2
Ver 1.0
徠富數位學習科技有限公司
Live e-Learning Technology Inc.
9789868837126
前言 數學的學習方法 學好基礎數學的第一步，就是要有正確扎實的基本觀念，良好觀念的建立原 則─先理解再記憶。透過不同題目類型的演練有助於澄清了解基本觀念，為 了靈活應用基本觀念與提昇厚植數學實力，進行一定數量與質量的試題練習 是必要的。所以”基本觀念、題型解析、試題練習”就是學好數學的金字塔！
本書的編寫架構 一、基本觀念 以條列式歸納整理該節的觀念重點，簡潔清楚的文字敘述，輔以圖示、表格、 例題說明，讓讀者能輕易理解觀念內容，迅速掌握複習要點。
二、精選題型 題目類型呼應基本觀念，題型安排由簡易循序漸進至複雜，系統性的精華題 型，鞏固所學的數學概念，培植基本的數學能力。
Live 的數位教學 數學學習困難的本質因素在於─數學本身是抽象思維的產物。 葛倫老師借助數位工具的力量，將抽象的數學概念轉化為具體的多媒體，透 過筆跡、圖片、聲音等動畫影音呈現， 將原本生硬艱澀難懂的數學內容， 詮釋化簡為生動有趣易理解的數學 觀念。 每一題精選題型葛倫老師都親自手 寫板書教學，教學過程充分發揮數 位功能─多彩畫筆、螢光註記、剪貼 縮放、３Ｄ透視、幾何圖形等。 Live 卓越的數位教學，除了擁有高品質的 數位教學內容，透過直覺易用的操 作介面，搭配非線性隨選學習功 能，讓學生以最有效率、最具創 意的未來學習方式來學好數學！
編者 葛 倫
目次 第一章 二元一次聯立方程式 1-1 二元一次方程式
4
1-2 解二元一次聯立方程式
15
1-3 二元一次方程式應用問題
27
第二章 直角坐標與二元一次方程式的圖形 2-1 直角坐標平面
36
2-2 二元一次方程式的圖形
47
第三章 比與比例式 3-1 比例式
63
3-2 連比例
76
3-3 正比與反比
87
第四章 線型函數及其圖形 4-1 變數與函數 4-2 函數圖形
96 103
第五章 一元一次不等式 5-1 一元一次不等式
113
5-2 解一元一次不等式
119
1 二元一次聯立方程式 1-1 二元一次方程式 1-2 解二元一次聯立方程式 1-3 二元一次方程式應用問題
4
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
１－１ 二元一次方程式 基本觀念 1. 代數之二元一次式 若一個式子中，含有兩個未知數（二元），且未知數的次方都是一次，這樣的式子就 稱為二元一次式。 例 ■
x + y 、 2 x − 3 y + 4 、 5 − 6a + 7b + 8a − 9b
2. 二元一次式的化簡 同類項合併【★文字併文字，數字併數字】 (1) 橫式計算：進行二元一次式的運算，將相同的文字符號合併化簡，將數字部份合併 化簡。 例 ■
( 4 x − 5 y + 6) − ( x − 2 y + 3) = 4x − 5 y + 6 − x + 2 y − 3 = ( 4 x − x ) + ( −5 y + 2 y ) + (6 − 3) = 3 x + ( −3 y ) + 3 = 3x − 3 y + 3
(2) 直式計算：進行二元一次式的直式運算，需將相同的文字符號對齊再化簡。 例 ■
4 x −5 y + 6 − ) x −2 y + 3 3 x −3 y + 3
3. 二元一次式的值 二元一次式中的未知數，用指定的數字代入，經由運算後所得之數值，稱為此二元一 次式的值。 例 (1) 當 ■
x = 5 ， y = 4 時，
3x − 2 y + 1 = 3 × 5 − 2 × 4 + 1 = 15 − 8 + 1 = 8 例 (2) 當 ■
x = 3 ， y = − 2 時，
3x − 2 y + 1 = 3 × 3 − 2 × ( −2) + 1 = 9 − ( −4) + 1 = 9 + 4 + 1 = 14
1-1 二元一次方程式 4. 二元一次方程式 一個等式中，含有兩個未知數（二元），且未知數的最高次方都是一次，這樣的等式 就稱為二元一次方程式。 例 ■
2 x − 3 y = 4 、 5a = 6b + 7
5. 二元一次方程式的解 將任一組未知數（如：x、y）所代表的數代入二元一次方程式中，能使方程式的等號 成立，則這一組 x、y 值就是此二元一次方程式的解。 例 判斷 x = 4 ， y = 6 是否為 3 x − 2 y = 0 ■ 解 將 x = 4 ， y = 6 代入 □
的解？
左式 = 3 x − 2 y = 3 × 4 − 2 × 6 = 12 − 12 = 0 = 右式 ∴ x = 4 ， y = 6 是 3 x − 2 y = 0 的解 解的記法： x = 4 若 x = 4 ， y = 6 是 3 x − 2 y = 0 的解，則可用數對 (4, 6) 或 表示此方程式的一 y = 6 組解。 ★二元一次方程式有無限多組解。
5
6
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ 下列何者為二元一次式？ (1) x + y 2 + 1
(4) x 2 + 2 x + 1
(2) 2 x + y − 3
(5) 2 x + 2 = 1
(3) x − 2 y + z
(6) 5 − 4 y + 3z
題型２ (1) 小美的撲滿中有 10 元硬幣 x 個，50 元硬幣 y 個，則小美共有 _________ 元。 (2) 早餐店裡的三明治一個 x 元，奶茶一杯 y 元，小張買了 5 個三明治和 4 杯奶茶，共要 付 _________ 元。
1-1 二元一次方程式
題型３ (1) 阿香有 x 元，阿明有 y 元，若阿香用去自己一半的錢買零食，阿明用去自己
2 的錢 3
買玩具，兩人共剩下多少元？ (2) 承 (1)，若將兩人剩下的錢，拿出 100 元買樂透，那麼兩人共花了多少錢？
題型 4 (1) 若一碗綠豆湯 25 元，一杯奶茶 20 元，阿寶吃了 x 碗綠豆湯和 y 杯奶茶，共要付多少 錢？ (2) 承 (1)，若阿玉比阿寶多吃了 3 碗綠豆湯，少喝了 2 杯奶茶，那麼阿玉共要付多少錢？
7
8
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 化簡下列各式。 (1) 3x − 5 y − 4 x + 8 y (2) 10 x + 3 y − 8 x − 9 y (3) −6 x − 2 y − 7 + 3x − 5 y + 2 (4) −2 x + 5 y − 4 − 12 x − 7 y − 8
題型 6 化簡下列各式。 (1)
8x + 6 y + ) 2 x − 7 y
(3)
4 x − 10 y + 15 + ) 3x + 5 y − 9
(2)
2x − 5 y − ) − 3x + 12 y
(4)
−6 x − 11 y + 8 − ) − x + 3 y − 10
1-1 二元一次方程式
題型 7 化簡下列各式。 (1) −2( −3x − y ) 1 1 (2) 4( x − y ) 2 4 2 (3) − (6 x − 15 y + 3) 3 3 3 1 1 (4) − ( − x − y − ) 4 2 6 3
題型 8 化簡下列各式。 (1) 3( −3x − y ) + 5 (2) ( 2 x − 3 y + 7) − (3x − 2 y + 1) (3) −12 x + y − 10 + 5(3x − y + 2) (4) −4( x + 4 y + 3) − 2(3 y − 6 x − 5)
9
10
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9 化簡下列各式。 5x − 7 2 y − 1 − 2 2 2x + 5 y x − 4 y (2) − 3 6 3x − 7 y 3 y − 5 1 (3) − + 4 2 3 (1)
題型 10 設 A = x − y + 2 ， B = 2 x + y − 3 ， C = 3x − 4 y + 5 。化簡
1 1 1 A+ B − C = ？ 2 3 4
1-1 二元一次方程式
題型 11 A 4x+y D
如右圖，ABCD 為梯形，若線段 AD = (4 x + y ) 公分，線段 BC = (7 x + 5 y ) 公分，梯形的高為 8 公分，那麼梯形的面 積為多少平方公分？（以 x、y 列式並化簡）
8 B
7x+5y
C
題型 12 已知阿寶有 ( 2x + y ) 平方公尺的土地，其中的
1 1 要蓋房子，剩下的 要蓋游泳池，其餘 2 3
的要種花。請問種花的土地有多少平方公尺？（以 x、y 列式並化簡）
11
12
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 請在下列空格中，填入各算式所代表的數。 x y 二元一次式
−1
0
0.2
3 4
−2
1 2
1.4
−5
−2 x + 3 y 1 x − 2y 3
題型 14 依題意列出下列各題的二元一次方程式。 (1) 小明現年 x 歲，小明的叔叔現年 y 歲，已知叔叔對小明說：「三年前我的年齡是你三 年前年齡的 2 倍多 4 歲。」 (2) 己知甲以時速 x 公里，乙以時速 y 公里，以固定速率沿相同的路線前進，若乙先出發 1 小時後，甲才出發，再經過半小時，甲追上乙。
1-1 二元一次方程式
題型 15 判斷下列各組數值，哪些是二元一次方程式 4 x − 2 y = 1 的解？ (1) x = 1 y =1 (2) x = 3 y = 5
(3) x = 1 3 y = 2 (4) x = 0 1 y = − 2
題型 16 x = −2 ， y = −5 是下列哪些二元一次方程式的解？ (1) 2 x − 5 y = −21 (2)
1 1 x + y = −2 2 5
(3) 5 x − 2 y = 0 (4)
1 1 21 x− y =− 5 2 10
13
14
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 17 若 x、y 都是正整數，請以列表的形式表示 x + 3 y = 12 的所有解。
題型 18 (1) 若 x − 3 y = 67 ，求 −2 x + 6 y + 76 之值。 (2) 若
2 3 x + y = −4 ，求 44 x + 99 y + 111 之值。 3 2
1-2 解二元一次聯立方程式
１－２ 解二元一次聯立方程式 基本觀念 1. 二元一次聯立方程式 兩個並列在一起的二元一次方程式稱為二元一次聯立方程式或二元一次方程組。 例 ■
2 x − 3 y = 4 稱為二元一次聯立方程式 5 x + 6 y = 7
2. 二元一次聯立方程式的解 將 x、y 的值代入聯立方程式中，若能同時滿足這兩個二元一次方程式，則此 x、y 的值 就是二元一次聯立方程式的解。 例 判斷 ■ 解 將 □
3x + 2 y = 4 x = 2 ， y = −1 是否為二元一次聯立方程式 的解？ 4 x − y = 9
x = 2 ， y = −1 代入 3x + 2 y = 3 × 2 + 2 × ( −1) = 6 + ( −2) = 4 ⇒ 等號成立
⇒ x = 2 ， y = −1 是 3x + 2 y = 4 的解。 將 x = 2 ， y = −1 代入 4 x − y = 4 × 2 − ( −1) = 8 + 1 = 9 ⇒ 等號成立 ⇒ x = 2 ， y = −1 是 4 x − y = 9 的解。 x = 2 3x + 2 y = 4 ∴ 是二元一次聯立方程式 的一組解 y = −1 4 x − y = 9 3. 解二元一次聯立方程式─代入消去法 解二元一次聯立方程式的過程中，利用「取代」的方法先消去一個未知數，這種解聯 立方程式的方法就稱為代入消去法。 x = 3 y ①
例 解二元一次聯立方程式 ■ 2 x − y = 5
解 將①式 □
x = 3 y 代入②式
⇒ 2 × (3 y ) − y = 5 ⇒ 6y − y = 5 ⇒ 5y = 5 ⇒ y =1 將 y = 1 代入①式 ⇒ x = 3 ×1 = 3 ∴此聯立方程式的解為 x = 3 ， y = 1
②
15
16
