5
Ver 1.0
徠富數位學習科技有限公司
Live e-Learning Technology Inc.
9789868837164
前言 數學的學習方法 學好基礎數學的第一步，就是要有正確扎實的基本觀念，良好觀念的建立原 則─先理解再記憶。透過不同題目類型的演練有助於澄清了解基本觀念，為 了靈活應用基本觀念與提昇厚植數學實力，進行一定數量與質量的試題練習 是必要的。所以”基本觀念、題型解析、試題練習”就是學好數學的金字塔！
本書的編寫架構 一、基本觀念 以條列式歸納整理該節的觀念重點，簡潔清楚的文字敘述，輔以圖示、表格、 例題說明，讓讀者能輕易理解觀念內容，迅速掌握複習要點。
二、精選題型 題目類型呼應基本觀念，題型安排由簡易循序漸進至複雜，系統性的精華題 型，鞏固所學的數學概念，培植基本的數學能力。
Live 的數位教學 數學學習困難的本質因素在於─數學本身是抽象思維的產物。 葛倫老師借助數位工具的力量，將抽象的數學概念轉化為具體的多媒體，透 過筆跡、圖片、聲音等動畫影音呈現， 將原本生硬艱澀難懂的數學內容， 詮釋化簡為生動有趣易理解的數學 觀念。 每一題精選題型葛倫老師都親自手 寫板書教學，教學過程充分發揮數 位功能─多彩畫筆、螢光註記、剪貼 縮放、３Ｄ透視、幾何圖形等。 Live 卓越的數位教學，除了擁有高品質的 數位教學內容，透過直覺易用的操 作介面，搭配非線性隨選學習功 能，讓學生以最有效率、最具創 意的未來學習方式來學好數學！
編者 葛 倫
目次 第一章 比例線段與相似形 1-1 比例線段
4
1-2 相似形
19
1-3 相似三角形
30
第二章 圓形與圓的性質 2-1 點、直線、圓之間的關係
46
2-2 圓心角、圓周角及弦切角
66
第三章 幾何證明與三角形的三心 3-1 幾何推理證明
87
3-2 三角形的外心、內心與重心
108
3-3 多邊形的外心與內心
127
1 比例線段與相似形 1-1 比例線段 1-2 相似形 1-3 相似三角形
4
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
１－１ 比例線段 基本觀念 1. 比例尺之說明、應用與計算 圖或模型與實地或實物之間的固定比例關係就稱為比例尺。 例例 圖中測得寬度 4 cm，實際距離為 4 km，試問此圖是幾倍縮小圖？比例尺如何表示？ ■ 解解 圖上寬度：4 cm □ 實際距離：4 km ＝ 400000 cm 比例尺＝圖上寬度：實際距離＝ 4 cm：400000 cm ＝ 1：100000 ＝ ∴此圖為
1 1 倍縮小圖 ⇒ 比例尺為 1：100000 或 100000 100000 4km
註 例比例尺也可用 ■
1 100000
4km
或
表示。
2. 等高三角形的面積比 兩個等高三角形的面積比等於其底邊長度的比。 例例 如右圖， ■
A
D
AH 是 ABC 的高， DG 是
DEF 的高， AH = DG ，則 ABC 面積： DEF 面積＝ BC ： EF B
C
E
H
G
F
說明
∵ ABC 面積： DEF 面積＝
1 1 × BC × AH ： × EF × DG ，又 AH = DG ， 2 2
∴ ABC 面積： DEF 面積＝ BC ： EF 如右圖，三角形的面積比與其底邊長度比的關係如下：
P
PQR 面積： PRS 面積 ＝ QR ： RS PQR 面積： PQS 面積 ＝ QR ： QS PRS 面積： PQS 面積 ＝ RS ： QS Q
R
S
1-1 比例線段 3. 梯形兩對角線連線所形成的三角形面積比 A
如右圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ， 則 ABC 面積 ＝ DBC 面積
D G
ABD 面積 ＝ ACD 面積 ABG 面積 ＝ CDG 面積
B
C E
如右圖，在 EBC 中，A、D 分別在 EB 、 EC 上， A
若 AD // BC ，則 EBD 面積 ＝ ECA 面積
D G
B
C
4. 平行線截三角形兩邊成比例線段性質 比例線段：四條線段中，當兩條線段長的比等於另外兩條線段長的比時，我們稱這四 條線段形成比例線段。 例例 如右圖， ■
a : b = 1: 2 ，
c= : d 2= : 4 1: 2 ⇒ a :b = c:d
a 1 b
c 2
2 4
d
⇒ a、b、c、d 形成比例線段。
平行線截三角形兩邊成比例線段性質： A
如右圖，在 ABC 中，D、E 分別在 AB 、 AC 上。 若 DE // BC ，則： (1) AD : DB = AE : EC
D
E
(2) AD : AB = AE : AC (3) AB : DB = AC : EC B
C
5
6
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 說明 連接 CD 、 BE ，如右圖所示：
A
(1) ADE 面積： DBE 面積 ＝ AD ： DB ADE 面積： DEC 面積 ＝ AE ： EC
D
∵ DE // BC ⇒ DBE 面積 ＝ DEC 面積
E
∴ AD : DB = AE : EC (2) ADE 面積： ABE 面積 ＝ AD ： AB
B
C
ADE 面積： ADC 面積 ＝ AE ： AC ∵ DE // BC ⇒ ABE 面積 ＝ ADC 面積 ∴ AD : AB = AE : AC (3) ABE 面積： DBE 面積 ＝ AB ： DB ADC 面積： DEC 面積 ＝ AC ： EC ∵ DBE 面積 ＝ DEC 面積， ABE 面積 ＝ ADC 面積 ∴ AB : DB = AC : EC 5. 一直線截三角形兩邊成比例線段之討論
A
若一直線截三角形兩邊成比例線段，則此直線必平行 於三角形的底邊。 例例 如右圖，在 ABC ■
D
中，D、E 分別在 AB 、 AC
E
上，若 AD : DB = AE : EC ，則 DE // BC 。 B
C
說明
A
過 B 點作一直線 L 平行 DE 且與直線 AC 相交於 C ′ 點，如右圖所示，可得 AD : DB = AE : EC ′ ， ∵ AD : DB = AE : EC ( 已知 )
D
E
∴ AE : EC = AE : EC ′ ⇒ EC = EC ′ ⇒ C 點與 C ′ 點重合，故 DE // BC 。 B
C
C' L
1-1 比例線段 6. 三角形邊長與截線成比例線段之討論
A
如右圖，在 ABC 中，D、E 分別在 AB 、 AC 上， 若 DE // BC ，則 AD : AB = DE : BC 。
D
E
說明
在 BC 上取一點 F，使得 FC = DE ，連接 DF ，
B
C
如右圖所示。
A
∵ DE // CF 且 DE = FC ∴四邊形 DECF 為平行四邊形
D
⇒ DF // EC ⇒ DF // AC
E
⇒ AD : AB = CF : BC ⇒ AD : AB = DE : BC
B
C
F A
※ 在 ABC 中，D、E 分別在 AB 、 AC 上，
E
若 AD : AB = DE : BC ，則 DE 不一定平行於 BC ， 如右圖所示。 D
E
B
C
7. 平行線截比例線段性質 如右圖，三條互相平行的直線 L1 、 L2 、 L3 分別和
A
直線 M 1 、 M 2 交於 A、B、C 三點和 D、E、F 三點，
B
則 AB : BC = DE : EF 。
D
L1
E
C
F
M1
M2
L2
L3
7
8
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 8. 三角形中點連線性質 三角形的兩邊中點連線會平行於第三邊，且此線段長會等於第三邊長的一半。 例例 如右圖，在 ABC ■
中，D、E 分別為 AB 、 AC
A
1 的中點，則 DE // BC 且 DE = BC 。 2 ※ 若一直線過三角形一邊中點且平行於另一邊，則此
D
E
直線會通過第三邊的中點。 B
C
9. 尺規作圖─平行線截比例線段 例例 如右圖，已知 ■
AB ，利用尺規作圖，在 AB 上找
一點 C，使得 AC : CB = 1 : 2 。
A
B
L
說明
E
(1) 過 A 點，作一條不通過 B 點的直線 L。 (2) 在 L 上依序取 D、E 兩點，使得 AD : DE = 1 : 2 。 (3) 連接 BE 。 (4) 過 D 點作 BE 的平行線，與 AB 相交於 C 點，則
D
C 點即為所求。 A
C
B
1-1 比例線段
精選題型 題型１ 已知一地圖上的比例尺標示如右圖所示，
0
5
10
15
試回答下列問題：
(公尺)
(1) 地圖上的比例尺為何？ (2) 地圖上 A、B 兩地相距 20 公分，則 A、B 兩點的實際距離為何？ (3) 已知 C、D 兩地的實際距離為 25 公尺，則在地圖上 CD ＝？
題型２ A
如右圖，在 ACD 中，E 為 AC 上一點。若 AE = 3 ， EC = 5 ，試求： (1) ADE 面積和 DEC 面積的比。
D
E
(2) ADE 面積和 ACD 面積的比。 (3) DEC 面積和 ACD 面積的比。
20
C
9
10
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型３
A
如右圖，在 ABC 中，D 為 BC 上一點，P 為 AD 上 P
一點，且 BD : CD = 2 : 3 ， DP : AP = 3 : 2 ，試求 ABP 面積和 PDC 面積的比。 B
C
D
題型 4
A
如右圖， ABC 中， DE // FG // BC ，若 AD = 2
D
， DF = 3 ， FB = 4 ，且 AC = 12 ，則 EG = ？
F
B
E G
C
11
1-1 比例線段
題型 5
A
如右圖， ABC 中， DE // BC ，則 x = ？
4x + 3
15
D
E
x+6
9
B
C
題型 6
A
如右圖， ABC 中， ∠C = 60° ， ∠DFC = 120° ，且
D
DF = CE = 3 ， AC = 5 ， BF = 6 ，則四邊形 DFCE 的 周長是多少？
E 120˚
B
F
60˚
C
12
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 A
如右圖，正方形 DGFE 在 ABC 內，且 D、E 分別在 AB 、 AC 上。已知 AH ⊥ BC 於 H，且 AH = 10 cm，
D
AD : BD = 2 : 3 ，則 BC = ？
B
E
K
G
H F
題型 8 A
如右圖， ABC 中，若 DE // BC ， EF // AB ，已 知 ADE 的周長為 14， AD = 2 x + 5 ， BF = 3 ， CF = 2 ， AE = 5 ，則 EF = ？
B
2x + 5
5
D
E
3 F 2 C
C
13
1-1 比例線段
題型 9 如右圖，若 AB // CD // EF ，且 AC = 4 ， 8x + 7 CE = 2 x + 1 ， BD = 10 ， DF = ，則 x = ？ 2
A
B D
C E
F
題型 10
A
如右圖，已知梯形 ABCD 中， EF // GH // BC ，若 4 AB = CD ，且 AE = BG = 50 ， EG = 75 ，則 CF = ？ 5
E G B
D F H C
14
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 如右圖，直線上有三點 A、B、C，又 P、Q 在 AB 的同側， R 是 AQ 與 BP 的交點，且 AP // BQ // CR ， 1 1 1 + = 。 (1) 試說明： AP BQ CR (2) 若 AP = 3 ， BQ = 6 ，求 CR 。
P
Q R
A
B
C
題型 12
A
如右圖，在 ABC 中，D 為 AB 的中點，且 DE // BC ，已知 BDC 的面積為 5，求 CDE 的面
D
積是多少？
B
E
C
1-1 比例線段
題型 13 A 如右圖，在 ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 的中 點。已知 AB = 8 ， AC = 6 ， BC = 7 ，則 ADE 的
D
周長是多少？
E
B
C
題型 14
A
如右圖，等腰 ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 的 中點，且 EF // AB 。已知 AB = AC = 10 ， BC = 8 D
，試求出四邊形 DBFE 的周長是多少？
B
E
F
C
15
16
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 A
如右圖，在 ABC 中，若 D、E 分別為 AB 、 AC 的 F
中點，F、G 分別為 AD 、 AE 的中點，已知 AB = 26
G
D
， BC = 20 ， AC = 20 ，則 AFG 的周長為何？
E
B
C
題型 16
A
如右圖， ABC 為正三角形，且 D、E、F 分別為三邊 的中點。已知 DEF 的周長為 18，則 ABC 的周長為 D
多少？
B
E
F
C
17
1-1 比例線段
題型 17
A
如右圖，在 ABC 中，D 為 AC 的中點，E 為 BD 的中點， 已知 ABC 的面積是 60， BC = 15 ，求 EF = ？
D E
B
F
G
C
題型 18 A
如右圖，已知 ABC ，利用尺規作圖，在 AB 上找一點 D， AC 上找一點 E，使得 DE // BC 且 DE : BC = 1 : 4 。
B
C
A
【作法】
B
C
18
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 19
A
I
J
D
右圖表示 E、F、G、H、I、J、M、N 八點在長方形 ABCD 四邊上的位置，其中 AE = EF = FB = DG = GH = HC ，且
G
E
AI = IJ= = JD BM = MN = NC 。若長方形 ABCD 的周長為 32，對角線長為 12，則 EI 、 FJ 、 BD 、 MG 、 NH 五 線段的長度和為何？
