Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-1
4
Time Evolution
เนื้อหา 4.1 Time Evolution Operator 4.2 Precession ของ Spin 1 Particle ในสนามแมเหล็ก 2
4.3 การหมุน 360 องศาของ Neutron 4.4 Magnetic Resonance 4.5 Ammonia Maser 4.6 บทสรุป 4.7 ปญหาทายบท วัตถุประสงคหลักอันหนึ่งของการศึกษาฟสิกส ก็คือความสามารถในการที่จะทํานายสิ่งที่จะเกิดขึ้น ในอนาคต หรือการศึกษาปริมาณทางฟสิกสที่เปลี่ยนแปลงไปกับเวลา เพราะฉะนั้นในบทที่ 4 นี้ เรา จะกลาวถึงระเบียบวิธีในทาง quantum mechanics ที่จะเปนกลไกในการศึกษาวาสถานะตางๆนั้น จะมี การเปลี่ยนแปลงไปกับเวลาอยางไร
4.1 Time Evolution Operator สมมุติวาเราทราบขอมูลเกี่ยวกับสถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 ซึ่งอาจจะเขียนใหเปนสัญลักษณ โดยใช ket ไดวา Ψ (t = 0) จากนั้น ดวยระเบียบวิธีของ quantum mechanics ที่ไดกลาวถึงในบท ที่ 2 เราสามารถจินตนาการไดวา มี operator ซึ่งอาจจะแทนดวยสัญลักษณ Uˆ (t ) โดยที่ operator ดังกลาวนี้ สามารถที่เปลี่ยนสถานะ ket ณ เวลา t=0 ใหเปนสถานะ ket ณ เวลา t หรือเขียนในรูป ของสมการไดวา Uˆ (t ) Ψ (t = 0) = Ψ (t )
______________ สมการ (4.1)
ถึงแมวาในขณะนี้ เรายังไมทราบวา operator Uˆ (t ) ดังกลาวนี้ มีรูปแบบหรือเอกลักษณในทาง คณิตศาสตรเปนอยางไร แตดวยคํานิยามในสมการ (4.1) นั้น เราเรียก Uˆ (t ) วาเปน time evolution operator หรือ operator ที่ทําใหสถานะของระบบเปลี่ยนไปกับเวลานั่นเอง
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-2
ในทํานองเดียวกันกับการศึกษา rotation operator ในบทที่ 2 ซึ่งเริ่มดวยศึกษาการหมุนที่เปนมุม เล็กๆรอบแกน z หรือที่เราใชสัญลักษณ Rˆ (dϕ k ) time evolution operator ก็เชนเดียวกัน เรา สามารถเริ่มดวยการพิจารณา Uˆ (dt ) Ψ (t = 0) = Ψ (dt )
______________ สมการ (4.2)
สมการ (4.2) แสดงถึงมุมมองวา operator Uˆ เปน operator ที่ทําการเปลี่ยนสถานะ ket เริ่มตน ให เปนสถานะผลลัพธภายหลังจากเวลาผานไปเพียง dt เทานั้น และในลักษณะเดียวกันกับ infinitesimal rotation operator ดังสมการ (2.122) ที่วา Rˆ (dϕ k ) = 1 − i i Uˆ (dt ) = 1 − Hˆ dt
Jˆ z dϕ
เราสามารถเขียน
______________ สมการ (4.3)
โดยที่ operator Hˆ ซึ่งมีหนวยเปนพลังงานนั้น โดยลักษณะความสัมพันธทางคณิตศาสตรใน สมการ (4.3) แลวจะเห็นวา Hˆ ก็คือ generator of time evolution หรือกลาวอีกนัยหนึง่ Hˆ เปน operator ที่เปนตัวกําหนดวา สถานะของระบบจะมีการเปลี่ยนไปตามเวลาในลักษณะอยางไร ดวยอาศัยสมบัติทางคณิตศาสตรดังในแบบฝกหัด 2.23 เราเขียน time evolution operator ใหอยูใ น รูปของ Hˆ ไดวา
Uˆ (t ) = e
−
iHˆ t
______________ สมการ (4.4)
ดังในสมการ (4.4) ขางตน เราไดเห็นถึงรูปแบบทางคณิตศาสตรของ time evolution operator Uˆ (t ) อยางคราวๆ แตทวา สมการ (4.4) นั้นไมไดมีประโยชนมากมายนัก เพราะวาเราก็ยงั ไมทราบอยูดวี า operator Hˆ แทที่จริงแลวคืออะไร มีรูปแบบทางคณิตศาสตรอยางไรบาง ดังนั้น การเขียน Uˆ (t ) ใหอยูใ นรูปของ Hˆ จึงเปนเพียงการ "ผัดวันประกันพรุง" ตราบใดที่เรายังไมทราบวา Hˆ คืออะไร และมีรูปแบบในทางคณิตศาสตรเปนเชนใด แบบฝกหัด 4.1 จงพิสูจนวา time evolution operator Uˆ (t ) มีสมบัติเปน unitary operator กลาวคือ Uˆ
†
( t )Uˆ ( t ) = 1
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-3
แบบฝกหัด 4.2 จงใชความเปน unitary ของ time evolution operator เพื่อบอกวา Hˆ ดังที่นิยามใน สมการ (4.3) นั้น ตองเปน Hermitian operator [หมายเหตุ: เมื่อ Hˆ เปน Hermitian แสดงวามันเปน operator ที่สามารถแทนกระบวนการวัดทางฟสิกสได เพราะมี eigenvalue เปนจํานวนจริง] Hˆ
คือ Hamiltonian Operator
นอกจากเราจะสามารถตีความไดวา operator Hˆ ก็คือ generator of time evolution ซึ่งเปน operator ที่ กําหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาของ state ใดๆ operator Hˆ ก็ยังมีความหมายอีกแง หนึ่งที่เราคุนเคยเปนอยางดี และใน Section 4.1.1 นี้ เราจะมาวิเคราะหถึงตรรกะทางคณิตศาสตร เพียง 2 ขอ และจะเปนตนตอของบทสรุปที่สําคัญอันหนึ่งที่เกีย่ วของกับความหมายของ Hˆ ซึ่ง นอกจากจะเปน generator of time evolution Hˆ ยังมีสมบัติเปน Hamiltonian operator หรือเปน operator ที่เกี่ยวของกับพลังงานรวมของระบบอีกดวย จากความสัมพันธระหวาง Uˆ (t ) และ Hˆ ดังสมการ (4.4) เราสามารถบอกไดวา [Uˆ (t ), Hˆ ] = 0 และเมื่อ Uˆ (t ) commute กับ Hˆ จาก Section 3.4 ในบทที่ 3 เราสรุปไดวา eigenstate ของ Hˆ ก็คือ eigenstate ของ Uˆ (t ) โดยอัตโนมัตินั่นเอง สมมุติวาเราพิจารณา eigenstate ของ
Hˆ
ซึ่งเขียนอยูใ นรูปของ Hˆ ε = E ε
______________ สมการ (4.5)
เมื่อเห็นสมการดังในลักษณะสมการ (4.5) ขางตน นักศึกษาจะตองไมลืมวา สถานะ ε นั้น ไมใชจะเปนสถานะใดๆก็ได หากแตมนั มีสมบัติเฉพาะตัว ซึ่งเปน eigenstate ของ operator Hˆ โดย ที่มี eigenvalue เปน E เนื่องจาก Hˆ commute กับ Uˆ (t ) ดังนั้น เพราะฉะนั้น
ε
จะตองเปน eigenstate ของ Uˆ (t ) ดวยโดยปริยาย
Uˆ (t ) ε = e −iEt
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
ε
______________ สมการ (4.6)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-4
สมการ 4.6 แสดงใหเห็นวา time evolution operator ไมสามารถทําใหสถานะ ε นั้นเปลี่ยนแปลง ตามเวลาได ดวยเหตุวา หลังจากที่ Uˆ (t ) มากระทํากับสถานะ ε แลว สถานะผลลัพธยังคงเปน ε เหมือนเดิม (คูณดวยคาคงที่ e − iEt เทานั้น) มาถึงจุดนี้ เราสามารถสรุปคุณสมบัติ 2 ประการที่เกีย่ วของกับ operator Hˆ ไดวา 1) operator Hˆ มีหนวยเปนพลังงาน หรือ Joule 2) eigenstate ของ Hˆ (และรวมไปถึง eigenvalue) นั้น ไมเปลี่ยนไปกับเวลา จากคุณสมบัตทิ ั้งสองขอดังที่ไดกลาวมานี้ จะเห็นไดวา operator Hˆ นั้นเกี่ยวของกับปริมาณทาง ฟสิกสที่ไมเปลี่ยนไปกับเวลา และมีหนวยเปน Joule ดังนั้น Hˆ ก็คือ พลังงานรวมของระบบ หรือ Hamiltonian นั่นเอง
สมการ Schrödinger หลังจากที่ทราบความหมายในอีกแงหนึ่งของ operator Hˆ วาเปน Hamiltonian เราก็พรอมที่จะ derive สมการ Schrödinger ที่ไดเริ่มคนพบเมื่อป ค.ศ. 1926 สมมุติวาเรามีสถานะ Ψ (t = 0) ณ เวลา t = 0 และตองการที่จะหาวา สถานะดังกลาว ณ เวลา t + dt นั้น มีลักษณะเปนเชนใด สามารถทําไดโดยใช time evolution operator Uˆ (t + dt ) Ψ (t = 0) = Ψ (t + dt )
______________ สมการ (4.7)
อยางไรก็ตาม แทนที่จะใหเวลาผานไปในคราวเดียวเทากับ t + dt ดังสมการ (4.7) ในขางตน เรา สามารถเลือกที่จะทําใหเวลาผานไปเปน 2 จังหวะ กลาวคือ 1) ใช operator Uˆ (t ) กระทํากับสถานะ Ψ (t = 0) กอน และ 2) นํา operator Uˆ (dt ) เขาไปกระทําซ้ําในรอบที่สอง ซึ่งจะไดผลลัพธ เปนการเปลี่ยนไปของเวลาเทากับ t + dt เชนเดียวกัน หรือ ในรูปของสมการจะไดวา Uˆ (dt )Uˆ (t ) Ψ (t = 0) = Ψ (t + dt )
