Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-1
3
Angular Momentum
เนื้อหา 3.1 Orbital Angular Momentum และ Spin Angular Momentum 3.2 Commutation 3.3 ⎡⎣ Jˆ x , Jˆ y ⎤⎦ = i Jˆ z 3.4 Commuting Operator 3.5 Eigenvalue ของ Angular Momentum 3.6 สมบัติของ Operator 3.7 Raising และ Lowering Operator 3.8 m และ λ 2 3.9 Jˆ+ j, m และ Jˆ− j, m 3.10 บทสรุป 3.11 ปญหาทายบท ลักษณะการเคลื่อนที่ ที่สําคัญอันหนึ่งในทางฟสิกส ก็คือการหมุน ปริมาณทางฟสิกสที่เราใชในการ อธิบายพฤติกรรมของอนุภาคที่เกี่ยวของกับการหมุนนัน้ เรียกวา angular momentum
ภาพ 3.1 angular momentum เปนคุณสมบัติทางฟสิกสที่แสดงถึงการเคลื่อนที่แบบหมุน ดังในภาพ จะเห็น Shizuka Arakawa กําลังแสดงการหมุนตัวแบบ Donut Spin ในการแขงขัน Figure Ice Skating
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-2
ในกลศาสตรแบบ Newton คํานิยามของ angular momentum อยูในรูปของ L = r × p นั่นก็ หมายความวาขนาดของ angular momentum ขึ้นอยูกับความเร็วเชิงมุมขณะที่กาํ ลังหมุน, มวลของ วัตถุ, และ รัศมีของการหมุน ยกตัวอยางเชน ถามวล 1 kg ที่มีลักษณะเปนทรงกลมซึ่งมีรัศมี 10 cm เมื่อหมุนดวยความเร็วเปน 10 รอบตอวินาที จะมี angular momentum ประมาณ 0.25 Js แตทวาระบบอนุภาคในระดับอะตอม ซึ่งมีมวลขนาดเล็กมาก และเคลื่อนที่อยูแตในวงจํากัดภายใน ระยะทางระหวางอะตอมนัน้ มี angular momentum ที่เมื่อเปรียบเทียบกับตัวอยางขางตน เปนคาที่ เล็กมาก ยกตัวอยางเชน spin angular momentum ของอิเล็กตรอนที่กลาวในบทที่ 2 มีคาเทากับ
2
หรือ 0.5 ×10−34 Js เมื่อเปรียบเทียบกับ L = 0.25 Js ในกรณีของการหมุนของลูกทรงกลมดังกลาว นอกเหนือไปจากขนาดของ angular momentum ที่เล็กมากๆ พฤติกรรมของ angular momentum ของอนุภาคในระดับอะตอม ยังมีคุณสมบัตอิ ันหนึ่งที่นาทึง่ นั่นก็คือ คาของ angular momentum ไมใชปริมาณที่ตอเนื่อง หากแตมีคาเปนเสมือนกับขั้นบันได ซึ่งในบทที่ 3 นี้ เราจะพยามทําความ เขาใจถึงธรรมชาติของ angular momentum ดวยระเบียบวิธีทาง quantum mechanics
3.1 Orbital Angular Momentum - Spin Angular Momentum สืบเนื่องจากการทดลองของ Stern-Gerlach ที่ไดกลาวมาแลวใน Section 1.6 อะตอมของ silver ที่มี สมบัติคลายๆกับแทงแมเหล็กขนาดเล็กนั้น สนามแมเหล็กขนาดจิว๋ ของมัน มีผลมาจากอิเล็กตรอนใน ชั้น 5s โดยธรรมชาติแลว เนื่องจากสิ่งที่เราไดเคยศึกษาในวิชาแมเหล็กไฟฟา การที่อนุภาคที่มีประจุ อาทิ เชน อิเล็กตรอนหรือโปรตอนมีการเคลื่อนที่ จะทําใหเกิดกระแสไหล หรือกลาวโดยคราวๆวา ถา อนุภาคมี orbital angular momentum จะทําใหเกิดสนามแมเหล็ก ตามทฤษฏีของ Bio-Savart อยางไรก็ตามในกรณีของอะตอม silver นั้น เราจะดวนสรุปวา สนามแมเหล็กขนาดจิ๋วดังกลาว เกิด มาจากการที่อิเล็กตรอนในชัน้ 5s วิ่งวนเปนวงโคจรรอบๆนิวเคลียสมิได ดวยเหตุทวี่ า จากแบบฝกหัด 1.3 ที่เราไดทบทวน wave function ของอิเล็กตรอน โดยที่เรามักจะใช quantum number (n, l, m) เปนตัวกํากับคุณสมบัติและรูปทรงการกระจายตัวของกลุม หมอก อิเล็กตรอน (electron density) ในชัน้ ระดับพลังงานตางๆ ซึ่งถาหากเราพิจารณาในชัน้ 5s จะพบวา อิเล็กตรอนในชั้นดังกลาวนี้ มี orbital angular quantum number เปนศูนย นั่นก็หมายความวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-3
อิเล็กตรอนในชั้น 5s มิไดมีลักษณะของ electron density ที่สอใหเห็นวามันวิ่งเปนวงโคจรรอบแกน ใดแกนหนึ่งแตอยางใด แลวเพราะเหตุใด อิเล็กตรอนในชั้น 5s จึงยังสามารถสรางสนามแมเหล็กขนาดจิว๋ นี้ขนึ้ มาได ? คําตอบก็คือ spin ในทาง quantum mechanics เราจัดให spin อยูในประเภทเดียวกันกับ angular momentum ก็เพราะมันทําใหเกิดสนามแมเหล็กไดเชนเดียวกันกับ orbital angular momentum เพือ่ หลีกเลี่ยงความสับสนที่อาจจะเกิดขึ้น เรามักจะใชสัญลักษณดังตอไปนี้ L ≡ orbital angular momentum
( เกี่ยวของกับการเคลื่อนที่ ) S ≡ spin angular momentum ( เปนสมบัติเฉพาะตัวของอนุภาค ) ( ไมเฉพาะเจาะจงวาเปน spin หรือ orbital ) J ≡ angular momentum หรือในบางครัง้ เรามักจะเขียนเปนสมการไดวา J = L+S
_________________________ สมการ (3.1)
ซึ่งสมการ (3.1) ดังกลาว ถาเราตีความโยงไปถึงการทดลองของ Stern-Gerlach ก็อาจจะกลาวไดวา โดยทั่วไปแลว angular momentum J ที่ทําใหเกิดสนามแมเหล็กขนาดเล็กๆนั้น สามารถเกิดขึ้นได ดวยปจจัยสองประการคือ 1) L ในกรณีที่อิเล็กตรอนมีการเคลื่อนที่มีลักษณะเปนวงกลมทําใหเกิด กระแสไหล และ 2) S ซึ่งเปนคุณสมบัติเฉพาะตัวของอนุภาคนั้นๆ ระยะแรกๆของการศึกษา angular momentum ในบทที่ 3 นี้ เราจะเริ่มดวยการใชสัญลักษณ J หรือ กลาวถึง angular momentum โดยภาพรวม ทั้งนี้ก็เพื่อใหขอบเขตของการนําไปประยุกตใชงานมีความ กวางขวาง จากนั้นเราจึงจะยกตัวอยางทีแ่ คบลงไป และศึกษากรณีของ spin angular momentum ใน โอกาสตอไป
3.2 Commutation สมบัติเชิง angular momentum ในประเด็นแรกที่เราจะศึกษาก็คือวา การนํา operator ที่เกีย่ วของกับ การหมุนเขาไปกระทํากับสถานะของระบบนั้น เราจะสลับลําดับที่ไมได ภาพ 3.2 ชี้แจงประเด็น ดังกลาวนีใ้ หเห็นเปนภาพพจนที่ชัดเจนมากยิ่งขึ้น
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
z
3 Angular Momentum
หมุนรอบแกน x
3-4
หมุนรอบแกน y
y
x
หมุนรอบแกน y
หมุนรอบแกน x
ภาพ 3.2 แสดงการหมุนวัตถุรอบแกน x และ รอบแกน y ใน 2 ลักษณะ จะสังเกตเห็นวา ถาลําดับ ในการหมุนนัน้ แตกตางกัน ผลลัพธที่ได ก็จะแตกตางกัน ถาเริ่มดวยวัตถุรูปทรงสี่เหลี่ยมดังในภาพ 3.2 ซึ่งวงกลมสีดําบนวัตถุนั้น มีไวก็เพื่อใหงายตอการ สังเกตลักษณะของการหมุน จากนั้นเราหมุนวัตถุใน 2 ลักษณะดวยกันคือ 1) หมุนรอบแกน x ตาม ดวยการหมุนรอบแกน y และ 2) สลับลําดับของการหมุน จะพบวาวัตถุดงั กลาว ภายหลังจากการหมุนทั้งสองแบบแลว อยูในทิศทางที่แตกตางกัน ในทาง quantum mechanics นั้นก็เชนเดียวกัน โดยทัว่ ไปแลว หากเรามี operator อาทิเชน Sˆx และ Sˆ y ลําดับกอนหลังในการนํา operator ทั้งสองตัวดังกลาวไปกระทํากับสถานะใดๆ มีความสําคัญ และ จะทําใหสถานะผลลัพธออกมาแตกตางกัน กลาวคือ Sˆ x Sˆ y Ψ ≠ Sˆ y Sˆ x Ψ
_________________________ สมการ (3.2)
หรือ Sˆx Sˆ y − Sˆ y Sˆx ≠ 0 นั่นเอง ในเมื่อผลตางดังกลาวไมเทากับศูนย ในภาษาของ quantum mechanics นัน้ เราใชสัญลักษณทเี่ รียกวา commutator เพื่อใชเขียนแทนผลตางของการสลับลําดับ กอนหลังของ operator สอง operator ใดๆ ดังตอไปนี้ ˆ ˆ − BA ˆ ˆ _________________________ สมการ (3.3) ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ ≡ AB ⎣ ⎦
