GEOMETRIA
POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS ALDO HUAYANAY ESCUELA DE TALENTOS | Reforzamiento Académico 2015
Geometría- Sesión N° 5
POLIGONOS Y CUADRILATEROS DEFINICIÓN: Sean P1, P2, P3, P4,...... Pn-1, Pn puntos distintos en el plano y no colineales con n>2. La unión de los segmentos P1 P2, P2,P3, ......., Pn-1Pn, PnP1, recibe el nombre de POLÍGONO, si los segmentos tienen las siguientes propiedades: Dos segmentos con un punto común no deben ser colineales. Dos segmentos cualesquiera sólo pueden interceptarse en sus extremos. P1
P2
P3
Pn P7
Pn-1
P5
P6
-
-
OBSERVACIÓN: En un polígono de n lados existen n vértices, n ángulos internos. NOTA 1: Todo polígono divide al plano en tres subconjuntos de puntos: -
P4
En la figura, la parte punteada indica otros posibles puntos y segmentos puesto que n es un número natural cualesquiera igual o mayor que 3.
ELEMENTOS DEL POLÍGONO Los puntos P1, P2,.......,Pn se llaman verticales del polígono. Los segmentos P1P2, P2P3, ...., Pn-1, PnP1, son los lados del polígono. Dos segmentos con un vértice común determinan un ángulo al cual llamaremos ángulo interno del polígono. Un ángulo es ángulo externo de un polígono si y solo si forma un par lineal adyacente
con uno de los ángulos internos del polígono. Un segmento que une dos vértices no consecutivos lo denominaremos diagonal del polígono. Un segmento que une los puntos medios de dos lados cualesquiera, lo llamaremos diagonal media del polígono.
Puntos interiores al polígono. Puntos exteriores al polígono Puntos que pertenecen al polígono.
Un punto está en el interior de un polígono si está en el interior de cada uno de los ángulos internos del polígono, y está en el exterior, si no está ni en el interior ni en el polígono. PUNTOS DEL POLÍGONO
PUNTOS EXTERIORES PUNTOS INTERIORES
NOTA 2. El perímetro del polígono es igual a la suma de todos sus lados. NOTA 3.
Escuela de Talentos Región poligonal es una figura formada por los puntos del polígono y los puntos interiores al polígono.
3.
Polígono Equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son todos congruentes.Ejemplo:
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Los polígonos se clasifican en: a) Por el número de lados Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono o Eneágono Decágono Endecágono o Undecagono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados
Los polígonos restantes se llaman según su número de lados. Por ejemplo: polígono de 14 lados, polígono de 25 lados, etc. b) 1.
4.
Polígono Equiángulo Es aquel polígono cuyos ángulos internos son todos congruentes 120º
120º
120º 120º
5.
120º 120º
Polígono Regular Es aquel polígono que es a la vez equiángulo y equilátero. Ejemplo:
Por su forma Polígono Convexo: Es interceptado en sólo dos puntos
60º
por una recta secante.
60º
1.
60º
Polígono No Regular (Irregular)
2.
Polígono no Convexo Es interceptado en más de dos puntos por una recta secante.
Es aquel polígono que no cumple las condiciones del polígono regular.
Escuela de Talentos FÓRMULAS GENERALES EN UN
e=
POLÍGONO DE N LADOS.
360º N
c : Medida de un ángulo central d: Números de diagonales que se pueden trazar desde un vértice.
c=
d = N-3 D : Número total de diagonales que se pueden trazar. D=
N( N 3) 2
360º N
CUADRILÁTERO Se llama cuadrilátero, al polígono de 4 lados. Considerando la medida de sus ángulos internos pueden ser convexo o cóncavo.
Z : Número de diagonales que se pueden trazar desde “V” vértices consecutivos.
Z:VxN-
(V 1)(V 2) 2
Si : Suma de las medidas de los ángulos internos
CONVEXO
CÓNCAVO
Elementos:
Si = 180º (N-2)
B
C
Z Y
Se: Suma de las medidas de los ángulos externos Se = 360º
A
FORMULAS PARA POLÍGONOS REGULARES DE N LADOS i : Medida de un ángulo interno i=
180 º ( N 2) N
e: Medida de un ángulo externo
x
W
D
1) Lados: AB, BC, CD y DA 2) Vértices: A, B, C y D 3) Angulos Interiores: X, Y, Z, W 4) Angulos Exteriores: , , , . Nota 1. En todo cuadrilátero, la suma de las medidas de sus ángulos es 360º.
Escuela de Talentos CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS Atendiendo al paralelismo de sus lados, se clasifican en tres: Paralelogramos, Trapecios y Trapezoides.
A.4
Cuadrado. Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos rectos y sus 4 lados congruentes. (Polígono Regular de 4 lados).
A)
A1.
PARALELOGRAMOS. Son aquellos que tienen sus lados opuestos paralelos. Se clasifican en:
Romboide. Es un paralelogramo.