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 4. 解二元一次聯立方程式─加減消去法 解二元一次聯立方程式的過程中，將兩個式子以「相加」或「相減」消去聯立方程式 的其中一個未知數，這種解聯立方程式的方法就稱為加減消去法。
3x + 2 y = 4 ①
例 解二元一次聯立方程式 ■ 5 x − 2 y = 12
解 由①式＋②式 □
②
⇒ (3x + 2 y ) + (5 x − 2 y ) = 4 + 12
⇒ 3x + 2 y + 5 x − 2 y = 16 ⇒ 8 x = 16 ⇒ x=2 將 x = 2 代入①式 ⇒ 3× 2 + 2 y = 4 ⇒ 6 + 2y = 4 ⇒ 2 y = 4 − 6 = −2 ⇒ y = −1 ∴此聯立方程式的解為 x = 2 ， y = −1 5. 二元一次聯立方程式─解的類型 二元一次聯立方程式
a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2
係數比
解的狀況
範例
a1 b1 ≠ a2 b2
一組解
3x − 2 y = 4 5 x − 4 y = 6
a1 b1 c1 = = a2 b2 c2
無限多組解
3x − 2 y = 4 6 x − 4 y = 8
a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2
無解
3x − 2 y = 4 6 x − 4 y = 5
1-2 解二元一次聯立方程式
精選題型 題型１ (1) 小明身上有 40 個硬幣，其中 5 元硬幣有 x 個，10 元硬幣有 y 個，則依據題意可列出 二元一次方程式為 _________。 (2) 如果這些硬幣總和是 300 元，則依據題意可列出二元一次方程式為 _________。 (3) 根據第 (1)、(2) 題，可列出符合題意的二元一次聯立方程式為 _________。
題型２ 下列哪一個二元一次聯立方程式的解是 x = −1 ， y = −4 ？ (1) 3x + 5 y = −23 x − y = −3
(3) 4 x + y = −8 x − 6 y = 23
(2) 1 x + y = −3 2 2 x − y = 2
(4) − x + y = 3 1 3x − 4 y = −2
17
18
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 2 x + 3 y = 5 下列各組數值中，哪一組數值是二元一次聯立方程式 的解？ 3 x − y = −9 (1) x = 2 ， y = −3
(3) x = −1 ， y = 2
(2) x = −2 ， y = 3
(4) x = 1 ， y = 1
題型 4 y = −2 解聯立方程式 x − 3y = 8
1-2 解二元一次聯立方程式
題型 5 x = −3 y 解聯立方程式 2 x − y = 49
題型 6 x + 3 y = 13 解聯立方程式 x = y +1
19
20
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 2 y = 4 x + 2 解聯立方程式 3x − y = 8
題型 8 x − 2y = 8 解聯立方程式 3x + 5 y = 13
1-2 解二元一次聯立方程式
題型 9 4 x + 3 y = 11 解聯立方程式 5 x − 3 y = 7
題型 10 2 x + 3 y = 21 解聯立方程式 2 x + 5 y = 11
21
22
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 3 x − 5 y = −2 解聯立方程式 7 x − 15 y = 2
題型 12 3x + 2 y = 10 解聯立方程式 2 x − 3 y = 11
1-2 解二元一次聯立方程式
題型 13 −2( 4 x − y ) = 5( 2 y − 7 x + 8) + 3 解聯立方程式 3x − 2( 4 y − 3) = 2( 4 x − 5 y ) − 3
題型 14
x y 3 + 4 = −2 解聯立方程式 x − y = −1 2 8
23
24
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 4 x − 3 y + 5 2 x − y + 12 = 2 3 解聯立方程式 x − 7 y = −3 x + 5 y − 1 5 2
題型 16 已知 3x − 2 y + 7 = x + 4 y − 7 = 5 x + 2 y + 1 ，求 x、y 之值。
1-2 解二元一次聯立方程式
題型 17 已知 ( x + y − 2 ) + x − y + 1 = 0 ，求 x、y 之值。 2
題型 18 ax − by = −10 3x + y = 6 若 與 有相同的解，求 a、b 之值。 ax + by = 14 11x − 3 y = 2
25
26
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 19 201x − 99 y = 102 解聯立方程式 101x − 199 y = −98
題型 20 觀察下列各二元一次聯立方程式，並以代號回答下列問題。 (A) x + 2 y = 3 2 x + 4 y = 6
(D) 0.1x + 0.2 y = 0.3 −1.1x − 2.2 y = −3.3
(B) x + 2 y = 3 −3 x − 6 y = 9
(E) y = 2 x + 3 x = 2y − 3
(C) x + 2 y = 3 2 x + y = 0
(F) 1 −2 y + 3 x= 2 2 −3x + 4 y − 5 = 2( y − 2 x + 1)
(1) 恰有一解的是：_________。 (2) 有無限多組解的是：_________。 (3) 無解的是：_________。
1-3 二元一次方程式應用問題
１－３ 二元一次方程式應用問題 基本觀念 1. 解二元一次聯立方程式之應用問題 以二元一次聯立方程式解應用問題的步驟： (1) 設未知數：依題意選定兩個適當的未知數，習慣以 x 與 y 表示。 (2) 列方程式：依題意列出二元一次聯立方程式。 (3) 解方程式：利用代入消去法或加減消去法求得未知數的值。 (4) 驗算：檢驗所求的未知數之值是否符合題意。 (5) 寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。 例 有 5 元和 10 元的硬幣共 20 個，總金額為 140 元，請問兩種硬幣各有幾個？ ■ 解 設 5 元硬幣有 x 個、10 元硬幣有 y 個 □ x + y = 20 依題意列式： 5 x + 10 y = 140
x + y = 20 ① ⇒ x + 2 y = 28 ② ②－① ⇒ y = 8 將 y = 8 代入①式得 ⇒ x + 8 = 20 ⇒ x = 12 答：5 元硬幣有 12 個、10 元硬幣有 8 個
27
28
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 2. 二元一次聯立方程式應用問題之合理性 解二元一次聯立方程式的應用問題時，除了驗算計算過程外，也要檢驗所求得未知數 的值是否符合題意與是否合乎常理。 例 有兩個整數，大數是小數的 3 倍，兩數差為 5，請問兩數各是多少？ ■ 解 設大數為 x、小數為 y □
x = 3 y ① 依題意列式： x − y = 5 ②
將①式代入②式得 ⇒ 3 y − y = 5 ⇒ 2y = 5 ⇒ y=
5 2
5 5 15 代入①式得 ⇒ x = 3 × = 2 2 2 15 5 ∵ x= 與 y = 與題意兩數為整數不符 2 2 將 y=
∴無解 答：無解
1-3 二元一次方程式應用問題
精選題型 題型１ 大文買 2 瓶汽水和 5 枝冰棒，共付 270 元；小寶買 4 瓶汽水和 8 枝冰棒，共付 480 元，則 汽水每瓶多少元？冰棒每枝多少元？
題型２ 電影院全票每張 280 元，優待票每張 220 元，小富全家 7 人去看電影共花了 2190 元，其 中有 350 元買了汽水和爆米花，則小富全家 7 人中買了幾張全票、幾張優待票？
29
30
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 老師將原子筆分給小朋友，若每位 8 枝，則剩下 4 枝；若每位 9 枝，則不足 3 枝，請問原 子筆有幾枝？小朋友有多少人？
題型 4 全華書局購入物品 A 和物品 B，成本共 10000 元，其中物品 A 照成本加三成後打八折出售； 物品 B 照成本減二成後打八折出售，合計賠了 2000 元，試求物品 A 和物品 B 的成本各為 多少？
1-3 二元一次方程式應用問題
題型 5 有一個二位數，它的個位數字的 2 倍比十位數字的 5 倍多 1；若把它的個位數字與十位數 字對調後，所得的新數比原數的 2 倍多 7，試求原數是多少？
題型 6 兩年前父親年齡是兒子年齡的 4 倍，三年後父親年齡是兒子年齡的 3 倍還多 1 歲，請問今 年父親、兒子各為多少歲？
31
32
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 大華、二華、三華三人共有 3000 元，若大華給二華 100 元且三華用掉原有錢的
1 後，三 4
個人的錢數會相等，則三人原來各有多少錢？
題型 8 已知甲騎腳踏車，乙用步行，以固定速率沿相同路線從 A 地到 B 地。若乙先走 6 公里， 甲才出發，經過 1 小時之後，兩人同時到達 B 地；若乙先走 1 小時後，甲才出發，再經 過半小時，甲追上乙，求 A、B 兩地的距離為多少公里？
1-3 二元一次方程式應用問題
題型 9 實驗室裡有兩種食鹽水，其中甲食鹽水的濃度是 30%，乙食鹽水的濃度是 70%，現在需 要調配出濃度 46% 的食鹽水 50 公克，應各取多少來調配？
題型 10 ax + y = 5 ① 甲、乙兩生同解聯立方程式 2 x − by = 13 ②
甲生將①式中的 a 看錯，得其解為 x =
7 ， y = −2 ；乙生將②式中的 b 看錯，得其解為 2
x = 3 ， y = −7 ；若此外並無其他計算上的錯誤，試求出原聯立方程式的正確解答。
33
34
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 在沙漠中有若干人，騎若干頭駱駝，預備旅行 40 公里，但駱駝比人少，為求公平大家輪 流騎駱駝，每人可騎 30 公里。若增加 4 人、駱駝又減少 3 頭，則每人只能騎 20 公里，問 原有幾個人和幾頭駱駝？
題型 12 有一個二位數，它的十位數字比個位數字多 3，而個位數字的 4 倍比十位數字的 2 倍還少 1，求此二位數。
2 直角坐標與二元一次方程式的圖形 2-1 直角坐標平面 2-2 二元一次方程式的圖形
36
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
２－１ 直角坐標平面 基本觀念 1. 直角坐標系 在平面上由兩條互相垂直且原點重合的數線所構成的平面，稱為直角坐標平面。 y
(1) x 軸：水平的數線稱為 x 軸或橫軸，以向右方向為正向。 (2) y 軸：垂直的數線稱為 y 軸或縱軸，以向上方向為正向。 (3) 原點：x 軸與 y 軸的交點，稱為此直角坐標平面的原點，
1
通常以英文字母 O 來表示，可記為 O(0,0)。
O
x
1
2. 坐標平面上的點 若數對 ( m, n ) 表示坐標平面上 P 點的位置，我們就稱 P 點的坐標為 ( m, n ) ，並記為 P( m, n ) 。其中： (1) 第一個數 m 稱為 P 點的 x 坐標（橫坐標），第二個數 n 稱為 P 點的 y 坐標（縱坐標）。 (2) P 點到 x 軸的距離為 n ，P 點到 y 軸的距離為 m 。 (3) x 軸上的點坐標形式為 ( a, 0) ，y 軸上的點坐標形式為 (0, b) ，原點的坐標為 (0, 0) 。 3. 象限 x 軸與 y 軸將直角坐標平面分成四個區域，
y
我們把四個區域都稱為象限。如右圖，依 逆時針方向分為： 第一象限 ：x 坐標為正， y 坐標為正。 第二象限 ：x 坐標為負， y 坐標為正。
