MĂŠtodos Cuantitativos II
UNAH
Ana MarĂa GirĂłn
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II
SECCIONES CONICAS Se llaman secciones cĂłnicas a un grupo de cuatro figuras que se obtienen a partir de relaciones cuadrĂĄticas. Estas son: • el cĂrculo, • la elipse, • la hipĂŠrbola y • la parabola. Se les llama asi porque cada una de las figuras puede obtenerse cortando un cono a diferentes ĂĄngulos. https://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica
El CĂrculo Un cĂrculo es la figura formada por todos los puntos de un plano equidistantes de un punto interior llamado centro. La distancia del centro del cĂrculo a cualquiera de los puntos del cĂrculo se denomina radio del cĂrculo. La ecuaciĂłn de un cĂrculo con centro en el origen (0,0) y radio r, es La grĂĄfica de 2 9 es el cĂrculo con centro en el origen y radio 3. Solo necesitamos un compĂĄs para dibujarlo. Si el centro del cĂrculo es un punto (h, k), la ecuaciĂłn del cĂrculo con radio r es La grĂĄfica de 2 1 25 es el cĂrculo de radio 5 con centro en (2,1). Algunas veces la ecuaciĂłn de un cĂrculo aparece representada como o en cuyo caso habrĂĄ que dividir todos los terminos de la ecuaciĂłn entre A antes de identificar el radio. Ejemplos: Graficar Dividimos todos los terminus entre 7 y obtenemos 2 4, que es la ecuaciĂłn del cĂrculo con centro en el origen y radio 2.
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Graficar Dividimos todos los terminos entre 8 y obtenemos que es la ecuaciĂłn del cĂrculo con centro (1,3) y radio 3.
EJERCICIOS DE PRĂ CTICA: Identificar el centro y radio de cada cĂrculo representado en las siguientes ecuaciones. Graficarlo. 1. 25 2. 4 3. 5 5 45 4. 11 11 275 5. 3 2 9 6. 2 5 16 7. 1 3 49 8. 4 36 9. 5 3 5 1 20 10. 3 4 3 2 3
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La Elipse Una elipse es una figura semejante a un Ăłvalo. EstĂĄ formada por todos los puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a otros dos puntos fijos en el interior de la elipse es constante. Esos puntos fijos se llaman focos de la elipse: F1 y F2 y el punto medio del segmento F1F2 se llama centro de la elipse.
Los puntos A y A’ se denominan vertices y los puntos B y B’ se llaman co-vÊrtices de la elipse. El segmento que une a A y A’ se llama eje mayor de la elipse y el segmento que une a B y B’ se llama su eje menor.
Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor es horizontal, tal como la que se muestra a la izquierda de la imagen que sigue, su ecuaciĂłn es Si una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor es vertical, tal como la que se muestra a la derecha de la imagen que sigue, su ecuaciĂłn es En ambos casos, a > b porque a es la distancia del centro a los vertices y b es la distancia del centro a los co-vĂŠrtices.
