Matrices

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS, ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DE METODOS CUANTITATIVOS METODOS CUANTITATIVOS II

MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de nĂşmeros en filas y columnas, sin espacios vacios. Este arreglo de nĂşmeros usualmente se coloca entre corchetes o entre parĂŠntesis. Se les nombra utilizando letras mayĂşsculas. Ejemplos:

2 1 3 4 0 5

7

12

3 5

6 2 13 4 5 11

1

9 14

4

Las filas (o renglones) de una matriz se numeran de arriba hacia abajo, y las columnas de izquierda a derecha. La matriz A tiene dos filas y tres columnas; la matriz B tiene dos filas y dos columnas; la matriz C tiene tres filas y dos columnas; la matriz D tiene una sola fila y tres columnas; y la matriz E tiene una fila y una columna.

Los números en una matriz son sus elementos y se identifican por su posición (número de renglón y número de columna). Generalmente se les nombra usando la misma letra del nombre de la matriz, pero en minús-cula, con un sub-índice que indica la posición. Así, para la matriz A en el ejemplo anterior, es 2, es ‒1, es 3, es ‒4, es 0, es 5.

Idealmente, el estar ubicado en un determinado renglĂłn o en una determinada columna tiene un significa-do. Los elementos de dos matrices de las mismas dimensiĂłnes se dicen correspondientes si estĂĄn en la misma posiciĂłn en sus respectivas matrices. Ejemplo:

7

12

3 5

2 9 3 4

7 y 2 son elementos correspondientes

3 y 9 son elementos correspondientes 12 y 3 son elementos correspondientes 5 y 4 son elementos correspondientes

En el mundo de las matrices, los nĂşmeros que no son elementos de una matriz, sino que se encuen-tran sueltos, como todos los nĂşmeros con los que hemos trabajado antes, reciben el nombre de escalares. Ejemplo: 2, 7, -4, ½ , ž, √3 son escalares.

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Ana MarĂ­a GirĂłn

La dimensiĂłn o tamaĂąo de una matriz se expresa como (el nĂşmero de renglones) Ă— (el nĂşmero de columnas), sin hacer la multiplicaciĂłn, tal como cuando decimos que una habitaciĂłn es de 3Ă—5. Si una matriz tiene n renglones y m columnas, decimos que es de dimensiĂłn n Ă— m. En los ejemplos anterio-res, la dimensiĂłn de A es 2 x 3, la de B es 2 x 2, la de C es 3 x 2, la de D es 1 x 3 y la de E es 1 x 1. Algunos tipos de matrices tienen nombres especiales por sus dimensiĂłnes: 1. Matriz-renglĂłn: es una matriz compuesta por un solo renglĂłn. DimensiĂłn: 1 x m Ejemplo: 1 9 14 es una matriz renglĂłn de dimensiĂłn 1 x 3

8 5

Ejemplo: es una matriz columna de dimensiĂłn 2 x 1

2. Matriz-columna: es una matriz con una sola columna. DimensiĂłn: n x 1

3. Matriz cuadrada: es una matriz con el mismo nĂşmero de renglones que de columnas. DimensiĂłn: n x n. Tambien suele decirse solamente que la matriz es cuadrada de orden n. Ejemplo:

7 3 es una matriz cuadrada de orden 2 12 5

En una matriz cuadrada, se llama diagonal principal la que va de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha. Los elementos de la diagonal principal estan en el primer renglĂłn, primera columna; segundo renglĂłn, segunda columna; etc. Otras matrices tienen nombres especiales por sus elementos: 4. Matriz Nula: es cualquier matriz cuyos elementos son todos ceros. Suelen representarse con la letra O.

0 0 0 , 0 Ejemplo: 0 0 0

0 0 0 0 son matrices nulas. 0 , 0 0 0 0

5. Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no estĂĄn en la diagonal principal son ceros. Ejemplos:

2 0

0 3

6 0 0 ! 0 4 0 0 0 11

6. Matriz identidad: es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son unos. Se representa por la letra I. Ejemplos:

1 0 0 1

1 0 0 1 0 0

0 0 son matrices identidad 1

7. Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son ceros.

60

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2 1 0 5

Ejemplos:

1 7 0 4 0 0

Ana MarĂ­a GirĂłn

9 3 2

8. Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos encima de la diagonal principal son ceros.

6 0 2 3

Ejemplos:

5 0 0 3 1 0 8 2 7

La transpuesta de una matriz A de dimensiĂłn n x m, es la matriz de dimensiĂłn m x n en la que las filas de A se convirtieron en las columnas de esta matriz. Se representa por AT. Ejemplos:

6 2 13 4 5 11 2 4 7

6 13 " 2 4

9 3 5 1 6 8

Propiedad de la Transpuesta: (A T ) T =A

2 " 9 3

Dos matrices A y B son iguales (A = B) si y solo si (1) tienen la misma dimensiĂłn, y (2) los elementos correspondientes son iguales. Ejemplos:

pero

#

7 5 12

+

3 5

1 4 7 5

2 8

2 $ % 3Ă—4

√9

4 7 5 6 1 8

( )*

5 11

son iguales,

2 1 , 5 7 4 8

no son iguales,

porque aunque tengan los mismos elementos no tienen la misma dimensiĂłn.

EJERCICIOS DE PRĂ CTICA: Para los siguientes ejercicios, utilice las matrices:

2 1 1 1 2 5

0 3 4 2 3 1

1 6

4 8 2 7

2 0

1 3 2 5

1 3 61

5 2 6 6

1 3 11

- 15

4 7 0 2 3 12 4 1 5

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Ana MarĂ­a GirĂłn

1. Determine la dimensiĂłn de cada matriz. A:__________ B:__________

C:___________

D:__________

E:__________ F: ___________

G:___________

H:___________

2. Escriba el elemento que se le pide:

_________

/ __________

__________

0 __________

3. Escriba la transpuesta de cada matriz.

. __________ __________

/ __________ 0 __________

CONSTRUCCION DE MATRICES Para fines teĂłricos, una matriz puede construirse dada la descripciĂłn del tipo de matriz y alguna regla para calcular el valor de cada elemento de la misma. Ejemplos: (1) Construya una matriz A de 2x2 en la que 12 3 + 25 3

