Módulo de Matemática by Instituto Luciano Barreto Júnior

INSTITUTO LUCIANO BARRETO JÚNIOR Caderno de Apoio – Projeto Conectando Com a Vida Presidente do ILBJ Maria Celi Teixeira Barreto Presidente do Conselho Curador Luciano Franco Barreto Gerente Coordenadora Pedagógica Valéria Pinto Freire

FICHA TÉCNICA

Organização Valéria Pinto Freire Capa Sandra Pinto Freire Editoração e Diagramação Marcelo Santos Leite da Silva

Revisão Ortográfica Gleide Selma Moraes da Silva Barros Autores de Matemática Romário Nunes Lima Patrícia Santana Santos Carlos Eduardo Melo Cruz

ÍNDICE – MATEMÁTICA Capitulo 01 – Raciocínio Lógico ...................................................................................... 4 Capitulo 02 – Sistemas de Numeração ........................................................................... 16 Capitulo 03 – Os Números Naturais ............................................................................... 20 Capitulo 04 – Os Números Inteiros ................................................................................ 28 Capitulo 05 – Os Números Racionais............................................................................. 50 Capitulo 06 – Sistema decimal de medidas .................................................................... 73 Capitulo 07 – Razão e proporcionalidade....................................................................... 92 Capitulo 08 – Matemática financeira............................................................................ 102

VAMOS PENSAR UM POUCO... Qual o número seguinte nessa seqüência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,...? (FCC-2006) Os números no interior do círculo representado na figura abaixo foram colocados a partir do número 2 e no sentido horário, obedecendo a um determinado critério. Segundo o critério estabelecido, qual o número que deverá substituir o ponto de interrogação?

2 6

30 20

 O professor Thiago preencheu a tabela abaixo com 55 linhas e 105 colunas de acordo com o padrão conforme indicado a seguir: Como ele preencheu a casa com o símbolo ? a) b) c) d) e) f) g)

com a letra “I” com a letra “B” com o número “3” com o símbolo com o numero “2” com o símbolo com o numero “0”

“Um raciocínio lógico leva você de A a B. A imaginação leva você a qualquer lugar que você quiser.” Albert Einstein Albert Einstein.

1. RACIOCÍNIO LÓGICO

Objetivos: -Capacitar o aluno com conhecimentos gerais sobre raciocínio lógico facilitando o desenvolvimento do seu raciocínio frente à resolução de situações problemas; -Desenvolver a capacidade de compreensão e a prática da lógica na resolução de problemas.

A utilização do Raciocínio lógico, em meio a grandes informações, é muito importante e ne cessário para o desenvolvimento da pessoa que a utiliza, como também, de toda a sociedade. Criando assim conhecimentos e habilidades matemáticas na análise de informações, na resolução de problemas, no desenvolvimento criativo e intelectual e auxiliando na formação de cidadãos conscientes. Pois bem, vamos partir para a prática. Os exercícios seguintes vão necessitar para sua resolução este pensamento rápido, criativo e objetivo. Exige apenas que você pense e analise, sem a necessidade de praticar cálculos.

1.1 ATIVIDADE COM NÚMEROS E SEQUÊNCIAS 1. Qual o número seguinte nessa seqüência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... ? a) b) c) d) e)

9 10 11 12 13

2. Qual o número seguinte nessa seqüência 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24,...? a) b) c) d) e)

44 45 46 47 48

3. (FCC) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 9, 16, 25, 36,... a) b) c) d) e)

45 49 61 63 72

4. (FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:

Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número:

a) b) c) d) e)

3 5 7 8 9

5. (FCC) Observe atentamente a tabela.

De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser preenchido com o número:

a) b) c) d) e)

2 3 4 5 6

6. (Enem 2008) O Jogo-da-Velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome "velha" surgiu do fato desse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro 3 × 3 devem conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal 3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro e passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças. No tabuleiro representado na figura estão registradas as jogadas de dois adversários em um dado momento. Observe que uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a forma de um xis. Considere as regras do Jogo-da-Velha e o fato de que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada, esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro de: a) b) c) d) e)

uma só maneira. duas maneiras distintas. três maneiras distintas. quatro maneiras distintas. cinco maneiras distintas.

7. (FCC) Do conhecido “Jogo da Velha” participam duas pessoas que devem, alternadamente, assinalar suas respectivas marcas nas casas de um esquema formado por linhas paralelas, duas horizontais e duas verticais. O vencedor será aquele que primeiro conseguir assinalar sua marca em três casas de uma mesma linha, coluna ou diagonal do esquema. Considere que, após três jogadas sucessivas, tem-se o seguinte esquema: 6

Dos esquemas seguintes, o único que NÃO apresenta jogadas equivalentes à do esquema acima é:

8. (Uel 2007) O "Sudoku" é um jogo de desafio lógico inventado pelo Matemático Leonhard Euler (1707- 1783). Na década de 70, este jogo foi redescoberto pelos japoneses que o rebatizaram como Sudoku, palavra com o significado "número sozinho". É jogado em um quadro com 9 por 9 quadrados que é subdividido em 9 submalhas de 3 por 3 quadrados, denominados quadrantes. O jogador deve preencher o quadro maior de forma que todos os espaços em branco contenham números de 1 a 9. Os algarismos não podem se repetir na mesma coluna, linha ou quadrante. Fonte: LEÃO, S. Lógica e estratégia. Folha de Londrina, Especial 14, 17 de setembro de 2006.

Com base nessas informações, o algarismo a ser colocado na casa marcada com O no quadro a seguir é: a) b) c) d) e)

2 3 5 7 9

9. (FCC)Observe a figura seguinte:

Considerando que o alfabeto oficial exclui as letras K, Y e W então, para que o padrão seja mantido, a figura que deve substituir aquela que tem os pontos de interrogação é:

10. Observe as seguintes sequências de números: 7

(1,0,0,1) – (4,3,3,4) – (5,4,4,5) – (6,7,7,6) – (9,8,8,9) A seqüência que NÃO apresenta as mesmas características das demais é a) b) c) d) e)

(1,0,0,1) (4,3,3,4) (5,4,4,5) (6,7,7,6) (9,8,8,9)

11. Os números no interior do círculo representado na figura abaixo foram colocados a partir do número 2 e no sentido horário obedecendo a um determinado critério.

Segundo o critério estabelecido, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é: a) b) c) d) e)

42 44 46 50 52

12. As pedras de dominó abaixo foram, sucessivamente colocadas da esquerda para a direita de modo que, tanto a sua parte superior como a inferior, seguem determinados padrões.

A pedra de dominó que substitui a que tem os pontos de interrogação é:

13. Das cinco palavras seguintes, quatro estão ligadas por uma relação, ou seja, pertencem a uma mesma classe.

MANIFESTO – LEI – DECRETO – CONSTITUIÇÃO – REGULAMENTO A palavra que NÃO pertence à mesma classe das demais é: a) REGULAMENTO b) LEI c) DECRETO 8

d) CONSTITUIÇÃO e) MANIFESTO 14. O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério.

Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo, a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é: a) b) c) d) e)

C I O P R

15. Os números no interior dos setores do círculo abaixo foram marcados sucessivamente, no sentido horário, obedecendo a uma lei de formação.

Segundo essa lei, o número que deve substituir o ponto de interrogação é: a) b) c) d) e)

210 206 200 196 188

16. (FCC) Na sucessão de triângulos seguintes, o número no interior de cada um é resultado de operações efetuadas com os números que se encontram em sua parte externa.

Se a seqüência de operações é a mesma para os números dos três triângulos, então o número X é:

a) 13 9

b) c) d) e)

7 10 6 9

1.2 ATIVIDADE COM DESENHO OU FIGURAS 1. (FCC) As pedras do jogo “dominó”, mostradas abaixo, foram escolhidas e dispostas sucessivamente no sentido horário obedecendo a determinado critério.

Segundo esse critério, a pedra que substituiria corretamente aquela que tem os pontos de interrogação corresponde a:

2. (FCC) As pedras de dominó mostradas abaixo foram dispostas, sucessivamente e no sentido horário, de modo que os pontos marcados obedeçam a um determinado critério.

Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a sucessão é

3. (FCC) A seqüência de figuras abaixo foi construída obedecendo a determinado padrão. 10

Segundo esse padrão, a figura que completa a seqüência é

4. (FCC) Observe que a sequência de figuras seguinte está incompleta. A figura que está faltando à direita deve ter com aquela que a antecede a mesma relação que a segunda tem com a primeira. Assim,

5. Abaixo tem-se uma sucessão de quadrados e no seu interior outros menores, dos quais as letras foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

Segundo esse padrão, o quadrado que completa a sucessão é:

6. (FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo da figura I, é possível transformá-la na figura II.

O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é:

a) b) c) d) e)

1 2 3 5 6

7. Observe que há uma relação entre as duas primeiras figuras representadas abaixo. A mesma relação deve existir entre a terceira figura e a quarta que está faltando.

A quarta figura é:

8. Observe a figura abaixo.

Se ela pudesse ser deslizada sobre esta folha de papel, com qual das figuras seguintes ela coincidiria?

1.3 ATIVIDADES DIVERSAS 1. (OBMEP) Em um dado, a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. Dois dados iguais foram colados como na figura abaixo. Qual é a soma dos números que estão nas faces coladas? a) b) c) d) e)

8 9 10 11 12

2. (OBMEP) Com as figuras mostradas abaixo, podemos montar cinco dados diferentes. Com qual delas podemos montar um dado no qual a soma do número de pontos em quaisquer duas faces opostas é 7?

3. (FCC) O esquema abaixo representa, da esquerda para a direita, uma sucessão de jogadas feitas por Alice e Eunice numa disputa do “Jogo da Velha”.

Para que com certeza, a partida termine com uma vitória de Eunice, constata-se então, ao fazer a sua terceira jogada, em qual posição ela deverá assinalar a sua marca? a) b) c) d) e)

Somente em (2). Somente em (3). Em (3) ou em (5). Em (1) ou em (2). Em (2) ou em (4).

4. Temos nove moedas de 10 centavos, iguais na aparência e no peso, exceto por uma que, sendo falsa, pesa menos que as outras oito. Como podemos descobrir a moeda falsa utilizando uma balança de precisão, de dois pratos, realizando duas pesagens apenas?

5. E se, em lugar de 9 moedas de 10 centavos, tivermos 27, apenas uma falsa, e pudermos fazer três pesagens? 6. Temos 10 sacos de moedas, numerados de 1 a 10, cada um contendo vinte moedas de 10 centavos. Em um dos sacos, cada moeda pesa 9g; e nos demais sacos cada moeda pesa 10g. Todas as moedas tem a mesma aparência. É oferecido um prêmio à pessoa que, usando uma balança, com um único prato de pesagem, e realizando uma única pesagem, descobrir o saco das moedas mais leves. Como podemos ganhar o prêmio?

7. Três garrafas tem capacidades de 8, 5 e 3 litros. A de 8 litros está cheia de vinho e as outras duas estão vazias. Utilizando apenas os três vasilhames, como podemos separar duas porções de vinho de 4 litros cada?

8. (OBMEP) O Código Secreto. O código secreto de um grupo de alunos é um número de 3 algarismos distintos diferentes de 0 . Descubra o código com as seguintes informações: 1 2 3 Nenhum algarismo correto 4 5 6 Um só algarismo correto na posição certa 6 1 2 Um só algarismo correto, mas na posição errada 5 4 7 Um só algarismo correto, mas na posição errada 8 4 3 Um só algarismo correto na posição certa 9. Partindo da letra “S", vá em direção a outra letra seguindo as linhas e sem nunca passar novamente pela mesma letra. Você, ao final, descobrirá uma palavra de 16 letras.

10. Distribua os números de 1 a 9 nos círculos de tal maneira que cada lado some 17.

Desafio (OBMEP) César tem cinco peças de madeira feitas de quadradinhos iguais: quatro peças com dois quadradinhos cada e uma com um único quadradinho.

Em cada quadradinho ele escreveu um número e, em seguida, montou com as peças o quadrado ao lado. O número que César escreveu na peça de um único quadradinho foi : (A) um número maior que 9. (B) um número menor que 11. (C) um número ímpar maior que 27. (D) um número par menor que 10. (E) um número maior que 21 e menor que 24.

Projeto em equipe

ELABORAR UMA QUESTÃO DE RACIOCÍNIO LÓGICO E EM SEGUIDA DESAFIAR UMA EQUIPE A SOLUCIONAR O DESAFIO.

VAMOS PENSAR UM POUCO... O que são e para que servem os números? O que é sistema de numeração? Você sabe por que os números surgiram e como isso aconteceu? Onde podemos utilizar os números no nosso dia-a-dia? Qual a importância dos números no nosso cotidiano? Por que somar, subtrair, multiplicar e dividir é tão importante?

“Os números estão no âmago de todas as coisas.” Pitágoras 16

OS NÚMEROS

Fonte: blfranco.blogspot.com

A necessidade de obter rapidamente certas informações sobre um produto levou ao desenvolvimento de um importante recurso utilizado nos caixas de supermercados e lojas, nas distribuidoras, e que você certamente já viu estampado em uma embalagem: o código de barras. As barras pretas e os espaços que compõem o código de barras servem para que um aparelho óptico possa transmitir as informações para o computador. A sequência numérica que fica abaixo das barras pode ser considerada RG do produto, não havendo dois produtos diferentes com a mesma numeração. Os algarismos dessa sequência servem para identificar o país que em que o produto foi registrado, o fabricante e o produto (no Brasil, os três primeiros são 789). O ultimo algarismo verifica se o código de barras foi lido corretamente. O computador faz um cálculo utilizando os algarismos anteriores e, se a leitura estiver certa, o resultado corresponde ao último. No caso de falha no leitor óptico, a sequência numérica pode ser digitada manualmente. Texto retirado do livro Projeto Radix, 6º ano. Ribeiro (2009), p.10

1. Em sua opinião, qual a importância dos códigos de barras? 2. Para que serve a sequência numérica abaixo das barras?

2 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Objetivos: -Conhecer outros sistemas de numeração; -Conhecer a origem do sistema de numeração indo-arábico; -Compreender o sistema de numeral decimal, identificando o conjunto de regras e símbolos que o caracterizam.

O desenvolvimento das civilizações a linguagem utilizada para contar e medir teve três fases principais: a enumeração, a numeração e o número. A enumeração é a forma mais primitiva usada para contar. Entendemos, como uma correspondência de um para um entre objetos que desejamos contar e objetos usados como marcadores. Por exemplo, imaginemos a seguinte situação: ao final do dia, um pastor recolhe seu rebanho de ovelha e deseja saber se está completo. Através da enumeração este problema é resolvido associando a cada animal um 17

objeto concreto. O pastor poderia, por exemplo, manter um recipiente contendo uma pedra para cada animal de seu rebanho e efetuar no final do dia a correspondência entre pedras e animais. Na maior parte das civilizações estudadas, ainda na sua forma mais primitiva, os objetos concretos utilizados como marcadores eram uma seqüência ordenada de partes do corpo humano, impondo restrições na quantidade a ser contada, como os dedos das mãos. A numeração, uma evolução da enumeração, pois, com a criação de um vocabulário, era natural que tais palavras fossem usadas no processo de enumeração. Esta mudança marca a transição para numeração, com o surgimento de “palavras números”. Essa evolução possibilitou a contagem usando apenas as “palavras número”, sem a necessidade de percorrer partes do corpo humano para fazer a associação. Finalmente, os números, que são entes abstratos desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar, medir, ordenar e codificar. Hoje em dia somos cercados de números, basta olhar ao nosso redor e percebemos a presença deles em tudo. No nascimento de um bebê temos registros de data, hora, peso, tamanho, número de identificação de berçário etc. Você poderia mostrar outras situações diversas em que os números estão presentes?