題型 20 如右圖，梯形 ABCD 中， ∠DAB = ∠ABC = 90° ，E 點在
H
F B
M N
C
A
D E
CD 上，且 DE : EC = 1 : 4 。若 AB = 5 ， BC = 4 ， AD = 8 ，則四邊形 ABCE 的面積為何？ B
C
19
1-2 相似形
１－２ 相似形 基本觀念 1. 相似形的意義、條件與表示法 相似形的意義：兩個平面圖形，不論其大小、位置，只要形狀相同，即稱這兩個圖形 為相似形。 相似多邊形：兩個邊數相同的多邊形，如果它們的對應角相等，且對應邊成比例時， 即稱這兩個多邊形為相似多邊形。我們以符號「～」表示兩個多邊形相 似。 例 ■
如右圖，四邊形 ABCD 與四邊形 A′B′C ′D′ 為相 似多邊形，記為四邊形 ABCD ～四邊形 A′B′C ′D′ A
則： 對應角相等： ∠A = ∠A′ ， ∠B = ∠B′ ， ∠C = ∠C ′ ， ∠D = ∠D′ 對應邊成比例：
B
D' A'
D
C
B'
AB BC CD DA = = = A′B′ B′C ′ C ′D′ D′A′
2. 利用方格紙繪製放大圖與縮小圖 在方格紙上，以方格當成參考線，依據對應的位置可畫出原圖的放大或縮小圖。 例 ■
如右圖，請利用方格紙畫出它的
解 □
方法一：方格單位不變
方法二：方格單位縮小成
1 倍 2
1 倍縮小圖。 2
C'
20
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 3. 利用坐標畫相似形 在坐標平面上畫出一多邊形的相似形，其步驟如下： (1) 先標示出此多邊形各頂點的坐標。 (2) 將各頂點的 x 坐標與 y 坐標都放大或縮小相同的倍數，得出各頂點的對應點。 y (3) 將這些對應點依序以線段連接，即可畫出相似形。 A(2,4) 1 倍縮小圖。 2
例 ■
如右圖，請利用坐標畫出它的
解 □
將 A、B、C、D、E 各點的 x 坐標與 y 坐標都乘以
B( −4,0)
1 O
1 ，得出對應點坐標： A′(1, 2) 、 B′(−2, 0) 、 2
x
1 D(0, −2)
C ′(−1, −2) 、 D′(0, −1) 、 E ′(2, −2) 。再連接 C (−2, −4)
A′B′ 、 B′C ′ 、 C ′D′ 、 D′E ′ 、 E ′A′ ， 1 即得 倍的相似五邊形 A′B′C ′D′E ′ 。 2
E (4, −4)
y
A′(1, 2) B′(−2, 0)
x
O C ′(−1, −2)
E ′(2, −2) D′(0, −1)
4. 利用比例線段性質製作相似多邊形 利用比例線段性質製作相似多邊形，其步驟如下： (1) 先任取一點，並將此點和多邊形的各頂點作連線。 (2) 分別在這些連線上找出等比例線段的對應點。 (3) 將這些對應點依序以線段連接，即可畫出相似形。 例 ■ 解 □
A
如右圖，請利用比例線段性質畫出 ABC 的 3 倍放大圖。 B
在 ABC 內任取一點 O。 分別在直線 OA、OB、OC 上依序取 A′ 、 B′ 、 C ′ 三點，
C A'
使得 OA′ = 3OA ， OB′ = 3OB ， OC ′ = 3OC 。 A
連接 A′B′ 、 B′C ′ 、 C ′A′ ，則 A′B′C ′ 即為所求。 B'
B
O C
C'
21
1-2 相似形 5. 相似多邊形的判別法則 若兩個邊數大於或等於 4 的多邊形， (1) 若角對應相等，但邊長沒有對應成比例，則兩多邊形不相似。 例 ■
如右圖，正方形 ABCD 與長方形 PQRS，
A
D
P
S
B
C
Q
R
雖然角都對應相等，但邊長沒有對應成比例， 所以不相似。
(2) 若邊長對應成比例，但角沒有對應相等，則兩多邊形不相似。 例 ■
如右圖，正方形 ABCD 與菱形 PQRS，
A
D
雖然邊長都對應成比例，但角沒有對應相等， 所以不相似。
P Q
B
C
S R
22
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ A
如圖，已知乙圖是用影印機將甲圖縮小而成， 試回答下列問題： (1) 乙圖是甲圖的幾倍縮小圖？縮小影印時使
D
20 B
110˚ 1
用的倍率是多少％？
15
16
C
B'
甲
A' 100˚ 24
D' 80˚
C'
乙
(2) 求 ∠1 ＝？ C ′D′ ＝？ BC ＝？
題型２ 如右圖，四邊形 ABCD ～四邊形 A′B′C ′D′ ，
A
已知 ∠A = 75° ， ∠B = 70° ， ∠C = 60° ，且
75˚
∠D′ 為 ∠D 的對應角，試求： (1) ∠D ＝？ (2) ∠D′ ＝？
A'
B
70˚
D'
D 60˚
C
B'
C'
1-2 相似形
題型３ 若五邊形 ABCDE 與五邊形 A′B′C ′D′E ′ 相似，且 ∠A : ∠B : ∠C : ∠D = 2 : 1 : 2 : 3 ， ∠E = 140° ，試求 ∠B 的對應角 ∠B′ 及 ∠D 的對應角 ∠D′ 的度數。
題型 4
A'
如右圖，四邊形 ABCD ～四邊形 A′B′C ′D′ ， A′B′ 為 AB 的對應邊，請問：
D'
A 2 D
(1) BC : B′C ′ ＝？ (2) C ′D′ ＝？
6
3 B
C
B'
C'
23
24
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 五邊形 ABCDE ～五邊形 A′B′C ′D′E ′ ，且五邊形 ABCDE 的周長為 32 公分，五邊形 A′B′C ′D′E ′ 的周長為 56 公分，已知五邊形 ABCDE 的最短邊長為 6 公分，則五邊形 A′B′C ′D′E ′ 的最短邊長為多少公分？
題型 6 A'
如右圖，四邊形 ABCD ～四邊形 A′B′C ′D′ ， B′C ′ 為 BC 的對應邊，求： (1) ∠D′ ＝？ (2) A′D′ ＝？ (3) C ′D′ ＝？
3
A
85˚ B 75˚
5
x+2 D 2 C
4x − 6
B'
D' 55˚ C'
1-2 相似形
題型 7 6
如右圖，一長方形長為 6 公分，寬為 4 公分，若將寬增 長 2 公分，則長要增加多少公分，所得的長方形才會與
4
原長方形相似？ 2
題型 8 請利用以下的方格紙，畫出右圖的 縮小圖。
3 1 倍放大圖與 倍 2 2
?
25
26
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9
y
如右圖，四邊形 ABCD ～四邊形 A′B′C ′D′ ，
A(−3,9)
請標示出 A′ 、 B′ 兩點的坐標。
A′ B′ B (−6, −3)
D′(3, 2) O
D(9, 6)
x
C ′(4, −2) C (12, −6)
題型 10 A
右圖為四邊形 ABCD，請繪製它的 2 倍放大圖。
D
B C
【作法】 A
D
B C
1-2 相似形
題型 11 判斷下列項目何者正確，如果正確，請在空格內打 ，並說明是否為相似形。 項目 角一定對應相等
邊長一定對應成比例
是否為相似形
多邊形 兩個平行四邊形 兩個等腰梯形 兩個正方形 兩個箏形
題型 12 判別下列何者一定是相似形，如果是，請在□打 ；如果不是，請寫出不是的原因。 (1) □ 兩個菱形。原因： 。 (2) □ 兩個長方形。原因： 。 (3) □ 兩個直角三角形。原因： 。 (4) □ 兩個正五邊形。原因： 。
27
28
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 下列那一個選項中的兩個圖形不是相似形？ (A)
(B)
4 3
(C)
24 18
3
6
2
18
32
90˚ 120˚ 24 18
110˚ 24
24
32
(D)
3 3 120˚ 3 120˚ 3
題型 14 有大小相同的正方形積木 800 塊，甲拿其中的 12 塊拼成 如右圖的長方形，若乙拿剩下的積木拼成與右圖相似的 長方形，試問最少剩下幾塊積木？
4 60˚ 4
3 60˚3
100˚ 24
3
3 120˚ 3
4
4 4 4 120˚
4 120˚
4 120˚ 4
4
29
1-2 相似形
題型 15 右圖的兩長方形 ABCD、ECGF 為相似形，且
A
D E
F
C
G
AD 的對應邊為 EF 。若 AB = 6 、 FG = 4 、 BG = 25 ，則兩長方形的面積和為何？
B
題型 16 右圖是 E、F、G、H、I、J 六點在菱形 ABCD 四邊上的 位置圖，其中 EF 、 GI 、 HJ 將菱形分成甲、乙、丙、 丁、戊、己六個平行四邊形。若 AG : GH : HD = 5 : 10 : 9 ， AE : EB = 3 : 5 ，試判斷甲、乙、丙、丁四個平行四邊 B 形何者與菱形 ABCD 相似，並說明理由。
E 丙 I
A 戊 丁 J
G
H
甲
乙
己
C
D F
30
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
１－３ 相似三角形 基本觀念 1. 相似三角形的意義與性質 意義：兩個三角形，如果它們的對應角相等，或對應邊成比例時，即稱這兩個三角形 為相似三角形。 ※ 兩個三角形相似的條件，只要①對應角相等，②對應邊成比例，其中一個成立即可。 例 ■
如右圖， ABC 與 A′B′C ′ 為相似三角形， 記為 ABC ~ A′B′C ′ ，則：
A' A
對應角相等： ∠A = ∠A′ ， ∠B = ∠B′ ， ∠C = ∠C ′ 對應邊成比例：
AB BC CA = = A′B′ B′C ′ C ′A′
B
C
B'
C'
相似三角形的性質： (1) AAA(AA) 相似性質 (2) SSS 相似性質 (3) SAS 相似性質 2. 相似三角形之判別─ AAA(AA) 相似性質 如果兩個三角形中有三組角對應相等，則這兩個三角形相似，此性質稱為「AAA 相似 性質」。當兩個三角形中有兩組角對應相等時，第三組角也會對應相等，所以「AAA 相似性質」又可稱為「AA 相似性質」。 例 ■
如右圖，在 ABC 與 PQR 中， ∠A = ∠P ，
P
A
∠B = ∠Q ， ∠C = ∠R ，試說明 ABC ~PQR 。 說明
∵ ∠A = ∠P ∴將 ABC 疊到 PQR 上
B
C Q
R
又∵ ∠B = ∠Q ∴ BC // QR （同位角相等） ⇒ AB : PQ = BC : QR = CA : RP （平行線截比例線段）…①
P (A)
又∵ ∠A = ∠P ， ∠B = ∠Q ， ∠C = ∠R …② 由①、②得知 B
ABC 與 PQR 的對應邊成比例且對應角相等， 所以 ABC ~PQR 。
Q
C R
1-3 相似三角形 3. 相似三角形之判別─ SSS 相似性質 如果兩個三角形中有三組邊長對應成比例，則這兩個三角形相似，此性質稱為「SSS 相 似性質」。 例 ■
如右圖，在 ABC 與 PQR 中，
AB = : PQ BC = : QR CA : RP ，試說明 ABC ~PQR 。
P
A
說明
在 PQ 上取一點 S，使得 PS = AB 。
B
C Q
過 S 作平行線交 PR 於 T ⇒ ST // QR
R
⇒ ∠PST = ∠Q ， ∠PTS = ∠R （同位角相等） ⇒PST ~PQR （AA 相似性質）
P
⇒ PS : PQ = ST : QR = TP : RP （對應邊成比例） 又∵ AB = : PQ BC = : QR CA : RP
S
T
⇒ AB = PS ， BC = ST ， CA = TP ⇒ ABC ≅PST （SSS 全等性質）
Q
R
又∵ PST ~PQR ∴ ABC ~PQR 。
4. 相似三角形之判別─ SAS 相似性質 如果兩個三角形中有一組角對應相等，且夾這組等角的兩組邊長對應成比例，則這兩 個三角形相似，此性質稱為「SAS 相似性質」。 例 ■
如右圖，在 ABC 與 PQR 中， ∠A = ∠P 且
P
A
AB : PQ = AC : PR ，試說明 ABC ~PQR 。 說明
∵ ∠A = ∠P ∴將 ABC 疊到 PQR 上
B
C Q
⇒ B 點在 PQ 上，C 點在 PR 上
R
∵ AB : PQ = AC : PR ⇒ PB : PQ = PC : PR 在 PQR 中，
P (A)
∵ PB : PQ = PC : PR ⇒ BC // QR （平行線截比例線段） ⇒ ∠PBC = ∠Q ， ∠PCB = ∠R （同位角相等）
B
C
⇒PBC ~PQR （AA 相似性質） ⇒ ABC ~PQR
Q
R
31
32
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 5. 直角三角形之母子相似性質
A
如右圖，若ABC 為直角三角形，且 ∠A = 90° ， AD ⊥ BC ，可得 ABC ~DBA ~DAC ，則： 2
(1) AB = BC × BD 2
(2) AC = BC × CD
B
D
2
(3) AD = BD × CD
C
A
6. 相似三角形的面積比與邊長對應關係比 (1) 兩相似三角形，其對應邊長比＝對應高的比＝ 對應角平分線的比＝對應中線長的比＝對應周長
B
F
C
E D P
的比。 (2) 兩相似三角形的面積比＝對應邊長的平方比。 例 ■
Q
如右圖， ABC ~PQR ，且 AB : PQ = 3 : 2 。
U T S
R
AE 為 ∠BAC 的角平分線， AD 與 AF 分別為 ABC 的高與中線。 PT 為 ∠QPR 的角平分線， PS 與 PU 分別為PQR 的高與中線，則： (1) AD = : PS AE = : PT AF : PU = 3 : 2 (2) ABC 面積： PQR 面積＝ 32 : 22 = 9 : 4 7. 相似三角形的應用─簡易測量問題 E
生活中，我們常用相似形來作測量問題。 例 ■
如右圖，A 點到 B 點的距離為 3m，B 點到樹根 C 點的距離為 9m，B 點上有一標竿 BD 長為 2m，A 點與標竿頂 D 點的延長線恰好通過樹頂 E 點，求 樹高？
解 □
D A
B
C
依題意，畫出如右的簡易圖形。 E
在 DAB 與 EAC 中 ∵ ∠A = ∠A ， ∠DBA = ∠ECA = 90° ∴ DAB ~EAC （AA 相似性質）
⇒ AB : AC = BD : CE ⇒ 3 : 12 = 2 : CE
⇒ CE = 8 即樹高為 8m
?
