Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9
9 Time Independent Perturbations
9-1
Time Independent Perturbations
เนื้อหา 9.1 Introduction 9.2 Non-Degenerate Perturbation Theory 9.3 Applications 9.4 Degenerate Perturbation Theory 9.5 Application - Relativistic Correction 9.6 Application - Zeeman Effect 9.7 บทสรุป 9.8 ปญหาทายบท
9.1 Introduction เนื้อหาในทุกๆกรณีที่ผานมา ถึงแมบางครั้งจะเปนไปดวยความยากลําบากอยูบาง แตเราสามารถนํา กระบวนการทางคณิตศาสตรเขามาทําการวิเคราะหหา eigen energy และ eigenstate ของระบบได อยางแมนยํา ยกตัวอยางเชน rotation ของ nuclear spin, finite potential well, harmonic potential, หรือแมกระทัง่ central potential ใน 3 มิติ วิธีในการคํานวณระดับพลังงานของระบบที่แตกตางกันเหลานี้ ก็มีกลไกที่คลายคลึงกัน กลาวคือ กําหนด Hamiltonian ของระบบ จากนั้นสราง eigen equation Hˆ ψ n = En ψ n
ผลเฉลยของสมการขางตน ก็คือเซตของ eigen energy {En } และ eigenstate { ψ n } ของระบบที่ เรากําลังศึกษานั่นเอง อยางไรก็ตาม ในความเปนจริงนัน้ ระบบในทางฟสิกสมีความซับซอนและมี ปจจัยอืน่ ๆที่จะมีผลกระทบตอระบบที่เรากําลังพิจารณา ยกตัวอยางเชน
Quantum Well ภายใตสนามไฟฟา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-2
ในการศึกษา quantum well เราใช finite square well ใน 1 มิติ เพื่อเปน model อยางงายในการ วิเคราะหหาระดับพลังงาน ตลอดจน probability amplitude ของระบบ ในคราวนี้สมมุติวาเราตอ แบตเตอรี่เขากับขั้วทั้งสองขางของ quantum well ทําใหเกิดสนามไฟฟา E
สนามไฟฟาภายนอก ที่ปอ นให quantum well
model ในการศึกษา
E
V ( x)
x
x 2a บอพลังงานศักย
GaAlAs
GaAs
2a
เมื่อทบทวนเนือ้ หาของ electrostatic พื้นฐาน จะพบวา อันตรกริยาระหวาง สนามไฟฟากับ อิเล็กตรอนซึ่งมีประจุ q = −e สามารถแทนดวยพลังงานศักย Velectric ( x) = qφ ( x) = −e E ( x − a ) เมื่อ φ ( x) ก็คือ electrical potential ซึ่งมีความสัมพันธกับ สนามไฟฟาในรูปของ E = −∇φ และเมื่อรวมกับพลังงานศักยทมี่ ีอยูเดิม ซึ่งมีลักษณะเปน square well ⎧V0 ⎪ Vwell ( x) = ⎨ 0 ⎪V ⎩ 0
x < −2 a − 2a < x < 0 0< x
ก็จะทําใหไดพลังงานศักย V ( x) = Vwell ( x) + Velectric ( x) สุทธิดังแสดงในภาพขางตน อยางไรก็ ตาม พลังงานศักยในลักษณะดังกลาวมีความซับซอน และไมงายนักที่เราจะคํานวณระดับพลังงาน และ eigenstate ของระบบ perturbations เปนกลไกที่ quantum mechanics ใชในการประมาณคาของระดับพลังงาน และ ประมาณ eigenstate ของระบบที่มีความซับซอน เกินกวาที่เราจะหาคําตอบไดโดยตรง
Polarization ของอะตอม Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-3
พิจารณา hydrogen atom ในสถานะ ground state ที่อยูทามกลางสนามไฟฟา E ภายนอก ซึ่งมีทิศทาง ตามแนวแกน z แตเดิมเมื่อปราศจากสนามไฟฟาภายนอกนั้น พลังงานของระบบอยูในรูปของ พลังงานจลน และ Coulomb potential หรือ Hˆ 0 =
pˆ 2 e2 Z − 2m 4πε 0 r
สนามไฟฟาทําให spectrum ของ hydrogen atom เปลี่ยนแปลง
E
z
สนามไฟฟาทําใหกลุมหมอกอิเล็กตรอนของ hydrogen atom เปลี่ยนรูปราง
ภาพ (9.1) สนามไฟฟาที่ปอ นเขาไปในระบบของ hydrogen atom และมีผลทําใหระดับพลังงานของ อะตอมเปลี่ยนแปลงไป แตเมื่ออยูทามกลางสนามไฟฟาภายนอกดังกลาว ซึ่งมีอันตรกริยาอยูใ นรูปของพลังงาน Hˆ 1 = −e E zˆ นั้น ทําให Hamiltonian โดยรวมของระบบ กลายเปน ⎛ pˆ 2 e2 Z ⎞ − Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1 = ⎜ ⎟ − e E zˆ ⎜ 2m 4πε 0 r ⎟ ⎝ ⎠
เมื่อ Hamiltonian เปลี่ยนแปลงไป เปนที่แนนอนวา eigen energy และ eigenstate ก็จะตอง ปรับเปลี่ยนตามไปดวย ซึ่งจะแสดงออกมาใหเห็นไดจากลักษณะของ spectrum และลักษณะของ กลุมหมอกอิเล็กตรอนที่ปรากฏวา เบี่ยงเบนไปจากเดิม อยางไรก็ตาม Hamiltonian Hˆ ขางตน มีความซับซอนทางคณิตศาสตรเกินกวาทีเ่ ราจะแกสมการหา ผลเฉลยของ eigen energy หรือ eigenstate ไดโดยตรง จะทําไดก็แตเพียงการประมาณคําตอบโดย คราวๆเทานั้น ซึ่งก็จะตองอาศัยสิ่งที่เรียกวา perturbation theory เปนเครือ่ งมือในการประมาณผล เฉลยดังกลาว
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-4
Interaction ระหวางอะตอมและแสง จากตัวอยางใน 2 กรณีขางตน จะพบวาเรานิยมแทน อันตรกริยาที่เพิ่มเขามา (และทําใหระบบมีความ ซับซอนทางคณิตศาสตรเพิม่ ขึ้น) ดวยสัญลักษณ Hˆ 1 ซึ่งมีชื่อเรียกโดยทัว่ ไปวา "perturbations" (แปลวา ปจจัยที่เขามารบกวนระบบ) En
ระดับพลังงานของ atom r
E3
nf
E2
ni
E1
อิเล็กตรอนกระโดดขึ้นไปที่ระดับพลังงานสูงขึ้น ภายหลังจากทีถ่ ูกกระตุนดวยคลื่นแมเหล็กไฟฟา V0 ( r )
Hˆ = Hˆ 0 − 2ε ⋅ μ e cos ωt
นอกจากนี้ perturbation Hˆ 1 ยังอาจจะมีการเปลี่ยนแปลงที่เปนฟงชันกของเวลา กลาวคือ Hˆ 1 = Hˆ 1 (t ) ยกตัวอยางเชนในกรณีที่คลื่นแมเหล็กไฟฟา เคลื่อนที่เขาไปทําอันตรกริยากับอะตอม ที่ผานมาเรามักจะถือวา เมื่อพลังงานของคลื่นแมเหล็กไฟฟาดังกลาว มีคาเทากับ ΔE = Ef − Ei ของ อะตอม ก็จะมีการดูดกลืนแสง แตเรายังไมเคยใหความสนใจในกระบวนที่แทจริงของการดูดกลืน ดังกลาว วามีรายละเอียดเปนอยางไร ในกรณีที่ perturbation เปนฟงชันกของเวลานั้น กระบวนการทางคณิตศาสตรในการประมาณระดับ พลังงาน และ eigenstate มีความยุงยากมากขึ้นไปอีก และเรามักจะเรียกกรณีเชนนี้วา timedependent perturbation theory อยางไรก็ตาม เราจะไมกลาวถึง time dependent perturbation theory ในบทนี้
Formal Notations เพื่อมิใหเกิดความสับสน เราจําเปนจะตองระมัดระวังอยางมากในการใชสัญลักษณเมื่อกลาวถึง สถานะตางๆของระบบ ตามระเบียบวิธีของ perturbation theory ดังจะไดขยายความในลําดับ ตอไปนี้
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-5
กําหนดให Hamiltonian ของระบบ สามารถเขียนใหอยูในรูปของ ______________________ สมการ (9.1)
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
ในที่นี้เราสนใจที่จะทราบผลเฉลยของ eigenstate { ψ n } และ eigen energy {En } ที่ทําใหสมการ ______________________ สมการ (9.2)
Hˆ ψ n = En ψ n
เปนจริง แตเนื่องจากความซับซอนทางคณิตศาสตรของ Hamiltonian ดังกลาว เราจึงพยายามแบง Hˆ ออกเปน 2 สวนดวยกันคือ 1)
Hˆ 0
เปนสวนของ Hamiltonian ที่เราสามารถหาผลเฉลยของ eigenstate และ eigen energy ของมัน
ได หรืออีกนัยหนึ่ง เราจะตองทราบเซตของ
{ ψ } และ {E } ที่ทําใหสมการ (0) n
(0) n
______________________ สมการ (9.3)
Hˆ 0 ψ n(0) = En(0) ψ n(0)
นั้นเปนจริง ใหสังเกตการใช superscript (0) กํากับสถานะและกํากับพลังงานในสมการขางตน เพื่อใหเห็นอยางชัดเจนวามันเปนผลเฉลยของ Hamiltonian Hˆ 0 และแตกตางจากสถานะในสมการ (9.2) 2) Hˆ 1 เปนสวนของ Hamiltonian ที่เรียกวา "perturbations" ซึ่งแทนปจจัยอื่นๆที่เขามามีบทบาทกับ ระบบที่กําลังพิจารณา และมีผลทําให Hamiltonian Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1 สุทธิที่เกิดขึ้น มีความซับซอน ทางคณิตศาสตรมากเสียจนเราไมสามารถหาคําตอบไดโดยตรง ทั้งนี้ สมมุติวา Hˆ 1 มีขนาดเล็กเมื่อเปรียบเทียบกับ Hˆ 0 ดวยสมมุติฐานประการนี้ ในบางครั้งเราจึง เรียก Hˆ 1 วาเปน perturbing Hamiltonian และ เรียก Hˆ 0 วาเปน unperturbed Hamiltonian perturbations theory เปนกลไกในการประมาณผลเฉลย eigenstate { ψ n } และ eigen energy {En } ของ Hamiltonian
{En(0) } Dr. Teepanis Chachiyo
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
และอาศัยสมมุติฐานที่วา
Hˆ 1
โดยอาศัยขอมูลของ
{ ψ } และ (0) n
มีขนาดเล็กเมือ่ เปรียบเทียบกับ
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
Hˆ 0
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-6
9.2 Non-Degenerate Perturbation Theory ในขั้นตนนี้ เพื่อความสะดวก เราจะสมมุติวา perturbing Hamiltonian Hˆ 1 ไมมีสวนที่ขนึ้ กับเวลา หรือที่เรียกวา "time independent perturbation" ที่ Erwin Schrödinger และ Lord Rayleigh เปนผู ไดรับการยอมรับวาเปนบุคคลที่ใหกําเนิดทฤษฏีดังกลาว เพื่อที่จะ derive สูตรในการประมาณผลเฉลย eigenstate { ψ n } และ eigen energy {En } เราเริ่ม ดวยการเขียน Hamiltonian ดังในสมการ (9.1) เสียใหม ใหอยูใ นรูปของ Hˆ = Hˆ 0 + λ Hˆ 1
______________________ สมการ (9.4)
โดยที่ตัวเลข λ นั้นมีขนาดเล็ก กลาวคือ 0 ≤ λ ≤ 1 การนําตัวแปร λ เขามาคูณอยูก ับ perturbing Hamiltonian นั้นมีประโยชนถึงสองประการดวยกันคือ 1) เปนการแสดงใหเห็นอยางชัดเจนวา เทอม λ Hˆ 1 นั้นมีขนาดเล็ก และถือไดวา เปน perturbation ของ Hamiltonian Hˆ 0 และ 2) เราจะใช λ เปนตัวชวยในการจัดรูปทางคณิตศาสตรไดเปนระเบียบ และ งายขึน้ ดังจะไดเห็นในลําดับตอไป หัวใจสําคัญของ perturbation theory นั้นก็คือการสมมุติวา เราสามารถเขียนผลเฉลย eigen energy En และ eigenstate ψ n ใหเปน summation ของเทอมที่มีขนาดเล็กลง ลดหลั่นกันลงไปเรื่อยๆ กลาวคือ En = En(0) + λ En(1) + λ 2 En(2) + λ 3 En(3) +
___________ สมการ (9.5)
จากสมการขางตน เนื่องจาก 0 ≤ λ ≤ 1 เราจะเห็นวา โดยหลักการแลว En(0) < λ En(1) < λ 2 En(2) ทั้งนี้ คือ eigen energy ของ unperturbed Hamiltonian
เทอมแรก
En(0)
เทอมที่สอง
คือ 1st order correction term ซึ่งเปนเทอมเมื่อเขามารวมกับ En(0) ก็จะทําให ผลบวกมีคาใกลเคียงกับ En ที่ปรากฏอยูทางซายมือของสมการไดดียิ่งขึน้
เทอมที่สาม
En(2)
Hˆ 0
En(1)
Dr. Teepanis Chachiyo
คือ 2nd order correction term ซึ่งเปนเทอมที่มีขนาดเล็กลงไปอีก แตเมื่อ ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
นํามารวมกับเทอมทั้งสองขางตน ก็จะทําใหเราประมาณคาของ มากขึ้นอีก เปนลําดับขั้น เชนนี้เรื่อยไป
9-7 En
ไดแมนยํา
มาถึงจุดนี้ เราทราบแตเพียงวา En(0) มีคาเปนเทาใด ซึ่งก็จะไดทําการวิเคราะหเพื่อหาสูตรสําเร็จใน การคํานวณคาของเทอม En(1) , En(2) , ในลําดับตอไป
1st order และ 2nd order Perturbations ในทํานองเดียวกันกับ eigen energy อยูในรูปของ
En
ดังในสมการ (9.5) เราสามารถเขียน eigenstate
ψn
ให
___________ สมการ (9.6)
ψ n = ψ n(0) + λ ψ n(1) + λ 2 ψ n(2) + λ 3 ψ n(3) +
และเมื่อแทนเทอมของ Hamiltonian Hˆ ดังสมการ (9.4) , eigen energy ดังสมการ (9.5) , และ eigenstate ดังสมการ (9.6) ทั้งสามนั้น เขาไปในสมการ (9.2) จะไดวา
( Hˆ 0 + λ Hˆ1 ) ( ψ n(0)
+ λ ψ n(1) + λ 2 ψ n(2) +
(
= En(0) + λ En(1) + λ 2 En(2) +
หรือ
(
0 = Hˆ 0 + λ Hˆ 1
(
) ( ψ n(0)
) ( ψ n(0)
)
+ λ ψ n(1) + λ 2 ψ n(2) +
)
+ λ ψ n(1) + λ 2 ψ n(2) +
− En(0) + λ En(1) + λ 2 En(2) +
) ( ψ n(0)
+ λ ψ n(1) + λ 2 ψ n(2) +
)
)
___________________ สมการ (9.7) สมการขางตน เมื่อกระจายออกมาจะประกอบดวยเทอมจํานวนมาก เราสามารถจัดกลุมของเทอม ทั้งหลายเหลานี้ โดยอาศัย เลขยกกําลังของ λ เปนหลัก ดังตอไปนี้ เทอมที่คูณอยูก ับ λ 0 :
{ Hˆ
0
ψ n(0) − En(0) ψ n(0)
}λ
0
เทอมที่คูณอยูก ับ λ1 : Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
{ Hˆ
0
9 Time Independent Perturbations
ψ n(1) + Hˆ 1 ψ n(0) − En(0) ψ n(1) − En(1) ψ n(0)
9-8
}λ
1
เทอมที่คูณอยูก ับ λ 2 :
{ Hˆ
0
ψ n(2) + Hˆ 1 ψ n(1) − En(0) ψ n(2) − En(1) ψ n(1) − En(2) ψ n(0)
}λ
2
เชนนี้เปนตน และเนื่องจาก λ เปนตัวแปรทีเ่ ราสมมุติขึ้นมาเทานั้น การที่สมการ (9.7) จะเปนจริง ไดโดยไมสนใจวา λ จะมีคาเปนเทาในนั้น ทุกๆเทอมในวงเล็บปกกาที่แสดงขางตน จะตองเทากับ ศูนย หรืออีกนัยหนึ่ง Hˆ 0 ψ n(0) = En(0) ψ n(0)
