고재형 지음
Math Media
2014년 8월 31일 초판 1쇄 펴냄 지은이 고재형 펴낸곳 환일고 펴낸이 홍승강 등록일 2010년 10월 9일 주소 120-836 서울 영등포구 여의도동 b-1005 전화 070) 7590- 7810 이메일 korman2002@naver.com
creative 수학
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머리말 먼저 이 책을 쓰게 된 계기는 내가 어렸을 땐 창의력 수학 문제도 열심히 풀고 닌텐도 ds 게임으로 출시된 ‘레이튼 교수와 이상한 마을’ 이란 게임을 하면서 창 의력을 길렀었다. 그런데, 요즘 학업과 바쁜 일상으로 인해 창의력과는 담을 쌓고 살고 있는 것 같아 그 점 이 나 자신에게 안타까웠다. 그 안타까운 점이 생각이 나서 이 책에 창의력 수 학에 대한 문제와 문제 접근 방법에 대한 생각을 여 러분과 의논함으로써 조금이나마 안타까운 점을 해소 하고자 한다. 수학은 외우는 학문이 아닌 해결하는 학문인만큼, 창의력은 그냥 어른들이 강조하는 항목 이 아닌 학업이나 인생에서의 성공적인 삶을 위해 꼭 필요하다고 할 수 있다. 이 책에서는 먼저 수학에 대한 개념 및 현재 우리가 학교에서 배우는 수학에서 벗어나 진짜 수학에 대한 내 생각을 말하고자 한다. 그리고, 여러분들과 진짜 수학 문제를 풀어봄으로써 조금 더 수학이란 학문에 다가가보고자 한다.
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목차 Ⅰ. about 수학 Ⅱ. 같이 해보자 창의력 Ⅲ. 창의력 관련 추천 도서 Ⅳ. 맺는 말 - 5 -
Ⅰ. about 수학 (1) 수학의 정의 수학에 대해서 깊은 고찰과 탐구를 하기 위해서는 진 짜 수학이 무엇인가, 수학에 대해서 탐구해보아야 한 다. 그것을 알아보기 위해 모 포털사이트에 수학을 검색 해보았다. 수학 : <수학> 수량 및 공간의 성질에 관하여 연구 하는 학문. 대수학, 기하학, 해석학 및 이를 응용하는 학문을 통틀어 이르는 말이다. 수학의 정의는 이러하다. 그럼 이제 독자들은 여기 서 의문이 들 것이다. ‘어, 수학이 하나의 학문이 아 니었나?’. 그렇다, 수학은 하나의 학문이 아니라 대수 학, 기하학. 해석학 이 세 가지 학문을 통틀어서 수 학이라고 한다. 그렇다면 대수학, 기하학, 해석학 이 것들은 무엇일까? 역시 검색해보았다.
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대수학 : <수학> 개개의 숫자 대신에 숫자를 대표 하는 일반적인 문자를 사용하여 수의 관계, 성질, 계산 법칙 따위를 연구하는 학문. 현 재는 덧셈이나 곱셈 같은 요소 간의 결합이 정의된 집합, 즉 대수계를 연구하는 학문도 포괄한다. 여기서 우리는 ‘숫자를 대표하는 일반적인 문자’ 라는 표현에 주목할 필요가 있다. 결국, 대수학이란 우리가 배우는 n의 배수임을 증명하는 문제나 방정식 같은 유형인 것이다. 그렇다면, 기하학의 정의는 무엇일까? 기하학 : <수학> 도형 및 공간의 성질에 대하여 연 구하는 학문. 기하학이란 도형을 이용해서 도형에 관한 유형의 문 제를 푸는 학문을 말한다. 결국, 기하학이란 우리가 수학경시대회에서 자주 쓰는 공원점 문제나 메넬라우 스의 정리 체바의 정리 문제 등의 문제가 해당하는 것이다. 수학경시대회에서는 기하학 문제가 상당히 많이 출제되고 있다. 그렇다면, 마지막으로 해석학의 정의는 무엇일까? 역 시 다시 한 번 포털사이트에 질문을 해보았다. - 7 -
해석학 : <수학> 대수학과 기하학에 대하여, 함수의 연속성에 관한 성질을 미분 및 적분의 개념 을 기초로 하여 연구하는 수학. 미적분학, 미분 방정식론, 적분 방정식론, 집합론, 실 함수론, 복소수 함수론 따위가 있다. 해석학은 우리가 고등학교 교육과정에서 볼 수 있는 미분과 적분 등을 말한다. 해석학이란 앞서 기하학과 대수학에서 배웠던 학문들을 미분과 적분등으로 해석 하는 학문이다. 그렇다면, 우리가 학교 교육과정에서 배우는 수학은 일부의 대수학과 정말 극히 일부의 기하 그리고 해석 학 정도인 것이다. 하지만, 내가 생각하기에 진짜 매 력을 느낄 수 있는 수학은 교육과정 외에 있다고 생 각한다. 그럼, 지금부터 나와 함께 진정한 수학의 세 계로 빠지자.