D 2 A
3 B
9
C
1-3 相似三角形
精選題型 題型１ 下圖中有 6 個三角形，請找出彼此相似的三角形，並說明理由。 D
A 6 B
60˚
6 6
G
6 E
C
110˚ 35˚
F
2.5
50˚
H
I
3
M 6
70˚
5 60˚
3 60˚ J
N
3 60˚
3
35˚
題型２ 兩相似三角形，其中一三角形的三邊長為 4、x、6，另一三角形的三邊長為 6、10、y，求 x、y。
33
34
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型３ A
50˚
如右圖，若 AD = 2 x ， BD = 3 x + 2 ， AE = 12 ，
12
2x
CE = 21 ， ∠A = 50° ， ∠B = 70° ， ∠AED = 60° ，則：
60˚
D
(1) ABC 與 ADE 是否會相似？為什麼？
E 21
3x + 2
(2) 求 x ＝？
B
70˚
C
題型 4
E
如右圖，ABCD 為平行四邊形，E 為直線 CD 上一點，
F
A
BE 交 AD 於 F，且交 AC 於 G，已知 BC = 12 ， FD = 4 ，求 BG : EG 的比值是多少？
D
G B
C
1-3 相似三角形
題型 5 在 ABC 與 DEF 中，若 AB =
3 3 3 DE ， BC = EF ， AC = DF ，則此兩個三角形 4 4 4
是否相似？為什麼？
題型 6 A
如右圖，四邊形 A′B′C ′D′ 是四邊形 ABCD 以 O 為中心點 所作的放大圖，且 OA : AA′ = 1 : 3 ，請問：
A'
O
D
B C
D'
(1) AB : A′B′ ＝？ (2) 若 BC = 6 ，則 B′C ′ ＝？ B'
C'
35
36
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7
P 8cm Q
3 3 一支夾子如右圖所示，若 AE = AC ， BD = BC ，則： 2 2
A
B
(1) ABC 是否與 EDC 相似？ (2) 若在夾子前面有一個長方形物體，其長 PQ = 8cm ，
C
如果想用 A、B 夾住 P、Q 兩點，那麼手握的地方 DE 要張開多少 cm 才可以夾住它？
D
E
題型 8 A
如右圖所示，求 x ＝？
12 10 C 15 D
B
6 9
x
E
1-3 相似三角形
題型 9
A
如右圖， ABC 為直角三角形， AD ⊥ BC ， ∠BAC = 90° ，請回答下列問題： (1) DBA 與 ABC 是否相似？ (2) 若 AB = 8 ， AC = 6 ，求 BD ＝？
B
D
C
題型 10 A
如右圖， ABC 為直角三角形， AD ⊥ BC ，且 60 ∠BAC = 90° ，已知 AD = ， BD : CD = 144 : 25 ，求 13 ABC 的周長。
B
D
C
37
38
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11
A
如右圖， ABC 中， AD ⊥ BC 交 BC 於 D 點， 2 AD ⊥ EF 交 EF 於 G 點，已知 EF = BC ，求 3 AG : AD 的比值。
E
F
G
B
D
C
題型 12 A
如右圖，已知 AB // A′B′ ， BC // B′C ′ ， AC // A′C ′ ，且 ABO 面積＝ 9 A′B′O 面積，
A'
已知 ABC 的周長為 54 公分，求 A′B′C ′ 的周長為多
O
少公分？ B' B
C' C
1-3 相似三角形
題型 13
50cm
一根旗桿長 4m，在陽光的照射下，影子長 1.6m；今在旗 桿上綁一支旗子，如果旗子超出旗桿 50cm，那麼旗子的
4m
影長為多少 cm ？
? 1.6m
題型 14
C
兩根長短不同的電線桿 AB 與 CD 直立在地面上，若分
A
別從兩電線桿的頂點 A、C 兩處拉鋼索將兩桿固定，如右 圖所示。已知 AB = 10m ，且兩鋼索相交處 E 距離地面 6m，則 CD 為多少 m ？
E
10 m
6m B
F
D
39
40
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15
P
如右圖，P、Q 是湖岸邊的兩點，欲量測 P、Q 兩點間的
S
距離，可在湖外取一點 R，並在 RP 、 RQ 上各取一點 S、
R
T，使得 ST // PQ 。已量測得知 RS = 24m ， ST = 18m ， SP = 28m ，試求 PQ ＝？
T Q
題型 16 如右圖，阿國想測量樹高，他先在樹前方放一面鏡子， 再自距離鏡前 2m 處向鏡子看，透過光的反射看到樹梢，160 cm 若樹距離鏡子 4m，阿國身高 160cm，則樹高多少 m ？
2m 鏡 子
4m
1-3 相似三角形
題型 17 小白想要估測對岸的矩形房子 ABCD 的寬度 AB ，他設
G
E
計了兩個梯形 EFAB 和 GHFE，如右圖所示，已知 G、B、
B
C
A
D
E 三點共線，河寬 AF 為 30 公尺， HF = 60 公尺， GH = 45 公尺， EF = 35 公尺，則房子 ABCD 的寬度
H
F
AB 為多少 m ？
題型 18 如右圖，有 A 市與一條直線型的道路，小英從 A 市向東
N
道路
走 10 公里，再向北走 3 公里可到達道路，小白從 A 市向 西走 8 公里，再向北走 12 公里也可以到達道路，則小英 從 A 市向東走幾公里可到達道路？
A
41
42
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 19
y
如右圖，已知第一象限內兩點 P、Q，且原點 O 與 P、Q
Q
三點在同一直線上， OP : PQ = 2 : 3 。若 Q 點坐標為 (10,15)，則 P 點坐標為何？
P x
O
題型 20 A
如右圖，直角 ABC 中，已知 ∠B = 90° ， AB = 5 ， BC = 12 ，D 點在 BC 上，E 點在 AC 上，F 點在 AB 上。若四邊形 BDEF 為正方形，試求正方形 BDEF 的周 長是多少？
5
E
F B
D
12
C
43
1-3 相似三角形
題型 21
G
如右圖，兩正方形 ABCD、GCEF 的面積分別為 1、49，
F
且 C 點在 BE 上。若 AF 與 CG 相交於 H 點， 則 DH ＝？
H A B
D C
E
題型 22
D
右圖為 ABC 與 DEC 重疊的情形，其中 E 在 BC
A
上， AC 交 DE 於 F 點，且 AB // DE 。若 ABC 與
F
DEC 的面積相等，且 EF = 9 ， AB = 12 ， 則 DF ＝？
B
E
C
44
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 23 如右圖，邊長 12 的正方形 ABCD 中，有一個小正方形
A
D
EFGH，其中 E、F、G 分別在 AB 、 BC 、 FD 上。若
H
BF = 3 ，則小正方形的邊長為何？ G
E B
C
F
題型 24
A
右圖為一 ABC ，其中 D、E 兩點分別在 AB 、 AC 上， 且 AD = 31 ， DB = 29 ， AE = 30 ， EC = 32 。若 D
∠A = 50° ，試比較圖中 ∠1 、 ∠2 、 ∠3 、 ∠4 的大小
1
2
E
關係。 B
3
4
C
2 圓形與圓的性質 2-1 點、直線、圓之間的關係 2-2 圓心角、圓周角及弦切角
46
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
２－１ 點、直線、圓之間的關係 基本觀念 1. 點與圓的位置關係 圓的定義：如右圖，在平面上與一固定點 O 距離相等的所 有點組成的圖形就是圓形，又稱圓 O。
O
點與圓的位置關係有三種： 當 OP < r 時，
當 OP = r 時，
當 OP > r 時，
P 點在圓 O 的內部
P 點在圓上
P 點在圓 O 的外部 P
P
P O
r
O
r
O
r
2. 點與點、點與線的距離 兩點間的距離：兩點間以直線距離最短，此距離即稱
B
為兩點間的距離。如右圖，A、B 兩點 間的距離為 AB 。 A 點與直線的距離：直線外一點到該直線上任一點的距
P
離，以垂直的線段最短，此線段即 稱為點到直線的距離。如右圖，P 點到直線 L 的距離為 PQ 。 Q
L
2-1 點、直線、圓之間的關係 3. 直線與圓的位置關係 直線與圓的位置關係有三種：
O
當 OP > r 時，
r
直線 L 與圓 O 不相交。
L
P
當 OP = r 時， 直線 L 與圓 O 相交於一點 P。
O
r
※ 此時直線 L 與圓 O 相切，並稱直線 L 為圓 O 的 切線，P 點為切點。
L
P
當 OP < r 時， 直線 L 與圓 O 相交於 A、B 兩點。
O
※ 此時我們稱直線 L 為圓 O 的割線，圓心 O 到割 線 L 的距離 OP 稱為弦心距。
A
r B
P
L
4. 弦心距的意義與性質 弦的意義：圓周上任相異兩點的連線稱為弦。 弦心距：一弦與圓心的距離稱為弦心距。 例 ■
O
如右圖， AB 為圓 O 的弦， OP 的長為 AB 的弦 心距。
A
P
B
47
48
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 弦心距的性質： (1) 一弦的弦心距垂直平分此弦。 例 ■
如右圖， OP ⊥ AB 且 AP = PB 。
O A
P
B
Q
D
(2) 在同一圓中，兩弦心距若等長，則其所對應的兩弦也等長。 例 ■
如右圖， AB = CD ，則 OP = OQ 。 C
O A
B
P
(3) 在同一圓中，兩弦心距若不等長，則弦心距較長的弦較短；反之，弦心距較短的弦 較長。 例 ■
如右圖， EF > AB ，則 OR < OP 。 O E
F
R A
B
P
5. 一弦的垂直平分線必過其所在圓的圓心 L
如右圖，弦 AB 的垂直平分線 L 通過圓心 O。
O
A
B
2-1 點、直線、圓之間的關係 6. 圓之切線與切線段長性質 切線性質： (1) 圓心與切點的連線必和切線垂直。
O
(2) 圓心與切點的距離等於圓的半徑。 例 ■
r
如右圖，L 為圓 O 的切線，P 為切點， 圓 O 半徑＝ r，則 OP ⊥ L 且 OP = r 。
L
P A
切線段長：如右圖，P 點為圓 O 外一點， 由 P 點向圓 O 作一切線，其切點為 A， O
則我們稱 PA 為 P 點到圓 O 的切線段長。
P
切線段性質： (1) 過圓外一點對此圓所作的兩切線段等長。 (2) 圓外一點與圓心的連線會平分過此點的兩切線夾角。 例 ■
A
如右圖，P 為圓 O 外一點， PA 、 PB 均為圓 O r
的切線，A、B 為切點，則 PA = PB ，且 OP 會 O
平分 ∠APB 。
P
r B
7. 內切圓與圓外切四邊形 內切圓：一平面上的多邊形，其每一邊都能與多邊形 內部的一個圓形相切，則此圓就是多邊形的 內切圓，而此多邊形就是圓外切多邊形。
圓外切四邊形：若一四邊形有內切圓，則此四邊形的 對邊長的和相等。 例 ■
P
A
B
如右圖，四邊形 ABCD 各邊與圓 O 相切於 P、Q、R、S 點，則 AB + CD = BC + DA 。
Q
S D
R
C
49
50
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 8. 兩圓的位置關係 連心線：平面上連接兩圓圓心的直線稱為連心線；而兩圓圓心的距離稱為連心線長。 例 ■
如右圖，直線 L 通過圓 O1 與圓 O2 的圓心，
r1
則 L 稱為圓 O1 與圓 O2 的連心線，
r2
O1
O1O2 的長稱為連心線長。
O2
平面上兩圓 O1 、 O2 的位置關係有五種： 兩圓位置 兩圓位置圖示
相交情形
關係名稱
外離
外切
相交
內切
內離
O2
O1
O2
O1
O2
O1
O1
O2 O1
O2
O1O2 與兩圓半徑 r1 、 r2 的關係
不相交
O1O2 > r1 + r2
相交於一點
O1O2 = r1 + r2
相交於兩點
r1 − r2 < O1O2 < r1 + r2
相交於一點
r1 − r2 = O1O2
不相交
r1 − r2 > O1O2
2-1 點、直線、圓之間的關係 9. 兩圓之公切線─外公切線與內公切線 公切線：在平面上，若一直線同時是兩圓的切線，我們就稱此直線是兩圓的公切線。 (1) 外公切線：當公切線與兩圓的連心線段不相交時，稱此公切線為外公切線。 A
B
O1
O2
O1 O2
