UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II
PROGRAMACION LINEAL La programación lineal, desde el punto de vista matemático, consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo ― que es una función lineal de varias variables― sujeta a una serie de restricciones, expresadas como un sistema de desigualdades lineales. Se utiliza programación lineal cuando se trata de obtener el mejor resultado (mayor ganancia, más rendimiento, menores costos, menor esfuerzo, menores distancias que recorrer, etc.) dadas una serie de restricciones (insumos limitados, mano de obra limitada, demanda limitada del producto, compromisos comerciales, regulaciones legales, etc.) usando un modelo lineal. La programación lineal puede ser aplicada en administración, economía, ingeniería industrial y otras áreas. El primer paso para resolver cualquier problema de programación lineal consiste en determinar las variables a utilizar, que tienen que ver con la pregunta: ¿Acerca de qué estoy tratando de decidir? Sobre qué producir, rutas de transporte, horarios, ingredientes en una dieta, mezclas de fertilizantes o de medicamentos, etc. Las variables deben definirse explicitamente, incluyendo las unidades que se usarán. El segundo paso consiste en decir explicitamente que es lo que esperamos lograr con esta decision: ¿Mejorar nuestros ingresos?, ¿Reducir nuestros costos?, ¿Reducir la cantidad de insumos necesarios?, etc. Este objetivo debe poder escribirse como una combinación lineal de las variables escogidas. El tercer paso consiste en poner por escrito cualquier restricción que tengamos, en terminos de las mismas variables. Esto resulta en una serie de desigualdades lineales. Tambien debemos incluir restricciones que impidan que las variables que no deban ser negativas tomen valores negativos. Ejemplo 1: Una alfarera fabrica tazas y platos. Le toma 6 minutos fabricar una taza y 3 minutos fabricar un plato. Se usan ¾ de libra de arcilla para hacer una taza y 1 libra para hacer un plato. Ella dispone de 20 horas para trabajar y de 25 libras de arcilla. Su utilidad es de $2.00/taza y $1.50/plato. ¿Cuántas tazas y cuántos platos debería hacer para maximizar su utilidad? Paso 1: ¿Cuántas tazas y cuántos platos debería hacer …? La decision a tomar es acerca del número de tazas y el número de platos a fabricar. Así que: x = número de tazas a fabricar y = número de platos a fabricar Paso 2: ¿… para maximizar su utilidad? El objetivo en mente es maximizar la utilidad. ¿Cómo se calcula la utilidad en términos de tazas y platos? = 2 + 1.5 Paso 3: ¿Qué limitantes o restricciones tenemos? Solo 20 horas de trabajo y 25 lb de arcilla. 86
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El número de horas invertidas en fabricar tazas más el número de horas invertidas en
+ ≤ 20 ó 6 + 3 ≤ 1200 fabricar platos debe ser no más de 20 horas.
Las libras de arcilla utilizadas en hacer las tazas más las libras de arcilla utilizadas en hacer los platos no debe ser mayor que 250. + ≤ 25
No queremos obtener soluciones con valores negativos, así que escribimos: ≥ 0 y
≥ 0.
Nuestro problema se expresa ahora matemáticamente así: Objetivo:
Maximizar = 2 + 1.5 donde x = número de tazas a fabricar; y = número de platos a fabricar
Restricciones:
3 + 6 ≤ 20, 0.75 + ≤ 25 ≥0 y ≥0
Una vez que el problema se plantea matemáticamente, como se ve , se aplica algún método para resolverlo. Ejemplo 2: Una editorial tiene órdenes de M para 600 copias de un texto y de N para 400 copias. La compañía tiene 700 copias en un almacén en A y 800 copias en un almacén en B. Cuesta $5 enviar un texto de A a M, $10 para enviarlo de A a N, $15 para enviarlo de B a M y $4 para enviarlo de B a N. ¿Cuántas copias debería enviar la editorial de cada almacén para completer las órdenes al mínimo costo? Paso 1: ¿Cuántas copias debería enviar la editorial de cada almacén…? La decision a tomar es acerca del número de copias de cada almacen a cada destino. Así que: x = número de copias de A a M y = número de copias de A a N z = número de copias de B a M w = número de de copias de B a N Paso 2: ¿… para completer las órdenes al mínimo costo? El objetivo en mente es minimizar el costo total, que se representa = 5 + 10 + 15 + 4 Paso 3: ¿Qué limitantes o restricciones tenemos? Orden de M es de 600 copias, orden de N es de 400 copias, hay 700 copias en almacen A y 800 copias en almacen B.
+ ≤ 700 + ≤ 800 + = 600 + = 400 ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0
Nuestro problema se expresa ahora matemáticamente así: 87
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Objetivo: Minimizar = 5 + 10 + 15 + 4 donde x = número de copias de A a M, y = número de copias de A a N, z = número de copias de B a M, w = número de de copias de B a N Restricciones:
+ ≤ 700, + ≤ 800, + = 600, + = 400 ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0
Ejemplo 3: Una compañía produce dos tipos de acero. El Tipo I require 2 horas de fundido, 4 horas de corte y 10 horas de lamnado por tonelada. El Tipo II require 5 horas de fundido, 1 hora de corte y 5 horas de laminado por tonelada. En total hay 40 horas disponibles para fundido, 20 para corte y 60 para laminado. Cada tonelada del acero Tipo I produce una ganancia de $240 y cada tonelada del acero Tipo II produce una ganancia de $80. ¿Cuánto acero de cada tipo deberá producir para obtener la maxima utilidad? Paso 1: ¿Cuánto acero de cada tipo deberá producir…? La decision a tomar es acerca del número de toneladas de cada tipo de acero a producir. Sea: x: cantidad de acero Tipo I a producir (en toneladas) y: cantidad de acero Tipo II a producir (en toneladas) Paso 2: ¿… para obtener la maxima utilidad? El objetivo es maximizar la utilidad, que se representa = 240 + 80 Paso 3: ¿Qué limitantes o restricciones tenemos? Las restricciones que tenemos tienen que ver con el tiempo disponible para realizar cada paso del proceso. Antes de escribir las desigualdades, organicemos los datos en una tabla: Tipo I Tipo II Total disponible Fundido 2 5 40 Corte 4 1 20 Laminado 10 5 60 La tabla tambien podría lucir así: Fundido Tipo I 2 Tipo II 5 Total disponible 40
Corte 4 1 20
Laminado 10 5 60
La tabla sirve para organizar la información y se recomienda usarla cuando hay muchos datos. No importa cuál de las tablas usemos, las restricciones tienen que ver con los totales disponibles: 88
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2 + 5 ≤ 40 4 + ≤ 20 10 + 5 ≤ 60 ≥ 0, ≥ 0 Nuestro problema se expresa ahora matemáticamente así:
Objetivo: Maximizar = 240 + 80 donde x: cantidad de acero Tipo I a producir (en toneladas) y: cantidad de acero Tipo II a producir (en toneladas)
Restricciones:
2 + 5 ≤ 40 4 + ≤ 20 10 + 5 ≤ 60 ≥ 0, ≥ 0
Ejemplo 4: Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con $5,000. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A, a $5 el kg y las de tipo B, a $8 el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender las naranjas tipo A a $5.80/kg las de tipo B a $9.00/kg , ¿cuántos kilos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener una utilidad máxima ? ¿Cuál será esa utilidad máxima? Paso 1: ¿Cuántos kilos de naranjas de cada tipo deberá comprar…? La decision a tomar es acerca de los kilos de cada tipo de naranja que va a comprar. Sea: x: kilos de naranjas tipo A a comprar y: kilos de naranjas tipo B a comprar Paso 2: ¿… para obtener una utilidad maxima? El objetivo es maximizar la utilidad, que se representa = 0.80 + 1.00
Note que en el texto del problema no se nos dice cuál es la utilidad que se obtiene con cada tipo de naranja, pero sabiendo e precio al que se compran y el precio al que se venden, lo calculamos nosotros mismos. Paso 3: ¿Qué limitantes o restricciones tenemos? Las restricciones que tenemos tienen que ver con el dinero que lleva el comerciante, y la capacidad de su camión.
