Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-1
6
Wave Mechanics in One Dimension
เนื้อหา 6.1 Wave Function และ Position Eigenstate 6.2 Generator of Translation 6.3 Momentum Operator 6.4 Free Particles และ Gaussian Wave Packets 6.5 Heisenberg Uncertainty Principle 6.6 Schrödinger Equation 6.7 Square Well Potential 6.8 Scattering in One Dimension 6.9 Ehrenfest Theorem 6.10 บทสรุป 6.11 ปญหาทายบท
6.1 Wave Function และ Position Eigenstate ระบบตางๆที่เราไดกลาวถึงในบทที่ผานมา ลวนแตเปนระบบที่มี basis states เปนสถานะที่ไม ตอเนื่อง ยกตัวอยางเชน spin ของอิเล็กตรอนที่มีคาไดเพียง + หรือ − 2
2
และจากกลไกของ
quantum mechanics อาทิ matrix mechanics, expectation value, หรือ time evolution operator ทําให เราสามารถวิเคราะหระบบที่ไมตอเนื่องเหลานี้ไดในหลายแงมุมทั้งในแงของพลังงาน หรือ แมกระทั่ง การเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาของระบบที่เรากําลังพิจารณา อยางไรก็ตาม มีระบบในทางฟสิกสอยูจํานวนมากที่มี basis state เปนสถานะที่ตอเนือ่ ง ยกตัวอยางเชนอิเล็กตรอนที่ถูกขังอยูในบอพลังงานศักยดังทีไ่ ดเกริ่นมาแลวใน Section 1.5 ให
Dr. Teepanis Chachiyo
Ψ
แทนสถานะของอิเล็กตรอนในระบบ ________________ สมการ (6.1)
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-2
และในเมื่ออิเล็กตรอนดังกลาวสามารถที่จะอยู ณ ตําแหนงใดๆก็ไดภายในกลอง เราจึงให basis state เปนเซตของตําแหนงตางๆ ซึ่งเขียนไดโดยสัญลักษณ ให
x
แทนสถานะของอิเล็กตรอนที่อยู ณ ตําแหนง x ใดๆ ___________ สมการ (6.2)
จะเห็นวา เซตของ basis state ขางตนเปนคาที่ตอเนื่อง และมีจํานวนสมาชิกของเซตเปน infinity ดวยเหตุนี้เอง เมื่อเราเขียนสถานะ Ψ ของระบบ ใหอยูใ นรูปของ linear superposition ของ basis state x จึงมีความจําเปนจะตองเขียนอยูใ นลักษณะของ integral ดังตอไปนี้ Ψ = ∫ dxψ ( x) x
____________________ สมการ (6.3) N
โดยนัยยะสําคัญแลว สมการขางตนมิไดตางจากสมการ (2.22) หากแต summation ∑ ไดถูก i=1
เปลี่ยนใหอยูใ นรูปของ integral ∫ dx ในขณะเดียวกัน เซตของสัมประสิทธิ์ ci ที่ปรากฏในสมการ (2.22) ซึ่งเปนคาเฉพาะที่ผูกติดอยูกับ basis state φ i นั้นๆ ก็ไดถูกเปลีย่ นใหเปนฟงชันก ψ ( x) ซึ่งเปนฟงชันกของ x เพราะเปนสัมประสิทธิ์ที่ผูกติดกับ basis state
x
นัน่ เอง
และในทํานองเดียวกันทีเ่ ราสามารถตีความไดวา ci ก็คือ probability amplitude ที่ระบบจะอยูใ น สถานะ φ i ในระบบที่มีความตอเนื่องเชนนี้ ก็สามารถเขียนไดวา ψ ( x) = x Ψ
___________________________ สมการ (6.4)
สมการ (6.4) นี้เองคือคํานิยามของ wave function ที่นักศึกษาไดคุนเคยมาเปนอยางดีในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตน โดยที่ความหมายของ wave function ดังกลาวนัน้ เกีย่ วของกับความ นาจะเปนที่จะพบอนุภาค 2
ψ ( x) dx =
ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคอยูภายในบริเวณ
x → x + dx
นอกจากนี้ในบทที่ 2 เรายังไดกลาวถึงการที่เขียน operator ใหอยูในรูปของ ket-bra ซึ่งปรากฏใน สมการ 2.23 ดังตอไปนี้
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา N N
Oˆ = ∑ ∑ oij φ i i =1 j =1
6 Wave Mechanics in One Dimension φj
6-3
เมื่อ { φ i } คือ basis set _____________ สมการ (2.23)
และในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.3) เราสามารถเขียน operator ใหอยูในรูป Oˆ = ∫∫ dxdx′o( x, x′) x x′
____________________ สมการ (6.5)
จากสมการขางตนจะพบวา double summation ไดถูกเปลี่ยนใหเปน double integral และ สัมประสิทธิ์ oij ไดถูกเปลี่ยนใหเปนฟงชันก o( x, x′) และจากแบบฝกหัด 2.5 เราสามารถเขียน o( x, x′) ซึ่งเปนฟงชันกของ x และ x′ ไดวา o( x, x′) = x Oˆ x′
____________________ สมการ (6.6)
แบบฝกหัด 6.1 จงใช identity operator ในบทที่ 2 เพื่อแสดงใหเห็นวา 1ˆ = ∫ dx x x ____________________ สมการ (6.7) แบบฝกหัด 6.2 กําหนดให Ψ Ψ = 1 จงใช identity operator ในสมการ (6.7) และ คํานิยามของ wave function ในสมการ (6.3) เพื่อพิสูจนวา 2 1 = ∫ dxψ ∗ ( x)ψ ( x) = ∫ dx ψ ( x) ____________________ สมการ (6.8) คุณสมบัติทางคณิตศาสตรที่สําคัญอีกอันหนึ่ง ที่เกีย่ วของกับการใช { x } เปนเซตของ basis state คือ x′ x = δ ( x′ − x )
____________________ สมการ (6.9)
เมื่อ คือ δ ( x′ − x) Dirac delta function โดยที่สมการ (6.9) ขางตนสามารถพิสูจนไดโดยงายโดย การพิจารณา สถานะ bra Ψ Ψ = ∫ dx′ψ ∗ ( x′) x′
____________________ สมการ (6.10)
ใหสังเกตการเปลี่ยนรูปของฟงชันก ψ ( x) ในสมการ (6.3) มาเปน complex conjugate ของตัวมันเอง ในสมการ (6.10) นอกจากนี้เราทราบวา Ψ Ψ = 1 เพราะฉะนั้นแลว Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-4
Ψ Ψ = 1 = ∫∫ dx′dxψ ∗ ( x′)ψ ( x) x′ x
ในสมการขางตน ถาเราสมมุติให
x ′ x = δ ( x′ − x )
แลวจะไดวา
1 = ∫∫ dx′dxψ ∗ ( x′)ψ ( x)δ ( x′ − x) = ∫ dxψ ( x)
( ∫ dx′ψ ∗ ( x′)δ ( x′ − x) )
1 = ∫ dxψ ∗ ( x)ψ ( x)
ซึ่งก็ถูกตองเมื่อเปรียบเทียบกับสมการ (6.8) ทําใหเราทราบวาสมมุติฐานที่วา นั้น สอดคลองกับความเปนจริง
x ′ x = δ ( x′ − x )
แบบฝกหัด 6.3 พิจารณาสถานะของระบบ 2 สถานะดวยกันคือ Ψ และ Φ ทั้งนี้เมื่อเราให เซตของ basis state เปน { x } จะสามารถเขียนไดวา Ψ = ∫ dxψ ( x) x และ Φ = ∫ dxϕ ( x) x โดยที่ ψ ( x) และ ϕ ( x) เปนฟงชันกใดๆ จงใช identity matrix ในสมการ (6.7) และคํานิยามของ wave function ในสมการ (6.4) เพื่อพิสูจนวา Φ Ψ = ∫ dxϕ ∗ ( x)ψ ( x) ____________________ สมการ (6.11) นอกจากนี้ โดยทัว่ ไปแลว expectation value ของ operator Oˆ ใดๆ จะเขียนอยูใ นรูป Oˆ = Ψ Oˆ Ψ
ทั้งนี้เมื่อเราแทรก identity operator 1ˆ = ∫ dx x x เขาไปในสมการขางตน ยอมกระทําได เพราะ identity operator ไมทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงในทางคณิตศาสตร Oˆ = Ψ Oˆ Ψ = Ψ 1ˆOˆ Ψ = ∫ dx Ψ x x Oˆ Ψ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-5
โดยใชเอกลักษณ Ψ x = x Ψ ∗ = ψ ∗ ( x) และเขียน Ψ ใหอยูใ นรูป linear superposition ของ basis state Ψ = ∫ dx′ψ ( x′) x′ จะไดวาสมการขางตนแปรสภาพเปน Oˆ = ∫∫ dxdx′ψ ∗ ( x)ψ ( x′) x Oˆ x′
____________________ สมการ (6.12)
สมการ (6.12) มีความสําคัญมากในการคํานวณ expectation value ของระบบที่มี basis state เปน ปริมาณที่ตอเนื่องอาทิเชน { x } ดังจะไดยกตัวอยางการนํามาใชงานในแบบฝกหัด 6.4 แบบฝกหัด 6.4 พิจารณา operator ที่ใชวดั ตําแหนงของอนุภาค และใชสัญลักษณวา xˆ ดวยเหตุนี้ เมื่อ operator ดังกลาวกระทํากับสถานะ x ก็ยอมตองดึงเอา eigenvalue ซึ่งแสดงถึงตําแหนงใน ขณะนัน้ กลาวอีกนัยหนึ่งคือ xˆ x = x x ____________________ สมการ (6.13) จงใชคํานิยามของ operator ขางตนผนวกกับ 1) การคํานวณ expectation value ในสมการ (6.9) และ 2) เอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.12) เพื่อพิสูจนวา expectation value xˆ = ∫ dxψ ∗ ( x) xψ ( x) ____________________ สมการ (6.14) เมื่อนักศึกษาลองมองยอนไปถึงเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตน ในประเด็นที่เกี่ยวของกับ การคํานวณ expectation value ของ operator ใดๆ จะพบวา รูปแบบของสมการที่เขียนจะมีความ คลายคลึงกับที่แสดงในสมการ (6.14) มากกวาทีแ่ สดงในสมการ (6.12) ทั้งนี้ก็เพราะวา quantum mechanics เบื้องตนเนนการใช wave function เปนหลักในการคํานวณ หากแตเนื้อหาที่เรากําลังวิเคราะหอยูน ี้ มีตน ตอมาจาก matrix mechanics ซึ่งมีขอบเขตของการ ประยุกตใชงานกวางขวางกวา wave mechanics อยูมากทีเดียว ขอเสียของ matrix mechanics ก็คือ รูปแบบของสมการที่นักศึกษาจําเปนตองทําความเขาใจ คอนขางจะซับซอนกวา ดังจะเห็นไดจาก วิธีการคํานวณ expectation value ในสมการ (6.12) เปนตน
6.2 Generator of Translation ในแบบฝกหัด 6.4 เราไดเห็นตัวอยางของ operator xˆ ซึ่งทําหนาที่ในการวัดตําแหนงของอนุภาค และมีคุณสมบัติในทางคณิตศาสตรคือ xˆ x = x x มี Section 6.2 เราจะมาทําความรูจัก operator อีกชนิดหนึ่งซึง่ ทําหนาที่ในการเลื่อนตําแหนงของอนุภาคเปนระยะทาง a ดวยคุณสมบัติของ operator ดังกลาวที่เราตองการนี้ สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของสมการทางคณิตศาสตรไดวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
translation operator
6 Wave Mechanics in One Dimension
Tˆ (a) x = x + a
6-6
____________________ สมการ (6.15)
ในสมการ (6.15) เราเรียก operator Tˆ (a) วา translation operator ซึ่งมีผลให basis state x เปลี่ยนไปเปนสถานะ x + a หรืออีกนัยหนึ่ง เลือ่ นไปขางหนาตามแกน x เปนระยะทางเทากับ a นั่นเอง โดยทั่วไปแลว อนุภาคหรือระบบที่เราตองการศึกษา มิไดมีตําแหนงที่แนนอนอยู ณ ที่ใดทีห่ นึ่ง หากแตเปน linear superposition ของตําแหนงตางๆที่เปนไปได โดยมีฟง ชันก ψ ( x) เปน probability amplitude ที่อนุภาคจะอยู ณ ตําแหนงตางๆเหลานั้น หรืออีกนัยหนึ่ง Ψ = ∫ dxψ ( x) x และก็ เปนที่นาสนใจวา translation operator Tˆ (a) จะมีผลอยางไรกับระบบที่อยูในสถานะดังกลาว ทั้งนี้ เมื่อพิจารณา Tˆ (a ) Ψ = Tˆ (a )
( ∫ dxψ ( x) x )
= ∫ dxψ ( x)Tˆ (a) x Tˆ (a) Ψ = ∫ dxψ ( x) x + a
และเมื่อเราทําการเปลี่ยนตัวแปรของการ integrate โดยนิยามให สมการขางตนเปลี่ยนรูปดังตอไปนี้
x′ ≡ x + a
จะทําให integral ใน
Tˆ (a) Ψ = ∫ dx′ψ ( x′ − a) x′
อยางไรก็ตาม ตัวแปร x′ เปนเพียงตัวแปรของการ integrate ที่เราจะใชสญ ั ลักษณตวั อืน่ แทนได โดยไมผิดกติกาแตอยางใด เพราะฉะนั้นเราอาจจะเขียนไดวา Tˆ (a) Ψ = ∫ dxψ ( x − a ) x
เมื่อ
Ψ = ∫ dxψ ( x) x
__________ สมการ (6.16)
ทั้งสมการ (6.16) และภาพ 6.1 แสดงใหเห็นถึงผลของ translation operator ตอสถานะของระบบ ถา เราบงบอกสถานะของระบบดวย probability amplitude ที่อนุภาคจะอยู ณ ตําแหนงตางๆ ซึ่งแทนดวย ฟงชันก ψ ( x) จะพบวา ผลของ operator Tˆ (a) ก็คือการทําใหฟงชันกดังกลาวเลื่อนไปขางหนา ตามแนวแกน x เปนระยะทางเทากับ a Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
ภาพ 6.1 แสดงผลของ translation operator ตอ สถานะของระบบ ถาเราบงบอกสถานะของ ระบบดวย probability amplitude ที่อนุภาคจะอยู ณ ตําแหนงตางๆ ซึ่งแทนดวยฟงชันก ψ ( x) จะพบวา ผลของ operator Tˆ (a) ก็คือการทําให ฟงชันกดังกลาวเลื่อนไปขางหนาตามแนวแกน x เปนระยะทางเทากับ a
Ψ = ∫ dxψ ( x) x 1
0.5
−2
0
2
6-7
4
− 0.5
−1
Tˆ (a) Ψ = ∫ dxψ ( x − a ) x
แบบฝกหัด 6.5 จงใชสมบัติของ translation operator ในสมการ (6.15) และเอกลักษณของ Dirac delta function เพื่อพิสูจนวา x Tˆ (a) Ψ = ψ ( x − a ) __________ สมการ (6.17) แบบฝกหัด 6.6 จงใชสมบัติการ normalization ของสถานะ Ψ translation operator มีสมบัติเปน unitary operator กลาวคือ Tˆ † (a)Tˆ (a) = 1
= ∫ dxψ ( x) x
ในการพิสูจนวา
________________ สมการ (6.18)
อยางไรก็ตาม แทนที่เราจะสนใจ translation operator ที่สามารถเลื่อนสถานะของระบบเปนระยะทาง a เราอาจจะพิจารณาเฉพาะการเลื่อนอนุภาคเปนระยะทางสั้นๆ Δx หรือที่เรียกวา infinitesimal translation และในทํานองเดียวกันกับ infinitesimal rotation operator ในบทที่ 2 หรือ infinitesimal time evolution operator ในบทที่ 4 เราสามารถเขียน infinitesimal translation ใหอยูใ นรูปของ i Tˆ (Δx) = 1 − pˆ x Δx
เมื่อ
pˆ x
คือ generator of translation __________ สมการ (6.19)
สาเหตุที่เรียก operator pˆ x นี้วาเปน generator of translation ก็เพราะวามันทําหนาที่ในการกําหนด คุณลักษณะการเปลี่ยนแปลงไปของสถานะที่ operator Tˆ (Δx) กําลังกระทําอยู นอกจากนี้ ดวย เอกลักษณทางคณิตศาสตรที่ไดกลาวถึงแลวในบทที่ 2 เราสามารถเขียน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension Tˆ (a ) = e
i − pˆ x a
6-8
________________ สมการ (6.20)
generator of translation operator pˆ x มีสมบัติทางคณิตศาสตรที่สําคัญอยู 3 ขอที่สําคัญ ซึ่งจะได กลาวถึงโดยละเอียดในลําดับตอไปนี้ 1.
