善變的思維 所選書目：[數學奧林匹亞特訓班的一年：從奧林匹亞競賽看資優生特質與數學 之美]、[數學女孩─費馬最後定理]、[溫柔數學史] ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------思考角度與結局 一個題目，不只一種解題方式。同樣的，不同的人處理同一件事情時，結果 往往不盡相同，人類最特別的事莫過於此！ 高度的思考能力使人類位在食物鏈的頂端，然而，每個人的想法都不一樣， 這就是所謂的「獨特性」。對於相同的事物提問，不同的思考角度會造就不一樣 的結局。 如果有人取消了原本預定的航班，結果該航班飛機失事，物理學家問：「它 是在什麼樣的環境下，受到什麼樣的外力而失事的？」 ，社會學家會問 : 「今年 飛機的失事率是多少？」 ，人類學家則會問 : 「在文明的演進中，飛機的發明是 好是壞？」儘管問題有千種萬種，卻鮮少有人會問 : 「在那班被你取消的飛機， 究竟是誰頂替了你的位置？」 與時漸進 一連串的思考可能由許多人、不同地區，甚至不同時代接力完成，而知識是 解決問題的工具。隨著時代演進，工具會更多、更新、更有效率，在思考問題上 有更多的幫助，雖然有時會出現意外的插曲(如三次方程通解中，卡丹諾與塔爾 塔利亞的恩仇)，但不可否認的是，現今數學上的成就，都是同心協力、承先啟 後而完成的。被視為「代數化的幾何學」的三角學，其弦的概念可追溯到托勒密 的著作，之後阿拉伯和歐洲因為天文和航海術的突飛猛進，正弦、餘弦等新概念 導入三角學，才逐漸變成今日的面貌，但其實托勒密的正弦與三角學所提到的正 弦(半弦)有很大的出入，其中將「一個角的正弦是其倍角所對弦的一半」定義出 來的正是印度人！可見思路能夠聯繫於不同的時空。 統整與融合 在圓周率—— 的探討中，從最早埃及人蘭德紙莎草文書中「化圓為方」的 思維，經過希臘的阿基米德及托勒密、中國的祖沖之和印度阿耶波多等學者的探 索，最後文藝復興後期萊布尼茲以無窮級數表示之，並在蘭伯特加以證明 是無
理數後，現代數學則注重以超級電腦逼近準確值。這樣一個思維的推演，是經歷 千年的技術與思路交織下淬煉而成。 到了近代，證明費馬最後定理的經過，直讓人不禁驚嘆 : 一項事情的成功 是需要經過很多的機緣與努力。如果當時費馬沒有在書頁一角寫下這個定理；如 果沒有人發現寫下定理的那本書；如果沒有「谷山—志村猜想」的出現……甚至 如果當時威爾斯引述的許多古今中外的理論少了一個，證明便不會成功。由此可 知，這一連串無可言喻的因素，造就了最後的成果。啊！奇妙的世界啊！就連當 時費馬本人能否真的證明出自己寫下的定理，後人都無從知曉。 數學在生活上大體是歸於統整的能力，無論是在分配工作、打報告、整理資 料、演講……都需要數學方面的能力，更別提一般的東西價格計算與買賣方面， 數學的應用並非只侷限於局部，而是早已融入在我們的生活當中。在數學演進史 上，所謂的「統整」 ，有時也引發了「融合」 ，就是將整理出來的資訊結合成新的 事物。例如 : 笛卡兒將幾何與代數結合在一起，顯示形狀也能用方程式來表示。 微積分的發展則與牛頓與萊布尼茲有關，他們找到了幾何物件的邊界與其內在特 性的關聯。無理數的概念，最主要是源於畢達格拉斯的學生希帕索斯探討直角三 角形。而所謂的「谷山—志村猜想」，更是結合了橢圓曲線與模形式，它指出， 每一個包含有理係數的有理橢圓曲線都有一個相對應的有理模形式，因此若在某 個領域的問題，就可以轉換成另一個領域來討論，則問題可能因此變得簡單，儘 管這個猜想未能完全證明(已證明與費馬最後定理有關)，這種一體兩面的實用性， 常為許多數學家所稱揚。 