PARALELOGRAMO O ROMBOIDE
Nota 2. Cuando en un problema se menciona paralelogramo, se dibuja como un romboide. Nota 3 El Cuadrado es un rombo y también es rectángulo.
b
Nota 4 De todos los rectángulos de igual perímetro, el que tiene más área es aquel cuya diferencia de lados es menor. Por lo tanto el que tiene área máxima es el cuadrado.
h
PROPIEDADES DEL PARALELOGRAMO
b
A.3
ROMBO. Llamado también Losange. Es un paralelogramo que tiene sus 4 lados congruentes. Rombo o Losange
A2.
Rectángulo. Llamado también Cuadrilongo. Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos rectos
1.
En todo paralelogramo, los lados opuestos son congruentes.
2.
En todo paralelogramo, los ángulos opuestos miden iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios.
3.
En todo paralelogramo las diagonales se bisecan
h
b
Escuela de Talentos 7.
mutuamente. (bisecan: se cortan en su punto medio). 4.
Las diagonales de un rectángulo son congruentes (miden igual).
5.
B
X = 90º
45º
Las diagonales de un rectángulo se interceptan en su punto medio, determinando 4 segmentos de igual longitud.
B
Las diagonales de un cuadrado son congruentes, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos. C
45º
X
C 45º
45º
A
O
TRAPECIOS. Son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos paralelos y se les llama base mayor y base menor. Se sub-clasifican en 3:
B.1
Trapecio escaleno. Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.
D
OA = OB = OC = OD 6.
Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si y bisectrices de sus ángulos.
B
BD : Diagonal mayor AC : Diagonal menor
C
h
B
x = 90º
AO = OC BO = OD
B.2
A
D
Trapecio isósceles: Es aquel que tiene sus lados no paralelos congruentes (miden igual).
B A
X
o
C
C = 180º
h
D
D
B.
A
AC = BD
A B.3
D
Trapecio Rectángulo. Es aquel que tiene dos ángulos rectos.
Escuela de Talentos B
1. Se traza BN cuya prolongación intercepta a la prolongación de AD en E.
C
2.
BNC NDE (caso ALA) BC = DE = b BN = NE
h
3. A
D
ABE Teorema de la base media
Nota 5. Cuando se dice altura del trapecio,
MN =
se sobrentiende que es la distancia entre las bases.
MN =
Nota 6. Mediana del trapecio: Es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.
B
l.q.q.d.
b
C
PROPIEDADES DEL TRAPECIO I) MEDIANA DE UN TRAPECIO: MN B
ab 2
II) SEGMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS DIAGONALES DEL TRAPECIO: PQ
Nota 7. Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósceles y los ángulos opuestos son suplementarios.
b
AE 2
P
Q
C
MN =
ab 2
D
a
b
a+b
Demostración:
b a
A
D
E a-b
N
M
A
AM=MB, CN=ND
Demostración:
E
1) 2)
Se traza CQ cuya prolongación intercepta a AD en E. BQC QED (ALA) BC = ED = b CQ = QE
Escuela de Talentos 3)
ABE Teorema de la base media
c.2 Trapezoide asimétrico Es aquel cuadrilátero que no tiene
AE PQ = 2 PQ =
C.
ninguna simetría.
C
B
ab l.q.q.d. 2
TRAPEZOIDES Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo a otro. Existen dos clases: A
C.1 Trapezoide Simétrico: Si una de sus diagonales es mediatriz
D
PROPIEDADES DEL TRAPEZOIDE I)
de la otra. La figura es simétrico respecto al eje BD (lo que ven al lado izquierdo de BD es igual a lo que ven al lado derecho).
Trapezoide Simétrico o Bisosceles
En todo trapezoide, al unir los puntos medios de los lados consecutivos, se forma un paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las diagonales de dicho trapezoide. N
B
N
M
D Q
CONVEXO
A
C
M
D Q
A
P
AB = BC AD = CD
B
B
C
P
A C
CÓNCAVO
1) MNPQ es paralelogramo cuyo perímetro es igual a la suma de las medidas de las diagonales. Perímetro (MNPQ) = (AC + BD) 2) El área del paralelogramo MNPQ es igual a la mitad del área del cuadrilátero ABCD.
D
3) En el cuadrilátero convexo se cumple que: Area(MBN)+Area(PDQ)=Area(AMQ)+Area(PCN)
4) En el cuadrilátero cóncavo se cumple que:
Escuela de Talentos Ara(MBN)-Area(PDQ)=Area (AMQ)+Area (PCN)
1)
Z = + mA +
BADP
(I)
C
II)
B
2)
BCDP Z++m C += 360º
(II)
X
3)
mA mD X= 2 Demostración: A
D
2)
BEC + + X = 180º
3)
II – I + + X mA mD 2
2Z+ + m C + = + m A + + 360º 2Z + m C - m A = 360º
ABCD 2 + 2 + m A + m D = 360º mA mD Mitad ++ =180º (I) 2
1)
I + II
mC mA Z+ = 2
Mitad (III) 4) 5)
X + Z = 180º
(IV) mC mA IV=III X+Z=Z+ 2
mC mA X= 2
(II)
180º
= + +
l.q.q.d.
B
mA mD X= l.q.q.d. 2
D
C
B
x
A E Z
III
C
P
Demostración
X
A
Demostración:
EBCD = X + + m C
1)
D
I
Escuela de Talentos X + = mA +
2) II 3)
I en II
X + X + + mC = mA + 2X = m A - m C
mA mC X= 2
l.q.q.d.