ทั้งนี้ การใชสญ ั ลักษณดังกลาว ก็เพียงเพื่อใหงายและประหยัดเวลาในการเขียนเทานัน้ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-5
ทั้งนี้ commutator มีเอกลักษณทางคณิตศาสตรอยูหลายขอ ยกตัวอยางเชน 1) ⎡⎣ Aˆ , Aˆ ⎤⎦ = 0 2) 3) 4) 5)
⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ = − ⎡ Bˆ , Aˆ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ˆ ⎡ A, c ⎤ = 0 เมื่อ c คือคาคงที่ ⎣ ⎦ ˆ ˆ ˆ ⎡ A + B, C ⎤ = ⎡ Aˆ , Cˆ ⎤ + ⎡ Bˆ , Cˆ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎡ A, BC ⎤ = ⎡ A, B ⎤ C + B ⎡ Aˆ , Cˆ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
แบบฝกหัด 3.1 จงอาศัยเอกลักษณของ commutator ขางตน เพื่อพิสูจน Jacobi identity ที่วา ⎡ Aˆ , ⎡ Bˆ , Cˆ ⎤ ⎤ + ⎡ Bˆ , ⎡Cˆ , Aˆ ⎤ ⎤ + ⎡Cˆ , ⎡ Aˆ , Bˆ ⎤ ⎤ = 0 ⎦⎦ ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎣
3.3 ⎡⎣ Jˆ x , Jˆ y ⎤⎦ = i
Jˆ z
ในบทที่ 2 เราไดศึกษาถึง operator ที่สามารถใชในการวัด spin angular momentum ในแนวแกน z นั่น ก็คือ Sˆz ดังที่ไดกลาวใน Section 3.1 spin angular momentum เปนอีกประเภทหนึ่งของ angular momentum ซึ่งเราใชสัญลักษณ Jˆ z เปนตัวแทนของ angular momentum อยางกวางๆ และไมจําเพาะ เจาะจงวาเปนประเภทใด การอธิบายความในลําดับตอไป เราจะใชรูปแบบสัญลักษณ Jˆ z เพื่อแสดง ใหเห็นวาบทสรุปตางๆของการวิเคราะหนั้น สามารถนํามาประยุกตไดทั้งกับ spin angular momentum Sˆz และ orbital angular momentum Lˆz ในขั้นตนนี้ เราไมจําเปนทีจ่ ะจํากัดการวิเคราะหใหอยูแ ตเฉพาะในแนวแกน z เทานั้น หากแต สามารถมอง angular momentum ในทิศทางใดๆก็ได ดังนั้นเราอาจจะเขียน operator ใหอยูใ น ทิศทางทั่วๆไปไดวา Jˆ = Jˆ x + Jˆ y + Jˆ z _________________________ สมการ (3.4)
ซึ่งสมการ (3.4) นั้นเปนการเขียน angular momentum operator ใหอยูในรูปขององคประกอบตาม แนวแกน x, แกน y, และ แกน z ตามลําดับ โดยที่ operator ทั้งสามดังกลาว มิไดเปนอิสระตอกัน เสียเลยทีเดียว แตมีความสัมพันธในทางคณิตศาสตรกนั อยู ก็คือ ⎡ Jˆ x , Jˆ y ⎤ = i Jˆ z ⎣ ⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
_________________________ สมการ (3.5)
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-6
และใน Section 3.3 เราจะพิสูจนความสัมพันธดังสมการ (3.5) โดยใช spin ของอิเล็กตรอนเปน ตัวอยางในการพิสูจน แตถึงแมวาตัวอยางที่ใชจะเปนกรณีพิเศษ ความสัมพันธดังสมการ (3.5) นั้น เปนกรณีทวั่ ไปที่ประยุกตใชกับ angular momentum ในทุกสถานการณ จาก บทที่ 2 เราสามารถเขียน operator { + Z , − Z } basis state ไดวา Jx =
⎡0 1 ⎤ , 2 ⎢⎣1 0 ⎥⎦
Jy =
Jˆ x , Jˆ y , Jˆ z
⎡ 0 −i ⎤ , 2 ⎢⎣ i 0 ⎥⎦
และ
ใหอยูในรูปของ matrix โดยใช เปน
Jz =
⎡1 0 ⎤ 2 ⎢⎣0 −1⎥⎦
____________ สมการ (3.6)
เพราะฉะนั้น ทางขวามือของสมการ (3.5) สามารถเขียนใหอยูใ นรูปของ matrix ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 0 −i ⎤ ⎡ 0 −i ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ − ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎣1 0 ⎦ 2 ⎣ i 0 ⎦ 2 ⎣ i 0 ⎥⎦ 2 ⎢⎣1 0 ⎥⎦ ⎡i 0 ⎤ ⎡ −i 0 ⎤ = − ⎢ ⎥ 2 2 ⎣ 0 −i ⎦ 2 2 ⎢⎣ 0 i ⎥⎦
JxJ y − J yJx =
JxJ y − J yJx =
⎡ 2i 0 ⎤ 2 2 ⎢⎣ 0 −2i ⎥⎦
ซึ่งผลลัพธขางตนสามารถจัดรูปใหมไดวา
⎛ ⎡1 0 ⎤ ⎞ JxJ y − J yJx = i ⎜ ⎢ ⎥⎟ ⎝ 2 ⎣0 −1⎦ ⎠
ซึ่งเมื่อพิจารณา
Jz
ในสมการ (3.6) ทําใหเห็นความสัมพันธ JxJ y − J yJx = i Jz
_________________________ สมการ (3.7)
ซึ่งก็ตรงกับสมการ (3.5) อยางไรก็ตาม ความสัมพันธดังกลาวเปนการพิสูจนโดยใชกรณีเฉพาะใน เรื่องที่เกี่ยวของกับ spin ของอิเล็กตรอนเทานั้น ในลําดับตอไป เราจะพิสูจนวาความสัมพันธดังใน สมการ (3.5) นั้นเปนจริงในทุกๆกรณี ในบทที่ 2 เราไดกลาวถึง rotation operator ในทาง quantum mechanics ที่เรียกวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
Rˆ (ϕ k ) = e
i − ϕ Jˆ z
3-7
_________________________ สมการ (3.8)
ซึ่งสามารถหมุนสถานะเชิง spin ของระบบเปนมุม ϕ radian รอบแกน z ในครั้งนี้เราจะมากลาวถึง rotation operator ในเชิงเรขาคณิต
matrix Θ (ϕ k ) ที่สามารถหมุน vector a เปนมุม ϕ radian รอบแกน z คือ
z
b = Θ (ϕ k ) a b
⎡ cos ϕ y Θ (ϕ k ) = ⎢ sin ϕ ⎢ ⎢⎣ 0
a
− sin ϕ cos ϕ 0
0⎤ 0 ⎥⎥ 1 ⎥⎦
x
ภาพ 3.3 เมื่อทบทวนเนื้อหาของวิชาเรขาคณิตเบื้องตน matrix Θ (ϕ k ) ซึ่งมี matrix element ดัง แสดงในภาพ สามารถที่หมุน vector a เปนมุมขนาด ϕ radian รอบแกน z และทําใหไดผลลัพธ เปน vector b = Θ (ϕ k ) a ดังภาพ 3.2 ตําแหนงของจุดตางๆในพิกดั แบบ Cartesian coordinate สามารถแทนดวย vector a ใน 3 มิติ และ vector เหลานี้สามารถที่จะมีการเปลี่ยนตําแหนงดวยการนํา matrix เขามาคูณ หรือ เขามา กระทํา และทําใหเกิด vector ผลลัพธอันใหมขึ้นมา เมื่อทบทวนเนือ้ หาของวิชาเรขาคณิตเบื้องตน จะพบวา matrix Θ (ϕ k ) ซึ่งมี matrix element ⎡ cos ϕ Θ (ϕ k ) = ⎢⎢ sin ϕ ⎢⎣ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0⎤ 0 ⎥⎥ 1 ⎥⎦
_________________________ สมการ (3.9)
สามารถที่หมุน vector a เปนมุมขนาด ϕ radian รอบแกน z และจะสังเกตเห็นวา เราใชสัญลักษณ Θ (ϕ k ) แทน rotation operator ในเชิงเรขาคณิต เพือ ่ ไมใหสับสนกับ rotation operator Rˆ (ϕ k ) ในทาง quantum mechanics
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-8
นอกจากการหมุนเปนมุม ϕ radian แลว เรายังสามารถพิจารณาการหมุนเปนมุมขนาดเล็กมาก อาทิ เชน ε 1 และในกรณีดังกลาวนี้ cos ε ≅ 1 และ sin ε ≅ ε เพราะฉะนัน้ สมการ (3.9) จะลด รูปไดเปน ⎡ 1 −ε Θ ( ε k ) ≅ ⎢⎢ε 1 ⎢⎣ 0 0
0⎤ 0 ⎥⎥ 1 ⎥⎦
_________________________ สมการ (3.10)
และในทํานองเดียวกันกับ matrix ที่สามารถหมุน vector ใหเปนมุมขนาดเล็ก ε เราสามารถสราง matrix ในลักษณะดังกลาวที่หมุนรอบแกน y และ แกน x ไดวา ⎡ 1 0 ε⎤ Θ ( ε j) ≅ ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣ −ε 0 1 ⎥⎦ ⎡1 0 0 ⎤ Θ ( ε i ) ≅ ⎢⎢0 1 −ε ⎥⎥ ⎢⎣0 ε 1 ⎥⎦
1 รอบแกน z
_________________________ สมการ (3.11) _________________________ สมการ (3.12)
matrix ทั้ง 3 ดังสมการ (3.10), (3.11), และ (3.12) นั้น มีเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่นาสนใจอยู อันหนึ่ง พิจารณา ⎡1 ⎢ Θ ( ε i ) Θ ( ε j) − Θ ( ε j) Θ ( ε i ) = ⎢ε 2 ⎢ −ε ⎢⎣
