Antoniou Books ON LINE LIBRARY
Το Παρόν έγγραφο (PDF) είναι μία προεπισκόπηση του βιβλίου και περιέχει τα περιεχόμενα, καθώς επίσης και κάποιες επιλεγμένες σελίδες…
Δημήτρης Αντωνίου PhD(Hon), FRCS,Γενικός Χειρουργός, Ογκολόγος
Για την ΑΓΟΡΑ του βιβλίου, επισκεφθείτε το site
www.antonioubooks.blogspot.gr
Απαγορεύεται η
αναδημοσίευση και γενικά η αναπαραγωγή του παρόντος έργου (πλήρους
έκδοσης) με οποιοδήποτε τρόπο, τμηματικά ή περιληπτικά, στο πρωτότυπο ή σε μετάφραση, ή άλλη διασκευή, χωρίς γραπτή άδεια του εκδότη και συγγραφέα, σύμφωνα με τον ν. 2121/1993 και την Διεθνή Σύμβαση της Βέρνης (που κυρώθηκε με τον ν. 100/1975).
I.1. ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Εξήγηση της Κβαντικής Φυσικής…………………………………15 Το Θεώρημα της Πληρότητας……………………………………..19 Ο ρεαλιστής Werner Heisenberg………………………………….22 O αντι-ρεαλιστής Niels Bohr………………………………………22 I.2. ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Στοιχεία Νευτώνειας Μηχανικής και Ειδικής Σχετικότητας……….27 Η επανάσταση στην φυσική περιγραφή του φωτός Κύμα ή Σωματίδιο?.................................................................................34 Ατομική Θεωρία- Παλαιά Ατομική Θεωρία……………………….38 Ατομική Θεωρία –Νέα Κβαντική Θεωρία…………………………40 Οι κυματικές ιδιότητας των υλικών σωματιδίων – Κύματα de Broglie………………………………………………………42 Η «Ερμηνεία του Κβαντικού Κόσμου από την σχολή της Κοπενγχάγης……………………………………….44 I.3. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ψ Η ντετερμινιστική ή μη- ιδιότητα της κυματοσυνάρτησης ψ………….48 «Υπέρθεση», «Κατάρρευση» & «Ορθογωνιότητα» των κβαντικών καταστάσεων ………………………………………………50 «Μη-αντιμετατιθέμενες» μετρήσεις στην Κβαντική Φυσική……………54 Η «μη-διακριτότητα» των ηλεκτρονίων και των τροχειών των………..55 I.4.ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Ακτινοβολία «Μέλανος Σώματος»- Φάσμα Ισχύος –Sλ (Sf)……………61 II. ΑΡΧΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ KAI ΑΛΓΕΒΡΑΣ & ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μιγαδικοί Αριθμοί…………………………………………………………70 Εκθετικές Μιγαδικές Κυματοσυναρτήσεις………………………………..77 Η χρήση της μιγαδικής κυματοσυνάρτησης στην Κβαντική Φυσική……...82
1
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περισσότερα για τους Μιγαδικούς Αριθμούς και Συναρτήσεις………………86 Γραφική κατανόηση των μιγαδικών αριθμών και συναρτήσεων……………..86 Αλγεβρικές Πράξεις στο Μιγαδικό Επίπεδο Argand…………………………88 Περιοδικές-πραγματικές και μιγαδικές-συναρτήσεις………………………….95 Συναρτησιακές Διακυμάνσεις………………………………………………….95 Περιοδικές-πραγματικές και μιγαδικές-συναρτήσεις…………………………102 Ιστορία της ανακάλυψης των μιγαδικών αριθμών……………………………103 Ο Αριθμός e…………………………………………………………………...106 O κανόνας του ανατοκισμού……………………………………………………….. III. ΚΥΜΑΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ III.1. Γενικές Αρχές της Κλασικής Κυματομηχανικής…………………………109 Κλασικά «Πακέτα Κυμάτων» και Η Αρχή της Αβεβαιότητας στην Κλασική Φυσική-Ι……………………112 III.2. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΕΞΙΣΩΣΗ SCHRODINGER Τα «Πακέτα Κυμάτων της Κβαντικής Φυσικής………………………….115 Η Αρχή της Αβεβαιότητας του Heisenberg στην Κβαντική Φυσική-Ι ……………………………………………………………118 Η γένεση της εξίσωσης Schrodinger-de Broglie-I………………………..121 Εξίσωση Schrodinger-II: Μια απλουστευμένη περιγραφή……………… Η Αρχής της Αβεβαιότητας και τα «Πακέτα Κυμάτων» στην Κλασική Φυσική-ΙΙ…………………………..123 Η Αρχή της Αβεβαιότητας του Heisenberg και τα «Πακέτα Κυμάτων» στην Κβαντική Φυσική-ΙΙ ………………………………………………………125 Η γενική μορφή της εξίσωσης Schrodinger-III ………………………….127 Η πιθανοκρατική θεώρηση της εξίσωσης Schrodinger κατά Μax Born-IV ………………………………………………………………131 Τα τρία «αξιώματα» της Κβαντικής Φυσικής ……………………………..135 Oι «Τελεστές» στην Κβαντική Φυσική και τα «Παρατηρήσιμα» μεγέθη της Κβαντικής Φυσικής-I ………………………..137 Hamiltonian Συνάρτηση-Η & Ηamiltonian Tελεστής- ………………….140 Άλλες θεωρήσεις στη εξίσωσης Schrodinger-V ……………………………143 H εξίσωση Schrodinger με λόγια-VI και τα «Πατατηρήσιμα» μεγέθη στην Κβαντική Φυσική-II …………………………..145 Ιδιοσυναρτήσεις (χαρακτηριστικές συναρτήσεις) - Ιδιοτιμές (χαρακτηριστικές τιμές)……………………………………………………………………………….148 Συναρτήσεις Δοκιμασίας-3ο αξίωμα της Κβαντικής Φυσικής ……………….150 «Θεωρία των παραλλαγών» (Variation Principle) …………………………….151
2
Περιεχόμενα III.3. Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ ΜΕ ΝΕΑ ΜΑΤΙΑ Η μιγαδική έκφραση της κυματοσυνάρτησης ψ, ως έκφραση του «σωματιδίουκύματος de-Broglie» ………………………………………………………152 H εξήγηση του ατομικού μοντέλου Bohr με τα «κύματα de Broglie» ………………………………………………………157 III.4. Η «ΚΑΤΑΡΡΕΥΣΗ» ΤΗΣ ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ψ «Αναγωγή» της Κβαντικής «Υπέρθεσης» των Κβαντικών καταστάσεων. Η μεγάλη ψευδαίσθηση ……………………………………………………159 «Αναγωγή», ή «Κατάρρευση» της κυματοσυνάρτησης ψ σε κλασικό σύστημα στον Ρεαλισμό του Heisenberg …………………………………………………..164 Μια εκτενέστερη περιγραφή της «κατάρρευσης» των κβαντικών καταστάσεων στον Ρεαλισμό του Heisenberg …………………………………………….168 Dirac Delta Function ……………………………………………………171 Μια διαφορετική μαθηματική έκφραση της «Κβαντικής Κατάρρευσης» Η «σφαίρα Riemann»……………………………………………………175 ΙV. ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΗΣ ΔΙΠΛΗΣ ΣΧΙΣΜΗΣ Πείραμα Διπλής Σχισμής …………………………………………………177 Το Convolution στο Πείραμα των Δύο Σχισμών …………………………184 Πως η Κβαντική Πιθανότητα γίνεται φυσικό αντιληπτό φαινόμενο ……..189 V. ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Το «ηλεκτρομαγνητικό ζεύγος …………………………………………….192 To ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου και πρωτονίου ……………………194 VI. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ Γενικές Αρχές Φασματοσκοπίας …………………………………………..195 Υπέρυθρη Φασματοσκοπία ………………………………………………..196 «Φάσματα Περιστροφής» …………………………………………………...198 Φάσματα «περιστροφής-δονήσεων»………………………………………..198 Φασματοσκοπία Raman ……………………………………………………200 VII. ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΣΚΕΔΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ & ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Διάθλαση, Πόλωση ……………………………………………………….203 Διάθλαση του φωτός στην Κλασική Φυσική-Ι …………………………...206 Γενικές γνώσεις για την ταχύτητα, συχνότητα και χρώμα των κυμάτων ……………………………………………………..209 3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Το «κενό» στην Κλασική και Κβαντική Φυσική …………………………211 Διάθλαση στην Κλασική Φυσική-ΙΙ ………………………………………211 Διάθλαση του Φωτός ……………………………………………………...211 Κλασική εξήγηση της διάθλασης και της ανάλυσης του λευκού φωτός στις συνιστώσες του (ανισοτροπία συχνότητας) …………..213 Ανισοτροπία συχνότητας στην κλασική φυσική …………………………...215 Ανισοτροπία προσανατολισμού στην κλασική φυσική……………………..217 Πόλωση του Φωτός στην κλασική φυσική …………………………………….218 Σκέδαση του Φωτόςστην Κλασική Φυσική κατά Rayleigh & Mie …………222 Kλασική εξήγηση της «σκέδασης Rayleigh» ………………………………226 VΙII. Η ΣΚΕΔΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Η Σκέδαση του φωτός στην Κβαντική Φυσική ……………………………228 Ηλεκτρικές και Μαγνητικές Ιδιότητες των Μορίων στην Κβαντική Φυσική ………………………………………………………….229 (Μη-πολικά) «Διαλεκτρικά μόρια»…………………………………………231 «Αποπόλωση» του «σκεδασμένου» φωτός ως εξήγηση της «ανισοτροπίας συχνότητας της πόλωσης» στην Κβαντική Φυσική ……………………………..237 «Δείκτες Διάθλασης –n» των μη-πολικών μορίων στην Κλασική Φυσική – Διαχωρισμός Συχνοτήτων–Φαινόμενο Kehr…………………………………….239. «Πολικά μόρια» στην Κβαντική Φυσική (Polar Molecules) ……………………244 Tα π-electrons, καθορίζουν την «ανισοτροπία πόλωσης» των οργανικών μορίων (στην Κβαντική Φυσική) ……………………………………………………….245 Kβαντική Φυσική: «Διαχωρισμός συχνοτήτων» του φωτός στις διάφορες Rhodonines-Κατανομή πιθανοτήτων των «δεικτών διάθλασης» στις διάφορες Rhodonines-Ανισοτροπία συχνότητας των Rhodonines ………………………246 Κβαντική Φυσική: Μια συνδυασμένη προσέγγιση της ειδικότητας αντίληψης των χρωμάτων από τις αντίστοιχες retinal. Αρμονία μεταξύ των «δεικτών διάθλασης» (refractive indexes) και «δεικτών απορρόφησης» των «ειδικών» retinal……..248 Κβαντική Φυσική: Η εξάρτηση της εστιακής δυνατότητας του ματιού από το μήκος κύματος του προσπίπτοντος φωτός ……………………………………………252 Κβαντικές-Μαγνητικές ιδιότητες των μορίων …………………………….252 Κβαντική Φυσική: Το «φαινόμενο Zeeman στο (διατομικό) μόριο του υδρογόνου ………………………………………………………….253 IX. ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ZEEMAN Φαινόμενο Zeeman ………………………………………………………..255 Ζeeman Spectrospcopy ……………………………………………………259. Anomalous Zeeman effect - Οι μαγνητικές ιδιότητες του Spin……………260 Το Spin-Orbit-Nucleus Interaction - Εσωτερικό φαινόμενο Zeeman …….263
4
Περιεχόμενα Αδιαχώριστα ηλεκτρόνια. Εκφυλισμός Ενεργειακών Επιπέδων……….266 Το «αδιαχώριστο» των ομοίων ηλεκτρονίων και η «ορθογωνιότητα» στην Κβαντική Φυσική. ………………………………….269 H Αρχή του Αποκλεισμού του Pauli …………………………………..271