______________ สมการ (4.8)
เมื่อพิจารณา สมการ (4.8) รวมกับสมการ (4.7) ทําใหเราสรุปไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-5
______________ สมการ (4.9)
Uˆ (t + dt ) = Uˆ (dt )Uˆ (t )
ˆ จากสมการ (4.3) เขาไปในสมการ (4.9) จะทําให เมื่อเราแทน Uˆ (dt ) = 1 − i Hdt
⎛ i ˆ ⎞ ˆ Uˆ (t + dt ) = ⎜ 1 − Hdt ⎟ U (t ) ⎝ ⎠
______________ สมการ (4.10)
ความสัมพันธดังในสมการ (4.10) นั้น สามารถจัดรูปกระชับมากขึ้นคือ i
Uˆ (t + dt ) − Uˆ (t ) ˆ ˆ = HU (t ) dt
______________ สมการ (4.11)
จะสังเกตเห็นวา ขางซายของสมการ (4.11) นั้น เราสามารถนิยามให
∂ ˆ Uˆ (t + dt ) − Uˆ (t ) U (t ) ≡ dt ∂t
ดังนั้น สมการ (4.11) สามารถเขียนใหอยูในรูปที่คลายคลึงกับสมการ Schrödinger ได ซึ่งก็คือ i
i
∂ ˆ ˆ ˆ (t ) U (t ) = HU ∂t
∂ Ψ (t ) = Hˆ Ψ (t ) ∂t
______________ สมการ (4.12) ______________ สมการ (4.13)
ซึ่งสมการ Schrödinger ดังที่เขียนในสมการ (4.13) นั้น ในอนาคต เราจะวกกลับมาวิเคราะหสมการ ดังกลาวเพื่อประยุกตใชอธิบายระบบในเชิง quantum mechanics ในบทที่ 6 แตขณะนี้ เราจะมา ศึกษาตัวอยาง 4 ตัวอยางดวยกัน ซึ่งเปนปรากฏการณในทางฟสิกสที่สามารถใชความรูเกี่ยวกับ time evolution operator มาเปนเครื่องมือในการอธิบาย dynamics ของระบบดังกลาว แบบฝกหัด 4.3 ในระบบทีซ่ ับซอนขึ้นนั้น Hamiltonian เปนฟงชันกของเวลา ในกรณีเชนนี้ จง พิสูจนวา time evolution operator สามารถเขียนอยูใ นรูปของ ⎡ i t ⎤ ˆ U ( t ) = exp ⎢ − ∫ dt ′Hˆ (t ′) ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 0
บอกใบ - ซอย time evolution operator ใหเปนจังหวะยอยๆจาก t = 0, t = dt ′, t = 2dt ′,…
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-6
หมายเหตุ: ถาจะวิเคราะหในรายละเอียดใหลึกซึ้ง สมการขางตนมีเงื่อนไขในทางคณิตศาสตรเพิม่ เติม ที่วา ⎡⎣ Hˆ (t 1), Hˆ (t 2 ) ⎤⎦ = 0
4.2 Precession ของ Spin
1 2
Particle ในสนามแมเหล็ก
สมมุติวาเราพิจารณาอนุภาคที่มี spin angular momentum เปน 1 2 ซึ่งไมจําเปนจะตองเปน อิเล็กตรอนแตเพียงอยางเดียว เมื่ออนุภาคดังกลาวนี้ ตกอยูภายใตอิทธิพลของสนามแมเหล็ก B = B0 k ที่เรียงตัวอยูในแนวแกน z เราจะมาวิเคราะหวา สนามแมเหล็กดังกลาว มีผลอยางไรกับ spin ของอนุภาคที่วานี้ z
μ
สนามแมเหล็ก B
y Magnetic moment มี interaction กับ สนามแมเหล็ก โดยที่มีพลังงาน x
H = −μ ⋅ B
อนุภาคที่มี spin ก็จะเปรียบไดกับแมเหล็กขนาดเล็กๆแทงหนึ่ง ซึ่งมี magnetic moment เปนฟงชันกที่ ขึ้นอยูกับมวล และ spin ของอนุภาคนั้นๆ ดังตอไปนี้ μˆ =
gq ˆ S 2m
_____________________ สมการ (4.14)
เมื่อ g คือคาคงที่เฉพาะตัวของอนุภาคที่กําลังกลาวถึง เรียกโดยทัว่ ไปวา g-factor ซึ่งจะสามารถวัด ไดจากการทดลอง ยกตัวอยางเชน อิเล็กตรอนมี g = 2.00 และ proton มี g = 5.58 เปนตน และ q ก็คือประจุของอนุภาคดังกลาว โดยธรรมชาติแลว เมื่อแมเหล็กที่มี magnetic moment μˆ ตกอยูภายในอิทธิพลของสนามแมเหล็ก B เราสามารถเขียนไดวา พลังงานของระบบนั้นๆ ก็คือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
Hˆ = − μˆ ⋅ B gq ˆ S ⋅ ( B0k ) =− 2m
4-7
_____________________ สมการ (4.15)
ยกตัวอยางเชนถาเรากําลังพิจารณาอิเล็กตรอนที่มีประจุ q = −e และ spin s = 1 2 นัน้ จะไดวา ge ˆ Hˆ = ( S x + Sˆ y + Sˆ z ) ⋅ ( B0k ) 2mc ⎛ geB0 ⎞ ˆ =⎜ ⎟ Sz ⎝ 2m ⎠ Hˆ = ω Sˆ
_________________ สมการ (4.16)
0 z
ซึ่งที่มาของสมการ (4.16) นั้น เราเขียน spin operator ในรูปขององคประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ดังที่ไดกลาวมาแลวในสมการ (2.83) และ สมการ (3.4) นอกจากนี้ สมการ (4.16) ยังบอกอีกวา พลังงานของระบบที่เรากําลังพิจารณาอยูนนี้ ั้น โดยความเปนจริงแลว ขึ้นอยูกับ 1) spin angular momentum ตามแนวแกน z ของอนุภาค และ 2) ขึ้นอยูก ับคาคงที่ ซึ่งเราเขียนรวมกันดวยสัญลักษณ ω0 =
geB0 2m
จากสมการ (4.16) จะเห็นวา operator Hˆ commute กับ operator Sˆz เพราะฉะนั้นแลว eigenstate ของ Sˆz ซึ่งก็คือ + Z และ − Z นั้น เปน eigenstate ของ Hamiltonian Hˆ ดวยโดยปริยาย หรืออีกนัยหนึง่ Hˆ ± Z = ω0 Sˆ z ± Z =±
ω0
2 = E± ± Z
±Z
_________________ สมการ (4.17)
ดังนั้น ดวยความที่สถานะ ± Z เปน eigenstate ของ Hamiltonian Hˆ เราบอกไดวา สถานะ ± Z ดังกลาวนี้ จะเสถียรและไมเปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยทีส ่ ถานะ + Z และ − Z จะมี พลังงานเปน
E+ = +
ω0 2
และ E −
=−
ω0 2
ตามลําดับ
Dynamics ของระบบ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-8
เพื่อที่จะศึกษาการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาของระบบ หรือที่เรียกวา dynamics ของระบบนั้น เรา จะตองมาพิจารณา time evolution operator Uˆ (t ) ซึ่งก็เปนสาเหตุที่เราใชเวลาสวนหนึ่งในตอนตน ของเนื้อหาในบทนี้ เริ่มดวยการวิเคราะห Hamiltonian Hˆ เพราะวา Uˆ (t ) นั้นมีความสัมพันธกับ Hˆ ดังในสมการ (4.4) นั่นเอง เมื่อเรามาวิเคราะหรูปแบบของ time evolution operator Uˆ (t ) ตามสมการ (4.4) และ สมการ (4.16) จะไดวา
Uˆ (t ) = e
−
iω0 Sˆ z t
_________________ สมการ (4.18)
ซึ่งถาเรานิยามตัวแปร ϕ ≡ ω0t จะทําให
Uˆ (t ) = e
−
iϕ Sˆ z = Rˆ (ϕ k )
_________________ สมการ (4.19)
โดยที่นักศึกษาเองอาจจะจํารูปแบบของ rotation operator Rˆ (ϕ k ) ที่ไดศึกษาในบทที่ 2 ซึ่งสมการ (4.19) นั้นกลาววา time evolution operator ของระบบที่เรากําลังใหความสนใจอยูนี้ ไปสอดคลอง กันพอดีกับ rotation operator ที่หมุน spin ของระบบเปนมุม ϕ = ω0t องศา เพราะฉะนั้น เราสรุปไดวา ผลของสนามแมเหล็กที่มีตอ spin ของอนุภาคนั้น จะทําให spin ของ อนุภาค precess รอบๆแกน z (หรือแกนที่ทศิ ทางขนานกับสนามแมเหล็ก B ) โดยทีค่ วามเร็วรอบ ของการ precess นั้น ก็คือ ω0 = geB0 ซึ่งแปรผันตรงกับความเขมของสนามแมเหล็กที่มีอยู 2m
นั่นเอง ความเร็วเชิงมุมของการ precess หรือ ω 0 ดังกลาว เปนปรากฏการณทสี่ ําคัญ และมีชื่อเฉพาะในทาง ฟสิกสที่เรียกวา Larmor frequency ยกตัวอยางเชน ในกรณีของ proton มี Larmor frequency เทากับ 42.5 MHz ตอสนามแมเหล็ก 1 Tesla เปนตน
สถานะ
Dr. Teepanis Chachiyo
Ψ (t
ของระบบ
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-9