ε ⎤ ⎡ 1 ε 2 ε ⎤ ⎡ 0 −ε 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢ 1 −ε ⎥ − ⎢ 0 1 −ε ⎥ = ε 0 0⎥ ⎢ ⎥ ε 1 ⎥⎥ ⎢⎢ −ε ε 1 ⎥⎥ ⎢ 0 0 0⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 0
⎣
⎦
___________ สมการ (3.13) และ ถาเราวิเคราะห rotation matrix ที่หมุน vector เปนมุม ε 2 รอบแกน z และ ลบดวย identity matrix จะไดวา ⎡1 ⎢ 2 Θ ε k − I = ⎢ε 2 ⎢ ⎢0 ⎣
( )
Dr. Teepanis Chachiyo
−ε 2 1 0
0⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢ 0⎥ − ⎢0 ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎣
0 1 0
0⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ε 2 ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎣
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
−ε 2 0 0
0⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎦
________ สมการ (3.14)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-9
จะสังเกตเห็นวา ทางขวามือของสมการ (3.13) และ สมการ (3.14) นั้นมีคาเทากัน เพราะฉะนัน้ เรา สรุปเอกลักษณขอดังกลาว ของ rotation matrix ในเชิงเรขาคณิตไดวา
( )
Θ ( ε i ) Θ ( ε j) − Θ ( ε j) Θ ( ε i ) = Θ ε 2 k − I
___________ สมการ (3.15)
สมการขางตนมีความสําคัญอยูมากทีเดียวในแงของการวิเคราะหสมบัติของการหมุนวัตถุใดๆใน 3 มิติ ดังที่แสดงในภาพ 3.2 ที่วา การสลับลําดับกอนหลังของการหมุน ใหผลลัพธที่ไดแตกตางกัน สมการ (3.15) ชี้แจงใหเห็นวา เมื่อพิจารณาการหมุนเปนมุมขนาดเล็ก ผลของการสลับลําดับกอนหลัง ของการหมุนรอบแกน x และ รอบแกน y ก็ทําใหสถานะผลลัพธออกมาแตกตางกัน โดยที่ผลตาง ของผลลัพธทั้งสอง เปรียบเสมือนการหมุนรอบแกน z เปนมุมขนาดเล็กลงไปอีก อยางไรก็ตาม หนังสือเลมนีไ้ มไดเกี่ยวของกับวิชาเรขาคณิต เพราะฉะนั้นความหมายที่ลึกซึ้งในเชิง เรขาคณิตของสมการ (3.15) ไมมีความจําเปนแตอยางใด ในขั้นตนนี้ เราจะมองสมการ (3.15) เปน เพียงเอกลักษณทางคณิตศาสตรขอหนึ่งที่จะใชเปนสะพานเชื่อมไปสูการพิสูจนสมการ (3.5) เทานัน้ ถาเราตั้งสมมุติฐานวา rotation operator ในเชิง quantum mechanics หรือ Rˆ (ϕ i) , Rˆ (ϕ j) , และ Rˆ (ϕ k ) นั้น มีเอกลักษณทางคณิตศาสตรเหมือนกับ rotation operator ในเชิงเรขาคณิตดังสมการ (3.15) จะเขียนไดวา Rˆ (ε i ) Rˆ (ε j) − Rˆ (ε j) Rˆ (ε i ) = Rˆ (ε 2 k ) − 1ˆ
___________ สมการ (3.16)
เมื่อ ε 1 แทนมุมของการหมุนทีม่ ีขนาดเล็กมาก และในกรณีที่มุมขนาดเล็กมากเชนนี้ rotation operator ดังในสมการ (3.8) ลดรูปเหลือเพียง Rˆ (ε i ) = e Rˆ (ε j) = e
Rˆ (ε i ) = e 2
Dr. Teepanis Chachiyo
i − ε Jˆ x
i − ε Jˆ y
i − ε 2 Jˆ z
i ≅ 1 − ε Jˆ x
เมื่อ ε
1
____________________ สมการ (3.17)
i ≅ 1 − ε Jˆ y
เมื่อ ε
1
____________________ สมการ (3.18)
i ≅ 1 − ε 2 Jˆ z
เมื่อ ε
1
____________________ สมการ (3.19)
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-10
และเมื่อแทนสมการ (3.17) - (3.19) เขาไปในสมการ (3.16) จะไดวา ⎛ i ˆ ⎞⎛ i ˆ ⎞ ⎛ i ˆ ⎞⎛ i ˆ ⎞ ⎛ i 2 ˆ ⎞ ⎜1 − ε J x ⎟⎜1 − ε J y ⎟ − ⎜1 − ε J y ⎟⎜1 − ε J x ⎟ = ⎜1 − ε J z ⎟ − 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ซึ่งสามารถลดรูปใหงายขึน้ ก็คือ −
ε2 ˆ ˆ ε2 ˆ ˆ i Jx J y + J y J x = − ε 2 Jˆ z 2
2
หรือเขียนในรูปของ commutator ไดวา ⎡⎣ Jˆ x , Jˆ y ⎤⎦ = i
Jˆ z
ซึ่งก็คือสมการ (3.5) นั่นเอง
แบบฝกหัด 3.2 จงใชกระบวนการของการวิเคราะห rotation matrix ในทํานองเดียวกับ Section 3.2 เพื่อแสดงใหเห็นวา ⎡⎣ Jˆ y , Jˆ z ⎤⎦ = i Jˆ x และ ⎡⎣ Jˆ z , Jˆ x ⎤⎦ = i Jˆ y แบบฝกหัด 3.3 ในการทดลองของ Stern-Gerlach ที่ใชอนุภาคที่มี spin เปน 1 (spin-1 particles) ยกตัวอยางเชน อนุภาคในกลุม boson ซึ่งจะทําให beam ในการทดลองนั้น แยกออกมาเปน 3 สาย ดวยกัน ดังนัน้ เราสามารถเลือกใช basis state เปนสถานะทั้งสามในแนวแกน z ไดวา { − , 0 , + } นอกจากนี้ เรายังสามารถนิยาม spin angular momentum operator ในทั้งสามแกนดังตอไปนี้ Jˆ z + = + + Jˆ z 0 = 0 0 Jˆ z − = − −
จากการทดลอง ปรากฏวาไดผลดังภาพ 3.3
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-11 25
100
50
SG-Z
SG-X
SG-X
100
25
−
50
+ 0
0
SG-Z
+ 0
50
−
Spin 1 Particles
ภาพ 3.3 แสดงผลของการทดลอง Stern-Gerlach โดยใชอนุภาคที่มี spin เปน 1 1) จงใชระเบียบวิธีทาง quantum mechanics ในทํานองเดียวกับบทวิเคราะหใน Section 1.7 และ Section 2.3.4 เพื่อที่จะเขียน operator Jˆ x , Jˆ y , และ Jˆ z ในรูปของ matrix และตรวจสอบวา คําตอบที่ไดอยูในรูปดังตอไปนี้หรือไม ⎡0 ⎢1 Jˆ x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ { − , 0 , + } basis 2⎢ ⎢⎣ 0 ⎡0 ⎢i Jˆ y ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ { − , 0 , + } basis 2⎢ ⎢⎣0
1 0⎤ 0 1 ⎥⎥ 1 0 ⎥⎦ −i
⎡1 0 Jˆ z ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎢0 0 { − , 0 , + } basis ⎢⎣0 0
0 i
0⎤ −i ⎥⎥ 0 ⎥⎦ 0⎤ 0 ⎥⎥ −1⎥⎦
b) จงใช matrix ในขอ (a) พิสูจนโดยการคูณ matrix วา ⎡⎣ Jˆ x , Jˆ y ⎤⎦ = i
Jˆ z
3.4 Commuting Operator จากภาพที่ 3.2 และตัวอยางใน Section 3.3 จะเห็นวาโดยทั่วไปแลว ⎡⎣Oˆ1, Oˆ 2 ⎤⎦ ≠ 0 เมื่อ Oˆ1 และ Oˆ 2 เปน operator ใดๆ แตในกรณีพิเศษบางกรณีนั้น การสลับลําดับกอนหลังในการนํา operator 2 operator ก็อาจจะไมมีผลตอสถานะผลลัพธที่เกิดขึ้น หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง เราจะมาศึกษาใน ประเด็นทีว่ า ถามี operator Aˆ และ Bˆ ที่มีลักษณะพิเศษคือ Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-12
___________________ สมการ (3.20)
⎡ ˆ ˆ⎤ ⎣ A, B ⎦ = 0
แลวนั้น จะเกิดผลกระทบที่ตามมาอยางไร ? ในแงของการใชภาษานั้น ถา operator ความสัมพันธดังสมการ (3.20) เราเรียกวา "operator Aˆ commute กับ Bˆ " สมมุติวาเมื่อเราพิจารณา operator Aˆ แลวพบวา มันมี eigenstate เปน α หรือเขียนในรูปของความสัมพันธเชิงคณิตศาสตรไดวา
a
Aˆ
และ Bˆ มี
และมี eigenvalue เปน
___________________ สมการ (3.21)
Aˆ a = α a
เมื่อเรานํา operator Bˆ เขาไปกระทํากับทั้งสองขางของสมการ (3.21) จะทําให ˆ ˆ a = Bˆ (α a BA
(
= α Bˆ a
เนื่องจาก operator Aˆ commute กับ จัดรูปของนิพจนไดวา
Bˆ
หรือ