Los focos de las elipses se encuentran sobre el eje mayor, a c unidades del centro de la misma, donde ! √# $ 135
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La manera prĂĄctica de graficar una elipse con centro en (0,0) es la siguiente: a. Identificar a y b. a y b son las raĂces cuadradas de los divisores; a es la mayor. b. Determinar si la elipse tiene eje mayor horizontal o vertical (el mayor divisor estĂĄ bajo x2 o bajo y2). c. Ubicar los vertices de la elipse a a unidades del centro sobre el eje mayor. d. Ubicar los co-vertices de la elipse a b unidades del centro sobre el eje menor. e. Se dibuja, lo mejor posible, el Ăłvalo que pasa por estos cuatro puntos. No existe ningĂşn instrumento para dibujar elipses en papel. Ejemplos: (1) Graficar
%
&
Esta es una elipse con eje mayor horizontal, a = 4 y b = 2. Se ubican los vertices sobre el eje x, a 4 unidades del origen; y los co-vĂŠrtices sobre el eje y, a 2 unidades del origen. Co-vĂŠrtice
VĂŠrtice
VĂŠrtice
Co-vĂŠrtice
Se dibuja la elipse:
Los focos de la elipse se encuentran sobre el eje mayor, a ! √16 4 √12 ' 3.5 unidades del centro:
Foco
Foco
136
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(2) Graficar
)
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Esta es una elipse con eje mayor vertical, a = 5 y b = 3. Se ubican los vertices y co-vĂŠrtices Se dibuja la elipse: VĂŠrtice
Co-vĂŠrtice
Co-vĂŠrtice
VĂŠrtice
Los focos de la elipse se encuentran sobre el eje mayor, a ! √25 9 √16 4 unidades del centro:
Foco
Foco
..................................................................................................................................................................................... Cuando las elipses tienen sus centros en (h,k) en lugar de en el origen, sus ecuaciones cambian a
137
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La manera práctica de graficar una elipse con centro en (h, k) es la siguiente: a. Identificar el centro de la elipse: (h, k) b. Dibujar las líneas x = h y y = k, punteadas. Estas lineas son los dos ejes de la elipse. c. Identificar a y b ( a y b son las raíces cuadradas de los divisores; a es la mayor). d. Determinar si la elipse tiene eje mayor horizontal o vertical (el mayor divisor está bajo el término con x o bajo el término con y). e. Ubicar los vertices de la elipse a a unidades del centro sobre el eje mayor. f. Ubicar los co-vertices de la elipse a b unidades del centro sobre el eje menor. g. Se dibuja, lo mejor posible, el óvalo que pasa por estos cuatro puntos. Ejemplos: (1) Graficar
* )
+
El centro de la elipse es (2,-1); se dibujan los ejes.
a = 5 y b = 3 y la elipse tiene eje mayor horizontal. Ubicamos los vertices en la línea punteada horizontal, a 5 unidades del centro; ubicamos los co-vertices en la línea punteada vertical, a 3 unidades del centro:
Recuerde que el centro no es (0,0) sino que (2, -1) así que los vertices están en (2-5, -1) y (2+5, -1) y los co-vértices están en (2, -1-3) y (2, -1+3)
138
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Se dibuja la elipse que pasa por los vertices y co-vértices ya colocados.
(2) Graficar
+
*) %
El centro de la elipse es (-2, 5); se dibujan los ejes.
a = 6 y b = 3 y la elipse tiene eje mayor vertical. Ubicamos los vertices en la línea punteada vertical, a 6 unidades del centro; ubicamos los co-vertices en la línea punteada horizontal, a 3 unidades del centro:
139
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Se dibuja la elipse que pasa por los vertices y co-vĂŠrtices ya colocados.
Una vez mĂĄs tenemos que enfatizar que los vertices se colocan sobre el eje punteado vertical, a 6 unidades por encima y por debajo del centro (-2,5), es decir, en los puntos (-2, 5+6) y (-2, 5-6); y los co-vĂŠrtices se colocan sobre el eje punteado horizontal , a 3 unidades a la izquierda y derecha del centro (-2,5), es decir, en los puntos (-2-3, 5) y (-2+3, 5). Los focos tamben se ubican sobre el eje mayor, a c unidades del centro. Algunas veces la ecuaciĂłn de la elipse puede lucir como , - o como
, - en cuyo caso habrĂĄ que dividir todos los tĂŠrminos entre C, antes de poder identificar si el eje es horizontal o vertical y los valores de a y b. Ejemplos: (1) Graficar 25 2 4 2 100 Note que los signos de todos los terminos son iguales, pero los coeficientes de x2 y y2 son diferentes. Estos dos hechos nos dicen que esta es la ecuaciĂłn de una elipse (si fuera un cĂrculo, los coeficientes serĂan iguales). Dividimos todos los tĂŠrminos entre 100 y simplificamos las fracciones ./ 0 122
34 0
122
122 122
1/ 0 3
14 0 .