䫔Ḵ尉旸
䫔ᶨ尉旸
ɛ
ɚ
ĩ炼ĭ為Ī
ĩ為ĭ為Ī
第三象限 ：x 坐標為負， y 坐標為負。
x
O
第四象限 ：x 坐標為正， y 坐標為負。
䫔ᶱ尉旸
䫔⚃尉旸
★ x 軸與 y 軸上的點不屬於任何象限。
ɜ
ɝ
ĩ炼ĭ炼Ī
ĩ為ĭ炼Ī
2-1 直角坐標平面
例 ■
y 5 B(0, 4) 4
R(3, 4)
3 2
−5
−4
C( −3, 0) −3 −2 −1
1 O
1
2
A(3, 0) x 3 4 5
−1 −2 S( −3, −4)
−3 −4
D(0, −4)
−5 x 坐標 y 坐標 （橫坐標） （縱坐標）
點
行進方向
位置
記號
坐標軸 或象限
A
從原點 O 出發，沿 x 軸的正向走 3 個單位， 到達 A 點
(3, 0)
A(3, 0)
x軸
3
0
B
從原點 O 出發，沿 y 軸的正向走 4 個單位， 到達 B 點
(0, 4)
B(0, 4)
y軸
0
4
R
從原點 O 出發，沿 x 軸的正向走 3 個單位， 再朝 y 軸的正向走 4 個單位，到達 R 點
(3, 4)
R(3, 4)
第一象限
3
4
從原點 O 出發，沿 x C 軸的負向走 3 個單位， ( −3, 0) 到達 C 點
C( −3, 0)
x軸
−3
0
從原點 O 出發，沿 y D 軸的負向走 4 個單位， (0, −4) 到達 D 點
D(0, −4)
y軸
0
−4
−3
−4
S
從原點 O 出發，沿 x 軸的負向走 3 個單位， ( −3, −4) S( −3, −4) 第三象限 再朝 y 軸的負向走 4 個單位，到達 S 點
37
38
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ 在下面方格紙上，畫一直角坐標平面，並描繪出下列個點。 1 5 1 A( 2, 5) 、 B( −3, 4) 、 C( 4, −1) 、 D(0, 5) 、 E( −4 , 0) 、 F( −1, − ) 、 G( , −4) 、 2 2 2 H ( −6, 6) 、 I (6, −6)
題型２
y
寫出直角坐標平面上 A、B、C、D、E、F、G 七點的坐標。
A B
1
D
O
1
F
C G
E
x
2-1 直角坐標平面
題型３ 已知 A( 4, 3) 、 B( −2, 3) 、 C( −2, −1) 、 D( 4, −1) 在同一個坐標平面上，試求 AB 、 BC 、 CD 和 DA 。
題型 4 直角坐標平面上，若 P 點向上移動 3 個單位長到達 x 軸上，再向左移動 2 個單位長到達 原點，則 P 點坐標為何？
39
40
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 若 P( −4, 3) 為直角坐標平面上的一點，請問： (1) 過 P 點作 x 軸的垂線交 x 軸於 A 點，則 A 點坐標為何？ (2) 過 P 點作 y 軸的垂線交 y 軸於 B 點，則 B 點坐標為何？
題型 6
y B
右圖是以原點 O 為圓心，畫出一個半徑為 4 單位的圓，此圓 與兩軸交於 A、B、C、D 四點，請寫出這四點的坐標。 C
Ax
O
D
41
2-1 直角坐標平面
題型 7 如右圖，四邊形 ABCD 為一個長方形，B 點坐標為 ( −1, −3) ，
y
A
D(2, 3)
D 點坐標為 ( 2, 3) ，則 A 點的 x 坐標為何？ C 點的 y 坐標為何？ x
O
C
B ( −1, −3)
題型 8
y
如右圖，在直角坐標平面上有 A、B、C 三點，且三角形 ABC
A (5, 6)
為直角三角形，面積為 12 平方單位，則 B、C 兩點的坐標為 何？ O C
B
x
42
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9
y
如右圖，已知 A( 2, 4) 、 B( −4,1) 、 C(−1, −2) ，求三角形 ABC 面積。
A(2, 4)
B ( −4, 1) O C ( −1, −2)
題型 10 若 P( 2a − 6, 3a + 6) 為直角坐標平面上的一點，請問： (1) 若 P 點在 x 軸上，那麼 P 點的坐標為何？ (2) 若 P 點在 y 軸上，那麼 P 點的坐標為何？
x
2-1 直角坐標平面
題型 11 如果 A( a, b) 在直角坐標平面上的第四象限內，且 A 點到 x 軸的距離為 5，到 y 軸的距離 為 8，則 a = ？ b = ？
題型 12 下列各點的位置會在哪一個象限內或在哪一個坐標軸上？請將答案填入空格內。 坐標
( a, −3)
象限或座標軸
y軸
坐標
( −3, a )
象限或座標軸
( a + 3, 3)
( a − 3, 3)
(3, a − 3)
( −3, a − 3)
43
44
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 設 a、b 為整數，且 a < 0 ， b < 0 ，則： (1) ( a, b) 在第幾象限？ (2) (b, a ) 在第幾象限？ (3) ( −a, b) 在第幾象限？ (4) ( −b, −a ) 在第幾象限？
題型 14 如果 ( m, n ) 在第二象限，則： (1) ( m − n, n − m ) 在第幾象限？ (2) ( m 2 , m × n ) 在第幾象限？
2-1 直角坐標平面
題型 15 若 A( x + 3, y − 2) 在第一象限，則 B( x + 5, y + 1) 在第幾象限？
題型 16 若 P( x, y ) 在直角坐標平面上，且 ( x − y + 3)2 + 2 x + 3 y + 1 = 0 ，求 x、y 之值，又 P 點位 於第幾象限？
45
46
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 17 在直角坐標平面上，將 P( a, b) 向右移動 2 個單位，再向下移動 5 個單位，到達 Q( 2, −9) ，則 P 點坐標為何？
題型 18 A( a + b, −2) 、 B( −1, 2a − b) 為直角坐標平面上的兩點，若 B 點向下移動 9 個單位，向右 移動 3 個單位，則 A、B 兩點重合，試求出 a = ？ b = ？
47
2-2 二元一次方程式的圖形
２－２ 二元一次方程式的圖形 基本觀念 1. 二元一次方程式的解與圖形 一個含有 x、y 兩個未知數的二元一次方程式，若有一組 x、y 的值代入方程式中，能使 等號成立，則這組 x、y 即為二元一次方程式的解。 ★常用數對 ( x, y ) 的形式來表示二元一次方程式的解。 ★一個二元一次方程式有無限多組解。 y
將二元一次方程式所有的解，畫在直角坐標平面上，
(2, 5)
所形成的圖形就稱為此二元一次方程式的圖形。
(1, 3)
★每個二元一次方程式的圖形都是一條直線。 例 ■
1 (0, 1)
y = 2 x + 1 的解：
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−5
−3
−1
1
3
5
…
( −1, −1)
O
x
1
( −2, −3)
將這些解畫在坐標平面上可發現其圖形為一條直線。 ( −3, −5) 2. 二元一次方程式的圖形畫法 因為不同的兩點可決定一條直線，所以常按下列步驟畫出二元一次方程式的圖形： 步驟一：求出方程式的兩組解。通常找 x 坐標為 0 和 y 坐標為 0 的兩組解。 步驟二：在直角坐標平面上，描出這兩組解的對應點。 步驟三：過此兩點作一直線，此直線就是方程式的圖形。 例 在直角坐標平面上畫出方程式 2 x − 3 y = 6 ■ 解 (1) 找出 2 x − 3 y = 6 的兩組解，如： □ x
3
0
y
0
−2
的圖形。 y
1
(2) 在直角坐標平面上描出點 (3, 0) 和 (0, −2) 。
O
(3) 畫出通過點 (3, 0) 和 (0, −2) 的直線，則此直 線就是方程式 2 x − 3 y = 6 的圖形。
2x − 3y = 6
1 (0, −2)
(3, 0)
x
48
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 3. 直線方程式的類型 斜直線： 圖形類型
方程式
係數條件
圖形範例 y
a>0 ， b>0 圖形為左下右上的斜直線， 與 y 軸交點在原點上方。
1 O 1
x
y a>0 ， b=0 圖形為左下右上的斜直線， 與 y 軸交點通過原點。
1 O 1
x
y a>0 ， b<0 圖形為左下右上的斜直線， 與 y 軸交點在原點下方。 斜直線
y = ax + b ( a ≠ 0)
1 O 1
x
y a<0 ， b>0 圖形為左上右下的斜直線， 與 y 軸交點在原點上方。
1 O 1
x
y a<0 ， b=0 圖形為左上右下的斜直線， 與 y 軸交點通過原點。
1 1 O
x
y a<0 ， b<0 圖形為左上右下的斜直線， 與 y 軸交點在原點下方。
1 O 1
x
2-2 二元一次方程式的圖形 平行 x 軸的直線： 圖形類型
方程式
係數條件
圖形範例 y
b>0 圖形為平行 x 軸的直線， 與 y 軸交點在原點上方。
1 O 1
x
y 平行 x 軸
y=b
b=0 圖形為 x 軸
1 O 1
x
y b<0 圖形為平行 x 軸的直線， 與 y 軸交點在原點下方。
1 O 1
x
平行 y 軸的直線： 圖形類型
方程式
係數條件
圖形範例 y
k >0 圖形為平行 y 軸的直線， 與 x 軸交點在原點右方。
1 O 1
x
y 平行 y 軸
x=k
k =0 圖形為 y 軸
1 O 1
x
y k<0 圖形為平行 y 軸的直線， 與 x 軸交點在原點左方。
1 O 1
x
49
50
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 4. 已知直線上兩點求直線方程式 已知一直線方程式的圖形通過 ( p, q ) 、 ( r, s ) 兩點，求此直線方程式。 步驟一：設直線方程式為 y = ax + b 。 q = ap + b 步驟二：將 ( p, q ) 、 ( r, s ) 代入 y = ax + b ，得 ，解聯立方程式求出 a、b。 s = ar + b 步驟三：將求得 a、b 的值代回 y = ax + b ，即得通過 ( p, q ) 、 ( r, s ) 兩點的直線方程式。 例 ■ 解 □
已知一直線方程式的圖形通過 (3,1) 、 ( 2, −1) 兩點，求此直線方程式。 設直線方程式為 y = ax + b 1 = 3a + b 將 (3,1) 、 ( 2, −1) 代入 y = ax + b ⇒ −1 = 2 a + b 解聯立方程式 ⇒ a = 2 ， b = −5 ∴所求直線方程式為 y = 2 x − 5
5. 已知平行 x 軸的直線上一點求直線方程式 已知一平行 x 軸的直線方程式圖形通過 ( m, n ) ，求此直線方程式。 步驟一：設直線方程式為 y = b 。 步驟二：將 ( m, n ) 代入 y = b ，求出 b。 步驟三：將求得 b 的值代回 y = b ，即得通過點 ( m, n ) 且平行 x 軸的直線方程式。 例 ■ 解 □
已知一平行 x 軸的直線方程式圖形通過 (3, 2) ，求此直線方程式。 設直線方程式為 y = b 將 (3, 2) 代入 y = b ⇒ b = 2 ∴所求直線方程式為 y = 2
6. 已知平行 y 軸的直線上一點求直線方程式 已知一平行 y 軸的直線方程式圖形通過 (t , u ) ，求此直線方程式。 步驟一：設直線方程式為 x = k 。 步驟二：將 (t , u ) 代入 x = k ，求出 k。 步驟三：將求得 k 的值代回 x = k ，即得通過點 (t , u ) 且平行 y 軸的直線方程式。 例 ■ 解 □
已知一平行 y 軸的直線方程式圖形通過 ( 4, 5) ，求此直線方程式。 設直線方程式為 x = k 將 ( 4, 5) 代入 x = k ⇒ k = 4 ∴所求直線方程式為 x = 4 解
51