ˆ ˆ = BA ˆˆ AB
)
)
___________________ สมการ (3.22)
ทางซายมือของสมการ (3.22) จึงสามารถ
( ) ___________________ สมการ (3.23) Aˆ ( Bˆ a ) = α ( Bˆ a ) ˆ ˆ a = α Bˆ a AB
ใหสังเกตผลลัพธที่ไดจากสมการ (3.23) โดยเฉพาะอยางยิ่งการจัดรูปของ Bˆ เห็นวา สมการ (3.21) และ สมการ (3.23) จะเปนจริงพรอมๆกันได ก็ตอเมื่อ
a
ใหอยูใ นวงเล็บ จะ
Bˆ a = (คาคงที่) a
หรือเขียนในอีกรูปแบบหนึ่งไดวา Bˆ a = β a
สมการขางตนแสดงใหเห็นวา Dr. Teepanis Chachiyo
a
___________________ สมการ (3.24)
คือ eigenstate ของ operator Bˆ ซึ่งมี eigenvalue เทากับ β
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-13
จากสมการ (3.24) และ สมการ (3.21) เราสามารถกลาวโดยสรุปวา
ถา operator
Aˆ
commute กับ Bˆ แลว eigenstate ของ
Aˆ
ก็ยอมเปน eigenstate ของ
Bˆ
ดวยเชนกัน
ขอควรระวัง การที่ operator Aˆ และ Bˆ มี eigenstate อันเดียวกัน ไมไดหมายความวา operator ทั้ง สองจะมี eigenvalue เหมือนกัน
3.5 Eigenvalue ของ Angular Momentum เพื่อเปนการมิใหเราหลงทางและจมอยูทามกลางคณิตศาสตร จนลืมเห็นเปาหมายที่แทจริงในเนื้อหา ทางฟสิกสที่เรากําลังศึกษา ผูเขียนจะขอเกริ่นถึงประเด็นหลักที่เราตองการวิเคราะหในบทที่ 3 นี้ เราตองการที่จะศึกษาวาในเชิงของ quantum mechanics นั้น คาของ angular momentum มีความไม ตอเนื่อง หากแตมีลักษณะเปนขั้นบันได ซึ่งแตกตางกันอยางสิ้นเชิงกับกับ Newtonian mechanics ที่ angular momentum จะมีคาเปนเทาไหรก็ได ขึ้นอยูกับมวล, ความเร็วรอบในการหมุน, และ รัศมี ของการหมุน quantum mechanics ใชสิ่งที่เรียกวา operator เปนตัวแทนในการตรวจวัดปริมาณทางฟสิกส และสิ่งที่ เรียกวา eigenvalue เปนตัวแทนของปริมาณนั้นๆทีว่ ัดได เชนเดียวกันกับในกรณีของ angular momentum ที่เรากําลังใหความสนใจวิเคราะหอยูน ี้ ในบทที่ 3 นี้ เราสนใจในปริมาณทางฟสิกส 2 ชนิดดวยกัน ซึ่งแทนดวย operator (1) Jˆ z และ (2)
Jˆ 2
1). operator Jˆ z คือการวัด angular momentum ตามแนวแกน z และ 2) operator Jˆ 2 คือการวัดขนาดของ angular momentum ยกกําลังสอง ซึ่งมีคํานิยามวา Jˆ 2 ≡ Jˆ ⋅ Jˆ = Jˆ x2 + Jˆ y2 + Jˆ z2 ___________________ สมการ (3.25)
เมื่อมี operator ที่ใชในการวัด ก็จะตองมีคา ที่วัดออกมาได แทน Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-14
1) m เปน angular momentum ตามแนวแกน z ที่วัดได ดังนั้น m มีสถานะภาพเปน eigenvalue ของ operator Jˆ z 2) λ 2 เปน ขนาดของ angular momentum ยกกําลังสอง ที่วัดได ดังนัน้ λ 2 มีสถานะภาพเปน eigenvalue ของ operator Jˆ 2 ใหสังเกตการคูณ และ 2 เขาไปในคํานิยามของ eigenvalue ทั้งสองประเภท ทั้งนี้กเ็ พราะ มี หนวยเปน angular momentum อยูกอนแลว ทําให m และ λ จะตองเปนตัวเลขธรรมดาที่ไมมี หนวยไปโดยปริยาย ในเมื่อเราสนใจที่จะศึกษาระบบโดยใชปริมาณทางฟสิกสทั้งสองประเภทดังกลาว เราอาจจะใช m และ λ เปนตัวเลขที่กํากับคุณสมบัติของระบบ ยกตัวอยางเชน Ψ = λ, m
ดวยขอสังเกตที่กลาวมาแลวทั้งหมด เราสรุปไดวา ในบทที่ 3 เราตองการที่จะวิเคราะหสมการ Jˆ z λ , m = m λ , m
___________________ สมการ (3.26)
Jˆ 2 λ , m = λ 2 λ , m
___________________ สมการ (3.27)
และในลําดับตอไป เราจะใชการบวนการทางคณิตศาสตรเพื่อที่จะคํานวณ eigenvalue m และ λ และ eigenstate λ , m ของ operator Jˆ z และ Jˆ 2 ในสมการ (3.26) และ (3.27) ตามลําดับ แบบฝกหัด 3.4 จงพิสูจนวา Jˆ 2 commute กับ Jˆ z ซึ่งเปนเหตุผลที่เราสามารถเขียนสถานะ λ , m ใหเปน eigenstate ของทั้ง Jˆ 2 และ Jˆ z พรอมกันได อยางไรก็ตาม เนื่องจากความซับซอนของคณิตศาสตรในการวิเคราะห เราจะตองมากลาวถึงเรื่อง สําคัญที่เกี่ยวของกับ operator ใน 4 ประเด็นกอน ซึ่งก็คือ 1) adjoint operator 2) unitary operator 3) Hermitian operator และ 3) raising and lowering operator
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
2
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-15
3.6 สมบัติของ Operator operator ที่เกี่ยวของกับ quantum mechanics มีสมบัติอยูหลายประการ อีกทั้งมีอยูหลายประเภท ทั้งนี้ความหลากหลายดังกลาวก็เพื่อประโยชนในการคํานวณทางคณิตศาสตร เพราะเราจะตองไม ลืมวาในทายทีส่ ุดแลว quantum mechanics จะตองสามารถทํานายผลการทดลองออกมาเปนตัวเลข ที่ ตรวจวัดได ตรวจสอบได และแมนยํา ซึ่งจะหลีกเลี่ยงไมไดเลยที่จะตองใชคณิตศาสตร และใน Section 3.6 เราจะมากลาวถึง adjoint operator, unitary operator, และ Hermitian operator ตามลําดับ adjoint ของ operator ใน Section 2.3.1 ของบทที่ 2 เราไดกลาวถึง conjugate transpose ของ matrix หรือ ที่เรียกสั้นๆวา adjoint ของ matrix และเนื่องจาก matrix และ operator นั้นมี ความสัมพันธกันอยู ในคราวนี้เราจะขยายขอบเขตการวิเคราะหใหครอบคลุมไปถึง adjoint ของ operator ใดๆ operator Oˆ โดยทั่วไปแลวจะกระทํากับสถานะ ket ψ เพราะฉะนัน้ แลว probability amplitude ที่ เขียนในรูปของ bra-ket probability amplitude = φ Oˆ ψ ____________________ สมการ (3.28) และเพื่อใหมีความชัดเจนวา operator Oˆ นั้น จะตองเขามากระทํากับ อาจจะเขียนสมการ (3.28) เสียใหมโดยการใสวงเล็บ อาทิเชน probability amplitude =
(
φ Oˆ ψ
)
ψ
เปนอันดับแรก เรา
_____________________ สมการ (3.29)
ขอจํากัดที่ operator จะตองกระทํากับสถานะ ket ไดเพียงเทานั้น จะทําใหเกิดความไมสะดวกใน กระบวนการทางคณิตศาสตร ในเมื่อ quantum mechanics ใชทั้ง ket และ ทั้ง bra ในการแสดงถึง สถานะของระบบ เราสามารถนิยามสิ่งที่เราเรียกวา adjoint operator ของ Oˆ โดยเขียนเปนสัญลักษณวา Oˆ † ในทาง ตรงกันขามกับ operator Oˆ ซึ่งกระทํากับสถานะ ket adjoint operator Oˆ † จะกระทํากับสถานะ bra ซึ่งมีคํานิยามทางคณิตศาสตรดังนี้
(
φ Oˆ ψ
Dr. Teepanis Chachiyo
) = ( φ Oˆ † ) ψ
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
_____________________ สมการ (3.30)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-16
นั่นก็คือ adjoint operator Oˆ † มีคํานิยามใหเปนสิ่งที่กระทํากับ bra ที่อยูทางซายมือ ในขณะที่ operator Oˆ จะกระทํากับ ket ที่อยูทางขวามือ แตอยางไรก็ตามผลการคํานวณ probability amplitude ที่ได จะตองมีคาเทากัน
กําหนดให operator O หมุน vector ใดๆ 90 องศา ทวนเข็มนาฬิกา แลวจะไดวา
y
R2 = 2 j
(
)
R2 ⋅ OR1 = 4
O x
R1 = 2i y
ถาม operator O† ควรเปนอยางไร ?
