Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-1
1
ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
เนื้อหา 1.1 ธรรมชาติของอะตอม 1.2 สถานะของระบบ 1.3 Probability Amplitude 1.4 Probability (ความนาจะเปน) and Probability Amplitude 1.5 Example: Electron ในกลอง 1.6 Example: การทดลองของ Stern-Gerlach 1.7 การทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบตางๆ 1.8 คณิตศาสตรของ bra และ ket 1.9 ปญหาทายบท
1.1 ธรรมชาติของอะตอม "quantum mechanics" เปนทฤษฏีทางฟสิกสที่อธิบายพฤติกรรมของสสารที่มีขนาดเล็กในระดับ อะตอม สิ่งตางๆที่มีขนาดเล็กเชนนี้ มีคุณสมบัติและพฤติกรรมที่แตกตางจากสิ่งที่เราพบเห็นใน ชีวิตประจําวันอยางสิ้นเชิง วัตถุขนาดจิ๋วดังกลาว จะจัดใหอยูในประเภทของอนุภาคก็ไมได อีกทั้ง ยังไมมีสมบัติเปนคลื่นเสียเลยทีเดียว พฤติกรรมของมัน แตกตางไปจากกลุมหมอกในอากาศ ลูก บอล สปริง หรืออะไรก็ตามแตที่เราเคยไดศึกษามาแลวในวิชากลศาสตรของ Newton ภาพของเม็ดเลือดแดงจากกลอง electron microscope ที่เรียกวา SEM โดยปรกติแลวกลองจุลทรรศนที่เราคุนเคย อาศัยสมบัติ ความเปนคลื่นของแสงที่หักเหผานเลนสและทําใหมาเห็นวัตถุที่มี ขนาดเล็ก แตการที่นักวิทยาศาสตรสามารถนําอิเล็กตรอนมา ประยุกตใชเปนกลองจุลทรรศน แสดงใหเห็นชัดเจนถึงสมบัติ ความเปนคลื่นของอิเล็กตรอน (ภาพจาก National Cancer Institute)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-2
อิเล็กตรอนที่เราเคยคิดวามันเปนอนุภาคนั้น แทจริงแลวในหลายๆสถานการณ มันก็มีสมบัติคลายๆ กับคลื่น การที่สิ่งที่มีขนาดเล็กๆเชนนี้ มีคุณสมบัติที่เปนทั้งคลื่นและอนุภาคในขณะเดียวกัน ได สรางความสงสัยใหกับนักฟสิกสในยุคนั้นอยางมาก ขอมูลตางๆทีเ่ กี่ยวของกับพฤติกรรมของอะตอม และสิ่งตางๆที่มีขนาดเล็กระดับอะตอม ไดถูก สะสมมาอยางตอเนื่อง เพราะการทุมเทศึกษาของนักวิทยาศาสตรในชวงกลางศตวรรษ การศึกษา ขอมูลเหลานี้ ไดเผยใหเห็นความแปลกประหลาดในเชิงฟสิกสของสิ่งที่มีขนาดเล็กๆ ตอมาในชวงป ค.ศ. 1926 และ ค.ศ. 1927 นักฟสิกส 3 ทานคือ Schrödinger, Heisenberg, และ Born ก็ สามารถรวบรวมพฤติกรรมเหลานี้ ใหเปนทฤษฎีที่เกี่ยวของกับสมบัติของอะตอม และในบทที่ 1 นี้ เราจะมากลาวถึงประเด็นหลักๆของทฤษฎีที่นักฟสิกสทั้ง 3 ทานนี้ ไดคนพบ
1.2 สถานะของระบบ กอนที่เราจะมากลาวถึงการนํา quantum mechanics มาอธิบายปรากฏการณตางๆในทางฟสิกสนั้น เราจะตองทําความรูจักกับคํานิยาม และสัญลักษณเบื้องตนกันเสียกอน ซึ่งถึงแมคํานิยามตางๆ เหลานี้ จะไมใชสาระสําคัญอันเปนแกนของ quantum mechanics เสียเลยทีเดียว แตก็ยังเปน เครื่องมือที่ใชในการถายทอดเนื้อหา ทั้งนี้เพื่อใหเปนหลักสากลในการสื่อสาร ระหวางผูเขียน ผูอาน และผูที่สนใจศึกษาในวิชาแขนงนี้ เมื่อเรามาวิเคราะหถึงระบบที่เราตองการที่จะศึกษาโดยทั่วไปนั้น ไมวาจะเปนอิเล็กตรอนที่อยู ภายในอะตอม หรือแมกระทั่งการทอดลูกเตา เราจะตองมีวิธีที่จะอธิบายสถานะของระบบนั้นๆ ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics เราใชสัญลักษณ ที่เรียกวา ket ซึ่งเปนสัญลักษณที่ใช แทนสถานะของระบบที่เราตองการศึกษา ยกตัวอยางของการทอดลูกเตา ซึ่งหลังจากการโยนแตละ ครั้ง ระบบจะมีสถานะที่เปนไปไดอยูทั้งสิ้น 6 กรณี ดังในภาพ 1.1
ภาพ 1.1 แสดงถึงการนําสัญลักษณ ket มาแสดงถึงสถานะของระบบ ในกรณีนี้ สถานะของลูกเตาที่ เกิดขึ้นได ภายหลังจากการทอดหนึ่งครั้ง มีทั้งสิ้นได 6 หนาดวยกัน Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-3
หรืออีกตัวอยางหนึ่ง ถาเรากําลังพิจารณาเกรดของนักศึกษาที่ลงทะเบียนวิชา Quantum I อยูขณะนี้ จะไดวา สถานะของระบบที่อาจจะเปนไปได หลังจากสิ้นสุดภาคการศึกษา มีอยูทั้งสิ้น 8 กรณี กลาวคือ F , D , D + ,…, B + , A
1.3 Probability Amplitude นอกเหนือไปจากการใช ket มาเปนคํานิยามของสถานะในทาง quantum mechanics แลวนั้น probability amplitude ถือไดวาเปนคํานิยามอีกอันหนึ่ง ที่มีความสําคัญเปนอยางยิ่งในการทําความ เขาใจกับ quantum mechanics ซึ่งเราจะตองมาทําความเขาใจในรายละเอียด และยกตัวอยางที่เปน รูปธรรม ในลําดับตอไป การศึกษาวิชาฟสิกสเบื้องตนในหลายๆแขนง อาทิ ไฟฟาสถิต กลศาสตรของนิวตัน หรือทฤษฎี สัมพันธภาพพิเศษของไอนสไตนนั้น ทฤษฎีเหลานี้ลวนแลวแตมีตัวแปรพื้นฐานที่เปนปริมาณซึ่งบง บอกสถานะของระบบนั้นๆ ยกตัวอยางเชน กลศาสตรของนิวตันอาศัยตัวแปรพื้นฐานคือ ตําแหนง และ โมเมนตัม ในการบงบอกถึงสถานะการเคลื่อนที่ของอนุภาคใดๆ หรือ ในเนื้อหาของวิชาไฟฟา สถิตที่อาศัย "ศักยไฟฟา" ซึ่งมีหนวยเปน Volt เปนตัวแปรพื้นฐานของระบบ โดยเฉพาะอยางยิ่งในเชิง ไฟฟาสถิตนั้น ถาเราทราบ "ศักยไฟฟา" ณ ตําแหนงใดๆ ซึ่งมีสัญลักษณที่ใชทั่วไปคือ ϕ (r ) เราก็ สามารถคํานวณหาปริมาณอื่นๆทางฟสิกสเชน สนามไฟฟา E หรือ แมกระทั่งการกระจายตัวของ ประจุ ρ (r ) ไดจากสมการ (1.1) และ สมการ (1.2) ตามลําดับ E = −∇ϕ (r ) ρ (r ) ∇ 2ϕ (r ) = −
ε
_________________________ สมการ (1.1) _________________________ สมการ (1.2)
ถาเราวกกลับมาที่ quantum mechanics และถามวา "ตัวแปรพื้นฐานที่บงบอกถึงสถานะของระบบ นั้น คืออะไร?" คําตอบก็คือ "probability amplitude" ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics นั้น เราใชตัวเลขหนึ่งตัว ที่เรียกวา probability amplitude ในการแสดงความสัมพันธระหวางเหตุการณสองเหตุการณ หรือ สถานะสองสถานะ ยกตัวอยาง เชน ถาเรากําหนดให student เปนสถานะของนักศึกษาที่กําลังเขาเรียนในวิชา Quantum Mechanics I ในขณะนี้ และ F เปนสถานะที่นักศึกษาไดเกรด F หลังจากการสิ้นสุดภาค การศึกษา เราสามารถเขียนความสัมพันธของสถานะสองอันนี้ ไดวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
probability amplitude ที่นักศึกษาจะไมผานวิชานี้ =
1-4
F student
