Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-1
2
Operator และ Matrix Mechanics
เนื้อหา 2.1 Operator 2.2 Basis State 2.3 Matrix Mechanics 2.4 Expectation Value และ Uncertainty 2.5 Rotation Operator 2.6 บทสรุป 2.7 ปญหาทายบท ฟสิกสคงจะเปนเรื่องที่นาเบือ่ ถาสถานะของระบบที่เราตองการศึกษานั้นหยุดนิ่งอยูก ับที่ และไมมี ความเปลี่ยนแปลงใดๆเลย หากแตในความเปนจริงแลว quantum mechanics เต็มไปดวยการ เปลี่ยนแปลง จากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งอยางไมหยุดนิ่ง ในบทที่ 1 ที่ไดกลาวไปแลวนั้น ก็เพื่อใหนกั ศึกษาสามารถที่จะอธิบายสถานะของระบบโดยใช ระเบียบวิธีของ quantum mechanics หากแตการที่เราสามารถอธิบายวาระบบอยูในลักษณะอยางไร นั้น ไมเพียงพอในการศึกษาฟสิกส มีความจําเปนที่จะตองมีระเบียบแบบแผน ที่สามารถควบคุม หรือเปลี่ยนแปลงสถานะของระบบนั้นๆไดดว ย ในบทที่ 2 นี้ เราจะมาเริ่มศึกษากลไกหรือ กระบวนการที่ quantum mechanics ใชทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงจากสถานะเริ่มตน ไปเปนสถานะ ผลลัพธ หรือที่เรียกวา operator นั่นเอง
2.1 Operator ในการศึกษา quantum mechanics เบื้องตน นักศึกษารูจกั กับคําวา operator ดวยความเขาใจทีว่ ามันมี ความเชื่อมโยงกับกระบวนการวัดหรือการทดลองในทางฟสิกส ยกตัวอยางเชน เราแทน กระบวนการวัดโมเมนตัมของระบบ ดวยสิง่ ที่เรียกวา momentum operator หรือ แทนกระบวนการ วัดพลังงานจลนของระบบดวยสิ่งที่เรียกวา kinetic energy operator ซึ่ง operator ตางๆเหลานี้ ก็จะมี รูปแบบทางคณิตศาสตรที่แตกตางกันออกไป Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-2
ถึงแมวาคํานิยามของ operator ดังที่กลาวไวขางตน เปนคํานิยามที่ถูกตอง แตมีความหมายทีแ่ คบ จนเกินไปและมีขอจํากัดอยูห ลายประการ ดังนั้น ใน Section 2.1 นี้ เราจะมาเริ่มทําความรูจักกับ operator ของ quantum mechanics ในความหมายที่กวางมากขึ้น และใน Section 2.3 เราจึงจะตี กรอบของ operator ใหแคบลง ซึ่งมีความหมายเฉพาะเจาะจงเกี่ยวกับกระบวนการวัด หรือ measurement ในทางฟสิกส operator คือ กลไกหรือกระบวนการที่ quantum mechanics ใชทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงจากสถานะ เริ่มตน ไปเปนสถานะผลลัพธ สมมุติวาเราเตรียมอนุภาคหรืออิเล็กตรอน ใหมันอยูในสถานะ + X จากนัน้ ไมวาดวยเหตุผล อะไรก็ตามแต เราตองการที่เปลี่ยนสถานะของอิเล็กตรอนมาอยูในสถานะ + Y ดังในภาพ 2.1 z
~~ ~~ ~~
N
+Y
y ~~~ ~~ ~
S
+X x
ภาพ 2.1 เราสามารถที่จินตนาการไดวาอิเล็กตรอนซึ่งเดิมอยูในสถานะ สถานะ + Y ดวยสิ่งที่เรียกวา operator
+X
ถูกเปลี่ยนใหอยูใน
ในแงของการออกแบบการทดลองนั้น การเปลี่ยนสถานะดังกลาว อาจจะสามารถทําไดดว ยการปอน สนามแมเหล็กที่ขนานกับแนวแกน y เขาไปในระบบ การบังคับให spin ของอนุภาคใหมีทิศทาง ตามที่เราตองการนี้ หาไดเปนแตเพียงกระบวนการทีน่ ักทฤษฏีจินตนาการในเชิงวิชาการเทานั้น หากแตมี application ที่ชัดเจน ยกตัวอยางเชน MRI (Magnetic Resonance Imaging) อยางไรก็ตาม ในเนื้อหาที่กําลังกลาวถึงนี้ เรายังจะไมสนใจวาการที่จะเปลี่ยนสถานะของอนุภาค จาก + X ใหเปน + Y นั้น สามารถทดลองใหเห็นจริงไดอยางไร ในขั้นตนนี้ เราจะมาศึกษา เพียงในเชิงทฤษฏีเทานั้น
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-3
ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics การเปลี่ยนแปลงจากสถานะหนึ่ง ไปยังอีกสถานะหนึ่ง เรา เขียนใหอยูใ นรูปทั่วๆไป ดังตอไปนี้ ϕ = Oˆ ψ
__________________________ สมการ (2.1)
จะเห็นวา เดิมทีนั้น ระบบอยูในสถานะ ψ แตดว ยสิ่งที่เราเรียกวา operator Oˆ ทําให ระบบ เปลี่ยนมาอยูใ นสถานะ ϕ การใชสัญลักษณที่แสดงความเปน operator นั้น เรามักจะใชสัญลักษณ ที่มีลักษณะคลายๆกับหมวก ที่อานวา hat ขอควรระวัง ในการอานสัญลักษณในสมการ (2.1) operator Oˆ มิไดคูณอยูกับสถานะ ψ เหมือนดังเชนสมการ (1.30) ที่คาสัมประสิทธิ์ d คูณอยูกบั สถานะ − Z หากแต จะตองอานวา operator Oˆ กระทํากับสถานะ ψ และทําใหไดสถานะ ϕ ขึ้นมา ในตัวอยางที่ไดกลาวไวขางตน ซึ่งเกี่ยวของกับการเปลี่ยนสถานะ spin ของอนุภาค อาจจะเขียนให อยูในรูปที่คลายกับสมการ (2.1) ไดวา ˆ +X +Y = Ω
_____________________ สมการ (2.2)
มาถึงขั้นนี้ เราไดกลาวถึง operator ในสองประเด็นคือ 1) สัญลักษณที่ใช และ 2) ผลกระทบที่มีตอ สถานะของระบบ ยกตัวอยางเชน เปลี่ยนจาก + X ใหกลายเปน + Y ถึงกระนัน้ ก็ตาม ยัง ปรากฏโจทยทสี่ ําคัญซึ่งยังมิไดรับคําตอบที่ชัดเจน นั่นก็คอื ในทางคณิตศาสตรแลว operator Ωˆ ดังกลาว มีรูปรางหนาตาเปนอยางไร +X =
1 2
+Z +
operator
1 2
−Z
operator ที่วานี้ รูปแบบ ทางคณิตศาสตรอยางไร
ˆ Ω
คําตอบ +Y =
1 2
+Z +
i 2
−Z
ˆ ≡ + Z + Z + i −Z −Z Ω
ภาพ 2.2 ถา operator ดังกลาวสามารถที่จะเปลี่ยนสถานะของ spin ได คําถามก็คือ แลว operator ที่วานี้ รูปรางหนาตาเปนอยางไร ดวยการออกแบบที่ชาญฉลาดและลงตัว quantum mechanics ใช Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
สัญลักษณ "ket-bra" หรือ
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-4
เปนตัวแทนของ operator
ซึ่งเปนลักษณะทีว่ าง ket ไวทาง ภาพ 2.2 แสดงถึงแนวทางการเขียน operator ใหอยูในรูปของ ซายมือและวาง bra ไวทางขวามือ หรืออาจจะเรียกวา "ket-bra" จากนั้นเราลองมาวิเคราะหดวู า การ เขียน operator ในลักษณะดังกลาวนี้ จะมีผลอยางไรกับสถานะที่มันกําลังกระทําอยู
1) ket
1 2
+Z
2) operator
แสดงสถานะของระบบ
−Z + Z
3) คงเหลือเพียง ket
ยายมาคูณดานหนา เพราะตัวเลขมี สมบัติการสลับที่ของการคูณ ⎧ ⎫⎧ 1 ⎫ +Z ⎬ ⎨ −Z +Z ⎬ ⎨ 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
เขาไปกระทํา 1 −Z 2
bra และ ket เจอกัน เปลี่ยนเปน probability amplitude ซึ่งเปนเพียงตัวเลข
ภาพ 2.3 แสดงลําดับขั้นตอนในการที่ operator กระทํากับสถานะใดๆ จากภาพ 2.3 เริ่มดวยการพิจารณาสถานะของระบบ ซึ่งแทนดวยเครื่องหมาย ket
1 +Z 2
จากนั้นนํา operator ที่แทนดวยเครื่องหมาย − Z + Z ซึ่งเปนการเขียนในลักษณะของ ket-bra ถา เรานํา operator ดังกลาวนี้วางไวทางซายมือ และ นําสถานะ ket วางไวทางขวามือ ดังที่แสดงในภาพ จะเห็นวา 1) สัมประสิทธิ์
1 2
ที่คูณอยูกับ ket นั้น เปนเพียงตัวเลขที่เราสามารถที่ยายมาวางไวตําแหนงใดๆก็
ได เพราะวาตัวเลขโดยทัว่ ไปนั้น มีสมบัตกิ ารสลับที่ของการคูณ 2) เนื่องจากกลเม็ดในการจัดวางตัวที่ชาญฉลาดและลงตัวของสัญลักษณที่เราใชแทน operator ให สังเกตวา สวนที่เปน bra ของ operator จะเขามาพบกับสวนที่เปน ket ของสถานะที่มีอยู ทําใหเกิด ซึ่งจาก Section 1.3 ในบทที่ 1 มีความหมายเปน probability การรวมตัวกันเปน bra-ket หรือ amplitude อันมีคุณสมบัติเปนเพียงตัวเลขจํานวนเชิงซอนตัวหนึ่งเทานั้น ในกรณีของตัวอยางที่ แสดงในภาพ 2.3 นั้น probability amplitude + Z + Z = 1 และในทายทีส่ ุดแลว เราก็จะไดสถานะที่เกิดขึ้นเปนผลลัพธคือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
1 −Z 2
ซึ่งสามารถสรุปไดวา
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา ⎡ 1 ⎤ 1 Oˆ ⎢ +Z ⎥ = −Z 2 ⎣ 2 ⎦
2 Operator และ Matrix Mechanics
เมื่อ Oˆ =
−Z + Z
_________________ สมการ (2.3)
จากสมการ (2.3) พบวา operator Oˆ สามารถที่จะเปลี่ยนสถานะ ket ket +X
1 −Z 2
2-5
1 +Z 2
ใหกลายเปนสถานะ
และในลําดับตอไป เราจะกลาวถึงตัวอยางของ operator ที่สามารถเปลี่ยนสถานะ
ใหเปนสถานะ
+Y
จากภาพ 2.2 เรากําหนดให ˆ = + Z + Z + i −Z −Z Ω
จากนั้นแทนคาของ Ωˆ ดังกลาวเขาไปกระทํากับ
+X
_________________ สมการ (2.4)
ดังในสมการ (2.2) จะไดวา
ˆ + X = ⎧⎨ + Z + Z + i − Z − Z ⎫⎬ + X Ω ⎩ ⎭
_________________ สมการ (2.5)
แตจากการวิเคราะหในบทที่ 1 พบวา เราอาจจะเขียน + X ใหอยูในรูป superposition ของ ดวยเหตุนี้ สมการ (2.5) ขางตนจึงสามารถเปลี่ยนใหอยูใ นรูปดังตอไปนี้ ˆ + X = ⎨⎧ + Z + Z + i − Z − Z Ω ⎩ 1 +Z +Z +Z + 2 = i + −Z −Z + Z + 2
±Z
⎫⎧ 1 1 ⎫ +Z + −Z ⎬ ⎬⎨ 2 ⎭ ⎭⎩ 2
________ สมการ (2.6)
1 +Z +Z −Z 2 i −Z −Z −Z 2
ในสมการ (2.6) ขางตน เราทําการกระจายใหกลายเปน 4 เทอมดวยกัน จากนั้นโดยอาศัยคุณสมบัติ ดังที่ไดกลาวในบทที่ 1 ที่วา + Z + Z = 1 , − Z + Z = 0 จะไดวา ˆ + X = 1 + Z + i −Z Ω 2 2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
________ สมการ (2.7)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
จากสมการ (1.34) เราทราบวา
+Y =
2 Operator และ Matrix Mechanics 1 2
+Z +
i 2
−Z
2-6
ซึ่งตรงกันกับเทอมทางขวามือของ
สมการ (2.7) ขางตน ทําใหในทายที่สุดแลว ˆ + X = +Y Ω
ภาพประกอบแบบฝกหัด 2.1 spin ของ อิเล็กตรอนไมจําเปนตองชี้ในทิศขนานกับแกน x, y, หรือ z เสมอไป
z
θ ϕ
___________________ สมการ (2.8)
y
x
แบบฝกหัด 2.1 ในแบบฝกหัด 1.8 สถานะ
θ
θ
+ n = cos( ) + Z + eiϕ sin( ) − Z 2 2
แทน spin ที่
อาจจะชี้ไปในทิศทางใดๆก็ได โดยที่ตวั แปร θ และ ϕ มีความหมายเปนมุม 2 มุมที่กําหนดทิศทาง เหลานั้น ดังภาพ จงพิสูจนวา Ωˆ + n มีผลทําให สถานะดังกลาว หมุน 90 องศารอบแกน z จากตัวอยางขางตน เราจะเห็นวา operator Ωˆ ที่เขียนอยูใ นรูปดังสมการ (2.4) นั้น สามารถที่จะ เปลี่ยนสถานะ + X ใหกลายเปน + Y ไดตามที่เราตองการ
2.2 Basis State มีเซตของ state หรือ สถานะ อยูจําพวกหนึง่ ที่เราสามารถใชเปนตัวแทนของ state อื่นๆได ซึ่งเราเรียก เซตเหลานี้วา basis state ทั้งนี้เพื่อใหนักศึกษาเขาใจถึงแนวความคิดที่เกี่ยวของกับ basis state เรา ลองมาวิเคราะหตัวอยาง 2 ตัวอยางดวยกัน โดยที่ตัวอยางทั้งสอง ดูผิวเผินนั้น ไมเกี่ยวของกับ basis state แตอยางใด หากแตในความเปนจริงแลว มีแนวความคิดของ basis state ซุกซอนอยู
Basis State ในรูปแบบตางๆ ตัวอยางแรกก็คือระบบของพิกัด ที่เราใชในการบอกตําแหนงของวัตถุใดๆ เชน ในระบบ Cartesian coordinate เราใชทิศทางที่เปน unit vector ในแนวแกน x, y, และ z เปนตัวแทนของ vector ใดๆ r = rx i + ry j + rz k
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
___________________ สมการ (2.9) teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-7
จาก สมการ (2.9) ขางตนจะเห็นวา ไมวา vector r จะชี้ไปยังตําแหนงไหนก็ตาม สามารถเขียนให อยูในรูปผลบวกของ basis vector i , j , และ k โดยที่สัมประสิทธิ์ rx , ry , และ rz เปนตัวกําหนด ความยาวของ vector ตามแนวทิศทางของ basis vector ทั้งสาม นอกจากนี้ เราอาจจะละ basis vector i , j , และ k ไวในถานทีเ่ ขาใจ และเขียน vector r แบบยอๆ โดยใชเฉพาะสัมประสิทธิ์ทั้งสามตัวในการสื่อความหมาย เชน
(
r = rx , ry , rz
)
______________________ สมการ (2.10)
ตัวอยางที่สองเกี่ยวของกับคณิตศาสตรในเรื่องของฟงชันก เมื่อพิจารณาฟงชันกใดๆในหนึ่งมิตจิ ะ พบวา เราสามารถเขียนใหอยูในรูปของอนุกรม Taylor ไดดังนี้ f ( x) =
∞
∑ an xn ______________________ สมการ (2.11)
n=0
ยกตัวอยางเชน e x = 1 + x + 1 x 2 + 1 x3 … หรือ sin x = x − 1 x3 + 1 x5 … ซึ่งจะเห็นวา basis 2!
3!
3!