R2 = 2 j เพื่อที่จะให
(O†R2 ) ⋅ R1 = 4 = R2 ⋅ (OR1 )
O†
x
R1 = 2i
ตอบ operator O† จะตองหมุน vector ใดๆ 90 องศา ตามเข็มนาฬิกา
ภาพ 3.4 แสดงความสัมพันธระหวาง operator Oˆ และ adjoint operator Oˆ † ภาพ 3.4 แสดงถึงตัวอยางของ adjoint operator Oˆ † โดยอาศัยคํานิยามในสมการ (3.30) โดยที่ภาพ กลาวถึงตัวอยางของการหมุน vector ในระนาบ x-y ซึ่งกําหนดให operator Oˆ ทําหนาที่ในการ หมุน vector ใดๆ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา เพราะฉะนัน้ แลว dot product ของ
(
)
R2 OR1 = 4
จากคํานิยามของ O† ในสมการ (3.30) ที่วา ( O† R2 ) ⋅ R1 = R2 ⋅ ( OR1 ) ทําใหเราสรุปไดวา adjoint operator Oˆ † จะตองเปน operator ที่หมุน vector ใดๆ 90 องศาตามเข็มนาฬิกานัน่ เอง จะสังเกตวา ในกรณีของตัวอยางขางตน เมื่อเราเริ่มดวยการหมุนทวนเข็ม และจากนัน้ ทําการหมุนตาม เข็ม ผลลัพธที่ไดก็เทากับวาไมมีการหมุนเกิดขึ้นเลย หรือเขียนเปนรูปของสมการไดวา
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-17
Oˆ †Oˆ = 1ˆ
operator ที่มีคุณสมบัติขางตน จัดอยูในประเภทของ operator ที่เรียกวา unitary operator ทั้งนี้ นักศึกษาตองไมลืมวา operator โดยทัว่ ไปนั้น ไมจําเปนจะตองมีคุณสมบัติดังกลาว adjoint operator โดยทัว่ ไปแลว มีคุณสมบัติไมแตกตางจาก adjoint matrix ใน Section 2.3.1 ของบท ที่ 2 ซึ่งสามารถสรุปไดวา 1) ( Aˆ † )
†
= Aˆ
2) ( Aˆ + Bˆ )
†
= Aˆ † + Bˆ †
ˆ ˆ) 3) ( AB
= Bˆ † Aˆ †
4) ( Aˆ † )
= Aˆ −1
†
−1
5) ( λ Aˆ )
†
( )
= λ ∗ Aˆ †
†
เมื่อ λ คือตัวเลขจํานวนเชิงซอนใดๆ
unitary operator ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics เราเรียก operator Uˆ วา unitary operator ถามันมีคุณสมบัติ ______________________ สมการ (3.31)
Uˆ †Uˆ = 1
แบบฝกหัด 3.5 ให
Aˆ
เปน operator จงพิสูจนวา ( λ Aˆ )
†
= λ ∗ Aˆ †
เมื่อ λ คือตัวเลขจํานวน
เชิงซอนใดๆ Hermitian operator จากที่กลาวมาแลวในภาพ 3.4 วา operator ที่เกี่ยวของกับการหมุนนั้น เปน unitary operator นั่นก็คือ adjoint operator Rˆ † (dϕ k ) จะหมุนในทิศทางตรงขามกับ operator Rˆ (dϕ k ) ดังนั้นถาเรายอนกับไปพิจารณาสมการ (2.122) จะไดวา Rˆ † (dϕ k ) Rˆ (dϕ k ) = 1 †
⎛ i ˆ ⎞ ⎛ i ˆ ⎞ ⎜ 1 − J z dϕ ⎟ ⎜ 1 − J z dϕ ⎟ = 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
__________________ สมการ (3.32)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-18
โดยใชเอกลักษณของ adjoint operator ในแบบฝกหัด 3.5 ทําใหเราทราบวา †
i ˆ† ⎛ i ˆ ⎞ ⎜ 1 − J z d ϕ ⎟ = 1 + J z dϕ ⎝ ⎠
เพราะฉะนัน้
i ˆ† ⎛ ⎞⎛ i ˆ ⎞ ⎜ 1 + J z dϕ ⎟ ⎜ 1 − J z dϕ ⎟ = 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ i i 1 ˆ† ˆ − Jˆ z dϕ + Jˆ z† dϕ + J z J z ( dϕ ) 2 = 0
______ สมการ (3.33)
2
ู อยูกบั ( dϕ )2 ในสมการ (3.33) ทิ้ง เนื่องจากมุม dϕ มีคาที่เล็กมาก เราสามารถที่จะตัดเทอมที่คณ ไปได ทําให Jˆ z† = Jˆ z
_________________________ สมการ (3.34)
operator ที่มี adjoint เทากันกับตัวมันเอง ดังในสมการ (3.34) นั้น มีชื่อเรียกวา Hermitian operator ซึ่งเปนกลุมของ operator ที่มีความสําคัญมากในทาง quantum mechanics เนื่องจาก Hermitian operator มี eigenvalue เปนจํานวนจริง มันจึงเปน operator ที่ใชแทนการวัดหรือ measurement เพราะวาปริมาณทางฟสิกสทสี่ ามารถวัดไดนั้น จะตองเปนเลขจํานวนจริง (คงจะเปนเรื่องตลกที่เรา บอกวาในหองมีนักศึกษาอยู 1 + i คน)
3.7 Raising และ Lowering Operator กอนที่จะทําการวิเคราะห eigenvalue ของ angular momentum operator Jˆ 2 และ Jˆ z ทั้งสอง เรา จะตองมานิยาม operator ที่จะอํานวยความสะดวกในการวิเคราะหเชิงคณิตศาสตรในอนาคตกัน เสียกอน นิยาม operator Jˆ+ ≡ Jˆ x + iJˆ y Jˆ ≡ Jˆ − iJˆ −
x
y
________________________ สมการ (3.35) ________________________ สมการ (3.36)
operator ที่นิยามไวดังในสมการ (3.35) และ สมการ (3.36) นั้น มีสมบัติทางคณิตศาสตรซึ่งจะชวยให เราสามารถตีความหมายของมันในทางฟสกิ สในภายหลังอยูสามประการ ก็คือ
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
1) ⎡⎣ Jˆ z , Jˆ± ⎤⎦ = ±
3-19
เอกลักษณในทางคณิตศาสตรดังกลาวนี้ สามารถพิสูจนไดอยางงายดาย โดย
Jˆ±
การแทนคํานิยามของ
3 Angular Momentum
Jˆ±
จากสมการ (3.35) และ สมการ (3.36) จะได ⎡ Jˆ z , Jˆ± ⎤ = ⎡ Jˆ z , Jˆ x ± iJˆ y ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡⎣ Jˆ z , Jˆ x ⎤⎦ ± i ⎡⎣ Jˆ z , Jˆ y ⎤⎦
________________ สมการ (3.37)
จากนั้น เราใชความสัมพันธในเชิง commutator ดังที่ไดกลาวในแบบฝกหัด 3.2 ที่วา ⎡ Jˆ x , Jˆ y ⎤ = i Jˆ z , ⎡ Jˆ y , Jˆ z ⎤ = i Jˆ x , และ ⎡ Jˆ z , Jˆ x ⎤ = i Jˆ y ดังนั้นสมการ (3.37) สามารถจัดรูป ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ใหงายขึน้ คือ
(
⎡ Jˆ z , Jˆ± ⎤ = i Jˆ y ± i −i Jˆ x ⎣ ⎦ = ± Jˆ ± iJˆ
(
x
y
)
) ________________ สมการ (3.38)
⎡ Jˆ z , Jˆ± ⎤ = ± Jˆ± ⎣ ⎦
สมการ (3.38) นั้นเขียนใหอยูใ นรูปของ commutator ซึ่งเราสามารถที่จะเปลี่ยนใหอยูใ นรูปของ ผลบวก และผลคูณธรรมดาไดวา Jˆ z Jˆ± = Jˆ± Jˆ z ± Jˆ±
________________ สมการ (3.39)
2) Jˆ+ Jˆ− = Jˆ 2 − Jˆ z2 + Jˆ z และ Jˆ− Jˆ+ = Jˆ 2 − Jˆ z2 − Jˆ z เอกลักษณทางคณิตศาสตรขอนี้ สามารถพิสูจนไดโดยใชคํานิยามในสมการ (3.35) และ (3.36) ผนวกเขากับคํายามของ Jˆ 2 และ Jˆ z operator ในสมการ (3.25) , (3.26) , และ (3.27) ยกตัวอยางเชน
(
Jˆ+ Jˆ− = Jˆ x + iJˆ y
)( Jˆx − iJˆ y )
= Jˆ x2 − iJˆ x Jˆ y + iJˆ y Jˆ x + Jˆ y2
(
) (
= Jˆ x2 + Jˆ y2 − i Jˆ x Jˆ y − Jˆ y Jˆ x
)
________________ สมการ (3.40)
Jˆ+ Jˆ− = Jˆ 2 − Jˆ z2 + Jˆ z
และในทํานองเดียวกัน
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum Jˆ− Jˆ+ = Jˆ 2 − Jˆ z2 − Jˆ z
3-20
________________ สมการ (3.41)
แบบฝกหัด 3.6 จงพิสูจนสมการ (3.41) 3) adjoint ของ operator
Jˆ+
ก็คือ
Jˆ−
หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง _________________________ สมการ (3.42)
