UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II TERCER PARCIAL
LOGARITMOS Sea a un número positivo distinto de 1. La definición formal del logaritmo base a de x es: y=log a x si y solo si a y =x Note que y es el logaritmo en la expresión de la izquierda y es el exponente en la expresión de la derecha. Decimos que el logaritmo base a de x es el exponente al que hay que elevar a para obtener x. y
La expresión y=loga x se llama forma logarítmica y la expresión a =x se llama forma exponencial de la msma expresión. Como:
entonces,
Como:
entonces,
2 =1
log 2 1=0
2 =½
log 2 1/2=−1
22 = 4
log2 4=2
32 = 9
log 3 9=2
23 = 8
log2 8=3
53 = 125
log 5 125=3
0
-1
Por otra parte, Si
entonces, log 2 64=6 …....26 = 64
Si
entonces log10 0.01=−2 ….10-2 = 0.01
log 3 81=4 …. 34 = 81 log 3 2,187=7 ...37 = 2,187
log7 343=3 …..... .73 = 343 log5 625=4 …...... 54 = 625
Hay dos logaritmos que tienen una notación especial: (1) El logaritmo base 10, o logaritmo común, se representa sin el sub-índice después de log: y=log x si y solo si 10y = x. (2) El logaritmo base e, o logaritmo natural, se representa como ln: y=ln x si y solo si ey = x. EJERCICIOS DE PRÁCTICA: I. Escriba en forma logarítmica: a) 28 = 256
d) 5 2 = 25
g) b 0 = 1
b) (1/3) -1 = 3
e) 27 2/3 = 9
h) (1/3) -1 = 3
c) (1/5) 3 = 1/125
f) 6 -2 =1/36
i) 5 -3 = 1/125
1
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II. Escriba en forma exponencial: a) log 2 16 = 4
d) log 2 8 = 3
g) log 6 216 = 3
b) log 12 1/1728 = –3
e) log 2 128 = 7
h) log 3 1/27 = –3
c) log 1/3 1/81 = 4
f) log 12 1/1728 = –3
Entendiendo bien la definición de logaritmo base a podemos encontrar logaritmos de potencias conocidas de varios números sin necesidad de usar calculadora. Ejemplos: 1) Encontrar el log10 1,000 Sabemos que 1,000 = 103 entonces
log 10 1,000=3
2) Encontrar el log 7 49
log 7 49=2
Sabemos que 49 = 72 entonces 3) Encontrar el log 2 256 Sabemos que 256 = 28
entonces log 2 256=8
4) Encontrar el log 8 2 3
1 /3
Sabemos que 2=√ 8=8
entonces
log 8 2=1 /3
2
entonces
5) Encontrar el log 2 0.25 −2
Sabemos que 0.25=1/ 4=1/2 =2
log2 0.25=−2
Como el 10 es la base de nuestro sistema de numeración, conocemos muchas potencias de 10 y podemos escribir sus logaritmos con facilidad. Como e es un número irracional, casi no podemos encontrar logaritmos naturales de números comunes sin usar la calculadora. Escribiendo una expresión logarítmica en su forma exponencial podemos, con un poco de álgebra, resolver otra clase de problemas asociados con logaritmos. Ejemplos: 1) Encontrar el valor de x si log x 256=4 Esta expresión es equivalente a decir que
x 4=256 y podemos resolverla sacando la raíz cuarta de 256
x=√4 256=4 2) Encontrar el valor de x si
log 3 x=5 5
Esta expresión es equivalente a decir que 3 =x y podemos resolverla evaluando EJERCICIOS DE PRÁCTICA: I. Calcular, sin usar calculadora, el valor de : a) log 5 25 e) log 3 427
x=35=243
h) log 6 32 / log 6 8
b) log 25 5
f) log 27 3
i ) log 5 81 / log 5 9
c) log 9 3
g) log 5 25
j) log 5 16 / log 5 4
d) log 4 2
h) log 3 81
k) log 3 125 /log 3 5
2
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II. Encontrar el valor de x si: a) log x 2 =1/8
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e) log 2 (x 2 – 1) = log 2 8
b) log x 25 = 2
f) log (x2 + 64) = 2
c) log 2 x = 6
g) log 5 1/125= x
d) ln e = x
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Los logaritmos tienen las siguientes propiedades: 1. log a 1=0 2. 3.
loga xy=log a x + log b y x loga =log a x−log b y y
4.
loga a=1 1 loga =−log a x x
5.
loga x n=n⋅loga x
6.
