ΑΛΓΕΒΡΑ Β-Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ Σ. ΜΕΤΑΞΑΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ Γ΄

ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

[© e-epicentro]

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Η έννοια της μεταβλητής – Αλγεβρικές παραστάσεις

Αριθμητική

παράσταση λέγεται

μια

παράσταση που

περιέχει

πράξεις με αριθμούς Π.χ. 2 ⋅ 5 − 3( 5 − 2 ) −1

5 ⋅ 4 +3

, 6( 2 −1)

Αλγεβρική παράσταση λέγεται μια παράσταση που εκτός από πράξεις με αριθμούς περιέχει και μεταβλητές. Πράξεις σε αλγεβρικές παραστάσεις.

1. Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα α.γ+β.γ=(α+β) 2. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Π.χ. 5Χ+7Χ=(5+7)Χ Δηλαδή αναγωγή ομοίων όρων είναι η διαδικασία με την οποία γράφουμε σε απλούστερη μορφή αλγεβρικές παραστάσεις.

Παρατήρηση Όπως

βλέπουμε

γράψαμε

την

παράσταση

(5+7)Χ

χωρίς

να

βάλουμε το πρόσημο του πολλαπλασιασμού, το οποίο εννοείται ότι υπάρχει. Δηλαδή συνηθίζουμε να γράφουμε 5ΧΥ αντί 5.Χ.Υ Το πρόσημο φυσικά του πολλαπλασιασμού θα χρησιμοποιείται για πολλαπλασιασμούς αριθμών.

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Εξισώσεις α΄ βαθμού Αν στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή

Ομοίως

αν

στα

δύο

μέλη

μιας

αν α=β τότε α+γ=β+γ

ισότητας

αφαιρέσουμε

τον

ίδιο

αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή Αν α=β τότε α-γ=β-γ Αν τα δύο μέλη μιας ισότητας

τα πολλαπλασιάσουμε με

τον ίδιο

αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή Αν α=β τότε α.γ=β.γ

Ομοίως αν τα δύο μέλη μιας ισότητας

τα

πολλαπλασιάσουμε με

τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει και πάλι μια ισότητα. Δηλαδή Αν α=β τότε

a

γ

=

β με γ≠0 γ

Η έννοια της εξίσωσης Έστω η ισότητα

5Χ+300 = 2Χ+600

Η ισότητα αυτή που περιέχει τον άγνωστο Χ ονομάζεται εξίσωση. Η παράσταση 5Χ+300 λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης . Η παράσταση 2Χ+600 λέγεται

δεύτερο

μέλος της εξίσωσης .

Οι όροι 5Χ και 2Χ λέγονται άγνωστοι όροι της εξίσωσης. Οι όροι

300 και

600

λέγονται γνωστοί όροι της εξίσωσης.

Πως λύνουμε μια εξίσωση 1. Χωρίζουμε

γνωστούς

από

αγνώστους.

Σε

μια

εξίσωση

μπορούμε να μεταφέρουμε όρους από το ένα στο άλλο μέλος αρκεί να αλλάξουμε το πρόσημό τους. Θέλουμε στο πρώτο μέλος να έχουμε τους γνωστούς όρους και στο δεύτερο μέλος τους αγνώστους.

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Παρατηρούμε

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ότι

στην

υπάρχουν γνωστοί

και

ΣΤΑΥΡΟΣ

εξίσωση

που

έχουμε

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

σε

κάθε

μέλος

άγνωστοι. Έτσι λοιπόν μεταφέρουμε

το

2Χ στο πρώτο μέλος ( γίνεται -2Χ ) και το 300 στο δεύτερο μέλος (γίνεται -300) 5Χ+300 = 2Χ+600 5Χ-2Χ = 600-300 2. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων 3Χ = 300 3. Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου , δηλαδή με το 3 και τα δύο μέλη 3X 300 = 3 3 X = 100

Επίλυση εξίσωσης με παρανομαστές Θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση 1. Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο Ε.Κ.Π. των παρανομαστών.