1
/0 3
40
. 1
Que ya puede reconocerse como la ecuaciĂłn de una elipse vertical con centro en (0,0), a=5 y b=2. (2) Graficar 9 6 2 25 4 2 225 Los signos de todos los terminos son iguales, pero los coeficientes de (x +1)2 y (y-2)2 son diferentes. Esta es la ecuaciĂłn de una elipse con centro en (-1, 2) 140
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Dividimos todos los tĂŠrminos entre 225 y simplificamos las fracciones 5 /+6 0 .
. 4*3 0 .
. .
/+6 0 .
4*3 0 5
1
Que ya puede reconocerse como la ecuaciĂłn de una elipse horizontal con centro en (-6,4), a=5 y b=3.
EJERCICIOS DE PRà CTICA: Para cada una de las elipses representadas en las ecuaciones siguientes: • • • • • •
Identificar el centro de la elipse Determinar si el eje mayor es horizontal o vertical Calcular a, b y c Ubicar en el plano cartesiano el centro, vertices, co-vertices y focos de la elipse. Escribir las coordenadas de los vÊrtices, co-vÊrtices y focos de la elipse. Graficar la elipse – la escala de los ejes debe ser no mayor de 2 unidades por marca.
1.
/0 16
76 1
2.
/0 3
35 1
3.
/0 76
63 1
4.
/0 .
40
40
4+6 0 35
1
8.
/* 0 35
4+1 0 16
1
10. 64 25 1600
1 4+1 0 5
/*7 0 .
9. 25 100 100
40
40 16
7.
11. 5 9 45
5.
/+1 0 16
6.
/* 0 3
. 1
1
12. 16 3 8 16
40
141
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La HipĂŠrbola Una hipĂŠrbola es una figura con dos ramas simĂŠtricas con respecto a un eje horizontal y a un eje vertical. Luce asĂ (la figura continua):
HipĂŠrbola Horizontal
HipĂŠrbola Vertical
Los elementos clave de una hipĂŠrbola son:
La ecuaciĂłn de la hipĂŠrbola con centro en (0,0) y eje transversal horizontal es: 1 # $ La ecuaciĂłn de la hipĂŠrbola con centro en (0,0) y eje transversal vertical es:
1 # $ En esta ecuaciĂłn, a puede ser mayor o menor que b y # $ ! 142
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Los elementos clave de la hipĂŠrbola se relacionan con estos valores de la manera siguiente:
La manera prĂĄctica de graficar una hipĂŠrbola con centro en (0,0) es la siguiente: a. Identificar a y b. b. Determinar si la hipĂŠrbola tiene eje transversal horizontal o vertical (el primer tĂŠrmino de la ecuaciĂłn tiene x2 o y2). c. Ubicar los vĂŠrtices de la hipĂŠrbola a a unidades del centro sobre el eje transversal. d. Ubicar los puntos que quedan a b unidades del centro sobre el eje conjugado (ĂŠstos puntos no tienen nombre). e. Dibujar el rectĂĄngulo cuyos lados pasan por los cuatro puntos anteriores. f. Dibujar las lineas que pasan por las diagonales de ĂŠste rectĂĄngulo. Estas son las asĂntotas de la hipĂŠrbola. g. Dibujar la hipĂŠrbola pasando por el vĂŠrtice y aproximĂĄndose a las asĂntotas sin cruzarlas. Ejemplos: /0 40 (1) 5 3 1 # 9 y $ 4, de modo que # 3 y $ 2 La hiperbola tiene eje transversal horizontal
143
Ubicar los vĂŠrtices:
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Ubicar los puntos a b unidades del centro‌
Ana MarĂa GirĂłn
Dibujar el rectångulo ‌
Dibujar las lineas que contienen las diagonales del rectĂĄngulo:
Dibujar la hipĂŠrbola:
Si se desea ubicar los focos de la hipĂŠrbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro.