Ι.1. TΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ-Ι Το άτομο του Υδρογόνου-I ……………………………………………273 Κώνοι Αβεβαιότητας ………………………………………………….286 Ιδιοστροφορμή-S του Ηλεκτρονίου …………………………………...291 I.2. TΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ-ΙΙ Το Άτομο του Υδρογόνου –ΙΙ ………………………………………….297 Η Θεωρία του Bohr …………………………………………………….299 Εισαγωγή της εξίσωσης Schrodinger στην περιγραφή των κινήσεων του ηλεκτρονίου …………………………………………………………………301 Τα «Τροχιακά» του Υδρογόνου s,p,d -Kώνοι Αβεβαιότητας ………….311 ΙΙ.1. ΤΟ «ΜΟΡΙΑΚΟ ΙΟΝ» ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Το «μοριακό-ιόν» του Υδρογόνου………………………………326 Born-Oppenheimer Προσέγγιση………………………………………...326 Ο «σ» χημικός δεσμός του «ιόντος-μορίου Υδρογόνου» ………………330 Η σταθερά «κανονικοποίησης Ν και Τα «ολοκληρώματα αλληλοεπικάλυψης» ………………………………332 ΙΙ.2. ΤΟ ΜΟΡΙΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Το Μόριο του Υδρογόνου-Εισαγωγή……………………………………333 Η «Μοριακή Θεωρία» των Hund-Mullican-Bloch ή LCAO ……………334 Η «Μοριακή Θεωρία» των Heitle and London 1927 ……………………336 Η Θεωρία των Μοριακών Τροχιακών του Huckel -Μοντέλο Huckel –Ι ……………………………………………..338 Λύσεις των Σαικουλκών Eξισώσεων σε διατομικά ομοιο-πυρηνικά μόρια …………………………………………….342 «Συνολική Ηλεκτρονιακή Γωνιακή Ορμή» των διατομικών-πολυηλεκτρονιακών μορίων ……………………………………………………………………….343 Συμβολισμός των μορίων ………………………………………………348
5
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΙΙ. ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Μοντέλο του «Ελευθέρου Σωματιδίου» ………………………………349 Κβαντικό Μοντέλο «Σωματιδίου μέσα σε ένα Κουτί»………………..350 Κβαντικό Μοντέλο «Σήρραγγας» ……………………………………..354 Κβαντικό Μοντέλο του «Αρμονικού Ταλαντωτή» …………………….360 Αρμονικός Ταλαντωτής –Κλασικός & Κβαντικός …………………….360 Κβαντικό Μοντέλο Αρμονικού Ταλαντωντή ……………………….....362 Πέραν των κλασικών ορίων………………………………………………...367 Ο Αρμονικός Ταλαντωντής και η «Αρχή της Αντιστοιχίας»……………….368 Μπορούν πράγματι τα σωματίδια να έχουν «αρνητική κινητική ενέργεια»; …………………………………..369 Το «ηλεκτρομαγνητικό ζεύγος» κατά Feynman ………………………..370 To ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου και πρωτονίου …………………373 «Υπέρθεση» των Κβαντικών καταστάσεων ενός κβαντικού σωματιδίου ..373 Η «σύζευξη» του Fermi …………………………………………………373 Η εμφάνιση αρνητικής ενέργειας σύμφωνα με την Ειδική Σχετικότητα ...374 ΙV. ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ FRANCK-CONDON Εισαγωγή………………………………………………………………….376 H «αρχή Franck-Condon»…………………………………………………378 Φθορισμός-Φωσφορισμός…………………………………………………383 V. ΧΗΜΙΚΟΙ ΔΕΣΜΟΙ Εισαγωγή: Είδη Χημικών Δεσμών …………………………………………385 Είδη Ομοιοπολικών Δεσμών ………………………………………………..386 VI. ΛΟΙΠΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ «Η αρχή του αποκλεισμού» του Pauli ……………………………………….398 Ο «κανόνας του Hund» (Ηund`s Rule) ………………………………………401 Η Θεωρία των Μοριακών Τροχιακών του Huckel -Μοντέλο Huckel-ΙΙ …… 402 Πίνακες Ενεργειών Huckel των Κορεσμένων Υδρογονανθράκων…………..410 VII. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Στατιστική Κατανομή Maxwell-Boltzmann ………………………………….416 H Κανονική (Gaussian) συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων …………………418 Κατανομή Bose-Einstein ……………………………………………………...420 H «πυκνότητα» των καταστάσεων (επιπέδων) ενέργειας……………………...422 Kατανομή Fermi-Dirac ………………………………………………………..422 Η Fermi Energy ………………………………………………………………..425
6
I. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΟΡΑΣΗ Kβαντική Τριχρωματική Όραση ………………………………………………….433 «Υβριδισμός»- «π-χημικοί δεσμοί» ………………………………………………..433 Το κβαντικό μοντέλο: «Σωματίδιο σε ένα κουτί» ………………………………...436 Μια εναλλακτική χρήση του μοντέλου «σωματίδιο σε ένα κουτί» στον υπολογισμό του Εn των π-δεσμών του butadiene, της διαμέτρου α του butadiene, του μήκους κύματος-λ και της συχνότητας ν της απορροφούμενης ενέργειας ……………………………………………………438 Ανατομία του Ματιού ……………………………………………………………441 Κωνία & Ραβδία του αμφιβληστροειδούς χιτώνα ……………………………….444 Iσομερείς μορφές των retinals - Κβαντικός Mηχανισμός «Τριχρωματικής» Όρασης……………………………………………………………………………..448 Fermi-Dirac στατιστική στην κβαντική τριχρωματική όραση»……………….....452 Huckel Μοριακή Θεωρία Τροχιακών στις Rhodonines …………………………452 Λοιπές λειτουργίες των Κωνίων …………………………………………………453 «Κβάντα Πληροφορίας» φωτεινότητας-χρώματος ……………………………….454 «Κβαντο-μαγνητική» Τριχρωματική Όραση ……………………………………..455 Διάχυση του φωτός στις διάφορες Rhodonines ………………………………….455 Μια συνδυασμένη προσέγγιση της ειδικότητας αντίληψης των χρωμάτων από τις αντίστοιχες retinal. Αρμονία μεταξύ των «δεικτών διάθλασης και των «δεικτών απορρόφησης» των «ειδικών» retinal………………………………………………457 Εξάρτηση της ικανότητας «εστίασης» του ματιού από το μήκος κύματος του φωτός ………………………………………………..461 «Κβαντο-μαγνητικές ιδιότητες των μορίων» …………………………………….. Huckel Μοριακή Θεωρία Τροχιακών στις Rhodonines-ΙΙ ………………………462 II. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ Παράμετροι του κλασικού κύματος ……………………………………………471 Σειρές Fourier……………………………………………………………………472 Η αρχή της απροσδιοριστίας στην Κλασική Φυσική-Ι………………………….478 Η έννοια του χρόνου ……………………………………………………………481 «Ουδός» διαφορικής αισθητηριακής διάκρισης συχνότητας και έντασης ……………………………………………………………491 Convolution: Μια σύνδεση των time & frequency domains…………………….494 Μια ακόμα εφαρμογή του Convolution στην Μουσική…………………………496 Άλλες μορφές απροσδιοριστίας στην κλασική και κβαντική φυσική.…………...497 Fractal ακουστικά φαινόμενα…………………………………………………….498 7
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Tα «ακουστικά κβάντα του Gabor»……………………………………………501 Gaussian Kατανομή Πιθανοτήτων……………………………………………..501 Μετασχηματισμοί της Gaussian συνάρτησης …………………………………503 Tα «ακουστικά κβάντα του Gabor»…………………………………………….504 1D-Gabor Function ……………………………………………………………..507 Τα Gabor elementary wavelets …………………………………………………509 Πειραματική επιβεβαίωση των «ακουστικών κβάντων του Gabor …………….513 Το αυτί ως συσκευή παραγωγής Gabor quantum ακουστικών πληροφοριών …………………………………………………………516 «Ακουστικά κβάντα και μουσική»……………………………………………….518 The Time Invariance of Grains………………………………………………….518 Ψηφιακά Δεδομένα ……………………………………………………………..521 Θεώρημα Δειγματοληψίας» …………………………………………………….525 Aliasing -Θεώρημα Δειγματοληψίας»…………………………………………..526 Tι είναι ένα «phonon»? –«Ειδική Θερμότητα των στερεών» του Debye……….531 III. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΟΣΦΡΗΣΗ ΚΑΙ ΓΕΥΣΗ Ένα κβαντικό Μοντέλο για την Οσμή και Γεύση …………………………….539 Εισαγωγή: Convolution στην Κλασική Φυσική ……………………………..544 «Συνδυασμός» «Φαινομένου της Σήραγγας» & του «Αρμονικού Ταλαντωτή»…………………………………………………..552 Convolution και fourier μετασχηματισμοί……………………………………553 Delta function……………………………………………………………………..560 Αντίστροφο «Θεώρημα του Convolution» ……………………………………….564 Και η «αντίστροφη συνύπαρξη» «αρμονικού ταλαντωτή» και του «συστήματος της σήραγγας»…………………………………………………………………………565 1D-Gabor Function ……………………………………………………………566 Άλλοι ενδιαφέροντες «μετασχηματισμοί»……………………………………..570 «Παραλληλισμός» Κβαντικής Κατάστασης και Διάχυσης! …………………….571 IV. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΚΑΡΚΙΝΟΓΕΝΕΣΗ Κβαντική Φυσική και Καρκινικές Μεταλάξεις ………………………………..579 To φαινόμενο Zeeman ως μοντέλο Κβαντικών Μεταλάξεων …………………581 Το DNA σαν Κβαντικό Μόριο ………………………………………………...582 Κατευθύνουσες Μεταλάξεις –Το «Κβαντικό» DNA ………………………….584 Το DNA σαν Ημιαγωγός ………………………………………………………586 Ισομερείς Χημικές Ενώσεις και Ισομερείς Μεταλάξεις………………………..588 V. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΑΦΗ ΚΑΙ ΤΟΥ ΠΟΝΟΣ «Κβαντικές» Αισθήσεις Αφής και Πόνου ……………………………………….593 «Ευαισθησία Διάκρισης απόστασης δύο σημείων» ……………………………..596
8
«Κβάντα απτών πληροφοριών» συνιστάμενα από το «ζεύγος» «Ευαισθησία (ή ουδός) Διάκρισης(αντίληψης) της απόστασης δύο σημείων» & «Ευαισθησία (ή ουδός) Διάκρισης της διαφοράς της έντασης του πόνου»………………………………..598 Αισθητικοί Οδοί των «Απτικών» αισθήσεων και των αισθήσεων «ΠόνουΘερμοκρασίας»……………………………………………………………………600 Aισθητικοί οδοί των «ιδιόδοχων» (ή «κιναισθητικών») αισθήσεων Κιναισθητικοί Οδοί (Proprioceptive Pathways) …………………………………602 VI. ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΠΛΕΥΡΟ ΑΝΑΣΤΟΛΗ «Παράπλευρη αναστολή», ή «Παράπλευρος αποκλεισμός»:Ένα Κβαντικό φαινόμενο στον Riemannian («πραγματικό») Κόσμο ……………………………………..607 Το «αδιαχώριστο» των ομοίων ηλεκτρονίων και η «ορθογωνιότητα» στην Κβαντική Φυσική ………………………………………………………………………….607 «Παράπλευρη αναστολή», ή «Παράπλευρος αποκλεισμός» ………………..608 Το φαινόμενο της «Παράπλευρης αναστολής» (Lateral Inhibition) της «φωτεινότητας»-«σκότους» ……………………………………………………609 Το φαινόμενο της «Παράπλευρης αναστολής» στην αντίληψη των χρωμάτων»…………………………………………………612 VII. ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΧΡΩΜΑΤΩΝ……………………………………………619 VIII. ΑΝΤΙ ΕΠΙΛΟΓΟΥ – ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΟΥΤΟΠΙΕΣ ?.........................629 IX. ΠΕΡΙΛΗΨΗ ……………………………………………………………….631 X. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ The Philosophy of Colors (from Stanford Encyclopedia of Philosophy) ………661 http://plato.stanford.edu/entries/color/ XI. ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΤΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑ……………………………………..705
Ιστορία της Κβαντικής Φυσικής
Το 1875 ο Maxwell απέδειξε την κυματική φύση της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, ήτοι του φωτός, επιβεβαιώνοντας τις προηγούμενες θεωρίες περί της κυματικής φύσεως του φωτός τoυ Huygens και των πειραματικών δεδομένων του James Young το 1801, με το περίφημο πείραμα της «διπλής σχισμής». Από την άλλη πλευρά όμως το 1900 ο Max Planck, για να εξηγήσει το εκπεμπόμενο φάσμα συχνοτήτων του black body, εισήγαγε την «σωματιδιακή» φύση του φωτός. Σύμφωνα με την θεωρία του Max Planck, το φώς απορροφάται και ακτινοβολείται σε μικρά «πακέτα-σωματίδια» ενέργειας, το «φωτόνια»(photons), έκαστο των οποίων αποτελείται από την βασική ποσότητα ενέργειας ίση με hv, όπου h είναι η «σταθερά του Planck» και v η συχνότητα του φωτονίου. Είπαμε ότι ο Planck απέδειξε ότι το φώς απορροφάται κι εκπέμπεται ως «σωματίδιο» (φωτόνιο) φέρον ενέργεια ίση με E=hf.