pˆ x
เปน Hermitian operator สมบัติขอนี้พิสูจนไดจากคํานิยามของ infinitesimal translation
operator Tˆ (Δx) = 1 − i
pˆ x Δx
จากคุณสมบัติในสมการ (6.18) ที่วา 1 = Tˆ † (Δx)Tˆ (Δx) †
⎛ i ⎞ ⎛ i ⎞ = ⎜ 1 − pˆ x Δx ⎟ ⎜ 1 − pˆ x Δx ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i ⎛ ⎞⎛ i ⎞ = ⎜ 1 + pˆ †x Δx ⎟ ⎜ 1 − pˆ x Δx ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
และเมื่อกระจายเทอมทางขวามือของสมการจะได 1 = 1−
i
pˆ x Δx +
i
pˆ †x Δx +
1 † 2 pˆ x pˆ x ( Δx )
เนื่องจากเรากําลังพิจารณา infinitesimal operator ซึ่งก็หมายถึงวา Δx → 0 ทําใหสามารถตัดเทอม ที่ 4 ทางขวามือของสมการออกได เพราะมีคาเล็กมากเมื่อเทียบกับเทอมอื่นๆ ดังนั้นแลว _____________________ สมการ (6.21)
pˆ †x = pˆ x
ซึ่งสมการ ก็มีความหมายวา 2. [ xˆ, pˆ x ] = i
pˆ x
เปน Hermitian operator นั่นเอง
คุณสมบัติทางคณิตศาสตรขอนี้มีที่มาจากการพิจารณา commutation ระหวาง
infinitesimal translation operator Tˆ (Δx) = 1 − i xˆ
pˆ x Δx
ในสมการ (6.19) และ position operator
ในสมการ (6.13) กลาวคือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-9
⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ = xˆ ⎛⎜ 1 − i pˆ x Δx ⎞⎟ − ⎛⎜1 − i pˆ x Δx ⎞⎟ xˆ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = xˆ −
i
ˆˆ x Δx − xˆ + xp
i
pˆ x xˆ Δx
i ˆˆ x − pˆ x xˆ ) = − Δx ( xp
สมการขางตนสามารถลดรูปลงไปไดอีก ถาเราเขียน
ˆˆ x − pˆ x xˆ xp
⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ = − i Δx [ xˆ , pˆ x ] ⎣ ⎦
ใหอยูในรูป [ xˆ, pˆ x ] ดังนั้น
_____________________ สมการ (6.22)
ˆ ˆ (Δx) − Tˆ (Δx) xˆ ที่กระทํากับสถานะ นอกจากนี้ ถาเราพิจารณาผลของ operator ⎡⎣ xˆ, Tˆ (Δx) ⎤⎦ = xT
Ψ = ∫ dxψ ( x) x
ใดๆ จะไดวา
(
)
⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ Ψ = xT ˆ ˆ (Δx) − Tˆ (Δx) xˆ ∫ dxψ ( x) x ⎣ ⎦ ˆ ˆ (Δx) ∫ dxψ ( x) x − Tˆ (Δx) xˆ ∫ dxψ ( x) x = xT
และเมื่อใชสมบัติของ Tˆ (dx) ในสมการ (6.16) และ สมบัติของ xˆ ในสมการ (6.13) เทอมขางตน แปรสภาพเปน ⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ Ψ = xˆ ∫ dxψ ( x − Δx) x − Tˆ (Δx) ∫ dxψ ( x) x x ⎣ ⎦
∫ dxψ ( x − Δx) x x − ∫ dxψ ( x − Δx)( x − Δx) x = Δx ∫ dxψ ( x − Δx) x =
ฟงชันก ψ ( x − Δx) ที่ปรากฏเปน integrand ในสมการขางตน สามารถกระจายใหอยูในรูปของ Taylor expansion ψ ( x − Δx) = ψ ( x) − Δx 1 ∂ψ + ( Δx )2 1! ∂x
1 ∂ 2ψ − 2! ∂x 2
แตเนื่องจาก Δx → 0
เราจึงสามารถประมาณ ψ ( x − Δx) ≅ ψ ( x) โดยมิไดมี error มากมายนัก เพราะฉะนัน้ แลว สมการ ขางตนลดรูปเหลือเพียง ⎡ xˆ , Tˆ (Δx) ⎤ Ψ = Δx ∫ dxψ ( x) x = Δx Ψ ⎣ ⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-10
เนื่องจากสถานะ Ψ ที่เรานํามาพิจารณาเปนสถานะทั่วๆไป และไมเฉพาะเจาะจงวาเปนกรณีใดเปน พิเศษ สมการขางตนจึงเปนจริงในทุกๆกรณี และสรุปไดวา ⎡ˆ ˆ ⎤ ⎣ x, T (Δx) ⎦ = Δx
_____________________ สมการ (6.23)
ในทายที่สุด เมื่อเปรียบเทียบสมการ (6.23) และสมการ (6.22) จะไดความสัมพันธ
[ xˆ, pˆ x ] = i 3.
x pˆ x Ψ =
∂ ψ ( x) i ∂x
_____________________ สมการ (6.24)
ในแบบฝกหัด 6.5 เราไดคุนเคยกับสมบัติทางคณิตศาสตรของ
operator Tˆ (a) ในลักษณะเดียวกันนี้มาแลว ในคราวนี้เรามาวิเคราะหในกรณีของ generator of translation operator pˆ x กันบาง พิจารณา Tˆ (Δx) Ψ = ∫ dx′ψ ( x′ − Δx) x′
จะเห็นวาเราสามารถกระจายฟงชันกใหอยูใ นรูปของอนุกรม Taylor ψ ( x′ − Δx) ≅ ψ ( x′) − Δx
∂ ψ ( x′) ∂x′
เพราะฉะนั้นแลว สมการขางตนแปรสภาพเปน
∂ Tˆ (Δx) Ψ = ∫ dx′ψ ( x′) x′ − Δx ∫ dx′ ψ ( x′) x′ ∂x′
และเมื่อนําสถานะ bra
x
เขามาประกบทั้งสองขางของสมการ จะไดวา ∂ ψ ( x′) x x′ ∂x′ ∂ = ∫ dx′ψ ( x′)δ ( x − x′) − Δx ∫ dx′ ψ ( x′)δ ( x − x′) ∂x′
x Tˆ (Δx) Ψ = ∫ dx′ψ ( x′) x x′
− Δx ∫ dx′
ใหสังเกตการณใช Dirac delta function ซึ่งเปนเอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.9) และ อาศัยคุณสมบัติของ Dirac delta function ที่วา δ ( x − x′) = δ ( x′ − x) ทําให ∂ x Tˆ (Δx) Ψ = ψ ( x) − Δx ψ ( x) ∂x
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
_____________________ สมการ (6.25) teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
นอกจากนี้ เรายังสามารถวิเคราะหเทอม i Tˆ (Δx) = 1 − pˆ x Δx
x Tˆ (Δx) Ψ
6-11
โดยการเขียน Tˆ (Δx) ใหอยูในรูปของ
ซึ่งจะไดวา i x Tˆ (Δx) Ψ = x 1 − pˆ x Δx Ψ i = x Ψ − Δx x pˆ x Ψ
เพราะฉะนั้นแลว i x Tˆ (Δx) Ψ = ψ ( x) − Δx x pˆ x Ψ
________________ สมการ (6.26)
ทั้งนี้เมื่อพิจารณาทางขวามือของสมการ (6.25) และสมการ (6.26) แลวพบวา i
Δx x pˆ x Ψ = Δx
∂ ψ ( x) ∂x
หรืออีกนัยหนึ่ง x pˆ x Ψ =
∂ ψ ( x) i ∂x
________________ สมการ (6.27)
นอกจากนี้ สมการขางตน ยังสามารถเขียนใหอยูใ นรูป pˆ x Ψ = ∫ dx
∂ ψ ( x) x i ∂x
เมื่อ
Ψ = ∫ dxψ ( x) x
แบบฝกหัด 6.7 สมมุติใหระบบทางฟสิกสอยูในสถานะ expectation value ของ generator of translation operator Ψ pˆ x Ψ = ∫ dxψ ∗ ( x)
___________ สมการ (6.28)
Ψ = ∫ dx′ψ ( x′) x′ pˆ x
∂ ψ ( x) i ∂x
จงพิสูจนวา
มีคาเทากับ
________________ สมการ (6.29)
6.3 Momentum Operator คุณสมบัติทางคณิตศาสตรทั้ง 3 ขอที่เราไดกลาวมาขางตนนั้น มีความสําคัญตอการตีความหมาย ของ operator pˆ x ในทางฟสิกสเปนอยางยิ่ง ประการแรกก็คือ คํานิยามในสมการ (6.19) บังคับให operator
pˆ x
มีหนวยเปน
Dr. Teepanis Chachiyo
Joule ⋅ sec m
ซึ่งเปนหนวยของ momentum
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-12
ประการที่สอง pˆ x เปน Hermitian operator ดังที่ไดอธิบายในบทที่ 3 Section 3.6 ซึ่งมี ความหมายวา pˆ x จะตองมี eigenvalue เปนจํานวนจริง และสามารถที่จะเปน operator ที่ใชวัด observable ในทางฟสิกสได และประการที่สาม pˆ x มีคุณสมบัติดังในสมการ (6.27) ซึ่งนักศึกษาคงสามารถจดจํารูปแบบทาง คณิตศาสตรของ momentum operator ในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตนไดวา มีความ คลายคลึงกับสมการ (6.27) ดวยเหตุผลทั้ง 3 ประการนี้เองเราสรุปไดวา นอกจาก pˆ x จะมีหนาที่เปน generator of translation operator ที่เปนตัวควบคุมใหอนุภาคเลื่อนไป ขางหนาตามแนวแกน x แลว operator pˆ x ยังเปนที่รูจักกันดีในเชื่อทีว่ า momentum operator อีก ดวย ในเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตนที่ใช Schrödinger equation เปนหลัก นักศึกษามักจะ คุนเคยกับ wave function ψ ( x) และ momentum operator ที่เขียนอยูใ นรูป
pˆ x ≡
∂ i ∂x
อยางไรก็
ตาม รูปแบบของ momentum operator ดังกลาวเมื่ออยูภ ายใตบริบทของเนื้อหา matrix mechanics ที่ เรากําลังศึกษาอยูนี้ เปนเพียงรูปแบบของ momentum operator ที่แสดงออกมาภายใต basis set { x } นักศึกษาตองไมลืมวา operator ตางๆนั้น จะแสดงออกมาวามีรูปแบบทางคณิตศาสตรอยางไร ลวน แลวแตผูกติดอยูกับ basis state ที่กําลังใชอยู ไมวาจะเปน operator ในสมการ (2.23) หรือ matrix ใน สมการ (2.63) หรือ แมกระทัง่ momentum operator ในสมการ (6.27) เพราะฉะนั้น แทนที่เราจะใชตําแหนงของอนุภาค { x } เปน basis state เราอาจจะพิจารณาระบบที่ กําลังสนใจ ในแงของ momentum ที่มันมีอยู หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง พิจารณาระบบโดยใช momentum ตามแนวแกน x เปน basis state ซึ่งในที่นี้ เราจะใชสัญลักษณ { p } แทนเซตของ basis state ดังกลาว และเมื่อเราใช momentum operator pˆ x เขามากระทํากับกับสถานะ p ก็จะมีผลเทากับการวัด momentum ของสถานะนั้นๆ และดึงเอาคา eigenvalue ดังกลาวออกมา ซึง่ ก็คือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
_____________________ สมการ (6.30)
pˆ x p = p p
นอกจากนี้ เรายังสามารถที่จะเขียนสถานะของระบบ basis state { p } เหลานี้ไดวา
Ψ
6-13
ใหอยูในรูป linear superposition ของ
Ψ = ∫ dpϕ ( p) p
____________________ สมการ (6.31)
โดยทั่วไปแลว สถานะ Ψ ดังในสมการ (6.31) นั้น เราเรียกเซตของ momentum basis state { p } วา "momentum space" ในขณะที่สมการ (6.3) เปนการเขียน Ψ ใหอยูใ นรูปของ "position space" จะสังเกตวาในสมการ (6.31) ขางตนนั้น เราใชฟงชันก ϕ ( p) แทน probability amplitude ที่จะพบ อนุภาคหรือระบบที่เรากําลังสนใจ อยูใ นสภาวะที่มี momentum ตางๆกัน หรือในรูปของ bra-ket ก็คือ ϕ ( p ) = p Ψ ____________________ สมการ (6.32) และจาก probability amplitude ดังกลาว โดยคํานิยามของความนาจะเปนแลว dp ϕ ( p )
2
คือ probability ที่อนุภาคจะมี momentum อยูในชวง
p → ( p + dp)
แบบฝกหัด 6.8 ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.9) จงพิสูจนวา p′ p = δ ( p′ − p) ____________________ สมการ (6.33) คุณสมบัติของ momentum basis state ในสมการ (6.33) และการเขียน Ψ ในสมการ (6.31) จะทํา ใหเราสามารถเขียนรูปแบบทางคณิตศาสตรของ momentum operator ดังที่ปรากฏภายใต momentum space กลาวคือ
( ∫ dp′ϕ ( p′) pˆ x p′ ) p ( ∫ dp′ϕ ( p′) p′ p′ )
p pˆ x Ψ = p =
= ∫ dp′ϕ ( p′)δ ( p − p′ )
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-14
และเมื่อเราใชเอกลักษณทางคณิตศาสตรของ Dirac delta function ที่วา δ ( p − p′) = δ ( p′ − p ) และ ∫ dx f ( x)δ ( x − x0 ) = f ( x0 ) จะไดวา p pˆ x Ψ = ϕ ( p )
____________________ สมการ (6.34)
มาถึงขั้นนี้ นักศึกษาตองสังเกตใหเห็นความแตกตางอยางชัดเจนระหวางสมการ (6.27) ซึ่งดูเหมือนวา momentum operator pˆ x เมื่ออยูภายใต position space อยูมีรูปแบบทางคณิตศาสตรเปน differential operator
∂ i ∂x
ซึ่งกระทําอยูกับฟงชันก ψ ( x)
ในขณะที่สมการ (6.34) บงบอกวา momentum operator pˆ x เมื่ออยูในบริบทของ momentum space แลว จะมีรูปแบบทางคณิตศาสตรเปนเพียง identity operator (ตัวเลข 1) ซึ่งคูณอยูกบั ฟงชันก ϕ ( p) ความแตกตางดังกลาว เปนหลักฐานชิ้นสําคัญซึ่งจะทําใหเราตระหนักวา operator ตางๆที่ไดเคย ศึกษามาใน quantum mechanics เบื้องตนซึ่งใช Schrödinger equation เปนหลักนัน้ แทจริงแลวเปน การเขียน operator ที่แสดงออกมาภายใตกรอบของ position space เทานั้นเอง ในคราวนีเ้ ราจะมากลาวถึงเอกลักษณทางคณิตศาสตรสําคัญอีกอันหนึ่ง ซึ่งจะถูกนํามาประยุกตใช งานในอนาคต นั่นก็คือ เราจะพิสูจนวา 1 eipx 2π
x p =
พิจารณา จะไดวา
x pˆ x p = p x p ∂ x pˆ x p = x p i ∂x
____________________ สมการ (6.35)
นอกจากนี้ ถาพิจารณาสมการ (6.27) และกําหนดให
Ψ = p
เพราะฉะนัน้ แลว p x p =
∂ x p i ∂x
____________________ สมการ (6.36)
เนื่องจาก x p มีสถานะภาพเปนฟงชันก ทําใหสมการ (6.36) ก็มีสถานะภาพเปน differential equation ธรรมดา ซึ่งมีผลเฉลยของสมการคือ x p = Neipx