2-2 二元一次方程式的圖形 7. 二元一次聯立方程式的幾何意義 二元一次聯立方程式在直角坐標平面上的圖形為兩條直線。 兩直線相交於一點： 在坐標平面上，若兩條直線相交於一點，則此點坐標即為二元一次聯立方程式的解。 反之，二元一次聯立方程式恰有一組解，這組解所代表的點就是這兩個二元一次方程 式在直角坐標平面上，兩直線的交點坐標。 x + y = 2 在直角坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 的圖形，並標示它們的 x − 2 y = −1 交點坐標。 y 解 畫出方程式 x + y = 2 的圖形。 □ x+ y =2 例 ■
x
2
0
y
0
2
(0, 2) 1 (0, ) 1 (1, 1) 2 (2, 0) O 1 ( −1, 0)
畫出方程式 x − 2 y = −1 的圖形。 x
−1
0
y
0
1 2
x
x − 2 y = −1
x + y = 2 兩直線相交於 (1,1) ，所以 x = 1 ， y = 1 即為此聯立方程式 的解。 x − 2 y = −1 兩直線重合： 在坐標平面上，若兩條直線重合，則這兩個二元一次方程式聯立後的解有無限多組。 反之，若二元一次聯立方程式有無限多組解，則兩直線重合。 例 ■
x + y = 2 在直角坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 的圖形。 2 x + 2 y = 4
解 □
畫出方程式 x + y = 2 的圖形。 x
2
0
y
0
2
y x+ y =2
畫出方程式 2 x + 2 y = 4 的圖形。 x
2
0
y
0
2
x + y = 2 兩直線重合，所以此聯立方程式 有無限多組解。解 2 x + 2 y = 4
(0, 2) 1 O
1
(2, 0)
2x + 2 y = 4
x
52
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 兩直線平行： 在坐標平面上，若兩條直線平行，則這兩個二元一次方程式聯立後無解。反之，若二 元一次聯立方程式無解，則兩直線沒有交點（平行）。 x + y = 2 在直角坐標平面上畫出二元一次聯立方程式 的圖形。 2 x + 2 y = 6 y 解 畫出方程式 x + y = 2 的圖形。 □ x+ y =2 x 2 0 (0, 3) y 0 2 2x + 2 y = 6 (0, 2)
例 ■
1
畫出方程式 2 x + 2 y = 6 的圖形。 x
3
0
y
0
3
(3, 0) 1 x O (2, 0)
x + y = 2 兩直線平行，所以此聯立方程式 無解。 2 x + 2 y = 6 a1 x + b1 y = c1 ★設二元一次聯立方程式為 ，其解與圖形的關係： a2 x + b2 y = c2 圖形類型
判別式
圖形
幾何意義
y
恰有一組解
a1 b1 ≠ a2 b2
1 O 1
x
兩直線相交於一點
x
兩直線重疊
x
兩直線平行
y
無限多組解
a1 b1 c1 = = a2 b2 c2
1 O 1
y
無解
a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2
1 O 1
2-2 二元一次方程式的圖形
精選題型 題型１ 判斷下列哪些數對是方程式 2 x + 3 y = 12 的解？ 1 11 (3, 2) 、 ( −2, −3) 、 (0, 4) 、 ( −6, 8) 、 ( − , ) 、 (6, 0) 2 3
題型２ (1) 如果點 (5a − 3, 4 − 3a ) 在方程式 2 x − 7 y = 4 的圖形上，則 a = _________。 (2) 如果方程式 2 x − 3 y = b 的圖形通過 (1, −3) ，則 b = _________。
53
54
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ (1) 完成下表，使表中的每一數對均為 x + 2 y = 6 的解。 x y
0
1 0
2 1
4
(2) 承 (1)，在下面的方格紙上，畫一直角坐標平面，並描出上表中的各點。 (3) 承 (2)，畫一條直線，通過 (2) 中所描出的點。
題型 4 求出二元一次方程式 2 x + 3 y − 6 = 0 的兩組解，再畫出此方程式的圖形。
2-2 二元一次方程式的圖形
題型 5 在下面的方格紙上，畫一直角坐標平面，並畫出下列各方程式的圖形。
(1) y = −3
(2) x = 3
題型 6 (1) 在下面的方格紙上，畫一直角坐標平面，並畫出方程式 (2) 承 (1)，直線
x y + = 1 的圖形不通過第幾象限？ 4 6
x y + = 1 的圖形。 4 6
55
56
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 (1) 在下面的方格紙上，畫一直角坐標平面，並畫出通過 ( −4, 3) 且與 y 軸垂直的直線。 (2) 承 (1)，此直線的方程式為何？
題型 8 二元一次方程式 4 x − 5 y = 20 的圖形與 x 軸交於 A 點，與 y 軸交於 B 點，則： (1) 求 A、B 兩點的坐標。 (2) 若此直線與 x 軸、y 軸圍成一個三角形，則此三角形的面積為何？
2-2 二元一次方程式的圖形
題型 9 求通過 ( 2, −1) 、 ( −3, 5) 兩點的直線方程式。
題型 10 觀察下列各方程式，並回答下列問題。 (A) y = 2 x + 1
(D) 2 x + 3 y = 6
(B) 3 y = 4 x
(E)
(C) 2 x = 5 (1) 上面哪些方程式的圖形會平行 x 軸？ (2) 上面哪些方程式的圖形會平行 y 軸？ (3) 上面哪些方程式的圖形會通過原點？
1 y=7 2 1 (F) y = − x 2
57
58
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 x + y = 1 在坐標平面上畫出聯立方程式 的圖形，並標示其交點的坐標。 x − y = 3
題型 12 在直角坐標平面上， x − y = 0 與 3x − y = 6 兩直線和 x 軸圍成一個三角形，則此三角形 的面積是多少？
2-2 二元一次方程式的圖形
題型 13 判斷下列各二元一次聯立方程式的圖形是哪一種情形？ (A) 3x + 5 y = 10 5 x + 3 y = 10
(D) x = 7 y = −7
(B) 2 x − 3 y = 5 4 x + 6 y = 10
(E) y = 7 x + 6 14 x − 2 y = 12
(C) x − 4 y = 3 2 x − 8 y = 6
(F) 1 − x + 3 y = 0 2 x = 6 y
(1) 哪些是兩相異直線相交於一點？ (2) 哪些是兩平行直線？ (3) 哪些是重合的直線？
題型 14 3x + ay = −6 若二元一次聯立方程式的圖形 為重合的兩直線，求 a、b 的值。 bx − 6 y = 18
59
60
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 −3x + ky = 1 若二元一次聯立方程式的圖形 為平行的兩直線，求 k 的值。 −2 x + ( k + 1) y = −1
題型 16 在一直角坐標平面上，已知 A(1,1) 、 B(3, 5) 、 C ( 2, 4k − 1) 三點都在同一條直線，則 k= ？
2-2 二元一次方程式的圖形
題型 17 在直角坐標平面上，若 ax − y = 3 與 3x + ay = −6 兩直線的交點在 x 軸，求 a = ？
題型 18 在直角坐標平面上，有一條直線平行 x 軸，且通過方程式 3x − 2 y = −5 與 2 x + y = −1 的 交點，求此直線方程式。
61
3 比與比例式 3-1 比例式 3-2 連比例 3-3 正比與反比
3-1 比例式
３－１ 比例式 基本觀念 1. 比與比值 比： 兩個數 a 與 b 的比，記為 a : b ，讀作 a 比 b，其中 a 稱為比的前項，b 稱為比的後項。 比值： a : b 的比值為 a ÷ b =
a (b ≠ 0) 。 b
3 化為比值，並化為最簡分數。 4 3 3 3 11 3 4 6 解 1.5 : 2 = 1.5 ÷ 2 = ÷ = × = □ 4 4 2 4 2 11 11 例 將 1.5 : 2 ■
2. 同類量與不同類量之比與比值 同類量： 欲求兩個同類量的比或比值，應先將它們化為同單位量後再求比或比值，且同類量的 比與比值是沒有單位的，代表兩個同類量之間的倍數關係。 例 ■
3公斤 : 5公斤Ă 1公尺 : 2公里Ă
3 公斤 5 公斤
=
3 = 3:5 5
1 公尺 1 1公尺 = = 1: 2000 = 2公里 2000 公尺 2000
不同類量： 兩個不同類量是不能直接比較大小的，也不能相比，但可利用比或比值的形式來表示 兩個不同類量之間的比例關係。 例 一輛汽車 3 小時走 330 公里，請問 1 小時走幾公里？ ■ ∵ 330公里 : 3小時Ă
330公里 110公里 = = 110公里 :1小時 3小時 1小時
∴ 1 小時走了 110 公里
63
64
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 3. 比的相等與比的運算性質 兩個比相等： 當 a : b (b ≠ 0) 與 c : d (d ≠ 0) 兩個比相等時，其比值
a c 與 也會相等，記為 b d
a :b = c:d 。
例 ■
∵ 1 : 2 的比值為
1 3 1 ， 3 : 6 的比值為 = 2 6 2
∴ 1: 2 = 3 : 6 比的運算性質： 若 b ≠ 0 ， m ≠ 0 ，則： (1) a : b = ( a × m ) : (b × m ) (2) a : b = ( a ÷ m ) : (b ÷ m ) 例 ■
2 : 4 = ( 2 × 2) : ( 4 × 2) = 4 : 8 2 : 4 = ( 2 ÷ 2) : ( 4 ÷ 2) = 1 : 2
4. 最簡整數比 當 a、b (b ≠ 0) 都是整數，且這兩數的最大公因數是 1 時，比值 稱 a : b 為最簡整數比。 例 ■
1 −7 ， (−7) : 11 = 2 11 1 −7 ∵ 和 都是最簡分數 2 11 1: 2 =
∴ 1 : 2 和 (−7) : 11 為最簡整數比 例 ■
3 1 −4 1 = = ， (−4) : (−8) = 6 2 −8 2 3 −4 ∵ 和 不是最簡分數 6 −8 3 : 6=
∴ 3 : 6 和 (−4) : (−8) 不是最簡整數比
a 為最簡分數，我們 b
3-1 比例式 5. 比、比值與倍數 已知甲、乙為兩個任意數，且甲數≠ 0，乙數≠ 0，則： (1) 若 甲數ÿ乙數＝a : b ，則甲數是乙數的
a 倍。 b
例 ■
若 甲數ÿ乙數 = 2 : 3 ，則甲數是乙數的幾倍？
解 □
甲數ÿ乙數 = 2 : 3 ⇒
2 甲數 2 = ⇒ 甲數 = 乙數 × 3 乙數 3
2 倍 3 a (2) 若甲數是乙數的 倍，則 甲數ÿ乙數＝a : b 。 b ∴甲數是乙數的
例 ■
若甲數是乙數的 5 倍，則 甲數ÿ乙數 = ？
解 □
甲數 = 乙數 × 5 ⇒
甲數 甲數 5 =5⇒ = ⇒ 甲數ÿ乙數 = 5 :1 乙數 乙數 1
∴ 甲數ÿ乙數 = 5 :1 (3) 若丙數＝甲數＋乙數，且 甲數ÿ乙數＝a : b ，則甲數是丙數的 數的
a 倍，乙數是丙 a+b
b 倍。 a+b
例 ■
若班上男生人數和女生人數比為 2 : 3 ，求男生、女生分別是全班人數的幾倍？
解 □
班上男生人數和女生人數比為 2 : 3 ，則男生人數是全班人數的 人數是全班人數的
2 2 = 倍，女生 2+3 5
3 3 = 倍。 2+3 5
6. 比例式 若 a : b (b ≠ 0) 與 c : d (d ≠ 0) 的比值相等，即
a c = ，則 a : b 和 c : d 相等，寫為 b d
a : b = c : d ，這種等式通常稱為比例式。其中 b 和 c 稱為這個比例式的內項，a 和 d 稱
為這個比例式的外項。 ★比例式內項乘積等於外項乘積： a : b = c : d ⇒ ad = bc(b ≠ 0, d ≠ 0) 說明 若 a : b = c : d (b ≠ 0, d ≠ 0) ，則
得
a c = ，等號兩邊同乘以 bd， b d