5 + 8 ≤ 5,000 + ≤ 700 ≥ 0, ≥ 0
Nuestro problema se expresa ahora matemáticamente así: Objetivo: Maximizar = 0.80 + 1.00 donde x: kilos de naranjas tipo A y: kilos de naranjas tipo B 89
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Restricciones:
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5 + 8 ≤ 5,000 + ≤ 700 ≥ 0, ≥ 0
EJERCICIOS DE PRACTICA: Desarrolle el planteamiento matemático para cada uno de los siguientes problemas. 1. Una empresa se dedica a fabricar pantalones y camisas para uniformes de escuelas. Cada artículo pasa por el proceso de corte, costura y revisión. Cada camisa requiere 20 minutos de corte, 70 minutos de costura y 12 minutos de revisión. Cada pantalón requiere 60 minutos de corte, 60 minutos de costura y 4 minutos de revisión. La fábrica emplea a la semana 60,000 minutos en el área de corte, 84,000 minutos en el área de costura y 12,000 minutos en el área de revisión. La utilidad que genera cada camisa es de $7.00 y $8.50 cada pantalón. Determine la cantidad de cada artículo que debe producir para maximizar las ganancias. 2. Una compañía se encarga de fabricar camisas deportivas y camisas formales. La compañía dispone de 750 metros de tejido de algodón y de 1000 metros de tejido de poliéster. Cada camisa deportiva requiere 1 metro de algodón y 2 metros de poliéster. Cada camisa formal requiere de 1.5 metros de algodón y 1 metro de poliéster. El precio de cada camisa deportiva es de $50 y el de cada camisa formal $40. ¿Cuantas camisas de cada tipo debe vender para maximizar el ingreso? 3. Un herrero quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña para venderlas a $200 y $150 cada una, respectivamente. Para la de paseo empleará 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la de montaña 2 kg de ambos metales. Tiene en total 80 kg de acero y 120 kg de aluminio disponibles para hacer el trabajo. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá para sacar el máximo beneficio? 4. Se cuenta con 80 kg del material A y 120 kg del material B, que se utilizan para fabricar los productos X y Y. El precio de venta del producto X es de $200 el y del producto Y es de $150. Para el producto X se emplearán 1 kg de A y 3 kg de B. Para el producto Y se emplearán 2 kg de ambos materiales. El fabricante quiere producir por lo menos 24 unidades del producto X. ¿Cuántas unidades de producto de cada tipo debe fabricar para maximizar el ingreso? 5. Un señor tiene pensado poner un puesto en una feria. Piensa vender dos tipos de llaveros, A y B. Tiene disponibles L 200,000 para comprar su mercancía. El costo de los llaveros tipo A es de L 20.00 que luego venderá a L30.00, mientras que el costo de cada llavero tipo B es de L 40.00 que luego venderá a L 55.00. El puesto tiene espacio disponible para hasta 5,000 llaveros tipo A y como máximo 4,000 llaveros tipo B. De experiencias pasadas sabe que puede vender hasta 7,000 llaveros en la semana, ¿Cuántos llaveros de cada tipo deberá producir para maximizar la utilidad? 6. Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada uno requiere para su fabricación del uso de tres máquinas, A, B y C. Cada artículo manual requiere del uso de la máquina A durante dos horas, de la maquina B por una hora y de la maquina C otra hora. Un artículo eléctrico requiere una hora de la maquina A, dos horas de la B y una de la C. Además, supongamos que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las maquinas A, B y C es de 180, 160 y 100 respectivamente. La utilidad para cada artículo manual es de $4 y 90
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por cada artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos que puede producir, ¿Cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin de maximizar la utilidad mensual? 7. Un autobús ofrece plazas para fumadores al precio de $10 y a no fumadores al precio de $6. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de equipaje y al fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3,000 kg, ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio? 8. Un autobús ofrece plazas VIP a $8 y plazas Ejecutivas a $6. Al VIP se le deja llevar 50 kg de peso y al Ejecutivo, 30 kg. Si el autobús tiene 80 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros con la finalidad de optimizar el ingreso? 9. Se desea cultivar en un terreno dos tipos de frijoles: rojos y negros. No se puede cultivar más de 8 hectáreas de frijol rojo, ni más de 10 hectáreas de frijol negro. Cada hectárea de frijol rojo necesita 4 metros cúbicos de agua anualmente y cada hectárea de frijol negro necesita 3 metros cúbicos de agua. Se dispone anualmente de 44 metros cúbicos de agua. El costo de cultivar cada hectárea de frijol rojo es de $500 y el costo de cada hectárea de frijol negro es de $225. Se dispone de $4500 para cubrir los costos. Cada hectárea de frijol rojo genera una utilidad de $50,000 y la de frijol negro una utilidad de $30,000. ¿Cuántas hectáreas de cada tipo de frijol deberán sembrarse para maximizar la utilidad? 10. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos juguetes, muñecas y soldados, con base en la información concerniente a sus tiempos de producción dados en la tabla que sigue: Máquina A Máquina B Acabado Muñecas 2 horas 1 hora 1 hora Soldados 1 hora 1 hora 3 horas Las horas disponibles empleadas por semana son: para operación de la maquina A, 70 horas; para la B, 40 horas; para acabado 90 horas. Si las utilidades en cada muñeca y cada soldado son de $4 y $6, respectivamente, ¿cuántos juguetes de cada uno debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cual es esta utilidad máxima? 11. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la siguiente tabla: Silla Mecedora Sillón
Madera 1 unidad 1 unidad 1 unidad
Plástico 1 unidad 1 unidad 2 unidades
Aluminio 2 unidades 3 unidades 5 unidades
La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se venden en $21, $24 y $36, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden venderse, determine cuantas unidades de cada tipo de mueble deberán producirse para que el ingreso total sea máximo. 12. Una repostería vende tres tipos de cajas de galletas, Pequeña, Mediana y Grande. Cada caja de galletas contiene 3 tipos de galletas, A, B y C. La caja pequeña contiene 1 docena de galletas A, 1 91
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docena de galletas B. La caja mediana contiene 2 docenas de galletas A, 1 docena de galletas B y 1 docena de galletas C. La caja grande contiene 2 docenas de galletas A, 2 docenas de galletas B y 3 docenas de galletas C. La repostería dispone de 80 docenas de galletas A, 120 docenas de galletas B y 90 docenas de galletas C. El precio de venta de la caja pequeña es de $3, la caja mediana $5 y la caja grande $8. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender para maximizar el ingreso? 13. Se ha adjudicado a una constructora la construcción de al menos 100 casas. El contrato oblige a construir tres tipos de casas: tipo campo, tipo rancho y tipo colonial, que se venden a $60,000, $50,000 y $70,000, respectivamente. Para la casa tipo campo se necesitan 20 horas de carpintería y 60 horas de obra civil; para la tipo rancho se necesitan 25 horas de carpintería y 45 horas de obra civil; para la tipo campo se necesitan 30 horas de carpintería y 50 horas de obra civil. De acuerdo a la disponibilidad de mano de obra, se cuenta con 3000 horas de carpintería y 8000 horas de obra civil. ¿Cuántas casas de cada tipo deberán construirse si se desea maximizar el ingreso? 