นอกจากเราจะสามารถสรุปไดวา ระบบมีการ precess ดวยการอางความคลายคลึงของ time evolution operator Uˆ (t ) กับ rotation operator Rˆ (ϕ k ) ดังสมการ (4.19) แลวนั้น เราสามารถศึกษาใหชัดเจน ลงไปอีกวา Uˆ (t ) แทจริงแลว มีผลตอสถานะ Ψ (t = 0) ของระบบอยางไร เนื่องจากเราสามารถใช + Z และ − Z เปน basis state ดังนั้น สถานะใดๆของระบบ สามารถ เขียนในรูป superposition ของ basis state ไดเสมอ _________________ สมการ (4.20)
Ψ (t = 0) = c+ + Z + c− − Z
โดยที่ c± เปน probability amplitude ที่ระบบจะอยูใ นสถานะ ± Z เพราะฉะนั้นแลว การทีเ่ รา ตองการทราบวาสถานะของระบบ Ψ (t ) ณ เวลา t ใดๆ จะมีลกั ษณะเปนอยางไรนั้น ก็สามารถทํา ไดโดย การนํา time evolution operator Uˆ (t ) = e
−
ˆ iHt
เขาไปกระทํากับ
Ψ (t = 0)
นั่นเอง
Ψ (t ) = Uˆ (t ) Ψ (t = 0) = e
เนื่องจากสมการ (4.17) บอกวา Hˆ
−
ˆ iHt
( c+
±Z = ±
+ Z + c− − Z
ω0 2
±Z
)
_________________ สมการ (4.21)
ดังนั้น
Ψ (t ) = c+ e−iω0 t / 2 + Z + c− e+iω0 t / 2 − Z
_________________ สมการ (4.22)
สมการ (4.22) ในขางตนนั้น แสดงใหเห็นวา ระบบที่เรากําลังศึกษาอยูนี้ มีความเปลี่ยนแปลง สัมพันธกับเวลาอยางไร ซึ่งการเปลี่ยนแปลงดังกลาวนี้ ขึ้นอยูกับ 1) สถานะเริ่มตน ณ เวลา t=0 หรือ c±
และ 2) ขึ้นอยูกับ Larmor frequency ω0 = geB0 นัน่ เอง
Dr. Teepanis Chachiyo
2m
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-10
ภาพ 4.1 สมมุติวาเราเตรียม สถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 ใหเปน spin ในแนวแกน +x และ เราตองการทราบวา ในเวลาใดๆ y ณ เวลา t = 0 เตรียม state ของระบบ state ของระบบจะเปลี่ยนแปลงไป ใหวางตัวตามแนวแกน x อยางไร? สนามแมเหล็ก B
z
Ψ (t = 0) = X
x
เพื่อใหเห็นตัวอยางที่ชัดเจน เราลองมาสมมุติวาสถานะของระบบ ณ เวลา t = 0 คือ spin ในแนวแกน +x ดังภาพ 4.1 Ψ (t = 0) = + X
_________________ สมการ (4.23)
1 1 +Z + −Z 2 2
=
เมื่อเปรียบเทียบสถานะของระบบที่ spin อยูในแนวแกน x ตามสมการ (4.23) กับสถานะที่เขียนใหอยู ในรูปทั่วไป ดังสมการ (4.20) จะไดวา สัมประสิทธิ์ c+ =
1 2
c− =
1 2
และเมื่อแทนคาสัมประสิทธิ์ดังกลาว เขาไปในสมการ (4.22) จะไดวา สถานะของระบบมีการ เปลี่ยนแปลงตามเวลาดังตอไปนี้ Ψ (t ) =
e−iω0 t / 2 2
+Z +
e+iω0 t / 2 2
−Z
_________________ สมการ (4.24)
state ดังที่เขียนในสมการ (4.24) ทําใหเราสามารถคํานวณหา probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ + Z และ − Z ซึ่งก็คือ
+ Z Ψ (t )
Dr. Teepanis Chachiyo
2
=
e−iω0 t / 2 2
2
=
1 2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
__________________________ (4.25)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
− Z Ψ (t )
4 Time Evolution 2
=
e+iω0 t / 2 2
2
=
1 2
4-11
__________________________ (4.26)
แบบฝกหัด 4.4 จงคํานวณหา expectation value ของ Sˆz ของ state ในสมการ (4.24) แลววิจารณ วา คาดังกลาว เปลี่ยนแปลงกับเวลาหรือไม อยางไร จากสมการ (4.25) และ สมการ (4.26) จะเห็นวา ถาเราเตรียมระบบใหอยูในสถานะที่มี spin เปน + X ตั้งแตแรก จะมี probability ที่เราจะพบวา spin ของมันอยูตามแนวแกน +z หรือ -z เทากัน เสมอ และไมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ในทางตรงกันขาม ถาเราตั้งคําถามวา ความนาจะเปนทีจ่ ะพบ spin ของระบบอยูในสถานะ + X ณ เวลาตางๆ มีคาเปนเทาใด ? เราสามารถตอบคําถามไดดวยการเริ่มคํานวณ probability amplitude ⎡ 1 1 + X Ψ (t ) = ⎢ +Z + −Z 2 ⎣ 2
⎤ ⎡ e−iω0 t / 2 e+iω0 t / 2 + + −Z Z ⎢ ⎥ 2 2 ⎦ ⎢⎣
e−iω0 t / 2 e+iω0 t / 2 = + 2 2 ⎛ω t ⎞ = cos ⎜ 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠
________ (4.27)
และเราจะไดวา probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ + X Ψ (t )
⎤ ⎥ ⎥⎦
2
+X
ก็คือ
⎛ω t ⎞ = cos 2 ⎜ 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠
______________________ (4.28)
จากสมการ (4.28) จะเห็นวา ณ เวลา t = 0 ความนาจะเปนมีคา เปน 1 ซึ่งก็สอดคลองกับ ขอกําหนดเริ่มตนที่เราเตรียมระบบใหอยูในสถานะ + X ตั้งแตเริ่มตน แตเมื่อเวลาผานไป จะ สังเกตวา probability ดังกลาว มีการ oscillate กลับไปกลับมา ระหวางคา 1 และ 0 เราสามารถตีความ และ ทําความเขาใจกับการ oscillate ของ probability ดังกลาว ถาเรามองวา spin ของระบบที่แตเดิม เตรียมใหอยูในสถานะ + X ตั้งแตเริ่มตน มีการหมุนรอบแกน z ดังภาพ 4.2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
z
4 Time Evolution
4-12
ภาพ 4.2 สนามแมเหล็กทําใหเกิดการ precess ของ spin รอบแกน z
สนามแมเหล็ก B
y สนามแมเหล็กทําใหเกิดการหมุนของ spin
x
แบบฝกหัด 4.5 จงพิสูจนวา เมื่อเราทําการวัด spin ตามแนวแกน x คาที่วัดไดโดยเฉลี่ย ก็คือ 2
cos (ω0t )
บอกใบ - คํานวณ expectation value ของ operator Sˆx แบบฝกหัด 4.6 จงคํานวณความนาจะเปนที่จะพบระบบอยูในสถานะ
−X
ณ เวลาใดๆ
ใน Section 4.2 ที่เราไดกลาวถึง precession ของ spin ที่อยูภายใตอิทธิพลของสนามแมเหล็ก B เรา เริ่มดวยการวิเคราะหถึง Hamiltonian ของระบบ และโยงความสัมพันธไปยัง time evolution operator เพื่อเขียนสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆไดวา Ψ (t ) = c+ e−iω0 t / 2 + Z + c− e+iω0 t / 2 − Z
เมื่อ สัมประสิทธิ์ c+ , c− ขึ้นอยูกับคุณสมบัติเฉพาะของระบบทีเ่ รากําลังศึกษา เราพบวา ผลของ สนามแมเหล็กก็คือการทําให spin มีการ precess รอบแกนที่ขนานกับ B โดยที่ความถี่เชิงมุมของ การหมุน มีคาเทากับ ω0 = geB0 ซึ่งเรียกวา Larmor frequency นั่นเอง 2m
4.3 การหมุน 360 องศาของ Neutron Neutron เปนอนุภาคมูลฐานอีกชนิดหนึ่งทีม่ ี spin s = 1 จากที่ไดกลาวไปแลวในบทที่ 2 ในหัวขอ 2
ที่เกี่ยวของกับ rotational operator เมื่อเราทําการหมุน spin ของอนุภาคที่มี spin s = 1 เปนมุม 360 2
องศา จะทําให state กลายเปนลบของตัวมันเอง
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution Rˆ (2π k ) Ψ = − Ψ
4-13
