Asesoria II M2 CA2 Elasticidad Derivación Implı́cita Derivación logarı́mica Derivada de orden superior
Universidad San Ignacio de Loyola
Problema 1: La función de demanda para cierto artı́culo es √ p = 120 − 2 q. Considere que la variable p representa el precio unitario expresado en nuevos soles y la variable q representa la cantidad en unidades. a) Modele la elasticidad de la demanda en términos de q. b) Determine los valores de q para los cuales la elasticidad de la demanda es unitaria. c) Usando elasticidad de la demanda, determine si un aumento en el precio produce un aumento en el ingreso cuando q = 900 Problema 2: Sea la curva C está definida por la ecuación implı́cita: 2x 3 + x 2 y + y 2 = 0
a) ¿El punto (x; y ) = (−1; 1) pertenece a la curva C ? Justifique b) Determine y 0 en el punto de la curva C , cuya abscisa es x = −1.
Solución del problema 1 dp a) p = 120 − 2q 0,5 → = −q −0,5 dq Nos piden la elasticidad puntual en términos de q. η=
p dq 120 − 2q 0,5 1 120 − 2q 0,5 . =( ). −0,5 = q dp q −q −q 0,5
b) Si η = −1 entonces η =
120 − 2q 0,5 = −1 −q 0,5
120 − 2q 0,5 = q 0,5 → q = 1600 c) Si q = 900, reemplazamos en la elasticidad de la demanda. η=
120 − 2(900)0,5 60 = = −2 0,5 −(900) −30
Demanda elástica. Si queremos que los ingresos aumenten, es necesario reducir el precio de venta.
Solución del problema 2 a) Si (x; y ) = (−1; 1) pertenece a C , entonces debe cumplir con la ecuación 2x 3 + x 2 y + y 2 = 0 Reemplazando 2(−1)3 + (−1)2 (1) + (1)2 = 0, cumple. b) Si x = −1 entonces en C:2x 3 + x 2 y + y 2 = 0 tenemos: 2(−1)3 + (−1)2 (y ) + (y )2 = 0 → y = −1 o y = 2 Derivamos 2x 3 + x 2 y + y 2 = 0, luego 6x 2 + 2xy + x 2 y 0 + 2y .y 0 = 0 reemplazando x = −1 y y = 1 luego y 0 = −4/3 reemplazando x = −1 y y = −2 luego y 0 = 10/3
Problema 3: El departamento de ventas de JR SA estima que las q unidades de cámaras, pueden venderse a p dólares por cámara según: p 2 + 10q = 4160. a) Determine la elasticidad de la demanda de cámaras en términos de p b) Si el precio actual de una cámara es 40 dólares y queremos aumentar los ingresos ¿conviene aumentar el precio de cada cámara?
Solución del problema 3 a) A partir de la demanda p 2 + 10q = 4160 q = 416 − 0, 1p 2 dq = −0, 2p dp Nos piden la elasticidad puntual en términos de p. p dq p −0, 2p 2 η= . =( )(−0, 2p) = 2 q dp 416 − 0, 1p 416 − 0, 1p 2 b) Si p = 40 dólares, reemplazamos en la elasticidad de la demanda. −320 = −1, 25 256 Demanda de un bien es elástico. Si queremos que los ingresos aumenten, es necesario reducir el precio de venta, es decir, NO conviene aumentar el precio. η=
Problema 4: Supongamos que el monto ahorrado M por un paı́s se define implı́citamente en términos de su ingreso nacional I , mediante la siguiente regla de correspondencia: 5M 2 +
I2 5
= MI + I 3
Determine la propensión marginal del consumo, definido por la derivada del monto ahorrado por el paı́s respecto del ingreso nacional. Problema 5: Resuelva los siguientes casos: a. Si se cumple que y =
(1 − x)x (x 2
−
1)2
, determine
b. Si se cumple que 4x 2 + 9y 2 = 1, determine
dy dx d 2y dx 2
Solución del problema 4: I2 5M 2 + = MI + I 3 5 2I = M 0 I + M + 3I 2 10MM 0 + 5 2I M + 3I 2 − dM 5 0 M = = dI 10M − I
Solución del problema 5: a. y =
(1 − x)x
(x 2 − 1)2 ln(y ) = x ln(1 − x) − 2 ln(x 2 − 1) y0 x 2x = ln(1 − x) + −2 2 y 1−x x −1 x (1 − x) 4x x y0 = 2 − ln(1 − x) + (x − 1)2 1 − x x2 − 1
b. 4x 2 + 9y 2 = 1 → 8x + 18y .y 0 = 0 → y 0 =
− 4x
9y derivando respecto de x:8x + 18y .y 0 = 0 luego − 8 − 18(y 0 )2 8 + 18(y 0 ).y 0 + 18y (y 00 ) = 0 → y 00 = 18y − 8 − 18 00
y =
18y
− 4x 9y
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