Estas propiedades son válidas para los logaritmos de cualquier base, incluso base 10 y logaritmos naturales. Al utilizar estas propiedades podemos expandir una expresión con logaritmos si utilizamos las igualdades de izquierda a derecha. Así: (1)
log2 5 x =log2 5+ log2 x
(2)
log3 x 2 y=log3 x 2 +log 3 y=2 log3 x +log3 y
(3)
log7
xy =log7 xy −log 7 z=log 7 x +log 7 y−log 7 z z
(4)
log15
√ 4
x x =log15 yz yz
1 /4
( )
=1/4 log15
( yzx )=1/ 4 [ log
15
x−log 15 ( yz )] =
= 1/ 4 [log 15 x−(log 15 y +log 15 z )]=1 /4( log 15 x−log 15 y −log 15 z ) Es importante notar que ninguna de las propiedades de los logaritmos permite expandir una suma o resta. Asi, expresiones del tipo log (x+3), ln (x2 –4x +7) o log5 (x2 + 25) no pueden expandirse. Tambien podemos condensar una expresión con muchos logaritmos convirtiendola en una expresion compleja con un solo logaritmo si utilizamos las igualdades de derecha a izquierda, asi: (1)
2 log 5 x +3 log5 y−log 5 z =log5 x2 + log 5 y 3−log 5 z =log 5 ( x 2⋅y 3 )=log 5 x 2⋅y 3−log 5 z=log5
(2)
x3 √ y 3⋅ln x +1/2⋅lny−4⋅lnz=ln x + ln √ y−ln z =ln( x √ y )−ln z =ln z4 3
4
3
3
4
( )
2
3
x ⋅y z
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EJERCICIOS DE PRÁCTICA: I. Expandir la expresión dada usando las propiedades de los logaritmos 1)
log √
3)
log b
5)
ln
7)
ln
3
x 2−1 x
x ( x 2−5) (x 2 +3)( x2 −3)
√
3 x 2 √ x +1 ( x +2)3
(
√5 x 2 yz
3
2)
log
4)
ln
6)
ln
8)
log
4
b 2 w (1 /2)
)
5 x √ 1−x 2(x +1)2
√ 4
(
x7 y5 z
x 2−3 x−4 ( x−4)2
(
1 /3
) )
x 2−9 x 2−6 x +8
II. Condensar la expresión dada en un solo logaritmo: 1) ½ log (x2 – 1) – ½ log (x2 + 1)
2) 3 log x – log 2 – log (x + 5)
3) 2 log (x + 6) + 3 log (x + 3) – [5 log 2 + 3 log (x + 2)]
4) 3 log x + 2 log (x + 1)
5) 3 log x + 2 log y – 1/3 log y – 3 log z – 3 log w
6) 2 (log x – log 4)
7) 2 log 2 + 3 log x – ½ log (x + 3) – ½ log (x – 2)
8) ln (x2 – 9) – ln (x2 + 7x + 12)
9) 3 log2 (x + 1) + log2 5 + log2 x – 1/3 log2 (x + 4)
10) 2 ln x + 3 ln (x + 2) – ln (x2 + 5)
11)
ln
x x+ 1 2 + ln −ln( x −1) x−1 x
( ) ( )
12)
log
(
x 2+ 2 x−3 x2 +7 x +6 −log x +2 x 2−4
) (
)
USO DE LA CALCULADORA Para encontrar logaritmos de números que no pueden expresarse como potencias enteras de la base del logaritmo, se utiliza la calculadora. Las calculadoras cientificas normalmente solo tienen logaritmos base 10 (log) y logaritmos naturales (ln). Para calcular logaritmos de otras bases se utiliza la Formula de Cambio de Base:
loga x=
ln x ln a
No confundir esta formula que es el cociente de dos logaritmos con la propiedad de los logaritmos, que es el logaritmo de un cociente. Esta debe debe evaluarse sacando los dos logaritmos y luego dividiendo. No puede simplificarse. Haga el calculo directamente en la calculadora, sin redondear. El resultado final debe anotarlo con cuatro (4) cifras decimales.