「融合」的產生，源自於不同以往的思考角度，這令人聯想到一個有趣的故 事，和著名的匈牙利裔美國數學家馮諾伊曼(John von Neumann)的計算能力有關 : 兩列火車在同一條筆直的軌道以相同的固定速率相向而行，最初相距 100 公里， 火車駛速為每小時 50 公里，假設火車之間有一隻蒼蠅，以固定速率每小時 75 公 里折返於兩個火車頭之間，一碰到火車便立即往反方向飛行。試問 : 當火車相 撞的那一剎那，這隻蒼蠅來來回回，共飛了多少距離？ 馮諾伊曼回答 : 「75 公里。」有人問他怎麼算的時候，他回答 : 「我當然 是用無窮級數。」發問者並沒有意識到他的解法並非最好的，反而口沫橫飛地解 釋馮諾伊曼怎麼計算著蒼蠅的飛行距離，因為距離越來越短，分別是 60,12,2.4,0.48……。這些無窮數列的和就是蒼蠅飛行的總距離，也就是 75 公里。 一般不懂無窮級數的人顯然難以理解，因此有一個更精巧的解法。兩列火車在一 小時後相撞，蒼蠅正好飛了一小時，就是 75 公里。這不是很巧妙嗎？ 在解謎的過程中，總有些解法非常美妙而充滿創意，過程如同經歷一段旅程
最後到達目的地。一些缺乏學術性的垂直思考人物，卻常發現最快、最漂亮的解 法。一如質數的不規則性，數學也因為這些無跡可循的數字醞釀出獨特的美學。 思考三要素——觀察、提問與選擇 「觀察」是激發思考的出發點之一，對於自己無法理解、參悟的現象，開始 思考出各種解釋，如浪漫的希臘人在為星斗譜出一篇篇神話傳奇的同時，另一方 面，他們發展出高度的天文學，歐幾里得的幾何原本與丟番圖的數論，見證數學 與天文學之間共榮共存，而幾何學也相應成為希臘數學的主流，然而著重的目標、 方向不同，結果也會大不相同，希臘將數學定義在不含數值的幾何學，使希臘幾 何學深深影響後世的幾何發展，卻也將充滿數字的日用數學定義為「次科學」， 其中的不平衡，最終使得希臘幾何學失去生機，也使代數學少有發展─所幸中世 紀歐洲的興盛貿易，使代數學漸受重視，後來韋達和笛卡兒更將其發展至成熟。 我們思考問題時，常常執著於「解答」，當面對一個未知的領域時，除了最 終的答案外，也應該尋找出「問題」，若非如此，則一切的運算、推演都無法執 行，在這樣的領域中尋找出問題，就能讓思路聚焦，往「所求」慢慢逼近，一如 費馬最後定理證明時，我們需要將其和「谷山-志村猜想」結合，而這樣的問題 如何被提出，也考驗著人類的智慧，可見找出問題是思考中十分關鍵的一環。 人類思考問題的過程中，常需要從眾多的思維中，選擇最精闢的一個，再舉 一問題為例：在三邊長皆為自然數的直角三角形中，其面積是否可能為完全平方 數？ 許多人會直觀的利用 a、b、c 解題，再把面積以其關係式示之，到了下一步， 思路開始分歧，開始從浩瀚的世界中抽取元素，慢慢逼近所求，最後會有一條思 路把未知數減元，再一路代換，然後用歐拉的無窮遞減法發現答案是否定的，在 這樣的過程中，摸索了世界的奧妙，畢式定理和無窮遞減法似乎是兩條永無相交 的平行線，而人類的思路就這樣構成一座座橋梁…… 終章 這樣的過程往往被人冠上「神奇」 、 「不可思議」等形容詞，是的，最關鍵的 那條思路要被尋得，例如一條輔助線、一次代換、一個統整看起來都是那麼神秘， 看似毫無道理的一次行動，卻隱藏著通往所求的那條解題之道。 綜觀自古到今的數學世界，問題的範疇是廣博的，小至需要靈機一動的蒼蠅 問題，大至如費馬最後定理般長久困擾數學家們的猜想或命題，都需要這樣一條
關鍵思維輔助，才能從一片荒蕪之中種出數學理論的豐碩果實，而思路最奧妙之 處，莫過於人類從這樣的範圍間思考，進而架構出數學世界，解決問題，並把更 具有發展性的問題留給後世，等待下一條神奇思路…… 參考文獻: Sarah Flannery，David Flannery(民 90)數學小魔女，天下文化