1. Gravitación Universal

GRAVITACIÓN UNIVERSAL

MOMENTO DE UNA FUERZA (RESPECTO A UN PUNTO)

FUERZA Es toda causa que modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo o que produce en él una deformación

𝐹 = 𝑚 · 𝑎; [𝑁] 𝑘𝑔 · 𝑚 𝑁= 2 𝑠

MOMENTO DE UNA FUERZA A es un punto fijo del espacio determinado por un vector de posición 𝒓 𝑭 es una fuerza que está aplicada sobre el punto A

Se llama MOMENTO de una fuerza 𝑭 respecto a un punto fijo O, que es el origen del sistema de referencia, al producto vectorial de 𝒓 × 𝑭

MOMENTO DE UNA FUERZA Se indica con 𝑴 y es un vector.

𝑴=𝒓×𝑭

Unidades SI: N·m

MÓDULO: 𝑴 = 𝒓 · 𝑭 · 𝐬𝐢𝐧 𝜶 DIRECCIÓN: perpendicular a 𝒓 𝒚 𝑭.

SENTIDO: calculamos el determinante. 𝒊 𝑴 = 𝒓𝒙 𝑭𝒙

𝒋 𝒓𝒚 𝑭𝒚

𝒌 𝒓𝒛 𝑭𝒛

EJEMPLO 𝑭 = 𝒊 − 𝟑𝒋 + 𝟐𝒌 𝑵 𝑷 = 𝟏, 𝟎, 𝟒 𝒎 → 𝒓 = 𝒊 + 𝟒𝒌 𝒎 𝒊 𝒋 𝒌 𝑴 = 𝒓 × 𝑭 = 𝟏 𝟎 𝟒 = −𝟑𝒌 + 𝟒𝒋 + 𝟏𝟐𝒊 − 𝟐𝒋 = 𝟏 −𝟑 𝟐 = 𝟏𝟐𝒊 + 𝟐𝒋 − 𝟑𝒌 𝑵 · 𝒎 𝟏𝟐 𝑴= 𝟐 𝑵·𝒎 −𝟑

MOMENTO DE INERCIA

MOMENTO DE INERCIA Es la tendencia de un cuerpo a mantener el estado de inercia o de rotación.

Depende de la geometría de cada cuerpo y se calcula como:

𝐼=

𝑟 2 𝑑𝑚

MOMENTO DE INERCIA Para masas puntuales que giran en torno a su eje, resolviendo la integral, se obtiene:

đ??ź = đ?‘šđ?‘&#x;

2

Que es vĂĄlido para planetas y satĂŠlites debido a que en nuestras aproximaciones podemos considerarlos masas puntuales.

MOMENTO ANGULAR

MOMENTO LINEAL Si consideramos una PART�CULA de las siguientes características: m → Masa � → vector de posición respecto a O � → vector velocidad de la partícula �: momento lineal o cantidad de movimiento.

�=�¡�

MOMENTO ANGULAR Es el producto vectorial del vector de posición por la cantidad de movimiento.

𝑳 = 𝒓 × 𝒑 = 𝒓 × 𝒎 · 𝒗 = 𝒎 · 𝒓 × 𝒗 = 𝑰𝝎 𝟐 𝒎 Unidades SI: 𝑲𝒈 · 𝒔 MÓDULO: 𝑳 = 𝒓 · 𝒑 · 𝐬𝐢𝐧 𝜶 = 𝒓 · 𝒎 · 𝒗 · 𝐬𝐢𝐧 𝜶 DIRECCIÓN: perpendicular al plano formado por 𝒓 𝒚 𝒗.

SENTIDO: calculamos el determinante.