4
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EJERCICIOS DE PRACTICA: Encuentre los siguientes logaritmos utilizando la calculadora: 1) log 2 10
2)
log 3 15
3) log 5 3
4) log 2 0.8
5)
log 7 12
6) log 5 32
log9 23
9)
log2 49
7)
log 11 43
8)
10)
log 50
11)
log 131
13)
log5 93
13)
log6 24
14)
ln 45
15)
ln 0.75
ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la variable cuyo valor se desea encontrar se encuentra como parte de un exponente. Ejemplos: 2x = 7, 43x = 8 x+1, 10 x+5 + 3 = 12 Las funciónes exponenciales son funciónes uno-a-uno, en las que para cada valor de x hay un valor diferente de y. Por lo tanto, m n si a =a entonces m = n La función logaritmo y la función exponencial de la misma base son funciónes inversas, que se anulan entre si cuando se aplican la una a la otra: y a log x =x loga a x =x a
Las ecuaciónes exponenciales pueden separarse en dos casos: CASO 1: LA ECUACION PUEDE REDUCIRSE A POTENCIAS DE LA MISMA BASE En este caso, se resuelve usando la propiedad: si am = an entonces m = n Ejemplos: (1)
23 x =4 x+1 Como 4 = 22, podemos reescribir la ecuación como
23 x =(22)x+1
23 x =22 (x+1) y aplicar la propiedad recien mencionada:
3 x=2( x +1) 3 x=2 x +2 3 x−2 x =2 x=2
5
Metodos Cuantitativos II (2) 25
x+8
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=1252 x
Ambas bases son potencias de 5: 25 = 52 y 125 = 53 Reescribimos la ecuación como
(52 )x+8 =(53 )2 x
52( x+8)=53(2 x) ya podemos igualar los exponentes:
2( x +8)=6 x 2 x +16=6 x 16=6 x−2 x
16=4 x 4=x (3)
4 8 16 3 x =8 5 x Todas las bases son potencias de 2: 4 = 22, 8 = 23 y 16 = 24. Reescribimos la ecuación como
(22)8 (24 )3 x =(23)5 x (216)( 212 x )=215 x
212 x+16 =215 x ahora igualamos los exponentes:
12 x +16=15 x
16=15 x−12 x 16=3 x x=16 /3 Algunos ejercicios requeriran “limpiar” un poco la ecuación original para distinguir que pueden reducirse a una sola base. (4)
0.25(3
2 x−1
)=0.75
Aunque 0.25 y 0.75 no son múltiplos de 3, si dividimos ambos lados de la ecuación por 0.25 obtenemos
32 x−1=3 2 x −1=1 2 x =1+ 1 2 x =2 x=2/2 x=1 6
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EJERCICIOS DE PRÁCTICA: 1.
22 x−3=32
9.
2x 8−x =4 x
2.
27 x =32 x +5
10.
8(2−x+2 )=( 21−x )3
3.
2 =8
11.
4 2 =16
4.
3 x =271 /2 x +2
12.
3 ( 9)=3
5.
10 x−2=100 x
6. 7. 8.
−x
2
2 x−1
2 3
3−2 x
=4
√ 8 =32
x
2
2
2
3x 3x
2
4 x+5
3 (27)=9
14.
9(3−x−2)=3(9 x+2 )
15.
10
x−3 2 x+ 1
1 34 x+2 1 = 3 x+1 5 3 45
17.
25 3 x−1 3 −2 x 1 (5 )(5 )= 3 3
18.
25 53 x−1 1 = 3 53−2 x 3
19.
√
4 x +5
13.
x
1−x
x
16.