_________ สมการ (9.8)
Hˆ 0 ψ n(1) + Hˆ 1 ψ n(0) = En(0) ψ n(1) + En(1) ψ n(0)
_________ สมการ (9.9)
Hˆ 0 ψ n(2) + Hˆ 1 ψ n(1) = En(0) ψ n(2) + En(1) ψ n(1) + En(2) ψ n(0)
________ สมการ (9.10)
ขั้นตอนในการวิเคราะหหาสูตรสําเร็จในการคํานวณ 1st order energy correction term หรือที่เราใช สัญลักษณวา En(1) สามารถทําไดโดยนําเอาสถานะ bra ψ n(0) เขามาประกบทั้งสองขางของ สมการ (9.9) จะทําให ψ n(0) Hˆ 0 ψ n(1) + ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(0) = ψ n(0) En(0) ψ n(1) + ψ n(0) En(1) ψ n(0)
(ψ
(0) n
)
Hˆ 0† ψ n(1) + ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(0) = En(0) ψ n(0) ψ n(1) + En(1) ψ n(0) ψ n(0) =1
จะสังเกตวาในเทอมแรกนัน้ เราเปลี่ยนเอา Hamiltonian
Hˆ 0
ซึ่งพรอมกันนัน้ จะเปลีย่ นใหกลายเปน adjoint operator
Hˆ 0†
Hermitian operator ดังนั้น Hˆ 0† = Hˆ 0 หรืออีกนัยหนึ่ง
มากระทํากับสถานะ bra
ψ n(0)
แทน
แตเนื่องจาก Hamiltonian เปน
ψ n(0) Hˆ 0† = ψ n(0) Hˆ 0 = ψ n(0) En(0)
เพราะฉะนั้น สมการขางตน ลดรูปเหลือเพียง ψ n(0) En(0) ψ n(1) + ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(0) = En(0) ψ n(0) ψ n(1) + En(1) ψ n(0) ψ n(0) =1
หรือ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations En(1) = ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(0)
9-9
______________ สมการ (9.11)
สมการขางตน เปนสูตรสําเร็จในการคํานวณ 1st order correction ของ eigen energy ซึ่งอยูในรูป ของ bra-ket ที่ประกบเอา operator Hˆ 1 ไวภายใน และในกรณีของ 1st order correction ของ eigenstate หรือ เซตของ eigen state
{ ψ } นั้นเปน complete เซต (0) n
ψ n(1)
เราเริ่มดวยการตั้งขอสังเกตวา
เพราะฉะนัน้ เราสามารถเขียนสถานะใดๆก็
ได ใหอยูในรูป linear superposition ของเซตดังกลาว รวมไปถึงสถานะ
ψ n(1)
ดวยเชนกัน
เพราะฉะนั้นเราสามารถเขียน ψ n(1) =
∑ ck ψ k(0)
k ≠n
เมื่อ ck =
ψ k(0) ψ n(1)
เมื่อ ck คือสัมประสิทธิ์ของ expansion ที่เราจะตองวิเคราะหหาคาที่แทจริงในลําดับไป และสาเหตุ ที่ summation ของ k มีเงื่อนไขที่วา k ≠ n นั้น เพราะจากสมการ (9.6) จะเห็นวาสถานะ ψ k(0)= n ไดปรากฏอยูในเทอมแรกของสมการอยูแลว และไมมีความจําเปนจะตองรวมเขาไปเปนสวนหนึง่ ของ linear superposition อีก สวนในกรณีของสัมประสิทธิ์ ck นั้น สามารถหาไดโดยการนําสถานะ bra
ψ k(0)
เขาไปประกบ
ทั้งสองขางของสมการ (9.9) และจะไดวา ψ k(0) Hˆ 0 ψ n(1) + ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) = ψ k(0) En(0) ψ n(1) + ψ k(0) En(1) ψ n(0) Ek(0) ψ k(0) ψ n(1) + ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) = En(0) ψ k(0) ψ n(1) + En(1) ψ k(0) ψ n(0) =0
หรือ ψ k(0)
ψ n(1) =
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) En(0) − Ek(0)
เมื่อ k ≠ n
เพราะฉะนั้นแลว
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
ψ n(1) =
9 Time Independent Perturbations
∑
k ≠n
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0)
ψ k(0)
En(0) − Ek(0)
9-10
______________ สมการ (9.12)
และกอนทีจ่ ะยกตัวอยางการนํา perturbation มาใชงานนัน้ เพื่อใหไดประโยชนสูงสุดเราควรจะ derive สูตรในการคํานวณ 2nd order energy correction เสียกอน ซึ่งทําไดไมยากนักโดยการนํา สถานะ bra ψ n(0) เขาประกบทั้งสองขางของสมการ (9.10) จะไดวา ψ n(0) Hˆ 0 ψ n(2) + ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(1) = ψ n(0) En(0) ψ n(2) + ψ n(0) En(1) ψ n(1) + ψ n(0) En(2) ψ n(0) =0
หรือ En(2) = ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(1)
และเมื่อแทน
ψ n(1)
ดังในสมการ (9.12) เขาไปทางขวามือของสมการขางตน จะทําให
En(2)
=
∑
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) En(0)
k ≠n
=
∑ ∑
ψ n(0) Hˆ 1 ψ k(0)
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) ψ n(0) Hˆ 1 ψ k(0) En(0) − Ek(0)
k ≠n
En(2) =
− Ek(0)
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0)
∗
En(0) − Ek(0)
k ≠n
หรืออีกนัยหนึง่ En(2) =
∑
k ≠n
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) En(0) − Ek(0)
2
______________ สมการ (9.13)
ดังที่ไดกลาวมาแลวขางตนวา ตัวแปร λ ที่ปรากฏในสมการ (9.4) เปนเพียงสิ่งที่สมมุติขึ้นเพื่อชวย จัดกลุมของเทอมตางๆเพื่อความสะดวกของการ derive สูตรสําเร็จในการคํานวณ correction term
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-11
ดังที่ปรากฏในสมการ (9.11) , (9.12) , และ (9.13) และในทายที่สุด เมือ่ นําระเบียบวิธี perturbation theory มาใชงานจริง เราจะกําหนดให λ = 1 กลาวคือ ______________ สมการ (9.14)
En = En(0) + En(1) + En(2) + En(3) +
และ ___________ สมการ (9.15)
ψ n = ψ n(0) + ψ n(1) + ψ n(2) + ψ n(3) +
Simple Application เพื่อเปนการยกตัวอยางการนํา perturbation theory มาใชเปนเครื่องมือในการวิเคราะหระบบ สมมุติ วาเราตองการคํานวณ eigen energy ของ Hamiltonian pˆ 2 1 + mω 2 x 2 + bx 2 Hˆ = 2m 2
________________ สมการ (9.16)
นักศึกษาที่มีไหวพริบอยูบาง ยอมจะสังเกตเห็นไดทันทีวา Hamiltonian ขางตนนั้น สามารถหาผล เฉลยของ eigen energy ไดโดยตรง และไมมีความจําเปนที่จะตองประมาณคําตอบโดยอาศัยกลไก ของ perturbation theory แตอยางใด แตในขัน้ ตนเราจะแสรงทําเปนไมทราบ โดยมองวา Hamiltonian Hˆ ดังในสมการ (9.16) นั้นมี ความซับซอนเกินกวาจะหาผลเฉลยของ eigen energy ไดโดยตรง และเริ่มจากการเขียน Hˆ ใหอยู ในรูปของ pˆ 2 1 + mω 2 x 2 + bx 2 = Hˆ 0 + Hˆ 1 Hˆ = 2m 2
_____________ สมการ (9.17)
Hˆ 0
ซึ่งมองวา
Hˆ 1 = bx 2
มีลักษณะเปน perturbing term และสมมุติฐานขอนี้จะสมเหตุผลก็ตอเมื่อ
คาคงที่ b นั้นมีขนาดเล็กมาก สวนในแงของ
pˆ 2 1 ˆ H0 = + mω 2 x 2 2m 2
นั้น ก็เปนระบบของ
simple harmonic potential ซึ่งเราไดศึกษาและทราบ eigen energy ตลอดจน eigenstate ของมันเปน อยางดี กลาวคือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations 1⎞ ⎛ En(0) = ω ⎜ n + ⎟ 2⎠ ⎝
ในขณะที่ eigenstate
ψ n(0)
ของ
Hˆ 0
aˆ ψ n(0) = n ψ n(0) −1
9-12
___________________ สมการ (9.18)
มีสมบัติที่เกี่ยวของกับ raising และ lowering operator ที่วา และ aˆ † ψ n(0)
_______ สมการ (9.19)
= n + 1 ψ n(0) +1
เราจะอาศัยสมบัติที่เกี่ยวของกับ raising และ lowering operator ดังกลาวเพื่อชวยในการประมาณ eigen energy ของ Hamiltonian ดังในสมการ (9.16) กอนอื่นจะตองเขียน perturbing Hamiltonian Hˆ 1 = bx 2 ใหอยูใ นรูป
(
⎧⎪ Hˆ 1 = bx 2 = b ⎨ aˆ + aˆ † ⎩⎪ 2mω
)
2
(
⎫⎪ b ˆ ˆ † + aˆ †aˆ + aˆ †2 aˆ 2 + aa ⎬ = 2mω ⎭⎪
)
_______ สมการ (9.20)
จากสมการ (9.11) จะไดวา 1st order energy correction ก็คือ En(1) = ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(0)
( aˆ 2 + aaˆ ˆ† + aˆ†aˆ + aˆ†2 ) ψ n(0)
b ψ n(0) 2mω ⎧ b ⎪⎪ (0) En(1) = ⎨ ψn 2mω ⎪ ⎪⎩ =
⎫ ⎪⎪ ˆ ˆ † ψ n(0) + ψ n(0) aˆ † aˆ ψ n(0) + ψ n(0) aˆ †2 ψ n(0) ⎬ aˆ 2 ψ n(0) + ψ n(0) aa ⎪ =0 =0 ⎪⎭ n +1 n +1 n n
หรือ En(1) =
b 1 1 ⎛ 2b ⎞ ( 2n + 1) = ω ⎛⎜ n + ⎞⎟ ⎜ 2 ⎟ 2mω 2 ⎠ 2 ⎝ mω ⎠ ⎝
__________ สมการ (9.21)
ในขณะที่ 2nd order energy correction มีคาเทากับ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
En(2) =
∑
k ≠n
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0)
9-13
2
En(0) − Ek(0) 2
⎛ b ⎞ =⎜ ⎟ ∑ ⎝ 2mω ⎠ k ≠ n En(2)
9 Time Independent Perturbations
(
)
ˆ ˆ † + aˆ †aˆ + aˆ †2 ψ n(0) ψ k(0) aˆ 2 + aa
2
En(0) − Ek(0)
2 ⎛ b ⎞ ⎧ n ( n − 1) ( n + 1)( n + 2 ) ⎫ =⎜ − ⎬ ⎟ ⎨ 2 ω ⎝ 2mω ⎠ ⎩ 2 ω ⎭
หรือ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2b ⎞ ⎛ En(2) = ω ⎜ n + ⎟⎜ − ⎟ ⎜ 2 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎝ mω 2 ⎟⎠ ⎝
2
, En(1) , และ En(2) เราสามารถประมาณคา eigen energy Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1 ไดทันทีวา
ซึ่งจาก
En(0)
2 1 ⎞ ⎧⎪ 1 ⎛ 2b ⎞ 1 ⎛ 2b ⎞ ⎫⎪ ⎛ En ≅ ω ⎜ n + ⎟ ⎨1 + ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ ⎬ 2 ⎠ ⎪ 2 ⎝ mω 2 ⎠ 8 ⎝ mω 2 ⎠ ⎪ ⎝ ⎩ ⎭
____________ สมการ (9.22)
En
ของ Hamiltonian
___________ สมการ (9.23)
สมการขางตน เปนผลลัพธจาก non-degenerate perturbation theory ที่สามารถประมาณคาระดับ พลังงาน En ของระบบ และเพื่อที่จะแสดงใหเห็นวา ระดับพลังงานที่ไดจากการประมาณดังกลาว เปนการประมาณที่ถูกตอง สมเหตุผล เราจะไดทําการคํานวณ eigen energy En ที่แทจริง โดย ปราศจากการประมาณ เพือ่ จะไดเปรียบเทียบกับสมการ (9.23) จาก Hamiltonian
pˆ 2 1 + mω 2 x 2 + bx 2 Hˆ = 2m 2
เราสามารถเขียน
pˆ 2 1 Hˆ = + mω 2 x 2 + bx 2 2m 2 2
⎛ ⎞ pˆ 2 1 ⎜ = + m ω 2 + 2b m ⎟ x 2 ⎟ 2m 2 ⎜ ω′ ⎝ ⎠ pˆ 2 1 Hˆ = + mω ′2 x 2 2m 2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
ลักษณะของ Hamiltonian ความถี่เทากับ ω ′ =
Hˆ
9 Time Independent Perturbations
9-14
ขางตนนั้น เปรียบเสมือนระบบแบบ simple harmonic potential ที่มี
ω 2 + 2b m
1⎞ ⎛ En = ω ′ ⎜ n + ⎟ = 2⎠ ⎝
และในกรณีนี้เอง ระดับพลังงานมีคาเทากับ ⎛ ⎝
1⎞
ω 2 + 2b m ⎜ n + ⎟ = ω 1 + 2 ⎠
2b ⎛ 1⎞ n+ ⎟ 2 ⎜⎝ 2⎠ mω
หรือ 1⎞ 2b ⎛ En = ω ⎜ n + ⎟ 1 + 2⎠ ⎝ mω 2
________________ สมการ (9.24)
เพื่อที่จะตอบโจทยวา ระดับพลังงาน En ในสมการ (9.24) มีความคลายคลึงกับที่ไดจาก perturbation ในสมการ (9.23) อยางไรนัน้ ลองพิจารณา Taylor expansion 1 1 1 5 4 β + 1+ β = 1+ β − β 2 + β 3 − 2 8 16 128
เพราะฉะนั้นแลว
2
3
1 ⎛ 2b ⎞ 1 ⎛ 2b ⎞ 1 ⎛ 2b ⎞ 1+ = 1+ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 2 2 2 2 ⎝ mω ⎠ 8 ⎝ mω ⎠ 16 ⎝ mω 2 ⎠ mω 2b
หรืออีกนัย
หนึ่ง สมการ (9.24) สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ Taylor expansion ไดวา 2 3 1 ⎞ ⎧⎪ 1 ⎛ 2b ⎞ 1 ⎛ 2b ⎞ 1 ⎛ 2b ⎞ ⎛ En = ω ⎜ n + ⎟ ⎨1 + ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 2 ⎠ ⎪ 2 ⎝ mω 2 ⎠ 8 ⎝ mω 2 ⎠ 16 ⎝ mω 2 ⎠ ⎝ ⎩
⎫⎪ ⎬ ⎭⎪
______ สมการ (9.25)
ดังนั้นเราสรุปไดวา ระดับพลังงานในสมการ (9.23) ทีไ่ ดจาก perturbation theory นั้น เปนการ ประมาณที่สมเหตุผลของระดับพลังงานในสมการ (9.24) นั่นเอง แบบฝกหัด 9.1 จงคํานวณระดับพลังงานของ Hamiltonian
pˆ 2 1 Hˆ = + mω 2 x 2 − e E xˆ 2m 2
เมื่อ e
คือประจุของอิเล็กตรอน และ E คือความเขมของสนามไฟฟาในระบบ a) ดวยวิธีการประมาณแบบ perturbation โดยใชความละเอียดในการประมาณอยางนอย 2nd order b) ดวยวิธกี ารหาคําตอบที่แทจริง c) วาดภาพแสดงระบบทางฟสิกสของ Hamiltonian ดังกลาว
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-15
9.3 Applications กระบวนการในการประมาณคําตอบของ eigen energy และ eigenstate ที่เรียกวา non-degenerate time-independent perturbation theory ที่เราไดศึกษาผานไปแลวนัน้ สามารถนํามาใชประยุกตใน การวิเคราะหระบบตางๆอยูม ากพอสมควร ดังจะไดเสนอ 2 ตัวอยางดวยกันคือ 1) แบบจําลองทีม่ อง วานิวเคลียสนัน้ มิไดเปน point charge หากแตเปนทรงกลมที่มีรัศมี R และ 2) ground state energy ของ helium atom
