Premio ABA 2008 - Mención Especial II by ABA Argentina

4º Premio - Mención Especial •••

GEOMETRÍA DINÁMICA EN UN CURSO DEL PROFESORADO DE MATEMÁTICA José Salvador Carrasco es Profesor en Matemática y Cosmografía, Profesor en Física y Licenciado en Enseñanza de las Ciencias (orientación en Didáctica de la Matemática). Ejerce como Profesor de Matemática en las ESB 301 y ESB 308 de la ciudad de Bahía Blanca. Profesor de Topología y Matemática Aplicada en el Profesorado en Matemática del Instituto Superior Juan XXIII de la ciudad de Bahía Blanca.

JOSÉ SALVADOR CARRASCO

Patricia Esther Peralta es Profesora en Matemática y Cosmografía y Licenciada en Educación (orientación de Enseñanza de la Matemática y en Diseño, coordinación y evaluación de la enseñanza). Ejerce como Profesora de Matemática en el Colegio del Solar de la ciudad de Bahía Blanca. Profesora de Análisis Matemático, Fundamentos de la Matemática y Metodología de la Investigación en Educación Matemática en el Instituto Superior Juan XXIII de la ciudad de Bahía Blanca. Profesora de Perspectiva Pedagógico Didáctica II en el Instituto Superior Avanza, también de la ciudad de Bahía Blanca. PATRICIA ESTHER PERALTA

ÍNDICE ••• 1. Resumen................................................................................................. 3 2. Diagnóstico situacional de la problemática y fundamentos teóricos....... 4 2.1. Las TIC y el contexto educativo ..................................................... 4 2.2. La enseñanza de la geometría.......................................................... 6 3. La propuesta didáctica ........................................................................... 8 3.1. Consideraciones generales............................................................... 8 3.2. Expectativas de logro .................................................................... 10 3.3. Objetivos específicos..................................................................... 10 3.4. Metodología ................................................................................... 11 4. Descripción, análisis y evaluación de resultados provisorios ............. 11 4.1. Diagnóstico inicial ......................................................................... 11 4.2. Interacciones sujeto-objeto-instrumento........................................ 12 4.3. Argumentaciones ........................................................................... 14 4.4. Situaciones no previstas ................................................................ 15 5. Conclusiones........................................................................................ 18 6. Anexo I - Encuesta inicial ................................................................... 19 7. Anexo II - Guías .................................................................................. 23 8. Bibliografía .......................................................................................... 31

1. RESUMEN ••• La experiencia que se presenta en este trabajo combina la enseñanza de la geometría y el uso de las nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TIC), en particular el video educativo y el software de geometría dinámica. La propuesta se está poniendo en práctica en un instituto terciario, bajo la modalidad de taller, con alumnos del último año del Profesorado en Matemática. Intervienen en la planificación, diagramación, seguimiento y evaluación del proyecto los docentes a cargo de los espacios curriculares: Matemática Aplicada y Metodología de la Investigación Educativa en Matemática. Se pueden identificar, como germen de esta propuesta, la preocupación de los autores de la misma ante los siguientes indicadores provenientes de la formación docente: • Escasa información sobre el uso, manejo, implementación y evaluación de las TIC como recursos para la gestión de la enseñanza de la matemática. • Exigua presencia del tratamiento de la geometría métrica elemental, tanto en los espacios curriculares de asignaturas específicas como de aquellas abocadas a la formación didáctica y metodológica. • Endeble articulación horizontal y vertical entre los espacios curriculares de la carrera, con predominio de un modelo de enseñanza de transmisión verbal. Se espera que la propuesta brinde un espacio de reflexión y mejoramiento para la formación de docentes estratégicos y críticos.

2. DIAGNÓSTICO SITUACIONAL DE LA PROBLEMÁTICA Y FUNDAMENTOS TEÓRICOS ••• 2.1. Las TIC y el contexto educativo La fuerte presencia de la tecnología en diferentes actividades humanas es, hoy, incuestionable. La sociedad usa –y en muchos casos abusa– de los medios tecnológicos para todo tipo de tarea manual, intelectual, artística, etc. Este fenómeno no posee su correlato inmediato en el sistema educativo. En la actualidad, muchos son los centros escolares de los distintos niveles del sistema que poseen variados recursos tecnológicos. Sin embargo, las actividades áulicas se basan, primordialmente, en el lápiz y papel, acompañadas de muchas fotocopias y pocos libros de texto. Por su parte, el docente continúa erigiéndose como transmisor y organizador de la información. Al respecto, es posible señalar, como orientadoras, las siguientes ideas que sustentan este trabajo: a) Los medios tecnológicos deben estar en función de los objetivos que se persiguen: “Los medios –cualquier tipo de medio– son simplemente instrumentos curriculares, que deberán ser movilizados por el profesor cuando el alcance de los objetivos y la situación de instrucción lo justifique. (...) Los efectos que se consigan con los medios no dependerán directamente de su potencialidad y carga tecnológica, sino de la interacción de una serie de variables de las cuales una de las más significativas es la estrategia de instrucción que apliquemos sobre el mismo.”1 b) De la lectura del párrafo anterior se desprende la importancia que, sobre cualquier otro aspecto, tiene la formación inicial y el perfeccio1. Julio Cabero y otros, La piedra angular para la incorporación de los medios audiovisuales, informáticos y nuevas tecnologías en los contextos educativos: la formación y el perfeccionamiento del profesorado, Universidades de Sevilla, Huelva y Extremadura (España).