Los focos son: (-3.6, 0) y (3.6, 0)
(2)
/0 5
40
16 1
# 9 y $ 16, de modo que # 3 y $ 4 La hiperbola tiene eje transversal horizontal
144
Ubicar los vĂŠrtices:
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Ubicar los puntos a b unidades del centro…
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Dibujar el rectángulo …
Dibujar las lineas que contienen las diagonales del rectángulo:
Graficar la hipérbola:
Si se desea ubicar los focos de la hipérbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro.
Los focos son: (-5, 0) y (5, 0)
145
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(3)
40 5
/0 3
UNAH
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1
# 9 y $ 4, de modo que # 3 y $ 2 Eje transversal vertical
Dibujar el rectångulo ‌
Ubicar los vĂŠrtices:
Dibujar las asintotas
Ubicar puntos a b unidades del centro‌
Dibujar la hipĂŠrbola:
Si se desea ubicar los focos de la hipĂŠrbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro. ! √9 4 √13 ' 3.6 Los focos son (0, -3.6) y (0, 3.6)
146
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(4)
40 5
UNAH
Ana MarĂa GirĂłn
/0
16 1
Si se desea ubicar los focos de la hipĂŠrbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro. ! √9 16 √25 5 Los focos son (0, -5) y (0, 5) ....................................................................................................................................................................................... 147
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Cuando el centro de la hipĂŠrbola no estĂĄ en el origen sino en un punto cualquiera (h, k), las ecuaciones de las hipĂŠrbolas lucen: /*9 0 :0
4*; 0 <0
1
Ăł
4*; 0 :0
/*9 0 <0
1
SegĂşn sea su eje transversal sea horizontal o vertical. Al igual que en el caso de las elipses con centro (h,k) primero hay que ubicar el centro y los ejes de la hipĂŠrbola para, a partir de allĂ, ubicar los otros elementos. La manera prĂĄctica de graficar una hipĂŠrbola con centro en (h, k) es la siguiente: a. Identificar y ubicar en el plano cartesiano el centro de la hipĂŠrbola: (h,k) b. Dibujar las lĂneas x = h y y = k, punteadas. Estas lineas son los dos ejes de la hipĂŠrbola. c. Identificar a y b ( a y b son las raĂces cuadradas de los divisores). d. Determinar si la hipĂŠrbola tiene eje mayor horizontal o vertical (el primer tĂŠrmino de la ecuaciĂłn tiene x Ăł y). e. Ubicar los vĂŠrtices de la hipĂŠrbola a a unidades del centro sobre el eje transversal. f. Ubicar los puntos que quedan a b unidades del centro sobre el eje conjugado (estos puntos no tienen nombre). g. Dibujar el rectĂĄngulo cuyos lados pasan por los cuatro puntos anteriores. h. Dibujar las lineas que pasan por las diagonales de ĂŠste rectĂĄngulo. Estas son las asĂntotas de la hipĂŠrbola. i. Dibujar la hipĂŠrbola pasando por el vĂŠrtice y aproximĂĄndose a las asĂntotas sin cruzarlas. Ejemplos: (1) Graficar
/*7 0 16
4+. 0 35
1
Centro de la hipĂŠrbola: (3,-5) Eje transversal horizontal (porque el minuendo es el tĂŠrmino con x) # 16 y $ 49 entonces a = 4 y b = 7 Ubicar el centro y dibujar los ejes:
Ubicar los vĂŠrtices a 4 unidades del centro sobre el eje horizontal:
148
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Dibujar los puntos a 7 unidades del centro sobre el eje vertical
Dibujar el rectángulo…
Dibujar las asíntotas:
Dibujar la hipérbola