=100
=1/8
( )
( )
5
33 x+2 =272 +x ** x−3 9
CASO 2: LA ECUACION NO PUEDE REDUCIRSE A UNA SOLA BASE Cuando las ecuaciónes no pueden reducirse a una sola base, se utilizan logaritmos. Podemos aplicar logaritmos de cualquier base y utilizar las propiedades de los logaritmos. Cuando solo hay un exponencial en la ecuación , daremos preferencia al logaritmo de la misma base para x aprovechar que log a a =x Si hay exponenciales de diferentes bases, utilizaremos el logaritmo natural (ln) o el logaritmo comun (log) porque son los que aparecen en la calculadora. Ejemplos: (1)
10 x =21
Como el exponencial es base 10, aplicamos log a ambos lados de la igualdad:
x
log(10 )=log 21
x=log 21 x=1.3222 (2)
3 x =12
Como el exponencial tiene base 3, aplicaremos logaritmo base 3:
log3 (3 x )=log 3 (12) x=log3 (12)
Para poder usar la calculadora utilizamos la Formula de Cambio de Base
x=2.2618 (3)
3 x =5x +1 ln (3 x )=ln( 5x+ 1)
x ln3=(x +1)ln 5 x ln3=x ln5+ ln 5 x ln3−x ln5=ln 5 7
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x (ln 3−ln 5)=ln 5 x=
ln 5 =−3.1507 ln 3−ln 5
Tambien podemos trabajarlo sacando los logaritmos y haciendo las operaciones con numeros:
3 x =5x +1 ln (3 x )=ln( 5x+ 1)
x ln3=(x +1)ln 5 1.0986 x=1.6094 ( x+1) 1.0986 x=1.6094 x +1.6094
1.0986 x−1.6094 x=1.6094 −0.5108 x=1.6094 x=
1.6094 =−3.1507 −0.5108
Tenga en cuenta que para que el resultado final d[e lo mismo que con el procedimiento anterior deben usarse cuatro decimales en los logaritmos. (4)
3 x 52 x =2 x
2x
ln(3 5 )=ln 2 x
2x
ln(3 )+ ln(5 )=ln 2
x ln3+2 x ln 5=ln2
x (ln 3+2 ln 5)=ln 2 x=
ln 2 =0.1605 ln 3+2 ln 5
O, sacando los logaritmos y haciendo las operaciones con numeros:
3 x 52 x =2 ln(3 x 52 x )=ln 2 ln(3 x )+ ln(52 x )=0.6931 x ln3+2 x ln 5=0.6931
1.0986 x+ 2 x (1.6094)=0.6931 1.0986 x+3.2188 x=0.6931 4.3174 x =0.6931 x=
0.6931 =0.1605 4.3174 8
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Muchas ecuaciónes requieren alguna simplificacion antes de aplicar los logaritmos. En los siguientes ejemplos se presenta algunos de los procedimientos que se puede necesitar utilizar antes de aplicar los logaritmos (1)
(2)
30 e1.4 x =90
(5)
e 1.4x =90/ 30
5 e x+1=4
e 1.4x =3
e x+1 =4 /5 …
…
22 x+3 −6 x−1 =0 (6)
22 x +3 =6 x−1 (3)
5
+ 4=21
5
2y
4=3 e + e
=21−4
2y
4=4 e 2 y
(3 x−2 )
5
e2 y +4 =3 e2 y e 2 y + 4=3 e 2 y
(3 x−2 )
(3 x−2 )
(4)
2 e x+1 +3 e x+1=4
=17 …
1=e 2 y …
2
e ln(6 x −4 )=5 x
6 x 2−4=5 x … EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Resuelva las ecuaciónes siguientes: 1.
8−x =1.2
10.
22 x−3=5 x−2
18.
3 x 21−x =10
2.
10 x+2=5
11.
22 x+3 −6 x−1 =0
19.
3 e x =4 e−3 x
3.
e1− x =5
12.
e x −e5 e x−1=0
20.
5 x =2e x +1
4.
e2 x +3=3
13.
e−2 x −e x−2=0
21.
4 (5 x+2)−16=4
5.
e3 (x−2)=1/2
14.
2x 5=10 x
22.
e ln(x+1 )=2 x−3
6.
3 x+4 =6 x
15.
4 (72 x )=9
23.
e ln(6 x −4 )=5 x
7.
3 x−2=82 x−1
16.
5 e x−3=5
24.
e x+1 +3 e x +1=4
8.
35 x−2=10 x−3
17.
3 x 22 x =4
25.
2 e2 x +3 e 2 x =25
9.
32−3 x =42 x+1
2
EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS: Resuelva las ecuaciónes siguientes: 1.
(e x −e−x )−(e x −e−x )=4
2.
9
x−x ex−1=0
2
Metodos Cuantitativos II
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3.
(3 x )2=2 √ 2x
6.
4.
e2 y +4 =3 e2 y
7.
5.
4 e 2 x −5 =2 e 2 x −2
8.