C
D
A
A
B
O1
O2
O1
C
D
D
B O2 C
※ 外公切線在其兩切點間的線段，稱為外公切線段，兩圓的外公切線段會等長。 如上圖中， AB 、 CD 皆為圓 O1 與圓 O2 的外公切線段，則 AB = CD 。 (2) 內公切線：當公切線與兩圓的連心線段相交時，稱此公切線為內公切線。 A
D
O1
O2 C
O1
O2
B
※ 內公切線在其兩切點間的線段，稱為內公切線段，兩圓的內公切線段會等長。 如上圖中， AB 、 CD 皆為圓 O1 與圓 O2 的內公切線段，則 AB = CD 。
51
52
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 10. 外公切線段長公式之推導 例 ■
如右圖，試推導外公切線段長公式
A B
2
AB = O1O2 − (r1 − r2 ) 2 說明
過圓 O2 的圓心，作平行 AB 的直線交
r1
r2
O1
O2
O1 A 於 C 點 O2C // AB 且 ∠O1 AB = 90° （A 為切點） ∴∠O1CO2 = ∠O1 AB = 90° （同位角相等） 且 O2C = AB （平行線間的距離相等）
A B
r1
在 O1CO2 中
C
r2
∠O1CO2 = 90°
O1
O2
2
2
2
2
2
∴ O2C = O1O2 − O1C （勾股定理） ⇒ AB = O1O2 − (r1 − r2 ) 2 2
⇒ AB = ± O1O2 − (r1 − r2 ) 2 （負不合） 11. 內公切線段長公式之推導 例 ■
如右圖，試推導內公切線段長公式 2
AB = O1O2 − (r1 + r2 ) 2
r1
說明
過圓 O2 的圓心，作平行 AB 的直線交
A
O1
O1 A 的延長線於 C 點
B
r2
O2
O2C // AB 且 ∠O1 AB = 90° （A 為切點） ∴∠O1CO2 = ∠O1 AB = 90° （同位角相等）
C
且 O2C = AB 、 AC = r2 （平行線間的距離相等） 在 O1CO2 中
r1
∠O1CO2 = 90° 2
2
2
2
2
∴ O2C = O1O2 − O1C （勾股定理） ⇒ AB = O1O2 − (r1 + r2 ) 2 2
⇒ AB = ± O1O2 − (r1 + r2 ) 2 （負不合）
A
O1 B
r2
O2
53
2-1 點、直線、圓之間的關係
精選題型 題型１ 在一平面上，若圓 O 的半徑為 6 公分，A、B、C 三點與圓 O 的距離分別為 5 公分、6 公分、 7 公分，試說明 A、B、C 三點分別與圓的位置關係。
題型２ 如右圖，P 點在圓 O 的外部，直線 PO 交圓 O 於 A、B 兩點。已知 OP = 12 公分，圓 O 半徑 為 5 公分，試求 P 點到圓 O 上的點的最長距 離與最短距離分別為多少？
B
O
A
P
54
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型３
E (−2,5)
y
如右圖，在坐標平面上，以原點 O 為圓心， OA 為半徑
A(3, 4)
畫圓，試判斷 B、C、D、E 四點與圓 O 的位置關係。 B (−5, 0)
D(−2, −2)
x
O
C (4, −3)
題型 4 已知一圓 O 的直徑為 10 公分，且圓心 O 到三條直線 L1 、 L2 、 L3 的距離分別為 10 公分、 5 公分、3 公分，那麼這三條直線分別和圓 O 有幾個交點？哪幾條是割線？哪幾條是切線？
2-1 點、直線、圓之間的關係
題型 5 已知在坐標平面上有一圓，其圓心 A 點的坐標為 (1,2)，已知圓 A 的半徑為
5 ，且一直
線 L 的方程式為 x = −1 ，則直線 L 與圓 A 的位置關係如何？
題型 6 如右圖， AB 是圓 O 上的一弦， OC 為其弦心距。已知 圓 O 半徑為 5cm， OC = 3cm ，則 AB ＝？
O
A
C
B
55
56
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7 如右圖，若 AB 、 BC 為圓 O 的兩弦，且 AB ⊥ BC ， OE ⊥ AB ， OD ⊥ BC ，若 AB = 24 ， BC = 10 ，求圓
E
A
O 的半徑是多少？
B
O
D C
題型 8 如右圖， CD 是圓 O 的直徑，且 AB ⊥ CD ，若 AB = 16 公分， CE = 4 公分，求 CD ＝？
C
A
E O
D
B
2-1 點、直線、圓之間的關係
題型 9 如右圖，若 AB = 24 公分， CD = 18 公分， AB 的弦心
M
A
B
距 OM = 9 公分，則 ON ＝？ O
C
N
D
題型 10 如右圖，有兩個同心圓，大圓的弦 AB 與小圓相切於 C 點，已知大圓的半徑為 25 公分，小圓的半徑為 7 公分， O
求 AB 的長是多少？ A
C
B
57
58
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11 y
如右圖，圓 A 與坐標軸交於原點，且已知點 B(−24, 0) 與 點 C(0,10) 均在圓 A 上，求： (1) 圓心 A 的坐標。 (2) 圓 A 的面積。
C (0,10)
A
x
O
B (−24, 0)
題型 12 如右圖，直線 L 為圓 O 的切線，P 為切點， OQ 交圓 O
O
於 R 點，若圓 O 的半徑為 5 公分， PQ = 12 公分，則 QR ＝？
R P
Q
L
2-1 點、直線、圓之間的關係
題型 13 A
如右圖， PA 、 PB 分別與圓 O 相切 A、B 兩點， OP 與圓 O 相交於 C 點，若 ∠APB = 70° ，圓 O 半徑為 6， AP = 8 ，則：
O
1 2
C
(1) ∠CAP ＝？ B
(2) CP ＝？
題型 14 A
如右圖， AB 為圓 O 的直徑， AC 、 CD 、 BD 均為 圓 O 的切線，A、E、B 均為切點，已知 AC = 4 ， BD = 6 ，則：
C
E
O
(1) CD = ？ (2) ∠COD ＝？
B
D
P
59
60
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15
A D
如右圖，若四邊形 ABCD 四邊均與圓 O 相切，已知 AB = 12 ， CD = 7 ，則四邊形 ABCD 的周長為何？
O
B
C
題型 16 已知大圓 O1 與小圓 O2 外切時，其連心線長為 15，且內切時其連心線長為 9，則兩圓的 半徑各是多少？
2-1 點、直線、圓之間的關係
題型 17 已知圓 O1 、圓 O2 的半徑長分別是 8 公分、3 公分，根據圓 O1 與圓 O2 的連心線長，判 斷兩圓的位置關係，並在下面空格中填入適當的答案。 O1O2 的長（公分）
13
11
9
5
3
0
兩圓交點個數 兩圓的位置關係
題型 18 A
已知圓 O1 與圓 O2 相交於 A、B 兩點，若 O1 A ⊥ O2 A ， O1 B ⊥ O2 B ，且 O1 A = 4 ， O2 A = 3 ，求 AB ＝？
O1
C B
O2
61
62
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 19 如右圖， O1 、 O2 、 O3 分別是兩兩互相外切的三圓， O2
若 O1O2 = 7 ， O2O3 = 6 ， O1O3 = 5 ，求此三圓的半徑。
O3
O1
題型 20 如右圖，兩圓 O2 、 O3 外切，而圓 O2 、 O3 同時與圓 O1 內切，若 O1O2 = 7 ， O2O3 = 8 ， O1O3 = 9 ，求此三 圓的半徑。
O2
O1
O3
2-1 點、直線、圓之間的關係
題型 21
A
如右圖，若圓 O1 的半徑為 15，圓 O2 的半徑為 5，且 O1O2 = 26 ，求圓 O1 與圓 O2 的公切線 AB 的長度。
B O2
O1
題型 22 如右圖，若圓 O1 的半徑為 8，圓 O2 的半徑為 4，且
A
O1O2 = 15 ，求圓 O1 與圓 O2 的公切線 AB 的長度。 O1
B
O2
63
64
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 23 B
如右圖，圓 O1 與圓 O2 兩等圓外切並分別與直角三角形 ABC 的其中兩邊相切，若 ∠C = 90° ， AB = 13 ， O1
AC = 12 ，則此等圓的半徑是多少？
O2
A
C
題型 24 如右圖， CA 、 CD 分別切圓 O1 於 A、D 兩點， CB 、 CE 分別切圓 O2 於 B、E 兩點。若
O1
∠1 = 60° ， ∠2 = 65° ，試判斷 AB 、 CD 、 CE 長度的大小關係。
D
A 1
B O2 2 C
E
2-1 點、直線、圓之間的關係
題型 25 D
如右圖， ABC 中， AB = 3 ， AC = 4 ， BC = 5 。若
B F
三直線 AB、AC、BC 分別與圓 O 切於 D、E、F 三點， 則 BE ＝？
A C E
O
題型 26 如右圖， AB 、 CD 分別為兩圓的弦， AC 、
A
D
BD 為兩圓的公切線且相交於 P 點。若 PC = 2 ， P
CD = 3 ， DB = 6 ，則 PAB 的周長為何？
C B
65
66
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
２－２ 圓心角、圓周角及弦切角 基本觀念 1. 圓心角與弧的度數
A
圓心角：在平面上一圓，以圓心為頂點，兩半徑為邊所夾 的角稱為圓心角。 例 ■
O
如右圖，若 OA 、 OB 為圓 O 的兩半徑，則 ∠AOB 就 稱為圓心角。其中， AB 稱為圓心角 ∠AOB 所對的弧。
弧：如右圖，圓 O 上任意兩點 A、B，把圓分成兩個弧， 其中小於半圓的弧稱為劣弧，以 ACB 表示，通常記
B A
D
為 AB ；大於半圓的弧稱為優弧，以 ADB 表示。 ※ AB 代表弧的度數或弧的長度。
O C
例 B
例 例 ■
如右圖，若圓 O 的半徑為 r， AB 的度數即為 ∠AOB 的度數，所以 AB = ∠AOB = x° x ， AB 的長度即為圓周長 × 360 x 所以 AB 的長度＝ 2π r × 360
A r x˚
O
B 2. 圓心角所對弦長、弧長與扇形面積 例 ■
A
如右圖，圓 O 半徑為 6，圓心角 ∠AOB = 120° ， 求弦長 AB 、弧長 AB 與扇形 AOB 的面積與周長。
6 O
120˚
B
2-2 圓心角、圓周角及弦切角 解 □
過 O 點作 OC ⊥ AB ，如右圖所示。
A
在 AOC 與 BOC 中
6
∠ACO = ∠BCO = 90° ， OA = OB ， OC = OC O
∴ AOC ≅BOC （RHS 全等性質）
C
⇒ ∠AOC = ∠BOC = 60° ⇒AOC 為 30° − 60° − 90° 的直角三角形
B
⇒ AC = 3 3 ⇒ AB = 2 AC = 2 × 3 3 = 6 3 x 120 AB = 2π r × = 2π × 6 × = 4π 360 360 x 120 2 = π × 62 × = 12π 扇形 AOB 的面積＝ π r × 360 360 AB = 2 × 6 + 4π = 12 + 4π 扇形 AOB 的周長＝ 2r + 3. 等弦、等弧與等圓心角之討論 在半徑相異的兩圓，相同的圓心角所對弧的度數相等，但所對弧長不相等。 在半徑相同的兩圓或是同一圓中，相同的圓心角所對弧的度數相等，其所對弧長也相 等，稱為等弧，且所對弦長也會相等，稱為等弦；反之，等弧、等弦所對的圓心角與 弧的度數也會相等。 例 ■
如右圖，若 AB = CD ，試說明
(1) ∠AOB = ∠COD
C
A
(2) AB = CD O
說明
(1) 在 AOB 與 COD 中 AB = CD ， OA = OB = OC = OD ∴ AOB ≅COD （SSS 全等性質） ⇒ ∠AOB = ∠COD (2) 設 ∠AOB = ∠COD = x° ， OA = OB = OC = OD = r ∠AOB x = 2π r × AB = 2π × OA × 360 360 = 2π × OC × ∠COD = 2π r × x CD 360 360 ⇒ AB = CD
D
B
67
68
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 ，試說明 如右圖，若 AB = CD
C
(1) ∠AOB = ∠COD
A