namiento continuo del profesorado para la integración de las nuevas TIC en los procesos de enseñanza y de aprendizaje. El docente no deja de ser un integrante irreemplazable del proceso de enseñar a aprender. Sin embargo, es de esperar que los nuevos medios disponibles lo ayuden a desprenderse de aquella función netamente transmisora. “De manera que, frente a la función tradicional de transmisor y estructurador de la información, llegará a desarrollar otras más novedosas e interesantes, como la de diseñador de situaciones mediadas de aprendizajes, el diagnóstico de las habilidades y necesidades de los estudiantes o la reformulación y adaptación de los proyectos.”2 c) Es un hecho que muchas de las ideas, concepciones y creencias de los estudiantes de profesorado proceden de sus experiencias como alumnos, y de las teorías recibidas. Además, en general, los profesores son propicios a enseñar de la misma manera en que fueron enseñados. Si se tiene en cuenta que el alumno que ingresa a la carrera docente ha estado enfrentado durante 12 años a un modelo mayormente tradicional-transmisivo (con una escasa o nula presencia de medios tecnológicos), se percibe el importantísimo rol que les cabe a los centros de formación docente para provocar un cambio en tal sentido. “(Es) importante el efecto que tiene en el buen desarrollo del proceso de formación, la coherencia y consistencia entre la forma de trabajar del formador (modelo didáctico subyacente) y la filosofía que intenta transmitir el contenido del programa (modelo didáctico explícito).”3 d) Una de las ideas que subyacen respecto de la actividad matemática es aquella que la considera como ajena al empleo de cualquier herramienta. Más aún, “hay una tendencia que supone que las matemáticas son resultado de un intelecto ‘puro’, sin relación con alguna forma de tecnología.”4 2. Julio Cabero y otros, op. cit. 3. Pilar Azcárate Goded, Estrategias metodológicas para la formación de maestros, Huelva, Universidad de Huelva, 1999, p. 23. 4. Luis Moreno Armella, “Instrumentos matemáticos computacionales”, en Revista Eduteka, agosto 2001.

Es así como la progresiva presencia de las TIC en las escuelas ha instalado en el centro del debate la problemática de la mediación instrumental, a punto tal que ha permitido revitalizar las reflexiones sobre el conocimiento producido y la tecnología empleada. Por lo tanto, es importante tener en cuenta estos aspectos de la mediación instrumental al diseñar estrategias de enseñanza y de aprendizaje. e) Por último, es dable destacar el papel que juega la posibilidad de analizar un mismo problema matemático desde distintos marcos: funcional, aritmético, algebraico, etc. Las computadoras y los programas de procesamiento simbólico y gráfico -así como los de geometría dinámica- permiten incorporar un nuevo recurso: el de las representaciones ejecutables. “Esto significa (...) que una vez instalados en el lenguaje del medio ambiente computacional, las nuevas representaciones son procesables, manipulables.”5 Han aparecido, de esta manera, una suerte de nuevos micromundos en los cuales los objetos matemáticos se materializan, y que indudablemente ayudan a enriquecer las relaciones sujeto-objeto matemático. 2.2. La enseñanza de la geometría Una mirada sobre los conocimientos de los alumnos de la Educación Secundaria Básica (ESB), Polimodal y del Profesorado de Matemática muestra la desaparición gradual y creciente de la geometría de sus bagajes de saberes matemáticos. Conceptos erróneos, estrategias precarias –cuando no cierta aversión hacia cualquier aspecto relacionado con la geometría– son síntomas que permiten diagnosticar el estado de abandono actual de esta rama de la matemática. Ya desde hace varios años, se asiste a la evaporación de la geometría. Hoy, la misma geometría plana surge como islote en algunas realidades áulicas, sumergida en un vasto océano de aritmética y álgebra. “La Geometría es, quizá, la más utilizada de las ramas de la mate5. Luis Moreno Armella, op. cit.

mática por el hombre común. Continuamente este hombre se desplaza entre cuerpos, actúa sobre ellos, los transforma, hace apreciaciones métricas, mide, establece relaciones, se imagina en el interior de la casa que desea habitar, penetra mentalmente en el interior del motor de su automóvil...”6 Y sin embargo, dentro de la clase de matemática... Si se focaliza la mirada en los alumnos de la carrera de Profesorado en Matemática para la EGB y el Polimodal, el espectro aquí es muy amplio y rico en ejemplos que atestiguan la pobreza conceptual de las últimas generaciones de egresados de la educación secundaria en el ámbito de la geometría. En los profesorados de la provincia de Buenos Aires, los alumnos cursan Álgebra y Geometría I (primer año), Álgebra y Geometría II (segundo año), Geometría III (cuarto año). En las dos primeras, como consecuencia de la carga horaria asignada, el álgebra tiene prioridad sobre la geometría, y si bien existen otras asignaturas destinadas a la didáctica de la matemática, en éstas se hace hincapié en aspectos metodológicos y no de contenidos. Por otra parte, las denominadas materias específicas parecerían reforzar el modelo transmisor, contra el modelo constructivista que se promueve desde las didácticas. Los resultados, después de cuatro años de estudio, no son prometedores. Y se manifiestan desde las mismas prácticas (residencias): “Cuando los alumnos tienen bajos conocimientos del contenido, evidencian dificultades para realizar cambios didácticos; evitan enseñar los temas que no dominan; muestran inseguridad y falta de confianza ante situaciones no previstas, como preguntas espontáneas; refuerzan los errores conceptuales; tienen mayor dependencia del libro de texto, tanto en la instrucción como en la evaluación; y dependen más de la memorización de la información.”7

6. María Guasco y otros, Geometría, su enseñanza, Buenos Aires, PROCIENCIA., 1996, p. 182. 7. Lorenzo Blanco y Luis Contreras. Un modelo formativo de maestros de primaria en el área de matemáticas en el ámbito de la geometría, en: Aportaciones a la formación inicial de maestros en el área de matemáticas: una mirada a la práctica docente, Cáceres, Universidad de Extremadura, 2002, p. 100.