14. Una compañía petrolera que tiene dos refinerías necesita al menos 8,000 barriles de petróleo de grado bajo, 14,000 barriles de petróleo de grado medio y 5,000 barriles de petróleo de grado alto. Cada día la Refinería I produce 2000 barriles de grado bajo, 3000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado alto. La Refinería II produce 1000 barriles de grado bajo, 2000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado alto. Si operar la Refinería I cuesta $25,000 y la Refinería II cuesta $20,000 al día. ¿Cuantos días debe operar cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? 15. Una compañía posee dos minas. La mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación de cada mina es de 2000 euros ¿cuántos días debe trabajar cada una para que el costo sea mínimo? 16. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta $35 por barril y crudo pesado a $30 el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0.3 barriles de gasolina (G), 0.2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0.3 barriles de combustible para turbinas (T). Mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0.3 barriles de gasolina, 0.4 barriles de combustible para calefacción y 0.2 barriles de combustible para turbinas. La refinería tiene un contrato para suministrar 900,000 barriles G, 800.000 barriles de C y 500.000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al mínimo costo. 17. Una compañía productora de fertilizantes es propietaria de 2 minas que le generan la materia prima básica para sus productos. La mina 1 produce semanalmente 10 ton de materia prima grado A, 30 ton de materia prima grado B y 50 ton de material prima grado C. La mina 2 produce 30 ton de cada grado semanalmente. La compañía requiere para la producción anual de fertilizantes al menos de 160 ton de grado A y 300 ton grado B, pero no más de 800 ton de grado C. Los costos de explotación semanal de la mina A son de $800 y de la mina B, $700 ¿Cuántas semanas al año se debe explotar cada mina para cumplir los planes de producción minimizando costos? 92
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18. Una compañía extrae minerales de dos minas.
Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿cuánto debe procesarse de cada mina con el objetivo de minimizar el costo? 19. Un agricultor vá a comprar fertilizante que contiene 3 nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizante en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 la bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 la bolsa y contiene 2 unidades de cada nutriente. ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar el agricultor si desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrientes? 20. Un agricultor va a comprar fertilizante que contiene 3 nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mínimos necesarios son 80 unidades de A, 120 unidades de B y 240 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizante en el mercado. Marca X cuesta $8 la bolsa, contiene 2 unidades de A, 6 unidades de B y 4 unidades de C. Marca Y cuesta $10 la bolsa, y contiene 2 unidades de A, 2 unidades de B y 12 unidades de C. Si el agricultor desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrientes, ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar? 21. En una granja de pollos se da una dieta "de engorde" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo? 22. Una persona, para recuperarse de una cierta enfermedad, tiene que tomar en su alimentación dos clases de componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dietas en las que la concentración de dichos componentes es: Dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B; Dieta D2: 1 unidad de A y 2 unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2.50 € y el de la dieta D2 es 1.45 € ¿cuál es la combinación óptima para el minimizar el costo?
MÉTODO SIMPLEX El método Simplex es un procedimiento recursivo que inicia con un estimado de cual podría ser la solución y la mejora progresivamente hasta llegar a la solución óptima. El método se adapta muy bien para trabajarlo en computadora, ya que esta puede realizar muchos cálculos en segundos y avanza rápidamente hacia la solución.
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Una vez planteado el problema en terminos matemĂĄticos, se configura la tabla Simplex inicial. Las variables definidas en el planteamiento reciben el nombre de variables de decisiĂłn o variables estructurales. Por cada desigualdad en las restricciones aĂąade una variable extra, que sirve para convertir las desigualdades en igualdades y que representa la porciĂłn no usada de lo que estĂĄ disponible (si la desigualdad es ≤ ) y la porciĂłn usada en exceso del mĂnimo disponible (si la desigualdad es ≼). A estas variables se les denomina variables de holgura. Ejemplo: La desigualdad 3 + 6 ≤ 20 se convierte en una igualdad usando una variable extra que solo representa la porciĂłn de ese 20 que no es usada por las dos variables de decisiĂłn. 3 + 6 + = 20 La desigualdad 10 + 6 ≼ 180 se convierte en una igualdad usando una variable extra que solo re-presenta la porciĂłn en exceso del 180 que fue usada por las variables de decision. 10 + 6 − = 180. Estudiaremos solamente el caso mĂĄs sencillo del mĂŠtodo Simplex, es aquel en que se desea maximizar la funciĂłn objetivo y todas las restricciones son desigualdades con ≤ En el mĂŠtodo Simplex se usan las siguientes convenciones: FunciĂłn Objetivo: = + + Objetivo: Maximizar Restricciones:
donde
, , ,
+
+ ≤
+
+ ≤ + + ≤ + + ≤
, , ,
≼0
Primero se reescribe la FunciĂłn Objetivo: − − − = 0
+
+ + =
+
+ +
+ + + = + + + =
Luego se reescriben las restricciones como ecuaciones utilizando las variables de holgura:
Variables de Holgura
Y se configura la�tabla simplex� inicial, que es una matriz aumentada del sistema de ecuaciones Z b
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
Z 0 0 0 0 1 0 −
−
− 94
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Las variables en la primera columna reciben el nombre de variables bĂĄsicas y tienen valor positivo (el que aparece en la Ăşltima columna). Las variables que no aparecen en esta columna se denominan no bĂĄsicas, y su valor es cero. Como en la tabla inicial no aparece ninguna de las variables de decisiĂłn, se entiende que la soluciĂłn con la que arrancamos es (0,0,0). El Ăşltimo renglĂłn se conoce como renglĂłn objetivo y sus elementos como indicadores. Si ninguno de los indicadores es negativo, la soluciĂłn optima del sistema es (0,0,0) y el mĂĄximo valor de Z es cero. Esta es la soluciĂłn inicial con la que se arranca. Si hay indicadores negativos, hay una mejor soluciĂłn, en cuyo caso seguimos buscĂĄndola. Se ubica la columna donde el valor de c es mayor (lucirĂĄ como el menor porque lo que vemos es su opuesto). La variable en esta columna es la que agregarĂa mĂĄs al valor de Z y aquella que queremos que valga mĂĄs. Se le llama variable entrante y la columna de sus coeficientes se llama columna pivote. Queremos saber cuĂĄl es el mayor valor que puede tomar esa variable dadas las restricciones. Para ello se divide cada uno de los b´s por el coeficiente de esa variable en la tabla, pero solo si ese coeficiente es positivo. Esto nos dice cuĂĄntas unidades de esa x se podrĂan tener si esa fuera la Ăşnica variable a usar. Ubique la celda de la columna pivote donde se obtuvo el menor cociente, ya que la restricciĂłn representada por ese renglĂłn es la que limitarĂa el valor que la variable entrante podrĂa tomar. A este elemento se le llama entrada pivote. La variable de holgura que rotula ese renglĂłn es la variable saliente, que sera reemplazada por la variable entrante. Utilizando operaciones elementales en los renglones de la tabla hacemos 1 el elemento pivote y cero los demĂĄs elementos de esa columna, incluyendo el renglĂłn correspondiente a Z. Los elementos en esta nueva tabla ya no son los de las ecuaciones originales, pero recuerde que el sistema de ecuaciones es equivalente al original.