O de Broglie τo 1924 πρότεινε θεωρητικά ότι και κάθε υλικό σωματίδιο (όπως π.χ. το ηλεκτρόνιο, το άτομο, το μόριο κλπ), πρέπει να θεωρείται ότι «εκφράζεται» φυσικά από ένα «συνοδό» «κύμα» του οποίου το μήκος κύματος λ καθορίζεται από την σχέση: λ=h/pr, όπου pr η relativistic ορμή –pr του φωτονίου η οποία σύμφωνα με τα παραπάνω ( για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα ).ορίζεται ως : pr= mc = h/λ. Το φωτόνιο όμως, ενώ «κλασσικά» δεν έχει «μάζα», θεωρούμενο στα πλαίσια της Γενικής Σχετικότητας, έχει «μάζα αδράνειας» (mass of inertia) η οποία καθορίζεται από την περίφημη σχέση του E. Einstein: . H «μάζα αδράνειας» –m του φωτονίου είναι αποκλειστική συνέπεια της κινητικής του ενέργειας, ενώ φυσικά το φωτόνιο δεν έχει «μάζα ηρεμίας» με την έννοια που την έχει π.χ. το «σωματίδιο» ηλεκτρόνιο. Εάν συνδυασθούν οι ανωτέρω δύο σχέσεις έχουμε: , όπου Ε είναι η ολική relativistic ενέργεια του σωματιδίου. Συνεπώς η relativistic ορμή –pr του φωτονίου ορίζεται ως: pr= mc = h/λ. Η παραπάνω σχέση της ορμής, απεδείχθη με το φαινόμενο Compton το 1923. H σχέση , προτεινόμενη πρώτη φορά από τους de Broglie και Schrodinger, ορίζει ότι η συχνότητα f των κυμάτων είναι ανάλογος της μάζας των m (της μάζας του ηλεκτρονίου). Η συχνότητα f, είναι η μάζα m και μετρήσεις της μάζας είναι στην ουσία μετρήσεις της συχνότητας κι αντίστροφα. Δεν υπάρχει «μάζα-ουσία» στην φύση.
631
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Στην συνάρτηση , η σταθερά k λέγεται «κυματαριθμός» (wave-number) κι εκφράζει τον αριθμό των μηκών κύματος σε μια περίοδο Τ του σωματιδίου, όπως φαίνεται από τις παρακάτω γνωστές εξισώσεις των περιοδικών κινήσεων:
. Επειδή σύμφωνα με τον de-Broglie: H κινητική ενέργεια Τ είναι ίση με: T = p^2/2m. Συνεπώς τελικά έχουμε:
(p: linear momentum).
. Βλέπουμε λοιπόν ότι υπάρχει μια εκθετική σχέση μεταξύ μεγέθους Τ και τιμής του k. Aυτό σημαίνει ότι η Τ είναι ένα μέτρο της «κλίσης» (curvature=derivative) της ψ(x), δηλ. όσο μεγαλύτερη είναι η Τ τόσο μικρότερο είναι το λ της περιοδικής κίνησης.
Όλες οι κυματοσυναρτήσεις, όπως e^ikx, sinkx, coskx είναι λύσεις της παρακάτω διαφορικής εξίσωσης:
. Η είναι ένα μέτρο της «κλίσης» της ψ(x), δηλ. εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής της «πρώτης παραγώγου» της ψ(x) ως προς το x ). H διαφορική αυτή εξίσωση είναι προφανές ότι παράγει πάντα κύματα, εφόσον η , έχει αντίθετο αλγεβρικό σημείο από την ψ(x). Αυτό σημαίνει ότι όταν η ψ(x) είναι θετική, η
είναι αρνητική και η ψ(x) τείνει –κάτω από την «επίδραση» της
- να «καμφθεί» προς το x, τείνοντας να γίνει αρνητική κι αντίστροφα (βλ. επόμενη εικόνα).
632
Εξίσωση Schrodinger-de Broglie
Εικ.1. Σχέση μεταξύ των (αντιθέτων) αλγεβρικών σημείων της «δεύτερης παραγώγου» της κυματοσυνάρτησης ψ και των τιμών αυτής ψ.
Γνωρίζουμε ότι η κινητική ενέργεια Τkin στην κβαντική φυσική ισούται με: . Συνδυάζοντας την εξίσωση της Τkin με την διαφορική εξίσωση του κύματος παίρνουμε την σχέση: . Αυτή είναι η εξίσωση Schrodinger για ένα σωματίδιο που κινείται στον άξονα των x με σταθερή ταχύτητα (σταθερή κινητική ενέργεια και U=ct). Είναι προφανές ότι υπάρχει μια άμεση σχέση μεταξύ της Τkin και της «κλίσης» της ψ(x), η οποία (κλίση) είναι ανάλογος της . Σε πολλές περιπτώσεις η Τkin δεν είναι σταθερή, διότι η δυναμική ενέργεια U μεταβάλλεται συναρτήσει του x. Στις περιπτώσεις αυτές η ολική ενέργεια Εtotal είναι σταθερή κι επειδή Τ=Εtotal-U, μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση Schcrodinger στην γενικότερη μορφή της, ήτοι: ,ή ,ή , όπου .
633
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Επίσης ισχύουν οι σχέσεις: , όπου . Με απλά λόγια, η εξίσωση Schrodinger, περιγράφει την μαθηματική σχέση των διαφόρων τιμών ενεργειών που μπορεί να πάρει το «σωματίδιο-κύμα» και την μορφή των αντιστοίχων -συνοδών του σωματιδίου- κυματοσυνασυναρτήσεων ψ που περιγράψουν τις «κατανομές πιθανοτήτων» στον χώρο που σωματιδίου-κύματος. Η εξίσωση Schrodinger δηλ. περιγράφει την μαθηματική σχέση ενέργειας και των αντιστοίχων παραμέτρων του συνοδού «κύματος πιθανοτήτων» του σωματιδίουκύματος: , (το = είναι ο Hamiltonian τελεστής- Hamiltonian operator-βλ. παρακάτω). Η εξίσωση Schrodinger (1927) συνιστά το 3ο «αξίωμα» («postulate») της κβαντικής φυσικής. Η εξίσωση Schorodinger δηλ. περιγράφει την «κατανομή των πιθανοτήτων» του μοναδικού ηλεκτρονίου του ατόμου του υδρογόνου στον χώρο x, ως συνάρτηση της ενέργειάς του Ε. Το ηλεκτρόνιο του Schrodinger θεωρείται «μη-σχετιστικικό» (nonrelativistic). Αργότερα βέβαια η εξίσωση Schrodinger χρησιμοποιήθηκε και για την μελέτη του (διατομικού) μορίου υδρογόνου. Η εξίσωση Schrodinger συνδέει την ενέργεια Ε ενός σωματιδίου μα την αντίστοιχη κατανομή πιθανοτήτων του στο χώρο ψψ*(x) = ψ^2 (probability density distribution). .
Oι παραπάνω αρχές της κβαντικής φυσικής, εκτός των άλλων πεδίων εφαρμογής των, βρήκαν θριαμβευτική εφαρμογή στην επιστήμη της χημείας, με του σκαπανείς της «κβαντικής χημείας» Heitler & London, οι οποίοι το 1927 χρησιμοποιώντας τις παραπάνω αρχές της κβαντικής φυσικής ανέπτυξαν την θεωρία των για τους «χημικούς δεσμούς σθένους» των ατόμων στα μόρια, (The Valence Bond (VB) Theory), η οποία μαζί με την «Μοριακή Θεωρία των ηλεκτρονικών νεφών» (The Molecular Orbital (MO)), των Hund-Millican-Bloch, συνδυαζόμενοι με την στατιστική των Fermi-Diracη οποία είναι η αντίστοιχη «εξίσωση Schrodinger» στα «πολυηλεκτρονικά» άτομα, στα οποία τα ηλεκτρόνια θεωρούνται ως μη-διακριτά κύματα de Broglie -άνοιξαν νέους δρόμους στην κατανόηση των χημικών φαινομένων και την ανάλογη εφαρμογή των στην «Κβαντική Χημεία». Από την Κβαντική Μηχανική και την Κβαντική Χημεία, οι αρχές της Κβαντικής Φυσικής έχουν εφαρμογή ακόμα και στους μηχανισμούς της ανθρώπινης φυσιολογίας, θέμα το οποίο πραγματεύεται στην παρούσα μελέτη. 634
Κβαντική Όραση
Στην όραση τα υπάρχοντα Κβαντικά μοντέλα και πειραματικά δεδομένα, τεκμηρίωσαν με τον προαναφερθέντα τρόπο τον Κβαντικό μηχανισμό που ενυπάρχει στην τριχρωματική όραση του ανθρώπου. Το υπεύθυνο μόριο για την αντίληψη των χρωμάτων είναι η rhodopsin, η οποία έχει ως «βασική αρχιτεκτονική δομή» μια σειρά εναλλασσόμενων απλών και διπλών δεσμών ατόμων άνθρακα (-C=C-C=C-…) και συνεπώς και π-ηλεκτρόνια όσα και τα μόρια άνθρακα. Yπάρχουν τρία μόρια της rhodopsin, με διάφορο μήκος μορίου και διάφορο «λειτουργικό» αριθμό διπλών δεσμών και συνεπώς και διάφορο αριθμό π-ηλεκτρονίων. Τα τρία αυτά μόρια αντιπροσωπεύουν τις τρείς «κβαντικές» μορφές της rhodopsin. Στην παραπάνω «ομάδα» των τριών μορίων rhodopsin, μπορεί να εφαρμοσθεί το κβαντικό μοντέλο «σωματίδιο σε ένα κουτί», με συνέπεια οι κβαντικές τιμές ενέργειας που αυτό προβλέπει:
, (όπου nx=1,2,3…πρωτεύων κβαντικός αριθμός = (π-ηλεκτρόνια/ 2)+1), να αντιστοιχούν στα «κβαντικά επίπεδα ενέργειας» ΔΕ = Εn+1- En απορρόφησης από την rhodopsin των αντιστοίχων συχνοτήτων των ακτίνων του απορροφούμενου φωτός, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:
Εικ.3. Πλήρωση ενεργειακών επιπέδων στο butadiene. Η απορρόφηση φωτός προκαλεί την διέγερση ενός ηλεκτρονίου την στιβάδα n=2 στην n=3