3. LA PROPUESTA DIDÁCTICA ••• 3.1. Consideraciones generales a) La propuesta combina el empleo de videos educativos y software de geometría dinámica en un cuarto curso del Profesorado de Matemática para el Tercer Ciclo de la EGB y el Polimodal (Provincia de Buenos Aires), y su temática central es “movimientos en el plano”. b) Los espacios curriculares intervinientes son los de Matemática Aplicada y Metodología de la Investigación Educativa en Matemática. c) La modalidad de trabajo de los alumnos se encuadra en la de Taller, con actividades presenciales y no presenciales. El tiempo asignado para las primeras es de 120 minutos semanales si se emplean dos módulos de uno de los espacios curriculares, o 240 minutos si se emplean los asignados a ambos espacios curriculares. El tiempo estimado para las actividades no presenciales es de 240 minutos semanales. d) La experiencia se está llevando a cabo en el Instituto Superior Juan XXIII, de la ciudad de Bahía Blanca (Provincia de Buenos Aires), con un curso de doce alumnos del Profesorado en Matemática para la EGB y el Polimodal. e) Se cuenta con un gabinete informático con una PC por alumno, con disquetera y lectograbadora de CD, con un sistema operativo Windows XP y conexión permanente a Internet. Respecto de lo anterior, la disponibilidad tecnológica existente permite extenderla a una población mucho mayor. f) El software empleado relacionado con la propuesta es: Programa base para todas las actividades: GeoGebra. Versión 3.0.4.0. Freeware con descarga gratuita desde http://www.geogebra.org/cms/

Programas complementarios: • Regla y Compás. Versión 6.4. Freeware con descarga gratuita desde: http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/. • Wingeom. Freeware con descarga gratuita desde: http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html) g) La proyección y análisis de los videos se lleva a cabo, indistintamente, en el salón de clase habitual (donde se cuenta con TV y reproductor de VHS o reproductor de DVD) o en la sala de informática, ya que los mismos se encuentran en los sitios http://www.youtube.com/ y http://www.dailymotion.com/ (desde donde también fueron descargados y grabados en formatos que permitieran reproducirlos en PC o DVD). h) Los videos en cuestión fueron producidos por la Televisión Española, destinados al público en general, y corresponden a la serie Más por menos8, según las siguientes descripciones: Título: Movimientos en el plano Contenidos: Simetría: generalidades Traslación Giro Simetría Axial (Espejos) Simetría Rotacional Frisos Mosaicos Recubrimiento del plano con polígonos regulares Título: La geometría se hace arte Contenidos: Mosaicos musulmanes Los grupos de simetría en los mosaicos musulmanes La obra de Escher i) Para las actividades no presenciales, los alumnos cuentan con sus propias PC o con turnos de la sala de informática habilitados oportunamente. 8. Para mayor información sobre los videos de esta serie (y otras) puede consultarse la página web http://platea.pntic.mec.es/aperez4/masmenos.htm.

3.2. Expectativas de logro Atendiendo al doble rol de estudiante y profesor de los alumnos, se establecieron como expectativas de logro de la experiencia didáctica: • • • •

Proponer procesos reflexivos en el tratamiento y resolución de problemas. Brindar los marcos teóricos pertinentes que sostienen la experiencia. Lograr coherencia entre el modelo de formación y el modelo didáctico. Inculcar en los estudiantes que “enseñar matemática supone tomar una serie de decisiones de forma consciente sobre qué parte de los conocimientos enseñar, en qué momento es conveniente enseñarlos y de qué forma puede ser más adecuado tratarlos para que éstos sean aprendidos.”9 • Constituir un entorno de aprendizaje que considere la utilidad (contextualizada e integrada al currículo) de las TIC, al mismo tiempo que destaque su valor informativo, formativo, comunicativo y motivador. • Alentar al autoaprendizaje, la reflexión en y sobre la acción, y el trabajo colaborativo.

3.3. Objetivos específicos Al finalizar el Taller se espera que los alumnos: • Reconozcan, identifiquen y caractericen las transformaciones en el plano. • Apliquen transformaciones en el plano en la resolución de problemas. • Aprecien las aplicaciones sociales de la geometría y su relación con el arte y la arquitectura. • Desarrollen estrategias de resolución de problemas mediadas por un medio informático. • Perfeccionen sus habilidades manuales y visuales. • Asuman una actitud crítica y reflexiva hacia las estrategias didácticas empleadas en el taller y los marcos teóricos que las sustentan. • Analicen y empleen la bibliografía disponible sobre las investigaciones didácticas referidas a la problemática del taller. • Adquieran habilidades para la evaluación y el uso pertinente de videos didácticos. • Realicen actividades de autoaprendizaje y colaborativas. 9. Pilar Azcárate Goded, op. cit., p. 19.

3.4. Metodología Luego del diagnóstico inicial, a través de una encuesta y discusión en grupo (ver ANEXO I), se planificó un cronograma tentativo, encuentro por encuentro, con guías que orientan la labor de cada clase (ver ANEXO II), que son reformuladas de acuerdo con las dificultades con las que se enfrentaron los alumnos, y con sus propios intereses y demandas. Como podrá apreciarse a partir de las lecturas de las guías mencionadas, en su diseño se intentó: • Incluir actividades que generen conocimiento acerca de la matemática, y conocimiento curricular y didáctico. • Incorporar lecturas de especialistas sobre la temática de las TIC en contextos de aprendizaje. • Evitar el mismo patrón en la estructura y la presentación. Para cada guía (o para distintas actividades de una misma guía), se seleccionan distintas maneras de registrar las respuestas o compartir las producciones: envíos por mail, debates, exposiciones, etc.

4. DESCRIPCIÓN, ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS PROVISORIOS ••• Si bien la experiencia continúa implementándose, es posible efectuar algunas consideraciones sobre su marcha y, en especial, sobre las producciones de los alumnos. 4.1. Diagnóstico inicial A continuación se expresan, en líneas generales, los aspectos más significativos de las repuestas dadas respecto al empleo o presencia de tecnología en la clase de matemática durante la vida escolar de los alumnos. • Calculadora científica: en general no recibieron asesoramiento sobre los modelos a adquirir; no se los alentó a utilizarla (excepto en deter-

• •

•

minados temas); no realizaron actividades que exigieran un uso creativo de la misma. Libro de texto: no hubo un uso obligatorio ni periódico del mismo, como tampoco investigaciones que requirieran búsqueda bibliográfica. Incorporación de la calculadora científica: fue muy variado el espectro que muestra el año específico en que comenzó a utilizarse la calculadora científica en la educación secundaria; en cambio, en lo que respecta a las opiniones sobre el año en que, efectivamente, debería producirse, hubo una tendencia generalizada a hacerlo sobre el final de la ESB. También hubo casi unanimidad en que la incorporación de la calculadora científica debe producirse “una vez que los alumnos dominan el tema en el entorno de lápiz y papel”. Nuevas TIC en la clase de matemática: no se presenció ni participó en actividades mediadas por otra tecnología más allá de la calculadora. Formación en el profesorado: no se ha discutido la problemática de la inclusión de tecnología en la clase de matemática y hay un desconocimiento generalizado sobre si los diseños curriculares (del nivel secundario y terciario) contemplan su incorporación. Las presentaciones en Power Point fueron la única tecnología presente en algunos de los espacios curriculares de la carrera. Eje organizador de las actividades: fue equiparada la decisión de adoptar o bien la geometría o bien la resolución de problemas.