Si ninguno de los valores en el Ăşltimo renglĂłn es negativo, la soluciĂłn es = ! , = = 0 y el mĂĄximo valor de Z es !" . Si alguno de los valores es aĂşn negativo, se repite el proceso hasta que no haya valores negativos en el Ăşltimo renglĂłn. La soluciĂłn estarĂĄ en la Ăşltima columna, para las variables de decision que aparezcan en la primera columna (que no es parte de la matriz sino solo rotulaciĂłn). SĂ, es mucho vocabulario nuevo y muchas operaciones. Se entenderĂĄ mejor con los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: Maximizar = 2 + 1.5 Sujeta a las restricciones:
3 + 6 ≤ 20 0.75 + ≤ 25 ≼0 y ≼0
− 2 − 1.5 = 0 3 + 6 + = 20
Reescribimos:
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0.75 + + = 25 ≼0 y ≼0
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Creamos la tabla simplex inicial:
Z
3 0.75 ‒2
6 1 ‒1.5
1 0 0
Ana MarĂa GirĂłn
Z 0 0 1
0 1 0
b 20 25 0
Buscamos el menor de los numeros negativos en al Ăşltimo renglĂłn.
Z
3 0.75 ‒2
6 1 ‒1.5
1 0 0
Z 0 0 1
0 1 0
b 20 25 0
Es ‒2 , en la columna que corresponde a la variable x. Variable entrante: x Dividimos cada uno de los b entre el coficiente de x en su propio renglón: 20/3 = 6.66 25/0.75 = 33.33 El valor mås bajo se obtiene en el primer renglón. Variable saliente:
Reemplazamos el s1 en la primera columna por x Z
3 6 1 0 0 0.75 1 0 1 0
Z
‒2
‒1.5
0
0
b 20 25 0
1
Hacemos 1 el coeficiente de x en el primer renglón: # → #
Z
1 0.75 ‒2
# → # − 0.75#
2 1 ‒1.5
1/3 0 0
Z 0 0 1
0 1 0
b 20/3 25 0
# → # + 2#
Ahora hacemos ceros todos los demĂĄs elementos de la columna de x:
Z
1 0 0
2 -0.5 2.5
1/3 -0.25 2/3
Z 0 0 1
0 1 0
b 20/3 20 40/3
No hay valores negativos en el Ăşltimo renglĂłn. Se ha alanzado la soluciĂłn optima.
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Z
1 0 0
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2 -0.5 2.5
SoluciĂłn optima: x = 20/3,
1/3 -0.25 2/3 y = 0.
Z 0 0 1
0 1 0
Ana MarĂa GirĂłn
b 20/3 20 40/3
El valor mĂĄximo de Z es 40/3
ÂżPor quĂŠ decimos que y = 0? Porque no aparece en la primera columna y las variables que no aparecen en ĂŠsta son cero. ÂżQuĂŠ quiere decir el 20 en el segundo renglĂłn? Que sobran 20 unidades del insumo que generĂł la segunda restricciĂłn. Ejemplo 2: Maximizar = 240 + 80 Sujeta a las restricciones:
2 + 5 ≤ 40 4 + ≤ 20 10 + 5 ≤ 60 ≼ 0, ≼ 0
− 240 − 80 = 0 2 + 5 + = 40 4 + + = 20 10 + 5 + = 60 ≼ 0, ≼ 0
Reescribimos:
Creamos la tabla simplex inicial:
Z
2 4 10 -240
5 1 5 -80
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Z 0 0 0 1
b 40 20 60 0
Buscamos el menor de los numeros negativos en el Ăşltimo renglĂłn.
Z
2 4 10 -240
5 1 5 -80
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Z 0 0 0 1
b 40 20 60 0
Es ‒240 , en la columna que corresponde a la variable x. Variable entrante: x
97
MĂŠtodos Cuantitativos II
UNAH
Ana MarĂa GirĂłn
Dividimos cada uno de los b entre el coficiente de x en su propio renglĂłn: 40/2 = 20 20/4 = 5 60/10 = 6 El valor mĂĄs bajo se obtiene en el segundo renglĂłn. Variable saliente:
Reemplazamos el s2 en la primera columna por x
Z
# → #
2 4 10 -240
5 1 5 -80
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Z 0 0 0 1
b 40 20 60 0
Z 0 0 0 1
b 40 5 60 0
Hacemos 1 el coeficiente de x en el segundo renglĂłn:
Z
2 1 10 -240
5 0.25 5 -80
1 0 0 0
0 0.25 0 0
0 0 1 0
Hacemos ceros los coeficientes de x en los demĂĄs renglones
# → # − 2#
Z
0 1 0 0
# → # − 10#
4.5 0.25 2.5 -20
1 0 0 0
# → # + 240#
Z
-0.5 0.25 -2.5 60
0 0 1 0
0 0 0 0
b 30 5 10 1200
Nuevamente buscamos el menor de los numeros negativos en al Ăşltimo renglĂłn. Es el -20 en la columna de y. Variable entrante: y Dividimos cada uno de los b entre el coficiente de y en su propio renglĂłn: 30/4.5= 6.66 5/0.25=20 10/2.5 = 4 El valor mĂĄs bajo se obtiene en el tercer renglĂłn. Variable saliente:
Reemplazamos el s3 en la primera columna por y
Z
0 1 0 0
4.5 0.25 2.5 -20
1 0 0 0
-0.5 0.25 -2.5 60
0 0 1 0
98
Z 0 0 0 0
b 30 5 10 1200
MĂŠtodos Cuantitativos II
# → 0.4#
UNAH
Ana MarĂa GirĂłn
Hacemos 1 el coeficiente de y en el tercer renglĂłn:
Z
# → # − 4.5#
0 1 0 0
4.5 0.25 1 -20
1 0 0 0
-0.5 0.25 -1 60
0 0 0.4 0
# → # − 0.25#
Hacemos ceros los coeficientes de y en los demĂĄs renglones
Z
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
4 0 -1 40
-1.8 -0.1 0.4 8
Z 0 0 0 0
b 30 5 4 1200
# → # + 20# Z 0 0 0 0
b 12 4 4 1280
Ya no hay mĂĄs valores negativos en el Ăşltimo renglĂłn. Se ha alcanzado la soluciĂłn optima: x =4, y=4. El mĂĄximo valor de Z es 1280. Esto lo leemos en la Ăşltima columna de la Ăşltima table.