Nucleus with Finite Size เมื่อครั้งที่เราไดศึกษาระดับพลังงานของ hydrogen atom หรืออะตอมใดๆที่ประกอบดวยอิเล็กตรอน เพียงหนึ่งตัว ซึ่งเคลื่อนที่อยูภายใตอิทธิพลของ Coulomb potential ของนิวเคลียสซึ่งมีประจุเทากับ + Ze นั้น เรามองวานิวเคลียสมีลักษณะเปน "point charge" ซึ่งเปรียบเสมือนจุดที่มีรัศมีเทากับศูนย และในกรณีดงั กลาวนี้ พลังงานศักยของอิเล็กตรอนมีคาเทากับ −
e2 Z 4πε 0 r
ในคราวนี้ เราจะสราง model ของนิวเคลียสใหสมจริงมากขึ้น โดยมองวาประจุขนาด + Ze มิได กระจุกตัวอยูเปนจุดที่มีขนาดเปนศูนยแตอยางใด หากแตมีการกระจายตัวของประจุเปนทรงกลมซึ่ง มีรัศมีเทากับ R ดังแสดงใน ภาพ (9.2)
ประจุ + Ze กระจายตัวอยูภายในทรงกลมรัศมี R ⎧ Ze ,r ≤ R ⎪ ρproton (r ) = ⎨ 4π R3 3 ⎪ 0 ,r > R ⎩
ภาพ (9.2) แสดง model ของนิวเคลียสทีป่ ระกอบดวยประจุบวก กระจายตัวอยางสม่ําเสมอภายใน ทรงกลมซึ่งมีรัศมี R แบบฝกหัด 9.2 จงทบทวนเนื้อหาของ electrostatic พื้นฐานเพื่อพิสูจนวา พลังงานศักยของ อิเล็กตรอนภายใตอิทธิพลของการนิวเคลียสดังใน ภาพ (9.2) อยูในรูปของ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
2 ⎧ e2 Z ⎡ ⎛r⎞ ⎤ ⎪− ⎢3 − ⎜ ⎟ ⎥ , r ≤ R ⎪ 4πε 0 2 R ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎥⎦ V (r ) = ⎨ ⎪ e2 Z ,r > R − ⎪ 4πε 0 r ⎩
9-16
____________ สมการ (9.26)
บอกใบ: ใชกฎของ Gauss จากพลังงานศักยขางตนจะพบวา ในกรณีที่อิเล็กตรอนอยูภายในนิวเคลียส รูปแบบทางคณิตศาสตร ของ V (r ) จะมีลักษณะแตกตางออกไปจาก Coulomb potential กลาวคือแปรผันกับ ∼ r 2 เมื่อ เปนเชนนี้ เราสรุปไดวา ระดับพลังงานของ hydrogen atom ในกรณีดงั กลาวนี้ จะตองเปลี่ยนแปลงไป จากเดิม ทีเ่ ราเคยสมมุติเอาวา นิวเคลียสเปน "point charge" เพื่อที่จะคํานวณระดับพลังงานของระบบ เราเขียน Hamiltonian ไดวา pˆ 2 ˆ H= + V (r ) 2m
______________________ สมการ (9.27)
เมื่อ V (r ) เปนพลังงานศักยดังแสดงในสมการ (9.26) อยางไรก็ตาม เราไมทราบ eigen energy ของ Hamiltonian ดังกลาว เนื่องจากความซับซอนของพลังงานศักย V (r ) ดังนัน้ เราจะใช timeindependent perturbation โดยเริ่มจากการเขียน Hamiltonian ใหอยูใ นรูป pˆ 2 e2 Z ˆ Hˆ = − + H1 (r ) 2m 4πε 0 r
________________ สมการ (9.28)
Hˆ 0
เมื่อ ⎧ e2 Z ⎡ ⎛ r ⎞2 2 R ⎤ ⎪⎪− ⎢3 − ⎥ ,r ≤ R − Hˆ 1 (r ) = ⎨ 4πε 0 2 R ⎢ ⎜⎝ R ⎟⎠ r ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ 0 ,r > R ⎪⎩
____________ สมการ (9.29)
ในขั้นตอนตอไป เราสังเกตเห็นวา eigen energy และ eigenstate ของ Hamiltonian Hˆ 0 นัน้ ก็คือ ระดับพลังงาน และ wave function ของ hydrogen atom นั่นเอง กลาวคือ ในสถานะ ground state (0) (0) r , θ , ϕ ψ ground = ψ ground (r ,θ , ϕ ) = R10 (r )Y00 (θ , ϕ )
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-17
โดยที่ 32
⎛Z ⎞ R10 (r ) = 2 ⎜ ⎟ ⎝ a0 ⎠
e − Zr a0
เมื่อ a0 คือ Bohr radius และ Y00 (θ , ϕ ) =
1 2 π
2
และระดับพลังงาน ground state ก็คือ
⎛ Ze2 ⎞ m Eground = − ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⎜ 4πε 0 ⎟ 2 ⎝ ⎠
เมื่อเปนเชนนี้ เราสามารถ
คํานวณ 1st order correction ของระดับพลังงาน ground state ไดวา (1) (0) (0) Eground = ψ ground Hˆ 1 ψ ground
ซึ่งสามารถเขียนใหอยูในรูปของ integration ไดก็คือ (1) Eground (0)∗ (0) (r , θ , ϕ ) Hˆ 1ψ ground (r ,θ , ϕ ) = ∫ d3rψ ground 2π π R 2 ⎫ ⎡ ⎛ r ⎞2 2 R ⎤ 2⎪ Z ⎪⎧ e ⎪⎫ ⎪⎧ 2 ∗ 0 ⎢ ⎥ ( ) 3 ( ) sin ( , ) drr R r R r d d Y ϕ θ θ θ ϕ = ⎨− − − ⎬ ⎨ ⎬ 10 10 0 ⎜ ⎟ ∫ ∫∫ r ⎥ ⎢⎣ ⎝ R ⎠ ⎪⎩ 4πε 0 2 R 0 ⎪⎭ ⎪⎩ 0 0 ⎪⎭ ⎦ =1
=−
e2
Z ⎛Z ⎞ 4⎜ ⎟ 4πε 0 2 R ⎝ a0 ⎠
3R
⎡ 2 r4 ⎤ − 2 Zr a 0 dr ∫ ⎢⎢3r − R 2 − 2 Rr ⎥⎥ e ⎣ ⎦ 0
เนื่องจากเทอม e− 2Zr a0 ที่ปรากฏอยูในสมการขางตน ทําใหการ integrate มีความซับซอนมากขึ้น แตถาเราประมาณวา รัศมีของนิวเคลียสนัน้ มีขนาดเล็กกวา Bohr radii มาก หรือ R a0 เมื่อเปน R
เชนนี้ ภายในชวงของการ integrate ∫ dr นั้น 0
r a0
1
และจะมีผลให e− 2 Zr a0
≅1
ดังนั้น
แลว R ⎡ 2 r4 ⎤ − 2 Zr a ⎡ 2 r4 ⎤ R3 0 − − ≅ − − = − dr r Rr e dr r Rr 3 2 3 2 ⎥ ⎥ ∫ ⎢⎢ ∫ ⎢⎢ 5 R2 R2 ⎥⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣ ≅1 0 0
R
ทําให (1) Eground
Dr. Teepanis Chachiyo
3
e 2 Z ⎛ Z ⎞ R3 4 ⎛ ZR ⎞ (0) 4⎜ ⎟ = = − Eground ⎜ ⎟ 4πε 0 2 R ⎝ a0 ⎠ 5 5 ⎝ a0 ⎠
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
2
เมื่อ R
a0
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
ทั้งนี้เมื่อเรารวมเทอม
(0) Eground
และ
9 Time Independent Perturbations
(1) Eground
9-18
เขาดวยกัน เพื่อเปนการประมาณ ground state
energy ของระบบดังกลาวนี้ จะไดวา Eground ≅
(0) Eground
(1) + Eground
=
(0) Eground
2 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎢1 − 4 ⎜ ZR ⎟ ⎥ ⎢ 5 ⎝ a0 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
เมื่อ R
a0
___ สมการ (9.30)
จากสมการขางตนจะพบวา การที่เรามองนิวเคลียสเปนการกระจายตัวของประจุแบบทรงกลม ที่มี รัศมีเทากับ R นั้น มีผลทําใหระดับพลังงานเพิ่มขึ้นเปนอัตราสวนเทากับ
4 ⎛ ZR ⎞ ⎜ ⎟ 5 ⎝ a0 ⎠
2
(ที่เพิ่มขึ้น
เพราะระดับพลังงานเดิมนั้น ติดลบ) และเพื่อที่จะทราบขนาดของ correction energy อยางคราวๆ เราอาจจะลองแทนคารัศมีของ นิวเคลียสใหมคี าเทากับ 1×10−15 m และกําหนดให Z = 1 ซึ่งจะไดวา 2
(1) Eground
4 ⎛ 1× 10−15 m ⎞ = 13.6 eV × ⎜ ⎟ = 3.89 × 10−9 eV − 11 5 ⎜⎝ 5.29 ×10 m ⎟⎠
หรือมีพลังงานเทากับคลื่นความถี่วิทยุ 0.941MHz ซึ่งนับวานอยมาก และเปนการยากทีจ่ ะ ตรวจสอบดวยกลไกของการทดลอง โจทยขอนี้จึงถือไดวาเปนเพียงแบบฝกหัดทางทฤษฏีที่ เกี่ยวของกับ perturbation แตเพียงเทานั้น
Ground State Energy ของ Helium Atom เมื่อเราพิจารณา Hamiltonian ของอิเล็กตรอนที่อยูภายใน helium atom ก็จะพบวามันมีความ ซับซอนไมแพกัน ดังแสดงใน ภาพ (9.3) จะเห็นวา helium atom ประกอบดวย 2 อิเล็กตรอน และ นิวเคลียสที่มี atomic number เปน Z = 2 เพราะฉะนัน้ Hamiltonian จะอยูในรูปของ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-19
อะตอมของ helium ที่ประกอบดวยอิเล็กตรอน 2 ตัว
z r1
r2
y
Z = +2
x ภาพ (9.3) อะตอมของ helium ที่ประกอบดวยอิเล็กตรอน 2 ตัว ซึ่งมีแรงผลักกันจากกฎของ Coulomb pˆ 2 e 2 Z pˆ 22 e2 Z e2 1 Hˆ = 1 − + − + 2m 4πε 0 r1 2m 4πε 0 r2 4πε 0 r1 − r2 1st electron
2nd electron
________ สมการ (9.31)
repulsion term
เทอมตางๆภายใน Hamiltonian ขางตนแบงออกเปน 3 กลุมใหญๆดวยกันคือ 1)
pˆ12 e2 Z − 2m 4πε 0 r1
คือพลังงานเฉพาะที่เกีย่ วของกับอิเล็กตรอนตัวแรก ซึ่งรวมทั้งพลังงานจลน
และพลังงานศักยที่มันกระทํากับนิวเคลียส 2)
pˆ 22 e2 Z − 2m 4πε 0 r2
คือพลังงานเฉพาะที่เกีย่ วของกับอิเล็กตรอนตัวที่สอง
3)
e2 1 4πε 0 r1 − r2
คือ Coulomb interaction ระหวางอิเล็กตรอนทั้งสอง ใหสังเกตวาฟงชันก
ของพลังงานเปนบวก ซึ่งหมายถึงแรงผลัก ในโจทยขอนี้ เราสนใจที่จะทราบ ground state energy หรือระดับพลังงานต่ําสุดของ Hamiltonian ดัง ในสมการ (9.31) ซึ่งในปจจุบัน ยังไมมใี ครสามารถหาคําตอบที่แทจริงโดยไมมกี ารประมาณไดเลย เพราะฉะนั้น ในขั้นตนนี้ เราจําเปนจะตองใช perturbation theory เขามาชวย และจะทําการ เปรียบเทียบคําตอบที่ได กับคําตอบที่ไดจากการทดลองในโอกาสตอไป Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
ในขั้นตน เราเขียน Hamiltonian ใหอยูใ นรูป
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
9-20
โดยที่
pˆ 2 e2 Z pˆ 22 e2 Z + − Hˆ 0 = 1 − 2m 4πε 0 r1 2m 4πε 0 r2
________ สมการ (9.32)
และ e2 1 ˆ H1 = 4πε 0 r1 − r2
___________________ สมการ (9.33)
ในขั้นที่สอง เราจะตองทําการหา eigenstate หรือ ที่เรียกวา wave function ของ Hˆ 0 เสียกอน ซึ่งจะ มีความสะดวกในการอธิบายความ ถาเราใชภาษาของ wave function เปนหลัก พิจารณา Hˆ 0ψ (0) = E (0)ψ (0)
จากสมการ (9.32) จะเห็นวา Hˆ 0 เปนฟงชันกของทั้ง r1 และ r2 เพราะฉะนัน้ โดยหลักของการแก สมการอนุพันธแลว wave function ควรจะตองเปนฟงชันกของ r1 และ r2 ดวยเชนกัน กลาวคือ 2 ⎡ 2 2 e2 Z e2 Z ⎤ (0) (0) (0) ∇1 − − ∇ 22 − ⎢− ⎥ψ ( r1, r2 ) = E ψ ( r1, r2 ) 4πε 0 r1 2m 4πε 0 r2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2m
_____________________ สมการ (9.34) เมื่อเครื่องหมาย Laplacian ∇12 ที่ประกอบดวย subscript 1 นั้นหมายถึง Laplacian เทียบกับพิกัดของ อิเล็กตรอนตัวแรกเพียงเทานัน้ ยกตัวอยางเชน ∇ 22
≡
∂2 ∂x22
+
∂2 ∂y22
+
∂2 ∂z22
∇12
≡
∂2 ∂x12
+
∂2 ∂y12
+
∂2 ∂z12
และ
เชนนี้เปนตน
อนึ่ง เมื่อกลาวถึงระบบทีป่ ระกอบดวย 2 อิเล็กตรอนขึ้นไป โดยทั่วไปแลวนอกจากพิกัดบอก ตําแหนงแลว เราจะตองวิเคราะหถึง spin ของมันทั้งสองดวย แตในขัน้ ตนนี้ เนื่องจากเรากําลัง กลาวถึงระดับพลังงาน ground state ซึ่งอิเล็กตรอนทั้งสองมี spin ตรงกันขามกันพอดี จึงพอจะ อนุโลมขามประเด็นของ spin ไปเสียกอน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-21
ผลเฉลยของสมการ (9.34) นัน้ สามารถหาไดโดยใชเทคนิคที่เรียกวา separation of variables กลาวคือ สมมุติให ψ (0) ( r1, r2 ) = φ ( r1 ) φ ( r2 )
เมื่อ φ ( r ) คือฟงชันกใดๆ และถาแทนสมมติฐานขางตนเขาไปในสมการ (9.34) ประกอบกับ ทักษะเชิงพีชคณิตขั้นพืน้ ฐาน จะนําไปสูผลลัพธที่วา 2
ground state energy ของ
Hˆ 0
ground state wave function
(0) Eground
⎛ Ze2 ⎞ m = −2 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 4πε 0 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠
(0) ψ ground ( r1, r2 ) = φ ( r1 ) φ ( r2 )
เมื่อ Z = 2 เมื่อ φ (r ) = R10 (r )Y00 (θ , ϕ )
_____________________ สมการ (9.35) แบบฝกหัด 9.3 จงพิสูจนสมการขางตน โดยใชเทคนิค separation of variables อยางไรก็ตาม ระดับพลังงาน ground state ดังแสดงในสมการ (9.35) นั้น เปนเพียง ground state ของ Hamiltonian Hˆ 0 ที่ปราศจาก interaction ซึ่งเปนแรงผลักระหวางอิเล็กตรอนทั้งสอง จึงไมใช ระดับพลังงานของ helium atom เสียเลยทีเดียว Hamiltonian Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1 ตางหาก ที่เปนแสดงถึงระบบของ helium atom อยางแทจริง เพียงแต วา การที่จะคํานวณระดับพลังงาน ground state โดยตรงนัน้ ทําไดยาก เราจึงตองใช perturbation theory แทน โดยมองวา Hˆ 1 =
e2 1 4πε 0 r1 − r2
เปน perturbation ซึ่งจะไดวา 1st order energy ของ
ground state ก็คือ (1) (0) (0) (0)∗ (0) Eground = ψ ground Hˆ 1 ψ ground = ∫∫ d3r1d3r2 ψ ground (r1, r2 ) Hˆ 1ψ ground (r1, r2 )
(0) และเมื่อแทน ψ ground ( r1, r2 ) จากสมการ (9.35) จะไดวา
e2 (1) Eground = 4πε 0
Dr. Teepanis Chachiyo
2 0 2⎛ 3 2 0 2⎞ 1 3 d r ( ) ( , ) d r ( ) ( , ) θ ϕ θ ϕ R r Y R r Y ⎜ ⎟⎟ 1 10 1 0 1 1 2 10 2 0 2 2 ∫ ⎜∫ r1 − r2 ⎝ ⎠
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-22
_____________________ สมการ (9.36) มีอยูหลายวิธีที่เราจะสามารถคํานวณผลของ integration ∫ d3r2 ได วิธีหนึ่งก็คือการเขียน เราสามารถกําหนดให
1 1 = r1 − r2 r12 − 2r1 ⋅ r2 + r22
zˆ2 r1
2 2 1 R10 (r2 ) Y00 (θ 2 , ϕ2 ) r1 − r2
ซึ่งในการ integrate ตัวแปร d3r2 นั้น
ดังนั้น 1 1 = r1 − r2 r12 − 2r1r2 cos θ 2 + r22
และจะทําให ∫ d3r2
2 2 1 e− 2 Zr1 a0 1 Z − e− 2 Zr1 a0 R10 (r2 ) Y00 (θ 2 , ϕ2 ) = − r1 − r2 r1 r1 a0
ซึ่ง
เมื่อแทนผลลัพธดังกลาวเขาไปในสมการ (9.36) จะไดวา 2
(1) Eground
5 ⎛ Ze2 ⎞ m = ⎜ ⎟ ⋅ 2 8 ⎜⎝ 4πε 0 ⎟⎠ 2