a c × b d = × b d ，故 ad = bc 。 b d
例 ■
求比例式 3 : 4 = 5 : x 中 x 的值。
解 □
由 3 : 4 = 5 : x ，得 3x = 5 × 4 ，即 3x = 20 ∴ x =
20 3
65
66
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 7. 比例式的性質─恆等關係 設 a、b、c、d 為任意四個不為零的數，若 ad = bc 成立，則： (1) a : b = c : d
(2) a : c = b : d
說明
說明
1 ， bd 1 1 a c = bc × 得 ad × ，故 = ， bd bd b d
1 ， cd 1 1 a b =bc × 得 ad × ，故 = ， cd cd c d
若 ad = bc ，等號兩邊同乘以
若 ad = bc ，等號兩邊同乘以
∴ a :b = c:d
∴ a:c = b:d
例 ■
設 x、y 均不為 0 (1) 3x = 2 y ，求 x : y (2) 2 x : 5 y = 3 : 7 ，求 x : y (3) x : 4 = y : 6 ，求 x : y
解 □
(1) 3x = 2 y ⇒ x : y = 2 : 3 (2) 2 x : 5 y = 3 : 7 ⇒ 14 x = 15 y ⇒ x : y = 15 : 14 (3) x : 4 = y : 6 ⇒ x : y = 4 : 6 = 2 : 3
8. 比例式的性質─倍數關係 設 a、b、c、d 為任意四個不為零的數，且 a : b = c : d ，則： 存在一個數 k (k ≠ 0) ，使得 a = ck ， b = dk 。 說明 若 a : b = c : d ，由比例式的恆等關係得 a : c = b : d ，即
a c = k a = ck a b 設 ⇒ = = k ( k ≠ 0) ⇒ c d b = dk b = k d 例 ■
設 x : y = 2 : 3 ，求 (1) 4 x : 5 y (2) ( x + y ) : y (3) x 2 : y 2
解 □
x : y = 2 : 3 ，設 x = 2k ， y = 3k ( k ≠ 0) = ( 2k ) : 5(3k ) 8k : 15k = 8 : 15 (1) 4 x : 5 y 4= (2) ( x + y ) : y = ( 2k + 3k ) : 3k = 5k : 3k = 5 : 3 (3) x 2 : y 2 (= = 2k )2 : (3k )2 4k 2 : 9k 2 = 4 : 9
a b = ， c d
3-1 比例式
精選題型 題型１ 求出下列各比的比值，並化為最簡分數。 (1) 0.5 : (2)
5 = ？ 2
1 1 : = ？ 2 3
題型２ 求下列各比的比值，並化為最簡分數。 (1) 4℔⯢ 20℔↮ :1℔⯢80℔↮ 。 (2) 6℔㕌 : 6⎘㕌 。（ 1台斤=0.6公斤 ）
67
68
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 嘉雄國中全校學生人數共有 1170 人，其中「男生人數：女生人數」的比值為
6 ，則女生 7
人數是男生人數的幾倍？
題型 4 棒球比賽中，選手的安打數和出場的總打擊數的比值，用百分率表示稱為「打擊率」。某 選手最近上場 75 次中，共揮出 18 支安打，請問： (1) 該選手的打擊率為多少？ (2) 球季結束前，該選手還可上場打擊 25 次，若要達到三成（或 30％）的打擊率，必須 最少要再擊出幾支安打？
3-1 比例式
題型 5 將下列各比化為最簡整數比： (1) 3.5:0.15 (2) 65:78
1 1 (3) 3 :2 3 2
題型 6 若甲數的 2 倍是乙數的 3 倍時，則甲數：乙數＝？乙數：甲數＝？
69
70
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 求下列各比例式中的 x 值。 (1) 6 : 10 = 5 : x (2) 7 : x = 12 : 15
題型 8 求下列各比例式中的 x 值。 (1)
1 ( x − 3) : 6 = (1 − x ) : ( −4) 2
(2) ( x − 1) : [ −2( x + 1)] = 5 : ( −3)
3-1 比例式
題型 9 設 x : y = 3 : 8 ，試求下列各比。 (1) 3x : 2 y = ？ (2) ( x + y ) : ( x − y ) = ？
題型 10 若 2 x : 3 y = 8 : 9 ，求 x 和 y 的比。
71
72
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 設 x、y 皆不為 0，若 4 x − 3 y = x + 2 y ，則： (1) 3x : 5 y = ？ (2) (9 x − 15 y ) : ( 2 x + y ) 的比值為何？
題型 12 設 ( 2 x + 5 y ) : 6 = ( 4 y + x ) : 5 ，且 4 x − y = 56 ，則
x − 3y 之值為何？ x+3
3-1 比例式
題型 13 阿得買了鞋子和包包共計 3600 元，其中鞋子的價錢是包包價錢的
5 倍，則： 3
(1) 「包包的價錢：鞋子的價錢」是多少？ (2) 鞋子比包包貴多少錢？
題型 14 籃子裡有橘子和柳丁兩種水果共 144 個，其中橘子個數的 4 倍等於柳丁個數的 5 倍，則橘 子和柳丁各有多少個？
73
74
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 父子兩人現年的年齡比為 9：4，六年後父子年齡比為 2：1，請問父子現年各是多少歲？
題型 16 在 40 公克的水中，加入食鹽 10 公克，則： (1) 溶解後的食鹽水溶液共有多少公克？ (2) 食鹽重量是食鹽水溶液重量的幾倍？ (3) 食鹽水溶液的濃度是多少？ (4) 相同濃度的食鹽水 100 公克，含有多少食鹽？
3-1 比例式
題型 17 甲、乙兩班數學及格與不及格人數的比分別為 2：3 和 4：5，今兩班的學生若混合，則及 格和不及格人數的比為 8：11，求甲、乙兩班總人數的比。
題型 18 某人往返甲、乙兩地，去程騎機車，回程坐汽車，若去程與回程所用的時間比為 7：3， 且往返的平均時速為 48 公里，求回程的平均時速為多少公里？
75
76
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
３－２ 連比例 基本觀念 1. 連比與連比例式 連比： 將 3 個以上不為 0 的數連續相比，例如 a : b : c ，這樣的比就稱為連比。其中 a、b、c 稱為這個連比的項。當 a、b、c 三數的最大公因數等於 1 時，此時稱 a : b : c 為最簡整 數比。 連比例式： 若兩個連比 x : y : z 與 a : b : c 相等，則 x : y : z = a : b : c ，這樣的等式就稱為連比例 式。 ★當 x : y : z = a : b : c 時，可得知 x : y = a : b ， y : z = b : c ， z : x = c : a 。 例 ■
當 x : y : z = 2 : 3 : 5 時，可得知 x : y = 2 : 3 ， y : z = 3 : 5 ， z : x = 5 : 2 。
2. 連比的求法 若已知 x : y = a : b ， y : z = b : c ， z : x = c : a 三式之中的任兩個等式，可得知 x: y: z = a:b:c 。 例 若 ■ 解 x □
x : y = 2 : 3 ， y : z = 3 : 4 ，求 x : y : z 。
: 2 : 2 :
y : 3 3 : 3 :
z 4 4 ⇒ x : y : z = 2 : 3: 4
例 若 ■
x : y = 2 : 3 ， y : z = 4 : ( −5) ，求 x : y : z 。
解 □
x
:
y
:
z
2
:
3 4
:
(−5)
(3 × 4) (4 × 3) 12
: :
(−5 × 3) (−15)
(2 × 4) 8
: :
⇒ x : y : z = 8 : 12 : ( −15)
★要寫成連比 x : y : z ，必須找出共同項的最小公倍數，即可求出連比。
3-2 連比例 3. 連比的運算性質 若 a、b、c、m 都不為 0，則： (1) a : b : c = ( a × m ) : (b × m ) : ( c × m ) (2) a : b : c = ( a ÷ m ) : (b ÷ m ) : ( c ÷ m ) 4. 連比例式的性質─恆等關係 若 a、b、c 都不為 0，且 x : y : z = a : b : c ，則： x y z (1) = = a b c : a y= :b z:c (2) x= 說明 ∵ x : y : z = a : b : c x y y z ∴ x : y = a : b ⇒ = ，且 y : z = b : c ⇒ = a b b c x y z ∴ = = ，即 x= : a y= :b z:c a b c
例 求下列各式 a、b 的值 ■ (1) 3 : 4 : 5 = a : 6 : b (2)
1 1 1 1 :a: = b: : 2 3 4 5
解 □ (1) ∵ 3 : 4 : 5 = a : 6 : b 3 4 5 ∴ = = a 6 b 3 4 9 由 = ⇒a= a 6 2 4 5 15 由 = ⇒b= 6 b 2 1 1 1 1 (2) ∵ : a : = b : : 2 3 4 5 1 1 1 1 ∴ = : b a= : : 2 4 3 5 1 1 1 3 由 :b= : ⇒b= 2 3 5 10 1 1 1 5 由 a: = : ⇒a = 4 3 5 12
77
78
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 5. 連比例式的性質─倍數關係 若 a、b、c 都不為 0，且 x : y : z = a : b : c ，則： x = ak ， y = bk ， z = ck ，其中 k ≠ 0 。 x y z ， 說明 若 x : y : z = a : b : c ，由比例式的恆等關係得 = = a b c x a = k x = ak x y z y 設 = = = k ⇒ = k ⇒ y = bk a b c b z = ck z k = c 例 ■
設 x : y : z = 2 : 3 : 5 ，求 (1) 6 x : 7 y : 8 z (2) ( x + y ) : ( y + z ) : ( z + x ) (3) x 2 : y 2 : z 2
解 □
x : y : z = 2 : 3 : 5 ，設 x = 2k ， y = 3k ， z = 5k ( k ≠ 0)
= ( 2k ) : 7(3k ) : 8(5k ) 12k : 21k : 40k = 12 : 21 : 40 (1) 6 x : 7 y : 8 z 6= (2) ( x + y ) : ( y + z ) : ( z + x ) = ( 2k + 3k ) : (3k + 5k ) : (5k + 2k ) = 5k : 8k : 7k = 5 : 8 : 7 (3) x 2 : y 2 : z 2 (= = 2k )2 : (3k )2 : (5k )2 4k 2 : 9k 2 : 25k 2 = 4 : 9 : 25
3-2 連比例
精選題型 題型１ 將下列各連比化為最簡整數比： (1) 91 : 65 : 39 (2) 1.2 : 2.2 : 3.2 1 1 1 : : 2 3 5 3 (4) 2 : ( − ) : ( −1.5) 4 (3)
題型２ 設 x : y = 8 : 9 ， y : z = 3 : 7 ，求 x : y : z 。
79
80
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 設 x : z = 1 : 6 ， y : z = 3 : 5 ，求 x : y : z 。
題型 4 已知 x : y = 2 :