Si A es una matriz 2x2 lucirĂĄ asĂ­

1 + 2617 3 1 + 2 3 0 1 + 2627 3 1 + 4 3 2 2 + 2617 3 2 + 2 3 1

. Donde

0 2 1 3

2 + 2627 3 2 + 4 3 3

(2) Construya una matriz triangular superior de 3x3, con 2´s en la diagonal y los demås elementos no nulos son 12 53 25

2

0 0

2 0

2

5617 2627 5 4 1 5617 2637 5 6 1 5627 + 2637 10 6 4

2

0 0

1 1 2 4 0 2

Para fines pråcticos una matriz se construye como una tabla de dos entradas sin los rótulos. Por ejemplo, los datos en la siguiente tabla pueden almacenarse como matrices en un sistema de cómputo para poder hacer calculos con ellos. Ejemplos: (1) Una compaùía produce dos clases de alimento para animales, A y B, que contienen dos suplementos alimenticios. Para hacer una docena de latas del alimento A se necesitan 2 lb del primer suplemento y 1 lb del segundo. Para hacer una docena de latas de alimento B se necesitan 4 lb del primer suplemento y 5 lb del segundo. Organice los datos en una matriz,

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Alimento A Alimento B

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Suplemento 1 (lb) 2 4

Ana María Girón

Suplemento 2 (lb) 1 5

(2) Una compañía produce dos clases de acero. El Tipo I require 2 horas de derretido, 4 horas de corte y 10 horas de laminado, por tonelada. El pipo 2 requiere 5 horas de derretido, 1 hora de corte y 5 horas de laminado, por tonelada. Organice los datos en una matriz. Tipo I Tipo II

Derretido 2 horas 5 horas

Corte 4 horas 1 hora

2 5

Laminado 10 horas 5 horas

4 10 1 5

EJERCICIOS DE PRÁCTICA: Construcción de matrices: 1. Construya una matriz A de 3x3 cuyos elementos satisfagan lo siguiente: a ij = 2i + 2j 2. Construya una matriz B de 4x4 que satisfaga lo siguiente: b ij = 3ij 3. Construya una matriz C de 2x5 que satisfaga lo siguiente: c ij = j-i 4. Construya una matriz columna D, de 5 elementos, que satisfaga lo siguiente: d ij = 2i-3j 5. Construya una matriz E de 5x2 que satisfaga lo siguiente: e ij = |i-2j| 6. Construya una matriz F de 2x3 que satisfaga lo siguiente: f ij = i+2j-1 7. Construya una matriz G de 4x4 que satisfaga lo siguiente: g ij = i+j si i≠j y 0 si i=j 8. Construya una matriz H, triangular inferior de orden 3, donde h ij =i+j para los elementos que no se requiere que sean ceros. 9. Construya una matriz P, diagonal de 16 elementos, donde p ij =2i+3j para los elementos que no se requiere que sean ceros. 10. Construya una matriz llamada A de orden 3x2 en la cual

ECUACIONES MATRICIALES En este momento entenderemos por ecuación matricial una igualdad de matrices en las que se desconoce el valor de algunos elementos, que se representan con variables. Se pueden usar las operaciones y la igualdad de matrices para resolver ecuaciones matriciales, conviertiéndolas en una serie de ecuaciones con números reales. Ejemplo: Resolver 8 2x = -6 x = -3

29 8 6 ; 10 3: 5< -5z = -10 z=2

8 9

3y = 9 y=3

63

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Ana MarĂ­a GirĂłn

EJERCICIOS DE PRĂ CTICA: Encuentre los valores de cada variable en las matrices siguientes:

29 <

1.

3. 8

: 4 0 3=

39 4 2< 4

5. 29 + 3

0

6 7

2> + 3 3 5 ; 3: + 4 2? + 6 4 2 : =

1 4 2 3< 6 7 0 5 8

1 9 8

1 ? 9 + 7 12

29 <

2.

4. 8

: 1 4 0 7 6

29 3 12 5 ; 0 2: 6 0

6.

12 16

29 + 3 0 11 ? : = 5 10 12 8 3< 8

OPERACIONES CON MATRICES Suma y Resta de Matrices La suma y la resta de matrices solo estan definidas entre matrices de la misma dimensión. Sean A y B dos matrices, ambas de dimensión n x m. La suma A + B es una matriz de dimensión n x m en la que cada elemento es la suma de los elementos correspondientes de A y B. Es decir, si C = A + B, entonces cij = aij + bij Sean A y B dos matrices, ambas de dimensión n x m. La diferencia A – B es una matriz de dimensión n x m en la que cada elemento es la diferencia de los elementos correspondientes de A y B. Es decir, si C = A ‒ B, entonces cij = aij ‒ bij Ejemplo:

2 3

Sean

4 2 7 5 0 y 6 1 3 1 1 + 8

8

2+4 5+2 3 + 6 1 + 6 17

0+7 6 7 ; 1 + 3 9 0

2 4 5 2 0 7 2 3 ; 3 6 1 6 17 1 3 3 2

Propiedades de la suma de matrices: (1) Conmutativa: A + B = B + A (2) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) (3) Elemento Neutro: A + O = O + A = A (4) Transpuesta de una Suma: (A+B) T = A T + B T

7 2

7 4

MultiplicaciĂłn por un escalar

Sea A una matriz de dimensiĂłn n x m, y Îą un escalar. El producto ÎąA es una matriz de dimensiĂłn n x m en la que cada elemento es el resultado de multiplicar el elemento correspondiente de A por Îą. 64

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1 3+ 3 ∙ 7

4 2 3∙1 5 8 3∙7

Ana María Girón

3∙4 3∙5

3∙2 3 3∙8 21

12 6 15 24

Propiedades de la multiplicación por un escalar: (1) Conmutativa: αA = Aα (2) Asociativa: α(βA) = (αβ)A (3) Distributiva: α(A+B) = αA + αB (4) Distributiva: (α+β)A = αA + βA (5) Transpuesta: (kA) T = k A T

EJERCICIOS DE PRACTICA:

I. Realice las operaciones indicadas, si es possible. Si no lo es, diga la razón. 1 1. 3

7 12

3.