(2) AB = CD (1) ∵ AB = 2π × OA ×
∠AOB 360
O
= 2π × OC × ∠COD CD 360
D
B
又 OA = OC ，且 AB = CD ∴∠AOB = ∠COD (2) 在 AOB 與 COD 中 ∠AOB = ∠COD ， OA = OB = OC = OD ∴ AOB ≅COD （SAS 全等性質） ⇒ AB = CD 4. 圓周角與其所對的弧
A
B
O
圓周角：兩弦的交點在圓周上，所形成的夾角稱為 圓周角。 例 ■
C
如圖 ( 一 )，若 AB 、 BC 為圓 O 的兩弦，
圖（一）
則 ∠ABC 就稱為圓周角。其中， AC 稱為
D
A
其所對的弧， AC 稱為其所對的弦。
圓周角的性質：
B
O
(1) 圓周角的度數等於其所對弧度數的一半。 (2) 對同一弧，圓周角的度數等於圓心角度數的一半。 1 AC = ∠AOC 2 (3) 同一圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等。
例 ■
例 ■
如圖 ( 一 )， ∠ABC =
圖（二） R
如圖 ( 二 )， ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC
(4) 半圓或直徑所對的圓周角等於 90 ∘。 例 ■
C
E
如圖 ( 三 )， ∠PRQ = 90°
P
O
圖（三）
Q
2-2 圓心角、圓周角及弦切角 5. 平行線截等弧性質 例 ■
。 如右圖，已知 L1 // L2 ，試說明 AC = BD
說明
A
連接 BC ，
⇒
1 1 AC ， ∠BCD = BD （圓周角性質） 2 2
C
D
1 1 AC = BD ⇒ AC = BD 2 2
6. 圓內接四邊形 意義：一四邊形其四個頂點都在圓周上，則此四邊形稱為圓內接四邊形。 性質：圓內接四邊形對角互補。 例 ■
A
B
如右圖，四邊形 ABCD 為圓內接四邊形， 試說明 ∠ABC + ∠ADC = 180° 。
O
1 1 說明 ∠ABC + ∠ADC = ADC + ABC 2 2 1 1 = ( ADC + ABC ) = × 360° = 180° 2 2
D
C
7. 弦切角之意義與性質 意義：過圓上同一點的弦與切線所夾的角，稱為弦切
C
D
角。 例 ■
如右圖， PC 為圓 O 的一弦，直線 AB 為圓 O 的
O
切線，P 為切點，則 ∠CPB 、 ∠CPA 均為弦切角， 稱為 ∠CPB 的夾弧、 CDP 為 ∠CPA 的 其中 CP 夾弧。
A
1 圓周角，則： ∠CPB = CP 2 1 ∠CPA = CDP 2
1 ∠CPB = ∠CDP = CP 2
C
D
如右圖， ∠CPB 、 ∠CPA 為弦切角， ∠CDP 為
B
P
性質：弦切角的度數等於其所夾弧度數的一半。 例 ■
L1
O
L1 // L2 ∴∠ABC = ∠BCD （內錯角相等） 又 ∵ ∠ABC =
B
O
A
P
B
L2
69
70
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 Q
說明
C
D
如右圖，連接 PO 並延長交圓 O 於 Q 點。 ∵直徑 PQ 與切線 AB 相交於 P 點， 1 ∴ ∠QPB = 90° = QCP 2 1 ∠QPA = 90° = QDP 2 1 又∵ ∠QPC = QC 2
O
A
B
P
1 1 1 1 ⇒ ∠CPB = ∠QPB − ∠QPC = QCP − QC = (QCP − QC ) = CP 2 2 2 2 1 1 1 1 ⇒ ∠CPA = ∠QPA + ∠QPC = QDP + QC = (QDP + QC ) = CDP 2 2 2 2 8. 圓內角之意義與性質 C
意義：若兩弦交於圓內一點，則此兩弦所形成的交角
例 ■
1
2
稱為圓內角。
A
3 4 O
如右圖， ∠1 、 ∠2 、 ∠3 、 ∠4 稱為圓內角。
D
B 性質：圓內角度數等於其所夾兩弧度數和的一半。 例 ■
1 ) 。 試說明 ∠APD = ( AD + BC 2
P
說明
如右圖，連接 BD 。 1 1 ⇒ ∠ABD = AD ， ∠CDB = BC （圓周角性質） 2 2 在 BPD 中 ∠APD = ∠ABD + ∠CDB 1 1 = AD + BC 2 2 1 ) = ( AD + BC 2
A
C
如右圖， ∠APD 為圓內角，
O B
D
71
2-2 圓心角、圓周角及弦切角 9. 圓外角之意義與性質 意義：圓的兩條切線或一條切線與一條割線或兩條割線相交於圓外，所形成的角稱為 圓外角。 例 ■
如下圖， ∠APB 、 ∠CPD 、 ∠QPS 都稱為圓外角。 A
C
Q R
P
O
O D
B
E
P
O
P
T
S
性質：圓外角度數等於其所夾兩弧度數差的一半。 例 ■
如右圖， ∠QPS 為圓外角， 1 試說明 ∠QPS = (QS − RT ) 。 2
Q O
說明
如右圖，連接 RS 。 1 1 ⇒ ∠QRS = QS ， ∠RST = RT （圓周角性質） 2 2
R P
T S
在 RSP 中 1 1 1 ∠QPS = ∠QRS − ∠RST = QS − RT = (QS − RT ) 2 2 2 10. 圓冪定理─圓內冪性質 例 ■
A
C P
如右圖，試說明圓內冪性質 PA × PB = PC × PD 。
O
說明
如右圖，連接 AD 、 BC 。 在 APD 與 CPB 中 1 BD （圓周角性質） 2
P
∴ APD ~CPB （AA 相似） ⇒
PA PD = ⇒ PA × PB = PC × PD PC PB
A
C
∠APD = ∠CPB （對頂角相等） 又 ∵ ∠A = ∠C =
D
B
O B
D
72
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 11. 圓冪定理─圓外冪性質 例 ■
如右圖，試說明圓外冪性質 PA × PB = PC × PD 。 B
A
說明
O
如右圖，連接 AD 、 BC 。 在 PAD 與 PCB 中 ∠P = ∠P 又 ∵ ∠B = ∠D =
1 AC （圓周角性質） 2
C
D
B
A
∴PAD ~PCB （AA 相似） ⇒
O
PA PD = PC PB
⇒ PA × PB = PC × PD
P
P
C
D
12. 圓冪定理─切割線性質 例 ■
如右圖，試說明切割線性質 PA2 = PB × PC 。
A
說明
P
如右圖，連接 AB 、 AC 。
O
在 PAC 與 PBA 中 ∠P = ∠P
B
1 又 ∵ ∠PAC = 2 AC （弦切角性質） 1 ∠PBA = AC （圓周角性質） 2
A P
⇒ ∠PAC = ∠PBA
O
∴PAC ~PBA （AA 相似） ⇒
PA PB = PC PA 2
⇒ PA = PB × PC 解
C
B
C
2-2 圓心角、圓周角及弦切角
精選題型 題型１ ，求圓心角 如右圖，若 AD = 120° ， AB = BC = CD
A B
∠COD 的度數。
O
C
D
題型２ 已知圓 O 上 A、B 兩點將圓分成優、劣兩弧。若劣弧的度數為 (3 x + 5)° ，而優弧的度數 為 (5 x + 35)° ，則優弧所對應的圓心角 ∠AOB ＝？
73
74
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型３
A
如右圖，已知圓 O 的直徑為 20，圓心角 ∠AOB = 80° ， 試求：（圓周率以 π 表示） (1) AB 的長度。
B
O
(2) 扇形 AOB 的周長與面積。
題型 4 長 如右圖，兩同心圓半徑分別為 18、12， AB 比 CD 2π，求塗色部份的面積與周長。
C
A
O D
B
2-2 圓心角、圓周角及弦切角
題型 5 B
，試問： 如右圖，已知在圓 O 中， AB = CD
C
(1) 弦 AB 是否與弦 CD 等長？ O
(2) 弦 AC 是否與弦 BD 等長？
D
A
題型 6
A
C
如右圖，圓 O1 的半徑為 12，圓 O2 的半徑為 9，若兩個圓心角 ∠AO1 B = ∠CO2 D ，試求： 長的比值為何？ (1) AB 長： CD (2) AB : CD 的比值為何？
O1 B
D
O2
75
76
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 7
A
如右圖，若 ∠BOC = 70° ，則 ∠BAC ＝？ O 70˚ B
C
題型 8 A
如右圖， AB 為圓 O 的直徑，C 為圓 O 上一點，若 ＝？ ∠ABC = 30° ，則 BDC
O C B D
2-2 圓心角、圓周角及弦切角
題型 9 如右圖， AB 、 CD 是圓的兩弦，且相交於 E 點。若
A
40˚
∠AEC = 60° ， ∠D = 40° ，則 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的度
60˚
數分別是多少？
D
E
B
C
題型 10
B
= 60° ，則 ∠ABC + ∠DEF 如右圖，若 AD = 40° ， CF 的度數是多少？
A
F
D C E
77
78
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 11
E
如右圖， AB 、 CD 為圓 O 的兩弦，且 AB // CD ， ＝？ 已知 ∠AEC = 30° ，則 BD
30˚
A
B O D
C
題型 12
A
如右圖，ABCD 為圓內接四邊形， ∠A = 100° ， D
若 ∠B 比 ∠C 多 35 ∘，求 ∠B 和 ∠D 。 B
C
2-2 圓心角、圓周角及弦切角
題型 13
A
C
如右圖，已知 AB 為圓 O 的直徑， AC 、 CB 為圓 O 的兩弦， BD 切圓 O 於 B 點，若 AC = 40° ，則： O
＝？ (1) BC (2) ∠CBD ＝？
B
題型 14 = 46° ，則 ∠AEC ＝？ 如右圖，若 AC = 110° ， BD
D
A D E B C
79
80
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 15 A
= 52° ，則 如右圖，若 ∠P = 45° ， BD AC ＝？
B P D C
題型 16 如右圖， PA 與 PB 均為圓 O 的切線，若
3 1
∠1 = 30° ， ∠2 = 40° ，則： (1) AB ＝？ (2) ∠P ＝？
C
A
O 4
P 2 B
2-2 圓心角、圓周角及弦切角
題型 17 A
如右圖， PA 為圓 O 的割線，交圓 O 於 C 點， PB 切圓 O 於 B 點，且 PC = BC ，若 AC = 78° ，則 ∠P ＝？
C
O
B
題型 18 = 30° ， 如右圖，若 ∠AED = 72° ， AD − BC 則 ∠ACD ＝？
P
C A
72˚ E
D
B
81
82
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 19
A
如右圖，弦 AB 與 CD 交於圓 O 內的 E 點，若 AE = 3 ， BE = 6 ， CE = 4 ，則 DE ＝？
D
E O
C B
題型 20 A
如右圖，割線 PA 、 PC 分別交圓 O 於 B、D 兩點，
B
已知 PB = AB ， PD = 2 ， CD = 7 ，則 PA ＝？ O C
P D
2-2 圓心角、圓周角及弦切角
題型 21
B
如右圖， PA 切圓 O 於 A 點， PB 交圓 O 於 C 點，
C
若 PC = 4 ， PB = 9 ，則 PA ＝？
O
P A
題型 22 如右圖，A、B、C、D 四點均在一圓弧上， BC // AD
A
B
E
，且直線 AB 與直線 CD 相交於 E 點。若 ∠BCA = 10° ， ∠BAC = 60° ，則 ∠BEC ＝？ C D
83
84
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 23 E 如右圖， BD 為圓 O 的直徑，直線 ED 為圓 O 的切線，A、 C 兩點在圓上， AC 平分 ∠BAD 且交 BD 於 F 點。若
A
B O
∠ADE = 19° ，則 ∠AFB 的度數為何？
F
D
C
題型 24
D
如右圖，圓 O 為四邊形 ABCD 的內切圓。 若 ∠AOB = 70° ，則 ∠COD ＝？ O
A
B
C
2-2 圓心角、圓周角及弦切角
題型 25
D
A
如右圖，有一圓通過 ABC 的三個頂點，且 BC 的中 垂線與 AC 相交於 D 點。若 ∠B = 74° ， ∠C = 46° ，則 AD 的度數為何？ B