ใหสังเกตการใชสัญลักษณ ซึ่งเรียกวา bra-ket ในการแสดงความสัมพันธดังกลาว โดยที่การ อาน จะอานจากขวาไปซายตามลําดับ กฎพื้นฐานของ quantum mechanics ก็คือ เราสามารถประเมินคาความสัมพันธของสถานะสอง สถานะออกมาเปนตัวเลข ซึ่งตัวเลขอันนี้ เรียกวา probability amplitude นั่นเอง ยกตัวอยางเชน F Engineer Student = 0.5 A Engineer Student = 0.001 + 0.001i D Physics Student = 0.4 − 0.2i
จากตัวอยางขางตนที่แสดง probability amplitude ของนักศึกษาจากคณะตางๆ ที่จะไดเกรดตางๆกัน จะสังเกตวา ตัวเลขดังกลาว มิไดจํากัดอยูแตเพียงเลขจํานวนจริง หากแตเปนตัวเลขจํานวนเชิงซอน ซึ่งประกอบดวยสวนที่เปนจํานวนจริง และ สวนที่เปนจํานวนจินตภาพ มาถึงจุดนี้ เราไดทราบความหมายคราวๆ ของ probability amplitude ซึ่งก็คือตัวเลขที่แสดง ความสัมพันธระหวางสถานะสองสถานะ ตลอดจนสัญลักษณที่ใช ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics หากแตเรายังขาดประเด็นที่สําคัญอันหนึ่งก็คือ ความหมายที่เปนรูปธรรมของตัวเลข ดังกลาวนี้คืออะไร ? เนื่องจาก probability amplitude เปนจํานวนเชิงซอน เราไมอาจที่จะตีความหมายของตัวเลขอันนี้ ไป เกี่ยวของกับปริมาณทางฟสิกสไดโดยตรง เพราะปริมาณหรือหนวยวัดที่เปนรูปธรรมนั้น เปน จํานวนจริง เชน มวล 10 กิโลกรัม ระยะทาง 2 กิโลเมตร หรือ เงิน 1 บาท คําตอบก็คือ probability amplitude ไมมีความหมายโดยตรง หากแตมีความเกี่ยวของกับความนาจะเปน (probability) ตามระเบียบวิธีทาง quantum mechanics ทุกครั้งที่เราเห็นเครื่องหมาย B A ซึ่งเรียกวา bra-ket นักศึกษาตองตีความวามันเปนเพียงตัวเลขหนึ่งตัว ที่แสดงความสัมพันธระหวาง 2 สถานะ: ket A และ ket B จะสังเกตเห็นวา ภายในเครื่องหมาย bra-ket B A มีองคประกอบอยูสองสวนคือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-5
1) สถานะที่ปรากฏอยูทางขวาของเครื่องหมาย bra-ket B A ซึ่งในที่นี้ก็คือ A จากตัวอยางที่ ผานมา ไมวาจะเปนเกรดของนักศึกษา หรือ การโยนลูกเตา เมื่อสถานะ ket ใดๆ ปรากฏอยูทางขวา มันมีความหมายเปนสถานะตั้งตน หรือ สมมติฐานตั้งตน 2) สถานะที่ปรากฏอยูทางซายของเครื่องหมาย bra-ket B A ซึ่งในที่นี้ก็คือ B และเมื่อ สถานะ ket ใดๆ ปรากฏอยูทางซาย มันมีสถานะภาพเปน ผลที่จะตามมา หรือเหตุการณที่สืบเนื่องถา สมมุติฐานในขอแรกนั้นเปนจริง ยกตัวอยางเชน A Engineer Student
4 Even Number
v = 1m s x = 2 m
Engineer Student A
สมมุติวามีนักศึกษาคณะวิศวกรรมศาสตร มี probability amplitude เทาใด ที่เขาจะไดเกรด A สมมุติวามีเลขจํานวนคู มี probability amplitude เทาใด ที่มันจะเปนเลข 4 สมมุติวาเราพบอนุภาค ณ ตําแหนง 2 เมตรจากจุดกําเนิด มี probability amplitude เทาใด ที่มันจะมีความเร็ว 1m s สมมุติวามีนักศึกษาไดเกรด A มี probability amplitude เทาใด ที่เขาจะอยูในคณะวิศว.
โดยที่ขอสังเกตทั้งสองขอขางตน สามารถสรุปโดยสังเขปไดวา ถาเราสรางสมมุติฐานตั้งตนวามีสถานะ ket ket B จะเกิดขึ้นตามมา
A
เกิดขึ้น มี probability amplitude เทาใด ที่สถานะ __________________ สมการ (1.3)
เพราะฉะนั้น สถานะ ket B เมื่อเขาไปมีความสัมพันธกับสถานะอื่นๆอยูภายในเครื่องหมาย braket B A จะเขียนใหอยูในรูปที่เรียกวา "bra" หรือในเชิงสัญลักษณวา B ทั้งนี้ ขอแตกตาง ระหวางสถานะ ket B และ สถานะ bra B เปนเพียงขอแตกตางของการตีความในแงลาํ ดับ กอนหลังของความสัมพันธในสมการ (1.3)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-6
ในแงคณิตศาสตร สถานะ ket B และ สถานะ bra B มีขอแตกตางกันเล็กนอยดังจะไดกลาวถึง ในลําดับตอไป โดยสรุปแลวก็คือ ทุกๆครั้งที่ bra มาเจอกับ ket จะเกิดเปนตัวเลขจํานวน เชิงซอน ซึ่งหมายถึง probability amplitude นั่นเอง
1.4 Probability (ความนาจะเปน) and Probability Amplitude ตามกฎของ quantum mechanics นั้น เราสามารถคํานวณความนาจะเปน (probability) ไดจาก probability = probability amplitude
2
_______________ สมการ (1.4)
สมมุติวาเราไดโยนลูกเตาขึ้นไปในอากาศ ในขณะที่ลอยตัวอยูในอากาศนั้น เราแทนสถานะของ ลูกเตาดวยสัญลักษณ ϕ ซึ่งสถานะดังกลาวนี้ยังไมใชหนาใดหนาหนึ่งของลูกเตาเสียเลยทีเดียว เนื่องจากมันยังไมตกและยังไมหยุดนิ่งอยูบนพื้น ตามระเบียบวิธีในทาง quantum mechanics นั้น ความนาจะเปนที่ลูกเตาจะออกมาเปนเลขหนึ่ง =
1ϕ
__________ สมการ (1.5)
2
หรือเราอาจจะใชตัวอยางที่สองในเรื่องของเกรดของนักศึกษา โดยที่กําหนดใหสถานะของนักศึกษา ในระหวางที่มีการเรียนการสอนนั้น เปนสถานะ φ จากนั้น เมื่อถึงเวลาสิ้นสุดภาคการศึกษา ความนาจะเปนที่นักศึกษาคนนี้จะไดเกรด F =
Fφ
2
________ สมการ (1.6)
จะเห็นไดวา คํานิยามของความนาจะเปน ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics ดังสมการ (1.5) และ สมการ (1.6) นั้น มีขอสังเกตอยู 3 ประการดังนี้ 1. การแปลความหมายตามสัญลักษณในสมการ (1.5) และ สมการ (1.6) เราจะอานจากขวาไปซาย กลาวคือ ระบบเริ่มอยูในสถานะ ϕ ในขณะที่ลอยอยูในอากาศ จากนั้น เราตั้งคําถามวา จะมี โอกาสเทาไหร ที่ลูกเตาจะหงายหนาหมายเลขหนึ่ง 2. ความนาจะเปน คํานวณไดจาก absolute value ยกกําลังสองของ 1 ϕ (ในกรณีของตัวอยางที่ หนึ่ง) ตัวเลขที่แทนดวยสัญลักษณ 1 ϕ เราเรียกวา probability amplitude ซึ่งเปนตัวเลขที่ quantum mechanics ใชในการบงบอกถึงความสัมพันธระหวางสถานะ 2 สถานะใดๆ ดังจะเห็นได จากตัวอยางทีห่ นึ่ง จะไดวา 1 ϕ เปน probability amplitude ที่แสดงความสัมพันธระหวาง Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-7
“สถานะของลูกเตาขณะลอยอยูในอากาศ” และ “สถานะของลูกเตาเมื่อตกลงมาหยุดนิ่งกับพื้นแลว หงายออกหนาที่หนึ่ง” 3. probability amplitude นั้น ไมใชเปนเพียงเลขจํานวนจริง หากแตเปนจํานวนเชิงซอน (complex number) ที่ประกอบดวยทั้งเลขจํานวนจริง และ จํานวนจินตภาพ