Ana María Girón 2 x−1
√3 x−3=√ 27
200=
800 1+6 e 0.3 x
ECUACIONES LOGARÍTMICAS Una ecuación logarítmica es una ecuación en que la variable cuyo valor se desea encontrar se encuentra dentro de un logaritmo, ya sea sola o en una expresion algebraica. Ejemplos: log3 (2x+1) = 5, log5 (2x-1) = log5 (x+4), log x + log (x − 4) = 9 Las funciónes logarítmicas son funciónes uno-a-uno, en las que para cada valor de x hay un valor diferente de y. Por lo tanto, Si loga u=log a v entonces u = v La función logaritmo y la función exponencial de la misma base son funciónes inversas, que se anulan entre si cuando se aplican la una a la otra: y a log x =x loga a x =x a
A diferencia de las ecuaciónes exponenciales, donde todas las soluciones que encontramos son validas, algunas soluciones de ecuaciónes logarítmicas, que se encuentran usando procedimientos validos, no lo son, porque al sustituirlas en la ecuación resultan en valores negativos dentro de alguno de los logaritmos. Por esta razon, las soluciones siempre deben verificarse. Si ninguna de las soluciones encontradas es válida, la ecuación no tiene solucion. Las ecuaciónes logarítmicas pueden separarse tambien en dos casos: CASO 1: TODOS LOS TÉRMINOS CONTIENEN LOGARITMOS. (1) Se condensan las expresiones a ambos lados del signo igual y obtenemos una expresion de la forma log a u=log a v Entonces u = v. (2) Eliminamos los logaritmos y resolvemos la ecuación u = v. (3) Verificamos la(s) solucion(es) obtenidas. Ejemplos: (1)
log 3 (5 x−1)=log 3 (x+7)
Verificar:
5 x−1=x +7
log 3 (5 (2)−1)=log 3 (2+7)
5 x−x=7+1
log3 ( 9)=log 3 (9)
4 x =8
x=2 es la solucion de la ecuación.
x=2 10
Verdadero.
Metodos Cuantitativos II
(2)
log2 (x +2)=log2 (x 2 )
Ana María Girón
x=2
Verificar
x=−1
Verificar
x+ 2=x 2
log2 (2+2)=log2 (22)
log 2 (−1+2)=log 2 ((−1)2 )
0=x 2−x −2
log2 (4)=log 2 (4)
log 2 (1)=log 2 (1)
0=( x−2)( x +1) x=2 o (3)
UNAH
Verdadero.
x=−1
Verdadero
x=2 es una solucion
log(2 x +5)−log( x+1)=log( x+ 5) log
Verificar
x=0
log (0+5)−log ( 0+1)=log (0+5)
=log(x+5) ( 2xx+5 +1 )
log(5)−log(1)=log(5)
2 x +5 =x +5 x +1
log(5)−0=log(5) log(5)=log(5)
2 x +5=(x +5)(x +1)
Verdadero.
2
2 x +5=x +6 x +5
Verificar
2
0=x +6 x +5−2 x−5
x=−4
log(2 (−4)+5)−log(−4+1)=log(−4+5)
2
0=x + 4 x
log(−3)−log(−3)=log(1)
0=x (x + 4) x=0 o
x=−1 es tambien solucion
Falso. No existe log (−3)
x=−4
La solucion es
x=0
EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Resuelva las siguientes ecuaciónes: 1.
log (x +4)−log x=log( x +1)
11.
ln( x +1)−ln( x 2−1)=ln 1
2.
ln x=5 ln 2−ln 8
12.
log (x +1)−log x +log x 2=log 2
3.
ln x+ ln( x−1)=ln 12
13.
ln x=ln ( x+ 6)−ln ( x−4)
14.
log (x 2−4)−log( x +2)=log 2
2
4.
ln( x −4)−ln( x +2)=ln 1
5.
log x =log (−3 x−2)
15.
ln( x −1)−ln( x 2−1)=ln (1/3)
6.
log (7 x−12)=2 log x
16.
log x+ log( x +3)=2 log (x +1)
7.
log( x +2)−log x=2 log 4
17.
log 2+log(11−x 2 )=2 log(5−x)
8.
log3 ( x−2)=log 3 27−log 3 ( x−4 )−5log 1
18.
ln(3 x−2)−ln (x +1)=0
9.
ln x+ ln( x +6)=1 /2 ln9
19.
log (x−1)−log( x +6)=log ( x−2)−log( x+3)
10.
log9 (2 x +7)−log9 ( x−1)=log9 ( x −7)
2
5
11
Metodos Cuantitativos II 20. 21.
UNAH
( 2x ) x +2 ln x+ 3 ln 2=ln ( 1/2 ) ln x+ 3 ln 2=ln
22.