5!
function ที่เราใชเปนตัวแทนของฟงชันกใดๆ ดังสมการ (2.11) นั้น ก็คือ polynomial นั่นเอง โดย ที่เซตของสัมประสิทธิ์ {an } มีคาแตกตางกันออกไปตามฟงชันก f (x) ที่เรากําลังพิจารณา แบบฝกหัด 2.2 จงหา Taylor expansion ของฟงชันก e x ,
cos x, sin x
จากนั้นพิสูจนวา
eiθ = cos θ + i sin θ
แบบฝกหัด 2.3 จงใชอนุกรม Taylor ในการพิสูจนวา
a 2 + b2 ≅ b +
a2 2b
เมื่อ a
b
การเขียนฟงชันกใดๆใหอยูในรูปของ basis function มิไดจํากัดอยูแตในกรณีของฟงชันกของหนึ่งตัว แปรดังในสมการ (2.11) ในกรณีของฟงชันกของสองตัวแปร มีตวั อยางที่นักศึกษาคุนเคยก็คือ f (θ , ϕ ) =
∞
+l
∑ ∑
l = 0 m =−l
Dr. Teepanis Chachiyo
flmYlm (θ , ϕ )
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
______________________ สมการ (2.12)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-8
สมการ (2.12) แสดงใหเห็นวา ฟงชันกของสองตัวแปร f (θ , ϕ ) ใดๆ สามารถเขียนใหอยูในรูป summation ของ basis function Ylm (θ , ϕ ) คูณกับ สัมประสิทธิ์ flm โดยที่ฟงชันก Ylm (θ , ϕ ) มี ชื่อเรียกกันโดยทั่วไปวา spherical harmonic ซึ่งนักศึกษาไดเคยพบกับฟงชันกดังกลาวนี้มาแลวในการ แกสมการ Schrödinger สําหรับอะตอมของ hydrogen ในวิชา Quantum Mechanics เบื้องตน โดยที่ เราจะมาทบทวนสมบัติทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของอีกครั้งหนึ่ง ในเนื้อหาของบทที่ 9 ถาวกกลับมาที่ quantum mechanics เราเรียกเซตของ state ที่สามารถใชเปนองคประกอบของ state อื่นๆวา basis state ซึ่งเซตดังกลาวนี้ก็ขนึ้ อยูกับระบบทางฟสิกสที่กําลังพิจารณา ตัวอยางที่เห็น ชัดเจนที่สดุ ก็คือ เซตของ { + Z , − Z } โดยที่เราสามารถเขียนสถานะใดๆที่เกีย่ วของกับ spin ของ อิเล็กตรอนไดในรูปของ superposition ไดดังนี้ ψ = a+ + Z + a− − Z
______________________ สมการ (2.13)
อยางไรก็ตาม อาจจะมีเซตของ basis state อยูมากกวาหนึง่ เซตใหเลือกใชในการแทนสถานะของ ระบบที่เรากําลังศึกษา การมีอิสระที่จะเลือกใช basis state ในทาง quantum mechanics นั้น มีความ คลายคลึงกับอิสระที่จะเลือกใชพิกัดทีแ่ สดงถึงตําแหนงของวัตถุใน 3 มิติ ซึ่งเราสามารถเลือกใชวา จะเปนระบบ Cartesian coordinate, spherical coordinate, หรือ แมกระทั่ง cylindrical coordinate ยกตัวอยางเชน ในกรณีของแบบฝกหัด 2.1 ที่เราแสดงสถานะเชิง spin ของอิเล็กตรอนที่ชี้ในทิศซึ่ง กําหนดโดยมุม θ และ ϕ โดยที่สถานะ + n ดังกลาว เมื่อเขียนอยูในรูปของ basis state ที่เปน { + Z , − Z } จะไดวา θ
θ
+ n = cos( ) + Z + eiϕ sin( ) − Z 2 2
______________________ สมการ (2.14)
อยางไรก็ตาม สมมุติวาเครื่องมือที่ใชตรวจวัด spin -ของเราไมไดวางตัวอยูตามแนวแกน z หากแต อยูในแนวแกน x เพราะฉะนั้นเราอาจจะเลือกใช { + X , − X } เปน basis state ในกรณีเชนนี้ เราก็สามารถเขียน + n ไดวา + n = c+ + X + c− − X
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
______________________ สมการ (2.15)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-9
โดยที่สัมประสิทธิ์ c+ , c− ก็คือ probability amplitude ที่จะพบ + n อยูในสถานะ + X และ − X ตามลําดับ และจาก Section 1.8 ในบทที่ 1 c+ , c− สามารถเขียนใหอยูใ นรูป c+ = + X + n
______________________ สมการ (2.16)
c− = − X + n
เราคํานวณปริมาณทางขวามือในสมการ (2.16) ไดจากนํา สถานะ bra ket + n ในสมการ (2.14) จะไดวา θ
+X
θ
+ X + n = cos( ) + X + Z + eiϕ sin( ) + X − Z 2 2
เขาประกบกับสถานะ
________ สมการ (2.17)
สืบเนื่องจาก Section 1.6 ในเรื่องการทดลองของ Stern-Gerlach เราทราบจากสมการ (1.28) วา +Z + X =
1 2
และ
−Z + X =
1 2
เพราะฉะนั้นแลว ∗
1 2 1 ∗ + X −Z = −Z + X = 2
+ X +Z = +Z + X
=
________ สมการ (2.18)
และเมื่อแทนสมการ (2.18) เขาไปในสมการ (2.17) จะทําให θ 1 θ 1 + X + n = cos( ) + eiϕ sin( ) = c+ 2 2 2 2
________ สมการ (2.19)
θ 1 θ 1 − X + n = cos( ) − eiϕ sin( ) = c− 2 2 2 2
________ สมการ (2.20)
และในทํานองเดียวกัน
และในทายทีส่ ุด จะทําใหเราสามารถเขียนสถานะ { + X , − X } ดังนั้น
Dr. Teepanis Chachiyo
+n
ใหอยูใ นรูปของ basis state
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา +n =
2 Operator และ Matrix Mechanics
1 ⎛ θ θ ⎞ 1 ⎛ θ θ ⎞ iϕ iϕ ⎜ cos( ) + e sin( ) ⎟ + X + ⎜ cos( ) − e sin( ) ⎟ − X 2 2 ⎠ 2 2 ⎠ 2⎝ 2⎝
2-10
สมการ (2.21)
ทั้งนี้เมื่อเราเปรียบเทียบสมการ (2.14) และสมการ (2.21) จะพบวา ถึงแมเราจะมีอิสระในการเลือกที่ จะแสดงสถานะของระบบใหอยูใน basis state ใดๆก็ได แตการเลือกทีไ่ มเหมาะสมจะทําใหการ วิเคราะหทางคณิตศาสตรมีความซับซอนเกินความจําเปน ดังจะเห็นวา สถานะ + n ในรูปของ basis state { + X , − X } มีความซับซอนมากกวาในรูปของ { + Z , − Z } เปนตน แบบฝกหัด 2.4 จากแบบฝกหัด 1.8 และ 1.9 จงเขียน
{ +Y
, −Y
+n
และ
−n
ในรูปของ basis state
}
คณิตศาสตรของ Operator และ Basis State เนื้อหาใน Section 1.8 เราไดเกริ่นถึงการแสดงสถานะของระบบใหอยูใ นรูป superposition ของ basis state ไดวา N
Ψ = ∑ ci φ i
____________________ สมการ (2.22)
i =1
เมื่อ { φ i } คือเซตของ basis state หรือ เหตุการณพื้นฐานตางๆที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นไดทั้งหมด ซึ่งมี ทั้งสิ้น
N
สถานะดวยกัน
ดังที่ไดแสดงเปนตัวอยางใน Section 2.1 และ ในสมการ (2.4) ในเรื่องของการเขียน operator ใหอยู ในครั้งนี้เราจะนําตัวอยางดังกลาวมาเปนพืน้ ฐานในการเขียน ในรูปของ ket-bra หรือ operator Oˆ ใดๆ ซึ่งไมจํากัดอยูแ ตเฉพาะในกรณีของระบบที่มี basis state เปน { + Z , − Z } เพียง เทานั้น จากกรณีตัวอยางดังในสมการ (2.4) operator Oˆ ใดๆ ของระบบดังกลาว สามารถเขียนใหอยูใ นรูป N N
Oˆ = ∑ ∑ oij φ i i =1 j =1
Dr. Teepanis Chachiyo
φj
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
____________________ สมการ (2.23)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-11
เมื่อ สัมประสิทธิ์ oij ก็คือคาคงที่ ซึ่งก็ขึ้นอยูกบั operator และ ระบบทางฟสิกสที่เรากําลังศึกษา ยกตัวอยางเชน operator Ωˆ ใน Section 2.1 ซึ่งมี N = 2 และ φ1 = + Z , φ2 = − Z เพราะฉะนั้น o11 = +1, o12 = 0, o21 = 0, o22 = +i เปนตน เพื่อเปนตัวอยางของการนําเอารูปแบบการเขียน operator ดังในสมการ (2.23) เราจะมาวิเคราะห operator ที่เรียกวา identity operator identity operator ซึ่งโดยทั่วไปเขียนดวยสัญลักษณ 1ˆ เปน operator ที่เมื่อกระทํากับสถานะใดๆ จะ ไมมีผลทําใหสถานะนั้นๆเกิดการเปลี่ยนแปลงแตอยางใด หรือเขียนในรูปของสมการไดวา ____________________ สมการ (2.24)
1ˆ Ψ = Ψ
N N
จากคํานิยามในสมการขางตน เราสามารถพิสูจนไดวา 1ˆ = ∑ ∑ δ ij φ i i =1 j =1
N
1ˆ = ∑ φ i
φi
i =1
N
การพิสูจนใหเห็นวา operator ∑ φ i i =1
φi
φj
หรืออีกนัยหนึง่
____________________ สมการ (2.25)
ในสมการ (2.25) เมื่อไปกระทํากับสถานะใดๆแลว ไม
ทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงของสถานะนั้นๆ ทําไดโดยการพิจารณา ⎧⎪ N ⎨∑ φ i ⎩⎪i =1
⎫⎪
⎧⎪ N
⎭⎪
⎩⎪i =1
⎫⎪ N
φ i ⎬ Ψ = ⎨∑ φ i
ในสมการขางตน เราเขียนสถานะของระบบ
φ i ⎬ ∑ cn φ n ⎭⎪ n =1
Ψ
______________ สมการ (2.26)
ใหอยูใ นรูป superposition ของ basis state { φ n
}
จากนั้นสามารถกระจาย summation ซึ่งจะไดวา ⎧⎪ N ⎨∑ φ i ⎩⎪i =1
N N ⎫⎪ φi ⎬ Ψ = ∑ ∑ φi i =1 n =1 ⎭⎪
φ i cn φ n
N N
______________ สมการ (2.27)
= ∑ ∑ φ i cnδ in i =1 n =1
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-12
เนื่องจาก Kronecker delta function δin ทําใหเทอมตางๆของ summation ในสมการ (2.27) เปนศูนย เกือบทั้งหมด ยกเวนแตในกรณี i = n ดังนั้น ⎧⎪ N ⎨∑ φ i ⎪⎩i =1
⎫⎪
N
⎪⎭
n =1
φ i ⎬ Ψ = ∑ cn φ i = Ψ
______________ สมการ (2.28)
ซึ่งก็เปนจริงตามคํานิยามในสมการ (2.24) identity operator 1ˆ โดยตัวมันเองแลว ไมมปี ระโยชนใน แงของการนํามาวิเคราะหปรากฏการณทางฟสิกส เพราะ 1ˆ เปรียบเสมือนตัวเลข 1 ซึ่งเมื่อคูณกับ ฟงชันกใดก็ยอ มไมเกิดอะไรขึ้น แต identity operator 1ˆ จะเปนตัวชวยในการวิเคราะหเชิง คณิตศาสตร ดังจะไดแสดงเปนตัวอยางในลําดับตอไป แบบฝกหัด 2.5 สมการ (2.23) เปนการเขียน operator Oˆ ในรูปของสัมประสิทธิ์ oij ในทาง กลับกัน จงเขียนสัมประสิทธิ์ oij ในรูปของ operator Oˆ และพิสูจนวา oij = φ i Oˆ φ j
บอกใบ: ใชสมบัติความเปน orthogonal ของ basis state { φ i
____________________ สมการ (2.29)
}
ในแบบฝกหัด 2.4 เราทําการเปลี่ยนการแสดงสถานะ + n โดยที่แตเดิมอยูในรูปของ basis state { + Z , − Z } ใหอยูใ นรูปของ basis state { +Y , −Y } ซึ่งเปนกรณีตวั อยางของระบบที่มี จํานวน basis state N=2 ในคราวนี้ เราสามารถที่จะใช identity operator เปนเครื่องมือในการเปลี่ยน basis state ของสถานะของระบบ สมมุตวาแตเดิม เราเขียนสถานะของระบบ
Ψ
ดวยเซตของ basis state { φ i } กลาวคือ N
Ψ = ∑ ci φ i
____________________ สมการ (2.30)
i =1
โดยที่เราทราบคาของสัมประสิทธิ์ {c i } พิจารณาเซตของ basis state { η j } อีกชุดหนึ่ง จาก identity operator ในสมการ (2.25) เราสามารถเขียนไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics 1ˆ =
N
∑ηj j =1
η
2-13
____________________ (2.31)
j
ซึ่งเมื่อใช identity operator ที่เขียนในรูปสมการ (2.31) เขาไปแทรกในเทอมทางขวามือของสมการ (2.30) จะไดวา N
Ψ = ∑ ci 1ˆ φ i i =1
N ⎧⎪ N ⎫⎪ = ∑ ci ⎨ ∑ η j η j ⎬ φ i ⎪ j =1 ⎪⎭ i =1 ⎩
____________________ สมการ (2.32)
N N
= ∑ ∑ ci η j η j φ i i =1 j =1
และในเมื่อ
η j φi
Ψ =
เปนเพียงตัวเลขจํานวนเชิงซอน จึงสามารถจัดรูปไดดังตอไปนี้ N
N
∑ b j η j เมื่อ b j ≡ ∑ ci i =1
j =1
φi η
∗
j
____________________ สมการ (2.33)
โดยทั่วไปแลว การเปลี่ยนสถานะที่เขียนในรูปของ basis state { φ i state { η j
}
}
ใหอยูในรูปของ basis
สามารถทําไดโดยใชสมการ (2.33) นั่นเอง
2.3 Matrix Mechanics นอกจากทีเ่ ราใชระบบทางสัญลักษณที่เรียกวา bra และ ket ในการอธิบาย quantum mechanics แลว matrix mechanics ยังเปนอีกรูปแบบหนึ่งทีส่ ามารถทําได และใน Section 2.3 นี้เราจะเริ่มดวยการ ทบทวน linear algebra เพื่อใหนักศึกษาคุนเคยกับระบบของ vector และ matrix จากนั้นเราจะ กลาวถึงระบบของ matrix mechanics ที่ Heisenberg, Born, และ Jordan คิดคนขึ้น และในสุดทาย จะกลาวถึง spin operator ที่อยูในรูปของ matrix
ทบทวนพีชคณิตของ Vector และ Matrix
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-14
เพื่อใหนักศึกษาคุนเคยกับเนื้อหาของ vector และ matrix ที่อยูในวิชาพีชคณิตเชิงเสน (Linear Algebra) ในขั้นตนนี้ เราจะทบทวนคํานิยามและเอกลักษณทางคณิตศาสตรตางๆของ vector และ matrix vector คือ กลุมของตัวเลข ซึ่งอาจเปนเพียงจํานวนจริงหรือจํานวนเชิงซอน ที่โดยทั่วไปเขียนใหอยู ในลักษณะเปนแถวในแนวตั้ง ยกตัวอยางเชน ⎡ c1 ⎤ ⎡ 2i ⎤ ⎢c ⎥ ⎡1⎤ a = ⎢ ⎥ , b = ⎢⎢1 − i ⎥⎥ , หรือ c = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣8⎦ ⎢⎣1 + i ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣cN ⎦
เปน vector _____________ สมการ (2.34)