_____________________ สมการ (9.37)
โดยที่เราจะปลอยใหเปนหนาที่ของนักศึกษาที่จะตอง พิสูจนในทางคณิตศาสตร เพื่อที่จะทราบที่มา ของสมการขางตน อยางถองแท แบบฝกหัด 9.4 จงพิสูจนสมการ (9.37) โดยเริ่มจากสมการ (9.36) บอกใบ: นักศึกษาสามารถศึกษาขั้นตอนในการ integrate อยางละเอียดไดใน "Theoretical Physics: ทายเลมวิชาแกน", Chapter Two-Electron System, Dr. Teepanis Chachiyo. เพราะฉะนั้น เมื่อแทน Z = 2 เราสามารถประมาณ ground state energy ของ helium atom ไดวา 2
⎛ Ze2 ⎞ m Eground ≅ ⎜ ⎟ ⋅ 2 ⎜ 4πε 0 ⎟ 2 ⎝ ⎠
Dr. Teepanis Chachiyo
5⎤ ⎡ ⎢⎣ −2 + 8 ⎥⎦ = −74.8eV
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
________________ สมการ (9.38)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
ซึ่งเมื่อเปรียบเทียบกับผลการทดลอง
9 Time Independent Perturbations (exp.) Eground = −79.0 eV
9-23
จะมีคา error อยูที่ 5% โดยประมาณ
และนับวาเปนที่นาพอใจในระดับหนึ่ง อยางไรก็ตาม ยังมีวิธีในการประมาณที่ใหผลแมนยํากวานี้ มากนัก อาทิเชน Hartree-Fock, หรือ CI calculation
9.4 Degenerate Perturbation Theory จากการศึกษา perturbation theory ที่ผานมาจะพบวา เมือ่ พิจารณาเทอมที่ปรากฏอยูบอยครั้ง ซึ่งก็คือ ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) En(0) − Ek(0)
ในกรณีที่ eigen energy ของ unperturbed Hamiltonian กลาวคือ
Hˆ 0
มีลักษณะที่เรียกวา degenerate
degeneracy: เกิดกรณีที่ En(0) = Ek(0) ทั้งๆที่ n ≠ k จะมีผลทําใหเทอมดังแสดงขางตน ลูเขาสู infinity และเกิดปญหาในการคํานวณตามมาอยาง หลีกเลี่ยงไมได ดวยเหตุนี้เอง ถา eigenstate ของ Hˆ 0 อยูในสภาวะที่เปน degeneracy เสียแลว เรา จะตองมาวิเคราะหหาสูตรสําเร็จในการประมาณ correction energy จากเดิมที่เขียนไวในสมการ (9.11) และ (9.13) กันเสียใหมทั้งหมด นอกจากนี้ correction เทอมของ eigenstate ดังแสดงในสมการ (9.12) ก็จําเปนจะตองมีการ เปลี่ยนแปลงดวย หากแตดว ยความซับซอนที่จะตามมา และเกินขอบเขตของเนื้อหา เราจะไม กลาวถึงในกรณี correction ของ eigenstate
1st order Energy Correction เพื่อที่จะรับมือกับสถานการณของ degeneracy เราจะตองเริ่มพิจารณากันตั้งแตตน สมมุติวา eigenstate ของ Hamiltonian Hˆ 0 มีอยู N สถานะที่มีพลังงาน En(0) เทากัน กลาวคือ ψ n(0) ,i
Dr. Teepanis Chachiyo
i = 1, 2,
,N
มีพลังงาน
En(0)
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
________________ สมการ (9.39)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-24
จะสังเกตวา เราใชเลขกํากับดัชนีของสถานะขางตนถึง 2 ตัวเลขดวยกันคือ n, i โดยที่ n แสดงถึง ระดับพลังงาน ในขณะที่ i แสดงถึงสถานะตางๆที่มีโอกาสเปนไปได ในชั้นระดับพลังงานดังกลาว นี้ และเพื่อทีจ่ ะใหนกั ศึกษาเขาใจความหมายของสัญลักษณดังในสมการ (9.39) อยางเปนรูปธรรม เราจะยกตัวอยางในกรณีของ hydrogen atom เมื่อกลาวถึงสถานะ eigenstate ของ hydrogen atom เรามักจะใชสัญลักษณ n, l , m เมื่อ n = 1, 2, คือเลข quantum number ที่บงบอกถึงระดับชั้นของพลังงาน ในขณะที่ l และ m แสดงถึงสมบัติเชิง orbital angular momentum ของอิเล็กตรอน โดยที่ l =∈ {0,1, ( n − 1)} และ m ∈ {−l , − ( l − 1) , , + ( l − 1) , +l} ดวยเหตุทใี่ นแตละคาของ n มี {l , m} ที่เปนไปไดอยู หลายคาดวยกัน สถานะ eigenstate ของ hydrogen atom n, l , m จึงมีลักษณะที่เปน degeneracy ซึ่งถาเราคํานวณกันใหดี ณ ระดับพลังงาน n ใดๆ จะมี eigenstate อยูทงั้ หมด ระดับพลังงานเทากัน หรือ กลาวเปนภาษาที่คอนขางเปนทางการวา hydrogen atom ณ ระดับพลังงาน n มีอยูอยางนอย
N = n2
N = n2
สถานะที่มี
fold degeneracy
ยกตัวอยางเชน ในระดับ n = 1 มีอยูอยางนอย N = 1 fold degeneracy ซึ่งก็คือ n, l , m = 1, 0, 0 ในระดับ n = 2 มีอยูอยางนอย N = 4 fold degeneracy ซึ่งก็คือ n, l , m = 2, 0, 0 , 2,1, −1 , 2,1, 0 , 2,1, +1 แบบฝกหัด 9.5 จงพิสูจนวา hydrogen atom ณ ระดับพลังงาน n มีอยูอยางนอย N = n2 fold degeneracy และถานํา spin ของอิเล็กตรอนเขามาคิดรวมดวย ก็จะมี N = 2n2 fold degeneracy และถาเราจะโยงสัญลักษณทเี่ ราไดกลาวถึงในสมการ (9.39) มาใชอธิบายกรณีขางตน จะไดวา hydrogen atom ณ n = 2 มี eigenstate
Dr. Teepanis Chachiyo
(0) ψ 2, i
i ∈ {1, 2,3, 4}
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
_________ สมการ (9.40)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-25
เชนนี้เปนตน eigenstate ที่มีลักษณะ degenerate ดังกลาวนี้ ยังมีชื่อเรียกโดยทั่วไปวา กําหนดให
ψ n(0) ,i
i = 1, 2,
,N
เปน "sub-space" ของ degenerate eigenstate ____________________ สมการ (9.41)
เมื่อเปนเชนนี้ ถายอนกลับไปถึงการเขียน eigenstate
ψn
ดังในสมการ (9.6) โดยที่ในคราวนี้ เรา
นําเอาความเปน degeneracy เขามาวิเคราะหรวมดวย จะไดวา N
(1) 2 (2) ψ n = ∑ ci ψ n(0) + λ 3 ψ n(3) + ,i + λ ψ n + λ ψ n
___________ สมการ (9.42)
i =1
เมื่อ {ci } เปนเซตของสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสม ที่จะตองทําการวิเคราะหหาในลําดับตอไป และเมื่อ เรานํา
ψn
ดังในสมการ (9.42) แทนเขาไปในสมการ (9.2) จากนั้นแยกเขียนเฉพาะเทอมที่คูณอยู
กับ λ1 จะไดวา N
N
i =1
i =1
(0) (0) (1) (1) Hˆ 0 ψ n(1) + Hˆ 1 ∑ ci ψ n(0) ,i = En ψ n + En ∑ ci ψ n,i
_________ สมการ (9.43)
สมการขางตนนั้น มีลักษณะที่คลายกับสมการ (9.9) เปนอยางมาก เพียงแตวา สมการ (9.9) นั้นเปน กรณีของ non-degenerate ในขณะที่สมการ (9.43) เปนกรณีของ degenerate 1st order perturbation นั่นเอง เมื่อเรานําสถานะ bra
ψ n(0) ,j
เขาประกบทั้งสองขางของสมการขางตน จะไดวา N
N
(0) (0) (0) (1) (0) (1) (1) ˆ ˆ ψ n(0) + ψ n(0) + ψ n(0) , j H0 ψ n , j H1 ∑ ci ψ n,i = ψ n, j En ψ n , j En ∑ ci ψ n,i i =1
N
∑ ci
i =1 N
∑ ci
i =1
Dr. Teepanis Chachiyo
i =1
N
(0) (0) (0) (1) ˆ ψ n(0) , j H1 ψ n,i = En ∑ ci ψ n, j ψ n,i i =1
δ ij
(0) (1) ˆ ψ n(0) , j H1 ψ n,i = En c j
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-26
________________ สมการ (9.44) ถาเราเขียนสมการขางตนใหอยูในรูปของ vector และ matrix โดยนิยามให vector
และ matrix
⎡ ψ (0) ⎢ n,1 ⎢ (0) ⎢ ψ H1 ≡ ⎢ n,2 ⎢ ⎢ (0) ⎢ ψ n, N ⎣
⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ c≡⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣cN ⎦
Hˆ 1 ψ n(0) ,1
(0) ˆ ψ n(0) ,1 H1 ψ n,2
(0) ⎤ ˆ ψ n(0) ,1 H1 ψ n, N
Hˆ 1 ψ n(0) ,1
(0) ˆ ψ n(0) ,2 H1 ψ n,2
(0) ˆ ψ n(0) ,2 H1 ψ n, N
Hˆ 1 ψ n(0) ,1
(0) ˆ ψ n(0) , N H1 ψ n,2
(0) ˆ ψ n(0) , N H1 ψ n, N
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
___________________ สมการ (9.45) ดังนั้นสมการ (9.44) แปรสภาพเปน H1c = En(1) c
___________________ สมการ (9.46)
matrix element ของ degenerate sub-space ในสมการ (9.45) และสมการที่อยูในรูป eigen matrix equation ในสมการ (9.46) เปนสมการที่สําคัญในการคํานวณ 1st order energy correction En(1) และเพื่อที่จะใหนักศึกษาคุนเคยกับการนําสมการทั้งสองมาใชงาน เราลองมาวิเคราะห Stark effect ที่เกิดขึ้นกับ hydrogen atom
Stark Effect Stark effect เปนปรากฏการณที่ absorption spectrum หรือ ระดับพลังงานของอะตอม มีการ เปลี่ยนแปลงสืบเนื่องมาจากสนามไฟฟาทีป่ อนเขาไป เพื่อเปนตัวอยางในการนํา degenerate perturbation theory มาประยุกตใชงาน เราจะพิจารณา hydrogen atom ในสถานะ ground state n = 1 และ สถานะ excited state n = 2 ดังแสดงใน ภาพ (9.1) Hamiltonian ของระบบที่ประกอบดวย hydrogen atom และสนามไฟฟาภาย นอกนั้น อยูใ นรูปของ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-27
pˆ 2 e2 Z Hˆ = − − e E zˆ 2m 4πε 0 r Hˆ 0
และเมื่อตองการทราบ energy eigenstate ของ unperturbed Hamiltonian คือ
Hˆ
โดยใชวิธีของ perturbation เรากําหนดให
pˆ 2 e2 Z ˆ H0 = − 2m 4πε 0 r
และ perturbing Hamiltonian คือ
Hˆ 1 = −e E zˆ
ในสถานะ ground state n = 1 จะเห็นวา eigenstate ของ unperturbed Hamiltonian Hˆ 0 นั้นอยูใ น สภาวะทีเ่ ปน non-degenerate กลาวคือ n, l , m = 1, 0, 0 และ 1st order energy correction ของ ground state นั้นก็คือ (1) (0) (0) = ψ ground Eground Hˆ 1 ψ ground
(0) เมื่อ ψ ground (r ) = R10 (r )Y00 (θ , ϕ ) คือ ground state wave function ของ hydrogen atom ซึ่งเมื่อ
ทําการ integrate จะพบวา
(
)
(1) (0)∗ (0) Eground = ∫ d3rψ ground (r ) −e E r cos θ ψ ground (r )
⎧⎪∞ ⎫ ⎧π 2π 2⎫ ⎪ 2⎪⎪ = −e E ⎨ ∫ dr r 3 R10 (r ) ⎬ ⎨ ∫ ∫ dθ dϕ sin θ cos θ Y00 (θ , ϕ ) ⎬ ⎩⎪ 0 ⎭⎪ ⎩⎪ 0 0 ⎭⎪
สมการขางตน เกิดจากการเขียน perturbing Hamiltonian Hˆ 1 = −e E zˆ = −e E r cos θ และ แยกการ integrate ออกเปนสองสวนดวยกันคือ dr r 2 และ dθ dϕ sin θ π 2π
อยางไรก็ตาม เนื่องจาก ∫ ∫
2
dθ dϕ sin θ cos θ Y00 (θ , ϕ ) = 0
จะมีผลทําให 1st order energy
0 0
correction เนื่องจากสนามไฟฟา (1) Eground =0
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
___________________ สมการ (9.47)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-28
เพราะฉะนั้นแลว เราสรุปไดวา เมื่อปอนสนามไฟฟาภายนอกที่มีความเขม E เขาไปใน hydrogen atom ระดับพลังงาน ground state แทบจะไมมีการเปลีย่ นแปลงเลย หรือถึงจะมี ก็นอยมาก ซึ่งอยู ในระดับ 2nd order correction เพียงเทานัน้ ในสถานะ 1st excited state n = 2 จะเห็นวา eigenstate ของ unperturbed Hamiltonian Hˆ 0 นั้นอยู ในสภาวะที่เปน 4-fold degeneracy กลาวคือ n, l , m = 2, 0, 0 , 2,1, −1 , 2,1, 0 , 2,1, +1 (1) ในโจทยขอนี้เราตองการทราบ 1st order energy correction E1st excite ของระบบ แตเนื่องจากความเปน 4-fold degeneracy ของ eigenstate ดังกลาว เราจําเปนจะตองใช degenerate perturbation theory ดังแสดงในสมการ (9.46) และเพือ่ ความชัดเจน เรากําหนดให ψ n(0) ,i
i = 1, 2,3, 4
เปน sub-space ของ degenerate eigenstate
i =1
ψ n(0) ,1 = 2, 0, 0
i=2
ψ n(0) ,2 = 2,1, −1
i=3
ψ n(0) ,3 = 2,1, 0
i=4
ψ n(0) ,4 = 2,1, +1
ขั้นตอนตอไป คือการสราง sub-space perturbation matrix ขนาด 4x4 ดังแสดงในสมการ (9.45) ได ดังตอไปนี้ ⎡ ⎢ ⎢ H1 ≡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
2, 0, 0 Hˆ 1 2, 0, 0 2,1, −1 Hˆ 1 2, 0, 0 2,1, 0 Hˆ 2, 0, 0
2, 0, 0 Hˆ 1 2,1, −1 2,1, −1 Hˆ 1 2,1, −1 2,1, 0 Hˆ 2,1, −1 1
2, 0, 0 Hˆ 1 2,1, 0 2,1, −1 Hˆ 1 2,1, 0 2,1, 0 Hˆ 2,1, 0
2,1, +1 Hˆ 1 2, 0, 0
2,1, +1 Hˆ 1 2,1, −1
2,1, +1 Hˆ 1 2,1, 0
1
1
2, 0, 0 Hˆ 1 2,1, +1 ⎤ ⎥ 2,1, −1 Hˆ 1 2,1, +1 ⎥ ⎥ 2,1, 0 Hˆ 1 2,1, +1 ⎥ 2,1, +1 Hˆ 1 2,1, +1 ⎥⎦
ไมใชเรื่องงายนักที่เราจะทําการ integrate matrix element ทั้ง 16 ชุด แตก็ไมใชเรื่องที่เกิน ความสามารถของนักศึกษาจนเกินไป ถาทราบเทคนิค และมีกระบวนการคิดอยางเปนขั้นตอน integration ทั้ง 16 เทอมขางตนสามารถลดรูปใหอยูใ นรูปของ
∫d Dr. Teepanis Chachiyo
3
∗
r ⎡⎣ψ n, ′, m′ (r ) ⎤⎦ z ⎡⎣ψ n, , m (r ) ⎤⎦
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-29
เมื่อ ψ n,l , m ( r , θ , ϕ ) = Rn,l (r )Ylm (θ , ϕ ) 32
( n − l − 1)! ρ l e− ρ 2L(2l +1) ( ρ ) และ ρ = 2Z ⋅ r n − l −1 n a0 2n ( n + l ) ! 2l + 1 ( l − m )! m Ylm (θ , ϕ ) = ⋅ Pl (cos θ )eimϕ 4π ( l + m ) !