Ana María Girón
ln
( x +1x )+ ln 2=ln ( x +3)
CASO 2: AL MENOS UN TERMINO NO CONTIENE UN LOGARITMO. (1) Se pasan todos los terminos con logaritmos a un solo lado del signo igual y todos los terminos sin logaritmos al otro lado. (2) Se condensan las expresiones con logaritmos y obtenemos una expresion de la forma log a u=v donde u es una función de x y v es una constante. log u v (3) Usamos ambas expresiones como exponentes de a y creamos la ecuación a =a log x (4) Usamos el hecho de que a =x y resolvemos la ecuación u=av donde u es una función de x y av es una constante. (5) Verificamos la(s) solucion(es) obtenidas. a
a
Ejemplos: (1)
log 7 (3 x +1)=2 Verificar:
7log (3 x+1)=7 2 7
3 x+1=49
log 7 (3 (16)+1)=2
3 x=49−1
log7 (49)=2
Verdadero
x=48 /3 x=16 es la solucion
x=16
(2)
log 5 x+ log ( x−1)=2
Verificar
x=5
ln (5 x (x−1))=2
log 5(5)+log ( 5−1)=2
10log(5 x (x−1))=10 2
log 25+ log (4)=2
5 x( x−1)=100
log 25⋅4=2
5 x2 −5 x=100
log 100=2 Verdadero Verificar
5 x2 −5 x−100=0
log 5(−4 )+ log(−4−1)=2
5( x 2−x−20)=0
log(−20)+log (−5)=2
x 2−x−20=0
Falso. No existe log(−20)
( x−5)(x +4)=0 x=5 o
x=−4
Solo
x=−4
12
x=5 es solucion.
Metodos Cuantitativos II
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EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Resuelva las siguientes ecuaciónes: 1.
log x+ log 5=2
15.
log5 ( x +3)=1−log5 ( x−1)
2.
log12 ( x−5)+log 12 ( x−5)=2
16.
log 4 (x 2−9)=log 4 (x +3)+ 3
3.
log 5 (x +2)=3
17.
log 5 ( x +6)−log 5 ( x +2)=1
4.
log3 x+ log 3 (2 x+1)=1
18.
log √ x+15+ log √ x=1
5.
log3 (x + 4)=2
19.
log3 (x−2)−log 3 27=3 log 1
6.
log1 /3 (1−2 x )1/ 2=−1
20.
ln( 2 x−1)=2
7.
ln(3 x−2)−ln( x−1)−2=0
21.
ln( x −1)=0
8.
1/ 2 log 2 ( x+ 1)=2+ 1/ 2 log 2 5
22.
log3 (3 x−1)−log3 (x+1)=2
9.
ln (2 x−3)−ln e=e
23.
2 log x =3+log(x /10)
10.
log √ x−log √ 2=1/ 2
24.
2 log x −2 log(x +1)=0
11.
log2 (2 x−6)=2+ log2 (x−2)
25.
log x −log(x +1) =0
12.
log2 x+ log2 (x−2)−3=0
26.
log3 (x + 4)2−log 3 9=2
13.
log2 (x +2)+ log2 ( x−2)=5
27.
log 2 (x +1)−log2 (x 2−1)=ln1
14.
2 log 3 ( x +4)−log3 9=2
28.
ln(3 x−2)−ln( x−1)=2
4.
( x 2−5)ln x =x
5.
x=( log 2 x )log
6.
x=( ln x)
3
2
2
EJERCICIOS MÁS COMPLEJOS: Resuelva las siguientes ecuaciónes: 2
1.
log (16−x ) =2 log(3 x −2)
2.
ln( logx 2)=−1
3.
log8 (log 4 ( log2 x ))=0
13
ln x
2
x
Metodos Cuantitativos II
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FUNCIONES EXPONENCIALES Una función exponencial básica tiene tiene la forma
y=a⋅b x donde a ≠ 0 y b es un numero positivo distinto de uno. A b se le denomiana base de la función exponencial. El Dominio de la función son todos los numeros reales, y su Rango depende del signo de a: si a es positivo, es ] 0, + ∞ [ y si a es negativo, es ] − ∞, 0 [. En ambos casos, la grafica tiene una asíntota horizontal y = 0, y su intercepto en y es (0, a). La gráfica nunca cruza la asíntota y por lo tanto, no tiene intercepto en x. En una tabla de valores, en la que los valores de x aumentan de 1 en 1, cada valor de y es b veces el valor anterior. Ejemplos: (1)
y=1⋅2 x x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(2)
y 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16
1 x y=1⋅( ) 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
14
Metodos Cuantitativos II (3)
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y=−1⋅2 x x -3 -2 -1 0 1 2 3
(4)
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y -0.125 -0.25 -0.5 -1 -2 -4 -8
1 x y=−1⋅( ) 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y -16 -8 -4 -2 -1 -0.5 -0.25 -0.125
Ahora analizaremos la función exponencial general
y=a⋅b mx +c + k En esta función, la asintota horizontal es y = k . El Dominio siempre son todos los numeros reales yel Rango es ] k, + ∞ [ si a es positivo, y ] − ∞, k [ si a es negativo. La grafica puede tener un intercepto en x, si k ≠ 0. Lo tendra, en efecto si a y k tienen signos opuestos. Intercepto en y: x = 0 Intercepto en x: y = 0
y=a⋅b c + k Resolver la ecuación exponencial
bmx+ c =−k /a
Otro punto que podria ayudarnos a dirigir la grafica se obtiene evaluando la función en el valor de x en el que el exponente se hace cero; el punto es (-c/m, a+k).