5 3 ， x : z = 1 : ，試求 x : y : z = ？ 4 2
3-2 連比例
題型 5 若 6 x = 8 y ， xy ≠ 0 ，且 y : z =
2 : 1.5 ，試求 x : y : z = ？ 3
題型 6 若
1 1 1 : x : 3 = : : y ，試求 x、y 的值。 2 3 4
81
82
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 某長方體的長、寬、高的連比為 2 : 3 : 5 ，若此長方體的長為 5 公分，求此長方體的寬和 高各是多少公分？
題型 8 x y z 若 = = ，則： 3 5 7 (1) 2 x : y : 3z = ？ (2) ( x + y + z ) : ( x − y + z ) = ？
3-2 連比例
題型 9 若 xyz ≠ 0 ，且
2 3 x = 2 y ， z = 2 x ，求： 3 4
(1) 2 x : 3 y : 5 z = ？ (2)
3x + 2 y − z = ？ x − 2y + z
題型 10 x y z 若 = = ，且 3x − 2 y + z = 189 ，則 ( x + 1) : ( y + 1) : z = ？ 4 9 15
83
84
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 已知甲、乙、丙三人共有 3600 元，其中甲、乙、丙三人的錢數比為 2 : 3 : 5 ，求甲、乙、 丙三人的錢數各是多少？
題型 12 xy 4= yz 5 xz ，求 ( x + y − z ) : ( x − y + z ) 的比值。 設 xyz ≠ 0 且 3=
3-2 連比例
題型 13 在三角形 ABC 中，若 5∠A = 6∠B = 30∠C ，三內角和為 180° ，則 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 分 別是多少度？
題型 14 已知 x + y + z = 3x − 4 y + 2 z = 3x + 3 y − z ，且 xyz ≠ 0 ，求 x : y : z 。
85
86
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 設 abc ≠ 0 ，且 10( a + b) = 15(b + c ) = 8( a + c ) ，求 a : b : c = ？
題型 16 已知大寶、二寶、三寶三人身上共有 510 元，若三人各用掉 35 元後，餘款的比為 2 : 3 : 4 ，則三人原來各有多少錢？
3-3 正比與反比
３－３ 正比與反比 基本觀念 1. 關係式、變數與常數 若數量的變化情形互相有關連，而描述這種關係的算式就稱為關係式。在關係式中， 會依情況變動的數稱為變數，固定不變的數則稱為常數。 例 ■
將一面積為 12 平方公分的圓塗上顏色，其中塗色 部份的面積為 x 平方公分，未塗色部份的面積為 y 平方公分，可得一關係式為 x + y = 12 ；其中 x、y
y
是會依情況變動的數稱為變數，12 是固定的數， 稱為常數。
x
2. 正比的意義 若兩個變數 x、y，當 x 值改變時，y 值也隨著改變，而且保持 y 值是 x 值的某一固定倍 數（以 k 倍表示， k ≠ 0 ），此時我們稱 x 與 y 成正比。x、y 的關係式可寫成 y = kx （或 y = k ）。 x 例 設一長方形的寬固定為 2 單位，則長方形的面積會隨著長的變化而改變，如下表所 ■ 示： 長
3
5
10
100
…
面積
6
10
20
200
…
若以 x 代表長方形的長，y 代表長方形的面積，則可寫出 x 與 y 的關係式： y = 2 x ，此時可說 x 與 y 成正比。
87
88
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 3. 反比的意義 若兩個變數 x、y，當 x 值改變時，y 值也隨著改變，而且保持 x 值和 y 值的乘積是某一 固定的值（以 k 表示定值， k ≠ 0 ），此時我們稱 x 與 y 成反比。x、y 的關係式可寫成 xy = k 。 例 設一長方形的面積固定為 24 平方單位，則長方形的長會隨著長方形的寬的變化而 ■ 改變，如下表所示： 長
24
12
8
6
…
寬
1
2
3
4
…
若以 x 代表長方形的長，y 代表長方形的寬，則可寫出 x 與 y 的關係式： xy = 24 ，此時可說 x 與 y 成反比。 4. 正比與反比關係之判斷 速率的描述為一個物體在一段時間內所移動的距離，以關係式表示為：
速率 =
距離 時間
(1) 當速率固定時，距離與時間成正比。 說明 若以 k 代表速率，y 代表距離，x 代表時間，則可寫出關係式：
k=
y ⇒ y = kx ，此時可說 y 與 x 成正比，即距離與時間成正比。 x
(2) 當距離固定時，速率與時間成反比。 說明 若以 k 代表距離，y 代表速率，x 代表時間，則可寫出關係式：
y=
k ⇒ xy = k ，此時可說 y 與 x 成反比，即速率與時間成反比。 x
(3) 當時間固定時，距離與速率成正比。 說明 若以 k 代表時間，y 代表距離，x 代表速率，則可寫出關係式：
x=
y ⇒ y = kx ，此時可說 y 與 x 成正比，即距離與速率成正比。 k
3-3 正比與反比
精選題型 題型１ 請根據下列敘述，寫出 x、y 的關係式。 (1) 已知每瓶汽水 25 元，以 x 表示汽水的數量，y 表示汽水的總價錢。 (2) 已知小寶和小玉身上共有 500 元，假設小寶身上有 x 元，小玉身上有 y 元。 (3) 已知老樂比小樂大 15 歲，當老樂 x 歲時，小樂 y 歲。
題型２ 甲、乙兩村相距 x 公里，如果以每小時 60 公里的速率從甲地開車到乙地，所需的時間為 y 小時。請分別完成下列各題。 (1) 請將正確的數填入下表中。 距離 (x)
時間 (y)
40 1 3
(2) 試寫出 x 與 y 的關係式。 (3) x 與 y 是否成正比？
60 4 3
89
90
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 若 x 與 y 成正比，當 x = 8 時， y = 12 ，則： (1) x 與 y 的關係式為何？ (2) 當 x = 20 時， y = ？ (3) 當 y = −15 時， x = ？
題型 4 已知大小兩圓的直徑長度比為 8：5，則： (1) 大、小兩圓的周長比為多少？ (2) 大、小兩圓的面積比為多少？ (3) 若大圓面積為 32π，則小圓面積為何？
3-3 正比與反比
題型 5 已知甲、乙兩地相距 120 公里，若阿明從甲地開車到乙地的時速為 x 公里，所需時間為 y 小時。請分別完成下列各題。 (1) 請將正確的數填入下表中。 時速 (x)
50
20
時間 (y)
5
(2) 試寫出 x 與 y 的關係式。 (3) x 與 y 是否成反比？
題型 6 若 x 與 y 成反比，當 x = 5 時， y = 8 ，則： (1) x 與 y 的關係式為何？ (2) 當 y = −15 時， x = ？
1.5
91
92
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 已知大寶、二寶、三寶三人參加馬拉松比賽，若三人在比賽過程中的速率都保持一定，且 三人完成所花的時間比為 6：9：10，則： (1) 三人的速率比為何？ (2) 若大寶的速率為每小時 10 公里，則三寶的速率為每小時多少公里？
題型 8 已知 (2 x − 5 y ) 與 (3x + 7 y ) 成正比，且當 x = 5 時， y = 1 ，試回答下列問題。 (1) 寫出 x 與 y 的關係式。 (2) 當 y = − 2 時， x = ？
3-3 正比與反比
題型 9 已知 ( 4 x + 3) 與 (6 − y ) 成反比，且當 x = 2 時， y = −1 ，試回答下列問題。 (1) 寫出 x 與 y 的關係式。 (2) 當 x = −3 時， y = ？
題型 10 在下列關係式中，試判斷 x 與 y 成正比或反比關係，並在空格中填入正確的代號： (A)
1 2x (E) 1 y= 2 x y=
(B) (F)
y=
1 +3 2x
y =3 2x
(1) x 與 y 成正比關係的為 _________。 (2) x 與 y 成反比關係的為 _________。
(C) y + 2 x = 0
(D) y + 2 x = 1
(G) ( y − 2)( x − 1) = 0
(H) y : 2 = x : 1
93
94
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 若某種寶石的價格與其重量的平方成正比，小美有此種寶石一塊，重量為 12 克且價值 36000 元，某日因不慎將此塊寶石摔裂成二塊，其重量比為 3：7，試求小美損失了多少元？
題型 12 小明在銀行存款 15000 元，年利率是 2%，第二年銀行將年利率降低為 1.5%，則小明應存 款多少元，才能拿到與第一年同樣多的利息？（註 : 每年所得利息＝本金 × 年利率）
４ 線型函數及其圖形 4-1 變數與函數 4-2 函數圖形
96
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
４－１ 變數與函數 基本觀念 1. 函數的定義 若兩個變數 x、y 之間存在「每個輸入 x 值對應唯一輸出 y 值」的關係，就稱 y 是 x 的函數。 因為輸出 y 值隨著輸入 x 值變動而改變，所以輸入 x 值稱為自變數，而輸出 y 值稱為應 變數。 2. 函數的表示法 若 y 是 x 的函數，通常會表示為 y = f ( x ) ，其中 f ( x ) 讀做「 f of x 」，有時也常用 其它英文字母來表示函數，例如： g ( x ) 、 h( x ) 、…。 3. 函數的判別 在 x、y 的對應關係中， 若是「1 個 x 對應 1 個 y」或「多個 x 對應 1 個 y」，此時 y 是 x 的函數。 若是「1 個或多個 x 對應多個 y」或「1 個或多個 x 沒有相對應的 y」，此時 y 不是 x 的 函數。 4. 函數與函數值 當 y 是 x 的函數，寫為 y = f ( x ) ，將 x = a 代入函數 y = f ( x ) 中，得到相對應的 y 值 稱為函數值，此時 f ( a ) 即表示 f ( x ) 在 x = a 的函數值。 例 ■
設函數 y = f ( x ) = 2 x + 1 ，則： f ( x ) 在 x = 2 的函數值為 f ( 2) = 2 × 2 + 1 = 5 f ( x ) 在 x = −3 的函數值為 f ( −3) = 2 × ( −3) + 1 = −5 f ( x ) 在 x = a 的函數值為 f ( a ) = 2 × a + 1 = 2a + 1
4-1 變數與函數
精選題型 題型１ 設一正方體的邊長為 x 公分，表面積是 y 平方公分，則： (1) 寫出 x 與 y 的關係式。 (2) y 是不是 x 的函數？如果是，請以 f 代表此函數，寫出 f ( x ) 。 (3) 當 x = 6 時， y = ？
題型２ 一年有 12 個月，若將閏年的月分用 x 表示，當月的天數用 y 表示，則 x 與 y 的對應關係 如下表所示： x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
y
31
29
31
30
31
30
31
31
30
31
30
31
(1) 若 x = 10 ，則對應的 y 值是多少？ (2) y 是 x 的函數嗎？ (3) 當月天數是 30 天的月分有哪些？
97
98
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 下列變數 x 與 y 的對應值列表中，哪些表中資料呈現 y 是 x 的函數？ (A)
(D) x
1
2
3
4
x
1
1
1
1
y
5
6
7
8
y
5
6
7
8
(B)
(E) x
1
2
3
4
x
1
1
3
3
y
5
5
5
5
y
5
6
7
8
(C)