15

X + 4 X − 4 1−3X − = −2 5 3 15

και των δύο μελών με το

Το Ε.Κ.Π. (3 , 5 , 15 )=15

X +4 X −4 1 −3 X −15 =15 −2.15 5 3 15

X +4 = 3( X + 4) 5 X −4 = 5( X − 4) 2. Κάνουμε απαλοιφή των παρανομαστών 15 3 1 −3X 15 =1 −3X 15 15

3. Η εξίσωση γίνεται 3(Χ+4) -5(Χ-4)=(1-3Χ)-30

4. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων 3Χ+12-5Χ+20=1-3Χ-30

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

3Χ-5Χ+3Χ=1-30-12-20 6Χ-5Χ=1-62 Χ=-61

Ειδικές περιπτώσεις Αδύνατη εξίσωση

2(5Χ-3)-4(Χ-2)=6Χ+3

Εφαρμόζοντας την

επιμεριστική ιδιότητα

10Χ-6-4Χ+8=6Χ+3

και κάνουμε τις πράξεις

10Χ-4Χ-6Χ=3+6-8

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους

10Χ-10Χ=9-8

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

0Χ=1 Η

εξίσωση

αυτή

είναι

αδύνατη

αφού οποιοσδήποτε

αριθμός

παλλαπλασιαστεί με το μηδέν θα μας δώσει μηδέν. Αόριστη εξίσωση

2(5Χ-3)-4(Χ-2)=6Χ+2

Εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα

10Χ-6-4Χ+8=6Χ+2

και κάνουμε τις πράξεις

10Χ-4Χ-6Χ=2+6-8

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους

10Χ-10Χ=8-8

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων

0Χ=0 Η

εξίσωση

αυτή

είναι

αόριστη

αφού οποιοσδήποτε

αριθμός

παλλαπλασιαστεί με το μηδέν θα μας δώσει μηδέν. Δηλαδή η εξίσωση αυτή επαληθεύεται για όλες τις τιμές του Χ. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται ταυτότητα

Επίλυση τύπων Σε

πολλές

επιστήμες

χρησιμοποιούμε ισότητες

όπως που

στη

Φυσική

συνδέουν

στην οικονομία έχουμε τον τύπο T =

και

μεταξύ

στην

τους

Οικονομία

μεγέθη.

Π.χ.

K .E.t 100

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Όπου Τ : ο τόκος ενός δανείου , Κ : το αρχικό κεφάλαιο ,

t : ο

χρόνος που διαρκεί το δάνειο . Μπορεί να γνωρίζουμε τον τόκο , το κεφάλαιο και το επιτόκιο και να ζητάμε

το

χρόνο (t) .

Μπορεί

να

ζητάμε

το

επιτόκιο

και

να

γνωρίζουμε όλα τα άλλα. Κάθε φορά θα λύνουμε την εξίσωση ως προς τον άγνωστο που ζητάμε.

Εφαρμογή Κάποιος δανείστηκε 2.000€ για τρία χρόνια με επιτόκιο 12%. Να υπολογίσετε πόσο τόκο θα πληρώσει.

Λύση Κ = 2.000 , t= 3 , Ε =12 Ζητάμε δηλαδή τον τόκο Τ.

T =

K .E.t 2.000 ⋅12 ⋅ 3 72.000 = = = 720 100 100 100

Έστω τώρα ότι θέλουμε

να βρούμε το χρόνο που δανείστηκε

κάποιος 2.000€ για τρία χρόνια και θα πληρώσει τόκο 720 €. Θα λύσουμε την εξίσωση T =

K .E.t 100

ως προς t.

K ⋅ E ⋅ t = 100T K ⋅ E ⋅ t 100T = K ⋅E K ⋅E 100T t= K ⋅E

Αντικαθιστούμε στο νέο τύπο τα δεδομένα και έχουμε: t=

100 ⋅ 720 72000 = =3 2.000 ⋅12 24000

Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Πολλές

φορές

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

στην

ΣΤΑΥΡΟΣ

προσπάθειά

προβλήματα με αριθμούς

μας

να

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

λύσουμε

πολύπλοκα

μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μεταβλητές

και εξισώσεις.