15
Metodos Cuantitativos II
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Ejemplos: Encontrar la asíntota horizontal, interceptos, dominio y rango de la función dada y graficarla. (1)
y=1⋅3(x−1) +2 Dominio: R Rango: ] 2, + ∞ [ Asíntota horizontal: y = 2 −1 Intercepto en y: x = 0, y=3 +2=7/ 3 Intercepto en x: no tiene, porque a = 1 y k =2 tienen signos iguales. El exponente es cero cuando x = 1 y el valor de y es 1 + 2 = 3 Punto: (1,3) Calculamos otro punto, arbitrariamente: x = 2, y = 5 (2,5)
(2)
( x+1)
y=3⋅2
−4
Dominio: R Rango: ] -4, + ∞ [ Asintota horizontal: y = -4 Intercepto en y: x = 0, y=3 (2)−4=2 Intercepto en x: a y k tienen signos opuestos. y = 0 cuando
3⋅2(x+1) −4=0
3⋅2(x+1) =4 2(x+1)=4 /3 x+ 1=log2 ( 4 /3) x+ 1≈0.4 x≈0.4−1=−0.6 El exponente es cero cuando x = -1 y el valor de y es 3 – 4 = -1 Calculamos otro punto, arbitrariamente: x = 1, y = 8 (1, 8)
16
Metodos Cuantitativos II (3)
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y=−1⋅3(2−x) +5 Dominio: R Rango: ] - ∞, 1 [ Asíntota horizontal: y = 5 2 Intercepto en y: x = 0, y=−1(3) + 5=−4 Intercepto en x: a y k tienen signos opuestos. y = 0 cuando
−1⋅3(2−x) +5=0 −1⋅3(2−x) =−5 3(2− x)=5 2−x=log 3 (5) 2−x≈1.5 2≈1.5+ x 2−1.5≈x x≈0.5 El exponente es cero cuando x = 2 y el valor de y es -1 + 5 = 4 PuntoÑ (2,4) Calculamos otro punto, arbitrariamente: x = 1, y =2 (1, 2) (4)
(x+2 )
y=−1⋅( 3/ 2)
+3
Dominio: R Rango: ] - ∞, 3 [ Asintota horizontal: y = 3 2 Intercepto en y: x = 0, y=−1⋅(3/2) +3=−9/4 +3=3 / 4 Intercepto en x: a y k tienen signos opuestos. y = 0 cuando
−1⋅(3 /2)(x+2) +3=0 (x+2)
−1⋅(3 /2)
=−3
(3/2)( x+2)=3 x+ 2=log3 / 2( 3) x+ 2≈2.7 x≈2.7−2=0.7 El exponente es cero cuando x = -2 y el valor de y es -1 + 3 = 2 Calculamos otro punto, arbitrariamente: x = 2 y ≈ -2
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Metodos Cuantitativos II (5)
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y=e(x+3) −2 Dominio: R Rango: ] -2, +∞ [ Asintota horizontal: y = -2 3 Intercepto en y: x = 0, y=e −2≈18 Intercepto en x: a y k tienen signos opuestos. y = 0 cuando
e(x +3)−2=0 e(x +3)=2 x+ 3=ln 2 x=ln 2−3≈−2.3 El exponente es cero cuando x = -3 y el valor de y es 1 – 2 = -1 Calculamos otro punto, arbitrariamente: x = -1 y ≈ 5.4 EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Encuentre la asintota horizontal, interceptos, dominio y rango de la función dada y grafiquela. 1.
y=2 x+1 +3
7.
y=−3⋅2(x−4 )+ 6
13.
y=e(x+3) −2
2.
y=3−x+1−1
8.
y=(1/2)(2 x)−1
14.
y=−e−2 x + 2
3.
y=3−x−2−1
9.
y=−(3 /2)(x−1) +1
15.
y=−1+e( x−3)
4.
y=3 x −5
10.
