數學與我

數學與我 所選書目： 《醉漢走路》 《博士熱愛的算式》 《爺爺的證明題》 在眾多科目中，數學是我們較喜歡的科目，而數學這門科目又包含了許多主 題，如：數論、幾何、機率等等。這次我們挑的三本書涵蓋這些主題，每本都跟 我們的生活息息相關──機率是否真的能左右我們的命運？每個數字的存在是 否蘊含著特殊的意義？一門選修數學課是否能校準一個人未來的發展？「數學」 究竟在我們的生活中扮演著甚麼角色？ 「機率」 ，和數學其他的項目不同，與我們的生活有著極大的關係， 《醉 漢走路》這本書更是印證了我的想法。生命的輪廓就像燭火，隨著各式各樣的隨 機事件不停的向新的方向伸展，再加上我們做出的反應，就決定了每個人的命 運。就像在這本書中的每個例子，不管是以前或是現在，數學的發展正是因為我 們對生活中大大小小的事情抱持著疑惑，為了想要了解，而研究出來的方法罷了。 在第二章中，卡尼曼和特弗斯基針對人們對機率的直覺〈敏感度〉做了一項 研究，研究顯示：人們在面對眾多的可能性時普遍認為，兩件事同時發生的機率 比其中單一事件發生的機率來的高。但這是違反邏輯和機率的法則的。為了驗證 這是否只是單純的巧合，我自己也做了一次實驗，不過我將實驗分為三種方式： 一、和書本內的方法完全相同 二、將可能發生的事件的排列順序改變〈將有相關的排在一起〉 三、事先告知「兩件事同時發生的機率不會大於單一事件發生的機率」此項法則 雖然我實驗的人數不多〈每組 20 人〉 ，但最後得到的結果卻相差不遠。或許 是人們潛意識中都有著「在其中一種可能性發生的情況下，再次發生另一種可能 性的機率就會提高」的這種想法吧，尤其是第二組的實驗，我認為應該是因為相 關的可能性擺在一起，因此不知不覺中加深了他們的這種念頭。但是反過來說， 就像第三組的實驗，縱使事先告知了此項法則，仍有幾位實驗者忽略了。就像書 裡所說的，我們有時太過依賴我們的直覺，往往只看到了表面就下了判斷，算是 人們共有的通病吧！ 另一項讓我較注意的是第六章的「貝氏判斷」 ，如何在同時在有其他條件發 生的前提下，評估某個事件發生的機率？在高中的課程中，這被稱為「條件機 率」 ，當 A 事件發生時，B 事件發生的機率和當 B 事件發生時，A 事件發生的機 率兩者是不同的，想起這點當初曾經讓剛開始接觸機率的我傷透腦筋，想了好久 也想不清兩者之間的差異，更不知道這項法則究竟有什麼意義？直到現在讀到了 本書後我才發覺，原來我們平常生活中早已做出了許多次的「貝氏判斷」 ，就像 許多陰謀論一樣，其實都是訴諸這種邏輯上的誤解──也就是把「假如有陰謀， 所以才會發生這些事件」的機率和「假如發生了許多事件，因此有某種陰謀」的 機率給混為一談了。話雖如此我覺得「機率」真的是很有趣，單單只是事件發生 的前後順序不同，就會改變整體的機率，讓人不仔細思考都不行！