4.2. Interacciones sujeto-objeto-instrumento En primer término, es interesante señalar que en todo proceso de mediación tecnológica se pueden distinguir las interacciones sujeto-instrumento, instrumento-objeto y sujeto-objeto (mediada por el instrumento). Al examinar en detalle cualquiera de las actividades de los alumnos, desde los primeros intentos de resolución hasta la respuesta final, en las diferentes etapas sobresale una de esas interacciones, pero sin independencia total de las otras dos. Por otra parte –como una suerte de telón de fondo–, en todas estas actividades subyacen las concepciones, creencias y conocimientos previos de los estudiantes, que se hace necesario explicitar y evolucionar. Así, en los primeros pasos con el software, la interacción sujeto-instrumento parece erigirse como la más evidente. Las consultas iniciales en este sentido fue-

ron del tipo “¿Cómo hago para...?”. Sin embargo, un tipo de interacción en un entorno puede condicionar otra interacción del mismo tipo, o una de otro tipo en un entorno distinto. Por ejemplo, en un principio, los alumnos confundieron la función Ocultar con la función Borrar. Esta suerte de sinonimia entre esas dos acciones proviene, indudablemente, del trabajo en un entorno de lápiz y papel. ¿Cómo se ocultan los objetos dibujados en este entorno? En el entorno de lápiz y papel, el alumno oculta borrando lo que ha dibujado. Y esto se incorpora en el sujeto porque el medio tecnológico se instala en sus esquemas de acción. Además, una acción de este tipo, en el entorno de lápiz y papel, no provoca ningún cambio en el objeto. El sujeto puede dibujar con compás una circunferencia y luego ocultar su centro, borrándolo, y la circunferencia permanece dibujada. En el medio informático, borrar un objeto puede significar eliminar todos los que usaron a aquel para ser definidos. Además, es importante –como se señaló anteriormente– el peso que tienen las concepciones previas de los alumnos. Muchos recordaban cómo sus docentes ponían énfasis en que no debían borrar nunca ningún trazado auxiliar (arcos, circunferencias, rectas, etc.). Obviamente, esto generó un importante espacio de discusión y reflexión al respecto. ¿Cómo evaluar, en cada entorno, una construcción una vez finalizada? ¿Qué es un protocolo de construcción? Siguiendo con estas ideas, una actividad que se constituyó en una rica fuente de análisis, ya desde la Guía 1, fue la de examinar dos protocolos distintos para una misma construcción en un mismo entorno y, además, la misma construcción en un entorno de lápiz y papel. Tómese como ejemplo la Actividad 1.3, que propone construir un cuadrado a partir de su diagonal. Alumno A: Este estudiante comienza utilizando el comando Ángulo dada su amplitud. La secuencia es la siguiente. Para el ángulo BAB’, los pasos son: Marcar B Marcar A Asignar amplitud. Aparece entonces el punto B’, no así el lado AB’, que debe ser trazado por el usuario.

Este procedimiento lo repite cuatro veces. Marca, luego, los puntos de intersección C y D. Ahora bien, el problema que encuentra este estudiante es que, al intentar dejar dibujado solo el cuadrado, no puede ocultar A’C (como tampoco B’C, A’1D, B’1D). Por esta razón, traza -sobre lo hecho- los segmentos AC, CB, BD y DA. Luego puede ocultar A’C, B’C, A’1D, B’1D. Al hacer esta construcción sobre lápiz y papel, este alumno encuentra que la diferencia fundamental está en que, una vez marcados C y D, sólo debe ocultar A’C, B’C, A’1D, B’1D, borrándolos. Alumno B: este estudiante comienza con el punto medio de AB, luego la circunferencia, la recta perpendicular, los puntos de intersección E y D, y por último los lados del cuadrado. Así, este alumno encuentra que debe ocultar dos objetos: la circunferencia y la recta. Al llevar a cabo esta construcción en lápiz y papel, el alumno no encuentra diferencias fundamentales con la realizada en el entorno informático. 4.3. Argumentaciones Otra cuestión para la cual pueden utilizarse estos dos ejemplos es la de argumentación de las construcciones. ¿Por qué se asegura que el cuadrilátero obtenido es un cuadrado? Esta problemática insumió un tiempo muy importante en cada clase. Justamente, fue llamativo que –para las dos situaciones anteriores– los dos alumnos reconocieran que habían partido de triángulos rectángulos isósceles (dos

en el primer caso, cuatro en el segundo), pero que no encontraran diferencias fundamentales entre uno y otro. Sin embargo, el primer alumno partió de un lado (la hipotenusa) y los dos ángulos adyacentes, mientras que el segundo lo hizo desde dos de sus lados (catetos) y el ángulo comprendido. Obviamente, esto llevó al tratamiento de los criterios de congruencia de triángulos (es decir, la mínima información a partir de la cual es posible dibujar un determinado triángulo). 4.4. Situaciones no previstas Como se ha señalado, incorporar entornos informáticos para enseñar y aprender matemática genera nuevos desafíos para el docente, que van desde el tipo de problemas que plantea hasta el reconocimiento de la validez de los procesos cognitivos y epistemológicos de los que participan los alumnos, pasando por todas las situaciones no previstas. Tómese el problema de la Actividad 3.1. a) Dos rectas A y B se cortan con una tercera C. Construye un triángulo equilátero con el lado prefijado D de modo que sus vértices pertenezcan a las rectas A, B y C. b) Establece las condiciones de existencia del triángulo buscado. Es decir, si el problema admite una única solución, dos o más soluciones o ninguna solución. Este problema, en un entorno de lápiz y papel, tendría la siguiente posible solución: Se marca un punto A sobre la recta a. Con centro en A y radio igual a d, se marca el punto B sobre la recta b. Se traza el segmento AB, lado del triángulo equilátero. Se completa la construcción del triángulo equilátero, hallando el punto C. Es esperable que C no caiga sobre la recta c. Bastará entonces una traslación paralela a las rectas a y b del triángulo ABC hasta ubicar C sobre c.