y=−2⋅(3/5)(2 x+1 )+1
16.
y=e(x−2) +e
5.
y=4 x −2
11.
y=(1/2)(x −2) +3
17.
y=e(x+1) −1
6.
y=−1⋅2(2− x) +7
12.
y=(2/3)x −1/2
18.
y=e(x−3) +2
FUNCIONES LOGARÍTMICAS Una función logarítmica básica tiene tiene la forma
y=log a x donde a es un número positivo distinto de uno. A a se le denomiana base de la función logarítmica. El Dominio de la función son todos los números reales positivos: ] 0, + ∞ [ (no se le puede sacar ningun logaritmo a cero ni a números negativos), y su Rango son todos los números reales. La gráfica tiene una asíntota vertical en x = 0, y su intercepto en x es (1,0). No hay intercepto en y porque x = 0 no esta en el dominio de la función, sin embargo, un punto de interes es (a,1).
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y=log 2 x
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y=log 5 x
y=log1/ 2 x
Ahora analizaremos la función logarítmica general
y=c⋅log a (mx+b)+k En esta función, la asíntota vertical es x = -b/m , el valor de x donde la expresión dentro del logaritmo se hace cero. No se pueden sacar logaritmos a números negativos, de modo que el dominio de la función se obtiene encontrando para qué valores de x mx+ b>0 El dominio dependerá del signo de m: si es positivo, el dominio sera ] -b/m, + ∞ [ ; si es negativo, el dominio sera ] - ∞, -b/m [ La grafica tendra intercepto en y solo cuando x = 0 este en el dominio de la función. Siempre tendra intercepto en x y se calcula resolviendo la ecuación c⋅log a (mx+b)+ k=0 Un punto de interés es aquel donde
mx+ b=a porque el logaritmo sera 1 y
y=c+ k
Ejemplos: Encontrar la asíntota horizontal, interceptos, dominio y rango de la función dada y graficarla. (1)
y=log2 (3−2 x)+1 Dominio: 3 – 2x > 0 3 > 2x 3/2 > x ] − ∞, 3/2 [
A.V. x = 3/2 = 1.5
Interceptos: si x = 0,
y=log 2 (3)+1≈1.6+1=2.6
y = 0 cuando
log 2 (3−2 x )+1=0
log2 (3−2 x )=−1 19
Rango: R
Metodos Cuantitativos II
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2log (3−2 x)=2−1 2
3−2 x=0.5 3=0.5+2 x
3−0.5=2 x 2 x =2.5 x=1.25 Punto de interés: 3−2 x=2 cuando x=0.5 y y=1+1=2
(2)
y=log1/ 2 (2 x−1)+4 Dominio: 2x − 1 > 0 2x > 1 x > 1/2 ] ½, +∞ [
A.V. x = 1/2
Rango: R
Interceptos: No tiene intercepto en y y = 0 cuando
log 1 /2 (2 x−1)+ 4=0
log1 /2 (2 x−1)=−4 2 x −1=( 1/ 2)−4 =16 2 x =16+1=17 x=17 /2=8.5 Punto de interés: 2 x −1=1/ 2 cuando x=3/ 4 y y=1+ 4=5 (3)
y=−2 ln(3−x)+1 Dominio: 3 - x > 0 3>x ] − ∞, 3 [ Interceptos: si x = 0, y = 0 cuando
A.V. x = 3
Rango: R
y=−2 ln(3)+1≈−1.2
−2 ln(3−x )+ 1=0 20
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−2 ln(3−x )=−1 ln(3−x)=1/2 e ln(3−x) =e 1/ 2 3−x≈1.65 x≈3−1.65=1.35 Punto de interés: 3−x=e cuando x=0.28 y y=−2+1=−1
EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Encuentre la asíntota vertical, interceptos, dominio y rango de la función dada y grafíquela. 1.
y=log2 (x+ 2)
8.
y=2+ log2/ 3 (4 x −5)
2.
y=log1/ 2 ( x+1)−3
9.
y=(1/ 2)ln (x+ 4)+2
3.
y=log(−x +1)+2
10.
y=log2 (1−2 x)−3
4.
y=log4 (x +1)−4
11.
y=ln(−x+1)+2
5.
y=ln( x−1)−2
12.
y=log2 (−x )+ 2
6.
y=3−log2 ( x +3)
13.
y=log 1/ 2 (−2 x +1)+3
7.
y=log1/ 2 (2 x +1)−3
14.
y=log 2/ 3 (3 x−2)+1
21