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(2) 창의적 사고 다음 Ⅱ단원부터는 여러분과 나는 창의력 수학 문제 에 대해 풀어보겠다. 그러나 창의력 수학 문제는 많 은 사람들이 ‘진짜 수학’이라 일컬을 정도로 학교 교 육과정에서 배우는 수학은 전혀 문제를 풀이하는 데 도움이 되지 않는다. 그렇다면, 창의력 수학 문제를 풀기 위해선 어떻게 해야 하는가? 그 방법은 간단하다. 창의력 수학 문제 란 창의력을 이용하여 해결하는 수학 문제이므로 창 의력을 기르면 된다. 창의력은 창의적 사고로부터 생 겨난다. 창의적 사고를 기르기 위해서는 두 가지 방법이 있 다. 우선, 남들과 다르게 생각해보는 것이다. 그것은 미술이나 음악과 같은 예술에서도 요구되는 능력이기 도 한데, 남들과 똑같이 생각해 똑같이 행동하는 것 은 절대 창의적인 것이 아니고 나의 것이 아니다. 예 를 들어, 1+1=? 무엇일까 하는 질문에 ‘2요’라고 대 답하는 것은 창의적인 사고가 아니다. 1+1을 숫자 1 과 1이 더해지는 것으로 보는 것이 아니라 물방울 한 방울과 물방울 한 방울이 더해지는 것으로 본다면 답 은 다르게 나온다. 두 번째로는, 다르게 생각하는 것에서 벗어나 반대 로 생각하는 것이다. 이 세상에 정답이 굳게 정해진 것은 없다. 우리가 모두 확실하다고 믿고 있는 지동 - 9 -
설도 스티븐 호킹과 아인슈타인은 어쩌면 천동설이 맞을지도 모른다고 말했다. 결국, 모두에게 비난을 얻 을 만한 반대의 답변이 항상 오답인 것은 아니라는 얘기이다. 반대로 생각하는 것은 다르게 생각하는 것보다 훨씬 큰 효과가 있다. 다르게 생각하려고 하면 우리도 인 간이기에 아예 다른 답을 만들기보다는 비슷한 답을 만들려고 한다. 하지만, 반대로 생각하라고 할 경우에 우리는 전혀 다른 방법을 생각하게 된다. 그 발상을 발전시켜가는 과정에서 우리는 창의력을 얻는 것이 다.
참고 : 메타 철학 연구소
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Ⅱ. 같이 해보자 창의력 1 단계 퍼즐 2부터 6까지의 숫자를 한 번씩만 사용해서 직선상의 숫자의 합이 각각 13이 되도록 만드세요.
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2 단계 퍼즐 동물원에 펭귄과 허스키 우리가 나란히 붙어있습니다. 두 동물을 합치면 마리 수는 72마리, 다리 수는 200개입니다. 펭귄과 허 스키는 각각 몇 마리 씩 있을까요?
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3 단계 퍼즐 성냥개비 집이 있습니다. 성냥개비 2개만 움직여서 집의 방향을 바꾸어 주세요.
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4 단계 퍼즐 아래 표에서 물음표에 들어갈 숫자는 무엇 일까요?
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5 단계 퍼즐 아래 그림의 큰 삼각형 모양을 거꾸로 보 이게 하고 싶습니다. 작은 삼각형 3개를 옮겨서 아래, 위 방향 을 돌려주세요.
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6 단계 퍼즐 빈 삼각형 안에 들어갈 숫자는 무엇일까 요?