Z
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
4 0 -1 40
-1.8 -0.1 0.4 8
Z 0 0 0 0
b 12 4 4 1280
ÂżQuĂŠ representa el 12 en el primer renglĂłn? Indica que sobran 12 unidades del insumo que creĂł la primera restricciĂłn. Ejemplo3: Maximizar = 60 + 30 + 20 Sujeta a las restricciones:
8 + 6 + ≤ 48 4 + 2 + 1.5 ≤ 20 2 + 1.5 + 0.5 ≤ 8 ≼ 0, ≼ 0, ≼ 0
− 60 − 30 − 20 = 0 Reescribimos:
99
MĂŠtodos Cuantitativos II
UNAH
8 + 6 + + = 48 4 + 2 + 1.5 + = 20 2 + 1.5 + 0.5 + = 8 ≼ 0, ≼ 0, ≼ 0
Creamos la tabla simplex inicial:
Z
8 4 2 -60
6 2 1.5 -30
1 1.5 0.5 -20
1 0 0 0
Ana MarĂa GirĂłn
0 1 0 0
0 0 1 0
Z 0 0 0 1
B 48 20 8 0
Z 0 0 0 1
B 48 20 8 0
Buscamos el menor de los numeros negativos en el Ăşltimo renglĂłn.
Z
8 4 2 -60
6 2 1.5 -30
1 1.5 0.5 -20
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Es -60, en la columna que corresponde a la variable x. Variable entrante: x Dividimos cada uno de los b entre el coficiente de x en su propio renglĂłn: 48/8 = 6 20/4 = 5 8/2 = 4 El valor mĂĄs bajo se obtiene en el tercer renglĂłn. Variable saliente: Reemplazamos el s3 en la primera columna por x
Z
# → #
8 4 2 -60
6 2 1.5 -30
1 1.5 0.5 -20
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
Z 0 0 0 1
B 48 20 8 0
Z 0 0 0 1
B 48 20 4 0
Hacemos 1 el coeficiente de x en el tercer renglĂłn:
x Z
8 4 1 -60
6 2 0.75 -30
1 1.5 0.25 -20
1 0 0 0
100
0 1 0 0
0 0 0.5 0
MĂŠtodos Cuantitativos II
UNAH
# → # − 8#
# → # − 4#
Ana MarĂa GirĂłn
Hacemos ceros los coeficientes de x en los demĂĄs renglones
x Z
0 0 1 0
0 ‒1 0.75 15
‒1 0.5 0.25 ‒5
1 0 0 0
0 1 0 0
‒4 -2 0.5 30
# → # + 60# Z 0 0 0 1
B 16 4 4 240
Buscamos el menor de los numeros negativos en el Ăşltimo renglĂłn. Es el -5 en la columna de z. Variable entrante: z Dividimos cada uno de los b entre el coficiente de x en su propio renglĂłn: 4/0.5 = 8 4/0.25 = 16 El valor mĂĄs bajo se obtiene en el tercer renglĂłn. Variable saliente:
Reemplazamos el s2 en la primera columna por z
X Z
# → 2#
0 0 1 0
0 ‒1 0.75 15
‒1 0.5 0.25 ‒5
1 0 0 0
Hacemos 1 el coeficiente de z en el segundo renglĂłn:
z X Z
0 0 1 0
# → # + #
0
0 ‒2 0.75 15
‒1 1 0.25 -5
1 0 0 0
‒4 -2 0.5 30
0 2 0 0
# → # − 0.25#
Hacemos ceros los coeficientes de z en los demĂĄs renglones
z x Z
0 1 0
-2 ‒2 0.25 5
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
2 2 ‒0.5 10
‒4 ‒4 0.5 30
‒8 ‒4 1.5 10
Z 0 0 0 1
B 16 4 4 240
Z 0 0 0 1
B 16 8 4 240
# → # + 5#
Z 0 0 0 1
B 24 8 2 280
No hay valores negativos en el Ăşltimo renglĂłn, de modo que hemos alcanzado la soluciĂłn optima. Z B
0 -2 0 1 2 ‒8 0 24
z 0 ‒2 1 0 2 ‒4 0 8 x 1 0.25 0 0 ‒0.5 1.5 0 2 Z 0 5 0 0 10 10 1 280
101
Métodos Cuantitativos II
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Ana María Girón
La solución que maximiza el valor de Z es 2 unidades de x y 8 unidades de z. El valor máximo de Z es 280. Sobran 24 unidades del insumo que originó la primera restricción.
