Lineas y puntos notables

Sesión N° 3 Puntos y líneas Notables

1

Sesión N° 3 Puntos y líneas Notables

Problema 1

Problema 8

En un triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś, se traza la bisectriz interior Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… (đ??¸ đ?‘’đ?‘› đ??ľđ??ś ), tal que: đ??´đ??¸ = đ??ľđ??¸ = đ??´đ??ś . Si đ??ľđ??ś = 14. Ě…Ě…Ě…Ě….

Calcular đ??´đ??ľ

En un triĂĄngulo rectĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś, recto en "đ??ľ" se trazan la altura Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ť y la bisectriz interior Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ que se cortan en Ě…Ě…Ě…Ě… = 3. Ě…Ě…Ě…Ě… = 6 đ?‘Ś đ?‘„đ??ť "đ?‘„". Calcular Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ť , si đ??ľđ??¸

Problema 2

Problema 9

En un triĂĄngulo rectĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś recto en "đ??ľ", se toma Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??´đ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… ; y en el sobre Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś el punto "đ?‘€", tal que: đ??´đ??ľ triĂĄngulo đ??ľđ?‘€đ??ś se traza la bisectriz interior Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ?‘ . Calcular đ?‘šâˆ˘đ??śđ?‘ đ?‘€.

En un triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś; đ?‘šâˆ˘đ??ľ = 40 đ?‘Ś đ?‘šâˆ˘đ??ś = 20, se traza la bisectriz exterior Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ (đ??¸ đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘™đ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ??śđ??ľ ); luego en el triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??¸ se traza la altura Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ť . Calcular la đ?‘šâˆ˘đ??ťđ??ľđ??¸.

Problema 3 En la figura Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ?‘„ ⍽ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś . Si Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ = 5 đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś = 8. Calcular Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘ƒđ?‘„ .

P

Q

B

Problema 10 En el gråfico: calcular "� + �" x°

�

đ?‘œ

đ?›źđ?‘œ

đ?œƒđ?‘œ đ?œƒđ?‘œ

A

C

y°

50°

Problema 11

Problema 4

De la figura, hallar ď Ą si mďƒ?B=100° y mďƒ?A = 3mďƒ?C.

Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… es En un triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś, en el cual Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ť es altura y đ??ľđ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě… mediana. Calcular đ??´đ??ś , si la đ?‘šâˆ˘đ??´đ?‘€đ??ľ = 53; đ?‘šâˆ˘đ??ľđ??´đ??ś = 45 đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ?‘€ = 5.

( BF : Bisectriz del ďƒ?ABC).

B ď Ą

Problema 5 En un triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś, las medidas de los ĂĄngulos đ??´ đ?‘Ś đ??ś se diferencian en 36°, la bisectriz del ĂĄngulo đ??ľ, intersecta en "đ??š" al lado Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś , determinando en ĂŠl dos ĂĄngulos cuya diferencia es:

ď ą A

Problema 6 En un triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś, se cumple que đ?‘šâˆ˘đ??´ − đ?‘šâˆ˘đ??ś = 40. Calcular la medida del ĂĄngulo que forman la mediatriz de Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś y la bisectriz exterior de ĂĄngulo đ??ľ.

H

ď ˘ ď ą

ď ˘ C

F

Problema 12 Hallar “x�, si CM = MD y AN = NC.

Problema 7

C

62°

En un triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś; đ?‘šâˆ˘đ??´ = 2đ?‘šâˆ˘đ??ś; la bisectriz del ĂĄngulo đ??ľ intersecta a Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś en "đ??ˇ" y en "đ??¸" a la bisectriz Ě…Ě…Ě…Ě… = exterior trazada del vĂŠrtice "đ??ś". Calcular Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??ś ; si đ??ˇđ??¸ 8.

N

M

x 22° A

D

B

2

Sesión N° 3 Puntos y líneas Notables

Problema 13

B

Hallar x

2đ?‘Ľ đ?‘œ 160° ď Ą ď Ą

I

130°

đ?‘Ľđ?‘œ

x

C

A ď ą

Problema 19 Ě…Ě…Ě…Ě… ⍽ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě… ; donde SegĂşn la figura đ??ľđ??ˇ đ??´đ??ś . Si Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś = 6. Calcular đ??źđ??ˇ I es incentro del triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś.