1.5 Example: Electron ในกลอง เพื่อใหนักศึกษาไดมีความคุน เคยกับระเบียบวิธีของ quantum mechanics และ คํานิยามที่เกี่ยวของกับ state, probability amplitude, และ probability ดังที่ไดกลาวมาแลวในขางตน และ ใหนักศึกษา สามารถเชื่อมโยงเนื้อหาของ quantum mechanics ในระดับบัณฑิตศึกษาในครั้งนี้ เขาไปกับเนื้อหา ของ quantum mechanics เบื้องตนในระดับปริญญาตรี เรามาวิเคราะหดูตัวอยางของระบบอยาง งายๆ กลาวคือ อิเล็กตรอนในกลอง V =∞
V =∞
อิเลคตรอน มวล m
x=d
x=0
x=d
x=0
(a)
(b)
ภาพ 1.2 a) ระบบที่ประกอบดวยอิเล็กตรอนมวล m ซึ่งถูกขังอยูภายในกลองขนาดความยาว d และ b) model ที่ใชในการศึกษา โดยใหพลังงานศักย V ( x) มีคาเปนอนันต ณ บริเวณภายนอกของกลอง ซึ่งสามารถ plot graph ของ V ( x) ไดดังภาพ ดังภาพ 1.2a ถาเราตองการศึกษาพฤติกรรมของอิเล็กตรอนที่ถูกขังอยูภายในกลอง โดยใช quantum mechanics เราสามารถที่จะ model ระบบดังกลาวนี้โดยจําลองวามีอนุภาคมวล m ซึ่งอยูภายในบอ พลังงานศักย ที่มีขอบบอสูงเปนอนันต และมีความกวางของบอเปนระยะ d โดยที่มวลอันนี้ เคลื่อนที่จํากัดอยูแตเพียง 1 มิติเทานั้น ดังที่เห็นในภาพ 1.2b จาก Section 1.2 ที่เราไดกลาวถึงสถานะของระบบ เราอาจจะแสดงสถานะของอิเล็กตรอนอันนี้ดวย สัญลักษณ ket ดังตอไปนี้ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
ให
Ψ
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-8
แทนสถานะของอิเล็กตรอนในระบบ ________________ สมการ (1.7)
ซึ่งคําวา "สถานะ" เปนคําทีม่ ีความหมายกวางๆ ที่อาจจะรวมไปถึงคุณสมบัติทางฟสิกสในหลายๆ ประเด็น ไมวาจะเปน ตําแหนง โมเมนตัม พลังงาน หรือ อื่นๆ สมมุติวา เราตองการที่จะวิเคราะห ระบบ ในประเด็นที่เกี่ยวกับ ตําแหนงของอิเล็กตรอน ให
x
แทนสถานะของอิเล็กตรอนที่อยู ณ ตําแหนง x ใดๆ ___________ สมการ (1.8)
จากนั้นเราตั้งคําถามวา "อิเล็กตรอนภายในระบบนั้น มี probability amplitude เทาใด ที่มันจะอยู ณ ตําแหนง x ?" คําตอบก็คือ x Ψ เราจะเห็นวา probability amplitude ซึ่งเปนตัวเลขจํานวนเชิงซอนอันนี้ ยอมมีคาเปลี่ยนแปลงไปตาม ตําแหนง x ที่เรากําลังพิจารณาอยู ยกตัวอยางเชน มันอาจจะมีคา เปน 1.23 ที่ตําแหนงตรงกลางของ กลอง (x=d/2) และ มีคา เปน 3.21+1.23i ณ ตําแหนงคอนมาทางซาย (x=d/3) เปนตน การที่ probability amplitude มีคาแปรผันกับ x นั้น เราเรียกอีกอยางหนึ่งในทางคณิตศาสตรวา มันเปน ฟงชันกของ x หรือ x Ψ = ψ ( x)
___________________________ สมการ (1.9)
เทอมทางขวามือของสมการ (1.9) นั้น เปนที่รูจักกันดีในกลุมผูที่เรียน quantum mechanics เบื้องตน วาก็คือ wave function นั่นเอง หรือที่เรียกกันวา wave function ก็คือ probability amplitude ที่จะพบอิเล็กตรอน (หรือ อนุภาคที่เรากําลังพิจารณา) ณ ตําแหนง x นั่นเอง
ψ (x)
ขอควรระวัง นักศึกษาไมควรสับสนระหวาง probability และ probability amplitude ในขณะที่ probability หรือ ความนาจะเปนนั้น เปนปริมาณที่เปนรูปธรรมและมีความหมายชัดเจนในทางฟสิกส หากแต probability amplitude เปนตัวเลขจํานวนเชิงซอนที่โดยตัวมันเองแลว ไมมีความหมาย เมื่อกลาวถึง wave function ในวิชา quantum mechanics ในระดับปริญญาตรีนั้น นักศึกษาจะคุนเคย กับการใชสมการ Time-Independent Schrödinger เพื่อใชในการหา wave function โดยที่ใน Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-9
ตัวอยางครั้งนี้ เราจะเพียงยกเอาตัวสมการขึ้นมาใช เพียงเพื่อเปนการทบทวนเทานั้น และจะกลาวถึง รายละเอียดของสมการ Schrödinger ในบทอื่นๆ ในโอกาสตอไป สมการ Time-Independent Schrödinger นั้นไดกลาวถึงความสัมพันธระหวาง wave function และ พลังงานของระบบที่มีหนึ่งอนุภาคใน 3 มิติ วาดังนี้ −
2
2m
∇ 2ψ (r ) + V (r )ψ (r ) = Eψ (r )
_________________ สมการ (1.10)
ขอสังเกต ตามหลักที่ถูกตองแลว สมการ Schrödinger หรือ wave function ที่กลาวไวในสมการ (1.9) ก็ดี มีสวนที่ขึ้นกับเวลา หรืออีกนัยหนึ่ง wave function นั้น เปนฟงชันกของเวลาดวย แตใน บทที่ 1 นี้ ผูเขียนตองการที่จะเนนในการสื่อความหมายในแงของ state จึงเลี่ยงที่จะกลาวถึง ความสัมพันธในแงของเวลาในคราวนี้ ซึ่งเมื่อเรานําสมการดังกลาวนี้ มาประยุกตใชกับตัวอยางใน 1 มิติ ดังที่ไดเสนอไวในขางตน สมการ (1.10) จะลดรูปใหงายขึ้นดังนี้ −
∂2 ψ ( x) = Eψ ( x) 2m ∂x 2 ψ (0) = ψ (d ) = 0 2
_________________ สมการ (1.11) _________________ สมการ (1.12)
สมการ (1.11) ผนวกกับเงื่อนไขขอบเขต (ฺboundary condition) ในสมการ (1.12) ทําใหเราสามารถ เขียน wave function ใหอยูในรูป ψ ( x) = A sin(kx)
_________________ สมการ (1.13)
แบบฝกหัด 1.1 boundary condition ในสมการ (1.12) นั้นเปนสมการทางคณิตศาสตร จงให เหตุผลในทางฟสิกสวาเพราะอะไร เราจึงสามารถบอกไดวา wave function ณ บริเวณขอบของกลอง ทางซายและทางขวามีคาเปนศูนย ? โดยที่ A และ k นั้นเปนคาคงที่ ซึ่งถาหากเราสนใจที่จะใหสมการ (1.11) เปนจริงแตเพียงอยางเดียว นั้น A และ k ยอมมีคาเปนอะไรก็ได แตดวย boundary condition ที่ไดกลาวมาแลวในสมการ (1.12) และ แบบฝกหัด 1.1 คาของ k จะจํากัดอยูแตในรูปของ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
nπ d
k=
1-10
________________________ สมการ (1.14)
เมื่อ n เปนเลขจํานวนเต็ม 1,2,3,… สวนคาคงที่ A นั้น เราสามารถหาไดจากวิเคราะหความสัมพันธ ระหวาง wave function และ ความนาจะเปน ดังตอไปนี้ จากคํานิยามใน Section 1.4 จะไดวา xΨ
2
dx = ψ ( x) dx 2