Εφαρμογή Θέλουμε να βρούμε τις οξείες γωνίες ενός τριγώνου αν γνωρίζουμε ότι η μία είναι διπλάσια της άλλης. Λύση Αρχικά

διαβάζουμε

το

πρόβλημα και

διακρίνουμε

τα

δεδομένα από

ζητούμενα. Τα

ζητούμενα

είναι

τα

μέτρα

των

οξειών

γωνιών

αυτού

του

ορθογωνίου τριγώνου. Τα δεδομένα είναι ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και η μία οξεία γωνία είναι διπλάσια της άλλης. Χρησιμοποιούμε

ένα

γράμμα

(Χ) για

να εκφράσουμε

τον

άγνωστο

που πρέπει να προσδιορίσουμε. Έστω Χ

η μία οξεία γωνία του τριγώνου

Εκφράζουμε τους άλλους αγνώστους με τη βοήθεια του Χ. Η άλλη οξεία γωνία θα είναι 2Χ Στη συνέχεια προσπαθούμε να

αξιοποιήσουμε τα δεδομένα.

Αφού το τρίγωνο είναι ορθογώνιο , το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του θα είναι

180ο -90ο =90ο

Άρα οι δύο ζητούμενες γωνίες θα έχουν άθροισμα 90ο Σχηματίζουμε την εξίσωση Χ+2Χ=90ο .

3Χ=90ο

άρα Χ=30ο

Επομένως η άλλη γωνία θα είναι 2.30ο =60ο Επαλήθευση Χ+2Χ=90Ο , 30Ο +60Ο =90Ο

Ανισώσεις

α΄ βαθμού

Ανισότητα ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση που περιέχει ένα από τα ανισοτικά σύμβολα

<,>,≤,≥

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Ιδιότητες ανισοτήτων 1. Αν στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε η ανισότητα που προκύπτει έχει την ίδια φορά.

Αν α>β τότε α+γ>β+γ και α-γ>β-γ Αν α<β τότε α+γ<β+γ και α-γ<β-γ 2. Αν

πολλαπλασιάσουμε ή

διαιρέσουμε

και

τα

δύο

μέλη

μιας

ανισότητας με τον ίδιο θετικό αριθμό , η ανιότητα που προκύπτει έχει την ίδια φορά.

3. Αν

Αν α>β και γ>0 τότε αγ>βγ και

α β > γ γ

Αν α<β και γ>0 τότε αγ<βγ και

α β < γ γ

πολλαπλασιάσουμε ή

ανισότητας με τον ίδιο έχει τα αντίθετη

διαιρέσουμε

και

τα

δύο

μέλη

μιας

αρνητικό αριθμό , η ανισότητα που προκύπτει

φορά.

Αν α>β και γ<0 τότε αγ<βγ και

α β < γ γ

α β Αν α<β και γ<0 τότε αγ>βγ και γ > γ

Προσοχή Το σύμβολο ≥ διαβάζεται μεγαλύτερο ή ίσο , ενώ το σύμβολο ≤ διαβάζεται μικρότερο ή ίσο. Ανίσωση

ονομάζουμε

μια

ανισότητα

που

περιέχει

αριθμούς

και

μεταβλητές ενώ μεταξύ τους σημειώνονται οι γνωστές πράξεις.

Μέλη της ανίσωσης. Κάθε ανίσωση αποτελείται από δύο μέλη που χωρίζονται μεταξύ τους με κάποιο από τα σύμβολα ≥ , ≤ , > ή <

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Κάθε μέλος της αποτελείται από γνωστούς και άγνωστους όρους. Λύσεις

της

ανίσωσης

επαληθεύουν

την

ονομάζουμε

τις

τιμές

ανίσωση. (δηλαδή

τους

της

μεταβλητής

αριθμούς

που

που

αν

τοποθετήσουμε στη θέση της μετραβλητής, παίρνουμε αληθή ισότητα )

Μέθοδος επίλυσης ανισώσεων Εφαρμογή 1 Να βρεθούν οι

λύσεις της ανίσωσης

8 X − 12 > −2 X = −2

Βήμα 1ο Αρχικά χωρίζουμε τους γνωστούς από τους άγνωστους όρους της ανίσωσης. Κατά

τη μεταφορά ενός όρου από το ένα μέλος στο άλλο , η φορά

της ανίσωσης δεν αλλάζει. Αλλάζει μόνο το πρόσημο του όρου.