CONSERVACIĂ“N DE đ??ż Para que se conserve una magnitud fĂ­sica en el tiempo se tiene que cumplir que la derivada primera de dicha cantidad respecto del tiempo sea nula. En nuestro caso:

đ?’…đ?‘ł = đ?&#x;Ž ⇔ đ?‘ł = đ?’„đ?’•đ?’† đ?’…đ?’• 2 đ?’…đ?‘ł đ?’… đ?’“ Ă— đ?’Ž ¡ đ?’— đ?’…đ?’“ đ?’…(đ?’Ž ¡ đ?’—) = = Ă—đ?’ŽÂˇđ?’—+đ?’“Ă— đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• đ?’…đ?’• 1

CONSERVACIÓN DE 𝐿 𝒅𝒓 1. 𝒅𝒕

× 𝒎 · 𝒗 = 𝒎 · 𝒗 × 𝒗 = 𝟎 Obviamente 𝒗 ∥ 𝒗

2. 𝒓 ×

𝒅(𝒎·𝒗) 𝒅𝒕

=𝒓×

𝒅𝒎 𝒅𝒕

·𝒗+𝒎·

𝒅𝒗 𝒅𝒕

=𝒓×𝑭=𝑴

𝒅𝑳 =𝑴 𝒅𝒕

=𝒓×𝒎·𝒂=

CONSERVACIĂ“N DE đ??ż ďƒ˜ En un sistema, la variaciĂłn del momento angular de una partĂ­cula con respecto al tiempo es igual al momento de la fuerza resultante sobre la partĂ­cula. ďƒ˜ En un sistema aislado en el que se cumple que đ?‘´ = đ?&#x;Ž, el MOMENTO ANGULAR SE CONSERVA, es decir, su mĂłdulo, direcciĂłn y sentido son constantes en el tiempo.

1) đ?‘­ = đ?&#x;Ž

2) đ?’“ = đ?&#x;Ž

3) đ?’“ đ?’š đ?‘­ misma direcciĂłn

CONSERVACIĂ“N DE đ??ż ďƒ˜ Cuando đ?‘ł = đ?’„đ?’•đ?’† , la trayectoria de la partĂ­cula es plana porque si la trayectoria cambiara de plano, como la direcciĂłn de đ?‘ł es perpendicular a dicho plano, esta tambiĂŠn cambiarĂ­a y ya no se conservarĂ­a el momento angular. ďƒ˜ El sentido de giro no puede cambiar ya que esto implicarĂ­a que el sentido del momento angular se invertirĂ­a.

FUERZAS CENTRALES

FUERZAS CENTRALES Una fuerza es central cuando su dirección pasa siempre por un punto fijo.

Cuando el vector posición, 𝒓, del punto donde se aplica una fuerza es paralelo al vector de la fuerza, 𝑭, independientemente del lugar elegido, a esta fuerza se la denomina CENTRAL. Ejemplos:

Fuerza elástica.

Fuerza gravitatoria.

Tensión de una cuerda girando.

CARACTERĂ?STICAS ďƒ˜ Son fuerzas conservativas: se les asocia una EnergĂ­a Potencial (que sĂłlo depende de la posiciĂłn). ďƒ˜ Las fuerzas centrales pueden dar lugar a dos situaciones:  Fuentes: el sentido es hacia fuera. Fuerzas positivas.  Sumideros: el sentido es hacia dentro. Fuerzas negativas. ďƒ˜ Se conserva el momento angular (đ??ż = đ?‘? đ?‘Ąđ?‘’ ) ya que en este tipo de fuerzas siempre se cumple que đ?‘&#x; đ?‘Ś đ??š tienen la misma direcciĂłn.

LEYES DE KEPLER

LEY DE LAS ÓRBITAS 1. Los planetas, al girar alrededor del Sol describen órbitas elípticas planas, estando el Sol en uno de sus focos.

da = distancia del sol al afelio dp = distancia del sol al perihelio a = semieje mayor de la elipse 2a = eje mayor de la elipse

Distancia media del planeta al Sol:

𝑎=

𝑑𝑎+𝑑𝑝 2

LEY DE LAS Ă REAS 2. Los vectores de posiciĂłn que proporcionan la posiciĂłn del planeta barren ĂĄreas iguales en tiempos iguales. (Se conserva đ?‘ł; tanto en mĂłdulo (mayor velocidad cerca del Sol) como en direcciĂłn (Ăłrbita plana).

La velocidad es mayor en las posiciones mĂĄs cercanas al sol.