______________________ (4.29)
สมบัติขอนี้นี่เอง เปนหนึ่งในพฤติกรรมในเชิง quantum mechanics ที่แตกตางอยางสิ้นเชิงจาก classical mechanics ดวยเหตุที่วา วัตถุตางๆที่เราพบไดทวั่ ไปในชีวิตประจําวัน เมื่อเราทําการหมุน ดวยมุม 2π ยอมจะกลับมาอยูใ นรูปแบบเดิม กอนที่จะมีการหมุน ในป 1975 S.A. Werner, R. Colella, A.W. Overhauser, และ C.F. Eagen ไดทําการทดลองเพื่อพิสูจนพฤติกรรมที่แปลก ประหลาดของ quantum mechanics ดังแสดงในสมการ (4.29) อันนี้ ภาพ 4.3 แสดง diagram การทดลองของ Werner et. al. ที่ประกอบดวย neutron beam พุงเขากระทบกับแผน silicon (A) ปรากฏการณ diffraction ทําให neutron beam แยกออกเปนสองเสนทาง [Credit: ภาพจาก Werner et. al. Phys. Rev. Lett. 35, 1053 (1975)] ดังแสดงในภาพ 4.3 การทดลองของ Werner et. al. ประกอบดวย neutron beam พุงเขากระทบกับ แผน silicon (A) ปรากฏการณ diffraction ทําให neutron beam แยกออกเปนสองเสนทาง AB และ AC ในเสนทาง AC มีสนามแมเหล็กขนาดความเขม B อยูภายในชวงระยะทาง ซึ่งจาก Section 4.2 เราทราบวามีผลทําให spin ของ neutron เกิดการหมุน โดยที่มุมของการหมุนสามารถควบคุมไดจาก ความเขมของสนามแมเหล็ก และ ระยะทาง ที่ neutron เคลื่อนที่อยูภายใตอิทธิพลของ สนามแมเหล็ก Werner และผูร วมงานพบวาถาเขาทําการปรับความเขมของสนามแมเหล็กใหสอดคลองกับการหมุน 360 องศา neutron beam AB และ AC จะหักลางกันพอดี และทําใหเกิดเปนจุดต่ําสุดของกราฟใน ภาพ 4.4 ซึ่งก็หมายความวา rotational operator ที่หมุน spin s = 1 มีผลทําใหสถานะของอนุภาค 2
neutron ที่ผานเสนทาง AC มีเฟสตรงกันขามกับสถานะของอนุภาค neutron ที่ผานเสนทาง และเกิดการหักลางกันดังกลาว
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
AB
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-14
ภาพ 4.4 ผลการทดลองของ Werner at. el. แสดงปริมาณของ neutron ที่ detector นับได ภายหลังจากมีการแทรกสอด เกิดขึ้น จะเห็นวาที่ความเขมของสนามประมาณ 62 Gauss มีการหักลางกันของ neutron beam [Credit: ภาพจาก Werner et. al. Phys. Rev. Lett. 35, 1053 (1975)]
4.4 Magnetic Resonance ใน Section 4.2 เราไดศึกษาผลของสนามแมเหล็ก B ตอการ precess ของ spin s = 1 particle ใน 2
กรณีดังกลาว ถาเรากําหนดใหทิศทางของสนามแมเหล็กใหขนานกับแกน z หรือ B zˆ แลว ความ นาจะเปนที่จะพบอนุภาคอยูใ นสภานะ + Z หรือ − Z จะไมเปลีย่ นแปลงกับเวลา หรืออีกนัยหนึง่ เราอาจจะมองภาพโดยอนุโลมไดวา สนามแมเหล็ก B ทําหนาที่เหมือนหมุดที่ พยายามตรึง spin ของอนุภาคใหเรียงตัวตามแนวแกน z เพราะฉะนั้นถาเราเตรียม spin ของอนุภาค ใหอยูตามแนวแกน z เมื่อเวลา t = 0 หรือ Ψ (t = 0) = + Z สนามแมเหล็ก B จะตรึงให ระบบอยูในสถานะ Ψ (t ) = + Z ไปโดยตลอด หรือ ถา Ψ (t = 0) = − Z สนามแมเหล็ก ก็จะตรึงใหระบบอยูในสถานะ Ψ (t ) = − Z ไปโดยตลอดเชนกัน ในกรณีที่ spin ของอนุภาคไมใชทั้ง
+Z
หรือ
superposition ของทั้งสอง state ยกตัวอยางเชน
−Z
เสียเลยทีเดียว หากแตเปนผลบวก หรือ
+X =
1 1 +Z + −Z 2 2
ในกรณีเชนนี้ spin
จะเกิดการ precess ดวยความถี่ ω0 = geB0 2m
เราอาจจะออกแบบการวางสนามแมเหล็กใหซับซอนมากยิ่งขึ้น เพื่อทีจ่ ะให spin ของระบบสามารถที่ จะเปลี่ยนแปลงจาก + Z ไปยัง − Z ไดเมื่อเวลาผานไป ดังภาพ 4.5
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
z
4 Time Evolution
ภาพ 4.5 แสดงสนามแมเหล็กที่อยูใน ระบบซึ่งประกอบดวยสวนหลัก และ สวนรอง
สนามแมเหล็ก หลัก
B0 = B0k
S
y สนามแมเหล็กรอง ที่ oscillate ตามแนวแกน x
x
4-15
B1 = B1 cos(ωt )i
สนามแมเหล็กรองมีลักษณะเปน oscillation ที่สามารถปรับความถี่ ω ได ตามตองการ สนามแมเหล็กสุทธิมีคาเทากับ B = B1 cos(ωt )i + B0k
สนามแมเหล็กที่อยูในระบบประกอบดวยสวนหลัก และ สวนรอง สนามแมเหล็กหลักชี้ในทิศแกน z แตสนามแมเหล็กรองอยูในแนวแกน x นอกจากนี้ สนามแมเหล็กรองยังมีลักษณะเปน oscillation ที่สามารถปรับความถี่ ω ไดตามตองการ สงผลใหสนามแมเหล็กสุทธิมีคาเทากับ B = B1 cos(ω t )i + B0k
______________________ (4.30)
ในทําเดียวกันกับสมการ (4.16) จะไดวา พลังงานของระบบคือ ge ˆ Hˆ = ( S x + Sˆ y + Sˆ z ) ⋅ ( B1 cos(ωt)i + B0k ) 2m geB0 ˆ geB1 = Sz cos(ωt) Sˆ x + 2m 2m Hˆ = ω 1 cos(ωt) Sˆ x + ω0 Sˆ z
______________________ (4.31)
เมื่อเรานิยาม ω0 ≡
geB0 2m
และ ω 1≡ geB1 ______________________ (4.32) 2m
ขั้นตอนตอไปในการวิเคราะหเพื่อตองการทราบการเปลี่ยนแปลงของ state กับเวลา ก็คือการใช สมการ Schrödinger ดังในสมการ (4.13) เราเริ่มดวยการเขียน state ของระบบใหอยูใ นรูป superposition ของ + Z และ − Z Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
Ψ (t ) = a (t ) + Z + b(t ) − Z
4-16
______________________ (4.33)
ในกรณีนี้ สัมประสิทธิ์ a(t ) และ b(t ) เปนคาที่เปลี่ยนแปลงกับเวลา เพราะวา states Ψ นั้น เปลี่ยนแปลงกับเวลาดวยเชนกัน สมการ (4.33) ที่เขียนใหอยูในรูปของ ket สามารถเขียนใหอยูใ น รูปของ vector ดังที่ไดกลาวใน Section 2.3 ไดวา ⎡ a (t ) ⎤ Ψ (t ) ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ± Z basis ⎣ b(t ) ⎥⎦
______________________ (4.34)
เพื่อใหงายตอการวิเคราะหทางคณิตศาสตรในลําดับตอไป เราจะสมมุติวา ระบบ ณ เวลา t = 0 เปน สถานะที่ spin เปน + Z หรือ ในรูปของ vector จะไดวา ⎡1 ⎤ Ψ (0) ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥ ± Z basis ⎣0 ⎦
นอกจากนี้ โดยใช basis ของ ในรูปของ matrix ไดวา
±Z
______________________ (4.35)
เราสามารถเขียน Hamiltonian operator ในสมการ (4.31) ใหอยู
⎡ + Z ω1Sˆ x cos(ωt ) + ω0 Sˆ z + Z Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ± Z basis ⎢ − Z ω1Sˆ x cos(ωt ) + ω0 Sˆ z + Z ⎣
+ Z ω1Sˆ x cos(ωt ) + ω0 Sˆ z − Z ⎤ ⎥ − Z ω1Sˆ x cos(ωt ) + ω0 Sˆ z − Z ⎥⎦
ดังนั้น H =
ω1 cos(ω t ) ⎤ ⎡ ω0 ⎢ω cos(ωt ) −ω0 ⎥⎦ 2⎣ 1
______________________ (4.36)
จาก Hamiltonian ในรูปของ matrix ดังในสมการ (4.36) และ จาก state ในรูปของ vector ดังสมการ (4.34) เราสามารถเขียน Schrödinger equation จากสมการ (4.13) ไดวา ⎡d ⎤ ⎢ dt a(t ) ⎥ ω1 cos(ω t ) ⎤ ⎡ a(t ) ⎤ ⎡ ω0 =i ⎢ ⎥ ⎢ −ω0 ⎥⎦ ⎢⎣ b(t ) ⎥⎦ 2 ⎣ω1 cos(ω t ) ⎢ d b(t ) ⎥ ⎢⎣ dt ⎥⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
______________________ (4.37)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-17
สมการขางตนเปน differential equation ซึ่งมี initial condition ดังในสมการ (4.35) เพื่อใหงายตอ การหาผลเฉลยทางคณิตศาสตร เราจะวิเคราะหเฉพาะในกรณีของ resonance กลาวคือ กรณีที่ ω = ω0 ซึ่งมีผลเฉลยคือ ωt ⎡ + cos( 1 )e−iω0t ⎢ a t ( ) ⎡ ⎤ 4 ⎢ b(t ) ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −i sin( ω1t )e+iω0t ⎢⎣ 4
2⎤
⎥ ⎥ 2⎥ ⎥⎦
______________________ (4.38)
แบบฝกหัด 4.7 จงพิสูจนวา a(t ) และ b(t ) ในสมการ (4.38) ทําใหสมการ (4.37) เปนจริง (โดยประมาณ) บอกใบ: cos (ω0t ) e+iω0 t
=
1 + e+2iω0 t 1 ≅ 2 2
ถา ω0
ω1
ในที่สุดเราก็ได state ของระบบ ณ เวลาใดๆ ซึ่งอาจจะเปลี่ยนการเขียนในรูปแบบของ vector ใน สมการ (4.38) ใหเปนรูปของ ket ไดวา ωt ωt Ψ (t ) = cos( 1 )e−iω0t 2 + Z − i sin( 1 )e+iω0t 2 − Z 4 4