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1. Se dispone de 120 gaseosas y de 180 refrescos naturales. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres gaseosas y tres refrescos naturales, y los de tipo B contienen dos gaseosas y cuatro refrescos naturales. El vendedor gana 6 Lempiras por cada paquete que venda de tipo A y 5 Lempiras por cada uno que vende de tipo B. Calcular cuántos paquetes decada tipo debe vender para maximizar la ganancia. 2. La Editorial Universitaria produce dos libros: Métodos I y Métodos II. La utilidad por unidad es de L 25 para el libro de Métodos I y L 30 para el libro de Métodos II. El libro de Métodos I requiere 1 hora para su impresión y 1.5 horas para su empastado. El libro de Métodos II requiere 1.5 horas para su impresión y 1 hora para su empastado. Se dispone de 750 horas para imprimir y 750 horas para el empastado. Determine cuantos libros de cada tipo debe producir para maximizar la utilidad. 3. Una compañía fabrica dos productos A y B. La utilidad por unidad es de L 50 para el producto A y L 70 para el producto B. Para su fabricación se require el uso de tres materiales K, M, N. El producto A require 1 lb de material K, 1.5 lb de material M y 0.5 lb de material N. El producto B require 1 lb de cada material. Se dispone de 450 lb del material K, 600 lb del material M y 425 lb del material N. ¿Cuántas unidades de cada product deberán fabricarse si se desea maximizar la utilidad? 4. Un sastre tiene 80 yardas de tela de algodón y 10 yardas de tela de lana. Un traje de hombre require 1 yarda de tela de algodón y 3 yardas de tela de lana. Un vestido de mujer require 2 yardas de cada tipo de tela. ¿Cuántos trajes y vestidos debe confeccionar el sastre para maximizar su utilidad si vende cada traje a $300 y cada vestido a $200? 5. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la tabla de la derecha. Madera Plástico Aluminio Silla 1 unidad 1 unidad 2 unidades Mecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidades Sillón 1 unidad 2 unidades 5 unidades La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se venden en $24, $32 y $48, respectivamente. Suponiendo que todos los muebles pueden venderse, determine la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo? 6. Una compañía fabrica tres tipos de productos: A, B y C. Cada uno requiere de tres materiales M1, M2, M3, como se muestra en la siguiente tabla: M1 M2 M3 Precio de venta Producto A 5 1 1 $3 Producto B 12 2 1 $4 102
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Producto C 24 4 1 $8 Total disponible 90,000 12,000 9,000 Suponiendo que todos los productos pueden venderse, determine la producción para que el ingreso total sea máximo. ¿Cuál es el ingreso máximo? 7. Una repostería vende tres tipos de cajas de galletas, Pequeña, Mediana y Grande. Cada caja de galletas contiene 3 tipos de galletas, A, B y C. La caja pequeña contiene 1 docena de galletas A, 1 docena de galletas B y 1 docena de galletas C. La caja mediana contiene 2 docenas de galletas A, 1 docena de galletas B y 1 docena de galletas C. La caja grande contiene 2 docenas de galletas A, 2 docenas de galletas B y 3 docenas de galletas C. La repostería dispone de 80 docenas de galletas A , 120 docenas de galletas B y 90 docenas de galletas C. El precio de venta de la caja pequeña es de $3, la caja mediana $5 y la caja grande $8. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender para maximizar el ingreso? 8. Una compañía fabrica tres tipos de productos: A, B y C. Cada producto requiere del uso de dos máquinas: M1 y M2. El producto A requiere 1 hora de M1 y 1 hora de la M2. El producto B requiere 2 horas de la M1 y 1 hora de la M2. El producto C requiere 2 horas de cada máquina. El número de horas disponibles por semana para M1 es 40 horas y 34 horas para M2. La utilidad por unidad para los productos A, B y C es $10, $15, y $22, respectivamente.¿ Cuántas unidades de cada tipo debe fabricar para obtener la utilidad máxima?
PROBLEMA #9 Max U= 50 x + 70 y Sujeta a 10 x + 20 y ≤ 1000 30 x + 40 y ≤ 2400 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #12 Max P= 50 x + 70 y Sujeta a x + y ≤ 100 20 x + 40 y ≤ 3000 20 x + 5 y ≤ 1000 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #10 Max R= 200 x + 300 y Sujeta a x + y ≤ 100 20 x + 40 y ≤ 3000 20 x + 5 y ≤ 1000 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #13 Max R= 200 x + 300 y Sujeta a x + y ≤ 450 1.5 x + y ≤ 600 0.5 x + y ≤ 425 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #11 Max G= 2x + 3y Sujeta a 2 x + 4 y ≤ 80 5 x + 2 y ≤ 100 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #14 Max U= 25x + 30y Sujeta a x + 2 y ≤ 900 1.5 x + y ≤ 750 x ≥ 0, y ≥ 0
103
Métodos Cuantitativos II
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Ana María Girón
PROBLEMA #19 Max Z = 6x1+13x2 +20x3 Sujeta a 5x1+ 7x2 + 10x3 ≤ 90,000 x1+3x2 + 4x3 ≤ 30,000 x1+ x2+x3 ≤ 9,000 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
PROBLEMA #15 Max U= 6x + 5y Sujeta a 3x + 2 y ≤ 120 3 x + 4 y ≤ 180 x ≥ 0, y ≥ 0 PROBLEMA #16 Max Z= 60x+30y +20 z Sujeta a 8x+6 y + z ≤ 48 4x+2 y +1.5 z ≤ 20 2x+1.5 y +0.5 z ≤ 8 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
PROBLEMA #20 Max Z = 20x1+12x2 +12x3 Sujeta a x1 + x3 ≤ 40 x1 + x2 ≤ 30 x2 + x3 ≤ 40 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 PROBLEMA #21 Max Z = 10x1+8x2 +5x3 Sujeta a 2x1 + x2 + x3 ≤ 40 x1+ 2x2 ≤ 10 x2 + 2x3 ≤ 80 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
PROBLEMA #17 Max P= x+2y +4z Sujeta a 3x+ y + 5z ≤10 x+4y + z ≤8 2x+ 2z ≤7 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
PROBLEMA #22 Max Z = 200x1+150x2 +120x3 Sujeta a 15x1+ 7.5x2 + 5x3 ≤ 315 2x1+3x2 + 2x3 ≤ 110 x1+ x2 + x3 ≤ 50 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
PROBLEMA #18 Max Z = 24x+32y +48z Sujeta a x+ y2 + z ≤ 400 x+ y + 2z ≤ 600 2x + 3y + 5z≤ 1500 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
Para revisar su trabajo y comprobar que sus resultados son correctos puede aprovechar la herramienta que se encuentra en www.zweigmedia.com/MundoReal/simplex.html que además de la solución optima y el valor máximo de la función objetivo, le presenta la tabla simplex inicial y las que resultan al final de cada iteración.
SISTEMAS DE DESIGUALDADES LINEALES Un sistema de desigualdades (o inecuaciones) lineales es un conjunto de inecuaciones en varias variables que tienen una solución en común. La solución de uno de estos sistemas suele ser, sino un semiplano, al menos una línea. Generalmente no se resuelve algebraicamente sino que se grafica. Una desigualdad lineal en dos variables puede ser escrita de una de las formas siguientes: 104
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+ % + ≤ + & + ≥ Su gráfica es uno de los semiplanos en los que la recta + = divide el plano. La línea en sí es parte de la gráfica (y se dibuja continua) si la desigualdad incluye el signo = (≤ ó ≥). Si la desigualdad no incluye el signo =, la línea solo delimita el semiplano pero no es parte de él y se dibuja punteada. Ejemplos:
3 + 2 % 12
3 + 2 ≤ 12
¿Cómo se determina cuál semiplano debe estar sombreado? Se usa un punto de prueba de cualquiera de los dos semiplanos, pero no en la línea.
3 + 2 & 12
3 + 2 ≥ 12
Se sustituye en la desigualdad y si esta resulta verdadera, se sombrea el plano donde está ese punto.
Si la desigualdad no es verdadera, se sombrea el otro plano. Es conveniente “sombrear” con un rayado en una sola dirección en lugar de colorear o rayar en todas direcciones.