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7 단계 퍼즐 아래 그림에 직선을 3개 그어 각각의 무당 벌레로 분리하세요.
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8 단계 퍼즐 농부가 양, 양배추, 늑대를 데리고 강을 건너려고 합니다. 그러나 배에는 농부와 위 세 가지 물건 중 하나만 태울 수 있습 니다. 그런데 농부가 없으면 늑대는 양을 먹고, 양은 양배추를 먹습니다. 어떻게 하 면 모두 강을 건널 수 있을까요?
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9 단계 퍼즐 아래 그림 속 과일을 정사각형 2개로 각각의 과일로 분리하세요.
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10 단계 퍼즐 300ml 비커와 500ml 비커가 2개 있습니 다. 이 비커 두 개를 이용하여 400 ml 물 을 만드세요.
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11 단계 퍼즐 사탕가게 주인이 속이 보이지 않는 상자 3 개를 받았습니다. 하나에는 딸기 맛 사탕이 다른 하나에는 포도 맛 사탕이, 나머지 하 나에는 딸기 맛과 포도 맛 사탕이 섞여 있 습니다. 각 상자에는 딸기 맛, 포도 맛, 혼 합이라고 이름표가 붙어 있는데 가게 주인 은 이름표가 모두 잘못 붙여져 있다고 합니 다. 상자 속 내용물을 확인하기 위해서는 최소한 몇 번 사탕을 꺼내 봐야 할까요?
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12 단계 퍼즐
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13 단계 퍼즐
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14단계 퍼즐
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Ⅲ. 창의력 관련 추천도서
1. 상위 1%가 즐기는 창의수학퍼즐 1000
미국 워크맨 출판사의 『The Big Book of Brain Games』의 한국어 번역판으로 전 세계적으로 50만 권이 넘게 팔린 수학 퍼즐책의 베스트셀러이자, 전 세계 20여 개 언어로 출간된 월드 스테디셀러. 이 책 은 멀게는 수천 년 전의 고대 이집트 시대의 퍼즐부 터 가깝게는 우주선을 이용한 현대의 퍼즐까지 인간 의 역사에서 만들어낸 모든 퍼즐의 유형을 담고 있으 며, 동시에 기하학, 그래프와 네트워크, 곡선과 원, 도형과 다각형, 패턴, 논리학과 확률, 위상학, 과학, 지각 등 창의력을 자극하는 다양한 분야의 퍼즐이 천 문제나 담겨있어 가히 퍼즐책의 백과사전이라고 할 - 25 -
수 있다. 흥미롭고 깊이 있는 각각의 문제를 풀다보 면 ‘피타고라스 정리’, ‘매듭론’, ‘하노이 탑’, ‘완전수’, ‘램지이론’, ‘뫼비우스의 띠’ 등 그 퍼즐 분야와 관련 된 여러 수학 이론들과 새로운 학설들도 자연스럽게 이해할 수 있다. 덧붙여 각 퍼즐 문제마다 난이도를 표기한 것도 이 책의 또 다른 장점이다. 번호 순서대 로 퍼즐 문제를 풀어가다가 문제가 어렵다 싶으면 난 이도 레벨 1짜리 문제들부터 풀어보고, 실력을 쌓아 점차적으로 레벨 10짜리 문제들까지 도전해보는 것 이 이 책의 진정한 즐거움이다. 본문에 실린 퍼즐 문제들은 평범한 수준의 답을 요구 하는 평이한 수준의 퍼즐이 아니다. 각각의 문제에 주어진 여러 가지 조건을 토대로, 창의적으로 생각하 고 함정을 피해 한 번 더 풀어야 하는 서술형 고난이 도 문제들이 많다. 이런 점 때문에 이 책은 초등학생 들의 영재교육원 대비 교재로, 중ㆍ고등학생들의 수 학올림피아드, 물리올림피아드 등의 각종 올림피아드 시험 대비 서적으로 활용이 가능하며, 특히 학업 스 트레스를 풀고 동시에 학교 성적도 올릴 수 있는 오 락참고서로서의 기능도 있는 점이 가장 큰 장점이다.