Alumno C: Mueve el segmento d hasta ubicarlo sobre la recta b (comando Desplaza) Deja fijo el extremo derecho del segmento d sobre b, y rota el otro extremo para tratar de ubicarlo sobre la recta a, notando que la longitud del segmento varía de acuerdo con su pulso (comando Desplaza). Vuelve al inicio y repite el primer paso. Deja fijo uno de los puntos sobre la recta b, y rota el segmento hasta ubicar el otro extremo sobre la recta a pero empleando, ahora, el comando Rota en torno a un punto. Construye el triángulo equilátero (comando Polígono regular). Mueve el triángulo hasta ubicar el punto C sobre la recta c (comando Desplaza). Alumno D: Construye el triángulo equilátero sobre el segmento d (comando Polígono regular). Mueve verticalmente el triángulo hasta ubicar el lado d sobre la recta b (comando Desplazar). Toma el extremo derecho del lado d y comienza a rotarlo (comando Desplazar), observando que esto provoca que el segmento aumenta o disminuye su tamaño. Para solucionar este problema, retrocede al paso inicial y marca la longitud del segmento empleando el menú contextual (botón derecho del mouse). Repite las operaciones anteriores y con el comando Desplazar rota y mueve el triángulo hasta quedar en la posición requerida, observando que d mantenga la longitud. Es fácil observar que las tres construcciones difieren notablemente entre sí,

siendo la del Alumno C la que más puntos de semejanza posee con la prevista para el entorno de lápiz y papel. Sin embargo la descripta como Alumno D fue la que más adeptos tuvo. Aquí se puede observar claramente el micromundo que crea el entorno informático y que le permite al alumno experimentar con las representaciones ejecutables. El desplazar y rotar libremente es una posibilidad que no se da en el entorno de lápiz y papel. Otra posibilidad es volver sobre los pasos anteriores casi sin esfuerzo. Un alumno acostumbrado a resolver este tipo de problemas en el entorno de lápiz y papel tendría que poner en juego otras estrategias que le aseguren un ahorro de energía (por no decir, también, de goma de borrar y unas cuantas hojas). Seguramente, partiría de suponer el problema resuelto y analizaría la forma de desandar el camino. Esto no sucede, al menos de la misma forma, en el entorno informático. Todo lo anterior lleva a una serie de cuestiones, entre otras: ¿Qué significado y qué importancia pueden otorgárseles a las construcciones hechas? ¿Se produce una reorganización cognitiva en el alumno? ¿Es un problema apto para un entorno informático? ¿Podría reformulárselo para hacerlo apto introduciendo, por ejemplo, restricciones sobre el tipo de comando a emplear? ¿Qué acciones didácticas debe adoptar el docente frente a situaciones no previstas? ¿Puede que estas situaciones generen una suerte de trivialización de la geometría? ¿Qué concepciones se instalan en los alumnos como consecuencia de estas actividades? Sin lugar a dudas, éstas son solo algunas de las cuestiones sobre las cuales reflexionar. Habrá otras que surjan en un análisis a priori y, tal vez, muchas más en el análisis a posteriori. Como sostiene Nicolás Balacheff, la cuestión de la validez de los procesos

mentales puestos en juego y del conocimiento producido por las tecnologías computacionales aparece en el centro de la escena con un protagonismo inusitado: “La trasposición computacional y el dominio de validez epistemológica están intrínsecamente relacionados. Un tema clave de investigación en la próxima década será entender los procesos relacionados, especialmente sus características intrínsecas (las que no se modificarán con el progreso técnico), y desarrollar marcos teóricos y metodologías para la identificación de un dominio epistemológico de validez.”10

5. CONCLUSIONES ••• La incorporación de los medios informáticos en la clase de matemática plantea, por sobre todo, un gran desafío para los docentes. Es un hecho que la mera presencia del equipamiento tecnológico en la institución escolar no asegura su introducción como recurso didáctico permanente en la clase. La transposición computacional inserta en el centro de la cuestión la formación inicial y continua del profesorado. Cualquier reforma respecto de la problemática aquí planteada que no cuente con el convencimiento y preparación profesional de los docentes tiene escasas o nulas posibilidades de éxito. La propuesta presentada en este trabajo intenta incursionar en algunos aspectos del uso de las TIC y mostrar que la génesis instrumental exige de ciertos niveles de reflexión y análisis, que distan enormemente de pensar que basta con sentar a un alumno frente a un ordenador (o una pantalla de televisión) con una guía de actividades para generar cambios en su manera de hacer y apreciar la matemática. Por el contrario, conceptos como fidelidad, validez, reorganización conceptual, gestión de la clase, evaluación, etc., adquieren –dentro de esta otra forma de hacer matemática– una dimensión distinta, que reclama a los docentes y especialistas nuevos marcos teóricos y prácticos en pos de un mejor proceso de enseñar a aprender matemática. 10. Nicolás Balacheff, “Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: complejidad didáctica y expectativas”, en Gorgorio y otros (coords.), Matemáticas y educación. Retos y cambios desde una perspectiva internacional, Barcelona, Editorial Grao, 2000, p. 99.