________________ (4.39)
ทั้งนี้เราจะตองไมลืมวา สถานะของระบบในสมการ (4.39) เปนผลเฉลยเฉพาะกรณีทเี่ กิด resonance ( ω = ω0 ) และ สถานะเริ่มตนของระบบอยูที่ Ψ (t = 0) = + Z มาถึงขั้นนี้ เราสามารถวิเคราะหหาความนาจะเปนทีจ่ ะพบระบบอยูในสถานะ คํานวณไดจาก + Z Ψ (t )
2
ωt = cos2 ( 1 ) 4
และในทํานองเดียวกัน probability ที่จะพบระบบอยูในสถานะ − Z Ψ (t )
Dr. Teepanis Chachiyo
2
ซึ่งสามารถ
________________ (4.40)
−Z
ωt = sin 2 ( 1 ) 4
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
+Z
________________ (4.41)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-18
การเปลี่ยนแปลงของสถานะดังกลาว สามารถทําความเขาใจไดงายๆจากภาพ 4.6
ความนาจะเปน
1
0.8
+ Z Ψ (t )
2
− Z Ψ (t )
2
= cos 2 (
ω1t
0.6
4
)
0.4 0.2 0
= sin 2 (
ω1t
เวลา
4
)
ภาพ 4.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงของระบบ ที่มีการสั่นไปมาขึ้นกับเวลาของ spin จาก + Z ⇔ −Z
จากภาพ 4.6 แสดงการเปลี่ยนแปลงของ spin ที่มีการสั่นไปมาเมื่อเวลาผานไป จากกราฟจะสังเกต วาเมื่อเวลา t = 0 probability ที่จะพบอนุภาคในสถานะ + Z มีคาเปน 1 หรือ 100% ที่เปนเชนนี้ก็ สอดคลองกับเงื่อนไปเริ่มตนที่เรากําหนดให อนุภาคอยูในสถานะ + Z เมื่อเวลา t = 0 เมื่อเวลาผานไปเพียงเล็กนอย สนามแมเหล็กในทิศ B1 cos(ωt )i มีผลทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงของ ระบบ จาก + Z ⇒ − Z ซึ่งจะสังเกตไดจาก probability ที่อนุภาคจะคงอยู ณ สถานะ + Z มีคา ลดลง และเปนศูนยในที่สุดเมื่อเวลา t = 2π ซึ่ง ณ เวลาดังกลาวนี้เอง ระบบเปลี่ยนมาเปนสถานะ ω1
−Z
โดยสิ้นเชิง
ในทางปฏิบัติ สนามแมเหล็ก B1 = B1 cos(ωt )i สามารถสรางไดโดยการสงคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ สามารถปรับความถี่ได เขาไปในระบบ ถาตองการใหเกิดการ resonance จําเปนจะตองให ω = ω0 ≡
geB0 2m
ซึ่งในกรณีของอนุภาค proton จะมีความถีอ่ ยูประมาณ 42.5 MHz ตอความเขมของ
สนามแมเหล็กหลัก 1 Tesla ในกรณีที่ความถี่ของสนามแมเหล็กรองมีคาตางออกไปจากความถี่ resonance กลาวคือ ω ≠ ω0 ความนาจะเปนที่จะพบระบบอยูในสถานะ − Z ณ เวลาใดๆ ดังในสมการ (4.41) มีความซับซอน มากขึ้น probability ในกรณีดังกลาวคนพบเปนครั้งแรกโดย I.I. Rabi Phys. Rev. 1939.
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา − Z Ψ (t )
2
=
4 Time Evolution
ω12 / 4
(ω0 − ω ) 2 + ω12 / 4
sin 2 (
(ω0 − ω ) 2 + ω12 / 4 2
4-19
t)
___________ (4.42)
จะสังเกตเห็นวา probability ดังในสมการ (4.42) มีการ oscillate ดังในสมการ (4.41) แตทวา amplitude ของการสั่นเปนฟงชันกของ ω ดังแสดงในภาพ 4.7
ω12 / 4 (ω 0 − ω ) 2 + ω12 / 4
1
0.8
Rabi Formula (I.I. Rabi 1939) 0.6 0.4 0.2 0
ω
ω0 ภาพ 4.7 แสดงความนาจะเปนที่ระบบจะมีการเปลี่ยนสถานะจาก + Z ⇒ − Z ภายหลังจากเวลา ผานไปครบหนึ่งรอบ จะสังเกตเห็นวา probability ดังกลาวจะมีคามากที่สุดเมื่อ ω = ω0 และจะ ลดลงตามลําดับเมื่อความถี่มีการเบี่ยงเบนออกจาก resonance frequency
เนื้อหาของ Magnetic Resonance ดังที่ไดกลาวใน Section 4.4 นี้ มี application ที่สําคัญยิ่งในทาง การแพทย คือ MRI (Magnetic Resonance Imaging) หลักการทํางานและรายละเอียดของ MRI อยู นอกเหนือจากขอบเขตของหนังสือเลมนี้ อยางไรก็ตาม หลักการทํางานสังเขปก็คือการออกแบบ สนามแมเหล็กหลัก B0 ( x, y) ใหเปนฟงชันกที่ขึ้นกับตําแหนง ดังนั้นเมื่อระบบมีการเปลี่ยน สถานะของ spin ก็จะปลอย (emit) คลื่นแมเหล็กไฟฟาออกมาที่ความถี่ตา งกันเล็กนอย ขึ้นอยูกับ ตําแหนง ( x, y) และเมื่อเราทําการสรางแผนที่แสดงความสัมพันธระหวางความเขมของคลื่น แมเหล็กไฟฟาที่ปลอยออกมา กับตําแหนงที่เปนแหลงกําเนิดของคลื่นนั้นๆ ก็จะเกิดเปนภาพขึ้น
4.5 Ammonia Maser ที่ผานมาเราไดนําระเบียบวิธที าง quantum mechanics ที่เขียนโดยใชภาษาของ bra-ket และ matrix เขามาชวยในการแกปญหา ซึง่ แตกตางจากสิ่งที่นักศึกษาไดเรียนรูใน quantum mechanics เบื้องตน ที่ มุงเนนในเรื่องของ wave function เปนหลัก
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-20
การวิเคราะห quantum mechanics โดยใช matrix มีขอดีคือทําใหเราสามารถวิเคราะหระบบที่มีความ ไมตอเนื่อง ยกตัวอยางเชนระบบที่มี basis state อยูสอง state ดังที่ไดแสดงในตัวอยางในเรื่อง spin ของอิเล็กตรอน ซึ่งมี basis state คือ + Z และ − Z อยางไรก็ตาม ระบบที่มี basis state อยูสองสถานะมิไดจํากัดอยูแ ตเพียง spin ของอนุภาคมูลฐานเพียง เทานั้น ดังจะไดยกตัวอยางในเรื่องของ ammonia maser ซึ่งเกี่ยวของกับโครงสรางของโมเลกุล NH3 หรือ ammonia ภาพ 4.8 แสดงโครงสรางทางเคมี ของโมเลกุล ammonia อะตอม ของ hydrogen ทั้งสามวางตัวอยูใน ระนาบเปนลักษณะสามเหลีย่ มดาน เทา
โมเลกุล Ammonia NH3 N H
H H
1
ในขณะที่อะตอมของ nitrogen สามารถที่อยู ณ ตําแหนงดานบน หรือ ดานลางของฐาน 2
โมเลกุลของ ammonia ประกอบดวย nitrogen อะตอม ซึ่งมีพันธะเคมีกบั hydrogen อะตอมอีก 3 อะตอม โครงสรางของ NH3 จะปรากฏวามีอะตอมของ hydrogen ทั้งสามวางตัวอยูในระนาบเปน ลักษณะสามเหลี่ยมดานเทา ดังแสดงในภาพ 4.8 ในขณะที่อะตอมของ nitrogen สามารถที่อยู ณ ตําแหนงดานบน หรือ ดานลางของฐาน เพื่อความสะดวกในการวิเคราะห เราเรียกสถานะของระบบ ที่มีตําแหนงของ nitrogen อะตอมตางกันนี้วา 1 = สถานะที่ nitrogen atom อยูดา นบน 2 = สถานะที่ nitrogen atom อยูดา นลาง
เพื่อที่จะวิเคราะหหา eigen energy และ eigenstate ของระบบที่มีสถานะที่ไมตอเนื่องดังกลาว เราเริ่ม ดวยการเขียน Hamiltonian ใหอยูในรูปของ matrix
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
⎡ 1 Hˆ 1 →⎢ Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 , 2 basis ⎢ 2 Hˆ 1 ⎣
1 Hˆ 2 ⎤ ⎥ 2 Hˆ 2 ⎥⎦
4-21
_________________________ (4.43)
เราเริ่มดวยการหา matrix element 1 Hˆ 1 และ 2 Hˆ 2 ในสมการ (4.43) กอน ดวยการสังเกตวา เทอม 1 Hˆ 1 สามารถตีความไดวาเปน expectation value ของ พลังงานเมื่อกําหนดใหระบบอยูใน สถานะ 1 เนื่องจากระบบมีความสมมาตร เราบอกไดวา state กําหนดใหมีคาเทากับ E0 เพราะฉะนัน้
1
และ state
1 Hˆ 1 = 2 Hˆ 2 = E0
2
ควรจะมีพลังงานเทากัน ซึ่ง
_________________________ (4.44)
สําหรับ เทอม 1 Hˆ 2 และ 2 Hˆ 1 ในสมการ (4.43) นั้น เราสามารถตีความได โดยใช time evolution operator ในสมการ (4.3) เขาชวย กลาวคือ เราสามารถเขียน Hamiltonian ใหอยูใ นรูป infinitesimal time evolution operator ไดวา i i Hˆ = − + Uˆ (dt ) dt dt
_________________________ (4.45)
เพราะฉะนั้น i i 1 Hˆ 2 = 1 − + Uˆ (dt ) 2 dt dt i i =− 12 + 1 Uˆ (dt ) 2 dt dt
ถาเรากําหนดให basis state
1
และ
2