________________________ สมการ (1.15)
คือความนาจะเปนที่จะพบอิเล็กตรอนอยูในระหวางตําแหนง x และ x + dx จะสังเกตวาความ นาจะเปนดังในสมการขางตน มีความแตกตางจากความนาจะเปนดังนิยามใน Section 1.4 อยูเล็กนอย ในแงที่วา สมการขางตนมีการคูณดวยปริมาณ dx เพราะฉะนั้น เทอม ψ ( x) 2 จึงไมใชความนาจะ เปนเสียเลยทีเดียว หากแตเปน "ความนาจะเปนตอหนึ่งหนวยความยาว" หรือ probability density ขอแตกตางดังกลาวนี้มีตนเหตุเนื่องมาจาก ระบบทางฟสิกสที่ไดแสดงเปนตัวอยาง อาทิเชน การโยน ลูกเตา หรือ เกรดของนักศึกษาทีเ่ รียนวิชา Quantum I ลวนแตเปนระบบที่มีสถานะแบบไมตอเนื่อง และมีจาํ นวนสถานะที่เปนไปไดอยูจํานวนจํากัด ยกตัวอยางเชน ลูกเตามีได 6 หนา หรือ เกรดมีได 8 ระดับ แตทวา สถานะของอิเล็กตรอนในกลองดังในสมการ (1.9) ที่เรากําลังวิเคราะหอยูนี้ เปน สถานะที่ตอเนื่อง และมีจาํ นวนสถานะที่เปนไปได มีจํานวนเปนอนันต ดวยเหตุนี้ ในกรณีดังกลาว เราจะตองเขียนความนาจะเปนใหอยูในรูปผลคูณระหวาง ψ ( x) 2 และ dx ดังในสมการ (1.15) เพราะฉะนั้น ความนาจะเปนทั้งหมดที่จะพบอิเล็กตรอนอยูภายในระบบ สามารถเขียนใหอยูในรูป ของ integral ไดดังนี้ +∞
∫ dx ψ ( x)
2
= 1 ________________________ สมการ (1.16)
−∞
การที่ทางขวามือของสมการ (1.16) มีคาเปน 1 นั้นก็หมายถึง มีโอกาส 100% ที่เราจะพบอิเล็กตรอน อยู ณ ที่ใดก็ไดสักแหงในระบบ ซึ่งสมการ (1.16) นั้น เรียกอีกอยางหนึ่งวา normalization condition นั่นเอง จากสมการ (1.13)-(1.16) จะไดวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics ψ n ( x) =
2 x sin( nπ ) d d
1-11
_________________ สมการ (1.17)
จะเห็นวาในทางคณิตศาสตรแลว wave function ในสมการ (1.17) ที่ทําให สมการ (1.11) และ สมการ (1.12) เปนจริงนั้น มีมากกวาหนึ่งฟงกชัน ดังที่ไดใชดัชนี n เปนตัวกํากับ ในทางฟสิกสแลว เรา สามารถแปลความไดวา อิเล็กตรอนที่อยูภายในกลองดังกลาวนี้ มีอยูไดหลายสถานะดวยกัน ดัง แสดงเปนตัวอยางในภาพ 1.3a (a )
(b)
n =1 n=2 n=3
x=0
ψ n ( x) =
x=d 2 x sin( nπ ) d d
x
x=d
x=0
ψ n ( x) = 2
x
2 x sin 2 (nπ ) d d
ภาพ 1.3a แสดง wave function โดยยกตัวอยางมา 3 สถานะดวยกัน อยางไรก็ตาม wave function เปนคํานิยามในทาง quantum mechanics ที่ไมมีความหมายไปเปรียบเทียบกับปริมาณทางฟสิกสได โดยตรง 1.3b แสดง การกระจายตัวของความนาจะเปนของอิเล็กตรอน ในสถานะตางๆกัน แบบฝกหัด 1.2 ถาเราแบงกลองในหนึ่งมิติดังแสดงในภาพ 1.2 ออกเปน 4 ชอง เทาๆกัน จงหา ความนาจะเปนที่จะพบอิเล็กตรอนภายในบริเวณชองแรก ความนาจะเปนดังกลาวนี้ ขึ้นอยูกับ สถานะของอิเล็กตรอนตามสมการ (1.17) หรือไม อยางไร จากเนื้อหาที่ไดกลาวมาแลวในขางตน นักศึกษาจะสังเกตเห็นวาเราสามารถที่จะเชื่อมโยงคํานิยาม อยางเชน state และ probability amplitude มาประยุกตใชกับ wave function ที่เราคุนเคยในวิชา quantum mechanics ระดับปริญญาตรี หากแตวา การศึกษา quantum mechanics โดยใช wave function นั้น มีขอจํากัดอยูมากทีเดียวกับการนํามาประยุกตใชกับปรากฏการณทางฟสิกสในระดับ อะตอม ยกตัวอยางเชน spin ซึ่งเปนปริมาณทางฟสิกสที่มีคาไมตอเนื่อง ซึ่งตางออกไปจากปริมาณ ทางฟสิกสที่มีความตอเนื่องเชน พิกัดและโมเมนตัม
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-12
ดังนั้นในตัวอยางที่จะกลาวถึงในหัวขอตอไปนั้น เปนการทดลองของ O. Stern และ W. Gerlach ในป ค.ศ. 1922 ที่เกี่ยวเนื่องกับ spin ของอะตอม โดยที่ตัวอยางชิ้นนี้จะแสดงใหเห็นถึงความสําคัญและ ความสะดวกของการศึกษา quantum mechanics โดยใช state และ probability amplitude เปนหลัก
1.6 Example: การทดลองของ Stern-Gerlach การหยิบยกเอาการทดลองชิ้นนี้เขามาศึกษา ก็เพื่อเปนประโยชนใน 3 ประเด็นดวยกันคือ 1) เพื่อทํา ใหนักศึกษาคุนเคยกับระเบียบวิธีเบื้องตนของ quantum mechanics ดังที่กลาวไวขา งตน โดยใช ตัวอยางจริงของการทดลองทางฟสิกส 2) เพื่อใชผลการทดลอง ในการแสดงใหเห็นถึงความ แตกตางของ quantum mechanics เมื่อเปรียบเทียบกับ Newtonian mechanics และ 3) เพื่อเปนการ พิสูจนวา probability amplitude จะตองเปนจํานวนเชิงซอน detector
S
S
beam ของ silver อะตอม
N N
collimator (a)
(b)
ภาพ 1.4 (a) diagram แสดงการทดลองของ O. Stern และ W. Gerlach ในป ค.ศ. 1922 (b) ลักษณะ การจัดวางตัวของแมเหล็กขั้วเหนือและขั้วใต ที่มีผลทําใหเกิดแรงกระทํากับอะตอมของ silver ทิศทางและขนาดของแรงนั้น ขึ้นอยูกับสมบัติเชิงแมเหล็กของอะตอม silver เอง ซึ่งในทายที่สุด แลว จะทําใหตําแหนงของอะตอม ที่ไปตกบนแผนฟลมดานหลังนั้น แตกตางกัน จากภาพ 1.4a การทดลองของ Stern-Gerlach ประกอบดวย beam ของอะตอม silver ซึ่งพุงผาน เครื่องมือที่เรียกวา collimator ที่มีหนาที่ทําใหเกิดลําของ beam ที่เปนเสนตรง จากนั้น อะตอมจะ พุงเขาสูบริเวณที่เปนสนามแมเหล็กซึ่งไดรับการออกแบบเปนพิเศษ ดังในภาพ 1.4b โดยทั่วไปวัตถุเชนแทงแมเหล็กขนาดเล็ก จะมีสมบัติที่เรียกวาเปน magnetic moment μ ซึ่งเปน ปริมาณ vector นั่นก็เพราะวา แทงแมเหล็กสามารถจัดเรียงในทิศทางตางๆกัน เมื่อ magnetic
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-13
moment ดังกลาวอยูภายในสนามแมเหล็ก B ก็จะมีอันตรกริยาเกิดขึ้นระหวาง magnetic moment และ magnetic field ซึ่งเราสามารถเขียนพลังงานของอันตรกริยานี้ใหอยูในรูป U = −μ ⋅ B
__________________________ สมการ (1.18)
หรือในกรณีที่เรากําหนดให ทิศทางของสนามแมเหล็กเรียงตัวตามแนวแกน z หรือ B = B0 ( z )k จะไดวา U = − μ z B0 ( z )
__________________________ สมการ (1.19)
เนื่องจากความไมสม่ําเสมอของสนามแมเหล็กที่ออกแบบดังภาพ 1.4b ทําใหเกิดความไมสม่ําเสมอ ของพลังงานศักยดังในสมการ (1.19) ทั้งนี้ ในทางกลศาสตร Newton ทําใหเปรียบเสมือนวาเกิดแรง Fz ≡ −
∂U ∂ = μ z B0 ( z ) ∂z ∂z