(F) x
1
2
3
4
x
5
6
7
8
y
5
5
7
7
y
0
1
2
3
題型 4 設函數 f ( x ) = 7 x − 3 ，求 f ( x ) 分別在 x = 5 、 x = −2 、 x = −
1 的函數值。 2
4-1 變數與函數
題型 5 若函數 g ( x ) =
x−2 ，則當 x 等於多少時，函數值為無意義？ x+3
題型 6 已知一長 15 公分的蠟燭，每分鐘燃去 0.5 公分，若經過 x 分鐘後，剩下的長度為 y 公分， 設 y = f ( x ) ，則： (1) 試以 x 列出 f ( x ) 的數學式。 (2)
f ( 4) = ？ f (12) = ？
(3) 是否可以求得 f ( 40) ？為什麼？
99
100
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 下圖是一個簡單的電算器計算流程：
輸入x → 加4 → 乘以3 → 減1 → 輸出åf ( x) (1) 試以 x 列出 f ( x ) 的數學式。 (2) 當輸入的數分別是 0， −3 ，
2 時，輸出的數各是多少？ 3
題型 8 已知 f ( x ) = 2 x − 6 在 x = a 的函數值是 0，則： (1) 求 a 的值。 (2) 若 g ( x ) = 4 x − 5 ，求 g ( a ) 的值。
4-1 變數與函數
題型 9 1 設 g ( x ) = ax + b ，且 g(0) = −5 ， g( ) = −4 ，求： 2 (1) a、b 的值。 (2) g (1) + g ( 2) 的值。
題型 10 設 f ( x ) = x + 3 ，且 g ( x − 1) = f ( x + 3) ，求 g(3) 的值。
101
102
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 設 f ( x ) = 2 x + 1 ， g ( x ) = 4 x − 5 ，求： (1)
f (3) = ？ g(3) = ？
(2)
f ( g (3)) − g ( f (3)) 之值。
題型 12 已知 f ( x ) =
1 x + 3 與 g ( x ) = 2( x − 3) + 1 在 x = b 的函數值相同，求 b 的值。 2
103
4-2 函數圖形
４－２ 函數圖形 基本觀念 1. 函數圖形 在坐標平面上，以自變數 x 為橫坐標，其對應的函數值 f ( x ) 為縱坐標，所繪成的圖形 就稱為函數圖形。 在坐標平面上畫出 f ( x ) = 2 x + 1 的圖形。
例 ■
f(x)
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
…
f ( x)
…
−5
−3
−1
1
3
5
…
(1, 3) 1 (0, 1)
在坐標平面上描出上列各數對所對應的點，並將各點 用直線連接起來，就可以得到函數 f ( x ) = 2 x + 1 的圖
(2, 5)
( −1, −1)
O
1
x
( −2, −3)
形。
( −3, −5)
f ( x) = 2 x + 1
2. 一次函數的圖形 一次函數： 凡函數式為 f ( x ) = ax + b( a ≠ 0) ，稱為一次函數，其中 ax 是 x 的一次項，b 稱為常數項。 一次函數的圖形： 一次函數 f ( x ) = ax + b( a ≠ 0) 可視為二元一次方程式 y = ax + b ，故一次函數的圖形為 一直線。 例 ■ 解 □
y
畫出一次函數 f ( x ) = 3x − 2 的圖形。 令 y = f ( x ) = 3x − 2 x
0
1
y
−2
1
(1, 1)
1 O
其圖形如右圖。
1 (0, −2)
f ( x ) = 3x − 2
x
104
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 3. 常數函數的圖形 常數函數： 凡函數式為 f ( x ) = b ，稱為常數函數，其中 b 為常數。 常數函數的圖形： 常數函數 f ( x ) = b 可視為方程式 y = b ，故常數函數的圖形為 x 軸或平行 x 軸的直線。 例 ■ 解 □
畫出常數函數 f ( x ) = 2 的圖形。
y
= y f= ( x) 2 令 x
0
2
y
2
2
f ( x) = 2
(0, 2) (2, 2) 1 O
其圖形如右圖。
1
x
4. 線型函數 一次函數與常數函數的圖形都是一條直線，所以我們稱函數 f ( x ) = ax + b 為線型函數。
ġa ≠ 0 ᶨ㫉↥㔠 䶂✳↥㔠ġy=ax+b ⚾⼊䁢ᶨ䚜䶂 炷aˣb悥㗗ⷠ㔠炸 ġa = 0 ⷠ㔠↥㔠
ġb ≠ 0 ⚾⼊䁢ᶵ忂忶⍇溆䘬 㕄䚜䶂 ἳ烉y=3x+2 ġb = 0 ⚾⼊䁢忂忶⍇溆䘬 㕄䚜䶂 ἳ烉y=3x ġb ≠ 0 ⚾⼊䁢⸛埴ġx 庠䘬 䚜䶂 ἳ烉y=2 ġb = 0 ⚾⼊䁢ġx 庠 ἳ烉y=0
105
4-2 函數圖形
精選題型 題型１ 下列何者不是函數 y = f ( x ) 的圖形？ (A)
(B)
y
O
x
(C)
y
O
x
(D)
y
O
題型２ g ( x ) 為一次函數，若 g(0) = 2 ， g( −1) = −1 ，則 g ( x ) = ？
x
y
O
x
106
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 在坐標平面上畫出下列各函數的圖形。 (1)
f ( x) = 4 x
(2) g ( x ) = 3x + 2
題型 4 f ( x ) 為常數函數，當 x = −3 時，其函數值為 −2 ，則 f ( x ) = ？
4-2 函數圖形
題型 5 在坐標平面上畫出常數函數 f ( x ) = −2 的圖形。
題型 6 試將下列函數作分類：（請填代號） (A) f ( x ) = −2
(B) g ( x ) = 3x − 2
(C) f ( x ) = 0
(D) g ( x ) = x
(E) f ( x ) = ax + b( a ≠ 0)
(F) g ( x ) = ax + b( a = 0)
(1) 哪些是一次函數？ (2) 哪些是常數函數？ (3) 哪些是線型函數？
107
108
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 已知線型函數 y = f ( x ) 的圖形如右圖所示，求此線型函數。
y ( −2, 9)
x
O
(5, −5) f ( x)
題型 8
y
已知線型函數 y = g ( x ) 的圖形如右圖所示，求此線型函數。
( −3, −4)
x
O g( x)
109
4-2 函數圖形
題型 9 已知函數 y = f ( x ) ，試將下列函數圖形作分類：（請填代號） (A)
y
O
(D)
(B)
x
y
O
(1) 哪些是一次函數？ (2) 哪些是常數函數？ (3) 哪些是線型函數？
O
(E)
x
y
(C)
x
y
O
O
(F)
x
y
x
y
O
x
110
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 10 已知線型函數 f ( x ) ，其對應關係如下表： x
…
−1
0
1
2
…
f ( x)
…
−5
m
3
n
…
則 m+n = ？
題型 11 已知 f ( x ) 為線型函數，其圖形分別通過 ( 2, 3) 、 ( −2,1) 兩點，且交兩軸於 A、B 兩點， 若 O 為原點，則三角形 ABO 面積為多少平方單位？
4-2 函數圖形
已知酒精 x 立方公分的重量為 y 公克，其關係為一次函數，函 數圖形如右圖所示，則：
公克
題型 12
y
8
(1) 60 立方公分的酒精重量是多少公克？ (2) 40 公克的酒精體積是多少立方公分？ 0
x 10 立方公分
111
5 一元一次不等式 5-1 一元一次不等式 5-2 解一元一次不等式
5-1 一元一次不等式
５－１ 一元一次不等式 基本觀念 1. 三一律與遞移律 三一律： 對於任意兩數 a、b，則下列三種大小關係之中，只有一種會成立。 (1) a < b (2) a = b (3) a > b 遞移律： 設有 a、b、c 三數， (1) 若 a > b 且 b > c ，則 a > c 。 (2) 若 a < b 且 b < c ，則 a < c 。 2. 一元一次不等式 不等式： 含有不等符號 < 、 ≤ 、 ≠ 、 > 、 ≥ 的數學式子稱為不等式。 一元一次不等式： 若一個不等式中，只有一個未知數，且未知數的最高次數是 1，則此不等式稱為一元一 次不等式。 例 ■
x < 2 、 y −1 ≤ 0 、 x ≠ 4 、 2x + 3 > 4 、 3y − 4 ≥ 5
3. 不等式的表示法 敘述
不等號
例子
不等式
大於、多於、高於、超過
>
a 大於 b
a>b
小於、少於、低於、未滿
<
a 少於 b
a<b
不大於、不多於、不高於、不超過、最多為、以下
≤
a 不超過 b
a≤b
不小於、不少於、不低於、最少為、以上
≥
a 在 b 以上
a≥b
113
114
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 4. 不等式的合併 設有 a、b、x 三數， (1) 當 a < x 且 x < b 時，可簡記為 a < x < b 或 b > x > a 。 (2) 當 a ≤ x 且 x ≤ b 時，可簡記為 a ≤ x ≤ b 或 b ≥ x ≥ a 。 (3) 當 a < x 且 x ≤ b 時，可簡記為 a < x ≤ b 或 b ≥ x > a 。 (4) 當 a ≤ x 且 x < b 時，可簡記為 a ≤ x < b 或 b > x ≥ a 。 5. 一元一次不等式的解 將未知數的值代入不等式中，能使不等式成立，則此未知數就是這個不等式的解。 例 ■ 解 □
已知 2 x + 3 不大於 5，試判斷 x = 1 與 x = 4 ，是否為不等式的解。 由 2 x + 3 不大於 5 ⇒ 2 x + 3 ≤ 5 將 x = 1 代入 2 x + 3 ⇒ 2 × 1 + 3 = 5 5 = 5 ∴ x = 1 是 2 x + 3 ≤ 5 的解 將 x = 4 代入 2 x + 3 ⇒ 2 × 4 + 3 = 11 11 > 5 ∴ x = 4 不是 2 x + 3 ≤ 5 的解
5-1 一元一次不等式
精選題型 題型１ 利用 > 、 < 、 ≥ 、 ≤ ，將下面文字敘述改寫成不等式。 (1) 2x 大於 15 (2) −3x 不大於 18 (3)
1 x 小於 7 2
(4) −x 不小於 −6
題型２ 利用不等號，將下列敘述改寫成不等式。 (1) x 不是正數 (2) 4y 減 6 比 −1 小 (3) 15 大於 2 倍的 x (4) −5 超過 x 的一半
115
116
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 根據下列敘述，列出一元一次不等式。 (1) 阿國每天存款 10 元，存 x 天後才會超過 500 元。 (2) 阿忠拿 42 元買每枝 7 元的筆，共買 y 枝。 (3) 皮鞋一雙成本是 800 元，售價為定價的八折，若定價為 x 元，則不會虧本。 (4) 已知矩形的長為 x cm、寬為 10 cm，其周長小於 40 cm。
題型 4 便利商店中，最貴的飲料是 45 元，最便宜的只要 10 元。假設一罐飲料的價錢為 x 元，請 寫出 x 的範圍。
5-1 一元一次不等式
題型 5 在 −2 、
3 1 、 − 三數中，哪些是一元一次不等式 −4 x − 5 > 1 的解？ 4 2
題型 6 x=−
4 是下列哪幾個不等式的解？ 3
(A) −1 < 3x + 2 < 3 (B) −4 < 2 x − 4 ≤ 6 (C) 0 ≤ 5 x + 8 < 4 (D) −8 < 4 x − 1 < −1
117
118
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 已知矩形的長為 a cm、寬為 8 cm，且其面積小於 72 cm2，則： (1) 因為其面積小於 72 cm2，試由此列出 a 的一次不等式。 (2) 試寫出 3 個 a 的解。