đ?‘…đ?‘ƒ ¡ đ?‘‰đ?‘ƒ = đ?‘…đ??´ ¡ đ?‘‰đ??´ ∆đ?‘† = đ?‘? đ?‘Ąđ?‘’ ∆đ?‘Ą 1 1 đ?‘† = đ?‘… ¡ ∆đ?‘Ľ = đ?‘Ł ¡ ∆đ?‘Ą ¡ đ?‘… 2 2 ∆đ?‘† 12đ?‘… ¡ đ?‘Ł ¡ ∆đ?‘Ą 1 = = đ?‘… ¡ đ?‘Ł = đ?‘? đ?‘Ąđ?‘’ ∆đ?‘Ą ∆đ?‘Ą 2

đ?‘… ¡ đ?‘Ł = đ?‘? đ?‘Ąđ?‘’ (la constante depende del sistema concreto)

LEY DE LOS PERĂ?ODOS 3. El cociente entre el cuadrado del periodo y el cubo del radio es constante para todos los planetas que giran alrededor de una estrella.

đ?‘‡2 đ?‘Ąđ?‘’ = đ?‘? đ?‘…3 (la constante cambia en funciĂłn del sistema) T → periodo de revoluciĂłn del planeta alrededor de la estrella sobre la que gira.

R → distancia media a la estrella (lo conocimos antes como “a�)

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Cuando un planeta está girando, la fuerza que existe es la Fuerza Centrípeta:

𝑚 · 𝑣2 𝐹𝐶 = 𝑅 𝒆 2𝜋𝑅 𝑣= = 𝒕 𝑇

𝑚 · 4𝜋 2 · 𝑅2 𝑚·𝑅 2 𝐹𝐶 = = 4𝜋 2 𝑇 ·𝑅 𝑇2

𝑇2 𝑡𝑒 = 𝐾; 𝑇 2 = 𝐾 · 𝑅 3 Teniendo en cuenta la 3ª ley de Kepler: = 𝑐 𝑅3 Obtenemos:

𝑚·𝑅 2 𝐹𝐶 = 4𝜋 𝐾 · 𝑅3

4𝜋 2 · 𝑚 𝐹𝐶 = 𝐾 · 𝑅2

LEY DE LA GRAVITACIĂ“N UNIVERSAL La FUERZA es, directamente proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia medida desde el Sol. AdemĂĄs, la constante K depende de la masa del Sol: 4đ?œ‹2 đ??ž

= đ?‘€ ¡ đ??ş donde G es la Constante de GravitaciĂłn Universal. ′

đ??ş = 6 67 ¡

−11 đ?‘ ¡đ?‘š2 10 đ??žđ?‘”2

đ?‘€Âˇđ?‘š đ??šđ??ś = đ??ş ¡ đ?‘…2

LEY DE LA GRAVITACIĂ“N UNIVERSAL ÂĄÂĄÂĄOjo!!!

Estamos hablando de una fuerza central de tipo SUMIDERO, sabemos que este tipo de fuerzas tienen signo negativo, pero ÂĄÂĄÂĄsĂłlo si estamos escribiendo la fuerza vectorialmente!!!

đ?‘˘đ?‘&#x; es un vector unitario (mĂłdulo 1) en direcciĂłn radial. Por lo tanto, la representaciĂłn vectorial de la fuerza centrĂ­peta serĂĄ:

đ?‘€Âˇđ?‘š đ??š = −đ??ş ¡ ¡ đ?‘˘đ?‘&#x; 2 đ?‘…

EJEMPLO La galaxia Andrómeda dista 2 · 1022 𝑚 de la nuestra. La masa de la Vía Láctea es de 6 · 1041 𝐾𝑔 mientras que la masa de Andrómeda es 7 · 1041 𝐾𝑔. Tratando a ambas galaxias como partículas (debido a la distancia entre ellas), determina la fuerza gravitatoria de Andrómeda sobre la Vía Láctea.