_________________________ (4.46)
นั้น orthogonal กลาวคือ
1 Hˆ 2 ∝ 1 Uˆ (dt ) 2
1 2 =0
จะไดวา
_________________________ (4.47)
ทางขวามือของสมการ (4.47) มีความหมายวา ถาเราเตรียมระบบใหอยูใน state 2 และเมื่อเวลาผาน ไปเปนเวลา dt (นั่นคือความหมายของ time evolution operator) ถามวา probability amplitude ที่ ระบบจะเปลี่ยนสถานะมาอยูใน state 1 มีคาเปนเทาใด
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-22
กลาวโดยสรุป เทอม 1 Hˆ 2 มีความสัมพันธกับความนาจะเปนที่ระบบจะเปลี่ยนสถานะจาก 2 ⇒ 1 เมื่อเวลาผานไป แตเนื่องจากเรายังไมทราบรายละเอียดที่ชัดเจนในทางคณิตศาสตรที่ เกี่ยวของกับโมเลกุล ammonia ในขั้นนี้ จึงทําไดแตเพียงนิยามให 1 Hˆ 2 มีคาเปนคาคงที่ เฉพาะตัวอันหนึ่ง เรียกวา 1 Hˆ 2 = − A เพราะฉะนั้น Hamiltonian matrix ดังในสมการ (4.43) มีคาเปน ⎡ E − A⎤ Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ 0 1 , 2 basis ⎣ − A E0 ⎥⎦
_________________________ (4.48)
เพื่อที่จะหา eigen energy หรือ eigenvalue ของ Hamiltonian ดังกลาว เราเขียนสมการใหอยูใ นรูปของ eigen equation ดังตอไปนี้ Hˆ Ψ = E Ψ
_________________________ (4.49)
⎡ E0 − A⎤ ⎢ − A E ⎥ c = Ec 0⎦ ⎣
_________________________ (4.50)
หรือ ในรูปของ matrix -vector
สมการ eigen ดังที่แสดงในสมการ (4.50) ซึ่งเปน matrix ขนาด 2x2 จะปรากฏวามีผลเฉลยที่เรียกวา eigenvector c และ eigenvalue E อยูทั้งสิ้น 2 ผลเฉลยดวยกัน ดังที่ไดทบทวนมาแลวใน Section 2.3.1 ของบทที่ 2 คําตอบซึ่งเปน eigenvector และ eigenvalue ของสมการ (4.50) ก็คือ ⎡ ⎢+ c1 = ⎢ ⎢ ⎢+ ⎣
1 ⎤ 2 ⎥⎥ , EI = E0 − A 1 ⎥ 2 ⎥⎦
และ
⎡ ⎢+ c2 = ⎢ ⎢ ⎢− ⎣
1 ⎤ 2 ⎥⎥ , EII = E0 + A 1 ⎥ 2 ⎥⎦
___________ (4.51)
เนื่องจาก matrix ที่เรากําลังหาผลเฉลยของสมการ eigen อยูในขณะนี้ เปน Hamiltonian matrix เรา เรียก E1, E2 วาเปน eigen energy และเรียก c1, c2 วาเปน eigenstate Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-23
และนี่กเ็ ปนครัง้ แรกที่เราไดมีโอกาสใช matrix mechanics ในการหาคา eigenvector และ eigenvalue ของ Hamiltonian operator ซึ่งเปนโอกาสที่ดีที่เราจะไดทําความเขาใจใหลึกซึ้งในลําดับตอไป
Eigenstate และ Eigenvalue ของ Hamiltonian เชิงลึก ในตอนตนของเนื้อหา เราไดกลาวถึง time evolution operator Uˆ ซึ่งเปน operator ที่ทําหนาที่ในการ กระทํากับ state ใดๆ และทําให state นั้นๆเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ทั้งนี้ ถาพิจารณาในชวงเวลา t ที่ผานไป เราจะสามารถเขียน time evolution operator Uˆ ใหอยูในรูปแบบทางคณิตศาสตรที่สัมพันธ กับ Hamiltonian operator Hˆ ดังสมการ (4.4) ซึ่งก็คือ Uˆ (t ) = e
−
iHˆ t
________________________ สมการ (4.52)
เพราะฉะนั้น ถาเรากําหนดใหระบบที่อยูใ นสถานะ ε เปน eigenstate ของ Hamiltonian operator Hˆ ผลที่ตามมาก็คือ สถานะ ε จะเปนสถานะที่เสถียร ดวยเหตุที่ time evolution operator Uˆ ไม สามารถทําให สถานะ ε เปลี่ยนแปลงไปกับเวลาไดเลย เพื่อที่จะใหนักศึกษาเขาใจถึงคุณสมบัติในแงนี้ เราเริ่มดวยการนิยาม Hˆ ε = E ε
________________________ สมการ (4.53)
และเมื่อนํา operator ในสมการ (4.52) เขามากระทํากับ state ⎧ − iHˆ t ⎫ ⎪ ⎪ Uˆ (t ) ε = ⎨e ⎬ε ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
ε
จะได
________________________ สมการ (4.54)
สังเกตวา operator ทางขวามือของสมการ (4.54) นั้น เขียนอยูในลักษณะของ exponential ฟงชันก ซึ่ง ยากตอการทําความเขาใจในการที่จะนําเอา exponential ฟงชันกดังกลาวเขาไปกระทํากับสถานะ ε เพราะฉะนั้น เราสามารถเขียน operator ทางขวามือเสียใหมใหอยูในรูปของ polynomial โดยใช Taylor expansion
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
⎧ ⎛ ˆ ⎞ ⎛ ˆ ⎞ 2 ⎛ ˆ ⎞3 ⎫ iH t iH t iH t ⎪ ⎪ Uˆ (t ) ε = ⎨1 − ⎜ + − + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ε ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎝ ⎪⎭ 2 3 ⎧⎪ ⎛ i t ⎞ ⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ = ⎨1 − ⎜ ⎟ Hˆ + ⎜ ⎟ Hˆ 2 − ⎜ ⎟ Hˆ 3 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎪ ⎝ ⎠
⎫⎪ ⎬ε ⎭⎪
4-24
____________ สมการ (4.55)
จากนั้นใชสมบัติการกระจายของ operator เพื่อกระจาย polynomial แตละเทอม ใหตางก็เขาไป กระทํากับ state ε 2
3
⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ Uˆ (t ) ε = 1 ε − ⎜ ⎟ Hˆ ε + ⎜ ⎟ Hˆ 2 ε − ⎜ ⎟ Hˆ 3 ε + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
อาศัยสมบัติความเปน eigenstate ของ
Hˆ
_____ สมการ (4.56)
ดังในสมการ (4.53) ทําใหสมการขางตนเปลี่ยนรูปเปน 2
3
⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ Uˆ (t ) ε = 1 ε − ⎜ ⎟ E ε + ⎜ ⎟ E 2 ε − ⎜ ⎟ E 3 ε + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
_____ สมการ (4.57)
จะสังเกตไดวา ทุกๆเทอมทางขวามือของสมการ (4.57) นัน้ ลวนแลวแตอยูในรูปของ state ε คูณ อยูกับตัวเลขธรรมดา เพราะฉะนั้นเราสามารถแยกตัวประกอบเอาตัวเลขเหลานี้เขามารวมกันเปน ผลบวก ซึ่งจะไดวา 2 3 ⎧⎪ ⎛ i t ⎞ ⎛ it ⎞ ⎛ it ⎞ Uˆ (t ) ε = ⎨1 − ⎜ ⎟ E + ⎜ ⎟ E 2 − ⎜ ⎟ E 3 + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎪ ⎝ ⎠
⎧⎪ ⎛ iEt ⎞ ⎛ iEt ⎞2 ⎛ iEt ⎞3 = ⎨1 − ⎜ ⎟+⎜ ⎟ −⎜ ⎟ + ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ ⎝
⎫⎪ ⎬ε ⎪⎭
⎫⎪ ⎬ε ⎭⎪
_____ สมการ (4.58)
เทอมในวงเล็บของสมการขางตน สามารถลดรูปใหอยูใ นรูปของ exponential ฟงชันกไดวา Uˆ (t ) ε = e
−
iEt
ε
_________________ สมการ (4.59)
สมการ (4.59) แสดงใหเห็นชัดเจนวา เมื่อ time evolution operator Uˆ (t ) กระทํากับสถานะ ε ผลลัพธที่ไดก็ยังเปนสถานะ เชนเดิม ε (คูณดวยคาคงที่ ซึง่ ไมมีนัยยะอะไรเปนสําคัญ) หรือกลาว Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-25
อีกนัยหนึ่ง สถานะ ε ซึ่งเปน eigenstate ของ Hamiltonian นั้น เปนสถานะที่เสถียร และ ไม เปลี่ยนแปลงกับเวลานั่นเอง ในวิชา quantum mechanics เบื้องตน เราใชเวลาสวนใหญในการแกสมการ Schrödinger เพื่อหา eigenstate ของระบบ ยกตัวอยางเชน ระบบของ hydrogen อะตอม ซึ่งปรากฏวามี eigenstate ที่สื่อ ใหเห็นถึงการกระจายตัวของกลุมหมอกอิเล็กตรอนเปนรูป ทรงกลม (s-orbital) หรือ รูป dumbbell (px, py, px orbital) ที่เปนเชนนี้มิไดหมายความวา อิเล็กตรอนไมสามารถที่จะกระจายตัวเปนกลุม หมอกรูปทรงอื่นๆเชน รูปหมวกกันน็อก หรือ รูปมะมวงได แทที่จริงแลวกลุมหมอกของอิเล็กตรอนภายในอะตอมของ hydrogen จะปรากฏอยูใ นรูปใดก็ได เพราะไมมกี ฎขอใดของ quantum mechanics ที่จะจํากัดสถานะของระบบใหอยูใ นรูปแบบใดแบบ หนึ่ง แตที่เราใหความสําคัญเปนพิเศษกับสถานะของระบบที่เปน eigenstate ก็เพราะวา มันเปนสถานะที่ เสถียร ดังนั้นจึงเปนสถานะที่มีโอกาสที่จะพบบอยที่สุดในธรรมชาตินนั่ เอง วกกลับมาที่ eigenstate ของโมเลกุล ammonia จากสมการ (4.51) เราพบวา ammonia มี eigenstate อยูสองสถานะดวยกันคือ I =