8 X − 12 > −2 X − 2 +2χ

+12

Βήμα 2ο Κάνουμε τις πράξεις που σημειώνονται και αναγωγή ομοίων όρων.

8 X + 2 X > −2 +12 10 X > 10

Βήμα 3ο Διαιρούμε

και τα δύο μέλη της ανίσωσης με το συντελεστή

του

αγνώστου (αρκεί να μην είναι μηδέν ). Επειδή

ο

ανισότητας

συντελεστής

εδώ

είναι

θετικός (10) ,

η

φορά

της

παραμένει ίδια.

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

10 X >10 10 x 10 > 10 10 x >1

Προσοχή.

Αν

ο

συντελεστής

του

αγνώστου

ήταν

αρνητικός

η

ανίσωση θα άλλαζε φορά. Π.χ. -10Χ>10

−10 X >10 −

Εφαρμογή 2

10 x 10 < −10 −10 x < −1

Ανίσωση με παρανομαστές 3X − 4 2 − X − >1 4 3

Να λυθεί η ανίσωση

Λύση Βήμα 1ο Αρχικά κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο κάθε μέλος με το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών.

ΕΚΠ (3,4)=12

Το ΕΚΠ τοποθετείται μεταξύ του κάθε όρου και του προσήμου του. Έτσι η ανίσωση γίνεται :

12 ⋅

3X − 4 2−X −12 ⋅ > 12 ⋅1 4 3

Διαιρούμε το ΕΚΠΚ με κάθε παρανομαστή και έχουμε : 3 ⋅ ( 3 X − 4 ) − 4 ⋅ ( 2 − X ) > 12 ⋅1

Βήμα 2ο Κάνουμε τις πράξεις που σημειώνονται εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα 9 X − 12 − 8 + 4 X > 12 Βήμα 3ο

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων 9 X −12 −8 + 4 X >12 13 X >12 +12 + 8 13 X > 32

Βήμα 4ο Διαιρούμε

και τα δύο μέλη της ανίσωσης με το συντελεστή

αγνώστου που είναι το

του

13

13 X 32 > 13 13 32 X > 13

Πως παριστάνουμε τις λύσεις της ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών Έστω ότι σε μια ανίσωση έχουμε βρει ότι οι λύσεις της είναι Χ≥5 0

5

Για να παραστήσουμε δηλαδή τις λύσεις μιας ανίσωσης στην ευθεία των αριθμών , σκιαγραφούμε το τμήμα της ευθείας που είναι δεξιά του 5. (αφού οι λύσεις είναι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 5). Η μαύρη τελεία σημαίνει ότι ο αριθμός 5 συμπεριλαμβάνεται στις λύσεις της ανίσωσης Αν οι λύσεις της ανίσωσης ήταν 0

Χ>5 θα είχαμε 5

Δηλαδή αντί για τη μαύρο κυκλάκι βάζουμε μια διαφανή τελεία. Κοινές λύσεις ανισώσεων Εφαρμογή

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Να βρεθούν οι κονές λύσεις των ανισώσεων : 2( X + 1) + X > 6 − 2 X

και

7 X − 8 > 3( X + 3) + 7

Λύση Βήμα 1ο Λύνουμε ξεχωριστά την κάθε ανίσωση 2( X +1) + X > 6 − 2 X 2X + 2 + X > 6 −2X

7 X −8 > 3X + 9 + 7 7 X − 3X > 9 + 7 + 8 4 X > 24 X >6

2X + X + 2X > 6 −2 5X > 4 X >

4 5

Η παράσταση των λύσεων

είναι

X >

4 στην ευθεία 5

4/5

Η παράσταση λύσεων

Χ>6 είναι 6

Τωρα παριστάνουμε τις λύσεις των δύο ανισώσεων στην ίδια ευθεία των αριθμών

4/5

6

Από το σχήμα βλέπουμε ότι οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι οι αριθμοί που βρίσκονται δεξιά του 6. Δηλαδή Χ>6. Γραφικά είναι το τμήμα που είναι σχεδιασμένο και με μπλε και με γαλάζιο. Μορφές που ανάγονται σε επίλυση ανίσωσης

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Παράδειγμα Να

βρείτε

ανίσωση

ποιες

τιμές

μπορεί

να

πάρει

η

μεταβλητή

λ, ώστε

η

− 5( 2 X + 4 ) − 3λ − 1 < 2( λ − 3) να έχει λύση τον αριθμό Χ=-2.