จํานวนของตัวเลขภายใน vector ซึ่งในกรณีนี้ก็คือจํานวนของแถว แสดงถึง dimension (มิติ) ของ vector ดังจะเห็นไดจากตัวอยางขางตน ประกอบดวย vector ที่มี 2, 3, และ N dimension ตามลําดับ จะสังเกตเห็นวา เราใชสัญลักษณ a , b , และ c แทน vector และในการอางถึงตัวเลขตางๆภายใน vector เราใช index หรือ ดัชนีกํากับตําแหนง ซึ่งแสดงถึงลําดับของแถวที่ตัวเลขนั้นๆปรากฏอยู ยกตัวอยางเชน a2 = 8 หรือ b3 = 1 + i เปนตน matrix คือ การจัดกลุมของตัวเลขที่มีความซับซอนมากขึ้นจาก vector กลาวคือ เปนการเขียนที่มี ลักษณะเปนทัง้ แถวควบคูไปกับคอลัมน ยกตัวอยางเชน ⎡ 1 ⎡ 1 5⎤ A=⎢ , B = ⎢⎢ 0 ⎥ ⎣ −5 2 ⎦ ⎢⎣1 + i ⎡ c1,1 c1,2 … ⎢ c c … หรือ C = ⎢⎢ 2,1 2,2 ⎢ ⎢⎣ cN ,1 cN ,2 …
0 1− i⎤ 4 −2i ⎥⎥ , 2i 1 ⎥⎦ c1, N ⎤ ⎥ c2, N ⎥ ⎥ เปน matrix ⎥ cN , N ⎥⎦
_____________ สมการ (2.35)
เนื่องจาก matrix มีทั้งแถวและคอลัมน เราใชตัวเลข 2 ตัวในการบงบอกถึง dimension ของมัน ซึ่ง จากตัวอยางขางตน ประกอบดวย matrix ที่มี 2x2, 3x3, และ NxN dimension ตามลําดับ ในกรณี เชนนี้ เราใชคาํ วา matrix A มี 2 แถวและมี 2 คอลัมน หรือ matrix C มี N แถวและมี N คอลัมน Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-15
อยางไรก็ตาม จํานวนของแถวและจํานวนของคอลัมนไมจําเปนตองเทากัน แตถาทั้งสองมีคาเทากัน เราเรียก matrix นั้นวา square matrix โดยทั่วเราใชตวั อักษร Roman และมีเครื่องหมาย tilde เพือ่ แสดงถึงความเปน matrix ยกตัวอยางเชน A , B , และ C และในทํานองเดียวกันกับ dimension ของ matrix ในการอางถึงตัวเลขภายใน matrix เราจะใชตัวเลข 2 ตัวเพื่อเปน index หรือ ดัชนีกํากับตําแหนงทีต่ วั เลขนั้นๆปรากฏอยู ยกตัวอยางเชน A2,1 = −5 , B3,1 = 1 + i
และ
B1,3 = 1 − i
โดยที่ index ตัวแรกแสดงถึงแถว และ index ตัวที่สองแสดงถึงคอลัมน ทั้งนี้ ตัวเลขที่เปนสมาชิก ของ matrix เรียกอีกชื่อหนึ่งวา matrix element matrix-vector operation เราสามารถนํา matrix เขามากระทํากับ vector และทําใหเกิด vector ขึ้นมาใหม ซึ่งในบางครั้งเราเรียกกระบวนการดังกลาวนี้วา "การคูณ" ของ matrix เขากับ vector
กําหนดให
a = Bb
จะไดวา
0 1 − i ⎤ ⎡ 2i ⎤ ⎡ 1 ⎢ 0 4 −2i ⎥⎥ ⎢⎢1 − i ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣1 + i 2i 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 + i ⎥⎦
หรือเขียนในรูปทั่วไป
a1 = B1,1 ⋅ b1 + B1,2 ⋅ b2 + B1,3 ⋅ b3
1 ⋅ (2i ) + 0 ⋅ (1 − i ) + (1 − i) ⋅ (1 + i) = 2 + 2i = 6 − 6i = 1 + 5i
ai =
N
∑ Bi, j ⋅ b j j =1
ภาพ 2.4 แสดง matrix - vector operator ดังแสดงในภาพขางตน สมมุติวามี matrix B ขนาด 3x3 และ มี vector b ซึ่งมี dimension เทากับ 3 เชนเดียวกัน เมื่อกําหนดให a = Bb จะไดวา vector ผลลัพธที่เกิดขึ้นจะมีคาเทากับ ai =
Dr. Teepanis Chachiyo
N
∑ Bi, j ⋅ b j เมื่อ a = Bb ____________________ สมการ (2.36) j =1
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-16
เมื่อสังเกตสีของภาพขางตน จะพบวา สมาชิกในแถวที่ 1 ของ vector a ไดมาจากการคูณกัน ระหวางแถวที่ 1 ของ matrix B กับ vector b นั่นเอง matrix-matrix operation นอกจากนี้ matrix ยังสามารถกระทํากับ matrix ดวยกันเอง เกิดเปน matrix ขึ้นมาใหม กําหนดให AB = C C1,3 = A1,1 ⋅ B1,3 + A1,2 ⋅ B2,3 + A1,3 ⋅ B3,3
แถว 1 ⎡1 0 1 ⎤ ⎡ 1 แถว 2 ⎢⎢0 4 0⎥⎥ ⎢⎢ 0
0 1− i⎤ 4 −2i ⎥⎥ ⎢⎣1 0 3⎥⎦ ⎢⎣1 + i 2i 1 ⎥⎦
⎡ 2 + i 2i 2 − i ⎤ ⎢ 0 16 −8i ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ 4 + 3i 6i 4 − i ⎥⎦
คอลัมน 1 คอลัมน 3 N
หรือในรูปทั่วไป Ci, j = ∑ Ai, k ⋅ Bk , j k =1
ภาพ 2.5 แสดง matrix - matrix operation ดังตัวอยางของภาพที่ไดแสดงขางตน กําหนดให A และ B เปน square matrix ที่มี dimension NxN เพราะฉะนั้น ผลลัพธของ matrix - matrix operation AB = C ก็คือ Ci, j =
N
∑ Ai,k ⋅ Bk , j เมื่อ C = AB ____________________ สมการ (2.37)
k =1
ยกตัวอยางเชน สมาชิกของ matrix C ที่อยู ณ ตําแหนง แถว 1 และ คอลัมน 3 หรือ C1,3 สามารถ คํานวณไดจากการคูณกันระหวาง แถว 1 ของ A และ คอลัมน 3 ของ B นั่นเอง แบบฝกหัด 2.6 จาก matrix กรณีดังกลาว BA ≠ AB
A
และ B ดังในภาพ 2.5 จงคํานวณ
BA
และแสดงใหเห็นวา ใน
conjugate transpose ของ matrix กระบวนการทางคณิตศาสตรที่สําคัญอันหนึ่งก็คือการนํา matrix มาสลับแถว ⇔ คอลัมน และในกรณีที่ matrix มีสมาชิกเปนเลขจํานวนเชิงซอน นอกจากการสลับ ตําแหนงดังกลาวยังมีการเปลี่ยนตัวเลขใหเปน complex conjugate ของตัวมันเอง ยกตัวอยางเชน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
ถา
⎡1 + 6i 2 + 5i ⎤ A = ⎢⎢3 + 4i 4 + 3i ⎥⎥ ⎢⎣5 + 2i 6 + 1i ⎥⎦
2 Operator และ Matrix Mechanics
แลว conjugate transpose ของ
A
คือ
2-17
⎡1 − 6i 3 − 4i 5 − 2i ⎤ A† = ⎢ ⎥ ⎣ 2 − 5i 4 − 3i 6 − 1i ⎦
ตัวอยางขางตนเปน การหา conjugate transpose ของ matrix ขนาด 3x2 ซึ่งจะไดผลลัพธเปน matrix ขนาด 2x3 นอกจากนี้ ตัวอยางดังกลาวยังสามารถเขียนใหอยูใ นรูปของสมาชิกของ matrix ไดวา Bi, j = A∗j ,i
เมื่อ
B = A†
____________________ สมการ (2.38)
ใหสังเกตการสลับที่ของ index i ⇔ j พรอมทั้งการคํานวณ complex conjugate ของสมการใน matrix ดังในสมการ (2.38) ซึ่งเปนคุณสมบัติของ conjugate transpose conjugate transpose เรียกอีกอยางหนึ่งวา adjoint ที่จะมีความสําคัญในอนาคตเมื่อเรากลาวถึง eigenvalue ของ matrix แบบฝกหัด 2.7 จงใชคํานิยามของ adjoint หรือ conjugate transpose ในสมการ (2.38) เพื่อพิสูจนวา (a) ( A† )
†
=A
และ (b) ( AB )
†
= B† A†
แบบฝกหัด 2.8 เราสามารถที่จะมอง vector วาเปน matrix ที่มี dimension Nx1 นัน่ ก็คือ ถา vector a เรียงกันเปนแถวในแนวตั้ง จะไดวา a † เรียงกันเปนคอลัมนในแนวนอน ถา
⎡ a1 ⎤ ⎢a ⎥ a=⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣aN ⎦
แลว adjoint ของ a คือ
a † = ⎡ a1∗ ⎣
a2∗
a∗N ⎤ ⎦
จงพิสูจนโดยอาศัยหลักการของ matrix-matrix operator ดังที่ไดกลาวไว เพื่อแสดงวา a) a †a = ตัวเลขจํานวนเชิงซอน 1 ตัว b) aa † = matrix ที่มี dimension NxN แบบฝกหัด 2.9 matrix ซึ่งมีสมบัติพิเศษคือเปน adjoint ของตัวมันเอง เราเรียก matrix ประเภทนีว้ า Hermitian matrix หรืออีกนัยหนึ่ง matrix H มีชื่อเรียกวา Hermitian matrix ถา Dr. Teepanis Chachiyo
H = H†
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
____________________ สมการ (2.39) teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-18
จงพิสูจนวา diagonal element ของ Hermitian matrix จะตองเปนจํานวนจริง [หมายเหตุ: diagonal element คือ matrix element ที่ปรากฏอยูในแนวเสนทแยงมุมของ matrix กลาวคือ อยู ณ ตําแหนง H i ,i ] eigenvector และ eigenvalue ของ matrix ความเขาใจเรื่อง eigenvalue และ eigenvector ของ matrix มิใชเปนแตเพียงกลยุทธทางคณิตศาสตรที่เปนนามธรรมและเปนประโยชนแตเฉพาะในแง ของการฝกฝนเชาวปญญาแตเพียงอยางเดียว หากแตมีการนํามาประยุกตใชงานอยางเปนรูปธรรม ในทาง quantum mechanics และ อธิบายปรากฏการณตางๆในทางฟสิกส อยางไรก็ตามในขั้นตนนี้ เราจะ focus อยูแตเฉพาะในทางคณิตศาสตรและจะวกกลับมากลาวถึงการ ประยุกตใชงานใน Section อื่นๆอีกตอไป ยกตัวอยางเชนเมื่อเราพิจารณา matrix ขนาด 2x2 ⎡1 2⎤ A=⎢ ⎥ ⎣2 3⎦
จะพบวา มี vector อยู 2 vector ดวยกันคือ ⎡ + 5 − 1⎤ a1 = ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
⎡
และ a2 = ⎢ − ⎣
5 − 1⎤ ⎥ 2 ⎦
ซึ่งเมื่อ A กระทํากับ a1 หรือ a2 แลว กลับไดผลลัพธเปน a1 หรือ a2 เชนเดิม คูณดวยคาคงที่ ดังจะเห็นไดจาก ⎡ 5 − 1⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡ 5 − 1⎤ ⎡ 3 + 5 ⎤ Aa1 = ⎢ ⎥ = 2+ 5 ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 2 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ 4 + 2 5 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎦
(
(
)
)
__________ สมการ (2.40)
Aa1 = 2 + 5 a1
และในทํานองเดียวกัน ในกรณีของ a2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
⎡ − 5 − 1⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡ − 5 − 1⎤ ⎡ 3 − 5 ⎤ Aa2 = ⎢ ⎥ = 2− 5 ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 2 3 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣⎢ 4 − 2 5 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎦
(
(
)
)
2-19
__________ สมการ (2.41)
Aa2 = 2 − 5 a2
จากสมการทั้งสองจะเห็นวา คาคงที่ ที่ไดกลาวถึง มีคาเทากับ (2 + 5) ในกรณีของ a1 และ มีคา เทากับ (2 − 5) ในกรณีของ a2 โดยที่คุณสมบัติพิเศษของ vector a1 และ a2 สามารถสรุปให อยูในรูปทัว่ ไปไดวา พิจารณา square matrix A ขนาด NxN ใดๆ จะปรากฏมี vector an และ คาคงที่ λn ที่มี ความสัมพันธดังสมการ Aan = λn an
เราเรียก
___________________ สมการ (2.42)
วาเปน eigenvector ของ matrix A วาเปน eigenvalue ของ eigenvector an
vector an คาคงที่ λn
ใหสังเกตวา เรากํากับ eigenvector และ eigenvalue ดังในสมการ (2.42) ดวย index n ที่เปนเชนนีก้ ็ เพราะวาจํานวนของ eigenvector ที่ทําใหสมการดังกลาวเปนจริงนั้น มีจาํ นวนทั้งสิ้น N vector ดวยกัน หรือ กลาวอีกนัยหนึ่ง โดยทั่วไปจะมีเซตของ eigenvector {a1, a2 ,… , aN } และ เซตของ eigenvalue {λ1, λ2 ,… , λN } ที่ ทําใหสมการ (2.42) นั้นเปนจริง คําถามที่เกิดขึน้ ตามมาก็คือ การหาคา eigenvalue และ eigenvector ดังตัวอยางของ matrix ⎡1 2⎤ A=⎢ ⎥ ⎣2 3⎦
นั้น มีขั้นตอนอยางไร ? คําตอบแบงออกเปน 2 สวน คือ (1) หา eigenvalue และ (2)
หา eigenvector 1) เซตของ eigenvalue {λ1, λ2 ,… , λN } สามารถหาไดจากการกําหนดให
(
)
det A − λ I = 0
Dr. Teepanis Chachiyo
เมื่อ คือ I identity matrix ___________________ สมการ (2.43)
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-20
สมการ (2.43) จะทําใหเกิด polynomial degree N ซึ่งอยูในรูป ς N λ N + + ς 2λ 2 + ς1λ + ς 0 = 0 ซึ่งมีรากของสมการเปนจํานวนเทากับ N คําตอบ และเปนที่มาของ {λ1, λ2 ,… , λN } ดังกลาว ยกตัวอยางเชน กําหนดให
⎡1 2⎤ A=⎢ ⎥ ⎣2 3⎦
เราสามารถจัดรูปของเทอมตางๆใหเหมือนกับสมการ
(2.43) ไดวา ⎧⎡1 2⎤ 2 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎫ ⎡1 − λ det ⎨ ⎢ −λ ⎢ ⎬ = det ⎢ ⎥ ⎥ ⎥=0 2 3 0 1 2 3 λ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
____________ สมการ (2.44)
ถาอนุมานเอาวา นักศึกษาคุน เคยกับการคํานวณ determinant ของ matrix เปนอยางดี จะไดวา ทาง ซายมือของสมการ (2.44) มีคาเทากับ (1 − λ )(3 − λ ) − 4 = 0
λ 2 − 4λ − 1 = 0
____________ สมการ (2.45)
จะเห็นวาสมการ (2.45) อยูในรูปของ polynomial degree 2 เพราะวา matrix A ในกรณีตัวอยางนี้ มี ขนาดเปน 2x2 นั่นเอง และจากสมการขางตน มีผลเฉลยอยูสองคาดวยกันคือ λ=
4 ± 16 + 4 = 2± 5 2
____________ สมการ (2.46)
2) เซตของ eigenvector {a1, a2 ,… , aN } สามารถคํานวณไดดวยการแทนคาของ eigenvalue เขาไป ในสมการ (2.42) ซึ่งในกรณีของ a1 = ⎡⎢
x⎤ ⎥ ⎣ y⎦
จะไดวา
⎡1 2⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x⎤ 2 5 = + ⎢2 3⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ y⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(
)
____________ สมการ (2.47)
จากนั้น เราทําการเปลี่ยนสมการ (2.47) ใหอยูใ นรูปของระบบสมการ 2 ตัวแปรดังนี้
( ) 2x + 3y = (2 + 5 ) y x + 2y = 2 + 5 x
