4 種，將此 4 種結 果寫成數對的形式，即（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面）， （反面，反面）。 此時可得知，出現一個正面、一個反面的狀況共有兩種，其機率為
2 1 = 。 4 2
137
138
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ 「投擲一枚均勻的硬幣，出現反面的機率是
1 」，關於這段話的意思，下面哪一個人的 2
說明是正確的？ 小花：每投擲兩次就有一次出現反面 小文：投擲 200 次必有 100 次出現反面 小華：投擲很多次時，出現反面的次數會很接近總投擲數的
1 2
小英：出現反面的次數最多是總投擲數的一半
題型２ 甲、乙兩隊比賽排球，採三戰兩勝制，每局都須分出勝負，則甲、乙兩隊比賽可能發生的 情況共有幾種？
3-3 機率
題型３ 如右圖，沿正方體的各邊取捷徑，則： (1) 從 A 點到 B 點，共有幾種可能的走法？ (2) 從 A 點經過 E 點到 B 點，共有幾種可能的走法？
題型 4 甲、乙、丙三人排成一列，請問： (1) 甲不排左邊第一個的機率是多少？ (2) 乙、丙排在一起的機率是多少？
139
140
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 投擲一顆均勻的骰子，則： (1) 出現 6 點的機率是多少？ (2) 出現點數大於 4 的機率是多少？ (3) 出現點數大於 6 的機率是多少？ (4) 出現點數小於或等於 6 的機率是多少？
題型 6 袋子內裝有 15 顆撞球，球上有 1 ～ 15 的號碼，現在若從袋中任意取出一顆球，則： (1) 取出 9 號球的機率是多少？ (2) 取出的球號碼是 3 的倍數的機率是多少？ (3) 取出的球號碼是 5 的倍數的機率是多少？ (4) 取出的球號碼是 3 的倍數，也是 5 的倍數的機率是多少？
3-3 機率
題型 7 籤筒中有 50 支籤，分別標有 1 ～ 50 的號碼，現在若從中任意抽出一支籤，則： (1) 抽出 20 號籤的機率是多少？ (2) 抽出的號碼是 50 的因數的機率是多少？ (3) 抽出的號碼是質數的機率是多少？ (4) 抽出的號碼是完全平方數的機率是多少？
題型 8 一副撲克牌共有 52 張，分成黑桃、紅心、方塊（紅色）、梅花（黑色）四種花色，每種 花色各有 13 張，分別標有 A，K，Q，J，10，9，8，7，6，5，4，3，2。 若撲克牌中的 A 最大，依序為 K，Q，J，10，……，3，2，則： (1) 抽出的牌上標著數字的機率是多少？ (2) 抽出的牌上標著英文字母的機率是多少？ (3) 抽出的牌是黑桃且比 7 小的機率是多少？ (4) 抽出的牌是方塊且比 9 大的機率是多少？
141
142
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9 將一顆均勻骰子連擲兩次，試回答下列問題。 (1) 畫出此樹狀圖。 (2) 一次出現么點，一次出現 6 點的機率是多少？ (3) 第一次出現 2 點，第二次出現 5 點的機率是多少？ (4) 兩次都出現 3 點的機率是多少？ (5) 兩次出現的點數和為 8 的機率是多少？ (6) 兩次出現的點數和大於 8 的機率是多少？
3-3 機率
題型 10 若生男孩與生女孩的機會相等，則在一個有三個小孩的家庭中，請問： (1) 三個小孩的性別有幾種可能情形？請以樹狀圖表示。 (2) 僅有一個男孩的機率是多少？ (3) 三個都是女孩的機率是多少？ (4) 老大是男孩的機率是多少？
題型 11 一年甲班有 40 位學生，某次段考英語及格的有 27 人，數學及格的有 23 人，兩科都及格 的有 15 人，若從這一班學生中任意抽取一人，則： (1) 此生數學及格但英語不及格的機率是多少？ (2) 此生恰有一科及格的機率是多少？ (3) 此生兩科都不及格的機率是多少？
143
144
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 12 1 ～ 100 的整數中，任意取出一數，則： (1) 此數是 2 的倍數但不是 3 的倍數的機率是多少？ (2) 此數是 2 或 3 的倍數的機率是多少？
題型 13 A、B 兩地有 4 條路徑，甲由 A 地到 B 地，乙由 B 地到 A 地，兩人同時出發，則兩人相遇 的機率是多少？
3-3 機率
題型 14 由甲地到乙地的路徑，如下圖所示，且是單行道，請回答下列問題。 單行道方向
甲
乙
(1) 從甲地到乙地共有幾種走法？ (2) 由甲地經過 A 點到乙地共有幾種走法？ (3) 由甲地經過 B 點與 C 點到乙地共有幾種走法？
題型 15 籤筒中有 5 支籤，分別標有 1、2、3、4、5 等號碼，今從中任取 2 支（將第一次抽出的籤 放回再抽第二支籤），則第一次抽出奇數籤，第二次抽出偶數籤的機率是多少？
145
146
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 16 某袋中有 1 號球 8 顆、2 號球 7 顆、3 號球 6 顆。若自袋中抽取一球，且每球被抽中的機 會相等，則抽中 3 號球的機率為何？
題型 17 甲、乙各丟一次公正骰子比大小。若甲、乙的點數相同時，算兩人平手；若甲的點數大於 乙時，算甲獲勝；若乙的點數大於甲時，算乙獲勝。求甲獲勝的機率是多少？
3-3 機率
題型 18 一袋子中有 4 個圓球，球上分別標記號碼 1、2、3、4。已知每一個球被取到的機會相等， 若自袋中任取兩次球（一次一球，取後放回），則取出的兩球號碼是 3、4 或 4、3 的機率 為何？
題型 19 已知甲袋有 5 張分別標示 1 ～ 5 的號碼牌，乙袋有 6 張分別標示 6 ～ 11 的號碼牌，慧婷 分別從甲、乙兩袋中各抽出一張號碼牌。若同一袋中每張號碼牌被抽出的機會相等，則她 抽出兩張號碼牌，其數字乘積為 3 的倍數的機率為何？
147
148
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 20 有一箱子裝有 3 張分別標示 4、5、6 的號碼牌，已知小武以每次取一張且取後不放回的方 式，先後取出 2 張牌，組成一個二位數，取出第 1 張牌的號碼為十位數，第 2 張牌的號碼 為個位數。若先後取出 2 張牌組成二位數的每一種結果發生的機會都相同，則組成的二位 數為 6 的倍數的機率為何？
ANS
Live 國中數學 i 講義 6 編著者 出版者 公司地址 服務電話 Live 網址 電子信箱 出版日期 ISBN
葛 倫 徠富數位學習科技有限公司 70247 台南市南區三官路 120 號 (06)2658388 Liveism.com Live.study@gmail.com 2015 年 2 月 第一版 978-986-88371-7-1 ( 平裝附光碟片 )
※ 本書若有缺頁、破損、裝訂錯誤，請寄回本公司調換。