⎛ 2Z ⎞ Rn,l (r ) = ⎜ ⎟ ⎝ na0 ⎠
l +1) L(2 n − l −1 ( ρ )
คือ associated Laguerre polynomial , Ylm (θ , ϕ ) คือ spherical harmonics , และ Plm ( x) คือ associated Legendre polynomial และอาศัยเวลาพอสมควรเราจะบอกไดวา 2
2
n 2 − ( + 1) ( + 1) − m2 3a0 ∫ d r ⎡⎣ψ n, ′,m′ (r ) ⎤⎦ z ⎡⎣ψ n, ,m (r )⎤⎦ = − 2Z n ( 2 + 1)( 2 + 3) 3
∗
ถา
′ = +1
และ m′ = m ___________________ สมการ (9.48) ซึ่งเมื่อแทน Z = 1 และ n = 2 จะได ⎡ 0 ⎢ ⎢ 0 H1 ≡ ⎢ ⎢3a0e E ⎢ 0 ⎣
0 3a0e E 0 0 0
0
0
0
0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0 ⎥⎦
___________________ สมการ (9.49) แบบฝกหัด 9.6 จงพิสูจนสมการ (9.48) แบบฝกหัด 9.7 นําสมการ (9.48) มาประยุกตใชในการคํานวณ perturbation matrix ดังในสมการ (9.49) เมื่อนํา matrix ขางตนมาคํานวณหา eigen values ซึ่งเปนขั้นตอนสุดทายของ 1st order energy correction ดังแสดงในสมการ (9.46) ซึ่งจะพบวามี eigenvalue ทั้งสิ้น 4 คาดวยกันคือ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
{
(1) E1st excite = −3a0e E , 0, 0, +3a0e E
}
9-30
______________ สมการ (9.50)
Stark Effect ของ Hydrogen Atom +3e E
1st excited
−3e E
ground Hˆ 0
Hˆ 0 + Hˆ 1
ระดับพลังงานของ hydrogen atom มีการเปลีย่ นแปลง สืบเนื่องจากสนามไฟฟา E ทีป่ อนเขาไปในระบบ ภาพ (9.4) แสดงผลของสนามไฟฟาตอระดับพลังงานของ hydrogen atom จากการคํานวณที่ผานมา ในแงของ Stark effect ซึ่งมีผลลัพธดังในสมการ (9.47) และ สมการ (9.50) เราสามารถสรุปโดยอาศัย ภาพ (9.4) ไดดังตอไปนี้ hydrogen atom โดยตัวมันเอง ขณะทีย่ ังไมมีสนามไฟฟาภายนอก มีสถานะตางๆ ซึ่งอยูในระดับ พลังงานตางๆกัน หนึ่งในนัน้ ก็คือ ground state และ 1st excited state 1) ในระดับพลังงาน ground state อิเล็กตรอนอยูในสถานะ n, l , m = 1, 0, 0 และมีพลังงานต่ําที่สุด 2) ในระดับพลังงาน 1st excited state อิเล็กตรอนมีไดทั้งสิ้น 4 สถานะดวยกันคือ 2, 0, 0 , 2,1, −1 , 2,1, 0 , 2,1, +1 ซึ่ง มีพลังงานเทากันทั้งหมด ดังจะเห็นไดจากภาพซีกซายมือ ซึ่งแสดงดวยเสนตรง 4 เสนที่อยูในระดับ เดียวกัน เมื่อมีสนามไฟฟาภายนอก ทีม่ ีความเขมเทากับ E เขามาในระบบ ปรากฏวาระดับพลังงานชั้น ตางๆก็จะตองมีการเปลี่ยนแปลง โดยประมาณแลว (1st order energy correction) จาก ภาพ (9.4) จะ เห็นวา ระดับพลังงาน ground state ยังคงไมมีการเปลี่ยนแปลงแตอยางใด ในขณะที่ระดับพลังงาน 1st excited state นั้น แยกออกเปน 3 ระดับ: −3a0e E , 0 , และ +3a0e E จะเปนวา ขนาดของ พลังงานที่แยกออกมานั้น แปรผันตรงกับขนาดความเขมของสนามไฟฟาที่ปอนเขาไป
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-31
Stark effect ที่เราไดหยิบมาเปนตัวอยางของการคํานวณ 1st order energy correction En(1) นั้นก็ เพื่อใหนักศึกษาสามารถเห็นการนํา degenerate perturbation theory มาประยุกตใชงานอยางเปน รูปธรรม ซึ่งในที่นี้เราจะสรุปขั้นตอนโดยทั่วไป ดังตอไปนี้ 1. กําหนด Hamiltonian Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1 2. พิจารณา sub-space ของ degenerate eigenstate
ψ n(0) ,i
i = 1, 2,
,N
3. สราง sub-space perturbation matrix H1 ซึ่งคํานวณไดจากสมการ (9.45) 4. คํานวณ eigenvalue ของ matrix ในขอ 3 ซึ่งจะไดผลลัพธเปนเซตของ {En(1) }
9.5 Application - Relativistic Corrections ระดับพลังงาน ground state ของ hydrogen atom ที่ quantum mechanics ไดทํานายเอาไววา มีคา เทากับ Eground = −13.6 eV ตลอดจน absorption spectrum ของ hydrogen atom ที่ผลการคํานวณ ตรงกันอยางนาทึ่งกับผลการทดลอง อยางไรก็ตาม ถาพิจารณาโดยละเอียดถี่ถวนแลว ยังมีอันตร กริยาอื่นๆที่เกิดขึ้นภายใน hydrogen atom ที่เรายังไมไดนํามาวิเคราะหรวมดวย อาทิเชน relativistic correction ของพลังงานจลน และ spin-orbit interaction ซึ่งจะไดกลาวถึงโดยละเอียดในลําดับตอไป อันตกริยาที่เกิดขึ้นเหลานี้ จะเปนที่มาของสิ่งที่เรียกวา Lamb shift ซึ่งเปนงานที่ทําให W.E. Lamb ไดรับรางวัล Noble prize ในป 1953. (W.E. Lamb and R.C. Retherford, Phys.Rev.72: 241 (1947) และ Phys.Rev.86: 1014 (1952))
Relativistic Correction ของพลังงานจลน เมื่อเราพิจารณา Hamiltonian ของ hydrogen atom โดยทั่วไปนัน้ เรามองวาพลังงานจลนของ อิเล็กตรอนซึ่งมีมวล m มีคาเทากับ classical kinetic energy:
pˆ 2 Kˆ = 2m
______________ สมการ (9.51)
อยางไรก็ตาม ถาเราพิจารณาใหละเอียดถึงปรากฏการณเชิง special relativity ที่เมื่ออิเล็กตรอน เคลื่อนที่ดวยความเร็วสูงขึ้น มวลของมันก็จะเพิ่มขึน้ ดวย สงผลใหสมการในการคํานวณพลังงาน จลนในขางตน มีความผิดพลาดอยูเล็กนอย
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-32
ถาเราทบทวนเนื้อหาของ special relativity พื้นฐาน จะพบวา พลังงานจลนของอนุภาคควรจะอยูใ น รูปของ relativistic kinetic energy:
Kˆ =
( )
pˆ 2c 2 + mc 2
2
− mc 2
______________ สมการ (9.52)
เมื่อ c คือความเร็วแสง และ m คือ rest mass ของอิเล็กตรอน ดูผิวเผินนัน้ ราวกับวา รูปแบบทาง คณิตศาสตรในสมการ (9.52) มีความแตกตางโดยสิ้นเชิงกับสมการ (9.51) แตวาถาเราเขียน relativistic kinetic energy ใหอยูในรูปของ Taylor expansion ไดดังนี้ relativistic kinetic energy:
pˆ 2 pˆ 4 pˆ 6 Kˆ = − + + 2m 8m3c 2 16m5c 4
______________ สมการ (9.53)
ซึ่งจะเห็นวา เทอมแรกของ relativistic kinetic energy นั้น ตรงกันพอดีกับ classical kinetic energy เพียงแตวาพลังงานจลนดังในสมการ (9.53) มี correction เทอม −
pˆ 4 8m3c 2
เพราะฉะนั้นถา
เราจะเขียน Hamiltonian ของ hydrogen atom เสียใหม โดยนําเอา relativistic correction ของ พลังงานจลนเขามารวมวิเคราะหดว ย ซึ่งก็คือ pˆ 2 e2 Z pˆ 4 Hˆ = − − 2m 4πε 0 r 8m3c 2
______________ สมการ (9.54)
Hˆ K
Hˆ 0
เมื่อ Hˆ K = −
pˆ 4 8m3c 2
______________ สมการ (9.55)
คือ relativistic correction Hamiltonian ของพลังงานจลน และในโจทยขอนี้เราตองการที่จะทราบวา eigen energy ของ Hamiltonian ดังในสมการ (9.54) มีคาเทาใด และจะเปลี่ยนแปลงไปจาก Hamiltonian Hˆ 0 เดิมอยางไร เนื่องจาก Hamiltonian Hˆ 0 เปนของ hydrogen atom ซึ่งมี eigenstate ที่แสดงดวยสัญลักษณ n, l , m และเมื่อพิจารณาเฉพาะระดับพลังงาน n ใดๆ จะพบวามีอยูทั้งสิ้น n2 fold degeneracy ดังนั้นเรา จําเปนตองใช degenerate perturbation theory ในการตอบโจทยที่ตั้งไวขางตน Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-33
พิจารณา ณ ระดับพลังงาน n ของ hydrogen atom กําหนดให sub-space eigenstate คือ ψ n(0) i = 1, 2, , N เมื่อ N = n 2 เพื่อความชัดเจน เราจะกําหนดใหดช ั นี i ที่มีคาตั้งแต 1 ,i จนถึง N นั้น แสดงถึงสถานะตางๆของ hydrogen atom ดังตอไปนี้ i =1
ψ n(0) ,1 = n, l = 0, m = 0
i=2
ψ n(0) ,2 = n, l = 1, m = −1
i=3
ψ n(0) ,3 = n, l = 1, m = 0
i=4
ψ n(0) ,4 = n, l = 1, m = +1
i=5
ψ n(0) ,5 = n, l = 2, m = −2
i=N
ψ n(0) , N = n, l = ( n − 1) , m = +l
กลาวโดยสรุปก็คือเราแบง
ψ n(0) ,i
i = 1, 2,
,N
ออกเปนกลุมๆ โดยอาศัย orbital angular
momentum l เปนเกณฑ และในกลุมที่มี l เดียวกัน เราก็เรียง m quantum number จากนอยไปหา มาก m = −l , − ( l − 1) , , + ( l − 1) , +l ขั้นตอนตอไปของ degenerate perturbation theory ก็คือการคํานวณ matrix element {H1}ij = ψ n(0),i Hˆ K ψ n(0), j เหมือนดังสมการ (9.45) ทัง้ นี้สมมุติให ψ n(0) ,i
แทนอิเล็กตรอนอยูในสถานะ
n, l ′, m′
ψ n(0) ,j
แทนอิเล็กตรอนอยูในสถานะ
n, l , m
ดังนั้น (0) ˆ ˆ ψ n(0) ,i H K ψ n, j = n, l ′, m′ H K n, l , m
เพื่อความสะดวกในการคํานวณ matrix element ขางตน เราเขียน operator
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
Hˆ K
เสียใหมไดวา
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-34
2
⎛ pˆ 2 ⎞ e2 Z ⎞ 1 ⎛ ˆ ˆ HK = − =− ⎜ ⎟ =− ⎜ H0 + ⎟ 4πε 0 r ⎟⎠ 8m3c 2 2mc 2 ⎜⎝ 2m ⎟⎠ 2mc 2 ⎜⎝ pˆ 4
1
2
เพราะฉะนั้น n, l ′, m′ Hˆ K n, l , m = −
1 2mc 2
2
⎛ e2 Z ⎞ n, l ′, m′ ⎜ Hˆ 0 + ⎟ n, l , m ⎜ ⎟ 4 r πε 0 ⎝ ⎠ ⎧ ⎪ (0) 2 n, l ′, m′ n, l , m ⎪ En ⎪ 2 ⎪⎪ 1 (0) e n, l ′, m′ n, l , m ⎨ + 2 En 4πε 0 r ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎛ e2 ⎞ 1 ⎪ + ⎜⎜ Z 4πε ⎟⎟ n, l ′, m′ 2 n, l , m r 0⎠ ⎩⎪ ⎝
( )
=−
1 2mc 2
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎪
__________________ สมการ (9.56) จะเห็นวา ผลลัพธของสมการขางตนประกอบดวย 3 เทอมดวยกัน สิ่งทีเ่ ราสรุปไดทันทีก็คือ n, l ′, m′ Hˆ K n, l , m = 0
แบบฝกหัด 9.8 จงพิสูจนสมการ (9.57) โดยการเขียน n, l ′, m′ π 2π
1 r2
ถา l ′ ≠ l ______________ สมการ (9.57) n, l ′, m′ n, l , m
,
n, l ′, m′
1 n, l , m r
,
ใหอยูใ นรูป integral ของ wave function และสังเกต integral ในสวนของ
n, l , m
∫ ∫ dθ dϕ sin θ
0 0
แบบฝกหัด 9.9 จงพิสูจนสมการ (9.57) โดยเริ่มจากสมบัติที่วา ⎡⎣ Hˆ K , Lˆ2 ⎤⎦ = 0 = Hˆ K Lˆ2 − Lˆ2 Hˆ K บอกใบ: พิจารณา
n, l ′, m′ ⎡ Hˆ K , Lˆ2 ⎤ n, l , m ⎣ ⎦
n, l ′, m′ Hˆ K n, l , m = 0 ถา l ′ ≠ l ดังกลาวนี้มค ี วามสําคัญมาก เพราะจะทําให matrix element H = ψ (0) Hˆ ψ (0) มีลักษณะเปน block ยอยๆในแนวทแยง ที่ซอนอยู
สมบัติที่วา
{ 1}ij
n,i
K
n, j
ภายในตัว matrix อีกทีหนึ่ง ดังแสดงใน ภาพ (9.5)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-35
sub-space perturbing matrix มีลักษณะเปน block ในแนวทแยงที่ซอ นอยูภายใน l = 0 l =1 l = 2 0
0
0 H1 =
0
0
l = ( n − 1)
l=0 l =1
0
0
0
l = ( n − 1)
ทฤษฏีบท: eigenvalue ของ matrix H1 ลดรูปเหลือเพียง eigenvalue ของแตละ block ยอยๆเหลานี้
ภาพ (9.5) แสดงลักษณะของ matrix H1 ที่เปนผลสืบเนื่องมากจากสมบัติที่วา n, l ′, m′ Hˆ K n, l , m = 0 ถา l ′ ≠ l จากภาพ เมือ่ เราทําการจําแนก
ψ n(0) ,i
ออกเปนกลุมๆโดยอาศัยขนาดของ orbital angular
momentum l เปนเกณฑ ดังนั้นสมการ (9.57) จะมีผลให matrix element ระหวางสถานะที่อยูคน ละกลุมกัน มีคา เทากับศูนย ดังจะเห็นในภาพที่ใหญของ matrix element มีคาเปนศูนย ยกเวนใน แนวทแยงเพียงเทานั้น ลักษณะเชนนี้เรามักจะเรียกวา matrix H1 แบงออกเปน block ยอยๆในแนวทแยง หรือ "block diagonal matrix" ซึ่งในแตละ block ที่คือกลุมของ ψ n(0),i ที่มีขนาดของ angular orbital momentum l เทากัน ในลําดับสุดทายของ degenerate perturbation theory ก็คอื การคํานวณ eigenvalue ของ matrix H1 ซึ่งลักษณะของ H1 ดังใน ภาพ (9.5) มีความสําคัญมากที่จะชวยใหเราสามารถหา eigenvalue ได อยางไมยากนัก อาศัยทฤษฏีบทที่เกี่ยวของกับ matrix และ eigenvalue ของ matrix ที่วา eigenvalue ของ block diagonal matrix มีคาเทากับ eigenvalue ของแตละ block ดวยเหตุนี้เอง เราจะพิจารณาเฉพาะ eigenvalue ของแตละ block ที่มี quantum number n และ l เทากัน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
block ของ quantum number n, l
{H } ( n,l ) 1
m′m
9-36
= n, l , m′ Hˆ K n, l , m
และจากสมการ (9.56) ประกอบกับเอกลักษณที่เราไดวเิ คราะหมาแลวในกรณีของ hydrogen atom ที่วา
1 Z = r n 2 a0
H1( n,l ) =
1
และ
r2
=
2Z 2
จะพบวา
n3a02 ( 2l + 1)
⎡1 0 ⎢ 8n ⎛4 ⎞ ⎢0 1 − 1⎟ ⎜ − mc 2 ⎝ Z 2l + 1 ⎠ ⎢ ⎢ ⎣0 0
( ) En(0)
0⎤ 2 (0) ⎥ E n 0⎥ 8n ⎛4 ⎞ = − − 1⎟ I ⎜ 2 ⎥ mc ⎝ Z 2l + 1 ⎠ ⎥ 1⎦
( )
2