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Si se desea ubicar los focos de la hipérbola, estos se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro. ! √16 49 √65 ' 8.1 Los focos son (-5.1, -5) y (11.1, -5)
149
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(2) Graficar:
4*= 0 16
UNAH
/+7 0 3
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1
Centro de la hipĂŠrbola: (-3, 8) Eje transversal vertical (porque el minuendo es el tĂŠrmino con y) # 16 y $ 4 entonces a = 4 y b = 2 Ubicar el centro y dibujar los ejes:
Ubicar los vĂŠrtices a 4 unidades del centro sobre el eje vertical:
Dibujar los puntos a 7 unidades del centro sobre el eje vertical
Dibujar el rectĂĄnguloâ&#x20AC;Ś
Dibujar las asĂntotas:
Los focos de la hipĂŠrbola se encuentran sobre el eje transversal, a c unidades del centro. ! â&#x2C6;&#x161;16 4 â&#x2C6;&#x161;20 ' 4.5
Los focos son (-3, 3.5) y (-3, 12.5)
150
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Dibujar la hipĂŠrbola
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Ubicar los focos:
EJERCICIOS DE PRACTICA: Para cada una de las hipĂŠrbolas representadas en las ecuaciones siguientes: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘
Identificar el centro de la hipĂŠrbola Determinar si el eje transversal es horizontal o vertical Calcular a, b y c Ubicar en el plano cartesiano el centro y vertices de la hipĂŠrbola. Escribir las coordenadas de los vertices. Graficar la hipĂŠrbola â&#x20AC;&#x201C; la escala de los ejes debe ser no mayor de 2 unidades por marca. Ubicar los focos de la elipse y escribir sus coordenadas.
1.
/0 16
76 1
2.
40 3
35 1
3.
40 76
63 1
4.
/0 .
5. 6.
40
/0
/+1 0 16 40 3
5
4+6 0 35
1
8.
4* 0 35
/+1 0 16
1
10. 64 25 1600
1 4+1 0
/*7 0 .
9. 25 100 100
/0
40 16
7.
11. 5 9 45 1
12. 16 3 4 8 64
/0
. 1 151
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La Parábola Hemos estudiado anteriormente que la gráfica de una función cuadrática es una parábola cuyo vértice queda sobre el eje de simetría. Todos los puntos en una parábola cumplen la propiedad de que están a la misma distancia de un punto llamado foco y de una linea llamada directriz. No se suelen ubicar cuando se grafica una función cuadratica. Las parábolas que representan funciones cuadráticas siempre tienen ejes de simetría verticales y se pueden abrir hacia arriba o hacia abajo. Se dice que son cóncavas hacia arriba o cóncavas hacia abajo.
Las parábolas, como cónicas, pueden tener ejes de simetría horizontales y abrirse hacia la derecha o hacia la izquierda. Estas no representan funciones porque no pasan la prueba de la linea vertical. Se dice que son cóncavas hacia la derecha o cóncavas hacia la izquierda.
La forma estandar de la ecuación de una parábola con vértice en (0,0) es 4>
y
4> para las parábolas con eje de simetría vertical y horizontal, respectivamente. Si p > 0, la parábola abre para arriba/la derecha; si p < 0, la parábola abre para abajo/la izquierda. Note que la parabola es la única cónica en la que una de las dos variables NO aparece elevada al cuadrado. 152
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El foco de la parabola se encuentra sobre el eje de simetrĂa, anidado en la misma, a p unidades del vĂŠrtice. La directriz de la parabola es perpendicular al eje de simetrĂa y se encuentra en el lado opuesto, a p unidades del vĂŠrtice.