La gráfica de un sistema de desigualdades se obtiene gradicando cada desigualdad sucesivamente en el mismo plano cartesiano y “sombreando” cada una con rayas en diferente dirección. La región que resulta con rayado en todas las direcciones representa la solución del sistema. Usualmente resulta conveniente pintarla con color una vez determinada, para que sea claro cuál es. 5 + 2 ≥ 20 (5 − 10 % 10 4 − 3 % 1
3 + 2 ≥ 12 ' 4 − 2 % 8 105
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NO trate de dibujar todas las líneas antes de sombrear porque le resultará confuso y habrá muchas regiones que probar. Cuando se grafica cada desigualdad independiente, el trabajo resulta más ordenado. A medida que aumenta el número de desigualdades en el sistema, el rayado resulta más difícil de descifrar. Por eso es conveniente interpreter algunas desigualdades solo como indicadores de que la solución debe mantenerse solo en alguno de los cuatro cuadrantes y no es necesario rayarlas: ≥ 0, ≥ 0 primer cuadrante ≤ 0, ≤ 0 tercer cuadrante
≤ 0, ≥ 0 segundo cuadrante ≥ 0, ≤ 0 cuarto cuadrante
≥ 0 región arriba del eje x
≥ 0 región a la derecha del eje y
2 + 3 ≤ 12 ,5 − 10 & −15 * 4 − 3 & −2 + ≥ 0 * ≥0 )
EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Graficar la región descrita por el sistema de desigualdades: 1.
3 − 2 % 6 − 3
2.
2 + 3 & −6 3 − % 6 106
3.
2 + 3 ≤ 6 ≥0
Métodos Cuantitativos II
4.
7.
10.
13.
16.
19.
22.
25.
2 − 3 % 6 %0
2 − ≥ 2 2 + 2 ≤ 3
≥ −3 − 1 % +3
2 − 3 & −6 5 − 3 % 3 + 3 & −3
4 + 3 ≥ 12 3 − 2 ≥ −6 ≥
3 − 4 ≤ 12 3 + 2 ≥ 2 ≥0 ≥0 + ≥2 + ≤ −2 ≥0 ≥0
2 + % 8 3 + 2 ≤ 14 + %5 ≥0 ≥0
UNAH
5.
8.
11.
14.
17.
20.
23.
26.
−3 + % 6 − & −3
4 − 2 & −2 % 2 + 1
+ ≥ −2 −5 + % −3
− 4 & 0 + ≤1 + 3 & −1
5 − 3 ≤ 4 + %8 ≥0
2 + & 7 3 + 2 ≥ 12 ≥0 ≥0 + ≥8 4 + ≥ 20 ≥0 ≥0
+ 3 ≥ 10 4 + ≥ 8 15 + 2 ≥ 60 ≥0 ≥0
107
Ana María Girón
6.
9.
12.
15.
18.
21.
24.
27.
− %1 − + % 1
+ 2 ≥ 10 3 + 2 ≥ 20
& 2 − 7 + % −3
≤ 2 + 1 % +2 %5
− 4 % 2 % ≥0
+ 6 ≥ 12 + 2 ≤ 8 ≥0 ≥0
+ 5 ≥ 15 5 + ≥ 15 ≥0 ≥0
+ 2 & 8 3 + 2 ≥ 16 5 + 2 ≥ 20 ≥0 ≥0
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MÉTODO GRÁFICO El método gráfico es interesante porque aplica muchos de los temas que han estudiado respecto a gráficas, sistemas de desigualdades y sistemas de ecuaciones. Sin embargo, está limitado a problemas con solo dos variables, porque es lo que podemos graficar en el plano. Después de plantear el problema matemáticamente, los pasos a seguir en este método son: 1. Grafique el sistema de desigualdades representado por las restricciones. A la región de soluciones se le llama Región de Factibilidad y es la zona donde ocurren todas las combinaciones de las variables que cumplen con todas las restricciones establecidas. Las restricciones de no negatividad garantizan que la región de factibilidad quedará en el primer cuadrante. 2. Identifíque los vértices de la región de factibilidad. Si los puntos son fáciles de identificar directamente en la gráfica, este paso es sencillo. Si no resulta claro, habrá que resolver algun(os) sistema(s) de ecuaciones. 3. Evalúe la función objetivo en cada vértice e identifique el vértice que produce el mayor/ menor valor de la función objetivo, según si el objetivo es maximizar/minimizar la misma. 4. Reporte la solución explicitamente en una oración completa. ¿Por qué evaluamos solamente en los vertices de la región de factibilidad? Teorema Fundamental de la Programación Lineal Si un problema de Programación Lineal tiene región de factibilidad no vacía, entonces, si existe el óptimo (máximo o mínimo) de la función objetivo, este se encuentra en un vértice de la región factible. Si una función alcanza el valor óptimo en dos vértices consecutivos de la región factible, entonces alcanza también dicho valor óptimo en todos los puntos del segmento que determinan ambos vértices. Ejemplo 1: Una alfarera fabrica tazas y platos. Le toma 6 minutos fabricar una taza y 3 minutos fabricar un plato. Se usan ¾ de libra de arcilla para hacer una taza y 1 libra para hacer un plato. Ella dispone de 20 horas para trabajar y de 25 libras de arcilla. Su utilidad es de $2.00/taza y $1.50/plato. ¿Cuántas tazas y cuántos platos debería hacer para maximizar su utilidad? Objetivo:
Maximizar = 2 + 1.5 donde x = número de tazas a fabricar; y = número de platos a fabricar
Restricciones:
3 + 6 ≤ 20, 0.75 + ≤ 25 ≥0 y ≥0
108
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Ana María Girón
Graficar el sistema de desigualdades: Al graficar las primeras dos desigualdades encontramos que todo punto que cumple con la primera, cumple tambien con la segunda. Vértices de la región de factibilidad: (0,0), (0, 20/6) y (20/3, 0)
Evaluar = 2 + 1.5 en cada uno: (0,0)
P = 2(0) + 1.5(0) = 0
(0, 20/6) P = 2(0) + 1.5 (20/6) = 5 (20/3, 0) P = 2(20/3) + 1.5(0) = 13.33
La alfarera debería producir solo 6 tazas. Aunque le va a sobrar mucha arcilla, ella no tiene tiempo para hacer más. Ejemplo 2: Una compañía produce dos tipos de acero. El Tipo I require 2 horas de fundido, 4 horas de corte y 10 horas de lamnado por tonelada. El Tipo II require 5 horas de fundido, 1 hora de corte y 5 horas de laminado por tonelada. En total hay 40 horas disponibles para fundido, 20 para corte y 60 para laminado. Cada tonelada del acero Tipo I produce una ganancia de $240 y cada tonelada del acero Tipo II produce una ganancia de $80. ¿Cuánto acero de cada tipo deberá producir para obtener la maxima utilidad? Objetivo: Maximizar = 240 + 80 donde x: cantidad de acero Tipo I a producir (en toneladas) y: cantidad de acero Tipo II a producir (en toneladas) Restricciones: 2 + 5 ≤ 40 4 + ≤ 20 10 + 5 ≤ 60 ≥ 0, ≥ 0 Graficar el sistema de desigualdades:
109
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Gráfica. El polígono oscuro, con los vertices resaltados es la región de factibilidad.
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Vértices de la región de factibilidad.