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
____________ สมการ (2.48)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-21
หรือ 5 +1 x 2 2 y= x 5 −1 y=
____________ สมการ (2.49) ____________ สมการ (2.50)
ทั้งนี้เมื่อวิเคราะหใหถี่ถวนแลวจะพบวา สมการ (2.49) และ (2.50) นั้น เปนสมการเดียวกัน! เพราะฉะนั้นเราจึงสามารถกําหนดคา x ไดอยางอิสระ และเมื่อแทนคา x เขาไปในสมการ (2.49) ก็ จะไดคาของ y ตามมา ดังในกรณีของตัวอยางทีก่ ําลังกลาวถึง เราเลือกให x = 5 − 1 ซึ่งจะไดคา y = 2 อิสระในการ เลือกคาของ x ดังกลาวนี้ เปนคุณสมบัติโดยทัว่ ไปของ eigenvector ซึ่งก็คือ "ถา a เปน eigenvector ของ matrix A แลว จะไดวา ca ก็เปน eigenvector ดวยเชนกัน เมื่อ c คือคาคงที่ใดๆ" แบบฝกหัด 2.10 โดยใชวธิ ีในทํานองเดียวกันกับสมการ (2.40) จงแสดงใหเห็นวา vector ⎡ 5 − 1⎤ ⎢ ⎥, ⎣ 2 ⎦
⎡ ⎢ ⎢⎣
(
)
5 − 1 2⎤ ⎥ , และ ⎥⎦ 1
และในกรณีของ a2 = ⎡⎢
x⎤ ⎥ ⎣ y⎦
⎡ 4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ 2 5 + 2⎦
ซึ่งมี λ2 = 2 −
ลวนแลวแตเปน eigenvector ของ
5
A
เปน eigenvalue จะไดระบบสมการคือ
( ) 2x + 3y = (2 − 5 ) y
____________ สมการ (2.51)
1− 5 x 2
____________ สมการ (2.52)
x + 2y = 2 − 5 x
ซึ่งนําไปสูสมการ y=
ซึ่งถาเราเลือก
x = − 5 −1
Dr. Teepanis Chachiyo
ก็จะไดคาของ
y=2
⎡
ทําให a2 = ⎢ −
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
⎣
5 − 1⎤ ⎥ 2 ⎦
ดังในสมการ (2.41)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics ⎡ E0 − A⎤ ⎥ ⎣ − A E0 ⎦
แบบฝกหัด 2.11 จงหา eigenvector และ eigenvalue ของ matrix ⎢
2-22
เมื่อ
E0
และ
A
คือจํานวนจริงใดๆ ภาพของ Heisenberg (ซาย) ในป 1927 และ Max Born (ขวา) [Credit: The American Institute of Physics]
Quantum Mechanics ในรูปของ Matrix ความหนักหนวงเชิงคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับ vector และ matrix ที่นักศึกษาตองทบทวนใน Section ที่ผานมา จะมีผลที่คุมคากับการไดสัมผัสกับผลงานชิ้นเอกของ Werner Heisenberg, Max Born, และ Pascual Jordan ในป 1925 ผูเปนบิดาแหง Matrix Mechanics และ Heisenberg ไดรับรางวัล โนเบลในป 1932 แทนสถานะของระบบดวย vector เมื่อพิจารณาการเขียนสถานะ ket ใหอยูใ นรูป superposition ของ basis state ยกตัวอยางเชน
+Y =
1 2
+Z +
i
2
−Z
ซึ่งเราสามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ
vector ไดดังนี้ 1 ⎡1⎤ + Y ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ ⎢⎥ ± Z basis 2 ⎣i ⎦
โดยที่ในบางครั้งอาจจะละไวในถานทีเ่ ขาใจวา เรากําลังใช ดังกลาวใหสั้นลงไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
±Z
_________________ สมการ (2.53) เปน basis state และเขียนสถานะ
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา +Y →
1 2
⎡1⎤ ⎢⎥ ⎣i ⎦
1 ⎡1⎤ ⎢⎥ 2 ⎣1⎦ ⎡1 ⎤ +Z → ⎢0⎥ ⎣ ⎦
+X →
2 Operator และ Matrix Mechanics ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎣ −i ⎦ 1 ⎡1⎤ −X → ⎢ ⎥ 2 ⎣ −1⎦ −Y →
2-23
1 2
−Z →
_______________ สมการ (2.54)
⎡0⎤ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦
จากตัวอยางในสมการ (2.53) และ สมการ (2.54) เราสามารถสรุปขั้นตอนการเปลี่ยนจากการอธิบาย สถานะของระบบซึ่งเดิมอยูในรูปของ superposition ของ basis state ใหกลายเปนรูปแบบของ vector ไดดังตอไปนี้ ⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ N Ψ = ∑ ci φ i ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 2 ⎥ φ i basis ⎢ ⎥ i =1 ⎢ ⎥ ⎣cN ⎦
_________________ สมการ (2.55)
นอกจากสถานะ ket ดังในสมการ (2.55) แลว ในบทที่ 1 Section 1.8 เราไดกลาวถึงสถานะ bra N
Ψ = ∑ ci∗ φ i
และการที่เราจะเปลี่ยนรูปแบบของการเขียนสถานะ bra ดังกลาวใหอยูในรูป
i =1
ของ vector จําเปนตองมีความระมัดระวังเปนพิเศษเนื่องจากมีขอสังเกตอยู 2 ประการ 1) ในการเปลี่ยนจาก ket ใหเปน bra นั้น สัมประสิทธิ์ที่เดิมคูณอยูกับสถานะ ket จะกลายเปน complex conjugate ของตัวมันเองเมื่อเปลีย่ นใหอยูใ นรูปของ bra ดังในสมการ (1.45) 2) เมื่อสถานะ bra เขามากระทํากับสถานะ ket จะตองมีสภาพเปนตัวเลขจํานวนเชิงซอน หรือที่ เรียกวา probability amplitude ดังในสมการ (1.3) เมื่อเราพิจาณาขอสังเกตทั้ง 2 ขอดังกลาว จะพบวา เราสามารถแสดงสถานะ bra ใหอยูในรูปของ vector ไดโดยสิ่งที่เรียกวา conjugate transpose ของ vector ดังที่เราไดทบทวนในเนือ้ หาของ Section ที่ผานมา กลาวคือ †
⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ N ∗ Ψ = ∑ ci φ i ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 2 ⎥ = ⎡ c1∗ c2∗ … c∗N ⎤ ⎦ φ i basis ⎢ ⎥ ⎣ i =1 ⎢ ⎥ ⎣cN ⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
______ สมการ (2.56)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-24
การเขียนสถานะ bra ใหอยูในรูป adjoint หรือ conjugate transpose ในสมการ (2.56) มีผล สอดคลองกับขอสังเกตทั้งสองขอดังกลาว ซึ่งก็คือ 1) เมื่อสังเกตกลุมของตัวเลขในทางขวามือของสมการ (2.56) จะพบวามันเปน complex conjugate ซึ่งเปนผลโดยอัตโนมัติสืบเนื่องจากความเปน adjoint 2) ดังแสดงในแบบฝกหัด 2.8 ที่เมื่อ bra มาพบกับ ket ยอมตองเกิดเปนตัวเลขจํานวนเชิงซอนที่ ตีความไดวาเปน probability amplitude ยกตัวอยางเชน เมื่อเรานํา adjoint ของ vector ในสมการ (2.56) มากระทํากับ vector ในสมการ (2.55) จะไดวา ⎡ c1 ⎤ ⎢ ⎥ N N 2 ∗ ∗ ∗ ⎤ ⎢ c2 ⎥ ∗ ⎡ Ψ Ψ = c1 c2 … cN = c c = c ⎣ ⎦⎢ ⎥ ∑ i i ∑ i i =1 ⎢ ⎥ i =1 c ⎣ N⎦
ซึ่งสอดคลองอยางลงตัวกับคํานิยามของ Ψ Ψ แทนสถานะ bra ดวย adjoint ของ vector นั่นเอง
______ สมการ (2.57)
และดวยเหตุนี้เอง จึงเปนการเหมาะสมที่เรา
เพราะฉะนั้นแลว สถานะ bra ที่แสดงถึง spin ของอิเล็กตรอนในการทดลองของ Stern-Gerlach สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ adjoint vector ภายใต basis state ± Z ไดวา 1 [1 −i ] 2 1 +X → [1 1] 2 +Z → [1 0] +Y →
1 [1 +i ] 2 1 −X → [1 −1] ____________ สมการ (2.58) 2 +Z → [0 1] −Y →
จากตัวอยางของสถานะ ket และ สถานะ bra ที่เขียนใหอยูในรูป vector และ adjoint vector ดังใน สมการ (2.54) และ (2.58) ตามลําดับนั้น จะปรากฏวา การคํานวณเชิงคณิตศาสตรใดๆที่เกี่ยวของ กับ ket และ bra ก็จะสามารถทําไดโดยใชกฎเกณฑของ linear algebra หรือ พีชคณิตเชิงเสนเขามา เปนตัวชวย ยกตัวอยางเชน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา − X −Y
2
2 Operator และ Matrix Mechanics =
1 [1 − 1] 1 ⎡⎢ ⎤⎥ 2 2 ⎣− i ⎦
1
1 = (1 + i ) 2 1 = 2
2
2-25
2
________________ สมการ(2.59)
ซึ่งการวิเคราะหโดยใช linear algebra เชนนี้ มีกฎเกณฑที่ตายตัวและโดยเฉพาะอยางยิ่ง งายตอการใช คอมพิวเตอรในการคํานวณ ขอควรระวัง สถานะที่เขียนใหอยูใ นรูปของ vector นั้น ถึงแมวาเราจะละไวในถานทีเ่ ขาใจวาใช ± Z เปน basis state แตก็ไมจาํ เปนเสมอไป อาทิเชน ในกรณีที่เราใช ± X เปน basis state จะสามารถเขียน
⎡1 ⎤ + X ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→⎢ ⎥ ± X basis ⎣0⎦
เพราะฉะนั้น กอนทีจ่ ะทําการคํานวณที่เกี่ยวของกับ
สถานะตางๆ โดยใช linear algebra นั้น ตองแนใจวา ทุกๆสถานะ เขียนขึ้นโดยใช basis set อัน เดียวกัน แบบฝกหัด 2.12 จงคํานวณ matrix mechanics
− X −Z
2
,
−Y − Z
2
,
−X −X
, และ
−X +X
โดยใช
แทน operator ของระบบดวย matrix เมื่อสังเกตการเขียน operator ดังสมการ (2.23) ซึ่งก็คือ N N
Oˆ = ∑ ∑ oij φ i i =1 j =1
φj
จะสังเกตเห็นวา
1) คาคงที่ oij นั้น มี index หรือ ดัชนีกํากับอยูส องตัวดวยกัน ซึ่งสอดคลองกับ index กํากับ ตําแหนงของ matrix 2) operator เมื่อกระทํากับ สถานะ ket จะเกิดขึ้นเปนสถานะ ket อันใหมขึ้นมา ในทํานองเดียวกัน กับที่ matrix เมื่อกระทํากับ vector ก็จะได vector เกิดขึ้นมา 3) จากแบบฝกหัด 2.5 เราสามารถคํานวณ oij ไดจากเอกลักษณทางคณิตศาสตร oij =
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
φ i Oˆ φ j
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-26
เพราะฉะนั้นจึงที่เหมาะสมอยางยิ่งที่เราจะใช matrix แทน operator โดยกอนที่เราจะกลาวถึงใน กรณีทั่วๆ จะขอยกตัวอยางของระบบที่มีจํานวนของ basis state เทากับ 2 สมมุติวาเรากําลังศึกษาระบบทางฟสิกสที่ใช เขียนใหอยูใ นรูปของ matrix ดังตอไปนี้ ⎡ +Z Oˆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ± Z basis ⎢ − Z ⎣
±Z
เปน basis state จะไดวา operator Oˆ สามารถ
Oˆ + Z Oˆ + Z
+ Z Oˆ − Z ⎤ ⎥ − Z Oˆ − Z ⎥⎦
___________ สมการ (2.60)
เพื่อใหงายในการทําความเขาใจ เราจะลองมาวิเคราะหตวั อยาง operator Ωˆ ดังที่ไดกลาวไวใน Section 2.1 ดังนั้น ˆ +Z = 1 +Z Ω ˆ −Z = 0 +Z Ω ˆ +Z = 0 −Z Ω
____________________ สมการ (2.61)
ˆ −Z = i −Z Ω
เทอมตางๆ ในสมการ (2.61) เรียกอีกอยางหนึ่งวา matrix element ของ operator Ωˆ ซึ่งเมื่อนํามา เขียนใหอยูใ นรูปของ matrix จะทําให ˆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎡1 0 ⎤ Ω ± Z basis ⎢⎣0 i ⎥⎦
___________ สมการ (2.62)
แบบฝกหัด 2.13 จาก Section 2.1 เราทราบวา Ωˆ + X = +Y จงใชรูปแบบของ operator ใน สมการ (2.62) และ รูปแบบของสถานะในสมการ (2.54) ประกอบกับ matrix-vector operation เพื่อ แสดงใหเห็นวา Ωˆ + X = +Y มาถึงขั้นนี้เราสามารถที่จะกําหนดระเบียบวิธีในการเขียน operator Oˆ ใดๆ ใหอยูใ นรูปของ matrix ไดดังตอไปนี้ กําหนดใหเซตของ { φ i } ใดๆ เปน basis state จะไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา ⎡ φ 1 Oˆ φ 1 ⎢ ⎢ φ Oˆ φ 1 Oˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ 2 ⎢ φ i basis ⎢ ⎢ φ N Oˆ φ 1 ⎣
{ }
แบบฝกหัด 2.14 a) จงเขียน operator b) จงเขียน operator
Jˆ+ =
+ Z −Z
(
1 Jˆ x = Jˆ+ + Jˆ− 2
2 Operator และ Matrix Mechanics φ 1 Oˆ φ N ⎤
φ 1 Oˆ φ 2
⎥ ˆ φ2 O φN ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ φ N Oˆ φ N ⎥ ⎦
φ 2 Oˆ φ 2 φ N Oˆ φ 2
และ operator
Jˆ− =
) ในรูปของ matrix
c) จงใชสมบัตกิ ารคูณ matrix - vector เพื่อพิสูจนวา
2-27
−Z + Z
______ สมการ (2.63)
ในรูปของ matrix
โดยใช matrix ที่ไดจาก (a)
Jˆ x ± X = ±
2
±X
Quantum Postulate และ Eigen Equation ใน Section 2.1 เราไดเขาใจกับคําวา operator ซึ่งเปนกลไกทาง quantum mechanics ที่ใชในการ เปลี่ยนแปลงสถานะเริ่มตนใหเปนสถานะผลลัพธ อันเปนคํานิยามของ operator ที่มีขอบเขตของการ ตีความอยูใ นวงกวาง quantum mechanics ยังมี operator ที่มีคุณสมบัติพิเศษอยูจําพวกหนึ่ง ซึ่งมีความหมายและเอกลักษณ ทางคณิตศาสตรที่เปนสมบัติเฉพาะ และมีความเกีย่ วของกับกระบวนการวัดหรือ measurement ในทางฟสิกส ซึ่งเปนคํานิยามของ operator ในกรอบที่แคบลงมา อันจะไดกลาวถึงในลําดับตอไปนี้ ตามขอกําหนด (postulate) ของ quantum mechanics เราเรียกปริมาณตางๆทางฟสิกสที่สามารถทํา การทดลองหรือตรวจวัดไดดว ยเครื่องมือวา observable ยกตัวอยางเชน โมเมนตัม ตําแหนงของวัตถุ หรือ พลังงานจลน ถือวาเปน observable และเราแทนกระบวนการวัดเพื่อที่จะทราบคา observable อันเปนสมบัตทิ างฟสิกสของระบบที่เรากําลังศึกษาเหลานี้ดวย operator จากคํานิยามทั้งสอง ประเด็นดังกลาว เราสามารถสรุป postulate (ขอกําหนด) อันสําคัญของ quantum mechanics ได ดังตอไปนี้