C
題型 26 、 GH 、 EF 均為以 O 點為圓心 如右圖， AB 、 CD 所畫出的四個相異弧，其度數均為 60 ∘，且 G 在 OA 上， C、E 在 AG 上。若 AC = EG ， OG = 1 ， AG = 2 ，則 兩弧長的和為何？ 與 EF CD
A
B C
D F
E G
60˚ O
H
85
3 幾何證明與三角形的三心 3-1 幾何推理證明 3-2 三角形的外心、內心與重心 3-3 多邊形的外心與內心
3-1 幾何推理證明
３－１ 幾何推理證明 基本觀念 1. 認識幾何推理證明 定義：一種人為的廣泛、通用的解釋意義，稱為定義。 例 ■
直角三角形的定義：一個三角形的其中一個內角為 90°時，便稱為直角三角形。
公理：一種被假定為真的邏輯陳述，稱為公理。 例 ■
等量公理： a = b ⇒ a + c = b + c
定理：一種在邏輯限制下，被證明為真的陳述，稱為定理。 例 ■
勾股定理：任一直角三角形中，兩股平方和等於斜邊的平方。
證明：一種根據已知條件及已知為真的幾何性質，逐步有據地推導出結論的幾何推理 過程，稱為證明。
A
證明方法： (1) 直觀證明法：以圖像或表格等直觀的方式來進行證 明過程的方法，稱為直觀證明法，又 稱為操作實驗法。 例 如右圖是三角形的內角和定理的一個圖示證明。 ■
B
C
A C
B
(2) 幾何推理法：證明的過程常寫成「已知、求證、證明的格式」，其中： 已知：題目給定的條件。 求證：題目所要得到的結論。 證明：由已知推導出結論的推理過程。
87
88
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 例 ■
已知：如右圖， ∠1 是 ∠ACB 的外角。
A
求證： ∠1 = ∠A + ∠B 。 證明：過 C 點作直線 L// AB ∠A = ∠2 （內錯角相等）， ∠B = ∠3 （同位角相等）， 又 ∠1 = ∠2 + ∠3
1 B
C
A
L
⇒ ∠1 = ∠A + ∠B 故得證 2
※ 在證明過程中，輔助聯繫已知到求證之間關係所添 加的圖形，稱為輔助線，如上個例題中的直線 L。
1 B
3
C
2. 幾何推理常用的性質─線與角 對頂角性質：兩直線相交，對頂角相等。
4
1 2 3
∠1 = ∠3 ， ∠2 = ∠4
角平分線性質：
A
(1) 角平分線上任一點到角的兩邊等距離。 Q
(2) 到角的兩邊等距離的點，必在此角的角平分線上。
L P
B
R
C
PQ = PR
中垂線性質： (1) 中垂線上任一點到線段的兩端點等距離。
L
(2) 到線段的兩端點等距離的點，必在此線段的垂直
C
平分線上。
A
M AC = BC
B
3-1 幾何推理證明 3. 幾何推理常用的性質─三角形 三角形的全等性質： (1) SSS 全等性質 (2) SAS 全等性質 (3) ASA 全等性質 (4) AAS 全等性質 (5) RHS 全等性質
三角形的相似性質： (1) SSS 相似性質 (2) SAS 相似性質 (3) AAA(AA) 相似性質 A 三角形中點連線性質： 如右圖，在 ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 的 1 中點，則 DE // BC 且 DE = BC 。 2
D
E
B
等腰三角形的性質：
C
(1) 兩底角相等 (2) 頂角平分線必垂直平分底邊。
直角三角形：常用的角度與邊長比 1:1: 2
45˚
1: 3 : 2
60˚
2
1
1
2
45˚ 1
30˚
3
89
90
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 4. 幾何推理常用的性質─平行與平行四邊形 平行線的性質：兩平行線被一線所截，則其同側內角互補、內錯角相等、同位角相等。 平行線的判別：兩直線被另一線所截，若其同側內角互補、內錯角相等、同位角相等， 則兩直線平行。 平行四邊形的性質： (1) 兩雙對邊互相平行。 (2) 兩雙對邊分別等長。 (3) 兩雙對角分別相等。 (4) 兩對角線互相平分。 (5) 一組對邊平行且等長。 平行四邊形的判別：若四邊形具有以上性質之一者，必為平行四邊形。 平行線截比例線段性質：
D
A
如右圖， L1 // L2 // L3 ，則 AB : BC = DE : EF 。
L1
E
B
C
F
M1
M2
L2
L3
L
5. 幾何推理常用的性質─圓 弦： (1) 一弦的弦心距垂直平分此弦。 O
例 ■ 例 如右圖， OP ⊥ AB 且 AP = PB 。 (2) 一弦的垂直平分線必過其所在圓的圓心 例 ■ 例 如右圖，弦 AB 的垂直平分線 L 通過圓心 O。 A
P
B
切線： (1) 圓心與切點的連線必和切線垂直。
A
(2) 過圓外一點對此圓所作的兩切線段等長。 例 ■ 例 如右圖， PA ⊥ OA 、 PB ⊥ OB ，且 PA = PB 。
r O
P
r B
91
3-1 幾何推理證明 角： A
圓心角性質：圓心角的度數等於其所對弧度數。 例 ■
如右圖， ∠AOB = AB = x°
圓周角性質：圓周角的度數等於其所對弧度數的一半。 C
x˚
O
L
1 1 AB = x° 2 2 弦切角性質：弦切角的度數等於其所夾弧度數的一半。
例 如右圖， ∠ACB = ■
例 ■
如右圖， ∠ABL =
B
1 1 AB = x° 2 2
6. 證明例題─中點坐標 數線上的中點坐標： 例 ■
如右圖，在數線上有 A(a ) 、 B (b) 兩點， a+b ) 。 若 M 為 AB 的中點，試證 M 的坐標為 ( 2
A
M
B
a
x
b
證明
設 M 的坐標為 (x) x−a = b− x ⇒ 2x = a + b a+b ⇒x= 2 ∴ M 點的坐標為 (
a+b ) 故得證 2 y
坐標平面上的中點坐標： 例 ■
如右圖，在坐標平面上有 A(a1 , b1 ) 、 B (a2 , b2 ) 兩點，若 M 為 AB 的中點，試證 M 的坐標為 a +a b +b ( 1 2 , 1 2) 。 2 2
證明
M b2
過 A、B、M 三點分別作兩軸的垂線 a +a b +b ⇒ M 的 x 坐標為 1 2 ，y 坐標為 1 2 2 2 a1 + a2 b1 + b2 , ) 故得證 ∴ M 點的坐標為 ( 2 2
A(a1 , b1 )
b1
O
B(a2 , b2 ) a2
a1
x
92
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 7. 證明例題─正三角形的周長與面積 例 ■
A
如右圖，正三角形 ABC 中， AD ⊥ BC 於 D 點， 且 AB = a ，試證： 3 a 。 2
(1)
AD =
(2)
ABC 面積＝
3 2 a 。 4
B
C
D
證明
(1) 在 ADC 中 AD ⊥ BC ， ∠C = 60° ， ∠CAD = 30° ⇒ CD : AD : AC = 1 : 3 : 2 AD 3 3 = ⇒ AD = a 2 AC 2 1 3 1 3 2 a 故得證 a = (2) ABC 面積＝ × BC × AD = × a × 2 2 2 4 ⇒
8. 證明例題─角平分線分割對邊比 ( 內分比 ) 例 ■
A
如右圖，在 ABC 中， AD 為 ∠BAC 的角平分線， 試證： AB : AC = BD : CD
嫱㖶ᶨ
過 C 點作一平行 AD 的直線交 AB 的延長線於 E 點 B AD // CE
C
D
∴∠3 = ∠4 （內錯角相等）
E
∠2 = ∠E （同位角相等） A
又 AD 為 ∠BAC 的角平分線
2 3
∴∠2 = ∠3 ⇒ ∠4 = ∠E ⇒ AC = AE 在 BEC 中 AD // CE ∴ BA : AE = BD : DC ⇒ AB : AC = BD : CD 故得證
4 B
D
C
3-1 幾何推理證明 嫱㖶Ḵ
過 D 點作 DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC
A
AD 為 ∠BAC 的角平分線
E
∴ DE = DF ABD 面積： ACD 面積＝ 1 1 × AB × DE : × AC × DF = AB : AC 2 2
F B
C
D A
過 A 點作 AH ⊥ BC ABD 面積： ACD 面積＝ 1 1 × BD × AH : × CD × AH = BD : CD 2 2 ⇒ AB : AC = BD : CD 故得證
B
D H
C
93
94
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１
D
【已知】如右圖，L 為 ∠ABC 的角平分線，P 在 L 上，
A
且 PA ⊥ BD ， PC ⊥ BE ，A、P、E 在一直線
B
上，D、P、C 在一直線上。
L
P C
【求證】 PD = PE
E
【證明】(1) ∵ L 為 ∠ABC 的角平分線且 PA ⊥ BD ， PC ⊥ BE 且 ∠PAD = ∠PCE ＝
∴ AP ＝
(2) 在 APD 與 CPE 中 ∵∠
（由 (1) 得知）
＝∠ （由 (1) 得知）
∠APD ＝∠
（對頂角相等）
∴ APD ≅CPE （ ∴ PD ＝
全等性質）
（對應邊相等）
題型２ 【已知】如右圖，L 為 AC 的中垂線，L 交 AB 於 D 點，
1
且 AD = BD 。
D
【求證】(1) ∠1 = ∠2
2
(2) ∠ACB = 90°
A
【證明】(1) ∵ L 為 AC 的中垂線 ∴ AD ＝
又 AD ＝
∴ BD ＝
即 BDC 為
（已知） 三角形
故 ∠1 = ∠2 (2) ∵ AD = CD 又 ∠A + ∠ACD + ∠2 + ∠1 = 180°
∴ ∠A ＝∠ ∴ 2∠ACD + 2∠2 = 180° ∠
B
L
+∠2 ＝
故 ∠ACB = 90°
C
3-1 幾何推理證明
題型３
A
【已知】如右圖， AB = AC ，D、E 分別為 AB 、 AC 的中點。
D
E
【求證】 BE = CD B
C
【證明】在 ABE 和 ACD 中 ∵
（已知） （公共角）
且 AD =
1 2
=
1 2
＝
∴ ABE ≅ ACD （
（由已知求得）
全等性質）
故 BE = CD （對應邊相等）
題型 4
A
【已知】如右圖， ABC 為等腰三角形， AB = AC ， 且 BD = CD 。 【求證】 AD ⊥ BC B 【證明】(1) ∵ ABC 為等腰三角形 ∴
（等腰三角形的意義）
(2) 在 ABD 與 ACD 中 ∵
（由 (1) 得知） （已知） （公共邊）
∴ ABD ≅ ∴∠ 又 ∠1 + ∠2 ＝ ∴ ∠1 = ∠2 ＝ 故 AD ⊥ BC
（ ＝∠
全等性質） （對應角相等）
（平角為 180 ∘）
1 2 D
C
95
96
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5
A
【已知】如右圖， AB = AC 。 【求證】A 點在 BC 的垂直平分線上。 1 B
2 D
C
【證明】(1) 過 A 點作 AD ⊥ BC ，交 BC 於 D 點 (2) 在 ABD 與 ACD 中 （ AD ⊥ BC ）
∵ ∠1 = ∠2 ＝ （已知） （公共邊） ∴ ABD ≅ ACD （ ∴
全等性質）
（對應邊相等）
故 AD 為 BC 的垂直平分線 即 A 點在 BC 的垂直平分線上
題型 6 【已知】如右圖， DE = EF ， BD // AC 。
A D
【求證】 AE = BE
2
4 B
【證明】(1) ∵ BD // AC ∴ （內錯角相等） (2) 在 BDE 與 AFE 中 ∵
（由 (1) 得知）
DE = EF （已知） （對頂角相等） ∴ BDE ≅ AFE （ 故 AE = BE （對應邊相等）
全等性質）
E 3
1
F C
3-1 幾何推理證明
題型 7
A
【已知】如右圖， AB // DE ， BC // EF 。
D
【求證】 ∠B = ∠E B
C E
F
【證明】
題型 8 A 【已知】如右圖， AB ⊥ DE ， BC ⊥ EF 。
D
【求證】 ∠B = ∠E
F
B
C E
【證明】
97
98
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9
A
D
【已知】如右圖，四邊形 ABCD 中， AD // BC ， AD = BC 。 【求證】四邊形 ABCD 為平行四邊形
B
C
【證明】
題型 10 A
【已知】如右圖，圓 O 是 ABC 的外接圓， AD ⊥ BC ， AE 是直徑。 O