15

2 0 1 + 1 2 1

1 4 3 4 + 5 2 3 10 4

2 5

3 2 2. % 1 13

13 4

6.

7.

8.

6

4

7 6

9. 4

11 2.5 3 44

215 128

3 2 1 5

3 11. 6 1 0

10.

2 2 1 2 5 3 2 4 3 2

II. Dadas las matrices 1. 3

4. 36 7 +

17 2 3 6 + 5 8 11 14 4 11

4. 21

5. 7 11

2 1 3 3

7 11 4 5 8 17 19 14 125 46 640 45

8 22 10

12. 2

1 0 1 1* + 2 2 4 1

6 5 2 3

2 0 2 1 + 3 1 2 1 2

2. 2 6 7

5. 2 + 4 "

65

14 12 4

59 32

1 8

3 5 4 6

2 1 encuentre: 3 3

3. 26 2 7

6. 62 + 4 7"

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III. Dadas las matrices

1 4 3

2 2 1

1. 3 " +

2 1 5 3

4. 6 2 " 7"

2. " 4

0 3 2 2

5. 2 " 3 "

Ana MarĂ­a GirĂłn

7 7

2 2 determine: 0 5

3. 6 7"

6. 2 + 4 "

MultiplicaciĂłn de Matrices Dos matrices, A y B, se pueden multiplicar siempre y cuando el nĂşmero de renglones de B sea igual al nĂşmero de columnas de A. La matriz resultante tiene el mismo nĂşmero de renglones que A y el nĂşmero de columnas de B. A x B = C mxk kxn mxn Cada elemento cij de la multiplicaciĂłn de matrices se obtiene al sumar los productos de los elemen-tos del renglĂłn i de la matriz A por los elementos de la columna j de la matriz B. Es decir, para obtener c11 se multiplica cada elemento del primer renglĂłn de A por un elemento de la primera columna de B y se suman estos productos; para obtener c12 se multiplica cada elemento del primer renglĂłn de A por un elemento de la segunda columna de B y se suman estos productos; para obtener c21 se multiplica cada elemento del segundo renglĂłn de A por un elemento de la pri-mera columna de B y se suman estos productos; para obtener c22 se multiplica cada elemento del segundo renglĂłn de A por un elemento de la segunda columna de B y se suman estos productos; etc. Esto se ilustra para una matriz A de 2Ă—3 y una matriz B de 3Ă—2:

8 /

B

C . ; %E F

D ∙C+ ∙E+.∙F >* 8 /∙C+B∙E+ ∙F G

∙D+ ∙>+.∙G ; /∙D+B∙>+ ∙G

El proceso de multiplicaciĂłn puede tal vez entenderse mejor por medio de ejemplos: Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

1 2 5 3 4 6

1 3 5

10 9

2 10 4 8 6

1 ∙ 10 + 2 ∙ 8 1 ∙ 9 + 2 ∙ 7 26 9 3 ∙ 10 + 4 ∙ 8 3 ∙ 9 + 4 ∙ 7 62 7 5 ∙ 10 + 6 ∙ 8 5 ∙ 9 + 6 ∙ 7 98

2 10 ∙ 2 + 8 ∙ 3 + 6 ∙ 4 8 6 68 3 9∙2+7∙3+5∙4 7 5 59 4

23 55 87

1 ∙ 5 + 2 ∙ 6 1 ∙ 7 + 2 ∙ 8 1 ∙ 9 + 2 ∙ 10 17 23 7 9 39 53 3 ∙ 5 + 4 ∙ 6 3 ∙ 7 + 4 ∙ 8 3 ∙ 9 + 4 ∙ 10 8 10 66

29 67

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3 4 5 6 2 4 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 6 ∙ 1 28 1

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

8 7 Ejemplo 6: 6 4 2 1

1 3

2 8 6 1∙8+2∙5 4 5 4 3∙8+4∙5

1∙6+2∙4 18 44 3∙6+4∙4

14 34

8 ∙ 0.5 + 7 ∙ 2 + 5 ∙ 3 8 ∙ 1 + 7 ∙ 4 + 5 ∙ 5 33 5 0.5 1 3 2 4 6 ∙ 0.5 + 4 ∙ 2 + 3 ∙ 3 6 ∙ 1 + 4 ∙ 4 + 3 ∙ 5 20 2 ∙ 0.5 + 1 ∙ 2 + 0 ∙ 3 2 ∙ 1 + 2 ∙ 4 + 0 ∙ 5 3 0 3 5

La multiplicaciĂłn de matrices estĂĄ siempre definida entre matrices cuadradas del mismo orden.

61 37 10

Propiedades de la multiplicaciĂłn de matrices: (1) Asociativa: A(BC) = (AB)C (2) Distributiva: A(B+C) = AB + AC (3) Distributiva: (A+B)C = AC + BC (4) Elemento Neutro: AI = IA = A (5) Transpuesta: (AB) T = B T A T La multiplicaciĂłn de matrices NO es conmutativa. Muchas veces, debido a las dimensiĂłnes de las matrices, el hecho de que el producto AB estĂŠ definido no significa que el producto BA lo estĂŠ. Y aĂşn

cuando se puedan hacer ambas operaciones, los resultados no son iguales. Ejemplo:

2 3 1 1

y

2 1 1 4

8

8

26 27 + 3617 2617 + 3647 1 14 ; 16 27 + 6 17617 1617 + 6 17647 3 3

2627 + 1617 2637 + 16 17 3 7 ; 1627 + 4617 1637 + 46 17 6 1

ExcelÂŽ y Open Office tienen una funciĂłn especial para multiplicar matrices: MMULT. No puede usarla para ejercicios de este curso pero podrĂ­a usarla, si la tiene disponible, para revisar su trabajo. La funciĂłn requiere que usted sepa el tamaĂąo de la matriz resultante.

EJERCICIOS DE PRĂ CTICA: I. Encuentre AB y BA para las siguientes matrices:

3

2 2 0 4

1. 1

1 2 0 2 3 1

2 1 1 3

2.

67

2 1

4 2

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II. Encuentre el producto, si estĂĄ definido. Si no lo estĂĄ, diga por quĂŠ.