เนื่องจาก matrix ขางตนอยูในรูปของ diagonal matrix อยูเรียบรอยแลว เราบอกไดทันทีวา eigenvalue ของมันมีคาเทากับ
relativistic kinetic energy correction
En(1) =
( ) En(0)
2
4n 1⎞ ⎛2 − − ⎟ ⎜ mc 2 ⎝ Z 2l + 1 2 ⎠
_____ สมการ (9.58)
ซึ่งในความหมายของ degenerate perturbation theory สมการขางตนก็คือ 1st order energy correction เนื่องจาก relativistic correction ของพลังงานจลน ซึ่งเปนปรากฏการณที่เกิดจากผลของ ทฤษฏี special relativity ของ Einstein
Spin-Orbit Coupling พิจารณาการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนภายใน hydrogen atom ถาในขณะหนึ่งๆ อิเล็กตรอนมี ความเร็ว v ในมุมมองของอิเล็กตรอน หรือที่เรียกวา ใน reference frame ของอิเล็กตรอน จะ มองเห็นนิวเคลียสเคลื่อนที่ดวยความเร็ว − v และถาเราทบทวนเนื้อหาของ electromagnetic พื้นฐานจะพบวา จากกฎของ Biot-Savart เมื่ออนุภาคทีม่ ีประจุ Q = + Ze เคลื่อนที่ดวยความเร็ว − v จะทําใหเกิดสนามแมเหล็กขึ้น ดังแสดงใน ภาพ (9.6)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-37
Spin-Orbit Coupling อิเล็กตรอน
v
−e
ใน frame ของอิเล็กตรอน มองเห็นนิวเคลียส เคลื่อนที่ดวยความเร็ว −v
r Q = + Ze จากกฎของ Biot-Savart เมื่อมีประจุขนาด Q = + Ze เคลื่อนที่ดว ยความเร็ว −v ยอมเกิดสนามแมเหล็กขึน้
μ v×r B = − 0 Ze 4π r3 ภาพ (9.6) แสดงกลไกของอันตรกริยาที่เรียกวา spin-orbit coupling μ v×r B = − 0 Ze 4π r3
___________________ สมการ (9.59)
เมื่อ μ0 = 4π ×10−7 T ⋅ m A คือ permeability of free space ในหนวยของ SI unit จะสังเกตวา เทอม v × r ที่ปรากฏอยูทางขวามือของสมการขางตน มีความสัมพันธกับคํานิยามของ orbital angular momentum ของอิเล็กตรอนที่วา L = r × p = −mv × r และเมื่อแทนเขาไปในสมการ จะ ทําให B=
Zeμ0 L 4π m r 3
___________________ สมการ (9.60)
นั่นก็หมายถึง สนามแมเหล็ก B ที่เกิดขึ้น มีความสัมพันธโดยตรงกับ orbital angular momentum L ของอิเล็กตรอน ในขณะที่มน ั กําลังเคลื่อนที่ ซึ่งเราสามารถสรุปตนกําเนิดของสนามแมเหล็กดัง ในสมการ (9.60) อีกครั้งหนึง่ ดังตอไปนี้ 1. อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ภายในอะตอมดวยความเร็ว v 2. ใน reference frame ของอิเล็กตรอน มันเห็นนิวเคลียสเคลื่อนที่ดวยความเร็ว − v 3. จากกฎของ Biot-Savart และ ทฤษฏี electromagnetic พื้นฐาน เมื่ออนุภาคที่มีประจุ + Ze มีการ เคลื่อนที่ ยอมทําใหเกิดสนามแมเหล็กขึน้ ในบริเวณใกลเคียง ดังในสมการ (9.59)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-38
4. เนื่องจากเทอม v × r ที่ปรากฏ เราสามารรถโยงความสัมพันธระหวางสนามแมเหล็ก และ orbital angular momentum ของอิเล็กตรอน การวิเคราะหในเรื่องของ spin-orbit coupling จะมีความซับซอนมากขึ้น เมื่อเรามองตอไปอีกวา สนามแมเหล็ก B เกิดมีอันตกริยากับ magnetic moment ของอิเล็กตรอน เพราะฉะนั้น interaction energy ของอันตกริยาดังกลาวก็คือ ⎡ g ( −e ) ⎤ ⎡ Zeμ0 L ⎤ Ze2 μ0 −μ ⋅ B = − ⎢ S⎥ ⋅ ⎢ = L⋅S 3⎥ 2 3 ⎣ 2m ⎦ ⎣ 4π m r ⎦ 4π m r
จะเห็นวา magnetic moment μ =
gq S 2m
นั้น มีแหลงกําเนิดมาจาก spin ของอิเล็กตรอนเอง และ g-
factor g = 2 ในกรณีของอิเล็กตรอน แตในบางครั้งเรานิยมทีจ่ ะทําให permeability of free space μ0 หายไปจากสมการ โดยอาศัยความสัมพันธที่วา ε 0 μ0 = 1 c 2 เมื่อ c คือความเร็วของแสง ในสุญญากาศ และเขียน อันตรกริยาดังกลาวในรูปทัว่ ไป ไดวา −μ ⋅ B =
Ze2 L ⋅ S 4πε 0 m 2c 2 r 3
___________________ สมการ (9.61)
เพื่อที่จะวิเคราะห interaction ดังกลาวในกรอบระเบียบวิธีของ quantum mechanics เราจะตองเขียน interaction energy ที่ปรากฏในสมการขางตน ใหอยูในรูปของ operator e2 Z Hˆ SO = Lˆ ⋅ Sˆ 4πε 0 m 2c 2 rˆ 3
___________________ สมการ (9.62)
Hamiltonian ดังในสมการขางตนมีชื่อวา "spin-orbit" interaction หรือมักจะเขียนโดยยอวา SO Hamiltonian ดังกลาว แสดงถึงอันตรกริยาระหวางสมบัติเชิงฟสิกส 2 ปจจัยดวยกันคือ 1) magnetic moment μ =
gq S 2m
ของอิเล็กตรอน ซึ่งมีที่มาจาก spin และ
2) สนามแมเหล็ก B ที่เกิดขึ้นภายในอะตอม B = Zeμ0
L
4π m r 3
ซึ่งมีที่มาจาก orbital angular
momentum ของอิเล็กตรอนเอง
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-39
จึงเปนที่มาของชื่อ spin-orbit interaction ดังกลาว อยางไรก็ตาม spin-orbit Hamiltonian ดังใน สมการ (9.62) นั้นมีขอผิดพลาดซึ่งคนพบเปนครั้งแรกโดย Llewellyn Thomas เรียกวา Thomas precession เนื่องจากเราลืมนําเอาผลเชิง special relativity ของการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนเขามา เกี่ยวของ ดวยขอจํากัดของเนื้อหา เราจะไมขยายความ Thomas effect ไปมากกวานี้ (L.H. Thomas, Nature. 117,514 (1926)) แตในทายที่สดุ แลว มีผลให Hamiltonian Hˆ SO ในสมการ (9.62) มีขนาด ลดลงเปนครึ่งหนึ่ง หรือ e2 Z Hˆ SO = Lˆ ⋅ Sˆ 3 2 2 4πε 0 2m c rˆ
________________ สมการ (9.63)
ดังนั้น เมื่อเราพิจารณา hydrogen atom และนํา spin-orbit interaction เขามาวิเคราะหรวมดวย จะทํา ให Hamiltonian อยูในรูปของ pˆ 2 e2 Z e2 Z Hˆ = Lˆ ⋅ Sˆ − + 2 2m 4πε 0 r 4πε 0 2m c 2 rˆ 3 Hˆ 0
________________ สมการ (9.64)
Hˆ SO
โดยที่เราสามารถที่จะมองวา Hˆ SO เปน perturbing Hamiltonian และสามารถนํากลไกของ degenerate perturbation theory มาชวยในการประมาณ energy eigen value ของ Hamiltonian ใน สมการ (9.64) ได ดังที่ไดเห็นในสมการ (9.41) จุดเริ่มตนก็คือ เราจะตองกําหนด sub-space eigenstate กันเสียกอน ทั้งนี้เมื่อเราพิจารณาระดับพลังงาน n ของ hydrogen atom จะพบวามีอยูอยางนอย N = n2 fold degeneracy อยางไรก็ตาม degeneracy ดังกลาว เกิดขึ้นจากการที่เราพิจารณาเพียง orbital angular momentum ของอิเล็กตรอนเพียงเทานัน้ ซึ่งถานํา spin ของอิเล็กตรอนเขามาวิเคราะหรวมดวยจะพบวา ในแตละสถานะ n, l , m ของ อิเล็กตรอนนัน้ มันอาจจะมี spin quantum number เปน ms = + 1 2 หรือ ms = −1 2 ก็ได ทําให จํานวน degeneracy ของอิเล็กตรอนในระดับพลังงาน n มีคาเทากับ 2n2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-40
อนึ่ง การที่เราจะตองนํา spin degree of freedom เขามาวิเคราะหรวมดวย ก็เพราะวา Hamiltonian Hˆ SO ในสมการ (9.64) มีสวนที่เกีย่ วของอยูก ับ spin ของอิเล็กตรอน ซึ่งแตกตางจากในอดีตที่เรา พิจารณาเฉพาะ Hamiltonian
pˆ 2 e2 Z Hˆ 0 = − 2m 4πε 0 r
ที่ไมขึ้นอยู spin แตอยางใด
เมื่อเปนเชนนี้ เราจะเขียนสถานะของอิเล็กตรอนดวย เลข quantum number ถึง 4 ตัวดวยกันคือ สถานะของอิเล็กตรอน ใน hydrogen atom
n, l , m , ms
___________ สมการ (9.65)
โดยที่ n = 1, 2, , l ∈ {0,1, , ( n − 1)} , m ∈ {−l , − ( l − 1) , , + ( l − 1) , +l} และ ms ∈ {± 1 2} และจะพบวา เมื่อพิจารณา ณ ระดับพลังงาน n ใดๆ เราจะมี sub-space eigenstate ทั้งสิ้น N = 2n2 สถานะ ดวยกัน ในขั้นตอนตอไปของ degenerate perturbation theory ก็คอื การคํานวณ matrix element ของ perturbing Hamiltonian Hˆ SO ดังที่ไดอธิบายในสมการ (9.45) หรืออีกนัยหนึ่ง ตองคํานวณ 2 Lˆ ⋅ Sˆ e2 Z n, l ′, m′ , ms′ Hˆ SO n, l , m , ms = n, l ′, m′ , ms′ n, l , m , ms 3 4πε 0 4m2c 2 rˆ
____________________ สมการ (9.66) operator 2Lˆ ⋅ Sˆ ที่ปรากฏอยูทางขวามือของสมการนั้น สามารถเขียนใหอยูใ นรูป 2 Lˆ ⋅ Sˆ = Lˆ x Sˆ x + Lˆ y Sˆ y + Lˆ z Sˆ z = Lˆ+ Sˆ− + Lˆ− Sˆ+ + 2 Lˆ z Sˆ z
____________ สมการ (9.67)
เมื่อ Lˆ± และ Sˆ± นั้นเปน raising หรือ lowering operator ของ orbital angular momentum และ spin angular momentum ตามลําดับ ซึ่งมีสมบัติที่เมื่อกระทํากับสถานะ n, l , m , ms จะมีผลทําให Lˆ+ n, l , m , ms = l ( l + 1) − m ( m + 1) n, l , m + 1, ms Lˆ− n, l , m , ms = l ( l + 1) − m ( m − 1) n, l , m − 1, ms
Sˆ+ n, l , m , ms = −1 2 = n, l , m , ms = + 1 2 Sˆ+ n, l , m , ms = + 1 2 = 0 Sˆ− n, l , m , ms = − 1 2 = 0 Sˆ− n, l , m , ms = + 1 2 = n, l , m , ms = − 1 2
____________ สมการ (9.68) Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-41
จากสมบัติดังกลาว ผนวกกับสมการ (9.67) เราบอกไดทันทีวา n, l ′, m′ , ms′ Hˆ SO n, l , m , ms = 0
ถา l ′ ≠ l ____________ สมการ (9.69)
สมบัติขางตนขอนี้ มีผลคลายกับในกรณีของ relativistic kinetic energy correction ดังแสดงใน ภาพ (9.5) ที่ทําให matrix element มีลักษณะที่เปน block diagonal matrix เพราะฉะนั้นเราจะพิจารณา integral ขางตนเฉพาะในกรณีที่ l ′ = l กลาวคือ n, l , m′ , ms′ Hˆ SO n, l , m , ms =
2 Lˆ ⋅ Sˆ e2 Z n, l , m′ , ms′ n, l , m , ms 3 4πε 0 4m2c 2 rˆ
=
1 e2 Z ∗ (r ) dr r 2 Rnl R (r ) l , m′ , ms′ 2 Lˆ ⋅ Sˆ l , m , ms ∫ 3 nl 4πε 0 4m2c 2 rˆ 0
∞
1 r3
สาเหตุที่เราสามารถแยก integral ออกมาเปนสองสวน คือ ก็เนื่องมาจากการที่ operator
1 3 rˆ
1 r3
และ
l , m′ , ms′ 2 Lˆ ⋅ Sˆ l , m , ms
นั้นเกีย่ วของกับรัศมี r ของ wave function แตอยางเดียว
ในขณะที่ operator 2Lˆ ⋅ Sˆ นั้นเกีย่ วของกับมุม (θ , ϕ ) แตเพียงเทานั้น
และอาศัยสมการ (9.67) และ สมการ (9.68) ทําใหเราสามารถคํานวณผลลัพธของ matrix element l , m′ , ms′ 2 Lˆ ⋅ Sˆ l , m , ms ในกรณีตางๆ ซึ่งจําแนกได 4 กรณีดวยกัน 1) m′
=m
and
Dr. Teepanis Chachiyo
ms′ = ms
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
e2 Z 1 n, l , m , ms Hˆ SO n, l , m , ms = 4πε 0 4m 2c 2 r 3 = =
e2
Z
1
4πε 0 4m 2c 2 r 3 e2
Z
4πε 0 4m c
2 2
1 r
3
9-42
n, l , m , ms 2 Lˆ ⋅ Sˆ n, l , m , ms n, l , m , ms 2 Lˆ z Sˆ z n, l , m , ms 2m ms 2
____________ สมการ (9.70) 2) m′
= m + 1 and
ms′ = − 1 2, ms = + 1 2
n, l , m + 1, − = = =
e2
1 ˆ 1 H SO n, l , m , + 2 2 Z
1
4πε 0 4m 2c 2 r 3 e2
Z
1
4πε 0 4m 2c 2 r 3 e2
Z
4πε 0 4m c
2 2
1 r
3
n, l , m + 1, −
1 ˆ ˆ 1 L+ S − n, l , m , + 2 2
n, l , m + 1, −
1 ˆ ˆ 1 L+ S − n, l , m , + 2 2
l ( l + 1) − m ( m + 1) 2
____________ สมการ (9.71) 3) m′
= m − 1 and
ms′ = + 1 2, ms = − 1 2 1 1 n, l , m − 1, + Hˆ SO n, l , m , − 2 2 = = =
e2
Z
4πε 0 4m c
2 2
e2
Z
1 r
3
1
4πε 0 4m 2c 2 r 3 e2
Z
4πε 0 4m c
2 2
1 r
3
n, l , m − 1, +
1 ˆ ˆ 1 L− S+ n, l , m , − 2 2
n, l , m − 1, +
1 ˆ ˆ 1 L− S+ n, l , m , − 2 2
l ( l + 1) − m ( m − 1) 2
____________ สมการ (9.72) 4) อื่นๆที่นอกเหนือจากกรณี 1)-3) l , m′ , ms′ 2 Lˆ ⋅ Sˆ l , m , ms = 0
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-43
โดยอาศัยผลทางคณิตศาสตรทั้ง 4 ขอ เราสามารถเขียน block ยอยๆของ sub-space perturbation matrix ไดดังภาพขางลาง
ลําดับในการจัดกลุม ที่ทําให matrix block diagonal ขนาด 2x2 m =
−
−
ms =
1 − 2
1 + 2
H1( n,l ) l = 0 l =1 l = 2 0
0
0
H1 =
0
0
− ( − 1) − ( − 1) 1 1 − + 2 2
=
( m , ms ) 1 − ,− 2 1 − ,+ 2
2x2
l =0 l =1
0
0
, −(
1 2
2x2
l = ( n − 1)
+ ,+
ลําดับในการจัดกลุมของสถานะที่ดจู ะเปนธรรมชาติที่สุดก็คือ ให 1 2
+
l = ( n − 1)
0
− ,+
+
− 1) , −
1 2
, −(
− 1) , +
1 2
,
,
+ ,+
1 2
m , ms =
,
− ,−
1 2
1 2
,
กลาวคือ เรียง m จากนอยไป
หามาก โดยที่ในแตละคาของ m กําหนดให ms = − 1 และ + 1 ตามลําดับ 2
2