Λύση Για να έχει λύση τον αριθμό Χ=-2 , αρκεί ο αριθμός αυτός να την επαληθεύει. Δηλαδή να ισχύει : − 5[ 2( − 2 ) + 4] − 3λ −1 < 2( λ − 3) − 5[ − 4 + 4] − 3λ −1 < 2λ − 6 − 5 ⋅ 0 − 3λ −1 < 2λ − 6 − 3λ − 2λ < −6 +1 − 5λ < −5 −

5λ −5 > −5 −5 λ >1

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο Οι Πραγματικοί αριθμοί Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α λέγεται ο θετικός αριθμός ο

οποίος

αν

υψωθεί

στο

τετράγωνο ,

δίνει

τον

αριθμό

Η

α

τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α συμβολίζεται με Δηλαδή αν α > 0 και χ > 0 µε

α.

α = χ θα ισχ ύει χ 2 = α

Παρατηρήσεις

( α)

1.

2

= α , όπου α ≥ 0

α⋅β = α ⋅ β

2.

, µε α, β > 0

α α = µε α ≥ 0 και β > 0 β β

3. Δεν αριθμός

που

υπάρχει αν

ρίζα

υψωθεί

αρνητικού στο

αριθμού ,

τετράγωνο ,

να

γιατί μας

δεν

δίνει

υπάρχει αρνητικό

αποτέλεσμα. Π.χ. δεν υπάρχει η τετραγωνική ρίζα του -25 και δε γράφουμε ποτέ − 25

4. Είναι λάθος να γράφουμε -5<0 5. Δεν ισχύει α + β π.χ. 4 + 9 ≠ 4 + 9

= α+ β

25 = −5 παρότι ( − 5) = 25 2

γιατί

με α,β≥0

4 + 9 = 2 +3 = 5

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

4 + 9 = 13 ≠ 5

Εφαρμογή 1 Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες : α)

β)

81

γ)

16

100

Λύση α) Πρέπει να βρούμε ένα θετικό αριθμό του οποίου το τετράγωνο να

ισούται

με

81.

Κάνοντας

δοκιμές

βρίσκουμε

ότι

9 2 = 81 .

Άρα

81 = 9

β) Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι

γ)

16 = 4

100 =10

Εφαρμογή 2

Να υπολογίσετε την

τετραγωνική

ρίζα του

64 81

Λύση α΄ τρόπος

64 8 = αφού 81 9

64  8  =  81  9 

2

β΄ τρόπος εφαρμόζοντας την ιδιότητα

α α = γι α ≥ 0 και β > 0 β β

64 64 8 = = 81 81 9

Εφαρμογή 3 Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς που είναι λύσεις των εξισώσεων χ 2 = 49 και χ 2 + 18 = 3χ 2

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Λύση χ 2 +18 = 3χ 2

χ2 = 49

− 3χ 2 + χ 2 = −18

χ = 49 χ =7

− 2 χ 2 = −18 − 2χ2 −18 = −2 −2 χ =9

Εφαρμογή 4 Να

βρεθεί

η

τιμή

του

Χ

ώστε

η

παράσταση

6 x − ( 2 x +12)

να

ορίζεται. Λύση Για να ορίζεται μια παράσταση που περιέχει ρίζες, πρέπει όλες οι υπόρριζες ποσότητες να είναι μη αρνητικές . Δηλαδή θα πρέπει :

6Χ-(2Χ+12)≥0 6Χ-2Χ-12≥0 6Χ-2Χ≥12

,

4Χ≥12

,

4 X 12 ≥ άρα Χ ≥ 3 4 4

Άρα η παράσταση ορίζεται για τιμές μεγαλύτερες ή ίσες του αριθμού 3.