Aπό τον παραπάνω τύπο σε συνδυασμό με τον τύπο της Ειδικής Σχετικότητας : Ε=mc^2 να προκύπτει ο τύπος:
,
635
ΠΕΡΙΛΗΨΗ όπου L=μήκος των χημικών δεσμών των ατόμων άνθρακα της αντίστοιχης rhodopsin, 2N αριθμός των π-ηλεκτρονίων της και n= (π-ηλεκτρόνια/2) +1). Στο μοντέλο μας της rhodopsin το μήκος L υπολογίζεται από το μήκος των εκάστοτε «λειτουργικών» μονών και διπλών δεσμών άνθρακα στο μόριο της rhodopsin (βλ. παρακάτω), ενώ ο «πρωτεύων κβαντικός αριθμός n» ισούται με: nx= N+1, N+2, N+3… όπου 2Ν = αριθμός των π-ηλεκτρονίων (= αριθμός των «συνεζευγμένων» ατόμων άνθρακα-conjugated carbon atoms) στο «ευθύ» τμήμα του μορίου της rhodopsin (conjugated carbon bonds) (-C=C-C=C-…) (βλ. σχετικά και την «αρχή του αποκλεισμού του Pauli»-Pauli`s exclusion principle). Ο Ν είναι προφανώς ίσος με τον αριθμό των «διπλών δεσμών» μεταξύ των «συνεζευγμένων» ατόμων άνθρακα (conjugated carbon atoms) (-C=C-C=C-…). Από την παραπάνω σχέση μπορούμε συνεπώς να υπολογίσουμε το μήκος κύματος του φωτός που προσπίπτον επί της rhodopsin μπορεί να «απορροφηθεί» (και συνεπώς να γίνει αντιληπτό) από αυτήν, καθώς η τελευταία «μεταπηδά» μεταξύ των «επιτρεπομένων» («κβαντισμένων») επιπέδων ενέργειας Εn. Oι αντίστοιχοι υπολογισμοί πράγματι δείχνουν ότι το βασικό επίπεδο n=1(Eo) και τα επόμενα δύο n=2 (Ei),n=3(Eii) –τα οποία είναι και τα περισσότερο πιθανά στην παραπάνω σειρά- αντιστοιχούν απόλυτα στα μήκη κύματος, αντίστοιχα των χρωμάτων μπλέ, πράσινου και κόκκινου! Μια μαθηματικότερη έκφραση των παραπάνω εκτίθεται στην συνέχεια: To παρατηρούμενο απορροφούμενο λ καθενός από τα τρία «βασικά» χρώματα, αντιστοιχεί στην μετάβαση από την υψηλότερο συμπληρούμενη με π-ηλεκτρόνια ψi, στην χαμηλότερη μη-συμπληρούμενη (με π-ηλεκτρόνια) ψii κυματοσυνάρτηση (wavefunction) (και τα αντίστοιχα Εn ). Στην γενική περίπτωση ψ(Ν)ψ(Ν+1), όπου 2Ν είναι ο αριθμός των π-ηλεκτρονίων του μορίου, τότε έχουμε:
, όπου ν είναι η απορροφούμενη συχνότητα. Οι τιμές , δίδονται εάν αντικαταστήσουμε το n στην παραπάνω εξίσωση με τα Ν και Ν+1 αντίστοιχα (διότι 2Ν/2 = Ν~n) (π.χ. από της ψi ψii: N=2(2N=4), από την ψii ψiii: Ν=3(2Ν=6) κ.ο.κ.). Mε τον τρόπο αυτό παίρνουμε: . Θέτοντας τιμές για τις σταθερές h, c και m (μάζα του ηλεκτρονίου), παίρνουμε:
636
Κβαντική Όραση
. Με τον τρόπο αυτό αποδεικνύεται ότι η «τρίχρωμη» όραση του ανθρώπου είναι η έκφραση ενός κβαντικού φαινομένου του οποίου το «δρών» μέλος είναι η rhοdopsin. Είπαμε παραπάνω ότι το μήκος L του κβαντικού μοντέλου «σωματίδιο σε ένα κουτί» (particle in a box) - το οποίο εκφράζει το μόριο της rhodopsin- και το οποίο (L) καθορίζει το Εi και το λ του απορροφούμενου φωτός, καθορίζεται από τον αριθμό των «λειτουργικών» κάθε φορά αριθμό των μονών και διπλών δεσμών των ατόμων άνθρακα της rhodopsin. Πράγματι έχουν βρεθεί 5 ισομερείς μορφές rhodopsin, οι οποίες διαφέρουν μεταξύ των ανάλογα με το μόριο του άνθρακα του «ευθύγραμμου» (linear) τμήματος του μορίου της, στο οποίο συνδέεται χημικά το άτομο του οξυγόνου (-C=0). Η θέση του άνθρακα (-C=0) καθορίζει και τον αριθμό των «λειτουργικών» δεσμών του μορίου της rhodopsin και συνεπώς καθορίζει, το L το n (τον αριθμό των πηλεκτρονίων), το En και συνεπώς και το λ του απορροφούμενου (και αντιληπτού) προσπίπτοντος φωτός. Βλέπουμε λοιπόν ότι οι ισομερείς ενώσεις οφείλουν τις διαφορετικές των ιδιότητες σε έναν κβαντικό μηχανισμό. Θα συναντήσουμε την «κβαντική ισομέρεια» των βάσεων του DNA και στην εξήγηση των (καρκινικών) μεταλλάξεων των κυττάρων, δεδομένου ότι ισομερείς βάσεις μπορεί να δράσουν μεταλλαξιογόνα, εφόσον έχουν διαφορετικές χημικές ιδιότητες!
637
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Δύο από τις πέντε ισομερείς μορφές της rhodopsin.
Εικ.4. Η δευτεροταγής χημική δομή δύο εκ των πέντε μορφών της rhodopsin. Κάθε ένα ισομερές μόριο λειτουργεί ως το κβαντικό μοντέλο του «ηλεκτρονίου σε ένα κουτί» (particle in a box model), με διάφορο μήκους L του «κουτιού» (box)
Επειδή όμως τα κβαντισμένα επίπεδα ενεργειών του κβαντικού μοντέλου «σωματίδιο σε ένα κουτί» (particle in a box) που αντιστοιχούν στις απορροφήσεις τω τριών «βασικών» χρωμάτων, είναι τα τρία πρώτα διαδοχικά επίπεδα πάνω από το βασικό επίπεδο Εο, ήτοι είναι τα Εο, Εi, Eii, είναι προφανές ότι τα επίπεδα αυτά είναι τα τρία πιθανότερα σύμφωνα με την κατανομή Fermi-Dirac (βλ. επόμενη εικόνα), η οποία είναι η αντίστοιχη «εξίσωση Schrodinger» (δηλ. δίνει την κατανομή πιθανοτήτων σε «συλλογές» μη-διακριτών ηλεκτρονίων σε πολυηλεκτρονικά-πολυατομικά μόρια).
638
Κβαντική Όραση
Εικ.5. Γραφική απεικόνιση της κατανομής πιθανοτήτων «Fermi-Dirac» (Fermi-Dirac» probability density distribution function):
.
Περαιτέρω τα υπάρχοντα Κβαντικά μοντέλα και πειραματικά δεδομένα κατάλληλα επεξεργασμένα με οδήγησαν στην Κβαντική επίσης περιγραφή της τριχρωμίας και «δια μέσου» των «κβαντικών ηλεκτρικών-μαγνητικών» ιδιοτήτων των μορίων. Ειδικότερα εφόσον το «κβαντικό κενό» παρουσιάζει «ανισοτροπία συχνότητας πολώσεως» (frequency anisotropy polarisability) -δηλ. παρουσιάζει διαφορετικούς και περισσότερους του ενός «δείκτες διάθλασης για κάθε συχνότητα φωτός (χρώματος)», οι οποίοι καθορίζονται από την συχνότητα του φωτός- καθεαυτή κι εφόσον η ιδιότητα αυτή καθορίζεται επίσης από την «κατανομή πιθανοτήτων ψ» στον χώρο του μορίου της rhodopsin, των π-ηλεκτρονίων, είναι προφανές ότι μπορούμε να αντιστοιχήσουμε σε κάθε «κατανομή πιθανοτήτων ψ» των π-ηλεκτρονίων και μια αντίστοιχη «κατανομή πιθανοτήτων ψ «δεικτών διάθλασης»-n (refractive indexes-n). Με τον τρόπο αυτό θεωρητικά μπορούμε να «κατασκευάσουμε» τρείς «κατανομές πιθανοτήτων ψ «δεικτών διάθλασης» -n, των οποίων οι «μέσες τιμές» («παρατηρήσιμα»-observables) να αντιστοιχούν στους «δείκτες διάθλασης» της rhodopsin στα τρία βασικά χρώματα (βλ. επόμενη εικόνα).
639
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Eικ.6. Θεωρητική κατανομή πιθανοτήτων των «δεικτών διάθλασης» των ισομερών της rhodopsin, σε κάθε μια συχνότητα φωτός («ανισοτροπία συχνότητας»- frequency anisotropy) Παρόλο που δεν υπάρχουν βιβλιογραφικά δεδομένα που να υποστηρίζουν ευθέως την παραπάνω υπόθεσή μας, αντίθετα υπάρχουν ισχυρότατα έμμεσα βιβλιογραφικά δεδομένα που την στηρίζουν και συγκεκριμένα, υπάρχουν πειραματικά δεδομένα τα οποία τεκμηριώνουν μια απόλυτη! αντιστοιχία μεταξύ των «δεικτών διάθλασης» και των αντίστοιχων «δεικτών απορρόφησης» υπέρυθρων συχνοτήτων φωτός από διάφορες ουσίες.
Επομένως μπορούμε να υποθέσουμε βάσιμα ότι οι παραπάνω θεωρητικές «κατανομές πιθανοτήτων» ψ των «δεικτών διάθλασης» -n των τριών βασικών συχνοτήτων (χρωμάτων), είναι τα «είδωλα» των αντίστοιχων «δεικτών απορρόφησης» των τριών βασικών συχνοτήτων από την rhodopsin, με αποτέλεσμα να καθίστανται αντιληπτές ως τα τρία βασικά χρώματα στο ορατό φάσμα (βλ. πλήρη ανάπτυξη του θέματος στο κυρίως κείμενο). Bιβλιογραφία: 1) Herman Haken, Hans Christopher Wolf: «Molecular Physics and Elements of Quantum Chemistry», Springer, 1995, p: 244-249 &359-363 2) David O. Hayward: «Quantum Mechanics for Chemists», Royal Society of Chemistry, 2003, p:31-35.