《博士熱愛的算式》雖然是本薄薄的小說，但它的內容卻不亞於其他較厚的 小說，短短的 234 頁，道出的卻是人間不可或缺的“愛”，在平淡的字眼與生活 中，就可以讓我們感受到隱含在其中無法言喻的情感。作者用不同於一般人的角 度看數學，使數學世界變得不那麼令人厭惡，也使那些討厭、害怕數學的人，更 願意理解、接納數學這大千世界。 書中的博士在幾年前因為一場車禍使記憶僅剩短短的八十分鐘，因此對於發 生過的事總是很快就忘了，也因此，他才能夠以發現的驚奇，讚嘆著生活中看似 無趣的數字，將它們都變得像是自然界中剛被發現的無人知曉的定理。有一天， 一位 2 月 20 日出生的女管家帶著頭頂平坦的兒子，來到這位帶著第 284 號腕表 的博士家，才讓他們因相遇而激盪出彼此美好的能量。220、284，看似平凡的兩 個數字，在博士的眼裡卻是美妙的，博士循循善誘的請管家將 220 與 284 因數分 解得到的數字〈除了本身〉全部相加，得到的和卻是彼此，原來這是一對緊緊相 依的「友誼數」 ，就連管家也不禁被它所吸引。 書中的重點是某個能夠將“愛”展現的最貼切的公式〈歐拉公式：eiπ + 1= ，有一次寡婦與那位管家爭吵時，寡婦因為博士突兀的寫下此公式而不吵了， 0〉 可見這公式多有魔力。剛開始我看到時也很納悶，寡婦為什麼突然停止爭吵？這 個公式怎麼長的這麼奇怪？ e 的右上方竟然是 i 跟 π 的乘積？最弔詭的是，加上 １就會等於０，好像在變魔術一樣。但是經過書中平淡的內容洗禮後，我漸漸認 為這本書真符合這個漂亮的公式。這個公式之所以為博士的最愛，是因為它可以 驗證愛的永恆。在我看來，前面那頭重腳輕的符號，就好像代表著世界上不完美、 不友善的一切，因為 e 是無限小數，所以也可以說是地球上的萬事萬物，可為什 麼加了１一切就歸於 0 呢？“0”代表著空無與平靜，加了１之後竟然會產生這 麼大的變化，讓一切歸於“無”，因此這又說明了一點：“１”在此公式代表著 能夠感化一切的“愛”。有了屬於自己的這番概念之後，我發覺到“愛”竟然能 用一個這樣簡單的公式被形容的這麼貼切生動，連自己都因此被數學的這一小小 角落所震驚，而我也深刻體會到，博士為什麼會如此熱愛這簡單而神祕的公式了。 數學看似只是一種工具，用來計算並輔助科學發展。然而在《爺爺的證明題》 的維傑‧薩尼眼中，數學可以作為審視世界萬物的方法，如同宗教信仰一般，作 為行事準則。維傑以邏輯和理性思考看待迷信的宗教，卻觸犯小鎮的瀆神法。幾 十年後，維傑的孫子拉維選修無限課程，再一次的接觸數學的美麗，卻也同樣面 臨和他爺爺當初一樣的情形：數學及生活中絕對確定性的問題。 維傑認為數學的確定性可適用到人類的所有知識，但這理論卻受到來審判的 泰勒法官挑戰。在監牢裡兩人交流激盪出的火花，堪比爵士音樂的美麗，拉維所 上的無限課程也是，無數個證明對照著無數個一對一映照，歸謬證法緩緩的展 開，那便是朵綻放的花兒。 在這之前我不敢承認數學是個令人驚豔的事物。過去，我只是在感受解題的 樂趣，從未去享受數學的本質。甚至於幾何的美我也不曾發覺，方與圓之中又有 甚麼樣的秘密藏著，我沒發現呢？

非歐幾何學煩惱了幾千年，使最聰明的數學家頭髮花白，如今祖孫兩人也面 臨同樣的問題，絕對確定性是否存在，令他們不得不去懷疑自身的信念及選擇。 至此，我也在想，當你我信奉的基本信條被證明不對或不存在之時，例如上帝被 證明不存在之時，你我該怎麼辦。原理島的觀測證實了歐氏幾何第五設準本質上 可能有誤，對大多數數學家而言，若歐氏幾何不真實或錯誤，那還有甚麼公理能 夠相信，既然沒有甚麼可以相信，那還有甚麼意義嗎？ 「我無法相信一個這麼美麗的東西是不真實的。」這是書中一名牧師所說 的，也是維傑所說過的。這美麗的東西指的是信仰亦是數學，當你不相信這數學 是真實的，那做數學可就沒有意義。而宗教信仰也是，當你不相信神或上帝的存 在，那信教又有甚麼意義。雖然上帝或歐氏第五設準可能不真實或不存在，但就 另一個層面來講，人們相信，祂便會存在。 雖然我不相信大多數的宗教信仰，但我總認為在這世界裡，有種規則或者某 種力量牽引著宇宙運作、掌控萬物的生存甚或者引導著你我的相遇。也許，它的 一部份就是由數學所組成的。 總的來說， 「數學」實在是一門令人欲罷不能的科目，雖然有些人覺得它很 困難之類的，但我認為它卻是與我們的生活最接近的！數學不單單是協助我們生 活的好幫手，更可以是我們看世界的工具。穿越了時間與空間，連接著我們的， 正是數學！