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-28
Postulate I: เมื่อพิจารณา observable A ยกตัวอยางเชน โมเมนตัม, พลังงาน, หรือ มวลของระบบ จะมี operator Aˆ ที่ใชเปนตัวแทนกระบวนตรวจวัดระบบซึ่งอยูในสถานะ a และทําใหทราบคา α ซึ่งเปนจํานวนจริงที่แสดงถึงปริมาณทางฟสิกสที่วัดได และเปนสมบัติเฉพาะตัวของสถานะ a นั้นๆ โดยทีก่ ระบวนการดังกลาว เขียนใหอยูในรูปแบบของคณิตศาสตรไดวา Aˆ a = α a
___________________ สมการ (2.64)
จากสมการขางตน Aˆ คือ operator ที่เมื่อเขาไปกระทํากับสถานะ a จะเปนการดึงเอา α ซึ่งเปน สมบัติเฉพาะตัวของ a ออกมา ทั้งนี้ เมื่อเราเปรียบเทียบผลของ operator ที่เขียนในสมการ (2.64) กับผลของ operator ที่เขียนในสมการ (2.1) มีขอสังเกต 4 ขอคือ 1) เรียก สมการ Aˆ a สถานะ a คาคงที่ α
=α a
วาเปน eigen equation วาเปน eigenstate ของ operator Aˆ วาเปน eigenvalue ของสถานะ a
2) สถานะ ket ที่ปรากฏอยูทั้งสองขางของสมการ (2.64) นั้นเปนสถานะ ket เดียวกัน ในขณะที่ สมการ (2.1) นั้น อาจจะเหมือนหรือตางกันก็ได 3) ตัวเลข α ทางขวามือของสมการ (2.64) จะตองเปนเลขจํานวนจริง เพราะมันมีความหมายถึง observable หรือ ปริมาณทางฟสิกสที่ตรวจวัดได ยกตัวอยางเชน เราไมสามารถกลาววา วัตถุมีมวล 2 + 1i กิโลกรัม หรือ จรวดพุงขึน ้ ฟาดวยมุมเงย 2 + 43i องศา 4) ถาเรามอง operator ใหอยูใ นรูปของ matrix มีคุณสมบัติที่สําคัญของ matrix ที่วา "Hermitian matrix จะมี eigenvalue เปนจํานวนจริงเทานั้น" (ทบทวน แบบฝกหัด 2.9) เพราะฉะนั้น เราเรียก operator Aˆ ดังในสมการ (2.64) วา Hermitian operator จากขอสังเกตขางตน จะพบวา operator สามารถทําหนาที่ใน 2 ลักษณะคือ 1) ในการเปลี่ยนแปลง สถานะ ดังในสมการ (2.1) และ (2) ทําหนาที่ในการวัด หรือ measurement ดังในสมการ (2.64)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-29
และเพื่อใหนกั ศึกษาไดคุนเคยกับ operator ที่ทําหนาที่ของ measurement มากขึ้น เราวกกลับมา กลาวถึง Stern-Gerlach experiment อีกครั้งหนึ่ง
Spin Operator ในบทที่ 1 เราไดศึกษาถึงการทดลองของ Stern-Gerlach ปรากฏวา เราพิจารณาสถานะ ket 2 สถานะดวยกันที่สามารถทําหนาที่เปน basis state ซึ่งก็คือ + Z และ − Z และ จากการทดลอง พบวา สถานะทั้งสองดังกลาว มีคุณสมบัติเฉพาะตัวซึ่งก็คือ spin angular momentum ตามแนวแกน z เทากับ + และ − ตามลําดับ 2
2
ดังนั้น เราสามารถที่สราง operator ซึ่งเปนกลไกทางคณิตศาสตรที่ใชแทนกระบวนการวัด spin angular momentum ตามแนวกัน z โดยอาจจะใชสัญลักษณวา Sˆz และอาศัยสมการ (2.64) จะไดวา Sˆ z + Z = +
2
+Z
___________ สมการ (2.65)
−Z
___________ สมการ (2.66)
และ Sˆ z − Z = −
2
จากคํานิยามของ Sˆz operator ในสมการ (2.65) และ (2.66) เราสามารถเขียน ใหอยูใ นรูปของ ketbra ดังนี้ Sˆ z = +
และในทํานองเดียวกันกับ Section 2.3 ⎡ +Z Sˆ z ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ± Z basis ⎢ − Z ⎣
2 Sˆ z
Sˆ z + Z Sˆ z + Z
+Z +Z −
2
−Z −Z
___________ สมการ (2.67)
operator ก็สามารถแสดงใหอยูใ นรูปของ matrix + Z Sˆ z − Z ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎥= ⎢ ⎥ − Z Sˆ z − Z ⎦⎥ 2 ⎣0 −1⎦
______ สมการ (2.68)
นอกจากเราจะสามารถวัด spin angular momentum ในแนวแกน z ซึ่งเปนที่มาของ operator Sˆz แลว เรายังอาจที่เลือกวัด spin angular momentum ตามแนวแกน x และในทํานองเดียวกันกับสมการ (2.65) และ (2.66) คํานิยามของ Sˆx เขียนใหอยูในรูป
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics Sˆ x + X = +
2
2-30
+X
___________ สมการ (2.69)
−X
___________ สมการ(2.70)
และ Sˆ x − X = −
2
สงผลให operator Sˆx มีรูปแบบของ matrix ดังตอไปนี้ ⎡ + X Sˆ x + X →⎢ Sˆ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ± X basis ⎢ − X Sˆ + X x ⎣
+ X Sˆ x − X ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎥= ⎢ ⎥ − X Sˆ x − X ⎥⎦ 2 ⎣ 0 −1⎦
______ สมการ (2.71)
อยางไรก็ตาม operator Sˆx ในสมการ (2.71) นัน้ มิไดมีประโยชนแตอยางใด เพราะมันอยูในรูป ของ basis state ที่แตกตางจาก Sˆz ในสมการ (2.68) ดังที่ไดกลาวไวในขอควรระวัง ใน Section 2.3.2 ที่วา matrix หรือ vector ที่เขียนขึน้ โดยอาศัย basis state ที่แตกตางกัน จะนํามากระทําการใดๆ ทางคณิตศาสตรรวมกันไมได เพราะฉะนั้นนัน้ เราเลือกที่จะเขียน operator Sˆx ใหอยูในรูปของ basis state + Z และ สามารถทําไดโดยการเปลี่ยนรูปของสมการ (2.69) และ สมการ (2.70) ใหอยูใ นรูปของ ±X =
1 1 +Z ± −Z 2 2
−Z
ซึ่ง
ดังนั้น
1 1 ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ Sˆ x ⎨ +Z + −Z ⎬ = + ⎨ +Z + −Z ⎬ 2⎩ 2 2 2 ⎩ 2 ⎭ ⎭
___________ สมการ (2.72)
1 1 ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ Sˆ x ⎨ +Z − −Z ⎬ = − ⎨ +Z − −Z ⎬ 2⎩ 2 2 2 ⎩ 2 ⎭ ⎭
___________ สมการ (2.73)
และ
เมื่อนําสถานะ bra (2.73) ทําให
+Z
เขาประกบทั้งสองขางของสมการ (2.72) และ ทั้งสองขางของสมการ
+ Z Sˆ x + Z + + Z Sˆ x − Z = +
2
___________ สมการ (2.74)
และ + Z Sˆ x + Z − + Z Sˆ x − Z = −
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
2
___________ สมการ(2.75)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-31
จะสังเกตวา สมการ (2.74) และ สมการ (2.75) เปนระบบของสมการ 2 ตัวแปรที่เราสามารถหาผล เฉลยไดโดยงาย กลาวคือ ___________ สมการ (2.76)
+ Z Sˆ x + Z = 0 + Z Sˆ x − Z = +
2
___________ สมการ (2.77)
ในทํานองเดียวกัน เมื่อนําสถานะ bra − Z เขาประกบทั้งสองขางของสมการ (2.72) และ ทั้งสอง ขางของสมการ (2.73) จะใหเกิดระบบของสมการ 2 ตัวแปร อันจะนําไปสูผลเฉลยที่วา − Z Sˆ x + Z = + − Z Sˆ x − Z = 0
2
___________ สมการ (2.78) ___________ สมการ (2.79)
เมื่อทําการรวบรวมเทอมตางๆในสมการ (2.76)-(2.79) ทําใหเราสามารถแสดง operator Sˆx โดยใช basis state + Z และ − Z ไดวา ⎡ +Z Sˆ x ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ± Z basis ⎢ − Z ⎣
Sˆ x + Z Sˆ x + Z
+ Z Sˆ x − Z ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎥= ⎢ ⎥ − Z Sˆ x − Z ⎥⎦ 2 ⎣1 0 ⎦
______ สมการ (2.80)
แบบฝกหัด 2.15 จงเขียน operator Sˆ y ใหอยูในรูปของ matrix โดยใช basis state และพิสูจนวา คําตอบที่ไดกค็ ือ ⎡0 −i ⎤ Sˆ y ⎯⎯⎯⎯⎯→ = ⎢ ± Z basis 2 ⎣ i 0 ⎥⎦
+Z
และ
−Z
______ สมการ (2.81)
ในเนื้อหาที่ผานมาเราสามารถที่จะออกแบบการทดลองในการวัด spin angular momentum โดยวาง แนวของแมเหล็กใน Stern-Gerlach experiment ใหอยูต ามแนวแกน x, y, และ z ซึ่งเปนที่มาของ operator Sˆx , Sˆ y , และ Sˆz ตามลําดับ และเราสรุปไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา Sx =
⎡0 1 ⎤ , 2 ⎢⎣1 0 ⎥⎦
Sy =
2 Operator และ Matrix Mechanics
⎡0 −i ⎤ , 2 ⎢⎣ i 0 ⎥⎦
และ
Sz =
⎡1 0 ⎤ 2 ⎢⎣0 −1⎥⎦
2-32
เมื่อใช basis state { + Z
, −Z
}
_____________________ สมการ (2.82) บางครั้งในการวิเคราะหคณ ุ สมบัติที่เกี่ยวของกับ spin เรานิยามสิ่งที่เรียกวา Pauli spin matrix ซึ่งใช สัญลักษณ σˆ x , σˆ y , และ σˆ z โดยที่ matrix เหลานี้มคี ํานิยามที่สัมพันธกับ spin angular momentum operator คือ
2
σˆ x = Sˆ x ,
2
σˆ y = Sˆ y , และ
2
σˆ z = Sˆ z
อยางไรก็ตาม เราไมจําเปนจะตองวางแนวของแมเหล็กไวตามแนวของแกนตางๆในพิกัด 3 มิติ เสมอไป ดังแสดงในภาพ 2.6 สมมุติวามี Stern-Gerlach experiment ที่ใชสนามแมเหล็กสองชุด แตทวาชุดแรกมิไดเรียงตัวอยูต ามแนวแกน x, y, หรือ z หากแตทมี่ ุมกม θ กับแกน z และ มุมกวาด ϕ กับแกน x SGSG-(θ , ϕ )
SG-Z SG-Z
z
พบ
+Z
เทาใด
พบ
−Z
เทาใด
S
beam 100%
S
θ
+n
50%
N y
ϕ −n
N
50%
x
ภาพ 2.6 แสดงการทดลองของ Stern-Gerlach ที่ใชสนามแมเหล็กสองชุด แตทวาชุดแรกมิไดเรียง ตัวอยูตามแนวแกน x, y, หรือ z หากแตที่มุมกม θ กับแกน z และ มุมกวาด ϕ กับแกน x ในขณะที่แมเหล็กชุดที่สองเรียงตัวอยูตามแนวแกน z และในการวิเคราะหครั้งนี้เราตองการทราบวา มีความนาจะเปนเทาใดทีจ่ ะตรวจพบอนุภาคอยูในสถานะ + Z และ − Z ตามลําดับ ในการที่จะตอบคําถามขอนี้ เราลองมาลําดับเหตุการณตางๆที่เกิดขึ้น ดังตอไปนี้
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-33
1) เมื่อ beam ของอนุภาคพุงผานสนามแมเหล็กชุดแรก ทําใหเกิดการแยกของอนุภาคออกเปนสอง ชนิด และเพื่อความสะดวกในการอธิบายความ เราเรียกสถานะของอนุภาคทั้งสองนี้วา + n และ −n
2) beam ของอนุภาค −n ถูกกั้นออกไป ในขณะที่ beam ของอนุภาคที่อยูในสถานะ สนามแมเหล็กชุดที่สอง ที่อยูตามแนวแกน z 3) ณ จุดนี้ เทากับวาเราไดเตรียมอนุภาคไวในสถานะ จะพบวาอนุภาคอยูในสถานะ ตามลําดับ
+Z
หรือ
−Z
+n
+n
พุงเขาสู
แลวทั้งหมด เพราะฉะนัน้ probability ที่
ยอมมีคาเทากับ
+ Z +n
4) จากขอ (3) จุดเริ่มตนในการตอบคําถามก็คือ เราจะตองทราบสถานะ และมีรูปแบบทางคณิตศาสตรอยางไร
+n
2
หรือ
−Z +n
2
กอนวา เปนอยางไร
5) จะสังเกตวา ถาวางสนามแมเหล็กในแนวแกน x ก็เทากับเรามี operator Sˆx ที่ทําการวัดสถานะ ของระบบ ซึ่งจะแยกออกมาเปนสองสถานะคือ + X หรือ − X โดยจะเห็นวา + X เปน eigenstate ของ operator Sˆx 6) ในทํานองเดียวกันกับการวางสนามแมเหล็กตามแนวแกน y ซึ่งแยก beam ของอนุภาคเปน หรือ −Y โดยจะเห็นวา +Y เปน eigenstate ของ operator Sˆ y
+Y
7) จากขอ (5) และ (6) การวางสนามแมเหล็กเปนมุม (θ , ϕ ) ก็เชนเดียวกัน ถาเราสามารถสราง operator ในทางคณิตศาสตรที่เปนตัวแทนของกระบวนการวัดนี้ได โดยจะเห็นวา สถานะ + n ก็ คือ eigenstate ของ operator ดังกลาว นัน่ เอง เมื่อวิเคราะหถึงลําดับเหตุการณตั้งแตขอ (1)-(7) เราสามารถนิยาม operator ในขางตนใหอยูในรูป spin angular momentum operator ในทิศ (θ , ϕ ) คือ Sˆ ⋅ nˆ _______ สมการ (2.83)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-34
เมื่อ Sˆ ≡ Sˆx i + Sˆ y j + Sˆz k และ nˆ คือ unit vector ที่ชี้ที่กํากับดวยมุม (θ , ϕ ) ซึ่งสามารถเขียนอยู ในรูปขององคประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ไดวา nˆ ≡ cos ϕ sin θ i + sin ϕ sin θ j + cos θ k เพราะฉะนั้นแลว Sˆ ⋅ nˆ = ( cos ϕ sin θ ) Sˆ x + ( sin ϕ sin θ ) Sˆ y + ( cos θ ) Sˆ z
_______ สมการ (2.84)
จากสมการ (2.82) เราสามารถเขียน operator Sˆ ⋅ nˆ ใหอยูในรูปของ matrix คือ ⎡0 1 ⎤ ⎡ 0 −i ⎤ ⎡1 0 ⎤ Sˆ ⋅ nˆ = ( cos ϕ sin θ ) ⎢ + + sin sin cos ϕ θ θ ( ) ( ) 2 ⎣1 0 ⎦⎥ 2 ⎣⎢ +i 0 ⎦⎥ 2 ⎣⎢ 0 −1⎦⎥ cos θ cos ϕ sin θ − i sin ϕ sin θ ⎤ ⎡ = ⎢ ⎥ − cos θ 2 ⎣cos ϕ sin θ + i sin ϕ sin θ ⎦
และเมื่ออาศัยเอกลักษณทางคณิตศาสตร e±iϕ = cos ϕ ± i sin ϕ matrix ขางตนจะลดรูปใหงายขึ้น ⎡ ⎢ + cos θ Sˆ ⋅ nˆ = ⎢ 2 ⎢ e+iϕ sin θ ⎢⎣ 2
⎤ e−iϕ sin θ ⎥ 2 ⎥ ⎥ − cos θ ⎥⎦ 2
_______ สมการ (2.85)
เพื่อคํานวณหา eigenstate ของ matrix ดังในสมการ (2.85) เราจะตองหา eigenvalue เสียกอน ซึ่งก็ ทําไดโดยการกําหนดให ⎡ ⎢ cos θ − λ det ⎢ 2 ⎢ e+iϕ sin θ ⎢⎣ 2
ซึ่งจะทําใหได polynomial:
⎛ ⎞ ⎝ ⎠
2
λ2 − ⎜ ⎟ = 0 2
_______ สมการ (2.86)
และจะไดวา eigenvalue ทั้งสองก็คือ
λ± = ±
Dr. Teepanis Chachiyo
⎤ e −iϕ sin θ ⎥ 2 ⎥=0 − cos θ − λ ⎥ ⎥⎦ 2
2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