6. ANEXO I ••• Encuesta Inicial • Enseñanza Secundaria 1. Alguna de las escuelas a las que concurriste, ¿contaba con televisión y/o reproductor de video (o DVD)? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

2. ¿Tuviste la oportunidad de presenciar en la clase de matemática algún video o película sobre algún tema afín? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ NO 2.1. En caso afirmativo, describe, si lo recuerdas, el título del video o de la película, y/o el tema central. 3. ¿En qué momento de tu trayectoria escolar comenzaste a utilizar la calculadora científica durante la clase de matemática (indica el grado o el año)? 4. ¿Te alentaron tus profesores a utilizar la calculadora? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ NO EN ALGUNAS OCASIONES (dependiendo del tema) 5. ¿Te asesoraron tus profesores sobre qué modelo de calculadora adquirir? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

6. ¿Dedicaba el profesor momentos específicos de la clase para enseñarte a usar la calculadora científica? SÍ NO EN ALGUNAS OCASIONES (dependiendo del tema)

7. ¿Te proponían tus profesores problemas que exigieran un empleo creativo de la calculadora (es decir, que fueran más allá del uso de la misma como herramienta de cálculo)? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

8. Alguna de las escuelas a las que concurriste, ¿contaba con gabinete de computación para uso de los alumnos? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

9. ¿Tuviste la oportunidad de utilizar o presenciar el uso de computadoras en la clase de matemática? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

9.1. En caso afirmativo, marca cuál o cuáles de los siguientes “software” fueron utilizados. WORD POWER POINT ENCICLOPEDIA VIRTUAL (TIPO ENCARTA) EDITOR DE ECUACIONES (Incluido en WORD) SOFTWARE MATEMÁTICO (Especificar cuál/es): OTROS (Especificar cuál/es):

EXCEL JUEGOS

10. ¿Posees computadora en tu casa? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ NO 10.1 En caso afirmativo, ¿tienes conexión a Internet? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

11. Alguna de las escuelas a las que concurriste ¿contaba con retroproyector)? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

12. ¿Tuviste la oportunidad de presenciar en la clase de matemática alguna exposición empleando retroproyector? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

13. ¿En algún año usaste, con periodicidad y en forma obligatoria, en la clase de matemática, un libro de texto (no fotocopias) o cuadernillo de actividades? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ NO 13.1 En caso negativo, ¿te asignaron, alguna vez, actividades para las cuales tuviste que recurrir a la búsqueda en un libro de texto de matemática? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

14. Coloca junto a cada uno de las siguientes temáticas un número, sin repetir, del 1 al 7, de acuerdo con la presencia (importancia o relevancia) que le dieron tus profesores a los mismos en sus clases. Considera tu enseñanza secundaria en su totalidad (no en un año específico). Asigna el 1 al más importante y 7 al menos importante. Las aclaraciones entre paréntesis son solo orientativas. ARITMÉTICA (Números, operaciones combinadas) ÁLGEBRA (Lenguaje simbólico, ecuaciones) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (A partir de la lectura e interpretación de enunciados verbales) FUNCIONES GEOMETRÍA TRIGONOMETRÍA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA • Profesorado (Hasta el tercer año incluido) 15. ¿Tuviste la oportunidad de presenciar, en alguno de los espacios de la orientación11, algún video o película sobre algún tema afín? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

11. Se consideran espacios de la orientación aquellos específicamente relacionados con la matemática (o su enseñanza).

15.1. En caso afirmativo, describe, si lo recuerdas, el título del video o de la película, y/o el tema central. 16. ¿Tuviste la oportunidad de presenciar o participar en el uso de la computadora en alguno de los espacios de la orientación? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

16.1. En caso afirmativo, marca cuál o cuáles de los siguientes “software”. WORD POWER POINT ENCICLOPEDIA VIRTUAL (TIPO ENCARTA) EDITOR DE ECUACIONES (Incluido en WORD) SOFTWARE MATEMÁTICO (Especificar cuál/es): OTROS (Especificar cuál/es):

EXCEL JUEGOS

17. ¿Recibiste formación sobre el uso didáctico de los medios tecnológicos (calculadora, software, videos, etc.)? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

18. ¿Sabes si los diseños curriculares oficiales de los espacios de la orientación se contempla la enseñanza del uso didáctico de los medios tecnológicos? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ

19. ¿Sabes si en los diseños curriculares de matemática de la provincia de Buenos Aires para la enseñanza secundaria está explícitamente contemplada la incorporación de la calculadora científica? (Tacha lo que NO corresponda) SÍ NO 19.1 En caso afirmativo, indica a partir de qué año de la educación secundaria. 20. ¿A partir de qué año de la educación secundaria consideras que debe incorporarse la calculadora científica?

21. Dejando de lado aquellas temáticas específicas (tales como trigonometría) en las cuales el uso de la calculadora científica es prácticamente imprescindible, ¿en qué momento de una secuencia didáctica consideras que debe incorporarse su uso? (Marca la opción –una sola– que consideras más cercana a tu parecer y que crees que es aplicable a la mayor cantidad de situaciones respecto de la enseñanza secundaria de la matemática). • • • •

Una vez que los alumnos dominan el tema en el entorno de lápiz y papel. Al mismo tiempo que lo aprenden en el entorno de lápiz y papel. Antes de aprenderlo en el entorno de lápiz y papel. En lugar de aprenderlo en el entorno de lápiz y papel.

22. Si tuvieras que elegir, para tu planificación anual, uno de los marcos nombrados en el ítem 14 alrededor del cual organizar todas las actividades, ¿por cuál optarías?

7. ANEXO II ••• GUÍA 1 Actividades iniciales con Software de Geometría Dinámica Comentario Incial: Mientras no se explicite lo contrario, las actividades propuestas están pensadas para ser desarrolladas sobre una pantalla en blanco, es decir sin hacer uso de los ejes cartesianos, coordenadas, cuadriculados, etc.. En otras palabras, simulando una hoja de papel en blanco en un entorno de lápiz y papel.12 ACTIVIDAD 1.1 Ingresa a los distintos programas y explora sus menúes y pantallas. Intenta algunas construcciones sencillas (recurre a la opción Ayuda). Compara las formas de hacer la misma construcción con cada programa. Toma nota de inquietudes y dudas. 12. La expresión “Entorno de lápiz y papel” hace referencia al material habitual con que el alumno trabaja en clase. Se sobreentiende que incluye los instrumentos de geometría también.