นักศึกษาสามารถพิสูจนไดจากสมการ (9.70) , (9.72) , และ (9.72) ถาเราจัดกลุมในลักษณะดังภาพ จะมีผลทําให matrix H1(n,l ) มีลักษณะเปน block diagonal ยอยๆขนาด 2x2 โดยที่แตละ block มี ลักษณะดังตอไปนี้ sub H1( n,l ) =
e2
Z
1
4πε 0 4m 2c 2 r 3
⎡
2⎢
⎢ ⎣
(
m
(
+ 1) − m ( m + 1)
+ 1) − m ( m + 1) ⎤ ⎥ ⎥ − ( m + 1) ⎦
และเนื่องจากเปน sub matrix ขนาด 2x2 ก็จะตองมี eigenvalue อยู 2 คาดวยกันคือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา En(1) =
และเมื่อแทน
1 r3
=
9 Time Independent Perturbations 1 e2 Z 4πε 0 4m2c 2 r 3
2Z 3 n3a03l ( l + 1)( 2l + 1)
E (0) (1) ( n ) spin-orbit correction E = n
mc 2
,l ≠ 0
2
9-44
⎧ l ×⎨ ⎩− ( l + 1)
จะไดวา
2
⎧ l 2n ×⎨ l ( l + 1)( 2l + 1) ⎩− ( l + 1)
,l ≠ 0
__ สมการ (9.73)
จะสังเกตเห็นวา correction term ดังกลาวมีขนาด (order of magnitude) ใกลเคียงกับในกรณีของ relativistic kinetic energy correction แตตางกันตรงที่ระดับพลังงานแยกออกเปน 2 สวนยอยๆ ดวยกัน สวนกรณีที่ l = 0 กลาวคือ อิเล็กตรอนมี orbital angular momentum เทากับศูนยพอดีนั้น ในทาง ฟสิกสเราบอกไดวา spin-orbit coupling (ซึ่งเปนอันตรกริยาระหวาง L และ S ) ก็ควรจะมีคาเปน ศูนยดว ยเชนกัน แตในทางคณิตศาสตร เนื่องจากเทอม
1
r
3
แปรผันกับ 1 จึงอาจจะทําใหกลไก l
ในการคํานวณดังในสมการ (9.73) เกิดปญหาตามมา ขอขัดแยงในทางคณิตศาสตรดังกลาวนี้สามารถแกไขไดดวยกระบวนการที่เรียกวา Dirac equation ซึ่งเปนการนํา ทฤษฏี quantum mechanics และ special relativity เขามาผนวกรวมกัน และเปน รายละเอียดที่เกินขอบเขตของเนื้อหาในบทนี้ แตโดยสรุปแลว เมื่อนํา relativistic effect เขามา วิเคราะหจะพบวา
1
r3
→0
เมื่อ l = 0 และจะสงผลให spin-orbit correction
En(1) = 0
,l = 0
__________ สมการ (9.74)
แบบฝกหัด 9.10 ในทํานองเดียวกัน ภาพ (9.4) จงวาดภาพระดับพลังงานของ hydrogen atom กอนและหลังจากที่นํา spin-orbit coupling เขามารวมวิเคราะห
Spin-Orbit Coupling Revisited
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-45
ในหัวขอที่ผานมา เราพยายามที่จะเขียนสถานะเชิง angular momentum ของอิเล็กตรอนดวย quantum number 3 ตัวดวยกันคือ l , m , ms โดยเฉพาะอยางยิ่งเซตของ ( m , ms ) นัน้ ก็เพื่อเปนการแยก angular momentum ทั้ง 2 ชนิดออกจากกันใหชัดเจนระหวาง orbital angular momentum m และ spin angular momentum ms อยางไรก็ตาม ในเนื้อหาของวิชา quantum mechanics ที่เกี่ยวของกับ spin-orbit interaction นั้น ใน บางครั้งเรานิยมที่จะรวม angular momentum ทั้ง 2 ชนิดนีเ้ ขาดวยกัน โดยนิยาม J = L+S
___________________________ สมการ (9.75)
ั ลักษณของ vector เมื่อ J = L + S ก็คือ total angular momentum ของอิเล็กตรอน ซึ่งเขียนโดยใชสญ หรือโดยใชสญ ั ลักษณของ operator ใน quantum mechanics ไดวา Jˆ z = Lˆ z + Sˆ z
Jˆ 2 = Lˆ2 + 2 Lˆ ⋅ Sˆ + Sˆ 2
_______________________ สมการ (9.76) _______________________ สมการ (9.77)
ทั้งนี้ นักศึกษาที่ยังไมคุนเคยกับกลไกในการรวม angular momentum ทั้งสองเขาดวยกัน สามารถ ทบทวนเนื้อหาของ Chapter "Angular Momentum" และ Chapter "Interaction ของ Spin"
ตัวอยางของการมอง angular momentum ของอิเล็กตรอนใน 2 รูปแบบ 1. orbital และ spin แยกออกจากกัน z
S
L
J y
x
orbital: l = 1, m = +1 spin: s = 1 , ms = − 1 2
2. total angular momentum z
x
1 2
total:
3 1 j = , mj = + 2 2
2
ภาพ (9.7) (ซาย) สมมุติใหอิเล็กตรอนอยูในสถานะ ms = −
y
n, l , m = 2,1, +1
และมี spin down หรือ
(ขวา) เราสามารถรวม angular momentum ทั้ง 2 ชนิด หรือ J = L + S ซึ่งจะไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา j, m j =
9 Time Independent Perturbations
9-46
3 1 ,+ 2 2
ดัง ภาพ (9.7) แทนที่เราจะแสดงสถานะของอิเล็กตรอนดวย สมการ (9.65) เรานิยมกําหนดให สถานะของอิเล็กตรอน ใน hydrogen atom
n, l , m , ms
n, l , j , m j
เหมือนทีผ่ านมาใน
___________ สมการ (9.78)
โดยที่ ระดับพลังงาน: n = 1, 2, , ขนาดของ orbital angular momentum: l ∈ {0,1, 1⎫ ⎧ 1 j ∈ ⎨l − , l + ⎬ 2⎭ ⎩ 2 , + ( j − 1) , + j}
ขนาดของ total angular momentum: m j ∈ {− j , − ( j − 1) ,
, ( n − 1)}
,
, และ องคประกอบตามแกน z ของ J :
ตามความเปนจริงแลว สาเหตุที่เราใชรูปแบบดังสมการ (9.78) ในการอธิบายสถานะของอิเล็กตรอน แทนที่จะใชรปู แบบดังสมการ (9.65) นั้น ก็เพื่อความสะดวกในทางคณิตศาสตร นักศึกษาจะตองไมลืมวา ขั้นตอนสําคัญของ degenerate perturbation theory ก็คือการคํานวณ eigenvalue ของ sub-space matrix H1(n,l ) ดังแสดงในสมการ (9.70) , (9.71) , (9.72) และการแทน สถานะของอิเล็กตรอนดวย n, l , j, m j มีผลทําใหกระบวนการทางคณิตศาสตรงายขึ้นมาก spin-orbit coupling Hamiltonian ดังในสมการ (9.63) มีเทอม สมการ (9.77) เขาชวย จะไดวา
Lˆ ⋅ Sˆ
ปรากฏอยู ซึ่งถาเราอาศัย
e2 Z 1 ⎡ ˆ 2 ˆ2 ˆ 2 ⎤ Hˆ SO = J −L −S ⎦ 4πε 0 2m 2c 2 rˆ 3 2 ⎣
จะสังเกตเห็นวา สถานะ
n, l , j , m j
1 Lˆ ⋅ Sˆ = ⎡ Jˆ 2 − Lˆ2 − Sˆ 2 ⎤ ⎦ 2⎣
นั้น เปน eigenstate ของ operator
อยูแลวโดยอัตโนมัติ กลาวคือ
2 1 ⎡ ˆ 2 ˆ2 ˆ 2 ⎤ J − L − S n, l , j , m j = ⎦ 2⎣ 2
Dr. Teepanis Chachiyo
3⎤ ⎡ j j + − l l + − n, l , j , m j 1 1 ( ) ( ) ⎢⎣ 4 ⎥⎦
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-47
และมีผลทําให matrix element ของ sub-space matrix H1(n,l ) อยูในรูปของ e2 Z 1 n, l , j ′, m′j Hˆ SO n, l , j , m j = 2 2 4πε 0 4m c r 3
2⎡
3⎤ ⎢⎣ j ( j + 1) − l ( l + 1) − 4 ⎥⎦ δ j ′jδ m′j m j
Kronecker delta function δ j ′jδ m′j m j ทําให matrix element อยูในรูปของ diagonal matrix และ อาศัยทฤษฏีบททาง matrix algebra ที่วา eigenvalue ของ diagonal matrix ก็คือ สมาชิกที่เรียงตัวอยูใน แนวทแยงดังกลาวนั่นเอง ดังนั้น eigenvalue ก็คือ En(1) =
e2
1
Z
4πε 0 4m c
2 2
r
3
2⎡
3⎤ ⎢ j ( j + 1) − l ( l + 1) − 4 ⎥ ⎣ ⎦
_______________ สมการ (9.79) และเนื่องจาก
1⎫ ⎧ 1 j ∈ ⎨l − , l + ⎬ 2⎭ ⎩ 2
มีอยู 2 คาที่เปนไปได เราสามารถคํานวณผลลัพธของสมการ
(9.79) ออกเปน 2 กรณีดว ยกันคือ
spin-orbit correction
En(1) =
( ) En(0)
mc 2
2
1 1 ⎧ , j =l+ ⎪ j ( 2 j + 1) 2 ⎪ 2n × ⎨ 1 1 ⎪− , j=l− ⎪⎩ ( j + 1)( 2 j + 1) 2
,l ≠ 0
______________________ สมการ (9.80) spin-orbit correction ที่ไดจากสมการ (9.80) ขางตน มีคา เทากันกับสมการ (9.73) เพียงแตวา สมการขางตนนั้น เขียนอยูใ นรูปของ total angular momentum เพียงเทานั้น แบบฝกหัด 9.11 เขียนสมการ (9.80) ใหอยูในรูปของ l โดยการแทนคา
j =l+
1 2
และ
j =l−
1 2
แลวแสดงใหเห็นวาผลลัพธที่ได ลดรูปไปเปนสมการ (9.73)
Fine Structure
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-48
เราสามารถวิเคราะหระดับพลังงานของ hydrogen atom ( Z = 1 ) โดยนําเอา relativistic kinetic energy correction ในสมการ (9.58) และ spin-orbit correction ในสมการ (9.80) เขามารวมวิเคราะห ดวย Hˆ 1 = Hˆ K + Hˆ SO
______________________ สมการ (9.81)
และเนื่องจาก Hamiltonian Hˆ 1 มีขนาดเล็กและมีลักษณะที่เปน perturbation ของ Hˆ 0 ก็ยอ มทําให energy correction มีขนาดเล็กตามไปดวย เรานิยมเรียก correction energy ในลักษณะดังกลาวนีว้ า "fine structure" (fine หมายถึง โดยละเอียด) fine structure มีที่มาจากอันตรกริยาทางฟสิกสหลายอยางดวยกัน อาทิเชน relativistic correction ที่เรากําลังกลาวถึง interaction ระหวางสนามแมเหล็กภายนอกและ magnetic moment ของ อิเล็กตรอน หรือแมกระทัง่ interaction ระหวาง magnetic moment ของนิวเคลียส กับ สนามแมเหล็กที่เกิดขึ้นจากการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน เปนตน อันตกริยาเหลานี้ลว นทําใหระดับ พลังงานของ hydrogen atom มีความสลับซับซอนมากขึ้น สงผลใหแถบพลังงานของมันมีรูปแบบการ เรียงตัวทีแ่ ตกตางในกรณีของ Hˆ 0 นั่นเอง อนึ่ง fine structure ในสวนที่เปนปรากฏการณสืบเนื่องจากผลของ special relativity โดยหลักการ แลว การศึกษาในเรื่องของ fine structure จะตองเริ่มจาก Dirac equation และมีหนังสืออยูหลายเลม ไดรวมเอาสิ่งที่เรียกวา Darwin term หรือ Hˆ D เขารวมกับ Hamiltonian ในสมการ (9.81) ดวย แต ในทายที่สุดแลว ผลลัพธสุทธิที่จะเกิดขึ้น ก็คือสมการ (9.81) นั่นเอง นักศึกษาที่ประสงคจะศึกษาในเรื่องของ Dirac equation และ relativistic quantum mechanics สามารถอานเพิ่มเติมไดจาก R. Shankar, "Principles of Quantum Mechanics" J.D.Bjorken และ S.D.Drell, "Relativistic Quantum Mechanics" และ J.J.Sakurai,"Advanced Quantum Mechanics" ทั้งนี้ เมื่อรวมสมการ (9.58) และ (9.80) เขาดวยกัน และกําหนดให Z = 1 จะไดวา E (0) (1) ( n ) E = n
Dr. Teepanis Chachiyo
⎛ ⎞ ⎜3 2n ⎟ ⎜ − ⎟ mc 2 ⎜ 2 j + 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 2
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
___________________ สมการ (9.82)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
และถาเราเขียนสมการขางตนใหอยูในรูปของ fine structure constant α = ที่ไมมีหนวยและจากการทดลองมีคาเทากับ α ≅
1 137
1 4πε 0 c
ซึ่งเปนคาคงที่
⎞
mc 2α 4 ⎜ 3 2n ⎟ En(1) = − 4 ⎜2 1⎟ 4n ⎜ j+ ⎟ ⎝
e2
จะไดวา
⎛
fine structure correction
9-49
___________________ สมการ (9.83)
2⎠
และเมื่อผนวกกับระดับพลังงานของ hydrogen atom ที่วา
En(0) = −
mc 2α 2 2n 2
เราสามารถสราง
แผนภาพของระดับพลังงานดังใน ภาพ (9.8)
ระดับพลังงานของ hydrogen atom ทีเ่ ปลี่ยนไปเนื่องจาก Relativistic Correction 1 1 3 3 3 1 l , j , m j = 0, , ± , 1, , ± , 1, , ± 2 2 2 2 2 2
1st excited state
3 3 3 1 1, , ± , 1, , ± 2 2 2 2
n=2
4.53 × 10−5 eV
2 p3 2 2s1 2 , 2 p1 2
หรือ
1 1 0, , ± 2 2
10.96GHz
1 1 l , j , m j = 0, , ± 2 2
ground state n =1
1s1 2
Hˆ 0
1 1 0, , ± 2 2
Hˆ 0 + Hˆ K + Hˆ SO
ภาพ (9.8) ระดับพลังงานของ hydrogen atom ที่เปลี่ยนแปลงไปเนื่องจาก relativistic correction ดัง Hamiltonian ในสมการ (9.81) พิจารณา 1st excited state ของ hydrogen atom จะพบวาเมื่อเรานํา relativistic correction เขามารวม วิเคราะห ปรากฏวาระดับพลังงานแยกออกเปน 2 กลุมดวยกัน คือ 1) กลุมที่ ที่
j=
j=
1 2
และ 2) กลุม
3 2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
ที่เปนเชนนีก้ ็เพราะระดับพลังงานในสมการ (9.83) นั้น ขึ้นอยูกับ ระดับพลังงานทั้งสองดังกลาวนี้ จะไดวา
j
9-50
ซึ่งถาเราคํานวณผลตางของ
⎧ ⎫ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎛ ⎪ ⎜3 ⎪ mc 2α 2 α 2 mc 2α 4 ⎪⎜ 3 2n ⎟ 2n ⎟ ΔE = − − − = 4.53 × 10−5 eV ⎬= ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎨⎜ 2 1 1 2 16 4n ⎪⎜ ⎪ ⎜2 j+ ⎟ j+ ⎟ 2 ⎠ j= 3 ⎝ 2 ⎠ j = 1 ⎪ 13.6 eV ⎪⎝ 2 2⎭ ⎩
อนึ่ง สัญลักษณที่เรามักจะใช เมื่อกลาวถึง fine structure นั้น คอนขางจะซับซอนอยูบาง เพราะ ใน การอธิบายสถานะของอิเล็กตรอนนั้น เราใช quantum number ถึง 4 ตัวดวยกัน คือ n, l , j, m j ในการบงชี้ถึง l นั้น เราจะใชรหัสตัวอักษร s เมื่อ l = 0 , p เมื่อ l = 2 , d เมื่อ l = 3 เชนนี้เปน ตน ในขณะที่เราจะใชตวั เลข sub-script เพื่อบงชี้ถึง j ยกตัวอยางเชน 1s1 2
หมายถึง
n, l , j , m j = n = 1, l = 0, j = 1 2, m j
2s1 2
หมายถึง
n, l , j , m j = n = 2, l = 0, j = 1 2, m j