Jˆ±† = Jˆ∓
โดยที่สมบัติขอนี้ สามารถพิสูจนไดโดยเริม่ จากคํานิยามของ Jˆ± ดังสมการ (3.35) และ สมการ (3.36) จากนัน้ ใชเอกลักษณตางๆที่เกีย่ วของกับ adjoint operator ดังที่ไดเห็นในแบบฝกหัด 3.5
( ) = ( Jˆ x ∓ iJˆ y )
† Jˆ±† = Jˆ x ± iJˆ y
___________________________ สมการ (3.43)
Jˆ±† = Jˆ∓
จากคุณสมบัตทิ ั้งสามประการของ operator ถึงความหมายของ Jˆ+ ไดดังตอไปนี้ พิจารณา ผลของ operator
Jˆ z Jˆ+
Jˆ±
ที่เราไดศึกษามาแลวนัน้ เราสามารถที่จะวิเคราะห
ที่กระทํากับสถานะ
(
λ, m
จะไดวา
)
Jˆ z Jˆ+ λ , m = Jˆ+ Jˆ z + Jˆ+ λ , m = Jˆ+ Jˆ z λ , m + Jˆ+ λ , m
______________ สมการ (3.44)
สมการ (3.44) ขางตนนั้น ไดมาจากการนํา commutator ในสมการ (3.39) มารวมพิจารณาดวย จากนั้นเราสามารถใชคํานิยามของ Jˆ z ในสมการ (3.26) เพื่อลดรูปใหงายขึ้น Jˆ z Jˆ+ λ , m = Jˆ+ Jˆ z λ , m + Jˆ+ λ , m = Jˆ+ m λ , m + Jˆ+ λ , m
(
)
= (m + 1) Jˆ+ λ , m
Jˆ z Jˆ+ λ , m = (m + 1)
Dr. Teepanis Chachiyo
______________ สมการ (3.45)
( Jˆ+ λ , m )
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-21
จากสมการ (3.26) ซึ่งเปน eigen equation ของ Jˆ z โดยมี λ , m เปน eigenstate และมี m เปน eigenvalue เราสามารถจินตนาการไดวามี eigenstate อีกอันหนึง่ คือ λ , m + 1 ซึ่งมี eigenvalue (m + 1) เพราะฉะนัน้ จึงสามารถเขียนสมการในทํานองเดียวกันกับสมการ (3.26) ไดวา Jˆ z λ , m + 1 = (m + 1) λ , m + 1
เมื่อพิจารณาสมการ (3.45) และ (3.46) ควบคูกันไป เราจะเห็นวา
______________ สมการ (3.46)
Jˆ+ λ , m ∼ λ , m + 1
หรือ
เมื่อ ξ+ คือคาคงที่ _________________ สมการ (3.47)
Jˆ+ λ , m = ξ + λ , m + 1
นั่นก็คือ operator Jˆ+ จะทําการเปลี่ยนสถานะ λ , m ใหกลายเปนสถานะ λ , m + 1 อันเปนที่มา ของชื่อที่วา "raising operator" ซึ่งเปนคําศัพทภาษาอังกฤษที่มีความหมายวา operator ที่ทําใหสถานะ เปลี่ยนแปลงขึน้ ไปหนึ่งขัน้ สวนในกรณีของคาคงที่ ξ + ที่คูณอยูกบั ดานขวามือของสมการ (3.47) นั้น เราจะไดทําการศึกษากัน ตอไปตามลําดับ ในทํานองเดียวกัน เราสามารถวิเคราะหถึงความหมายของ operator
(
Jˆ−
ดวยการเริ่มพิจารณา
)
Jˆ z Jˆ− λ , m = Jˆ− Jˆ z − Jˆ− λ , m = Jˆ− Jˆ z λ , m − Jˆ− λ , m = Jˆ− m λ , m − Jˆ− λ , m
______________ สมการ (3.48)
Jˆ z Jˆ− λ , m = (m − 1) Jˆ− λ , m
และเมื่อทําการจัดรูปสมการ (3.48) เสียใหมจะไดวา
(
)
Jˆ z Jˆ− λ , m = (m − 1)
( Jˆ− λ , m ) ______________ สมการ (3.49)
ดังนั้นเราจึงสรุปไดวา Jˆ− λ , m = ξ − λ , m − 1
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
____________________ สมการ (3.50) teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-22
ซึ่งเปนที่มาของชื่อที่เรียกวา "lowering operator" ดวยเหตุที่ operator Jˆ− นั้น สามารถเปลี่ยน สถานะ λ , m ใหกลายเปนสถานะ λ , m − 1 หรือ กลาวอีกนัยหนึ่ง
lowering operator จะทําการเปลี่ยนสถานะของระบบ ที่เดิมทีมี angular momentum ในแนวแกน z (eigenvalue ของ Jˆ z ) เปน m ใหกลายเปนสถานะที่มี angular momentum ในแนวแกน z ดังกลาว เปน (m − 1) นั่นเอง
3.8 m และ λ
2
เมื่อเราลองมองถึงความหมายของ m และ λ 2 ในทางฟสิกส จะไดวา λ 2 ก็คือขนาดของ angular momentum ยกกําลังสอง สวน m นั้น เปนเพียง angular momentum ตามแนวแกน z ดังนั้นจะไดวา m2 ≤ λ
____________________ สมการ (3.51)
สมการ (3.51) นั้นมีที่มาจากการวิเคราะห ขนาดของปริมาณ vector ใดๆ (ซึ่งรวมไปถึง angular momentum ดวย) ที่วา องคประกอบในแนวแกน z ของ vector จะมีคานอยกวาหรือเทากับ ขนาด ของ vector นั้นๆ เสมอ ถาเราเรียกคาสูงที่สุดที่เปนไปไดของ m วา mmax และนํา raising operator ดังกลาวจะไดวา Jˆ+ λ , mmax = 0
Jˆ+
มากระทํากับสถานะ
____________________ สมการ (3.52)
สาเหตุที่สมการ (3.52) จะตองมีคาเปนศูนยก็เพราะวา ไมมีสถานะใดๆ ที่สูงไปกวาสถานะ λ , mmax อีกแลว ดังนัน ้ raising operator Jˆ+ ไมมีทางที่จะเปลี่ยนสถานะ λ , mmax ไปเปนอะไร ไดอีก นอกเสียจากเปนศูนย ดังสมการ (3.52) ดังนั้นจะไดวา Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
(
Jˆ− Jˆ+ λ , mmax = Jˆ− Jˆ+ λ , mmax
3-23
) ____________________ สมการ (3.53)
= Jˆ− ⋅ 0 Jˆ− Jˆ+ λ , mmax = 0 λ , mmax
แตจากสมการ (3.41) เราทราบวา
(
Jˆ− Jˆ+ = Jˆ 2 − Jˆ z2 − Jˆ z
ซึ่งทําให
)
Jˆ− Jˆ+ λ , mmax = Jˆ 2 − Jˆ z2 − Jˆ z λ , mmax = Jˆ 2 λ , mmax − Jˆ z2 λ , mmax − Jˆ z λ , mmax
(
)
_______ สมการ (3.54)
2 2 Jˆ− Jˆ+ λ , mmax = λ 2 − mmax − mmax 2 λ , mmax
เมื่อเราเปรียบเทียบสมการ (3.53) และ สมการ (3.54) จะเห็นวา λ 2 λ = mmax + mmax
2
2 − mmax
2
− mmax
2
=0
หรือ
______________________ สมการ (3.55)
ในทํานองเดียวกัน เราสามารถที่จะเขียนคาที่นอยที่สุดที่เปนไปไดของ m วา mmin ซึ่งจะทําให Jˆ− λ , mmin = 0
____________________ สมการ (3.56)
โดยที่สมการ (3.56) ดังกลาว จะมีผลสืบเนือ่ งที่จะเกิดขึ้นก็คือ 2 λ = mmin − mmin
__________________ สมการ (3.57)
2 ซึ่งเมื่อเราพิจารณาสมการ (3.55) และ สมการ (3.57) จะไดวา mmax + mmax หรือ
mmin = −mmax
2 = mmin − mmin
__________________ สมการ (3.58)
และโดยทัว่ ไปแลวใน quantum mechanics เราจะใชสัญลักษณ j แทนคาของ mmax ซึ่งนั่นก็ หมายถึง mmin = − j นั่นเอง เนื่องจากขอกําหนด mmin ≤ m ≤ mmax เราจะเห็นวาคาของ angular momentum ในแนวแกน z (หรือคา eigenvalue ของ operator Jˆ z ) นั้น มีคาไดอยูในชวง Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
− j ≤m ≤+j
3-24
__________________ สมการ (3.59)
จากภาพ 3.5 ถาเราเริ่มดวยระบบที่อยูในสถานะ λ , m = j จะเห็นวา lowering operator สามารถ ที่จะเปลี่ยนใหสถานะดังกลาวไปเปน λ , m = j − 1 และเมื่อเรานํา lowering operator มากระทํา อีกครั้งหนึ่ง ก็จะไดสถานะ λ , m = j − 2 อยางนี้เรื่อยไป จนกระทั่งสถานะของระบบมาหยุดอยู ที่ λ , m = − j ซึ่งเปนสถานะสุดทาย ที่จะต่ําไปกวานี้อกี ไมได เนื่องจาก lowering operator Jˆ− นั้นสามารถที่จะลดคาของ m ไดคราวละหนึง่ จะไดวา mmax − mmin = จํานวนเต็ม หรือ j − (− j ) = n