ACTIVIDAD 1.213 1) Dibuja un segmento AB 2) Construye el cuadrado ABCD sin emplear el comando Polígono. 3) Oculta todos los objetos auxiliares de manera tal que solo se observe el cuadrado. 4) Marca los puntos medios de los lados del cuadrado. 5) Marca el cuadrilátero formado por los puntos medios. 6) Toma los vértices del cuadrado grande y muévelos. Las construcciones que se realizan con software de Geometría Dinámica responden a la siguiente “filosofía”: al mover los objetos iniciales se debe mover toda la figura, manteniéndose las propiedades pedidas. 7) Justifica por qué la figura ABCD es un cuadrado. 8) Justifica por qué el cuadrilátero formado por los puntos medios es un cuadrado. ACTIVIDAD 1.3 1) Dibuja un segmento AC. 2) Construye el cuadrado ABCD (AC diagonal del cuadrado) sin emplear el comando Polígono. 3) Oculta los objetos auxiliares utilizados en la construcción. 4) Mueve la figura. 5) Justifica por qué el cuadrilátero ABCD es un cuadrado. ACTIVIDAD 1.4 d) Redacta un informe sobre semejanzas y diferencias, ventajas y desventajas que existen entre realizar las actividades 1.2 y 1.3 en un entorno de lápiz y papel y en un entorno informático. 13. Con el objeto de mantener la uniformidad de respuestas, cuando no se aclare lo contrario las actividades se desarrollarán en el entorno de GeoGebra.

ACTIVIDAD 1.5 Considerando el marco teórico que aporta la ingeniería didáctica de Michelle Artigue, analizado en Metodología de la Investigación Educativa en Matemática: a) Efectúa un análisis a priori de la Actividad 1.2. en un curso de escuela secundaria, teniendo en cuenta que la misma se realiza en un entorno informático. b) Efectúa un análisis a priori de la Actividad 1.3. en un curso de escuela secundaria, teniendo en cuenta que la misma se realiza en un entorno de lápiz y papel. GUÍA 2 Introducción En el currículo de matemática, los movimientos en el plano aparecen como uno de los temas integradores de diferentes conceptos matemáticos. Esto incluye el manejo de figuras geométricas, construcciones con regla y compás, mediciones, ángulos, vectores, etc. Con la presente guía se inicia un recorrido que permitirá adentrarse en sus aspectos fundamentales. ACTIVIDAD 2.1 a) Observa las siguientes ilustraciones descargadas de la Web.

b) Describe y caracteriza con tus propias palabras los siguiente términos: simetría, movimiento, equilibrio. c) ¿Puedes reconocer con qué aplicaciones sociales se relacionan estos conceptos (arquitectura, por ejemplo)? Cita y describe ejemplos. d) Ingresa en uno de los buscadores de Internet más conocidos (Yahoo o Google) y selecciona la opción Imágenes. Busca, por lo menos, cinco imágenes que consideres corresponden a los conceptos tratados hasta aquí. ACTIVIDAD 2.2 Movimientos en el plano. Presentación A) Se observará la introducción del video Movimientos en el Plano. Observa y escucha atentamente, ya que deberás tomar nota de los aspectos relevantes. Se detendrá la proyección para que puedas reflexionar sobre lo visto, intercambiar opiniones con tus compañeros y dar forma escrita a tus observaciones. De ser necesario se reproducirá varias veces esta parte del video. Intenta responder a lo siguiente: a) ¿Cuál es el título del programa de televisión? b) ¿Cuál es su temática? c) ¿El relator explica el por qué de la denominación del tema? d) ¿Encuentras algunas imágenes similares a las que hemos examinado en nuestro recorrido anterior? ¿Y otras que no? e) ¿Cuáles son los términos o palabras claves que se mencionan? B) Consulta bibliografía del nivel ESB (por lo menos dos textos). Toma nota del año (7º, 8º o 9º) en que se introduce este tema en la escolaridad secundaria. Cita adecuadamente la fuente bibliográfica. Haz una breve descripción de la

manera en que se introduce a los alumnos en la temática y compárala con la forma en que lo hace el video. ¿Cuáles crees que son las ventajas y desventajas de cada una? C) Ingresa a http://dewey.uab.es/pmarques/videoori.htm. Analiza lo expuesto por el autor, en particular en el apartado “Orientaciones y sugerencias para el uso didáctico de los materiales videográficos”. Reflexiona críticamente sobre la manera en que esta guía ha empleado el video. ¿Qué sugerencias o críticas harías? ¿Qué cambiarías? GUÍA 3 ACTIVIDAD 3.1 Resuelve el siguiente problema en un entorno de lápiz y papel, y luego en un entorno informático. a) Dos rectas A y B se cortan con una tercera C. Construye un triángulo equilátero con el lado prefijado D de modo que sus vértices pertenezcan a las rectas A, B y C. b) Establece las condiciones de existencia del triángulo buscado. Es decir, si el problema admite una única solución, dos o más soluciones o ninguna solución. c) ¿Empleaste algún tipo de “movimiento” para resolver el problema? ¿Puedes definirlo o caracterizarlo? ¿Qué nuevos objetos matemáticos empleas? ACTIVIDAD 3.1 Traslación (Video) Se proyecta la parte del video correspondiente a: Traslación Intenta responder a lo siguiente: a) ¿Cómo se define la traslación? b) ¿Qué conceptos matemáticos relacionados con ella ya conocías? ¿Cuáles no? Defínelos. c) Confecciona una descripción gráfica y verbal de una traslación. d) ¿Cómo simbolizarías que F es la figura original y F’ la que se obtiene como consecuencia de la traslación según el vector v ?

e) ¿Qué relación existe entre el vector v, que transforma F en F’, y el que transforma F’ en F? ¿Cómo lo simbolizarías? f) Compara tus respuestas con alguno de los textos que consultaste en la actividad anterior. Analiza, también, la manera en que se presenta el tema. ACTIVIDAD 3.2 Traslación (Software - Lápiz y Papel) 1) 2) 3) 4)

Dibuja un segmento AB y un vector no paralelo al segmento. Traslada el segmento AB según el vector considerado. ¿Qué sucede si el vector es paralelo al segmento? Analiza y compara las dos situaciones anteriores, considerando que se realizan sobre una hoja en blanco (sin rayar) y sobre una hoja cuadriculada. Describe en detalle. 5) ¿Qué sucede si consideras, ahora, la recta que contiene a los puntos A y B? ACTIVIDAD 3.3 Traslación (Software) a) b) c) d)