__________________________ สมการ (1.20)
จากมุมมองของกลศาสตร Newton magnetic moment μ สามารถชี้ในทิศทางตางๆกัน สงผลให องคประกอบตามแนวแกน z หรือ μ z = μ cos θ มีคาไดแตกตางกัน ขึ้นอยูกับมุม θ ที่ magnetic moment ของอนุภาคนั้นๆกระทํากับแกน z และทิศทางทีแ่ ตกตางกันออกไปของ μ นี่เอง จากสมการ (1.20) ทําใหแรงที่กระทํากับอนุภาคตาม แนวแกน z มีคาไมเทากันตามไปดวย สงผลใหอนุภาคเบี่ยงเบนออกไปและตกกระทบที่แผนฟลม ณ ตําแหนงตางๆกัน อะตอมของ silver มีอิเล็กตรอนอยูทั้งหมด 47 ตัว และ ลักษณะการจัดเรียงตัวของอิเล็กตรอนใน orbital ตางๆ เปน [Kr]5s14d10 ซึ่งก็แสดงวา ในชั้นระดับพลังงานนอกสุดนั้น มีอิเล็กตรอนอยูเพียงตัว เดียว ทําให spin รวมของอะตอม silver ทั้งอะตอมนั้น มีคาไมเปนศูนย เราอาจจะมองในอีกแงหนึ่ง วา อะตอม silver เปนแทงแมเหล็กเล็กๆอันหนึ่ง ดังที่แสดงในภาพ 1.5a ซึ่งความเปนแมเหล็กขนาด จิ๋วนี้ ก็สืบเนื่องมาจาก spin ของอิเล็กตรอนในชั้น 5s ของ silver อะตอมนั่นเอง
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-14
ภาพ 1.5 (a) เนื่องมาจาก spin ของอิเล็กตรอนที่อยูที่ชั้นระดับพลังงานนอกสุดของ silver อะตอม เราอาจะมองอะตอมเหลานี้เสมือนกับแมเหล็กแทงเล็กๆที่กําลังพุงเขาสูชุดทดลองของ Stern-Gerlach (b) ลักษณะของภาพที่อาจจะเกิดขึ้น โดยใชกลศาสตร Newton มาวิเคราะห การที่ภาพปรากฏเปน แถบที่ตอเนื่องนั้น มีที่มาจากสมมติฐานที่วา ทิศทางของแนวแกนแมเหล็กขนาดจิ๋วของ silver อะตอม นั้น สามารถทีจ่ ะเรียงตัวอยูในทิศใดก็ได (c) ลักษณะของภาพที่เกิดขึ้นจากผลการทดลองจริง ที่ สะทอนใหเห็นความแปลก ความประหลาดในเชิงพฤติกรรมของระบบที่มีขนาดเล็กๆเชนอะตอม ภาพ 1.5a แสดงใหเห็นถึงอะตอมของ silver ซึ่งเปรียบเสมือนแมเหล็กแทงเล็กๆจํานวนมากที่กําลังพุง เขาสูสนามแมเหล็กขนาดใหญ โดยอาศัยภาพอันนี้ เราสามารถที่จะเดาไดวา ตําแหนงของอะตอมที่ จะไปตกบนฉากหลัง ก็ขึ้นอยูกับทิศของแนวแกนแมเหล็กของแตละอะตอมนั่นเอง แบบฝกหัด 1.3 a) จงทบทวน quantum mechanics เบื้องตน และหาวา อิเล็กตรอนที่อยูในชั้น พลังงาน 5s นี้ มีรูปทรงอยางไร และ มี angular momentum เปนศูนยหรือไม ? b) เราสามารถที่จะ สรุปไดหรือไมวา ความเปนแมเหล็กของ silver อะตอมนั้น สืบเนื่องมาจากการที่ อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ เปนวงโคจรภายในอะตอม แลวทําใหเกิดกระแสไหล ? ตามหลักการของกลศาสตร Newton เราพอจะคาดการณไดวา ลักษณะของภาพที่ปรากฏบนฟลมอยูที่ ฉากดานหลัง ควรจะเปนเสนที่ตอเนื่อง ดังในภาพ 1.5b ดวยเหตุผลที่วา ความนาจะเปนที่จะพบ แนวแกนแมเหล็กของอะตอม silver ในทิศทางตางๆกัน ควรจะมีความเปนไปไดเทาๆกัน ไมวาจะ เปนทิศขึ้น ลง หรือทํามุมกี่องศาก็แลวแต Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-15
แตในความเปนจริงแลว ผลการทดลองปรากฏออกมาดังในภาพ 1.5c กลาวคือ เราสามารถวัดไดวา อะตอมของ silver มีทิศของแนวแกนแมเหล็กอยูเพียง 2 ทิศดวยกันคือ ขึ้นกับลง เนื่องจากวาความ เปนแมเหล็กของ silver อะตอม มีที่มาจาก spin ของอิเล็กตรอน เราจึงบอกวา spin ของอิเล็กตรอน มีคาไดเพียง 2 คา คือ + และ − เทานั้น1 2
2
กลาวโดยสรุปก็คือ ชุดทดลองของ Stern-Gerlach เปนการทดลองที่สามารถแยก beam ของ อิเล็กตรอน2 (หรือในที่นี้ silver อะตอม) ของเปน 2 สายดวยกัน คือ แยกเปน beam ที่มี spin + และ 2
beam ที่มี spin เปน −
2
ภาพแสดงไปรษณียบัตรที่ Stern สงใหกับ Neil Bohr เมื่อวันที่ 8 กุมภาพันธ 1922 การวางตัวของ แมเหล็กเปนไปในแนวนอน ซึ่งตางจากภาพ 1.5 ที่วางตัวในแนวตั้ง ภาพทางซายเปนชุดควบคุมที่ แสดงถึงแผนฟลมในขณะที่ไมมีสนามแมเหล็ก และภาพทางขวาแสดงชัดเจนถึงการแยกของ beam ของเปน 2 แถบ ภายในไปรษณียบัตรมีขอความ "Attached [is] experimental proof of directional quantization. We congratulate [you] on the confirmation of your theory." [Credit: Friedrich et. al. Physics Today. December. 2003] ในบางครั้ง เราเรียกคาของ spin เหลานีว้ า + 1 2 และ −1 2 หรือ + 2 และ − 2 ทั้งนี้ เปนเพียงขอแตกตางของการใชภาษาและการกําหนดคํา นิยามเทานั้น 2 เพื่อใหงายในการทําความเขาใจ ผูเขียนเลือกที่จะใชคําวา อิเล็กตรอน แทน silver อะตอมดังที่ปรากฏใน Stern-Gerlach experiment ดวยเหตุที่นักศึกษาจะตอง โยงความสัมพันธของ beam เหลานี้เขาไปกับ spin ของแตละอนุภาคที่รวมตัวกันอยูภายใน beam แททจี่ ริงแลวอนุภาคเหลานี้เปน silver อะตอม แตดว ยลักษณะ การเรียงตัวในชั้นพลังงานของอิเล็กตรอนทั้ง 47 ตัวในอะตอมของ silver ทําใหอะตอมทั้งอะตอม มีคา ของ spin เปรียบเสมือนกับอิเล็กตรอนเพียงตัวเดียวเทานั้น 1
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-16
1.7 การทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบตางๆ ในขั้นตอไป เราจะมาศึกษาผลการทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบตางๆกัน และ อาศัยผลการ ทดลองเหลานี้เปนเครื่องมือในการวิเคราะห และนําระเบียบวิธีทาง quantum mechanics มาใชในการ อธิบายผลการทดลอง ใน Section ที่กําลังจะกลาวถึงนี้ เปนเนื้อหาที่ยาว แตในทายที่สุดแลว จะนําไปสูบทสรุปที่ทําให quantum mechanics นั้นแตกตางออกไปจากฟสิกสที่เราไดเรียนรูมา กลาวคือ quantum mechanics จําเปนจะตองใชจาํ นวนเชิงซอนเขามารวมเปนกลไกของการอธิบายปรากฏการธรรมชาติ อยาง หลีกเลี่ยงไมได
รูปแบบ 1 SGZ-SGZ ดังที่กลาวไวใน Section 1.2 เราเริ่มดวยการใหคํานิยามของสถานะของระบบที่กําลังศึกษา ในกรณี ของ Stern-Gerlach experiment นี้ จากการทดลองพบวา อิเล็กตรอนมี spinไดเพียง 2 คา ดังนั้นเรา อาจจะเขียน state ที่เปนไปไดของอิเล็กตรอนไดดังนี้ +Z
แทน state ของอิเล็กตรอนที่มี spin เปน + เมื่อวัดตามแนวแกน z
−Z
แทน state ของอิเล็กตรอนที่มี spin เปน − เมื่อวัดตามแนวแกน z
2
2
โดยกําหนดใหสนามแมเหล็กขนาดใหญ เรียงตัวตามแนวแกน z ดังในภาพ 1.5a จากนั้นเราลองมา วิเคราะหผลการทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบที่ 1 ดังแสดงในภาพ 1.6
ภาพ 1.6 แสดงผลการทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบที่ 1 ซึ่งประกอบดวยสนามแมเหล็ก ขนาดใหญ 2 ชุด (SGZ) เรียงตัวตามแนวแกน z ทั้งคู