ď ą

Problema 14

D

B

SegĂşn el grĂĄfico, calcular â€œď Ąâ€?, si mďƒ?ABN = mďƒ?NBC y mďƒ?BAC – mďƒ?BCA = 40° B

I �

đ?‘œ

C

A

A

45° ď Ą ď ˘ ď ˘

đ?›źđ?‘œ

Problema 20 N

C

Problema 15 Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě… En un triĂĄngulo isĂłsceles đ??´đ??ľđ??ś (đ??´đ??ľ đ??ľđ??ś ) se trazan las Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ś đ??ľđ??¸ Ě…Ě…Ě…Ě… , las cuales se cortan en F. cevianas interiores đ??´đ??ˇ Si la đ?‘šâˆ˘đ??´đ??ľđ??š = 20 đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??š = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ˇ ; calcular đ?‘šâˆ˘đ??ˇđ??śđ??´.

En un triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś se traza la bisectriz exterior Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??š (F Ě…Ě…Ě…Ě… ); luego en đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… se ubica el en la prolongaciĂłn de đ??´đ??ś punto E tal que Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??¸ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??ś đ?‘Ś đ?‘šâˆ˘đ??´đ??šđ??ľ = 20. Calcula la đ?‘šâˆ˘đ??¸đ??śđ??ľ.

Problema 21 En la figura hallar PQ si AH = 5 y BH = 12.

B

Problema 16 En un triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś se traza la ceviana interior Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ˇ y el Ě…Ě…Ě…Ě…, tal que đ?‘šâˆ˘đ??ľđ??´đ??ˇ = triĂĄngulo đ??ˇđ??ľđ??ś la altura đ??śđ??ť đ?‘šâˆ˘đ??ťđ??śđ??ˇ đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ˇ = Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś . Si đ?‘šâˆ˘đ??ˇđ??ľđ??ś = 40. Calcular la đ?‘šâˆ˘đ??´đ??ľđ??ˇ

Problema 17 Ě…Ě…Ě…Ě… > đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…) En un triĂĄngulo rectĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś recto en đ??ľ, (đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… se traza la bisectriz interior đ??ľđ??š (đ??š đ?‘’đ?‘› đ??´đ??ś ) luego se Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. Si Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘Ś đ??ľđ?‘€ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… traza la ceviana interior đ??ľđ?‘€ đ??´đ??ľ = đ??ľđ??š đ?‘€đ??ś , calcular la đ?‘šâˆ˘đ??šđ??ľđ?‘€.

Problema 18 Calcular la đ?‘šâˆ˘đ??´đ??ľđ??ś , si “Iâ€? es incentro del triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś.

Q

P

A

Problema 22

ď Ą ď Ą

C H

En un triangulo đ??´đ??ľđ??ś, en donde la đ?‘šâˆ˘đ??´đ??ľđ??ś = 40, se Ě…Ě…Ě…Ě…Ě…. Calcular la đ?‘šâˆ˘đ??ľđ??śđ??´ si la traza la bisectriz interior đ??śđ?‘€ bisectriz del âˆ˘đ??ľđ??´đ??ś es perpendicular a la bisectriz del âˆ˘đ??ľđ??śđ?‘€.

Problema 23 Hallar el ĂĄngulo formado por la intersecciĂłn de las bisectrices de los ĂĄngulos exteriores de los ĂĄngulos agudos de un triĂĄngulo rectĂĄngulo.

3

Sesión N° 3 Puntos y líneas Notables

Problema 24

Problema 28

Hallar x.

Según el gráfico, calcule x/y B

y 2n

80°

N

Q

m

x A

M

C

P

R

m 

Problema 25



 x

Del gráfico hallar “x”.



n

x

 

 

40°

x

Problema 26 Hallar DC, si AB = 21 cm.

B

2 A

 D

C

Problema 27 Hallar x: x

76°  

 

4