Si los vertices que no están sobre los ejes no pueden identificarse claramente, hay que resolver el sistema de ecuaciones formado por las dos líneas que se cruzan en ese punto. 2 + 5 = 40 10 + 5 = 60
2 5 ⋮ 40 0 . 10 5 ⋮ 60
# → #
1 . 0
2.5 ⋮ 20 0 −20 ⋮ −140
# → # − 2.5#
1 . 0
0 ⋮ 2.5 0 1 ⋮ 7
# → # − 10#
1 . 0
0.25 ⋮ 5 0 2.5 ⋮ 10
# → # − 0.25#
1 . 0
0 ⋮ 4 0 1 ⋮ 4
4 1 ⋮ 20 0 . 10 5 ⋮ 60
2.5 ⋮ 20 0 5 ⋮ 60
# → # − 10#
# → − #
4 + = 20 10 + 5 = 60
1 . 10
# → #
# → ." #
1 . 0 1 . 10
1 . 0
2.5 ⋮ 20 0 1 ⋮ 7
0.25 ⋮ 5 0 5 ⋮ 60
0.25 ⋮ 5 0 1 ⋮ 4
Aquí hemos utilizado el Método de Gauss-Jordan, pero es válido que utilice cualquiera de los métodos que haya estudiado en cursos anteriores, si lo prefiere. Vértices de la región de factibilidad: (0,0), (0, 8), (2.5, 7), (4, 4) y (5,0) Evaluar = 240 + 80 en estos valores. 110
Métodos Cuantitativos II
(0,0) (0, 8) (2.5, 7) (4, 4) (5,0)
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Ana María Girón
= 240102 + 80102 = 0
= 240102 + 80182 = 640
= 24012.52 + 80172 = 1160
= 240142 + 80142 = 1280
= 240152 + 80102 = 1200
Para maximizar sus ingresos, la compañía debería producir 4 toneladas de cada tipo de acero. Ejemplo 3: Un nutricionista de un hospital tiene que elaborar una dieta en base a dos productos, M y N. Cada onza del producto M contiene 10 unidades de calcio, 12 unidades de hierro, 10 unidades de vitamina A y 8 unidades de colesterol. Cada onza del producto N contiene 6 unidades de calcio, 10 unidades de hierro, 30 unidades de vitamina A y 4 unidades de colesterol. Si los requerimientos mínimos son 180 unidades de calcio, 160 unidades de hierro y 240 unidades de vitamina A, ¿cuántas onzas de cada producto deberá incluir en la dieta para llenar los requerimientos pero minimizar el colesterol en la dieta? Objetivo: Minimizar = 8 + 4 donde x: onzas del producto M a incluir en la dieta y: onzas del producto M a incluir en la dieta
Restricciones:
Gráfica:
10 + 6 ≥ 180 12 + 10 ≥ 160 10 + 30 ≥ 240 ≥ 0, ≥ 0
→ 34564378749:; <4 = 7; → 34564378749:; <4 >7433; → 34564378749:; <4 ?7: 879 @
Dos de los vertices son (0,30) y (24,0). El tercer vértice proviene de la intersección de las rectas 10 + 6 = 180 y 10 + 30 = 240
Resolviendo el sistema encontramos que el punto es (16.5, 2.5)
(0, 30) (16.5, 2.5) (24,0)
= 8102 + 41302 = 120
= 8116.52 + 412.52 = 142
La nutricionista debería incluir solo 30 onzas del producto N si desea minimizar el colesterol en la dieta.
= 81242 + 4102 = 192
111
Métodos Cuantitativos II
UNAH
Ana María Girón
EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Resuelva usando el método gráfico: PROBLEMA #1 Max P= 2 x + 1.5 y Sujeta a 6x + 3y < 1200 0.75x + y < 250 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #7 Max U= 6x + 5y Sujeta a 3x + 2 y ≤ 120 3x + 4 y ≤ 180 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #2 Max P= 40 x + 30 y Sujeta a x + 2y ≤ 16 x+ y ≤9 3 x + 2 y ≤ 24 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #8 Min C= 2000x + 2000y Sujeta a 1x + 2y ≥ 80 3x + 2y ≥ 160 5x + 2y ≥ 200 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #3 Max G= 0.25x + 0.45y Sujeta a x + 2 y ≤ 300 3 x + 2 y ≤ 480 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #9 Min C= 10x + 30y Sujeta a 1x + 5y ≥ 15 5x + 1y ≥ 15 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #4 Max P= 3 x + 4 y Sujeta a x + y ≤ 40 x + 2 y ≤ 60 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #10 Min T = 2.5x + 1.45y Sujeta a 2x + 1y ≥ 70 3x + 2y ≥ 120 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #5 Max R= 200 x + 300 y Sujeta a x + y ≤ 450 1.5 x + y ≤ 600 0.5 x + y ≤ 425 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #11 Min C = 800x + 700y Sujeta a 10x + 30y ≥ 160 30x + 30y ≥ 300 50x + 30y ≤ 800 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #6 Max U= 25x + 30y Sujeta a x + 2 y ≤ 900 1.5 x + y ≤ 750 x ≥ 0, y ≥ 0
PROBLEMA #12 Min Z = 4x + 2y Sujeta a 5x + 15y ≥ 50 20x + 5y ≥ 40 15x + 2y ≥ 60 x ≥ 0, y ≥ 0
112
PROBLEMA #13 Min Z = 8x + 10y Sujeta a 2x + 2y ≥ 80 6x + 2y ≥ 120 4x + 12y ≥ 240 x ≥ 0, y ≥ 0 PROBLEMA #14 Min C = 1.20x + 0.80y Sujeta a 2x + 2y ≥ 16 4x + y ≥ 20 x ≥ 0, y ≥ 0 PROBLEMA #15 Min Z = 25,000x + 20,000y Sujeta a 2x + y ≥ 8 3x + 2y ≥ 14 x+y≥5 x ≥ 0, y ≥ 0 PROBLEMA #16 Min Z = 50x + 60y Sujeta a 100x + 200y ≥ 3000 200x + 50y ≥ 2500 x ≥ 0, y ≥ 0 PROBLEMA #17 Max z= 2x + 3y Sujeta a ½x+y≥2 4x + y ≤ 6 x ≥ 0, y ≥ 0 PROBLEMA #18 Max z= 3x + 4y Sujeta a x + 6y ≥ 12 x + 2y ≤ 8 x ≥ 0, y ≥ 0
Métodos Cuantitativos II
PROBLEMA #19 Max Z= 200x + 150y Sujeta a x ≥ 24 x + 2y ≤ 80 3x + 2y ≤ 120 x ≥ 0, y ≥ 0
UNAH
PROBLEMA #20 Max Z= 5x + 2y Sujeta a x+y≤10 2x+y≥10 x+2y≥10 x ≥ 0, y ≥ 0
113
Ana María Girón
PROBLEMA #21 Max Z= 3x + 2y Sujeta a x≥8 9x+6y≤108 x+2y≥6 x ≥ 0, y ≥ 0