x2 = 4py
1
Para graficar una parabola con eje de simetrĂa vertical, se despeja y ( 3? ) y se grafica como una funciĂłn cuadrĂĄtica normal, hacienda una tabla de valores de tres puntos, centrada en el vĂŠrtice. Para graficar una parabola con eje de simetrĂa horizontal, se puede girar el papel 90o y graficarla como la anterior o hacer una tabla de valores con y como la variable independiente y x como la variable dependiente. Ejemplos: (1) Graficar 4
1 Despejar y: 3 VĂŠrtice: (0,0) x -2 0 2
y 1 0 1
(2) Graficar 2
1 Despejar y: VĂŠrtice: (0,0) x y -2 -2 0 0 2 -2
153
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(3) Graficar 12 1 Despejar x: 1 VĂŠrtice: (0,0) y -6 0 6
x -3 0 -3
(4) Graficar 20 1 Despejar x: 2 VĂŠrtice: (0,0) y -5 0 5
x 1.25 0 1.25
......................................................................................................................................................................................... Las ecuaciones de parabolas cuyo vĂŠrtice estĂĄ en (h,k) tienen la forma.
@ 4> A
@ 4> @
y
La manera mĂĄs prĂĄctica de graficar estas parabolas es usando el procedimiento de traslaciĂłn de ejes. Se ubica el vĂŠrtice y se grafican, punteadas, las lineas x = h y y = k. Usando estos ejes en lugar de los ejes x e y, podemos graficar estas parabolas como si fueran solo
4>
y
Ejemplos: (1) Graficar 7 12 3 VĂŠrtice: (-7, 3) Ejes: x = -7 y=3 2 EcuaciĂłn transformada: 12
154
4>
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2 12
1
Despejar y: 1 2
x -6 0 6
y 3 0 3
Note que los puntos resaltados estĂĄn a seis unidades del vĂŠrtice, moviĂŠndonos horizontalmente y a tres unidades hacia arriba, tal como lo indica la tabla anterior. 4py = 12y 4p = 12 p=3 Foco: (-7, 3+3) = (-7, 6) Directriz: y = 3 â&#x20AC;&#x201C; 3 = 0 (el eje x) (2) Graficar 4 3 2 VĂŠrtice: (-2, 4) Ejes: x = -2 y=4 2 EcuaciĂłn transformada: 3 1 Despejar x: 7 2
y -3 0 3
x 3 0 3
4px = 3x 4p = 3 p=ž Foco: (-2 + 3/4, 4) = (-1.25, 4) Directriz: x = -2 â&#x20AC;&#x201C; ž = -2.75
155
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EJERCICIOS DE PRACTICA:
Para cada una de las parĂĄbolas representadas en las ecuaciones siguientes: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘
Identificar su vĂŠrtice y eje de simetrĂa. Determinar si el eje de simetrĂa es horizontal o vertical Calcular p y determinar las coordenadas del foco de la parabola. Determinar la ecuaciĂłn de la directriz. Crear una tabla de valores centrada en el vĂŠrtice. Graficar la parĂĄbola â&#x20AC;&#x201C; la escala de los ejes debe ser 1-2 unidades por marca, no mĂĄs ni menos.
1. 6
7. 2 5 3
2. 2
8. 4 8 6
3. 24
9. 5 4 2
4. 9
10. 3 2
1
5. 10
11. 8 10 2
6. 16
12. 2 18 5
EJERCICIOS COMBINADOS: Para cada una de las ecuaciones que se presentan a continuaciĂłn: â&#x20AC;˘ Identificar la cĂłnica que representa â&#x20AC;˘ Determinar si el eje principal (eje mayor, eje transverso o eje de simetrĂa) es vertical u horizontal. â&#x20AC;˘ Determinar el centro y/o los vĂŠrtices de la figura. â&#x20AC;˘ Hacer un bosquejo de la forma general de la grĂĄfica (sin medidas, solo cĂłmo lucirĂa). 1. 49
13. 2 1 4 3 32
2. 36 36
14. 1 4 25
3. 36 36
15. 4 1 10 3 100
4. 2 2 50
16.
/0 16
17.
/*3 0 16
5. 2 6 36 6. 6 2 36
4*1 0 .
1
4+1/ 0 3
1
18. 4 1 4 1 1
7. 4 16 8. 4 25 100
19. 1 9
9. 9 18 36
20.