1 1 5 2 3 3 6 3 2

1. 0

1 4. 2

4 4

7.

2 1 2 1 3 1

2 5 6 6 1 4

1 2 2 3

10.

4 0 1 1 3

2. 4

3 5. 4

3 5 6 11 8

2 2 8 12 0 4

1 2 3 1 1 3 2 1 4 5

1 2 2 1 1 8. 4 2 0 5 0 3 1 11. 1

3

3. 1

7 6. 3

2

0 3 11 4 2 1 1 3 1 4

2 1 2 3

2 2 5 1 4

9. 1

3 6 8

1 2 0 2 1 0 2 + 2 I 3 3 1 1 1 1 2 5

1 1 1 1 2 3 0 3. 5 2 0 3 0 3 1 4 1 2 4

5.

2 4 6

2.

4.

4 1 6 61 0 2 54 1 2 1

8 1 6 0

12.

III. Operaciones combinadas. Encuentre el resultado de las operaciones: 1. 3 H

2 2 2 8 0 5 1

4

0 1

1 1 1 2 2 3 0 0 3 0 3 1 4 1 3 2

0 2 0

6. 1

0 1 " 1 1 0 0 0 2 0

1 0 1 1 1 0

2 2 6 2 3 3 4

Ecuaciones Matriciales que involucran Operaciones con Matrices Algunas ecuaciones matriciales requieren realizar operaciones con matrices antes de obtener una igualdad de dos matrices para poder obtener las ecuaciones a resolver. Ejemplo:

28

8 29 2 1

y

9 2

29 4 8

3 1 3 1 12 ; 2 : 2 3 0 3

6 2 6 1 ;+ 2: 4 6 0

12 3

29 2 12 1 12 ; 0 2: 6 0 3

2y 6 3

y por lo tanto, x

68

y

y L

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EJERCICIOS DE PRACTICA: I. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales: 2 (1) 3 39 + 1 3+:

9+2 (2) 2 % N

49 (3) 3 % 1

(4)

4 1

9 (5) 3 0 1 (6)

1 2? 3= 2 4 2< 1

: 1 3?

6 1

2 2 1 1

0 2

9+2 : 2 2 1 0.5= 1 3?

3< 2 1 0

0 2

6

6 1

3< 4 *+ 0 1

9+2 : 2 N * 4 % 1 1 3?

1 1 2 2 3 + 2 < : 2 G

9+1 4 1

> 1 2 5 5 2 16

2 1 :

> 1 2

3 3 < + 2 + 2 1 2 4

(3)

9 0 0

9 1 O6 1

2 : 3

1 2 1 2 3 4 7 < 1

3 1

3< 2 * 0 1

= 4 0 1 4 ? 1

0 2

3 1

1 2G 9+7

1 2 6 2 3 ? + 1 1 0 7

II. Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales: (1)

1 1 2

(2)

0 2 3 2 3: 1 4 3 < 1 P Q 4 R + 2 1 2 2 1 = 1 1

9 0 3

2 : 2

3 3 ? 2? + : 12

G+2 7 5 7 0 =

1 1 8 5 2 11 4 < 3

6 40 3 4 " Q 8 R 26

REDUCCION DE MATRICES Una matriz reducida o escalonada tiene las siguientes caracterĂ­sticas: (1) Si un renglĂłn consta exclusivamente de ceros, debe estar en la parte inferior de la matriz. (2) Si un renglĂłn no consta exclusivamente de ceros, el primer elemento distinto de cero debe ser uno.

69

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(3) Para cualquier par de renglones consecutivos, el primer elemento distinto de cero del pri-mero de los dos debe estar a la izquierda del primer elemento distinto de cero del siguiente. Ejemplos:

1 0 0

2 3 1 1 47 0 1 2

1

0 0

1 0 0

2 5 1 3 0 0

0 0 4 0 1 2 0 0 1

1 6 2

Se llaman operaciones elementales con los renglones de una matriz las siguientes: 1.

Intercambiar dos renglones de la matriz:

↔

S

3 2 3 12 1 4 7 0 11 4 1 5

↔

U

1 0 4 7 â&#x;š 3 2 3 12 11 4 1 5

2. Multiplicar todos los elementos de una lĂ­nea por un escalar distinto de cero: W

3.

→

1 0 4 7 0 2 15 9 11 4 1 5

( Y (L

Sumar un mĂşltiplo de una lĂ­nea a otra lĂ­nea: W resultado

→

3

1 0 4 7 3 2 3 12 11 4 1 5

1

7.5

4.5 U

+

Z

1 â&#x;š 0 11

S

0 4 7 1 7.5 4.5 4 1 5

y reemplazar la segunda por este

3 3617 0 2 3607 2 3 3647 15 12 3677 9

1 0 4 7 â&#x;š 0 2 15 9 11 4 1 5

Utilizamos operaciones elementales para convertir una matriz cualquiera en una matriz escalonada. El objetivo de la reducciĂłn de matrices no es realizar operaciones especĂ­ficas en los renglones de las matrices. El objetivo es convertir la matriz en una matriz reducida. Las Ăşnicas operaciones permitidas son las operaciones elementales entre filas descritas anteriormente. No siempre hay que usar todas ellas. No todas las matrices requieren la misma cantidad de trabajo para ser reducidas. Esto depende del tamaĂąo de la matriz y de los elementos particulares de esa matriz. No todos hacen exactamente las mismas operaciones en una matriz dada y por eso no necesariamente todos tendremos la misma matriz al final del ejercicio. Pero todos tendremos una matriz reducida que es equivalente a la original. En el proceso que seguimos en el curso, lo primero que se trata de hacer es hacer que elemento de la primera fila, primera columna sea 1. Si ya es 1 desde el principio, no tenemos que hacer nada para conseguirlo. Si no es 1, hay dos maneras de lograrlo: (1) dividir todo el renglĂłn entre el nĂşmero que estĂĄ en esa posiciĂłn, o (2) si hubiera otro renglĂłn que tuviera 1 en la primera posiciĂłn, inter-cambiar los dos renglones.