2.1 UM POUCO DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS. Então, vamos conhecer agora um pouco da história dos números... Desde a época das cavernas, há mais de 30.000 anos, o homem já sentia a necessidade de contar e foi descoberta tempos depois, marcações nas paredes das cavernas e entalhes nos ossos mostrando essa necessidade.

Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática 1º ano. Ed. Ática, São Paulo, 2008.

A ideia de número apareceu de forma espontânea:

2.1.1

SISTEMA DE NUMERAÇÃO COM PEDRINHAS

Os pastores de ovelha ao sair para o campo precisavam conferir a quantidade das ovelhas ao retornarem e para isso eles usavam pedrinhas. Você sabia?

Logo pensando em quantidades grandes de ovelhas, começou a surgir a ideia de agrupamento, daí surgiram os conjuntos.

A palavra cálculo vem do Latim calculus, “estimativa, contagem”, originalmente “pedrinha usada para fazer contas”. Deriva de calx, “pedra calcárea”, do Grego khalix, “seixo, pedra pequena”.

Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática 1º ano. Ed. Ática, São Paulo, 2008.

Por exemplo: Uma pedrinha preta corresponde a cinco pedrinhas amarelas, uma pedrinha branca corresponde a dez pedrinhas amarelas ou duas pedrinhas pretas. Outro recurso também utilizado eram os nós em cordas, muito usados pelos incas, gregos, árabes, etc. para marcar tempo e distâncias.

Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática 1º ano. Ed. Ática, São Paulo, 2008.

Se pararmos e analisarmos bem o nosso corpo veremos que possuímos instrumentos de cálculos que são os dedos das mãos e dos pés.

Fonte: corteparacabelo.com.br

2.1.2

SISTEMA DE NUMERAÇÃO MESOPOTÂMICO

Partindo do aumento das quantidades e das variedades de objetos para contar as pedrinhas já não eram mais suficientes. Foi descoberto através de placas de barro (argila cozida) que os sumérios utilizavam dois sinais diferentes em formas de cunhas para representar o sistema de numeração, daí o mesmo receber o nome de cuneiforme. Os mesopotâmicos adotaram um sistema de numeração posicional de base 60. Os símbolos que utilizavam para representar os números eram:



(prego) indica 1 ou 60(dependendo do posicionamento), pode ser repetido até nove vezes; (viga) indica 10, pode ser repetido até 5 vezes.

Vejamos agora as regras para a utilização desses símbolos: 

Você sabia? Ate hoje utilizamos a base 60 quando queremos contar o tempo. 1hora = 60minutos 1 minuto = 60 segundos

Para números escritos de 1 a 59.

A escrita é feita de forma aditiva, ou seja, basta somar os valores de cada símbolo. Veja exemplos abaixo:

Numeração mesopotâmica

Numeração indo arábica

 A

Para números acima de 59. notação

posicional,

assim

quando

escrevemos

, o primeiro conjunto, da direita para a esquerda, representa as três unidades; o segundo 3 x 60; e o terceiro 3x(60)² e assim sucessivamente. Veja exemplos abaixo:

Numeração mesopotâmica

Numeração indo arábica 60

61 143 3672

Os mesopotâmicos não tinham um símbolo para representar o “nada” ou melhor o zero, sendo assim, eles deixavam um espaço entre os símbolos para diferenciar as posições de agrupamentos.

2.1.3

SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO

Os egípcios criaram um sistema de numeração hieroglífica não posicional, baseado em agrupamentos de base 10 (há troca de símbolo a cada grupo de 10), utilizavam símbolos especiais da fauna e flora retirados quase todos do Rio Nilo para representá-los. Esse sistema era constituído por sete símbolos e não utilizava o zero. Veja o quadro abaixo: Fonte: Contando a Historia dos números: a invenção do números. Oscar Guelli. 2006

Descrição

Bastão

Calcanhar

Rolo de pergaminho

100

Flor de lótus

Dedo encurvado

Peixe ou girino

Homem ajoelhado

1.000

10.000

100.000

1.000.000

Numeração Egípcia Numeração indo arábica

A representação de qualquer número era limitada a repetição de nove vezes do símbolo (hieróglifo) de cada classe decimal, com isso cada símbolo era trocado por outro de um agrupamento superior, os números poderiam ser escritos em qualquer ordem, pois esse sistema baseava-se no processo aditivo simples, ou seja, para saber o valor de um número escrito bastava somar todo o valor correspondente a cada símbolo. Vejamos alguns exemplos no quadro abaixo:

Numeração egípcia

Numeração indo-arábica 232

3234

2.1.4

SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA

Dentre as grandes criações dessa civilização pode-se destacar o desenvolvimento de um sistema de numeração de base 20 e um símbolo especial para representar: o zero, o nada, a ausência e o vazio, que é o grande responsável pelo sucesso do nosso sistema numérico atual. Os maias utilizavam apenas três símbolos para representar qualquer número do seu sistema de numeração: A concha O ponto

, que representava o número 0; , que representava o número 1;

A barra

, que representava o número 5;

Na representação dos números entre 0 e 19, eles utilizavam como regra a substituição de cinco pontos por uma barra, uma combinação entre pontos e barras com princípio aditivo, vejamos:

Para representar os valores acima de 19, os mesmos utilizavam o princípio posicional ou multiplicativo dos números, os mesmos são escritos na posição vertical de baixo pra cima; na parte inferior fica as unidades; o número acima representa múltiplos de 20, na 3ª posição representa múltiplo de 360; nas posições superiores volta a potência de 20, ou seja a multiplicação. Vejamos os exemplos: Numeração 20

166

4398

122412

Indo-arábica 4ª posição

x 20² x 18 = 7200

3ª posição

x 20¹ x 18 = 360

2ª posição

x 20¹ = 20

1ª posição

x 200 = 1

A escrita numérica dessa civilização pode ser encontrada no Codex de Dresden, um tratado de astronomia e de astrologia.

Fonte: http://en.wikipedia.org

2.1.5

SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA

Utilizavam sete letras para representar os números do seu sistema, a ordem dos símbolos mudavam o valor. É um sistema ordenado posicional. Por exemplo, alterando a posição do símbolo I altera-se a leitura, utilizava também agrupamentos de 10 (base 10). Veja os símbolos utilizados no quadro abaixo: Numeração

100

500

1000

romana Numeração Indo arábico

Os demais números eram escritos através da combinação dos símbolos que aparecem no quadro. Vejamos agora as regras para a utilização desses símbolos: 23



Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos seguidamente até 3 vezes; já V, L e D não podem ser repetidos,

Veja os exemplos: Numeração romana

III

XXX

XXXIII

Numeração Indo arábico

200

2000



Os símbolos I, II e III se à direita de V ou X são somados, se I à esquerda é subtraído,

Veja os exemplos:



Numeração romana

XII

Numeração Indo arábico

O símbolo X (somente pode escrever) à esquerda de L ou C é subtraído; C(somente pode escrever) à esquerda de D ou M é subtraído.

Veja os exemplos:



Numeração romana

Numeração Indo arábico

400

900

Os símbolos que aparecem com um traço sobre a letra deve ser multiplicado por 1.000, dois traços por 1.000.000

Veja os exemplos: Numeração romana

_____

VII

XII

Numeração Indo arábico

5.000

7.000

12.000

XXXI 21.000.000

Vejamos nos dias atuais onde podemos encontrar a numeração romana: 

Relógio;



Representação de séculos;



Capítulos de livros;



2.1.6

Na religião católica indica a geração de um Papa etc.

SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO

O sistema de numeração indo-arábico recebe esse nome devido aos hindus, que o inventaram e aos árabes, que o aperfeiçoaram e divulgaram para a Europa Ocidental. Para representar o sistema indo-arábico são utilizado 10 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) que juntos e agrupados de 10 em 10 (daí Base 10), formam Você sabia? a base desse sistema, também chamado, Sistema de Numeração Decimal. Verifica-se nesse sistema que, não é necessario criar infinitos O nome do matematico arabe que auxiliou no símbolos para representar cada número desejado, podem-se agrupar aperfeiçoamento e valores e simplificar sua representação. divulgação do sistema de Os símbolos dos algarismos indo-arábico sofreram ao longo dos numeração Hindus é Mohammed Al-Khowarizmi, anos modificações para chegar ao que utilizamos atualmente. Vejamos é por isso que nossos essa evolução na escrita no quadro abaixo: simbolos são denominados algarismos.

Fonte: Contando a Historia dos números: a invenção do números. Oscar Guelli. 2006

Vamos agora conhecer as características do sistema de numeração indo-arábico: Símbolos – tem apenas 10 símbolos que podemos escrever qualquer outro número. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Base – é constituído por base 10, ou seja, a cada agrupamento de 10 em 10. Posicional – o mesmo símbolo pode representar valores diferentes, em virtude de sua posição o número. Zero – para a posição vazia utilizamos o símbolo 0. Aditivo – o valor do número é obtido pelo principio aditivo simples da soma dos valores posicionais que cada símbolo ocupa.

Multiplicativo – é um sistema multiplicativo, pois o símbolo que está escrito à esquerda do outro vale 10 vezes mais o valor posicional que estivesse ocupado à outra casa. "TODO ALGARISMO ESCRITO A ESQUERDA DE OUTRO, DEVERÁ SER MULTIPLICADO PELO PRODUTO DA BASE UTILIZADA, PELO VALOR DO QUE O ALGARISMO DA DIREITA REPRESENTA" (Conceição, 2010)

Leitura ORIGEM DO ZERO Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito não está claro. O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular. Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais. É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura. Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre, levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu. Fonte. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais, de Bernard GUNDLACH.

Projeto em equipe Elaborar um sistema de numeração, que apresente as seguintes características: - Símbolos; - Base; - Principio posicional; - Zero; - Principio Multiplicativo; - Principio Aditivo.

VAMOS PENSAR UM POUCO... Exemplos de situações em que os números são usados. Você sabe com fazer a leitura de um número? Você sabe o que um Ábaco? O que são os números naturais? 

“A matemática vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza - uma beleza fria e austera, como a da escultura.” Bertrand Russel

OS NÚMEROS NATURAIS

Fonte: www.ultradownloads.com.br

Quando compramos um ingresso para ir ao teatro, ao cinema, ao estádio de futebol, podemos observar que, em geral, ele apresenta alguns números. Dentre esses números, há aqueles que indicam a fileira e a poltrona que a pessoa vai se sentar, garantindo a organização do público. Há lugares, por exemplo, que garantem ao espectador uma posição melhor na plateia. Nesse caso, o ingresso tem um preço um pouco maior. Outro número que aparece é aquele que indica a quantidade de pessoas que poderão estar presentes no estabelecimento, garantindo aos organizadores do evento não vender uma quantidade além da permitida, além de saber a quantidade de pessoas que compraram os ingressos. Texto retirado do livro Projeto Radix, 6º ano. Ribeiro (2009), p.42

1 Você já foi a algum lugar em que as poltronas eram enumeradas? Se a resposta for afirmativa, conte aos colegas que lugar é esse. 2 Na fotografia acima, podemos observar que as poltronas estão numeradas obedecendo a uma sequência numérica que se inicia em cada uma das fileiras. Quais são os três números que vem antes e depois das próximas poltronas da fileira que aparece em primeiro plano?

3 OS NÚMEROS E USO

-Compreender a estrutura do Objetivos: sistema de numeração decimal e a organização dos algarismos em ordens e classes; -Reconhecer a sequência dos números naturais; -Realizar operações números naturais;

Atualmente vivemos em um mundo de números. Como vimos no capítulo anterior, foram necessários vários séculos para o aperfeiçoamento do atual sistema de numeração. Os números são empregados em diversas situações no cotidiano, vejamos os exemplos abaixo:  Contar: Exemplo, quantos alunos estão matriculados no ILBJ.

com

-Ler e interpretar textos com dados numéricos.

 Codificar: Exemplo, O Código de barras é uma representação gráfica de dados numéricos ou alfanuméricos. É usado para identificar produtos através de leitura de scanner.

 Medir: Exemplo, Velocidade máxima permitida.

 Ordenar: Exemplo, classificação em um resultado de concurso, campeonato.

Você poderia mostrar outras situações diversas em que os números estão presentes?

4 ORDENS E CLASSES DE UM NÚMERO Para facilitar a leitura e escrita dos números no sistema de numeração indoarábico separamos da direita para a esquerda os números em grupo de três. Cada grupo de três algarismos representa uma classe, cada posição de um algarismo dentro da classe recebe o nome da ordem. Em cada classe há três ordens: unidades, dezenas e centenas. Vejamos as quatro primeiras classes e suas ordens. Classes

4ª (bilhões)

3ª (milhões)

2ª (milhares)

1ª(unidades simples)

ordens

12ª ordem

11ª ordem

10ª ordem

9ª ordem

8ª ordem

7ª ordem

6ª ordem

5ª ordem

4ª ordem

3ª ordem

2ª ordem

1ª ordem

leitura

Centenas de bilhoes

Dezenas de bilhoes

Unidades de bilhoes

Centenas de milhoes

Dezenas de milhoes

Unidades de milhoes

Centenas de milhares

Dezenas de milhares

Unidades de milhares

centenas

dezenas

unidades

Para lermos qualquer número devemos agrupá-los em ordens e classes. Vejamos a representação e leitura do número 5 792 641, primeiro devemos agrupá-lo da direita para a esquerda, conforme quadro abaixo:

5 792 641

Ordem

Valor de cada algarismo

1ª ordem

1 unidade

2ª ordem

4 dezenas

3ª ordem

6 centenas

4ª ordem

2 unidades de milhar

5ª ordem

9 dezenas de milhar

6ª ordem

7 centenas de milhar

7ª ordem

5 unidades de milhão

Classe

1ª classe

2ª classe

3ª classe

Observe que ele tem 3 classes e 7 ordens. Lê-se: Cinco milhões, setecentos e noventa e dois mil, seiscentos e quarenta e um.

5 OS NÚMEROS NATURAIS Desde épocas mais antigas, a ideia de números acompanha a humanidade, e sempre o homem utilizou-se de símbolos, como marcações em paredes de cavernas, em ossos, para registrar sua ideia de quantidade. Com o tempo, foram aparecendo outras maneiras de se registrar a quantidade de determinados objetos. Demorou muito para chegarmos à escrita numérica que usamos atualmente. Os povos foram substituindo as antigas marcações por símbolos e regras utilizados para representar os números. Esse ajuste de símbolos e regras é chamado de sistema de numeração. O sistema de numeração mais utilizado atualmente é o decimal, cujos símbolos são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. O conjunto representado pela letra N é chamado de conjunto dos Números Naturais. Representação: {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}exceto o zero. Propriedades:  Todo número natural tem um sucessor. O sucessor de um número natural é a soma desse número com o número 1;  O antecessor de um número natural é a subtração desse número com 1;  O zero (0) é o único natural que não tem antecessor;  O zero é o menor número natural; 32

 Dois ou mais números naturais em sequência são chamados números consecutivos. Podemos escrever os números em uma seqüência numérica crescente, que se denomina conjunto dos números naturais, vejamos a representação: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} Os números naturais, exceto o zero, possuem um antecessor e um sucessor.  Antecessor: é o número que está imediatamente antes dele na sequência;  Sucessor: é o número que está imediatamente depois dele na sequência. Veja o exemplo do antecessor e o sucessor do número 5, no quadro abaixo: -1

+1 4

Antecessor

6 Sucessor

Para determinar o sucessor de um número basta somar 1 a este número.