【求證】(1) ABE ～ ADC (2) ∠BAE = ∠DAC
B
D E
【證明】
C
3-1 幾何推理證明
題型 11 A
【已知】如右圖，圓 O 與圓 O′ 相交於 A、B 兩點。 O
【求證】連心線 OO′ 是 AB 的中垂線。
O'
B
【證明】
題型 12 A 2 1
【已知】如右圖， ABC 中， AD 是 ∠A 外角的角平 分線。 【求證】 AB : AC = BD : CD
【證明】
B
C
D
99
100
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13
A
【已知】如右圖，長方形 ABCD 中，E、F、G、H 為各 邊的中點。
H
D
E
G
【求證】四邊形 EFGH 為菱形 B
F
C
【證明】
題型 14 【已知】如右圖，在 ABC 的兩邊 AB 與 AC 上， 分別向外作正方形 ABGF 與正方形 ACDE。
E F
A
【求證】(1) BE = CF (2) BE ⊥ CF
【證明】
D G
B
C
3-1 幾何推理證明
題型 15 在直角坐標平面上有 A(3, 5) 、 B(7, 3) 兩點，若 C 點為 AB 的中點，則 C 點的坐標為何？
題型 16 在直角坐標平面上，有 P、Q、R 三點，R 點為 PQ 的中點。已知 P(−1, 0) 、 Q(2 x − y, − x + y ) 、 R(2, −3) ，則 ( x, y ) 在第幾象限？
101
102
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 17
y
如右圖，在直角坐標平面上，ABCD 為平行四邊形。已 知 A(2, 6) 、 B(−2, 2) 、 C(4, 2) ，試求：
A(2, 6)
(1) 對角線交點 M 的坐標。
D
M
(2) 頂點 D 的坐標。
B (−2, 2) O
題型 18
C (4, 2)
x
A
如右圖，在 ABC 中，D 為 AC 的中點，E 為 BD 的 D
中點，已知 ABC 的面積是 60， BC = 15 ， E
求 EF ＝？ B
F
G
C
103
3-1 幾何推理證明
題型 19
A
如右圖，直角 ABC 中，若 ∠ACB = 90° ， F
D 為 AC 的中點，且 DE // BC ，F 為 AE 的中點， 已知 DF =
5 ， BC = 6 ，求 AC ＝？ 2
E
D
B
題型 20
C
A
D
如右圖，梯形 ABCD 中， AD // BC ，中線 EF 分別交 對角線 BD 、 AC 於 G、H 兩點，若 AD = 10 ，
E
BC = 16 ，求 GH ＝？ B
G
H
F
C
104
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 21
A
如右圖，將 6 個正三角形拼成一個正六邊形，
F
已知 AB = 2 ，求： (1) AC ＝？
B
E
(2) 六邊形 ABCDEF 的面積＝？ C
題型 22
D
A
如右圖， AD // BC ，若 ∠B = 45° ， ∠C = 60° ，
5
D 8
AD = 5 ， CD = 8 ，求此四邊形的面積。 45˚ B
60˚ C
3-1 幾何推理證明
題型 23 【已知】 a 2 為奇數，且 a 為正整數。 【求證】a 為奇數。
【證明】
題型 24 【已知】a、b 為連續的正偶數，且 a > b 。 【求證】 a 2 − b 2 為 4 的倍數。
【證明】
105
106
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 25
A
如右圖，銳角三角形 ABC 中，直線 L 為 BC 的中垂線， M
直線 M 為 ∠ABC 的角平分線，L 與 M 相交於 P 點。若 P
∠A = 60° ， ∠ACP = 24° ，則 ∠ABP 的度數為何？ B
C L
題型 26 A
【已知】右圖為一個四邊形 ABCD，其中 AC 與 BD 交
D
於 E 點， AD = 11 ， BC = 10 ，且兩塗色區域 的面積相等。
E
【求證】(1) ADE ～ CBE 。 (2) DE > BE
【證明】
B
C
107
3-1 幾何推理證明
題型 27
C
【已知】如右圖，四邊形 ABCD 是正方形，A 在 L 上， DE ⊥ L ， BF ⊥ L ，垂足分別為 E、F （ AE ≠ AF ）。
D
【求證】(1) ADE ≅BAF 。 (2) EF = DE + BF 。
4
1 5
2
E
7 A
6
3
B
F
L
【證明】
題型 28 D E
【已知】如右圖，四邊形 ABCD 中，E 點在 AD 上，其 中 ∠BAE = ∠BCE = ∠ACD = 90° ，且 BC = CE 。 A 【求證】 ABC ≅DEC 。
6 7 1 B
【證明】
2 3
4
5 C
108
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
３－２ 三角形的外心、內心與重心 基本觀念 1. 三角形的外心 定義：三角形三邊的中垂線會交於一點，此點稱為三角形的外心。 例 ■
A
如右圖，若三直線 L、M、N 分別為 AB 、 BC 、
L
CA 的中垂線，則交點 O 即為 ABC 的外心。
N O
性質：外心到三角形的三頂點等距離，所以外心也是 B
此三角形外接圓的圓心。
C M
外心的位置： 名稱
銳角三角形
直角三角形
A
圖示
A
A B
O B
位置
鈍角三角形
C
B
在三角形內部
C
O
C O
在斜邊的中點
在三角形外部
銳角三角形
直角三角形
鈍角三角形
A
A
A
2. 三角形的外接圓與外心角度 ∠A
B O
圖示 B
說明
B
O
C
C O
C
= 2∠A ∠BOC = BC
∠BOC = 2∠A = 180° （∵ BC 為直徑）
= 360° − 2∠A ∠BOC = BAC
3-2 三角形的外心、內心與重心 3. 以外心性質證明 30 ∘─ 60 ∘─ 90 ∘三角形的邊長比 【已知】如右圖，在 ABC 中， ∠A = 30° ，
B
∠B = 60° ， ∠C = 90°
60˚
【求證】 BC : AC : AB = 1 : 3 : 2 【證明】 A
設 BC = 1
30˚
C
(1) 作 AB 的中點 O，連接 OC ⇒ O 為外心
B
⇒ OA = OB = OC
60˚
(2) 在 OBC 中，
O
OB = OC ，又 ∠B = 60° ∴OBC 為正三角形 ⇒ OB = BC = 1
A
30˚
C
⇒ OA = OB = OC = BC = 1 ⇒ AB = 2 (3) 在 ABC 中 ∠C = 90° 2
2
⇒ AC = AB − BC
2
⇒ AC = ± 3 （負不合）
⇒ BC : AC : AB = 1 : 3 : 2 故得證
4. 三角形的內心
A
定義：三角形三內角平分線會交於一點，此點稱為三 角形的內心。 例 ■
F
E
I
如右圖，若 AD 、 BE 、 CF 分別為 ABC 三 內角 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的角平分線，則交點 I 即 為 ABC 的內心。
B
C
D
性質：內心到三角形的三邊等距離，所以內心也是此
A
三角形內切圓的圓心。 內心的位置：內心必在三角形的內部。 I
B
C
109
110
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 5. 三角形的內心與頂角角度關係 A
【已知】如右圖，I 為 ABC 的內心 1 【求證】 ∠BIC = 90° + ∠BAC 2 【證明】
I
I 是 ABC 的內心 1 1 ∴∠1 = ∠ABC ， ∠2 = ∠ACB 2 2
B
C
在 BIC 中 ∠BIC = 180° − ∠1 − ∠2 1 1 = 180° − ∠ABC − ∠ACB 2 2 1 = 180° − (∠ABC + ∠ACB) 2 1 1 = 180° − (180° − ∠BAC ) = 90° + ∠BAC 2 2 故得證
A
I
B
1
2
C
6. 三角形的內切圓半徑與三角形面積 【已知】如右圖， ABC 三邊長分別為 a、b、c，
A
周長為 s，I 為內心，r 為內切圓半徑。 【求證】(1) IAB :IBC :ICA = AB : BC : CA 1 (2) ABC 面積 = rs 2 【證明】 (1) 作 ID ⊥ AB ， IE ⊥ BC ， IF ⊥ AC
a
B
C
b A
I 是 ABC 的內心 ∴ ID = IE = IF
D
∴IAB :IBC :ICA 1 1 1 = × AB × ID : × BC × IE : × CA × IF 2 2 2 = AB : BC : CA (2) ABC 面積 =IAB +IBC +ICA 1 1 1 = ×a×r + ×b×r + ×c×r 2 2 2 1 1 = × r × (a + b + c) = rs 2 2 故得證
c
I
I
B
E
F
C
3-2 三角形的外心、內心與重心 7. 直角三角形內切圓半徑與三邊長關係 【已知】如右圖， ABC 為直角三角形，三邊長分
A
別為 a、b、c，I 為內心，r 為內切圓半徑， D、E、F 為切點。 1 【求證】 r = (a + b − c) 2 【證明】
c
F
a D B
I r E
C
b
I 為 ABC 的內心， ∴ AD = AF ， BD = BE ， CE = CF DI = EI = r ，且 ∠B = ∠IDB = ∠IEB = 90° ∴ 四邊形 DIEB 為正方形 ∴ BD = BE = r a + b − c = AB + BC − AC = ( AD + r ) + (r + CE ) − ( AF + CF ) = 2r 1 ⇒ r = (a + b − c) 故得證 2 8. 三角形的重心
A
中線：三角形頂點到對邊中點的連線，稱為中線。 例 ■
如右圖，在 ABC 中，D 為 BC 的中點， 則 AD 為 BC 上的中線。
重心：三角形三中線會交於一點，此點稱為三角形的 重心。 例 ■
B
D
C
如右圖，若 AD 、 BE 、 CF 均為 ABC 的中
A
線，則交點 G 即為 ABC 的重心。 F
性質：重心到一頂點的距離等於它到對邊中點距離
G
E
的 2 倍。 B
D
C
111
112
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 【已知】如右圖，G 點為 ABC 的重心。
A
【求證】 AG = 2GD ， BG = 2GE ， CG = 2GF 【證明】連接 EF E、F 分別為 AC 、 AB 的中點， EF 1 1 = ∴ EF // BC ， EF = BC ⇒ BC 2 2 在 GEF 與 GBC 中
F
E
G
B
D
C
EF // BC
A
∴∠FEG = ∠GBC ， ∠EFG = ∠GCB （內錯角相等） ∴GEF ～ GBC （AA 相似性質） ∴
GE GF EF 1 = = = ⇒ BG = 2GE ， CG = 2GF GB GC BC 2
F
E
G
同理， AG = 2GD 故得證 重心的位置：重心必在三角形的內部。
B
D
C
9. 三角形的重心均分三角形面積 重心與三頂點的連線將三角形面積三等分。 三角形的三中線將三角形面積六等分。
A
【已知】如右圖，G 點為 ABC 的重心。 【求證】(1) = AGB = BGC CGA (2) AGF == BGF = BGD = CGD CGE =EGA
F
G
E
【證明】(1) G 為 ABC 的重心 ∴ BD = CD
B ⇒ ABD = ACD ， BGD =CGD （等底同高）
D
⇒ ABD −BGD = ACD −CGD ⇒ ABG = ACG 同理 ACG =BCG ⇒ AGB =BGC =CGA 1 1 1 1 (2) BGD =CGD = 2 BGC = 2 × 3 ABC = 6 ABC 1 1 AGE = CGE AGC = ABC ， 同理 = 2 6 1 1 = AGF = BGF AGB = ABC 2 6 ⇒ AGF =BGF =BGD =CGD =CGE =EGA 故得證
C
3-2 三角形的外心、內心與重心 10. 正三角形的外心、內心、重心為同一點 A
【已知】如右圖， ABC 為正三角形。 【求證】O 點為 ABC 的外心、內心、重心 【證明】設 O 為 ABC 的內心
F
⇒ ∠BAD = ∠CAD
E O