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-17
ผลการทดลองปรากฏวา เมื่ออิเล็กตรอน 100 ตัวพุงเขามาที่ SGZ ชุดแรก จะมีโอกาสครึ่งตอครึ่ง ที่ เราจะตรวจพบวามันมี spin เปน + หรือ − 2
2
เปนที่นาสังเกตวา ในกรณีของ SG-Z ชุดที่สอง
เราตรวจพบวา อิเล็กตรอนทั้งหมด 50 ตัวทีเ่ ขามาใน SG-Z ชุดที่สอง เปน spin + ทั้งหมด หรือ 2
กลาวอีกนัยหนึ่งไดวา ถาอิเล็กตรอนอยูใน state + Z ดังที่ไดตรวจพบใน SG-Z ชุดที่หนึ่ง probability ที่เราจะพบ อิเล็กตรอนดังกลาวนี้ อยูใน state + Z ในการวัดของ SGZ ชุดที่สอง มีคาเปน 1 และโดยอาศัย รูปแบบของสัญลักษณใน Section 1.4 จะไดวา 2
+Z +Z
= 1 ______________________ สมการ (1.21)
ถาอิเล็กตรอนอยูใน state + Z ดังที่ไดตรวจพบใน SGZ ชุดที่หนึ่ง probability ที่เราจะพบ อิเล็กตรอนดังกลาวนี้ อยูใน state − Z ในการวัดของ SGZ ชุดที่สอง มีคาเปน 0 −Z +Z
2
= 0 _______________________ สมการ (1.22)
จะเห็นวา สมการ (1.21) และ สมการ (1.22) นั้น ไดมาจากการนําผลการทดลอง มาสังเคราะหในแง ของความนาจะเปน ผนวกกับคํานิยามดังที่กลาวมาแลวใน Section 1.2-1.4 อยางไรก็ตาม เพื่อใหงาย ตอการคํานวณทางคณิตศาสตรในอนาคต เราสามารถที่เปลี่ยน สมการ (1.21) และ (1.22) ใหอยูในรูป ของ probability amplitude ไดดังนี้ + Z + Z =1 −Z +Z =0
________________________ สมการ (1.23)
ขอสังเกต ตามหลักที่ถูกตองในทางคณิตศาสตรนั้น การเปลี่ยนจากสมการ (1.21) มาเปนสมการ (1.23) นั้น โดยหลักการแลวเปนการถอด root ซึ่งเราจะตองนํา phase ของจํานวนเชิงซอนมา เกี่ยวของ กลาวคือ + Z + Z = e iθ แตผูเขียนจะไมกลาวถึง phase ในเวลานี้ เพราะจะทําให การอธิบายความและเนื้อหา มีความซับซอนเกินความจําเปน
รูปแบบ 2 SGX-SGZ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-18
ในลําดับตอไปเราลองมาวิเคราะหผลการทดลอง ในกรณีที่ทิศทางของสนามแมเหล็กหลักของ SternGerlach experiment ทั้งสองชุด วางตัวในทิศที่ตั้งฉากกัน ดังแสดงในภาพ 1.7b โดยที่ electron beam ที่พุงเขามาในครั้งแรกจะถูกแยกออกเปน 2 สายตามแนวแกน x จากนั้นจะเปดทางใหเฉพาะ beam ที่ มีสถานะเปน + X พุงเขาสู SGZ เพื่อทําการตรวจ spin ในแนวแกน z 25 e 50 e 100 e
-
SG-Z
-
SG-X
50 e
-
25 e
-
(a)
-
SG-Z SG-Z Z
X
SG-X SG-X
S S
N
(b) N
ภาพ 1.7 a) ผลการทดลองของ Stern-Gerlach experiment รูปแบบที่สอง b) แสดงทิศทางการวางตัว ที่ตั้งฉากกันระหวาง SGX และ SGZ จากผลการทดลองดังที่แสดงในภาพ 1.7a นั้นพบวา ในจํานวนอิเล็กตรอนทั้ง 50 ตัว ซึ่งอยูในสถานะ + X มีอยูบางสวนที่พบวามีสถานะเปน + Z และ บางสวนที่พบวามีสถานะเปน − Z ซึ่ง ในทาง quantum mechanics เราสามารถเขียนเปนสมการไดดังนี้ + X = a +Z +b −Z
____________________ สมการ (1.24)
โดยที่สัมประสิทธิ์ a และ b เปนตัวเลขที่จะตีความไดวา เมื่อเรานําอิเล็กตรอนที่ทราบแนชัดวาอยูใน สถานะ + X จากนั้นทําการวัด spin ตามแนวแกน Z a ก็คือ probability amplitude ที่จะพบ อิเล็กตรอนดังกลาวในสถานะ + Z และ b ก็คือ probability amplitude ที่จะพบอิเล็กตรอนดังกลาว ในสถานะ − Z นั้นเอง
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-19
ถาหากเราสังเกตจํานวนของอิเล็กตรอนในภาพ 1.7a จะพบวา ถาอิเล็กตรอนอยูใน state + X ดังที่ไดตรวจพบใน SGX ชุดที่หนึ่ง probability ที่เราจะพบวาอิเล็กตรอนดังกลาวนี้ อยูใน state + Z ในการวัดของ SGZ ชุดที่สอง มีคาเปน 1/2 ดังนั้นจากสมการ (1.4) จะไดวา 2
+Z +X
=
1 ________________________ สมการ (1.25) 2
ซึ่งถาเราแทนคํานิยามของ + X ในสมการ (1.24) เขาไปในสมการ (1.25) และใชสมการ (1.23) เขาชวยในการจัดเทอมใหลดรูปไดงายขึ้น จะไดวา +Z ( a +Z + b −Z
)
a +Z +Z + b −Z + Z a
และในทํานองเดียวกัน ในกรณีของสถานะ
−Z
2
=
2
=
2
=
1 2
_______________________ สมการ (1.26) 1 2
จะไดวา b = 2
1 ______________________ สมการ (1.27) 2
จากสมการ (1.26) และ สมการ (1.27) นั้น ถาเราสมมุติวา a และ b นั้นเปนเลขจํานวนจริง จะไดวา +X =
Dr. Teepanis Chachiyo
1 2
+Z +
1 2
−Z
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
____________________ สมการ (1.28)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
ภาพ 1.8 a) Stern-Gerlach รูปแบบที่ 3
b) Stern-Gerlach รูปแบบที่ 4
1-20
รูปแบบ 3 SGX-SGY ถาเราสังเกตจากการทดลองในชุดที่แลว ซึ่งเริ่มดวยการวางสนามแมเหล็กในแนวแกน x กอน แลว ตามมาดวยสนามในแนวแกน z แตในความเปนจริงแลว ทิศทางหรือแกนที่เรากําหนด เปนสิ่งที่ สมมุติขึ้นเพื่องายตอการอธิบายเทานั้น ที่สําคัญ ขอแตเพียงวา แนวแกนแมเหล็กทั้งสองนั้น ตั้งฉาก กันก็เพียงพอแลว เพราะฉะนั้น แทนที่เราจะให beam ของอิเล็กตรอนพุงเขาใสชุด SGX-SGZ ดังในรูปแบบ 2 เรา สามารถเปลี่ยนระบบการเรียงตัวของแมเหล็กใหอยูในรูปของ SGX-SGY โดยที่ผลการทดลองในแง ของความนาจะเปน ก็ควรจะยังคงเดิม ดังแสดงในภาพ 1.8a ดังนั้น ในทํานองเดียวกันกับสมการ (1.25) จะไดวา +Y + X
2
=
1 _________________ สมการ (1.29) 2
สมการขางตน มีความหมายวา ถาเราพบวาอิเล็กตรอนอยูในสถานะ อยู 50% ที่เราจะตรวจพบอิเล็กตรอนดังกลาวในสถานะ + Y
+X
อยูกอนแลว มีโอกาส
รูปแบบ 4 SGY-SGZ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-21
ในลักษณะเดียวกันกับการวิเคราะหในรูปแบบ 2 เราสามารถที่จะจัดวาง Stern-Gerlach ในรูปของ SGY-SGZ ดังในภาพ 1.8b และนําไปสูการเขียนสมการในลักษณะคลายๆกับ สมการ (1.24) ไดวา +Y = c + Z + d − Z
_________________ สมการ (1.30)
และ 1 _________________ สมการ (1.31) 2 1 = ________________ สมการ (1.32) 2
c = 2
d
2