5.1 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NUMEROS NATURAIS 5.1.1 Adição A adição de números naturais tem por finalidade reunir em um único número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos. De fato o que seria a adição: está ligada a ideia de unir, acrescentar, juntar. Exemplo: (UNICANTO) Nos jogos poliesportivos anuais do Distrito Federal (DF), foram distribuídas 216 medalhas de ouro, 115 medalhas de prata e 292 medalhas de bronze. Qual o total de medalhas distribuídas nesses jogos? 216 + 115 292 623

parcela parcela parcela Soma ou total

5.1.2 Subtração A subtração está ligada a idéia de reduzir, tirar. Veja a situação abaixo: (UNICANTO) Os elefantes correm o perigo de ser mais uma das espécies em extinção. O responsável por isso é o grande comércio de marfim. Há dez anos, cerca de 1 300 000 elefantes habitavam a África. Hoje existem aproximadamente 625 000. Para calcular a quantidade de elefantes existentes na África, fazemos: 1300000

minuendo

- 625000

subtraendo

675000

diferença

5.1.3 Multiplicação A multiplicação é uma soma de uma ou várias parcelas iguais. Exemplo:

4 x 5 = 20  O número 4 chamamos de multiplicador;  O número 5 é chamado de multiplicando;  O número 20 chamamos de produto.

4 x 5 na verdade, é a soma de 4 com ele mesmo cinco vezes:

4 x 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20 Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

5.1.4 Divisão Quando nos deparamos com dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo cabe no primeiro. O primeiro número que é o maior e recebe o nome de dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo, ou seja, a multiplicação e a divisão são operações inversas uma da outra, assim como acontece com a soma e a subtração. No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre se consegue dividir um número natural por outro número natural e quando isso acontece dizemos que a divisão não é exata. 34

Relações essenciais numa divisão de números naturais  Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. Exemplo: 45: 9 = 5  Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. Exemplo: 45 = 5 x 9  A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: Exemplo: n : 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Não existe divisão por zero. Numa divisão, como por exemplo, 45 : 9 = 5, o 45 chamamos de dividendo, o número 9 chama-se divisor, já o número 5 quociente e o resto será 0, pois a divisão é exata.

Leitura História da Calculadora

Se realizar certos cálculos complexos com o auxílio das calculadoras já não é algo tão simples, imagine como seria a vida dos matemáticos e engenheiros sem o dispositivo. Felizmente, os instrumentos de cálculos facilitam a vida do homem desde a Idade Antiga. Podemos dizer que o ábaco foi a primeira calculadora da história. Este instrumento, criado pelos chineses no século 6 antes de Cristo, dispunha de fios paralelos e arruelas deslizantes que eram capazes de realizar contas de adição e subtração. Embora fosse um instrumento bastante limitado, o ábaco acabou sendo o principal mecanismo de cálculo durante os 24 séculos seguintes. Em 1642, a calculadora, ou melhor, o ábaco, sofreu uma grande evolução, por meio do francês Blaise Pascal. Filho de um cobrador de impostos, Pascal idealizou uma máquina automática de cálculos para ajudar seu pai em sua profissão. A invenção de Pascal foi importante pelo fato de a mesma realizar os cálculos de forma rápida, algo bem diferente do que se via na utilização do ábaco. Mesmo assim, a máquina de Pascal também realizava apenas operações de adição e subtração. Foi só em 1671 que o filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Von Leibniz desenvolveu um mecanismo capaz de realizar as outras operações: a “roda graduada”. No fim do século XIX e início do século XX, as calculadoras eram objetos de uso bastante restrito. Foi nos anos seguintes, com a criação de máquinas cada vez menores e mais baratas, que a calculadora se transformou no popular instrumento que conhecemos atualmente. Fonte: http://www.historiadetudo.com

Desafio Somente os dígitos (ou algarismos) 2, 3, 4, 5, 6 e 7 foram utilizados na multiplicação, sendo que cada letra representa um dígito diferente. Qual o valor de A + B + C + D?

AB x6 DEF

Projeto em equipe Cada grupo deverá elaborar quatro problemas cotidianos que evolvam as quatro operações estudadas acima, logo após deverão trocá-las entre os grupos e depois resolver os problemas os quais estão. Por fim, após resolvê-los cada equipe deverá apresentar a maneira da resolução e discutir entre grupos as diversas formas de respostas.

VAMOS PENSAR UM POUCO...  Exemplos de situações em que os números positivos e negativos são utilizados. Você sabe qual a diferença entre um número positivo e um número negativo e sua utilização? Você representa perda e ganho, erros e acertos, débito e crédito etc.? O que são os números naturais? 

“A matemática é a honra do espírito humano.” Leibniz

OS NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS

Fonte: www.nutricionismobiblico.blogspot.com

Para não comprometermos nossa saúde por meio da ingestão de alimentos estragados, uma condição essencial é sua conservação. A refrigeração é uma das formas mais utilizadas para manter os alimentos perecíveis conservados por mais tempo. As geladeiras utilizadas em residências, por exemplo, mantêm os alimentos a uma temperatura entre 4ºC e 10ºC. A temperatura do freezer (ou congelador), por sua vez, depende da disposição das portas presentes nos modelos de geladeiras: nos de 2 portas, varia entre 14ºC e 18ºC abaixo de zero; nos de uma porta, entre 4ºC e 6ºC abaixo de zero. No entanto, a refrigeração era impossível antes da descoberta da energia elétrica, e assim, o homem criou outra forma de conservar os alimentos, utilizada até hoje na carne de sol, no bacalhau e em frutas cristalizadas: a desidratação. Essa técnica consiste na adição de grande quantidade de sal ou açúcar ao alimento que faz com que seque e dure por mais tempo. Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.90

1. Cite alguns alimentos cuja conservação depende da geladeira ou freezer. 2. Como você faria para escrever as temperaturas abaixo de zero citadas no texto? 3. Qual a variação entre a maior temperatura que a geladeira pode atingir e a menor temperatura do freezer? 39

6 ENCONTRANDO OS INTEIROS

-Identificar situações cotidianas que Objetivos: apresentem os números inteiros; -Introduzir o conceito números inteiros negativos;

-Identificar e compreender o uso dos números inteiros em situações do cotidiano; -Solucionar situações-problema que envolvam números negativos, utilizando-se de diferentes estratégias de resolução.

o o o o

Em algumas situações do nosso dia a dia, utilizamos por necessidade outros números que não são os naturais. Em mapas, por exemplo, estão indicadas temperaturas em graus Celsius (°C). Podemos identificar temperaturas abaixo de zero utilizando um número negativo e acima de zero, um número positivo. Você sabia que os números negativos são aqueles que vem acompanhados do sinal -? Eles são menores que zero e precisam vim com este sinal antes? Você sabia também que os números positivos são aqueles que vem acompanhados do sinal +? E que estes podem ser escritos sem este sinal e continuam sendo positivos? Exemplos de utilização de números inteiros: o Medir temperaturas; Representação de saldos bancários (débitos e créditos); Representação de pontos perdidos e pontos ganhos; Representação de lucro e prejuízo; Representação de vitória e derrota em uma partida esportiva, entre outros.

Você poderia mostrar outras situações diversas em que os números positivos e negativos estão presentes?

7 COMPARANDO NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS Você sabia que:  Os números à esquerda de um número qualquer são menores que esse número?  Os números à direita de um número qualquer são maiores que esse número? Exemplos: -11< -10 ou -10 > -11

4 < 5 ou 5 > 4

-1 < 0 ou 0 > -1

VALE À PENA SABER:  Números opostos – são números que ao juntá-los se anulam, ou seja, tornam-se zero. São ainda o mesmo número com sinais diferentes. Exemplo 01: -1 e +1 são opostos

-1001 e + 1001 são opostos

-1 +1 = 0

-1001 + 1001 = 0 Exemplo 02:

Bruno tem um saldo devedor em uma mercearia de R$ 130,00, ou seja – 130. Ao fazer um pagamento de R$ 130,00 (+130), Bruno zerou sua dívida. Com isso conclui-se que – 130 + 130 = 0.

8 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 8.1 Adição e Subtração de números positivos e negativos A adição e subtração de números inteiros tem por finalidade reunir ou reduzir em um único número, todas as unidades de dois ou mais números. Exemplo 01: Movimentação

Em uma movimentação bancária mostrada ao lado, o saldo anterior era de R$ 350,00, foi descontado o valor de R$137,00 de um cheque e outro valor de R$ 63,00, em seguida foi realizado um depósito no valor de R$ 50,00. Qual será o saldo atual?

Saldo anterior

+ 350,00

Cheque compensado

- 137,00

Resolução:

Compras

- 63,00

350 – 137 – 63 + 50 = 200

Depósito

+ 50,00

Saldo atual

Logo o saldo atual será de R$ 200,00.

Exemplo 02: Em uma fatura de cartão de crédito representada abaixo, Guilherme fez diversas compras e ao final do mês esses valores vieram descritos na fatura constando como dívida a ser paga. O saldo devedor de Guilherme era de R$ 1 126,75, ou seja, - 1 126,75. Obs.: Toda dívida pode ser representada como um valor negativo ( - ) e todo pagamento pode ser representado como um valor positivo ( + ). Dessa forma, Guilherme decidiu fazer um pagamento de R$ 1 400,00. Daí ele zerou sua dívida e ainda obteve R$ 273,25 de troco. O cálculo feito dessa transação financeira foi o seguinte:  - 1 126,75 (dívida) + 1 400,00 (pagamento) = 273,25 (troco), portanto saldo positivo.

Fonte: thefutureneedsabigkiss.wordpress.com

Exemplo 03: Na fatura de cartão de crédito representada acima, Ana Carolina almoçou em um restaurante e gastou o valor referente à R$ 17,30. Logo após, fez uma compra nas Lojas Americanas e gastou o valor de R$ 32,98. Os dois valores gastos são algo negativo, portanto podemos representar como – 17,30 e – 32,98. Com isso a soma dessas dívidas é - 17,30 + (- 32,98) = - 50,28. Conclui-se então: Ana Carolina tem uma dívida total no valor de R$ 50,28, devido ao acúmulo de dívidas feitas por ela.

Exemplo 04: Na fatura de cartão de crédito representada acima, Ana Carolina almoçou em um restaurante e gastou o valor referente à R$ 17,30. Logo após, fez uma compra nas Lojas Americanas e gastou o valor de R$ 32,98. O total da dívida de Ana Carolina, como vimos no exemplo anterior, é de R$ 50,28. Se ela decide pagar do valor dessa dívida apenas R$ 30,00. O que acontece? Ana Carolina ficará devendo ainda R$ 20,28  -50,28 (dívida) + 30,00 (pagamento) = - 20,28 (ainda com saldo devedor)

8.2 Multiplicação de números positivos e negativos A multiplicação de números positivos e negativos se dá semelhante a multiplicação de números naturais. Há apenas uma diferença que se encontra na realização de jogo de sinais. JOGO DE SINAIS + com + = + - com - = + + com - = - com + = Conclusão: Se os sinais forem iguais, o resultado será sempre positivo (+). Se os sinais forem diferentes, o resultado será sempre negativo (-). 43

Exemplo: Num jogo cada jogador deve responder a 20 questões. A cada resposta correta ganha 3 pontos e a cada resposta incorreta perde 3 pontos. a) Com quantos pontos Marcela terminou o jogo, se ela acertou 11 questões?  Resposta correta: 11 acertos x 3 pontos ganhos = 33 pontos  Resposta errada: 9 erros x (-3) pontos perdidos = - 27 pontos Conclusão: 33 -27 = 06 pontos no total b) Beatriz acertou uma questão a menos que Marcela. Com quantos pontos ela terminou o jogo?  Resposta correta: 11 (Marcela) – 1 = 10 acertos (Beatriz) x 3 pontos ganhos = 30 pontos  Resposta errada: 10 erros x (-3) pontos perdidos = - 30 pontos Conclusão: 30 - 30 = 0 pontos no total

Lembrando: No total, incluindo acertos e erros, são 20 questões.

8.3 Divisão de números positivos e negativos A divisão de números positivos e negativos se dá semelhante a divisão de números naturais. Há apenas uma diferença que se encontra na realização de jogo de sinais. JOGO DE SINAIS + com + = + - com - = + + com - = - com + = Conclusão: Se os sinais forem iguais, o resultado será sempre positivo (+). Se os sinais forem diferentes, o resultado será sempre negativo (-).

Exemplo: Três amigos foram a um show e compraram 3 ingressos num mesmo cartão de crédito que acarretou em uma dívida total de R$ 93,00. Pergunta-se: Quanto cada um dos 3 amigos ficará devendo no cartão de crédito?  - 93,00 (dívida): 3 = - 31,00 Conclusão: Cada amigo ficará com a dívida de R$ 31,00 que foi o valor de cada ingresso.

Leitura UM POUCO DA HISTÓRIA DOS NÚMEROS POSITIVOS E NEGATIVOS

Fonte: portoalegre.musicblog.com.br

A noção de números negativos que temos hoje é relativamente recente se comparada com a história da Matemática. Pensar em quantidade negativa era algo “estranho” para as civilizações antigas. No entanto, os chineses já conheciam os números negativos e tinham o domínio de algumas de suas propriedades há aproximadamente três séculos a.C. Para realizar cálculos com os números positivos e negativos, os chineses utilizavam duas coleções de barras vermelhas e pretas. As barras vermelhas indicavam os números positivos e as pretas, os negativos. Entretanto, os chineses não aceitavam a ideia de um número negativo como solução de uma equação. Por volta de 200 a.C., os chineses já conheciam os números negativos e tinham certo domínio sobre eles. Os símbolos “+” e “-“ que conhecemos hoje foram introduzidos aproximadamente em 1489 por um professor alemão chamado Johann Widman (nascido por volta de 1460) em um livro de aritmética comercial. Nesse livro, o símbolo “+” representava excesso e o “-“, deficiência, em medidas nos armazéns. Nesse caso, tais símbolos não tinham significados de adição e subtração de hoje, pois, até então, essas operações eram indicadas pelas letras p (de piu, “mais”) e m (de meno, “menos”). Em 1544, no livro Arithmetica integra, o alemão Michel Stifel (cerca de 1487-1567) também contribuiu para difundir os símbolos “+” e “-“ para representar números positivos e negativos. Nesse livro, considerado o mais importante de todas as álgebras alemãs do século XVI, Stifel demonstra muito conhecimento acerca dos números negativos, mesmo referindo-se a eles como “números absurdos”. Fonte: Livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.117

Desafio Jonas fez um depósito em sua conta bancária e ainda ficou com um saldo negativo de – R$ 74,00. Sabendo que Jonas devia 4 vezes o saldo atual, quantos reais ele depositou?