Dr. Teepanis Chachiyo
เมื่อ
N
คือคาคงที่ ____________________ สมการ (6.37)
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-15
โดยที่เราสามารถคํานวณคาคงที่ N ไดจากการพิจารณาสถานะ p ซึ่งก็ไมตางจากสถานะทั่วๆไป ที่เราสามารถเขียนอยูใ นรูปของ linear superposition ใน position space p = ∫ dx ( x p
และเมื่อนํา bra
p′
) x เมื่อ คือ
probability amplitude
x p
เขามาประกบทั้งสองขางของสมการ จะไดวา
แตจากสมการ (6.33)
p′ p = δ ( p′ − p)
p′ p = ∫ dx x p p′ x
เพราะฉะนัน้
δ ( p′ − p) = ∫ dx x p p′ x = ∫ dx x p x p′ = N
2
∫ dxe
∗
i ( p − p′) x
Dirac delta function ที่ปรากฏอยูทางซายมือของสมการขางตน มีรูปแบบทางคณิตศาสตรที่เปนไปได อยูหลายรูปแบบ ยกตัวอยางเชน
1 δ ( x) = 2π
+∞
∫
dk e+ikx
และเมื่อใชคํานิยามของ Dirac delta
−∞
function ดังกลาวนี้ 1 ⎛ x ⎞ i p′− p ) x d ⎜ ⎟e ( ∫ 2π ⎝ ⎠
ดวยเหตุนี้เอง ทําให
N=
1 2π
= N
2
∫ dx e
i ( p − p′) x
และเมื่อผนวกกับสมการ (6.37) ก็จะไดความสัมพันธ
x p
ดังแสดงในสมการ (6.35) การนําเอกลักษณทางคณิตศาสตรในสมการ (6.35) มาประยุกตใชงานนัน้ ก็ไดแกการเปลี่ยนจาก probability amplitude ซึ่งแตเดิมอยูใ น position space ψ ( x) ใหกลายมาเปน momentum space ϕ ( p) โดยสมมุติวา เราทราบขอมูลของอนุภาค และ probability amplitude ที่มันจะอยู ณ ตําแหนง ตางๆกันคือ Ψ = ∫ dxψ ( x) x
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-16
เมื่อนําสถานะ bra p เขามาประกบทั้งสองขางของสมการจะไดวา p Ψ = ∫ dxψ ( x) p x ทั้งนี้โดยคํานิยามแลว ทางซายมือของสมการก็คือ ϕ ( p) = p Ψ ในขณะที่ทางขวามือของสมการก็ คือ
1 2π
∫ dxψ ( x)e
− ipx
เพราะฉะนั้นแลว
ϕ ( p) =
1 2π
−ipx
____________________ สมการ (6.38)
+ ipx
____________________ สมการ (6.39)
∫ dxψ ( x)e
และในทํานองเดียวกัน เราสามารถพิสูจนไดวา ψ ( x) =
1 2π
∫ dpϕ ( p)e
แบบฝกหัด 6.9 พิจารณาระบบที่อิเล็กตรอนถูกขังอยูในบอพลังงานศักยสูงเปนอนันตดังในภาพ (1.2) ของบทที่ 1 สมมุติวา probability amplitude ที่จะพบอิเล็กตรอน ณ ตําแหนงตางๆภายในกลอง 30
คือ ψ ( x) =
d5
x(d − x)
เมื่อ 0 ≤ x ≤ d
a) จงหา probability amplitude ϕ ( p) และ plot graph b) เมื่อวิเคราะหอิเล็กตรอนที่อยูในสถานะดังกลาว มีความนาจะเปนเทาใดทีจ่ ะพบวามันมี momentum อยูในชวง p → ( p + dp) พรอมทั้ง plot graph เฉลย
2
ϕ ( p) =
15
⎡8 + 2 k 2 d 2 + ( k 2d 2 − 4)2 cos(kd ) − 8dk sin(kd ) ⎤ 6 5⎣ ⎦ π k d
เมื่อนิยาม k ≡
p
นอกจากนี้ เนื่องจากความสัมพันธทางคณิตศาสตรระหวาง ψ ( x) และ ϕ ( p) ดังในสมการ (6.38) และ (6.39) ทีม่ ีลักษณะของเหมือนกันกับ Fourier transform เราเรียกฟงชันก ψ ( x) และ ϕ ( p) วา เปน Fourier transform pair (ฟงชันกที่เปน Fourier transform ของกันและกัน) ระหวาง position space และ momentum space
6.4 Free Particles และ Gaussian Wave Packet เพื่อมิใหเนื้อหาที่เกี่ยวของกับ momentum operator และกลไกทางคณิตศาสตรที่ไดกลาวมาขางตน เปนเพียงนามธรรมที่เลื่อนลอยจนเกินไป เรามาศึกษาตัวอยางที่เปนรูปธรรม ซึ่งก็คือ อนุภาคที่ เคลื่อนที่อยางอิสระตามแนวแกน x หรือที่เรียกวา free particles
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-17
Ψ = ∫ dxψ ( x) x อนุภาควางอยู ณ จุดกําเนิด
x=0
ψ ( x) = Ne
ระบบจริงที่กําลังศึกษา
− x2 2a 2
model ของ quantum mechanics
ภาพ 6.2 แสดงถึง model อีกแบบหนึ่งของ quantum mechanics ที่ใชแทนอนุภาคทีว่ างอยู ณ จุด กําเนิด คําวา "วาง ณ จุด x=0" นั้น ในความเปนจริงแลว เปนไปไมไดที่อนุภาคจะมีตําแหนงที่ แนนอน 100% อยู ณ จุดใดจุดหนึ่ง พิจารณาอนุภาคที่วางอยู ณ จุดกําเนิดดังในภาพ 6.2 ในมุมมองของ quantum mechanics คําวา "วาง ณ จุด x=0" นั้น ในความเปนจริงแลว เปนไปไมไดที่อนุภาคจะมีตําแหนงที่แนนอน 100% อยู ณ จุด ใดจุดหนึ่ง เพราะฉะนัน้ เราใหสถานะ Ψ ของอนุภาคเปน linear superposition ของตําแหนง ตางๆที่เปนไปได Ψ = ∫ dxψ ( x) x โดยมีฟง ชันก ψ ( x) แสดงถึง probability amplitude ที่จะ พบอนุภาค ณ ตําแหนงนั้นๆ model อันหนึง่ ที่เปนไปไดกค็ ือ การกําหนดให ψ ( x) = Ne− x
2 2a 2
____________________ สมการ (6.40)
เมื่อ N และ a คือคาคงที่ ซึ่งเราจะทําการคํานวณและตีความในลําดับตอไป รูปแบบของฟงชันก ในสมการ (6.40) จัดอยูในกลุมของฟงชันกที่เรียกวา Gaussian function ดังแสดงในภาพ 6.2 ขอควรระวัง probability amplitude ในสมการ (6.40) มิไดเปนขอกําหนดตายตัวที่ quantum mechanics ใชในการอธิบายอนุภาคอิสระ ขึ้นอยูกับความเหมาะสมกับระบบทางฟสิกสที่กําลัง พิจารณา ยกตัวอยางเชน บางครั้งเรา model อนุภาคอิสระที่กําลังเคลื่อนที่ดวยความเร็วสูงโดยใช probability amplitude ψ ( x) ∼ eikx เราสามารถคํานวณคาคงที่ Dr. Teepanis Chachiyo
N
ไดจากเงื่อนไข normalization ที่วา
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-18
1 = ∫ dxψ ∗ ( x)ψ ( x) +∞
∫
=
2 − xa dx N 2e ( )
−∞ +∞
อาศัยสมบัติของ Gaussian function ∫
2
dx e − x = π
ผนวกกับสมการขางตน จะไดวา
−∞
N=
1
πa
เพราะฉะนั้นแลว probability amplitude ของอนุภาคอิสระซึ่งอยูในรูปของ Gaussian function ก็คือ ψ ( x) =
1
πa
2 2 e− x 2a
____________________ สมการ (6.41)
และเพื่อที่จะเขาใจความหมายของคาคงที่ a เราลองคํานวณ uncertainty ในการวัดตําแหนงของ อนุภาคดังกลาว จาก Section 2.4 ในบทที่ 2 uncertainty ของ operator xˆ คํานวณไดจาก Δx =
2 xˆ 2 − xˆ
____________________ สมการ (6.42)
เราเริ่มขั้นตอนในการคํานวณดวยการวิเคราะห expectation value บอกไดวา
xˆ
ซึ่งจากสมการ (6.12) เรา
xˆ = ∫∫ dxdx′ψ ∗ ( x)ψ ( x′) x xˆ x′ = ∫∫ dxdx′ψ ∗ ( x)ψ ( x′) x′ x x′
จากนั้น ใชสมการ (6.9) เพื่อชวยในการ integrate ทําใหในทายที่สุด
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-19
xˆ = ∫∫ dxdx′ψ ∗ ( x)ψ ( x′) x′δ ( x − x′) +∞
∫
=
dxψ ∗ ( x ) xψ ( x)
−∞
และเมื่อนําเอาคํานิยามของ probability amplitude ในสมการ (6.41) เขามา integrate +∞
xˆ =
∫
dx
−∞
1
πa
2 2 xe − x a = 0
2
________________ สมการ (6.43)
2
ผลลัพธของ integration เปนศูนยกเ็ พราะวา e− x a เปนฟงชันกคู ในขณะที่ x เปนฟงชันกคี่ และเมื่อทําการ integrate ตลอดชวง ( −∞, +∞ ) จึงไดผลลัพธเปนศูนยโดยอัตโนมัติ แบบฝกหัด 6.10 จงใชกลไกของการคํานวณ expectation value ในสมการ (6.12) เพือ่ พิสูจนวา ˆ2
x
+∞
=
∫
dxψ ∗ ( x) x 2ψ ( x)
________________ สมการ (6.44)
−∞
ขั้นตอนตอไปคือการคํานวณ xˆ 2 =
xˆ 2
ซึ่งจากสมการ (6.44) จะไดวา
+∞
∫
−∞
dx
2 2 a2 x 2e− x a = 2 πa
1
________________ สมการ (6.45)
เทคนิคของการ integrate ในสมการขางตน มิไดมีอะไรซับซอนไปกวาการเปดตาราง integration แบบตางๆ ที่ปรากฏอยูในหนังสือ mathematical physics ซึ่งมีอยูโดยทั่วไป ในทายที่สุด เราสามารถคํานวณ uncertainty ของตําแหนงของอนุภาคไดจาก สมการ (6.45) และ สมการ (6.43) ซึ่งก็คือ Δx =
a 2 xˆ 2 − xˆ = 2
________________ สมการ (6.46)
นอกจากเราจะมองสถานะของอนุภาคดังกลาวใน position space เรายังสามารถเปลี่ยน probability amplitude ψ ( x) ใหอยูในรูปของ ϕ ( p) ใน momentum space ซึ่งทําไดโดยอาศัยสมการ (6.38) Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
ϕ ( p) =
6 Wave Mechanics in One Dimension
+∞
1 ∫ dx 2π −∞
1
πa
6-20
2 2 e− x 2a e −ipx
integral ขางตนสามารถคํานวณไดโดยการเปลี่ยนตัวแปร นิยามให η ≡
x ipa + 2a 2
ซึ่งจะทําให
integral แปรรูปเปน ϕ ( p) =
1 2π
2 2 2 +∞ −η 2 2ae − p a 2 ∫ dη e
1
πa
−∞
π
และจะไดวา a
ϕ ( p) =
π
2 2 2 e− p a 2
________________ สมการ (6.47)
ฟงชันก ϕ ( p) ขางตน แสดงถึง probability amplitude ที่อนุภาคจะมี momentum ตางๆกัน และนั้น ก็หมายถึง เมื่อเราตองการที่จะอธิบายสถานะของระบบใหอยูในรูปแบบของ momentum basis state จะทําไดโดย ⎛ Ψ = ∫ dp ⎜⎜ ⎝
2 2 2⎞ e − p a 2 ⎟⎟ p π ⎠
a
________________ สมการ (6.48)
สถานะที่แสดงดังในสมการ (6.48) มีความสะดวกในการคํานวณ expectation value ของ momentum ซึ่งแทนดวยสัญลักษณ pˆ และ การคํานวณ uncertainty ในการวัด momentum ซึ่งแทนดวย สัญลักษณ Δp expectation value pˆ สามารถคํานวณไดโดยใชสมการ (6.12) ซึ่งถึงแมตัวสมการจะเขียนอยูในรูป ของ operator ที่ใช position basis state { x } เปนหลัก รูปแบบของสมการนั้นเปนจริงในทุกๆ basis state รวมไปถึง momentum basis state { p } ดวย
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-21
pˆ = ∫∫ dpdp′ϕ ∗ ( p )ϕ ( p′) p pˆ p′ +∞
=
∫
dp
2 2 pe− p a
a
π
−∞
2
และเมื่อใชเหตุผลที่เกี่ยวของกับฟงชันกคแู ละฟงชันกคขี่ อง integrand ขางตน เราสรุปไดวา +∞
∫
pˆ =
dp
−∞
a
π
2 2 pe− p a
แบบฝกหัด 6.11 จงคํานวณ expectation value เพียงแตวาในกรณีนี้เปน operator ˆ2
p
+∞
∫
=
pˆ 2 a
dp
π
−∞
Ψ = ∫ dx
1
πa
=0
________________ สมการ (6.49)
ในทํานองเดียวกับทีเ่ ราไดวิเคราะห
pˆ 2
xˆ 2
และ momentum basis state { p } และพิสูจนวา 2 2 p 2e− p a
แบบฝกหัด 6.12 จงหา expectation value position basis
2
pˆ
2
=
2
2a 2
________________ สมการ (6.50)
โดยเริ่มจากการเขียนสถานะของระบบอยูในรูปของ
2 2 e− x 2a x
แทนที่จะเปน momentum basis ดังในสมการ
(6.48) นักศึกษาอาจจะตองใชสมการ (6.119) เขาชวยในการวิเคราะห จากสมการ (6.49) และ (6.50) ซึ่งบอก expectation value
pˆ
และ
pˆ 2
ตามลําดับ เราบอกไดวา
uncertainty ของการวัด momentum ของอนุภาคที่เราใช model ของ Gaussian wave packet คือ Δp =
2 pˆ 2 − pˆ =
2a
________________ สมการ (6.51)
คุณสมบัติตางๆของ Gaussian wave packet ดังกลาว ไดสรุปอยูในภาพ 6.3 ซึ่งแสดง model ของ อนุภาคอิสระที่อธิบายดวย quantum mechanics และแสดงในสองลักษณะคือ 1) position space ψ ( x) และ 2) momentum space ϕ ( p) ซึ่งทั้งสองมุมมองสามารถเปลี่ยนแปลงไปมาไดโดยใช transformation equation ที่มีลักษณะคลายกันกับ Fourier transform
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
position space ⎛ Ψ = ∫ dx ⎜⎜ ⎝
momentum space
2 2⎞ e − x 2 a ⎟⎟ x πa ⎠
⎛ Ψ = ∫ dp ⎜⎜ ⎝
1
ψ ( x)
6-22
1 2π
ψ ( x) =
1
1 2π
πa
∫ dpϕ ( p)e
∫ dxψ ( x)e
− ipx
ϕ ( p)
+ ipx
= ϕ ( p)
a
x
π
p
a 2
Δx =
2 2 2⎞ e − p a 2 ⎟⎟ p π ⎠
a
Δp =
2a
ภาพ 6.3 แสดง model ของอนุภาคอิสระที่อธิบายดวย quantum mechanics และแสดงในสอง ลักษณะคือ 1) position space ψ ( x) และ 2) momentum space ϕ ( p) 1) ใน position space อนุภาคมี expectation value ของตําแหนง
xˆ = 0
ซึ่งหมายถึงวาโดยเฉลี่ย
แลวมันอยู ณ ตําแหนง x = 0 ในขณะที่ความไมแนนอนของตําแหนงดังกลาว Δx =
a 2
ซึ่งแปร