______________________ สมการ (2.87)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
เพื่อที่จะหา eigenstate เรานิยาม
2 Operator และ Matrix Mechanics
⎡c ⎤ + n ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 1 ⎥ ± Z basis ⎣c2 ⎦
2-35
และใชกลไกของการคํานวณ
eigenvector ซึ่งอยูในเนื้อหาของ linear algebra ในการหาคาของ c1 และ c2 จะไดวา ⎡ ⎢ + 2 cos θ ⎢ ⎢ e+iϕ sin θ ⎣⎢ 2
⎤ ⎡ c1 ⎤ e−iϕ sin θ ⎥ ⎡ c1 ⎤ 2 ⎢ ⎥=+ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ 2⎢ ⎥ ⎥ − cos θ ⎢⎣c2 ⎥⎦ ⎢⎣c2 ⎥⎦ 2 ⎦⎥
__________ สมการ (2.88)
1 − cos θ sin θ
__________ สมการ (2.89)
ซึ่งจะไดความสัมพันธ c2 = c1e +iϕ
⎡ c1 ⎤ ⎥ ⎣c2 ⎦
และเนื่องจาก ⎢
มิใช eigenvector ทั่วๆไป แตเปน eigenvector ที่แทนสถานะของ quantum
mechanics ซึ่งจะตองเปนไปตามเงื่อนไขของ sum rule ดังในสมการ (1.44) ซึ่งก็คือ N
∑ ci
2
i =1
2
= 1 = c1 + c2
เมื่อพิจารณาสมการ (2.89) และ สมการ (2.90) รวมกันจะไดวา
2
2
c1 =
__________ สมการ (2.90)
sin 2 θ 1 − cos θ
และเมื่อผนวกกับ
เอกลักษณทาง trigonometry sin θ = 2sin θ cos θ , cos θ = cos2 θ − sin 2 θ จะไดวา 2
2
c1 = cos
2
θ 2
2
__________________ สมการ (2.91)
ซึ่งเมื่อแทนเขาไปในสมการ (2.89) ทําใหทราบวา c2 = e+iϕ sin
θ 2
__________________ สมการ (2.92)
ดวยเหตุนี้ เราสรุปไดวาหนึง่ ใน eigenstate ของ operator Sˆ ⋅ nˆ ก็คือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา + n = cos
θ 2
2 Operator และ Matrix Mechanics
+ Z + e +iϕ sin
θ 2
ซึ่งมี eigenvalue +
−Z
2
2-36
___________ สมการ (2.93)
วกกลับมาที่คําถามที่มีไวตั้งแตแรก ดังในภาพ คือความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคอยูใ นสถานะ +Z
หรือ
−Z +n
2
−Z
ซึ่งจากลําดับเหตุการณในขอ (3) ที่ผานมา ยอมมีคาเทากับ
+ Z +n
2
หรือ
ตามลําดับ และจากสมการ (2.93) จะไดวา +Z +n
2
−Z +n
2
= cos 2 = sin
θ 2
2θ
___________ สมการ (2.94)
2
สมการ (2.94) ถือเปนความสําเร็จอยางยิ่งในการอธิบาย Stern-Gerlach experiment ที่ใชชุดแมเหล็ก สองชุด ซึ่งทํามุมกัน (θ , ϕ ) เราสามารถตรวจสอบความถูกตองของสมการ (2.94) ในขั้นตนโดย การแทนคา (θ , ϕ ) ตางๆกัน จากนัน้ เปรียบเทียบกับผลการทดลองของ Stern-Gerlach ที่ไดศึกษาใน บทที่ 1 ซึ่งการเปรียบเทียบดังกลาวสรุปไดดังนี้ ชุดแมเหล็ก
(θ , ϕ )
แนวแกน z แนวแกน x
θ =0 π θ = ,ϕ = 0 2
แนวแกน y
θ=
π
2
,ϕ =
+ Z +n
−Z +n
1 1 2 1 2
π 2
แบบฝกหัด 2.16 จงหา eigenstate
2
−n
0 1 2 1 2
2
เปรียบเทียบ ความถูกตอง กับสมการ 9 (1.21), (1.22) 9 (1.25) 9
(1.34)
ของ operator Sˆ ⋅ nˆ ซึ่งมี eigenvalue เปน −
2
2.4 Expectation Value และ Uncertainty ธรรมชาติของทฤษฏี quantum mechanics ที่นําเอาความนาจะเปนเขามาเกี่ยวของกับกระบวนการทาง วัด หรือ measurement นั้น ทําใหการวัดปริมาณทางฟสิกสในแตละครั้งมีคาที่ตรวจวัดไดแตกตาง กัน เพราะฉะนั้น หลีกเลี่ยงไมไดที่เราจะตองกลาวถึงคุณสมบัติเชิงสถิติของการวัด หรือ ในภาษา ของ quantum mechanics กลาวถึงคุณสมบัติเชิงสถิติของ operator ซึ่งประกอบดวยคาเฉลี่ยของ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-37
การวัด หรือ เรียกอีกอยางหนึง่ วา expectation value และ คาความไมแนนอนของการวัด ที่เรียกวา uncertainty
สถิติ และ สถานะ ในสาขาวิชาสถิติ เมื่อมีเหตุการณหลายๆเหตุการณทจี่ ะอาจจะเกิดขึน้ ดวยความนาจะเปนทีแ่ ตกตาง กัน มีปริมาณเชิงสถิติหลายอยางดวยกันทีจ่ ะเปนเครื่องมือในการทําความเขาใจถึงพฤติกรรมของ ระบบทางฟสิกสที่เรากําลังศึกษาใหไดมากขึ้น อาทิเชน average (คาเฉลี่ย) และ standard deviation (คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน) กอนที่จะมุงประเด็นไปที่การเขียนสมการใหอยูใ นรูปทัว่ ไป เราควรจะพักการวิเคราะหที่หนักหนวง ในเชิง quantum mechanics และมาทบทวนในเนื้อหาของวิชาสถิติโดยใชโจทยของการเลนพนัน
ในการเลนพนัน ทอดลูกเตาแบบใหม มีกติกาวา ถาลูกเตา หงายออกมาหนาใด นักศึกษาจะไดเงินตอบแทนจากเจามือ เปนจํานวนบาท เทากับหมายเลขของหนาลูกเตานั้นๆ ยกตัวอยางเชน ถาลูกเตาหงายเลข 2 นักศึกษาจะไดเงิน 2 บาท แตมีขอแมวา ในการโยนแตละครั้ง นักศึกษาตองเสียคาธรรมเนียมใหเจามือ 3 บาท ถามวาในการ เลนแตละครั้ง เจามือจะไดกําไรหรือขาดทุน โดยเฉลี่ยแลวกี่บาท? ในการวิเคราะหหาคาเฉลี่ย เราแทนสถานะที่เปนไปไดทั้งหมด (หรือ basis state) ดวยสัญลักษณ one , two , , six ซึ่งสถานะทั้งหกมีคุณสมบัติที่สรุปเปนตารางไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
สถานะ
2 Operator และ Matrix Mechanics
ความนาจะเปน
observable คือ "เงินที่ได" eigenvalue ของ observable
1 6 2 1 c2 = 6 2 1 c3 = 6 2 1 c4 = 6 2 1 c5 = 6 2 1 c6 = 6
α1 = 1
2
c1 =
one two three four five six
2-38
α2 = 2 α3 = 3 α4 = 4
α5 = 5 α6 = 6
ในทางสถิติ เราสามารถคํานวณคาเฉลี่ยของ "เงินที่ไดรับ" ซึ่งมีคาเทากับ α=
(เงิน 1 บาท)(probability หงายเลข 1) + (เงิน 2 บาท)(probability หงายเลข 2) + … (เงิน 6 บาท)(probability หงายเลข 6)
และเขียนใหอยูในรูปของสัญลักษณดังทีแ่ สดงในตารางไดวา 2
2
α = α 1 c1 + α 2 c2 +
+ α 6 c6
2
6
= ∑ α i ci
2
= 3.5 บาท
________ สมการ (2.95)
i =1
เพราะฉะนั้นในการวัดดวงแตละครั้ง เจามือจะตองจายในนักศึกษาโดยเฉลี่ยแลว 3.5 บาท ในขณะที่ เขาไดรับเงินเพียง 3 บาทเปนคาธรรมเนียม จึงสรุปไดวา ตามกติกาการการเลนที่วานี้ "เจามือขาดทุนโดยเฉลี่ย ตาละ 50 สตางค" แบบฝกหัด 2.17 ถาเจามือทําการดัดแปลงลูกเตา ใหโอกาสที่จะหงายหนาหมายเลขหนึ่ง มีความ นาจะเปน เปน 3 เทาของหนาอื่นๆ จงหาวาในคราวนี้ เจามือจะไดกําไรเปนเงินเทาใด ถาโยน 100 ครั้ง ใหสังเกตความพยายามทีจ่ ะเขียนสัญลักษณโจทยขอดังกลาว ใหมีความคลายคลึงกับสัญลักษณทาง quantum mechanics ทั้งนีก้ ็เพื่อความสะดวกในการที่จะใหนักศึกษาสามารถเชื่อมโยงตรรกะและ ความสัมพันธ จากการคํานวณเชิงสถิติ ไปสูสิ่งที่เรียกวา expectation value Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-39
Expectation Value การวัด หรือ operator ในทาง quantum mechanics ก็มิไดแตกตางอะไรมากนักกับการที่นักพนันเปด ฝากระติบขาวเหนียวเพื่อทีจ่ ะเห็นลูกไฮโล (ลูกเตา) ที่อยูภายใน เมื่อระบบทางฟสิกสอยูในสถานะ
N
Ψ = ∑ ci a i
ซึ่งเปนสถานะผสมระหวาง basis state ตางๆที่
i =1
อาจจะเกิดขึ้นได โดยมี
ci
2
แสดงถึง probability ที่ระบบดังกลาว จะอยูใน basis state นัน้ ๆ
ในทํานองเดียวกันกับที่ สถานะ one , two , , six มีจํานวน "เงินที่ไดรับ" แตกตางกันออกไป basis state a i ก็มี eigenvalue αi แตกตางกันออกไป ซึง่ eigenvalue αi ดังกลาว ก็คือปริมาณ ทางฟสิกสเชนโมเมนตัม, พลังงาน, หรือ ความเร็ว ที่สอดคลองกับกระบวนการวัดที่เรียกวา operator Aˆ หรือ อีกนัยหนึ่ง Aˆ a i = α i a i
และในทํานองเดียวกันกับการหาคาเฉลี่ยของเงินที่ไดรับจากการพนัน ระบบซึ่งอยูในสถานะ เมื่อทําการวัดดวย operator Aˆ จะมีคาเฉลี่ยของปริมาณทางฟสิกสเทากับ
Ψ
N
คาเฉลี่ย α = ∑ ci 2 α i เรียกในภาษา quantum mechanics วา expectation value i =1
อยางไรก็ตาม เราสามารถเขียนคาเฉลี่ยในสมการขางตน ใหอยูใ นรูปแบบมาตรฐานของ quantum mechanics ดวยการใชคณ ุ สมบัติของ probability amplitude ที่วา ci 2 = ci∗ci = Ψ a i a i Ψ ซึ่งทําให N
expectation value α = ∑
i =1
Ψ ai
⎧⎪ N a i Ψ α i = Ψ ⎨∑ α i a i ⎪⎩i =1
⎫⎪ ai ⎬ Ψ ⎪⎭
___ สมการ (2.96)
โดยที่ในสมการขางตน เราทําการจัดกลุมของเทอมตางๆ สวนสถานะ ket Ψ และ สถานะ bra Ψ นั้น สามารถแยกออกมาขางนอก summation ไดเพราะไมไดเกีย่ วของกับ index i แตอยางใด Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
และจากแบบฝกหัด 2.25 เราสามารถเขียน operator
Aˆ
ใหอยูในรูป
2-40
N
Aˆ = ∑ α i a i i =1
ai
เพราะฉะนั้นสมการ (2.96) ลดรูปหรือเพียง expectation value หรือ เขียนสั้นๆวา
Aˆ = Ψ Aˆ Ψ
______ สมการ (2.97)
เพื่อเปนตัวอยางของการหาคาเฉลี่ย หรือ expectation value ของระบบ เราจะมาวิเคราะห spin ของ อิเล็กตรอนที่อยูภายในสนามแมเหล็ก B สมมุติวาเมื่ออิเล็กตรอนอยูทา มกลางสนามแมเหล็กที่เรียงตัวตามแนวแกน z หรือ พลังงาน ซึ่งสามารถวัดไดดว ย operator ω ω Hˆ = 0 + Z + Z − 0 − Z − Z 2 2
B = B0k
จะมี
______ สมการ (2.98)
ที่มาของ operator Hˆ ดังกลาวไมใชประเด็นที่จะตองอธิบายในคราวนี้ แตจะไดรับการขยายความใน บทที่ 4 ประเด็นที่สําคัญในการวิเคราะหครั้งนี้ก็คือ สมมุติวา spin ของอิเล็กตรอนอยูในสถานะทีช่ ี้ ในแนวแกน y หรือ Ψ = +Y จงหาพลังงานเฉลี่ยของระบบ จะเห็นวา operator Hˆ ในสมการ (2.98) นั้น เขียนอยูใ นรูปของ basis state ± Z ดังนั้นเพื่อเปน การสะดวกในการคํานวณ เราจะเขียนสถานะของระบบ Ψ = +Y ใหอยูใ นรูป Ψ =
1 i +Z + −Z 2 2
และ
Ψ =
1 i +Z − −Z 2 2
______ สมการ (2.99)
จากสมการ (2.97) เราสามารถคํานวณพลังงานเฉลี่ยไดจาก ω i i ⎧ 1 ⎫⎧ ω ⎫ ⎫⎧ 1 Ψ Hˆ Ψ = ⎨ +Z − −Z ⎬ ⎨ 0 +Z + Z − 0 −Z −Z ⎬ ⎨ +Z + −Z ⎬ 2 2 2 ⎭⎩ 2 ⎩ 2 ⎭⎩ 2 ⎭
______ สมการ (2.100) และเมื่อนํา operator Hˆ เขาไปกระทํากับสถานะ ket ทางขวามือจะไดวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
⎧ Ψ Hˆ Ψ = ⎨ ⎩ ⎛ =⎜ ⎝ Ψ Hˆ Ψ = 0
2 Operator และ Matrix Mechanics
ωi 1 i ⎫⎧ ω ⎫ +Z − −Z ⎬ ⎨ 0 + Z − 0 −Z ⎬ 2 2 2 2 ⎭⎩2 2 ⎭ 1 ⎞ ω0 ⎛ i ⎞ ω0i +⎜ ⎟ ⎟ 2⎠2 2 ⎝ 2⎠ 2 2
2-41
______ สมการ (2.101)
ซึ่งในทายที่สดุ จะพบวา พลังงานโดยเฉลี่ยมีคาเปนศูนย ที่เปนเชนนีก้ เ็ พราะวา เมื่อ spin ของ อิเล็กตรอนอยูใ นแนวแกน y ทําใหมี probability 50-50 ที่จะพบ spin ของอนุภาคเรียงตัวในทิศ ขนานไปกับ หรือ ในทิศตรงกันขามกับสนามแมเหล็ก B = B0k แบบฝกหัด 2.18 สมมุติวา spin ของอิเล็กตรอนอยูในสถานะ + n = cos
θ 2
+ Z + e +iϕ sin
θ 2
−Z
จงหา expectation value ของพลังงาน ที่ระบบดังกลาวมีอยู
แบบฝกหัด 2.19 จะเห็นวา operator Hˆ ในสมการ (2.98) สามารถเขียนใหอยูในรูปของ matrix ω ⎡1 0 ⎤ Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ = H = 0 ⎢ ± Z basis 2 ⎣ 0 −1⎥⎦
ในขณะเดียวกันที่ สถานะ
+n
สามารถเขียนใหอยูในรูป vector
θ ⎤ ⎡ ⎢ cos 2 ⎥ + n ⎯⎯⎯⎯⎯→ n+ = ⎢ ⎥ ± Z basis ⎢e+iϕ sin θ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
จงคํานวณ expectation value ของพลังงานโดยใชกระบวนการของ matrix - vector operation กลาวคือ n+† ( Hn+ ) และเปรียบเทียบผลกับแบบฝกหัด 2.18 ˆ ˆ เมื่อ Hˆ คือ operator ดังสมการ (2.98) แบบฝกหัด 2.20 พิจารณา operator Hˆ 2 ≡ HH a) จงเขียน operator Hˆ 2 ในรูปของ ket-bra b) จงเขียน operator Hˆ 2 ในรูปของ matrix c) จงหา expectation value ของระบบ Ψ = +Y เมื่อทําการวัดดวย operator Hˆ 2 ดังกลาว และ เปรียบเทียบกับในกรณีของตัวอยาง วา Ψ Hˆ 2 Ψ = 0 หรือไม
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics N 2 Aˆ = Ψ Aˆ Ψ = ∑ c i α i
แบบฝกหัด 2.21 จงใชคํานิยามของ expectation value
2-42
เพื่อพิสูจน
i =1
เอกลักษณทางคณิตศาสตรเหลานี้ a) 1ˆ = 1 คาเฉลี่ยของ unitary operator เทากับ 1 b)
γ Aˆ = γ Aˆ
c) d)
Aˆ
เมื่อ γ คือคาคงที่
= Aˆ
Aˆ + Bˆ = Aˆ + Bˆ
เมื่อสถานะเปลี่ยน phase Ψ → eiθ Ψ เราจะปดทายบทวิเคราะหในเนื้อหาของ expectation value ดวยคุณสมบัติที่สําคัญอีกประการหนึ่งของสถานะ Ψ โดยทั่วไป พิจารณาสถานะ Ψ ที่อธิบายพฤติกรรมของระบบทางฟสิกส เมื่อมีคาคงที่ e+iθ โดยที่ θ เปน จํานวนจริงใดๆ เขามาคูณกับสถานะ Ψ กลาวคือ Ψ → e+iθ Ψ