Projeto em equipe

Os materiais necessários são cartas de dois baralhos com cores diferentes, lousa e giz. As cartas pretas do baralho corresponderão a pontos ganhos e as cartas vermelhas a pontos perdidos. Cada carta do baralho do 2 até o 10 representa sua respectiva pontuação, o Ás vale 1, o Valete 11, a Dama vale 12 e o Rei vale 13. O sinal do número depende de sua cor: será positivo se forem pontos ganhos (cartas pretas) e negativo se forem pontos perdidos (cartas vermelhas). Os alunos se dividirão em duas equipes (Equipe A e equipe B). Cada grupo deverá escolher um aluno como representante em uma jogada e este será o responsável pelo registro de sua equipe na lousa. O aluno poderá escolher a forma de registro que quiser para marcar os pontos ganhos e perdidos, sem interferência do professor. Convém fazer uma tabela na lousa como a exposta a seguir para organizar a atividade:

Equipe A

Equipe B

1ª carta retirada 2ª carta retirada 3ª carta retirada 4ª carta retirada 5ª carta retirada 6ª carta retirada 7ª carta retirada 8ª carta retirada 9ª carta retirada 10ª carta retirada Total de pontos

Projeto em equipe

Sorteia-se uma das equipes para começar o jogo. O professor fica de posse do baralho e um aluno de cada turma retira alternadamente uma carta, mostrando-se à sala e ao seu representante para que este faça o registro na lousa, anotando o valor de cada carta retirada pelos alunos de sua equipe na tabela. Cada rodada de 10 sorteios de cartas para cada turma e as retiradas de cartas são feitas alternadamente. O ideal é fazer três rodadas, mudando o representante e tentando fazer com que todos participem. Ao final de uma rodada, os alunos anotam os resultados obtidos por sua equipe e ajudam o representante a encontrar o total de pontos daquela rodada. Um aluno da outra equipe confere o resultado. Os resultados finais das três rodadas devem ser anotadas em uma outra tabela, como a sugerida:

Total de pontos da equipe A

Total de pontos da equipe B

1ª rodada 2ª rodada 3ª rodada Somatório Final

Vencerá o jogo a equipe que fizer o maior número de pontos na somatória dos totais das três jogadas realizadas. Ao final os alunos deverão relatar as novidades ou dificuldades que tiveram.

Projeto em equipe

Neste jogo podem participar 2 ou 3 alunos. O jogo consiste de um peão para cada jogador, um dado comum e um tabuleiro ilustrado na figura seguinte.

Cada equipe deverá sortear quem começará a caminhada pela trilha e estabelecer qual dos peões representará cada um deles durante a partida. Os alunos devem combinar que cada um deles começará com 30 pontos, os quais deverão ser usados pelos mesmos, quando estes julgarem necessário. O primeiro jogador lança o dado e anda o número no lançamento do mesmo. Observe que existem três possibilidades: 1. Se o peão cair em uma casa sem marcação, ele permanecerá aí até sua próxima vez de jogar; 2. Se o peão cair em alguma casa com uma multiplicação por um número negativo, então ele deverá voltar o número de casas que será determinado pelo resultado da multiplicação indicada na casinha que o peão se encontra, pelo número indicado no lançamento do dado; 3. Se o peão cair em alguma casa com uma multiplicação por um número positivo, então este deverá avançar o número de casas que será determinado pelo resultado da multiplicação indicada na casinha em que o peão se encontra, pelo número indicado no lançamento do dado. Vence o jogo quem obter maior número de pontos e não quem atingir a chegada primeiro!

VAMOS PENSAR UM POUCO... Cite exemplos de situações do seu dia a dia em que possível notar a utilização de frações e números decimais. Você sabe qual a importância dos números racionais para o nosso cotidiano? Qual a relação que existe entre as frações e os números decimais?

“A ciência pelo caminho da exatidão, só tem dois olhos: A matemática e a lógica.” De Morgan

ESTUDANDO AS FRAÇÕES

Fonte: www.bipolarbrasil.net

Mau humor, falta de concentração, ansiedade, bocejos de cinco em cinco minutos são sintomas típicos de uma noite mal dormida. Basta ficar acordado por um período maior que o habitual, que logo sentimos a importância das indispensáveis horas de sono para repor nossas energias. A idade é um dos fatores que interferem no período de sono. Os recém–nascidos, por exemplo, dormem cerca de 18h por dia; enquanto os adultos, 8h. Já os idosos, dormem em média 1/3 do tempo dos bebês e, em geral, têm o sono mais superficial, com múltiplos despertares. Apesar da necessidade de sono ser particular e sofrer influência de vários fatores, é certo que sua qualidade é mais importante do que a quantidade, ou seja, dormir em sono profundo e sem interrupções é melhor do que dormir por muitas horas com sono superficial e fragmentado. Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.20

1 Em média, quantas horas você dorme por dia? 2 Escreva, na forma irredutível, a fração

do dia que recém-nascidos, adultos e

idosos passam dormindo.

3 Considerando o tempo de sono de um adulto, calcule o tempo médio que uma pessoa de 81 anos passou acordada em toda sua vida.

1 ENTENDENDO AS FRAÇÕES O que são frações? -Representar frações parteObjetivos: de um todo;

como

-Usar a ideia de fração ou divisão na resolução de problemas; -Reconhecer as partes de uma fração; -Fazer uma relação do todo com as partes e as partes entre si; -Comparar frações.

 Fração é a parte de um inteiro. As mesmas são representadas por uma divisão e podem ser positivas ou negativas. Exemplo: Se Bruna decide comer 3 pedaços iguais de uma barra de chocolate que contem 5 pedaços ao todo, ela comeu uma fração da barra, ou seja, ela não comeu a barra inteira.

1.1 Representação geométrica de uma fração

Fonte:somatematica.com.br

Fonte: galerado4ano.blogspot.com

Fonte: turminhacocdelta.blogspot.com

Fonte:nossavamoscolorirdesenhos.blogspot.com

A representação geométrica se dá através dos desenhos representados acima. Na composição da fração o número que deverá ser escrito em cima refere-se à parte colorida, já o número que deverá ser escrito embaixo refere-se ao todo (total de partes). Ao interpretar os 3 pedaços da barra de chocolate, que tinha 5 pedaços, por Bruna dizemos que de 5 pedaços ela comeu 3. Portanto, o número que aparecerá em cima será o 3 e embaixo o 5. Logo Bruna comeu

do chocolate.

 O número que vem em cima de uma fração chamamos de NUMERADOR.  O número que vem embaixo na fração recebe o nome de DENOMINADOR. 52

1.2 Como se lê uma fração O numerador é lido cardinalmente, já o denominador é lido ordinalmente com algumas variações.      

Denominador 2 lemos como “meio”; Denominador 3 lemos como “terço”; Denominador 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 lemos como “quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono e décimo”; Denominador a partir do 11 lemos como: cardinalmente com o acréscimo da palavra “avos”. Denominador 100 lemos como “centésimo”; Denominador 1000 lemos como “milésimo”.

Exemplos: lê-se como sete nonos; lê-se como quinze vinte e quatro avos;

Obs.: Você poderá fazer a leitura como de costume, pois dessa maneira também é correto. Exemplo:

lê-se como um sobre cinco.

lê-se como dez meios; lê-se como treze sobre cem. lê-se como um terço.

1.3 Frações mistas Observe a receita a seguir:

Fonte: cotidianosantanaemfoco.wordpress.com

Note que a quantidade de farinha de trigo é expressa por 4

, o que

representa quatro xícaras inteiras e mais um quarto de uma xícara de farinha de trigo. O número que representa a quantidade de farinha de trigo é chamado de número na forma mista e lê-se como quatro inteiros e um quarto. Podemos ainda representar:

Obs.: 4

1.4 Equivalência de frações O que entendemos por algo equivalente?

Quando existe uma igualdade de valores ou um equilíbrio de valores. Exemplo 01: Se João pesa 48 kg e tem uma cama que pesa também 48 kg, podemos dizer que ele e a cama têm pesos equivalentes, ou que João tem um peso equivalente ao da cama.  Com as frações acontece da seguinte maneira: Dizemos que

são equivalentes, pois se multiplicarmos o numerador e o

denominador pelo mesmo número que nesse caso será 4, teremos exatamente uma fração equivalente que é

. E se dividirmos 16 e 32 por 4, teremos a fração anterior.

Daí você encontra infinitas frações equivalentes.

Exemplo 02: =

= ... = ...

Exemplo 03: Mônica resolveu dividir de três maneiras diferentes três tiras de papel de mesmo tamanho. Depois ela coloriu essas tiras da seguinte maneira:

Observe que todas as partes pintadas representam o mesmo pedaço do todo. Com isso podemos afirmar que: 

são equivalentes.

1.5 Simplificando frações Para obter uma fração irredutível é necessário simplificá-la, ou seja, dividir o numerador e denominador pelo mesmo número até tornar essa fração irredutível. Exemplos:

Vale à pena lembrar que toda fração é uma divisão e por isso antes de ver se é possível simplificar uma fração, podemos tentar dividir o numerador pelo denominador e ver se consegue encontrar um resultado exato. Mas se optar em fazer a simplificação obterá um resultado também correto. Se possível, todas as frações devem ser simplificadas até ficarem irredutível.

1.6 Comparando frações Ao analisar duas ou mais frações podemos compará-las para saber qual a menor e qual a maior fração. Para isso, podemos proceder da seguinte forma: 

Se os denominadores forem iguais, a maior fração será a de maior numerador;

Exemplo: 56



Se os denominadores forem diferentes, é necessário igualá-los e para isso utilizaremos o M.M.C. (mínimo múltiplo comum).

Exemplo: Em uma corrida de atletismo Jorge percorreu

e Sérgio

. Qual dos

dois obteve a maior distância? Solução:

Executando o m.m.c. 4, 14 2 2, 7 2

1, 7 7 1, 1

Logo, m.m.c. (4, 14) = 28

Lembre-se que o m.m.c. se faz a partir de uma decomposição utilizando números primos, que são aqueles divisíveis por 1 e por ele mesmo.

Então teremos: =

2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 2.1 Adição e Subtração de frações Exemplo 01: 57

Douglas comeu 3 fatias de uma pizza, do total de 8 fatias. Ao fazer a representação da quantidade de pizza que Douglas comeu temos: Ao fazer a representação da quantidade de pizza que sobrou temos:

Juntando a quantidade de pizza que Douglas comeu e a quantidade de pizza que sobrou obtemos uma soma, como veremos a seguir:

+ = = 1 pizza inteira

Também podemos observar que:

- =

 Quando se trabalha com adição e subtração de frações devemos observar dois casos distintos: 1° caso: Se os denominadores forem iguais, eles serão apenas repetidos Exemplo 01: (OBM) Nas olímpiadas de 1896 a 2008, o Brasil conquistou, ao todo, 91 medalhas. Dessas medalhas,

são de ouro,

de prata e o restante de bronze. De acordo com

essas informações, vejamos: 

O total de medalhas de ouro e prata conquistadas pelo Brasil:

+ 

O total de medalhas de bronze:

Exemplo 02: Um carro está com problema no tanque de combustível e vazando gasolina, no 1º dia vazou

da gasolina, no 2º dia vazou

e no 3º dia vazou

Quanto de gasolina

vazou do carro ao fim dos três dias?

Exemplo 03:

2° caso: Se os denominadores forem diferentes há a necessidade de calcular o m.m.c. e igualá-los. Exemplo 01: (OBM) Bianca realizou uma viagem de carro à praia. No início da viagem o marcador de combustível indicava

e, ao término,

Como poderíamos calcular a fração de capacidade total do tanque que o carro de Bianca consumiu de combustível nessa viagem? Informação: Quando se tem um número inteiro acrescenta-se o denominador 1.

Exemplo 02: -

2.2 Multiplicação de frações A multiplicação de frações acontece primeiramente executando o jogo de sinais e logo após multiplica numerador com numerador e denominador com denominador. Exemplo: (OBM) Em certo dia, foram produzidos no sítio de Armando 135 L de leite. Ele dividiu dessa produção em três recipientes: A, B e C. No recipiente A ele colocou quantidade, no recipiente B ele colocou

dessa

e no recipiente C a mesma quantidade do

recipiente A. Podemos retirar dessas informações: 

A quantidade de litros de leite que Armando colocou nos três recipientes. 59

Podemos responder a essa pergunta calculando

de 135

de 135.

= 90

Armando colocou 90 L de leite nos três recipientes. 

A fração da produção repartida representada na quantidade de leite colocada nos recipientes A e C.

Como os recipientes A e C ficaram com a mesma quantidade de leite, podemos responder a essa pergunta determinando o resultado de 2 .

Os recipientes A e C ficaram com 

da produção repartida.

A fração que representa a quantidade colocada no recipiente A em relação ao total de leite produzido.

Para responder a essa pergunta, podemos calcular

, ou seja, . .

. = Armando colocou no recipiente A

da quantidade de leite produzido.

2.3 Divisão de frações A divisão de frações se dá na multiplicação em forma de X, ou seja, multiplica a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplo 01:

Exemplo 02: (ACERVO) Luíza e quatro amigos vão repartir

de um bolo em 5 pedaços iguais. Que

parte do bolo cada um vai comer? Resolveremos fazendo

Cada um irá comer

:5= do bolo.

Fonte: receitasprezunic.com.br

ESTUDANDO OS NÚMEROS DECIMAIS

Fonte: www.google.com.br

Tantos atletas de elite, nas competições, quanto pessoas comuns, em suas tarefas domésticas, estão realizando atividade física. Por trás de cada simples movimento de nosso corpo, existe uma complexa coordenação entre vários órgãos, comandada pelo sistema nervoso e envolvendo diversos hormônios. Além disso, como acontece com toda máquina, precisamos

de certa quantidade de energia extra nesses momentos, e esta deve ser fornecida prontamente, ou não conseguiremos realizar o trabalho desejado [...] Costumamos dizer que estamos praticando exercício quando o objetivo da atividade física é o esporte, a promoção da saúde [...]. Na verdade, praticamos atividade física o tempo inteiro – mesmo dormindo ou repousando gastamos energia para continuar vivos [...]. Já a realização de movimentos determinados, visando alcançar um índice específico [...] pode ser definida como “performance” (ou desempenho). No entanto, a busca obsessiva pelo melhor resultado muitas vezes ultrapassa os limites do funcionamento do corpo, prejudicando a saúde. O mesmo ocorre quando a atividade física é realizada em busca de uma identidade corporal, como no caso das pessoas que querem emagrecer rápido ou ficar muito musculosas e exageram nos recursos utilizados. Gasto de energia em relação ao estado de repouso para algumas atividades físicas do dia a dia e para alguns esportes (o gasto equivale a 1 em repouso e os números abaixo são múltiplos dessa taxa básica em outras atividades).

      

1 a 1,4: ver tv, ler, escrever. 1,5 a 1,8: lavar louça, passar roupa. 1,9 a 2,4: limpar a casa, cozinhar. 2,5 a 3,3: vestir-se e despir-se, fazer a cama, caminhar lentamente. 3,4 a 4,4: lavar janelas, jogar golfe, trabalhar em carpintaria. 4,5 a 5,9: jogar vôlei, andar rápido, dançar, cavar. 6 a 7,9: subir escadas, andar de bicicleta, jogar futebol, esquiar.

1 Dentre as atividades citadas, quais você pratica diariamente? Calcule quanto, aproximadamente, você gasta de energia com estas atividades em relação à taxa em repouso?

2 Uma pessoa que anda de bicicleta, lava louças, lê e escreve todos os dias, gasta, aproximadamente, quanto de energia por dia em relação à taxa em repouso? Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.63

3 ENTENDENDO OS NÚMEROS DECIMAIS -Relacionar composições e Objetivos: decomposições de quantidades de dinheiro utilizando diferentes moedas e estabelecendo equivalências entre elas; -Relacionar representações fracionárias e decimais.

O que são números decimais?  Indicam o número que não é inteiro. Usa-se uma vírgula e contêm casas decimais após a vírgula. Como vimos no texto anterior;

 Frações com denominador igual a 10, 100 e 1 000 (frações decimais).