ผันตรงกับคาคงที่ a 2) ใน momentum space อนุภาคมี expectation value ของ momentum operator pˆ = 0 ซึ่ง หมายถึงวาโดยเฉลี่ยแลวมันหยุดนิ่ง และจะสังเกตวาความไมแนนอนของ momentum ดังกลาว Δp =
2a
ซึ่งแปรผกผันกับคาคงที่ a นั่นหมายถึงถาเราบอกตําแหนงของอนุภาคไดแมนยํา จะ
สงผลใหความคลาดเคลื่อนของการวัด momentum มีคาสูงขึ้น ในกรณีของตัวอยางที่เรากําลังวิเคราะหอยูน ี้ ความสัมพันธของ uncertainty ทั้งสองคือ ΔxΔp =
2
ในกรณีของ Gaussian wave packet ________________ สมการ (6.52)
Time Evolution of Gaussian Wave Packet model ของ quantum mechanics ที่ใชในการอธิบายพฤติกรรมของอนุภาค ดังที่ไดสรุปในภาพ 6.3 นั้น อาจจะมีการเปลี่ยนแปลงไดเมื่อเวลาผานไป ในคราวนี้ เราจะมาศึกษาพฤติกรรมของอนุภาคใน Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-23
แงมุมตางๆกัน ไมวาจะเปนตําแหนง, ความไมแนนอนของการวัด position และ วัด momentum, และ สถานะของอนุภาค เมื่อเวลาเปลี่ยนแปลงไป กลไกที่สําคัญในการวิเคราะหหาสถานะของระบบเมื่อเวลา t ใดๆนั้น ก็คือ time evolution operator ดังที่ไดกลาวมาแลวในบทที่ 4 ซึ่งอยูในรูปของ Uˆ (t ) = e
−
ˆ iHt
___________________________ สมการ (6.53)
โดยที่ Hˆ คือ Hamiltonian operator และในระบบของอนุภาคอิสระที่เรากําลังศึกษาอยูนี้ พลังงาน รวมของระบบมาจากพลังงานจลนของการเคลื่อนที่ ซึ่งก็คือ pˆ 2 Hˆ = 2m
_____________________________ สมการ (6.54)
ทั้งนี้ เนื่องจาก Hamiltonian ของระบบเปนฟงชันกของ momentum operator จึงเปนการเหมาะสมที่ เราจะเริ่มดวยการเขียนสถานะของอนุภาค Ψ ใหอยูใ นรูปของ momentum space เพราะฉะนัน้ แลว สถานะของระบบ ณ เวลาใดๆ ก็คือ
Ψ (t) = e =e
− −
ˆ iHt
Ψ (t = 0) ˆ iHt
⎛ Ψ (t) = ∫ dp ⎜⎜ ⎝
⎛ dp ∫ ⎜⎜ ⎝
2 2 2⎞ e− p a 2 ⎟⎟ p π ⎠
a
ipˆ 2t − 2 2 2 ⎞ a −p a 2 e ⎟ e 2m p
π
⎟ ⎠
−
ipˆ 2t 2m
การที่จะวิเคราะหสมการขางตน เราจะตองทําการลดรูปเทอม e p ใหไดเสียกอน ซึ่ง ขั้นตอนก็ไมตา งจากที่เราเคยไดฝกใน Section 2.5.2 ของบทที่ 2 โดยเริ่มการการ expand operator exp(−
ipˆ 2t ) 2m
ใหอยูใ นรูปของอนุกรม Taylor จากนั้นนําพจนตางๆเขามากระทํากับสถานะ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
p
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา ipˆ 2t e 2m p −
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-24
ip 2t = e 2m p −
ซึ่งจะไดวา ทั้งนี้ใหสังเกตวาทางซายมือของสมการปรากฏเปน operator pˆ ในขณะที่ทางขวามือของสมการปรากฏเปน eigenvalue p ดังนั้น ⎛ Ψ (t) = ∫ dp ⎜⎜ ⎝
2 2 2 2 ⎞ e− p a 2 −ip t 2m ⎟⎟ p π ⎠
a
________________ สมการ (6.55)
สมการ (6.55) แสดงใหเห็นวา probability amplitude ของอนุภาคใน momentum space เปนฟงชันก ของทั้ง momentum p และ ของเวลา t ซึ่งก็คือ a
ϕ ( p, t ) =
π
2 2 2 2 e− p a 2 − ip t 2 m
________________ สมการ (6.56)
และจากขอมูลในสมการ (6.55) และ สมการ (6.56) เราสามารถคํานวณปริมาณตางๆที่เกี่ยวของอาทิ momentum เฉลี่ย และ ความไมแนนอนของการวัด momentum วาเปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไร ซึ่ง จะไดวา p =0 Δp =
2a
ณ เวลาใดๆ ________________ สมการ (6.57) ณ เวลาใดๆ ________________ สมการ (6.58)
เปนที่นาสังเกตวา สมบัติตา งๆของระบบที่เกี่ยวของกับ momentum space มิไดเปลี่ยนแปลงไปกับ เวลาแตอยางใด และในกรณีของ position space เราสามารถใช Fourier transform ดังในสมการ (6.39) เพื่อที่จะหา probability amplitude ψ ( x, t ) ψ ( x, t ) =
1 2π
และเมื่อทําการเปลี่ยนตัวแปร η ≡ p
Dr. Teepanis Chachiyo
a
∫ dp a2 2 2
π
+
2 2 2 2 e − p a 2 −ip t 2m + ipx
it − 2m
ix 2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
a 2
2 2
ทําใหเราสรุปไดวา +
it 2m
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
ψ ( x, t ) =
6 Wave Mechanics in One Dimension
⎛ x2 1 ⋅ exp ⎜⎜ − 2 π ( a + i t ma ) ⎜ 2a 1 + i t ma 2 ⎝
1
(
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
6-25
________ สมการ (6.59)
และสงผลให xˆ = 0 Δx =
ณ เวลาใดๆ ___________________ สมการ (6.60)
2 2 a t 1+ 2 m2a 4
___________________ สมการ (6.61)
แบบฝกหัด 6.13 จงพิสูจนสมการ (6.59) , (6.60) , และ (6.61) สมการ (6.59) และ สมการ (6.61) แสดงใหเห็นวา เมือ่ เวลาผานไป ถึงแมวาโดยเฉลี่ยแลวตําแหนง ของอนุภาคจะหยุดนิ่งอยูทจี่ ดุ กําเนิด แตความไมแนนอนของตําแหนงดังกลาว กลับเพิ่มขึ้นกับเวลา และเมื่อรอจนกระทั่วเวลาลวงเลยไปมากพอสมควร เราแทบจะบอกไมไดเลยวา อนุภาคอยูที่ใด แบบฝกหัด 6.14 a) จง plot graph ของ probability density ψ ( x, t ) 2 ณ เวลาตางๆกัน b) เวลา t ผานไปเทาใด ระบบจึงจะมี uncertainty ของตําแหนง Δx เพิ่มขึ้นเปน สองเทาของ Δx ในเวลา เริ่มตน เฉลย
T=
3ma 2
___________________ สมการ (6.62)
แตทวาในความเปนจริงที่เราเห็นในธรรมชาติ ยกตัวอยางเชนเมื่อเรามองไปที่มะมวงลูกงามที่อยูบน ตน กลับมาพรุงนี้เชามะมวงก็ยังคงอยูทตี่ นเดิมไมหนีไปไหน ความเปนจริงที่สังเกตเห็นไดนี้ ขัดกันอยางสิ้นเชิงหรือไม กับสมการ (6.61) ที่บอกวา ความไมแนนอนของตําแหนงจะเพิ่มขึ้นเมื่อ เวลาผานไป ในกรณีของมะมวง สมมุตใิ หมีมวล m = 30 g และมีความแมนยําในการบอกตําแหนงอยูในชวง a = 0.1cm
จากแบบฝกหัด 6.14 เราจะตองรอถึง T =
3ma 2
∼ 1019
ป จนกวาเราจะเห็นลูก
มะมวงมี uncertainty ของตําแหนงเพิ่มขึ้นเปนสองเทา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
ปจจัยสําคัญในการกําหนดคุณสมบัติการเพิ่มขึ้นของ Δx =
2 2 a t 1+ 2 m2a 4
6-26
นี้ ขึ้นอยูกับมวลและ
ขนาดของอนุภาคเปนสําคัญ ยกตัวอยางเชน พิจารณาอะตอมของ hydrogen ซึ่งมีมวลประมาณ m ≅ 1.67 × 10−27 kg และจินตนาการวาเราสามารถเห็นมันดวยกลอง electron microscope ซึ่ง บอกตําแหนงดวยระยะความคลาดเคลื่อนที่ a = 1A ในกรณีเชนนี้ T =
3ma 2
∼ 10−13
วินาที
ซึ่งจะเห็นวาอนุภาคอิสระซึง่ มีขนาดเล็กมากๆ มีความคลาดเคลื่อนของการวัดตําแหนงอยูมาก ทีเดียว ขอควรระวัง สมการ (6.61) เปนการวิเคราะหที่จํากัดอยูแตเพียงอนุภาคอิสระที่ไมไดตกอยูภ ายใต แรงยึดเหนีย่ วใดๆ ในกรณีของอะตอมที่ถูกยึดใหติดอยูกับวัตถุดวยพันธะเคมี จะมีพฤติกรรมที่ แตกตางกันออกไป
6.5 Heisenberg Uncertainty Principle จากการวิเคราะหกรณีตวั อยางของอนุภาคอิสระ ที่ใช Gaussian wave packet เปน model นั้น เราได สังเกตเห็นความสัมพันธของ Δx และ Δp ดังในสมการ (6.52) ซึ่งแสดงใหเห็นถึงขอจํากัดใน มุมมองของ quantum mechanics ที่ไมอาจจะวัด position และ momentum ของอนุภาคใหแมนยํา พรอมๆกันได และใน Section 6.5 นี้ เราจะมาศึกษากฎเกณฑของ quantum mechanics ที่มีขอบเขตการประยุกตใช งานกวางมากขึ้น ซึ่งมิไดจํากัดอยูแ ตเพียง operator xˆ และ pˆ ดังในตัวอยางของ Gaussian wave packet พิจารณาการวัดปริมาณทางฟสิกสที่แทนดวย operator uncertainty ในการวัดของปริมาณทั้งสองก็คือ
Aˆ
และ Bˆ จะไดวา ความสัมพันธระหวาง
⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ ⎣ ⎦ ΔA ΔB ≥ 2
โดยที่
⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ ⎣ ⎦
เครื่องหมาย
___________________ สมการ (6.63)
ˆ ˆ − BA ˆ ˆ และ มีความหมายวา expectation value ของ operator ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ ≡ AB
ที่ปรากฏอยูทางขวามือของสมการ (6.63) ก็คือ absolute value นั่นเอง
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-27
กอนที่เราจะทําการพิสูจนทมี่ าของสมการ (6.63) เรามาฝกการนําสมการดังกลาวมาใชงานเสียกอน สมมุติวาเรากําลังพิจารณาระบบที่เรากําลังจะวัด 1) ตําแหนง ซึ่งแทนดวย operator xˆ และ 2) momentum ซึ่งแทนดวย operator pˆ จากสมการ (6.24) เราทราบวา [ xˆ, pˆ ] = i
เราฉะนั้น expectation value ของ [ xˆ, pˆ ] ก็คือ
[ xˆ, pˆ ]
= Ψi Ψ =i
[ xˆ, pˆ ]
Ψ Ψ
=i
ซึ่ง absolute value ของ complex number i ก็มีคาเทากับ นั่นเอง เพราะฉะนัน้ จากสมการ (6.63) จะไดวา Δx Δp ≥
2
___________________ สมการ (6.64)
ความสัมพันธในสมการขางตน เปนจริงในทุกๆกรณี รวมไปถึงกรณีของอนุภาคอิสระ นอกจากนี้ สมการ (6.64) ยังมีชื่อที่เรียกกันทั่วไปวา Heisenberg uncertainty principle แบบฝกหัด 6.15 จงใหสมการ (6.63) เพื่อหาความสัมพันธระหวาง uncertainty ของการวัด angular momentum ตามแนวแกน x และ ตามแนวแกน y และเปรียบเทียบกับแบบฝกหัด 3.15 เฉลย
ΔJ x ΔJ y ≥
2
Jˆ z
สําหรับขั้นตอนในการพิสูจนสมการ (6.63) นั้น สรุปโดยสังเขปไดวา 1. เริ่มดวย Schwarz inequality ดังที่ไดเคยวิเคราะหในแบบฝกหัด 3.17 ที่วา αα β β ≥ α β
2. พิจารณา operator Aˆ และ ตองเปน Hermitian operator Dr. Teepanis Chachiyo
Bˆ
2
___________________ สมการ (6.65)
ใดๆที่ใชในการวัดปริมาณทางฟสิกส จะไดวา operator ทั้งสอง
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3. ถาเรากําหนดให
(
α = Aˆ − Aˆ
6 Wave Mechanics in One Dimension
)Ψ
และ
( ) Ψ = ( ΔA ) 2 2 2 = Ψ ( Bˆ − Bˆ ) Ψ = ( ΔB ) 2
α α = Ψ Aˆ − Aˆ β β
(
β = Bˆ − Bˆ
)Ψ
6-28
จะไดวา
___________________ สมการ (6.66) ___________________ สมการ (6.67)
เพราะฉะนั้น ทางซายมือของ Schwarz inequality มีคาเทากับ ( ΔA ΔB )2 ในขณะที่ทางขวามืออยู ในรูปของ
(
α β = Ψ Aˆ − Aˆ
) ( Bˆ − Bˆ ) Ψ
___________________ สมการ (6.68)
ซึ่งจําเปนจะตองจัดรูปเสียใหม 4. พิจารณา operator Oˆ ใดๆ เราสามารถพลิกแพลงไดวา Oˆ + Oˆ † Oˆ − Oˆ † Oˆ = + 2 2
ทั้งนี้ถากําหนดให Oˆ = ( Aˆ −
Aˆ
) ( Bˆ − Bˆ )
___________________ สมการ (6.69)
แลวจะมีผลให
ˆ ˆ − BA ˆ ˆ = ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ Oˆ − Oˆ † = AB ⎣ ⎦
______________ สมการ (6.70)
ˆ ˆ + BA ˆ ˆ − 2 Aˆ Bˆ − 2 Aˆ Bˆ + Aˆ Bˆ Oˆ + Oˆ † = AB
______________ สมการ (6.71)
5. ดังนั้นสมการ (6.68) แปรรูปเปน α β = Ψ Oˆ Ψ Oˆ + Oˆ † Oˆ − Oˆ † = Ψ + Ψ 2 2 1 1 = Ψ Oˆ + Oˆ † Ψ + Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 2 2
(
Dr. Teepanis Chachiyo
______________ สมการ (6.72)
)
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-29
แบบฝกหัด 6.16 จงพิสูจนวา a) operator Oˆ + Oˆ † ในสมการ (6.71) เปน Hermitian operator เพราะฉะนั้นแลว expectation value Oˆ + Oˆ † เปนจํานวนจริงเสมอ b) operator Oˆ − Oˆ † ใน สมการ (6.70) มี expectation value เปนจํานวนจินตภาพเสมอ 6. เพราะวา
Oˆ + Oˆ †
เปนจํานวนจริง และ
Oˆ − Oˆ †
เปนจํานวนจินตภาพ จากสมการ (6.72) เรา
บอกไดวา 2
α β
และเปนธรรมดาที่
=
(
)
2 1 2 1 Ψ Oˆ + Oˆ † Ψ + Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 4 4
(
)
2 1 2 1 2 1 Ψ Oˆ + Oˆ † Ψ + Ψ ⎣⎡ Aˆ , Bˆ ⎦⎤ Ψ ≥ Ψ ⎣⎡ Aˆ , Bˆ ⎦⎤ Ψ 4 4 4
