Vectores Elías Irazoqui B. 2. Producto escalar. Debe quedar claro que a lo largo de esta exposición han de considerarse vectores del mismo espacio, de modo de poder operar con ellos con toda comodidad. En lo que sigue se pueden considerar vectores del 2-espacio o de 3-espacio, además, las nociones que examinamos son válidas para un n-espacio. Si A= (+"ß +# Ñ y B=(,"ß ,# Ñse define el producto escalar como: A † B = +" , " +# , # Si A= (+" ß +# ß +$ Ñ y B= (," ß ,# ß ,$ Ñ su producto escalar es: A † B = + " , " +# , # +$ , $ La generalización para vectores del n-espacio es entonces la naturalß a saber: 5œ8
A † B œ ! +5 , 5 5œ"
Propiedades de este producto. 1. A † B œ B † A 2. Si A, B, C son tres vectores, entonces se cumple: A † (B +C) = A † B +A † C = (B+C) † A 3. Si B es un número, entonces se cumple: (BA) † B œ BÐA † B ) y
A † (BB) œ BÐA † B Ñ
%Þ Si A=0 es el vector cero, se tiene que: A † A =0; si A Á 0 entonces , A † A !Þ Ejercicios. 1. Demostrar cada una de las propiedades anteriores. 2. Aceptamos las notación: A · A = A# , sin embargo, A$ no tiene sentido en este contexto. Existen dos identidades que se verifican fácilmente, ellas son: Ð#Þ"Ñ ÐE FÑ# œ E# #E·F F # Ð#Þ#Ñ ÐE FÑ# œ E# #E·F F # .
Obs. El producto escalar A·B puede ser cero sin que A o B lo sean, a modo de ejemplo considerare: A = (1,0,-1) y B=( -1,0,1). Def. Dos vectores A y B se dicen ortogonales o perpendiculares si A·B=0. Ejemplos. Considere los vectores unitarios: a) E" œ Ð"ß !Ñ C E# œ Ð!ß "Ñß entonces ellos son ortogonales. b) Si ahora E" œ Ð"ß !ß !Ñ, E# œ Ð!ß "ß !Ñ y E$ œ Ð!ß !ß "Ñ.Entonces ellos son ortogonales. Graficamnete esto se ve como:
Notas 1. Es fácil hacer ver que E3 ·E4 œ ! si i es distinto de j, ¿qué sucede si i=j? 2. Si A =(a"ß +#ß +$ Ñ entonces A · E3 = a3 Ejercicios. 1. Determine el valor de A·A para cada una de los puntos dados. A =( 1, -2) ; A=( 1, 2, 0) ; A= ( -1, 3.-4, 0) 2. Si el punto B asume valores como: B= (1,3); B= (-3,-5,7) y B=(1,0-2,-4,0) y A los valores del problema anterior respectivamente, determine para cada caso: A·B. 3. Usando las propiedades del producto escalar verifique en detalle las identidades: (1) ÐE FÑ# œ E# #E·F F # (2) ÐE FÑ# œ E# #E·F F #
4. Determine que parejas de vectores son perpendiculares. (1) (2,-1,5) y ( -1,1,-1) (2) Ð#ß /ß !Ñ y Ð/ß #ß !Ñ Ð$Ñ Ð "ß !ß "Ñ y Ð"ß !ß "Ñ 5. Si A es un vector que es perpendicular a a todo vector X, haga ver que A = 0.
La norma de un vector. La norma de un vector E e define como la raíz cuadrada positiva de E·E. En símbolos podemos escribir: m Em œ ÈE·E El valor anterior suele llamarse también magnitud de E. Algunos ejemplos. 1. Supongamos que A= (2, 1), entonces su norma es: È& Graficamente se tiene:
2. Si ahora A= (1,1,1) entonces su norma es: È$ Graficamente:
:
Obs. 1. Si A Á 0, entonces m A m Á 0 . 2. Para cualquier vector A, m A m œ m A m. Muestre esto último de manera gráfica. Def. Si A y B son dos puntos cualesquiera del espacio, la distancia entre ellos se define como: d(A,B) = m A F m œ È ÐE FÑ † ÐE FÑ Obs. 1. Se puede probar, si mayores problemas, que si x es un número cualquiera entonces: m x A m œ lBl m A m La demostración de este hecho se deja como ejercicio. 2. Un tipo especial de vectores lo constituyen los vectores unitarios y, son aquellos que poseeen norma igual a uno. Además, cualquier vector que sea distinto de cero se puede transformar en unitario, para ello basta dilatarlo en el valor de su norma. De algunos ejemplos de vectores unitarios y transforme el vector A= (3,0, 4) en unitarario. Dibuje los vectores unitarios canónicos del 2-espacio y del 3-espacio. 3. Considere dos puntos cualesquiera del plano, se puede hacer ver que la condición mA Fm œ mA Fm es equivalente a que E y F sean perpendiculares. Esto que afirmamos queda de manifiesto más claramente si se aprecia graficamente, en efecto:
Su desarrollo algebraico es como sigue: mA Fm œ mA Fm Í mA Fm# œ mA Fm # Í E # #E · F F # œ E # #E · F F # Í % E ·F œ ! Í E ·F œ ! Y esto prueba lo que queríamos. Teorema General de Pitágoras. S i A y B son perpendiculares, entonces: mA Fm# œ mAm# mFm# Demostración. Indicación, evalue el término de la izquierda y use la hipótesis.
Nota. Si A es perpendicular a B y x es un número cualquiera, entonces A también es perpendicular a xB.
En lo que sigue usamos el concepto de perpendicularidad para introducir el concepto de proyección. Sean A y B dos vectores y B Á 0. Sea P el punto sobre la recta que pasa por OB → → tal que PA es perpendicular a OB , como se muestra en la figura
→ → Así es claro que: P = cB , para algún valor de c. La idea es determinar explícitamente el valor de c en términos de A y B. → La condición PA entonces À
Ê Ê
¼
→ → → → → OB significa que A T es ¼ B, pero P = cB
(A cB ) · B = 0 A· B - B · B = 0 c œ A ·A / B ·B
Luego existe un número c tal
→ → E -F es ¼ a B .
Def. La componente de A sobre B es el núemro c œ A ·A / B ·B, → → y la proyección de A sobre B es el vector: P = cB œ ÐA ·A / B ·BÑ B. Ejercicio. Estime la proyección de A= (2,3) sobre B=(2,0). Cambie ahora el valor de B a: (3,0) , (1,0), (-1, 0) , (-2,0) , y vuelva a estimar la proyección en cada caso ¿qué observa de ello?
Bibliografía. Lang, Serge ( 1990) . Cálculo. Addisosn -Wesley Iberoamericana, S. A.