1 1 1 + 2 2 2
___________________ (4.60)
II =
1 1 1 − 2 2 2
___________________ (4.61)
และ
เพื่อความสะดวก เราเรียก eigenstate ทั้งสองนี้วา I และ II ตามลําดับ eigenstate ทั้งสองดังใน สมการ (4.60) และ (4.61) แสดงใหเห็นวา สถานะที่อะตอมของ nitrogen อยูดานบน ( 1 ) นั้นไมได เปนสถานะที่เสถียร ที่ไมเสถียรก็เพราะดวยเหตุผลทางคณิตศาสตรที่วา 1 มิไดเปน eigenstate ของ Hamiltonian matrix และดวยเหตุผลทางฟสิกสที่วา 1 มีโอกาสที่จะเปลี่ยนไปเปน 2 ยกตัวอยางเชน อะตอมของ nitrogen มีโอกาสที่จะเคลื่อนที่จะดานบนลงมาขางลางนั่นเอง สถานะ I และ II นั้น ตางก็เปน eigenstate ของ Hˆ ทําใหมันไมเปลี่ยนแปลงกับเวลา สถานะทั้งสองดังกลาว เปนสถานะที่เราไมอาจจะตัดสินใจไดวา nitrogen อะตอม อยูดานบนหรือ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-26
ดานลาง หรือเรียกอีกอยางหนึ่งวาเปนสถานะผสม ซึ่งในทางคณิตศาสตรเราใชคําวา superposition ของ state นอกจากนี้ สถานะ I และ II มีพลังงานเทากับ E0 − A และ E0 + A ตามลําดับ สงผลใหเมื่อ ระบบมีการเปลี่ยนแปลงระหวางสถานะทัง้ สอง จะมีการปลดปลอยคลื่นแมเหล็กไฟฟาซึ่งมี พลังงานเทากับผลตางของพลังงาน hv = EII − EI = 2 A แบบฝกหัด 4.8 จากการทดลองพบวา คลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ปลอยออกมาจากการเปลี่ยนแปลง สถานะมีความยาวคลื่นเทากับ 1 1 cm จงใหความสัมพันธในสมการ (4.47) เพื่อคํานวณหาความ 4
นาจะเปนตอหนึ่งหนวยเวลา ที่ระบบจะมีการเปลี่ยนสถานะจาก transition rate)
2 ⇒1
(เรียกกันโดยทั่วไปวา
Dynamics ของโมเลกุล Ammonia สมมุติวา ณ เวลา t = 0 เรากําหนดใหอะตอมของ nitrogen อยู ณ ตําแหนงดานบนของระนาบที่ ประกอบกันขึน้ จาก hydrogen อะตอมทั้งสาม หรืออีกนัยหนึ่ง Ψ (0) = 1
___________________ (4.62)
ในสภาวะเชนนี้ เราอาจตองการที่จะทราบวา state ของระบบดังกลาว เปลี่ยนแปลงไปเชนใดเมื่อเวลา ผานไป โดยใช time evolution operator เราสามารถคํานวณหา state ณ เวลาใดๆไดวา Ψ (t ) = Uˆ (t ) Ψ (0) = e
และจากสมการ (4.60) - (4.61) เราสามารถเขียน ไดวา 1 =
1
−
iHˆ t
Ψ (0)
___________________ (4.63)
ใหอยูใ นรูป superposition ของ
1 1 I + II 2 2
I
และ
II
___________________ (4.64)
เพราะฉะนั้น สมการ (4.63) กลายเปน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
Ψ (t ) = e
=
และโดยอาศัยสมบัติของสถานะ 1 − Ψ (t ) = e 2 =
1 − e 2
iEI t
−
4 Time Evolution iHˆ t
1 ⎧ 1 ⎫ I + II ⎬ ⎨ 2 ⎩ 2 ⎭
1 − e 2 I
iHˆ t
1 − e 2
I +
และ
1 − I + e 2 I +
___________________ (4.65)
iHˆ t
II
ที่ตางก็เปน eigenstate ของ
II
i ( E0 − A ) t
4-27
Hˆ
จะไดวา
iEII t
II
1 − e 2
___________________ (4.66)
i ( E0 + A) t
II
เมื่อทราบสถานะของระบบ ณ เวลาใดๆ ดังแสดงในสมการ (4.66) เราก็สามารถคํานวณความนาจะ เปนที่จะพบวาอะตอม nitrogen อยูดานบนของฐานสามเหลี่ยม ซึ่งก็คือ 1 Ψ (t )
2
⎛A ⎞ = cos 2 ⎜ t ⎟ ⎝ ⎠
___________________ (4.67)
แบบฝกหัด 4.9 จงพิสูจนสมการ (4.67)
N
1
โมเลกุล NH3 สามารถเปลีย่ นสถานะจาก 1 ⇔ 2 ⎛A ⎞ cos 2 ⎜ t ⎟ H ⎝ ⎠
H
1 0.8
t=
π 2A
0.6
H
0.4 0.2
2
time t ภาพ 4.9 แสดงการเปลี่ยนแปลงตําแหนงของอะตอมของ nitrogen เมือ่ เวลาผานไป สมมุติใหเมือ่ เวลา t = 0 อะตอมของ nitrogen อยูที่ดานบนของฐาน จะไดวา probability ที่จะพบ nitrogen อะตอมอยู ณ ดานบนนัน้ เปนฟงชันกของเวลา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-28
จากการทดลองพบวา ในกรณีของโมเลกุล ammonia ความถี่ที่ nitrogen อะตอมมีการสั่นขึ้นลง ระหวางดานบนและลางมีคาเทากับ 24GHz
Maser ในขั้นตนของการวิเคราะหโมเลกุลของ ammonia เราใชความสมมาตรของระบบในการอธิบายวา พลังงานของสถานะ 1 และ 2 นัน้ มีคาเทากัน คือ E0 = 1 Hˆ 1 = 2 Hˆ 2 ใน Section 4.5.3 นี้เราจะมาพิจารณาระบบที่มคี วามซับซอนมากขึ้น และจะสงผลใหระดับพลังงานของทั้งสองสถานะ ดังกลาวมีความแตกตางกัน
โมเลกุล Ammonia NH3 ในสนามไฟฟา
-
E
+
dipole moment μe
+
1
μe
dipole moment
2
ภาพ 4.10 เนื่องจากการกระจายตัวของอิเล็กตรอนภายใน ammonia โมเลกุล ทําใหเกิดความไม สม่ําเสมอของประจุไฟฟาขึน้ เกิดเปนประจุลบสุทธิไปกระจุกตัวอยูบ ริเวณ nitrogen อะตอม และ เกิดเปนประจุบวกสุทธิไปกระจุกตัวอยูบริเวณ hydrogen อะตอม ความไมสม่ําเสมอลักษณะดังกลาวนี้ทําใหเกิด electric dipole moment μe ภาพ 4.10 แสดงลักษณะของ electric dipole moment μe ที่เกิดขึ้นโดยธรรมชาติภายใน ammonia โมเลกุล ทิศทางของ μe ขึ้นอยูกับตําแหนงของ nitrogen อะตอม หรืออีกนัยหนึ่ง ขึ้นอยูกับวา ระบบอยูในสถานะ 1 หรือ 2 นั่นเอง
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-29
เมื่อเราปอนสนามไฟฟา E ภายนอกเขาไปในระบบยอมจะทําใหเกิดอันตรกริยาระหวาง electric dipole moment และ สนามไฟฟา ซึ่งมี interaction energy คือ − μe ⋅ E เมื่อเปนเชนนี้ Hamiltonian matrix ดังในสมการ (4.48) ก็ยอมตองเปลี่ยนไป ดังตอไปนี้ ⎡ E0 + μe E Hˆ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ 1 , 2 basis ⎢ −A ⎣
⎤ ⎥ E0 − μe E ⎥⎦ −A
__________________ (4.68)
สมการ (4.68) เปน Hamiltonian matrix ของ ammonia โมเลกุลภายใตอิทธิพลของสนามไฟฟา จะ สังเกตเห็นวา พลังงานของสถานะ 2 มีคาลดลงจากเดิม μe E เนือ่ งจาก electric dipole moment มี ทิศทางเดียวกันกับสนามไฟฟาภายนอก ในขณะที่พลังงานของสถานะ 1 มีคาเพิ่มขึ้นจากเดิม μe E เนื่องจากมีทิศสวนทางกับสนามไฟฟาดังกลาว เพื่อที่จะหาระดับพลังงานของระบบ เราสามารถหาผลเฉลยของ eigenvalue ของ matrix ขนาด 2x2 ในสมการ (4.68) ซึ่งจะไดวา eigen energy ของระบบก็คือ 2
E = E0 ∓ μe2 E + A2
_________________________ (4.69)
อยางไรก็ตาม เราสามารถที่จะประมาณระดับพลังงานในสมการ (4.69) ใหมีรูปแบบทางคณิตศาสตร ที่งายขึ้น โดยใชกลไกการประมาณคาที่เรียกวา Taylor expansion เพราะฉะนัน้ จะไดวา
E ≅ E0 ∓ A ∓
Dr. Teepanis Chachiyo
μe2 E
2
2A
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
_________________________ (4.70)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-30
Maser (Microwave Amplification by Stimulated Emission) แยกโมเลกุล ammonia เปนสองประเภท μe2 ∂ ∂ Fz = − E ( z ) = ± E( z ) A ∂z ∂z I