640
Κβαντική Ακουστική
Ειδικότερα στην Ακουστική, είχε προταθεί από τον Nομπελίστα φυσικό Dennis Gabor το 1947, η θεωρητική ιδέα της «ελαχίστης ακουστικής πληροφορίας» (Informational Acoustic Quantum), η πλήρης μαθηματική περιγραφή του οποίου επετεύχθη το 1980 από τον Ολλανδό Baastians. Η θεωρία αυτή υποστηρίζει ότι το ανθρώπινο αυτί δεν αναλύσει τον ήχο κατά fourier σε συχνότητες (σε frequency domain) –που αντιστοιχούν σε ημιτονοειδείς συνιστώσες (σε time domain), διότι τότε θα αντιλαμβανόμαστε μόνο τις συχνότητες του ήχου κι όχι και τον time pattern (time domain) αυτού, όπως πράγματι συμβαίνει. Ο Gabor για να εξηγήσει την ταυτόχρονη αντίληψη και των συχνοτήτων του ήχου (σε frequency domain) και το time pattern (time domain) και μάλιστα σε συνθήκη «ιδανικής ακρίβειας» (optimum accuracy) που εκφράζεται με την σχέση Δt X Δf = 1, (όπου Δt, Δf εκφράζουν την «αβεβαιότητα»(ανακρίβεια) του time pattern και της συχνότητας (frequency) αντίστοιχα), εισήγαγε την ιδέα, ότι το ανθρώπινο αυτί αναλύει τον ήχο κατά fourier σε «Gaussian-κύματα- συνιστώσες» (Gaussian-waves -components) ταυτόχρονα σε time και frequency domain. Τούτο διότι μόνο τα «Gaussian-κύματα» (Gaussian-waves) σε time domain, αναλυόμενα κατά fourier σε frequency-domain, είναι διατηρούν την Gaussian μορφή των και ταυτόχρονα οι δύο αυτές μορφές Gaussian-κυμάτων, ικανοποιούν ομού την συνθήκη «ιδανικής ακρίβειας» (optimum accuracy) που εκφράζεται με την σχέση Δt X Δf = 1. Επομένως, ο μοναδικό αυτός τρόπος ταυτόχρονης ανάλυσης του ήχου-σε ένα «δίδυμο» Gaussian-κυμάτων σε time και frequency domain, μας επιτρέπει να ακούμε και τις συχνότητες και το time pattern του ήχου, χωρίς «παραμόρφωσή του (distortion), δηλ. σε συνθήκες «ιδανικής ακρίβειας» (optimum accuracy) που εκφράζεται με την σχέση Δt X Δf = 1, όπου Δt, Δf εκφράζουν την «αβεβαιότητα»(ανακρίβεια) του time pattern και της συχνότητας (frequency) αντίστοιχα. Είμαστε πλέον αναγκασμένοι να αναζητήσουμε συνιστώντα περιοδικά κύματα (components-wavelets) –τα οποία προέρχονται από την «fourier analysis» ενός ηχητικού σήματος f(t)- αμφότερα των οποίων ομού ικανοποιούν την συνθήκη «ιδανικής ακρίβειας» Δt Δf = 1. Κύματα όμως που ικανοποιούν την συνθήκη «ιδανικής ακρίβειας» (optimizing condition) Δt Δf = 1, είναι μόνον τα Gaussian-κύματα (Gaussian-waves). Η Gaussian συνάρτηση (function) είναι η μοναδική συνάρτηση g(t) (σε time domain) της οποίας η F(s) (η ανάλυση fourier αυτής σε frequency domain) είναι και πάλι μια Gaussian συνάρτηση και μάλιστα το ανωτέρω «δίδυμo» ικανοποιεί την συνθήκη «ιδανικής ακρίβειας» (optimization condition) Δt Δf = 1 (όπου Δt και Δf εκφράζουν την «αβεβαιότητα»(ανακρίβεια) του time pattern και της συχνότητας (frequency) αντίστοιχα κι επομένως ισοδύναμα εκφράζουν τις αντίστοιχες «σταθερές αποκλίσεις-SD» (standard deviations) των Gaussian συναρτήσεων (functions). Επομένως, η ανάλυση ενός ηχητικού σήματος σε μια «ειδική ανάλυση fourier» της οποία τα συνιστώντα κύματα (components) είναι Gaussian-κυματίδια (Gaussianwavelets), εξασφαλίζει και την συνθήκη «ιδανικής ακρίβειας» (optimization condition) Δt Δf = 1 (ως προς την ακρίβεια προσδιορισμού των συχνοτήτων και του time pattern
641
ΠΕΡΙΛΗΨΗ ταυτόχρονα), αλλά διατηρεί αναλλοίωτη την Gaussian «δομή» της συνάρτησης μετά τον μετασχηματισμό της από την time domain μορφή στην frequency domain μορφή, με αποτέλεσμα να μην επέρχεται «παραμόρφωση» (distortion) του ήχου f(t) (η ανάλυση fourier σε frequency domain μιας Gaussian συνάρτησης σε time domain, είναι και πάλι μια Gaussian συνάρτηση). Από τα παραπάνω είναι εμφανές ότι το παραπάνω «ζεύγος» των Gaussian-κυμάτωνσε time & frequency domain (elementary wavelets time & frequency domain), μπορούν ουσιαστικά να θεωρηθούν ως μια «ελάχιστη ακουστική πληροφορία» (quantum of acoustic information). Καταλήγουμε λοιπόν επαγωγικά και θεωρητικά στο συμπέρασμα ότι το αυτί μας αναλύει τον ήχο σε Gaussian-κύματα-συνιστώσες (Gaussian- wavelets-wavelets compοnents), σε πλήρη αντιστοιχία με την «κλασική ανάλυση fourier» σε sinusoidal wavets (wavelets compοnents), τα οποία (Gaussian-κύματα-συνιστώσες) στην συνέχεια «μετασχηματίζονται» (transformed) σε Gaussian-κύματα σε frequency domain. Tα «Gaussian-κύματα-συνιστώσες» (Gaussian wavelets-compοnents) μπορούν επομένως να θεωρηθούν ως «κβάντα ακουστικής πληροφορίας» (acoustical informational quanta», or «grains». Τα «Gaussian-κύματα-συνιστώσες» (Gaussian elementary wavelets) ως «κβάντα ακουστικής πληροφορίας» («quanta of information») στα οποία μπορεί να αναλυθεί κάθε ηχητικό σήμα f(t) (αντίστοιχα ως μια «ειδική ανάλυση fourier») μπορούν να εκφρασθούν μαθηματικά ως ένα «δίδυμο», του οποίου το πρώτο μέλος είναι το παρακάτω σε time domain: . Το δεύτερο μέλος του «διδύμου» είναι ο «fourier μετασχηματισμός» σε «domain συχνότητας (fourier transform in frequency domain- frequency spectrum) του πρώτου μέλους του «διδύμου». Το δεύτερο αυτό μέλος έχει και πάλι την μορφή των Gaussianκυμάτων (Gaussian elementary wavelets): , όπου: . Από τις παραπάνω μαθηματικές μορφές είναι προφανές ότι ισχύει: Δt X Δf =1. Το παραπάνω «δίδυμο» συνεπώς μπορεί να θεωρηθεί ως «κβάντουμ ακουστικής πληροφορίας» (acoustical informational quantum», or «acoustic grains», το οποίο καθιστά δυνατή την αντίληψη του ήχου ταυτόχρονα και στο time domain & στο frequency domain. (functioning in time and frequency domain) (βλ. επόμενη εικόνα).
642
Κβαντική Ακουστική
Eικ.2. «Ακουστικά Κβάντα Πληροφορίας» του Gabor. Εφαρμογή της αρχής της Απροσδιοριστίας.
Το μοντέλο αυτό προβλέπει μια «ελάχιστη ποσότητα ακουστικής πληροφορίας» (quantum») η οποία μπορεί να προσληφθεί από το ανθρώπινο αυτί, η οποία συνίσταται στο «γινόμενο» Δt X Δf, ήτοι ως το «εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου» με πλευρές την «ακρίβεια» (ή την «ανακρίβεια») της αντίληψης του ήχου στο «time domain-Δt» και στην «frequency domain-f». Βιβλιογραφία: D. Gabor «The acoustical quanta and the theory of hearing, Νature 159 (4044): 591594. Bastiaans M.J. 1980. «Gabor`s expansion of a Signal into Gaussian Elementary Signals». Ιn Proceedings of thw IEEE. 68(4) : 538-539 & Bastiaans M.J. 1985. «On the Sliding-Window Representaion in Digital Signal Processing». ΙΕΕΕ Τransactions on Acoustic, Speech and Signal Proecessing. ASSP33(4): 868-873. Bureck, Kotowski, Liechte ( (Elek. Nachrtech., 12, 326 (1935), 12,355 (1935), Shower and Biddulph (Acoust. Soc.Amer., 3, 274, (1931)).
643
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Η σημαντική όμως συνεισφορά μου στην παρούσα μελέτη είναι η εισαγωγή ενός θεωρητικού κβαντικού μοντέλου, το οποίο συνίσταται στην «συνδυασμένη» λειτουργία δύο γνωστών κβαντικών μοντέλων με την μαθηματική μορφή του convolution μεταξύ των κυματοσυναρτήσεων των μοντέλων αυτών, ήτοι του «συστήματος σήραγγας» (tunnelling system) και του «αρμονικού ταλαντωτή» (harmonic oscillator), στην περιγραφή κι εξήγηση των αισθήσεων της γεύσης και της όσφρησης. Ο λόγος που επέλεξα της μαθηματική διαδικασία του convolution δεν είναι τυχαίως, αλλά στηρίζεται στο γεγονός ότι το convolution δύο κυματοσυναρτήσεων είναι ο πληρέστερα μαθηματικός τύπος περιγραφής της κβαντικής κατάστασης, όπως εν συντομία περιγράφω παρακάτω.
«Convolution» στην «λογοτεχνική» του έννοια σημαίνει η «περιέλιξη», «σχηματισμός βοστρύχων» και στην απλοικότερη μαθηματική του έννοια του σημαίνει το «αποτέλεσμα της αντίστροφης επικάλυψης κι έλξεως δύο ευθυγράμμων τμημάτων» (ή και του ιδίου του ευθυγράμμου τμήματος με τον εαυτό του), δηλ. το αποτέλεσμα της αντιστροφής του ενός τμήματος, της τοποθέτησης κι έλξεώς του επί του άλλου. Με αυστηρότερη μαθηματική έκφραση «convolution» δύο συναρτήσεων f(x) & g(x), σημαίνει την αναστροφή της συνάρτησης g(x), τον πολλαπλασιασμό όλων των όρων της με κάθε έναν όρο ξεχωριστά της συνάρτησης f(x) και τέλος τον υπολογισμό του «ολοκληρώματος» (του αθροίσματος) των παραπάνω γινομένων. Είναι προφανές ότι το convolution είναι μια μαθηματική διαδικασία τελείως διάφορη και πολυπλοκότερη του γινομένου δύο συναρτήσεων και του υπολογισμού το «ολοκληρώματος» αυτών. Το convolution των f(x) & g(x) συμβολίζεται ως εξής: f(x) * g(x). Tο convolution της κυματοσυνάρτησης ψ με τον εαυτό της (δηλ. το ολοκλήρωμα της ψ^2, ή της ψψ*, όπου ψ* είναι η μιγαδική συζυγής συνάρτηση της ψ), εκφράζει μαθηματικά την αληθινή κβαντική κατάσταση ενός σωματιδίου, εφόσον εκφράζει ταυτόχρονα και τις δύο κύριες και χαρακτηριστικές κβαντικές ιδιότητες, ήτοι την κατάσταση «υπέρθεσης και την κατάσταση «ορθογωνιότητας» των κβαντικών καταστάσεων. Ειδικότερα, οι παραπάνω δύο ιδιότητες του κβαντικού συστήματος («υπέρθεσης» και «ορθογωνιότητας») εκφράζονται μαθηματικά με το παρακάτω θεώρημα : «Εάν έχουμε δύο συναρτήσεις κατανομής πιθανοτήτων (probability density distribution functions) f(x) και f(y) (ανεξάρτητες μεταξύ των), η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων του αθροίσματος αυτών (probability density function of the sum) (εάν υπάρχει) f(x) + f(y), ισούται με το convolution των f(x) και g(y)», δηλ. ισχύει: f(x) + f(y) = f(x) * f(y). Το ίδιο φυσικά ισχύει όταν η κβαντική κατάσταση ενός σωματιδίου, είναι ο γραμμικός συνδυασμός δύο διαφορετικών κυματοσυναρτήσεων φi, φii. Στην περίπτωση αυτή η
644
Κβαντική Όσφρηση & Γεύση αληθινή κβαντική κατάστασης του σωματιδίου περιγράφεται από τον convolution των φi, φii, ήτοι από φi * φii. Ευτυχώς όμως υπάρχει ένας ευκολότερος τρόπος να υπολογίσουμε το convolution δύο συναρτήσεων, εκτός του παραπάνω πολύπλοκου τρόπου, ο οποίος ισχύει όταν οι συναρτήσεις εκφράζονται με «σύστημα αναφοράς» τον χρόνο (time domain). O ευκολότερος αυτός τρόπος είναι το παρακάτω θεώρημα: Το γνωστό «θεώρημα του convolution» ορίζει: Το Convolution δύο συναρτήσεων f(t)*g(t), (ή μιας συνάρτησης με τον εαυτό της f(t)*f(t)) στο time domain, σημαίνει ότι ισοδύναμα πολλαπλασιάζουμε τα «φάσματα συχνοτήτων αυτών» (frequency spectra) αυτών στην frequency domain. Πολλαπλασιασμός των «φασμάτων συχνοτήτων» (frequency spectra) σημαίνει ότι κάθε ισχυρή συχνότητα και στις δύο συναρτήσεις, θα φανερωθεί ως ισχυρή επίσης συχνότητα στο γινόμενο αυτών (convolution in time domain) κι αντίστροφα κάθε συχνότητα που είναι αδύνατη στην μία εκ των δύο συναρτήσεων, θα φανερωθεί ως αδύναμη επίσης συχνότητα στο γινόμενο αυτών (convolution in time domain). Επομένως, εάν αναλύσουμε κατά fourier της κυματοσυναρτήσεις ψi, ψii, το convolution αυτών υπολογίζεται εύκολα ως το γινόμενο των αναλυμένων κατά fourier μορφών των. Στο γνωστό «πείραμα των δύο σχισμών» χωρίς την συσκευή εντοπισμού του ηλεκτρονίου σε μία των σχισμών, η τελική κατανομή πιθανοτήτων (σχηματισμός των κροσσών φωτεινότητας-σκότους) είναι το convolution δύο κυματοσυναρτήσεων ψi,ψii (= το γινόμενο των αναλυμένων κατά fourier μορφών των) εκάστη αντιστοιχούσα στην κατανομή του ηλεκτρονίου σε κάθε ανοικτή σχισμή. (βλ. κεφ. «πείραμα των δύο σχισμών»).