เพราะวาทั้งสองเทอมในทางซายมือของอสมการลวนเปนบวกทั้งคู เพราะฉะนัน้ แลว α β
2
≥
2 1 Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 4
______________ สมการ (6.73)
7. เมื่อรวมสมการ (6.73), สมการ (6.66), สมการ (6.67) ,และ อสมการ (6.65) เขาดวยกัน จะไดวา 2
≥
Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 4
2
( ΔA ΔB )2 ≥ α β
หรืออีกนัยหนึง่ ( ΔA ΔB )2 ≥ 1
ΔA ΔB ≥
2 1 Ψ ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ Ψ 4
ซึ่งลดรูปใหงายลงไดในทายที่สุดก็คอื
1 ⎡ ˆ ˆ⎤ A, B ⎦ 2 ⎣
เพียงสั้นๆ 7 ขั้นตอน เราก็สามารถพิสูจนสมการ (6.63) ไดสําเร็จ
6.6 Schrödinger Equation
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-30
การศึกษา quantum mechanics คงจะขาดความสมบูรณ ถาเราไมไดกลาวถึง Schrödinger equation ถึงแมวาจะกระทั่งบัดนี้ เราพยายามทีห่ ลีกเลี่ยงการให wave function เขามาวิเคราะหปรากฏการณทาง ฟสิกสก็ตาม ใน Section 4.1.2 ของบทที่ 4 เราไดกลาวถึงสมการ Schrödinger ไปบางแลว ซึ่งสมการดังกลาว เขียนอยูใ นรูปแบบของสถานะ ket ไดวา i
∂ Ψ (t ) = Hˆ Ψ (t ) ∂t
______________ สมการ (6.74)
และเพื่อแสดงใหเห็นวา matrix mechanics ดังในสมการ (6.74) นั้นมีขอบเขตการประยุกตกวางขวาง กวา Schrödinger equation ที่ศึกษาคุนเคยใน quantum mechanics เบื้องตน เราจะมาศึกษา Schrödinger equation ที่สามารถเขียนออกมาใน 2 รูปแบบดวยกัน คือ 1) position space และ 2) momentum space
Schrödinger Equation in Position Space ใน position space เราสามารถนิยาม พลังงานรวมของระบบ หรือ Hamiltonian operator ที่ปรากฏใน ทางขวาของสมการ (6.74) ใหอยูในรูปของ pˆ 2 Hˆ = + V ( xˆ ) 2m
______________ สมการ (6.75)
ทั้งนี้เพื่อความสะดวกในการอธิบายความ เราจํากัดการวิเคราะหแตเฉพาะใน 1 มิติ ตามแกน x จาก สมการ (6.75) จะเห็นวา
pˆ 2 2m
ก็คือ kinetic energy operator หรือ operator ที่ใชวัดพลังงานจลนของ
ระบบ และ V ( xˆ ) ก็คือ potential energy operator ซึ่งเปนตัวแทนของพลังงานศักยที่ระบบอยูภายใต อิทธิพล ยกตัวอยางเชน ในกรณีของอนุภาคอิสระที่เราศึกษาใน Section ที่ผานมา V ( xˆ ) = 0 หรือ ในกรณีที่อะตอมโดนยึดติดอยูกับอะตอมอื่นๆดวยพันธะเคมี เราอาจจะ model พลังงานศักยนี้ไดวา V ( xˆ ) =
1 2 kxˆ 2
โดยที่ k เปนตัวเลขที่แสดงถึงความแข็งแรงของพันธะเคมีดังกลาว
ใน position space เราเขียนสถานะของระบบ
Dr. Teepanis Chachiyo
Ψ (t )
ใหอยูใ นรูปของ
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-31
______________ สมการ (6.76)
Ψ (t ) = ∫ dxψ ( x, t ) x
จะเห็นวา probability amplitude ψ ( x, t ) ในสมการ (6.76) นั้น เปนฟงชันกของทั้งตําแหนง และ เวลา ที่เปนเชนนี้ก็เพราะ Schrödinger equation ที่ปรากฏในสมการ (6.74) นั้นมีสวนที่เปลี่ยนแปลง ไปกับเวลาดวย ดวยสถานะดังสมการ (6.76) ทําใหสมการ (6.74) เปลี่ยนรูปเปน
∫ dx i และเมื่อนําสถานะ bra
x′
∫ dx i ∫ dx i
∂ ψ ( x, t ) x = ∫ dxψ ( x, t ) Hˆ x ∂t
______________ สมการ (6.77)
เขามาประกบทั้งสองขางของสมการขางตน จะไดวา ∂ ψ ( x, t ) x′ x = ∫ dxψ ( x, t ) x′ Hˆ x ∂t
∂ pˆ 2 ψ ( x, t )δ ( x′ − x) = ∫ dxψ ( x, t ) x′ + V ( xˆ ) x ∂t 2m i
∂ pˆ 2 ψ ( x′, t ) = ∫ dxψ ( x, t ) x′ x + ∫ dxψ ( x, t ) x′ V ( xˆ ) x ∂t 2m
______________ สมการ (6.78) ในการคํานวณขางตน ทางซายมือของสมการ เราใชคุณสมบัติของ Dirac delta function ในขณะที่ ทางขวาประกอบดวยสองเทอมดวยกัน เทอมแรก จากสมการ (6.28) เราพิสูจนโดยงายวา x′
2 2 ∂ pˆ 2 x =− δ ( x′ − x ) 2m 2m ∂x 2
และเทอมทีส่ อง จากสมการ (6.9) เราบอกไดทันทีวา
และเมื่อผนวกกันเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับการ integrate Dirac delta function แลว จะทําใหสมการ (6.78) ลดรูปไดเปน x′ V ( xˆ ) x = V ( x)δ ( x′ − x)
i
pˆ 2 ∂ ψ ( x′, t ) = ∫ dxψ ( x, t ) x′ x + ∫ dxψ ( x, t ) x′ V ( xˆ ) x 2m ∂t
i
2 ∂ ∂2 ψ ( x′, t ) = − ψ ( x′, t ) + V ( x′)ψ ( x′, t ) 2m ∂x′2 ∂t
และในทายทีส่ ุด เพื่อความสะดวก เราสามารถที่จะเปลี่ยนตัวแปรจากเดิม i
2 ∂ ∂2 ψ ( x, t ) = − ψ ( x, t ) + V ( x )ψ ( x, t ) 2 m ∂x 2 ∂t
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
x′
ใหเปน x ซึ่งก็จะได
______________ สมการ (6.79)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-32
สมการ (6.79) ก็คือ Schrödinger equation ใน position space ซึ่งเปนตนกําเนิดสําคัญของ quantum mechanics เบื้องตนที่นักศึกษาคุนเคยเปนอยางดี และโดยปรกติแลว การที่จะไดมาซึ่งผลเฉลย ψ ( x, t ) ก็ทําไดโดยการแกสมการอนุพันธอันดับสองของสมการดังกลาว นอกจากนี้ ψ ( x, t ) ยังอาจจะหาไดโดยการใชความสัมพันธ Ψ (t ) = ∑ cn e
−
iEn t
εn
n
ดังที่ปรากฏใน Section 4.6 ของบทที่ 4 ซึ่งถาเราใชคํานิยาม Ψ (t ) = ∫ dxψ ( x, t ) สถานะ bra x′ เขาประกบทั้งสองขางของสมการขางตน จะพิสูจนไดวา ψ ( x, t ) = ∑ cn e
−
iEn t
x
และนํา
ψ n ( x)
______________ สมการ (6.80)
ψ n ( x ) + V ( x )ψ n ( x ) = Enψ n ( x )
______________ สมการ (6.81)
n
เมื่อ ψ n ( x) เปน eigen function ของสมการ −
2
∂2
2 m ∂x 2
ในบางครั้งเราเรียกสมการ (6.81) นี้วา time independent Schrödinger equation ดวยเหตุที่วาเปน สมการอนุพันธที่ไมขึ้นกับเวลา และสําหรับการคํานวณหา wave function ψ ( x, t ) ของระบบก็จะ กระทําเปนขัน้ ตอนโดยสังเขปคือ 1. กําหนดพฤติกรรมของระบบโดยการนิยาม V ( x) 2. กําหนดสถานะเริ่มตน ณ เวลา t=0 ของระบบ ซึ่งแทนดวย probability amplitude ψ ( x, t = 0) 3. แกสมการ time independent Schrödinger equation เพือ่ หาเซตของ eigen function {ψ n ( x)} และ eigen energy {En } 4. คํานวณสัมประสิทธิ์ cn = ∫ dxψ n∗ ( x)ψ ( x, t = 0) 5. ψ ( x, t ) = ∑ cne
−
iEn t
ψ n ( x)
n
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-33
Schrödinger Equation in Momentum Space ในการสรางสมการ Schrödinger ใน momentum space เราจําเปนตองเริ่มดวยการศึกษาเอกลักษณทาง คณิตศาสตร p xˆ Ψ กันเสียกอน พิจารณา p xˆ Ψ = p xˆ1ˆ Ψ
______________ สมการ (6.82)
= ∫ dx p xˆ x x Ψ = ∫ dx p x xψ ( x)
ในสมการขางตน เราใช identity operator ที่เขียนอยูใ นรูปของ 1ˆ = ∫ dx นอกจากนี้ เทอม
p x x
ยังสามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ
x x
1 e−ipx 2π
x
ใหเปนประโยชน โดยใชสมการ
(6.35) เปนตัวอางอิง แต x
1 e−ipx 2π
=i
1 2π
∂ −ipx e ∂p
______________ สมการ (6.83)
และเมื่อแทนสมการ (6.83) เขาไปในสมการ (6.82) จะไดวา 1 ∂ −ipx dx i e ψ ( x) ∫ ∂p 2π ∂ 1 =i dxe−ipx ψ ( x) ∫ ∂p 2π
p xˆ Ψ =
ϕ ( p)
เพราะฉะนั้นแลว p xˆ Ψ = i
∂ ϕ ( p) ∂p
______________ สมการ (6.84)
สมการ (6.84) แทบจะเรียกไดวามีความสัมพันธควบคูไปกับสมการ (6.27) เลยทีเดียว และในขณะ นี้เราก็พรอมทีจ่ ะ derive สมการ Schrödinger ใน momentum space
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
เริ่มดวย Schrödinger equation ในสมการ (6.74) ถาเรานําสถานะ bra ของสมการจะไดวา i
∂ p Ψ (t ) = p Hˆ Ψ (t ) ∂t
p
6-34
เขาประกบทัง้ สองขาง
______________ สมการ (6.85)
pˆ 2 ∂ i ϕ ( p, t ) = p Ψ (t ) + p V ( xˆ ) Ψ (t ) 2m ∂t
ทางขวามือของสมการขางตนนั้นมีอยูสองเทอมที่จะตองขยายความ เทอมแรกนั้น เนื่องจาก
pˆ
เปน
†
Hermitian operator ทําให
⎛ pˆ 2 ⎞ ⎛ pˆ 2 ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ 2m ⎟ ⎜ 2m ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
เพราะฉะนั้น
⎧ ⎛ 2 ⎞† ⎫ pˆ 2 pˆ ⎪ ⎪ p Ψ (t ) = ⎨ p ⎜ ⎟ ⎬ Ψ (t ) ⎜ ⎟ 2m ⎪ ⎝ 2m ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ p2 = p Ψ (t ) 2m
______________ สมการ (6.86)
pˆ 2 p2 Ψ (t ) = p ϕ ( p) 2m 2m
สวนเทอมที่สองในสมการ (6.85) นั้นมีความซับซอนมากขึ้น ประการแรกก็คือ operator V ( xˆ ) สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ Taylor series V ( xˆ ) = ∑ an xˆ n ดังนั้น n
p V ( xˆ ) Ψ (t ) = ∑ an p xˆ n Ψ (t ) n
และจากสมการ (6.84) จะไดวา n
⎛ ∂ ⎞ p V ( xˆ ) Ψ (t ) = ∑ an ⎜ i ⎟ ϕ ( p, t ) p ∂ ⎝ ⎠ n
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
______________ สมการ (6.87)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
โดยที่
⎛ ∂ ⎞ ⎜i ⎟ ⎝ ∂p ⎠
n
6 Wave Mechanics in One Dimension
มีความหมายวา อนุพนั ธอันดับ n ถึงแมรูปแบบของ
6-35
p V ( xˆ ) Ψ (t )
ดังสมการ
(6.87) นั้นจะตีความในเชิงคณิตศาสตรไดชัดเจน บางครั้นเรานิยมเขียนยอๆวา n
⎛ ∂ ⎞ ∂ ∑ an ⎜ i ∂p ⎟ ϕ ( p, t ) = V (i ∂p )ϕ ( p, t ) ⎝ ⎠ n
เพราะฉะนัน้ แลว
p V ( xˆ ) Ψ (t ) = V (i
∂ )ϕ ( p, t ) ∂p
______________ สมการ (6.88)
และในทายทีสุด เมื่อรวบรวมเทอมในสมการ (6.86) และ สมการ (6.88) จะทําให i
p2 ∂ ∂ ϕ ( p, t ) = ϕ ( p , t ) + V (i )ϕ ( p, t ) 2m ∂t ∂p
______________ สมการ (6.89)
สมการขางตนเปน Schrödinger equation ใน momentum space
Operator in Position Space and Expectation Value ที่ผานมาเราพยายามที่เขียน eigenstate ใหอยูในรูปของ ket และเขียน operator ใหอยูในรูปของ ketbra โดยพยายามหลีกเลีย่ งที่จะใชรูปแบบสัญลักษณของ wave function ถาไมจําเปน ทั้งนี้ก็เพื่อ ประโยชนที่ตอ งการฝกใหนกั ศึกษาไดคุนเคยกับระเบียบวิธีทาง quantum mechanics ที่ใช ket และ matrix เปนหลัก และไมยึดติดกับ Schrödinger wave function จนเกินไป มาถึงขั้นนี้ เมือ่ เรามีความเชีย่ วชาญเกี่ยวกับ ket และ matrix เปนที่นาพอใจแลว ก็ถึงเวลาที่เราจะ สละทิ้งรูปแบบเปลือกนอกของสัญลักษณทาง quantum mechanics ไมวาจะเปน a) wave function หรือเปน b) สถานะ ket ทั้งสอง ยอมมีความหมายเหมือนกัน และเปนเพียงเปลือกที่หุมไวดวยสาระ ของ quantum mechanics อันเดียวกัน ผูเชีย่ วชาญยอมสามารถเลือกใชเครื่องมือทั้งสอง ไดอยาง คลองแคลว และสลับสับเปลี่ยนระหวางสองยุทธวิธีตามความเหมาะสม operator ที่เราคุนเคย ซึ่งเขียนอยูในรูปแบบภาษาของ wave function ก็คือ operator ที่เขียนอยูใ นรูป ของ position space อาทิเชน momentum operator ตามแนวแกน x คือ Hamiltonian operator Hˆ = −
Dr. Teepanis Chachiyo
2
2m
pˆ x ≡
∂ i ∂x
หรือ
∇ 2 + V (r )
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-36
operator ในลักษณะดังกลาวนี้ จะสามารถกระทําไดแตเฉพาะกับ wave function ใน position space เพียงเทานั้น อาทิเชน ∂ ψ ( x) i ∂x
momentum operator
pˆ xψ ( x) =
Hamiltonian operator
Hˆ ψ (r ) = −
2
2m
∇ 2ψ (r ) + V (r )ψ (r )