ในที่สุดเราก็มาถึงจุดที่เปนประเด็นสําคัญของการวิเคราะห Stern-Gerlach experiment ทั้ง 4 รูปแบบ ดังที่กลาวมาแลว นั่นก็คือ ระเบียบวิธีของ quantum mechanics นั้น จะหลีกเลี่ยงไมไดเลยที่ probability amplitude จะตองเปนตัวเลขที่เปนจํานวนเชิงซอน ซึ่งจะไดกลาวในขั้นตอนตอไป ดูผิวเผิน คลายกับวา สมการ (1.31) และ (1.32) นั้น มีคําตอบที่งาย นั่นก็คือ คลายวา c และ d มีคาเปน 1 2
แตแทที่จริงแลว เราสามารถพิสูจนใหเห็นจริงวา +Y ≠
เนื่องดวย ถาเรากําหนดอยางผิดๆวา +Y + X
2
1
+Z +
2
1
+Y =
2
1 2
+Z +
−Z
1 2
_________________ สมการ (1.33) −Z
จะมีผลทําให
= 1 ซึ่งขัดกับผลการทดลอง และสมการ (1.29) อยางสิ้นเชิง
มีอยูเพียงวิธีเดียวที่คาของ c และ d ที่จะทําใหสมการ (1.28) (1.29) (1.31) และ (1.32) เปนจริงทั้งหมด พรอมๆกัน ซึ่งก็หมายถึงคาของ c และ d ที่สอดคลองกับการทดลอง Stern-Gerlach ทุกๆรูปแบบที่ เราไดศึกษามา นั่นก็คือ c =
1 2
i
และ d =
2
โดยที่ i เปนเลขจํานวนจินตภาพที่ i ≡
−1
หรือ
กลาวอีกนัยหนึ่ง +Y =
Dr. Teepanis Chachiyo
1 2
+Z +
i
2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
−Z
_________________ สมการ (1.34)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
แบบฝกหัด 1.4 จงพิสูจนวา ถา
1
+Y =
2
+Z +
i
2
−Z
1-22
แลว จะทําใหสมการ (1.28)
(1.29) (1.31) และ (1.32) เปนจริงทั้งหมดพรอมกันๆ จากการทดลองของ Stern-Gerlach ทั้ง 4 รูปแบบ ดังที่เราไดใชเวลาพอสมควรในการวิเคราะหนั้น สมการ (1.34) ไดแสดงใหเห็นถึงลักษณะเฉพาะตัวของ quantum mechanics ซึ่งก็คือ probability amplitude จะตองเปนจํานวนเชิงซอน อันจะเห็นไดจาก d =
i
2
ในสมการ (1.34) นั่นเอง
แบบฝกหัด 1.5 จงเขียน − X และ − Y ใหอยูในรูปของผลบวกของ สถานะ ในทํานองเดียวกันกับสมการ (1.28) และ (1.34)
+Z
และ
−Z
1.8 คณิตศาสตรของ bra และ ket ที่ผานมาเราไดใชการทดลองของ Stern-Gerlach เปนเครื่องมือในการพิสูจนวา quantum mechanics นั้นจําเปนจะตองนําเอาตัวเลขจํานวนเชิงซอนเขามาเปนกลไกหลักในการอธิบายถึงพฤติกรรมตางๆ ของธรรมชาติ และเนื้อหาใน Section นี้ เราจะมาดูในรายละเอียดถึงเอกลักษณตางๆในทาง คณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับ bra และ ket
Superposition สมมุติวาเรากําหนดใหสัญลักษณ ket Ψ แทนสถานะของเหรียญที่มีโอกาสจะเปนไปไดเพียง 2 สถานะคือ หัว (head) หรือ กอย (tail) ในกรณีที่มันวางนิ่งอยูกับพื้น และหงายออกกอย ดวยขอมูล อันนี้ เราบอกไดวา Ψ = tail แตในกรณีที่มันกําลังหมุนควางอยูในอากาศ เราไมมีขอมูลที่จะ แยกแยะออกไดวา Ψ มีสถานะเปนอะไรกันแน เพราะฉะนั้น ตามระเบียบวิธีทาง quantum mechanics เราเขียนสถานะของเหรียญใหอยูในรูป superposition (แปลวา การผสมกัน หรือ การ รวมกัน) ไดวา Ψ = a head + b tail
________ สมการ (1.35)
โดยที่ตัวเลข a และ b มีความเกี่ยวพันธกับเปอรเซ็นตของน้ําหนัก หรือ อัตราสวนผสมที่สถานะ นั้นๆ มีอยู ยกตัวอยางเชน ถาเหรียญมีความสมมาตร จะไดวา Ψ มีโอกาสที่เปน head หรือ tail ไดเทาๆกัน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-23
อยางไรก็ตามตัวเลข a และ b ไมใชความนาจะเปนที่จะพบวาเหรียญหงายออกหัวหรือออกกอย แต a และ b คือ probability amplitude ที่เหรียญจะอยูในสถานะ head หรือ tail นักศึกษาสามารถพิสูจนใหเห็นถึงความสัมพันธดังกลาว โดยการนําสถานะ bra ประกบทางซาย ทั้งสองขางของสมการ (1.35) จะไดวา head Ψ =
head a head +
= a head head
head b tail
+ b head tail
head
เขาไป
________ สมการ (1.36)
โดยที่ทางขวามือของสมการ (1.36) นั้น เนื่องจาก a และ b เปนเพียงตัวเลข จึงสามารถยาย ออกมาคูณ ณ ตําแหนงขางหนาของ bra-ket เพราะตัวเลข ไมวาจะเปนจํานวนจริง หรือ เลขจํานวน เชิงซอน ลวนมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ เนื่องจากเหรียญ มี 2 สถานะที่เปนอิสระตอกัน เพราะฉะนั้น head tail = 0
________ สมการ (1.37)
และ head head = 1
________ สมการ (1.38)
หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง ถาทราบขอมูลแนชัดแลววาเหรียญหงายออกกอย probability ที่มันจะออกหัวก็ ยอมเปนศูนย สงผลให probability amplitude ดังในสมการ (1.37) เปนศูนยตามไปดวย เมื่อนําสมการ (1.37) และ (1.38) เขาไปแทนในสมการ (1.36) จะไดวา head Ψ = a
________ สมการ (1.39)
โดยอาศัยคําอธิบายใน Section 1.3 เราสรุปจากสมการ (1.39) ไดวา ความหมายที่ถูกตองของตัวเลข a ก็คือ probability amplitude ที่ระบบของเรา (ซึ่งก็คือเหรียญที่กําลังลอยควางในอากาศ) จะอยูใน สถานะ head ในเมื่อ a คือ probability amplitude Section 1.4 บอกเราวา ออกหัว และในทํานองเดียวกัน Dr. Teepanis Chachiyo
b
2
a
2
ก็คือ probability ที่เหรียญจะหงาย
ก็คือความนาจะเปนที่เหรียญจะหงายออกกอยนั่นเอง
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-24
ในเนื้อหาของวิชาสถิติ เมื่อการโยนเหรียญมีโอกาสที่จะเกิดผลลัพธไดเพียง 2 เหตุการณ คือหัวและ กอย ความนาจะเปนที่เหตุการณทั้งสองจะเกิดขึ้น ตองมีผลรวมสุทธิเปน 1 หรืออีกนัยหนึ่ง 2
2
a + b =1
________ สมการ (1.40)
ขอสังเกต a เปนเลขจํานวนเชิงซอน เพราะฉะนั้น a 2 = a∗a เมื่อ a∗ คือ complex conjugate ของ a นอกจากนี้ ในกรณีของเหรียญที่มีความสมมาตร ความนาจะเปนที่จะมันจะหงายของหัว หรือกอยยอมมีคาเทาๆกัน หรือ
2
a =
1 2
และ
2
b =
1 2
แตก็ไมจําเปนเสมอไป นักพนันอาจจะ
ดัดแปลงเหรียญใหจุดศูนยถวงของน้ําหนักคอนมาทางดานกอย เปนผลให ขึ้นอยูกับระบบที่เรากําลังสนใจศึกษา
2
a <b
2
ก็เปนได ทั้งนี้
ในประเด็นที่เกี่ยวของกับ superposition ของ state หรือ สถานะ เราอาจจะสรุปใหอยูในรูปแบบของ ภาษาอยางเปนทางการของ quantum mechanics ไดวา ให
Ψ
เปนตัวแทนสถานะของระบบ ซึ่งสามารถเขียนใหอยูในรูปของ superposition N
Ψ = ∑ ci φ i i =1