70

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH 2 0 3

Ejemplo 1:

3 1 0

2 2 3

Ana MarĂ­a GirĂłn 6 1 6

Como a11 no es 1 y ninguno de los elementos de la primera columna es 1, lo Ăşnico que podemos hacer es dividir todo el renglĂłn entre 2, el valor de a11 1 0 3

3/2 1 1 2 0 3

3 1 6

1 0 3

Ăł

1.5 1 1 2 0 3

3 1 6

Podemos escribir los resultados como decimales porque todos terminan, no son periĂłdicos. De otro modo, solo tendrĂ­amos la opciĂłn de escribirlos como fracciones. No mezclamos fracciones y decimales en un solo ejercicio. El segundo paso consiste en hacer que los elementos de la primera columna, que estĂĄn debajo del 1 que conseguimos, sean ceros. En esta matriz en particular, el elemento en el segundo renglĂłn ya es cero, asĂ­ que solo tenemos que trabajar con el elemento del tercer renglĂłn. Queremos convertir ese 3 en 0. No podemos multiplicarlo por cero, asi que otra manera de hacerlo serĂ­a sumarle -3. Pero no es permitido sumar ni restar una constante a un elemento, ni a todo un renglĂłn. AsĂ­ que tenemos que seguir un camino mĂĄs largo: Multiplicamos cada elemento del primer renglĂłn por -3 y lo sumamos a su elemento correspondiente en el tercer renglĂłn. Esto funciona bien porque ya el primer elemento del primer renglĂłn es 1 y al multiplicarlo por -3 obtenemos -3. R3: −3R1:

3 −3 0

0 −4.5 −4.5

−3 −3 −6

6 −9 −3

Este paso solo afecta al tercer renglĂłn de la matriz anterior: 1 0 0

1.5 1 4.5

1 2 6

3 1 3

Ya la primera columna estĂĄ como la queremos. Ahora pasamos a trabajar la segunda columna. Queremos que a22 sea 1. Como ya lo es, solo continuamos. Ahora, queremos hacer que los elementos de la segunda columna, que estĂĄn debajo de ese 1 sean ceros. Como lo que tenemos en a32 es -4.5 querrĂ­amos sumarle 4.5 para que nos diera 0. Esta vez trabajamos con el renglĂłn que ya tiene 0 en la primera columna y 1 en la segunda, el segundo renglĂłn. Si quisieramos hacer el trabajo usando el renglĂłn 1, retrocederĂ­amos a una matriz con un nĂşmero distinto de cero en a31 R3: 4.5R2:

0 0 0

−4.5 4.5 0

−6 9 3

−3 4.5 1.5

71

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH

Ana MarĂ­a GirĂłn

1 0 0

1.5 1 0

1 2 3

3 1 1.5

1 0 0

1.5 1 0

1 2 1

3 1 0.5

Ya solo queda convertir en 1 el primer elemento distinto de cero en el tercer renglĂłn. ÂżCĂłmo lo logramos? Dividiendo todo el renglĂłn entre 3.

Esta es ya una matriz reducida.

Ejemplo 2: AquĂ­ utilizaremos la notaciĂłn abreviada para indicar quĂŠ operaciĂłn haremos en cada paso.

R2: −3R1:

â&#x;ˇ

3 −3 0

â&#x;ˇ

2 3 5

1 3 4 2 4 11 3 5 1

2 4 11 1.5 −4.5 −6 3.5 −0.5 5

1 0 0

3 2 5

â&#x;ś â&#x;ś

4 11 3 4 5 1

→

3 5

R3: −5R1:

0 0 0

2 11 5

â&#x;ś

3.5 −3.5 0

3.5

−0.5 −17.5 −18

72

2 1 0.5 1.5 3 2 4 11 5 3 5 1

5 −3 −5 2.5 0 −0.5

2 1 0.5 1.5 0 5 3.5 0.5 0 0.5 2.5 11

0.5 1.5 0.5 2.5 3.5 0.5 R3: −3.5R2:

2 1 3

â&#x;ś 2

5 −77 −72

5 −7.5 −2.5

1 0 0

−1 −10 −11

0.5 1.5 1 5 3.5 0.5

2 22 5

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH

1 0.5 0 1 0 0

2 22 72

1.5 5 18

â&#x;ś

Ana MarĂ­a GirĂłn

^

1 0.5 1.5 0 1 5 0 0 1

2 22 4

Existe mĂĄs de una forma escalonada para la matriz, que depende de las operaciones elementales que decidimos efectuar, especialmente aquellas que tienen que ver con intercambiar renglones. En este ejemplo, se intercambiaron los renglones 1 y 2 al principio para no tener que dividir entre 3 pero si se escriben los resultados como fracciones esto no tendrĂ­a importancia. Ejemplo 3:

2

Convertir 0

â&#x;ś

3

3 2 1 2 0 3

â&#x;ś

1 0 3

_

6 1 6

10 2 a una forma escalonada. 9

1.5 1 1 2 0 3

1 0 0

1.5 1 0

1 2 1

3 1 6

5 2 9

3 1 0.5

5 2 1

â&#x;ś

3

1 0 0

1.5 1 1 2 0 6

3 5 1 2 3 6

Al trabajar reduciendo una matriz, no tema deshacer algĂşn paso que le estĂŠ dando resultados incĂłmodos y probar otra ruta. El proceso de reducciĂłn de matrices, por ser sistemĂĄtico, se presta mucho para programarlo en computadora, pero las hojas electrĂłnicas no tienen funciones ni plug-ins ya incorporadas para hacerlo.

EJERCICIOS DE PRĂ CTICA: Reducir las siguientes matrices a forma escalonada:

2 0 3 1. 1 4 2 1 3 1 2 0 5. 1 4 1 3 2 9. Q 1 1 3

3 2 1

1 2 4

0 4 2 2 R 1 2 1 1

1 2. Q 3 11 2 0 6. 1

1 10. 2 1

0 2 1 3

2 0 2 0

1 3 1 4 1 1

3 11R 4 3

4 7 2 73

2 3 3. Q1 6R 4 8 1 7 0 7. 1 4 1 11. Q3 1 2

3 0 1

0 2 1 3

1 4. Q2 5 2

1 8. 2

3 1 11 1R 4 1 3 8

2 2 1 0

2 4

3 1R 4 3

3 0 6 1

12.