เมื่อเปนเชนนีก้ ็หลีกเลี่ยงไมไดที่บางครั้งจะเกิดความสับสนในการใชสัญลักษณ วา operator Oˆ ที่ เรากําลังกลาวถึงนั้น เปน operator ใน position space หรือ เปน operator ที่เขียนขึน้ ในรูปทั่วไปอยาง ในสมการ (6.5) กันแน จึงตองอาศัยประสบการณของนักศึกษาเอง ที่จะสามารถแยกแยะทั้ง 2 กรณี ออกจากกัน โดยอาศัยบริบทของเนื้อหาแวดลอม เปนตัวตัดสิน อนึ่ง การเขียน operator ใน position space นั้นคอนขางงายตอการคํานวณ expectation value หรือ คํานวณ probability amplitude กําหนดให ψ (r ) คือ wave function ที่ใชแทนสถานะของระบบ จะไดวา expectation value ของ operator Oˆ ก็คือ expectation value
Oˆ = ∫ d3rψ (r )Oˆψ (r )
in position space ______ สมการ (6.90)
หรือ ในกรณีของ matrix element ระหวางสถานะ φ (r ) และ ψ (r ) ก็สามารถคํานวณไดอยาง ตรงไปตรงมาใน position space กลาวคือ φ ψ ≡ ∫ d3rφ ∗ (r )ψ (r )
in position space ______ สมการ (6.91)
นักศึกษาจะเห็นวา สมการ (6.90) นั้นคอนจะงายกวาสมการ (6.12) อยูม ากทีเดียว ทั้งๆที่มีความหมาย เดียวกัน ทีแ่ ตกตางกันก็เพราะวา operator Oˆ ในสมการ (6.90) นั้นมีขอจํากัดก็คือจะตองเขียนขึ้น ใน position space เพียงเทานัน้ ขอจํากัดดังกลาวนี้ไมกอใหเกิดปญหามากนัก เพราะสถานการณตางๆโดยทั่วไปในทาง quantum mechanics นัน้ จะใช position space เปนหลัก
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-37
แบบฝกหัด 6.17 สมมุติวาอนุภาคมวล m ใน 1 มิติอยูในสถานะที่อธิบายดวย wave function 14
⎛ mω ⎞ ⎟ ⎝π ⎠
ψ ( x) = ⎜
2 e− mω x 2
a) จงคํานวณหา expectation value ของ พลังงานจลน b) จงคํานวณหา expectation value ของ operator
−
2
∂2
2m ∂x 2
1 mω xˆ 2 2
c) จงแสดงใหเห็นวา
ψ ψ =1
d) จงแสดงใหเห็นวา
⎡ 4 ⎛ mω ⎞3 ⎤ φ ψ = 0 เมื่อ φ ( x) = ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ π ⎝
14
2 xe− mω x 2
6.7 Square Well Potential เมื่อเราไดศึกษาการเขียนสมการ Schrödinger ทั้งสองรูปแบบคือ in position space ในสมการ (6.79) และ in momentum space ในสมการ (6.89) มาแลว ก็มีความจําเปนที่เราจะตองยกตัวอยางการ นํามาใชงาน ซึ่งก็คือการศึกษา quantum well ของสารประกอบ GaAs และ GaAlAs
โครงสรางของ quantum well
model ในการศึกษา V ( x)
x
x 2a บอพลังงานศักย
GaAlAs
2a
GaAs
ภาพ 6.4 แสดงชั้นของสาร GaAs ซึ่งโดยประกบอยูระหวาง GaAlAs โครงสรางของ quantum well อีกแบบหนึง่ ก็คือการนําสารกึ่งตัวนํามาประกอบกันเปนชั้นๆ ยกตัวอยางเชนในภาพ 6.4 แสดงชั้นของสาร GaAs ซึ่งโดยประกบอยูระหวาง GaAlAs ใน การศึกษาหรือทํานายคุณสมบัติของกระแสอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ผานโครงสรางลักษณะดังกลาวนี้ เราสามารถใช model ทาง quantum mechanics อยางงาย เพื่อวิเคราะหสมบัติพื้นฐานอยางหยาบๆ ดวยการมองวาอิเล็กตรอนนัน้ ตกอยูภ ายใตอิทธิพลของบอพลังงานศักยคาหนึ่ง ซึ่งมีความกวางของ บอเทากับความหนาของชั้น GaAs Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-38
บอพลังงานศักยดังกลาว เรียกกันทั่วไปวา Finite Square Well ในขั้นแรกนี้ Finite Square Well เปน บอพลังงานศักย ซึ่งมีความสูงเทากับ V0 และความกวาง 2a ดังจะเห็นในภาพที่ 6.5 โดยที่ขอบบอ ทั้งสองขาง ไดถูกวางไวใหมคี วามสมมาตร ในทั้งดานขวาและดานซายของแกน x ทั้งนี้ก็เพื่อใหงาย ตอการวิเคราะหในเชิงคณิตศาสตรในลําดับตอไป V0
−x
−a
+x
+a
ϕ I (x) ϕ II (x) ϕ III (x) ภาพ 6.5 Finite Square Well ซึ่งเปนลักษณะของบอพลังงานศักยที่มีความสูง V0 และความกวาง ของบอ 2a จากภาพที่ 6.5 เราสามารถที่แบง Finite Square Well ตามแนวแกน x ออกเปน 3 สวนดวยกัน จากนั้น เขียนสมการ Schrödinger ในแตละสวนตามลําดับไดดังตอไปนี้ ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ − ∇ + V0 ⎟ϕ I ( x) = Eϕ I ( x) ; − ∞ < x < −a ⎠ ⎝ 2 1 − ∇ 2ϕ II ( x) = Eϕ II ( x) ; − a < x < + a 2 ⎛ 1 2 ⎞ ⎜ − ∇ + V0 ⎟ϕ III ( x) = Eϕ III ( x) ; + a < x < +∞ ⎝ 2 ⎠
___________ สมการ (6.92)
ซึ่งถาเรามุงที่จะวิเคราะห แตเฉพาะในกรณีที่อิเล็กตรอนถูกจํากัดอยูแตภายในบอ กลาวคือ พลังงาน ของอิเล็กตรอน E < V0 จะได wave function ในทัง้ 3 สวนดังนี้ φI ( x) = A + eQ⋅ x φII ( x) = B+ cos(k ⋅ x)
φI ( x) = A − eQ⋅ x φII ( x) = B− sin(k ⋅ x)
φIII ( x) = A + e−Q⋅ x
φIII ( x) = −A − e−Q⋅ x
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
___________ สมการ (6.93)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
k 2 + Q 2 = 2V0 และ E =
k2 2
6-39
___________ สมการ (6.94)
แบบฝกหัด 6.18 จงพิสูจนหาความสัมพันธระหวาง k และ Q ในสมการ (6.94) รูปแบบของ wave function ในสมการ (6.93) นั้น ลวนแลวแตเปนคําตอบของ Schrödinger Equation ในสมการ (6.92) โดยสามารถจําแนกออกเปนสองประเภทคือ ฟงชันกคู และฟงชันกคี่ ตามที่เห็นไดจากเทอม cos(kx) และ เทอม sin(kx) ในสมการที่ (6.93) นั่นเอง จะสังเกตวาสมการในขางตนนั้น มีตวั แปรหรือคาคงที่ ซึ่งยังไมทราบคาอยูจํานวนหนึ่ง คือ A ± , B± , k และ Q การที่เราจะทราบคาที่แทจริงของตัวแปรเหลานี้ จําเปนเปนตองอาศัย คุณลักษณะอืน่ ๆของ wave function เขามาพิจารณารวมกันดวย กลาวคือ ถาเราพิจารณาตําแหนง x = −a และ x = + a ซึ่งตําแหนงทั้งสองนี้เปนรอยตอของ st ϕ I ( x) , ϕ II ( x) ,และ ϕ III ( x) จะไดวา คาของฟงชันก และ 1 derivative ของฟงชันก จะตองเทากัน ดวยเหตุที่ wave function มีความตอเนื่อง ไมขาดตอนในบริเวณรอยตอเหลานี้ ϕ II (a) = ϕ III (a) dϕ II ( x) dϕ ( x) = III dx a dx a
___________________ สมการ (6.95)
ถาเรานําขอจํากัดในขางตนมาพิจารณากับ wave function ในสมการ (6.93) โดยแยกพิจารณาสําหรับ ฟงชันกคูและฟงชันกคี่เปนกรณีๆไป จะไดวา B+ cos(ka) = A + e−Q⋅a
B− sin(ka) = −A − e−Q⋅a
-kB+ sin(ka) = −QA + e−Q⋅a
kB− cos(ka) = QA − e−Q⋅a
Even solution
Odd solution
________ สมการ (6.96)
จาก สมการ (6.96) และ สมการ (6.94) เราสามารถสรุปความสัมพันธระหวาง k และ Q ดังตอไปนี้ k tan(ka ) = Q k + Q = 2V0 2
2
Even solution
Dr. Teepanis Chachiyo
- k cot(ka) = Q k 2 + Q 2 = 2V0
________ สมการ (6.97)
Odd solution
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-40
จะมีเซตของคา {k , Q} เพียงจํานวนหนึ่งเทานัน้ ทีจ่ ะทําใหสมการ (6.97) เปนจริง โดยที่เราสามารถ หาคําตอบไดโดยการวิเคราะหกราฟ ดังแสดงในภาพ (6.6) ยกตัวอยางเชน ในกรณีของฟงชันกคู จุดตัดของวงกลม k 2 + Q 2 = 2V0 ซึ่งมีรัศมี 2V0 กับกราฟ Q = k tan(ka) เปนจุดของ {k , Q} ที่ทําให สมการ (6.97) เปนจริง แบบฝกหัด 6.19 จงพิสูจนวา ในกรณี ของ Finite Square Well ซึ่งมีความกวาง 2a และความสูง V0 จะมีจํานวน bound state ( E < V0 ) ซึ่งเปนฟงชันกคูเทากับ 1 + floor( เทากับ 1 + floor(
2V0 a
π
)
และเปนฟงชันกคี่
2V0 a
หมายเหตุ ฟงชันก
1 − ) 2 π floor( x) คือจํานวนเต็มที่มากทีส ่ ุด ซึ่งนอยกวาจํานวนจริง x
Q
k 2 + Q 2 = 2V0 Q = k tan(ka) Q = −k cot(ka)
ภาพ 6.6 แสดงการวิเคราะหกราฟเพื่อทีจ่ ะหา เซต {k , Q} ที่ทําใหสมการ (6.97) เปนจริง ยกตัวอยางเชน ในกรณีของฟงชันกคู จุดตัด ของวงกลมสีแดง k 2 + Q 2 = 2V0 และ กราฟ สีน้ําเงิน Q = k tan(ka)
k
มาถึงจุดนี้ เราสามารถที่จะคํานวณคา {k , Q} ที่เปนไปไดของระบบ โดยเฉพาะอยางยิ่ง คา k นั้น มีความสัมพันธกับระดับพลังงานตามสมการ (6.94) นอกเหนือจากนี้ คาของ B± ยังสามารถเขียนให อยูในรูปของ A ± , k, Q, และ a โดยใชสมการ (6.96) e −Q ⋅ a B+ = A + cos(ka)
e −Q ⋅ a B− = − A − sin(ka)
Even solution
Odd solution
________ สมการ (6.98)
ซึ่งถานํา B± ที่ไดในขางตน เขาไปแทนคาในสมการ (6.93) ก็จะได wave function ดังนี้
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6-41
φI ( x) = A −eQ⋅ x
φI ( x) = A + eQ⋅ x φII ( x) =
6 Wave Mechanics in One Dimension
e-Q⋅a A + cos(k ⋅ x) cos(ka)
φII ( x) = −
φIII ( x) = A + e−Q⋅ x
e −Q ⋅ a A − sin(k ⋅ x) sin(ka )
______ สมการ (6.99)
φIII ( x) = −A − e−Q⋅ x
Even solution
Odd solution
การที่เราจะได wave function ที่ครบถวนสมบูรณนั้น จําเปนตองหาคาของ A ± ในสมการ (6.99) เสียกอน ซึ่งคาของ A ± นั้น ไดมาจาก Normalization condition กลาวคือ ความเปนไปไดที่จะ พบอิเล็กตรอน ณ ตําแหนงใดๆ ควรจะมีผลรวมเปน 1 เสมอ หรืออีกนัยหนึ่ง −a
∫
2
φI ( x) dx +
-∞
+a
∫
2
φII ( x) dx +
+∞
∫
2
φIII ( x) dx = 1
________________ สมการ (6.100)
+a
-a
การที่ผลบวกของ Integral ทั้ง 3 เทอม มีคาเปน 1 จะทําใหสามารถหาคาของ A ± ไดดงั นี้ A+ = A− =
Q 2
2
2V0 cos (ka ) + k Qa Q 2V0 sin 2 (ka ) + k 2Qa
k cos(ka)eQ⋅a
k sin(ka)e
________________ สมการ (6.101) Q⋅a
แบบฝกหัด 6.20 จงพิสูจนหาคา A ± ในสมการ (6.101) ในที่สุด เราก็ได wave function ที่ครบถวนสมบูรณ ดังจะเห็นใน สมการ (6.99) และ สมการ (6.101) ยกตัวอยางเชน ถาเรากําหนดให a = 2 Bohr และ Vo = 1 Hartrees จากการวิเคราะหกราฟที่มี ลักษณะคลายๆกับ ภาพ 6.6 เราจะมีคําตอบที่เปน bound state อยูสองคําตอบ ซึ่งมีพลังงาน E=0.166 Hartrees และ E=0.623 Hartrees ดังที่เห็นในภาพ 6.7
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-42
Ground State ฟงชันสคู k = 0.576 Q = 1.292 A+ = 3.237 E = 0.166 Hartrees
2
1
Excited State ฟงชันสคี่ k Q AE
0
−1
−5
0
= = = =
1.116 0.869 2.526 0.623 Hartrees
5
x-axis (Bohr)
ภาพ 6.7 แสดง wave function ของบอพลังงานศักยที่มคี วามกวาง 2 Bohr และความสูง Vo= 1 Hartrees คา {k,Q} ไดมาจากเทคนิคการวิเคราะหกราฟดังที่อธิบายในภาพ 6.6 เราสามารถที่จะตรวจสอบความถูกตองของ wave function ในสมการ (6.99) และ สมการ (6.101) ได โดยสมมุติให V0 → ∞ ซึ่งจะเปนระบบแบบ Infinite Square Well ดังที่ไดกลาวไวแลว ในกรณีนี้ จะไดวา จุดตัดของกราฟ ดังในภาพที่ 6.6 จะอยูที่ Q→∞ 1⎞ ⎛ ka = ⎜ n + ⎟π 2⎠ ⎝
; n = 0,1,2,…
2
1⎞ π2 ⎛ E = ⎜n + ⎟ 2 ⎠ 2a 2 ⎝
Q→∞ ka = nπ E = n2
Even solution
; n = 1,2,…
π2 2a 2
Odd solution
ทําให wave function ในสมการที่ (6.99) ลดรูปลงมาเหลือเพียง ϕ I ( x) = 0 ϕ II ( x) =
ϕ I ( x) = 0
1 a
cos(k ⋅ x)
ϕ III ( x) = 0
ϕ II ( x) =
1 a
sin(k ⋅ x)
ϕ III ( x) = 0
Even solution
Odd solution
ซึ่งก็เปน wave function ของระบบ infinite square well นั่นเอง
6.8 Scattering in One Dimension Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-43
Section ที่ผานมา เราไดศึกษาระดับพลังงานและ wave function ของระบบที่ถูกขังอยูในบอพลังงาน ศักย ซึ่งเปน model ที่เราใชในการศึกษาพฤติกรรมของอิเล็กตรอนที่อยูภ ายในชั้นของ quantum well ในคราวนีเ้ ราจะมาศึกษาระบบที่พลังงานศักยมีลักษณะเปนเหมือนกําแพง เรียกวา "potential barrier" หรือ กําแพงศักย ซึ่งกําแพงดังกลาวเปน model ในการศึกษาการทดลองที่เรียกวา scattering experiment
incident beam
reflected beam
transmitted beam
