TEMA: CUADRILÁTEROS Y CIRCUNFERENCIA CUADRILATEROS
Q y
Definición. Es aquel polígono de cuadro lados. En todo cuadrilátero la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 360°.
Cuadrilátero Convexo ABCD
x
z
T
R
P Vértices: A, B, C y D Lados: AB, BC, CD y DA Diagonales: AC, y BD
Elementos
x + y + z + w = 360° Clasificación:
D
1. Trapezoide. Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos no son paralelos.
C
Trapezoide asimétrico B
C
B
A + + θ + = 360°
A
D
Trapezoide simétrico
Cuadrilátero Cóncavo PQRT; cóncavo en T
Q
Bisósceles Elementos
Vértices: P, Q, R y T Lados: PQ, QR, RT y TP Diagonales: PR, y QT
b
a
Eje de simetría
R
P
a T
b
Cuadriláteros y Circunferencia
Pág. 01
2. Trapecio. Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos a los cuales se les denomina bases. Si:
BC // AD
B
C
Elementos: b
a
a
p
Bases : AD y BC AB y CD
b
a
Base media: Altura : h
D
A
h Laterales:
N
M
A. Trapecio Escaleno. Es aquel cuyos laterales son de diferente longitud.
C
A
MN
Tipos de Trapecios
B
B
ABCD: trapecio
C
a
B. Trapecio Isósceles. Es aquel cuyos laterales son de igual longitud.
D
En la figura: Si: AD // BC y AB = CD ABC es un trapecio isósceles Entonces: mBAD = mADC; mABC = mBCD PA = PD; PB = PC AC = BD Sus ángulos opuestos son suplementarios
En la figura: BC // AD
AB CD
A
Propiedades 1.
D
ABCD es un trapecio escaleno
Q
R
B
En la figura: PT // QR
b
C N
M
D
a
A
PQ RT BC // AD MN // BC // AD
P En el caso que:
T PQ PT y PQ QR
MN :
Mediana del trapecio MN = a b 2
PQRT es un trapecio escaleno, llamado trapecio rectángulo
Cuadriláteros y Circunferencia
Pág. 02
Propiedades: m
X
n
Observación: Se cumple: X =
2.
mn 2
Tipos de Paralelogramos
b
B
C
P
Q
AD // BC
Si: BQ = QD y AP = PC PQ // AD // BC PQ =
A
- AB = CD y BC = AD - Sus ángulos opuestos son de igual medida - Sus diagonales se bisecan
D
a
A. Romboide
B
b
a
ab 2
n
m
a n
A
C
m
D
b
Si: AB BC y BD AC ABCD: romboide
Observación: B
B. Rombo
A
m
Si: AP = PD
A
Se cumple: X
C
P
X=
a
m n
C
a
D
Si: AB = BC y BD AC D
n
ABCD: rombo
el cual sus dos pares de lados opuestos son paralelos. AB // CD y
BC // AD
Consecuencia:
b
a
a
C
B
C
AC BD
C. Rectángulo
ABCD es un paralelogramo
A
m a
nm 2
3. Paralelogramo. Es aquel cuadrilátero en
B
n
a
B
m
m
m
m
A
D
b
D Cuadriláteros y Circunferencia
Pág. 03
Si: AB ď‚š BC, y ademĂĄs es equiĂĄngulo ď‚Ž ABCD: rectĂĄngulo
Centro :O Radio : OP , OP = r Cuerda : CD DiĂĄmetro : AB , AB = 2r Secante : m Tangente : n Arco : CD , CTD Flecha Sagita: Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ??ť Punto de Tangencia: T Longitud de la circunferencia: 2đ?œ‹đ?‘&#x; Ă rea del CĂrculo: đ?œ‹đ?‘&#x; 2
Consecuencia: AC = BD D. Cuadrado
ď Ź
B
C
m
m ď Ź
ď Ź m A
m D
ď Ź
Si: AB = BC y AC = BD ď‚Ž ABCD: cuadrado Consecuencia: es equiĂĄngulo y las diagonales son bisectrices.
CĂ?RCULO Es aquella superficie plana determinada por la uniĂłn de una circunferencia y su regiĂłn interior. PROPIEDADES L
CIRCUNFERENCIA
1. Si:
ď Ą O
T
DEFINICIĂ“N
Entonces:
Se denomina circunferencia al lugar geomĂŠtrico de todos los puntos de un plano cuya distancia a otro punto del mismo plano llamado centro, es constante. Esta longitud constante se denomina radio (r). M C A
L es tangente OT es radio
OT ď ž L
2. Si: O es centro
H
ONď ž AB
Entonces:
D
O
P
A
r B
O
; ď Ą=90°
AM = MB;
M
mAN = mNB
B
N
m n T
CuadrilĂĄteros y Circunferencia
PĂĄg. 04
3. Si mAB = mCD B
TEOREMA DE PITHOT
M
Entonces: A
O
AB = CD ;
C N
OM = ON
D
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. B
4. Si:
C
b
AB // CD // m
Se cumple:
c
a
a+c = b+d
B
A
Entonces: mAC = mBD ; mCT = mTD
A
D
d
D
C
5. Si:
POSICIONES RELATIVAS DE CIRCUNFERENCIAS COPLANARES
m
T
PA y PB son
tangentes y O es centro. P
A
Circunferencias Exteriores R r
Entonces:
O1
B
R r
En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusaC y el diámetro de la circunferencia inscrita. Se cumple:
a r
O1
c
O1 O2 = R + r
R r
a + b = c + 2r B
O2
Circunferencias Secantes
O1 A
O1 O2 > R + r
Circunferencias Tangentes Exteriores
TEOREMA DE PONCELET
b
O2
; =
PA = PB
O
DOS
O2
R – r < O1 O2 < R + r
Nota Inradio: Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio: Radio de la circunferencia circunscrita.
Cuadriláteros y Circunferencia
Pág. 05
Circunferencias Tangentes Interiores
R
r O1
T
O2
O1 O2 = R – r
Circunferencias Interiores
R
r
O1 O2 < R – r O1
O2
Circunferencias Concéntricas
R r
O
Cuadriláteros y Circunferencia
Pág. 06
Cuadrilรกteros y Circunferencia
Pรกg. 07
Cuadrilรกteros y Circunferencia
Pรกg. 08