หรือ ในรูปของ bra
Ψ → e−iθ Ψ
การเปลี่ยนแปลงของสถานะในลักษณะเชนนี้ จะสงผลให expectation value ของ operator ที่สอดคลองกับกับสถานะใหมที่เกิดขึน้ ดังกลาว มีคาเทากับ
{
}{
Ψ Aˆ Ψ ⎯⎯⎯ → Ψ e −iθ Aˆ e+iθ Ψ
} = e−iθ e+iθ
Aˆ
ใดๆ
Ψ Aˆ Ψ = Ψ Aˆ Ψ
ขางตนจะเห็นวา เมื่อสถานะของระบบมีการเปลี่ยน phase หรือ Ψ → e+iθ Ψ จะไมทําให ปริมาณตางๆในทางฟสิกสที่ตรวจวัดได มีการเปลี่ยนแปลงแตอยางใด เพราะฉะนั้นแลว การที่ สถานะของระบบไดรับการคูณดวยคาคงที่ e+iθ เปนกลไกทางคณิตศาสตรที่ไมมีนัยสําคัญอันใดตอ quantum mechanics ยกตัวอยางเชน เราอาจจะเขียนสถานะ
+n
ดังสมการ (2.93) เสียใหมใหอยูในรูป
+ n → e−iϕ + n = e−iϕ cos
θ 2
+ Z + sin
θ 2
−Z
หรือ −i
ϕ
−i
ϕ
+ n → e 2 + n = e 2 cos
Dr. Teepanis Chachiyo
θ
+i
ϕ
θ + Z + e 2 sin − Z 2 2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-43
ก็มิไดทําใหนยั ยะทางฟสิกสเกิดการเปลีย่ นแปลงแตประการใด
Uncertainty คาเฉลี่ย หรือ expectation value เพียงอยางเดียว บงบอกถึงพฤติกรรมของระบบไดไมครบถวน ยกตัวอยางเชน การที่ประเทศสองประเทศมีประชากรซึ่งมีรายไดโดยเฉลี่ยที่เทากัน คือ 15,000 บาท ตอเดือน ประเทศที่หนึ่งอาจจะไมไดมีชองวางระหวางคนรวยและคนจนมากมายนัก นั่นก็หมายถึง ประชากรสวนใหญสามารถทํามาหาเลี้ยงตนเองไดในระดับหนึ่งและมีความสุขตามอัตภาพ ในขณะ ที่ประเทศที่สอง มีประชากรสวนใหญยากจนและดอยโอกาส ดวยเงินรายไดเพียงเดือนละ 4,000 บาท ซึ่งไมเพียงพอที่จะซื้อหาแมกระทั่งสิ่งจําเปนในการดํารงชีวิต และมีประชากรสวนนอยที่ร่ํารวย มหาศาลและกุมทรัพยากรของชาติไวในมือ อยางไรก็ตาม ประเทศที่สองมีรายไดโดยเฉลี่ย 15,000 บาท ตอเดือนตอคน หากแตมีชองวางของรายไดจํานวนมหาศาล ในทางสถิติ คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ standard deviation (S.D.) แสดงถึงปริมาณการกระจายตัว ของปริมาณตางๆ วาอยูหางจากคาเฉลี่ยมากนอยแคใด ดังในตัวอยางขางตน เราบอกวา รายไดของ ประชากรในประเทศที่หนึ่งมี S.D. ต่ํา ในขณะที่ประเทศที่สองมี S.D. สูง ซึ่งคา standard deviation ในทางสถิติสามารถคํานวณไดจาก S.D. =
{ x − x }2
______________ สมการ (2.102)
ในทาง quantum mechanics เมื่อทําการวัดปริมาณทางฟสิกสดวย operator Aˆ และพบวาตรวจวัดได คาเฉลี่ยเทากับ Aˆ แตดว ยความไมแนนอนทีเ่ ปนธรรมชาติพื้นฐานของทฤษฏี quantum mechanics การวัดแตละครั้งก็จะไดคาที่แตกตางกันออกเปน ถาแตกตางกันมาก แสดงวาการวัดมี ความคลาดเคลื่อนสูง หรือถากระจุกตัวอยูใ กลเคียงกับ expectation value Aˆ ก็แสดงวามีความ แมนยํา เพราะฉะนัน้ เราสามารถนิยาม uncertainty หรือ ความไมแนนอนของการวัดดวย operator Aˆ ในทํานองเดียวกับสมการ (2.102) ไดวา uncertainty ΔA ≡
Dr. Teepanis Chachiyo
{
Aˆ − Aˆ
}
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
2
______________ สมการ (2.103)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-44
จะเห็นวา เราใชสัญลักษณ ΔA แสดงถึง ความไมแนนอนของการวัด หรือ uncertainty และผนวก กับเอกลักษณทางคณิตศาสตรในแบบฝกหัด 2.21 เราสามารถลดรูปสมการ (2.103) ใหงายขึน้ โดย อาศัย { Aˆ −
Aˆ
}
2
2 = Aˆ 2 − 2 Aˆ Aˆ + Aˆ
{ Aˆ − Aˆ }
2
เพราะฉะนัน้
2 = Aˆ 2 − 2 Aˆ Aˆ + Aˆ
= Aˆ 2 + −2 Aˆ Aˆ +
{
Aˆ − Aˆ
}
2
2 Aˆ
2 = Aˆ 2 − 2 Aˆ Aˆ + Aˆ
ในกระบวนการขางตน เราใชสมบัติการกระจายดังในแบบฝกหัด 2.21d และตามดวยสมบัติใน แบบฝกหัด 2.21b และ 2.21c ทําใหในทายที่สุดแลว ΔA =
2 Aˆ 2 − Aˆ
______________ สมการ (2.104)
ยกตัวอยางเชน สมมุติเรามีระบบที่มี spin อยูในสถานะ + Z และตองการทราบ uncertainty ของ การวัด spin ตามแนวแกน x หรืออีกนัยหนึ่ง ตองการทราบ ΔS x การคํานวณ uncertainty ดังสมการ (2.104) แบงออกเปนสองขั้นตอน คือ 1) คํานวณ
Sˆ x = Ψ Sˆ x Ψ
และเพื่อเปนการทบทวนเราจะใชกระบวนการทาง matrix
mechanics ในการคํานวณ กลาวคือ ⎡0 1 ⎤ ⎡1 ⎤ Ψ Sˆ x Ψ = [1 0] ⎢ =0 2 ⎣1 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
2) คํานวณ
______________ สมการ (2.105)
ทั้งนี้เราสามารถเขียน operator Sˆx2 ใหอยูในรูปของ matrix
Sˆ x2 = Ψ Sˆ x Sˆ x Ψ
ไดโดยอาศัย matrix-matrix operation Sˆ x Sˆ x =
Dr. Teepanis Chachiyo
2 1 0 ⎡0 1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎣1 0 ⎦ 2 ⎣1 0 ⎦ 4 ⎣ 0 1 ⎥⎦
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-45
เพราฉะนั้น Sˆ x2 = [1 0]
2 ⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ = 4 ⎢⎣0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 4 2
______________ สมการ (2.106)
ทั้งนี้ การคํานวณในสมการ (2.105) และ สมการ (2.106) เราละไวในถานที่เขาใจวา กําลังใช basis state ± Z และสืบเนื่องจากสมการทั้งสอง uncertainty ดังในสมการ (2.104) มีคาเทากับ ΔS x =
2 Sˆ x2 − Sˆ x =
2
แบบฝกหัด 2.22 (a) จงหาความไมแนนอนของการวัด spin ตามแนวแกน x ของระบบ ถากําหนดใหระบบอยูใน สถานะ
+ n = cos
θ 2
+ Z + e +iϕ sin
θ 2
−Z
(b) มุม (θ , ϕ ) เปนเทาใดจึงจะวัดไดแมนยําที่สดุ และในกรณีใดทีว่ ัดไดหยาบที่สุด
2.5 Rotation Operator เนื้อหาในลําดับสุดทายของบทที่ 2 เราจะกลาวถึง rotation operator ที่จะเปนการนําความรูเรื่อง operator ในประเด็นตางๆมาสังเคราะหรวมกัน เมื่อกลาวถึง spin ของอนุภาคที่อาจจะชี้ไปใน ทิศทางตางๆกัน อาทิเชน + X และใน Section 2.1 เราไดเกริน่ ถึง operator Ωˆ ที่สามารถจะหมุน + X เปนมุม 90 องศา ใหกลายเปน +Y rotation operator ก็ทําหนาที่คลายๆกัน แตมันสามารถ ที่จะหมุน spin ของระบบรอบแกน z ดวยมุม ϕ ใดๆ
Infinitesimal Rotation พิจารณา operator ที่ทําใหสถานะ spin ของอนุภาคมีการหมุน 90 องศา ดังแสดงในภาพ 2.7a จะ เห็นวา แทนทีจ่ ะหมุนสถานะดังกลาวนี้รวดเดียว 90 องศา เราสามารถหมุนสถานะเปนมุมเล็กๆ dϕ องศา (infinitesimal rotation) ดังในภาพ 2.7b ซึ่งถาหมุนซ้ํากันหลายๆครั้ง ในทายที่สุดผลที่ เกิดขึ้นก็จะเปรียบเหมือนวา เราไดหมุนสถานะดังกลาวไปแลว 90 องศาดังที่ตองการ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
z
2-46
z
+Y y
+X
y
90 o
x
x
dϕ (b)
(a)
ภาพ 2.7 a) พิจารณา operator ที่หมุนสถานะไป 90 องศา b) แทนที่จะหมุน 90 องศาในครั้งเดียว เราสามารถที่หมุนคราวละ dϕ องศา ซึ่งเปนมุมที่มีขนาดเล็กมาก (infinitesimal rotation) การเขียนหรือการใหคํานิยามของ operator ที่สามารถหมุนสถานะเปนมุมขนาดเล็กๆ dϕ องศานั้น สามารถเขียนอยูในรูปของ ˆ Rˆ (dϕ k ) = 1 + dϕ Φ
___________________ สมการ (2.107)
การเลือกใชสญ ั ลักษณ Rˆ ก็เพียงเพื่อใหสื่อถึง rotation operator และ การเขียน (dϕ k ) กํากับ ก็ เพียงเพื่อขยายความวาเปนการหมุนดวยมุม dϕ ซึ่งมีขนาดเล็กๆ รอบแกน z ซึ่งในลําดับตอไป เรา จะเรียก operator Rˆ (dϕ k ) นี้วา infinitesimal rotation การเขียน infinitesimal rotation operator Rˆ (dϕ k ) ใหอยูในรูปของ 1 + dϕ Φˆ มีความเหมาะสมดวย เหตุที่วา ถาหาก dϕ → 0 แลว จะทําให Rˆ (dϕ k ) → 1 นั่นก็หมายความวา ถาเราหมุนสถานะ ดวยมุม 0 องศา สถานะผลลัพธที่เกิดขึ้น ก็คือสถานะเดิม ไมมีการเปลี่ยนแตอยางใด ในกรณีที่ dϕ ≠ 0 operator Φˆ จะเปนตัวกําหนดการเปลี่ยนแปลงไปของสถานะ ซึ่งในขั้นตนนี้ เรายังไมทราบวา operator Φˆ จะตองมีรูปแบบในทางคณิตศาสตรอยางไร จึงจะทําใหเกิดการหมุน ดังที่เราตองการ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-47
นอกจากนี้ infinitesimal rotation operator ดังที่เห็นในสมการ (2.107) นั้น ยังมีเอกลักษณทาง คณิตศาสตรที่สําคัญอยางยิ่งอันหนึ่ง ซึ่งจะไดกลาวถึงดังตอไปนี้ สมมุติวา เราตองการที่จะหมุนสถานะเปนมุม ϕ องศา แทนที่จะหมุนภายในครั้งเดียว เราสามารถ แบงการหมุนออกเปน N ครั้ง โดยที่ N เปนจํานวนเต็มบวก จะไดวา ในการหมุนยอยๆแตละครั้งนั้น dϕ =
ϕ N
ซึ่งเราจะตองทําการหมุนทั้งสิ้น N ครั้งซอนๆกัน จะไดวา ⎡ ⎛ ϕ ⎞ ˆ ⎤⎡ ⎛ ϕ ⎞ ˆ ⎤ Rˆ (dϕ k ) = ⎢1 + ⎜ ⎟ Φ ⎥ ⎢1 + ⎜ ⎟ Φ ⎥ ⎝ N ⎠ ⎦⎣ ⎝ N ⎠ ⎦ ⎣ N terms
Rˆ (ϕ k ) = Rˆ (dϕ k ) Rˆ (dϕ k )
⎡ ⎛ϕ ⎞ ˆ⎤ ⎡ ⎛ϕ ⎞ ˆ⎤ ⎢1 + ⎜ N ⎟ Φ ⎥ = ⎢1 + ⎜ N ⎟ Φ ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
N terms
แตเนื่องจากคํานิยามขางตนของ operator Rˆ (dϕ k ) = 1 + dϕ Φˆ มีสถานะเปน infinitesimal rotation ดังนั้นเราจําเปนจะตองหมุนเปนมุมขนาดเล็ก dϕ → 0 ซึ่งในทางคณิตศาสตร ทําไดโดยกําหนดให limit N → ∞ เพราะฉะนั้นแลว ⎡ ⎛ϕ ⎞ ˆ⎤ Rˆ (ϕ k ) = lim ⎢1 + ⎜ ⎟ Φ ⎥ N →∞ ⎣ ⎝ N ⎠ ⎦
N
___________________ สมการ (2.108)
แบบฝกหัด 2.23 จงพิสูจนวา N
x⎤ ⎡ lim 1 + ⎥ = e x N →∞ ⎢ ⎣ N⎦
โดยการหาอนุกรม Taylor ของเทอมทั้งสองขางของสมการ แลวตรวจสอบวา อนุกรมทั้งสองนั้น มีคา เทากันหรือไม สืบเนื่องจาก แบบฝกหัด 2.23 และรูปแบบในสมการ (2.108) นั้น เราใชเอกลักษณทางคณิตศาสตร บอกไดวา rotation operator ที่สามารถหมุนระบบเปนมุม ϕ องศานั้น สามารถเขียนใหอยูในรูป ˆ Rˆ (ϕ k ) = eϕ Φ
___________________ สมการ (2.109)
อยางไรก็ตาม การเขียน infinitesimal rotation ใหอยูใ นรูป Rˆ (dϕ k ) = 1 + dϕ Φˆ ดังสมการ (2.107) หรือแมกระทัง่ การเขียน finite rotation ใหอยูในรูปดังสมการ (2.109) ก็ดี เปนแตเพียงการหนีเสือ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
N
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-48
ปะจระเข กลาวคือ เราก็ยังไมทราบอยูดีวารูปแบบทางคณิตศาสตรที่ชัดเจนของ operator Φˆ นี้วาเปน อยางไร และ มันจะสามารถหมุนสถานะตางๆ ไดอยางที่เราตองการหรือไม หรือแมกระทั่งคําถาม ที่วา Φˆ มีความหมายที่เกีย่ วของกับการวัดปริมาณทางฟสิกสวาอยางไร
ถาดินสอวางในทิศเอียง
ถาดินสอมีทิศในแนวแกน z
z
z
y
x
ทิทิศศทางเปลี ทางเปลี่ย่ยนแปลงภายหลั นแปลงภายหลังง การหมุ การหมุนนรอบแกน รอบแกนzz
y
x
ทิทิศศทางคงเดิ ทางคงเดิมมภายหลั ภายหลังง การหมุ การหมุนนรอบแกน รอบแกนzz
ภาพ 2.8 แสดงผลของการหมุนรอบแกน z ที่มีผลตอทิศทางของดินสอ (ซาย) ถาสถานะของ ดินสอมีทิศที่เอียง เมื่อไดรบั การหมุน ทิศทางจะเปลี่ยนไป (ขวา) ถาสถานะของดินสอมีทิศใน แนวแกน z อยูกอนแลว การหมุนรอบแกน z ไมมีผลกระทบใดๆ
เอกลักษณของ Φˆ เมื่อเราพิจารณาผลของการหมุนรอบแกน z ตอ spin ของระบบ จะพบวา ถาระบบมีสถานะเปน + Z หรือ − Z แลว operator Rˆ (ϕ k ) ไมควรจะมีผลใดๆตอสถานะทั้งสองดังกลาว ความจริงในขอนี้สามารถเห็นไดจากภาพ 2.8 ที่แสดงผลของการหมุนรอบแกน z ที่มีผลตอทิศทาง ของดินสอ (ซาย) ถาสถานะของดินสอมีทิศที่เอียง เมือ่ ไดรับการหมุน ทิศทางจะเปลี่ยนไป (ขวา) ถาสถานะของดินสอมีทิศในแนวแกน z อยูกอนแลว การหมุนรอบแกน z ไมมีผลกระทบใดๆ เพราะฉะนั้นแลว Rˆ (ϕ k ) + Z =
(คาคงที่) + Z และ
Rˆ (ϕ k ) − Z =
(คาคงที่)
−Z
________ สมการ (2.110)
สมการขางตนเปนการเขียนทางคณิตศาสตรเพื่อที่จะแสดงวา operator Rˆ (ϕ k ) ไมมีผลกระทบใดๆ ตอสถานะ + Z หรือ − Z และในเมื่อ Rˆ (ϕ k ) เกี่ยวพันโดยตรงกับ operator Φˆ เราบอกไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
และ Φ
ˆ +Z = γ +Z Φ +
2 Operator และ Matrix Mechanics
−Z = γ − −Z
2-49
เมื่อ γ + , γ − คือคาคงที่ ________ สมการ (2.111)
และสืบเนื่องจากสมการ (2.109) เราสามารถกระจายเทอมทางขวามือใหอยูในรูป Taylor expansion ˆ ϕ2 Φ ˆ 2 ϕ3 Φ ˆ3 ˆ ϕΦ + + + Rˆ (ϕ k ) = eϕ Φ = 1 + 1! 2! 3!