__________________ สมการ (3.60)
เมื่อ n เปนจํานวนเต็มใดๆ ซึ่งจะมีคาเปนเทาไหรนั้น ขึน้ อยูกับระบบทางฟสิกสที่เรากําลังศึกษาอยู เมื่อวิเคราะหสมการ (3.60) จะไดวา 1 3 j = 0, ,1, , 2, … 2 2
Dr. Teepanis Chachiyo
j=
และ
n 2
ซึ่งคาของ j และ m ที่เปนไปไดนั้นก็คือ
m ∈{− j, − j + 1,…, j − 1, j}
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
__________ สมการ (3.61)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-25
ภาพ 3.5 ถากําหนดใหคาของ m มีคามากที่สุดคือ j จากนั้น lowering operator Jˆ− จะทําให สถานะของระบบเปลี่ยนแปลง โดยมีคาของ m ลดลงมาคราวละหนึ่งเปนลําดับ และมาสิ้นสิ้นสุดที่ m=−j
ดังนั้น เมื่อเราทราบคาที่เปนไปไดของ
j
จากสมการ (3.55) จะไดวา λ = j(j + 1)
__________________ สมการ (3.62)
เราสามารถตีความสมการ (3.62) ไดดังตอไปนี้ ถาให j คือคาที่สูงที่สุดที่เปนไปไดของ angular momentum ในแนวแกน z ของระบบใดๆ จะไดวา คาของ angular momentum ยกกําลังสองของ ระบบจะเปน j(j + 1) 2 แบบฝกหัด 3.7 กําหนดให vector R ซึ่งมีขนาดเทากับ 2 cm. เมื่อ vector R ชี้ไปในทิศตางๆ ในพิกดั ทรงกลม ที่มีมุมกมเปน θ เทียบกับแกน +z และมุมกวาดในแนวราบเปน ϕ เทียบกับแกน +x จะไดวาองคประกอบตามแนวแกน x, y, และ z ของ vector R ก็คือ
ภาพ 3.6 แสดง vector R ในสามมิติ โดยที่ระบบพิกดั แบบทรงกลมนั้น เราใชมุม θ และ มุม φ เปนตัวบอกทิศทางที่ vector ดังกลาวชี้ไป และจากวิเคราะหจะไดวา องคประกอบตามแนวแกน z ของ vector นั้น ขึ้นอยูกับมุม θ R x = 2 sin(θ ) cos(φ ) R y = 2 sin(θ ) sin(φ ) R z = 2 cos(θ )
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-26
a) จงหาคา Rzmax ซึ่งหมายถึงคาสูงที่สุดที่เปนไปไดของ Rz และบอกวา Rzmax มีความสัมพันธกับ 2 R อยางไร b) Rzmax ในขอ (a) เกิดขึ้นที่มุม θ เทากับเทาใด? c) เปรียบเทียบความแตกตางของคําตอบที่ไดในขอ (a) กับ ระบบ angular momentum ของ quantum mechanics ในสมการ (3.62) d) ถาเราตองการยึดตาม angular momentum ของ quantum mechanics โดยใช สมการ (3.62) และ 2 บอกวา R = Rzmax ( Rzmax + 1) จงแกสมการเพื่อหาวา Rzmax มีคาเปนเทาใด e) Rzmax ในขอ (d) เกิดขึ้นที่มุม θ เทากับเทาใด? ในทาง quantum mechanics นั้น อนุภาคไมสามารถที่จะมี angular momentum ที่ชี้ในทิศทางขนาน กับแนวแกน z ไดเสียเลยทีเดียว เหตุที่เปนเชนนี้กด็ วยเงือ่ นไขในทางคณิตศาสตรดังสมการ (3.62) แบบฝกหัด 3.8 อิเล็กตรอนที่โดยทัว่ ไปเรามักจะกลาวถึง spin angular momentum ในแนวแกน z วา "spin up" หรือ "spin down" นั้น แททจี่ ริงแลว อิเล็กตรอนที่มี spin up หรือ spin ชี้ขึ้นที่วานี้ a) ชี้ในทิศทางที่ขนานกับแกน z เลยหรือไม ? b) ถาไม ทํามุมกี่องศากับแนวแกน +z ? [บอกใบ - ในกรณีของ vector ใดๆ มุมทีท่ ํากับแกน z มีความสัมพันธ
R cos θ = z R
]
นอกจากนี้ เนื่องจาก λ มีความสัมพันธขึ้นอยูกับ j ดังสมการ (3.62) โดยสากลแลว ในระเบียบ วิธีทาง quantum mechanics นั้น เราไมนยิ มเขียนสถานะของระบบในรูปของ λ , m ดังในสมการ (3.26) และ (3.27) หากแตเขียนใหอยูใ นรูปของ j, m ดังจะยกตัวอยางใน 2 กรณี ตัวอยาง 1) กรณีของอิเล็กตรอน ถาเราพิจารณาเฉพาะ angular momentum ในสวนของ spin จะมี คา
j=
j=
1 2
ดังนั้นสถานะ spin angular momentum ของอิเล็กตรอนมีอยู 2 สถานะดวยกันคือ
1 1 ,m = + 2 2
และ
j=
1 1 ,m = − 2 2
หรือ เขียนสั้นๆวา
สถานะ spin angular momentum ของอิเล็กตรอนคือ operator
Jˆ z
และ
Jˆ 2
Dr. Teepanis Chachiyo
1 1 ,+ 2 2
และ
1 1 ,− 2 2
โดยที่ เมื่อเรานํา
เขามากระทํากับสถานะดังกลาวจะไดวา ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
1 1 Jˆ z , + =+ 2 2 2 1 1 Jˆ z , − = − 2 2 2
1 1 ,+ 2 2 1 1 ,− 2 2
3-27
______________ สมการ (3.63) ______________ สมการ (3.64)
และ 1 1 1⎛1 ⎞ 1 1 Jˆ 2 , + = ⎜ + 1⎟ 2 , + 2 2 2⎝2 ⎠ 2 2 1 1 1⎛1 ⎞ 1 1 Jˆ 2 , − = ⎜ + 1⎟ 2 , − 2 2 2⎝2 ⎠ 2 2
__________ สมการ (3.65) __________ สมการ (3.66)
ซึ่งจากสมการขางตน เราสรุปไดวา ขนาดของ angular momentum ยกกําลังสองของ อิเล็กตรอนนั้น มีคาเทากับ
3 4
2
และขนาดของ spin angular momentum ในแนวแกน z นั้นมีได 2 คา คือ
+
1 2
และ − 1 ตามลําดับ 2
ตัวอยาง 2) ในกรณีของ gluon ซึ่งเปนอนุภาคที่มี spin angular momentum เปน j = 1 ดังนั้น สถานะเชิง spin ของ อนุภาค gluon มีอยู 3 สถานะดวยกันคือ 1,−1 , 1,0 , และ 1,+1 ซึ่งสถานะ ทั้ง 3 เหลานี้ มี eigenvalue ของ operator Jˆ 2 คือ 2 2 และ eigenvalue ของ operator Jˆ z ก็คือ + , 0 , และ − ตามลําดับ
3.9
Jˆ+ j, m
และ
Jˆ− j, m
อยางที่กลาวในขางตนแลววา eigenstate ของ operator ในรูป j, m โดยที่
Jˆ z
Jˆ z j , m = m
และ operator
j, m
Jˆ 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m
Jˆ 2
______________ สมการ (3.67) ______________ สมการ (3.68)
ซึ่งสืบเนื่องจากสมการ (3.47) นั้น เราสามารถเขียนผลกระทบของ operator j, m ไดดังนี้ Jˆ+ j , m = ξ + j , m + 1
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
นั้นสามารถเขียนใหอยู
Jˆ+
ที่มีตอสถานะ
______________ สมการ (3.69)
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-28
ซึ่งในขณะนี้เราก็พรอมที่จะวิเคราะหวา ξ + มีคาเปนเทาใด โดยที่การคํานวณดังกลาวนี้ ทําไดดว ย การพิจารณา
(
j , m Jˆ− Jˆ+ j , m
)
_________________ สมการ (3.70)
จะสังเกตเห็นวา operator Jˆ− นัน้ แทนทีจ่ ะกระทํากับสถานะ ket j, m เราสามารถยายเขามา กระทํากับสถานะ bra j, m พรอมๆกันนั้นจะตองเปลี่ยนใหเปน adjoint operator ของ Jˆ−† ตามคํา นิยามที่ใหไวใน Section 3.6 j , m Jˆ− Jˆ+ j , m =
แตเนื่องจากใน Section 3.7 นั้น เราทราบวา
(
j , m Jˆ−†
Jˆ±† = Jˆ∓
j , m Jˆ− Jˆ+ j , m =
(
) ( Jˆ+
j, m
)
_________ สมการ (3.71)
ดังนั้นสมการ (3.71) ขางตน จะแปรสภาพเปน
j , m Jˆ+
)( Jˆ+
j, m
)
= ξ +*ξ + j , m + 1 j , m + 1
__________ สมการ (3.72)
2 j , m Jˆ− Jˆ+ j , m = ξ +
นอกจากนี้ เรายังทราบวา