2 p1 2
หมายถึง
n, l , j , m j = n = 2, l = 2, j = 1 2, m j
2 p3 2
หมายถึง
n, l , j , m j = n = 2, l = 2, j = 3 2, m j
จาก ภาพ (9.8) จะพบวา relativistic effect Hˆ 1 = Hˆ K + Hˆ SO มีผลทําใหระดับพลังงาน 2s1 2 , 2 p1 2 , และ 2 p3 2 แยกออกเปน 2 กลุม ทั้งๆที่เดิมถาเราพิจารณาเฉพาะ Hamiltonian Hˆ 0 สถานะเหลานีล้ วนมีพลังงานเทากันทั้งหมด อยางไรก็ตาม จากแผนภาพเราจะพบวา สถานะ 2s1 2 และ 2 p1 2 ยังมีระดับพลังงานเทากันอยู เมื่อป 1947 W.E.Lamb และ R.C.Retherford สังเกตเห็นวาระดับพลังงานของสถานะ 2s1 2 และ 2 p1 2 นั้นมีคาแตกตางกันอยูเล็กนอย จากการทดลองพบวาผลตางของพลังงานนั้นเทากับ 4.4 ×10−6 eV หรือ 1058 MHz เรียกกันโดยทัว่ ไปวา "Lamb Shift" ผลงานชิ้นนี้ทําให Lamb ไดรับรางวัล Noble prize เมื่อป 1953 (W.E. Lamb and R.C. Retherford, Phys.Rev.72: 241 (1947) และ Phys.Rev.86: 1014 (1952)) Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-51
ในเชิงทฤษฏี Lamb shift เปนปรากกฎการณทางฟสิกสอีกอันหนึ่งทีท่ ําใหเกิด fine structure ขึ้น เปนผลสืบเนื่องจากทฤษฏีที่เรียกวา quantum electrodynamics (QED) และผลการทดลองซึ่งตรงกับ ผลการคํานวณนั้น นับวาเปนปริมาณทางฟสิกสที่แมนยําที่สุดอันหนึ่งในโลก เพราะตัวเลขของ พลังงาน 1058 MHz นั้น เปนการวัดทีม่ ีเลขทศนิยมถึง 11 ตําแหนง ! Richard Feynman มักจะ เปรียบเทียบวา เปนการวัดระยะทางจาก Los Angeles ไปถึง New York โดยใชไมบรรทัดที่ละเอียด ขนาดเทาเสนผมของคนเลยทีเดียว
9.6 Application - Zeeman Effect ในป 1896 Zeeman คนพบวาถาปอนสนามแมเหล็กภายนอก มีผลตอแถบ spectrum ของแสงที่ อะตอมเปลงออกมา กลาวคือสนามแมเหล็กมีผลตอระดับพลังงานของอิเล็กตรอนภายในอะตอม นั่นเอง อันตกริยาที่เกิดขึ้นนั้น สืบเนื่องมาจาก interaction ระหวาง magnetic moment ของอิเล็กตรอนและ สนามแมเหล็ก B ⎡ ( −e ) ( −e ) ⎤ L+ S⎥ ⋅ B −μ ⋅ B = − ⎢ 2 m m ⎣ ⎦
เพื่อความสะดวกเราจะกําหนดใหสนามแมเหล็กดังกลาว มีทิศทางอยูใ นแกน z และมีขนาดความ เขมเทากับ B = B เพราะฉะนัน้ แลว
(
eB ˆ Hˆ B = Lz + 2 Sˆ z 2m
)
___________________ สมการ (9.84)
เมื่อ Hˆ B คือ Hamiltonian ที่แสดงถึง interaction ระหวาง magnetic moment ของอิเล็กตรอน และ สนามแมเหล็ก B และเพื่อที่จะคํานวณ energy correction ที่เกิดจาก Hamiltonian ดังกลาว เรา จําเปนจะตองใช degenerate perturbation theory ในทํานองเดียวกันกับกรณีของ spin-orbit coupling เราจะเขียนสถานะของอิเล็กตรอนโดยใช basis state n, l , j, m j เนื่องจาก
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
n, l ′, j ′, m′j Hˆ B n, l , j , m j = 0
9-52
ถา l ′ ≠ l
นั่นก็หมายความวา perturbation matrix element มีลักษณะดังใน ภาพ (9.5) และจะทําให eigenvalue ของ matrix ทั้งหมด มีคาเทากับ eigenvalue ของ block ยอยๆในกลุมที่มี l เดียวกัน เพราฉะนั้น เราพิจารณา
(
)
eB ˆ n, l , j ′, m′j Hˆ B n, l , j , m j = n, l , j ′, m′j J z + Sˆ z n, l , j, m j 2m
____ สมการ (9.85)
โดยที่ในสมการขางตน เราใช total angular momentum Jˆ z แทน orbital angular momentum Lˆz ทั้งนี้ก็เพื่อใหเหมาะสมกับ basis state n, l , j, m j ที่เรากําลังใชอยูนนั่ เอง สมการ (9.85) ขางตน สามารถกระจายออกเปนสองเทอมดวยกัน คือเทอมแรก n, l , j , m′j
และเทอมที่สอง กระจายสถานะ
n, l , j , m′j n, l , j , m j
eB ˆ eB J z n, l , j , m j = m j δ m′j m j 2m 2m
eB ˆ S z n, l , j , m j 2m
ซึ่งเราจะคํานวณเทอมที่สองนี้ได จะตอง
ใหอยูในรูป superposition ของ { n, l , m
, ms
} โดยใชกลไกของ
Clebsch-Gordan coefficient กลาวคือ
1 j = l ± ,mj = 2
1 1 l ∓ mj + 1 1 2 l, m − , + ± 2 l, m + 1 , − 1 j j 2l + 1 2 2 2l + 1 2 2
l ± mj +
___________________ สมการ (9.86) แบบฝกหัด 9.12 จงพิสูจนสมการ (9.86) บอกใบ: ทบทวน Chapter 5 Interaction ของ Spin ในหัวขอเรื่อง การรวมกันของ "Angular Momentum" เพื่อใหการคํานวณมีความซับซอนนอยลง เราจะประมาณวา ถา
j′ ≠ j
และเนื่องจาก
Dr. Teepanis Chachiyo
1⎫ ⎧ 1 j ∈ ⎨l + , l − ⎬ 2⎭ ⎩ 2
n, l , j ′, m′j
eB ˆ S z n, l , j , m j ≅ 0 2m
ซึ่งเราจะแยกคิดใน 2 กรณีดว ยกันคือ
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-53
1)
j =l+
1 2
n, l , j , m′j
eB ˆ eB m j S z n, l , j , m j = + δ m′ m 2m 2m ( 2l + 1) j j
2)
j =l−
1 2
n, l , j , m′j
eB ˆ eB m j S z n, l , j , m j = − δ m′ m 2m 2m ( 2l + 1) j j
ซึ่งเมื่อรวมสองเทอมเขาดวยกัน จะไดวา sub-space perturbation matrix อยูในรูปของ 1 ⎡ ⎤ 1+ 0 ⎥ ⎢ eB 2l + 1 sub H1( n,l ) = mj ⎢ ⎥ 1 ⎥ 2m ⎢ 0 1− 2l + 1 ⎦⎥ ⎣⎢
และจะมีผลทําให eigenvalue ของ matrix ขางตน (หรือ ในความหมายของ degenerate perturbation theory ก็คือ 1st order energy correction term เนื่องจากสนามแมเหล็กภายนอก) มีคาเทากับ 1 1 ⎧ 1+ , j =l+ ⎪ eB ⎪ 2l + 1 2 EB(1) = mj ×⎨ 1 2m ⎪1 − 1 , j =l− 2 ⎩⎪ 2l + 1
อนึ่ง สัมประสิทธิ์ ⎛⎜1 ± ⎝
1 ⎞ ⎟ 2l + 1 ⎠
_______________ สมการ (9.87)
มีชื่อเรียกวา Lande-g factor เพราะมันทําหนาที่คลายๆกัน g-factor
ของอนุภาคเมือ่ เราตองการคํานวณ magnetic momentum ของมัน กลาวคือ μ z =
gq Sz 2m
จากสมการ (9.87) จะเห็นวาระดับของ energy correction ขึ้นอยูกับ m j และ l ของระบบ ดังแสดง ใน ภาพ (9.9) ที่ทําใหเห็นการเปลี่ยนแปลงของระดับพลังงานของอิเล็กตรอนในสถานะ s1 2 , p1 2 , และ p3 2 เมื่อปอนสนามแมเหล็กเขาไปในระบบ ทําใหเกิดการแยกชัน้ ของระดับพลังงานยอยๆ หรือที่เรียกวา Zeeman splitting นั่นเอง
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-54
ผลของ Zeeman Effect ตอระดับพลังงานตางๆกัน 3 3 l , j , m j = 1, , + 2 2
p3 2
⎧ 3 1 ⎪ 1, 2 , ± 2 ⎪ l , j, m j = ⎨ ⎪ 1, 3 , ± 3 ⎪⎩ 2 2
3 1 l , j , m j = 1, , + 2 2 3 1 l , j , m j = 1, , − 2 2 3 3 l , j , m j = 1, , − 2 2
p1 2
1 1 l , j , m j = 1, , ± 2 2
s1 2
1 1 l , j , m j = 0, , ± 2 2
1 1 l , j , m j = 1, , + 2 2 1 1 l , j , m j = 1, , − 2 2 1 1 l , j , m j = 0, , + 2 2 1 1 l , j , m j = 0, , − 2 2
ภาพ (9.9) ผลของ Zeeman effect ตออิเล็กตรอนในสถานะ s1 2 , p1 2 , p3 2 ลูกศรในแนวดิ่ง แสดงถึงโอกาสที่อิเล็กตรอนจะสามารถการกระโดดและเปลงแสงออกมาได โดยอาศัย selection rule Δl = 1 และ Δm j = 0, ±1
9.7 บทสรุป time independent perturbation theory เปนกลไกในทาง quantum mechanics ที่ใชในการประมาณ eigen energy และ eigenstate ของระบบที่มี Hamiltonian Hˆ ที่คอนขางซับซอน สมมุติวาเรา สามารถเขียน Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
โดยที่ Hˆ 0 คือ unperturbed Hamiltonian ที่เราทราบคําตอบ
{ ψ } และ {E } อยูแลว (0) n
(0) n
กลาวคือ Hˆ 0 ψ n(0) = En(0) ψ n(0)
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-55
และ Hˆ 1 คือ perturbing Hamiltonian ซึ่งไมขึ้นกับเวลาและจําเปนจะตองมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ Hˆ 0 time independent perturbation theory มีสมมุติฐานเบื้องตนก็คือวา เราสามารถเขียนระดับ พลังงานของ Hˆ ใหอยูใ นรูป En = En(0) + En(1) + En(2) + En(3) +
โดยที่เทอมทางขวามือ มีขนาดเล็กลง ลดหลั่นกันไปเรื่อยๆ และมีลักษณะเปน correction energy อาทิเชน เรียก En(1) วาเปน first order correction หรือ En(2) วาเปน 2nd order correction เปนตน และในแงของ eigenstate ก็เชนเดียวกัน ψ n = ψ n(0) + ψ n(1) + ψ n(2) + ψ n(3) +
perturbation theory เปนขั้นตอนที่วาดวยการคํานวณ correction term ณ order ตางๆเหลานี้ โดยแบง ออกเปน 2 กรณีใหญดวยกัน คือ 1) non-degenerate perturbation theory และ 2) degenerate perturbation theory ในกรณีของ non-degenerate perturbation theory นั้น เซตของ eigen energy {En(0) } จะตองมีคาไม ซ้ํากัน ยกตัวอยางเชน harmonic potential ซึ่งในกรณีดังกลาวนี้ จะไดวา
En(1) = ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(0)
,
En(2) =
∑
k ≠n
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0)
2
En(0) − Ek(0)
และ ψ n(1) =
∑
k ≠n
ψ k(0) Hˆ 1 ψ n(0) En(0) − Ek(0)
ψ k(0)
ในกรณีของ degenerate perturbation theory นั้น เซตของ eigen energy {En(0) } มีโอกาสที่จะซ้ํากัน ได ยกตัวอยางเชนในกรณีของ hydrogen atom ซึ่งระดับพลังงานของอิเล็กตรอนในสถานะ 2s และ 2 p มีคาเทากัน เนื่องจากความซับซอน โดยทัว่ ไป เรามักจะกลาวถึงเฉพาะ 1st order energy correction เพียงเทากัน โดยที่
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-56
H1c = En(1) c
เนื่องจาก eigenstate
{ ψ } มีความเปน degeneracy (0) n
1st order energy correction En(1) ก็จะมีอยู
ดวยกันหลายคา ซึ่งก็คือ เซตของ eigen value ของสมการขางตนนั่นเอง สําหรับ sub-space perturbation matrix H1 นั้น สามารถคํานวณไดจาก ⎡ ψ (0) ⎢ n,1 ⎢ (0) ⎢ ψ H1 ≡ ⎢ n,2 ⎢ ⎢ (0) ⎢ ψ n, N ⎣
เมื่อ
ψ n(0) ,i
i = 1, 2,
Hˆ 1 ψ n(0) ,1
(0) ˆ ψ n(0) ,1 H1 ψ n,2
(0) ⎤ ˆ ψ n(0) ,1 H1 ψ n, N
Hˆ 1 ψ n(0) ,1
(0) ˆ ψ n(0) ,2 H1 ψ n,2
(0) ˆ ψ n(0) ,2 H1 ψ n, N
Hˆ 1 ψ n(0) ,1
(0) ˆ ψ n(0) , N H1 ψ n,2
(0) ˆ ψ n(0) , N H1 ψ n, N
,N
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
เปน "sub-space" ของ degenerate eigenstate
และเพื่อที่จะใหนักศึกษาคุนเคยกับการนํา perturbation theory ทั้งสองชนิดมาประยุกตใชในการ วิเคราะหระดับพลังงานของระบบ เราไดทําการศึกษาตัวอยางในหลายๆกรณีดว ยกันคือ perturbing harmonic potential, nucleus with finite size, ground state energy ของ helium atom, stark effect, relativistic correction, spin-orbit coupling, และ Zeeman effect เปนตน
9.8 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 9.13 จงพิสูจนวา 2nd order perturbation ของ eigenstate ในกรณีของ non-degenerate perturbation อยูในรูปของ ⎧ ⎫ ˆ ˆ ˆ ˆ H H H H ⎪ 1 1 1 1 ⎪ ⎪ (0) ki in nn kn ⎪ ψ n(2) = ∑ ⎨ ∑ − ⎬ ψk 2 (0) (0) (0) (0) (0) (0) En − Ei ⎪ k ≠ n ⎪i ≠ n En − Ek En − Ek ⎪⎩ ⎪⎭ Hˆ 1 ≡ ψ k(0) Hˆ 1 ψ i(0) , Hˆ 1 ≡ ψ i(0) Hˆ 1 ψ n(0) , Hˆ 1 ≡ ψ n(0) Hˆ 1 ψ n(0)
(
เมื่อ {
}ki
{ } { }
{ } { }
)(
) (
{ }in
แบบฝกหัด 9.14 พิจารณา perturbing Hamiltonian Hamiltonian ที่อยูในรูปของ harmonic potential
)
{ }nn
Hˆ 1 = bxˆ 4
ในกรณีของ un-perturbed
pˆ 2 1 Hˆ 0 = + mω 2 xˆ 2 2m 2
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-57
จงคํานวณหา 1st order energy correction term เฉลย:
En(1)
=
3 2b 2 2
4m ω
(1 + 2n + 2n2 )
แบบฝกหัด 9.15 ประมาณ eigen energy ของ Hamiltonian ⎧⎪ −e E x , 0 < x < L V ( x) = ⎨ , elsewhere ⎪⎩ 0
เนื่องจากสนามไฟฟาความเขม
pˆ 2 Hˆ = + V ( x) 2m
เมื่อ
ซึ่งเปนกรณีของ infinite square well ที่มีกนบอเฉียงแบบฟนปลา
E
แบบฝกหัด 9.16 พิจารณา harmonic potential ใน 2 มิติ ˆ2 pˆ x2 1 2 ˆ2 py 1 ˆ + mω x + + mω 2 yˆ 2 จงประมาณ eigen energy ของ Hamiltonian H0 = 2m 2 2m 2 ˆˆ เมื่อ b คือคาคงที่ซึ่ง b 1 Hˆ = Hˆ 0 + 2bxy
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
9 Time Independent Perturbations
9-58
This page is intentionally left blank
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009