ภาพ 6.8 ในเมื่อเราจํากัดการกระเจิงใหอยูแ ตเพียง 1 มิติ ทิศทางในการ scattered จึงมีไดเพียง 2 ทิศ คือ 1) ยอนกลับ หรือที่เรียกวา reflected beam และ 2) ทะลุผาน หรือที่เรียกวา transmitted beam ใน scattering experiment อนุภาคที่มีพลังงานสูงจะถูกยิงเขาสูเปาหมาย เมื่อเขาใกลก็จะมี interaction กับสิ่งที่กําลังกีดขวาง และอนุภาคก็จะเกิดการ "กระเจิง" หรือ "scattered" ไปในทิศทาง ตางๆกัน เพือ่ ใหงายตอการศึกษา เรามาวิเคราะหการทดลองดังกลาวโดยใช model แบบงายๆใน 1 มิติ และในเมื่อเราจํากัดการกระเจิงใหอยูแ ตเพียง 1 มิติ ทิศทางในการ scattered จึงมีไดเพียง 2 ทิศ คือ 1) ยอนกลับ หรือที่เรียกวา reflected beam และ 2) ทะลุผาน หรือที่เรียกวา transmitted beam ขอควรระวัง นักศึกษาตองไมลืมวาภาพ 6.8 เปนกราฟที่แสดงความนาจะเปนที่จะพบอนุภาค ซึ่งแท ที่จริงแลว เมื่ออนุภาคพุงเขามามี interaction กับกําแพงศักยแลว จะปรากฏวามันทะลุผานหรือ สะทอนกลับนัน้ เปนเรื่องของความนาจะเปน ภาพ 6.8 มิไดหมายความวาอนุภาคพุง ชนกําแพงแลว แตกออกเปนสองเสี่ยง ซึ่งสวนหนึ่งทะลุผา นและอีกสวนที่เหลือสะทอนกลับ
Plain-Wave Model of Particle Beam แตทวา ใน scattering experiment ทั่วๆไปแลว เรามิไดใชอนุภาคเพียงอนุภาคเดียวในการทดลอง แตเปนลักษณะของ particle beam หรือ ลําของอนุภาคจํานวนมากที่พุงเขาสูเปาหมาย ยกตัวอยาง Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-44
เชนในกรณีของ particle beam พุงผานพื้นที่วางซึ่งไมมีกาํ แพงศักยกั้นอยู หรือ V (r ) = 0 เราสามารถ เขียนสมการ Time-Independent Schrödinger ไดวา −
2
2m
∇ 2ψ (r ) = Eψ ( r )
ในสมการขางตน เราเขียนใหอยูในรูปของ 3 มิติ ซึ่งมีคําตอบของสมการคือ 1 ik ⋅r ψ (r ) = e V
และ E =
k
2
2m
________________ สมการ (6.102)
จะเห็นวา normalization constant ของ probability amplitude ขางตน ก็คือ 1 V ซึ่งหมายถึง "หนึ่ง สวน square root ของปริมาตรของระบบที่เรากําลังพิจารณา" เทคนิคการเขียนฟงชันกในลักษณะนี้ มีประโยชนทาํ ใหฟงชันก ψ (r ) มีสมบัติการ normalization เปนหนึ่ง กลาวคือ
∫d
3
rψ ∗ (r )ψ (r ) = ∫ d 3r =
∫d
3
1 −ik ⋅r 1 +ik ⋅r e e V V
1 3 d r V∫
rψ ∗ (r )ψ (r ) = 1
สวน vector k ในสมการ (6.102) นั้นเรียกวา wave vector และมีความสัมพันธกับ momentum ของ particle beam ที่เรากําลังกลาวถึง ซึ่งก็คือ p= k
________________ สมการ (6.103)
แบบฝกหัด 6.21 จงแสดงใหเห็นวา probability amplitude ในสมการ (6.102) เปน eigenstate ของ momentum operator ใน 3 มิติ x pˆ x Ψ =
∂ ψ (r ) i ∂x
y pˆ y Ψ =
∂ ψ (r ) i ∂y
z pˆ z Ψ =
และพิสูจนใหเห็นวา eigenvalue ของ momentum operator ดังกลาวก็คือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
k
∂ ψ (r ) i ∂z
นั่นเอง
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-45
นักศึกษาจะเขาใจวารูปแบบทางคณิตศาสตรของ probability amplitude (หรือ wave function) ใน สมการ (6.102) นั้น มีสมบัตทิ ี่เหมาะสมที่จะใชเปน model ของ particle beam ไดเปนอยางดี ดวย การพิจารณา time evolution ของฟงชันก ψ (r ) ดังกลาวนี้ ซึ่งในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.80) จะไดวา ψ (r , t ) =
1 i ( k ⋅r − ωt ) e V
เมื่อ ω= k
2
2m
________________ สมการ (6.104)
เมื่อ plot graph ของ ψ (r , t ) ใน 1 มิติ จะเห็นวามีลักษณะเปนคลื่นที่กําลังเคลื่อนที่ดังภาพ 6.9 โดยที่ k เปนตัวกําหนดทิศทางการเคลื่อนที่ดังกลาว
probability amplitude
probability
ψ ( x, t ) ∼ exp ( ikx − iωt )
2
ψ ( x, t ) = คาคงที่
x
x
ภาพ 6.9 แสดง model ที่ใชแทนระบบของ particle beam จะสังเกตวา probability amplitude เคลื่อนที่จากซายไปขวาตามแกน x (ในกรณีที่ k เปนบวก) ในทางตรงกันขาม ความนาจะเปนที่จะ พบอนุภาคที่ประกอบกันขึน้ เปน particle beam มีคาคงที่ตลอดแนวแกน x ภาพ 6.9 แสดง model ที่ใชแทนระบบของ particle beam จะสังเกตวา 1) probability amplitude เคลื่อนที่จากซายไปขวาตามแกน x (ในกรณีที่ k เปนบวก) ซึ่งลักษณะทาง คณิตศาสตรเชนนี้ก็เหมือนกับการเคลื่อนที่ของอนุภาคทีป่ ระกอบกันขึน้ เปน particle beam 2) ในทางตรงกันขาม ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคเหลานี้ มีคาคงที่ตลอดแนวแกน x ซึ่งเปน ลักษณะของ particle beam ที่โดยเฉลี่ยแลว พอจะอนุโลมไดวามีลักษะเปนเนื้อเดียวกันโดยตลอดทัง้ beam เพราะฉะนั้น ความนาจะเปนที่จะพบอนุภาคจึงเปนคาคงที่ตลอดแนวแกน x
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-46
อยางไรก็ตาม สถานะของระบบดังในสมการ (6.104) เปนเพียงอีกสถานะหนึ่งที่เปนไปได ในความ เปนจริงแลว particle beam อาจจะประกอบดวยอนุภาคทีม่ ี momentum คาตางๆกัน หรือมีทิศทางการ เคลื่อนที่ของอนุภาคแตกตางกัน ยกตัวอยางเชนแสงที่สองจากดวงอาทิตยมีความถีต่ างๆกัน ซึ่ง หมายถึงมี momentum แตกตางกัน หรือแสงที่ปรากฏอยูภายในหองมีที่มาจากหนาตางหลายๆบาน ซึ่งหมายถึงมีวา มันมีทิศทางตางๆกัน นั่นก็หมายถึงในเมื่อเราพิจารณา particle beam ที่ซับซอนเหมือนจริงมากขึ้น สถานะของระบบ อาจจะอยูในรูปของ linear superposition ของสถานะพื้นฐานดังในสมการ (6.102) ดังจะได ยกตัวอยางการคํานวณในทาง quantum mechanics ที่เกี่ยวของกันการ scattering
Scattering from Potential Barrier Ae+ikx + Be−ikx
Ce+ikx
incident + reflected transmitted or tunneled ภาพ 6.10 แสดง model อยางงายใน 1 มิติของ interaction ระหวางอนุภาคที่ถูกเรงใหมีความเร็วสูง กับ target ภาพ 6.10 แสดง model อยางงายใน 1 มิติของ interaction ระหวางอนุภาคที่ถูกเรงใหมีความเร็วสูงกับ target ซึ่งเราแทน interaction ดังกลาวดวย potential barrier ที่มีความสูงเทากับ V0 และเขียนใหอยู ในรูปของฟงชันกไดวา ⎧0 ⎪ V(x)= ⎨V0 ⎪0 ⎩
Dr. Teepanis Chachiyo
x < −d −d < x < d
________________ สมการ (6.105)
x>d
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-47
และสมมุติใหอนุภาคมีพลังงาน E<V0 เพราะฉะนั้นจากการวิเคราะห Schrödinger equation เรา บอกไดวาผลเฉลยของสมการอยูในรูปของ ⎧ Aeikx + Be−ikx ⎪ ⎪ ψ (x)= ⎨ Feqx + Ge− qx ⎪ Ceikx ⎪⎩
x < −d −d < x < d
________________ สมการ (6.106)
x > +d
โดยที่ k และ q มีความสัมพันธกับพลังงานก็คือ k=
2mE 2
และ q =
2m ( V0 − E ) 2
________________ สมการ (6.107)
ดังสมการ (6.106) ในกรณีของ x < −d จะสังเกตเห็นวาสถานะของระบบเปน linear superposition ของ probability amplitude ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.102) ซึ่งก็คอื Ae+ikx และ Be−ikx ขอ แตกตางของสถานะพื้นฐานทั้งสองนี้ก็คือเครื่องหมายของ wave vector k เครื่องหมายที่แตกตาง กันนีแ้ สดงใหเห็นถึงทิศทางการเคลื่อนที่ของ beam ทั้งสอง หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง Ae+ikx
เปนตัวแทนของ incident beam หรือ ลําของอนุภาคที่ยิงออกมาจากแหลงกําเนิด ในขณะที่ Be−ikx เปนตัวแทนของ reflected beam หรือ ลําของอนุภาคที่สะทอนกับภายหลังจากกระทบกับ กําแพงศักยนนั่ เอง สาเหตุที่ในบริเวณ x > + d เรามิไดนาํ เทอมที่อยูในรูปของ ∼ e−ikx เขามารวมพิจารณาในสมการ (6.106) ดวยนัน้ ก็เพราะวาเทอม e−ikx มีลักษณะเปนคลื่นทีพ่ ุงยอนกลับจาก x = +∞ เขาสู x = 0 ซึ่งขัดกับขอกําหนดในทางฟสิกส เพราะเปนไปไมไดที่เมื่ออนุภาคไดทะลุผานกําแพงศักยออกไป แลว จะสามารถยอนกลับเขามาอีกได เซตของสัมประสิทธิ์ { A, B, F , G, C} ที่ปรากฏอยูในสมการ (6.106) นั้นสามารถคํานวณไดโดยใช เงื่อนไปของความตอเนื่อง (continuity condition) ณ บริเวณรอยตอ ซึ่งจะนําไปสูสมการทั้งสิ้น 4 สมการก็คือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-48
Ae−ikd + Be+ikd = Fe− qd + Ge+ qd ikAe−ikd − ikBe+ikd = qFe− qd − qGe+ qd Feqd + Ge− qd = Ceikd qFe qd − qGe− qd = ikCeikd
และเพื่อใหจํานวนตัวแปรลดลง เราหารทุกๆสมการดวย
A
และจัดรูปเสียใหมจะไดวา
be+ikd − fe− qd − ge+ qd = −e−ikd −ikbe +ikd − qfe− qd + qge+ qd = −ike−ikd −ceikd + feqd + ge− qd = 0 −ikceikd + qfe qd − qge− qd = 0
ทั้งนี้เรานิยาม b ≡ B , A
c≡
C F G , f ≡ ,g ≡ A A A
เพื่อความกระชับในการเขียนสมการ และสมการ
ขางตนมีคําตอบผลเฉลยคือ b = fe−ikd − qd + ge−ikd + qd − e−2ikd −4ikqe−2ikd
c=
(q − ik ) 2 e +2qd − (q + ik ) 2 e−2qd
f =
(q + ik )eikd − qd c 2q
________________ สมการ (6.108)
(q − ik )eikd + qd g= c 2q
ซึ่งเมื่อนําผลเฉลยดังกลาวแทนเขาไปใน probability amplitude ในสมการ (6.106) จะไดลักษณะดัง ภาพ 6.10 จะสังเกตเห็นวา ถึงแมพลังงานของระบบ จะมีคานอยกวา potential barrier ก็ตาม อนุภาคยังมีความนาจะเปนทีจ่ ะทะลุผานกําแพงศักยออกไปได ปรากฏการณเชนนีเ้ รียกวา "tunneling" tunneling เปนหนึ่งในปรากฏการณที่เกิดขึ้นจริง แตขัดแยงกับ classical mechanics โดยสิ้นเชิง นักศึกษาคงเคยปนจักรยานใหเร็วที่สุด จากนั้นปลอยใหมนั วิ่งขึ้นเนินดวยอาศัยพลังงานจลนของตัว จักรยานเอง แนนอนวาถาพลังงานจลนที่เราใสเขาไปในจักรยานดวยการปนนัน้ มีคานอยกวา พลังงานศักยทเี่ กิดจากความสูงของเนิน เรายอมขามเนินไปไมได กลาวคือ ความนาจะเปนทีจ่ ะพบ จักรยาน ณ อีกฟากหนึง่ ของเนินเปนศูนย Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-49
แตในระบบขนาดเล็กๆเชน atom หรือ molecule ปรากฏการณ tunneling เกิดขึ้นไดทั่วไป และยัง เปนที่มาของสิ่งประดิษฐทเี่ รียกวา "Scanning Tunneling Microscope" หรือ STM อีกดวย จากการวิเคราะหปรากฏการณ tunneling ดังกลาว เราสามารถนิยาม transmission coefficient วาเปน อัตราสวนของ particle beam ที่ทะลุออกไป ตอ incident beam ไดวา transmission coefficient T =
C A
2
________________ สมการ (6.109)
และในทํานองเดียวกัน reflection coefficient ก็เปนอัตราสวนที่ particle beam จะสะทอนกลับ ภายหลังจากมี interaction กับ potential barrier แลว reflection coefficient R =
B A
2
________________ สมการ (6.110)
ขอควรระวัง อยางไรก็ตาม transmission coefficient และ reflection coefficient ดังในสมการขางตน มีความหมายแคบๆที่มีขอบเขตการใชงานจํากัดอยูแตเฉพาะในการวิเคราะห potential barrier เทานัน้ คํานิยามของ coefficient ทั้งสองซึ้งใชเปนมาตรฐานสากลจําเปนจะตองนําความรูเรื่อง probability current เขามารวมอธิบาย ซึ่งเราจะกลาวถึงโดยละเอียดอีกครั้งในเนื้อหาของบท Scattering ดังตัวอยางของ potential barrier ขางตน เมื่อรวมรวมเอาสมการ (6.109) , (6.108) , และ (6.107) เขา ดวยกัน เราบอกไดวา T=
1 V02 1+ sinh 2 (2qd ) 4 E (V0 − E )
เมื่อ q =
2m ( V0 − E ) 2
__________ สมการ (6.111)
แบบฝกหัด 6.22 จงพิสูจนสมการ (6.111) บอกใบ :
(q − ik )2 e+2qd − (q + ik )2 e−2qd
Dr. Teepanis Chachiyo
2
2
2 = ⎡ 2(q 2 + k 2 ) sinh(2qd ) ⎤ + [ 4qk ] ⎣ ⎦
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-50