Η αρχική ιδέα μου στηρίχθηκε σε ένα γνωστό πειραματικό δεδομένο, για το οποίο όμως δεν είχε βρεθεί αντίστοιχη θεωρητική εξήγηση, σύμφωνα με το οποίο (χημικές) ουσίες με το ίδιο «Raman φάσμα συχνοτήτων» (Raman spectrum) παρουσίαζαν ίδια γεύση κι αν ακόμα είχαν διαφορετική χημική σύσταση κι αντίστροφα, (χημικές) ουσίες με όμοια χημική σύσταση, αλλά διαφορετικό «Raman φάσμα συχνοτήτων» (Raman spectrum) (λόγω π.χ. διαφορετικής στερεοτακτικής δομής-ισομερείς) ενώσεις, έχουν διαφορετικές γεύσεις. Για λόγους που θα γίνουν αμέσως παρακάτω προφανείς, το θεωρητικό μου μοντέλο ορίζει τις γευστικές κάλυκες ως ένα λειτoυργικό κβαντικό μοντέλο «σύστημα σήραγγας» (tunneling system ) το οποίο συνεργάζεται (coupled) με την χημική ουσία προς όσφρηση (odorant), η οποία θεωρείται-σύμφωνα με το μοντέλο μου- ως «αρμονικός ταλαντωτής» (harmonic oscillator) κβαντικό μοντέλο. Η συνεργασία αυτή περιγράφεται μαθηματικά με το convolution των συναρτήσεων που περιγράφουν τα δύο μέλη του «λειτουργικού» μας διδύμου. Υπενθυμίζω εδώ ότι το «Raman φάσμα συχνοτήτων» (Raman spectrum) αποτελείται από συχνότητες (ενέργειες) των διαφόρων επιπέδων ενεργειών του κβαντικού «αρμονικού ταλαντωτή» (harmonic oscillator). Το μοντέλο μου προβλέπει ότι ένα ηλεκτρόνιο των γευστικών καλύκων, με μια συγκεκριμένη τιμή ενέργειας Εο μπορεί να εξέλθει του ηλεκτροχημικού δυναμικού του κυττάρου της γευστικής κάλυκας («φαινόμενο σήραγγας» (against the electrochemical barrier-tunnelling system) και να «εισέλθει» στο μόριο της «οσφρηνομένης» ουσίας 645
ΠΕΡΙΛΗΨΗ (odorant) (ίσως πάλι με «φαινόμενο σήραγγας» -tunnelling system) και να προκαλέσει (trigger) σε αυτό την έναρξη αρμονικών ταλαντώσεων των ατόμων του μορίου του γύρω από το «κέντρο μάζας» των (center of mass), σύμφωνα με το κβαντικό μοντέλο του «αρμονικού ταλαντωτή» (harmonic oscillator), του οποίου η «βασική» ενέργεια Εο (ground energy) είναι ίση με την «βασική» ενέργεια Εο (ground energy) ενέργεια του ηλεκτρονίου της γευστικής κάλυκας («σύστημα σήραγγας»- tunneling system). Η ισότητα αυτή των δύο «βασικών» ενεργειών του λειτουργικού «διδύμου» («συστήματος σήραγγας-αρμονικού ταλαντωτή» (tunnelling system- harmonic oscillator) προσδίδει και την «ειδικότητα» κάθε γευστικής κάλυκας (με διαφορετικό Εο) στην γευστική αντίληψη ορισμένων μόνον γεύσεων (οξίνου, γλυκού, πικρού). Στις επόμενες δύο εικόνες απεικονίζουμε σχηματικά τα δύο συστήματα του διδύμου του μοντέλου μας, τα οποία συνεργάζονται με την μαθηματική διαδικασία του convolution (βλ. παρακάτω).
Εικ.7. «Κβαντικό Μοντέλο Σήραγγας». Ή εκθετική συνάρτηση ψ2= Ce^-kx –της περιοχής 2έχει πραγματικές τιμές.
646
Κβαντική Όσφρηση & Γεύση
. Εικ.8. «Κβαντικό Μοντέλο Αρμονικού Ταλαντωτή». «Καμπανοειδής»- κατά προσέγγιση «Gaussian κατανομή πιθανοτήτων» με πραγματικές τιμές (bell-shaped, Gaussian denstity probability function with real values).
Το ηλεκτρόνιο του «συστήματος σήραγγας» (tunnelling system) προκαλώντας «αρμονικές ταλαντώσεις» σύμφωνα με το κβαντικό μοντέλο του «αρμονικού ταλαντωτή» (harmonic oscillator) στο μόριο της «οσφρηνομένης» ουσίας (odorant) λειτουργεί ουσιαστικά ως ένα Raman φασματοσκόπιο (Raman spectrometer), το οποίο ανιχνεύει το Raman φάσμα (Raman spectrum) της «οσφρηνομένης» ουσίας (odorant). Η σημαντική όμως πρόβλεψη του μοντέλου αυτού είναι ότι προβλέπει-σε πλήρη συμφωνία με τα μαθηματικά δεδομένα- ότι για να γίνει δυνατή η παραπάνω κβαντική συνεργασία (coupling) του λειτουργικού «διδύμου», «συστήματος σήραγγας-αρμονικού ταλαντωτή» (tunnelling system- harmonic oscillator) (ως γεύση-όσφρηση) πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι παρακάτω δύο προυποθέσεις, (τον λόγο θα τον αντιληφθούμε αμέσως παρακάτω). 1) To «σύστημα σήραγγας» (tunnelling system) «μέλος» του «διδύμου» να «συμμετέχει» στο «δίδυμο» με την «εκθετική» «βασική» ψοi =Αe^-kx κυματοσυνάρτηση πιθανοτήτων (σε πραγματικές τιμές ! διότι στην συνάρτηση ψοi δεν υπάρχει το -i) στην «απαγορευμένη» περιοχή 2 του tunnelling, ενώ ο «αρμονικός ταλαντωτής» (harmonic oscillator) «μέλος» να «συμμετέχει» στο «δίδυμο» με την Gaussian ψοii «βασική» κυματοσυνάρτηση πιθανοτήτων . (σε πραγματικές επίσης τιμές). Aυτό σημαίνει ότι ο «λειτουργικός συνδυασμός» των παραπάνω δύο κβαντικών μοντέλων -δηλ. του «λειτουργικού διδύμου» «συστήματος σήραγγας-αρμονικού ταλαντωτή» (coupling of tunnelling system-harmonic oscillator)οφείλει να εκφράζεται (να γίνεται αντιληπτός) με το convolution των δύο κυματοσυναρτήσεων ψοi και ψοii, ήτοι ως:
647
ΠΕΡΙΛΗΨΗ ψοi * ψοii (convolution ψοi & ψοii), διότι-όπως είπαμε παραπάνω, η πραγματική κβαντική κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος δύο κυματοσυναρτήσεων ψοi, ψoii, εκφράζεται καλύτερα με το convolution των δύο κυματοσυναρτήσεων. 2) Ταυτόχρονα όμως θα πρέπει το convolution ψοi * ψοii, είτε να ισοδυναμεί (να έχει την ίδια μαθηματική μορφή) με την ψοi του «συστήματος σήραγγας» (tunnelling system)!, είτε να έχει την ίδια μαθηματική μορφή με την ψοii του «αρμονικού ταλαντωτή» (harmonic oscillator), έτσι ώστε να μην διαταράσσεται η μορφή του «συστήματος σήραγγας» (tunnelling system) ! έτσι ώστε να επιτρέπει στο «μεταναστεύσαν» ηλεκτρόνιο του γευστικού κάλυκα (tunnelling member) να εξέλθει τελικά από την περιοχή 2 στην περιοχή 3 του «συστήματος σήραγγας» (tunnelling system) του μορίου της γευστική κάλυκας, χωρίς να διαταράσσεται η «ευγενής φύση» της συνδυασμένης κυματοσυνάρτησής του (well-behaved wave-function). Η δεύτερη αυτή αναγκαία προυπόθεση όμως μπορεί να ικανοποιηθεί μόνο με τον «λειτουργικό συνδυασμό» (coupling) ενός «συστήματος σήραγγας» (tunnelling system) μοντέλου με ένα μοντέλο «αρμονικού ταλαντωτή» (harmonic oscillator), διότι είναι γνωστό ότι το convolution μιας εκθετικής συνάρτησης ψοi=Αe^-kx (του «συστήματος σήραγγας-tunnelling system) και μιας Gaussian συνάρτησης (του «αρμονικού ταλαντωτή»-harmonic oscillator) είναι μια εκθετική επίσης συνάρτηση ψοi=Αe^-kx !, δηλ. με άλλα λόγια έχουμε: ψοi * ψοii (convolution ψοi & ψοii ) = ψοi !!, (ισοδύναμα, ισχύει ότι το convolution μιας εκθετικής συνάρτησης «κατανομής πιθανοτήτων» (exponential probability density function) και μιας Gaussian συνάρτησης «κατανομής πιθανοτήτων» (Gaussian probability density function), δίδει μια εκθετική «κατανομή πιθανοτήτων» (exponential probability density function). H παραπάνω δυνατότητα αρμονικής «συνλειτoυργίας» του «διδύμου» «συστήματος σήραγγας-αρμονικού ταλαντωτή» (tunnelling system- harmonic oscillator) στην περιοχή 2 του πρώτου, καθίσταται εμφανής επίσης κι από τις παρακάτω γνωστές μαθηματικές σχέσεις: 1) H Fourier transform μιας εκθετικά μειούμενης συνάρτησης, είναι η Lorentzian συνάρτηση (or Cauchy συνάρτηση) (βλ. επόμενη εικόνα): (A exponential decay in time domain, is a Lorentzian in frequency domain) (βλ. επόμενη εικόνα) .
Εικ.9. H Fourier transformation μιας εκθετικά μειούμενης συνάρτησης, είναι η Lorentzian συνάρτηση (or Cauchy συνάρτηση).
2) H Fourier transform μιας Gaussian συνάρτησης είναι και πάλι μια Gaussian συνάρτηση (αν και «μη-κανονικοποιημένης»).
648
Κβαντική Όσφρηση & Γεύση 3) Το convolution μιας Gaussian και μιας Lorentzian (Cauchy) συνάρτησης σε frequency domain («κατανομής πιθανοτήτων»-probability density function) σχηματίζει την Voigt συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων (Voigt probability density function) (βλ. επόμενη εικόνα), η οποία ομοιάζει πολύ με την Gaussian συνάρτηση!
Eικ.10. Gaussian συνάρτηση.
where X0 = Position H = Height W = FWHH
649
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Eικ.11. Lorentzian (Cauchy) συνάρτηση. Voigt συνάρτηση
Εικ.12 Voigt συνάρτηση.
To παραπάνω εκπληκτικό αποτέλεσμα του convolution των «βασικών» συναρτήσεων ψ των δύο μελών του «διδύμου» ισχύει ακόμα και όταν ως μέλη του «convolution -λειτουργικού διδύμου» μας, συμμετάσχουν η Gaussian «βασική» ψ κυματοσυνάρτηση του «αρμονικού ταλαντωτή» και μία εκ των κυματοσυναρτήσεων των περιοχών 1 & 3 του «συστήματος σήραγγας» (tunnelling system), οι οποίες είναι και οι δύο «αρμoνικές» (sinusoidal), ήτοι : ψ1 = Αe^ikx και ψ3 =De^ikx. με την επίσης κυματοσυνάρτηση του «αρμονικού ταλαντωτή» (harmonic oscillator). Αυτό συμβαίνει διότι είναι γνωστό ότι το convolution μιας Gaussian και μιας «αρμονικής» (sinusoidal) συναρτήσεων κατανομής πιθανοτήτων (probability density functions), είναι και πάλι μια «αρμονική» συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων (sinusoidal probability density function)! H παραπάνω δυνατότητα αρμονικής «συνλειτoυργίας» του «διδύμου» «συστήματος σήραγγας» -«αρμονικού ταλαντωτή» (tunnelling system- harmonic oscillator) στην
650
Κβαντική Όσφρηση & Γεύση περιοχή 1 & 3 του πρώτου, καθίσταται εμφανής επίσης από τις παρακάτω γνωστές μαθηματικές σχέσεις που εκτίθενται απεικονιστικά:
Εικ.13. Σχηματισμός των Gabor κυμάτων (Gabro function) και διάφοροι Convolution και Fourier Transformations διαφόρων συναρτήσεων.