1 3 4 0

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH

Ana MarĂ­a GirĂłn

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones en varias variables que tienen una soluciĂłn en comĂşn. En cursos anteriores ya han estudiado mĂŠtodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables y de tres ecuaciones con tres variables. Ahora estudiaremos cĂłmo resolverlos por medio de matrices. Ejemplos:

9 + : + 2< 9 29 + 4: 3< 1 39 + 6: 5< 0

49 + 5: 335 99 + 14: 850

Primero creamos una matriz de coeficientes asociada al sistema, en la que los elementos de cada renglĂłn de la matriz provienen de una ecuaciĂłn y los elementos de cada columna son los coeficientes de una misma variable, asĂ­:

1 1 2 4 3 6

4 5 9 14

2 3 5

NOTA: Cada ecuación del sistema debe escribirse de la forma Ax + By + ‌= C antes de crear las matrices de coeficientes.

SoluciĂłn de Sistemas de Ecuaciones por medio de ReducciĂłn de Matrices METODO DE GAUSS Para utilizar este mĂŠtodo en particular, creamos una matriz aumentada, agregando a la matriz de coeficientes una columna extra con los terminos constantes, asi:

1 1 2 4 3 6

4 5 â‹Ž 335 9 14â‹Ž 850

2â‹Ž 9 3â‹Ž 1 5â‹Ž 0

El sistema que se obtiene al reducir esta matriz a su forma escalonada es equivalente al sistema original (tiene la misma soluciĂłn). Trabajemos el primer sistema:

4 5 â‹Ž 335 9 14â‹Ž 850

â&#x;ś

9

â&#x;ś .bY

â&#x;śa

74

1 1.25â‹Ž 83.75 9 14 â‹Ž 850

1 1.25â‹Ž83.75 0 1 â‹Ž 35

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH

Ana MarĂ­a GirĂłn

Esta matriz escalonada representa el sistema 9 + 1.25: 83.75 : 35

De modo que ya tenemos el valor de y. Sustituyendolo en la primera ecuaciĂłn se puede encontrar el valor de x:

9 + 1.256357 83.75 9 + 43.75 83.75 9 83.75 43.75 40

La soluciĂłn del sistema es: 9 40

: 35

Para comprobar los resultados se sustituyen los valores de x y y en las dos ecuaciones originales:

49 + 5: 335 46407 + 56357 160 + 175 335

99 + 14: 850 96407 + 146357 360 + 490 850

Trabajemos ahora el segundo sistema: 1 1 2 â‹Ž9 2 4 3â‹Ž1 3 6 5â‹Ž0

1 1 2 â‹Ž 9 0 2 7 â‹Ž 17 0 3 11â‹Ž 27

â&#x;ś

â&#x;ś 2

3

â&#x;ś â&#x;ś

2 3

â&#x;ś

1 1 2 â‹Ž 9 0 1 3.5â‹Ž 8.5 0 0 1 â‹Ž 3

Esta matriz escalonada representa el sistema 9 + : + 2< 9 : 3.5< 8.5 < 3

1 1 2 â‹Ž 9 0 1 3.5â‹Ž 8.5 0 3 11 â‹Ž 27

75

Métodos Cuantitativos II

UNAH

Ana María Girón

Ya tenemos el valor de z. Sustituyendolo en la segunda ecuación tenemos: : 3.5637 8.5 : 10.5 8.5 : 8.5 + 10.5 2 : 2 Y sustituyendo ambos en la primera ecuación: 9 + 2 + 2637 9 9+8 9 9 9 8 1

De modo que la solución del sistema es 9 1

: 2

< 3

Para comprobar los resultados se sustituyen los valores de x, y y z en las tres ecuaciones originales:

9 + : + 2< 9 1 + 2 + 2637 3+6 9

29 + 4: 3< 1 2617 + 4627 3637 2+8 9 1

39 + 6: 5< 0 3617 + 6627 5637 3 + 12 15 0

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por medio de reducción de matrices. 1.

4.

7.

29 + 3: 5 9 2: 1 9+: 0 39 4: 0

29 3: + < 1 9 + 2: + < 1 39 : + 3< 4

39 2: + 4< 3 49 + 3: 9 10. 29 + 4: + < 0

2.

5.

39 + : 4 129 + 4: 2 9 + 3: 4 9 1

9+:+< 4 8. 9 2: < 1 29 : 2< 1

29 + 3: + 2< 2 39 + < 16 11. 9 4: 11

3.

6.

: 9+4 9 + 2 :

9 : 3 29 2: 2

29 + 3: + < 4 9. 29 + : < 0 39 + : 2< 3

9 + : < 3 9+< 2 12. 29 : + 2< 3

METODO DE GAUSS-JORDAN Este método es una extensión de método anterior. Se reduce la matriz, como en el método anterior, pero cuando la matriz ya está reducida, en lugar de escribir las ecuaciones para obtener los resultados, se continúa trabajando la matriz, esta vez de abajo para arriba, hasta que lo que fuera la matriz de coeficientes se transforme en la matriz identidad I.

76

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH

Ana MarĂ­a GirĂłn

49 + 5: 335 99 + 14: 850

Trabajemos de nuevo el sistema

Empezamos haciendo el mismo procedimiento que en el mĂŠtodo de Gauss:

4 5 â‹Ž 335 9 14â‹Ž 850

â&#x;ś

â&#x;ś

a

.bY

1 1.25â‹Ž 83.75 9 14 â‹Ž 850

â&#x;ś

9

1 1.25â‹Ž 83.75 0 2.75â‹Ž 96.25 1 1.25â‹Ž 0 1 â‹Ž

83.75 35

AquĂ­, en lugar de reescribir las ecuaciones, seguimos trabajando la matriz:

→

1.25

1 0

0â‹Ž 40 1â‹Ž 35

La soluciĂłn del sistema se encuentra ya en la Ăşltima columna de esta matriz. La soluciĂłn del sistema es: 9 40 : 35 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9 + : + 2< 9 Trabajemos de nuevo el sistema 29 + 4: 3< 1 39 + 6: 5< 0

Utilizando los pasos del mĂŠtodo de Gauss llegamos a la matriz

→ →

1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0

+ 3.5 2

0â‹Ž3 0â‹Ž2 1â‹Ž3

→

2 â‹Ž 9 3.5â‹Ž 8.5 1 â‹Ž 3

Como podrĂĄ verse, la soluciĂłn del sistema se encuentra ya en la Ăşltima columna. La soluciĂłn del sistema es 9 1 : 2 < 3

77

Métodos Cuantitativos II

UNAH

Ana María Girón

EJERCICIOS DE PRÁCTICA Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por medio de reducción de matrices. 1.