Jˆ− Jˆ+ = Jˆ 2 − Jˆ z2 − Jˆ z
เพราะฉะนัน้
(
) j, m = { j ( j + 1) 2 − m2 2 − m 2 } j , m j , m j , m = { j ( j + 1) − m2 − m} 2
j , m Jˆ− Jˆ+ j , m = j , m Jˆ 2 − Jˆ z2 − Jˆ z
j , m Jˆ− Jˆ+
________ สมการ (3.73)
เมื่อเปรียบเทียบสมการ (3.72) และ สมการ (3.73) เราสามารถที่จะเลือกให ξ+ =
j ( j + 1) − m 2 − m
เพราะฉะนั้น สรุปคุณสมบัติของ operator Jˆ+ j, m =
Dr. Teepanis Chachiyo
Jˆ+
__________________ สมการ (3.74)
ไดวา
j ( j + 1) − m2 − m j , m + 1
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
______________ สมการ (3.75) teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-29
และในทํานองเดียวกัน Jˆ− j , m =
j ( j + 1) − m2 + m j, m − 1
______________ สมการ (3.76)
แบบฝกหัด 3.9 จงพิสูจนสมการ (3.76) แบบฝกหัด 3.10 พิจารณาระบบ spin angular momentum ของอิเล็กตรอนซึ่งมี a) จงใชคํานิยามของ
Jˆ+ และ Jˆ−
ในสมการ (3.75) และ (3.76) เพื่อเขียน operator
ใหอยูใ นรูปของ matrix โดยกําหนดใหมี basis state คือ b) จงใชคํานิยามของ ในรูปของ matrix
Jˆ+ และ Jˆ−
j=
1 1 j = ,m = + 2 2
และ
1 2 Jˆ+
และ
Jˆ−
1 1 j = ,m = − 2 2
ในสมการ (3.35) และ (3.36) ในการเขียน operator
Jˆ x
และ
Jˆ y
3.10 บทสรุป ในบทที่ 3 ที่เราไดเริ่มศึกษาพฤติกรรมของ angular momentum ในทาง quantum mechanics angular momentum ที่เราใชสัญลักษณอยางหลวมๆวา J โดยที่ J = L+S
กลาวคือ angular momentum แบงออกเปนสวนประกอบยอยๆเปนสองกลุม คือ orbital angular momentum L ซึ่งเกี่ยวของกับการเคลื่อนที่แบบหมุน และ spin angular momentum S ซึ่งเปนสมบัติ เฉพาะตัวของอนุภาคนั้นๆ จากนั้นเราไดเริ่มศึกษาถึงการที่เราจะเขียน angular momentum operator Jˆ = Jˆ x + Jˆ y + Jˆ z ใหอยู ในรูปของผลบวกขององคประกอบในแนวแกน x, y, และ z ตามลําดับ ซึ่ง operator ดังกลาวนี้ มี ความสัมพันธกันอยูคือ ⎡ Jˆ x , Jˆ y ⎤ = i Jˆ z ⎣ ⎦
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-30
โดยอาศัยความสัมพันธของ angular momentum operator อันนีแ้ ละสมบัติทางคณิตศาสตรอื่นๆที่ เกี่ยวของ นําไปสูประเด็นที่มีความสําคัญอยางมากเกีย่ วกับ angular momentum กลาวคือ 1) ให j เปนคาสูงที่สุดที่ angular momentum ในแนวแกน z จะพึงมีได คา ลักษณะเปนขัน้ บันได โดยที่
j
ดังกลาวนี้มี
1 3 j = 0, ,1, , 2,… 2 2
ซึ่งคาของ j จะเปนเทาไหรภายในเซตดังกลาวนี้ ก็ขนึ้ อยูกบั อนุภาคหรือระบบที่เรากําลังศึกษาอยู 2) เมื่อเราทราบคา j ในระบบแลว คา angular momentum ในแนวแกน z ที่เปนไปได หรือที่เรา เรียกวา m นั้น ก็จะตามมา โดยที่ m = + j, j − 1,…,− j + 1,− j
3) ดังนั้นตามหลักสากลแลว เราจะใชสัญลักษณ j, m เปนตัวกํากับสถานะของระบบที่มีคา ุ สมบัติดังตอไปนี้ และ m เฉพาะตัว ซึ่งสถานะดังกลาว มีคณ Jˆ z j , m = m
j
j, m
Jˆ 2 j , m = j ( j + 1) 2 j , m Jˆ+ j , m =
j ( j + 1) − m 2 − m j , m + 1
Jˆ− j , m =
j ( j + 1) − m 2 + m j , m − 1
การวิเคราะหสมบัติเหลานี้ในเชิงฟสิกสที่เปนรูปธรรมนั้น ถึงแมบางครั้งจะทําไดยาก ดวยเหตุผลของ คณิตศาสตรที่นักศึกษายังไมคุนเคย แตก็เปนสิ่งที่จําเปน และผลสุดทายที่จะไดรับก็จะเปนความรู ทาง quantum mechanics ที่ลึกซึ้ง ยกตัวอยางเชน อิเล็กตรอนที่โดยมากเรามักเรียกวา มี spin ขึ้นนั้น แททจี่ ริงทิศของ spin ไมไดชี้ขึ้นขนานกับแกน +z เสียเลยทีเดียว หากแตทาํ มุมประมาณ 54.7 องศา กับแกน z
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-31
3.11 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 3.11 พิจารณาอนุภาค boson ซึ่งเปน spin-1 และมี 1, +1 , 1, 0 , 1, −1 เปน basis state จงเขียน Jˆ+ , Jˆ− , และ Jˆ z ในรูปของ matrix จากนั้นใช J + และ J − ที่ไดเพื่อหา Jˆ y และ Jˆ x
แบบฝกหัด 3.12 พิจารณาอนุภาค boson ซึ่งเปน spin-1 และมี eigenstate ของ Jˆ z operator เปน basis state ซึ่งก็คือ 1, +1 , 1, 0 , และ 1, −1 สมมุติวาอนุภาคอยูในสถานะ ⎡3⎤ 1 ⎢ ⎥ Ψ ⎯⎯⎯⎯ → 2 Jˆ z basis 14 ⎢ ⎥ ⎢⎣1i ⎥⎦ a) เมื่อทําการวัด angular momentum ตามแนวแกน z หรือ Jˆ จงหาความนาจะเปนที่จะวัดคาได z
เทากับ + , 0 , และ − b) จงหา Jˆ z c) เมื่อวัด angular momentum ในแนวแกน x จะไดคาโดยเฉลี่ยเทาใด ? บอกใบ - คํานวณ
Jˆ x
แบบฝกหัด 3.13 จากแบบฝกหัด 3.11 จงหา Jˆ ⋅ nˆ ในรูปของ matrix คลายๆกับสมการ (2.85) จากนั้นคํานวณ eigenvalue และ eigenstate ในทํานองเดียวกันกับสมการ (2.93) เฉลย - มี eigenstate อยู 3 สถานะดวยกันคือ (1 + cos θ ) sin θ (1 − cos θ ) 1, +1 + 1, 0 + e +iϕ 1, −1 2 2 2 sin θ sin θ 0n = 1, +1 − cos θ 1, 0 − e+iϕ 1, −1 e−iϕ 2 2 (1 − cos θ ) sin θ (1 + cos θ ) − n = e−iϕ 1, +1 − 1, 0 + e+iϕ 1, −1 2 2 2 + n = e−iϕ
แบบฝกหัด 3.14 จงพิสูจนวา rotation operator ในแนวแกน y นอกจากจะสามารถเขียนอยูใ นรูป Rˆ (ϕ j) = e
i − ϕ Jˆ y
แลว ในกรณีของอนุภาคที่มี spin s = 1 ยังสามารถเขียนอยูใ นรูป
ϕ 2i ϕ Rˆ (ϕ j) = cos − Jˆ y sin 2 2
Dr. Teepanis Chachiyo
2
ไดอีกดวย
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009
Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา
3 Angular Momentum
3-32
แบบฝกหัด 3.15 ในแบบฝกหัด 2.22 เราคํานวณ ΔSˆx ในกรณีที่ระบบอยูใ นสถานะ + n = cos
θ
+ Z + e +iϕ sin
2 a) จงคํานวณ ΔSˆ y
และ
θ
−Z
2
Sˆ z
b) พิสูจนใหเห็นวา ΔSˆx ΔSˆ y ≥
Sˆ z
2
c) มุม (θ , ϕ ) เปนเทาใด จึงจะทําให ΔSˆx ΔSˆ y =
2
Sˆ z
แบบฝกหัด 3.16 กําหนดให operator Cˆ มีคํานิยามคือ iCˆ = ⎡⎣ Aˆ , Bˆ ⎤⎦ พิสูจนวาถา เปน Hermitian operator แลว
Cˆ
ψ = α +λ β
ψ ψ ≥0
และ
Bˆ
ก็เปน Hermitian ดวย
แบบฝกหัด 3.17 จงพิสูจน Schwarz inequality บอกใบ - เริ่มจาก
Aˆ
เมื่อ
ψ
α α β β ≥ α β
2
คือสถานะใดๆ จากนั้นพิจารณาในกรณีที่
เมื่อ λ คือคาคงที่ใดๆ จะไดวา ( α
+ λ∗ β
)( α
+λ β
)≥0
แลววิหาคา λ ที่ทําให ทางซายมือของสมการมีคานอยที่สุด
Dr. Teepanis Chachiyo
ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน
teepanis@kku.ac.th Draft Oct 2009