3.1 Representação geométrica de números decimais

Fonte: www.google.com.br

3.2 Como se lê um número decimal O número que vem antes da vírgula representa a parte inteira, já os números que vem após a vírgula representam a parte decimal. A parte decimal varia de acordo com a quantidade de números. Vejamos;  Um número após a vírgula lê-se como décimos;  Dois números após a vírgula lê-se como centésimos;  Três números após a vírgula lê-se como milésimos.

Exemplos:  15,28 lê-se como quinze inteiros e vinte e oito centésimos.  145,2 lê-se como cento e quarenta e cinco inteiros e dois décimos.  0,195 cento e noventa e cinco milésimos.

Obs.: Você poderá fazer a leitura como de costume, pois dessa maneira também é correto. Exemplo: 2,15 lê-se como dois vírgula quinze. 23,125 lê-se como vinte e três vírgula cento e vinte e cinco.

3.3 Comparando números decimais  0,8 = 0,80 = 0,800 ...



15,24 = 15,240 = 15,2400 ...

Ao acrescentar o número 0 à direita do número decimal, não altera o valor desse número decimal. Associe a dinheiro: Se você tem 2,4 em reais você deverá entender como R$ 2,40 (dois reais e quarenta centavos), já se você tiver 2,04 você deverá entender como R$ 2,04 (dois reais e quatro centavos).

Vejamos como podemos comparar dois números decimais: 

A parte inteira: 6,25 e 4,18

6 > 4, logo 6,25 > 4,18;



Os décimos, se a parte inteira estiver igual: 52,30 e 52,25 0,2, logo 52,30 > 52,25;



Os centésimos, se a parte inteira e os décimos forem iguais: 4,87 e 4,83 0,07 > 0,03, logo 4,87 > 4,83;



Os milésimos, se a parte inteira, os décimos e os centésimos estiverem iguais: 5,326 e 5,329 0,006 < 0,009, logo 5,326 < 5,329.

0,3 >

4 OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 4.1 Adição e Subtração de números decimais Exemplo 01: Uma loja de produtos de informática está com produtos em promoção se forem pagos à vista: MONITOR

IMPRESSORA

R$ 695,40 ou R$ 605,30 à vista

R$ 280,10 ou R$ 199,99 à vista

TECLADO R$ 32,85 ou R$ 29,58 à vista

Qual seria o desconto oferecido pela loja no pagamento à vista? Monitor: 695,40 – 605,30 = 90,10 Desconto de R$ 90,10 Impressora: 280,10 – 199,99 = 80,11 Desconto de R$ 80,11 Teclado: 32,85 – 29,58 = 3,27 Desconto de R$ 3,27 

Quando se faz adição e subtração de números decimais precisa-se obrigatoriamente que as vírgulas estejam abaixo uma da outra.

Exemplo: 148,54 + 12,3

148,54 + 12,3 160,84

4.2 Multiplicação de números decimais

4.2.1

Multiplicação por 10, 100 e 1 000

Quando se multiplica qualquer número por 10, a vírgula desloca-se uma casa para direita.

Quando se multiplica qualquer número por 100, a vírgula deslocase duas casas para direita.

Quando se multiplica qualquer número por 10, a vírgula desloca-se três casas para direita.

4.2.2 Multiplicação de um decimal por um número natural e por um número decimal Exemplo 01: Mariana comprou um liquidificador para sua casa e parcelou o valor em 6 prestações iguais no valor de R$ 18,23. Por qual valor Mariana comprou esse liquidificador? 18,23 (valor de cada prestação) x 6 (quantidade de parcelas) = 109,38 O liquidificador custou R$ 109,38. 18,23 X 6 109,38

Na multiplicação, a vírgula só é colocada no final, de acordo com a quantidade total de casas decimais.

2 casas decimais

Exemplo 02: Diogo abasteceu seu carro com 33,5 L de gasolina, sendo que cada litro custava R$ 2,69. Qual foi o total pago por Diogo? 33,5 (total de litros) x 2,69 (valor de custo de cada litro) = 90,115

Diogo pagou R$ 90,115

33,5 X 2,69 3015 2010 670 90,115 3 casas decimais

4.3 Divisão de números decimais

4.3.1

Divisão por 10, 100 e 1 000

Quando se divide qualquer número por 10, a vírgula desloca-se uma casa para esquerda.

Quando se divide qualquer número por 100, a vírgula deslocase duas casas para esquerda. Quando se divide qualquer número por 1 000, a vírgula deslocase três casas para

4.3.2 Divisão de um decimal por um número natural e por um decimal Exemplo 01: Em um supermercado, tinha uma mesma marca de arroz em embalagens de diversas quantidades. Uma pesava 1 kg, a outra 2 kg e a última 5 kg. O preço estava indicado em cada embalagem.

Fonte: www.urbano.com.br

1 kg

2 kg

R$ 3,48

R$ 5,68

5 kg R$ 11,89

Qual das embalagens é mais viável comprar levando em consideração o peso e o valor?

1 kg custa R$ 3,48  Dividindo R$ 5,68 por 2 kg saberemos quanto custa um kg dessa embalagem:

5,68

= 568 200 - 400 2,84 1680

Na divisão, a vírgula é retirada de qualquer das partes e equilibrase a quantidade de algarismos, de ambos os lados, 67 acrescentando zero.

- 1600 00800 - 800 00000 5,68 : 2 = R$ 2,84  Dividindo R$ 11,89 por 5 kg saberemos quanto custa um kg dessa embalagem:

11,89 5

= 1189 500 - 1000 2,378 01890 - 1500 03900 - 3500 004000 - 4000 000000

11,89 : 5 = R$ 2,378 Conclui-se que é mais vantagem comprar o arroz com 5 kg.

Exemplo 02: Joana produz desinfetante e vende em garrafas de 2,5 L. Ela produziu 97,65 L de desinfetante. Quantas garrafas de 2,5 L ela vai precisar para colocar essa quantidade de desifetante? Dividindo 97,65 por 2,5 teremos: 97,65

2,5

= 9765 250 - 750 39,06 2265 - 2250 001500 - 1500 000000

Logo, Joana vai precisar de 39 garrafas.

5 TRANSFORMAÇÕES DE FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS Toda fração pode ser transformada em número decimal e vice-versa. As transformações se dão da seguinte forma: 68

 

De fração para decimal:

Basta dividir o numerador pelo denominador. Exemplos: = 1,4

7 5 - 5 1,4 20 - 20 00

= 0,25



De decimal para fração:

O numerador será o número decimal sem a vírgula e o denominador será sempre o número 1 seguido pela quantidade de zero de acordo com a quantidade de casas decimais presentes no número decimal. Exemplos: Não esqueça de simplificar!

1,4 =

0,25 =

Para os seguintes conhecimentos envolvendo frações junto com números decimais:  Comparar números decimais com frações;  Equivalência com frações e decimais;  Operações com frações e decimais; Deve-se optar pela transformação. Escolher a fração e transformar em decimal 69 para que todos fiquem na forma de decimal, ou escolher o decimal e transformá-lo em fração para que todos fiquem como fração.

Leitura MATEMÁTICA E MÚSICA?

Fonte: www.google.com.br

É isso mesmo, a matemática e a música estão relacionadas, e de maneira muito forte. Alguns matemáticos, como Boécio (425 – 524), Pitágoras (586 – 500 a.C.), Platão (427 – 347 a.C.) e Nicômaco (por volta do ano 100), deram contribuições para a música. Pitágoras, por exemplo, descobriu as regras que relacionavam o comprimento de corda esticada à altura da nota que ela emitia ao ser tocada. Herança para um pianista Pitágoras verificou que havia uma conexão entre a harmonia musical e os números inteiros 1, 2, 3, 4, 5 etc. Ao tocarmos uma corda esticada, ela produz determinado som. Se tocarmos outra corda esticada, porém com o dobro do tamanho da anterior, o som produzido será exatamente uma oitava abaixo do primeiro som. De maneira semelhante, é possível obter as notas dó, si, lá, sol, fá, mi, ré, aumentando o comprimento de uma corda segundo frações simples. Por exemplo: 16/15 da corda dó corresponde à nota si

6/5 da corda dó correspondem à nota lá

4/3 da corda lá correspondem à nota sol

3/2 da corda dó correspondem à nota fá

8/5 da corda dó correspondem à nota mi Ao descobrir as relações entre as notas musicais e as frações de números inteiros, Pitágoras se convenceu de que a harmonia, a beleza e a natureza podem ser expressas por meio da relação entre números inteiros. Fonte: Livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.37

Desafio Isabel tem um cofre em que há algumas moedas de R$ 1,00, 25 medas de R$ 0,50 e 11 de R$ 0,25, totalizando R$ 22,50. Descubra a quantidade de moedas de R$ 1,00 que estão no cofre.

Projeto em equipe A atividade consiste em um jogo de cartas com números decimais positivos e negativos. A atividade pode ser executada em equipe de 04 pessoas. Cada participante deve escolher uma carta, abrir e mostrar a todo o grupo. A pessoa que obtiver a carta com o maior número da rodada ficará com as cartas que estão na mesa de todos da equipe. Ganha o jogador que conseguir o maior número de ponto após 10 rodadas no total.

VAMOS PENSAR UM POUCO...  Você já se atentou ao fato de quanto a matemática está presente em nosso cotidiano? Onde é possível utilizar medidas? Você sabe por que o sistema de medidas é padronizado? Será que você é capaz de comer uma arroba de carne por mês? Qual o tamanho de uma fazenda com três alqueires de extensão?

“A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.” Descartes

MEDINDO TUDO

Fonte: model-moda.blogspot.com

Apesar de os jogos olímpicos dos Tempos Modernos terem sidos realizados pela primeira vez em 1896, em Atenas, Grécia, a primeira participação de mulheres brasileiras se deu apenas em 1948, após a 2ª Guerra Mundial, em Londres, Inglaterra, nas provas de atletismo. Mas foi apenas em 2008, nos Jogos Olímpicos de Pequim, que Maurrem Maggi veio a se tornar a 1ª mulher brasileira a conquistar uma medalha de ouro individual em jogos olímpicos e a 1ª medalhista do Brasil no Atletismo. Campeã da prova de salto em distância, Maurrem saltou em sua melhor marca nessa prova, 7,04 m, ficando à frente de Tayana Lebedeva e Blessin Okagbac, que saltaram, respectivamente, 7,03 m, e 6,91 m, completando o pódio. Texto retirado do livro Projeto Radix, 6º ano. Ribeiro (2009), p.80

1 A 3ª colocada saltou quantos centímetros abaixo de 7 m? 2 Converse com seus colegas e escrevam outras provas de atletismo que envolvem medidas de comprimento.

6 ENCONTRANDO AS MEDIDAS Ainda não encontrou relação entre a matemática e sua vida? Objetivos:

-Destacar a importância do ato de medir e transformar as unidades de medida mostrando a relação destas em seu cotidiano;

Olhe agora:

-Representar resultados de medições, utilizado a terminologia convencional para as unidades mais usuais dos sistemas de medidas; -Comparar com estimativas prévias e estabelecer relações diferentes de unidades de medidas.

Fonte: www.heimjovem.blogspot.com

Fonte: lemondropsartscrafts.blogspot.com

Fonte: www.casamiga.com.br

7 MEDINDO COMPRIMENTOS 7.1 Entendendo o comprimento Para medir comprimentos diversos, como por exemplo: terreno, alturas de pessoas e outros utilizamos o METRO como unidade padrão. Antigamente o metro não existia e eram utilizados parte do corpo humano como referência. Vejamos alguns exemplos do corpo humano:

Fonte: mundoeducacao.com.br

Fonte: mapasbiblicos.blogspot.com

As civilizações antigas usavam essas medidas principalmente no comércio.  Representamos o metro através da letra m. Daí, foram surgindo unidades maiores e menores que um metro de acordo com a necessidade dos seres humanos. Imagine quanto tempo você levaria para medir a distância da cidade de Aracaju - Se até a cidade de Salvador - Ba em metros? É bem inviável.  Medidas que surgiram a partir do metro: Quilômetro (km) Hectômetro (hm) Decâmetro (dam) Decímetro (dm) Centímetro (cm) Milímetro (mm)

Exemplos de instrumentos que podemos utilizar para medir: Micrômetro

Paquímetro

Fita métrica Metro articulado Trena

Múltiplos

Base

Submúltiplos

Unidade

Quilômetro

Hectômetro

Decâmetro

Metro

Decímetro

Centímetro

Milímetro

Notação

dam

Valor

1 000 m

100 m

10 m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

Lembrem-se que PERÍMETRO é a soma de todos os lados!

7.2 Transformações Quando nos deparamos com unidades de medidas diferentes entre si, é necessário transformá-las para que todas fiquem com mesma unidade e assim seja possível efetuar o cálculo necessário. Para transformar as medidas de comprimento de uma unidade em outra, usamos a seguinte regra prática: :10

:10

:10 :10 :10 :10

km hm dam m dm cm mm x10

x10

x10 x10

x10 x10 Fonte: www. cursinhopreenem.com.br

 Para transformar unidades maiores em unidades menores, multiplicamos por 10.  Para transformar unidades menores em unidades maiores, dividimos por 10.

Exemplo de utilização das medidas de comprimento: Jonatas, Cléber e Carol estão indo para a escola pelo mesmo caminho. Jonatas já caminhou 0,7 km, Cléber caminhou 15 000 cm e Carol, 600 m.  Qual criança andou mais?  Quantos metros faltam para a última criança alcançar a que andou mais?  Se a escola fica a 900 m da casa das crianças, quantos metros faltam para cada criança chegar à escola? Vamos solucionar o problema:

 Jonatas 0,7 km = 700 m Cléber 15 000 cm = 150 m Carol 600 m = 600 m, logo a criança que mais andou foi Jonatas;  700 m – 150 m = 550 m, logo para Cléber acompanhar Jonatas faltam 550 m;  Jonatas falta 200 m (900 m – 700 m), Cléber falta 750 m (900 m – 150 m) e Carol falta 300 m (900 m – 600 m).

8 MEDINDO SUPERFÍCIES 8.1 Entendendo a superfície Para medir áreas diversas de superfícies, como por exemplo: terreno, casa, sala etc. Utilizamos o METRO QUADRADO como unidade padrão. Vejamos alguns exemplos de cálculo de áreas:

Fonte: www.somatematica.com.br

 Representamos o metro quadrado através da letra m².

Existem unidades maiores e menores que um metro quadrado de acordo com a necessidade dos seres humanos.

 Medidas que surgiram a partir do metro quadrado: Quilômetro quadrado (km²) Hectômetro quadrado (hm²) Decâmetro quadrado (dam²) Decímetro quadrado (dm²) Centímetro quadrado (cm²) Milímetro quadrado (mm²)

Múltiplos Unidade

Base

Submúltiplos

Quilômetro

Hectômetro

Decâmetro

Metro

Decímetro

Centímetro

Milímetro

quadrado

Notação

km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

Valor

1 000 000 m²

10 000 m²

100 m²

1 m²

0,01 m²

0,0001 m²

0,000001 m²

8.2 Transformações Comparando à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, porém devemos multiplicar ou dividir por 102 e não por 10. Exemplos: a) 5 m2 = 5 x 102 dm2 = 500 dm2 b) 3 km2 = 3 x 106 m2 = 3 000 000 m2 c) 20 000 m2 = 20 000 x 10-6 km2 = 0,02 km2

Obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.) usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).  O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.  1 hectare (ha) = 1 hm2 = 10 000 m2  Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não legal chamada alqueire.  1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m2.