Εικ.14. Η Gabor συνάρτηση.
651
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Εικ.15. Διάφοροι Convolution και Fourier Transformations διαφόρων συναρτήσεων.
Καθίσταται πλέον εμφανής ο λόγος της μοναδιαίας επιλογής μας για την υιοθέτηση στο μοντέλο μας, του παραπάνω «λειτουργικού διδύμου» «συστήματος σήραγγας» «αρμονικού ταλαντωτή» (tunnelling system- harmonic oscillator), το οποίο εξηγεί ταυτόχρονα τον μοριακό-κβαντικό μηχανισμό της γεύσης και όσφρησης, αλλά και την «ειδίκευση» της κάθε γευστικής κάλυκας σε ορισμένο μόνο γεύση ! και το οποίο είναι σε πλήρη συμφωνία με υπάρχοντα πειραματικά (εμπειρικά) δεδομένα. Βιβλιογραφία: Adkins, C J and Phillips, W A (1985). Inelastic electron tunneling spectroscopy J Phys C: Solid State Phys 18 1313-1346 Luca Turin. A spectroscopic mechanism for primary olfactory reception. Chemical Senses (1996) Vol 21/ 6 pp773-791) W. B. Floriano, N. Vaidehi, W. A. Goddard III, M. S. Singer, and G. M. Shepherd. Molecular Mechanisms Underlying Differential Odor Responses of a Mouse Olfactory Receptor: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 97, 10712 (2000) Wright, R H (1977). Odor and molecular vibration: neural coding of olfactory information. J Theor Biol. 1977 Feb 7; 64(3): 473-502 Socrates, G (1994). Infrared characteristic group frequencies J Wiley & Sons, New York
652
Κβαντικός Καρκίνος
Ισομερή λέγονται τα μόρια που αποτελούνται από τα ίδια άτομα, αλλά με διαφορετική στερεοτακτική διάταξη, όπως οι χημικές ενώσεις της επόμενης εικόνας:
diastereomers. Εικ.16. Ισομερή μόρια είναι τα μόρια με ίδια χημική σύσταση, αλλά διαφορετική εσωτερική ενέργεια.
Τα ισομερή μόρια έχουν τελείως διαφορετικές χημικές και φυσικές ιδιότητες, σαν να είναι δύο «ξένα» μόρια. Η μεταβολή της στερεοτακτικής δομής των ισομερών μορίων, η οποία προκαλεί τις μεταβολές στις χημικές των ιδιότητες, οφείλεται στην αλλαγή του ενεργειακού δυναμικού του μορίου κατά την τυχαία (ή προκαλουμένη) μετάπτωση της κβαντικής της κατάστασης σε ένα μεγαλύτερο (ή μικρότερο) του συνήθους ενεργειακού επιπέδου. Στο γεγονός αυτό οφείλεται το «φαινόμενο Delbruck», δηλ. ο «πολυμορφισμός» των ενζύμων, που σημαίνει ότι «χημικώς ίδια» ένζυμα (ίδια μόρια), παρουσιάζουν διαφορετικές χημικές λειτουργίες (ιδιότητες). Το φαινόμενο αυτό συμβαίνει π.χ. στην Θυμίνη (Τ) , η οποία στην συνηθισμένη της Κετο- μορφή ενώνεται χημικά με την Αδενίνη (Α), με δύο δεσμούς υδρογόνων. Στην σπάνια Εnol – μορφή της όμως (η οποία είναι ισομερής της Κετο-μορφής της, λόγω διαφορετικού ενεργειακού δυναμικού), η Θυμίνη (Τ) ενώνεται χημικά με τρείς δεσμούς υδρογόνου με Γουανίνη (G). Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα στον επόμενο διπλασιασμό του DNA, απέναντι από την G να τοποθετηθεί –από την DNApolymerase- μια Κυτοσίνη (C). Έτσι τελικά το ζευγάρι βάσεων T-A θα αντικατασταθεί με το ζευγάρι βάσεων G-C. Αυτή η αλλαγή βάψεων είναι μια μετάλλαξη!, η οποία μπορεί να προκαλέσει μια καρκινική μεταλλαγή των μορίων ενός οργάνου. Μια
653
ΠΕΡΙΛΗΨΗ μετατροπή των βάσεων του DNA στις ισομερείς μορφές των μπορεί να προκύψει στο πλαίσιο των κβαντικών μεταμορφώσεων του ηλεκτρονίου και της "αιχμηρής συνάρτησης του Gauss"!! Είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι οι μεταβολές αυτές σε ισομερείς μορφές με τον παραπάνω κβαντικό μηχανισμό, δεν απαιτούν την χημική αντίδραση της βάσεως με άλλη χημική ουσία, δεν απαιτούν δηλ. χημική αντίδραση !, γεγονός που τις κάνει ακόμη πιο πιθανές!
Το DNA παρουσιάζει Κβαντικές Διακυμάνσεις που οδηγούν σε μεταλλάξεις. Μέχρι τώρα έχουμε πεί ότι κβαντική συμπεριφορά παρουσιάζουν τα ηλεκτρόνια, τα πρωτόνια, αλλά ακόμα και μεγαλύτερα σωματίδια, όπως άτομα και μόρια. Άλλωστε παραπάνω περιγράψαμε πώς μια βάση DNA μπορεί να μεταβληθεί χημικά με κβαντικό μηχανισμό και να προέλθει εξ αυτής μια ισομερής μορφή της, η οποία φυσικά συνιστά μια μετάλλαξη του DNA, η οποία –μετάλλαξη- μπορεί να αποδειχθεί καρκινογόνα. Συμπερισματικά τα άτομα και τα μόρια μπορούν να θεωρηθούν σαν «κβαντικά συγκύτια», δηλ. σαν άρρηκτα κβαντικά σύνολα κβαντικών επίσης ηλεκτρονίων και πρωτονίων. Η σημερινή κβαντική φυσική πράγματι αποδεικνύει ότι ολοένα και μεγαλύτερα μόρια παρουσιάζουν κβαντικές ιδιότητες (άλλωστε και οι μηχανές που χρησιμοποιούνται για την απόδειξη-μελέτη των κβαντικών φαινομένων, θεωρούνται σαν κβαντικά μεγέθη-σώματα!). Πρόσφατα Αυστριακοί επιστήμονες απέδειξαν ότι το fullerene - ένα μόριο αποτελούμενο από 60 άτομα άνθρακα (το περίφημο "buckyball")- περνά ταυτόχρονα από τις δύο σχισμές της συσκευής του Th.Young, εκφράζοντας έτσι την ιδιότητα της "μη τοπικότητας", σαν γνήσιο κβαντικό μόριο! Το fullerene είναι ένα σφαιρικό μόριο με διάμετρο παρόμοια με αυτή της διπλής έλικας του DNA. Επομένως η πιθανότητα να παρουσιάζει και το DNA κβαντική συμπεριφορά είναι πολύ μεγάλη. Με το μοντέλο αυτό, ο καρκίνος εμφανίζεται σαν ένα τυχαίο, "φυσιολογικό" κι αναμενόμενο κβαντικό φαινόμενο, σαν μια εγγενή εκδήλωση της κβαντικής φύσης του Σύμπαντός μας! Bιβλιογραφία: 1) «Σκιές του Νού» του Roger Penrose , εκδ. Γκοβόστη, 1997, σελ. 423-430 ) 2) Erwin Schrodinger : «Τι είναι η ζωή?» εκδ. «Κωσταράκη» 1995, σελ. 55-70, σελ. 8396. 3) Faolain, Eoghan O., Conroy, Jennifer; et all: Potential of Raman spectroscopy for the molecular characterization of human tumours [4876-18]
654
Κβαντική Αφή και Πόνος
Το παραπάνω μοντέλο του «κβάντουμ πληροφορίας» Gabor το επεξέτεινα σε ένα κβαντικό μοντέλο του «διδύμου» των αισθήσεων αφής και του πόνου, όπου η μια «πλευρά» του «παραλληλογράμμου πληροφορίας» είναι η Δx της: Α): «Ευαισθησίας (ή ουδού) Διάκρισης(αντίληψης-αίσθησης) της απόστασης δύο σημείων» «two point discrimination sensitivity, or threshold», και η άλλη είναι η Δy της Β): Β) «Ευαισθησίας (ή ουδού) στην διάκριση (αντίληψη- αίσθηση) της διαφοράς στην ένταση πόνου» (pain gradient discrimination sensitivity, or threshold) (ευαισθησία = 1/ουδός- sensitivity = 1/threshold). Oι δύο παραπάνω «πλευρές» συνιστούν μαζί το : «Την ελάχιστη πληροφορία-κβάντουμ-των αισθήσεων αφής» (Ιnformational Quantum of tactile sensations). Είναι προφανές ότι ένα «ισοδύναμο» με το παραπάνω «παραλληλόγραμμο ελάχιστης πληροφορίας» μπορούμε να κατασκευάσουμε με πλευρές τις Δx και Δy των «παραγώγων» ως προς τον χώρο (derivatives with respect to space) των παραπάνω δύο «μεταβλητών».
(quantum mechanics in lateral inhibition)
(Lateral Inhibition) Ένα ενδιαφέρον φαινόμενο στην ιατρική φυσιολογία (κι ιδιαίτερα του νευρικού μας συστήματος) είναι το φαινόμενο της «Παράπλευρης αναστολής» (Lateral Inhibition), σύμφωνα με το οποίο, όταν ένα κύτταρο «διεγείρεται» (depolarization), με την έννοια της αντιστροφής του δυναμικού της κυτταρικής του μεμβράνης ως αντίδραση (response) σε ένα συγκεκριμένο μήκος ηλεκτρομαγνητικού κύματος (χρώματος (κατάσταση -on), ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ καθίσταται μη-διεγέρσιμο (κατάσταση –offhyperpolarization) σε ένα άλλο- συγκεκριμένο-μήκος κύματος. Το ίδιο φαινόμενο ισχύει και στις περιπτώσεις «φωτεινότητας-σκότους». To φαινόμενο «Παράπλευρης αναστολής» (lateral inhibition) εξηγεί ένα μεγάλο αριθμό των σήμερα θεωρουμένων ως «οπτικών παραισθήσεων» (optical illusions) φαινομένων.