____________________ สมการ (1.41)
เมื่อ { φi } คือเซตของสถานะ หรือ เหตุการณพื้นฐานตางๆทีม่ ีโอกาสจะเกิดขึ้นไดทั้งหมด ซึ่งมี ทั้งสิ้น N สถานะดวยกัน เซตของ { φi } ดังกลาว มีชื่อเรียกอีกอยางหนึ่งวา basis state ซึ่งโดยทั่วไป basis state มีสมบัติความเปน orthonormal (มาจาก orthogonal บวกกับ normal) หรือ φ i φ j = δ ij
ในสมการ (1.41) ci
2
=
ci
ก็คือ probability amplitude ของการเกิดสถานะนั้นๆ นั่นก็หมายถึง
ความนาจะเปนที่ระบบ จะอยูในสถานะ
Dr. Teepanis Chachiyo
____________________ สมการ (1.42)
φi
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
____________________ สมการ (1.43)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-25
และ N
∑ ci
2
=1
i =1
____________________ สมการ (1.44)
สมการ (1.44) เรียกกันโดยทั่วไปวา sum rule ซึ่งเปนกฎที่บอกวา ผลรวมของความนาจะเปนทั้งหมด มีคาเปนหนึ่งนั่นเอง
จาก ket ใหเปน bra เมื่อเรานํา quantum mechanics ไปประยุกตเพื่อแกปญหาของระบบที่ซับซอนมากขึ้น ซึ่งเปนเนื้อหา ในบทตอๆไปนั้น เอกลักษณทางคณิตศาสตรอีกอันหนึ่งที่จะมีสวนชวยในการวิเคราะห ก็คือ เอกลักษณที่เกี่ยวของกับการเปลี่ยนสถานะ ket Ψ ในสมการ (1.41) ใหเปนสถานะ bra Ψ ซึ่ง ก็คือ N
Ψ = ∑ ci∗ φ i
____________________ สมการ (1.45)
i =1
จะสังเกตเห็นวา สัมประสิทธิ์ ci∗ ในสมการ (1.45) เปน complex conjugate ของสัมประสิทธิ์ ci ใน สมการ (1.41) ความเปน complex conjugate ของสัมประสิทธิ์ดังกลาวนี้เอง เปนประเด็นสําคัญที่ นักศึกษาตองระวังเปนอยางยิง่ เมื่อทําการวิเคราะหเชิงคณิตศาสตร แบบฝกหัด 1.6 จงใชสมบัติความเปน orthonormal ในสมการ (1.42) และ ใชขอกําหนดที่วา Ψ Ψ = 1 เพื่อพิสูจนสมการ (1.45) α β = β α
สมมุติวาเราพิจารณาระบบที่แทนดวยสถานะ
∗
ซึ่งสามารถเขียนในรูปของ superposition ไดวา
α N
α = ∑ ai φ i
____________________ สมการ (1.46)
i =1
และในทํานองเดียวกัน สมมุติวา เรามีสถานะ
Dr. Teepanis Chachiyo
β
อีกสถานะหนึ่ง
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics N
β = ∑ bj φ j
1-26
____________________ สมการ (1.47)
j =1
ซึ่งเราสามารถใชสมการ (1.47) เปลี่ยนใหอยูในรูปของ bra ไดวา N
β = ∑ b∗j φ j
____________________ สมการ (1.48)
j =1
เพราะฉะนั้น ถาเรานํา bra ในสมการ (1.48) ขางตนไปประกบกับ ket ในสมการ (1.46) จะทําให ⎧⎪ N
⎫⎪ ⎪⎧ N
⎪⎫
⎪⎩ j =1
⎪⎭ ⎩⎪i =1
⎭⎪
β α = ⎨ ∑ b∗j φ j ⎬ ⎨∑ ai φ i ⎬ =
N N
∑ ∑ b∗j ai j =1 i =1
=
____________________ สมการ (1.49)
φj φi
N N
∑ ∑ b∗j aiδ ji j =1 i =1
ในสมการขางตน เราทําการกระจาย summation และใชสมบัติความเปน orthonormal ของ basis state นอกจากนี้ ในสมการ (1.49) จะเห็นวา Kronecker delta function มีคาเปนศูนยเกือบทั้งหมด ยกเวนเฉพาะในกรณี i = j เพราะฉะนั้น จํานวนของ summation จะลดลงจากเดิมที่มีอยูสอง กลายเปนหนึ่ง N
N
i =1
i =1
β α = ∑ bi∗ai = ∑ ai bi∗ N
( )
β α = ∑ ai∗bi i =1
∗
∗
⎛N ⎞ = ⎜ ∑ ai∗bi ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠
____________________ สมการ (1.50)
สมการ (1.50) ขางตน ใชทักษะเกี่ยวกับ complex number ในแงเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ กับ complex conjugate อยูพอสมควร นักศึกษาที่ไมคุนเคยกับประเด็นดังกลาว ควรที่จะทบทวน เรื่อง complex number เบื้องตน เพราะเราจําเปนตองใชคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับจํานวนเชิงซอน มากขึ้นไปอีกในเนื้อหาของบทตอๆไป
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
1-27
โดยอาศัยการเปลี่ยนจาก ket β ใหเปน bra β และนําไปประกบกับ ket α เราไดมาซึ่ง ความสัมพันธดังสมการ (1.50) และในทํานองเดียวกัน เราสามารถพิสูจนไดวา N
α β = ∑ ai∗bi
____________________ สมการ (1.51)
i =1
ทั้งนี้ เมื่อพิจารณาสมการ (1.51) และ สมการ (1.50) รวมกัน ทําใหเราไดบทสรุป α β = βα
∗
____________________ สมการ (1.52)
ซึ่งก็จะเปนเอกลักษณทางคณิตศาสตรอีกขอหนึ่ง ที่จะเปนประโยชนในการวิเคราะหหรือหาผลเฉลย ของสมการทาง quantum mechanics ในลําดับตอไป ในบทที่ 1 เราไดเกริ่นถึงธรรมชาติโดยทั่วไปของอะตอม หรือระบบที่มีขนาดเล็กในระดับอะตอมวา เปนสิ่งที่ผิดแผกจากกลศาสตรของ Newton ที่เราคุนเคย ทฤษฏีที่ใชในการศึกษาระบบขนาดจิ๋ว เหลานี้ก็คือ quantum mechanics ที่ไดรับการพัฒนาขึ้นมาโดย Schrödinger, Heisenberg, และ Born quantum mechanics ใชสัญลักษณที่เรียกวา ket ในการแสดงสถานะตางๆที่เราตองการศึกษา และ เรียกความสัมพันธของสถานะตางๆเหลานี้วา probability amplitude ซึ่งเปนจํานวนเชิงซอนที่โดยตัว มันเองแลวไมมีความหมายที่เปนรูปธรรมในทางฟสิกส หากแตมีความเกี่ยวเนื่องในทางคณิตศาสตร กับความนาจะเปน หรือ probability ของระบบ นอกจากนี้ เรายังไดศึกษาตัวอยางของระบบที่ปริมาณทางฟสิกสมีความตอเนื่อง คือ wave function ที่ แสดงถึง probability amplitude ของตําแหนงของอิเล็กตรอนภายในกลอง อีกทั้งระบบที่ไมตอเนื่อง คือ spin ของอิเล็กตรอน ดังที่ไดเห็นในการทดลองของ Stern-Gerlach โดยที่ตัวอยางเหลานี้ พรอมๆกับแบบฝกหัดที่แทรกอยูกับเนื้อหา เปนกลไกที่สําคัญที่จะทําใหนักศึกษาเขาใจในระบบตัว แปรพื้นฐานของ quantum mechanics และ ยังมีความเชีย่ วชาญในดานการนําคณิตศาสตรมารวมใน การแกปญหาอีกดวย
1.9 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 1.7 จงพิสูจนสมการ (1.51) Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics
θ
1-28
θ
+ n = cos( ) + Z + eiϕ sin( ) − Z 2 2 a) จงพิสูจนวา ถาเลือก θ และ ϕ ที่เหมาะสมแลว จะทําให + n มีคาเดียวกัน (หรือ อยูในสถานะ
แบบฝกหัด 1.8 กําหนดให
เดียวกัน) กับ + X และ + Y ได b) จงใหความหมายของ θ และ ϕ แบบฝกหัด 1.9 ถาให
θ
θ
−n = sin( ) + Z − eiϕ cos( ) − Z 2 2
จงพิสูจนวา
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
−n +n =0
และ
− n − n =1
Dr. Teepanis Chachiyo