Exemplo: Gustavo irá reformar o piso da sala de sua casa. A sala tem formato quadrado, de lado medindo 5 m. Se ele pretende utilizar lajotas quadradas de lado medindo 0,5 m, quantas lajotas serão necessárias para cobrir todo o piso da sala?  Medida da área da sala: 5 m x 5 m = 25 m²  Medida da área da lajota: 0,5 m x 0,5 m = 0,25 m² Logo: 25 m²: 0,25 m² = 100 lajotas Resposta: 100 lajotas

9 MEDINDO CAPACIDADES 9.1 Entendendo a capacidade Para medir a capacidade de um sólido, como por exemplo: chaleiras, garrafas, piscinas etc. Utilizamos o LITRO como unidade padrão. Conforme O Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o LITRO equivale a um decímetro cúbico.

Fonte: www.comodoropresentes.com.br

 Representamos o litro através da letra l.  Medidas que surgiram a partir do metro:

IMPORTANTE 1 litro = 1 dm3

Quilolitro (kl) Hectolitro (hl) Decalitro (dal) Decilitro (dl) Centilitro (cl) Mililitro (ml)

Múltiplos

Base

Submúltiplos

Unidade

Quilolitro

Hectolitro

Decalitro

Litro

Decilitro

Centilitro

Mililitro

Notação

dal

Valor

1 000 l

100 l

10 l

0,1 l

0,01 l

0,001 l

OSERVAÇÕES 1) Não é usado o quilolitro. 2) Além do litro, a unidade mais usada é o mililitro (ml), principalmente para medir pequenos volumes, como por exemplo, a quantidade de líquido de uma garrafa, de uma lata ou de uma ampola de injeção.

9.2 Transformações Quando nos deparamos com unidades de medidas diferentes entre si, é necessário transformá-las para que todas fiquem com mesma unidade e assim seja possível efetuar o cálculo necessário. Para transformar as medidas de comprimento de uma unidade em outra, usamos a seguinte regra prática: :10

:10

:10 :10 :10 :10 81

kl hl dal l dl cl ml x10

x10

x10 x10

 Para transformar unidades maiores em unidades menores, multiplicamos por 10.  Para transformar unidades menores em unidades maiores, dividimos por 10.

Vale saber a tabela de volume, pois lembre-se 1 l = 1 dm³:

Múltiplos

Base

Submúltiplos

Unidade

Quilômetro

Hectômetro

Decâmetro

Metro

Decímetro

Centímetro

Milímetro

Notação

km³

hm³

dam³

m³

dm³

cm³

mm³

Valor

1 000 000 000 m³

1 000 000 m³

1 000 m³

1 m³

0,001 m³

0,000001 m³

0,00000001 m³

Comparando a transformação de unidades da medida de superfícies, faremos para a medida de capacidade, porém devemos multiplicar ou dividir por 103 e não por 102.

Exemplos de utilização das medidas de capacidade:

 Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 39 m3. Quantos litros de água foram consumidos? Solução: 39 m3 = 39 000 dm3 = 39 000 litros  Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de uma vacina que devem ser colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina? Solução: 1 400 litros = 1 400 dm3 = 1 400 000 cm3 (1 400 000 cm3) : (35 cm3) = 40 000 ampolas.

10 MEDINDO TEMPO 10.1 Entendendo o tempo

10.1.1

Dia, hora, minutos e segundos

Fonte: www.ojovemeomundo.com

Fonte: www.maesnapratica.blogspot.com

 Um dia é um intervalo de tempo longo, neste período você pode dormir, se alimentar, estudar, namorar, se divertir e muitas outras coisas;  Muitas pessoas se divertem assistindo um bom filme, porém se os filmes tivessem a duração de um dia, eles não seriam uma diversão, mas sim uma tortura;  Se dividirmos em 24 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um dia, cada uma destas frações de tempo corresponderá a exatamente uma hora, portanto concluímos que um dia equivale a 24 horas;  Uma ou duas horas é um bom tempo para se assistir um filme, mas para se tomar um banho é um tempo demasiadamente grande;  Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo correspondente a uma hora, cada uma destas 60 partes terá a duração exata de um minuto, o que nos leva a concluir que uma hora equivale a 60 minutos;  Dez ou quinze minutos é um tempo mais do que suficiente para tomarmos um bom banho, mas para atravessarmos a rua este tempo é um verdadeiro convite a um atropelamento;  Se dividirmos em 60 partes iguais o intervalo de tempo relativo a um minuto, cada uma destas partes terá a duração exata de um segundo, com isto concluímos que um minuto equivale a 60 segundos. Todo mundo está cansado de saber que um dia possui 24 horas e que um minuto possui 60 segundos, mas muitos se confundem quando querem passar de uma unidade para outra, não sabem se dividem ou se multiplicam.

Vamos raciocinar um pouco em cima disto: Como nós sabemos, um dia é maior que uma hora, que é maior que um minuto, que é maior que um segundo. Para realizarmos a conversão de uma unidade de tempo maior para uma unidade de tempo menor, devemos realizar uma multiplicação. Logo, para transformarmos de uma unidade menor para uma unidade maior, devemos realizar a operação inversa, ou seja, devemos realizar uma divisão.

10.1.2

Frações de segundo

Em diversas situações do cotidiano o segundo mesmo parecendo uma unidade de tempo bem pequena, ainda é considerada grande, como por exemplo em alguns esportes. Daí, são utilizados décimos, centésimos e milésimos de segundo.  Podemos escrever um décimo de segundo como 0,1 s;  Podemos escrever um centésimo de segundo como 0,01 s;  Podemos escrever um milésimo de segundo como 0,001 s.

10.1.3 Semana, quinzena, mês, ano, década, século e milênio Vamos relembrar:

Semana

7 dias

Quinzena

15 dias

Mês

30 dias

Bimestre

2 meses

Trimestre

3 meses

O mês comercial que é usado em cálculos financeiros é considerado que tem 30 dias.

Quadrimestre

4 meses

Semestre

6 meses

Ano

12 meses

Década

10 anos

Século

100 anos

Milênio

1000 anos

Sabemos que o mês pode ter 28, 29, 30 ou 31 dias dependendo do mês e se o ano é bissexto ou não.

Exemplos de utilização das medidas de tempo:

1. Faltam 8 semanas e 8 dias para Carine completar 11 anos. Quantos dias faltam para o aniversário de Carine? Uma semana tem 7 dias. 8 x 7 = 56 dias + 8 dias = 64 dias Logo, faltam 64 dias para Carine completar 11 anos. 2. Um show teve início às 21h40min. Sabendo que esse show durou 115 minutos, qual é esse tempo do show em horas? 60 min = 1h, daí 115 min – 60 min = 55 min. Logo, o show durou 1h e 55 min. 3. Para uma temporada curta, chegou a cidade o circo Esplendor, com palhaços, mágicos e acrobatas. O circo abrirá suas portas ao público às 8 horas e ficará aberto durante 7 horas e meia. A que horas o circo fechará? 8 h + 7 h 30 min = 15 h 30 min. Fechará às 15h 30 min.

11 MEDINDO MASSA 11.1 Entendendo a massa Observe a diferença entre MASSA e PESO: MASSA: Segundo o Dicionário Infopédia, é a quantidade de matéria de um corpo, e é constante em qualquer lugar da terra ou fora. PESO: Segundo o Dicionário Infopédia, o peso é resultante das ações da gravidade sobre os corpos (peso absoluto). Para medir massa, como por exemplo, comida, pessoa etc. Utilizamos o GRAMA como unidade padrão. Vejamos alguns exemplos:

Fonte: www.balancas.emp.br

Fonte: www.monicajolmania.blogspot.com

Fonte: www.chicletedecarnemoida.blogspot.com

Fonte: www.wscom.com.br

 Representamos o metro através da letra g.

Foram surgindo ainda unidades maiores e menores que um grama de acordo com a necessidade dos seres humanos. Imagine medir 1 kg de feijão utilizando o mg? É bem inviável.  Medidas que surgiram a partir do grama: Quilograma (kg) Hectograma (hg) Decagrama (dag) Decigrama (dg) Centigrama (cg) Miligrama (mg)

Instrumento que podemos utilizar para medir:

Balança

Múltiplos

Base

Submúltiplos

Unidade

Quilograma

Hectograma

Decagrama

Grama

Decigrama

Centigrama

Miligrama

Notação

dag

Valor

1 000 g

100 g

10 g

0,1 g

0,01 g

0,001 g

11.2 Transformações Quando nos deparamos com unidades de medidas diferentes entre si, é necessário transformá-las para que todas fiquem com mesma unidade e assim seja possível efetuar o cálculo necessário. Para transformar as medidas de comprimento de uma unidade em outra, usamos a seguinte regra prática: :10

:10

:10 :10 :10 :10

kg hg dag g dg cg mg x10

x10

x10 x10

 Para transformar unidades maiores em unidades menores, multiplicamos por 10.  Para transformar unidades menores em unidades maiores, dividimos por 10.

Exemplos de utilização das medidas de massa  Três irmãos foram pesar-se. Um pesava 46 kg e 500g, outro pesava 58 kg e 800 g e o outro 72 kg. O Alberto diz: - Peso menos do que o Márcio, mas peso mais do que o Willian.    

Quem pesa 46 kg e 500 g? Quem pesa 58 kg e 800 g? Quem pesa 72 kg? Que diferença de peso existe entre o menino mais pesado e o menos pesado?

Vamos solucionar o problema:

 O peso do meio é de Alberto = 58 kg e 800 g;  Se Alberto pesa mais do que Willian, daí o peso de Willian é 46 kg e 500 g;  Logo o peso maior é de Márcio = 72 kg;  O mais pesado é Márcio e o menos pesado é Willian, então temos: 72 kg – 46 kg e 500 g = 72 000 g (Márcio) – 46 000 g + 500 g (Willian) = 72 000 g – 46 500 g = 25 500 g = 25 kg e 500 g

 Para fazer uma receita, Lorena precisa de 1 kg de carne. Ao tirar o pacote de carne da geladeira, vê que ele tem apenas 425 gramas. De quantos gramas de carne ela ainda precisa para fazer a receita?  1 kg – 425 g = 1 000 g – 425 g = 575 g.

Portanto, ela irá precisar de 575 g.

Leitura DO INSTANTÂNEO AO ETERNO

Fonte: www.osmais.com

As unidades de tempo vão do infinitesimalmente curto ao interminavelmente longo. As descrições que damos a seguir procuram tirar um sentido desses intervalos. [...] Décimo de segundo O tempo que dura o piscar de olhos. O ouvido humano precisa desse período para separar um eco do som original. Nesse tempo, a Voyager-1, uma nave não tripulada que se afasta do sistema solar, percorre cerca de dois quilômetros. Um beija-flor bate as asas sete vezes. Um diapasão vibra quatro vezes. Um segundo Tempo aproximado da batida do coração de uma pessoa saudável. A Terra percorre 30 quilômetros em sua órbita em torno do sol. O sol cobre 274 quilômetros em seu deslocamento na Galáxia. Esse tempo não chega para que a luz refletida pela lua chegue a Terra (ela leva 1,3 segundo). [...] Um minuto O cérebro de uma criança recém-nascida aumenta entre um ou dois miligramas nesse espaço de tempo. O coração de um camundongo bate mil vezes. Uma pessoa normal pode pronunciar 150 palavras ou ler 250 palavras. A luz do sol chega a Terra em cerca de 8 minutos. Quando Marte está mais próximo da Terra, a luz solar refletida na superfície chega a Terra em cerca de 4 minutos. Uma hora Células em reprodução precisam normalmente desse espaço de tempo para se dividirem em duas. O intervalo médio entre as erupção do gêiser Old Faithful, no Parque Nacional de Yellowstone, nos Estados Unidos, é de 1 hora e 16 minutos. A luz vinda de plutão [...] chega a Terra em 5 horas e 20 minutos. Um dia Duração da rotação da Terra, talvez a unidade de tempo mais natural para um ser humano. A rotação da Terra está diminuindo de forma constante, devido a ação da gravidade da Lua e outras influências. Atualmente dura 23 horas e 56 minutos e 4,1 segundos. O coração humano bate cerca de 100 mil vezes por dia. Nesse período, os pulmões aspiram cerca de 14 mil litros de ar. Num dia, um bebê de baleia-azul aumenta seu peso em 90 quilos. [... Fonte: Livro Projeto Radix, 6º ano. Ribeiro (2009), p.113

Desafio Quanto tempo um trem de 1 km de comprimento leva para atravessar uma ponte de 1 km de comprimento se andar 1 km por minuto?

Projeto em equipe

Os alunos serão divididos em duplas, em que cada um vai pegar material diferente para fazer as medições das alturas dos colegas escolhidos, preferencialmente os que têm alturas bem diferentes. Depois de terem feito as medições, preenchem uma tabela, da atividade em anexo, fazendo relações e discutindo em sala se é necessário uma unidade padrão para que haja maior precisão nos resultados obtidos. Pode-se fazer essa prática também medindo as carteiras, a sala, o quadro-negro e outras coisas mais. Serão utilizados para essa atividade: * Barbantes de três medidas diferentes, caneta, corda, grampo de roupa, canudos, régua; Xérox da tabela; * Tesoura e canetas coloridas. Cada dupla de alunos peguem um material (barbante, corda, caneta, grampo de roupa, canudos e régua), escolham quatro pessoas de alturas diferentes, tirem a medida e preenchem a seguinte tabela:

NOME DA MEDIDA DE ALTURA BARBANTE BARBANTE GRANDE PEQUENO

CANETA

CORDA

GRAMPO

RÉGUA

Responda as perguntas: Das pessoas medidas, qual delas é a mais alta? E qual é a mais baixa? Qual dos recursos usados dá maior precisão? Por quê? Somos todos iguais? O que influencia o fato de uma pessoa ser mais baixa ou mais alta do que as outras? 91

VAMOS PENSAR UM POUCO...  O que você entende por razão?  O que você entende por algo proporcional?  Em que momento a razão e a proporção se relacionam?  Cite exemplos do seu dia a dia em que essa relação está presente.

“A matemática não é uma ciência, mas a ciência”. Felix Anerbach

PROPORÇÃO ÁUREA OU DIVINA PROPORÇÃO

Fonte: www.blogs.odiario.com

Muitos artistas ao longo da história apresentaram, em suas obras, estreitas relações com a Matemática. Um exemplo disso pode ser verificado nas proporções utilizadas em diversas pinturas esculturas. Na obra Mona Lisa (imagem acima), de Leonardo Da Vinci, o artista fez uso da “proporção áurea” ou “divina proporção”, como ficou conhecida. Isso significa que, se construirmos um retângulo em torno do rosto da Mona Lisa, a divisão do comprimento pela largura resultará em um valor próximo do número 1,6. Ao dividirmos esse retângulo por um segmento que passa sobre os olhos, obteremos outro retângulo cuja razão entre comprimento e a largura será novamente um valor próximo de 1,6. Esse número é uma aproximação de 1,61803..., conhecido como “número de ouro”. A proporção geométrica desta pintura é conhecida por ser visualmente equilibrada e harmoniosa. 1 Construa um retângulo cuja razão do comprimento pela altura é um valor próximo do número de ouro. 2 Cite em que outros lugares podemos encontrar a “divina proporção”. Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.170

9 ENCONTRANDO AS PROPORÇÕES

Objetivos: -Definir razões e proporções matematicamente; -Identificar a aplicação desses conceitos nas atividades do dia a dia; -Representar situações reais, com razões e proporções.

Fonte: www. nadaaconteceporacaso.blogger.com.br

Quais as semelhanças e diferenças existentes entre os dois animais? Para entender o significado e aplicação de uma proporção precisamos primeiramente saber o que é uma razão.