Άρρητοι αριθμοί - Πραγματικοί αριθμοί Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που μπορεί να γραφεί στη μορφή

µ , όπου μ , ν ακέραιοι με ν≠0 ν

Π.χ.

3=

1 , 3

25 =

5 23 = 5 , 2,3 = 1 10

Κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός ονομάζεται άρρητος.

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

την

τιμή

ενός

2 , 7,32123.... , π

Π.χ.

Ρητή προσέγγιση άρρητου αριθμού. Για να

προσδιορίσουμε

κατά

προσέγγιση

άρρητου

αριθμού πραγματοποιούμε την ακόλουθη διαδικασία : Π.χ του

8

Αρχικά αναζητούμε τον ακέραιο που αν υψωθεί στο τετράγωνο να πλησιάζει το 8.

2 2 = 4 και 3 2 = 9 άρα 2 < 8 < 3

Κατόπιν

αναζητάμε

με

διαδοχικές

δοκιμές

τον

κατάλληλο

δεκαδικό

αριθμό που βρίσκεται ανάμεσα στο 2 και στο 3, ο οποίος αν υψωθεί στο τετράγωνο να πλησιάζει περισσότερο το 8.

Επειδή 2,8 2 = 7,84 και 2,9 2 = 8,41 άρα 2,8 < 8 < 2,9

Επειδή (2,82) 2 = 7,952 και ( 2,83) 2 = 8,008 άρα 2,82 < 8 < 2,83

(2,82) 2 = 7,952 και ( 2,83) 2 = 8,008 άρα 2,82 < 8 < 2,83 (2,828) 2 = 7,997 και (2,829) 2 = 8,003 άρα 2,828 < 8 < 2,829

Άρα το

8

Με προσέγγιση δεκάτου είναι 2,8 Με προσέγγιση εκατοστού είναι 2,82 Με προσέγγιση χιλιοστού είναι 2,828 ή 2,829

Πραγματικοί αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί

(R)

Ρητοί Ακέραιοι Φυσικοί

Άρρητοι (Q’)

Ρητοί

Άρρητοι

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Φυσικοί αριθμοί : 0,1,2,3,4….. (συμβολίζονται με το γράμμα Ν) Ακέραιοι αριθμοί : -4,-3,-2,-1,0,1,2,3, …(συμβολίζονται με το γράμμα Ζ) Ρητοί αριθμοί : Όλοι

οι

αριθμοί

που

μπορούν

να

γραφούν

σαν

κλάσμα. (συμβολίζονται με το γράμμα Q) Άρρητοι αριθμοί όλοι οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί. (συμβολίζονται με το γράμμα Q’ )

Ευθεία των πραγματικών αριθμών Ονομάζεται

η

ευθεία

πάνω

στην

οποία

παριστάνουμε

όλους

τους

πραγματικούς αριθμούς. Κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό και φυσικά κάθε πραγματικός αριθμός αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό σημείο της ευθείας

- 12 -3

-2

-1

0

2/3 1

2

2

3

Πράξεις με ρίζεις Πρόσθεση - αφαίρεση ριζών Για προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ρίζες θα πρέπει να έχουν το ίδιο υπόρριζο. Έτσι προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους συντελεστές τους και στο αποτέλεσμα βάζουμε το κοινό υπόρριζο. Π.χ. 3 5 + 7 5 − 2 5 = ( 3 + 7 − 2 ) 5 = 8 5 Πολλαπλασιασμός – διαίρεση ριζών

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

Για να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε ρίζες , πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε χωριστά τους συντελεστές και τα υπόρριζα. Π.χ. 3 4 ⋅ 7 9 = ( 3 ⋅ 7 ) 4 ⋅ 9 = 21 36 = 21 6 = 21 ⋅ 6 =126 2

Παρατήρηση Όταν σε μια παράσταση

υπάρχει ρίζα

με ακέραιο αποτέλεσμα

θα

πρέπει να αντικαθίσταται με την ακέραια τιμή της. Π.χ. 5+3 ⋅ 49 = 5+3.7=5+21=26

23

ΑΛΓΕΒΡΑ

Β - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΑΥΡΟΣ

Σ.

ΜΕΤΑΞΑΣ

[© e-epicentro]

23