4.

7.

29 + 3: 5 9 2: 1

29 3: 12 9 + 4: 5

59 3: < 1 9 + 4: 6< 1 29 + 3: + 4< 9

9 6 : + < 10. 39 2: + < 5 3: 2< 9 + 14

2.

5.

39 + : 4 129 + 4: 2

9 3: 11 49 + 3: 9

9+: < 6 8. 39 2: + < 5 9 + 3: 2< 14

9 + 2< 1 11. 9 + 2: + 3< 2 9 : 3

78

3.

6.

9+: 0 39 4: 0

9 0.5: + 1 0 29 : + 6 0 9+:+< 2

9. 39 + 2: <

39 + : + 2<

b

)

59 + 4: + 2< 23 12. 9 2< 7 59 + 2< 1

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH

Ana MarĂ­a GirĂłn

LA INVERSA DE UNA MATRIZ La inversa de una matriz cuadrada A de orden n es otra matriz cuadrada A-1 del mismo orden tal que

∙ ( ( ∙ c

Ejemplo:

1 3 1 Las matrices y Q 4 2 2 3 4

1

2

1 1 2 2 (

3 4

(

Q

( R

son inversas la una de la otra, porque

3617 + 16 27

4617 + 26 27

3H I +1H I (

(

4H I +2H I

1637 + H I 647 1 Q 2 2637 + H I 647

R %

3 2 4 4

1617 + H I 627

(

(

1 + * 0 2 + 3 (

3 2 R 6 +6 2617 + H I 627

0 1

1 1 1 2 + 3 0

y

0 1

Propiedades: 1. 6 ( 7( 2. 6 7( ( ( 3. 6 " 7( 6 ( 7"

Nota: (1) Solo las matrices cuadradas tienen inversas. (2) No todas las matrices cuadradas tienen inversas.

Hay varios mĂŠtodos para encontrar la inversa de una matriz. En este curso usaremos un mĂŠtodo de reducciĂłn. Se crea una matriz aumentada agregando a la derecha de la matriz que queremos invertir la identidad del mismo orden. Se realizan operaciones elementales con los renglones de esta matriz aumentada, de modo similar al mĂŠtodo de Gauss-Jordan, para convertir la matriz de la izquierda en la identidad. Una vez logrado esto, la matriz de la derecha es la inversa que buscamos. d âˆś f se convierte por medio de operaciones elementales entre renglones en gf âˆś d(h i

(1) Encontrar la inversa de la matriz

Ejemplos:

8 2

Escribimos la matriz aumentada:

8 5 2 4

5â‹Ž 1 0 y la reducimos: 4 â‹Ž 0 1 79

Métodos Cuantitativos II

→

→

→

→

^ (a

2

UNAH

1 % 2 Q

1

0

^

Y

^ â‹® ( â‹® a

Y

1 0 â‹® Q 0 1 â‹®

0

Y

â‹® ^ Q 0 1 â‹® 1

Y

â‹® 0 ^ ^ * 4 â‹® 0 1

Ana María Girón

^ ( a

^

0

1

R

(aR Y

a (aR

La matriz del lado izquierdo es la identidad. La de la derecha es (

Y

Q

a (aR

La matriz inversa debe reportarse como se hizo aqui, sin la identidad a su lado.

3

4 5 2 0 2 1

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(2) Encontrar la inversa de la matriz 1

3

Escribimos la matriz aumentada: 1

5

5

4 5â‹® 1 2 0 â‹® 0 2 1â‹®0

1 2 0â‹® 0 1 0 3 4 5 â‹® 1 0 0 5 2 1â‹®0 0 1

→

1 0 0

1 Q0 0

2 2 12

2 1 12

0â‹® 0 1 0 5 â‹® 1 3 0 1 â‹® 0 5 1

0 0 1 0 0 1

0 â‹®0 1 0 Y â‹® 0R 1 â‹® 0 5 1 80

→ →

+3 5

↔

Métodos Cuantitativos II

→

→ →

→

12

UNAH

Ana María Girón

1 2 0 ⋮ 0 1 0 Y 1 ⋮ 0R Q0 0 0 31 ⋮ 6 13 1

+ Y

+2

1 O0 0

2 0 ⋮ 0 1 Y 1 ⋮ _ 0 1 ⋮

1 O0 0

2 1 0

l1 k k0 k0 j

0 1 0

0 0P

0 1 0⋮ a 0 ⋮ _ 1⋮ _

0⋮ 0 ⋮ _ 1⋮ _

0 Y

_ P

( a

Y

o Yn _ n n m

La matriz del lado izquierdo es la identidad. La de la derecha es (

l k k _ k _ j

( a

Y

o Yn _ n n m

Las matrices inversas suelen tener muchas fracciones que no se pueden escribir bien como decimales. Trabaje todo el tiempo con fracciones porque si no los redondeos en las expresiones decimales pueden alejarlo del resultado correcto.

81

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH

Ana MarĂ­a GirĂłn

ÂżCĂłmo se verifica si la inversa es correcta? Desgraciadamente, solo puede hacerse verificando que

∙ ( c y que ( ∙ c (ambas), lo cual lleva en sĂ­ bastante trabajo.

ExcelÂŽ y Open OfficeÂŽ tienen una funciĂłn especial para cĂĄlculo de la inversa de una matriz: MINVERSA. No puede usarla para ejercicios de este curso, pero es Ăştil saberlo para cuando necesite verificar sus resultados.