Dibuja un segmento AB y dos vectores no paralelos entre sí. Traslada el segmento AB según uno de los vectores. Traslada, ahora, la imagen obtenida, según el otro vector. ¿Qué vector te permite transformar directamente AB en la última imagen? ¿Qué relación guarda este último vector con los dos vectores iniciales? ¿Cómo lo simbolizarías? e) ¿Qué sucede si se invierte el orden en que se emplean los vectores iniciales? ACTIVIDAD 3.4 Traslación (Software) a) Se dan dos circunferencias C1 y C2 y una recta R. Halla una recta paralela a R tal que corte a las circunferencias dadas según dos cuerdas de igual longitud. b) Establece las condiciones de existencia. GUÍA 4 ACTIVIDAD 4.1 Para el desarrollo de esta actividad, el grupo de alumnos participantes en el

taller se dividirá en subgrupos de acuerdo con los movimientos restantes que se presentan en el video. A saber: rotación, simetría axial, simetría rotacional, frisos-mosaicos-recubrimiento del plano. Cada subgrupo diseñará una guía de aprendizaje para la temática en cuestión. La guía deberá contemplar la proyección del fragmento del video correspondiente en el momento en que se considere propicio. Deberá incluir, también, actividades para los dos entornos trabajados (lápiz y papel, y computacional), resolución de problemas, actividades de consolidación, evaluación, etc. Cada comisión dispondrá de dos encuentros, en fechas fijadas a tal fin, para presentar, de manera interactiva y participativa, sus respectivas producciones al resto de sus compañeros. ACTIVIDAD 4.2 Finalizadas las presentaciones, habrá quedado el video Movimientos en el Plano reproducido en su totalidad. Llegó el momento, entonces, de reflexionar sobre esta TIC en particular. Ingresa en las páginas: http://dewey.uab.es/pmarques/videoori.htm (visitada en la Guía 2) http://dewey.uab.es/pmarques/videoav2.htm (continuación de la anterior) Se pretende que después de la lectura: a) Clasifiques este video de acuerdo con las tipologías presentadas por el autor. b) Distingas qué funciones cumplieron los fragmentos del mismo (o el video en su totalidad) en cada una de las guías propuestas en el taller. c) Completes la Ficha de Catalogación y Evaluación de Videos que propone el autor, y de acuerdo con los criterios que él mismo establece. d) Reflexiones críticamente sobre el uso que se le ha dado al video en este taller. GUÍA 5 En esta guía generaremos un espacio para analizar los marcos conceptuales en los que se inserta el uso de las TIC y de las Tecnologías Computacionales en general, y de la enseñanza de la Matemática en particular.

Como punto de partida se consideran los siguientes textos: Luis Moreno Armella: Instrumentos matemáticos computacionales. Disponible en: http://www.eduteka.org/Tema3.php Pierre Rabardel, Los hombres y las tecnologías III. Perspectiva cognitiva de los instrumentos contemporáneos. Disponible en: http://www.ergonomia.cl/0103b.html Se sugiere también navegar por la Sección “Artículos” de la página http://www.eduteka.org/ Se aspira a que puedan producir un pequeño ensayo o monografía en la cual se analice la problemática de la mediación tecnológica y la génesis instrumental, se adopte y defienda una postura personal al respecto, y se analice en qué medida este taller logró sus objetivos. GUÍA 6 Trabajo Final En esta oportunidad se proyectará un nuevo video titulado “La Geometría se hace arte”, en el cual se analizan los mosaicos musulmanes del Palacio de la Alhambra (España) y los grabados del dibujante holandés Max Escher. Por tratarse de la última actividad del taller, y atendiendo a la temática que se trata en este video, se pretende que generes un informe a partir del cual puedas integrar de una manera creativa lo que has aprendido. Si bien se intenta que trabajes libremente, se te sugiere a efectos de orientarte sobre algunos puntos a incluir en tu presentación: • Incluir aspectos históricos y/o biográficos relacionados con los mosaicos musulmanes o la obra de Escher. • Incorporar producciones que empleen el entorno informático utilizado en el taller. Por ejemplo, la manera de generar con él algunos de los mosaicos (el Hueso, la Pajarita, el Pez Volador, etc.); o la forma de insertar un grabado de Escher para su posterior estudio con el software de geometría dinámica.

• Describir una secuencia de actividades destinada a alumnos del nivel secundario que emplee medios tecnológicos, tomando como base los recursos desarrollados en este taller. • La propuesta deberá incluir objetivos, fundamentos teóricos, medios y recursos, bibliografía, cronograma, etc.

BIBLIOGRAFÍA ••• Azcárate Goded, Pilar, Estrategias metodológicas para la formación de maestros, Huelva, Universidad de Huelva, 1999. Balacheff, Nicolas, “Entornos informáticos para la enseñanza de las matemáticas: complejidad didáctica y expectativas”, en Gorgorio y otros (coords.), Matemáticas y educación. Retos y cambios desde una perspectiva internacional, Barcelona, Editorial Grao, 2000. Bonomo, Flavia, y otros, Explorando la geometría en los Clubes Cabrí, Buenos Aires, Colección Pitágoras - Red Olímpica, 1996. Cabero, Julio, y otros, La piedra angular para la incorporación de los medios audiovisuales, informáticos y nuevas tecnologías en los contextos educativos: la formación y el perfeccionamiento del profesorado, Universidades de Sevilla, Huelva y Extremadura (España). Disponible en www.uib.es/depart/gte/rev/ec8.html Gusiev, V., y otros, Prácticas para resolver problemas matemáticos. Moscú, Editorial Mir. Moreno Armella, Luis, “Instrumentos matemáticos computacionales”, en Revista Eduteka, agosto de 2001.

Pérez Gómez, Rafael, ¡Abajo Euclides! ¡Atrevidos!, Bariloche, Seminario internacional. XX Jornadas de Resolución de Problemas. Olimpíada Matemática Argentina, 1997. Sada Allo, Manuel, Actividades interactivas con GeoGebra. Disponible en: http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/index.htm Marqués Graells, Pere, Tecnología educativa. Documentos. Disponible en: http://dewey.uab.es/pmarques/