NH3 II
wave cavity ที่ปรับความถี่ resonance ที่ 24GHz พอดี ภาพ 4.11 แสดงหลักการทํางานของ Maser ที่สามารถสรางคลื่นแมเหล็กไฟฟาความเขาสูง ได คลายๆกัน laser ที่เราคุนเคยกันดี เพียงแตคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ไดจาก Maser มีความถี่ 24GHz ดูผิวเผิน สมการ (4.70) เปนเพียงความสัมพันธระหวางพลังงานของระบบ และความเขมของ สนามไฟฟา E ที่ปอนเขาไปในระบบ อยางไรก็ตามความสัมพันธดังกลาว เปนหนึ่งในปจจัย สําคัญที่ทําให J.P. Gordon, H. J. Zeiger, และ C.H. Townes [Phys. Rev. 99, 1264-1274 (1955)] ได ประสบความสําเร็จในการสรางสิ่งที่เรียกวา Maser ซึ่งยอมาจาก (Microwave Amplification by Stimulated Emission) โดยที่ตอมาในป 1964 Townes ไดรับรางวัลโนเบลอันเนื่องมาจากงานของ เขาที่เกี่ยวของกับ Maser และ Laser ภาพ 4.11 แสดงหลักการทํางานของ Maser ซึ่งประกอบดวย beam ของ ammonia โมเลกุล ที่แตเดิมมี ทั้งที่อยูในสถานะ I และ II ดังแสดงดวยวงกลมสีแดงและสีน้ําเงินตามลําดับ จากนัน้ beam ของ ammonia ผานเขาสูบริเวณทีใ่ ชเปนตัวแยก state ทั้งสองออกจากกัน จากสมการ (4.70) ถาเราออกแบบใหความเขมของสนามไฟฟาเปนฟงชันกที่เปลี่ยนไปตามแกน z กลาวคือ E = E( z ) จะไดวา พลังงานของ ammonia โมเลกุลก็ยอมตองขึ้นกับพิกดั ในแกน z ที่ โมเลกุลนั้นๆปรากฏอยู
E ( z ) ≅ E0 ∓ A ∓
μe2 E( z )
2
2A
_________________________ (4.71)
และเมื่อพลังงานเปนฟงชันกของตําแหนง เราสามารถคํานวณแรงที่กระทําตอโมเลกุลของ ammonia ไดวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
μe2 ∂ ∂ Fz = − E ( z ) = ± E( z ) ∂z A ∂z
4-31
_________________________ (4.72)
จากเครื่องหมาย ± ในสมการ (4.72) จะเห็นวาแรงที่กระทําตอโมเลกุล ammonia ที่อยูในสถานะ I จะมีทิศตรงกันขามกับของสถานะ II เพราะฉะนัน้ beam ของ ammonia โมเลกุลจะแยกออกเปน สองสายเนื่องจาก gradient ของสนามไฟฟาที่ปรากฏอยู ในภาพ 4.11 เมื่อโมเลกุลของ ammonia ผานออกมาจากสวนที่ทําหนาทีแ่ ยก beam เขามาสูบริเวณที่ ไมมีสนามไฟฟา Gordon, Zeiger, และ Townes ออกแบบใหโมเลกุล ammonia ในสถานะ II ซึ่ง มีพลังงานเทากับ EII = E0 + A มารวมตัวกันอยูในภาชนะที่เรียกวา "resonance wave cavity" ที่ ออกแบบรูปรางและขนาดของภาชนะใหเอื้อตอการปลดปลอยคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ความถี่ 24 GHz ซึ่งความถี่นี้เองเปนความถี่ของคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่มีพลังงานเทากับ ΔE = EII − EI สงผลใหโมเลกุลของ ammonia ที่โดนแยกออกมาใหรวมตัวกันใน resonance wave cavity และ แต เดิมอยูในสถานะ II เกิดการเปลี่ยนสถานะโดยฉับพลันและโดยพรอมเพรียงกัน จาก II ⇒ I จึงเกิดเปนคลื่นแมเหล็กไฟฟาที่ความถี่ 24 GHz ที่มีความเขมสูงปลดปลอยออกมา นักศึกษาจะสังเกตไดวา กลไกการทํางานของ Maser มีความคลายคลึงกับ Laser ที่นักศึกษาคุน เคยใน ชีวิตประจําวัน เพียงแตวา Maser เปลงคลื่นแมเหล็กไฟฟาในยานความถี่ของ microwave ในขณะที่ Laser อยูในยานของความถี่แสงนั่นเอง
4.6 บทสรุป ในบทที่ 4 ที่วาดวย time evolution เราไดเริ่มรูจักกับ time evolution operator Uˆ (t ) ที่เมื่อกระทํา กับสถานะใดๆของระบบ จะทําใหมันเปลีย่ นแปลงไปกับเวลา หรืออีกนัยหนึ่ง Ψ (t ) = Uˆ (t ) Ψ (t = 0)
เราสามารถที่จะเขียน operator Uˆ (t ) ใหอยูในรูปที่สัมพันธกับ Hamiltonian ของระบบ ซึ่งก็คือ Uˆ (t ) = e
Dr. Teepanis Chachiyo
−
ˆ iHt
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
_________________________ (4.73)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-32
ความสัมพันธดังกลาวเปนเครื่องมือที่สําคัญยิ่งในการศึกษาการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาเมื่อเราทราบ สถานะเริ่มตนของระบบ ซึ่งพอจะสรุปไดเปน 3 ขั้นตอนโดยสังเขปดังตอไปนี้ โจทย - สมมุติวาเราทราบ Hamiltonian ของระบบที่กําลังศึกษาวาเปน Hˆ และสมมุติตอไปอีกวาเรา ทราบสถานะของระบบเมื่อเวลาเริ่มตน Ψ (t = 0) คําถามก็คือ ระบบจะมีการเปลี่ยนแปลงไป อยางไรในเวลาตอมา 1. คํานวณหา eigenstate ε n และ eigen energy En ทั้งหมดที่เปนไปไดของ Hamiltonian operator Hˆ หรืออีกนัยหนึ่ง ตองทําการหาผลเฉลยของสมการ Hˆ ε n = En ε n 2. กระจายสถานะเริ่มตน
Ψ (t = 0)
ใหอยูในรูป superposition ของ eigenstate ในขอ 1 Ψ (t = 0) = ∑ cn ε n n
โดยที่สัมประสิทธิ์ cn สามารถหาไดจาก cn ≡
ε n Ψ (t = 0)
3. โดยอาศัยรูปแบบของ time evolution operator ในสมการ (4.4) และอาศัยวา ของ Hˆ จะไดวา
Ψ (t ) = e =e
− −
εn
เปน eigenstate
ˆ iHt
Ψ (t = 0) ˆ iHt
∑ cn ε n n
หรือ Ψ (t ) = e
iE t − n
∑ cn ε n _________________________ (4.74) n
โดยที่นักศึกษาจะสังเกตเห็นวา ตัวอยางที่ไดกลาวมาขางตน ไมวาจะเปน spin precession ของ อิเล็กตรอน หรือ ammonia maser ก็ดี ลวนแลวแตเปนการนําผลของสมการ (4.74) มาประยุกตใช ในการวิเคราะหทั้งสิ้น
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-33
4.7 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 4.10 พิจารณาอนุภาคที่มี spin = 1 โดยใช eigenstate ของ Sˆz เปน basis state ( j, m ∈ { 1, +1 , 1, 0 , 1, −1 } ) จงเขียน eigenstate ทั้งสาม ของ Sˆ y ใหอยูใ นรูปของ superposition ของ basis state ดังกลาว แบบฝกหัด 4.11 spin-1 particle ซึ่งมี magnetic momentum เทากับ μ =
gq ˆ S 2m
วางอยูทามกลาง
สนามแมเหล็ก B = B0k ณ เวลา t = 0 ระบบอยูในสถานะ ที่เปน eigenstate ของ Sˆ y และมี eigenvalue จงหาวา Sˆx , Sˆ y , และ Sˆz เปลี่ยนแปลงกับเวลาอยางไร แบบฝกหัด 4.12 จงแกสมการ (4.38) โดยตรงเพื่อหาผลเฉลยของ a(t ) และ b(t ) บอกใบ - (i) ใชวิธีเปลี่ยนตัวแปรโดยกําหนดให a(t ) = c(t )e−iω0t 2 และ b(t ) = d (t )e+ iω0t 2 จากนั้น เขียนสมการใหอยูใ นรูปของ c(t ) และ d (t ) (ii) จากนั้นกําหนดให ω = ω0 เพือ่ ก็จะได สมการอนุพันธอันดับหนึ่ง (iii) เปนใหเปนสมการอนุพนั ธอันดับสองแลวแกสมการ แบบฝกหัด 4.13 กําหนดให Hamiltonian matrix ของระบบที่มี basis state 3 state ดวยกันคือ 1 , 2 , 3 มีคาเทากับ ⎡ E0 H = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ A
a) จงหาความนาจะเปนที่ระบบจะเปลี่ยนจาก 1 ⇒ b) ถา ณ เวลา t = 0 พบวา Ψ (t = 0) = 2 จงหา c) ถา ณ เวลา t = 0 พบวา Ψ (t = 0) = 3 จงหา
Dr. Teepanis Chachiyo
0 E1 0
2
A⎤ 0 ⎥⎥ E0 ⎥⎦
และ
2 ⇒ 3
เมื่อเวลาผานไป
Ψ (t ) Ψ (t )
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
4 Time Evolution
4-34
This page is intentionally left blank
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009