EJEMPLO La galaxia AndrĂłmeda dista 2 ¡ 1022 đ?‘š de la nuestra. La masa de la VĂ­a LĂĄctea es de 6 ¡ 1041 đ??žđ?‘” mientras que la masa de AndrĂłmeda es 7 ¡ 1041 đ??žđ?‘”. Tratando a ambas galaxias como partĂ­culas (debido a la distancia entre ellas), determina la fuerza gravitatoria de AndrĂłmeda sobre la VĂ­a LĂĄctea.

đ?‘šÂˇđ?‘€ đ??š = −đ??ş ¡ đ?‘˘đ?‘&#x; 2 đ?‘…

đ??š = −6′ 67 ¡ 10−11

đ?‘ ¡đ?‘š2 đ??žđ?‘”2

6 ¡ 1041 đ??žđ?‘” ¡ 7 ¡ 1041 đ??žđ?‘” đ?‘˘đ?‘&#x; 22 2 2 2 ¡ 10 đ?‘š

đ??š = −7′ 0035 ¡ 1028 đ?‘˘đ?‘&#x; đ?‘

Principio de superposiciĂłn ďƒ˜ La interacciĂłn entre dos masas es independiente de la presencia de otra tercera. ďƒ˜ Cuando tenemos un sistema con varias partĂ­culas, la fuerza de atracciĂłn que sufre cada una de ellas es la suma vectorial de las fuerzas gravitatorias a las que se ve sometida.

đ??š5 = đ??š1 + đ??š2 + đ??š3 + đ??š4

đ??š=

đ??šđ?‘–

EJEMPLO Cuatro masas de 1 Kg cada una estĂĄn situadas en los vĂŠrtices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcula la fuerza gravitatoria que ejercen 3 de las cuatro masas sobre la cuarta.

EJEMPLO Cuatro masas de 1 Kg cada una estĂĄn situadas en los vĂŠrtices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcula la fuerza gravitatoria que ejercen 3 de las cuatro masas sobre la cuarta.

Voy a calcular la fuerza sobre m1. Para ello sitĂşo dicha masa en el centro del sistema de referencia. Para calcular đ??š aplico el PRINCIPIO DE SUPERPOSICIĂ“N: đ??š = đ??š1 + đ??š2 + đ??š3 + đ??š4 đ?‘š1 đ?‘š2 = 1đ?‘š 2 đ?‘š đ?‘š đ??ş 1 24 = 1đ?‘š đ?‘š1 đ?‘š3

đ??š2 = đ??ş

6′ 67 ¡ 10−11 đ?‘

đ??š2 = 6′ 67 ¡ 10−11 đ?‘– đ?‘

Componente x

đ??š4 =

6′ 67 ¡ 10−11 đ?‘

đ??š4 = 6′ 67 ¡ 10−11 đ?‘— đ?‘

Componente y

đ??š3 = đ??ş

2đ?‘š

2

= 3′ 34 ¡ 10−11 đ?‘ Componente x mĂĄs componente y

EJEMPLO Tenemos que calcular la descomposiciĂłn de la fuerza. Al ser la diagonal de un cuadrado el ĂĄngulo que forma đ??š3 con el eje de coordenadas es de 45Âş: đ??š3đ?‘Ľ = đ??š3 ¡ cos 45đ?‘œ = 2′ 35 ¡ 10−11 đ?‘ đ??š3đ?‘Ś = đ??š3 ¡ sin 45đ?‘œ = 2′ 35 ¡ 10−11 đ?‘ đ??š3 = 2′ 35 ¡ 10−11 đ?‘– + 2′ 35 ¡ 10−11 đ?‘— đ?‘ Una vez que tenemos los valores de las componentes de todas las fuerzas que se aplican sobre la masa m1 podemos completar la suma vectorial: đ??š = 6′ 67 ¡ 10−11 đ?‘– đ?‘ + 2′ 35 ¡ 10−11 đ?‘– + 2′ 35 ¡ 10−11 đ?‘— đ?‘ + đ??š4 = 6′ 67 ¡ 10−11 đ?‘— đ?‘

đ??š = (9′ 02 ¡ 10−11 đ?‘– + 9′02 ¡ 10−11 đ?‘— )đ?‘ đ??š = 2 ¡ 9′ 02 ¡ 10−11 đ?‘ = 1′ 276 ¡ 10−11 đ?‘