EJERCICIOS DE PRĂ CTICA Determine la inversa de la matriz dada: 3 1. 4

1 6. 0

1 2

0 3 3 1

1 1 3 10. 2 4 1 5 7 1 2 14. 1 3

3 1 2 1 1 3

1 2. 2

3 6

2 1 7. 1 0 0 2

0 3 1

15 3. 10

1 0 2 11. 1 2 3 1 1 0 1 15. 1 2

3 4. 6

3 2

1 1 1 8. 2 3 0 1 1 1

0 1 12. 1 0 3 4

1 1 0 1 1 2

1 16. 1 2

2 1 0

1 1 2 1 1 2

6 12

1 1 9. 3 2 3 1

2 13. 1 3

3 17. 3 1

5.

Q ^

1 1 2

Y

R a

1 4 5 2 6 6

2 1 1 2 1 1

------------------------------------------------------------------------------------------------------ p

Utilizamos matrices inversas para resolver otro tipo de ecuaciones matriciales, de la forma Donde A y B, son matrices de constantes y X es una matriz desconocida, que queremos encontrar.

29 12 12 9 2

El proceso es similar al de resolver las primeras ecuaciones que usted aprendiĂł a resolver:

Con la diferencia de que como no existe la division de matrices, lo que hacemos es multiplicar por la inversa de A. Y como la multiplicaciĂłn de matrices no es conmutativa, tenemos que hacer la multiplicaciĂłn en el orden correcto:

p

p (

Este procedimientopuede usarse tambien para resolver sistemas de ecuaciones, haciendo A la matriz de coeficientes y B la matriz columna de las constantes. Ejemplo:

82

MĂŠtodos Cuantitativos II

Resolver

Resolver

UNAH

49 + 5: 335 99 + 14: 850

Ana MarĂ­a GirĂłn

se convierte en la ecuaciĂłn

9 + : + 2< 9 29 + 4: 3< 1 39 + 6: 5< 0

4 9

se convierte en la ecuaciĂłn

5 335 p 14 850

1 1 2 4 3 6

2 9 3 p 1 5 0

Aunque este mĂŠtodo no es parte del contenido del curso, es interesante saberlo, porque se puede usar ExcelÂŽ u Open OfficeÂŽ tanto para encontrar la inversa de A como para realizar la multiplicaciĂłn de A-1 por B . Para mĂĄs detalles sobre esto puede consultar la guĂ­a https://aulavirtualusb.files.wordpress.com/2010/02/matrices-en-excel1.pdf

EJERCICIOS DE PRà CTICA – REPASO I. SELECCIÓN ÚNICA.

1 2 1) Si y C=AAT entonces el elemento c22 es: 3 1 a) ‒1

1 2) Si 0 1

b) 5

c) 10

0 0 1 0 , su inversa A‒1 es igual a: 2 1

1 0 0 a) 0 1 0 1 2 1

1 0 0 b) 0 1 0 1 0.5 1

c) 0

8 a) 2 10

5 b) 2 5

0 c) 2 2

2 3) Si 2 1

1 3 0 0 2 2 1 3 0

0 0 1 0 1 2 1

1 0 d) 0 1 1 2

0 1 2 0 y C=AB entonces la segunda columna de C es: 1 0

4) Si A es una matriz de 2 Ă— 3, entonces: a) b) c) d)

1

d) 1

A‒1 es de 3 × 2 A‒1 es de 2 × 3 A‒1 es de 2 × 2 Ninguna

83

0 d) 0 1

0 0 1

MĂŠtodos Cuantitativos II

UNAH

Ana MarĂ­a GirĂłn

5) Si A es una matriz de 2 Ă— 3, entonces: a) b) c) d)

AT es de 3 Ă— 2 AT es de 2 Ă— 3 AT es de 2 Ă— 2 Ninguna

6) Si A es una matriz de 3 Ă— 4y queremos multiplicar AB entonces: a) b) c) d)

El nĂşmero de filas de B tiene que ser 3 El nĂşmero de columnas de B tiene que ser 4 El nĂşmero de filas de B tiene que ser 4 Ninguna de las anteriores

9 + 2< 1 29 + 4< 3 7) Dado el sistema :+< 3 a) No tiene soluciĂłn b) Tiene infinitas soluciones c) Tiene una soluciĂłn Ăşnica

1 8) Sea A la matriz 0 1 0 a) 0 1

0 . Su inversa es: 1 1 0 b) 0 1

c)

1 0 0 1

1 d) 0

0 1

9) Si A es una matriz de 2 Ă— 3 y B es una matriz de 3 Ă— 2, entonces el producto BA es una matriz de:

a) 2 Ă— 3 10) Si 1 2

a) 14

b) 3 Ă— 3

c) 2 Ă— 2

1 3 y 2 entonces el product AB es: 3 b) No estĂĄ definido

11) La siguiente matriz no es una matriz reducida: a)

1 0 2 0 0 1

1 b) 0

2 0 1 0

c)

84

c) 1

1 0 0 1

2 1

d) No estĂĄ definida.

4 9

0 d) 1

d) 15 1 0 0 0

MĂŠtodos Cuantitativos II

12) El sistema a) b) c) d)

UNAH

Ana MarĂ­a GirĂłn

9 + 6: 2< 0 29 3: + 4< 0

tiene infinitas soluciones no tiene soluciĂłn es x = 0, y = 1, z = 3 ninguna de las anteriores

13) En una matriz triangular inferior los ceros estĂĄn ubicados en a) b) c) d)

los elementos aij donde i > j los elementos aij donde i < j los elementos aij donde i = j no tiene ceros

2 14) Si 1 a) 9

3 2 y 4 1

b) 6

3 y C = AB, el elemento c21 de la matriz C es 4 c) 1

15) Si A, B y C son matrices de 3 Ă— 3 entonces (ACTB)T es igual a a) BTCTAT b) ATCTBT c) BTCAT d) ATCBT

1 0 16) La matriz 0 2 0 4

0 0 es una matriz 3

a) diagonal b) identidad c) triangular superior d) triangular inferior

17) Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la cual a) b) c) d)

los elementos aij donde los elementos aij donde los elementos aij donde los elementos aij donde

i ≠j son 0 i > j son 0 i < j son 1 i ≠j son 1

85

d) 18

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