/+. 0 5
1
10. 8 9 72
21.
/*7 0 .
11. 15 1 5 2 75
4*1 0 3
1
22. 36 3 4 3 36
12. 1 3 16
23. 9 3 2 18 156
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24. 1 25.
1 5
UNAH
4+ 0 3
3
1
.
29. 9b
1
30. 2 6
3 1
Ana MarĂa GirĂłn
31. 1 3
26. 2 4 2 2 32
32. 2 4
27. 2 2 4
33. 3 1
28. 4
EcuaciĂłn General de Segundo Grado La ecuaciĂłn de cualquier secciĂłn cĂłnica puede escribirse de la forma
C D E F G H 0
que se conoce como la ecuaciĂłn general de segundo grado en x e y. El tĂŠrmino Bxy solo aparece cuando la grĂĄfica tiene ejes inclinados, por lo tanto no lo consideraremos aquĂ y trataremos unicamente con ecuaciones de la forma
C E F G H 0
Si A = C, la ecuaciĂłn representa un cĂrculo. Si A â&#x2030; C, pero tienen el mismo signo, la ecuaciĂłn representa una elipse. Si A y C tienen signos opuestos, la ecuaciĂłn representa una hipĂŠrbola. Finalmente, si falta uno de los dos terminos al cuadrado (A = 0 Ăł C = 0), la ecuaciĂłn representa una parabola. Para ubicar los elementos principales de la secciĂłn cĂłnica y para graficarla, se utiliza el procedimiento de completaciĂłn de cuadrados para convertir la ecuaciĂłn general a la forma estĂĄndar. Ejemplo: 2 2 4 4 0
es la ecuaciĂłn de una elipse porque A = 2 y C = 1
2 2 4 4 2 2 2 4 2I 2 2 1J 4 2 1 2 1 6 /*1 0 6 /*1 0 7
40 6
40 6
6 6
1
ahora reconocemos que: (a) tiene centro en (1,0) (b) su eje mayor es vertical (c) sus vertices estĂĄn en (1, â&#x2C6;&#x161;6 ) y (1, -â&#x2C6;&#x161;6 ) (d) sus co-vĂŠrtices estĂĄn en (1-â&#x2C6;&#x161;3 , 0) y (1+â&#x2C6;&#x161;3 , 0) 157
MĂŠtodos Cuantitativos II
UNAH
4 2 9 32 144 548 0
Ana MarĂa GirĂłn
es la ecuaciĂłn de una hipĂŠrbola porque A = 4 y C = -9
4 2 9 32 144 548 4 2 32 9 144 548 2
4 8 9 16 548 2
4 8 16 9 16 64 548 4 16 9 64 4 4 9 8 36 3 /+3 0 76 /+3 0 5
5 4+= 0 76
4+= 0 3
76 76
1
ahora reconocemos que (a) tiene centro en (-4, -8) (b) su eje transversal es horizontal (c) sus vĂŠrtices estĂĄn en (-7,8) y (-1,8) EJERCICIOS DE PRĂ CTICA
1. 4 21
17. 10 14 25
2. 4 6 3 0
18. 4 16 9 18 11
3. 4 2 10 0
19. 16 32 9 72 16
4. 4 4 3 26 0
20. 4 24 13 26 3
5. 9 54 8 16 17 0
21. 4 16 9 18 29
6. 12 36 0
22. 2 9 8 0
7. 36 144 11 44 208 0
23. 8 2
8. 3 3 4 16 18 0
24. 2 4 5
9. 5 80 9 54 221
25. 2 3 4
10. 9 36 4 24 36 0
26. 4 4
11. 2 2 16
27. 4 16 2
12. 5 30 51
28. 4 24 13 26 3
13. 9 18 16 96 279 0
29. 2 8 3 16 11 0
14. 2 4 2 5 0
30. 9 18 0
15. 4 6 9
31. 4 6 9
16. 16 24 16 32 119
158