แบบฝกหัด 6.23 จงวิเคราะหหา probability amplitude ในทํานองเดียวกันกับสมการ (6.108) แตเปน ในกรณีที่ E > V0 และพิสูจนใหเห็นวา ในกรณีดังกลาวนี้ 2m ( E-V0 ) 1 เมื่อ q = __________ สมการ (6.112) T= 1+
2
V02 sin 2 (2qd ) 4 E ( E − V0 )
transmission coefficient as a function of beam energy T
T=
1
0.8 0.6
1 V02 1+ 4 E E − V0
0.4
⎧⎪sinh 2 (2qd ) E < V 0 ⎨ 2 ⎪⎩ sin (2qd ) E ≥ V0
V0
q=
0.2 0
0
1
2
3
4
−d
2m E-V0 2
+d
E V0 ภาพ 6.11 แสดง transmission coefficient ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามระดับพลังงานของ particle beam ที่ กําลังพุงเขามา (incident beam) ภาพ 6.11 แสดง transmission coefficient ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามระดับพลังงานของ particle beam ที่ กําลังพุงเขามา (incident beam) จากกราฟเมื่อพลังงานมีคาต่ํา โอกาสที่อนุภาคจะทะลุกําลังแพงศักย จึงมีคานอย และความนาจะเปนอันนี้ ก็จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เมื่อพลังงานของอนุภาคมีคามากขึ้น อยางไรก็ตาม มิไดหมายความวา พลังงานยิง่ สูง transmission coefficient จะยิ่งมากเปนเงาตามตัว เสมอไป จากภาพจะสังเกตบริเวณทีเ่ ปนเงาสี่เหลี่ยมสีฟา จะเปนชวงที่ T ( E ) มีคาลดลง ทั้งๆที่ V
E V
มีคาเพิ่มขึ้น ปรากฏการเชนนี้ อธิบายไมไดโดยใชแนวคิดพื้นฐานของ classical mechanics แบบฝกหัด 6.24 จงหาเงื่อนไขที่ทําให T = 1
6.9 Ehrenfest Theorem tunneling เปนตัวอยางหนึ่งทีแ่ สดงถึงศักยภาพของ quantum mechanics ซึ่งมีขอบเขตในการอธิบาย ปรากฏการณตางๆ ในขณะที่ classical mechanics เขาไปไดไมถึง Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-51
และเมื่อกลาวถึง classical mechanics หรือ Newtonian mechanics แลวนั้น หัวใจสําคัญของทฤษฏี ดังกลาวตั้งอยูบ นพื้นฐานของกฎขอที่สองของ Newton ซึ่งกลาววา F=
dp = ma dt
ใน Newtonian mechanics __________ สมการ (6.113)
ในมุมมองของ Newtonian mechanics กฎดังกลาวเปน axiom ที่กําหนดขึ้นโดยไมมตี รรกะรองรับ แต ดวยอาศัยผลการทดลองจํานวนมหาศาลที่พิสูจนเปนประจักพยานแลววา กฎดังกลาวถูกตอง และ ใน Section 6.9 นี้เราจะมากลาวถึงศักยภาพอีกอันหนึ่งของ quantum mechanics ที่สามารถ "derive" กฎขอสองของ Newton กอนอื่นเรามาพิจารณา Hermitian operator Aˆ ใดๆ และมาวิเคราะหวา เมื่อนํา operator ดังกลาวมา ตรวจวัดสถานะของระบบ expectation value ที่ไดจะเปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไรบาง d ˆ d A = Ψ (t ) Aˆ Ψ (t ) dt dt
และเมื่ออาศัยกฎลูกโซจะไดวา d ˆ ⎛d A =⎜ Ψ (t ) dt ⎝ dt
⎞ˆ ˆ ⎛ d Ψ (t ) ⎟ A Ψ (t ) + Ψ (t ) A ⎜ ⎠ ⎝ dt
∂ ˆ ⎞ A Ψ (t ) ⎟ + Ψ (t ) ∂t ⎠
เมื่อนํา Schrödinger equation ดังในสมการ (6.74) เขามาเปลี่ยนรูปพจนที่อยูในวงเล็บ จะทําให d ˆ ⎛i ∂ ˆ ⎞ ⎛i ⎞ A = ⎜ Ψ (t ) Hˆ ⎟ Aˆ Ψ (t ) − Ψ (t ) Aˆ ⎜ Hˆ Ψ (t ) ⎟ + Ψ (t ) A Ψ (t ) dt ∂t ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ i ˆ ˆ Ψ (t ) + Ψ (t ) ∂ Aˆ Ψ (t ) ˆ ˆ Ψ (t ) − i Ψ (t ) AH = Ψ (t ) HA ∂t d ˆ i ˆ ˆ Ψ (t ) + Ψ (t ) ∂ Aˆ Ψ (t ) ˆ ˆ − AH A = Ψ (t ) HA ∂t dt
เราสามารถลดรูปสมการขางตนใหกระชับขึ้นอีกโดยใชคํานิยามของ commutator ˆ ˆ = ⎡ Hˆ , Aˆ ⎤ เพราะฉะนั้นแลว ˆ ˆ − AH HA ⎣ ⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
∂ ˆ d ˆ i A = Ψ (t ) ⎡⎣ Hˆ , Aˆ ⎤⎦ Ψ (t ) + Ψ (t ) A Ψ (t ) ∂t dt
6-52
__________ สมการ (6.114)
สมการขางตนอธิบายความเปลี่ยนแปลงตามเวลาของ expectation value ของ operator ใดๆ ซึ่งมี ประโยชนมากในการวิเคราะหวาระบบทีเ่ รากําลังพิจารณาอยูนั้น มี ตําแหนง, momentum, หรือ ปริมาณทางฟสิกสอื่นๆ เปนฟงชันกอยางไรกับเวลาที่ผานไป ยกตัวอยางเชน พิจารณา momentum operator
pˆ x
จากสมการ (6.114) จะไดวา
d i ∂ pˆ x = Ψ (t ) ⎡⎣ Hˆ , pˆ x ⎤⎦ Ψ (t ) + Ψ (t ) pˆ x Ψ (t ) dt ∂t
__________ สมการ (6.115)
=0
เนื่องจาก momentum operator Hamiltonian ใน 1 มิติคือ
pˆ x
ไมสวนทีข่ ึ้นกับเวลา ดังนั้นเทอมที่สองจึงเปนศูนย นอกจากนี้
pˆ 2 Hˆ = + V ( xˆ ) 2m
เพราะฉะนัน้ แลว
⎡ ˆ2 ⎤ ⎡ Hˆ , pˆ x ⎤ = ⎢ p , pˆ x ⎥ + [V ( xˆ ), pˆ x ] ⎣ ⎦ ⎢⎣ 2m ⎥⎦ ⎡ ⎤ = ⎢ ∑ an xˆ n , pˆ x ⎥ ⎣⎢ n ⎦⎥ = ∑ an ⎡ xˆ n , pˆ x ⎤ ⎣ ⎦ n
โดยที่ในสมการขางตน เราเขียน operator ของพลังงานศักย V ( x) ใหอยูใ นรูปของ Taylor expansion V ( xˆ ) = ∑ an xˆ 2 นอกจากนี้ จากแบบฝกหัด 6.23 เราบอกไดวา n
⎡ Hˆ , pˆ x ⎤ = i ⎣ ⎦
∑ an nxˆ n −1
=i
∂ an xˆ n ∑ ∂x n
n
⎡ Hˆ , pˆ x ⎤ = i ∂ V ( xˆ ) ⎣ ⎦ ∂x
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
แบบฝกหัด 6.25 จงหาพิสจู นวา ⎡⎣ xˆ n , pˆ x ⎤⎦ = i
6-53
nxˆ n −1 โดยเริ่มจากสมการ (6.24)
ดวยเหตุนี้เอง สมการ (6.115) จึงลดรูปเหลือเพียง d dV pˆ x = − dt dx
__________ สมการ (6.116)
นอกจากนี้ อีกตัวอยางหนึ่งของการนําเอาสมการ (6.114) มาใชวเิ คราะหก็คือ expectation value ของตําแหนงของอนุภาค หรือ ∂ d i xˆ = Ψ (t ) ⎡⎣ Hˆ , xˆ ⎤⎦ Ψ (t ) + Ψ (t ) xˆ Ψ (t ) ∂t dt =0
แบบฝกหัด 6.26 จงหาพิสจู นวา ⎡ Hˆ , xˆ ⎤ = − i pˆ x ⎣ ⎦ m
__________ สมการ (6.117)
pˆ d xˆ = x dt m
__________ สมการ (6.118)
ซึ่งจากการสมการ (6.117) ทําให
สมการ (6.116) และสมการ (6.118) ดูผิวเผินคงเปนเพียงเอกลักษณทางคณิตศาสตรอีกอันหนึง่ ที่ไมมี ประโยชนใชงานที่เปนรูปธรรมมากนัก แทจริงแลว ทั้งสองสมการมีความสําคัญและยังมีชื่อเฉพาะ วา Ehrenfest Theorem เราจะเห็นความสําคัญของ Ehrenfest Theorem ดวยการวิเคราะหตอยอดจากสมการทางคณิตศาสตร ทั้งสองอีกสักนิด ถาเรานิยามความเรงวา a ≡
d⎛d ⎞ xˆ ⎟ ⎜ dt ⎝ dt ⎠
แลวจากสมการ (6.118) จะได
1 d pˆ x m dt d ma = pˆ x dt a=
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
และจากสมการ (6.116) ถาเรานิยามแรงทีก่ ระทํากับอนุภาควา F ≡
−
d V ( xˆ ) dx
6-54
จะนําไปสู
ความสัมพันธที่เปนรากฐานของความรูทางกลศาสตรของมนุษยในยุคกอนป 1926 นั่นก็คือ F = ma
6.10 บทสรุป ในบทที่ 6 เราใชกลไกของ matrix mechanics เพื่อศึกษาระบบที่มี basis state เปนสถานะที่ตอเนื่อง อาทิเชน position และ momentum ซึ่งเริ่มดวยการใช position เปน basis state Ψ = ∫ dxψ ( x) x
ในลักษณะเชนนี้ bra-ket ของสองสถานะใดๆ สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ integral ไดวา Φ Ψ = ∫ dxϕ ∗ ( x)ψ ( x)
จากนั้นเราก็ไดทําความรูจักกับ operator ที่เกี่ยวของ นั่นก็คือ translation operator Tˆ (a) ซึ่งมีผลให basis state x เปลี่ยนไปเปนสถานะ x + a และแทนที่จะเลื่อนสถานะตามแนวแกน x เปน ระยะทาง a เราสามารถที่จะพิจารณาการเลื่อนเปนระยะ infinitesimal translation Δx โดยที่ i Tˆ (Δx) = 1 − pˆ x Δx
เมื่อ
pˆ x
คือ generator of translation
ทั้งนี้ นอกจาก pˆ x จะเปน generator of translation มันก็ยงั เปน momentum operator ซึ่งมีคุณสมบัติ ทางคณิตศาสตรที่สําคัญคือ
[ xˆ, pˆ x ] = i และ x pˆ x Ψ =
Dr. Teepanis Chachiyo
∂ ψ ( x) i ∂x
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-55
นอกจากการใช position เปน basis state แลวนั้น ยังสามารถใช momentum เปน basis state กลาวคือ Ψ = ∫ dpϕ ( p) p
ในกรณีดังกลาว เราเรียก ϕ ( p) = p Ψ วาเปน probability amplitude ใน momentum space ซึ่ง แตกตางจากเดิม ψ ( x) = x Ψ ซึ่งเปน probability amplitude ใน position space โดยที่ basis state ในทั้งสอง space มีความสัมพันธกันก็คือ x p =
1 eipx 2π
ซึ่งเมื่อเขียนอยูในรูปของ probability amplitude ψ ( x) และ ϕ ( p) จะมีความเกีย่ วโยงทาง คณิตศาสตรคือ ϕ ( p) =
1 2π
∫ dxψ ( x)e
−ipx
และ
ψ ( x) =
1 2π
∫ dpϕ ( p)e
+ ipx
ทั้งนี้เราไดยกตัวอยางของการใช quantum mechanics มาวิเคราะหอนุภาคอิสระ ซึ่งเราใช Gaussian wave packet เปน model ในการศึกษา และดวยการพิจารณาความไมแนนอนของการบอกตําแหนง และ momentum ของอนุภาคในอุดมคตินเี้ อง นําไปสูความสัมพันธที่เรียกวา Heisenberg Uncertainty Principle ที่วา Δx Δp ≥
2
หากแตกฎดังกลาวมิไดจํากัดอยูแตเพียง position และ momentum เทานั้น สําหรับ operator ใดๆที่ สามารถใชในการวัดปริมาณทางฟสิกส จะไดวา ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ ⎣ ⎦ ΔA ΔB ≥ 2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-56
และเมื่อมีเครื่องมือทางคณิตศาสตรที่พรอม เราก็ไดกลาวถึง Schrödinger equation ซึ่งจริงๆแลว สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ position space 2 ∂ ∂2 ψ ( x, t ) = − ψ ( x, t ) + V ( x)ψ ( x, t ) ∂t 2m ∂x 2
i
และ ของ momentum space i
∂ ∂ p2 ϕ ( p, t ) = ϕ ( p , t ) + V (i )ϕ ( p, t ) ∂t ∂p 2m
เพื่อยกตัวอยางการนํา Schrödinger equation มาใชงาน เราวิเคราะหระบบที่เรียกวา square well potential และ scattering ใน 1 มิติ ซึ่งปรากฏการณที่สําคัญของการศึกษาในครั้งนี้ ก็คือ tunneling ที่ หมายถึงการที่ particle beam สามารถทะลุผานกําแพงศักยออกมาได ถึงแมวาพลังงานจลนของมันจะ มีคานอยกวากําแพงศักยก็ตาม และในทายทีส่ ุด เรากลาวถึง Ehrenfest theorem ที่เปนทฤษฏีที่แสดงใหเห็นวา Newtonian mechanics แทที่จริงแลว เปน subset ของ quantum mechanics เทานัน้ เอง
6.11 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 6.27 จงคํานวณหา transmission coefficient และ reflection coefficient ในกรณีของ กําแพงศักยทนี่ ิยามดวย ⎧0 V ( x) = ⎨ ⎩V0
เฉลย ถา
E < V0
แลว R = 1
T =0
ถา
x<0 x≥0
E > V0 T =
4ε
(1 + ε )2
เมื่อ ε ≡
V 1− 0 E
แบบฝกหัด 6.28 จงพิสูจนสมการ (6.39) แบบฝกหัด 6.29 จงพิสูจนวา x pˆ x x′ =
Dr. Teepanis Chachiyo
∂ δ ( x − x′) i ∂x
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
________________ สมการ (6.119)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-57
แบบฝกหัด 6.30 จงพิสูจนสมการ (6.57) และ สมการ (6.58) แบบฝกหัด 6.31 เริ่มจาก probability amplitude ใน momentum space ของ Gaussian wave packet ϕ ( p) =
a
π
2 2 2 e− p a 2
ฟงชันก ψ ( x) =
1
πa
จงพิสูจนวา Fourier transform ในสมการ (6.39) ทําใหเกิดเปน
2 2 e− x 2a
จริง
แบบฝกหัด 6.32 จงคํานวณหา transmission coefficient และ reflection coefficient ในกรณีของ"บอ ศักย"ที่นิยามดวย ⎧ 0 ⎪ V ( x) = ⎨ − V0 ⎪ 0 ⎩
เฉลย ถา
E > V0
−d ≤ x ≤ d
1
T= 1+
Dr. Teepanis Chachiyo
x < −d
V02 sin 2 (2qd ) 4 E ( E + V0 )
x > +d
เมื่อ q =
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
2m ( E+ V0
)
2
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
6 Wave Mechanics in One Dimension
6-58
This page is intentionally left blank
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009