___________ สมการ (2.112)
โดยอาศัยสมบัติของ Φˆ ในสมการ (2.111) เราสรุปไดวา ˆ +Z = γ +Z Φ + ˆ 2 +Z = γ 2 +Z Φ + ˆ3
Φ
และ
+ Z = γ +3 + Z
ˆ −Z = γ −Z Φ − ˆ 2 −Z = γ 2 −Z Φ − ˆ 3 −Z = γ 3 −Z Φ −
เพราะฉะนั้น เมื่อ operator Rˆ (ϕ k ) = eϕ Φ กระทํากับสถานะ ˆ
+Z
จะทําให
⎧⎪ ϕ Φ ˆ ϕ2 Φ ˆ2 ⎫⎪ Rˆ (ϕ k ) + Z = ⎨1 + + + ⎬ +Z 1! 2! ⎪⎩ ⎪⎭ ˆ ˆ2 ϕΦ ϕ2 Φ = 1 +Z + +Z + +Z + 1! 2! = 1 +Z +
ϕ γ+
ϕ γ +2
+Z + 2! ⎫⎪ ϕ 2 γ +2 ⎪⎧ ϕ γ Rˆ (ϕ k ) + Z = ⎨1 + + + + ⎬ +Z 1! 2! ⎪⎩ ⎪⎭ 1!
+Z +
ซึ่งในทายที่สดุ Rˆ (ϕ k ) + Z = eϕγ + + Z
___________ สมการ (2.113)
Rˆ (ϕ k ) − Z = eϕγ − − Z
___________ สมการ (2.114)
และในทํานองเดียวกัน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
จากสองสมการ (2.113) และ (2.114) ขางตนจะพบวา ถาเรากําหนดให Φˆ ทําใหสมการ (2.110) เปนจริง ดวยเหตุผลที่ใหไวในภาพ 2.8
±Z = γ ± ±Z
2-50
แลว จะ
ในขั้นตอไป เราจะตองทําการหาคาที่แทจริงของ γ + , γ − ซึ่งกระทําไดโดยวิเคราะหผลของ operator Rˆ (ϕ k ) ที่กระทําตอสถานะของ spin ที่ไมไดอยูใ นแนวแกน z ยกตัวอยางเชน θ θ + n = cos 0 + Z + eiϕ0 sin 0 − Z 2 2
___________ สมการ (2.115)
โดยที่มุม (θ0 , ϕ0 ) บงบอกถึงทิศทางที่ spin กําลังชี้อยู และใหสังเกตวา ϕ0 คือมุมกวาดรอบแกน z เพราะฉะนัน้ operator Rˆ (ϕ k ) ควรจะมีผลกระทบโดยตรงตอมุมดังกลาว θ ⎧ θ ⎫ Rˆ (ϕ k ) + n = Rˆ (ϕ k ) ⎨cos 0 + Z + eiϕ0 sin 0 − Z ⎬ 2 2 ⎩ ⎭ θ θ = cos 0 Rˆ (ϕ k ) + Z + sin 0 eiϕ0 Rˆ (ϕ k ) − Z 2 2
และเมื่ออาศัยสมการ (2.113) และ สมการ (2.114) จะไดวา θ θ Rˆ (ϕ k ) + n = cos 0 eϕγ + + Z + sin 0 eiϕ0 eϕγ − − Z 2 2 θ ⎧ θ ⎫ = eϕγ + ⎨cos 0 + Z + sin 0 eiϕ0 +ϕ (γ − −γ + ) − Z ⎬ 2 2 ⎩ ⎭
สังเกตเทอมทางขวามือของสมการขางตน วาเราแยกตัวประกอบเอาคาคงที่ eϕγ + ออกมา ทั้งนี้ก็ เพื่อใหการวิเคราะหงายขึน้ จาก Section 2.4.2 เราทราบวา เมื่อสถานะของระบบมีการคูณดวย คาคงที่ จะไมทําใหสถานะมีเปลี่ยนแปลงแตอยางใด เพราะฉะนัน้ ในที่นี้เราจะไมนําคาคงที่ eϕγ + ในสมการขางตนเขามาวิเคราะหรวมดวย ดังนั้น θ θ Rˆ (ϕ k ) + n = cos 0 + Z + sin 0 eiϕ0 +ϕ (γ − −γ + ) − Z 2 2
___________ สมการ (2.116)
ทั้งนี้เมื่อเราสังเกตคํานิยามของสถานะ + n ในสมการ จะพบวา เมื่อมีการหมุนรอบแกน z ดวยมุม ϕ แลวนั้น สถานะ + n ที่มี ϕ0 เปนมุมกวาดรอบแกน z อยูเดิม ควรจะเปลี่ยนจาก
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-51
และดังสมการ (2.116) การเปลี่ยนแปลงในลักษณะดังกลาวจะเกิดขึ้นไดก็ตอเมื่อ iϕ0 + ϕ (γ − − γ + ) = i (ϕ0 + ϕ ) ซึ่งจะนําไปสูค วามสัมพันธที่วา
ϕ0 → ϕ0 + ϕ
__________________ สมการ (2.117)
γ− −γ+ = i
นอกจากนี้ เมือ่ เราพิจารณาคํานิยามของ γ + , γ − ในสมการ (2.111) ประกอบกับความสมมาตรของ ระบบ คาคงที่ทั้งสองควรจะมี γ− = γ+
___________________ สมการ (2.118)
จากสมการ (2.117) และ (2.118) ทําใหเราสรุปไดวา γ − = + i , 2
สองเขาไปในสมการ (2.111) จะทําใหไดคุณสมบัติทสี่ ําคัญ operator ˆ +Z = − i +Z Φ 2 ˆ −Z = + i −Z Φ 2
i และเมื่อแทนคาคงที่ทั้ง 2 ˆ ที่วา Φ
γ+ = −
___________________ สมการ (2.119)
นอกจากนี้ เนื้อหาใน Section 2.3.4 ในเรือ่ งของ spin operator ที่วา Sˆ z + Z = + Sˆ z − Z = −
2 2
+Z
___________________ สมการ (2.120)
−Z
และเมื่อเราเปรียบเทียบสมการ (2.119) และ สมการ (2.120) จะไดเอกลักษณขอที่สองของ operator ˆ นั่นก็คือ Φ ˆ = − i Sˆ Φ z
___________________ สมการ (2.121)
Generator of Rotation เมื่อแทนเอกลักษณของ operator Φˆ ขางตน เขาไปในคํานิยามของ infinitesimal rotation operator ดังสมการ (2.107) จะทําให Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
i Rˆ (dϕ k ) = 1 − dϕ Sˆ z
2-52
___________________ สมการ (2.122)
และนําไปสู rotation operator ที่สามารถหมุนสถานะเชิง spin ของระบบดวยมุมใดๆ ไดวา Rˆ (ϕ k ) = e
i − ϕ Sˆ z
___________________ สมการ (2.123)
ในทายที่สุดเราก็พบกับความหมายที่สําคัญของ operator Sˆz ซึ่งมีอยูทั้งสิ้นสองประเด็นดวยกันคือ 1) Sˆz คือ operator ที่ใชแทนการวัด spin angular momentum ตามแนวแกน z ซึ่งเปนความหมาย โดยทั่วไปของ Sˆz ดังที่ไดกลาวมาแลวใน Section 2.3.4 2) Sˆz คือ Generator of Rotation หรือ operator ที่ทําใหเกิด (generate) การหมุน สําหรับที่มาของ ชื่อดังกลาว แสดงใหเห็นดวยสมการ (2.122) ในการหมุนเปนมุมขนาดเล็กๆนั้น เมือ่ operator Rˆ ( dϕ k ) เขาไปกระทํากับสภานะ Ψ ของระบบ จะทําใหสถานะทีว่ า นี้เกิดการหมุน หรือ เปลี่ยนแปลง แตจากสมการ
i Rˆ (dϕ k ) = 1 − dϕ Sˆ z
มีอยูสองเทอม เทอมแรกคือ identity operator 1ˆ ที่ไมมีผล
อันใดกับสถานะของระบบ ในขณะที่เทอมที่สองคือ
i
dϕ Sˆ z
ซึ่งจะทําหนาที่ใหเกิดการ
เปลี่ยนแปลงของระบบ สงผลใหเกิดการหมุน และดวยคุณสมบัติอันนี้ เราเรียก Sˆ z
เปน Generator of Rotation Rˆ (ϕ k ) ___________________ สมการ (2.124)
คําทํานายทีท่ าทาย นอกจากนี้ rotation operator ที่เราไดกลาวถึงยังมีบทสรุปอีกอันหนึ่งทีน่ าทึ่งและทาทาย เพื่อที่จะ อธิบายประเด็นดังกลาว ลองตั้งคําถามวา ถาเราหมุนสถานะใดๆก็ตาม เปนมุม 360 องศา สถานะ ผลลัพธจะเปนอยางไร? สืบเนื่องจากรูปแบบของ operator Rˆ (ϕ k ) ในสมการที่ (2.123) เราจะไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา Rˆ (2π k ) Ψ = e
2 Operator และ Matrix Mechanics −
i 2π ˆ Sz
{c+
+ Z + c− − Z
} ___________ สมการ (2.125)
จากสมการขางตน เราเขียนสถานะ Ψ ใหอยูใ นรูป superposition Ψ = c+ c+ , c− คือ คาคงที่ใดๆ และเมื่อใชเอกลักษณทวี่ า e±iπ = −1 จะทําให Rˆ (2π k ) Ψ =
2-53
+ Z + c− − Z
เมื่อ
i 2π ⎛ ⎞ i 2π ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜− ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ +Z + c e ⎝ ⎠ −Z c+ e − −
= −c+ + Z − c− − Z
หรือ Rˆ (2π k ) Ψ = − Ψ
___________ สมการ (2.126)
นี่เปนคําทํานายในเชิงทฤษฏีที่ทาทายตอการพิสูจนโดยการทดลองเปนอยางยิ่ง เพราะ quantum mechanics กําลังบอกโดยใชสมการ (2.126) วา ในระบบอนุภาคที่มี spin เปน 1/2 นั้น ถาเราหมุน สถานะของระบบเปนมุม 360 องศา สถานะผลลัพธที่เกิดขึ้น จะมีคาเปน ลบ ของตัวมันเอง ในบทที่ 4 ที่วาดวย Time Evolution เราจะวกกลับมาศึกษาถึงการทดลองที่สามารถพิสูจนการทํานาย อันนี้ โดย S.A. Werner, R. Collella, A. W Overhauser1, and C.F. Eagen ในป 1975. แบบฝกหัด 2.24 จงเขียน rotation operator ใช { + Z , − Z } เปน basis state
Rˆ (ϕ k )
ดังสมการ (2.123) ใหอยูใ นรูปของ matrix โดย
2.6 บทสรุป ในบทที่ 2 เราไดศึกษาถึง operator และคุณสมบัติหลายๆประเด็นของ operator ในความหมายอยาง กวางของ operator Oˆ ก็คือสิ่งที่ทําใหสถานะของระบบเปลี่ยนแปลง จากสถานะเริ่มตนไปยังสถานะ ผลลัพธ
R. Colella และ W. Overhauser สอนอยูที่ Purdue University ในขณะที่ผูแตงเรียน Ph.D. อยู ณ มหาวิทยาลัยแหงนี้ โดยที่ Colella นั้นสอนวิชา Electromagnetic และ Overhauser นั้นสอนวิชา Thermodynamic ใหแกขาพเจา ทานทั้งสองมีความเชี่ยวชาญแตกฉานในวิชาที่สอน เพราะทัง้ สองทานลวนสอนปากเปลา ไมมี note อยูในมือใดๆทัง้ สิน้ 1
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-54
φ = Oˆ ψ
ซึ่งการเขียน operator โดยทั่วไปอาจจะทําใหอยูใ นรูปของ ket-bra ของ basis state { φ i N N
Oˆ = ∑ ∑ oij φ i i =1 j =1
}
กลาวคือ
φj
และนอกเสียจากรูปแบบของ quantum mechanics ที่ใช ket และ bra เปนสัญลักษณพนื้ ฐาน เรายัง สามารถใช vector และ matrix ในการแสดงสถานะและแสดง operator ซึ่งสามารถเขียนไดวา ⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ Ψ = ∑ ci φ i ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 2 ⎥ φ i basis ⎢ ⎥ i =1 ⎢ ⎥ ⎣cN ⎦ N
⎡ φ 1 Oˆ φ 1 ⎢ ⎢ φ Oˆ φ 1 ˆ O ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ 2 φ i basis ⎢ ⎢ ⎢ φ N Oˆ φ 1 ⎣
{ }
φ 1 Oˆ φ 2
φ 1 Oˆ φ N ⎤
φ 2 Oˆ φ 2
φ 2 Oˆ φ N ⎥
φ N Oˆ φ 2
⎥
⎥ ⎥ ⎥ φ N Oˆ φ N ⎥ ⎦
หลังจากนัน้ เราเริ่มกลาวถึงความหมายอยางแคบของ operator ซึ่งก็คือกลไกในการวัดปริมาณทาง ฟสิกส หรือ observable และนําไปสูสิ่งที่เรียกวา eigen equation Aˆ a = α a
โดยที่ตัวอยางของ operator ในลักษณะดังกลาวนี้ก็คือ spin operator ที่ใชในการวัด spin angular momentum ของระบบในทิศทางตางๆกัน ไดแก Sx =
⎡0 1 ⎤ , 2 ⎢⎣1 0 ⎥⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
Sy =
⎡ 0 −i ⎤ , 2 ⎢⎣ i 0 ⎥⎦
และ S z =
⎡1 0 ⎤ 2 ⎢⎣0 −1⎥⎦
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
เมื่อใช basis state { + Z
, −Z
}
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-55
ในความหมายของ operator ที่เกี่ยวของกับการวัดนี้เอง หลีกหนีไมพน ที่จะตองกลาวถึงคาเฉลี่ยของ การวัด และ ความไมแนนอนของการวัด หรือ ที่เรียกวา expectation value และ uncertainty expectation value uncertainty
Aˆ = Ψ Aˆ Ψ 2 Aˆ 2 − Aˆ
ΔA =
และในทายทีส่ ุด เพื่อเปนตัวอยางของการนําความรูทั้งหมดเกีย่ วกับ operator มาประมวลและ สังเคราะห เราไดกลาวถึง rotation operator และ generation of rotation Rˆ (ϕ k ) = e
i − ϕ Sˆ z
2.7 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 2.25 โดยเริ่มจากคํานิยามของ operator ในสมการ (2.23) จงพิสูจนวา เราสามารถเขียน operator ใหอยูในรูป
N
Aˆ = ∑ α i a i i =1
ของ operator
ai
เมื่อ
ai
และ αi คือ eigenstate และ eigenvalue
Aˆ
แบบฝกหัด 2.26 ในทํานองเดียวกันกับแบบฝกหัดขางตน เราสามารถเขียน operator Sˆ x =
{
+X +X − −X −X 2 2 + Z , −Z }
จงเขียน operator Sˆx ใหอยูใ นรูปของ matrix โดยใช basis
แบบฝกหัด 2.27 จงเขียน rotation operator { + Z , − Z } เปน basis state
Dr. Teepanis Chachiyo
Rˆ (θ1 i)
และ Rˆ (θ2 j) ใหอยูในรูปของ matrix โดยใช
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
2 Operator และ Matrix Mechanics
2-56
This page is intentionally left blank
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009