在 ABD 與 ACD 中 ∠BAD = ∠CAD ， AB = AC ， AD = AD
B
∴ ABD ≅ ACD （SAS 全等性質） ⇒ BD = CD ， ∠ADB = ∠ADC = 90° ⇒ AD ⊥ BC ⇒ AD 為 BC 的中垂線 同理 AE = EC ， BE ⊥ AC ， AF = FB ， CF ⊥ AB 由 BD = DC ， AE = EC ， AF = FB ⇒ O 為 ABC 的重心 又 AD ， BE ， CF 分別為 BC ， AC ， AB 的中垂線 ⇒ O 為 ABC 的外心 ⇒ O 點為 ABC 的外心、內心、重心 故得證
D
C
113
114
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１ 若 O 為 ABC 的外心， OA = 5 公分，求： (1) OA + OB + OC 的長。 (2) 若圓 O 為 ABC 的外接圓，則圓 O 的面積為多少？
題型２ 直角三角形斜邊為 10，且有一外接圓，則此外接圓面積為何？
115
3-2 三角形的外心、內心與重心
題型３ A 如右圖，等腰 ABC 中，若 AB = AC = 10 ， BC = 12 ，O 為 ABC 的外心，求 OA ＝？ O B
題型 4
D
C
A
如右圖， ABC 中， ∠A = 70° ， ∠B = 60° ， ∠C = 50° ，且 O 為 ABC 的外心，求 ∠AOB 、 ∠BOC 、 ∠AOC 的度數。
O B
C
116
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5 已知 ABC 為直角三角形， ∠ABC = 90° ，O 為 ABC 的外心，則 ∠AOC ＝？
題型 6
A
如右圖所示，若 O 為鈍角 ABC 的外心，試證明 ∠BOC = 360° − 2∠A 。
B
C O
117
3-2 三角形的外心、內心與重心
題型 7 A
如右圖，在 ABC 中， ∠ACB = 90° ，I 為 ABC 的內 心，且 ID ⊥ AB ， IE ⊥ BC ， IF ⊥ AC ，若 AC = 3 ，
D
BC = 4 ，求 ID ＝？
I
B
E
F C
題型 8
A
如右圖，在 ABC 中，若 O 為 ABC 的內心， O
∠A = 100° ，求 ∠BOC ＝？ B
C
118
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9 9 已知一 ABC 的邊長比為 3 : 4 : 5 ，且 ABC 的內切圓面積為 π ，求 ABC 的面積 4 ＝？
題型 10 如右圖， ABC 為直角三角形， ∠ABC = 90° ，
A
若 AB = 6 ， BC = 8 ，則內切圓圓 O 的半徑是多少？ O
B
C
3-2 三角形的外心、內心與重心
題型 11 在 ABC 中， AB = 4 ， BC = 5 ， CA = 6 ，求 ABC 內切圓的半徑＝？
題型 12 已知一直角三角形的內切圓半徑 r = 6 ，外接圓半徑 R = 17 ，求此三角形的面積＝？
119
120
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 13 A
如右圖，G 為 ABC 的重心，且 EF 交 AD 於 H， 若 AD = 12 ，則 HG ＝？
H
F
E
G B
D
C
題型 14 A
如右圖， ABC 為等腰三角形， AB = AC ， AD 為 ABC 的中線，G 為重心，若 AB = 15 ， BC = 18 ，則： (1) AD ＝？
G
(2) AG ＝？ B
D
C
121
3-2 三角形的外心、內心與重心
題型 15 A
如右圖，等腰直角 ABC 中， AC = BC ， AD 與 BE 均為 ABC 的中線，且 OG ⊥ AB ， 若 OG = 2 ，則：
O
(1) AB ＝？
E G
(2) BE ＝？ B
D
C
題型 16 如右圖，G 為 ABC 的重心，過 G 作 ABC 三邊的垂 直線，設分別交 BC 、 AC 、 AB 於 D、E、F 三點。
A
F
已知 AB : BC : AC = 3 : 4 : 2 ，求： (1) AGB 面積： BCG 面積： ACG 面積＝？ (2) GD : GE : GF ＝？
E
G B
D
C
122
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 17
A
如右圖，D 為 AB 的中點，C 為 BE 的中點， DE 與 AC 相交於 F，若 ABC 面積＝ 18，則 CEF 的面積
D
是多少？
F B
C
E
題型 18 A
如右圖，ABCD 為平行四邊形， AC 與 BD 相交於 O 點， E 為 BC 的中點， AE 交 BO 於 G 點，若 BD = 30 ，則： (1) BO ＝？ (2) GO ＝？
B
G E
D O C
3-2 三角形的外心、內心與重心
題型 19
A
如右圖，已知一正 ABC 的面積為 64 3 ，O 點為 ABC 的重心，求： (1) 內切圓的半徑為何？ (2) 外接圓的半徑為何？
O B
D
C
題型 20 A
如右圖，已知一正 ABC 的邊長為 10，圓 O 為 ABC 的外接圓，求塗色面積為何？
O B
C
123
124
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 21 已知直線 3 x + 4 y = 12 分別交 x 軸、y 軸於 A、B 兩點，O 為原點，求： (1) AOB 的外心坐標。 (2) AOB 的內心坐標。 (3) AOB 的重心坐標。
題型 22 在直角 ABC 中， ∠A = 30° ， ∠C = 90° ， BC = 1 ，若 G、I、O 分別為 ABC 的重心、 內心與外心，試求： (1) G 點到 BC 的距離為何？ (2) I 點到 BC 的距離為何？ (3) O 點到 BC 的距離為何？
125
3-2 三角形的外心、內心與重心
題型 23 A 如右圖， AD 是 ABC 的中線，H 點在 AC 上且 BH ⊥ AC 。若 AB = 12 ， BC = 10 ， AC = 14 ，連接 H
DH ，則 DH ＝？
B
C
D
題型 24
A
D
如右圖，四邊形 ABCD 中， ∠B = 60° 、 ∠DCB = 80° 、
Q
∠D = 100° ，若 P、Q 兩點分別為 ABC 及 ACD 的 內心，則 ∠PAQ ＝？
P C
B
126
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 25
A
如右圖，G 為 ABC 的重心，M、N 兩點分別在 AB 、 BC 上，且 GM ⊥ AB ， GN ⊥ BC 。若 AB = 4 ， BC = 3 ， ∠B = 90° ，則長方形 MBNG 的面積為何？
M B
題型 26
G
C
N
A
如右圖，G 為 ABC 的重心。若圓 G 分別與 AC 、 BC 相切，且與 AB 相交於兩點，試說明 ABC 三邊 長的大小關係為何？
G
B
C
3-3 多邊形的外心與內心
３－３ 多邊形的外心與內心 基本觀念 1. 多邊形的外心與外接圓 定義：若一多邊形的所有頂點都在同一圓上，則此多邊形為圓內接多邊形，此圓為多 邊形的外接圓，圓心稱為此多邊形的外心。 例 ■
如下圖， O1 、 O2 、 O3 分別為各多邊形的外心。
O1
O2
O3
圓內接四邊形 圓內接五邊形 ※ 並非所有的多邊形都有外接圓。
圓內接六邊形
性質： (1) 圓內接多邊形每一邊的中垂線會交於一點，此交 點即為多邊形的外心，且外心到各頂點等距離， 此距離為外接圓的半徑，如右圖所示。 O
(2) 若一四邊形對角互補，則此四邊形為圓內接四邊 形，其外接圓的圓心為四邊形的外心。 例 ■
A
B
如右圖， ∠ABC + ∠ADC = 180° ， O
則四邊形 ABCD 為圓內接四邊形， O 點為四邊形 ABCD 的外心。
C
判別： 若一多邊形各邊的中垂線同時交於一點，則此多邊形為圓內接多邊形。
D
127
128
﹝五﹞ Live 數位國中數學講義 2. 多邊形的內心與內切圓 定義：若一多邊形的每邊都能與多邊形內部的一個圓相切，則此圓稱為多邊形的內切 圓，圓心稱為此多邊形的內心，而此多邊形稱為圓外切多邊形。 例 ■
如下圖， O1 、 O2 、 O3 分別為各多邊形的內心。
O1
圓外切四邊形
O2
O3
圓外切五邊形
圓外切六邊形
※ 並非所有的多邊形都有內切圓。 性質： (1) 圓外切多邊形每一角的角平分線會交於一點，此 交點即為多邊形的內心，且內心到此多邊形的各 邊等距離，此距離為內切圓的半徑，如右圖所示。 O
(2) 若一四邊形兩對對邊之和相等，則此四邊形為圓 外切四邊形，其內切圓的圓心為四邊形的內心。 例 ■
B
A
如右圖， AB + CD = BC + DA ， 則四邊形 ABCD 為圓外切四邊形，
O
O 點為四邊形 ABCD 的內心。 D 判別：
若一多邊形各角的角平分線同時交於一點，則此多邊形為圓外切四邊形。
C
3-3 多邊形的外心與內心 3. 正多邊形的內心與外心 A
正多邊形有外接圓與內切圓，且為同心圓，其外心與 內心是同一點，如右圖所示。 B
E
O
C
F
D
A
若一正多邊形的邊數是奇數時，其對稱軸是各邊的中 垂線，同時也是各內角的角平分線，如右圖所示。 B
E
C 若一正多邊形的邊數是偶數時，其對稱軸是各邊的中
D A
F
垂線或各內角的角平分線，如右圖所示。 B
E
C
D
129
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﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
精選題型 題型１
A
D
如右圖，ABCD 為平行四邊形，且 AB > BC ，試說明此 四邊形 ABCD 是否有外心？
B
題型２
A
如右圖，ABCD 為圓內接四邊形， ∠ADE 為 ∠ADC 的
B
外角，若 ∠A = 100° ， ∠ADE = 135° ，求 ∠B 、 ∠C 的 度數。
C
C
D
E
3-3 多邊形的外心與內心
題型３
A
D
如右圖，O 點為梯形 ABCD 的外心，且 AD = CD 。 若 ∠OAC = 20° ，試求： (1) ∠B ＝？
O
(2) ∠D ＝？
B
C
(3) ∠OAB ＝？
題型 4
A
D
B
C
如右圖，ABCD 為長方形，且 AD > AB ，試說明此四邊 形 ABCD 是否有內心？
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﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 5
A
【已知】五邊形 ABCDE 的周長為 s，其內切圓半徑為 r。 【求證】五邊形 ABCDE 的面積 =
1 rs 。 2
E
B
C
D
【證明】
題型 6 已知四邊形 ABCD 的內切圓半徑為 5， AB = 13 ， CD = 9 ，試求四邊形 ABCD 的面積 為何？
3-3 多邊形的外心與內心
題型 7 如右圖，正方形 ABCD 的邊長為 10，試求：
A
D
(1) 內切圓半徑＝？ (2) 外接圓半徑＝？
O B
題型 8 已知一正六邊形的周長為 30 公分，求此正六邊形的面積是多少平方公分？
C
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﹝五﹞ Live 數位國中數學講義
題型 9 右圖為正十二邊形，其頂點依序為 A1 、 A2 、…、 A12 。若連接 A3 A7 、 A7 A10 ，則 ∠A3 A7 A10 ＝？
A12
A1
A2
A11
A3
A10
A4
A9
A5 A8
題型 10
A
如右圖，有一圓內接正八邊形 ABCDEFGH，若 ADE 的面積為 10，則正八邊形 ABCDEFGH 的面積為何？
A7
A6
H
B
G
C
F D
E
ANS
Live 國中數學 i 講義 5 編著者 出版者 公司地址 服務電話 Live 網址 電子信箱 出版日期 ISBN
葛 倫 徠富數位學習科技有限公司 70247 台南市南區三官路 120 號 (06)2658388 Liveism.com Live.study@gmail.com 2014 年 7 月 第一版 978-986-88371-6-4 ( 平裝附光碟片 )
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