Vejamos alguns exemplos: Se você comparar o números de mãos com o números de dedos que você tem acontecerá da seguinte maneira.

Fonte: www.garotosintelectuais.blogspot.com

Se temos uma mão para cinco dedos, então lemos: 1 para 5.

Se temos duas mãos e dez dedos, então lemos: 2 para 10. Daí poderíamos ter 3 para 15, 4 para 20 e assim por diante. Portanto, podemos fazer igualdades com essas razões: 94

Agora podemos definir o conceito de proporção.

PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas ou mais razões e pode ser escrita também 1 : 5 = 2 : 10 Os números 1, 5, 2, 10 são os termos da proporção sendo que 1 e 10 são extremos e 5 e 2 são os meios.

1 : 5 = 2 : 10 meios extremos

Para que duas razões formem de fato uma proporção o produto dos meios deve ser igual ao produto dos extremos. Exemplo: Numa turma de 42 alunos há 18 homens e 24 mulheres. A razão entre o número de homens e o número de mulheres é 18/24 = ¾. Ou seja, “a cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 18/42 = 3/7, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes.”

10 REGRA DE TRÊS E GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Exemplo: peso em g, preço em R$, altura em m, distância em km, líquido em ml e outros. 95

Exemplo: Fábio comprou um pedaço de queijo com 450g e pagou R$ 6,00. Quantos gramas desse mesmo queijo ele consegue comprar com R$ 30,00? Vejamos:

Quantidade (em g) 450 X

Temos:

Multiplicando em forma de x temos:

= 450 . 30 = 6 . x 13 500 = 6x

Valor pago (em R$) 6 30

Obs.: À medida que aumenta o valor a pagar, a quantidade de queijo também aumenta. Conclui-se que, se um aumenta e o outro também aumenta ou se um diminui e o outro também diminui, as grandezas são diretamente proporcionais.

6x = 13 500

x = 2 250 g ou seja 2 kg e 250 g Logo, com R$ 30,00 Fábio consegue comprar 2 kg e 250 g.

11 REGRA DE TRÊS E GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo: Lorena tem uma fábrica de short. Com 4 funcionários trabalhando em uma encomenda, é possível terminá-la em 25 dias. Se Lorena contratasse mais 6 funcionários, mantendo o mesmo ritmo de trabalho, eles terminariam essa encomenda em quantos dias? 96

Vejamos:

Quantidade (de funcionários) 4 6

Temos:

Como as grandezas são inversamente proporcionais, deve-se escolher uma das duas frações e invertê-la. Lembre-se, inverter apenas UMA. Invertendo a primeira fração temos:

= Multiplicando em forma de x temos:

= 6 . x = 4 . 25

Tempo (em dias) 25 X

Obs.: À medida que aumenta a quantidade de funcionários, a quantidade de dias diminui, pois mais funcionários terminam a encomenda mais rápido. Conclui-se que, se um aumenta e o outro diminui, ou se um diminui e o outro aumenta, as grandezas são inversamente proporcionais.

6x = 100 6x = 100

x = 16,6666666...., aproximadamente 16,7, ou seja 16 dias e 7 horas. Logo, com 6 funcionários a encomenda ficará pronta em 16 dias e 7h.

Leitura MAPAS

Fonte: www.destino-alternativo.blogspot.com

O mapa é uma representação gráfica, em uma superfície plana, referente a um espaço real. Utilizando o mapa adequado, podemos conhecer a localização de qualquer lugar na superfície do nosso planeta. Na confecção de um mapa, é utilizada uma escala de redução de modo que as medidas do espaço real fiquem reduzidas proporcionalmente. Essa escala indica quantas vezes a representação gráfica é menor que o espaço real representando o mapa. O conjunto das técnicas e métodos desenvolvidos para a elaboração de um mapa é chamado cartografia. Devido aos avanços tecnológicos, a cartografia alcançou alta precisão. As informações utilizadas na elaboração de mapas são obtidas por meio de imagens de satélites e fotografias aéreas. Fonte: Livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.186

Desafio Dona Elbênia lava roupa para fora. Ela cobra R$ 16,30 a dúzia. Numa semana ela lavou 11 dúzias. Quanto ela ganhou nessa semana? Mantendo essa média, quanto ela ganhará em 8 meses.

Projeto em equipe

Em equipe, os alunos deverão montar em 20 min 04 situações que contenham o uso das grandezas diretamente e inversamente proporcionais e depois encená-las para toda a turma. As situações deverão acontecer em:    

Uma feira livre; Um show; Uma praia; Um restaurante.

Ao final das apresentações a turma inteira discutirá todo o processo desde a elaboração da atividade até a apresentação, expondo os pontos positivos, negativos e as dificuldades encontradas.

100

VAMOS PENSAR UM POUCO...

 Você sabia que a matemática financeira está presente em nossas vidas diariamente?  Descreva situações em que sempre utilizamos matemática financeira.  Você saberia dizer como a matemática financeira influencia positiva ou negativamente as nossas vidas?

“Os números são o degrau mais alto do conhecimento, são o conhecimento em si.” Platão

101

PORCENTAGEM

Fonte: www.einstein.br

É comum ouvirmos que gordura faz mal, e que é uma vilã para nossa saúde. No entanto, essas afirmações não são totalmente verdadeiras. A gordura constitui uma fonte de energia essencial para nosso corpo e, além disso, cumpre funções importantes para o organismo, como manter a temperatura corporal, proteger os órgãos contra lesões e ajudar na absorção de algumas vitaminas. A taxa de gordura no corpo está relacionada a diversos fatores, como alimentação, genética, prática de exercícios físicos, idade e sexo. Nas mulheres, por exemplo, com idade entre 18 e 25 anos, a média do percentual de gordura em relação a sua massa deve variar entre 23% a 25%, enquanto que, nos homens com mesma idade, de 14% a 16%. Taxas de gordura muito acima ou abaixo da ideal para cada pessoa podem causar problemas de saúde. Por isso, é importante buscar uma alimentação balanceada e a prática regular de atividades físicas. Texto retirado do livro Projeto Radix, 7º ano. Ribeiro (2009), p.187

1 Cite alguns alimentos que você acredita serem ricos em gordura. Você tem hábitos de consumir esses alimentos? Com que frequência? 2 Você e sua família tem hábito de praticar atividades físicas?

102

12 REGRA DE SOCIEDADE Você sabe o que é regra de sociedade?

Objetivos:

- Mobilizar os alunos a utilizarem os conteúdos abordados para solucionar problemas cotidianos voltados para questão financeira; - Compreender maneiras de economizar gastos;

- Mostrar como acontecem as taxas e preenchimento de nota fiscal.

Fonte: www.maevedux.com.br

Talvez você já tenha ouvido falar que alguma empresa é administrada por uma sociedade ou já ouviu alguém dizer que vai fazer uma sociedade? Mas, o que é SOCIEDADE na matemática? A regra de sociedade está diretamente ligada aos investimentos e aos lucros que cada pessoa investe em uma determinada sociedade. Ou seja, a pessoa que investe em uma determinada empresa deve receber o lucro ou prejuízo proporcional ao seu investimento. Exemplo: Três amigos resolvem abrir um loja de lingerie. Para isso, eles precisaram de R$ 60 000. Cada um deles teve que investir conforme suas condições. Ricardo entrou com R$ 10 000, Lucas contribuiu com R$ 20 000 e Mariane com R$ 30 000. Ao longo de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 600 000 que deve ser distribuído proporcionalmente ao investimento de cada sócio.  Quanto cada sócio irá receber desse lucro? Para solucionar esse problema devemos nos atentar a algumas observações: Vamos solucionar o problema: 

Achando a razão:

103



Achando o lucro de cada investidor:

Ricardo:

Multiplicando em forma de x teremos: 1 . R = 10 000 . 10

R = 100 000

Portanto Ricardo receberá R$ 100 000.

Lucas:

1 . L = 20 000 . 10

L = 200 000

Portanto Lucas receberá R$ 200 000.

Mariane:

1 . M = 30 000 . 10

L = 300 000

Portanto Mariane receberá R$ 300 000.

13 PORCENTAGEM

Porcentagem é uma fração cujo denominador será sempre igual a 100. O próprio nome já mostra, por cem. O símbolo que representamos a porcentagem é % e é lido como “por cento”. Como calcular porcentagem de algum valor? Vejamos: Exemplo 01: Fonte: www.feranoexcel.com

Um determinado posto de gasolina da capital sergipana Aracaju, vendia 104

álcool por R$ 2,29 L e sofreu um reajuste de 12 %. Quanto passou a custar o litro desse álcool?

12% =

Então teremos

de 2,29 daí surge

= 0,2748

Ou seja, o álcool sofrerá um aumento de R$ 0,2748 e passará a custar R$ 2,5648.

Outro caso de cálculo de porcentagem:

Exemplo 02:

Em uma vitrine de uma loja de roupas havia um cartaz informando uma promoção em uma calça.

PROMOÇÃO De: R$ 120,00 Por: R$ 85,00

Qual foi o desconto em porcentagem que essa loja deu sobre o produto? Valor (em R$) 120 35 (desconto em reais)

Porcentagem (%) 100% x

Temos:

multiplicando em forma de x ficará 120 . x = 35 . 100 120x = 3 500 105

x= x = 29, 166666... ou 29,17 Conclui-se então que a calça teve um desconto de 29,17%.

14 LUCRO E PREJUÍZO

Fonte: www.convictosoualienados.blogspot.com

É comum que ao trabalhar com matemática financeira nos depararemos com LUCRO e PREJUÍZO. De fato o que se entende por lucro é o ganho que se obtém na venda de um produto e prejuízo é exatamente a perda na venda de um produto, ou seja,  Lucro (L) = Preço de venda (V) – Preço de custo (C)  Prejuízo (P) = Preço de custo (C) – Preço de venda (V) Exemplo: Imagine que um produto custou R$ 50,00 para ser produzido, e depois ele é vendido por R$ 75,00. Houve aí um lucro ou prejuízo? De quanto? Vejamos: Houve lucro, pois foi vendido por um preço maior do que o preço de custo. L = 75 – 50 = 25, ou seja, houve um lucro de R$ 25,00

106

15 DESCONTO E ACRÉSCIMO  O desconto é algo que significa a retirada de um percentual.

Exemplo: Um restaurante está oferecendo um desconto de 10% no pagamento à vista e a conta de um cliente teve o saldo de R$ 23,00. Então, ele vai pagar R$ 23,00 – 10% desse valor.

 O acréscimo podemos entender como algo que soma, ou seja, a soma de um percentual.

Exemplo: Em uma loja de lingerie, se o cliente leva peças à prazo ele pagará um acrescimento de 12%. Um cliente fez uma compra à prazo no valor de R$ 83, 50, então ele pagará R$ 83,50 + 12% desse valor.

16 JUROS SIMPLES Entendemos por juros a ideia de um rendimento em uma aplicação financeira como também um valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação. Hoje em dia, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por que se torna mais viável em relação ao lucro. Os juros simples são mais utilizados nas situações de curto prazo. Veremos como se dá o processo dos juros simples:

Temos como fórmula base

J = juros (em R$) C = capital (em R$) I = taxa percentual (%) T = tempo

107

Obs.: A taxa percentual e o tempo precisam estar iguais, ou seja, na mesma unidade de tempo. Ex: dia, mês, ano e outros.

Exemplo: Joana fez uma aplicação em sua poupança de R$ 1 500,00 e recebeu 4% de juro ao mês à taxa de juros simples. Qual o montante recebido ao final de 02 bimestres? Resolvendo o problema: J=? C = 1 500 I = 4 % ao mês T = 02 bimestres = 04 meses Fonte: www.economia.culturamix.com

Logo, o valor aplicado rende R$ 240,00 ao final dos 04 meses.  Cálculo do montante: M=c+j M = montante C = capital J = juros 108

M=c+j M = 1 500 + 240 M = 1 740 Portanto, ao final dos 04 meses ela terá um total de R$ 1 740,00.

17 APLICAÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

Fonte: www.lollaredcat.blogspot.com

17.1 Contracheque

109

Entendam quais são os principais créditos e os descontos feitos todos os meses no seu salário Uns gostam de chamar de demonstrativo de resultados da pessoa física, outros de prestação de contas da empresa ao trabalhador assalariado, mas todos concordam que o contracheque é um documento que deve ser acompanhado com atenção e muito bem entendido. "O funcionário e a empresa fecham um contrato de trabalho por um determinado valor, mas quase sempre a quantia recebida é menor ou maior e é o contracheque que explica o porquê", diz Luiz Fernando Nóbrega, vicepresidente de administração e finanças do Sindicato dos Contabilistas de São Paulo. Além da função de informar os detalhes das receitas recebidas no mês e das despesas, é um documento comprobatório oficial de renda e de vínculo empregatício. O documento deve ser disponibilizado pela empresa, no máximo, até o dia do pagamento. COMPOSIÇÃO

CABEÇALHO – APRESENTA OS DADOS RELEVANTES DO PROFISSIONAL, COMO NOME COMPLETO, CARGO, DATA DE ADMISSÃO E, EM ALGUNS CASOS, NÚMEROS DO PIS/PASEP E DA CARTEIRA DE TRABALHO. DEVE INFORMAR A QUE PERÍODO SE REFERE O PAGAMENTO DO FUNCIONÁRIO. CORPO DO HOLERITE – MOSTRA, EM CINCO COLUNAS, O NÚMERO DE DIAS TRABALHADOS, VALORES A RECEBER, O TOTAL DE HORAS EXTRAS E DESCONTOS DECORRENTES DE IMPOSTOS. RODAPÉ – MOSTRA OS VALORES DO SALÁRIO BASE, MONTANTE PARA CALCULAR A CONTRIBUIÇÃO AO INSTITUTO NACIONAL DO SEGURO SOCIAL (INSS), BASE PARA O FUNDO DE GARANTIA DO TEMPO DE SERVIÇO (FGTS) E PARA O IMPOSTO DE RENDA (IR).

VENCIMENTOS

Salário contratual: É o salário acertado no contrato com a empresa, livre de 110

vencimentos adicionais e descontos previstos em lei ou convenção trabalhista da categoria. É proporcional aos dias trabalhados no mês. Horas extras – O valor é composto pelo montante da hora normal de trabalho acrescido de um percentual (muitas vezes chega a 100%) definido pelo acordo coletivo da categoria. É acrescentada à hora extra uma parcela atrelada ao valor do Desconto Semanal Remunerado (DSR), calculada pela fórmula: valor das horas extras a receber dividido pelo número de dias úteis do mês (incluído o sábado) e multiplicado pelo número de domingos e feriados. Comissões, bônus, gratificações – Remunerações adicionais, geralmente atreladas a um desempenho ou a uma meta. Bônus e gratificações podem ser esporádicos e, às vezes, são surpresas ao funcionário. Ajuda de custo – Valor pago a título de indenização, com a finalidade de ressarcir despesas do empregado em decorrência da natureza do trabalho desenvolvido. É o caso, por exemplo, de uma verba destinada a cobrir gastos com o uso de transporte próprio. Adicional noturno – Se o trabalho é realizado a noite, em horário compreendido entre 22 horas de um dia e 5 horas do dia seguinte, o servidor tem direito de receber uma compensação,

tanto

horas

como

salário,

pelo

seu

trabalho.