題型 8 阿東這學期三次段考的數學成績分別為 88 分、93 分和 x 分，且平均分數不到 90 分。 (1) 試列出 x 的一次不等式。 (2) 試判斷下列哪些分數可能是阿東第三次的數學成績？ ① 95 分
② 90 分
③ 89 分
④ 85 分
5-2 解一元一次不等式
５－２ 解一元一次不等式 基本觀念 1. 解一元一次不等式與等量公理 解一元一次不等式： 將一元一次不等式整理為 x > a 、 x ≥ a 或 x < a 、 x ≤ a 等形式（其中 a 為常數）， 即可找出不等式所有的解，此過程就稱為解一元一次不等式。 不等式的等量公理： (1) 等量加法公理─ ① a >b⇒a+c >b+c 例 ■
x−2>3 ⇒ x − 2 + 2 > 3+ 2 ⇒ x>5
② a <b⇒a+c<b+c 例 ■
x−2<3 ⇒ x − 2 + 2 < 3+ 2 ⇒ x<5
(2) 等量減法公理─ ① a >b⇒a−c >b−c 例 ■
x+4>5 ⇒ x + 4−4 > 5−4 ⇒ x >1
② a <b⇒a−c<b−c 例 ■
x+4<5 ⇒ x + 4−4 < 5−4 ⇒ x <1
(3) 等量乘法公理─ 已知 a、b、c 三數： 設 c>0 ① a > b ⇒ a ×c > b×c 例 ■
x ÷7 >8 ⇒ x ÷7×7 > 8×7 ⇒ x > 56
② a < b ⇒ a ×c < b×c 例 ■
x ÷7 <8 ⇒ x ÷7×7 < 8×7 ⇒ x < 56
設 c<0 ① a > b ⇒ a ×c < b×c 例 ■
x ÷ ( −7 ) > 8 ⇒ x ÷ ( −7 ) × ( −7 ) < 8 × ( −7 ) ⇒ x < −56
② a < b ⇒ a ×c > b×c 例 ■
x ÷ (−7) < 8 ⇒ x ÷ (−7) × (−7) > 8 × (−7) ⇒ x > −56
119
120
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 (4) 等量除法公理─ 已知 a、b、c 三數： 設 c>0 ① a > b⇒ a÷c > b÷c 例 ■
x ×3 > 6 ⇒ x ×3÷3 > 6 ÷3 ⇒x>2
② a < b⇒ a÷c < b÷c 例 ■
x ×3< 6 ⇒ x ×3÷3< 6 ÷3 ⇒x<2
設 c<0 ① a > b⇒ a÷c < b÷c 例 ■
x × ( −3) > 6 ⇒ x × ( −3) ÷ ( −3) < 6 ÷ ( −3) ⇒ x < −2
② a < b⇒ a÷c > b÷c 例 ■
x × ( −3) < 6 ⇒ x × ( −3) ÷ ( −3) > 6 ÷ ( −3) ⇒ x > −2
★當 a ≥ b 或 a ≤ b 時，不等式的等量加法、減法、乘法、除法公理依然成立。 2. 不等式的移項法則 在不等式中，將一個數從不等號的一邊移到不等號的另一邊，應遵循下列規則，此規 則稱為移項法則。 (1) 「+」 「−」 例 ■
x+4>5 ⇒ x > 5−4 ⇒ x >1
例 ■
−x < 3 − 2x ⇒ −x + 2x < 3 ⇒ x<3
(2) 「−」 「+」 例 ■
x−2>3 ⇒ x > 3+ 2 ⇒ x>5
例 ■
3x < 5 + 2 x ⇒ 3x − 2 x < 5 ⇒ x<5
(3) 「×」 「÷」 例 ■
例 ■
x ×3 > 6 ⇒ x > 6÷3 ⇒x>2
例 ■
x × ( −3) > 6 ⇒ x < 6 ÷ ( −3) ⇒ x < −2
例 ■
8< x÷
3 4
3 <x 4 ⇒6< x ⇒ 8×
3 8 < x ÷ (− ) 4 3 ⇒ 8 × (− ) > x 4 ⇒ −6 > x
5-2 解一元一次不等式 (4) 「÷」 「×」 例 ■
例 ■
x ÷7 >8 ⇒ x > 8×7 ⇒ x > 56
例 ■
x ÷ ( −7 ) > 8 ⇒ x < 8 × ( −7 ) ⇒ x < −56
例 ■
4< x×
2 3
2 <x 3 ⇒6< x ⇒4÷
2 4 < x × (− ) 3 2 ⇒ 4 ÷ (− ) > x 3 ⇒ −6 > x
★在移項的過程中，遇到乘以或除以負數，必須改變不等號的方向。 3. 圖示一元一次不等式的解 不等式
圖示
意義 x > a 表示比 a 大的數都是不等式的解，則
x>a
a
在數線上，以 a 為端點（不含 a）向右的直 線表示。 x < a 表示比 a 小的數都是不等式的解，則
x<a
a
在數線上，以 a 為端點（不含 a）向左的直 線表示。 x ≥ a 表示比 a 大或等於 a 的數都是不等式
x≥a
a
的解，則在數線上，以 a 為端點（包含 a） 向右的直線表示。
x ≤ a 表示比 a 小等於 a 的數都是不等式的 x≤a
a
解，則在數線上，以 a 為端點（包含 a）向 左的直線表示。
121
122
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義 例 解 3x + 7 > 8 x − 3 ，並在數線上圖示其解。 ■ 解 3x + 7 > 8 x − 3 □ ⇒ 3x + 7 − 8 x > 8 x − 3 − 8 x ⇒ −5 x + 7 > −3 ⇒ − 5 x + 7 − 7 > −3 − 7 ⇒ −5 x > −10 ⇒ −5 x ÷ ( −5) < −10 ÷ ( −5) ⇒x<2
0
1
2
1
例 右圖示為 x 的範圍，求 − (3x − 1) 的範圍。 ■ 2
−1
0
1
2
解 由圖得知 x 的不等式為 −1 < x ≤ 2 ……① □ 將①式各項同乘以 3 ⇒ 3 × −1 < 3 × x ≤ 3 × 2 ⇒ −3 < 3 x ≤ 6 ……②
將②式各項同減 1 ⇒ −3 − 1 < 3 x − 1 ≤ 6 − 1 ⇒ −4 < 3 x − 1 ≤ 5 ……③ 1 1 1 1 將③式各項同乘以 (− ) ⇒ (− ) × −4 > (− ) × (3 x − 1) ≥ (− ) × 5 2 2 2 2 1 5 ⇒ 2 > − (3 x − 1) ≥ − 2 2 1 1 5 即可求得 − (3x − 1) 的範圍為 2 > − (3x − 1) ≥ − 2 2 2
4. 解一元一次不等式之應用問題 以一元一次不等式解應用問題的步驟： (1) 設未知數：依題意選定一個適當的未知數。 (2) 列不等式：依題意列出不等式。 (3) 解不等式：利用等量公理或移項法則求得未知數的範圍。 (4) 驗算：檢驗所求的未知數之值是否符合題意。 (5) 寫答：寫出問題所要求的答案，並注意單位。 例 ■ 解 □
賴小特帶 100 元買郵票，已知郵票一張 12 元，試問賴小特最多能買幾張郵票？ 設最多買 x 張郵票 依題意列式： 12 x ≤ 100 ⇒ 12 x ÷ 12 ≤ 100 ÷ 12 ⇒ x ≤ 1 與 x 為整數，得知 x = 8 3 答：最多買 8 張郵票
由 x≤8
25 1 ⇒ x≤8 3 3
5-2 解一元一次不等式
精選題型 題型１ 請在下面的空格處填入正確的不等號。 (1) 若 x > 5 ，則 x + ( −1)
5 + ( −1) 。
− 0.6 − 3 。 (2) 若 y < −0.6 ，則 y − 3 (3) 若 x + 4 ≥ −2 ，則 ( x + 4) − 4 2 2 (4) 若 − ≤ 2 − y ，則 − + y 3 3
−2−4 。 (2 − y ) + y 。
題型２ 請在下面的空格處填入正確的不等號。 (1) 若
1 x < 7 ，則 x 4
28 。
−3 。 (2) 若 3x > −9 ，則 x (3) 若 −
2 y ≥ 4 ，則 y 5
(4) 若 −5 y ≤ 15 ，則 y
−10 。 −3 。
123
124
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ 解下列各不等式。 (1) x + 3 > 0 (2) x − 4 ≤ −2 (3) y −
1 ≥1 2
(4) 3 y − 5 < 2 y + 1
題型 4 解下列各不等式。 (1) 5 x < 80 (2) 3x ≥ −6 1 4 (3) − x > 6 3 (4) −12 x ≤ −8
5-2 解一元一次不等式
題型 5 解下列各不等式。 (1) 3x + 20 > 50 (2) −2 x − 5 < 8 (3) 3x − 2 ≥ 4 x − 3 (4) −4 x + 3 ≤ x − 6
題型 6 解下列各不等式。 (1) 8( x − 3) − 2(6 − 2 x ) > 3( x + 2) − 4( x − 5) (2) −
2 x + 3 x − 7 6 − 5x + ≤ 2 5 10
125
126
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 解下列各不等式。 (1) −4 < −5 x + 6 ≤ 2 (2) −5 ≤
3 − 5x < −1 2
題型 8 將下列數線上的圖示表示成 x 的不等式： (1) −3 −2
−1
0
1
2
3
−3 −2
−1
0
1
2
3
−3 −2
−1
0
1
2
3
−3 −2
−1
0
1
2
3
(2) (3) (4)
5-2 解一元一次不等式
題型 9 請在數線上圖示下列各不等式。 (1) x > −4 (2) x ≥
10 3
(3) x < 1 (4) x ≤ −3.2
題型 10 請在數線上畫出 −2 < x < 3 的範圍。
127
128
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 解下列不等式，並在數線上圖示其解。 (1) 6 x + 3 < 2 x − 7 (2) −8( 2 x + 5) ≤ 72 3 (3) −1 ≤ − x − 4 < 2 4
題型 12 (1) 請在數線上圖示不等式 3x − 2(10 +
1 2x + 8 x) ≤ − 10 的解。 2 3
(2) 求出此不等式中，x 的最大或最小整數值。
5-2 解一元一次不等式
題型 13 若 −3 < x < 4 ，試分別求出 2x 與 −3x 的範圍。
題型 14 (1) 已知 x < 5 ，求 x 的範圍。 (2) 已知 y − 3 < 7 ，求 y 的範圍。
129
130
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 阿發從家中騎車上班，離家後的 6 公里因為交通擁擠，平均時速為 30 公里，其餘的路程 平均時速可達 60 公里，若他到公司所需時間不超過半小時，則阿發家離公司最遠多少公 里？
題型 16 某次段考，小毛國文和英文的平均分數是 87 分，已知他的國文、英文和數學的平均分數 不低於 90 分，若他的數學分數是整數，則最少是幾分？
5-2 解一元一次不等式
題型 17 兄弟兩人的身上共有 1000 元，若哥哥給弟弟 200 元後，哥哥身上的錢比弟弟身上的錢的 2 倍還多，則哥哥原來身上的錢至少有多少元？
題型 18 設一個三角形的底為 (3x − 4) 公分，高為 6 公分，面積不大於 33 平方公分，則： (1) 面積不大於 33 平方公分，試求 x 的範圍。 (2) 底長為正數，試求 x 的範圍。 (3) 試列出所有 x 的整數解。
131
132
﹝二﹞ Live 數位國中數學講義
題型 19 甲、乙、丙三人各有若干元，甲用去 150 元買漫畫，乙用去
1 的錢買雜誌，丙打工賺了 2
500 元後，三人的餘款相同，若他們原有錢的總和不超過 2050 元，則甲原本最多有多少 錢？
題型 20 電影院門票每張 240 元，若人數達 40 人，則可買每張 200 元的團體票。今某團體人數不 足 40 人，但發現買 40 張團體票比依實際人數買票還便宜，請問這個團體最少有多少人？
ANS
Live 國中數學 i 講義 2 編著者 出版者 公司地址 服務電話 Live 網址 電子信箱 出版日期 ISBN
葛 倫 徠富數位學習科技有限公司 70247 台南市南區三官路 120 號 (06)2658388 Liveism.com Live.study@gmail.com 2013 年 1 月 第一版 978-986-88371-2-6 ( 平裝附光碟片 )
※ 本書若有缺頁、破損、裝訂錯誤，請寄回本公司調換。