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2. IQ148을 위한 멘사 퍼즐
내 안에 잠든 천재성을 깨우는 '멘사 퍼즐' 세트 영국멘사의 핵심 멤버들이 만든 IQ 148을 위한 멘사 의 원전 <멘사 퍼즐> 세트. 'Carlton Books'에서 펴 낸 멘사 퍼즐 시리즈로, 이 시리즈는 영국멘사의 핵 심 멤버들이 위트, 시각, 논리, 수학 등 다양한 분야 에 걸쳐 천재성을 개발하고 발전시킬 목적으로 출간 한 것이다. 멘사 퍼즐은 겉으로 별 상관없어 보이는 것들의 논리적 연관성과 감추어진 의미를 찾아내는 일종의 암호풀기 놀이이다. - 27 -
멘사 퍼즐은 아주 어렵거나 심각한 문제들이 아니다. 어지럽게 얽힌 도형, 뜻을 알 수 없는 알쏭달쏭한 문 자와 숫자들은 수학 원리를 바탕으로 하고 있지만, 수학 문제라기보다는 호기심을 자극하는 놀이에 가깝 다. 지적인 두뇌유희를 통해 아이들에게는 수리와 논 리 훈련이, 청소년과 성인에게는 유쾌한 여가 활동이, 노년층에는 치매를 방지하는 건강 게임이 되어주는 멘사 퍼즐을 만날 수 있다. ☞ 멘사(MENSA) 멘사는 지능지수 상위 2% 이내(IQ 148 이상)의 사람 만 가입할 수 있는 모임이다. 1964년 영국에서 창설 되어 현재 100여 개 국에 10만여 회원이 있고, 멘사 코리아는 1996년에 문을 열었다. 머리 쓰기를 유독 좋아하는 멘사 회원들은 지적 유희로 퍼즐을 풀며 영 재성을 확인하고 있다.
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3. 멘사수학퍼즐(초등학생을 위한)
재미있게 수학을 공부하고 싶어 하는 초등학생을 위 한 책이다. 티라노사우루스를 만나고, 우주선을 쏘고, 코뿔소를 쫓고, 이상한 별에서 동전을 세면서 아이들 은 갖가지 별나고 깜짝 놀랄 만한 모험을 하게 된다. 퍼즐 속 다양한 수학 미션을 풀면서 더하기, 빼기, 곱 하기, 나누기 등 계산 훈련을 하고 홀수, 짝수, 배수, 최대공약수 등 수학적 개념을 이해하게 된다. 또 규칙을 찾고 등식을 만들며 사고력을 신장시키고 조각난 숫자를 맞춰보며 공간 지각력을 키우게 된다. 퍼즐은 조금만 생각하면 쉽게 풀리는 레벨 A부터 머 리가 지끈거리는 레벨 F까지 여섯 단계로 구성되어 있다. 수학 원리를 바탕으로 한 퍼즐을 풀다보면 지 루하고 까다롭기만 했던 수학 공부가 즐거워질 것이 다. - 29 -
참고자료 1. 상위 1%가 즐기는 창의수학퍼즐 1000 2. IQ148을 위한 멘사 퍼즐 3. 예스 24 4. 인터넷 교보문고 5. 알라딘 6. 네이버 국어사전 7. 이화창의교육센터
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Ⅳ. 맺음말 이 책을 다 읽고 책에 있는 문제를 푼 여러분은 이제 창의력 수학의 세계에 발을 디딘 것이다. 이 책을 읽음 으로써 창의력 수학이 무엇인가에 대해선 어느 정도 깨달음이 생겼을 것이다. 하지만, 이 정도로 창의력 수 학을 마스터했다고 자부할 순 없을 것이다. 이 책에서 추천해준 추천도서를 빌리거나 구매해 읽고 문제를 품 으로써 창의력 수학의 강자가 되길 기원한다. 해설을 원하시는 분은 korman2002@naver.com으로 요청하시 기 바란다. 끝으로, 이 책을 쓰시는데 많은 도움을 주신 이화창의 교육센터에 정말 큰 감사를 드리며, 메타 철학 연구소 또한 감사드립니다. 그리고, 이 책을 그동안 제가 창의 력 수학을 하는데 큰 도움을 주신 이임주 선생님께 바 칩니다.
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이 책은 마포구청 논술지원비로 제작되었습니다.