Hora noturna: a hora normal tem a duração de 60 minutos e a hora noturna, por disposição legal, é computada como sendo de 52 minutos e 30 segundos. Assim sendo, considerando o horário das 22h às 5h da manhã, temos 7 horas-relógio que correspondem a 8 horas de trabalho noturno. Valor da hora trabalhada: acréscimo (chamado adicional noturno) de 50% sobre as horas trabalhadas. Adicional de insalubridade – Insalubridade em termos laborais significa "o ambiente de trabalho hostil à saúde, pela presença de agente agressivos ao organismo do trabalhador, acima dos limites de tolerância permitidos pelas normas técnicas. "Serão consideradas atividades ou operações insalubres aquelas que, por sua natureza, condições ou métodos de trabalho, exponham os empregados a agentes nocivos à saúde, acima dos limites de tolerância fixados em razão da natureza e da intensidade do agente e o tempo de exposição aos seus efeitos". A Norma Regulamentadora NR-15 da Portaria nº 3214, de 08 de junho de 1978. do Ministério do Trabalho, estabelecer os agentes

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nocivos, bem como os critérios qualificados e quantitativos para caracterização das condições de insalubridade. Ruído Contínuo e Intermitente; Ruído de Impacto; Calor; Iluminação *; Radiações Ionizantes; Trabalho

sob Condições Hiperbáricas; Radiações Não-Ionizantes;

Vibrações; Frio; Umidade; Gases e Vapores; Poeira Minerais; Agentes Químicos; Agentes Biológicos. O Exercício do Trabalhador em condições de insalubridade assegura ao trabalhador a percepção de adicional incidente, sobre o salário mínimo da região, de acordo com o grau da insalubridade do agente nocivo, conforme dispõe o item 15.2 da NR-15 Portaria 3214/78: 

Grau Máximo: 40%



Grau Médio: 20%



Grau Mínimo: 10%

Adicional de periculosidade – O adicional de periculosidade é um valor devido ao empregado exposto as atividades periculosas, conforme algumas condições préestabelecidas pelo Ministério do Trabalho. São periculosas as atividades ou operações, onde a natureza ou os seus métodos de trabalhos configure um contato com substâncias inflamáveis ou explosivos, substâncias radioativas, ou radiação ionizante, ou energia elétrica, em condição de risco acentuado. A periculosidade é caracterizada por perícia a cargo de Engenheiro do Trabalho ou Médico do Trabalho, registrados no Ministério do Trabalho (MTE). O valor do adicional de periculosidade será o salário do empregado acrescido de 30%, sem os acréscimos resultantes de gratificações, prêmios ou participações nos lucros da empresa. Tem direito a este adicional trabalhador nas instalações elétricas e radiação ionizante e substâncias radioativas. DESCONTOS

Adiantamento – É o pagamento antecipado de parte do salário base. O mais comum é que seja feito nos dias 15 ou 20 do mês e o percentual corresponde a 40% ou 50% do valor bruto do salário base.

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Contribuição sindical – É descontada só uma vez por ano e está prevista na legislação federal pela Consolidação das Leis do Trabalho (CLT). Trata-se do valor correspondente a um dia de salário (3,33% do valor do salário bruto), que é entregue ao sindicato da categoria ao qual o profissional está vinculado. É descontado mesmo daqueles que não são sindicalizados. Convênio médico – Desconto de uma parcela ou valor integral da mensalidade do convênio. Há empresas que mudam a política de acordo com as faixas salariais ou a categoria do plano que o empregado adere. Alimentação – Há empresas que entregam ao funcionário vale-refeição correspondente aos dias úteis do mês e descontam somente uma parte do valor total dos tíquetes do salário. Outras possuem refeitórios com preços subsidiados de acordo com a faixa salarial e o pagamento é feito somente ao final do mês, por meio do desconto no salário indicado no holerite. Vale-transporte – O desconto máximo é de 6% do valor do salário. Se o valor do transporte for menor ou igual a 6% do salário do funcionário, o desconto é integral. Se for superior a 6% do salário, a empresa arca com o restante da despesa. Previdência privada – O funcionário pode optar por participar ou não do plano de previdência privada. Na maioria dos casos, ele contribui com uma parcela, acordada no momento da adesão, e a empresa paga outra parte equivalente. A parcela da empresa não aparece no holerite, que mostra somente a contribuição do empregado. Imposto de Renda – Corresponde a um percentual da remuneração líquida, que é o valor efetivamente recebido pelo trabalhador menos a contribuição para o INSS e um valor fixo para cada dependente. Atualmente são isentos de IR os trabalhadores com remuneração líquida de até 1 637,11 reais ao mês. De 1 637,12 até 2 453,50 = 7,5% = R$ 122,78 De 2 453,51 até 3 271,38 = 15% = R$ 306,80 De 3 271,39 até 4 087,65 = 22,5% = R$ 552,15 Acima de 4 087,65 = 27,5% = R$ 756,53 INSS – A alíquota varia de 8% a 11% de acordo com o valor do salário. Pagam 8% aqueles com salário até 1 174,86 reais. Para quem está na faixa de 1 174,87 a 1 958,10 reais, a taxa é de 9%. Os que ganham de 1 958,11 a 3 916,20 reais pagam 11%. Para 113

salários iguais ou superiores a 3 916,21 reais a contribuição é fixa de 430,78 reais, no momento. Fundo de Garantia do Tempo de Serviço (FGTS) – O desconto é equivalente a 8% do total de rendimentos, e não ao salário. PIS/PASEP - É um benefício pago anualmente ao trabalhador que se adeque ao programa no valor do salário mínimo atual no momento do pagamento do abono salário como é conhecido também. Para receber o seu PIS o trabalhador precisa se encaixar no perfil estabelecido pelo programa: Ter mais de cinco anos cadastrados no PIS; Ter trabalhado pelo menos trinta dias no ano anterior ao do pagamento; Ter recebido em médio até dois salários mínimos no ano; Fonte: Ana Brandão (redacao.vocesa@abril.com.br)

17.2 Orçamento familiar

Fonte: www.arrazze.com.br

Segundo Benigno Ares, economista , orçamento familiar não é apenas "Anotar as despesas realizadas". O orçamento envolve: planejar, eleger prioridades, controlar seu fluxo de caixa. O orçamento irá ajudá-lo a entender seus hábitos de consumo. A elaboração do orçamento familiar não é uma tarefa fácil, porém, é necessária para quem tem planos para o seu futuro e o de sua família.

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Estabelecer objetivos comuns e conversar francamente sobre as finanças com a família é o caminho para que cada um esteja comprometido e faça sua parte. É a forma de garantir a estabilidade das finanças no presente, visando prevenir o futuro.

Planilha de orçamento familiar mensal

Mês Receitas Salários Aluguel Receitas extraordinárias Outros Receita total Despesas Moradia Aluguel Condomínio Prestação da casa Conta de luz Conta de água Gás Impostos Telefone Consertos/manutenção Outros Alimentação Supermercado Feira/sacolão Outros Transporte Prestação do carro Seguro Combustível Estacionamentos Impostos Ônibus/metrô/trem Outros Saúde Plano de saúde Médicos/dentistas Farmácia Outros Educação

Prevista (R$)

Recebida (R$)

Prevista (R$)

Gasto (R$)

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Mensalidades escolares Cursos extras idiomas/computação Vestuário Outros Lazer/informação Academia Jornais/revistas TV por assinatura Internet Programas culturais Outros Outros gastos

Reserva para gastos futuros Impostos Escola Viagem Outros Despesa total Investimentos Resultado do mês Saldo no mês

17.3 Nota fiscal

Para facilitar a emissão de Notas Fiscais de Serviços, apresentamos abaixo roteiro básico de preenchimento dos diversos campos que compõe os modelos padrão de notas de serviços. 1 – Tomador do Serviço Deve ser preenchido com o nome do tomador do serviço, se pessoa física, ou com a razão social, se pessoa jurídica. 2 - Endereço Deve ser informado além da rua ou avenida, o complemento, como nº. do estabelecimento, Bairro ou Distrito. 3 - Cidade Informar a cidade do tomador do serviço.

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4 - Estado Informar o estado do tomador do serviço. 5 - CNPJ/CPF Preencher corretamente com o número do CNPJ, se pessoa jurídica, ou com o número do CPF, se pessoa física. 6 - Inscrição Municipal Deverá ser informado neste campo o número da Inscrição Municipal do Tomador do Serviço. 7 - Data de Emissão Preencher com o DIA, MÊS e ANO correspondentes à emissão da nota fiscal. 8 - Quantidade Se o serviço for prestado usando-se como forma de medição a quantidade, este campo de deverá ser utilizado para informar a quantidade do serviço prestado. 9 - Unidade Habitualmente este campo não é preenchido, já que em casos de serviços que são calculados por hora, este dado vem especificado no próximo campo “Discriminação do Serviço”, porém, em caso de necessidade deve ser informada a unidade de medida (horas, metros, quilômetros, etc.). 10 - Descrição dos Serviços Quadro destinado à descrição do serviço, permitindo uma perfeita identificação do mesmo, sempre de acordo com o Contrato firmado entre prestador e Tomador dos serviços. (Veja ainda observação no final desta orientação). 11 - Preço Unitário Deverá ser informado o preço de venda unitário do serviço, caso haja esta condição. 12 - Total Deverá ser informado o valor total, ou seja, o valor unitário multiplicado pela quantidade. 13 - Valor Total dos Serviços Será preenchido com a soma de todos os totais dos serviços prestados. 14 - Retenção de ISS na Fonte 117

Vários serviços estão sujeitos ao ISS na Fonte, cabendo ao tomador do serviço a retenção e recolhimento do valor devido. Para preenchimento deste campo é necessário consultar a legislação vigente, além do Contrato de Prestação de Serviços onde deverá constar expressamente a obrigatoriedade ou não da referida retenção. 15 - Outras Retenções Deverá ser informado neste campo o somatório das outras retenções que o serviço está sujeito, tais como IRRF (1,0% ou 1,5%), PIS/COFINS/CSLL (4,65%), Cauções, IRPJ/CSLL/PIS/COFINS no caso de Órgão Público, etc. Caso haja retenção do INSS, o valor do mesmo deverá ser informado no corpo da nota fiscal, abaixo da Descrição dos Serviços. 16 - Valor a Pagar I – (II + III) Deverá ser informado o valor líquido da Nota Fiscal de Serviço. Observação: - Devem ser observadas as legislações que tratam destas retenções (RIR/99 / Lei 10.833/2003, art. 30 / Lei 9.430/96, art. 64 / Lei 10.833/2003, art. 34 / Instrução Normativa nº. 03 INSS / Códigos Tributários Municipais), Importante:

Ao emitir a Nota Fiscal deve-se antes de tudo, acessar o site www.sintegra.gov.br e verificar a situação cadastral do cliente junto a Receita Estadual. Caso o mesmo esteja em situação irregular, a operação não poderá ser realizada.

Texto retirado do site: http://www.sitecontabil.com.br/consultas/emissao-servicos.html

Segundo a Lei 10.833 de 2003 e suas respectivas alíquotas, foram os seguintes : CSLL - Contribuição Social sobre o Lucro Líquido 1,00% COFINS - Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social 3,00% PIS - Contribuição para o Programa de Integração Social 0,65% 118

ISS – 5% INSS – 11% TOTAL - 4,65% Com relação ao Imposto de Renda na Fonte, as empresas deverão observar a alíquota correspondente, discriminada no Decreto nº 3000/1999, que deverá ser: Um e meio por cento - 1,5%, nas seguintes atividades: 1. administração de bens ou negócios em geral (exceto consórcios ou fundos mútuos para aquisição de bens); 2. advocacia; 3. análise clínica laboratorial; 4. análises técnicas; 5. arquitetura; 6. assessoria e consultoria técnica (exceto o serviço de assistência técnica prestado a terceiros e concernente a ramo de indústria ou comércio explorado pelo prestador do serviço); 7. assistência social; 8. auditoria; 9. avaliação e perícia; 10. biologia e biomedicina; 11. cálculo em geral; 12. consultoria; 13. contabilidade; 14. desenho técnico; 15. economia; 16. elaboração de projetos; 17. engenharia (exceto construção de estradas, pontes, prédios e obras assemelhadas); 18. ensino e treinamento;

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19. estatística; 20. fisioterapia; 21. fonoaudiologia; 22. geologia; 23. leilão; 24. medicina (exceto a prestada por ambulatório, banco de sangue, casa de saúde, casa de recuperação ou repouso sob orientação médica, hospital e pronto-socorro); 25. nutricionismo e dietética; 26. odontologia; 27. organização de feiras de amostras, congressos, seminários, simpósios e congêneres; 28. pesquisa em geral; 29. planejamento; 30. programação; 31. prótese; 32. psicologia e psicanálise; 33. química; 34. radiologia e radioterapia; 35. relações públicas; 36. serviço de despachante; 37. terapêutica ocupacional; 38. tradução ou interpretação comercial; 39. urbanismo; 40. veterinária. Um por cento - 1,0%, nas atividades de : 1. limpeza; 2. conservação; 120

3. segurança; 4. vigilância; 5. locação de Mão-de-Obra.

Modelo de nota fiscal:

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Leitura COMPRAR A PRAZO

Fonte: www.clicapicos.com

Nos dias atuais, muitas pessoas são seduzidas por anúncios de promoções vinculadas pelas lojas, em geral, em encartes de jornais, na TV e na internet. Essas promoções propõem prazos facilitados e ausência de juros, ou seja, você poderá saldar sua divida em prazo prolongado, sem precisar pagar a mais por isso. Apesar da sedutora proposta, é preciso tomar cuidado, pois, em muitos casos, na compra a prazo você pode estar pagando muito mais pelo produto, acrescido de juros e outros custos adicionais; dentre eles, o custo da inadimplência. Algumas consumidoras acabaram não saldando suas prestações, e aquele que compra a prazo terá que pagar por esses maus pagadores – geralmente de 3% a 8% não terminam de pagar suas dívidas e os bons pagadores acabam arcando com o custo no preço final pago por todos. Sem contar com os devedores que pagam suas prestações atrasadas, ocasionando outros custos: cobradores, advogados, cartas de aviso, entre outros. Quem paga novamente estes custos são os bom pagadores. Se todo mês é depositada uma quantia igual ao valor de cada prestação numa aplicação de renda fixa, depois de 18 meses pode-se obter até 100% de rendimento, de acordo com as taxas de juros no momento. Assim, economizando e comprando à vista é possível ficar livre de uma série de despesas, evitando pagar vários custos adicionais, além dos juros obtendo-se muitas vezes desconto na compra do produto. Fonte: Livro Projeto Radix, 9º ano. Ribeiro (2009), p.248

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Desafio Tiago comprou uma televisão em 10 parcelas, sem entrada, de R$ 116,16, a uma taxa de juros simples a 2% ao mês. Quanto Tiago pagaria por essa televisão se ele comprasse à vista?

Projeto em equipe

A turma será dividida em equipes que deverão criar uma empresa com sócios, onde instituirão a regra de sociedade na divisão do lucro ou do prejuízo, e um produto inovador para o mercado. Em seguida confeccionarão uma tabela com os custos informando o lucro, esta, deve conter os preços dos artigos utilizados para a composição dos produtos, bem como o preço de venda com base nas despesas. Para que não haja prejuízo, também será preciso fazer uma margem de perda do produto e de promoção. Ao final, deve-se analisar se a empresa obteve lucro ou prejuízo e de quanto foi em dinheiro e em percentual. A atividade será finalizada com a exposição dos resultados para toda a turma.

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Bibliografia RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: Matemática, 6º ao 9º ano. São Paulo: Scipione, 2009.

Autores Erivanaldo Florêncio Xavier da Costa Halina França da Cruz Romário Nunes Lima

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