655
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
((Lateral Inhibition-Contrast enhancement of luminocity) Η ανωτέρω ιδιότητα της «Παράπλευρης αναστολής» (lateral inhibition) έχει σαν αποτέλεσμα την αύξηση της ικανότητας «διαφορικής αντιληπτικής έντασης» (αισθητηριακή διαφορική μεταβολή) (contrast) μεταξύ δύο ταυτοχρόνων χωροχρονικών καταστάσεων του κυττάρου (καταστάσεις on-off), οι οποίες εκφράζουν δύο διαφορετικές και αλληλο-αποκλειόμενες μεταξύ των αντιδράσεις (responses) του κυττάρου σε δύο ταυτόχρονα ερεθίσματα επί του ιδίου κυττάρου, όπως π.χ. το φαινόμενο της «διαφοράς έντασης φωτεινότητας» (contrast of luminocity etc), όπως φαίνεται στην εικόνα 1. Στην επόμενη εικόνα 1 απεικονίζεται το φαινόμενο της «Παράπλευρης αναστολής» (lateral inhibition -on-off state) του κυττάρου, κατόπιν ταυτοχρόνου επιδράσεως επ` αυτού του «διδύμου-ζεύγους», «φωτεινότητας-σκότος, με άλλα λόγια αναπαρίσταται μια κατάσταση on-off μεταξύ δύο ακραίων καταστάσεων «φωτεινότητας» (luminocity). Για την ευκολότερη κατανόηση της περιγραφής ο αναγνώστης μπορεί να αντιστοιχήσει την «φωτεινότητα» της περιγραφής με το «λευκό χρώμα» και το «σκότος» με το «μαύρο χρώμα» της περιγραφής. Στο κβαντικό «φάντασμα» (virtual state) του κυττάρου μας υπάρχουν δύο υπερτιθέμενες και ορθογώνιες ενεργειακές καταστάσεις «φωτεινότητας» και «σκότους», η ορθογωνιότητα των οποίων συνίσταται ότι δεν μπορούν και οι δύο να υπάρξουν στην ίδια θέση του σώματος του κυττάρου. Συνεπώς όταν το φωτίζεται (διεγείρεται) το κέντρο του ενός κυττάρου (ραβδίου) σε φώς («φωτεινότητα»-on), η περιφέρειά του οπτικού του πεδίου καθίσταται «σκοτεινή» («σκότος»-off) κι αντίστροφα, όταν η περιφέρεια «φωτίζεται» (on), το κέντρο «σκοτινιάζει» (off). . Με τον τρόπο αυτό το κάθε κύτταρο της εικόνας μας πραγματώνει ξεχωριστά στο ίδιο του το σώμα και στον κλασσικό κόσμο την κβαντική ορθογωνιότητα, ενώ και τα δύο κύτταρα της εικόνας μας μαζί εκφράζουν επίσης της κβαντκή ορθογωνιότητα στον κλασσικό κόσμο μας. Επομένως η κβαντική κατάσταση μιας ταυτόχρονης «υπέρθεσης» «φωτεινότηταςσκότους», «καταρρέει» σε δύο ξεχωριστές καταστάσεις «φωτεινότητας» και «σκότους», λόγω της αντιστοιχίας της κβαντικής κατάστασης «υπέρθεσης» με τον «έξω» μακρόκοσμο σύμφωνα με τον Σχολή της Κοπενγχάγης. Μια άλλη μορφή ορθογωνιότητας θα μπορούσε να θεωρηθεί και η εξής: Το σκοτεινό μέρος (off) είναι ευαίσθητο στο φώς (on), ενώ το μέρος που φωτίζεται (on) είναι ευαίσθητο στο σκότος (οff). Ήτοι όταν ένα μέρος του κυττάρου «ζεί» την «φωτεινότητα», καθίσταται ταυτόχρονα ευαίσθητο στο σκότος (φαινόμενο «ορθογωνιότητας»), ενώ όταν «ζεί» το «σκότος» καθίσταται ταυτόχρονα «ευαίσθητο» στην «φωτεινότητα» (φαινόμενο «ορθογωνιότητας»). Στην παρακάτω εικόνα, αυτό που απεικονίζεται συγκεκριμένα, είναι το «οπτικό πεδίο» ενός κυττάρου του αμφιβληστροειδούς χιτώνα, το οποίο βρίσκεται σε μια κβαντική κατάσταση ταυτόχρονου «φωτεινότητας-σκότους» (luminocity-darkness) (βλ. παρακάτω για την αντίστοιχη κατάσταση μεταξύ δύο «αντιθέτων»-χρωμάτων).
656
Κβαντικός Μηχανισμός στην «Παράπλευρη Αναστολή»
Εικ.1. Το φαινόμενο της «Παράπλευρης αναστολής» (Lateral Inhibition) της «φωτεινότητας»«σκότους». Το «οπτικό πεδίο» ενός κυττάρου του αμφιβληστροειδούς χιτώνα, το οποίο βρίσκεται σε μια κβαντική κατάσταση ταυτόχρονου «φωτεινότητας-σκότους», η οποία «καταρρέει» σε μια μόνο κατάσταση on, ή off.
Στην παραπάνω εικόνα διαπιστώνουμε ότι το κύτταρο ευρίσκεται κατ αρχάς ταυτόχρονα σε δύο επάλληλες και ορθογώνιες ενεργειακές καταστάσεις «κβαντικής υπέρθεσης» on-off «φωτεινότητας»-«σκότους» (superposition of luminocity-darkness). Όταν φωτίζεται (διεγείρεται) το κέντρο του οπτικού πεδίου ενός κυττάρου (ραβδίου) σε φώς («φωτεινότητα»-on), η περιφέρειά του οπτικού του πεδίου καθίσταται «μηδιεγέρσιμη» στο φώς («σκότος»-off) κι αντίστροφα. Η αρχική κβαντική της ταυτόχρονης υπέρθεση «καταρρέει» κάθε φορά που το οπτικό πεδίου του κυττάρου φωτίζεται στο ένα μέρος του. Με τον τρόπο αυτό το κύτταρο «αντιλαμβάνεται» (ή «ζεί») κάθε φορά τις δύο καταστάσεις φωτεινότητας-σκότους ξεχωριστά, με τρόπο που η μία αποκλείει την άλλη. Η «κατάρρευση» της κβαντικής ταυτόχρονης υπέρθεσης, εκφράζει το φαινόμενο της «ορθογωνιότητας» μεταξύ των δύο κβαντικών καταστάσεων του κυττάρου (φωτεινότητα-σκότος). Ο παραπάνω εξ «αποστάσεως» αμοιβαίος αποκλεισμός της μιας κατάστασης από την άλλη (φαινόμενο της «ορθογωνιότητας» μεταξύ των δύο
657
ΠΕΡΙΛΗΨΗ κβαντικών καταστάσεων on-off) αντιστοιχεί στο νοητικό πείραμα των EinsteinPodolsky-Rosen (EPR), των ανισοτήτων Βell και του πειράματος Aspen, ανισότητες, που αναφέρονται στο φαινόμενο των «περιπλεγμένων» καταστάσεων της κβαντικής φυσικής, σύμφωνα με το οποίο, εκδηλώνεται μια «μη-τοπική» ταυτόχρονη αλληλοεπίδραση μεταξύ δύο «αντιθέτων spin» του ιδίου φωτονίου (αντίστοιχα καταστάσεων on- off του κυττάρου). Το εκπληκτικό συμπέρασμα του παραπάνω φαινομένου, είναι ότι το φαινόμενο της «παράπλευρης αναστολής» που περιγράψαμε δεν περιορίζεται μόνο στα κύτταρα του αμφιβληστροειδούς, αλλά εκδηλώνεται και στα αντίστοιχα εγκεφαλικά κέντρα της όρασης, στα οποία τελικά γίνεται αντιληπτό το παραπάνω φαινόμενο. Το παραπάνω φαινόμενο τεκμηριώνει ότι και η αντίληψη της «φωτεινότητας-σκότους» -δηλ. η λειτουργία των «ραβδίων» (rods) –υπακούει σε κβαντικούς κανόνες, όπως και τα «κωνία» (cones) τα οποία είναι υπεύθυνα για την αντίληψη των χρωμάτων.Δεν υπάρχει βέβαια μέχρι τώρα βιβλιογραφική τεκμηρίωση της κβαντικής λειτουργίας των ραβδίων (rods) και της λειτουργικής των χημικής ουσίας retinal- κατά τρόπο παρόμοιο με την κβαντική λειτουργία των κωνίων και της λειτουργικής των χημικής ουσίας rhodopsin. Είναι η τεκμηρίωση αυτή μια ακόμα πρόκληση στην ανθρώπινη φυσιολογία.
Ένας παρόμοιος με τον προηγούμενο κβαντικός μηχανισμός διέπει και την αντίληψη των αντιθέτων χρωμάτων από το ανθρώπινο μάτι. «Αντίθετα» είναι τα χρώματα τα οποία αντιστοιχούν στις τρείς κβαντικές καταστάσεις υπέρθεσης της Rhodopsin, ήτοι το μπλέ, πράσινο και κόκκινο. Τα χρώματα αυτά μιγνυόμενα ανά δύο με την κατάλληλη αναλογία δίδουν «μαύρο» χρώμα («μηδενικό» χρώμα). Π.χ, το πράσινο και το κόκκινο είναι «αντίθετα» χρώματα. Από τον παραπάνω ορισμό των «αντιθέτων» χρωμάτων καθίσταται σαφές ότι η «συνύπαρξή» των (δηλ. η «μίξη» των) εκφράζει το αποτέλεσμα μιας κατάστασης Κβαντικής «ορθογωνιότητας» μεταξύ των, ήτοι το «μαύρο» («μηδενικό») χρώμα (βλ. επόμενη εικόνα):
658
Κβαντικός μηχανισμός στην «Παράπλευρη Αναστολή»
Εικ.2. Θεωρετικό Μοντέλο. Το φαινόμενο της «Παράπλευρης αναστολής» (Lateral Inhibition) των «αντιθέτων» χρωμάτων. Π.χ. στην πάνω εικόνα, ένα κίτρινο χρώμα (585 nm) (το κίτρινο αποτελείται από 50% κόκκινο+ 50% πράσινο χρώμα) ευρισκόμενο μέσα σε ένα περιβάλλον κόκκινου χρώματος (650 nm), προσλαμβάνεται από το νευρικό μας (οπτικό μας) σύστημα σαν το «συμπληρωματικό» του κόκκινου χρώματος, δηλ. σαν «πράσινο» (500 nm).
659
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Evandro Agazzi: «Probability in the Sciences»: Kluwer Academic Publishers P.M. Duffieux: «The Fourier Transform and Its Application in Optics», John Wiley & Sons, Inc.,2nd Ed. ECOOSA 90-Quantum Optics (proceedings of thw european conference on optics, optical systems and apllications held in Rome, Italy, 7-9 November 1990. Ed. By M. Bertolotti and E.R. Pike, IOP Publishing Ltd. 1991 R.P.Feynman, H.T. Yura: «The Theory of Fundamental Processes, W.A.Benjamin, Inc., 1961 M.Francon: «Optical Image Formation and Processing», Academic Press, 1979 Joseph W. Goodman: «Ιntroduction to Fourier Optics, McGraw-Hill Book Co. Herman Haken, Hans Christopher Wolf: «Molecular Physics and Elements of Quantum Chemistry», Springer, 1995 Louis Harris, Arthur L. Loeb: «Introduction to (quantum) wave mechanisms», McGraw-Hill Book Company, Inc. David O. Hayward: «Quantum Mechanics for Chemists», Royal Society of Chemistry, 2003 P.L. Knight, L. Allen: Concepts of Quantum Optics: Pergamon Press. David Marr : Vision: W.H.Freeman and Co. San Francisco, 1980 Lawrence Mertz: «Τransformations in Optics», John Wiley & Sons, Inc. Paul J. Nahin : «Φαντασικές Ιστορίες» εδκ. Κάτοπτρο, 1η έκδοση, 2004, Κεφ.3.9, σελ.77-119, Κεφ.5.5 (σελ. 165-178, Κεφ.6.2 (σελ.186-189), Κεφ.7 (σελ.236-278), Παράρτημα Α (σελ.283-286). Kurt Nassau: «The Physics and Chemistry of Color», 2nd Ed.. John Wiley & Sons, Inc. Roger Penrose: «The Shadows of thw Mind», Oxford University Press, 1994 &. «Σκιές του Νού» του Roger Penrose , εκδ. Γκοβόστη, 1997 Roger Pensore : «Σκιές του Νού» (Shadows of the Mind), 2η εκδ. Γκοβόστη, Αθήναι 1977, κεφ. 6.10 (σελ.427-430), κεφ. 6.12 (σελ. 432-441, κεφ.7.8 (σελ.477-480), κεφ.7.10 (σελ.483-485). Karl R. Popper: «Quantum Theory and thw Schism in Physics, W.W.Bartley III, Erwin Schrodinger : «What is Life?» εκδ. Cambringe University Press 1962 & «Τι είναι η ζωή?» εκδ. «Κωσταράκη» 1995. Raymond A. Serway, Clement J. Moses, Curt A. Moyer : «Modern Physics» 2nd E d., Saunders College Publishing, 1999 James Stewart : Calculus, 4th edition, Books/Cole Publishing Co., NY. «Τrigonometry»: Appendix D, p.A24-A31, «Complex Numbers»: Appendix G, p.A48A55 Bernd Thaller: «Visual Quantum Mechanics», Springer 1995 Raymond G. Wilson: «Fourier Series and Optical Trnsform Technics In Contemporary Optics: John Wiley & Sons, Inc.
660